高三数学复习讲义：专题三 微切口10 多元量问题的处理
《高数下》讲义笔记习题答案
22111~2x y x y +-课时一多元函数（一）考点重要程度分值常见题型1.重极限★★3~0选择、填空2.偏导数，全微分，隐函数求偏导必考10~6大题一、重极限题型1.有理化(,)(0,0)(,)(0,0)24(24)(24)lim lim(24)x y x y xy xy xy xy xy xy →→-+-+++=++41421lim )42(lim)0,0(),()0,0(),(-=++-=++-=→→xy xy xy xy y x y x 题型2.重要极限公式2lim sin lim sin lim )0,2(),()0,2(),()0,2(),(===→→→x x yx xy y xy y x y x y x 题型3.无穷小替换121lim 21lim 111lim)0,2(),(2)0,2(),(2)0,2(),(===--+→→→x xy y x e y x y x y x xy y x ☆重要极限公式1）1sin lim 0=→xxx 2）exx x x xx =+=+∞→→)11(lim )1(lim 10☆无穷小替换公式：当0→x 时1)1~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~-+xe x x x x x x 2)x x 21~11-+221~cos 1x x -0sin lim1xy xyxy →=这里的x 要当做是一个整体，比如若0xy →，xy 作为一个整体也满足这些公式。
1~xy e xy-22()()a b a b a b +-=-xxy xz 863+=∂∂2292zx y y ∂=-∂二、偏导数、全微分、隐函数求导（对某个变量求导的时候，其余变量均看作常数）题型1.6243232+-+=y x y x z ，求：①xz ∂∂，yz ∂∂②在（1,1）点偏导解：①②题型2：22444y x y x z -+=，求22x z ∂∂，y x z ∂∂∂2，22y z ∂∂，xy z∂∂∂2解：2384xy x x z -=∂∂，2384yx y y z-=∂∂则2222812y x x z -=∂∂，xy y x z 162-=∂∂∂2222812x y yz -=∂∂，xy x y z 162-=∂∂∂题型3.设y xz arcsin=，)0(>y ，求dz 解：2221111()zxyx y x y∂==∂--2222(1()z x yy x y y x y∂=-=∂--dyxy y x dx xy dz 22221---=题型4.xyz arctan =，求(1,1)dz 解：2222(1,1)11(21()z y y y x x x y x ∂=⋅-=-=-∂++222(1,1)11121()z x y y x x y x∂=⋅==∂++1122dz dx dy=-+1()()1(ln )()ln u x xx xx x e e x x a a aμμ-'='='='=22(sin )cos (cos )sin (tan )sec (cot )csc x x x x x x x x'='=-'='=-22(sec )sec tan 1(arctan )11(arcsin )1x x x x x x x'='=+'=-221(arccot )11(arccos )11(log )ln a x x x x x x a'=-+'=--'=注意：千万不要忘了写成全微分形式注意：y x z ∂∂∂2，x y z ∂∂∂2在区域D 内连续，则xy zy x z ∂∂∂=∂∂∂223(1,1)6814z xy x x∂=+=∂22(1,1)927zx y y∂=-=∂隐函数解题方法：1）构造函数),,(z y x F ；2）求xF yF zF 3）zxF F x z-=∂∂zy F F y z-=∂∂题型5：63sin 3=--+z e z y x ，求x z ∂∂，yz ∂∂解：令63sin 3---+=ze z y x F x F x cos =，3=y F ，23zz F z e =--由公式法得2cos 3x zz F z xx F z e ∂=-=∂+233y z z F z y F z e∂=-=∂+题型6：设ln x zz y=，求(0,1)dz 解：将(0,1)点带入方程得1z =，得这个点(0,1,1)令ln ln ln x z xF z y z y z=-=-+(0,1,1)11x F z ==，(0,1,1)11y F y==，(0,1,1)2211z x x zF z z z +=--=-=-由公式法得1x zF zx F ∂=-=∂1y zF zy F ∂=-=∂dz dx dy=+练习1.1：2sin 2xy z x y e =-，求x z ∂∂，yz∂∂练习1.2：求222z y x u ++=，求(1,1,1)du -练习1.3：设ln x zz y=，求22z x ∂∂练习1.4：设()y x z ,由方程()11sin =--xyz xyz 所确定，求(0,1)dz 。
高中数学-球专题讲义模型全解-学生版
目录专题一 墙角模型 2【方法总结】 2【例题选讲】 2【对点训练】 3专题二 对棱相等模型 7【方法总结】 7【例题选讲】 7【对点训练】 8专题三 汉堡模型 10【方法总结】 10【例题选讲】 10【对点训练】 11专题四 垂面模型 14【方法总结】 14【例题选讲】 14【对点训练】 15专题五 切瓜模型 19【方法总结】 19【例题选讲】 19【对点训练】 21专题六 斗笠模型 24【方法总结】 24【例题选讲】 24【对点训练】 25专题七 鳄鱼模型 28【方法总结】 28【例题选讲】 28【对点训练】 30专题八 已知球心或球半径模型 33【例题选讲】 33【对点训练】 34专题九 最值模型 38【方法总结】 38【例题选讲】 38【对点训练】 39专题十 内切球模型 44【方法总结】 44【例题选讲】 44【对点训练】 45专题一 墙角模型如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球．有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点与难点，也是高考考查的一个热点．考查学生的空间想象能力以及化归能力．研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用．球的内切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积法来求球的半径．空间几何体的外接球与内切球十大模型1．墙角模型；2．对棱相等模型；3．汉堡模型；4．垂面模型；5．切瓜模型；6．斗笠模型；7．鳄鱼模型；8．已知球心或球半径模型；9．最值模型；10．内切球模型．【方法总结】墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R= a2+b2+c2．)，秒杀公式：R2=a2+b2+c24．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：【例题选讲】例1.[例] (1)已知三棱锥A-BCD的四个顶点A，B，C，D都在球O的表面上，AC⊥平面BCD，BC⊥CD，且AC=3，BC=2，CD=5，则球O的表面积为( )A.12πB.7πC.9πD.8π(2)若三棱锥S−ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=2，SB=SC=4，则该三棱锥的外接球半径为( )．A.3B.6C.36D.9(3)已知S，A，B，C，是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=2，则球O的表面积等于( )．A.4πB.3πC.2πD.π(4)在正三棱锥S-ABC中，M，N分别是棱SC，BC的中点，且AM⊥MN，若侧棱SA=23，则正三棱锥S-ABC外接球的表面积是________．(5)(2019全国Ⅰ)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为( )．A.86πB.46πC.26πD.6π(6)已知二面角α-l-β的大小为π3，点P∈α，点P在β内的正投影为点A，过点A作AB⊥l，垂足为点B，点C∈l，BC=22，PA=23，点D∈β，且四边形ABCD满足∠BCD+∠DAB=π．若四面体PACD的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为________．【对点训练】1．点A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD两两垂直，且AB=1，AC=2，AD=3，则该球的表面积为( )A.7πB.14πC.72πD.714π32．等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，将△ABC沿BC边上的高AD折成直二面角B-AD-C，则三棱锥B-ACD的外接球的表面积为( )A.5πB.203πC.10πD.34π3．已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=2，则球O的体积等于________.4．已知四面体P-ABC四个顶点都在球O的球面上，若PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AC=1，AB=PB =2，则球O的表面积为________．5．三棱锥P-ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=3，PA⊥PB，三棱锥P-ABC的外接球的体积为( )A.272πB.2732π C.273π D.27π6．在空间直角坐标系Oxyz中，四面体ABCD各顶点的坐标分别为A(2，2，1)，B(2，2，-1)，C(0，2，1)，D (0，0，1)，则该四面体外接球的表面积是( )A.16πB.12πC.43πD.6π7．在平行四边形ABCD中，∠ABD=90°，且AB=1，BD=2，若将其沿BD折起使平面ABD⊥平面BCD，则三棱锥A-BDC的外接球的表面积为( D )A.2πB.8πC.16πD.4π8．在正三棱锥S-ABC中，点M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB=22，则正三棱锥S-ABC的外接球的表面积为( )A.6πB.12πC.32πD.36π9．在古代将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，已知四面体A-BCD为鳖臑，AB⊥平面BCD，且AB=BC=36CD，若此四面体的体积为833，则其外接球的表面积为________．10．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为32的正方形，AA1=3，E是线段A1B1上一点，若二面角A-BD-E的正切值为3，则三棱锥A-A1D1E外接球的表面积为________．专题二 对棱相等模型【方法总结】对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长，即2R=a2+b2+c2(长方体的长、宽、高分别为a、b、c)．秒杀公式：R2=x2+y2+z28(三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z)．可求出球的半径从而解决问题．【例题选讲】例2.[例] (1)正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为________．(2)在三棱锥A-BCD中，AB=CD=2，AD=BC=3，AC=BD=4，则三棱锥A−BCD外接球的表面积为________．(4)在正四面体A-BCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，BP+PE的最小值为7，则该正四面体的外接球的体积是( )A.6πB.6πC.3632π D.3 2π(5)已知三棱锥A-BCD，三组对棱两两相等，且AB=CD=1，AD=BC=3，若三棱锥A-BCD的外接球表面积为9π2．则AC=________．【对点训练】1．已知正四面体ABCD的外接球的体积为86π，则这个四面体的表面积为________．2．表面积为83的正四面体的外接球的表面积为( )A.43πB.12πC.8πD.46π3．已知四面体ABCD满足AB=CD=6，AC=AD=BC=BD=2，则四面体ABCD的外接球的表面积是________．4．三棱锥中S-ABC，SA=BC=13，SB=AC=5，SC=AB=10．则三棱锥的外接球的表面积为______.5．已知一个四面体ABCD的每个顶点都在表面积为9π的球O的表面上，且AB=CD=a，AC=AD=BC =BD=5，则a=________.6．正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，BP+PE的最小值为14，则该正四面体的外接球表面积是( )A.12πB.32πC.8πD.24π专题三 汉堡模型【方法总结】汉堡模型是直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下图，由对称性可知球心O 的位置是△ABC 的外心O 1与△A 1B 1C 1的外心O 2连线的中点，算出小圆O 1的半径AO 1=r ，OO 1=h 2，∴R 2=r 2+h 24．【例题选讲】例3.[例] (1)(2013辽宁)已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上．若AB =3，AC =4，AB ⊥AC ，AA 1=12，则球O 的半径为( )．A.3172 B.210 C.132 D.310(2)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )．A.πa 2B.73πa 2C.113πa 2D.37πa 2(3)(2009全国Ⅰ)直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上，若AB =AC =AA 1=2，∠BAC =120°，则此球的表面积等于( )．A.10πB.20πC.30πD.40π(4)已知圆柱的高为2，底面半径为3，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于( )A.4πB.16π3C.32π3D.16π(5)若一个圆柱的表面积为12π，则该圆柱的外接球的表面积的最小值为( )A.(125-12)πB.123πC.(123+3)πD.16π【对点训练】一直三棱柱的每条棱长都是2，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为( )A.28π3B.22π3 C.43π3 D.7π2．一个正六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为________.3．已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面积为334，一个侧面的周长为63，则正三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表面积为( )A.4πB.8πC.16πD.32π4．已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，AA1=2，则该三棱柱的外接球的体积为( )A.40π3B.4030π27 C.32030π27 D.20π5．已知矩形ABCD中，AB=2AD=2，E，F分别为AB，CD的中点，将四边形AEFD沿EF折起，使二面角A-EF-C的大小为120°，则过A，B，C，D，E，F六点的球的表面积为( )A.6πB.5πC.4πD.3π6．已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的表面上，若AB=AC=1，AA1=23，∠BAC= 2π3，则球O的体积为( )A.32π3B.3πC.4π3D.8π7．有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，此圆锥的母线与底面所成角为60°，若此圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的4倍，则此圆柱的高是其底面半径的( )A.2倍B.2倍C.22倍D.3倍8．正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，二面角A1-BD-C1的大小为π3，则该正四棱柱外接球的表面积为( )A.12πB.14πC.16πD.18π9．正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=2，设四棱柱的外接球的球心为O，动点P在正方形ABCD的边上，射线OP交球O的表面点M，现点P从点A出发，沿着A→B→C→D→A运动一次，则点M经过的路径长为________．10．已知圆柱的上底面圆周经过正三棱锥P-ABC的三条侧棱的中点，下底面圆心为此三棱锥底面中心O．若三棱锥P-ABC的高为该圆柱外接球半径的2倍，则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径的比值为____ ____．专题四 垂面模型【方法总结】垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1=r，OO1=h2，∴R2=r2+h24．【例题选讲】例4.[例] (1)已知在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，且∠ACB=30°，AC=2AB=23，SA=1．则该三棱锥的外接球的体积为( )A.13813πB.13πC.136πD.13136π(2)三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=PC=AC=2，AB=4，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为( )A.23πB.234πC.64πD.643π(3)在三棱锥S-ABC中，侧棱SA⊥底面ABC，AB=5，BC=8，∠ABC=60°，SA=25，则该三棱锥的外接球的表面积为( )A.643πB.2563πC.4363πD.2048327π(4)在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC=120˚，PA=AB=AC=2，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )A.103πB.18πC.20πD.93π(5)在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=120°，AC=2，AB=1，设D为BC中点，且直线PD与平面ABC所成角的余弦值为55，则该三棱锥外接球的表面积为________．【对点训练】1．三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，若SA=AB=BC=AC=3，则该三棱锥外接球的表面积为( )A.18πB.21π2C.21πD.42π2．四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形，若AB=2，则球O的表面积为( )A.4πB.12πC.16πD.32π3．