法向量的求法归纳
曲面上曲线的法向量
曲面上曲线的法向量
曲面上曲线的法向量可以通过求曲线在某一点处的切线向量的垂直向量得到。
具体的计算方法根据曲线的参数方程有所不同。
以下是求解不同类型曲线法向量的方法：
1. 二元曲线（参数方程为x=f(u), y=g(u)）：在某一点（u,v）处，切线向量为（dx/du, dy/du），法向量可以通过交换x和y
分量的符号得到，即（-dy/du, dx/du）。
2. 三元曲线（参数方程为x=f(u), y=g(u), z=h(u)）：在某一点（u,v）处，可以通过以下步骤求解法向量：
- 计算切线向量：（dx/du, dy/du, dz/du）
- 计算切线的单位向量：先计算切线向量长度，再将切线向
量除以长度得到单位向量。
- 计算单位切线向量的二阶导数：（d^2x/du^2, d^2y/du^2,
d^2z/du^2）
- 计算法向量：法向量等于单位切线向量和二阶导数的向量积，即进行叉乘运算得到（dy/du * d^2z/du^2 - dz/du *
d^2y/du^2, dz/du * d^2x/du^2 - dx/du * d^2z/du^2, dx/du *
d^2y/du^2 - dy/du * d^2x/du^2）
这些方法可以帮助你求解曲面上曲线的法向量。
(完整版)整理法向量的快速求法
法向量的快速求法在数学考试过程中，大部分同学往往因为时间不够而没法做完一份完整的试卷，有些同学也因为时间不够，计算速度加快而出现计算错误等原因导致失分，所以能够简便而快速的算出结果是很多同学梦寐以求的。
用向量方法做立几题，必须会的一种功夫是求平面的法向量。
不少理科同学为经常算错平面的法向量而苦恼，下面介绍一种快速求平面的法向量方法。
新教材对平面几何的要求，重点在于求平面的法向量，常见的待定系数法解方程组，运算量大，学困生容易算错，最简单快捷的方法是行列式法。
结论：向量a r ＝(x 1，y 1，z 1)，b r＝(x 2，y 2，z 2)是平面α内的两个不共线向量，则向量n r＝(y 1z 2－y 2z 1，－(x 1z 2－x 2z 1)，x 1y 2－x 2y 1)是平面α的一个法向量.如果用二阶行列式表示，则n r ＝(1122y z y z ，－1122x z x z ，1122x y x y ) ，这更便于记忆和计算.结论证明（用矩阵与变换知识可以证明，此处略去），但你可以验证 n r一定满足0m a m b ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩u r r ur r ⇔1112220x x y y z z x x y y z z ++=⎧⎨++=⎩； 而且∵a r 、b r 不共线，∴n r 一定不是0r.怎样用该结论求平面的法向量呢？举例说明.例、向量a r ＝(1，2，3)，b r＝(4，5，6)是平面α内的两个不共线向量，求平面α的法向量解：设平面α的法向量为n r＝(x ，y ，z )，则00n a n b ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩r r r r ⇒2304560x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩ 令z ＝1，得n r＝(1，－2，1).注意：① 一定按上述格式书写，否则易被扣分.② n r的计算可以在草稿纸上完成，过程参照右边“草稿纸上演算过程”.而在运算的过程中往往会碰到在一个平面中的两个向量的坐标中会有一个坐标轴的数字为0，这时候也可以用下面这种方法来运算。
向量积求法向量
向量积求法向量
向量积是两个向量的叉积，其结果是以两个向量为基向量确定的平面内的向量。
在数学中，向量积有很多应用，其中之一就是求法向量。
法向量的概念很常见，在平面几何和空间几何中都有所应用，它是垂直于平面或者曲面的向量，它也可以看做是该平面或曲面的法线。
求法向量的问题很简单，只要知道平面内的任意两个非零向量，就可以求得该平面的法向量。
假设有平面P，平面上有两个向量A和B，它们分别表示平面上的两个非零向量。
那么我们来求P平面的法向量。
第一步：求出向量积
将A和B叉乘，得到一个新的向量C，因为C是以A和B为基向量的平面内的向量，所以法向量垂直于这个平面。
用叉积公式求向量C：
C = A × B = ∣A∣∣B∣sinθn
其中，∣A∣和∣B∣表示向量A和向量B的长度，θ表示两个向量的夹角，n表示垂直于向量A和向量B所确定平面的向量，其大小为1，方向由右手定则确定。
叉积公式的理解需要一些几何直观图像。
如图1所示，以A和B为基向量的平面内有一条从A到B的路径，我们将路径沿着AB平面逆时针旋转，使得A到B的方向与手指拇指所指方向相同，那么这时候四个手指的弯曲方向所形成的平面就是垂直于AB平面的平面，而n就是这个平面的法向量。
第二步：归一化
得到向量C后，我们需要保证它的长度为1，也就是归一化向量C，这样就可以得到单位法向量n0了。
n0 = C/∣C∣
以上就是求法向量的完整过程。
总结：
求法向量是一个基本的几何问题，通过向量积可以轻松地求出平面或曲面的法向量。
需要注意的是，在求向量积时，需要用到两个向量的模长、夹角和叉积规则。
法向量的运算技巧
法向量的运算技巧全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：法向量是在计算机图形学和三维渲染中非常重要的概念，它们通常用于表达一个表面或几何体在某个点的法向方向。
在三维计算中，法向量通常被用来计算光照、阴影和表面的曲率等信息。
掌握法向量的运算技巧对于实现逼真的三维场景至关重要。
一、法向量的概念法向量是指与给定曲面上某一点处的切向量垂直的向量。
在数学上，法向量通常被定义为曲面在该点处的法线方向上的单位向量。
举个例子，假设我们有一个平面，平面上某一点处的法向量就是与平面垂直的单位向量。
法向量通常被用来描述表面的几何属性，例如法向量的方向可以告诉我们表面在该点处是凸起还是凹陷。
在实际应用中，我们经常需要计算曲面上每个点处的法向量。
计算法向量的一种常用方法是利用曲面的几何信息。
对于多边形网格模型，我们可以通过计算每个面片的法向量，然后根据面片的法向量来计算顶点处的法向量。
具体而言，如果一个面片的法向量是已知的，那么面片上各个顶点处的法向量可以通过对所有相邻面片的法向量进行加权平均得到。
另一种计算法向量的方法是利用数值计算。
在数值计算中，我们可以通过求解偏导数或差分来计算曲面上某一点处的法向量。
具体来说，可以利用数值方法来近似计算曲面在该点处的切线和切平面，然后通过求解切平面的法向量来得到法向量。
法向量在三维渲染和图形学中有广泛的应用。
其中一个重要的应用是光照计算。
在光照计算中，法向量被用来描述表面对光线的反射性质。
具体来说，法向量可以告诉我们光线与表面的入射角度和反射角度之间的关系，从而帮助我们模拟出逼真的光影效果。
另一个重要的应用是表面曲率计算。
通过计算曲面在每个点处的法向量，我们可以获得曲面的曲率信息。
