高二数学最新教案-高二数学教学设计：球(四) 精品

球（四）
●教学目标
(一)教学知识点
与球有关的综合问题．
(二)能力训练要求
1．熟练掌握球的性质．
2．提高学生解决综合问题的能力．
(三)德育渗透目标
培养学生善于从整体上抓住事物的主要矛盾，学会分析矛盾、解决矛盾的方法．
●教学重点
学生分析解决综合问题能力的培养和提高．
●教学难点
学生分析解决综合问题能力的培养和提高．
●教学方法
师生共同讨论法
通过本节具体例题的分析，不仅要使学生在知识上有所收获，更重要的是使学生从中体会解决综合问题所用的方法与技巧，从而提高学生分析问题、解决问题的能力．
●教具准备
投影片三张
第一张：本课时例1(记作§9．10．4 A)
第二张：本课时例2(记作§9．10．4 B)
第三张：本课时例3(记作§9．10．4 C)
●教学过程
Ⅰ．复习回顾
［师］前面，学习了球的重要性质及体积、表面积公式，并会处理一些与球有关的相接相切的简单问题，这节课，在此基础上，我们讨论与球有关的几个综合问题，大家要从中体会解题时所用的数学思想、方法与技巧．
Ⅱ．讲授新课
［师］请看例1(打出投影片§9．10．4 A，读题)
学生思考，教师查看，会发现大多数同学采用如下解法：
解：设球心O ，球半径R ，球的内接正四面体为ABCD (如下图)，设点A 在底面上的射影为H ，取BC
中点E ，连结AE 、DE ，则O 在AH 上，H 在DE 上，且AE ＝DE ＝
26
，OA ＝OD ＝R ，DH ＝32
DE ＝32
·2
6＝
3
6．
在Rt △OHD 中有，OH 2＝OD 2-DH 2＝R 2-3
2
又∵ OH 2＝(AH -R )2＝(
34
-R )2，
∴ R ＝
23，
∴ S 球＝4πR 2＝4π·(23
)2＝3π
∴ 选B ．
(评析完以上解法，教师还应启发学生想出一些较为简便的方法…) (打出§9．10．4 B ，读题)
［师］显然，这是一道与球有关的接切问题，对于这类问题的解决，常常要通过什么途径去实现呢？ ［生］作一个适当的截面，将问题转化为平面问题解决． ［师］对于这个题目，我们该怎样做截面呢？ ［生］作过球心和对棱的截面． ［师］为什么要这样做呢？
［生］这样截能体现出两个球与长方体的主要元素间的关系． ［师］请大家画出这个截面，完成解题过程． (学生动手做，教师巡视指导)
［生］如图，(1)ABCD 为过球心和对棱AB 、CD 的截面，则AC ＝
3．
设两个球半径分别为R 、r ，则AC ＝AO 1＋O 1O 2＋O 2C ＝
3r ＋(r ＋R )＋ 3R ＝3，
∴ R ＋r ＝2333
13
-=
+
．
(2)设两个球体积之和为V ，则
V ＝34π(R 3＋r 3)＝34π(R ＋r )(R 2-Rr ＋r 2)＝34
π(R ＋r )［(R ＋r )2-3Rr ］
＝34π233-［3R 2-2)
33(3-R ＋(
233-)2］
当R ＝r ＝
43
3-时，V 有最小值． (打出投影片§9．10．4 C ，读题)
［师］这个图形的背景较复杂，我们应该将四面体A -EFD 单独移出，欲求内切球半径，需要先确定它的球心位置，如何理解呢？
［生］内切球的球心O 到四面体各面的距离相等且都等于内切球的半径．
［师］显然，寻找球心具体位置不容易，看来得想其他办法了．同学们可以互相讨论研究． (学生分组讨论，教师查看指导)
［师］经过大家充分讨论后，能叙述你们的解题思路吗？
［生］由于该四面体可以分割成以球心为顶点，各面为底面的四个三棱锥，通过其体积关系，求得半径．
［师］集体智慧的力量确实很大，这位同学的代表思路简捷明快，而且还体现了一种重要的数学思想，即分割的思想方法．它在以后的学习中常常用到．
