【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学北师大版必修二学业分层测评：第二章解析几何初步16 Word版含解析

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【课堂新坐标】高中数学北师大版必修二练习：章末综合测评2(含答案解析)

章末综合测评(二) 解析几何初步(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．空间两点A (3，－2,5)，B (6,0，－1)之间的距离为( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．9 【解析】 |AB |＝－2＋－2－2＋＋2＝7，故选B.【答案】 B2．过两点A (－2，m )，B (m,4)的直线倾斜角是45°，则m 的值是( ) A ．－1 B ．3 C ．1D ．－3 【解析】由k AB ＝m －4－2－m ＝tan 45°＝1，解得m ＝1.【答案】 C3．过点(－1,3)且平行于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( ) A ．x －2y ＋7＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x －2y －5＝0D ．2x ＋y －5＝0【解析】 ∵直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，∴所求直线的方程为y －3＝12(x ＋1)，即x－2y ＋7＝0.【答案】 A4．已知直线l 1：ax －y －2＝0和直线l 2：(a ＋2)x －y ＋1＝0互相垂直，则实数a 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2【解析】 l 1的斜率为a ，l 2的斜率为a ＋2， ∵l 1⊥l 2，∴a (a ＋2)＝－1， ∴a 2＋2a ＋1＝0即a ＝－1. 【答案】 A5．如图1，在正方体OABC -O 1A 1B 1C 1中，棱长为2，E 是B 1B 上的点，且|EB |＝2|EB 1|，则点E 的坐标为( )图1A ．(2,2,1) B.⎝⎛⎫2，2，23 C.⎝⎛⎭⎫2，2，13 D.⎝⎛⎭⎫2，2，43 【解析】 ∵|EB |＝2|EB 1|，∴|EB |＝23|BB 1|＝43.又E 在B 1B 上，∴E 的坐标为⎝⎛⎭⎫2，2，43. 【答案】 D6．若以点C (－1,2)为圆心的圆与直线x －2y ＋3＝0没有公共点，则圆的半径r 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫0，255B.⎝⎛⎭⎫0，355 C ．(0，5)D ．(0,25)【解析】设圆心到直线的距离为d ，则d ＝|－1－4＋3|12＋－2＝255.若直线与圆没有公共点，则0<r <255，故选A.【答案】 A7．已知直线l 1的方程为x ＋Ay ＋C ＝0，直线l 2的方程为2x －3y ＋4＝0，若l 1，l 2的交点在x 轴上，则C 的值为( )A ．2B ．－2C ．±2D ．与A 有关【解析】在2x －3y ＋4＝0中，令y ＝0，得x ＝－2，即直线2x －3y ＋4＝0与x 轴的交点为(－2,0)．∵点(－2,0)在直线x ＋Ay ＋C ＝0上，∴－2＋A ×0＋C ＝0，∴C ＝2.【答案】 A8．若a ，b 满足a ＋2b ＝1，则直线ax ＋3y ＋b ＝0必过定点( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，－16 B.⎝⎛⎭⎫12，－16 C.⎝⎛⎭⎫12，16D.⎝⎛⎭⎫－12，16 【解析】令a ＝－1，b ＝1或a ＝1，b ＝0，得直线方程分别为－x ＋3y ＋1＝0，x ＋3y＝0，其交点为⎝⎛⎭⎫12，－16，此即为直线所过的定点．故选B. 【答案】 B9．已知平面内两点A (1,2)，B (3,1)到直线l 的距离分别是2， 5－2，则满足条件的直线l 的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】由题知满足题意的直线l 在线段AB 两侧各有1条，又因为|AB |＝ 5，所以还有1条为过线段AB 上的一点且与AB 垂直的直线，故共3条．【答案】 C10．若圆心在x 轴上，半径为5的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆O 的方程是( )A ．(x －5)2＋y 2＝5B ．(x ＋5)2＋y 2＝5C ．(x －5)2＋y 2＝5D ．(x ＋5)2＋y 2＝5【解析】设圆心O (a,0)，(a <0)，则 5＝|a |1＋22， ∴|a |＝5， ∴a ＝－5，∴圆O 的方程为(x ＋5)2＋y 2＝5. 【答案】 D11．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长为( ) A. 3 B ．2 C. 6D ．2 3【解析】由题意得直线方程y ＝3x ，即3x －y ＝0. 圆方程x 2＋(y －2)2＝4.圆心到直线的距离是d ＝23＋1＝1， ∴弦长|AB |＝24－1＝2 3. 【答案】 D12．已知点P (x ，y )是直线y ＝22x －4上一动点，PM 与PN 是圆C ：x 2＋(y －1)2＝1的两条切线，M ，N 为切点，则四边形PMCN 的最小面积为( )【导学号：10690077】A.43B.23C.53D.56【解析】由题意知，圆C 的圆心为C (0,1)，半径为1，故|PC |2＝|PN |2＋1.