九年级数学：第二十七章 章末复习(二) 相似
九年级数学下册 第二十七章 相似本章总结提升 新人教版 (2)
90°.∵∠DEF＝∠CAD，∴∠AEF＝∠C.∵∠EAF＝∠CAB，∴△AFE∽△ABC，
AE AF ∴AC＝AB，即
AE·AB＝AF·AC.
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例 3 如图 27－T－9，△ABC 是⊙O 的内接三角形，D 是A︵C 的中点，BD 交 AC 于点 E，若 DE·DB＝16，求 DC 的长．
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图27－T－4
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证明：(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°， 即 AD 是△ABC 的底边 BC 上的高． 又∵AB＝AC，∴△ABC 是等腰三角形，∴D 是 BC 边的中点． (2)∵∠CBE 与∠CAD 都是D︵E所对的圆周角，∴∠CBE＝∠CAD. 又∵∠BCE＝∠ACD，∴△BEC∽△ADC. (3)由△ADC∽△BEC，知CCDE＝ABCC，即 CD·BC＝AC·CE. ∵D 是 BC 边的中点，∴CD＝12BC. 又∵AB＝AC，∴12BC·BC＝精A选Bp·pCt E，即 BC2＝2AB·CE.
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问题4 圆中的相似
在几何图形的计算与证明的问题中，相似三角形有哪些应用？如
何在圆中寻找相似三角形？
例4 如图27－T－4所示，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直 径的⊙O交AC于点E，交BC于点D.
求证：(1)D是BC边的中点；
(2)△BEC∽△ADC；
(3)BC2＝2AB·CE.
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图27－T－3
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解：(1)证明：∵四边形 EFGH 是正方形，∴EH∥BC， ∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C，∴△AEH∽△ABC. (2)设 AD 与 EH 交于点 M.∵∠EFD＝∠FEM＝∠FDM＝90°， ∴四边形 EFDM 是矩形，∴EF＝DM. 设正方形 EFGH 的边长为 x cm，∵△AEH∽△ABC，∴EBHC＝AAMD ， 即4x0＝303－0 x，∴x＝1270，即正方形 EFGH 的边长为1270 cm， ∴正方形 EFGH 的面积为(1270)2＝1444900(cm2)．
人教版初中数学第二十七章相似知识点
第二十七章相似一、目标与要求1．掌握相似多边形的定义、表示法,并能根据定义判断两个多边形是否相似.2．能根据相似比进行计算.3．通过与相似多边形有关概念的类比,得出相似三角形的定义,领会特殊与一般的关系.4．能根据定义判断两个多边形是否相似,训练学生的判断能力.5．能根据相似比求长度和角度,培养学生的运用能力.6．通过与相似多边形有关概念的类比,渗透类比的教学思想,并领会特殊与一般的关系.二、知识框架三、重点、难点1．理解并相似三角形的判定与性质2．位似图形的有关概念、性质与作图．3．利用位似将一个图形放大或缩小．4．用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换．5．把一个图形按一定大小比例放大或缩小后,点的坐标变化的规律．四、中考所占分数与题型分布本章会出1-2道选择、填空题,简答题必有一道三角形和相似形的综合题,本章约占15-20分.第二十七章相似27.1 图形的相似1.每组图形中的两个图形形状相同,大小不同,具有相同形状的图形叫相似图形.2.相似图形强调图形形状相同,与它们的位置、颜色、大小无关.3.相似图形不仅仅指平面图形,也包括立体图形相似的情况.4.我们可以这样理解相似形：两个图形相似,其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．5.若两个图形形状与大小都相同,这时是相似图形的一种特例——全等形.例1：1.从哈哈镜和平面镜中看见不同的镜像,是否相似？2.从放大镜或者望远镜中看见不同的镜像,是否相似？6.相似多边形对应角相等,对应边的比相等.对应边的比称为相似比.例2：在比例尺为1：10000000的地图上,量的A、B两地的距离为10cm,求两地的实际距离.解：地图与实际的环境是相似的,因此地图中的1cm相当于实际10000000cm,即100km.A、B两地相距10cm,相当于1000km.例3：如图27.1-1,四边形ABCD和EFGH相似,求角α、β的大小和EH的长度x.图27.1-1解：四边形ABCD 和EFGH 相似,他们的对应角相等,因此可得83o C α∠=∠=,118o A E ∠=∠=在四边形ABCD 中,四边形ABCD 和EFGH 相似,他们的对应边相等,由此可得EH EF AD AB =,即242118x = 解得28x cm =27.2 相似三角形27.2.1 相似三角形的判定在△ABC 和△A ‘B ‘C ’中,如果''',,A A B B C C ∠=∠∠=∠∠=∠,''''''=AB BC AC k A B B C AC==,我们就说△ABC 和△A ‘B ‘C ’相似,记作△ABC ∽△A ‘B ‘C ’,k 就是他们的相似比.对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 成比例线段〔简称比例线段〕：对于四条线段a 、b 、c 、d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等,即a =c b d〔或a ：b=c ：d 〕,那么,这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段. 例1.如图27.2-1,在△ABC 中,点D 是边AB 的中点,DE//BC,DE 交AC 于点E,△ADE 与△ABC 有什么关系？ 解：在△ADE 与△ABC 中,A A ∠=∠DE//BC过点E 作EF//AB,EF 交BC 于点F.在□BFED 中,DE=BF,DB=EF又1,2A C ∠=∠∠=∠∴△ADE ∽△EFCAE=EC=在此处键入公式。
