向量及运算
数学中的向量运算
数学中的向量运算在数学中的向量运算向量是数学中的重要概念，它可以用来描述物理量的大小和方向。
在数学中，向量可以进行各种运算，如加法、减法、数量乘法、点积和叉积等。
本文将详细介绍数学中的向量运算及其应用。
一、向量的定义和表示方法在数学中，向量通常用带箭头上方加粗的小写字母表示，比如`a`。
向量的表示方法有多种，可以用坐标表示，也可以用起点和终点的坐标表示。
例如，向量`a`可以用坐标表示为`(a₁, a₂, a₃)`，也可以用起点和终点的坐标表示为`a(a₁, a₁, a₁) → a(a₂, a₂, a₂)`。
二、向量的加法和减法向量的加法和减法是最基本的向量运算。
向量的加法可以通过将对应的坐标相加来实现。
例如，给定向量`a(a₁, a₂, a₃)`和向量`a(a₁, a₂, a₃)`，它们的和为`a + a = (a₁ + a₁, a₂ + a₂, a₃ + a₃)`。
向量的减法可以通过将对应的坐标相减来实现。
例如，给定向量`a(a₁, a₂, a₃)`和向量`a(a₁, a₂, a₃)`，它们的差为`a - a = (a₁ - a₁, a₂ - a₂, a₃ - a₃)`。
三、数量乘法向量的数量乘法是指将一个标量与向量的每个坐标相乘。
例如，给定标量`a`和向量`a(a₁, a₂, a₃)`，则`aa = (aa₁, aa₂, aa₃)`。
四、点积点积也称为数量积或内积，是向量运算中的一种重要形式。
点积可以通过将对应的坐标相乘再相加来实现。
例如，给定向量`a(a₁, a₂,a₃)`和向量`a(a₁, a₂, a₃)`，它们的点积为`a·a = a₁a₁ + a₂a₂+ a₃a₃`。
点积具有很多重要的性质和应用。
它可以用来计算向量之间的夹角，判断向量的正交性等。
五、叉积叉积也称为向量积或外积，是向量运算中的一种重要形式。
与点积不同，叉积的结果是一个新向量，它的方向垂直于原来的两个向量，大小与原来两个向量构成的平行四边形的面积成正比。
向量的基本概念与运算法则
向量的基本概念与运算法则一、向量的基本概念向量是数学中经常使用的一个概念，它指的是有大小和方向的量。
向量通常用字母加上一个箭头表示，例如向量a可以写作a→。
向量的大小可以用模表示，记作|a|。
向量的方向可以用角度表示，在平面中通常以与正 x 轴的夹角θ 来表示。
二、向量的表示方法1. 平行四边形法则平行四边形法则是常见的向量表示法之一。
在平面直角坐标系中，我们可以使用平行四边形的两条边来表示向量。
具体做法是将向量的起点与坐标原点重合，然后以向量的大小和方向在坐标系中画出一条射线，再从射线的终点倒回来形成一个平行四边形，这个平行四边形的两条边就可以表示向量。
2. 分量表示法另一种常见的向量表示方法是分量表示法。
在平面直角坐标系中，我们可以使用向量在 x 轴和 y 轴上的投影来表示向量。
具体做法是将向量的起点与坐标原点重合，然后以向量的终点在坐标系中画出一条线段，从线段的终点与坐标原点相连，分别画出与 x 轴和 y 轴平行的两条线段，这两条线段的长度即为向量在 x 轴和 y 轴上的分量。
三、向量的运算法则1. 加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
具体做法是将两个向量的起点重合，然后将两个向量的终点连接起来形成一个新的向量。
2. 减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
具体做法是将两个向量的起点重合，然后将第二个向量以相反的方向画出来，并将它的终点与第一个向量的终点连接起来形成一个新的向量。
3. 数量乘法向量的数量乘法是指将一个向量与一个标量相乘得到一个新的向量。
具体做法是将向量的大小乘以标量，并保持向量的方向不变。
4. 内积（点积）向量的内积，也称为点积，是指将两个向量相乘得到一个数。
具体做法是将两个向量的对应分量相乘，然后将所有的乘积相加起来。
5. 外积（叉积）向量的外积，也称为叉积，是指将两个向量相乘得到一个新的向量。
具体做法是将两个向量的大小与它们夹角的正弦值相乘，然后按照右手定则确定新向量的方向。
向量运算公式
以下是常见的向量运算公式：
向量加法：C=A+B，其中A、B、C分别为向量，表示将A和B向量相加得出C向量。
向量减法：C=A-B，其中A、B、C分别为向量，表示将B 向量从A向量中减去得出C向量。
向量数量积：C=A·B，其中A、B、C分别为向量，表示将A向量和B向量的对应分量相乘再相加得出C数量。
向量叉积：C=A×B，其中A、B、C分别为向量，表示将A向量和B向量的叉乘得出C向量。
