向量及运算

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向量的概念及运算

1 a
a. 因此 a a ea
定理1. 设 a 为非零向量 , 则
a∥b
( 为唯一实数)
证: “ ”. 设 a∥b , 取＝± , a , b 同向时取正号
反向时取负号, 则 b 与 a 同向, 且
b
Baidu Nhomakorabea
故 b a. 再证数的唯一性 . 设又有 b＝ a , 则 ( ) a 0 故 0, 即 .
若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ;
与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作－a ;
因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称两向量共线 .
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
a4
a5
a3 s
a2 a1
2. 向量的减法
a
三角不等式
3. 向量与数的乘法
是一个数 , 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 a .
规定 :
总之:
a a
运算律 : 结合律 ( a ) ( a) a
分配律
可见 1a a
1a a ;
(a b) a b
则有单位向量 ea
“ ” 已知 b＝ a , 则
b＝0 a , b 同向 a , b 反向

向量的基本运算

在数学和物理中，向量是一个具有大小和方向的量。向量可以进行

多种基本运算，如相加、相减、数乘等。本文将详细介绍向量的基本

运算及其性质。

1. 向量的表示方法

向量通常用带箭头的字母表示，例如$\vec{A}$，箭头表示向量的

方向。向量也可以用坐标表示，如$\vec{A}=(x，y，z)$表示三维向量。在向量上还有一些常用记号，例如向量的模表示向量的大小，记作

$|\vec{A}|$或$||\vec{A}||$。

2. 向量的加法

向量的加法是将两个向量的对应分量相加。设有两个向量

$\vec{A}=(x_1，y_1，z_1)$和$\vec{B}=(x_2，y_2，z_2)$，则它们的

和为$\vec{A}+\vec{B}=(x_1+x_2，y_1+y_2，z_1+z_2)$。向量的加法

满足交换律和结合律。

3. 向量的减法

向量的减法是将两个向量的对应分量相减。设有两个向量

$\vec{A}=(x_1，y_1，z_1)$和$\vec{B}=(x_2，y_2，z_2)$，则它们的

差为$\vec{A}-\vec{B}=(x_1-x_2，y_1-y_2，z_1-z_2)$。求向量的差可

以看作是求向量的和再乘以$-1$。

4. 数乘运算

数乘是指将向量的每个分量都乘以一个实数。设有一个向量

$\vec{A}=(x，y，z)$和一个实数$k$，则$k\vec{A}=(kx，ky，kz)$。数

乘的运算性质包括交换律和结合律。

5. 内积

内积是向量的一种重要的运算，它可以用来计算两个向量之间的夹角。设有两个向量$\vec{A}=(x_1，y_1，z_1)$和$\vec{B}=(x_2，y_2，

平面向量及运算法则

平面向量是指可以完整描述平面上的有方向和大小的物理量。在数学中，平面向量通常用箭头上的字母表示，例如a或b，有时也用粗体字母表示，例如a或a。平面向量具有位移、速度、加速度、力等物理量的特性。

平面向量的运算包括加法、减法、数量乘法、点积和叉积等。

1.平面向量的加法：

设有两个平面向量a=aa+aa和a=aa+aa，它们的加法结果为a+a=(a+a)a+(a+a)a。即，将两个向量的分量分别相加得到新向量的分量。

2.平面向量的减法：

设有两个平面向量a=aa+aa和a=aa+aa，它们的减法结果为a-a=(a-a)a+(a-a)a。即，将两个向量的分量分别相减得到新向量的分量。

3.平面向量的数量乘法：

设有一个平面向量a=aa+aa，它的数量乘法结果为

aa=aaa+aaa。即，将向量的每个分量都乘以一个标量k得到新向量的分量。

4.平面向量的点积（内积）：

设有两个平面向量a=aa+aa和a=aa+aa，它们的点积结果为a·a=aa+aa。即，将两个向量的对应分量相乘并相加得到点积的结

果。点积的结果是一个标量，表示两个向量的夹角余弦乘以两个向量的长度之积。

5.平面向量的叉积（外积）：

设有两个平面向量a=aa+aa和a=aa+aa，它们的叉积结果为a×a=(0,0,aaa)，其中k为垂直于平面向量的单位向量。即，叉积的结果是一个新的向量，其方向垂直于两个向量所在的平面，大小为两个向量长度的乘积与它们夹角的正弦值之积。