已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=23，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O的表面积为( )A.4πB.12πC.16πD.64π4．在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC=60°，PA=2，AB=AC=3，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )A.4π3B.82π3 C.8π D.12π5．在三棱锥A-BCD中，AC=CD=2，AB=AD=BD=BC=1，若三棱锥的所有顶点，都在同一球面上，则球的表面积是________．6．如图，在△ABC中，AB=BC=6，∠ABC=90°，点D为AC的中点，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使PC=PD，连接PC，得到三棱锥P-BCD，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是( )A.7πB.5πC.3πD.π7．已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为23的正方形．若PA=26，则△OAB的面积为( )．A.3B.22C.33D.638．三棱锥P-ABC中，AB=BC=15，AC=6，PC⊥平面ABC，PC=2，则该三棱锥的外接球表面积为________．9．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA⊥平面ABCE，四边形ABCD为正方形，AD=5，ED=3，若鳖臑P-ADE的外接球的体积为92π，则阳马P-ABCD的外接球的表面积为________．10．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AP=2，点M是矩形ABCD内(含边界)的动点，且AB= 1，AD=3，直线PM与平面ABCD所成的角为π4．记点M的轨迹长度为α，则tanα=________．；当三棱锥P-ABM的体积最小时，三棱锥P-ABM的外接球的表面积为________．专题五 切瓜模型【方法总结】切瓜模型是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如类型Ⅰ，△ABC与△BCD都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角形，类型Ⅲ，△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ，△ABC与△BCD都一般三角形，解决方法是过△BCD的外心O1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A-BCD的高为h，外接球的半径为R，球心为O．△BCD的外心为O1，O1到BD的距离为d，O与O1的距离为m，则R2=r2+m2，R2=d2+(h-m)2，解得R．可用秒杀公式：R2=r21+r22-l24(其中r1、r2为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长)【例题选讲】例5.[例] (1)已知在三棱锥P-ABC中，V PABC=433，∠APC=π4，∠BPC=π3，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC⊥平面PBC，那么三棱锥P-ABC外接球的体积为________．(2)如图，已知平面四边形ABCD满足AB=AD=2，∠A=60˚，∠C=90˚，将△ABD沿对角线BD翻折，使平面ABD⊥平面CBD，则四面体ABCD外接球的体积为________．(3)已知三棱锥A-BCD中，△ABD与△BCD是边长为2的等边三角形且二面角A-BD-C为直二面角，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为( )A.10π3B.5πC.6πD.20π3(4)已知ΔABC是以BC为斜边的直角三角形，P为平面ABC外一点，且平面PBC⊥平面ABC，BC=3，PB=22，PC=5，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为________．(5)已知等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2，D，E分别为AB，AC的中点，沿DE将△ABC折成直二面角(如图)，则四棱锥A-DECB的外接球的表面积为________．【对点训练】1．把边长为3的正方ABCD沿对角线AC对折，使得平面ABC⊥平面ADC，则三棱锥D-ABC的外接球的表面积为( )A.32πB.27πC.18πD.9π2．在三棱锥A-BCD中，△ACD与△BCD都是边长为4的正三角形，且平面ACD⊥平面BCD，则该三棱锥外接球的表面积为________．3．已知如图所示的三棱锥D-ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，AB=3，AC=3，BC=CD=BD=23，则球O的表面积为( )A.4πB.12πC.16πD.36π4．在三棱锥A-BCD中，平面ABC⊥平面BCD，ΔABC是边长为2的正三角形，若∠BDC=π4，三棱锥的各个顶点均在球O上，则球O的表面积为( )．A.52π3B.3πC.4πD.28π35．已知空间四边形ABCD，∠BAC=23π，AB=AC=23，BD=4，CD=25，且平面ABC⊥平面BCD，则该几何体的外接球的表面积为( )A.24πB.48πC.64πD.96π6．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AD=22，PA=PD=AB=2，则四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为( )A.2πB.4πC.8πD.12π7．在四棱锥A-BCDE中，ΔABC是边长为6的正三角形，BCDE是正方形，平面ABC⊥平面BCDE，则该四棱锥的外接球的体积为( )A.2121πB.84πC.721πD.2821π8．已知空间四边形ABCD，∠BAC=2π3，AB=AC=23，BD=CD=6，且平面ABC⊥平面BCD，则空间四边形ABCD的外接球的表面积为( )A.60πB.36πC.24πD.12π9．在三棱锥P-ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，PB=PC=43，平面PBC⊥平面ABC，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为________．10．在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AP=25,AB=6,∠ACB=π3，且直线PA与平面ABC所成角的正切值为2，则该三棱锥的外接球的表面积为( )A.13πB.52πC.52π3D.5213π3 10．答案 B 解析 如图，过点P作PE⊥AB于E，D为AB的中点，设ΔABC的外心是O1，半径是r，连接O1B，O1E，O1D，由正弦定理得2r=ABsin∠ACB=43，则O1B=r=23，D为AB的中点，BD=AD=12AB=3，O1D⊥AB，所以O1D=O1B2-BD2=3，因为平面PAB⊥平面ABC，PE⊥AB于E，平面PAB∩平面ABC=AB，则PE⊥平面ABC，所以直线PA与平面ABC所成的角是∠PAE，则tan∠PAE=PEAE=2，即PE =2AE，因为AP=PE2+AE2=25，所以PE=2AE=4，则DE=1，故O1E=2，设三棱锥P-ABC外接球球心是O，连接OO1，OB，OP，过O作OH⊥PE于H，则OO1⊥平面ABC，于是OO1⎳PE，从而O1OHE是矩形，所以外接球半径R满足R2=OO21+O1B2=OH2+(PE-HE)2=O1E2+(PE-OO1)2，解得R=13．所以外接球的表面积为4πR2=52π．专题六 斗笠模型【方法总结】圆锥、顶点在底面的射影是底面外心的棱锥．秒杀公式：R=h2+r22h(其中h为几何体的高，r为几何体的底面半径或底面外接圆的圆心)【例题选讲】例6.[例] (1)一个圆锥恰有三条母线两两夹角为60°，若该圆锥的侧面积为33π，则该圆锥外接球的表面积为________．(2)(2020·全国Ⅰ)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB=BC=AC=OO1，则球O的表面积为( )A.64πB.48πC.36πD.32π(3)在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=26,AC=AB=4，且AC⊥AB，则该三棱锥外接球的表面积为________．(4)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4B.16πC.9πD.27π4(5)如图所示，在正四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AB，CD的中点，cos∠PEF=22，若A，B，C，D，P在同一球面上，则此球的体积为________．(6)在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=2，AB=AC=1，BC=3，则该三棱锥外接球的体积为( )A.4π3B.823πC.43πD.323π【对点训练】1．已知圆锥的顶点为P，母线PA与底面所成的角为30°，底面圆心O到PA的距离为1，则该圆锥外接球的表面积为________．2．在三棱锥P -ABC 中，PA =PB =PC =3，侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为( )A.πB.π3C.4πD.4π33．在三棱锥P -ABC 中，PA =PB =PC =6，AC =AB =2，且AC ⊥AB ，则该三棱锥外接球的表面积为( )A.4πB.8πC.16πD.9π4．已知体积为3的正三棱锥P -ABC 的外接球的球心为O ，若满足OA +OB +OC =0 ，则此三棱锥外接球的半径是( )A.2B.2C.32D.345．已知正四棱锥P -ABCD 的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为2，若该正四棱锥的体积为2，则此球的体积为( )A.124π3B.625π81C.500π81D.256π96．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30°，若ΔSAB 的面积为8，则该圆锥外接球的表面积是________．7．已知圆台O 1O 2上底面圆O 1的半径为2，下底面圆O 2的半径为22，圆台的外接球的球心为O ，且球心在圆台的轴O 1O 2上，满足|O 1O |=3|OO 2|，则圆台O 1O 2的外接球的表面积为________．8．在六棱锥P -ABCDEF 中，底面是边长为2的正六边形，PA =2且与底面垂直，则该六棱锥外接球的体积等于________．9．在三棱锥P -ABC 中，PA =PB =PC =2，AB =2，BC =10，∠APC =π2，则三棱锥P -ABC 的外接球的表面积为________．10．在三棱锥P -ABC 中，PA =PB =PC =92，AB =8，AC =6．顶点P 在平面ABC 内的射影为H ，若AH =λAB +μAC 且μ+2λ=1，则三棱锥P -ABC 的外接球的体积为________．专题七 鳄鱼模型【方法总结】鳄鱼模型即普通三棱锥模型，用找球心法可以解决．如果已知其中两个面的二面角，则可用秒杀公式：R2= m2+n2-2mn cosα+l24(其中l=|AB|)解决．sin2α【例题选讲】例7.[例] (1)在三棱锥A-BCD中，ΔABD和ΔCBD均为边长为2的等边三角形，且二面角A-BD-C的平面角为60°，则三棱锥的外接球的表面积为________．(2)在等腰直角ΔABC中，AB=2，∠BAC=90°，AD为斜边BC的高，将ΔABC沿AD折叠，使二面角B-AD-C为60°，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为________．(3)在四面体ABCD中，AB=AD=2，∠BAD=60°，∠BCD=90°，二面角A-BD-C的大小为150°，则四面体ABCD外接球的半径为________．(3)在三棱锥S-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=2，SA=SC=2，二面角S-AC-B的余弦值是-33，若S，A，B，C都在同一球面上，则该球的表面积是( )A.4πB.6πC.8πD.9π(4)已知三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=22，BC=3，PA=PB=32，且二面角P-AB-C的大小为150°，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为( )A.100πB.108πC.110πD.111π(5)在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，三角形PAC为等边三角形，二面角P-AC-B的余弦值为-63，当三棱锥P-ABC的体积最大值为13时，三棱锥P-ABC的外接球的表面积为________．(6)在体积为233的四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为边长为2的正方形，ΔPAB为等边三角形，二面角P-AB-C为锐角，则四棱锥P-ABCD外接球的半径为( )A.213B.2C.3D.32【对点训练】1．在三棱锥S-ABC中，SB=SC=AB=BC=AC=2，二面角S-BC-A的大小为60°，则三棱锥S-ABC外接球的表面积是( )A.14π3B.16π3C.40π9D.52π92．已知三棱锥A-BCD，BC=6，且ΔABC、ΔBCD均为等边三角形，二面角A-BC-D的平面角为60°，则三棱锥外接球的表面积是________．3．已知边长为6的菱形ABCD中，∠BAD=120°，沿对角线AC折成二面角B-AC-D的大小为θ的四面体且cosθ=13，则四面体ABCD的外接球的表面积为________．4．在三棱锥P -ABC 中，顶点P 在底面ABC 的投影G 是ΔABC 的外心，PB =BC =2，且面PBC 与底面ABC 所成的二面角的大小为60°，则三棱锥P -ABC 的外接球的表面积为________．5．直角三角形ABC ，∠ABC =π2，AC +BC =2，将ΔABC 绕AB 边旋转至ΔABC 位置，若二面角C -AB -C 的大小为2π3，则四面体C -ABC 的外接球的表面积的最小值为( )A.6π B.3π C.32π D.2π6．已知空间四边形ABCD 中，AB =BD =AD =2，BC =1，CD =3，若二面角A -BD -C 的取值范围为π4，2π3 ，则该几何体的外接球表面积的取值范围为________．7．在三棱锥S -ABC 中，底面ΔABC 是边长为3的等边三角形，SA =3，SB =23，二面角S -AB -C 的大小为60°，则此三棱锥的外接球的表面积为________．8．在四面体ABCD中，BC=CD=BD=AB=2，∠ABC=90°，二面角A-BC-D的平面角为150°，则四面体ABCD外接球的表面积为( )A.313πB.1243πC.31πD.124π9．在三棱锥A-BCD中，AB=BC=CD=DA=7，BD=23，二面角A-BD-C是钝角．若三棱锥A -BCD的体积为2．则三棱锥A-BCD的外接球的表面积是( )A.12πB.373πC.13πD.534π10．在平面五边形ABCDE中，∠A=60°，AB=AE=63，BC⊥CD，DE⊥CD，且BC=DE=6．将五边形ABCDE沿对角线BE折起，使平面ABE与平面BCDE所成的二面角为120°，则沿对角线BE折起后所得几何体的外接球的表面积是________．专题八 已知球心或球半径模型【例题选讲】例8.[例] (1)(2017·全国Ⅰ)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________．(2)已知三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的球面上，AB为球O的直径，若该三棱锥的体积为3，BC= 3，BD=3，∠CBD=90˚，则球O的体积为________．(3)(2012全国Ⅰ)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC 为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为( )A.26B.36C.23D.22(4)(2020·新高考全国Ⅰ)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．(5)三棱锥S-ABC的底面各棱长均为3，其外接球半径为2，则三棱锥S-ABC的体积最大时，点S到平面ABC的距离为( )A.2+3B.2-3C.3D.2【对点训练】1．已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC满足AB=22，∠ACB=90°，PA为球O 的直径且PA=4，则点P到底面ABC的距离为( )A.2B.22C.3D.232．已知矩形ABCD的顶点都在球心为O，半径为R的球面上，AB=6，BC=23，且四棱锥O-ABCD 的体积为83，则R等于( )A.4B.23C.479D.133．已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在某球面上，PC为该球的直径，△ABC是边长为4的等边三角形，三棱锥P-ABC的体积为163，则此三棱锥的外接球的表面积为( )A.16π3B.40π3C.64π3D.80π34．已知三棱锥A-SBC的体积为233，各顶点均在以PA为直径球面上，AB=AC=2,BC=2，则这个球的表面积为_____________．5．(2017·全国Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为________．6．(2020·全国Ⅰ)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆，若⊙O1的面积为4π，AB=BC=AC=OO1，则球O的表面积为( )A.64πB.48πC.36πD.32π7．(2020·全国Ⅱ)已知△ABC是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为( )A.3B.32C.1D.328．如图，半径为R的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆锥的体积之和为球的体积的38，则这两个圆锥高之差的绝对值为( )A.R2B.2R3C.4R3D.R9．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，点N在正方体的底面ABCD内运动，则MN的中点P的轨迹的面积是( )A.4πB.πC.2πD.π210．