九年级数学下册 27 相似章末复习学案 (新版)新人教版
第二十七章章末复习【学习目标】1．理解并掌握本章知识，能用相关知识解决具体问题．2．在运用相似知识解决实际问题的过程中，进一步增强学生的推理论证能力． 【学习重点】运用相似知识来解决具体问题． 【学习难点】灵活运用相似知识解决实际问题．情景导入 生成问题知识结构我能建：自学互研 生成能力知识模块一 相似三角形的判定与性质 【自主探究】(益阳中考)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，CE ⊥AB 于点E ，求证：△ABD ∽△CBE .证明：在△ABC 中，∵AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC ，∵CE ⊥AB ，∴∠ADB ＝∠CEB ＝90°.又∵∠B ＝∠B ，∴△ABD ∽△CBE .【合作探究】如图，过平行四边形ABCD 的一个顶点A 作一直线分别交对角线BD ，边BC ，边DC 的延长线于点E ，F ，G .求证：EA 2＝EF ·EG .证明：∵在▱ABCD 中，AD ∥BC ，∴△AEB ∽△GED ，∴EG AE ＝DEBE，∵在▱ABCD 中，AB ∥DC ，∴△AED ∽△FEB ，∴DE BE ＝AE EF ，∴EG AE ＝AE EF，∴AE 2＝EF ·EG . 知识模块二 相似三角形的应用 【自主探究】如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B . (1)求证：△ADF ∽△DEC ；(2)若AB ＝4，AD ＝33，AE ＝3，求AF 的长．解：(1)∵在▱ABCD 中，AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴∠ADF ＝∠CED ，∠B ＋∠C ＝180°.∵∠AFE ＋∠AFD ＝180°，∠AFE ＝∠B ，∴∠AFD ＝∠C ，∴△ADF ∽△DEC ；(2)∵CD ＝AB ＝4，AE ⊥BC ，∴AE ⊥AD ，∵AD ＝33，AE ＝3，∴DE ＝AD 2＋AC 2＝（33）2＋32＝6.∵△ADF ∽△DEC ，∴AD DE ＝AF CD ，∴336＝AF4.解得AF ＝2 3.答：AF 的长为2 3.【合作探究】(滨州中考)某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示．其中B A ＝CD ，BC ＝20cm ，BC ，EF 平行于地面AD 且到地面AD 的距离分别为40cm ，8cm ，为使板凳两腿底端A ，D 之间的距离为50cm ，那么横梁EF 应为多长？(材质及其厚度等暂忽略不计)解：过点C 作CM ∥AB ，交EF ，AD 于点N ，M ，作CP ⊥AD ，交EF ，AD 于点Q ，P .由题意，得四边形ABCM 是平行四边形，∴EN ＝AM ＝BC ＝20cm.∴MD ＝AD －AM ＝50－20＝30(cm)．由题意知CP ＝40cm ，PQ ＝8cm ，∴CQ ＝32cm.∵EF ∥AD ，∴△CNF ∽△CMD .∴NF MD ＝CQ CP ，即NF 30＝3240.解得NF ＝24.∴EF ＝EN ＋NF ＝20＋24＝44(cm)．答：横梁EF 应为44cm.【思路点拨】利用梯形常用的辅助线，把EF 的长放到三角形中，利用相似三角形的性质，对应边成比例，可求解．【方法归纳】利用三角形相似解决实际问题关键要扣住两点：一是构造相似三角形；二是灵活的利用相似三角形的性质．知识模块三 位似的概念及其性质 【自主探究】1．按如下方法将△ABC 缩小到原来的12，如图，任取一点O ，连接AO ，BO ，C O ，并取它们的中点D ，E ，F ，连接DE ，EF ，DF ，得到△DEF，则下列说法正确的有( D )①△ABC 与△DEF 是位似图形；②△ABC 与△DEF 是相似图形；③△ABC 与△DEF 周长的比是为2∶1；④△ABC 与△DEF 的面积的比为4∶1.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(第1题图) (第2题图)2．(菏泽中考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝3x 经过点A ，作AB⊥x 轴于点B ，将△ABO 绕点B 逆时针旋转60°得到△CBD，若点B 的坐标为(2，0)，则点C 的坐标为( A )A ．(－1，3)B ．(－2，3)C ．(－3，1)D ．(－3，2) 【合作探究】1．三角尺在灯泡O 的照射下在墙上形成影子(如图)．现测得OA ＝20cm ，OA ′＝50cm ，这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是2∶5．2．如图，已知△ABC 在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0，3)，B(3，4)，C(2，2)．在正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；(2)以点B 为位似中心，在网格中画出△A 2BC 2，使△A 2BC 2与△ABC 位似，且位似比为2：1，并直接写出C 2点的坐标及△A 2BC 2的面积．解：(1)如图，△A 1B 1C 1即为所求，C 1(2，－2)； (2)如图，△A 2BC 2即为所求C 2(1，0)．S △A 2BC 2＝6×4－12×2×6－12×2×4－12×2×4＝24－6－4－4＝10.交流展示 生成新知【交流预展】1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”． 【展示提升】知识模块一 相似三角形的判定与性质 知识模块二 相似三角形的应用 知识模块三 位似的概念及其性质检测反馈 达成目标【当堂检测】1.如图，在菱形ABCD 中，点M ，N 在AC 上，ME ⊥AD ，NF ⊥AB ，若NF ＝NM ＝2，ME ＝3，则AN ＝( B ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．62．如图，AC ∥EF ∥BD ，求证：(1)AE AD ＋BE BC ＝1；(2)1AC ＋1BD ＝1EF.证明：(1)∵EF∥BD，∴AE AD ＝AF AB ，∵AC ∥EF ，∴BE BC ＝BF AB ，∴AE AD ＋BE BC ＝AF ＋BF AB ＝1；(2)由(1)知AE AD ＋BE BC ＝1，∵AEAD＝EF BD ，BE BC ＝EF AC ，∴EF BD ＋EF AC ＝1，∴1AC ＋1BD ＝1EF . 【课后检测】见学生用书课后反思 查漏补缺1．这节课的学习，你的收获是：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________欢迎您的下载，资料仅供参考！。