平面向量的运算法则有很多，下面列举几个常用的法则。

1.交换律：

向量及向量的基本运算

t 为何值时，a tb 的值最小？
【课堂小结】
1）向量的有关概念: ①向量②零向量③单位向量 ④平行向量（共线向量）⑤相等向量 2）向量加法减法: 3）实数与向量的积 4）两个向量共线定理 5）平面向量的基本定理, 基底
谢谢您的关注
④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非
零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线
上。
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。相等
向量经过平移后总可以重合，记为
a
b
。
2）向量加法
①求两个向量和的运算叫做向量的加法。
设
AB
a,
BC
b
，
则a +b =AB BC = AC 。
向量加法有“三角形法则”与“平行四边
向量及向量的基本运算
1）向量的有关概念
①向量：既有大小Fra Baidu bibliotek有方向的量。向量一般用
a,
b,
c
来表示，或用有向线段的起点与终点的大
写字母表示，如：AB 。向量的大小即向量的模（
长度），记作| AB |。
②零向量：长度为0的向量，记为 0 ，其方向是任
意的，0 与任意向量平行。<注意与0的区别>
③单位向量：模为1个单位长度的向量。
（(103），a－ 3b）的充要条件是|
a

向量的基本运算

向量是数学中重要的概念，它用于表示有大小和方向的物理量。向

量可以进行一系列的基本运算，使得我们能够更好地理解和应用向量

的概念。本文将介绍向量的基本运算方法，包括向量的加法、减法、

数乘以及点积和叉积运算。

一、向量的加法

向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量的运算。设有两

个向量A和B，表示为A=(a1, a2, a3)和B=(b1, b2, b3)，则它们的加法

运算可以通过分别将对应分量相加得到新向量C=(a1+b1, a2+b2, a3+b3)。例如，若向量A=(2, 4, 6)和向量B=(1, 3, 5)，则它们的和为C=(3, 7, 11)。

二、向量的减法

向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量的运算。设有两个向量A和B，表示为A=(a1, a2, a3)和B=(b1, b2, b3)，则

它们的减法运算可以通过分别将对应分量相减得到新向量C=(a1-b1,

a2-b2, a3-b3)。例如，若向量A=(2, 4, 6)和向量B=(1, 3, 5)，则它们的差为C=(1, 1, 1)。

三、向量的数乘

向量的数乘是指将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量的运算。设有一个向量A=(a1, a2, a3)和一个实数k，它们的数乘运算可以通过将向量的每个分量乘以实数得到新向量B=(ka1, ka2, ka3)。例如，若向量

A=(1, 2, 3)和实数k=2，则它们的数乘结果为B=(2, 4, 6)。

四、向量的点积

向量的点积又称为内积或数量积，它是两个向量之间的一种运算。设有两个向量A=(a1, a2, a3)和B=(b1, b2, b3)，它们的点积运算可以通过将对应分量相乘，然后将乘积相加得到一个标量c=a1*b1 + a2*b2 + a3*b3。例如，若向量A=(1, 2, 3)和向量B=(4, 5, 6)，则它们的点积结果为c=1*4 + 2*5 + 3*6=32。

向量的基本运算公式大全

1、加法：两个向量“a”=(a1,a2,...,an)和“b”=(b1,b2,...,bn)的和是指将两个向量的对应元素相加得到另一个向量：

a+b=(a1+b1, a2+b2,..., an+bn)

2、减法：两个向量“a”=(a1,a2,...,an)和“b”=(b1,b2,...,bn)的差是指将两个向量的对应元素相减得到另一个向量：

a-b=(a1-b1, a2-b2,..., an-bn)

3、数乘：给定实数k和向量“a”=(a1,a2,...,an)，将向量“a”的每一个元素都乘以实数k得到另一个向量：

ka=(ka1,ka2,...,kan)

4、点积：给定向量“a”=(a1,a2,...,an)和向量

“b”=(b1,b2,...,bn)，点积“a·b”是将两个向量的对应元素相乘并求和得到的标量：

a·b=a1b1+a2b2+...+anbn

5、外积：给定向量“a”=(a1,a2,...,an)和向量

“b”=(b1,b2,...,bn)，外积“a×b”是将两个向量的对应元素相乘得到矩阵后转换成另一个向量的过程：

a×b=(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)