曲率信息可以帮助我们理解表面的形状和结构，从而在建模和渲染过程中提供有价值的参考。
总结：法向量是三维计算中的重要概念，掌握法向量的运算技巧对于实现逼真的三维场景至关重要。
在计算法向量时，可以利用几何信息或数值计算方法来获得曲面上每个点处的法向量。
法向量的算法与举例
法向量的算法与举例摘要高中数学中的向量作为沟通代数与几何的桥梁，大大简化了几何问题的运算量。
然而在高中数学体系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常规的方法去解决往往比较繁杂，而运用向量能使过程得到大大的简化。
[1]用向量法解决几何问题有着思路清晰、过程简洁的优点。
[2]在立体几何中常用法向量来解决距离问题，夹角问题，于是求法向量又是一个新问题。
如果能够掌握平面法向量的快速求法，那么在解决立体几何问题中一定会有事半功倍之效。
关键词：法向量；矩阵；行列式；速算一、法向量的定义如果向量平面，那么向量叫做平面的法向量。
由定义可知，法向量并不是唯一的，以致只要是与平面互相垂直的向量都可以作为平面的法向量。
二、法向量的算法1、待定系数法求法向量与举例在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量 [或，或 ]，在平面内任找两个不共线的向量。
由，得且，由此得到关于的方程组，解此方程组即可得到 .具体步骤如下：①联立方程②消元求解③得出结论举例：如果，那么与的法向量为?解：设，因为，，则，，得，①-②得，，取，，（注意：给其中一个字母取一个不为零的值）。
例1 如图，在四棱锥S－ABCD中，S A⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，S A ＝AB＝2，∠BAD＝60°，E是PA的中点．(1)求证：直线S C∥平面BDE；证明设AC∩BD＝O.因为∠BAD＝60°，AB＝2，底面ABCD为菱形，s所以BO＝1，AO＝CO＝，AC⊥BD.如图，以O为坐标原点，以OB，OC所在直线分别为x轴，y 轴，过点O且平行于S A的直线为z轴，建立空间直角坐标系O－xyz，则S(0，－，2)，A(0，－，0)，B(1,0,0)，C(0，，0)，D(－1,0,0)，E(0，－，1)．(1)设平面BDE的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，因为BE＝(－1，－，1)，BD＝(－2,0,0)，由得令z1＝，得y1＝1，所以n1＝(0,1，)．又＝(0,2，－2)，所以·n1＝0＋2－2＝0，即⊥n1，又，所以S C∥平面BDE.例 2 如图，在直三棱柱ADE—BCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点．运用向量方法证明：(1)OM∥平面BCF；(2)平面MDF⊥平面EFCD.解：（1）略( 2)建系如右图，设平面MDF与平面EFCD的一个法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)．∵DF＝(1，－1,1)，DM＝，DC＝(1,0,0)，由n1·DF＝n1·DM＝0，得解得令x1＝1，则n1＝.同理可得n2＝(0,1,1)．∵n1·n2＝0，∴平面MDF⊥平面EFCD.1.行列式法求法向量与举例向量＝(x，y，z )，＝(x，y，z )是平面内的两个不共线向量，则向量＝(y z－y z，－(x z－x z )，x y－x y )是平面的一个法向量.如果用二阶行列式表示，则＝(，－， ) ，这更便于记忆和计算.（注：1、行列式:；2、纵坐标前边要加一个负号）.具体步骤：①竖着列出平面内的两个不共线向量②算出法向量的三个坐标（要算横坐标，就把已知两个向量的横坐标那一列遮起来用纵坐标和竖坐标求，其它坐标相同的求法）③得到平面的法向量。
求法向量的方法
求法向量的方法法向量是一种在物理学和机器学习领域中非常重要的概念，这种想法被广泛用于估算物体表面的曲率、估算复杂几何体的几何特性等各种场景。
本文讨论如何求法向量的方法，包括五个主要部分：单位向量求法向量，内积求法向量，矩阵运算求法向量，特征值分解求法向量，固定的一般椭圆方程求法向量。
一、单位向量求法向量单位向量求法向量支持任意空间由维数确定的解析几何，假设X轴的单位向量为>$\hat{i}$，Y轴的单位向量为>${j}$，若将方程向量化话，则曲面方程为>$F(x, y)=ax \hat{i}+by \hat{j}$，则曲面的法向量为>$F_x \hat{i}+F_y \hat{j}$，其中$F_x=a$，$F_y=b$二、内积求法向量内积求法向量是基于内积运算的一种求法向量的方法，事实上是对导数的求取。
假设曲面的方程为>$F(x,y)=f(x,y)$，令曲面的法向量为>$\mathbf{N}=N_x \hat{i}+N_y \hat{j}$，则有曲面的法向量和法线方向矢量>$\mathbf{k}$之间的矢量积恒为>$\mathbf{k} \cdot\mathbf{N}=0$，故有>$N_x \frac{{\partial f \left( {x,y} \right)}}{{\partial x}}+N_y \frac{{\partial f \left( {x,y} \right)}}{{\partial y}}=0$，解出>$N_x=-\frac{{\frac{{\partial f \left( {x,y} \right)}}{{\partialy}}}}{{\frac{{\partial f \left( {x,y} \right)}}{{\partial x}}}}N_y$，可得到曲面的法向量>$N_x \hat{i}+N_y \hat{j}$三、矩阵运算求法向量通过矩阵的形式将曲面的坐标表达出来，以方便计算。
法向量快速算法
详解法向量快速算法法向量，是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。
法向量适用于解析几何。
由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，因此一个平面都存在无数个法向量（包括两个单位法向量）。
三维平面的法线是垂直于该平面的三维向量。
曲面在某点P处的法线为垂直于该点切平面（tangent plane）的向量。
法线是与多边形（polygon）的曲面垂直的理论线，一个平面（plane）存在无限个法向量（normal vector）。
在电脑图学（computer graphics）的领域里，法线决定着曲面与光源（light source）的浓淡处理（Flat Shading），对于每个点光源位置，其亮度取决于曲面法线的方向。
如果一个非零向量n与平面a垂直，则称向量n为平面a的法向量。
垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。
每一个平面存在无数个法向量。
