2019-2020年高考数学函数的连续性复习教案

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2019-2020年高三数学第78课时函数的极限和连续性教案

2019-2020年高三数学第78课时函数的极限和连续性教案教学目标：了解函数极限的概念；掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限；了解函数连续的意义；理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质（一）主要知识及主要方法：函数极限的定义:当自变量取正值并且无限增大时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向于正无穷大时，函数的极限是，记作：，或者当时，；当自变量取负值并且绝对值无限增大时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向于负无穷大时，函数的极限是.记作或者当当时，如果且，那么就说当趋向于无穷大时，函数的极限是，记作：或者当时， .常数函数: ()，有.存在，表示和都存在，且两者相等所以中的既有，又有的意义，而数列极限中的仅有的意义.趋向于定值的函数极限概念：当自变量无限趋近于（）时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向时，函数的极限是，记作.特别地，；.000lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=⇔==. 其中表示当从左侧趋近于时的左极限，表示当从右侧趋近于时的右极限.对于函数极限有如下的运算法则：如果，,那么,, .当是常数，是正整数时:,这些法则对于的情况仍然适用.函数在一点连续的定义: 如果函数在点处有定义，存在，且，那么函数在点处连续.函数在内连续的定义：如果函数在某一开区间内每一点处连续，就说函数在开区间内连续，或是开区间内的连续函数.函数在上连续的定义：如果在开区间内连续，在左端点处有，在右端点处有就说函数在闭区间上连续,或是闭区间上的连续函数.最大值：是闭区间上的连续函数，如果对于任意，≥，那么在点处有最大值.最小值：是闭区间上的连续函数，如果对于任意，≤，那么在点处有最小值.最大值最小值定理如果是闭区间上的连续函数，那么在闭区间上有最大值和最小值.极限问题的基本类型：分式型，主要看分子和分母的首项系数；指数型(和型），通过变形使得各式有极限；根式型(型)，通过有理化变形使得各式有极限；根的存在定理：若①函数在上连续，②，则方程至少有一根在区间内；若①函数在上连续且单调，②，则方程有且只有一根在区间内.（二）典例分析：问题1．求下列函数的极限：；；；2cos lim cos sin 22x x x x π→-；；();（广东）（陕西）问题2．若，求、的值.设，若，求常数、的值.（重庆）设正数满足，则问题3．讨论下列函数在给定点处的连续性.，点；，点；试讨论函数20()13,02x f x x x >=⎨⎪+⎪⎩≤，点问题4．已知()()()0()101x a x f x x x b x +⎧=-<<⎨⎪=-⎪⎩≥ ，在区间上连续，求（届高三四川眉山市一诊）已知函数()()1()3log 1a b a x f x x x b x ⎧-<⎪=-⎨⎪+⎩≥在上连续且单调递增，则实数问题5．已知函数，当时，求的最大值和最小值；解方程；求出该函数的值域.问题6．证明：方程至少有一个小于的正根.（三）课后作业：已知，求的值.若（、为常数），则；已知（），那么给一个定义，使在处连续，则应是（济南一模）设是一个一元三次函数且，，则设函数在处连续，且，则（四）走向高考：（江西）若，则（湖北）若，则常数的值为（天津）设，，，则（四川）（江西）等于等于等于不存在（天津）设等差数列的公差是，前项的和为，则（全国Ⅱ）已知数列的通项，其前项和为，则（湖南）下列四个命题中，不正确．．．的是若函数在处连续，则函数的不连续点是和若函数，满足，则（安徽）如图，抛物线与轴的正半轴交于点，将线段的等分点从左至右依次记为，…，，过这些分点分别作轴的垂线，与抛物线的交点依次为，…，，从而得到个直角三角形212121n n n Q PP Q P P ---△，，△．当时，这些三角形的面积之和的极限为（江西）已知函数21(0)()2(1)xc cx x c f x k c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+<⎩≤在区间内连续，且．求实数和的值；解不等式．y xO（广东）设函数，其中常数为整数.当为何值时，≥；定理：若函数在上连续，且与异号，则至少存在一点，使得.试用上述定理证明：当整数时，方程在内有两个实根.2019-2020年高三数学第80课时导数的应用教案教学目标：理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.（一）主要知识及主要方法：利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤:求;确定在内符号;若在上恒成立，则在上是增函数；若在上恒成立，则在上是减函数①为增函数（为减函数）.②在区间上是增函数≥在上恒成立；在区间上为减函数≤在上恒成立.极大值：一般地，设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，就说是函数的一个极大值，记作极大值，是极大值点.极小值：一般地，设函数在附近有定义，如果对附近的所有的点，都有就说是函数的一个极小值，记作极小值，是极小值点.极大值与极小值统称为极值在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：（）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.（）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极xs大值或极小值可以不止一个.（）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而>.（）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.当在点连续时，判别是极大、极小值的方法:若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值.求可导函数的极值的步骤:确定函数的定义区间，求导数求方程的根用函数的导数为的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么在这个根处无极值.如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点 .函数的最大值和最小值: 一般地，在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值．说明：在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如函数在内连续，但没有最大值与最小值；函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.利用导数求函数的最值步骤:由上面函数的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数在上连续，在内可导，则求在上的最大值与最小值的步骤如下：求在内的极值；将的各极值与、比较得出函数在上的最值p求参数范围的方法：①分离变量法；②构造（差）函数法.构造函数法是证明不等式的常用方法：构造时要注意四变原则：变具体为抽象，变常量为变量，变主元为辅元，变分式为整式.通过求导求函数不等式的基本思路是：以导函数和不等式为基础，单调性为主线，最(极值）为助手，从数形结合、分类讨论等多视角进行综合探索.（二）典例分析：问题1．（届云南平远一中五模）函数在定义域内可导，其图象如图所示，记的导函数为，则不等式的解集为⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤ ⎝⎛--3,38]34,21[1,23 已知，的反函数为，则（大连一模）设均是定义在上的奇函数，当时，，且，则不等式的解集是问题2．如果函数在区间上单调递增，并且方程的根都在区间内，则的取值范围为（届高三浙江上虞市调研）已知，那么在区间上单调递增在上单调递增在上单调递增在上单调递增函数，（Ⅰ）求的单调区间和极值；（Ⅱ）若关于的方程有个不同实根，求实数的取值范围.（Ⅲ）已知当时，≥恒成立，求实数的取值范围.问题3．（天津）已知函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值．问题4．（湖北）已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．（Ⅰ）用表示，并求的最大值；（Ⅱ）求证：≥（）．问题5．利用导数求和：21123n n S x x nx -=+++⋅⋅⋅+（, ）.12323n n n n n n S C C C nC =+++⋅⋅⋅+（）.（三）课后作业：已知函数，则方程在区间上的根有个个个个（郑州一中等四校联考）若函数在上可导且满足不等式恒成立，且常数满足，则下列不等式一定成立的是求满足条件的的范围：使为上增函数，则的范围是使为上增函数，则的范围是使为上增函数，则的范围是证明方程在上至多有一实根.（届高三陕师大附中八模）如果是二次函数, 且的图象开口向上, 顶点坐标为, 那么曲线上任一点的切线的倾斜角的取值范围是（届厦门双十中学高三月考）如图，是函数的大致图像，则等于（天津）函数的定义域是开区间, 导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点个个个个（届高三哈尔滨第三中学第一次月考）Array函数的图象如图所示，且，则有已知：，证明不等式：设恰有三个单调区间，试确定的取值范围，并求出这三个单调区间（届高三福建质检）已知函数在处取得极值．求实数的值；若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围；证明：对任意的正整数，不等式都成立．（四）走向高考：（陕西）是定义在上的非负可导函数，且满足≤．对任意正数，若，则必有≤≤≤≤(江苏)已知二次函数的导数为，，对于任意实数，有≥，则的最小值为（全国）函数在下面哪个区间内是增函数（重庆）曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为，则（全国）已知是正整数且，求证：（重庆）已知函数44()ln (0)f x ax x bx c x =+->在处取得极值，其中为常数．（Ⅰ）试确定的值；（Ⅱ）讨论函数的单调区间；（Ⅲ）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．（海南）设函数（Ⅰ）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；（Ⅱ）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．（全国Ⅰ）设函数．（Ⅰ）证明：的导数；（Ⅱ）若对所有都有，求的取值范围．（全国Ⅱ文）若函数()3211()1132f x x ax a x =-+-+在区间内为减函数，在区间内为增函数，试求实数的取值范围.。