在三棱锥A-BCD中，底面为Rt△，且BC⊥CD，斜边BD上的高为1，三棱锥A-BCD的外接球的直径是AB，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥A-BCD的体积的最大值为________．专题九 最值模型【方法总结】最值问题的解法有两种方法：一种是几何法，即在运动变化过程中得到最值，从而转化为定值问题求解．另一种是代数方法，即建立目标函数，从而求目标函数的最值．【例题选讲】例9.[例] (1)已知三棱锥P-ABC的顶点P，A，B，C在球O的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，如果球O的表面积为36π，那么P到平面ABC距离的最大值为________．(2)在四面体ABCD中，AB=1，BC=CD=3，AC=2，当四面体ABCD的体积最大时，其外接球的表面积为( )A.2πB.3πC.6πD.8π(3)已知四棱锥S-ABCD的所有顶点在同一球面上，底面ABCD是正方形且球心O在此平面内，当四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于16+163，则球O的体积等于( )A.42π3 B.162π3 C.322π3 D.642π3(4)三棱锥A-BCD内接于半径为5的球O中，AB=CD=4，则三棱锥A-BCD的体积的最大值为( )A.43B.83C.163D.323(5)已知正四棱柱的顶点在同一个球面上，且球的表面积为12π，当正四棱柱的体积最大时，正四棱柱的高为_ _______．【对点训练】1．三棱锥P-ABC的四个顶点都在体积为500π3的球的表面上，底面ABC所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为( )A.4B.6C.8D.102．(2015·全国Ⅱ)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )A.36πB.64πC.144πD.256π3．已知点A，B，C，D均在球O上，AB=BC=6，AC=23．若三棱锥D-ABC体积的最大值为3，则球O的表面积为________．4．在三棱锥A-BCD中，AB=1，BC=2，CD=AC=3，当三棱锥A-BCD的体积最大时，其外接球的表面积为________．5．已知三棱锥D-ABC的所有顶点都在球O的球面上，AB=BC=2，AC=22，若三棱锥D-ABC体积的最大值为2，则球O的表面积为( )A.8πB.9πC.25π3D.121π96．三棱锥A-BCD的一条棱长为a，其余棱长均为2，当三棱锥A-BCD的体积最大时，它的外接球的表面积为( )A.21π4B.20π3C.5π4D.5π37．已知三棱锥O-ABC的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心，∠AOB=120°，当△AOC与△BOC的面积之和最大时，三棱锥O-ABC的体积为( )A.32B.233C.23D.138．(2018·全国Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D-ABC体积的最大值为( )A.123B.183C.243D.5439．已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，∠ASC=∠BSC=30˚，则棱锥S-ABC的体积最大为( )A.2B.83C.3D.2310．四棱锥P-ABCD的底面为矩形，矩形的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，且球的表面积为16π，点P在球面上，则四棱锥P-ABCD体积的最大值为( )A.8B.83C.16D.16311．(2016·全国Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB=6，BC =8，AA1=3，则V的最大值是( )A.4πB.9π2C.6πD.32π312．已知半径为1的球O中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与圆柱的体积的比值为___．13．如图，在矩形ABCD中，已知AB=2AD=2a，E是AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE，连接A1C．若当三棱锥A1-CDE的体积取得最大值时，三棱锥A1-CDE外接球的体积为82π3，则a=( )A.2B.2C.22D.414．已知三棱锥S-ABC的顶点都在球O的球面上，且该三棱锥的体积为23，SA⊥平面ABC，SA=4，∠ABC=120°，则球O的体积的最小值为________．专题十 内切球模型【方法总结】以三棱锥P -ABC 为例，求其内切球的半径．方法：等体积法，三棱锥P -ABC 体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和；第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r ，球心为O ，建立等式：V P -ABC =V O -ABC +V O -PAB +V O -PAC +V O -PBC ⇒V P -ABC =13S △ABC ·r +13S △PAB ·r +13S △PAC ·r +13S △PBC ·r =13(S △ABC +S △PAB +S △PAC +S △PBC )·r ；第三步：解出r =3V P -ABC S O -ABC +S O -PAB +S O -PAC +S O -PBC =3V S 表．秒杀公式(万能公式)：r =3V S 表【例题选讲】例10.[例] (1)已知一个三棱锥的所有棱长均为2，则该三棱锥的内切球的体积为________．(2)(2020·全国Ⅲ)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．(3)阿基米德(公元前287年~公元前212年)是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家．据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”．他特别喜欢这个结论．要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边．若表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为( )。
2025数学大一轮复习讲义北师大版 第三章 培优点4 切(割)线放缩
则 m′(x)＝1x－1＝1－x x， 当0<x<1时，m′(x)>0，m(x)单调递增， 当x>1时，m′(x)<0，m(x)单调递减， 故当x＝1时，m(x)取得最大值m(1)＝0，因此ln x－x＋1≤0恒成立， 则ex－(x＋1)＋[x－(ln x＋1)] ＝ex－(ln x＋2)>0恒成立(等号成立的条件不一致，故舍去)， 即ex>ln x＋2.从而不等式得证.
跟踪训练 1 (2023·柳州模拟)已知函数 f(x)＝ln x＋ax－2x. (1)当a>0时，讨论f(x)的单调性；
由题意可知x>0， f′(x)＝1x－xa2－2＝－2x2－x2x＋a， 对于一元二次方程2x2－x＋a＝0，Δ＝1－8a. 当 a≥18时，Δ≤0，f′(x)≤0 恒成立， f(x)在(0，＋∞)上是减函数；
则 F′(x)＝(x＋2)ex－1e， 令 m(x)＝F′(x)＝(x＋2)ex－1e， 则m′(x)＝(x＋3)ex， 所以当x<－3时，m′(x)<0； 当x>－3时，m′(x)>0， 所以F′(x)在(－∞，－3)上单调递减， 在(－3，＋∞)上单调递增，
当 x→－∞时，F′(x)→－1e，又 F′(－1)＝0， 所以当x<－1时，F′(x)<0，F(x)单调递减；
故r(x)≥r(0)＝0，即x－sin x≥0， 且在x＝0处取等号； 由(1)知j(x)＝sin x－x在[0，＋∞)上单调递减， 故j(x)≤j(0)＝0，即x－sin x≥0，且在x＝0处取等号； 令t(x)＝x－ln(x＋1)(x≥0)， 则 t′(x)＝1－x＋1 1＝x＋x 1≥0， 故t(x)＝x－ln(x＋1)在[0，＋∞)上单调递增，
【高考自主招生】高中数学复习专题讲义：第3讲 微积分初步
2 1
(4＋3x)dx
＝(4x＋3lnx) 2 ＝8＋3ln2－4＝4＋3ln2. 1
答案：4＋3ln2
【例 5】设 f (x) x ln x ，
(1)求 f (x) ；
(2)设 0 a b ，求常数 C，使得 1 b ln x C dx 取得最小值； ba a (3)记(2)中的最小值为 ma,b ，证明： ma,b ln 2 . 分析：(1) f (x) = ln x + x • 1 = ln x +1
a )
=
ln(1 +
m)
=
ln(1 +
1
m) m
b
a
b
m
1
1
1
函数 ln(1 + m) m 单调递减且 m∈(0,1) ，所以 ln(1 + m) m > ln(1 +1)1 = ln 2 ，得证
四、重点总结 1、能快速反应出常见的微分公式 2、利用牛顿-莱布尼兹公式计算 3、利用微积分求曲边梯形面积
求和： n b a i1 n
f (i ) ；④取极限：
b
n
f (x)dx lim
a
n i1
f
i
ba n
4、定积分的性质 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
性质 1
b
kf (x)dx k
b f (x)dx(k为常数) ；
a
a
b
b
b
性质 2 a [ f1(x) f2 (x)]dx a f1(x)dx a f2 (x)dx ；
第三讲 微积分初步
一、知识方法拓展 1、曲边梯形的定义
我们把由直线 x a, x b(a b), y 0 和曲线 y f (x) 所围成的图形称为曲边梯形。
专题三 微切口10 多元变量问题的处理
5. 数形转换：通过几何意义来实现消元，如比值，则可考虑直线的斜率；如二元 一次式，则可考虑直线的截距；如根式分式，则可考虑点到直线的距离；如根式，则可 考虑两点间的距离．
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二轮提优导学案 ·数学
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二轮提优导学案 ·数学
专题三 不等式
(4) 已知正数 x，y，z 满足 x＋2y＋z＝1，那么xy＋＋yz＋y＋9 z的最小值为___1_5____．
【解析】
设
y＋z x＋y
＝t(t>0)，则
y＋z x＋y
＋
9x＋2y＋z y＋z
＝
y＋z x＋y
＋
9x＋y y＋z
＋9＝t＋
9 t
＋
9≥15，故xy＋＋yz＋y＋9 z的最小值为15.
专题三 不等式
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二轮提优导学案 ·数学
(5) 若 x，y，z 为正实数，则x22＋xy5＋y2＋yzz2的最大值为____12____． 【解析】 因为x，y，z为正实数， 所以x2＋5y2＋z2＝x2＋4y2＋y2＋z2≥4xy＋2yz， 所以x22＋xy5＋y2＋yzz2≤12， 当且仅当x＝2y＝2z时，x22＋xy5＋y2＋yzz2的最大值为12.
c2＋22c－3≥2c－2 12，化简得2c2－8c＋7≤0，解得4－2 2≤c≤4＋2 2.又
a＋b2＝4c2－4c＋1， a2＋b2＝c2＋2c－3，
解得ab＝32(c－1)2＋12，所以当c＝4－2
2时，ab有最小值
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专题三 不等式
微专题04 利用基本不等式解决多元最值问题(解析版)
微专题04利用基本不等式解决多元最值问题【方法技巧与总结】利用基本不等式求解多元最值的常用技巧（1）互倒模型（2）平方和与积的转换（3）条件等式求范围（4）换元消元法【题型归纳目录】题型一：互倒模型题型二：平方和与积的转换题型三：条件等式求范围题型四：换元消元法【典型例题】题型一：互倒模型例1．（2022·湖北恩施·高一期末）若2a >，3b >，则2223a b a b +--的最小值是（）A ．16B ．18C ．20D ．22【答案】C【解析】因为2a >，3b >，所以22224499492310232323a b a b a b a b a b a b -+-++=+=-++-++------1020≥+=（当且仅当4,6a b ==时，等号成立），所以2223a b a b +--的最小值是20．故选：C例2．（2022·天津·一模）设20a b >>，那么()412a b a b +-的最小值是___________．【答案】16【解析】因20a b >>，则221122(2)2(2)()2228b a b a b a b b a b +--=⋅-≤⋅=，当且仅当22b a b =-，即14b a =时取“=”，因此，()442221118()81628a a a ab a b a ++≥=+≥⨯-，当且仅当221a a=，即1a =时取“=”，所以，当11,4a b ==时，()412a b a b +-取最小值16．故答案为：16例3．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知正实数,a b ，且22a b +=，则11121a ab ++++的最小值是（）A ．2B ．32C ．54D ．43【答案】C【解析】因为正实数,a b ，22a b +=，故(1)(21)4a b +++=，所以111121[(1)(21)](114141b a b a a a +=+++⨯=++++，故1112111121115(1)212141214412144a b a b a a b a b a b ++++++=++=+⨯+≥+=++++++，当且仅当15,36a b ==时取得等号，故选：C例4．（2022·全国·高三专题练习）若正数a ，b 满足11a b +=1，则41611a b +--的最小值为__．【答案】16【解析】因为正数a ，b 满足11a b+=1，则有1a =111b b b --=，则有11ab b=-，1b =111a a a--=，即有11b a a =-，则有41641611b a a b a b +=+≥=--16，当且仅当416b aa b=即有b ＝2a ，又11a b +=1，即有a 32=，b ＝3，取得最小值，且为16．故答案为：16．例5．（2022·全国·高三专题练习）已知实数20x y ≥>，0z >，则43223x y z xx y y z+++++的最小值为___________．【答案】120x y ≥>，0z >，所以43223x y z xx y y z+++++223223x y y z xx y y z +++=+++231223y z xx y y z+=++++23111223y z x x y z +≥++≥+=++当"232,23,2223y z xx y x y z x y x y z +===+=+取等号“综上所述：43223x y z xx y y z+++++的最小值为1故答案为：1例6．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学三模）已知0a b >>，当41422a a b a b+++-取到最小值时，=a ___________．【答案】34【解析】知0a b >>，当41422a a b a b +++-取到最小值时，=a 由题意知：41414222222++=+++-++-+-a a b a b a b a b a b a b≥6=，当且仅当412,222+=-=+-a b a b a b a b，即31,42a b ==时取等，故当41422a a b a b +++-取到最小值时，34a =．故答案为：34．例7．（2022·浙江·海宁中学模拟预测）已知正数a b ，满足1a b +=，R c ∈，则222313a c bc b abc ab++++的最小值为__________．【答案】3【解析】由1a b +=，得2221a ab b ++=，0,0a b >>，则222222222(31132143)3(2)311a a a ab b a b c c c bc b abc ab c b ab c b a++++=++=+++++++，2263(1)331c c ≥++-≥+，当且仅当2262,3(1)1b ac c ==++时取“=”，所以当212,,133a b c ===-时，222313a c bc b abc ab++++的最小值为3．故答案为：3题型二：平方和与积的转换例8．（2022·全国·高一专题练习）,,a b c 是不同时为0的实数，则2222ab bca b c +++的最大值为________．【答案】12【解析】22222222ab bc ab bca b c a b b c ++=+++++，222a b ab +≥，222b c bc+≥当且仅当a b c ==时取等号，所以222222212222ab bc ab bc ab bc a b c a b b c ab bc +++=≤=++++++∴2222ab bc a b c +++的最大值为12．故答案为：12．例9．（2022·浙江·高一阶段练习）若实数m ，n 满足2241m n +=，则421mnm n +-的最小值是___________．【答案】1,2x m y n ==，则()2222()42()1121111x y x y mn xy x y x y m n x y x y x y +-++-====+++-+-+-+-，因为2221222x y x y ++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以x y ≤+≤2111xyx y x y =++≥++-，当且仅当x y ==立，故421mnm n +-的最小值为1．故答案为：1例10．（2022·辽宁·高二期末）若实数,a b 满足2244a b -=，则252a ab +的最小值为__________．【答案】4【解析】2244,122b b a b a a ⎛⎫⎛⎫-=∴+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，设2b a x +=，则0x ≠，12b a x -=，111,2a x b x x x⎛⎫∴=+=- ⎪⎝⎭，222211111151552592444242a ab x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=⨯+++-=++⨯= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，等号在3x =±，即a b ==a b ==所以252a ab +的最小值为4．故答案为：4例11．（2022·河南·高二阶段练习（文））已知0a <<，则2125a M a a +=+++的最大值为______．【答案】54【解析】当0a <<时，()()22111142541411a a a a a a a ++==+++++++，当且仅当411a a +=+时，即当1a =时，等号成立．当0a <<时，22212a a +-≤=，当且仅当222a a =-时，即当1a =时，等号成立．因此，当1a =时，M 取得最大值，即max 15144M =+=．故答案为：54．例12．（2022·浙江·高一课时练习）若,,x y z 均为正实数，则222xy yzx y z +++的最大值是_______．