又S 四边形PMCN＝2×12×|PN |×1＝|PN |，故当|PN |最小时，四边形PMCN 的面积最小，此时|PC |最小，又|PC |的最小值即为点C 到直线的距离d ＝522＋1＝53，此时|PN |＝43，故四边形PMCN 面积的最小值为43，故选A.【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．两圆x 2＋y 2＝1，(x ＋4)2＋(y －a )2＝25相切，则实数a ＝________. 【解析】由a 2＋16＝6，得a ＝±25；由a 2＋16＝4，得a ＝0. 【答案】 0，±2 514．经过点A (1,1)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的直线方程为______．【解析】当直线过原点时，满足要求，此时直线方程为x －y ＝0；当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋ya＝1，由于点(1,1)在直线上，所以a ＝2，此时直线方程为x ＋y －2＝0.【答案】 x －y ＝0或x ＋y －2＝015．已知点M (a ，b )在直线3x ＋4y ＝15上，则a 2＋b 2的最小值为________．【解析】 a 2＋b 2的最小值为原点到直线3x ＋4y ＝15的距离d ＝|0＋0－15|32＋42＝3.【答案】 316．若圆x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0的过点P (－1,0)的最大弦长为m ，最小弦长为n ，则m －n ＝________.【解析】圆方程化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25，∴圆心C 为(2，－3)， ∴过点P 的最大弦长为直径10，当弦垂直于CP 时弦长最短， |CP |＝32＋32＝32， ∴最短弦长为225－22＝27，即m ＝10，n ＝27，∴m －n ＝10－27. 【答案】 10－27三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知直线l 平行于直线3x ＋4y －7＝0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l 的方程．【解】设l ：3x ＋4y ＋m ＝0，当y ＝0时，x ＝－m3；当x ＝0时，y ＝－m4.∵直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为24， ∴12·⎪⎪⎪⎪－m 3·⎪⎪⎪⎪－m 4＝24， ∴m ＝±24，∴直线l 的方程为3x ＋4y ＋24＝0或3x ＋4y －24＝0.18．(本小题满分12分)如图2所示，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，AC ⊥CB ，D ，E 分别是棱AB ，B 1C 1的中点，F 是AC 的中点，求DE ，EF 的长度．图2【解】以点C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∵|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，∴C (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,2,0)，C 1(0,0,2)，B 1(0,2,2)，由中点坐标公式可得， D (1,1,0)，E (0,1,2)，F (1,0,0)， ∴|DE |＝－2＋－2＋－2＝5，|EF |＝－2＋－2＋－2＝ 6.19．(本小题满分12分)菱形ABCD 中，A (－4,7)，C (6，－5)，BC 边所在直线过点P (8，－1)．求：(1)AD 边所在直线的方程； (2)对角线BD 所在直线的方程．【解】 (1)k BC ＝2，∵AD ∥BC ，∴k AD ＝2， ∴直线AD 方程为y －7＝2(x ＋4)，即2x －y ＋15＝0.(2)k AC ＝－65，∵菱形对角线互相垂直，∴BD ⊥AC ，∴k BD ＝56，而AC 中点(1,1)，也是BD 的中点，∴直线BD 的方程为y －1＝56(x －1)，即5x －6y ＋1＝0.20．(本小题满分12分)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P (2,2)，过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点．(1)当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； (2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程．【解】 (1)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9的圆心为C (1,0)，因直线l 过点P 、C ，所以直线l 的斜率为2，直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.(2)当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC ，直线l 的方程为 y －2＝－12(x －2)，即x ＋2y －6＝0.21．(本小题满分12分)自点A (－3,3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在的直线与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0相切，求光线l 所在直线的方程．