1、内积求法：由题容易看出，面是垂直平面的，法向量比较好写，所以我们先讨论复杂的，即面。
设面 ABED的法向量为n，AB =(2,0,-2)，AD=(0,3,-1)，则→解方程，解得一个n=(x,y,z)（懒得算了）。
【小结】这种方法容易理解，但是计算量大，有时候数据复杂，赋值困难。
2、外积求法还是写好要求的向量AB =(2,0,-2)，AD=(0,3,-1)，运用向量的外积，用简单的算法解决计算问题：3、特殊情况：平面截距式方程平面上三个点都在坐标轴上。
此时我们类比直线的截距式方程，直接写出平面方程：[公式] ，从而法向量 [公式] ，perfect.普通平面法向量的具体步骤：（待定系数法）1、建立恰当的直角坐标系2、设平面法向量n=（x，y，z）3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2, a3） b=（b1，b2，b3）4、根据法向量的定义建立方程组①n·a=0 ②n·b=0。
立体几何法向量的求法
立体几何法向量的求法“嘿，同学们，今天咱们来好好讲讲立体几何法向量的求法。
”那什么是法向量呢？简单来说，法向量就是垂直于一个平面的向量。
它在解决很多立体几何问题中都有着非常重要的作用。
那怎么求法向量呢？给大家举个例子啊，比如说有一个平面，已知这个平面上有两个不共线的向量 AB 和 AC。
那我们就可以设这个平面的法向量为 n=(x,y,z)。
然后根据法向量的定义，法向量和平面上的向量都是垂直的，那就有n·AB=0，n·AC=0。
这样就得到了两个方程，然后通过解方程组就可以求出法向量 n 了。
比如说有个三棱锥，底面是个三角形，三个顶点坐标分别是 A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)。
那向量 AB=(-1,2,0)，向量 AC=(-1,0,3)。
设法向量n=(x,y,z)，那根据n·AB=0，就有-x+2y=0；根据n·AC=0，就有-x+3z=0。
通过解这个方程组，就可以求出法向量 n 了。
在实际应用中，法向量可以帮助我们解决很多问题。
比如求二面角，我们可以分别求出两个平面的法向量，然后通过法向量的夹角来求二面角。
再比如求直线和平面的夹角，也可以通过直线的方向向量和平面的法向量来计算。
就拿求二面角来说吧，有个正方体，其中两个面的法向量分别是 n1 和n2，那这两个法向量的夹角就和二面角有关系。
如果二面角是锐角，那二面角就等于法向量夹角；如果二面角是钝角，那二面角就等于 180 度减去法向量夹角。
同学们，法向量的求法是立体几何中很重要的一个知识点，一定要好好掌握。
在解题的时候，要灵活运用法向量，它能让很多复杂的问题变得简单。
多做一些练习题，熟练掌握这种方法，相信你们在解决立体几何问题的时候会更加得心应手的。
加油哦，同学们！。
高等数学求法向量的方法
利用向量求解高等数学中的问题
在高等数学中，向量是一种非常重要的工具，可以用来解决许多复杂的数学问题。
向量可以表示一个有大小和方向的对象，例如力、速度、加速度等等。
在数学中，我们可以将向量表示为一个带箭头的量，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
向量的运算法则是高等数学中的基本概念之一。
向量的加法、减法和数乘等基本运算法则，可以很好地描述向量之间的相互作用。
例如，两个向量的加法可以表示为将它们的起点相连，终点相连，形成一个平行四边形，对角线的交点就是它们的和向量。
向量的数乘法则可以将向量的大小和方向同时改变，是很多问题的解题关键。
向量在解决具体问题中的应用非常广泛。
例如，在物理学中，可以用向量来表示物体的运动状态，包括速度、加速度等等。
在工程学中，可以用向量来表示力的作用方向和大小，从而求解机械系统的平衡问题。
在经济学中，可以用向量来表示市场需求和供应，从而求解最优解。
以一个简单的例子来说明向量在高等数学中的应用。
假设有一个物体在运动过程中受到了两个力的作用，一个是大小为 3 牛，方向
向右的力，另一个是大小为 5 牛，方向向上的力。
我们可以将这两
个力表示为两个向量，一个大小为 3，方向向右的向量，另一个大小为 5，方向向上的向量。
将这两个向量相加，得到一个结果向量，它的大小为根号下 (3^2+5^2)=√34，方向与两个向量的夹角相同。
这
个结果向量表示了物体所受到的合力，可以用来求解物体的运动状态。
向量在高等数学中具有非常重要的地位，可以解决许多复杂的数学问题。
法向量的运算技巧
法向量的运算技巧**法向量的运算技巧**在三维几何与计算机图形学中，法向量扮演着重要的角色。
它们用于定义曲面或平面的方向，以及进行光照计算和碰撞检测等。
掌握法向量的运算技巧对于提高相关领域的工作效率至关重要。
### 导语在探索三维世界的奥秘时，法向量是我们不可或缺的助手。
了解和熟练运用法向量的运算技巧，不仅能够帮助我们更好地把握几何体的性质，还能在图形渲染和物理模拟中发挥巨大作用。
### 基本概念首先，我们需要明确什么是法向量。
在几何学中，一个平面的法向量是与该平面垂直的向量。
在三维空间中，一个平面的法向量可以唯一确定该平面。
### 运算技巧#### 1.平面的法向量计算给定平面上的三个点(P_1), (P_2), (P_3)，我们可以通过以下步骤计算法向量：- 计算向量( vec{v_1} = P_2 - P_1 ) 和( vec{v_2} = P_3 - P_1 )。
- 利用向量叉乘计算法向量( vec{n} = vec{v_1} times vec{v_2} )。
#### 2.点与平面的关系给定一个点(P) 和一个平面，其法向量为( vec{n} )，我们可以判断点与平面的位置关系：- 计算点(P) 到平面上的任意点(P_0) 的向量( vec{v} = P - P_0 )。
- 如果( vec{v} cdot vec{n} = 0 )，则点(P) 在平面上。
- 如果( vec{v} cdot vec{n} > 0 )，则点(P) 在平面的法向量一侧。
- 如果( vec{v} cdot vec{n} < 0 )，则点(P) 在平面的法向量另一侧。
#### 3.反射向量计算在图形学中，反射向量用于模拟光线在平滑表面上的反射。
给定入射向量( vec{i} ) 和法向量( vec{n} )，反射向量( vec{r} ) 可以通过以下公式计算：[ vec{r} = vec{i} - 2 cdot ( vec{i} cdot vec{n} ) cdot vec{n} ]#### 4.旋转法向量在图形渲染中，有时需要将法向量与物体一同旋转。
向量积求法向量
向量积求法向量向量积是向量运算中的一种重要操作，可以求得两个向量之间的垂直向量，也就是法向量。
在几何学和物理学等领域中，法向量是非常有用的概念，可以用来描述平面或曲面的性质。
本文将介绍向量积的定义、性质和求法向量的方法，希望对读者有所帮助。
向量积的定义向量积，又称叉积或矢积，是两个向量在三维空间中所构成的向量。