【答案】22【解析】因为,,x y z 均为正实数，所以2222222()11(2)2xy yz xy yzx y y x zy z ++=+++++≤，当且仅当2x y y z ⎧=⎪⎪=，即2x z y ==时等号成立．故答案为：2．例13．（2022·湖南·益阳市箴言中学高一开学考试）已知x ，y R ∈，2291x xy y -+=，则3x y +的最大值为________．【解析】2291x xy y -+=，22916x y xy xy ∴+=+ ，即15xy ，当且仅当3x y =，即151515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，222112(3)69171755x y x xy y xy ∴+=++=+≤+⨯=，∴3x y ≤+3x y ∴+的最大值为5．例14．（2022·全国·高三专题练习）不等式22221122xy yz a a x y z ++-++≤对任意正数x ，y ，z恒成立，则a 的最大值是__________．【答案】1【解析】因为222222212222xy yz xy yz xy yz x y z x y y z xy yz +++==++++++≤，当x y z ==时取等号，所以2222xy yz x y z +++的最大值是12，即211122a a +-≥，解得112a -≤≤，所以a 的最大值是1．故答案为：1例15．（2022·内蒙古巴彦淖尔·高一期末）若0a >，0b >，且3327ab a b =++，则ab 的最小值为（）A ．9B ．16C ．49D ．81【答案】D【解析】由题意得332727ab a b =++≥+，得)27930ab --=≥，9≥，即81ab ≥，当且仅当9a b ==时，等号成立．故选：D例16．已知实数,a b ，且0ab >，则22224aba b a b +++的最大值为______．【答案】16【解析】由2220a b ab +≥>，所以222222424ab aba b a b ab a b ≤+++++，又由221142462ab ab a b ab ab ==++++，当且仅当a b =时，等号成立，所以2222146ab a b a b ≤+++．故答案为：16．例17．（2022·天津英华国际学校高一阶段练习）设0x >且2212y x +=，则的最大值为_______【答案】324【解析】由题意，0x >>由均值不等式，当0,0a b >>时，222222a ba b ab ab ++≥⇔≤，当且仅当22a b =即a b =时等号成立故22222113)2222x y y x ++=++=，即324≤=即22x y ==±时等号成立故答案为：4例18．（2022·江苏泰州·高一阶段练习）已知正实数x ，y ，z 满足2224y x z ++=，则2xy yz+的最大值为___________．【答案】【解析】∵x ，y ，z 为正实数，∴22222224455y y y z z y x x z ⎛⎫⎛⎫++=+++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=，∴2xy yz +≤y ===∴2xy yz +的最大值为故答案为：例19．（2022·四川巴中·高一期中）已知正实数x ，y 满足1x y +=，则22x y +的最小值为________．【答案】12【解析】因为1x y +=，所以2211224x y xy +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当12x y ==时，等号成立，所以()222112121242x y xy x x y y =+-=--⨯=+≥，所以22x y +的最小值为12，故答案为：12．题型三：条件等式求范围例20．（2022·全国·高三专题练习）设220,0,4x y x y x y >>+-=，则11x y+的最小值等于（）A ．2B ．4C ．12D ．14【答案】B【解析】因为224x y x y +-=，可得224x y x y +=+且0,0x y >>，所以2211444x y x y xy x y xy xy xy +++===+≥，当且仅当4xy xy=时，即2xy =等号成立，所以11x y+的最小值为4．故选：B ．例21．（2022·黑龙江·哈师大附中高二期末）已知实数x ，y 满足223x y +=，则2211(2)(2)x y x y ++-的最小值为__________．【答案】415【解析】设2(2)x y m +=，(0)m >，2(2)x y n -=，(0)n >可得2222(2)(2)5()15m n x y x y x y +=++-=+=，则2211111114()()(2)(22(2)(2)15151515n m m n x y x y m n m n +=++=++≥++-．当且仅当n m m n =，即152m n ==时，等号成立．故答案为：415．例22．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学模拟预测）已知0x >，0y >，且22x y +=，则433x yx y++的最小值为__________．【答案】33+【解析】因为22x y +=所以432434333333x y x y x y y x x y x y x y ++++=+=++≥+=当且仅当4322y xx y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即132x y ==时，取等号，所以433x y x y ++的最小值为33+．故答案为：33+例23．（2022·全国·高三专题练习）若正数a ，b 满足21a b +=，则222a ba b+--的最小值是__．【答案】132-【解析】设22,2u a v b =-=-，则2,22ua b v -==-，可得3(,0)u v u v +=>，所以11212311232()()222232u a b v u v a b u v u v u v --+=+=+-=++---1231331(3)(31323222v u u v =++-≥+-=-=，当且仅当63v u =-=时，等号成立，取得最小值．故答案为：132-．例24．（2022·山东德州·高二期末）若2,1a b >>-，且满足26ab a b +-=，则1921a b +-+的最小值为______．【答案】3【解析】由()()2122624a b ab a b -+=+--=-=又2,1a b >>-，则20,10a b ->+>所以19321a b +≥==-+当且仅当1921a b =-+以及26ab a b +-=，即8,53a b ==时取得等号．所以1921a b +-+的最小值为3故答案为：3例25．（2022·上海交大附中高一期中）已知正实数a ，b ，满足6a b +=，则2211a ba b +++的最大值为___．【答案】16【解析】因为正实数a ，b ，满足6a b +=，则222222222226(1)6(1)6(1)11(1)(1)()1()237(1)36a b ab a b a b ab ab ab a b a b ab a b ab ab ab +++++++====+++++++-+-+，因为6a b +=，0a >，0b >，所以20()92a b ab +<= ，当且仅当3a b ==时取等号，令1=-t ab ，18t -< ，则原式26(2)36t t +=+26(2)640(2)4(2)40242t t t t t +===+-++++-+ 当且仅当4022t t +=+，即2t =时取等号，此时取得最大值16+，故答案为：16．例26．（2022·江苏苏州·高二竞赛）已知正实数a ，b ，c 满足()2a b ab +=，且a b c abc ++=，则c 的最大值为___________．【答案】815【解析】由0,0a b >>，则()22a b ab +=≥⋅，可得16ab ≥，当且仅当4a b ==时取等；又由a b c abc ++=可得11122222a b ab c ab ab ab +===+---，由16ab ≥可得1102230ab <≤-，则18215c <≤，则c 的最大值为815．故答案为：815．例27．（2022·全国·高三专题练习）已知0a >，0b >，且2233a b ab a b +=+，则3a b +的最小值为___________．【答案】4【解析】由题得331(3)3,3a b ab a b a b a b ab b a++=+∴+==+，所以23133(3)()(3)101016a b a b a b b a b a +=++=++≥+=．（当且仅当1a b ==时取等）因为34a b +≥，所以3a b +的最小值为4．故答案为：4例28．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若直线30(0,0)ax by a b --=>>过点(1,1)-，则的最大值为___________．【答案】【解析】直线30ax by --=过点(1,1)-，则3a b +=又0,0a b >>，设t =，则0t >21262t a b =+++++由()()2121292a b a b +++⎛⎫++≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12+=+a b ，即2,1a b ==时等号成立．所以2612t =+≤，即t ≤2,1a b ==时等号成立．故答案为：例29．（2022·天津河北·二模）已知0a >，0b >，且2610a b a b +++=，则52b a-的最大值为___________．【答案】4【解析】因为0a >，0b >，且2610a b a b+++=，所以152624b a b a b a -=+--1410a b b a =----4101a b b a ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭又44a a +≥=，当且仅当4a a =，即2a =时取等号，12b b +≥=，当且仅当1b b =，即1b =时取等号，所以461a b b a +++≥，则41041a b b a ⎛⎫-+++≤ ⎪⎝⎭，即524b a-≤，当且仅当2a =、1b =时取等号；故答案为：4例30．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（理））已知a ，b 为正实数，且196a b a b+=++，则a b +的最小值为_______．【答案】8【解析】因为0a >、0b >且196a b a b+=++，所以()()()21996610b a a b a b a b a b a b ⎛⎫+=+++=++++⎪⎝⎭()()610616a b a b ≥+++=++当仅当9b a a b =时取等号，即()()26160a b a b +-+-≥解得8a b +≥或2a b +≤-（舍去），当且仅当2a =、6b =时取等号；故答案为：8题型四：换元消元法例31．（2022·江西省铜鼓中学高一开学考试）已知0x >，0y >，212x y xy ++=，则221318xy x y xy +++的最大值为___________．【答案】19【解析】12226x y xy xy xy =++≥⇒+≤，当2x y ==时取等，所以(]020,4xy <⇒∈，故令1t xy =+，则(]1,5t ∈，所以()()222211116318169131181xy t t x y xy t t t t t t +===≤++++-+-+++，当4t =时，等号成立．所以221318xy x y xy +++的最大值为19故答案为：19例32．（2022·福建三明·高二期末）已知正实数a ，b 满足12a b+=，则12ab a+的最小值是（）A ．52B ．3C ．92D．1【答案】A【解析】因为12a b+=，所以12>0a b=-，所以02b <<，所以()122221+212112b b b b b a a b b b ⎛⎫-+=- ⎪-+-⎝⎭=，令21b t -=，则+12t b =，且13t -<<，所以+1111522+2++222122t t t t t ab a =≥=+=，当且仅当122t t =，即12t =，32,43b a ==时，取等号，所以12ab a+的最小值是52．故选：A ．例33．（2022·浙江·高三专题练习）若正实数a ，b 满足32+=b a ab ，则2+a bab 的最大值为______．【答案】12【解析】因为正实数a ，b 满足b +3a ＝2ab ，所以a ＝23bb -，则2+a b ab ＝32323bb b b b +--＝222b b-+＝﹣2（112b -）2+12，当112b =，即b ＝2时取得最大值12．故答案为：12．例34．（2022·全国·高三专题练习）已知正实数x ，y 满足：222x x xy y ++=，则232x y y++的最小值为_________．【答案】【解析】因为222xx xy y++=，所以2224xx xy y+++=，所以2()()4x x y x y y+++=，所以2()4x y x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，令24x y mx y m +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，则224322()2x y x y x m y y m ⎛⎫++=+++=+≥== ⎪⎝⎭，当且仅当42m m=即m 时取等号，所以232x y y++的最小值为故答案为：例35．（2022·全国·高三专题练习）若实数,x y 满足22321x xy y --=，则2252x yx xy y +++的最大值为___________．【答案】4【解析】令x y t +=，则()2222222322144x x x xy y x xy y t --++==-=-，即2241x t =+，所以()()222222225212421x y x y t tx xy y tx x xy y t t ++===++++++++，当0t ≤时，2012tt ≤+；当0t >时，211122t t t t=++，因为12t t +≥12t t =，即t =时，等号成立，所以22115242x y x xy y t t+=≤+++．所以2252x y x xy y +++的最大值为4．例36．（2022·江西·宁冈中学高一阶段练习（理））()21147x x x x ->-+的最大值为______．【答案】12【解析】令1x t -=，则1x t =+，0t >，所以222111447(1)4(1)72422x t t x x t t t t t t -===≤-++-++-++-，当且仅当4t t=，即2t =时，等号成立．所以()21147x x x x ->-+的最大值为12．故答案为：12．例37．（2022·江苏省上冈高级中学高二期中）设正实数x 、y 、z 满足22340x xy y z -+-=，当xy z 取得最大值时，22y yz+的最小值为______．【解析】正实数x 、y 、z 满足22340x xy y z -+-=，则2234z x xy y =-+，22114343xy xy x y z x xy y y x ∴===-++-，当且仅当2x y =时，等号成立，所以，当2x y =时，xyz取得最大值1，此时222234z x xy y y =-+=，22212222y y y y y z y y ∴+=+=+≥=y 时，等号成立．因此，22y yz+．例38．（2022·浙江杭州·高一期末）已知x ，y ＝R +，且满足x 12x++2y 1y +=6，若xy 的最大值与最小值分别为M 和m ，M +m ＝_____．【答案】134【解析】∵x ，y ＝R +，设xy t =，则1xyt=，∴11116222222xy y x x y x y x y x y x y t t t⎛⎫=+++=+++⋅=+++ ⎪⎝⎭∴12t ＝（2t +2）x +（4t +1）y≥，∴18t ≥（t +1）（4t +1）＝4t 2+5t +1，∴4t 2﹣13t +1≤0，t ≤≤∵xy 的最大值与最小值分别为M 和m，∴M 138+=，m 138-=，∴M +m 134=．例39．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）若实数,x y 满足2221x xy y +-=，则222522x yx xy y --+的最大值为________．【答案】24【解析】由2221x xy y +-=，得(2)()1x y x y -+=，设12,x y t x y t-=+=，其中0t ≠．则1121,3333x t y t t t =+=-，从而2222112,522x y t x xy y t t t -=--+=+，记1u t t=-，则22225222x y u x xy y u -=-++，不妨设0u >，则12u u≤+当且仅当2u u =，即u=．故答案为：24．例40．（2022·江苏连云港·高二期末（文））已知0x >，0y >，则2223x y xy y ++的最小值为____．【答案】2【解析】∵x ，y ＞0，则2223x y xy y ++＝2231x y x y++，设xy＝t ，t ＞0，则()()2222212143311t t x y t xy y t t +-++++==+++＝（t +1）+41t +﹣﹣2＝4﹣2＝2，当且仅当t +1＝41t +，即t ＝1时取等号，此时x ＝y ，故2223x y xy y ++的最小值为2，故答案为2例41．（2022·黑龙江·铁人中学高二期中）若x ，y 均为正实数，且21123x y x y+=++，则x y +的最小值为________．【答案】95【解析】令x y t +=，则y t x =-，由21123x y x y +=++得211233x t x x t x +=+-+-，即21132x t t x +=+-，所以412232x t t x++-1=，因为0,0x y >>，所以220x t +>，320t x ->，所以[]41(22)(32)52232x t t x t x t t x ⎛⎫++-⋅+= ⎪+-⎝⎭，所以4(32)224152232t x x tt x t t x-++++=+-，所以4(32)225542232t x x t t x t t x -+-=+≥=+-，所以59t ≥，即95t ≥，当且仅当65x =，35y =时，等号成立．故答案为：95．。
2019年高考理科数学复习 最后的攻坚与排查 第一部分 高考微切口——攻坚克难