【解】如图所示，已知圆C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0关于x 轴对称的圆为C 1：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1，其圆心C 1的坐标为(2，－2)，半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C 1相切．设l 的方程为y －3＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3＋3k ＝0. 则|5k ＋5|1＋k 2＝1，即12k 2＋25k ＋12＝0，∴k 1＝－43，k 2＝－34.则l 的方程为4x ＋3y ＋3＝0或3x ＋4y －3＝0.22．(本小题满分12分)已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0与直线x ＋2y －3＝0相交于P ，Q 两点，O 为原点，若OP ⊥OQ ，求实数m 的值．【解】设P ，Q 两点坐标为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，由OP ⊥OQ 可得x 1x 2＋y 1y 2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0，x ＋2y －3＝0，可得5y 2－20y ＋12＋m ＝0，①所以y 1y 2＝12＋m5，y 1＋y 2＝4.又x 1x 2＝(3－2y 1)(3－2y 2)＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2 ＝9－24＋45(12＋m )，所以x 1x 2＋y 1y 2＝9－24＋45(12＋m )＋12＋m 5＝0，解得m ＝3.将m ＝3代入方程①，可得Δ＝202－4×5×15＝100>0，可知m ＝3满足题意，即实数m 的值为3.。

2016-2017学年高中数学人教B版必修二学业分层测评第

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2016·淄博高一检测)下列说法正确的是()A．经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示B．经过任意两个不同点P(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示C．不经过原点的直线都可以用方程xa＋yb＝1表示D．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示【解析】当直线与y轴重合时，斜率不存在，选项A、D不正确；当直线垂直于x轴或y轴时，直线方程不能用截距式表示，选项C不正确；当x1≠x2，y1≠y2时由直线方程的两点式知选项B正确，当x1＝x2，y1≠y2时直线方程为x－x1＝0，即(x－x1)(y2－y1)＝(y－y1)(x2－x1)，同理x1≠x2，y1＝y2时也可用此方程表示．故选B.【答案】 B2．以A(1,3)，B(－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是()A．3x－y－8＝0B．3x＋y＋4＝0C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y＋2＝0【解析】k AB＝1－3－5－1＝13，AB的中点坐标为(－2,2)，所以所求方程为：y－2＝－3(x＋2)，化简为3x＋y＋4＝0.【答案】 B3．若直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、三象限，则() A．ab>0，bc>0 B．ab>0，bc>0C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<0【解析】直线经过第一、二、三象限，则由y＝－ab x－cb可知，⎩⎨⎧ －a b>0，－cb >0，⇒{ ab <0， bc <0，选D.【答案】 D4．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －ya＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )【解析】化为截距式x a ＋y －b ＝1，x b ＋y －a ＝1.假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置，知A 项符合．【答案】 A5．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 是( )【导学号：60870064】 A ．1 B ．2 C ．－12D ．2或－12【解析】当2m 2＋m －3≠0时，在x 轴上的截距为4m －12m 2＋m －3＝1，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12.【答案】 D 二、填空题6．直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点________．【解析】将直线方程变形为y－2＝a(x－3)，由直线方程的点斜式可知，直线的斜率为a，过定点(3,2)．【答案】(3,2)7．已知直线l1过点P(2,1)且与直线l2：y＝x＋1垂直，则l1的点斜式方程为________．