向量积的定义如下：设a、b是两个向量，它们的向量积记作a × b，它的大小等于a和b所在平行四边形的面积，方向垂直于a和b所在的平面，满足右手法则。
其中，右手法则是指：将右手的四根手指从a转向b的方向弯曲，此时手指的弯曲方向所对应的大拇指的方向就是向量积的方向。
向量积的性质1. 反交换律：a × b = - b × a2. 分配律：a × (b + c) = a × b + a × c3. 结合律：a × (b × c) = (a · c) b - (a · b) c其中，a · b表示a和b的数量积，也称点积，等于|a||b|cos θ，其中θ是a和b的夹角。
求法向量的方法假设有一个平面P，它由三个点A、B、C所构成。
我们希望求出这个平面的法向量n，可以按照以下步骤进行：1. 求出两个向量：AB和AC2. 计算向量积：n = AB × AC3. 对n进行归一化处理，即使它的长度等于1：n = n / |n|最后，我们得到的n就是平面P的法向量。
它的方向垂直于平面P，长度等于平面P的面积。
在计算机图形学和机器视觉等领域中，求法向量是非常重要的操作，可以用来进行三维模型的建模、表面重建和物体识别等任务。
立体几何法向量简便算法
立体几何法向量简便算法在几何学中，法向量是指垂直于对象表面的向量。
在计算机图形学中，法向量经常被用来计算光照和阴影效果，因此它是一个非常重要的概念。
本文将介绍一种简便的方法来计算立体几何中面的法向量。
在立体几何中，一个面由三个点或更多个点组成。
要计算一个面的法向量，我们需要找到这个面的任意两个向量，然后通过叉积来计算出法向量。
以下是计算面的法向量的简洁步骤：1. 找到面的任意两个向量，这两个向量必须在面内。
2. 确定这两个向量的顺序。
按“右手法则”，可以确定顺序：以这两个向量为底，由第一个向量转向第二个向量，并沿最短弧线绕向背向自己的方向时，大拇指所指的方向即为该法向量的方向；反之，则转向另一个方向形成相反方向的法向量。
3. 对这两个向量执行叉积（cross product或vector product）操作，从而得出垂直于面的法向量。
下面是一个例子，用这种方法计算一个平面的法向量：假设平面上有三个点：A(1,0,0)、B(0,1,0)和C(0,0,1)。
我们需要找到两个向量，以计算该平面的法向量。
我们可以选择AB向量和AC向量。
AB向量是B-A，也就是(-1,1,0)，AC向量是C-A，也就是(-1,0,1)。
按右手法则，AB×AC的结果为(-1,-1,-1)，反之则为(1,1,1)。
所以，这个平面的法向量为(1,1,1)或它的相反数(-1,-1,-1)。
这个结果表示该平面垂直于这个向量的方向。
在实际应用中，该方法的简单性和高效性使其成为计算法向量的首选方法。
它可以适用于各种各样的立体几何问题中，包括计算三角形的法向量、计算曲面的法向量等等。
总之，计算立体几何面的法向量是很重要的，可以帮助我们更好地理解和描述立体几何，同时也可用于计算图形的光照和阴影效果等。
采用上述简单的方法，可以轻松地计算出任何面的法向量。
法向量秒求
法向量秒求一．叉乘法求解法向量111222111221221112212211122122PAB PA=a b c PB=a b c n (x,y,z)b c x b c b c b c a c y (a c a c )a c a b z a b a b a b ===-=-=--==-uu u r uu r r 设平面的两边构成的向量为（，，）、（，，）平面PAB的一个法向量则，，，，，，二．掐头去尾交叉法求法向量111222a (x ,y ,z )b (x ,y ,z )n (x,y,z)===r r r 已知平面内两相交直线的方向向量、平面的法向量为分两步写，第一步横写两遍，掐头去尾；第二步：由左向右，交叉相乘再相减121212121212n (y z z y ,z x x z ,x y y x )=---r 说明：两种方法的实质是一样，都可以使用例题举证【例1】（2020·辽宁节选）已知平面α上三点()3,2,1A ，()1,2,0B -，()4,2,1C --，则平面α的一个法向量为（）A．()4,9,16--B．()4,9,16-C．()16,9,4--D．()16,9,4-【答案】B【解析】解法一：常规法由已知()4,0,1AB =-- ，()1,4,2AC =-- ，设平面α的一个法向量为(),,n x y z = ，由00n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得40420x z x y z --=⎧⎨--=⎩，取4x =，可得16z =-，9y =，所以，平面α的一个法向量为()4,9,16=-n .故选：B.解法二：叉乘法由已知()4,0,1AB =-- ，()1,4,2AC =-- ，设平面α的一个法向量为(),,n x y z = ()0x 0(2)(4)(1)44241y [4(2)1(1)]9120z 4(4)101614n 4,9,16n B==⨯---⨯-=-----=-=--⨯--⨯-=--==-⨯--⨯=-=--r r ，-1，，，-4，，只要跟成倍数都是平面的法向量，所以选解法三：掐头去尾交叉法()n 4,9,16n B=--r r 只要跟成倍数都是平面的法向量，所以选【例2】（2020·全国）已知(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,0,1)C ，则下列向量是平面ABC 法向量的是（）A．(1,1,1)-B．(1,1,1)-C．333,333⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭D．333,,333⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】解法一：常规法(1,1,0),(1,0,1)AB AC =-=- ,设(,,)n x y z = 为平面ABC 的法向量，则00n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，化简得00x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，∴x y z ==，故选C.解法二：叉乘法1x 11001110y -110(1)1-11-1z 101-11-10==⨯-⨯=-=-=-⨯-⨯-===-⨯-⨯=，00，，【】，1，（），()n 1,1,1n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量，所以选C 解法三：掐头去尾交叉法()n 1,1,1n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量，所以选C技巧强化1．（2020·全国）在三棱锥P ABC -中，CP 、CA 、CB 两两垂直，1AC CB ==，2PC =，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面PAB 的法向量的是（）A．