向量模长：|A|，表示向量A的长度。
向量点积的余弦公式：A·B=|A||B|cosθ，其中A、B分别为向量，θ为两个向量之间的夹角。
向量叉积的模长公式：|A×B|=|A||B|sinθ，其中A、B分别为向量，θ为两个向量之间的夹角。
向量投影公式：proj_A B=(A·B/|A|^2)A，其中A、B分别为向量，proj_A B表示向量B在向量A上的投影。
向量的基本运算
向量的基本运算在数学和物理中，向量是一个具有大小和方向的量。
向量可以进行多种基本运算，如相加、相减、数乘等。
本文将详细介绍向量的基本运算及其性质。
1. 向量的表示方法向量通常用带箭头的字母表示，例如$\vec{A}$，箭头表示向量的方向。
向量也可以用坐标表示，如$\vec{A}=(x，y，z)$表示三维向量。
在向量上还有一些常用记号，例如向量的模表示向量的大小，记作$|\vec{A}|$或$||\vec{A}||$。
2. 向量的加法向量的加法是将两个向量的对应分量相加。
设有两个向量$\vec{A}=(x_1，y_1，z_1)$和$\vec{B}=(x_2，y_2，z_2)$，则它们的和为$\vec{A}+\vec{B}=(x_1+x_2，y_1+y_2，z_1+z_2)$。
向量的加法满足交换律和结合律。
3. 向量的减法向量的减法是将两个向量的对应分量相减。
设有两个向量$\vec{A}=(x_1，y_1，z_1)$和$\vec{B}=(x_2，y_2，z_2)$，则它们的差为$\vec{A}-\vec{B}=(x_1-x_2，y_1-y_2，z_1-z_2)$。
求向量的差可以看作是求向量的和再乘以$-1$。
4. 数乘运算数乘是指将向量的每个分量都乘以一个实数。
设有一个向量$\vec{A}=(x，y，z)$和一个实数$k$，则$k\vec{A}=(kx，ky，kz)$。
数乘的运算性质包括交换律和结合律。
5. 内积内积是向量的一种重要的运算，它可以用来计算两个向量之间的夹角。
设有两个向量$\vec{A}=(x_1，y_1，z_1)$和$\vec{B}=(x_2，y_2，z_2)$，它们的内积表示为$\vec{A}\cdot\vec{B}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$。
内积满足交换律、结合律和分配律。
6. 外积外积是向量的另一种运算，它用于计算向量之间的垂直分量和面积。
设有两个向量$\vec{A}=(x_1，y_1，z_1)$和$\vec{B}=(x_2，y_2，z_2)$，它们的外积表示为$\vec{A}\times\vec{B}=(y_1z_2-y_2z_1，z_1x_2-z_2x_1，x_1y_2-x_2y_1)$。
10.1向量及其运算(1-30)
数乘运算的性质 :
例 设 AD , BE ,CF 是三角形 ABC 的中线 ,
求 解
AD BE CF
1 AD ( AC AB) 2
F A E
B
因为
D
C
1 BE ( BA BC ) 2 1 CF (CB CA) 2
1 AD BE CF ( AC AB BA BC CB CA) 2 1 ( AC AB AB BC BC AC ) 0 2
(5)
(b )a
a b cos (a ,ˆ b ) b cos (a ,ˆ b ) a
1 ab b a b a a a
ba (b )a
(6)
ab cos (a ,ˆ b ) ab
(5) 外积与混合积
外积: 两个向量 a 与 b 的外积 a b 是一个向量,
它的长度为
a b a b sin(a ,ˆ b )
b , a b ) 形成 右手系 . 若 a , b 中有一是零向量 , 则外积规定为
例 设 M 点是三角形 ABC 的重心 , 证明 : 对
任意一点 O , M 点相对于 O 的位置向量
1 OM (OA OB OC ) 3
F A E
O
C
B
M
D
解 由于 OM OA AM
OM OB BM OM OC CM
将三式相加得
3OM OA OB OC AM BM CM
OC OB (OA OB ) BC BA ( ) AB
向量及其运算
№2向量及其运算1. 向量的生成①逐个元素直接输入向量元素需要有“[ ]”括起来,元素之间可以用空格、逗号或分号分隔。
用空格和逗号分隔生成行向量，用分号分隔生成列向量。
例：a=[1 2 3 0 -4 5.1]b=[0.1;3;5;8]②利用冒号表达式生成通过设定“步长(step)”，生成一维行向量，通用格式为：x=x0:step:x n。