初中数学人教九年级下册第二十七章相似-两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
A
又∵∠B=∠ACD，
D
∴ △ABC ∽ △DCA，
∴ AC BC 4，∴ A D 2 5 . B
C
AD AC 5
4
AE=1.5，AC=2，BC=3，且 A D 3 ，求 DE 的长. AB 4
提示：解题时要找准对应边
. 解：∵ AE=1.5，AC=2，
A
∴ AE 3 AD . AC 4 AB
又∵∠EAD=∠CAB，
E B
D C
∴ △ADE ∽△ABC，
∴ DE AD 3，∴ DE 3 BC 9 .
.
∠B=
∠B′，这两个三角形一定会相似吗？
不一定相似，如下图： A′
A
2
3
4
30°
C
B
C′
6
30°
B′
结论 ：
如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角 不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相 似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.
典例精析
例1 根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相 似，并说明理由： ∠A=120°，AB=7 cm，AC=14 cm， ∠A′=120°，A′B′=3 cm ，A′C′=6 cm．
BC AB 4
44
当堂练习
3. 如图 △AEB 和 △FEC 相似 (填 “相似” 或 “不相似 ”) .
B
45
1 E 36 F
A
54
2 30
C
课堂小结
利用两边及夹角判定三角形相似 两边成比例且 夹角相等的两 个三角形相似
相似三角形的判定定理的运用
当堂练习
1. 判断
(1) 两个等边三角形相似
九年级下册数学第27章知识点汇总(人教版)
九年级下册数学第27章知识点汇总（人教
版）
27.1图形的相似
gt;gt;gt;gt;图形的相似知识点
27.2相似三角形
相似三角形定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。
相似三角形判定定理1：两角对应相等，两三角形相似(ASA)
gt;gt;gt;gt;相似三角形知识点
27.3位似
位似图形(Homothetic figures)的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。
把幻灯片上的图形放大到屏幕上，形成的新图形和原图形就是典型的位似图形。
两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形(homothetic figures)，这个交点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。
gt;gt;gt;gt;位似图形知识点
九年级下册数学第27章知识点整理的很及时吧，提高学习成绩离不开知识点和练习的结合，因此大家想要取得更好的成绩一定要注重从平时中发现问题查缺补漏~请关注数学知识点。
九年级数学下册第二十七章相似知识点总结归纳(带答案)
九年级数学下册第二十七章相似知识点总结归纳单选题1、如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB=1.2m，BC=12.8m，则建筑物CD的高是( )A．17.5m B．17m C．16.5m D．18m答案：A分析：先求得AC，再说明△ABE∽△ACD，最后根据相似三角形的性质列方程解答即可．解：∵AB=1.2m，BC=12.8m∴AC=1.2m+12.8m=14m∵标杆BE和建筑物CD均垂直于地面∴BE//CD∴△ABE∽△ACD∴ABBE =ACCD,即1.21.5=14CD,解得CD=17.5m．故答案为A．小提示：本题考查了相似三角形的应用，正确判定相似三角形并利用相似三角形的性质列方程计算是解答本题的关键．2、如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ADE与△ABC相似的是（）A．B＝∠D B．∠C＝∠AED C．ABAD ＝DEBCD．ABAD＝ACAE答案：C分析：△ADE≌△ABC根据题意可得∠EAD=∠CAB，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断，即可求解．解：∵∠BAD=∠CAE，∴∠EAD=∠CAB，A．若添加∠B=∠D，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明△ADE≌△ABC，故本选项不符合题意；B．若添加∠C=∠AED，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明△ADE≌△ABC，故本选项不符合题意；C．若添加ABAD =DEBC，不能证明△ADE≌△ABC，故本选项符合题意；D．若添加ABAD =ACAE，可用两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，证明△ADE≌△ABC，故本选项不符合题意；故选：C．小提示：本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．3、如图，将ΔABC沿BC边上的中线AD平移到ΔA′B′C′的位置．