6、模：给定向量“a”=(a1,a2,...,an)，它的模是它各分量绝对值的平方和的平方根：

a，=√(a1^2+a2^2+...+an^2)

7、归一化：给定向量“a”=(a1,a2,...,an)，归一化向量是把向量除以它的模，得到一个长度为1的单位向量：

a'=a/，a，=(a1/，a，,a2/，a，,...,an/，a，)

向量及其运算

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铃
•向量的平行两个非零向量如果它们的方向相同或相反, 就称这两个
向量平行. 向量a与b平行, 记作a//b. 零向量认为是与任何向量都平行.
•共线向量与共面向量当两个平行向量的起点放在同一点时, 它们的终点和公
共的起点在一条直线上. 因此, 两向量平行又称两向量共线. 设有k(k3)个向量, 当把它们的起点放在同一点时, 如果k
则 r = O = x i + y j + z k . M •上式称为向量r的坐标分解式. • xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量.
点M、向量r与三个有序x、y、z
之间有一一对应的关系
M r = O = x i + y j + z k M ( x , y , z ) .
•有序数x、y、z称为向量r的坐标, 记作r=(x, y, z);
由 O = x i , O = P y j , O Q = z k , R
有
|OP|=|x|, |OQ|=|y|, |OR|=|z|,
于是得向量模的坐标表示式
| r | = x 2 + y 2 + z 2 .
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铃
五、向量的模、方向角、投影
1.向量的模与两点间的距离公式

向量及其运算

№2向量及其运算

1. 向量的生成

①逐个元素直接输入向量元素需要有“[ ]”括起来,元素之间可以用空格、逗号或分号分隔。用空格和逗号分隔生成行向量，用分号分隔生成列向量。例：

a=[1 2 3 0 -4 5.1]

b=[0.1;3;5;8]

②利用冒号表达式生成通过设定“步长(step)”，生成一维行向量，通用格式为：x=x0:step:x n。x0表示向量的首元素值，x n表示尾元素数值限，step表示从第个元素开始，每一个元素与前一个元素的差值. step=1时，可省略此项的输入，直接写成

x=x0:x n。例：

x=0:2:10

y=1:2:10

z=1:5

③定数线性采样生成设定总点数n下，均匀采样生成一维行向量。通用格式为

x=linspace(a,b,n)。a，b分别是生成向量的第一个和最后一个元素，n是采样总点数。该指令生成的数组相当于由a:(a-b)/(n-1):b生成的数组。缺省n时，生成100维的行向量。

clear %清除工作空间中的所有变量.

x=linspace(-5,5,11)

y=-5:10/10:5

z=linspace(-5,5)

④定数对数采样生成向量设定总点数n下，经“常用对数”均匀采样生成一维行向量。通用格式为x=logspace(a,b,n) 。生成数组的第一个元素值为10a，最后一个元素值为10b，n为采样总点数，缺省时，生成50维的行向量。例如：

clear %清除工作空间中的所有变量.

x=logspace(1,5,5)

y=1:(5-1)/(5-1):5

xx=10.^y

向量的各种运算及其应用

随着科技的发展，向量成为了许多学科中不可或缺的重要概念，如物理、计算机科学、数学等。向量是具有大小和方向的量，可

以用于描述空间中的物理量或者图形的位置等信息。然而，向量

不仅仅是一个抽象的概念，还可以进行各种运算并应用于实际问

题中。本文将介绍向量的各种运算及其应用。

一、向量的基本运算

向量的基本运算包括加法、减法、乘法。其中，向量的加法和

减法可以用直角坐标系表示，向量乘法分为数量积和叉积。

1. 向量加法和减法

向量加法指的是将两个向量相加得到一个新的向量，向量加法

可以表示为： A + B = C，其中 A、B、C 为向量。向量加法可以

用平行四边形法则表示，即将两个向量首尾相接，作出第三个向量，第三个向量的起点即为第一个向量的起点，终点即为第二个

向量的终点。

向量减法指的是将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量，向量减法可以表示为： A - B = C，其中 A、B、C 为向量。向量减法可以用三角形法则表示，即将第二个向量取反，再将两个向量