x0表示向量的首元素值，x n表示尾元素数值限，step表示从第个元素开始，每一个元素与前一个元素的差值. step=1时，可省略此项的输入，直接写成x=x0:x n。
例：x=0:2:10y=1:2:10z=1:5③定数线性采样生成设定总点数n下，均匀采样生成一维行向量。
通用格式为x=linspace(a,b,n)。
a，b分别是生成向量的第一个和最后一个元素，n是采样总点数。
该指令生成的数组相当于由a:(a-b)/(n-1):b生成的数组。
缺省n时，生成100维的行向量。
clear %清除工作空间中的所有变量.x=linspace(-5,5,11)y=-5:10/10:5z=linspace(-5,5)④定数对数采样生成向量设定总点数n下，经“常用对数”均匀采样生成一维行向量。
通用格式为x=logspace(a,b,n) 。
生成数组的第一个元素值为10a，最后一个元素值为10b，n为采样总点数，缺省时，生成50维的行向量。
例如：clear %清除工作空间中的所有变量.x=logspace(1,5,5)y=1:(5-1)/(5-1):5xx=10.^yz=logspace(1,5)2. 向量元素的引用格式为：向量名（下标范围或元素所满足的条件）。
例：clearrand('state',0) %把均匀分布伪随机发生器置为初始状态x=rand(1,5) %产生（1×5）的均匀分布随机数组x(3) %引用数组x的第三个元素y=x([1 2 5]) %引用数组x的第一、二、五个元素z=x(1:3) %引用数组x的前三个元素w=x(3:end) %引用数组x的从第三个元素以后的元素v=x(3:-1:1) %由数组x的前3个元素倒排构成的了数组u=x(find(x>0.5)) %数组x中大于0.5的元素构成的子数组t=x([1 2 3 4 4 3 2 1]) %重复引用数组x中的元素构成的数组3. 向量与标量、向量与向量的运算①四则运算（＋－ * / \ .* ./ .\）标量a与向量x进行四则运算是a分别与x中的每个元素进行四则运算并生一个与x 等长的向量。
向量及其运算
以a、b的坐标表示式代入, 即得 x=2(2, 1, 2)-3(-1, 1, -2) =(7, -1, 10), y=3(2, 1, 2)-5(-1, 1, -2) =(11, -2, 16).
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铃
四、利用坐标作向量的线性运算
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铃
•向量的平行 两个非零向量如果它们的方向相同或相反, 就称这两个
向量平行. 向量a与b平行, 记作a//b. 零向量认为是与任何向量都平行.
•共线向量与共面向量
a//b//c
当两个平行向量的起点放在同一点时, 它们的终点和公
共的起点在一条直线上. 因此, 两向量平行又称两向量共线.
(2) 数 轴 的 的 正 向 通 常 符 合 右手规则.
原点
y轴 x轴
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•坐标面 在空间直角坐标系中, 任意两个坐标轴可以确定一个平
面, 这种平面称为坐标面. 三个坐标面分别称为xOy 面, yOz面和zOx面.
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•坐标面
在空间直角坐标系中, 任意两个坐标轴可以确定一个平 面, 这种平面称为坐标面.
❖空间直角坐标系
在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量i、j、k, 就 确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴, 依次记为x轴(横 轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴), 统称为坐标轴. 它们构成一个空 间直角坐标系, 称为Oxyz坐标系.
z轴
说明：
(1)通常把x轴和y轴配置在水 平面上, 而z轴则是铅垂线;
向量及其运算
称 c 为向量 a 与b 的向量积 , 记作
c a b (叉积)
引例中的力矩
思考: 右图三角形面积 S＝
a b
b a
c ab
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2. 性质
(1) a a 0
(2) a , b为非零向量, 则
ab 0
a∥ b
证明: 当a 0, b 0 时,
a , b 夹角 的正弦与余弦 .