2019-2020年高三数学第08课时第二章函数函数的概念专题复习教案

2019-2020年高三数学第08课时第二章函数函数的概念专题复习教案一．课题：函数的概念二．教学目标：了解映射的概念,在此基础上加深对函数概念的理解；能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数；理解分段函数的意义．三．教学重点：函数是一种特殊的映射,而映射是一种特殊的对应；函数的三要素中对应法则是核心，定义域是灵魂．四．教学过程：（一）主要知识：1．对应、映射、像和原像、一一映射的定义；2．函数的传统定义和近代定义；3．函数的三要素及表示法．（二）主要方法：1．对映射有两个关键点：一是有象，二是象惟一，缺一不可；2．对函数三要素及其之间的关系给以深刻理解，这是处理函数问题的关键；3．理解函数和映射的关系，函数式和方程式的关系．（三）例题分析：例1．（1），，；（2），，；（3），，．上述三个对应（2）是到的映射．例2．已知集合，映射，在作用下点的象是，则集合（） {}(,)|2,0,0x y x y x y +=>> {}(,)|1,0,0x y xy x y =>>{}(,)|2,0,0x y xy x y =<< {}(,)|2,0,0x y xy x y =>>解法要点：因为，所以．例3．设集合，，如果从到的映射满足条件：对中的每个元素与它在中的象的和都为奇数，则映射的个数是（）8个 12个 16个 18个解法要点：∵为奇数，∴当为奇数、时，它们在中的象只能为偶数、或，由分步计数原理和对应方法有种；而当时，它在中的象为奇数或，共有种对应方法．故映射的个数是．例4．矩形的长，宽，动点、分别在、上，且，（1）将的面积表示为的函数，求函数的解析式；（2）求的最大值．解：（1）2111()408(5)5(8)222ABCD CEF ABE ADF S f x S S S S x x x ∆∆∆==---=--⨯⨯--⨯⨯-22113113169()22228x x x =-+=--+． ∵，∴， ∴函数的解析式：2113169()()(05)228S f x x x ==--+<≤；（2）∵在上单调递增，∴，即的最大值为．例5．函数对一切实数，均有()()(21)f x y f y x y x +-=++成立，且，（1）求的值；（2）对任意的，，都有成立时，求的取值范围．解：（1）由已知等式()()(21)f x y f y x y x +-=++，令，得，又∵，∴．（2）由()()(21)f x y f y x y x +-=++，令得，由（1）知，∴． ∵，∴22111111()2()24f x x x x +=+=+-在上单调递增，∴．要使任意，都有成立，当时，,显然不成立．当时，，∴0113log 24a a <<⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得 ∴的取值范围是．（四）巩固练习：1．给定映射，点的原象是或．2．下列函数中，与函数相同的函数是（）3．设函数3,(10)()((5)),(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则＝．。

2019-2020年高考数学函数的连续性复习教案

考纲要求：函数的连续性.(2)了解数列极限和函数极限的概念.(3)掌握极限的四则运算法则；会求某些函数的极限.(4)了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质。

在某点可导的函数一定在该点处连续，反之不然。

知识点归纳1、函数在一点连续的定义: 如果函数在点处有定义，存在，且，那么函数在点处连续。

2、函数在(a，b)内连续的定义：如果函数在某一开区间(a，b)内每一点处连续，就说函数在开区间(a，b)内连续，或是开区间(a，b)内的连续函数。

3、函数在［a，b］上连续的定义：如果在开区间(a，b)内连续，在左端点x=a处有，在右端点x=b处有,就说函数在闭区间［a，b］上连续,或是闭区间［a，b］上的连续函数。

4、最大值是闭区间［a，b］上的连续函数，如果对于任意，，那么在点处有最大值。

5、最小值是闭区间［a，b］上的连续函数，如果对于任意，，那么在点处有最小值。

6、最大值最小值定理如果是闭区间［a，b］上的连续函数，那么在闭区间［a，b］上有最大值和最小值。

从近几年的高考试题来看，对本节内容的考查，主要以选择题或填空题的形式出现，一般只有一个小题。

【试题举例】（xx. 福建理）设函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=11xaxxxxf在x=0处连续，则实数a的值为 . 解析：∵()()()21111lim111111lim11lim=++=++++-+=-+→→→xxxxxxxxxx（xx年四川理）已知下面结论正确的是x=1处连续（B）（C）（D）【考点分析】本题考查函数的连续性概念，基础题。