已知ΔABC的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若AA′=1，则A′D等于（）A．2B．3C．4D．32答案：B分析：由S△ABC＝16、S△A′EF＝9且AD为BC边的中线知SΔA′DE=12SΔA′EF=92，SΔABD=12SΔABC=8，根据△DA′E∽△DAB知(A′DAD )2=SΔA′DESΔABD，据此求解可得．∵SΔABC=16、SΔA′EF=9，且AD为BC边的中线，∴SΔA′DE=12SΔA′EF=92，SΔABD=12SΔABC=8，∵将ΔABC沿BC边上的中线AD平移得到ΔA′B′C′，∴A′E//AB，∴ΔDA′E∼ΔDAB，则(A′DAD )2=SΔA′DESΔABD，即(A′DA′D+1)2=298=916，解得A′D=3或A′D=−37（舍），故选B．小提示：本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．4、如图，在等腰△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝α，BC＝12，点D是边AB上一点，且BD＝4，点P是边BC上一动点，作∠DPE＝α，射线PE交边AC于点E，当CE＝9时，则满足条件的P点的个数是（）A．1B．2C．3D．以上都有可能答案：A分析：由已知得∠ABC＝∠ACB＝α，再证明∠EPC＝∠PDB，则可判断△PDB∽△EPC，利用相似比得到BD：PC ＝PB：CE，设PB＝x，则PC＝10﹣x，CE＝9时，所以x2﹣12x+36＝0，根据判别式的意义得到Δ＝0，即原方程只有一个实数根即可选出答案．解：∵△ABC为等腰三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝α，∵∠DPC＝∠B+∠PDB，即∠DPE+∠EPC＝∠B+∠PDB，而∠DPE＝α，∴∠EPC＝∠PDB，而∠ABC＝∠ACB，∴△PDB∽△EPC，∴BDPC =PBCE，设PB＝x，则PC＝12﹣x，当CE＝9时，∴412−x =x9，∴x2﹣12x+36＝0，∵Δ＝（﹣12）2﹣4×36＝0，原方程只有一个实数根，∴点P有且只有一个，故选A．小提示：本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．5、如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：①DEBC =12；②SΔDOESΔCOB=12；③ADAB=OEOB；④SΔODESΔADC =13，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C分析：由BE、CD是△ABC的中线，可得DE=12BC,即DEBC=12，从而可判断①；由DE是△ABC的中位线，可得△DOE∽△COB，从而可判断②；由△ADE∽△ABC与△DOE∽△COB，利用相似三角形的性质可判断③；由△ABC的中线BE与CD交于点O．可得点O是△ABC的重心，根据重心性质，BO＝2OE，△ABC中BC上的高＝△BOC中BC上的高的3倍，且△ABC与△BOC同底（BC），可得S△ABC=3S△BOC，由②和③知，S△ODE=1 4S△COB,S△ADE=34S△BOC，从而可判断④．解：①∵BE、CD是△ABC的中线，即D、E是AB和AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12BC,即DEBC=12，故①正确；②∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴△DOE∽△COB，∴S△DOES△COB =(DEBC)2=(12)2=14，故②错误；③∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB =DEBC，∵△DOE∽△COB，∴OEOB =DEBC，∴ADAB =OEOB，故③正确；④∵△ABC的中线BE与CD交于点O，∴点O是△ABC的重心，根据重心性质，BO＝2OE，△ABC中BC上的高＝3△BOC中BC上的高，且△ABC与△BOC同底（BC），∴S△ABC=3S△BOC，由②和③知，S△ODE=14S△COB，ADAB=DEBC=12，∴S△DAES△BAC =(ADAB)2=(12)2=14，∴S△ADE=34S△BOC，∴S△ODES△ADE =13，∵E是AC的中点，∴S△ADC=2S△ADE∴SΔODESΔADC =16．故④错误．综上，①③正确．故选B．小提示：本题考查的三角形的中线与三角形的中位线的性质，三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，掌握利用以上知识解决三角形的面积问题是解题的关键．6、神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（）A．平移B．旋转C．轴对称D．黄金分割答案：D分析：根据黄金分割的定义即可求解．解：动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的黄金分割．故选：D小提示：本题考查了黄金分割的定义，黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为√5−12，约等于0.618，这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．熟知黄金分割的定义是解题关键．7、若ab =cd=−2，则a−cb−d＝（）A．−2B．2C．−12D．12答案：A分析：根据ab =cd=−2，可知a＝﹣2b，c＝﹣2d，将a和c的值代入求值的代数式化简即可．解：∵ab =cd=−2，∴a＝﹣2b，c＝﹣2d，∴a−cb−d =−2b+2db−d=−2(b−d)(b−d)=−2．故选：A．小提示：本题考查了比例的性质，解题的关键是根据已知将a和c用b和d正确表示．8、在比例尺为1：50的图纸上，长度为10cm的线段实际长为（）A．50cmB．500cmC．150cm D．1500cm答案：B分析：根据成比例线段的性质求解即可．解：∵1：50=10:500，∴长度为10cm的线段实际长为500cm，故选B．