【解析】直线l2的斜率k2＝1，故l1的斜率为－1，所以l1的点斜式方程为y －1＝－(x－2)．【答案】y－1＝－(x－2)8．已知光线经过点A(4,6)，经x轴上的B(2,0)反射照到y轴上，则光线照在y 轴上的点的坐标为________．【解析】点A(4,6)关于x轴的对称点A1(4，－6)，则直线A1B即是反射光线所在直线，由两点式可得其方程为：3x＋y－6＝0，令x＝0，得y＝6，所以反射光线经过y轴上的点的坐标为(0,6)．【答案】(0,6)三、解答题9．若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线．(1)求实数m的范围；(2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值．【解】(1)由{m2－3m＋2＝0， m－2＝0，解得m＝2，若方程表示直线，则m2－3m＋2与m－2不能同时为0，故m≠2.(2)由－(m2－3m＋2)m－2＝1，解得m＝0.10．求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程．【解析】法一设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b.①当a≠0，b≠0时，设l的方程为xa＋yb＝1.∵点(4，－3)在直线上，∴4a＋－3b＝1，若a＝b，则a＝b＝1，直线方程为x＋y＝1.若a＝－b，则a＝7，b＝－7，此时直线的方程为x－y＝7.②当a ＝b ＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)， ∴直线的方程为3x ＋4y ＝0.综上知，所求直线方程为x ＋y －1＝0或x －y －7＝0或3x ＋4y ＝0. 法二设直线l 的方程为y ＋3＝k (x －4)，令x ＝0，得y ＝－4k －3；令y ＝0，得x ＝4k ＋3k .又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等， ∴|－4k －3|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k ＋3k ，解得k ＝1或k ＝－1或k ＝－34. ∴所求的直线方程为x －y －7＝0或x ＋y －1＝0或3x ＋4y ＝0.[能力提升]1．直线x －y ＋1＝0关于y 轴对称的直线的方程为( ) A ．x －y －1＝0 B ．x －y －2＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋1＝0【解析】令y ＝0，则x ＝－1，令x ＝0，则y ＝1， ∴直线x －y ＋1＝0关于y 轴对称的直线过点(0,1)和(1,0)，由直线的截距式方程可知，x ＋y ＝1，即x ＋y －1＝0. 【答案】 C2．(2016·潍坊高一检测)已知两直线的方程分别为l 1：x ＋ay ＋b ＝0，l 2：x ＋cy ＋d ＝0，它们在坐标系中的位置如图2-2-4所示，则( )图2-2-4A ．b >0，d <0，a <cB ．b >0，d <0，a >cC ．b <0，d >0，a >cD ．b <0，d >0，a <c【解析】由题图可知直线l 1、l 2的斜率都大于0，即k 1＝－1a >0，k 2＝－1c >0且k 1>k 2，∴a <0，c <0且a >c .又l 1的纵截距－b a <0，l 2的纵截距－dc >0， ∴b <0，d >0，故选C. 【答案】 C3．已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________．【解析】直线AB 的方程为x 3＋y4＝1，设P (x ，y )，则x ＝3－34y ， ∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y ) ＝34[－(y －2)2＋4]≤3.即当P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2时，xy 取得最大值3.【答案】 34．直线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件：(1)△AOB 的周长为12； (2)△AOB 的面积为6.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【导学号：60870065】【解】设直线方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)，若满足条件(1)，则a ＋b ＋a 2＋b 2＝12.① 又∵直线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2，∴43a ＋2b ＝1.② 由①②可得5a 2－32a ＋48＝0，解得{a ＝4，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝125，b ＝92，∴所求直线的方程为x4＋y3＝1或5x12＋2y9＝1，即3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0. 若满足条件(2)，则ab＝12，③由题意得：43a＋2b＝1，④由③④整理得a2－6a＋8＝0，解得{a＝4， b＝3，或{a＝2， b＝6，∴所求直线的方程为x4＋y3＝1或x2＋y6＝1，即3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.综上所述：存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程，为3x＋4y－12＝0.。