相加即可得到第三个向量。

2. 向量乘法

向量乘法分为数量积和叉积。

数量积是指两个向量点乘而得到的一个标量，数量积可以表示为：A • B = |A| |B| cos∠(A,B)，其中 A、B 为向量，|A| 和 |B| 分别

为对应向量长度，∠(A,B) 为 A、B 之间的夹角。数量积可以用以

下公式快速计算：A • B = Ax*Bx + Ay*By + Az*Bz。

叉积是指两个向量叉乘而得到的一个新的向量，叉积可以表示为：A × B = |A| |B| sin∠(A,B) n，其中 n 为符合右手定则的向量，

向量的运算的所有公式

数学公式是数学题目解题关键，那么向量的运算公式有哪些呢?快来和小编一起看看吧。下面是由小编为大家整理的“向量的运算的所有公式”，仅供参考，欢迎大家阅读。

向量的运算的所有公式

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则，向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0，0的反向量为0，OA-OB=BA.即“共同起点，指向被减”a=(x1,y1)，b=(x2,y2) ，则a-b=(x1-x2,y1-y2)。

在数学中，向量(也称为欧几里得向量、几何向量、矢量)，指具有大小(magnitude)和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向;线段长度：代表向量的大小。向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则，向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0，0的反向量为0，OA-OB=BA.即“共同起点，指向被减”a=(x1,y1)，b=(x2,y2) ，则a-b=(x1-x2,y1-y2)。

数与向量的乘法满足下面的运算律：

结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。

向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.

数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.

数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

向量及其运算

i j jk ki 0
a b axbx ayby azbz
两向量的夹角公式
当
为非零向量时,
由于
a b cos , 得
cos
axbx ayby azbz
ab
a
2 x
a
2 y
az2
bx2 by2 bz2
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例2. 已知三点M (1,1,1), A( 2, 2,1), B( 2,1, 2), 求
D(10,15,17)共面 .
B
解: 因
C
[ AB AC AD ]
3 45
D A
1 2 2 0
9 14 16
故 A , B , C , D 四点共面 .
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ax ay az
混合积: a b c ( a b ) c bx by bz
2. 向量关系:
ab 0
a b sin 0 sin 0，即 0 或
3. 运算律
a∥ b
(1) a b b a (2) 分配律 ( a b ) c a c b c
(3) 结合律 ( a ) b a ( b ) ( a b )
(证明略)
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平面几何中的向量及其运算

向量在平面几何中，是指具有大小和方向的量。在数学上，向量可

以用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的

方向。

一、向量的表示

在平面几何中，向量可以通过坐标表示。以点A(x1,y1)和点

B(x2,y2)之间的向量为例，向量AB可以表示为⃗{AB}=(x2-x1, y2-y1)。

二、向量的运算

1. 向量的加法

向量的加法是指将两个向量合成为一个新的向量。设有向量⃗{OA}

和⃗{OB}，它们的和向量为⃗{OC}，则⃗{OC} = ⃗{OA} + ⃗{OB}。可以通过将两个向量的x分量相加，y分量相加得到新向量的x分量和y

分量。

2. 向量的减法

向量的减法是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新的向量。

设有向量⃗{OA}和⃗{OB}，它们的差向量为⃗{OC}，则⃗{OC}

= ⃗{OA} - ⃗{OB}。可以通过将被减向量的x分量减去减向量的x分量，y分量减去减向量的y分量得到新向量的x分量和y分量。

3. 向量的数乘

向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘，得到一个新的向量。设有向量⃗{OA}，实数k，它们的数乘向量为k⃗{OA}，则k⃗{OA} = (kx, ky)，其中kx为向量⃗{OA}的x分量乘以k，ky为向量⃗{OA}的y 分量乘以k。