小提示：本题考查了成比例线段，掌握比例的性质是解题的关键．9、如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）A．ABAE =AGADB．DFCF=DGADC．FGAC=EGBDD．AEBE=CFDF答案：D分析：根据EG∥BD，可得△AEG∽△ABD，根据FG∥AC，可得△DGF∽△DAC，再根据相似三角形的性质即可求解．解：∵GE∥BD，∴AEBE =AGDG，△AEG∽△ABD，∴ABAE =ADAG，故选项A错误；∵GF∥AC，∴DFCF =DGAG，△DGF∽△DAC，故选项B错误；∵DFCF =DGAG∴AGDG =CFDF∴AEBE =CFDF故选项D正确；∵△AEG∽△ABD，△DGF∽△DAC，∴FGAC =DGDA，EGBD=AGAD故选项C错误；故选：D．小提示：本题考查了平行线分线段成比例定理及相似三角形的性质及判定，利用平行线分线段成比例，找出比例式是解题的关键．10、如图，在△ABC中，P、Q分别为AB、AC边上的点，且满足APAC =AQAB．根据以上信息，嘉嘉和淇淇给出了下列结论：嘉嘉说：连接PQ，则PQ//BC．淇淇说：△AQP∽△ABC．对于嘉嘉和淇淇的结论，下列判断正确的是（）A．嘉嘉正确，淇淇错误B．嘉嘉错误，淇淇正确C．两人都正确D．两人都错误答案：B分析：根据APAC =AQAB，∠PAQ=∠CAB可以判定△AQP∽△ABC，APAB与AQAC不一定相等，不能判定PQ//BC．解：∵APAC =AQAB，∠PAQ=∠CAB，∴△AQP∽△ABC，即淇淇的结论正确；∴∠AQP=∠ABC，∠APQ=∠ACB，∵不能得出∠AQP=∠ACB或∠APQ=∠ABC，∴不能得出PQ//BC，即嘉嘉的结论不正确．故选B．小提示：本题考查相似三角形和平行线的判定，熟练掌握相似三角形和平行线的判定方法是解题的关键．填空题11、已知a2=b3=c5，则a+bc的值为_____．答案：1分析：由比例的性质，设a2=b3=c5=k，则a=2k，b=3k，c=5k，然后代入计算，即可得到答案．解：根据题意，设a2=b3=c5=k，∴a=2k，b=3k，c=5k，∴a+bc =2k+3k5k=1，所以答案是：1．小提示：本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质进行解题．12、如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且ADDB =32，AEEC=12，射线ED和CB的延长线交于点F，则FBFC的值为________．答案：13分析：过B作BG∥AC交EF于G，得到△DBG∽△ADE，由相似三角形的性质得到BGAE =BDAD=23，推出BG：CE=13，根据相似三角形的性质即可得到结论．解：过B作BG∥AC交EF于G，∴△DBG∽△DAE，∴BGAE =BDAD=23，∵AEEC =12，∴BGCE =13，∵BG∥AC，∴△BFG∽△CFE，∴BFFC =BGCE=13．故答案是：13．小提示：本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．13、如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则AG∶GF的值是_______．答案：6：5分析：作FN∥AD，交AB与N，设DE=a，则AE=3a，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．作FN∥AD，交AB与N，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴FN∥AD，∴四边形ANFD是平行四边形，∵∠D=90°，∴四边形ANFD是矩形．设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，∵AN=BN，MN∥AE，∴BM=ME，∴MN=32a，∴FM=52a，∵AE∥FM，∴AGGF =AEFM=3a52a=65．故答案为6∶5．小提示：本题考查了正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．14、如图，D是ΔABC边AB延长线上一点，请添加一个条件_______，使ΔACD∽ΔABC．答案：AC＝AB•AD（答案不唯一）分析：根据相似三角形的判定添加适当的条件即可．解：添加：AC＝AB•AD∵AC＝AB•AD∴ACAB =ADAC∵∠A＝∠A∴ΔACD∽ΔABC．所以答案是：AC＝AB•AD（答案不唯一）．小提示：本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．15、如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y =√33x +2√33与⊙O 相交于A ，B 两点，且点A 在x 轴上，则弦AB的长为_________．答案：2√3．分析：过O 作OE ⊥AB 于C ，根据垂径定理可得AC =BC =12AB ，可求OA =2，OD =2√33，在Rt △AOD 中，由勾股定理AD =4√33，可证△OAC ∽△DAO ，由相似三角形性质可求AC =√3即可．解：过O 作OE ⊥AB 于C ，∵AB 为弦，∴AC =BC =12AB ，∵直线y =√33x +2√33与⊙O 相交于A ，B 两点， ∴当y =0时，√33x +2√33=0，解得x =-2， ∴OA =2，∴当x =0时，y =2√33， ∴OD =2√33， 在Rt △AOD 中，由勾股定理AD =√AO 2+OD 2=√22+(2√33)2=4√33， ∵∠ACO =∠AOD =90°，∠CAO =∠OAD ，∴△OAC ∽△DAO ，AC AO =AO AD 即AC =AO 2AD =4√33=√3， ∴AB =2AC =2√3，故答案为2√3．小提示：本题考查直线与圆的位置关系，垂径定理，直线与两轴交点，勾股定理，三角形相似判定与性质，掌握以上知识、正确添加辅助线是解题关键．解答题16、问题背景：如图1，在矩形ABCD 中，AB =2√3，∠ABD =30°，点E 是边AB 的中点，过点E 作EF ⊥AB 交BD 于点F ．