11,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B．()2,1C．()1,1,1D．()2,2,1-【解析】解法一：常规法()1,0,2PA =- ，()1,1,0AB =- ，设平面PAB 的一个法向量为(),,1n x y = ，由00n PA n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩则200x x y -=⎧⎨-+=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，()2,2,1n ∴=r ．又111,1,22n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，因此，平面PAB 的一个法向量为11,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A.解法二：叉乘法()1,0,2PA =- ，()1,1,0AB =- ，设平面PAB 的一个法向量为(),,z =n x y x 01(2)212y -[01(2)(1)]2-10z 110-11-11==-⨯-=-=-=⨯--⨯-===⨯-⨯=0，-21， 0，，1，0（），()n 2,2,1n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量，所以选A解法三：掐头去尾交叉法()1,0,2PA =- ，()1,1,0AB =- ，设平面PAB 的一个法向量为(),,z =n x y()n 2,2,1n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量，所以选A2．（多选）（2020·南京市第十四中学）已知(4A -，6，1)-，(4B ，3，2)，则下列各向量中是平面(AOB O 是坐标原点)的一个法向量的是（）A．15194⎛⎫- ⎪⎝⎭，，B．15194⎛⎫- ⎪⎝⎭，，C．(15-，4，36)D．(15，4，36)-【答案】BD【解析】解法一：常规法设平面(AOB O 是坐标原点)的一个法向量是(,u x =y ，)z ，则·0·0u OA u OB ⎧=⎨=⎩ ，，即4604320x y z x y z -+-=⎧⎨++=⎩，，得90y z +=，令1y =，解得15419x y z ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，，，令4y =，解得15436x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，，，故15,1,94u ⎛⎫=-⎪⎝⎭ 或(15,4u = ，36)-．故选：BD．解法二：叉乘法(4(4,3,2),(,,)=-==，6,-1)、设平面是坐标原点的一个法向量是OA OB n x y z6x 623(1)15241y -[424(1)44246z 43463643==⨯-⨯-=--=-=-⨯-⨯-=-==-⨯-⨯=-，-13，，]， ，， ()n 15,4,36n n =-λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量，所以选BD解法三：掐头去尾交叉法()n 15,4,36n n =-λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量，所以选BD3．（2020·天津市第五十五中学）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，2BC =，13CC =，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，以D 为原点，分别以DA ，DC ，1DD 为坐标轴建立空间直角坐标系，则平面1D EF的一个法向量是___________.【答案】(6-，3，2)【解析】解法一：常规法长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，2BC =，13CC =，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，以D 为原点，分别以DA ，DC ，1DD 为坐标轴建立空间直角坐标系，则1(0D ，0，3)，(1E ，4，0)，(0F ，2，0)，1(1D E =，4，3)-，1(0D F =，2，3)-，设平面1D EF 的一个法向量是(n x =，y ，)z ，则11·430·230n x y z n yz D E D F ⎧=+-=⎪⎨=-=⎪⎩ ，取3y =，得(6n =-，3，2)，则平面1D EF 的一个法向量是(6-，3，2).故答案为：(6-，3，2).解法二：叉乘法1(1D E = ，4，3)-，1(0D F =，2，3)-，设平面1D EF 的一个法向量是(n x =，y ，)z ，x 4(3)2(3)6313y -[1(3)0(3)334z 120422==⨯--⨯-=---=-=⨯--⨯-=-==⨯-⨯=4，-32，，]0，1，（）0，()n 6,3,1n n =-λr r r 2只要跟成倍数都是平面的法向量解法三：掐头去尾交叉法()n 6,3,1n n =-λr r r 2只要跟成倍数都是平面的法向量4．（2020·鱼台县第一中学）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，1A O ⊥平面ABCD，1AB =1OCB 的法向量n =________.【答案】()1,0,1-（答案不唯一）【解析】解法一：常规法ABCD 是正方形，且2AB =AO OC 1∴==，OC (0,1,0)∴= ，A(0,1,0)- ，B(1,0,0)，(1,1,0)AB ∴= ，11A B (1,1,0)∴= ，OA 1= ，1AA 2=1OA 211∴=-=，故1(0,0,1)OA = ，故1111OB OA A B (1,1,1)=+= ，∵向量(,,)n x y z = 是平面OCB 1的法向量，OC 0y n ∴⋅== ，1OB 0n x y z ⋅=++= ，故0y =，x z =-，取1x =，故1z =-，平面1OCB 的法向量()1,0,1n =- 故答案为：()1,0,1-（答案不唯一）5．（2020·全国）已知()0,2,3A ，()2,1,6B -，()1,1,5C -.