答案: a b 1 ,
a b (1, 1, 3)
cos 1 ,
23
sin
11 12
2. 用向量方法证明正弦定理:
abc sin A sin B sin C
B ca
A
bC
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证: 由三角形面积公式
SABC
1 2
ab 0
a b sin 0 sin 0，即 0 或
3. 运算律
a∥ b
(1) a b b a (2) 分配律 ( a b ) c a c b c
(3) 结合律 ( a ) b a ( b ) ( a b )
(证明略)
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4. 向量积的坐标表示式
设 a ax i ay j az k , b bx i by j bz k , 则 ( ax i ay j az k ) (bx i by j bz k )
axbx ( i i )
ayby ( j j )
azbz ( k k )
(aybz azby ) i (azbx axbz ) j
cx cy cz
向量的运算与性质
向量的运算与性质本文将围绕向量的运算与性质展开论述，探讨向量的基本概念、运算法则以及相关性质。
向量是数学中重要的基本概念之一。
它可以用有向线段表示，具有大小和方向。
向量的运算包括向量的加法和数乘。
一、向量的加法向量的加法满足交换律、结合律和对称律。
设有向量a和向量b，它们的加法运算可表示为a+b。
在几何上，向量a+b的结果是由向量a 和向量b依次相连形成的新向量，它的起点与向量a的起点重合，终点与向量b的终点重合。
向量加法满足交换律，即a+b=b+a；结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)；对称律，即a+b=b+a。
二、数乘向量的数乘是指将向量与实数相乘的运算。
设有向量a和实数k，它们的数乘运算可表示为ka。
在几何上，向量ka是由向量a按照倍数k进行拉伸或收缩得到的新向量，其大小和a的大小相差k倍，方向与a的方向相同（当k>0）或相反（当k<0）。
三、向量的性质1. 零向量：零向量是指大小为0的向量，记作0或O，它的方向可以是任意的。
2. 负向量：设有向量a，其负向量记作-a，它们的大小相等、方向相反。
3. 相等向量：两个向量a和b相等，当且仅当它们的大小相等、方向相同。
4. 平行向量：如果两个向量a和b的方向相同或相反，即a∥b，它们被称为平行向量。
5. 零向量与任何向量的运算：对于任意向量a，都有a+0=a和a+(-a)=0。
6. 数乘的性质：设有向量a和b，实数k和m，有以下性质：（1）k(a+b)=ka+kb；（2）(k+m)a=ka+ma；（3）k(ma)=(km)a；（4）1a=a，其中1表示实数1。
7. 向量的数量积：向量a和向量b的数量积（也称为点积或内积）记作a·b或(a,b)，其结果是一个实数。
数量积的计算公式为a·b=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和向量b的大小，θ表示向量a和向量b之间的夹角。
8. 向量的数量积的性质：设有向量a、向量b和向量c，实数k和m，有以下性质：（1）a·b=b·a（交换律）；（2）(ka)·b=k(a·b)；（3）(a+b)·c=a·c+b·c；（4）a·a=|a|^2（非负性）。
向量的四则运算
向量的线性运算
1、向量的加法
三角形法则 已知a、b，作 = a ， = b ，则为a与b的和
向量，如图7-1(a)所示.
平行四边形法则
设O为任意一点，作OA= a ， OB= b ，以OA、OB为邻边作
平行四边形OACB，则OC为a与b的和向量，如图7-1(b)所示.
2、向量的减法
当λ<0时， λa的方向与a的方向相反；
当λ=0时， λa =0.
4、向量共线的条件
向量共线的充要条件：
向量a与非零向量b共线的充要条件是
有且只有一个实数λ，使得a =λ b.
5、运算法则
λ （μa） =（ λμ）a
（λ + μ） a = λa + μa
λ（ a + b） = λa + λb
a+b=b+a
D三点共线.
解析
技巧
点拨
因为 + = =3a+8b+(a-2b)=4a+6b，
所以 =-2(-2a-3b)=-2 = ，
又因为 ∩ =B，所以A、B、D三点共线.
考查了平面向量的线性运算.
典例解析
例4 化简下列各式:
(1) 2(a+3b)-4(a-b);
单位向量的模都等于1，所以（2）为真命题；
对于（3），只要b=0，就不一定能得到a∥c，所以
（3）为假命题；
两个相等向量的方向一定相同，所以（4）为真命题.