4. 内积

内积是指将两个向量进行点乘操作，得到一个实数。设有向量

⃗{OA}和⃗{OB}，它们的内积为⃗{OA}·⃗{OB}，则⃗{OA}·⃗{OB} = x1*x2 + y1*y2，即两个向量对应分量相乘后相加。

5. 外积

向量运算及其应用

向量是数学中重要的概念之一，也是物理、工程等领域中广泛应用

的数学工具。本文将介绍向量的基本概念、向量的表示方法、常见的

向量运算，以及向量在几何、物理等领域的应用。

一、向量的基本概念

向量是有方向和大小的量，用于表示力、速度、位移等物理量。向

量通常用粗体字母或带箭头的小写字母表示，例如$\overrightarrow{a}$。

二、向量的表示方法

向量可以用坐标、向量的模和方向角、单位向量等不同方式表示。

1. 坐标表示法：在二维笛卡尔坐标系中，一个向量可以通过它在坐

标系中的起点和终点的坐标表示。例如，向量$\overrightarrow{AB}$可

以表示为$(x_2-x_1, y_2-y_1)$，其中$(x_1, y_1)$为起点坐标，$(x_2,

y_2)$为终点坐标。

2. 模和方向角表示法：一个向量可以通过它的模和方向角来表示。

模表示向量的大小，方向角表示向量与某个坐标轴之间的夹角。例如，向量$\overrightarrow{AB}$的模可以表示为$|\overrightarrow{AB}|$，方

向角可以表示为$\theta$。

3. 单位向量表示法：单位向量是模为1的向量，可以用于表示方向。一个向量可以表示为它的模乘以一个单位向量。例如，向量

$\overrightarrow{AB}$可以表示为$|\overrightarrow{AB}|\cdot\hat{u}$，其中$\hat{u}$为单位向量。

三、向量的运算

向量运算包括向量的加法、减法、数量乘法、数量除法等。

1. 向量的加法：向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点相连，从第一个向量的终点到第二个向量的终点，所得的向量即为两个向量的和。加法可以用坐标表示法、三角函数表示法等方式进行计算。

10.1 向量及其运算

1(b 2

c)

1 2
c

1 2
b
PQ SR．
三、向量的内积 , 投影
物理应用背景

若物体受不变力 F
的推动，在力的方向上移过距离
S，
则力 F 所作的功为
F
W FS
S
当力

F
与位移

S
的方向不一致时，成夹角为
，

则力 F 所作的功为

W | F | cos | S | F S
与 a 相反， 0 时为零向量．
a
a
a
( 0)
( 0)
平行(共线）如果两个向量的方向相同或相反

记作 a// b ．
注零向量与任一向量都平行．
共面若几个向量通过平移可以放在同一个平面内。
定理向量a和b平行的充要条件是存在常数，

使 b a (或 a b)，
a b ．

| a || b |

当

(a,

b)

时，cos( a , b ) 0，即

a b 0．
反之，若
2

a

b

向量及其运算

（2）点 M (x, y, z) 到原点的距离 d OM x2 y 2 z 2 。
设非零向量 a的起点为坐标原点，终点为M (ax , ay , az ) ，
则
a
{a
x
,
ay,
az
}，
a OM ax2 ay2 az2 。
a
的方向可由该向量与三坐标轴正向的夹角
,
,
（其中 0 , 0 , 0 ) ，或这三个角的
ay,
az
} ，b {bx ,
by ,
bz
} 均为非零向量，则
cos(a,
b)
aabb
axbx ayby azbz
.
ax2 ay2 az2 bx2 by2 bz2
4．向量积的坐标表示
设 a ax
i ay
j az
k ，b bx
i by
j bz
k ，则
ab (ax i a y j az k )(bx i by j bz k )
axbx (i i )axby (i j)axbz (i k )
aybx ( ji )ayby ( j j)aybz ( jk )
azbx (k i )azby (k j)azbz (k k )
(a ybz azby )i (axbz azbx ) j (axby a ybx )k ，

向量的概念及其运算

, 有且只有一对实数 1, 2 , 使
四.向量的坐标表示: 当基底 i, j 是两个互相垂直的单位向量时 , 就建立了平面直角坐标系.如图
一一对应 (x, y) a xi y j
⑴当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标,即若 A(x，y),则 OA =（x,y）;
7 1 7 1 (A)（ , ） (B)（ , ） 2 2 2 2

A
)
7 7 (D)（ , ） 2 2
(C)（7，4）
5. 已知 a (1，， 2) b x， 1 , 且 a 2b 与 2 a b 平行 , 则 x 等于
例 1 D、E、F 分别是△ABC 边 AB、BC、CA 上的中点(如图)，则等式 (1) FD DA AF 0 ; (2) FD DE EF 0 ; (3) DE DA BE 0 ; (4) AD BE AF 0 ; 、(4) 其中正确的是(3) _________.

OB OA =（x2-x1 , y2-y1）
OA AB OB
三角形法则
实数与向量的乘积
AB =λ a λ ∈R

记 a =(x,y) 则 a =(λ x,λ y)

两个向量的数量积