解析：由题知，而，∴正确的结论是，选D.【窥管之见】函数的连续性质是选修2的一个重要内容，对于高等数学的学习具有重要意义，辽宁卷)极限存在是函数在点处连续的（B ）．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件2019-2020年高考数学单元考点复习10 等比数列教学目的：1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.深刻理解等比中项概念.3.熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法教学重点：等比中项的理解与应用教学难点：灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：首先回忆一下上一节课所学主要内容：1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：=q （q ≠0）2.等比数列的通项公式:，3．｛｝成等比数列=q （,q ≠0）“≠0”是数列｛｝成等比数列的必要非充分条件4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．二、讲解新课：1．等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，那么称这个数G 为a 与b 的等比中项. 即G =±（a ,b 同号）如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，则ab G ab G Gb a G ±=⇒=⇒=2，反之，若G =ab ,则，即a ,G ,b 成等比数列∴a ,G ,b 成等比数列G =ab （a ·b ≠0）2．等比数列的性质：若m+n=p+k ，则在等比数列中，m+n=p+q ，有什么关系呢？由定义得：11n 11 --==n m m q a a q a a 11k 11 --⋅==k p p q a a qa a ，则3．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法4．等比数列的增减性：当q>1, >0或0<q<1, <0时, {}是递增数列;当q>1, <0,或0<q<1, >0时, {}是递减数列;当q=1时, {}是常数列;当q<0时, {}是摆动数列;三、例题讲解例1 已知：b 是a 与c 的等比中项，且a 、b 、c 同号，求证： 3,3,3abc ca bc ab c b a ++++ 也成等比数列证明：由题设：b 2=ac 得： 22333)3(333ca bc ab bc b ab b c b a abc c b a ++=++=⨯++=⨯++ ∴3,3,3abc ca bc ab c b a ++++ 也成等比数列例2 已知是项数相同的等比数列，求证是等比数列.证明：设数列的首项是，公比为;的首项为，公比为，那么数列的第n 项与第n+1项分别为：n n nn n n q q b a q q b a q b q a q b q a )()(2111121112111121111与即为与---⋅⋅⋅⋅⋅⋅ .)()(2112111211111q q q q b a q q b a b a b a n nn n n n ==⋅⋅-++ 它是一个与n 无关的常数，所以是一个以q 1q 2为公比的等比数列.例3 (1) 已知{}是等比数列，且252,0645342=++>a a a a a a a n , 求(2) a ≠c,三数a, 1, c 成等差数列，成等比数列，求解：(1) ∵{}是等比数列，∴ ＋2＋＝(＋)＝25,又>0, ∴＋＝5;(2) ∵a, 1, c 成等差数列, ∴ a ＋c ＝2,又a, 1, c 成等比数列, ∴a c ＝1, 有ac ＝1或ac ＝－1,当ac ＝1时, 由a ＋c ＝2得a ＝1, c ＝1,与a ≠c 矛盾，∴ ac ＝－1, 62)(222=-+=+ac c a c a∴ .例4 已知无穷数列 ,10,10,10,1051525150-n ，求证：（1）这个数列成等比数列（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的，（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中证：（1）5152511101010==---n n n n a a （常数）∴该数列成等比数列（2）101101010154515===-+-+n n n n a a ，即：（3）525151101010-+--==q p q p q p a a ，∵，∴∴且，∴，（第项）例5 设均为非零实数，()()0222222=+++-+c b d c a b d b a ，求证：成等比数列且公比为证一：关于的二次方程()()0222222=+++-+c b d c a b d b a 有实根， ∴()()0442222≥+-+=∆b a c a b ，∴则必有：，即，∴成等比数列设公比为，则，代入()()024********=+++-+q a q a d aq a aq d q a a∵，即，即证二：∵()()0222222=+++-+c b d c a b d b a ∴()()022222222=+-++-c bcd d b babd d a ∴，∴，且∵非零，∴四、练习： 1．求与的等差中项；解：(＋)＝5;2．求a ＋ab 与b ＋ab 的等比中项解：±＝±ab(a ＋b).五、小结本节课学习了以下内容：1．若a ，G ，b 成等比数列，则叫做与的等经中项.2．若m+n=p+q ，3．判断一个数列是否成等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法六、课后作业：1、在等比数列，已知，，求解：∵，∴2、在等比数列中，，求该数列前七项之积解：()()()45362717654321b b b b b b b b b b b b b b =∵53627124b b b b b b b === ，∴前七项之积3、在等比数列中，，，求，解：145825454255358-=-⨯=⋅==a a a q a a 另解：∵是与的等比中项，∴∴七、板书设计（略）八、课后记：。