第一部分高考微切口——攻坚克难微切口1角的变换1微切口2三角形中的最值问题3微切口3平面向量问题的“基底法”与“坐标法”5微切口4几何图形中的数量积的应用7微切口5组合几何体的体积(面积)问题9微切口6隐性圆的研究(1)(可转化为直线与圆的问题)11 微切口7隐性圆的研究(2)(可转化为圆与圆的问题)13 微切口8构造不等关系求离心率范围15微切口9结合椭圆中直线的斜率关系求定点问题17微切口10复合函数的零点问题(含隐零点问题)20微切口11分段函数中的取值范围问题22微切口12构造辅助函数解决问题24微切口13不等式恒成立问题26微切口14多元变量问题的处理28微切口15数列中的奇、偶项问题30微切口16与等差、等比数列有关的整数解问题32微切口1 角的变换例1 若cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝35，17π12<x<7π4，则sin2x ＋2sin 2x 1－tanx＝________． 变式1 设α∈(0°，90°)，若sin(75°＋2α)＝－35，则sin(15°＋α)·sin(75°－α)＝________．变式2 已知函数f(x)＝2cos x2⎝⎛⎭⎫3sin x 2＋cos x 2－1，x ∈R . (1) 求f(x)的最小正周期；(2) 设α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (α)＝2，f (β)＝85，求f(α＋β)的值．1. 三角函数式的变换遵循“三变”：变“角”；变“函数名称”；变“结构特征”．2. 角的变换基本思路：(1) 是否是倍数关系：看α前的系数是否为倍数关系，如果是，提出2后进行下一步，如果不是也进行下一步；(2) 相加减后是否为特殊角：将两角进行相加或相减得出特殊角，如果是90°的倍数，运用诱导公式，否则运用两角和差公式求解；(3) 利用换元思想：将条件中的角或所要的角设为t ，将另一角用t 表示，这样比较容易找到两个角之间的关系．1. 已知sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝23，那么cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝________．2. 已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝33⎝⎛⎭⎫－π2<α<π2，那么sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝________．3. 若2cos2α＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π4，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos2α＝________．4. 若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45，则sin2α＝________．5. 将函数f(x)＝－sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象向右平移π6个单位长度后，得到的函数g(x)的图象关于直线x ＝π12对称，若g ⎝⎛⎭⎫θ2－π4＝－35，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π6＝________．6. 若sin ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫π6＋2x ＝________． 7. 已知函数f(x)＝3sin (ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1) 求ω和φ的值；(2) 若f ⎝⎛⎭⎫α2＝34⎝⎛⎭⎫π6<α<2π3，求cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2的值．8. 已知向量a ＝(－2，sin θ)与b ＝(cos θ，－1)互相垂直，其中θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π. (1) 求sin θ和cos θ的值； (2) 若sin (θ－φ)＝1010，π2<φ<π，求cos φ的值．微切口2 三角形中的最值问题例1 如图，在△ABC 中，若AB ＝AC ，AD ＝DC ，BD ＝3，则△ABC 面积的最大值为________．(例1)【思维引导】思路1：利用余弦定理求出cosA ，进而得到sinA ， 然后求出△ABC 的面积，最后求其最大值；思路2：利用向量的模求出△ABC 的面积，再求出其最大值．变式 已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，且2b －c a ＝cosCcosA .(1) 求角A 的大小；(2) 当a ＝3时，求b 2＋c 2的取值范围．1. 求解最值问题时，要注意三角形内角和为π这一限制条件．例如，若△ABC 是锐角三角形，则0<A<π2，A ＋B>π2，sinA>cosB ，sinB>cosC.2. 求解最值问题的关键在于将三角函数f(x)进行正确地“化一”及“化一”后角的范围的确定，因此，求解时要准确运用三角公式，并借助三角函数的图象和性质去确定函数f(x)的最值．同时要注意两边之和大于第三边等隐含条件．3. 求周长或面积的范围与最值可转化为边与角的范围，也可利用基本不等式求范围．1. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且BC 边上的高为32a ，则c b＋bc取得最大值时内角A 的值为________． 2. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＋42＝c 2，ab ＝4，则sinCtan 2Asin2B的最小值是________．3. 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b)(sinA －sinB)＝(c －b)sinC ，则△ABC 的面积的最大值为________．4. 如图，已知半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，OA ＝2，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC ，则四边形OACB 的面积S 的最大值是________．(第4题)5. 已知△ABC 的面积为S ，且BA →·BC →＝6S7，则sin 2A ＋sin 2C 的取值范围是________．6. 已知△ABC 的周长为6，且BC ，CA ，AB 成等比数列，则BA →·BC →的取值范围是________． 7. 已知函数f(x)＝2cos 2x －sin ⎝⎛⎭⎫2x －7π6.(1) 求函数f(x)的最大值，并写出f(x)取最大值时x 的取值集合；(2) 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若f(A)＝32，b ＋c ＝2，求实数a 的最小值．8. 在锐角三角形ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知c ＝2，3a ＝2csinA.(1) 若△ABC 的面积等于3，求a ，b 的值； (2) 求△ABC 的周长的取值范围．微切口3 平面向量问题的“基底法”与“坐标法”例1 如图，在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上．若BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则 AE →·AF →的最小值为________．(例1)变式1 在△ABC 中，已知AB ＝10，AC ＝15，∠BAC ＝π3，点M 是边AB 的中点，点N 在直线AC 上，且AC →＝3AN →，直线CM 与BN 相交于点P ，则线段AP 的长为________．变式2若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为________．处理平面向量问题一般可以从两个角度进行：切入点一：“恰当选择基底”．用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．切入点二：“坐标运算”．坐标运算能把学生从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标．对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的．1. 设E ，F 分别是Rt △ABC 的斜边BC 上的两个三等分点，已知AB ＝3，AC ＝6，则AE →·AF →＝________．2. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →＝________．(第2题)3. 如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝3332，则AB 的长为________．(第3题)4. 如图，在2×4的方格纸中，若a 和b 是起点和终点均在格点上的向量，则向量2a ＋b 与a －b 夹角的余弦值是________．(第4题)5. 已知向量OA →与OB →的夹角为60°，且|OA →|＝3，|OB →|＝2，若OC →＝mOA →＋nOB →，且OC →⊥AB →，则实数m n＝________．6. 已知△ABC 是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足AQ →＝23AP →＋13AC →，则|BQ →|的最小值是________．7. 如图，在Rt △ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足BP →＝12PC →，点M ，N 在过点P的直线上，若AM →＝λAB →，AN →＝μAC →，λ，μ>0，则λ＋2μ的最小值为________．(第7题)8. 如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE →＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________．(第8题)9. 如图，在直角梯形ABCD 中，若AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD →(m ，n 均为正实数)，则1m ＋1n的最小值为________．(第9题)10. 已知三点A(1，－1)，B(3，0)，C(2，1)，P 为平面ABC 上的一点，AP →＝λAB →＋μAC →且AP →·AB →＝0，AP →·AC →＝3.(1) 求AB →·AC →的值； (2) 求λ＋μ的值．微切口4 几何图形中的数量积的应用例1 给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°. (1) 求|OA →＋OB →|；(2) 如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB ︵上变动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．(例1)例2 已知正三角形ABC 内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，则PA →·PB →的取值范围是________．变式 在△ABC 中，若M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________．1. 平面向量数量积的两种运算方法：(1) 依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化．(2) 利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标来处理．如何将问题转化为已知条件的数量积表示是解题成功关键．2. 极化恒等式： a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2](极化恒等式)几何意义：如图(1)，向量的数量积表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14，即a ·b ＝14(AC 2－DB 2)(平行四边形模式)．思考：在△ABD 中(M 为BD 的中点)，此恒等式如何表示呢？如图(2)，将△ABD 补为平行四边形ABCD ，因为AC ＝2AM ，所以a ·b ＝AM 2－14DB 2(三角形模式)．注意：运用极化恒等式的三角形模式，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式．图(1) 图(2)1. 已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________．2. 在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝2 3 BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →＝________． 3. 如图放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点A ，D 分别在x 轴、y 轴正半轴上(含原点)滑动，则OB →·OC →的最大值是________．(第3题)4. 已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →＝________．5. 如图，在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝60°，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP →的最小值是________．(第5题)6. 已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC.若点P 的坐标为(2，0)，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为________．7. 在平行四边形ABCD 中，若AC →·AD →＝AC →·BD →＝3，则线段AC 的长为________． 8. 如图，在圆O 的内接三角形ABC 中，M 是BC 的中点，AC ＝3.若AO →·AM →＝4，则AB ＝________．(第8题)9. 如图，已知点O 为△ABC 的外心，∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 的对边分别为a ，b ，c ，且2OA →＋3OB →＋4OC →＝0.(1) 求cos ∠BOC 的值；(2) 若△ABC 的面积为15，求b 2＋c 2－a 2的值．(第9题)微切口5组合几何体的体积(面积)问题例1请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为________m时，帐篷的体积最大．(例1)变式如图，直线AA1，BB1，CC1相交于点O，AO＝A1O，BO＝B1O，CO＝C1O，形成两个顶点相对、底面水平的三棱锥，设三棱锥高均为1，若上面三棱锥中装有高度为0.5的液体，若液体流入下面的三棱锥，则液体高度为________．(变式)例2如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，E，F分别为边AB，AD的中点．现将△ADE沿DE折起，得四棱锥A-BCDE.(1) 求证：EF∥平面ABC；(2) 若平面ADE⊥平面BCDE，求四面体FDCE的体积．(例2)采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)．1.几何体的“分割”：几何体的分割，即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体．2.几何体的“补形”：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等．另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积．1.在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝2，BD⊥CD，将其沿对角线BD 折成四面体A′BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′BCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为________．2.已知矩形的顶点都在半径为2的球的球面上，且AB＝3，BC＝3，过点D作DE垂直于平面ABCD，交球于E，则四棱锥E-ABCD的体积为________．3.已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC的体积的最大值为36，则球O的表面积为________．4.已知三棱锥A-BCD的外接球为球O，球O的直径AD＝2，且△ABC，△BCD都是等边三角形，则三棱锥ABCD的体积是________．5.如图，半径为1的球内切于正三棱锥PABC中，则此正三棱锥的体积的最小值为________．(第5题)6.如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形．若圆柱侧面积为16π，其底面直径与母线长相等，则此三棱柱的体积为________．(第6题)7.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为________．(第7题)8.设正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为________．9. 如图，正方形ABCD 的边长为2，点E ，F 分别是BC ，CD 的中点，沿着AE ，AF ，EF 把该正方形折叠成三棱锥APEF(点B ，C ，D 重合于点P)，则三棱锥APEF 的内切球的半径为________．(第9题)10. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到图(2)中△A 1BE 的位置，得到四棱锥A 1-BCDE.(1) 求证：CD ⊥平面A 1OC ；(2) 当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1-BCDE 的体积为362，求a 的值．图(1) 图(2)(第10题)微切口6 隐性圆的研究(1)(可转化为直线与圆的问题)例1 在平面直角坐标系xOy 中，点A(1，0)，B(4，0)．若直线x －y ＋m ＝0上存在点P 使得PA ＝12PB ，则实数m 的取值范围是________．【思维引导】已知A ，B 为定点，满足AP ＝12PB 的点P 的轨迹是一个圆，要求m 的取值范围，只要使动直线x －y ＋m ＝0与该圆有公共点即可．变式 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆O 1：(x －4)2＋y 2＝4，动点P 在直线x ＋3y －b ＝0上，过点P 分别作圆O ，O 1的切线，切点分别为A ，B ，若满足PB ＝2PA 的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是________．例2求函数y ＝2－sinx2－cosx的最值．【思维引导】其函数最值为定点(2，2)和动点(cosx ，sinx)连线的斜率的最值．1. 阿波罗尼斯圆：阿波罗尼斯圆(线)是解析几何中常见的问题背景，了解其特性．动点P(x ，y)到定点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)的距离之比为定值λ(c ，λ为正数)，求点P(x ，y)的轨迹方程．【解析】依题意，由距离公式：（x ＋c ）2＋y 2＝λ（x －c ）2＋y 2，化简得(1－λ2)x 2＋(1－λ2)y 2＋2c(1＋λ2)x ＋(1－λ2)c 2＝0 (1)． 【讨论】方程的图形是什么？ ①当λ＝1时，得 x ＝0，也就是线段F 1F 2的垂直平分线(定义这样的直线为阿波罗直线)； ②当λ≠1时，方程(1)变形得x 2＋y 2＋2c （1＋λ2）1－λ2x ＋c 2＝0，化成标准形式： ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －λ2＋1λ2－1·c 2＋y 2＝⎝⎛⎭⎫2cλλ2－12 (2)． 这是以⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋1λ2－1·c ，0为圆心，且半径r ＝⎪⎪⎪⎪2cλλ2－1的圆(称之为阿波罗尼斯圆)． 2. 与圆有关的最值问题：在变化过程中，就会出现一些最值问题，如距离最小、最大等．这些问题常常联系到平面几何知识，利用数形结合思想可直接得到相关结论．1. 若动直线y ＝k(x －2)与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB的面积取得最大值时，k的值为________．2.设点P是函数y＝－4－（x－1）2图象上的任意一点，点Q(2a，a－3)(a∈R)，则PQ 的最小值为________．3.已知实数a，b，c满足a2＋b2＝c2，c≠0，那么ba－2c的取值范围为________．4.若实数a，b，c成等差数列，点P(－1，0)在动直线ax＋by＋c＝0上的射影为点M，点N(3，3)，则线段MN长度的最大值为________．5.在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2＋y2＝4上两点，点A(1，1)，且AB⊥AC，则线段BC的长的取值范围为________．6.已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l：x＋y－6＝0，A为直线l上一点，若圆M上存在两点B，C，使得∠BAC＝60°，则点A的横坐标的取值范围是________．7.设函数f(x)＝a＋－x2－4x和g(x)＝43x＋1，已知当x∈[－4，0]时恒有f(x)≤g(x)，求实数a的取值范围．8.已知点A(0，1)，B(1，0)，C(t，0)，D是直线AC上的动点，若AD≤2BD恒成立，求最小正整数t的值．微切口7 隐性圆的研究(2)(可转化为圆与圆的问题)例1在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x －a)2＋(y －a ＋2)2＝1，点A(0，2)，若圆C 上存在点M ，满足MA 2＋MO 2＝10，则实数a 的取值范围是________．【思维引导】注意对条件MA 2＋MO 2＝10的转化．变式1 在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x ＋a ＋3)2＋(y －2a)2＝1(a 为实数)．若圆O 与圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30°，则a 的取值范围为________．变式2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A(0，3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在直线l 上，若圆C 上一存在点M ，使得MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．(变式2)1. 如何将隐圆变为显圆：圆的方程是常考问题，但有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆(或圆的方程)，从而最终可以利用圆的知识来求解，常见的有以下策略．策略一 利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐圆；策略二 动点P 对两定点 A ，B 的张角是90°(k PA ·k PB ＝－1或PA →·PB →＝0)确定隐圆； 策略三 两定点A ，B ，动点 P 满足PA →·PB →＝λ确定隐圆；策略四 两定点A ，B ，动点 P 满足PA 2＋PB 2是定值确定隐圆；策略五 两定点A ，B ，动点 P 满足AP ＝λBP(λ>0，λ≠1)确定隐圆(阿波罗尼斯圆)． 2. 利用几何法简化研究直线和圆及圆与圆的位置关系：直线和圆有关的网络交汇问题，利用直线和圆及圆与圆的位置关系，借助圆的几何性质的代数表示(相切条件，勾股数等)简化运算，充分体现解析几何的特点“代数的方法研究几何性质，利用几何性质可简化其运算”．1. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M ：(x －a)2＋(y ＋a －3)2＝1(a ＞0)，点N 为圆M 上任意一点．若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为________．2. 已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a)2＋(y －a ＋4)2＝1.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则实数a 的取值范围为________．3. 已知线段AB 的长为2，动点C 满足CA →·CB →＝λ(λ<0)，若点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，则负数λ的最大值是________． 4. 在平面直角坐标系xOy 中，若与点A(2，2)的距离为1且与点B(m ，0)的距离为3的直线恰有两条，则实数m 的取值范围为________．5. 已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，线段EF 在直线l ：y ＝x ＋1上运动，点P 为线段EF 上任意一点，若圆C 上存在两点A ，B ，使得PA →·PB →≤0，则线段EF 长度的最大值是________． 6. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：(x －1)2＋y 2＝2，圆C 2：(x －m)2＋(y ＋m)2＝m 2，若圆C 2上存在点P 满足：过点P 向圆C 1作两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，△ABP 的面积为1，则正数m 的取值范围是________．7. 已知圆M ：(x －1)2＋(y －4)2＝4，若过x 轴上的一点P(a ，0)可以作一直线与圆M 相交于A ，B 两点，且满足PA ＝BA ，求实数a 的取值范围．8. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0及点A(－1，0)，B(1，2)．(1) 若直线l ∥AB ，且与圆C 相交于M ，N 两点，MN ＝AB ，求直线l 的方程；(2) 在圆C 上是否存在点P ，使得PA 2＋PB 2＝12？若存在，求点P 的个数；若不存在，请说明理由．(第8题)微切口8 构造不等关系求离心率范围例1 已知椭圆的中心在原点O 处，右焦点为F ，右准线为l ，若在l 上存在点M ，使线段OM 的垂直平分线经过点F ，则椭圆的离心率的取值范围是________．【思维引导】离心率的范围实质为一个不等关系，如何构建这种不等关系？可以利用长度和垂直平分线性质构建．y 2b 2＝1(a>b>0)与圆C 2：x 2＋y 2＝b 2，若在椭圆C 1上存在点P ，使得由点P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则椭圆C 1的离心率的取值范围是________．例2 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)上一点A 关于原点O 的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF ＝α，且α∈⎣⎡⎦⎤π12，π4，则椭圆离心率的取值范围是________．离心率的范围问题是高考的热点问题，如何找到关于“a ，c ”的不等关系式是问题的关键，常用的处理方法和技巧有：1. 借助平面几何图形中的不等关系：根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段等，将这些量结合曲线的几何性质用a ，b ，c 进行表示．2. 借助题目中给出的不等信息：根据试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立等，进一步得到离心率的不等关系式．3. 借助函数的值域求范围：根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式，通过确定函数的定义域后，利用函数求值域求解离心率的范围．4. 根据椭圆或双曲线自身的性质求范围：在求离心率的范围时有时常用椭圆或双曲线自身的性质，如椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>0，b>0)中，－a ≤x ≤a ，P 是椭圆上任意一点，则a －c ≤PF 1≤a ＋c 等．1. 设a>1，则双曲线x 2a 2－y2（a ＋1）2＝1的离心率e 的取值范围是________．2. 已知过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13＜k ＜12，则椭圆C 的离心率的取值范围是________．3. 已知椭圆C 1：x 2m ＋2－y 2n ＝1与双曲线C 2：x 2m ＋y 2n ＝1有相同的焦点，则椭圆C 1的离心率e 的取值范围为________．4. 已知两定点A(－2，0)和B(2，0)，动点P(x ，y)在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为________．5. 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是________．6. 设F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，且F 1F 2＝2c ，若椭圆上存在点P ，使得PF 1·PF 2＝2c 2，则椭圆的离心率的最小值为________．7. 已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点，若PF 21PF 2的最小值为8a ，则双曲线的离心率e 的取值范围是________．8. 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其焦距为2c ，点Q ⎝⎛⎭⎫c ，a 2在椭圆的外部，点P 是椭圆C 上的动点，且PF 1＋PQ<53F 1F 2恒成立，则椭圆离心率的取值范围是________．9. 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，如果椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，则椭圆离心率e 的取值范围为________．10. 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F 1，F 2，且两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若PF 1＝12，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1e 2＋1的取值范围是________．微切口9 结合椭圆中直线的斜率关系求定点问题例1 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝4，椭圆C ：x 24＋y 2＝1，A为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于B ，C 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中D ⎝⎛⎭⎫－65，0.设直线AB ，AC 的斜率分别为k 1，k 2.(1) 求k 1k 2的值；(2) 记直线PQ ，BC 的斜率分别为k PQ ，k BC ，是否存在常数λ，使得k PQ ＝λk BC ？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；(3) 求证：直线AC 必过点Q.(例1)变式 过椭圆x 24＋y 2＝1的上顶点A 作互相垂直的直线分别交椭圆于M ，N 两点．求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．1. 圆锥曲线中定点问题处理方法：(1) 引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2) 特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． 2. 两直线的斜率关系的处理：一种方法是通过消除参数来减少变量个数，另一种方法即是设点的坐标，然后通过“设而不求”的办法来加以处理．1. 如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右焦点为F(1，0)，离心率为22，过点F 作两条互相垂直的弦AB ，CD ，设AB ，CD 的中点分别为M ，N.(1) 求椭圆的方程；(2) 求证：直线MN 必过定点，并求出此定点的坐标．(第1题)2. 已知椭圆x 23＋y 22＝1，过点P(1，1)分别作斜率为k 1，k 2的椭圆的动弦AB ，CD ，设M ，N 分别为线段AB ，CD 的中点．若k 1＋k 2＝1，求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．3. 如图，已知椭圆E 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，圆E 2：x 2＋y 2＝a 2，过椭圆E 1的左顶点A 作斜率为k 1的直线l 1与椭圆E 1和圆E 2分别相交于点B ，C.设D 为圆E 2上不同于A 的一点，直线AD 的斜率为k 2，当k 1k 2＝b 2a 2时，试问：直线BD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．(第3题)4. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 3⎝⎛⎭⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设直线l 不经过点P 2且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，求证：直线l 过定点．微切口10复合函数的零点问题(含隐零点问题)例1已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|，若方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0恰有七个不相同的实数根，则实数b的取值范围是________．变式已知函数f(x)＝|e x－1|，又g(x)＝f2(x)－tf(x)(t∈R)，若满足g(x)＝－1的x有三个，则t的取值范围是________．例2(隐零点问题)已知函数f(x)＝x(1＋lnx)．(1) 求函数f(x)的单调区间及其图象在点x＝1处的切线方程；(2) 若k∈Z，且k(x－1)<f(x)对任意x>1恒成立，求k的最大值．1.复合函数零点问题：考虑关于x的方程g(f(x))＝0的根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于f(x)的方程，观察有几个f(x)的值使得等式成立；第二层是结合第一层f(x)的值求出每一个f(x)被几个x对应，将x的个数汇总后即为g(f(x))＝0的根的个数．2.“隐零点”问题：求解导数压轴题时，我们一般对零点设而不求，通过一种整体的代换和过渡，再结合其他条件，从而最终获得问题的解决．我们称这类问题为“隐零点”问题．其处理方法如下：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f′(x0)＝0，并结合f(x)的单调性得到零点的范围；第二步：以零点为分界点，说明导函数f′(x)的正负，进而得到f(x)的最值表达式；第三步：将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明；有时候第一步中的零点范围还可以适当缩小，我们将其称为隐形零点三部曲．导函数零点虽然隐形，但只要抓住特征(零点方程)，判断其范围(用零点存在性定理)，最后整体代入即可．1. 关于x 的方程(x 2－1)2－3|x 2－1|＋2＝0的不相同实数根的个数是________．2. 设定义域为R 的函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1|x －1|，x ≠1，1，x ＝1，若关于x 的方程f 2(x)＋bf(x)＋c ＝0有3个不同的解x 1，x 2，x 3，则x 21＋x 22＋x 23＝________．3. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x>a ，若存在实数b ，使函数g(x)＝f(x)－b 有2个零点，则实数a 的取值范围是________．4. 已知定义在R 上的函数f(x)＝⎩⎨⎧|x 2＋x|，x ≤0，ln （x ＋1），x>0，若函数g(x)＝f(x)－a(x ＋1)恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________．5. 已知函数f(x)＝x|lnx|，若关于x 的方程f 2(x)－(2m ＋1)f(x)＋m 2＋m ＝0恰好有4个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是________．6. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －t ）2，x ≤t ，x 4，x>t ，其中t>0，若函数g(x)＝f(f(x)－1)有6个不同的零点，则实数t 的取值范围是________．7. 已知函数f(x)＝ax 2－ax －xlnx ，且f(x)≥0.(1) 求实数a 的值；(2) 求证：f(x)存在唯一的极大值点x 0，且e －2<f(x 0)<2－2.微切口11 分段函数中的取值范围问题例1 已知a ∈R ，函数f(x)＝⎩⎨⎧x 2＋2x ＋a －2，x ≤0，－x 2＋2x －2a ，x>0.若对任意的x ∈[－3，＋∞)，f(x)≤|x|恒成立，则实数a 的取值范围是________．例2 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x|，0<x<2，x ＋22x ，x ≥2，若0＜a ＜b ＜c ，满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则abf （c ）的取值范围为________．变式 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x 2＋（4a －3）x ＋3a ，x<0，log a （x ＋1）＋1，x ≥0(a>0且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x的方程|f(x)|＝2－x3恰有2个不相等的实数解，则a 的取值范围是________．