高中数学第2章概率 2.2 超几何分布学业分层测评北师大版选修2-3-北师大版高二选修2-3数

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第2章概率 2.2 超几何分布学业分层测评北师大版选修2-3(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1．从一副不含大、小王的52X 扑克牌中任意抽出5X ，则至少有3X 是A 的概率为( ) A.C 34C 248C 552 B.C 348C 24C 552 C ．1－C 148C 44C 552D.C 34C 248＋C 44C 148C 552【解析】从52X 扑克牌中任意抽出5X ，至少有3X A 的结果数是C 34C 248＋C 44C 148，故所求概率为C 34C 248＋C 44C 148C 552. 【答案】 D2．一个盒子里装有相同大小的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为X ，则P (X ≤1)等于( )A.C 122C 14＋C 222C 226 B.C 112C 14＋C 24C 226 C.C 110C 14＋C 222C 226 D.C 110C 14＋C 24C 226【解析】由已知得，X 的可能取值为0,1,2. P (X ＝0)＝C 222C 226；P (X ＝1)＝C 122C 14C 226；P (X ＝2)＝C 24C 226，∴P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 122C 14＋C 222C 226. 【答案】 A3．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么310等于( )A ．恰有1只是坏的的概率B ．恰有两只是好的的概率C ．4只全是好的的概率D ．至多有两只是坏的的概率【解析】恰好两只是好的概率为P ＝C 23C 27C 410＝310.【答案】 B4．某12人的兴趣小组中，有5名“特困生”，现从中任意选6人参加竞赛，用ξ表示这6人中“特困生”的人数，则下列概率中等于C 35C 37C 612的是( )A ．P (ξ＝2)B ．P (ξ＝3)C ．P (ξ≤2)D ．P (ξ≤3)【解析】 6人中“特困生”的人数为ξ，则其选法数为C ξ5·C 6－ξ7，当ξ＝3时，选法数为C 35C 37，故P (ξ＝3)＝C 35C 37C 612.【答案】 B5．一个盒子里装有相同大小的红球、白球共30个，其中白球4个．从中任取两个，则概率为C 126C 14＋C 24C 230的事件是( ) 【导学号：62690032】 A ．没有白球 B ．至少有一个白球 C ．至少有一个红球D ．至多有一个白球【解析】C 126C 14＋C 24C 230＝C 126C 14C 230＋C 24C 230表示任取的两个球中只有一个白球和两个都是白球的概率，即至少有一个白球的概率．【答案】 B 二、填空题6．一批产品共50件，其中5件次品，其余均为合格品，从这批产品中任意抽取两件，其中出现次品的概率为________．【解析】设抽取的两件产品中次品的件数为X ，则P (X ＝k )＝C k 5C 2－k45C 250(k ＝0,1,2)．∴P (X >0)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 15C 145C 250＋C 25C 250＝47245.【答案】472457．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为________．(结果用最简分数表示)【解析】从这30瓶饮料中任取2瓶，设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A ，则P (A )＝C 127C 13C 230＋C 23C 230＝28145.【答案】281458．(2016·某某高二检测)袋中有3个黑球，4个红球，除颜色外，其他均相同，从袋中任取3个球，则至少有一个红球的概率为________．【解析】令X 表示取出的黑球个数，则X ＝0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 33C 37＝135，故至少有一个红球的概率为P (X ≥1)＝1－135＝3435.【答案】3435三、解答题9．现有10X 奖券，其中8X1元，2X5元，从中同时任取3X ，求所得金额的分布列．【解】设所得金额为X ，X 的可能取值为3,7,11. P (X ＝3)＝C 38C 310＝715，P (X ＝7)＝C 28C 12C 310＝715，P (X ＝11)＝C 18·C 22C 310＝115.故X 的分布列为10.老师要从102篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列； (2)他能及格的概率．【解】 (1)设抽到他能背诵的课文的数量为X ，则P (X ＝k )＝C k 6C 3－k 4C 310(k ＝0,1,2,3)．P (X ＝0)＝C 06C 34C 310＝130，P (X ＝1)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝2)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝3)＝C 36C 04C 310＝16.