2019-2020年高考数学第二轮专题复习教案函数的性质及其应用人教版

2019-2020年高考数学第二轮专题复习教案函数的性质及其应用人教版考情动态分析函数是高中数学中的重要内容，函数的观点和方法贯穿整个高中数学的全过程，函数也是一条纽带，它把中学数学各个分支紧紧地连在一起，特别是新教材中的导数的涉入，使函数的内容更加充实、方法更加灵活，自然就成为高考的重点和热点．近几年高考试题中函数部分占有相当大的比重，所考查的内容主要有函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、反函数以及函数图象的变换等．其中多项式函数（含二次函数）、指数函数、对数函数仍是重点考核的内容．高考主要涉及：①直接通过具体函数考查某些性质；②以导数为工具围绕函数、不等式、方程综合考查；③函数与解析几何、数列等内容结合在一起，以曲线方程的变换、参数范围的探求及最值问题等综合性强的新颖试题．如xx年高考试题中的3、5、7、9题，xx年高考试题（江苏卷）中的8、11、22题，xx年高考试题（江苏卷）中的2、13、15、17、22题．二轮复习时要注意引导学生用函数的思想和方法去看待问题、解决问题，并揭示其内在联系．纵观近几年来的高考试题，以基础层次或中档难度的试题考查函数的图象，特别是图象的平移、对称变换，充分体现了图象在解题中的作用（数形结合的思想）．以中等难度、组合形式一题多角度考查函数的性质预计成为新的热点或方向．函数极易与不等式、方程、最值、参数的取值范围的探求及数形结合、解析几何综合在一起编拟综合性较强的高档解答题来测试对函数思想方法的理解与灵活运用，考查等价转化及数形结合、分类讨论等解题策略的理解和掌握程度．§1.1 函数的性质考点核心整合函数的性质主要体现在五个方面：1．能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域．确定函数定义域时，常从以下几个方面考虑：（1）分式的分母不等于0；（2）偶次根式被开方数大于等于0；（3）对数式的真数大于零，底数大于0且不等于1；（4）指数为0时，底数不等于0．定义域经常和判定函数的奇偶性、求函数单调区间、求参数范围或解函数相关不等式相关联，在函数有意义的条件下转化求解．2．函数的值域在函数y= f(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．确定函数的值域的原则：（1）当函数y = f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合；（2）当函数y = f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y 的集合；（3）当函数y = f (x )用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；（4）当函数由实际问题给出时，函数的值域由实际问题的实际意义确定．值域的求法比较多，注意选择不同条件的适用性．如：判别式法、三角代换法、反函数法、不等式法、单调性法、图象法、数形结合法、导数法．值域往往与实际问题中的最优值或数列问题相关联． 3．函数的奇偶性如果对于函数y = f (x )定义域内的任意一个x ，都有f (-x ) = – f (x )[ f (-x ) = f (x )] ，那么函数f (x )就叫做奇函数（偶函数）．在此定义中，只有当函数定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称，这个函数才可能具有奇偶性，然后再作判断． 4．函数的单调性函数的单调性是函数的又一个重要性质．给定区间D 上的函数f (x )，若对于任意x 1、x 2∈D ，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2) [f (x 1)＞f (x 2)]，则称在区间D 上为单调函数．反映在图象上，若函数f (x )是区间D 上的增（减）函数，则图象在D 上的部分从左向右是上升（下降）的．或如果函数f(x)在给定区间(a ，b )上恒有f '(x )＞0[f '(x )＜0]，则称f (x )在区间(a ，b )上是增（减）函数，(a ，b )为f (x )的单调增（减）区间． 5．函数的周期性设函数y = f (x )，x ∈D ，如果存在非零常数T ，使得任何x ∈D ，都有f (x + T ) = f (x )，则函数f (x )为周期函数，T 为y = f (x )的一个周期．周期性往往和单调性、奇偶性、函数的图象及其解析式相关联出现．注意从代数变换角度分析．考题名师诠释【例1】设函数f (x ) = - x1 + |x |（x ∈R ），区间M = [a ，b ](a ＜b ），集合N = {y |y = f (x )，x ∈M }，则使M = N 成立的实数对(a ，b )A ．0个B ．1个C ．2个D 解析由f (-x ) = -f (x )，可得f (x ) = - x1 + |x |是奇函数，故f (x )的图象关于原点成中心对称．当x ＞0时，f (x ) = -x1 + x，据此可以作出f (x )在x ∈R 上的图象（如图所示）．观察f (x )的图象可知，f (x )在R 上是减函数，要使M = [a ，b ](a ＜b )与N = {y |y = f (x )，x ∈M }相等，必须a ＜0，b ＞0（由图可知a 、b 同号显然不能满足题意）．故有⎩⎨⎧ f (a ) = b ，f (b ) = a ．即⎩⎨⎧ - a 1 - a = b ， - b 1 - b = a ．，解得a = b = 0，与题设a ＜b 矛盾，从而不存在满足题意的实数对(a ，b )，应选A ．答案 A评述本题为存在性问题，它融函数的定义域、值域、奇偶性、单调性及函数图象于一炉，颇有新意，解题时要善于从函数表达式中捕捉函数的性质，通过考察函数图象的特征来处理问题，这就需要我们有较强的数形转化能力．【例2】已知函数f (x ) = 13x 3 + 12ax 2+ 2bx + c 在(0，1)内取得极大值，在(1，2)内取得极小值，求b - 2a - 1的取值范围．解 f '(x ) = x 2+ ax + 2b ．依题意，方程x 2+ ax + 2b = 0的一个根大于0且小于1，另一个根大于1且小于2．于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>'<'>'0)2(0)1(0)0(f f f ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<++>++>012020b a b a b不等式组表示的平面区域如右图所示，其中A (-2，1)，B (-1，0)，D (1，2)．设C (a ，b )为可行域（阴影部分）内任一点，而b - 2a - 1的几何意义为直线CD 的斜率．由图可知k BD ＞k CD ＞k AD ，故 14＜b - 2a - 1＜1．评述通过对函数f (x )求导，将f (x )在(0，1)内取得极大值、在(1，2)内取得极小值的问题转化为研究二次方程f '(x ) = x 2+ ax + 2b = 0根的分布问题，利用二元一次不等式组的几何背景，联系斜率公式，运用数形结合的数学思想求得取值范围．深化拓展若此题条件不变，结论改为：求a 2+ b 2的取值范围．答案：1＜a 2+ b 2＜5【例3】设偶函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数（b ＞a ＞0），试判断F (x ) = (12)f (x ) – x在区间[-b ，-a ]上的单调性，并加以证明．解 ∵f (x )是偶函数，且在[a ，b ]上单调递增．∴f (x )在[-b ，-a ]上单调递减，f (x ) - x 在[-b ，-a ]上单调递减．故F (x ) = (12)f (x ) - x在[-b ，-a ]上单调递增．证明：设-b ≤x 1＜x 2≤-a ，a ≤-x 2＜-x 1≤b ，∴F (x 1)F (x 2) = (12)f (x 1) - x 1(12)f (x 2) - x 2 = (12)f (x 1) – f (x 2) + (x 2 – x 1) = (12)f (–x 1) – f (–x 2) + (x 2 – x 1)． ∵f (x )在上[a ，b ]单调递增，f (–x 1)＞f (–x 2)，∴f (–x 1) – f (–x 2) + (x 2 – x 1)＞0．∴0＜(12)f (–x 1) – f (–x 2) + (x 2 – x 1)＜1．∴F (x 1)F (x 2)＜1．故F (x 1)＜F (x 2)．∴F (x )为[-b ，-a ]上的增函数．评述本题是采用定义法证明函数的单调性，也是最通用的方法，此外还有利用基本函数性质递推、导数法等方法．【例4】（xx 年上海模拟）已知集合M D 上满足下列性质的函数的全体：对于定义在D 中的任何两个自变量x 1、x 2(x 1≠x 2)，都有|f (x 1) – f (x 2)|＜|x 1 – x 2|成立．（1）当D = R 时，f (x ) = x cos+ sin[∈(0，π)]是否属于M D ，为什么？（2）当D = R +时，试证明函数f (x ) = ax(0＜a ＜1)不属于M D ．（3）是否存在一个集合D R +时，使得函数f (x ) = a x(0＜a ＜1)属于M D ？给出你的结论，并说明理由．（1）解设任意x 1、x 2∈R (x 1≠x 2)，|f (x 1) – f (x 2)| = |( x 1 – x 2)cos| = |cos|| x 1 – x 2|，∵∈(0，π)，∴|cos|∈[0，1）．又∵| x 1 – x 2|＞0，∴|f (x 1) – f (x 2)|＜| x 1 – x 2|成立．故f (x ) = x cos+ sin ，∈(0，π)属于M D ．（2）证明当D = R +时，f (x ) = a x(0＜a ＜1)不属于M D ．举例：令x 1 = a n，x 2 =a n + 1（n ∈N *），此时| x 1 – x 2| = |a n – a n + 1| = an (n + 1)＜a ．而|f (x 1) – f (x 2)| = |n – (n + 1)| = 1＞a ，则|f (x 1) – f (x 2)|＞| x 1 – x 2|． ∴f (x ) = ax(0＜a ＜1)不属于M D ．（3）解存在一个集合D R +，使f (x ) = a x(0＜a ＜1)属于M D ．设x 1、x 2∈R +，且x 1≠x 2．若|f (x 1) – f (x 2)| = |a x 1 – a x 2|=a | x 1 – x 2|x 1x 2＜| x 1 – x 2|成立，∵| x 1 – x 2|＞0，∴只需x 1x 2＞a 成立．故存在D = (a ，+∞)时，任取x 1、x 2∈(a ，+∞)都有|f (x 1) – f (x 2)|＜| x 1 – x 2|成立． ∴存在一个集合D R +，使f (x ) = a x(0＜a ＜1)属于M D ．（注：D 的存在是不唯一的，对于的非空子集均正确）考能提升训练一、选择题1．（xx 年全国卷Ⅰ，理7）设b ＞0，二次函数y = ax 2+ bx + a 2– 1的图象为下列之一，则a 的值为……………………… （） A ．1B ．-1C ．-1-52D ．-1+52（1）（2）（3）（4）2．设函数f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (1)＞0，f (2) = (a + 1)(2a – 3)，则a 的取值范围是…………………………………………………… （） A ．a ＜32B ．a ＜32且a ≠-1C ．a ＞32或a ＜-1D ．-1＜a ＜323．(xx 年黄冈模拟)设函数f (x ) = log a x (a ＞0且a ≠1)，若f (x 1x 2…x xx ) = 8，则f (x 12) + f (x 22)+ … + f (x xx 2)的值等于………………………………… （） A ．4B ．8C ．16D ．2log a 84．函数在y = a x 在[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则a 等于………………（） A ．12B ．2C ．4D ．145．(xx 年全国卷Ⅰ，8)设0＜a ＜1，函数f (x ) = log a (a 2x– 2a x– 2)，则使f (x )＜0的x的取值范围是 A ．(-∞，0) B ．(0，+∞) C ．(-∞，log a 3) D ．(log a 3，+∞)二、填空题6．(xx 年北京海淀模拟)函数y = x 2的图象F 按向量a = (3，-2)平移得到F'，则F' 的解析式为．7．已知f (x )是R 上的奇函数，且f (12 - x ) = f (12 + x )，则f (1) + f (2) + f (3) = ．三、解答题8．已知函数y = 12log a (a 2x )·log a (ax )(2≤x ≤4)的最大值是0，最小值是- 18，求a 的值．9．已知f (x )是定义在[-1，1]上的奇函数，当a 、b ∈[-1，1]，且a + b ≠0时，有f (a ) + f (b )a + b＞0．（1）判断函数f (x )的单调性，并给以证明；（2）若f (1) = 1，且f (x )≤m 2– 2bm + 1对所有x ∈[-1，1]，b ∈[-1，1]，恒成立，求实数m 的取值范围．10．(xx 年山东卷，19)已知x = 1是函数f (x ) = mx 3– 3(m + 1)x 2+ nx + 1的一个极值点，其中m 、n ∈R ，m ＜0．（1）求m 与n 的关系表达式；（2）求f (x )的单调区间；（3）当x ∈[-1，1]时，函数y = f (x )的图象上任意一点的斜率恒大于3m ，求m 的取值范围．简明参考答案一、1．B 2．D 3．C 4．B 5．C 二、6．y = x 2– 6x + 7 7．0三、8．129．（1）增函数，证明略；（2）m ∈(-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞)． 10．（1）n = 3m + 6；（2）f (x )在(-∞，1 + 2m )，（1，+∞）上单调递减，在(1 + 2m，1)上单调递增；（3）-43＜m ＜0．。