求平面ABC 的一个法向量；【答案】平面ABC 的一个法向量为()1,1,1n =（答案不唯一）；【解析】解法一：常规法因为()0,2,3A ，()2,1,6B -，()1,1,5C -，所以()2,1,3AB =-- ，()1,3,2AC =- ，设(),,n x y z =r为平面ABC 的一个法向量，则有230320n AB x y z n AC x y z ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，所以x y z ==，不妨令1x =，则()1,1,1n = ，所以平面ABC 的一个法向量为()1,1,1n =；解法二：叉乘法所以()2,1,3AB =-- ，()1,3,2AC =- ，设(),,n x y z =r 为平面ABC 的一个法向量，1x 12(3)37223y -[2213]712-3z 123-37-32-==-⨯--⨯=-=-=-⨯-⨯===-⨯-⨯=，3-3，，，1，（），()n 7,7,7n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量解法三：掐头去尾交叉法()n 7,7,7n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量（2）若存在实数m ，n ，使a mAB nAC =+，即()()()3,4,12,1,31,3,2m n -=--+-，则2334321m n m n m n -+=⎧⎪--=-⎨⎪+=⎩，解得57117m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以51177a AB AC =-+ ，即向量()3,4,1a =- 与平面ABC 平行.6．（2020·河南郑州市·高三月考）如图，S 为圆锥的顶点，O 为底面圆心，点A ，B 在底面圆周上，且60AOB ∠=︒，点C ，D 分别为SB ，OB的中点．()1求证：AC OB ⊥；()2若圆锥的底面半径为2，高为4，求直线AC 与平面SOA 所成的角的正弦值．【答案】()1证明见解析；()22114.【解析】()1由题意，得SO ⊥底面圆O ，点C ，D 分别为SB ，OB 的中点，∴//CD SO ，CD ⊥底面圆O ，OB 在底面圆O 上，∴OB CD ⊥．60AOB ∠=︒，∴AOB 为正三角形，又因为D 为OB 的中点，∴OB AD ⊥，又因为AD CD D = ，且AD ⊂平面ACD ， C D ⊂平面ACD ，∴OB ⊥平面ACD ，AC ⊂平面ACD ，∴AC OB ⊥．()2解法一：常规法如图，以D 为原点，DA ，DB ，DC 所在直线为x 轴，y 轴，z轴建立空间直角坐标系，则()3,0,0A ，()0,0,2C ，()0,1,0O -，()0,1,4S -，故()3,0,2AC = ，()3,1,4AS =- ，)3,1,0OA = ，设平面SOA 的法向量为(),,n x y z = ，由00n AS n OA ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，可得34030y z x y ⎧-+=⎪+=，令1x =，得()1,3,0n =-r为平面SOA 的一个法向量，设直线AC 与平面SOA 所成的角为θ，则300321sin cos ,14133427n AC n AC n AC θ⋅-++=〈〉==+⨯+⋅ ，即直线AC 与平面SOA 所成的角的正弦值为2114．解法二：叉乘法()3,1,4=-AS ，)3,1,0OA = ，设平面SOA 的法向量为(),,n x y z = ，1x 101440y -[04]1z 1-101-==-⨯-⨯=-==--=-==-=，41， ，（）()n n n =-λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量解法三：掐头去尾交叉法()n n n =-λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量7．（2020·浙江衢州市）如图，在三棱锥P —ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，D 为PC 中点，E 为AD 中点，PA ＝AC ＝2，BC＝1．（1）求证：AD ⊥平面PBC ：（2）求PE 与平面ABD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）21515.【解析】（1）证明：∵PA ⊥平面ABC ，∴PA BC⊥又因为BC AC ⊥，=PA AC A∩∴BC ⊥平面PAC ，∴BC AD ⊥．∵PA AC =，D 为PC 中点，∴AD PC ⊥，又∵PC BC C ⋂=，∴AD ⊥平面PBC ；（2）解法一：常规法以C为坐标原点建立如图空间直角坐标系()2,0,0A ，()0,1,0B ，()2,0,2P ，∴()1,0,1D ，310,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,，∴13,0,22PE =--⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，()2,1,0AB =- ，()1,0,1AD =- ．设平面ABD 的法向量为(),,m x y z = ，则00AB m AD m ⎧⋅=⎨⋅=⎩200x y x z -+=⎧⇒⎨-+=⎩，令1x =，则2,1==y z ，得()1,2,1m = ．设PE 与平面ABD 所成角为θ，则215sin 15θ⋅===⋅ PE m PE m ．解法二：叉乘法()2,1,0AB =- ，()1,0,1AD =- ．设平面ABD 的法向量为(),,m x y z = ，1x 11001120y -210(1)]2-11-1z 201-11-10==⨯-⨯=-=-=-⨯-⨯-===-⨯-⨯=，00，，[，2，（），()n 1,2,1n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量设PE 与平面ABD 所成角为θ，则sin 15θ⋅===⋅ PE m PE m ．解法三：掐头去尾交叉法()n 1,2,1n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量设PE 与平面ABD 所成角为θ，则sin 15θ⋅===⋅ PE m PE m ．8．（2020·河北邢台市·邢台一中高三月考=）已知四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，AD CD ⊥，//AB CD ，且3PA PC PD ===，24CD AD AB ===，O 为AC 的中点.()1求证：OP BC ⊥；()2求直线DP 与平面PBC 所成角的正弦值.【答案】()1证明见解析；()289.【解析】()1因为AD CD ⊥，所以2242AC AD CD =+=又3,PA PC O ==为AC 的中点，所以PO AC ⊥，()223221PO =-=，连接OD ，在Rt ACD △中，O 为AC 的中点，所以1222OD AC ==.因为222OD OP PD +=，所以OP OD ⊥，又OD AC O = ，所以OP ⊥平面ABCD .