1. 分段函数零点问题： (1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．2. 分段函数恒成立问题：(1) a ≥f(x)恒成立⇔a ≥f(x)max ； (2) a ≤f(x)恒成立⇔a ≤f(x)min .3. 分段函数单调性问题：分段函数单调性的判断应注意各段间的联结关系．我们知道，在各段上单调性相同的分段函数在整个定义域上不一定是单调函数．因此，特别要注意每相邻两段联结间的单调性．求分段函数的单调性问题，如能借助函数的图象，则可以很直观地求出函数的单调区间或判断函数的单调性．1. 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧（1－2a ）x ＋3a ，x<1，lnx ，x ≥1的值域为R ，那么实数a 的取值范围是________．2. 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧（3a －1）x ＋4a ，x<1，log ax ，x ≥1在R 是单调函数，则实数a 的取值范围是________．3. 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x ＋2，x ＞a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，若函数g(x)＝f(x)－2x 恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．4. 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x 2，x ∈[0，＋∞），x 3＋a 2－3a ＋2，x ∈（－∞，0）在区间(－∞，＋∞)上是增函数，则常数a 的取值范围是________．5. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x>4，若函数y ＝f(x)在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．6. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x>0，若f(0)是f(x)的最小值，则实数a 的取值范围为________．7. 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧|x|，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x>m ，其中m>0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f(x)＝b 有3个不同的根，则m 的取值范围是________． 8. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3，x ∈（－1，0]，x ，x ∈（0，1]，且g(x)＝f(x)－mx －m 在(－1，1]内有且仅有2个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．9. 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧（2a －4）x ＋2a －3，x ≤t ，－x 2＋3x ，x>t ，无论t 取何值，函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上总是不单调，则实数a 的取值范围是________．10. 设函数f(x)＝⎩⎨⎧log 2⎝⎛⎭⎫－x2，x ≤－1，－13x 2＋43x ＋23，x>－1，若f(x)在区间[m ，4]上的值域为[－1，2]，则实数m 的取值范围为________．。
2022高考数学小题狂刷10 导数的概念与运算 (解析)
专题三 导数及其应用狂刷10 导数的概念与运算1．设函数()f x 在1x =处存在导数，则0(1)(1)lim 3x f x f x∆→+∆-=∆A ．1(1)3f ' B ．(1)f ' C ．3(1)f 'D ．(3)f '【答案】A 【解析】00(1)(1)1(1)(1)1lim lim (1)333x x f x f f x f f x x ∆→∆→+∆-+∆-'==∆∆，故选A ．2．函数()()cos =sin +1f x x x 的导数是 A ．cos2+sin x x B ．cos2sin x x - C ．cos2cos x x + D ．cos2cos x x -【答案】B【解析】由()()cos =sin +1f x x x 可得：22()sin (sin 1)cos cos cos sin f x x x x x x x '=-++⋅=--sin cos 2sin x x x =-.故选B.3．某物体的运动方程为21s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，则该物体在3秒末的瞬时速度为 A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒【答案】C【解析】t s 21+-='，物体在秒末的瞬时速度是(米/秒)，故选C ． 4．设函数()()sin cos ,f x x x f x =-的导函数记为()f x '，若()()002f x f x ='，则0tan x = A ．−1B ．1335321|3=⨯+-='=t sC ．1D ．3【答案】D【解析】根据题意，得()cos sin f x x x '=+，由()()002f x f x ='，得0000cos sin 2sin 2cos x x x x +=-， 化简可得00sin 3cos x x =，即0tan 3x =，故选D.【名师点睛】该题涉及的知识点有正、余弦的求导公式，同角三角函数关系式，还有就是函数在某点处的导数就是导函数在相应的点处的函数值，利用公式求得结果.首先根据题中所给的函数解析式，借助于求导公式，求得()cos sin f x x x '=+，结合题中的条件()()002f x f x ='，得到00sin 3cos x x =，利用同角三角函数关系式中的商关系，求得0tan 3x =，即得结果. 5．已知函数()f x 在R 上可导，其部分图象如图所示，设()()2121f f a -=-，则下列不等式正确的是A ．()()12f f a ''<<B ．()()12f a f ''<<C ．()()21f f a ''<<D ．()()12a f f ''<<【答案】B【解析】由图象可知，函数的增长越来越快，故函数在该点的斜率越来越大， ∵()()2121f f -=-a ，∴()()12f a f ''<<， 故选B ．6．曲线2()e (1)x f x x x =--在点(0,(0))f 处的切线方程是 A ．10x y ++= B ．10x y -+= C ．210x y -+= D ．210x y ++=【答案】D【解析】∵()2()e 2x f x x x '=+- ，∴f ′（0）＝﹣2，又f （0）＝﹣1，∴曲线2()e (1)x f x x x =--在点（0，f （0））处的切线方程是y +1＝﹣2（x ﹣0）， 即210x y ++=. 故选D.【名师点睛】本题考查了求导的基本运算，导数的意义及切线方程的求法，属于基础题.根据曲线上点的导数值为在该点处切线方程的斜率，再由点坐标即可得到切线方程. 7．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )=2xf ′(2)+x 3，则f ′(2)等于 A ．−8 B ．−12 C ．8 D ．12【答案】B 【解析】3()2(2)f x xf x '=+，2()2(2)3f x f x ''=+∴．令2=x ，则(2)2(2)12f f ''=+，得(2)12f '=-．故选B ．8．已知曲线ln y x =-的一条切线经过坐标原点，则此切线的斜率为 A ．e B ．e - C ．1e D ．1e-【答案】D【解析】设切点为()00,x y ，则由1y x'=-得01k x =-，又切线过原点，∴000ln 1x x x -=-，解得0e x =，∴1ek =-．故选D ． 【名师点睛】本题考查导数的几何意义，曲线()y f x =在某点处的切线与过某点的切线方程的求法有区别：曲线()y f x =在()()00,x f x 处的切线方程为()()()000y f x f x x x '-=-，若求过点()00,x y 处的切线，则可设切点为()()11,x f x ，由切点得切线方程，再由切线过点()00,x y ，代入求得1x ，从而得切线方程．9．已知曲线y =x 2上一点P 处的切线与直线2x −y +1=0平行，则点P 的坐标为 A ．(−1,1) B ．(1,1) C ．(2,4)D ．(3,9)【答案】B【解析】设切点P 的坐标为(x,y)，由题意得y′=2x ，∵切线与直线2x −y +1=0平行，∴切线的斜率k =2=2x ，解得x =1， 把x =1代入y =x 2，得y =1，故P(1,1). 故选B ． 10．曲线12exy =在点()24,e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为A ．2eB ．24eC ．22eD ．29e 2【答案】A 【解析】因为12exy =，所以114222,111e e e 222x y k ⨯=∴=='，则切线方程为221e e (4),2y x -=-即221e e 02x y --=， 因此与坐标轴的交点为2(0,e ),(2,0)-，围成的三角形的面积为221e 2e .2⨯⨯= 选A ．11．若曲线e x y =在0x =处的切线，也是ln y x b =+的切线，则b =A ．1-B ．1C ．2D ．e【答案】C【解析】函数e x y =的导数为e x y '=，则曲线e x y =在x ＝0处的切线斜率为0e 1k ==， 则曲线e x y =在x ＝0处的切线方程为1y x -=， 函数ln y x b =+的导数为1y x'=， 设切点为（m ，n ），则1m＝1，解得m ＝1，n ＝2， 即有2＝ln1+b ，解得b ＝2． 故选C ．12．设函数()f x 可导，若0(1)(1)lim13x f x f x∆→+∆-=∆，则(1)f '=__________．【答案】3【解析】因为0(1)(1)lim 13x f x f x∆→+∆-=∆，所以0(1)(1)l 13im1x f x f x ∆→+∆-=∆，即1(1)13f '=， 故(1)3f '=.13．已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为_____________．【答案】3【解析】因为23ln 4x y x =-，所以32x y x '=-，由题意知，3122x x -=，解得3x =（负值舍去），所以切点的横坐标为3． 14．已知函数()0()(2018ln ),2019f x x x f x '=+=，则0x =______________.【答案】1 【解析】()(2018ln ),f x x x =+()2018ln 12019ln f x x x '∴=++=+，又()02019f x '=， ∴02019ln 2019x +=， 解得01x =．15．若曲线2ln y ax x =-在(1,)a 处的切线平行于x 轴，则a =_______________．【答案】12【解析】由曲线在点(1，a )处的切线平行于x 轴得切线的斜率为0，由y ′＝2ax −1x及导数的几何意义得y ′|x =1＝2a −1＝0，解得a ＝12．故填12． 16．设函数()2e 1xf x ax=+，其中0a >.若对于任意(),0x f x '∈≥R ，则实数a 的取值范围是_______.【答案】(]01，【解析】由题可知，()()()222e 21=1x ax ax f x ax -+'+，令()2=21g x ax ax -+，则()g x 与()f x '符号相同，对于任意(),0x f x '∈≥R ，∴对于任意x ∈R ，()0g x ≥恒成立，又0a >，根据二次函数的图象与性质，得2=(2)40a a ∆--≤，解得01a <≤,∴实数a 的取值范围是(]0,1. 故答案为(]0,1.【名师点睛】本题考查函数导数的计算，二次函数的图象和性质，以及二次不等式恒成立问题.由二次函数图象与一元二次不等式的关系得到的两个常用结论： （1）不等式20ax bx c ≥＋＋对任意实数x 恒成立00a b c ==⎧⇔⎨≥⎩或00a >⎧⎨∆≤⎩；（2）不等式20ax bx c ≤＋＋对任意实数x 恒成立00a b c ==⎧⇔⎨≤⎩或00a <⎧⎨∆≤⎩. 17．已知函数2()e ,()cos πx f x a x g x x bx =+=+，直线l 与曲线()y f x =切于点(0,)(0)f ，且与曲线()y g x =切于点(1,)(1)g ，则a b +=_______________．【答案】2-【解析】()e 2x f x a x '=+，()πsin πg x x b '=-+，(0)f a =，(1)cos π1g b b =+=-，(0)f a '=，(1)g b '=，由题意可得(0)(1)f g ''=，即a =b ， 又1(0)10b af a --'==-，所以a =b =-1，所以2a b +=-．18．下列函数求导运算正确的个数为①(e e )=e e x x x x --'++；②21(log )ln 2x x '=； ③(e )e x x '=； ④1()ln x x'=； ⑤(e )e 1x x x '⋅=+． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】由求导公式及求导法则可知：①应为：(e e )=e e xxxx--'+-，④应为：21(ln )()ln x x x-'=-，⑤应为：()e e e x x x x x '⋅=+⋅，正确的为②③，故选B ．19．已知函数()e xf x x a =+，则“1a >-”是“曲线()y f x =存在垂直于直线20x y +=的切线”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题得切线的斜率为2，所以1()1e 2,e 1,0e x xxf x a a a '=+=∴=∴=>，因为{a |a >−1}{}|0a a ⊃>,所以“1a >-”是“曲线()y f x =存在垂直于直线20x y +=的切线”的必要不充分条件.故答案为B.【名师点睛】本题主要考查充要条件的判断和导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.先根据“曲线()y f x =存在垂直于直线20x y +=的切线”求a 的范围，再利用充要条件的定义判断充要性.20．设函数()()323sin f x x a x x ax =+++．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为A ．y x =-B ．2y x =-C ．4y x =-D ．3y x =-【答案】D【解析】∵函数()()323sin f x x a x x ax =+++为奇函数，∴()()f x f x -=-，即()()()()()()3323sin 23sin x a x x a x x a x x ax ⋅-++⋅-⋅-+⋅-=--+-.∴30a +=，即3a =-.∴()323f x x x =-，则()263f x x ='-.∴曲线()y f x =在点()0,0处的切线的斜率为()03f '=-. ∵()00f =，∴曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为3y x =-. 故选D.【名师点睛】本题主要考查利用导数求切线方程，先利用函数的奇偶性求出a ，再求出函数的导数，进而求出切线的斜率，然后即可求解切线方程，属于中档题.应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1)已知切点()()00,A x f x 求斜率k ，即求该点处的导数()0k f x ='；(2)已知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3)已知切线过某点()()11,M x f x (不是切点)求切点，设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x ='-=-求解.21．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为ππ42，⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则点P 横坐标的取值范围为 A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．[]10-， C ．[]01，D ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】设点P 的横坐标为0x ，223y x x =++，2+2y x '∴=，则002+2x x y x =='，利用导数的几何意义得02+2tan x α=（α为点P 处切线的倾斜角），又ππ42，α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴02+21x ≥，解得：012x ≥-，则点P 横坐标的取值范围为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.故选D. 22．其导函数记为()f x '，则(2018)(2018)(2018)(2018)f f f f ''+-+--的值为 A ．2 B ．1 C ．0 D ．−2【答案】A()()f x f x +-=所以(2018)(2018)(2018)(2018)2f f f f ''+-+--=． 故选A ．23．设点P 是曲线()2ln f x x x =-上的任意一点，则P 到直线20x y ++=的距离的最小值为AB ．2C．D．2【答案】C【解析】点P 是曲线()2ln f x x x =-上的任意一点，则当点P 是曲线的切线中与直线20x y ++=平行的直线上的切点时，距离最小， 由20x y ++=得斜率是-1，则1121y x=-'=-，解得：x =1， 所以可得P 点坐标为（1，1），则点P 到直线20x y ++==故选C ．24．已知1a ≥，曲线31()f x ax ax=-在点(1,(1))f 处的切线的斜率为k ，则实数k 的最小值为 AB．C ．2 D ．4【答案】D【解析】221()3f x ax ax +'=，则曲线31()f x ax ax=-在点(1,)(1)f 处的切线的斜率(1)k f ='=13a a +，又1a ≥，所以13314k a a=+≥+=，故实数k 的最小值为4.故选D ．25．各项均为正数的等比数列{}n a 满足2664a a =,3432a a =,若函数()231012310f x a x a x a x a x =++++的导函数为()f x ',则12f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭A ．10B ．()201213- C ．9122-D ．