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2019-2020学年高考数学第一轮复习函数的运用学案（一）知识归纳：1．对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x 、y 分别表示问题中的变量；2．建立函数模型：将变量y 表示为x 的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；3．求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.这些步骤用框图表示：（二）学习要点：1、解决函数应用问题应着重培养下面一些能力：⑴.阅读理解、整理数据的能力：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；⑵.建立函数模型的能力：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；⑶.求解函数模型的能力：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大（小）值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用。

2、常见的可用函数思想解决的问题：⑴几何问题：平面几何、立体几何、解析几何； ⑵行程问题； ⑶工程设计问题；⑷营销问题：利润=销售价—进货价；⑸单利问题：设本金为P ，期利率为r ，则n 期后本利和(1)n S P nr =+； ⑹复利问题：设本金为P ，期利率为r ，则n 期后本利和(1)nn S P r =+；⑺变化率问题； ⑻决策问题； ⑼相关学科问题。

3、认识和体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。

（三）练习题:1.某市有小灵通与全球通两种手机，小灵通手机的月租费为25元，接听电话不收费，打出电话一次在3 min 以内收费0.2元，超过3 min 的部分为每分钟收费0.1元，不足1 min 按1min 计算（以下同）.全球通手机月租费为10元，接听与打出的费用都是每分钟0.2元.若某人打出与接听次数一样多，每次接听与打出的时间在1 min 以内、1到2 min 以内、2到3 min 以内、3到4 min 以内的次数之比为4∶3∶1∶1.问，根据他的通话次数应该选择什么样的手机才能使费用最省？（注：m 到m +1 min 以内指含m min ，而不含m +1 min ）解：设小灵通每月的费用为y 1元，全球通的费用为y 2元，分别在1 min 以内、2 min 以内、3 min 以内、4 min 以内的通话次数为4x 、3x 、x 、x ，则y 1=25+（4x +3x +x +x ）×0.2+0.1x =25+1.9x ，y 2=10+2（0.2×4x +0.4×3x +0.6x +0.8x ）=10+6.8x . 令y 1≥y 2，即25+1.9x ≥10+6.8x ，解得x ≤9.415≈3.06. ∴总次数为（4+3+1+1）×2×3.06=55.1.2.某影院共有1000个座位，票价不分等次。

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2019-2020学年高考数学一轮复习函数的定义与表示教案一、考纲要求：函数的概念(B 级要求) 二、复习目标：理解函数的概念，会判断同一函数；会选择恰当的方法表示函数且能求常见函数的函数值；能写出简单情境中的分段函数；会画函数的图象．三、重点难点：会判断同一函数、选择恰当的方法表示函数、求常见函数的函数值．四、要点梳理：每个元素x (1)函数的定义域、值域：在函数(),y f x x A =∈中，所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数()y f x =的______；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合(){}f x x A ∈叫做函数的，函数()y f x =的值域是集合B 的．（2）函数的三要素：___________,__________,___________.(3) 相等函数：________________________________________________________． 3．函数的表示方法：___________,__________,___________.4．分段函数：________________________________________________________．五、基础自测：1．设集合{}{}|12,|14A x x B x x =≤≤=≤≤，有以下四个对应法则：①2:f x y x →=；②:32f x y x →=-；③:4f x y x →=-+；④2:4f x y x →=-，其中不能构成从A 到B 的函数的是____________.2．以下给出的对应法则是从集合到B 的映射的有 (填序号)．①集合{}A P P =是数轴上的点，集合B =R ，对应法则:f 数轴上的点与它所代表的实数对应；②集合{}A P P =是平面直角坐标系中的点，集合(){},,B x y x y =∈∈R R ，对应法则:f 平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；③集合{},A x x =是三角形集合{}B x x =是圆，对应法则:f 每一个三角形都对应它的内切圆；④集合{A x x =是致远}中学的班级，集合{}B x x =是致远中学的学生，对应法则:f 每一个班级都对应班里的学生.3．已知函数(),()f x g x 分别由列表法给出：1则((1))__________;(())(())f g f g x g f x =>的______x =．4．下列函数中：22lg (1);(2));(3)10;(4)lg10,xx x y y y y x====与函数y x =表示同一函数的是___________.5．若()()()()11f a b f a f b f +==且，()()()()()()232014122013f f f f f f +++= ．六、典例精讲:例1:求函数的解析式及函数值（1）已知2(1)lg ,f x x+=求()f x ；（2）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；（3）定义在N 上的函数()f x 满足2(2000)(),((6))(2000)n n f n f f n n +≤⎧=⎨->⎩求(2014)f 的值．变式：（1）设2(1),f x x -=则1()_______2f =；(2) 已知2211()1(0),f x x x x x +=++>则 ()f x = ；（3）设2(4)()(1)(4)x x f x f x x -⎧≥=⎨+<⎩，则2(log 3)f = ．例2：已知函数()21, 01 , 0, <0x x f x x x x -⎧>⎪==⎨⎪-⎩．（1）画出函数的图象；（2）求()()()()1,1,1f f ff --的值．例3:如图，在边长为4的正方形ABCD 上有一点P ，沿着折线BCDA 由B 点（起点）向A 点（终点）移动，设点P 移动的路程为x ，ABP ∆的面积为()y f x =．（1）求ABP ∆的面积与点P 移动的路程间的函数关系式；（2）作出函数的图象，并由图象求的最大值．A D例4：已知定义域为R 的函数()f x 满足22(())()f f x x x f x x x -+=-+ （1）若(2)3f =，求(1)f ；（2）若(0)f a =，求()f a ；（3）设有且仅有一个实数0x ，使得00()f x x =，求()f x 的解析式．七、千思百练1．若[]()21,1,5f x x x =+∈，则(23)________________f x -=．2．有以下判断：①()()()()1010x xf xg x x x ≥⎧⎪==⎨-<⎪⎩与表示同一个函数；②函数()y f x =的图象与直线1x =的交点最多有1个；③()()2221,21f x x x g t t t =-+=-+与是同一个函数；④若()11,02f x x x f f ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭则．其中正确的是 (填序号). 3．已知2log (0)().2(0)x x x f x x >⎧=⎨≤⎩若1()2f a =，则_________a =．4．已知2(1cos )sin f x x -=，则()________________f x =5．函数()f x 对于任意实数x 满足条件1(2)()f x f x +=，若(1)5f =-，则((5))___f f =． 6．设函数()22 11x x f x x x -⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，若()4f a >，则实数a 的取值范围是．7．设集合()()()()(){}11M f x t f x f t f t f =+=+存在实数使得函数满足，则下列函数(,,,a b c k 都是常数)：①()0,0y kx b k b =+≠≠； ②()1xy a a =>；③()0ky k x=≠； ④sin y x =．其中属于集合M 的函数是 (填序号)． 8．已知集合{}{}421,2,3,,4,7,,3,,,,,A k B a a a a k x A y B *==+∈∈∈N :31f x y x →=+是从定义域A 到值域B 的一个函数，求,a k 的值．9.已知二次函数()2f x ax bx =+满足条件：①对任意x ∈R ，均有()()42f x f x -=-；②函数()f x 的图象与直线y x =相切．(1)求()f x 的解析式；(2)当且仅当[]4,x m ∈时，()f x t x -≤恒成立，试求,t m 的值．10．函数()f x 对一切实数,x y 均有()()()21f x y f y x x y +-=++成立，且()10f =． (1)求()0f 的值；(2)试确定函数()f x 的解析式八、学后反思。