实验探究：（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF 绕点B 按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：①AE DF =_____；②直线AE 与DF 所夹锐角的度数为______．（2）小王同学继续将△BEF 绕点B 按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．拓展延伸：在以上探究中，当△BEF 旋转至D 、E 、F 三点共线时，则△ADE 的面积为______．答案：（1）√32，30°；（2）成立，理由见解析；拓展延伸：13√3+√398或13√3−√398 分析：（1）通过证明ΔFBD ∽ΔEBA ，可得AE DF =BE BF =√32，∠BDF =∠BAE ，即可求解； （2）通过证明ΔABE ∽ΔDBF ，可得AE DF =BE BF =√32，∠BDF =∠BAE ，即可求解；拓展延伸：分两种情况讨论，先求出AE ，DG 的长，即可求解．解：（1）如图1，∵∠ABD=30°，∠DAB=90°，EF⊥BA，∴cos∠ABD=BEBF =ABDB=√32，如图2，设AB与DF交于点O，AE与DF交于点H，∵ΔBEF绕点B按逆时针方向旋转90°，∴∠DBF=∠ABE=90°，∴ΔFBD∽ΔEBA，∴AEDF =BEBF=√32，∠BDF=∠BAE，又∵∠DOB=∠AOF，∴∠DBA=∠AHD=30°，∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°，所以答案是：√32，30°；（2）结论仍然成立，理由如下：如图3，设AE与BD交于点O，AE与DF交于点H，∵将ΔBEF绕点B按逆时针方向旋转，∴∠ABE=∠DBF，又∵BEBF =ABDB=√32，∴ΔABE∽ΔDBF，∴AEDF =BEBF=√32，∠BDF=∠BAE，又∵∠DOH=∠AOB，∴∠ABD=∠AHD=30°，∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°．拓展延伸：如图4，当点E在AB的上方时，过点D作DG⊥AE于G，∵AB=2√3，∠ABD=30°，点E是边AB的中点，∠DAB=90°，∴BE=√3，AD=2，DB=4，∵∠EBF=30°，EF⊥BE，∴EF=1，∵D、E、F三点共线，∴∠DEB=∠BEF=90°，∴DE=√BD2−BE2=√16−3=√13，∵∠DEA=30°，∴DG=12DE=√132，由（2）可得：AEDF =BEBF=√32，√13+1=√32，∴AE=√39+√32，∴ΔADE的面积=12×AE×DG=12×√39+√32×√132=13√3+√398；如图5，当点E在AB的下方时，过点D作DG⊥AE，交EA的延长线于G，同理可求：ΔADE 的面积=12×AE ×DG =12×√39−√32×√132=13√3−√398； 所以答案是：13√3+√398或13√3−√398． 小提示：本题是几何变换综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．17、已知△OAB 在平面直角坐标系中的位置如图所示．(1)将△ABO 绕原点O 顺时针旋转90°得△OA 1B 1；(2)以原点O 为位似中心，将△OA 1B 1在原点异侧按位似比2：1进行放大得到△OA 2B 2．答案：(1)见解析(2)见解析分析：（1）先找到A 、B 的对应点A 1、B 1，然后顺次连接O 、A 1、B 1即可；（2）先找到A 1、B 1的对应点A 2、B 2，然后顺次连接O 、A 2、B 2即可；．（1）解：如图所示，△OA 1B 1即为所求；（2）解：如图所示，△OA2B2即为所求．小提示：本题主要考查了再坐标系中画旋转图形，画位似图形，熟知画旋转图形和画位似图形的方法是解题的关键．18、已知AB是圆O直径，点C为圆上一点，OD⊥BC于D，过C作切线，交OD延长线于E．（1）求证：BE为圆O切线；（2）连接AD并延长交BE于F，若C为弧AB中点，OB=10，求BF．答案：（1）见详解；（2）203分析：（1）连接OC，先证明△COE≌△BOE，可得∠OBE=∠OCE=90°，即可求证；（2）过点D作DH⊥AB于点H，根据AB是圆O直径，OB=10，可得∠ACB=90°，AB=2OB=20，又由C为弧AB中OB=5，再证明△ADH～点，可得到△ABC是等腰直角三角形，进而△DOB是等腰直角三角形，从而DH=OH=12△AFB，利用相似三角形的性质，即可求解．（1）证明：如图1，连接OC，∵CE是圆O切线，∴∠OCE=90°，∵OC=OB，OD⊥BC，∴∠COE=∠BOE，∵OE=OE，∴△COE≌△BOE，∴∠OBE=∠OCE=90°，∴BE为圆O切线；（2）如图，过点D作DH⊥AB于点H，∵AB是圆O直径，OB=10，∴∠ACB=90°，AB=2OB=20，∵C为弧AB中点，∴AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，∵OD⊥BC，∴△DOB是等腰直角三角形，∵DH⊥AB，∴DH=OH=12OB=5，∴AH=AO+OH=15，∵BE⊥AB，∴DH∥BF，∴△ADH～△AFB，∴AHAB =DHBF，即1520=5BF，解得：BF=203．小提示：本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质、圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，熟练掌握切线的判定与性质，证明△COE≌△BOE，△ADH～△AFB是解题的关键．。
九年级数学：第二十七章“相似”简介
初中数学新课程标准教材数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 )学校：年级：任课教师：数学教案 / 初中数学 / 九年级数学教案编订：XX文讯教育机构第二十七章“相似”简介教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于初中九年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。
本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。