55【答案】D【解析】设各项均为正数的等比数列{a n }的公比q ＞0，∵a 2a 6=64，a 3a 4=32，∴2634a a a a =q =2， ∴a 2a 6=261a q =21a ×26=64，a 1＞0，解得a 1=1．∴a n =2n −1．∵函数()231012310f x a x a x a x a x =++++，∴导函数为f ′（x ）=a 1+2a 2x +3a 3x 2+···+10a 10x 9，∵11()2n n a -=1，∴f ′（12）=1+2+ (10)()101102⨯+=55． 故选D ．【名师点睛】本题考查了等比数列的通项公式与等差数列的求和公式、导数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．26．若函数y =f(x)的图象上存在不同两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相平行，则称y =f(x)具有“同质点”.关于函数：①y =sinx ；②y =e x ；③y =lnx ；④y =x 3.以上四个函数中具有“同质点”的函数是 A ．①④B ．②③C ．①②D ．③④【答案】A【解析】设函数y =f(x)的图象上存在不同两点(x 1,y 1),(x 2,y 2)，由题意y =f(x)具有“同质点”，则f ′(x 1)=f ′(x 2)(x 1≠x 2)，∵y =sinx,y ′=cosx ，cos0=cosπ，∴具有“同质点”， ∵y =e x ,y ′=e x ，不存在e x 1=e x 2，∴不具有“同质点”， ∵y =lnx,y ′=1x ，不存在1x 1=1x 2，∴不具有“同质点”，∵y =x 3,y ′=3x 2, 3×(−1)2=3×(1)2，∴具有“同质点”. 故选A ．27．已知F(x)在R 上可导，且F(x)=f(x 3−1)+f(1−x 3)，则F ′(1)=__________．【答案】0【解析】由题知F′(x)=3x 2f′(x 3−1)−3x 2f′(1−x 3)，则F′(1)=3f′(0)−3f′(0)=0． 故填0．28．若函数()ln f x x ax =-在点()1,P b 处的切线与320x y +-=垂直,则2a b +=__________．【答案】2- 【解析】1()f x a x=-'，(1)1f a '=-， 即函数()ln f x x ax =-在点(1,)P b 处的切线的斜率是1a -， 因为直线320x y +-=的斜率是13-， 所以1(1)13a ⎛⎫-⨯-=- ⎪⎝⎭，解得2a =-.由点(1,)P b 在函数()ln 2f x x x =+的图象上，得(1)2f b ==， 则22(2)22a b +=⨯-+=-.29．若曲线()24ln f x x x =-在点()1,1-处的切线与曲线23y x x m =-+相切，则m 的值是_________.【答案】134【解析】因为()24ln f x x x =-，所以()42f x x x='-，所以()12f '=， 所以曲线()f x 在点()1,1-处的切线方程为()121y x +=-，即23y x =-，联立2233y x y x x m=-⎧⎨=-+⎩，得2530x x m -++=， 因为直线与曲线相切，所以()25430m ∆=-+=，解得134m =. 故答案为134. 【名师点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点()00,P x y 及斜率，其求法为：设()00,P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 为切点的切线方程为：()()000y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．30．已知a,b 为正实数，直线y =x −a 与曲线y =ln (x +b )相切，则2a +3b的最小值为__________.【答案】5+2√6【解析】y =ln (x +b )的导数为y′=1x+b ，由切线的方程y =x −a 可得切线的斜率为1，可得切点的横坐标为1−b ，切点为(1−b,0)， 代入y =x −a ，得a +b =1，∵a 、b 为正实数，∴2a +3b =(a +b )(2a +3b)=2+3+2b a+3a b≥5+2√2b a⋅3a b=5+2√6，当且仅当a =√63b ，即a =√6−2,b =3−√6时，取得最小值5+2√6. 故答案为5+2√6.31．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则A ．e 1a b ==-，B ．a=e ，b =1C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-【答案】D【解析】∵e ln 1,x y a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=， 将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-.故选D ．【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a ，b 的等式，从而求解，属于常考题型.32．（2019年高考全国Ⅱ卷）曲线y =2sin x +cos x 在点(π，-1)处的切线方程为A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=【答案】C 【解析】2cos sin ,y x x '=-π2cos πsin π2,x y =∴=-=-'则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π， 即2210x y +-π+=． 故选C ．【名师点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．33．（2018新课标I 理）设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x =【答案】D【解析】因为函数()f x 是奇函数，所以10a -=，解得1a =， 所以()3f x x x =+，()231f x x '=+，所以()()01,00f f '==，所以曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为()()00y f f x '-=，化简可得y x =. 故选D.【名师点睛】该题考查的是有关曲线()y f x =在某个点()()00,x f x 处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论：多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得()f x '，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.34．（2016山东理）若函数y =f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y =f (x )具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是 A ．y =sin x B ．y =ln x C ．y =e x D ．y =x 3【答案】A【解析】当sin y x =时，cos y x '=，cos 0cos 1⋅π=-，所以在函数sin y x =的图象上存在两点，使条件成立，故A 正确；函数3ln ,e ,x y x y y x ===的导数值分别为10,e 0,x y y y x'''=>=>=230x ≥，不符合题意， 故选A ．35．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________．【答案】30x y -=【解析】223(21)e 3()e 3(31)e ,x x x y x x x x x '=+++=++ 所以切线的斜率0|3x k y ='==，则曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=．【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求． 36．（2019年高考天津）曲线cos 2xy x =-在点(0,1)处的切线方程为__________. 【答案】220x y +-=【解析】∵1sin 2y x '=--， ∴01|sin 0212x y ='=---=，故所求的切线方程为112y x -=-，即220x y +-=.【名师点睛】曲线切线方程的求法：（1）以曲线上的点(x 0，f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤： ①求出函数f (x )的导数f ′(x )； ②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，并化简．（2）如果已知点(x 1，y 1)不在曲线上，则设出切点(x 0，y 0)，解方程组0010010()()y f x y y f x x x=⎧⎪-⎨'=⎪-⎩得切点(x 0，y 0)，进而确定切线方程．37．（2018年高考天津）已知函数f (x )=e x ln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′（1）的值为__________．【答案】e【解析】由函数的解析式可得f ′(x)=e x ×lnx +e x ×1x =e x (lnx +1x )， 则f ′(1)=e 1×(ln1+11)=e . 即f′(1)的值为e.【名师点睛】本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.38．（2018新课标Ⅲ理）曲线()1e xy ax =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则a =________． 【答案】3-【解析】令()()1e xf x ax =+，则()e e (1)x xa ax f x +'=+，因为()012f a =+=-'，所以3a =-. 故答案为3-.【名师点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题.先求导，再利用导数的几何意义计算即可.39．（2018新课标Ⅲ理）曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________．【答案】y =2x 【解析】∵y ′=2x+1， ∴在点(0,0)处切线的斜率为k =20+1=2，则所求的切线方程为y =2x .【名师点睛】求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知的曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.40．（2017新课标全国I ）曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为_______________． 【答案】1y x =+【解析】设()y f x =，则21()2f x x x '=-， 所以(1)211f '=-=，所以曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=⨯-， 即1y x =+．【名师点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设),(00y x P 是曲线)(x f y =上的一点，则以P 为切点的切线方程是000()()y y f x x x '-=-．若曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．41．（2017年高考天津）已知a ∈R ，设函数()ln f x ax x =-的图象在点（1，(1)f ）处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为___________． 【答案】1【解析】由题可得(1)f a =，则切点为(1,)a ， 因为1()f x a x'=-，所以切线l 的斜率为(1)1f a '=-， 切线l 的方程为(1)(1)y a a x -=--， 令0x =可得1y =， 故l 在y 轴上的截距为1．【名师点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题型，函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '的几何意义是曲线()y f x =在点00(,)P x y 处的切线的斜率，切线方程为000()()y y f x x x '-=-．解题时应注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的不同，没切点应设出切点坐标，建立方程组进行求解．42．（2019年高考江苏）在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是 ▲ .【答案】4 【解析】由4(0)y x x x =+>，得241y x'=-， 设斜率为1-的直线与曲线4(0)y x x x=+>切于0004(,)x x x +， 由20411x -=-得0x =0x =， ∴曲线4(0)y x x x=+>上，点P 到直线0x y +=4=.故答案为4．【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法，利用数形结合和转化与化归思想解题.。
高三高考数学复习多元变量的最值和范围问题精品PPT课件
5 所以最小值为 2(1 ln 2)2 ．
5
课堂小结： 1．消元法．既然是多“元”，那么基本思路自然是减少变
量（减元），往往是通过消元，将多元问题转化为一元或二元问 题，再用不等式或函数方程知识求解．消元的方法主要是利用 等量关系消元，也有利用不等量关系进行消元的，有的问题甚 至还要进行放缩消元．
且点(1，e)在直线 y 4 x 的
下方，在直线 y 5 3x 的上方， 此时yx取得最小值 e ．
所以ba的取值范围为[e，7]．
变式 2：若实数 a、b、c、d 满足 a2 2ln a 3c 4 =1，
b
d
则 (a c)2 (b d )2 最小值为
．
变式 2：若实数 a、b、c、d 满足 a2 2ln a 3c 4 =1，
3．转换角度．在分析、解决问题的过程中，当用某种思路 解答遇到困难时，不妨换个角度，可能柳暗花明又一村．常见 的思路有数形转换、正反转换，将代数、平面几何、三角等问 题转换为解析几何问题（如例 3 变式 2），这样不仅有益于拓宽 解题思路，还能克服思维定势．
线性规划知 t∈13，1，所以原式＝t＋1t∈2，130，最大值为130．
变式 1：（2012 高考题）已知正数 a，b，c 满足 5c－3a≤b≤4c－a，cln b≥a＋cln c，
则ba的取值范围是_____．
解：由 5c－3a≤b≤4c－a 及 c＞0，得 5－3ca≤bc≤4－ac．①
当且仅当mn ＝mn 时取等号，则2xx＋y＋x＋y2y的最大值为23．
题组三、利用线性规划、几何意义转换求多元变量的最值 和范围 例 3 ： 已 知 x ， y∈R ， 满 足 2≤y≤4 － x ， x≥1 ， 则 x2＋xyy－2＋x2＋x－y－2y1＋2的最大值为________．
高考数学二轮总复习第1篇核心专题提升多维突破专题5解析几何微专题解析几何问题的方法技巧课件
典例1 如图，F1，F2 是椭圆 C1：x42＋y2＝1 与双曲线 C2 的公共
焦点，A，B 分别是 C1，C2 在第二、四象限的公共点．若四边形 AF1BF2
为矩形，则 C2 的离心率是( D )
A. 2
B． 3
C．32
D．
6 2
【解题欣赏】 由已知，得 F1(－ 3，0)，F2( 3，0)，设双曲线 C2 的实半轴长为 a，由椭圆及双曲线的定义和已知，
技法三 巧设参数 换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、 不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解 题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍． 常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等．在 换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值 范围或改变原题条件．
可得 3－t2＞0，即 0＜t2＜3， 又由于圆心到直线的距离等于半径， 即 d＝ |51－＋mt2| ＝ 2＋1＋2tt22＝2 1＋t2＝r， 而由 0＜t2＜3 可得 2＜r＜4. 故 r 的取值范围为(2,4)．
技法四 妙借向量 平面向量是衔接代数与几何的纽带，沟通“数”与“形”，融数、 形于一体，是数形结合的典范，具有几何形式与代数形式的双重身份， 是数学知识的一个交汇点和联系多项知识的媒介．妙借向量，可以有效 提升圆锥曲线的解题方向与运算效率，达到良好效果．
整理得(1＋k2)x20＋2ax0＝0，于是 x0＝1－＋2ka2， 代入②，得(1＋k2)·1＋4ak222＜a2， 解得 k2＞3，所以|k|＞ 3.
方法三：设 P(acos θ，bsin θ)(0≤θ＜2π)，则线段 OP 的中点 Q 的坐
标为a2cos
θ，b2sin
浅议“微专题”在高三数学复习课的整合运用
浅议“微专题”在高三数学复习课的整合运用发布时间：2021-05-20T14:11:59.907Z 来源：《中国教工》2020年第20期作者：肖晓燕[导读] 微专题”在高三数学复习课的整合运用，肖晓燕(广州市真光中学广东省广州市 510380）摘要：“微专题”在高三数学复习课的整合运用，结合学生实际情况，设计切口小、目的明确、针对性强、效率高的微型复习专题，有助于突破复习资料的局限性，争取在复习过程中解决学习上的种种难题，梳理知识要点，查缺补漏，强化复习效果。
关键词：高三数学；复习课；微专题高三阶段数学教育活动以“复习”为主旋律，回顾复习知识点，启发学生数学思维与自主学习能力，强化数学核心素养。
反思传统的高三数学复习活动，以梳理知识点、运用数学思想方法的大专题复习为主，虽然能够系统性地整合知识，并且运用多样复习方法，但是话题覆盖面广、时间点零散，导致复习过程缺乏深度与精准度，影响了整体复习效果。
因此结合高三数学复习课的任务目标，笔者采用了“微专题”复习策略，不仅帮助学生把握数学知识，而且锻炼数学思想、运用数学方法，夯实数学核心素养。
一、“微专题”的运用内涵分析高三数学复习涉及的内容多、知识点零散，如果按照教材的内容安排按部就班的复习过程，不利于建立知识体系。
因此结合高中生的认知水平以及高三数学复习的基本要求，整合“函数与方程”、“函数与导数”、“数列综合题”、“三角与向量”、“几何定值问题”等相关内容，设计“微专题”复习活动非常必要。
高三复习的教学设计要服务于学生的实际需要，通过系统性的复习补齐短板，既要强化应试能力，也要渗透学科核心素养。
那么为了提高复习的有效性，教师要明确学生需要什么、复习什么，怎样复习，而设计“微专题”的实质就是明确复习的方向，整合复习的内容，以新角度、小切口、强针对性的特征，充分考虑学情与考情，逐一突破复习要点，深入而又透彻地剖析数学问题，帮助学生夯实基础知识、提升数学思维、强化问题解决能力，这也正是新高考的落脚点。