2019-2020年高考数学复习函数问题的题型与方法教案苏教版

2019-2020年高考数学复习函数问题的题型与方法教案苏教版一．复习目标：1．了解映射的概念，理解函数的概念。

2．了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程。

3．了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数。

4．理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质。

5．理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质。

6．能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题。

二．考试要求：1．灵活运用函数概念、性质和不等式等知识以及分类讨论等方法，解函数综合题。

2．应用函数知识及思想方法，解决函数的最值问题、探索性问题与应用性问题，提高分析问题和解决问题的能力。

三．教学过程：（Ⅰ）函数的概念型问题函数概念的复习当然应该从函数的定义开始．函数有二种定义，一是变量观点下的定义，一是映射观点下的定义．复习中不能仅满足对这两种定义的背诵，而应在判断是否构成函数关系，两个函数关系是否相同等问题中得到深化，更应在有关反函数问题中正确运用．具体要求是：1．深化对函数概念的理解，明确函数三要素的作用，并能以此为指导正确理解函数与其反函数的关系．2．系统归纳求函数定义域、值域、解析式、反函数的基本方法．在熟练有关技能的同时，注意对换元、待定系数法等数学思想方法的运用．3．通过对分段定义函数，复合函数，抽象函数等的认识，进一步体会函数关系的本质，进一步树立运动变化，相互联系、制约的函数思想，为函数思想的广泛运用打好基础．本部分内容的重点是不仅从认识上，而且从处理函数问题的指导上达到从三要素总体上把握函数概念的要求，对确定函数三要素的常用方法有个系统的认识，对于给出解析式的函数，会求其反函数．本部分的难点首先在于克服“函数就是解析式”的片面认识，真正明确不仅函数的对应法则，而且其定义域都包含着对函数关系的制约作用，并真正以此作为处理问题的指导．其次在于确定函数三要素、求反函数等课题的综合性，不仅要用到解方程，解不等式等知识，还要用到换元思想、方程思想等与函数有关概念的结合．函数的概念是复习函数全部内容和建立函数思想的基础，不能仅满足会背诵定义，会做一些有关题目，要从联系、应用的角度求得理解上的深度，还要对确定函数三要素的类型、方法作好系统梳理，这样才能进一步为综合运用打好基础．复习的重点是求得对这些问题的系统认识，而不是急于做过难的综合题．㈠深化对函数概念的认识例1．下列函数中，不存在反函数的是（）分析：处理本题有多种思路．分别求所给各函数的反函数，看是否存在是不好的，因为过程太繁琐．从概念看，这里应判断对于给出函数值域内的任意值，依据相应的对应法则，是否在其定义域内都只有惟一确定的值与之对应，因此可作出给定函数的图象，用数形结合法作判断，这是常用方法，请读者自己一试．此题作为选择题还可采用估算的方法．对于D，y=3是其值域内一个值，但若y=3，则可能x=2(2＞1)，也可能x=-1(-1≤-1)．依据概念，则易得出D中函数不存在反函数．于是决定本题选D．说明：不论采取什么思路，理解和运用函数与其反函数的关系是这里解决问题的关键．由于函数三要素在函数概念中的重要地位，那么掌握确定函数三要素的基本方法当然成了函数概念复习中的重要课题．㈡系统小结确定函数三要素的基本类型与常用方法1．求函数定义域的基本类型和常用方法由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表，实际上是求使给定式有意义的x的取值范围．它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练．这里的最高层次要求是给出的解析式还含有其他字例2．已知函数定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：分析：x的函数f(x)是由u=x与f(u)这两个函数复合而成的复合函数，其中x是自变量，u是中间变量．由于f(x)，f(u)是同一个函数，故(1)为已知0＜u＜2，即0＜x＜2．求x的取值范围．解：(1)由0＜x＜2，得说明：本例(1)是求函数定义域的第二种类型，即不给出f(x)的解析式，由f(x)的定义域求函数f[g(x)]的定义域．关键在于理解复合函数的意义，用好换元法．(2)是二种类型的综合．求函数定义域的第三种类型是一些数学问题或实际问题中产生的函数关系，求其定义域，后面还会涉及到．2．求函数值域的基本类型和常用方法函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的．其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域．3．求函数解析式举例例3．已知xy＜0，并且4x-9y=36．由此能否确定一个函数关系y=f(x)？如果能，求出其解析式、定义域和值域；如果不能，请说明理由．分析： 4x-9y=36在解析几何中表示双曲线的方程，仅此当然不能确定一个函数关系y=f(x)，但加上条件xy＜0呢？所以因此能确定一个函数关系y=f(x)．其定义域为(-∞，-3)∪(3，+∞)．且不难得到其值域为(-∞，0)∪(0，＋∞)．说明：本例从某种程度上揭示了函数与解析几何中方程的内在联系．任何一个函数的解析式都可看作一个方程，在一定条件下，方程也可转化为表示函数的解析式．求函数解析式还有两类问题：(1)求常见函数的解析式．由于常见函数(一次函数，二次函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数及反三角函数)的解析式的结构形式是确定的，故可用待定系数法确定其解析式．这里不再举例．(2)从生产、生活中产生的函数关系的确定．这要把有关学科知识，生活经验与函数概念结合起来，举例也宜放在函数复习的以后部分．（Ⅱ）函数与方程的思想方法函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。