又BC ⊂平面ABCD ，所以OP BC ⊥.()2解法一：常规法如图，以D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x 轴，y 轴，过点D 且与OP 平行的直线为z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则()4,2,0B ，()0,4,0C ，()2,2,1P ，()4,2,0BC =- ，()2,2,1CP =- ，()2,2,1DP = .设平面BCP 的一个法向量为(,,)n x y z = ，由00n BC n CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，得420220x y x y z -+=⎧⎨-+=⎩令1x =，可得()1,2,2n = .设直线DP 与平面PBC 所成角为θ，则88sin cos ,339DP n θ===⨯ .即直线DP 与平面PBC 所成角的正弦值为89.解法二：叉乘法()4,2,0BC =- ，()2,2,1CP =- 设平面BCP 的一个法向量为(,,)n x y z = ，2x 21(2)02140y -[4102]421-2z 4(2)24422==⨯--⨯=-=-=-⨯-⨯===-⨯--⨯=-，0-2，，，4，，()n 2,4,4n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量则8sin cos ,9==DP n θ .即直线DP 与平面PBC 所成角的正弦值为89.解法三：掐头去尾交叉法()4,2,0BC =- ，()2,2,1CP =- 设平面BCP 的一个法向量为(,,)n x y z = ，()n 2,4,4n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量则8sin cos ,9==DP n θ .即直线DP 与平面PBC 所成角的正弦值为89.9．（2020·四川泸州市·泸县五中高三月考）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，2PA =，E 为PD 中点.（1）求证：AE PC ⊥；（2）求二面角B AE C --的正弦值.【答案】（1）见详解；（2）3【解析】（1）证明：∵底面ABCD 是边长为2的正方形，2PA =，E 为PD 中点，∵AE PD ⊥，CD AD ⊥.∵PA ⊥平面ABCD ，CD 平面ABCD ，∴CD PA ⊥.∵PA AD A⋂=∴CD ⊥平面PAD ，∵AE 平面PAD ，∴CD AE ⊥，∵CD PD D = .∴AE ⊥平面PCD ，∵PC 平面PCD ，∴AE PC ⊥.（2）解法一：常规法以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立如图空间直角坐标系.则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,1,1)E ，(0,1,1)AE = ，(2,0,0)AB =uu u r ，(2,2,0)AC =uuu r ，设平面ABE 的一个法向量(,,)m x y z = ，则200m AB x m AE y z ⎧⋅=⋅=⎨⋅=+=⎩，取1y =，得(0,1,1)m =- .设平面AEC 的一个法向量为111(,,)n x y z = .则2200n AC x y n AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取11x =.得(1,1,1)n =-，cos 3||||m n m n m n ⋅<⋅>==-⋅ ，∴二面角B AE C --的正弦值33=解法二：叉乘法（法向量求解略）解法三：掐头去尾交叉法（法向量求解略）10．（2020·河北省晋州市）如图，棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AD =2，BD=.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求二面角P —CD —B 余弦值的大小；【答案】（1）证明见解析（2）22【解析】（1）建立如图所示的直角坐标系，则A （0，0，0）、D （0，2，0）、P （0，0，2）.在Rt △BAD 中，AD =2，BD=∴AB =2.∴B （2，0，0）、C （2，2，0），∴(0,0,2),(2,2,0),(2,2,0)AP AC BD ===-∵0,0BD BD AP AC =⋅=⋅ ，即BD ⊥AP ，BD ⊥AC ，又AP ∩AC =A ，故BD ⊥平面PAC .（2）解法一：常规法（3）由（1）得(0,2,2),(2,0,0)PD CD =-=-.设平面PCD 的法向量为1(,,)n x y z = ，则110,0n PD C n D ==⋅⋅ ，即02202000y z x +-=⎧⎨-++=⎩，∴0x y z =⎧⎨=⎩，故平面PCD 的法向量可取为1(0,1,1)n =u r ,∵PA ⊥平面ABCD ，∴(0,01)AP = 为平面ABCD 的法向量.设二面角P —CD —B 的大小为θ，依题意可得112cos 2n AP n APθ⋅===⋅ ，故二面角P —CD —B 余弦值的大小为22.解法二：叉乘法(0,2,2),(2,0,0)PD CD =-=- 2x 2000002y -[00(2)(2)4-2002z 002-14-20==⨯-⨯=-=-=⨯--⨯-===⨯-⨯=，-20， 0，]，，（），()n 0,4,4n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量∵PA ⊥平面ABCD ，∴(0,01)AP = 为平面ABCD 的法向量.设二面角P —CD —B 的大小为θ，依题意可得1112cos22n AP n APθ⋅===⋅ ，故二面角P —CD —B 余弦值的大小为22.解法三：掐头去尾交叉法(0,2,2),(2,0,0)PD CD =-=- ()n 0,4,4n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量∵PA ⊥平面ABCD ，∴(0,01)AP = 为平面ABCD 的法向量.设二面角P —CD —B 的大小为θ，依题意可得1112cos 22n AP n APθ⋅===⋅ ，故二面角P —CD —B 余弦值的大小为22.。
差乘法求法向量
差乘法求法向量差乘法是一种常用的求法向量的方法，在几何学和向量运算中被广泛应用。
它主要用于求解平面上两个向量的垂直向量或空间中三个向量的法向量。
本文将从理论和实际应用两个方面介绍差乘法的原理和计算方法。
一、差乘法原理差乘法又称为叉乘法或向量积法，是求解向量的垂直向量的一种方法。
它的原理基于向量的叉乘运算，通过两个向量的叉乘得到一个新的向量，该向量与原来的两个向量均垂直。