(师生共同分析，写出解题过程)
解：设四面体A -EFD 内切球半径为r ，球心为O ，连结OA 、OE 、OF 、OD ，则 V A -EFD ＝V O -AEF ＋V O -AFD ＋V O -ADE ＋V O -EFD ． 四面体A -EFD 的各个面的面积分别为
S △
AEF ＝92S △ABC ＝
23，
S △AFD ＝3
2S △
ABC ＝
233，
S △
AED ＝31
S
△
ABC ＝
433．
△DEF 各边边长分别为： EF ＝
3，DF ＝DE ＝7，
∴ S △EFD ＝
3，
∵
V A -EFD ＝9
2V A -BCD ＝
2
2
．
∵
V A -EFD ＝31r (S
△AEF
＋S △AFD ＋S △AED ＋S △DEF )，
∴
2
2＝
31r (23＋3
43
3233++)，
∴
r ＝15
6
2．
∴ 四面体A -EFD 的内切球半径为15
6
2．
Ⅲ．课堂练习
一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在这容器内注入水并且放入一个半径为r 的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？ 解：如图，设球未取出时高PC ＝h ，球取出后水面高PH ＝x ，
∵ AC ＝
3r ，PC ＝3r ，
∴ 以AB 为底面直径的圆锥容积为：
V 圆锥
＝31πAC 2·PC ＝31π(3r )2·3r ＝3πr 3， 又V 球
＝34
πr 3．
球取出后水面下降到EF ，水的体积为：
V 水
＝31πEH 2·PH ＝31π(PH ·tan30°)2·PH ＝91πx 3．
∵ V 水＝V 圆锥-V 球
即91πx 3＝3πr 3-34
πr 3，
∴ x ＝
3
15r ，
故球取出后水面的高为3
15r ．
Ⅳ．课时小结
本节课我们通过对三个综合问题的分析，真正体会到了综合问题的特点，同学们要领悟其中所用的数学思想与方法，进一步提高自己数学地思考问题、解决问题的能力．
Ⅴ．课后作业
点P 是正四面体ABCD 内任一点，求证：点P 到四面体各面的距离和为定值．
提示：将四面体以点P 为顶点分割为四个三棱锥，由体积和为定值来证明距离和为定值． 答案：距离和等于正四面体的高．
●板书设计
●备课资料
与球有关的综合问题的解决方法
与球有关的综合问题，常常体现在球与其他几何体相接相切问题中，它是知识与能力的结合，要求我们对球的定义及其性质熟练掌握．并要注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，达到巩固知识，提升能力的目的．下面通过对例题的分析，体会其中的数学思想与方法． ［例题］圆锥的内切球半径为r ，求圆锥体积的最小值．
分析：通过作圆锥的轴截面及它截内切球所得的截面圆，寻找圆锥与球之间的主要元素关系，使问题获解．
解：如图，设圆锥母线与底面所成的角为2α，则圆锥的底面半径R ＝αtan r
，
高h ＝R ·tan2α＝αα
αα22
tan 12tan 1tan 2tan -=-⋅r r ．
圆锥的体积V ＝31πR 2h ＝31πα2
2tan r ·α2tan 12-r ＝32
πr 3·
)tan 1(tan 12
2αα-
≥32πr
3222)2tan 1tan (1
αα-+＝38
πr 3．
当且仅当tan 2α＝1-tan 2α，即tan α＝
2
2
，
α＝arctan
2
2时，取等号．
又∵
0<α<4π，
∴ arctan
2
2∈(0，4π)，
∴
V 的最小值为3
8π
r 3．
评述：解决这个问题的关键是通过作一合适的截面，使空间问题转化为平面问题．。