所以正确答案选B.
技巧
点拨
本题考查向量的概念及单位向量、零向量、向量的模(长
度)等知识点.解决此类问题的关键是弄清向量的有关概念.
§7.1向量及其运算1
设有两非零向量
a
与
b
O
，任取空间一点
b
O
，
B
作 OA a ， OB b ，规定不超过 的角 AOB
（设 q
AOB,
0
q
）称为向量
a
与
b
的
夹角。记为
(a,
b)
或
(a
b)
，即
(a,
b)
q
。
如果向量a
与b
中有一个是零向量，规定
它们的夹角可在0 与 之间任意取值。
类似地可以规定向量与一轴 的夹角或空间两轴的夹角。
§7.1向量及其运算
7.1.1 向量的概念
B
向量： 既有方向又有大小的量。
常用有向线段来表示向量。
AB A
以 A为 起点，B为 终点的有向线段所表示的向量
记作 AB ，或a 。
向量的模：向量的大小，记作
a
。
单位向量：模等于 1 的向量。与非零向量a同 向的单
位向量称为向量a
的单位向量，记作a
。
零向量：模等于零的向量，记为0 ，其方向不定。
∵
a (a b )
0
，
a
(c
a
)
0
，
∴
a (b c )
0
，故a ,
b, c
共面。
作业
习 题 一 （P67）
3（做在书上）； 4 ；5 ；6 。
设物体在常力F 作用下沿某直线移动，其位移为S ，
则作用在物体上的常力F 所作的功为
F
W F S cos q 。 W F ·S 。
其中q 定义 3
为两力向F 量与a位、移bS的的模夹及角其。夹角的A 余弦q的乘S 积，
向量运算公式大全
向量运算公式大全向量是数学中一个非常重要的概念，它在物理、工程、计算机科学等领域都有着广泛的应用。
向量运算是对向量进行各种操作的过程，包括加法、减法、数量乘法、点积、叉积等。
本文将为大家介绍向量运算的各种公式，希望能帮助大家更好地理解和运用向量。
1. 向量加法。
向量加法是指两个向量相加的运算。
设有两个向量a和b，它们的加法运算可以表示为：a +b = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)。
其中a1, a2, ..., an分别表示向量a的各个分量，b1, b2, ..., bn分别表示向量b的各个分量。
这个公式表明，向量加法就是将两个向量对应分量相加得到新的向量。
2. 向量减法。
向量减法是指一个向量减去另一个向量的运算。
设有两个向量a和b，它们的减法运算可以表示为：a b = (a1 b1, a2 b2, ..., an bn)。
与向量加法类似，向量减法也是将两个向量对应分量相减得到新的向量。
3. 数量乘法。
数量乘法是指一个向量乘以一个标量的运算。
设有一个向量a和一个标量k，它们的数量乘法运算可以表示为：k a = (k a1, k a2, ..., k an)。
这个公式表明，数量乘法就是将向量的每个分量都乘以标量得到新的向量。
4. 点积。
点积是指两个向量之间的一种运算。
设有两个向量a和b，它们的点积可以表示为：a ·b = a1 b1 + a2 b2 + ... + an bn。
点积的结果是一个标量，它等于两个向量对应分量相乘再相加得到的值。
5. 叉积。
叉积是指两个向量之间的另一种运算。
设有两个向量a和b，它们的叉积可以表示为：a ×b = (a2 b3 a3 b2, a3 b1 a1 b3, a1 b2 a2 b1)。
叉积的结果是一个新的向量，它的方向垂直于原来两个向量所在的平面，大小等于这两个向量构成的平行四边形的面积。
以上就是向量运算的一些基本公式，通过这些公式我们可以进行各种向量运算，包括向量的加法、减法、数量乘法、点积、叉积等。
向量的基本运算公式大全
向量的基本运算公式大全向量是数学中的重要概念，常用于描述物理、几何和计算机图形学等领域。
在向量的运算中，包括向量的加法、减法、数量乘法、点积和叉积等基本运算。
下面将分别介绍这些向量运算的公式。