具体计算方法如下：设有两个向量a和b，它们的叉乘结果记为c，那么向量c的长度等于向量a和向量b的长度的乘积与它们夹角的正弦值的乘积。
向量c的方向则垂直于向量a和向量b所在的平面，并满足右手法则。
二、差乘法计算步骤在实际应用中，我们可以按照以下步骤来使用差乘法求解法向量：1. 确定两个向量a和b。
2. 计算两个向量的叉乘，得到新的向量c。
3. 根据c的长度和方向确定法向量的大小和方向。
例如，在平面几何中，已知两个向量a(2,3)和b(4,1)，我们可以按照以下步骤使用差乘法求解它们的法向量：1. 确定两个向量a和b：a(2,3)和b(4,1)。
2. 计算两个向量的叉乘，得到新的向量c：c = (2,3) × (4,1) = (2×1-3×4, 3×4-2×1) = (-10,10)。
3. 根据c的长度和方向确定法向量的大小和方向：法向量的长度为√((-10)²+10²) ≈ 14.14，法向量的方向垂直于平面以向量c为法向量的平面。
三、差乘法的应用差乘法在几何学和向量运算中有着广泛的应用。
下面将介绍一些常见的应用场景。
1. 平面几何中的法向量在平面几何中，差乘法可以用来求解平面上两个向量的法向量。
法向量在几何学中扮演着重要的角色，它垂直于平面，并且可以用来表示平面的方向和倾斜程度。
2. 三维空间中的法向量在三维空间中，差乘法可以用来求解三个向量的法向量。
法向量在三维几何学和物理学中有着广泛的应用，例如计算平面的法向量、曲面的法向量以及物体表面的法向量等。
差乘法求法向量
差乘法求法向量在数学中，差乘法是一种常用的求解法向量的方法，它能够帮助我们快速而准确地得到平面上或空间中的法向量。
本文将从差乘法的原理、应用以及实例等方面进行介绍，帮助读者更好地理解和应用差乘法。
一、差乘法的原理差乘法是通过向量的叉乘来求解法向量的方法。
在二维空间中，给定平面上的两个向量a和b，它们可以表示为a=(a1, a2)和b=(b1, b2)。
那么a和b的叉乘可以表示为a×b= a1b2 - a2b1。
在三维空间中，给定平面上的三个向量a、b和c，它们可以表示为a=(a1, a2, a3)、b=(b1, b2, b3)和c=(c1, c2, c3)。
那么a、b 和c的叉乘可以表示为a×b=(a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)。
根据差乘法的原理，我们可以通过两个不共线的向量来求解平面上的法向量，通过三个不共面的向量来求解空间中的法向量。
二、差乘法的应用差乘法在几何学、物理学、计算机图形学等领域有着广泛的应用。
以下是差乘法在几何学和计算机图形学中的两个应用实例。
1.几何学中的应用在几何学中，差乘法可以用于求解平面上的法向量，从而帮助我们解决与平面相关的问题。
例如，给定平面上的三个点A、B和C，我们可以通过向量AB和向量AC来求解平面ABC的法向量。
具体步骤如下：（1）计算向量AB和向量AC；（2）将向量AB和向量AC进行叉乘，得到平面ABC的法向量。
2.计算机图形学中的应用在计算机图形学中，差乘法可以用于求解三维模型表面的法向量，从而帮助我们实现真实感渲染。
例如，在三维建模软件中，我们可以通过差乘法来计算每个三角面片的法向量，从而实现光照效果的计算和渲染。
具体步骤如下：（1）计算三角面片的两个边的向量；（2）将这两个边的向量进行叉乘，得到三角面片的法向量。
三、差乘法的实例为了更好地理解差乘法的应用，我们以一个实际问题为例进行说明。
法向量公式
法向量公式
法向量是一种数学概念，它的定义是一个向量，它指向一个物体的法线方向。
法向量的实际应用有很多，它可以用来表示物体表面的方向，以及它们之间的位置关系。
法向量可以用来表示一个物体在空间中的旋转。
通过使用法向量，可以更轻松地表示物体在空间中的移动，以及它们之间的位置关系。
此外，法向量可以用来表示某些表面的特性，比如表面的凹凸等。
法向量在光学系统中也有很多应用。
它可以用来表示光的反射方向，以及光线的反射率。
这在光学系统的设计中非常重要，因为它可以控制光线的反射和折射。
法向量也可以用来表示某些流体在某一表面上的流动方向。
它可以用来分析物体表面上流体的流动状态，以及它们之间的相互关系。
此外，法向量还可以用来表示物体在某一表面上的摩擦力。
总之，法向量是一种重要的数学概念，它有很多实际应用，比如表示物体在空间中的运动，表示光线的反射方向和折射率，以及表示流体在物体表面上的流动方向等。
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故n =
a1 a2 三阶行列式 b1 b2 c1 c2
a2 b2 c2
a3 b b3 = a1 2 c2 c3
b3 b b b b − a2 1 3 + a3 1 2 展开得到 c31 2 1 2 3 3 1 2 1 2 3 ,− , i− j+ k = −9i + 7 j − 3k 即 n = ( −9, 7, −3) ，也即 n = 0 −3 1 −3 1 0 0 −3 1 −3 1 0
6 + 3x + 1 = 0 ⇒
x=−
7 7 即 n = 3, − ,1 调 3 3
整为 n = ( 9, −7,3) 可以借助线性运算产生 0 ； 若两个向量有 0 在同一个位置， 则直接得到法向量， 特例： 若两个向量均没有 0 出现， 此时平面为坐标平面 例： （1） a = (1, 2,3) ， b = ( 2,3,1) ，则 2a − b = ( 0,1,5 ) ，可设 n = ( x,5, −1) 后用 n ⋅ a = 0 得到 x = −7 （2） a = (1, 2, 0 ) ， b = ( 3, −1, 0 ) ，则 n = ( 0, 0,1)
法 2：行列式法（高等数学方法） 定义：二阶行列式
⇒
x = 3z 7 y=− z 3
取 z = 3 ，则 x = 9 ， y = −7 ， 故 n = ( 9, −7,3)
a c
b d
= ad − bc
a3 b3 = a1b2 c3 + a2b3c1 + a3b1c2 − a3b2 c1 − a2b1c3 − a1b3c2 c3 i j k 由 AB = ( 2,3,1) ， AC = (1, 0, −3) 得 n = 2 3 1 = −9i + j − 3k + 6 j = −9i + 7 j − 3k = ( −9, 7, −3) 1 0 −3
3、借零构造法（个人最喜欢的方法） 与 m = ( a, 0, b ) 垂直的向量可以构造为 n = ( b, x, − a ) ，注意根据 0 的位置调整构造的向量 由 AC = (1, 0, −3) ，可设 n = ( 3, x,1) ，再由 n ⋅ AB = 0 ⇒
三人行，必有我师
法向量的求法归纳
例：设平面 ABC 内的两个向量坐标分别为 AB = ( 2,3,1) ， AC = (1, 0, −3) ，求平面 ABC 的一个法向量 n ． 法 1：方程组法（通解通法）
2 x + 3 y + z = 0 设 n = ( x, y, z ) ，则 x − 3z = 0