>课程教材研究所李海东在教科书前面，已经研究图形的全等，也研究了一些图形的变换，如平移、轴对称、旋转等，本章将在前面的基础上进一步研究一种变换──相似。
研究相似变换的性质，相似三角形的判定等，并进一步研究一种特殊的相似变换──位似。
结合一些图形性质的探索、证明等，进一步发展学生的探究能力，培养学生的逻辑思维能力等。
本章共安排三个小节和两个选学内容，教学时间大约需要13课时，具体安排如下（仅供参考）：27.1 图形的相似2课时27.2 相似三角形6课时27.3 位似3课时数学活动小结2课时一、教科书内容和课程学习目标（一）本章知识结构框图本章知识结构如下图所示：（二）教科书内容在前面，我们已经学过了图形的全等和全等三角形的有关知识，也研究了几种图形的全等变换，“全等”是图形间的一种关系，具有这种关系的两个图形叠合在一起，能够完全重合，也就是它们的形状、大小完全相同。
“相似”也是指图形间的一种相互关系，但它与“全等”不同，这两个图形仅仅形状相同，大小不一定相同，其中一个图形可以看成是另一个图形按一定比例放大或缩小而成的，这种变换是相似变换。
当放大或缩小的比例为1时，这两个图形就是全等的，全等是相似的一种特殊情况。
从这个意义上讲，研究相似比研究全等更具有一般性，所以这一章所研究的问题实际上是前面研究图形的全等和一些全等变换基础上的拓广和发展。
在后面，我们还要学习“锐角三角函数”和“投影与视图”的知识，学习这些内容，都要用到相似的知识。
人教版数学九年级下册第27章相似 全章拓展提升与复习过关
人教版数学九年级下册第27章相似全章拓展提升与复习过关知识全面设计合理含答案教师必备《相似》全章复习与巩固--知识讲解（基础）【学习目标】1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；3、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标的变化；4、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、相似图形及比例线段1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 要点诠释：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形全等；2.相似多边形如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（2）相似多边形对应边的比称为相似比.3. 比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a :b =c :d ，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．要点诠释：（1）若a :b =c :d ，则ad=bc ；（d 也叫第四比例项）（2）若a :b=b :c ，则 =ac （b 称为a 、c 的比例中项）． 要点二、相似三角形1. 相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似. 判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.2. 相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.(3) 相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
九年级数学下册 第二十七章 相似小结与复习课件下册数学课件
A 1.8m
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B 2m O
第二十五页，共三十五页。
6m
D
考点三 位似的性质及应用 针对训练
1. 在如图所示的四个图形(túxíng)中，位似图形(túxíng)的个数为 (C )
A. 1个
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B. 2个
C. 3个
D. 4个
第二十六页，共三十五页。
2. 已知 △ABC ∽ △A′B′C′，下列(xiàliè)图形中， △ABC 和
根据 C D D E ，即可算出 AB 的高． AB BE
你还有其他 方法吗？
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第二十三页，共三十五页。
针对训练
如图，小明同学跳起来把一个排球打在离地 2 m远的 地上，然后反弹碰到墙上，如果她跳起击球时的高度是 1.8 m，排球落地点离墙的距离是 6 m，假设(jiǎshè)球一直沿 直线运动，球能碰到墙面离地多高的地方？
∴ AM＝CM＝3.
M
E
∵ AD ＝ 2CD，
D
∴CD＝2，AD＝4，
B
CF
MD＝1.
在 Rt△BDM 中，BM 623233，
B D B M 2M D 227，
由(1) △ABD ∽△CED得，
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第十六页，共三十五页。
BD AD ，即 2 7 2，
ED CD
ED
∴ E D 7 ， B E B D E D 37 .
(2) 相似(xiānɡ sì)多边形
(3) 相似比：相似多边形对应边的比
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第二页，共三十五页。
2. 相似(xiānɡ sì)三角形的判定
◑通过定义 (三个角分别相等(xiāngděng)，三条边成比例) ◑平行于三角形一边的直线
九年级数学下第27章 章末复习
9.如图，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为 E，AD与BE相交于点F，连接ED.你能在图中找 出一对相似三角形，并说明相似的理由吗？
解： ∵∠ADC=∠BEC=90°，∠C=∠C， ∴△BEC∽△ADC. （答案不唯一）
10.如图，△ABC的三条边与△A′B′C′的三条边满足 A′B′∥AB，B′C′∥BC，A′C′∥AC，且OB=3OB′. △ABC的面积与△A′B′C′的面积之间有什么关系？ 解：由题可知△ABC与△A′B′C′位似， 所以对应边及其对应高的比例均为 3∶1，所以面积比为9∶1.