1. 向量的加法：设向量a=(a1, a2, ..., an)，b=(b1, b2, ..., bn)，则向量a和向量b的加法定义为：a +b = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)2. 向量的减法：设向量a=(a1, a2, ..., an)，b=(b1, b2, ..., bn)，则向量a和向量b的减法定义为：a -b = (a1 - b1, a2 - b2, ..., an - bn)3. 向量的数量乘法：设向量a=(a1, a2, ..., an)，k为常数，则向量a乘以k的结果为：k * a = (k * a1, k * a2, ..., k * an)4. 向量的点积（内积）：设向量a=(a1, a2, ..., an)，b=(b1, b2, ..., bn)，则向量a和向量b的点积定义为：a ·b = a1 * b1 + a2 * b2 + ... + an * bn5. 向量的叉积（外积）：设向量a=(a1, a2, a3)，b=(b1, b2, b3)，则向量a和向量b的叉积定义为：a ×b = (a2 * b3 - a3 * b2, a3 * b1 - a1 * b3, a1 * b2 - a2 * b1)6. 向量的模（长度）：设向量a=(a1, a2, ..., an)，则向量a的模（长度）定义为：|a| = sqrt(a1^2 + a2^2 + ... + an^2)7. 向量的单位化：设向量a=(a1, a2, ..., an)，则向量a的单位向量定义为：u = a / |a| = (a1/|a|, a2/|a|, ..., an/|a|)8. 向量的投影：设向量a=(a1, a2, ..., an)，向量b=(b1, b2, ..., bn)，则向量a在向量b上的投影为：proj_b a = (a · b) / |b| * (b1/|b|, b2/|b|, ..., bn/|b|)9. 向量的夹角：设向量a和向量b的夹角为θ，则夹角θ的余弦定义为：cosθ = (a · b) / (|a| * |b|)以上是向量的基本运算公式大全，这些公式在数学和物理中有着广泛的应用。
10.1 向量及其运算
负向量 (1) a 称为 a 的负向量，记为 a ．
差运算 a 与 b 的和称为 a 与 b 的差，
记为 a b．
C
b
b
A
a
a b
B
C
b
D
a b
a b
A
a
B
三角形法则
平行四边形法则
向量满足下列运 算规律：
(1)
交换律
a b b a
a
b
(3)
Prj b a
a b
e
a
b
|a|
Prj a b
a b
e
b
a
|b|
例 1.设
a, b, c
是三个任意向量，若分别以OA, OB 和OC表示，
点P,Q, R, S 分别是线段 OA, AB, BC,CO 的中点．试分别
求出OP
,OQ ,OR,OS与a,
b,
c的关系式，从而推证
PQ
SR．
解
显然，OP
1 2
OA
1 2
a
，OS
1 2
OC
1 2
c
b
)
时， 则称
a
与
b
垂 直(正 交 ） ，记
a b．
2
定义
给定向量 a
向量加减法的运算法则
向量加减法的运算法则
1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律，即对于任意向量a、b和c，有a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)。
2. 向量的减法：向量的减法等价于加上一个负向量，即a-b=a+(-b)。
其中，-b 是向量b的负向量，它方向与b相反，大小相等。
3. 向量的数乘：向量的数乘指将一个实数k与向量a相乘，将a的大小缩放为原来的k倍，即ka。
如果k是负数，它会将向量a逆向，即大小不变，方向发生改变。
4. 零向量：零向量是一个特殊的向量，它所有的分量都为零。
零向量与任何向量进行加法，得到的结果是该向量本身，即a+0=a。
5. 反向量：每个向量都有一个对应的反向量，它的大小相等，方向相反。
向量a 的反向量记作-a，它满足a+(-a)=0。
6. 同向量和异向量：如果两个向量的正负方向相同，则它们是同向量；反之，如果它们正负方向相反，则称它们为异向量。
向量之间的运算
向量之间的运算
向量的运算主要包括向量的加法、减法、数量积、向量积等。
1、向量的加法
向量的加法是指将两个向量相加得到一个新向量的运算。
向量的加法满足交换律和结合律。
2、向量的减法
向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新向量的运算。
向量的减法也满足交换律和结合律。
3、数量积
数量积又称为点积或内积，是两个向量的乘积的数量。
数量积的结果是一个标量（即实数），数量积满足交换律和分配律。
4、向量积
向量积又称为叉积或外积，是两个向量的乘积的向量。
向量积的结果是一个垂直于原来的两个向量的向量，其大小等于原来两个向量围成的平行四边形的面积。
向量积满足反交换律和分配律。
2.向量及其运算
设 a 为一向量, 与 a 的模相同而方向相反 的向量叫做 a 的负向量 , 记作 a.