2019-2020年高中数学选修本(理科)函数的连续性(I)

2019-2020年高中数学选修本(理科)函数的连续性(I)1.函数在一点连续的定义: 如果函数f (x )在点x =x 0处有定义，f (x )存在，且f (x )=f (x 0)，那么函数f (x )在点x =x 0处连续.2．.函数f (x )在点x =x 0处连续必须满足下面三个条件.(1)函数f (x )在点x =x 0处有定义； (2)f (x )存在；(3)f (x )=f (x 0)，即函数f (x )在点x 0处的极限值等于这一点的函数值.如果上述三个条件中有一个条件不满足，就说函数f (x )在点x 0处不连续.那根据这三个条件，我们就可以给出函数在一点连续的定义． 3.函数连续性的运算:①若f(x)，g(x)都在点x 0处连续，则f(x)±g(x)，f(x)•g(x)，(g(x)≠0)也在点x 0处连续。

②若u(x)都在点x 0处连续，且f(u)在u 0=u(x 0)处连续,则复合函数f[u(x)]在点x 0处连续。

4.函数f (x )在(a ，b )内连续的定义：如果函数f (x )在某一开区间(a ，b )内每一点处连续，就说函数f (x )在开区间(a ，b )内连续，或f (x )是开区间(a ，b )内的连续函数.f (x )在开区间(a ，b )内的每一点以及在a 、b 两点都连续，现在函数f (x )的定义域是［a ，b ］，若在a 点连续，则f (x )在a 点的极限存在并且等于f (a )，即在a 点的左、右极限都存在，且都等于f (a )， f (x )在(a ，b )内的每一点处连续，在a 点处右极限存在等于f (a )，在b 点处左极限存在等于f (b ).5.函数f (x )在［a ，b ］上连续的定义：如果f (x )在开区间(a ，b )内连续，在左端点x =a 处有f (x )=f (a )，在右端点x =b 处有f (x )=f (b ),就说函数f (x )在闭区间［a ，b ］上连续,或f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数. 6. 最大值最小值定理如果f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数，那么f (x )在闭区间［a ，b ］上有最大值和最小值7.特别注意：函数f(x)在x=x 0处连续与函数f(x)在x=x 0处有极限的联系与区别。

2019-2020年高三数学第19课时第二章函数函数的应用专题复习教案

2019-2020年高三数学第19课时第二章函数函数的应用专题复习教案一．课题：函数的应用二．教学目标：1．能够应用函数的性质解决有关数学问题，能够应用函数知识解决一些简单的实际问题；2．培养学生的阅读能力、文字语言转化为数学语言的能力及数学建模能力．三．教学重点：建立恰当的函数关系．四．教学过程：（一）主要知识：函数的综合问题主要有如下几个方面：1．函数的概念、性质和方法的综合问题；2．函数与其它知识，如方程、不等式、数列的综合问题；3．函数与解析几何的综合问题；4．联系生活实际和生产实际的应用问题．（二）主要方法：解数学应用题的一般步骤为：（1）审题；（2）建模；（3）求解；（4）作答．（三）例题分析：例1．从盛满升纯酒精的容器里倒出升，然后用水填满，再倒出升混合溶液又用水填满，这样继续下去，如果倒第次时共倒出纯酒精升，倒第次时共倒出纯酒精升，则的表达式是．例2．（《高考计划》考点18“智能训练第7题”）某工厂八年来某种产品总产量与时间（年）的函数关系如右图，下列四种说法①前三年中，产量的增长的速度越来越快，②前三年中，产量的增长的速度越来越慢，③第三年后，这种产品停止生产，④第三年后，年产量保持不变，其中说法正确的是 ②与③ ②与④ ①与③ ①与④例3．假设国家收购某种农产品的价格是元/，其中征税标准为每元征元（叫做税率为个百分点，即），计划可收购．为了减轻农民负担，决定税率降低个百分点，预计收购可增加个百分点．（1）写出税收（元）与的函数关系；（2）要使此项税收在税率调节后不低于原计划的，确定的取值范围．解：（1）由题知，调节后税率为，预计可收购，总金额为元 ∴231.2(12%)(8)%(40042)(08)12500m y m x x x x x =+-=--<≤．（2）∵元计划税收元，∴1.2(12%)(8)% 1.28%78%m x x m +-≥⋅⋅，得，，又∵，∴的取值范围为．例4．某航天有限公司试制一种仅由金属和金属合成的合金，现已试制出这种合金克，它的体积立方厘米，已知金属的比重小于每立方厘米克，大于每立方厘米克；金属的比重约为每立方厘米克．（1）试用分别表示出此合金中金属、金属克数的函数关系式；（2）求已试制的合金中金属、金属克数的取值范围．解：（1）此合金中含金属克、金属克，则400507.2x y x y d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，解得，360(8)(8.89)7.2d y d d -=<<-．（2）∵407.240(1)7.27.2d x d d ==+--在上是减函数，∴． 360(8)0.8360(1)7.27.2d y d d -==---在上是增函数，．例5．（《高考计划》考点18例3）用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用一个单位的水可清除蔬菜上残留的农药量的，用水越多洗掉的农药量越多，但总还有农药残留在蔬菜上，设用单位量的水清洗一次后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数．（1）试规定的值，并解释其实际意义；（2）根据假定写出函数应满足的条件和具有的性质；（3）设，现有单位量的水，可清洗一次，也可以把水平均分成两份后清洗两次，哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．解答见《高考计划》第95页．（四）巩固练习：1．（《高考计划》考点18“智能训练第5题”）甲、乙两人沿同一方向去地，途中都使用两种不同的速度．甲一半路程使用速度，另一半路程使用速度，乙一半时间使用速度，另一半时间使用速度，甲、乙两人从地到地的路程与时间的函数图象及关系，有下面图中个不同的图示分析（其中横轴表示时间，纵轴表示路程），其中正确的图示分析为（）．（1）（3）（1）或（4）（1）或（2）（1）（2）（3）（4）2．投寄本埠平信，每封信不超过时付邮费元，超过不超过时付邮费元，依此类推，每增加需增加邮费元（重量在以内），如果某人投一封重量为的信，他应付邮费（）元元元元。

2019-2020年高中数学函数课时复习教案6

2019-2020年高中数学函数课时复习教案6目的：要求学生根据函数解析式作出它们的图象，并且能根据图象分析函数的性质；同时了解图象的简单变换（平移变换和对称变换）。