（提示：连接EC并延长交AB于点K， 用AK与常数的积表示KC和KE.）
解：连接EC并延长交AB于点K，
KC AK KC AK ， AB BG AK 30 KC 123 6
∵KC∥BG,∴△AKC∽△ABG. ∴KE∥BH,
，得KC =
123 6 AK 30
KE AK KE AK ， AB BH AK 30 KE 127 6
重点：相似三角形的判定和性质、位似图形的性质. 难点：相似三角形的判定和性质的应用.
重点回顾
回顾一
相似多边形
定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分 别相等，边成比例，那么这两个多边形叫 做相似多边形. 性质： 相似多边形的对应角相等,对应边的长度成 比例．
回顾二 定义：
相似三角形
判定：
性质：
BH AH A. HC HD
HC HD C. HE DF
AD BC B. DF CE
D. AF BE
DF CE
2.如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中 与△DEF相似的三角形共有( B ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
九年级春季数学下册听课笔记：第二十七章相似-相似三角形：相似三角形的性质
2024九年级春季数学下册听课笔记：第二十七章相似- 相似三角形：相似三角形的性质1. 教师行为1.1 导入•复习引入：教师首先简要回顾相似三角形的判定定理，如SSS、SAS、AAA（但强调需结合其他条件）和HL，确保学生已掌握这些基础知识。
•情境设置：通过展示或描述一些实际生活中的相似三角形应用案例，如地图上的比例尺、建筑设计中的缩放模型等，引导学生思考相似三角形除了判定外还有哪些重要的性质。
•问题导入：提出问题：“如果两个三角形是相似的，那么它们的对应边和对应角之间有哪些特定的关系呢？”以此激发学生的探索兴趣。
1.2 教学过程•性质讲解：•对应边成比例：详细阐述相似三角形中对应边之间的比例关系，即对应边之间的比值是相等的，这个比值称为相似比。
•对应角相等：回顾并强调相似三角形中对应角是相等的这一基本性质。
•面积比：介绍相似三角形面积之间的比例关系，即两个相似三角形的面积之比等于它们相似比的平方。
•周长比：简要提及相似三角形周长之间的比例关系，即周长之比也等于相似比。
•例题演示：•选取具有代表性的例题，展示如何利用相似三角形的性质解决问题，如计算未知边长、角度或面积等。
•强调解题过程中如何识别和应用相似三角形的性质，以及注意事项。
•互动探究：•组织学生分组讨论，每组分配不同的题目或图形案例，要求学生利用相似三角形的性质进行求解。
•鼓励学生分享解题思路和方法，教师适时给予指导和点评。
板书设计（提纲式）1.导入•复习相似三角形的判定定理•情境设置：相似三角形在生活中的应用•问题导入：相似三角形的性质2.性质讲解•对应边成比例•对应角相等•面积比：面积之比= 相似比的平方•周长比（简要提及）3.例题演示•典型例题分析•解题步骤与注意事项4.互动探究•分组讨论与题目解答•解题思路分享与交流作业布置•完成课后习题，巩固相似三角形的性质及其应用。
•尝试自己设计题目，利用相似三角形的性质进行求解，并编写解题过程。
九年级数学下册 第二十七章 相似章节复习同步练习课件 新人教版
例2 如图27- Z - 3 所示, CD 是Rt△ABC斜边上的高, E是 AC的中 点, ED, CB的延长线交于点F. 求证：△FDB∽△FCD.
9
证明 ∵CD是Rt△ABC斜边上的高, E是AC的中点,
∴∠EDA=∠A, ∠EDC=∠ECD. ∵∠EDC+∠EDA=90° , ∠EDA=∠BDF, ∴∠EDC+∠BDF=90° , ∴∠ECD+∠BDF=90° . ∵∠ECD+∠DCF=90° , ∴∠BDF=∠DCF. 又∵∠F=∠F, ∴△FDB∽△FCD.
10
相关题2
如图27- Z - 4所示, 在 ABCD中, 对角线AC, BD 相交于点O, 分 别过点D, C 作DE∥OC, CE∥OD． (1)图中有若干对相似三角 形, 请至少写出三对相似 (不全等的) 三角形, 并选择 其中一对加以证明； (2)求证：DM= OB.
11
解 (1)相似三角形有△ABM∽△NDM∽△NCE，△AOM∽△ACE， △DNE∽△CNA等． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∴△ABM∽△NDM. ∵CE∥OD，∴△NDM∽△NCE，△AOM∽△ACE， ∴△ABM∽△NDM∽△NCE. ∵DE∥OC， ∴△DNE∽△CAN.
【要点指导】(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比、 对应角 平分线的比都等于相似比；(2)相似三角形周长的比等 于相似比；(3)相 似三角形面积的比等于相似比的平方．
14
例3 若△ABC∽△A′B′C′, 且A′C′=3 cm, BC=5 cm, AC=4 cm,
角分别相等的 两个三角形相似
两边成比例且夹角相等的 两个三角形 相似
三边成比例的两个三角形相似