两个向量 b 与 a 的差
a ba b a
b a b (a ).
B
O
b a
ba
A
三角不等式 a b a b, a b a b.
10
其中等号在 a 与 b 同向或反向时成立.
如图知a M 1 M 2 M 1 P M 1Q M 1 R ( x 2 x1 )i ( y2 y1 ) j ( z 2 z1 )k a x i a y j az k 其中向量a x i，a y j，a z k 分别称为向量a在x轴, y轴, z轴上的分向量，
z
R
P
M1
M2
Q
o
x
y
27
z
R
M1
由图分析可知
o
x
P
M2
Q
y
a y | M 1 M 2 | cos | a | cos
a x | M1 M 2 | cos | a | cos
az | M1 M 2 | cos | a | cos
2
向量也可用粗体字母表示, 如 a , i , v , F 等等, 向量还可用在上面 加箭头的书写体字母 表示, 如a , i , v , F 等等.
向量的大小叫做向 量的模.向量 M1 M 2、a、a 的模依次记作 M1 M 2 、 a、 a.
向量的模
单位向量
模等于1 的向量叫做单位向量 , 用ea 表示与 非零向量a同方向的单位向量.
§2 向量及其运算
向量及其线性运算
向量的概念及其运算
坐标,记为 OA = x, y .
注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具.
3.相等向量:长度相等且方向相同的向量. 向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量
a 与 b 相等,记为 a b .
课堂练习:
4.正方形 PQRS 对角线交点为 M，坐标原点 O 不在正方形内部，
A 且
OP
=（0，3），
OS
=（4，0），则
RM
=(
)
(A)（ 7 , 1 ） (B)（ 7 , 1 ） (C)（7，4） (D)（ 7 , 7 ）
22
22
22
5.已 知 a (1，2)，b x，1 ,且 a 2b 与 2a b 平 行,则 x 等 于
OA AB OB
实数与 向量的 乘积
三角形法则
两个向 量的数 量积
AB =λ a
λ ∈R
记 a =(x,y)
则 a =(λ x,λ y)
ab a b cos a,b 记 a (x1, y1),b (x2, y2)
则 a · b =x1x2+y1y2
向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量 的数量积运算.
当基底 i, j 是两个互相垂直的单位向量时,
就建立了平面直角坐标系.如图
a xi y j 一一对应(x, y)
⑴当向量起点在原点时,定义向量坐标
为终点坐标,即若 A(x，y),则 OA =（x,y）;
⑵当向量起点不在原点时,向量 AB 坐标为终点坐标减
向量运算归纳(全)
向量运算归纳(全)向量是数学中一种常见而重要的概念。
向量运算是对向量进行各种操作和运算的过程。
本文将对向量运算进行归纳和总结，包括向量的加法、减法、数量乘法以及点积和叉积等。
向量加法向量加法是指将两个向量按照对应分量相加的运算。
如果有两个向量 A 和 B，分别表示为 A=(a1, a2, a3) 和 B=(b1, b2, b3)，则它们的和定义为：A + B = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)。
向量减法向量减法是指将两个向量按照对应分量相减的运算。
如果有两个向量 A 和 B，分别表示为 A=(a1, a2, a3) 和 B=(b1, b2, b3)，则它们的差定义为：A - B = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3)。
数量乘法数量乘法是指将一个实数与一个向量的每个分量相乘的运算。
如果有一个实数 k 和一个向量 A，表示为 A=(a1, a2, a3)，则数量乘法定义为：kA = (k * a1, k * a2, k * a3)。
点积点积也称为内积，是指将两个向量的对应分量相乘再求和的运算。
如果有两个向量 A 和 B，分别表示为 A=(a1, a2, a3) 和 B=(b1, b2, b3)，则它们的点积定义为：A · B = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3。
叉积叉积也称为向量积，是指通过两个向量的叉乘运算得到一个新的向量。
如果有两个向量 A 和 B，分别表示为 A=(a1, a2, a3) 和B=(b1, b2, b3)，则它们的叉积定义为：A × B = (a2 * b3 - a3 * b2, a3 * b1 - a1 * b3, a1 * b2 - a2 * b1)。
向量运算在物理学、工程学、计算机科学等领域有着广泛的应用。
通过对向量运算的归纳和总结，我们可以更好地理解和应用向量。
---参考文献:。
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(
a
+b)
MB
=
−
1 2
(
b
−
a
)
A
a
B
MC
=
1 2
(
a
+
b
)
MD
=
1 2
(
b
−
a
)
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三、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念
过空间一定点 O ,由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点
Ⅲ
z z 轴(竖轴)
Ⅱ
• 坐标轴
Ⅳ
• 坐标面 • 卦限(八个) Ⅶ
代入②得 y = 1 (3 x − b) = (11,− 2,16) 2
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例3. 已知两点 在AB所在直线上求一点 M , 使
及实数 −1,
解: 设 M 的坐标为
如图所示
AM = MB
AM = OM − OA MB = OB − OM
OM − O A = (OB − OM )
(a + b) = a + b
则有单位向量 ea =
1 a
a. 因此 a = a ea
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定理1. 设 a 为非零向量 , 则
a∥b
( 为唯一实数)
证: “ ”. 设 a∥b , 取 ＝± , a , b 同向时取正号
反向时取负号, 则 b 与 a 同向, 且
=
=b
故 b = a. 再证数 的唯一性 . 设又有 b＝ a , 则 ( − ) a = 0 故 − = 0, 即 = .