过程：一、复习：函数有哪三种表示方法？今天主要研究函数的图象。

1。

2。

解：解：注意：由于定义域从而导致函数图象只是若干个孤立点。

3。

xx x y -+=0)21( 注意：先写成分段函数再作图。

解：定义域为 ⎪⎩⎪⎨⎧≠--≠021x x x 且x强调：定义域十分重要。

三、例二、根据所给定义域，画出函数的图象。

1。

2。

3。

且xZ四、关于分段函数的图象例三、已知⎪⎩⎪⎨⎧--=123)(2πx x f )0()0()0(<=>x x 画出它的图象，并求f (1),f (2)。

解：f (1)=3×122=1o x y1 2 3 1o xy 1 2 311 0.51 0.5 yo2 1 O 1 23 4yx 1 2 3 42 1 O 1 23 4yx 1 2 3 4 2 1 O 1 2 3 4yx 1 2 3 4 55yf (2)= 1五、关于函数图象的变换1．平移变换研究函数y =f (x )与y =f (x +a )+b 的图象之间的关系例四、函数2和的图象分别是由函数的图象经过如何变化得到的。

解： 1）将的图象沿 x 轴向左平移1个单位再沿y 轴向下平移2个单位得2的图象；2）将的图象沿x 轴向右平移个单位再沿y 轴向上平移1个单位得函数的图象。

小结：1。

将函数y =f (x )的图象向左平移|k |个单位（k >0向左,k <0向右）得y =f (x +k )图象；2．将函数y =f (x )的图象向上（或向下）平移|k |个单位（k >0向上,k <0向下）得y =f (x )+k 图象。

2、对称变换函数y =f (x )与y =f (x )y =f (x )及y =f (x )的图象分别关于x 轴、y 轴、原点对称例五、设 (x >0)作出y =f (x )、y =f (x )及y =f (x )的图象。

函数的连续性教案1

函数的连续性教案1教学目的首先使同学理解函数在某一点左连续、右连续、连续的概念及其相互关系，着重掌握函数在某一点连续必须具备的三个条件；其次使同学了解连续函数的一些简单性质．教学重点和难点函数f(x)在点x0处连续必需满足的三个条件和函数f(x)在点x0处连续的充要条件．教学过程一、复习提问作出下列各函数的图象并回答问题：(1)指出哪些函数在x＝0处有左极限；(2)指出哪些函数在x＝0处有右极限；(3)指出哪些函数在x＝0处有极限；(4)指出哪些函数在x＝0处有意义．二、新课1．根据上述五个函数的图象在x＝0处及其邻域的异同点，大致可分为两类，这两类是什么呢？(引导同学得出连续与间断两类．)进而分析“连”的特征与“断”的各种情况，引出函数y＝f(x)在点x0处连续的定义．即：如果函数y＝f(x)在点x0处及其附近有意义，而且就说函数f(x)在点x0处连续．结合例题中的图象对上述定义进行分析，得出函数f(x)在点x0处连续必须具备的三个条件是：①函数f(x)在点x0处及其附近有定义；说明：对上述三个条件中有任何一条不具备，那么函数f(x)在点x0处就不连续，点x＝x0称为该函数的间断点．2．通过对上述例题中②—⑤四个函数的图象在点x＝0处的左极限与f(0)是否存在和相等关系的分析，引出函数在点x＝x0处左连续的定义，即如果函数f(x)在点x0处及其左侧有定义，且那么就说函数f(x)在点x0处左连续．用同样方法，由同学得出右连续的定义．3．讨论左连续、右连续、连续三者关系，从而得出函数y＝f(x)在点x＝x0处连续的充要条件是f(x)在点x0处既左连续且又右连续．4．给出函数y＝f(x)在某一开区间(a，b)内连续的定义和在某一闭区间上连续的定义，即如果函数f(x)在开区间(a，b)内每一点都连续，就说f(x)在区间(a，b)内连续，或者说f(x)是区间(a，b)内的连续函数．如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内连续，在左端点x＝a处右连续，在右端点x＝b 处左连续，就说函数f(x)在闭区间[a，b]上连续．5．连续函数的性质1：如果y＝f(x)在闭区间[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上有最大值和最小值．对上述定理只作说明不作证明；强调定理中的条件是闭区间，而这个条件只是充分条件而不必要，可通过下面例题说明．由图1－17可知f(x)在[a，b]上连续，且当x＝a时，函数有最小值f(a)，当x＝x0时，函数有最大值是f(x0)．由图1－18可知y＝log2x 在(0，＋∞)内连续，而无最大值与最小值．由图1－19可知y＝g(x)在(a，b)内连续，当x＝x0时，函数有最小值g(x0)，而无最大值．＝f(x0)±g(x0)．因此函数f(x)±g(x)在点x＝x0处连续．其余证明由同学完成．三、小结与巩固练习1．函数y＝f(x)在点x0处连续的定义和判断方法是我们这一节课的重点，应让同学牢固掌握它们．2．口答练习(1)连续函数的图象有什么特点？观察下列各函数图象(图1－20)，说明函数在x＝a 处是否连续．(2)结合下列函数的图象，说明函数在给定点或区间上是否连续：四、布置作业1．根据函数连续性的定义，说明下列函数在给定点处连续．② f(x)＝ax2+b，(x＝1)；④ f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，(x＝0)．2．说出下列函数在实数轴上哪些点处不连续．。

2019—2020年兴义地区重点中学高考一轮复习教学案——函数极限与连续

2019—2020年兴义地区重点中学高考一轮复习教学案——函数极限与连续一、明确复习目标1．了解函数极限的概念;2．把握极限的四那么运算法那么；会求某些数列与函数的极限; 3．了解函数连续的意义;会判定简单函数的连续性;4．明白得闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．二．建构知识网络1．当x →∞时函数f(x)的极限:(1)当自变量x 取正值同时无限增大时,假如函数f(x)无限趋近于一个常数a,就讲当x 趋向于正无穷大时, 函数f(x)的极限是a,记作a x f x =+∞→)(lim ,(或x →+∞时,f(x)→a)(2)同理a x f x =-∞→)(lim 表示——(3)当a x f x =+∞→)(lim ,且a x f x =-∞→)(lim 时,a x f x =∞→)(lim即=+∞→)(lim x f x a x f x =-∞→)(lim ⇔a x f x =∞→)(lim2．当x →x 0时函数f(x)的极限:当自变量x 无限趋近于常数x 0〔从x 0两侧,但x ≠x 0〕时，假如函数f(x)无限趋近于一个常数a ，就讲当x 趋向于x 0时, 函数f(x)的极限是a,记作a x f x x =→)(lim 0,(或x →x 0时,f(x)→a)(1)a x f x x =→)(lim 0与函数f 〔x 〕在点x 0处是否有定义及是否等于f 〔x 0〕都无关。

(2)〝连续〞函数在x 0处的极限就等于 f(x 0)3．函数f(x)的左、右极限:(1)假如当x 从点x=x 0左侧〔即x ＜x 0〕无限趋近于x 0时，函数f(x)无限趋近于常数a,就讲a 是函数f(x)的左极限，记作a x f x x =-→)(lim 0。

(2)同理a x f x x =+→)(lim 0表示——(3) =-→)(lim 0x f x x a x f x x =+→)(lim 0⇔a x f x x =→)(lim 0——判定函数在一点处极限存在的方法．4．极限不存在的三种形状：①左极限不等于右极限0lim ()lim ()x x x x f x f x -+→→≠； ②0x x→时，()f x →∞，③0x x →时，()→x f 的值不确定。

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