x
x轴(横轴) Ⅷ
yOz 面
O xOy面
Ⅴ
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
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在直角坐标系下
点 M ⎯1−⎯−1→ 有序数组 (x, y, z) ⎯1−⎯−1→ 向径 r
(称为点 M 的坐标) 特殊点的坐标 :
原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ;
坐标面上的点 A , B , C
第八章
空间解析几何与向量代数
第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何
在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面
数量关系 — 坐标, 方程（组） 基本方法 — 坐标法; 向量法
第一节
第八章
向量及其线性运算
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影
a+b b
a
a 运算规律 : 交换律 a + b = b + a
结合律 ( a + b ) + c = a + (b + c ) = a + b + c
三角形法则可推广到多个向量相加 .
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s = a1 + a2 + a3 + a4 + a5
a4
a5
a3 s
a2 a1
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z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C(x,0, z)
r
O
x P(x,0,0)
M y
Q(0, y,0)
A(x, y,0)
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z
O x
坐标面 :
坐标轴 :
y
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2. 向量的坐标表示
以在空i ,间j ,直k 分角别坐标表系示下x,,
任意向量 r 可用向径 OM 表示.
零向量的方向可以看作是任意的.
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若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ;
若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ;
与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作－a ;
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“ ” 已知 b＝ a 反向
例1. 设 M 为 ABCD 对角线的交点,
试用a 与b 表示 MA, MB , MC , MD.
解: a + b = AC
= −2 MA
D
C
b − a = BD
= −2 MB
bM
MA =
−
1 2
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一、向量的概念
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a , 或 a .
向量的模 : 向量的大小,
自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 记作 e 或e . 零向量: 模为 0 的向量,
M2 M1
A
M B
o
A
得 即
OM
=
1
1+
(OA +
OB
)
B
1
1+
(x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 )
M
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说明: 由
1
1+
(x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 )
bx = by = bz ax ay az
bx = ax by = ay
bz = az
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例2. 求解以向量为未知元的线性方程组
5x−3y = a
①
3x−2y =b
②
其中 a =（2，1，2）, b =（−1，1，− 2）.
解: 2×① －3×② , 得
x = 2a − 3b = (7,−1,10)
y , z 轴上的单位向量 , 设点 M
的坐标为 M (x , y , z), 则
z C
OM = ON + NM = OA + OB + OC
M
k
O
r j
i
B y
r = x i + y j + z k 记= (x , y , z )
A x
N
此式称为向量 r 的坐标分解式 ,
沿三个坐标轴方向的分向量,
2. 向量的减法 三角不等式
a
减去向量的终点指
向被减向量的终点
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3. 向量与数的乘法
是一个数 , 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 a .
规定 :
总之:
a = a
运算律 : 结合律 ( a ) = ( a) = a
可见 1a = a
−1a = −a ;
分配律
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四、利用坐标作向量的线性运算
设 a = ( ax ,ay ,az ), b = (bx ,by ,bz ), 为实数，则
a b = (ax bx , ay by , az bz )
a = ( ax , ay , az )
平行向量对应坐标成比例:
当 a 0 时,
因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
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二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
b a+b
(a + b) + c
c
b+c
a +(b+c)
a
三角形法则:
a+b+c a+b b