所以X 的分布列为(2)他能及格的概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝2＋6＝23.能力提升]1．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：①X 表示取出的最大； ②X 表示取出的最小；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X 表示取出的4个球的总得分； ④X 表示取出的黑球个数．这四种变量中服从超几何分布的是( ) A ．①② B ．③④ C ．①②④D ．①②③④【解析】由超几何分布的概念知③④符合，故选B. 【答案】 B2．现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是57，则语文课本的本数为( ) 【导学号：62690033】A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】设语文课本有m 本，任取2本书中的语文课本数为X ，则X 服从参数为N ＝7，M ＝m ，n ＝2的超几何分布，其中X 的所有可能取值为0,1,2，且P (X ＝k )＝C k m C 2－k7－mC 27(k ＝0,1,2)．由题意，得P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 0m C 27－m C 27＋C 1m C 17－mC 27＝12×7－m 6－m 21＋m 7－m 21＝57. ∴m 2－m －12＝0，解得m ＝4或m ＝－3(舍去)．即7本书中语文课本有4本．【答案】 C3．口袋内装有10个大小相同的球，其中5个球标有数字0,5个球标有数字1，若从口袋中摸出5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是________(用数字作答)．【解析】设摸出标有数字1的球的个数为X ，则所求的概率为： 1－P (X ＝2)－P (X ＝3)＝1－C 25C 35C 510－C 35C 25C 510＝1－5063＝1363.【答案】13634．盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球．(1)求取出的3个球中至少有一个红球的概率； (2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；(3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列．【解】 (1)P ＝1－C 37C 39＝712.(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B ，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C ，则P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝C 12C 23C 39＋C 22C 14C 39＝542.(3)ξ可能的取值为0,1,2,3，ξ服从超几何分布，且P (ξ＝k )＝C k 3C 3－k6C 39，k ＝0,1,2,3.故P (ξ＝0)＝C 36C 39＝521，P (ξ＝1)＝C 13C 26C 39＝1528，P (ξ＝2)＝C 23C 16C 39＝314，P (ξ＝3)＝C 33C 39＝184，ξ的分布列为。

2016-2017学年高中数学北师大版必修2学业分层测评10

学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是直径为1的圆，那么这个几何体的侧面积为( )图1-7-8A ．π B.32π C ．2π D ．3π【解析】由该几何体的三视图可知，其为底面半径为12，高为1的圆柱，故S 侧＝2×π×12×1＝π. 【答案】 A2．圆台的母线长扩大为原来的n 倍，两底面半径都缩小为原来的1n 倍，那么它的侧面积变为原来的( )A ．1倍B ．n 倍C ．n 2倍 D.1n 倍【解析】由S 侧＝π(r ′＋r )l ，当r ，r ′缩小1n 倍，l 扩大n 倍时，S 侧不变．【答案】 A3．某几何体的三视图如图1-7-9所示，则该几何体的表面积为( )【导学号：10690029】图1-7-9A ．180B ．200C ．220D ．240【解析】几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4，腰为5的等腰梯形，故两个底面面积的和为12×(2＋8)×4×2＝40，四个侧面面积的和为(2＋8＋5×2)×10＝200，所以直四棱柱的表面积为S ＝40＋200＝240，故选D.【答案】 D4．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是18π，则母线长为( )A ．2B ．3C ．4D ．2 2【解析】设圆台的上、下底面圆半径分别为r 1，r 2，母线长为l ，则π(r 1＋r 2)l ＝18π，即(r 1＋r 2)l ＝18.又∵l ＝12(r 1＋r 2)，∴2l 2＝18，即l 2＝9，∴l ＝3. 【答案】 B5．(2014·安徽高考)一个多面体的三视图如图1-7-10所示，则该多面体的表面积为( )图1-7-10A．21＋ 3 B．18＋ 3 C．21 D．18【解析】由三视图可知，原几何体是一个正方体截去两个全等的小正三棱锥．正方体的表面积为S＝24，两个全等的三棱锥是以正方体的相对顶点为顶点，侧面是三个全等的直角边长为1的等腰直角三角形，其表面积的和为3，三棱锥的底面是边长为2的正三角形，其表面积的和为3，故所求几何体的表面积为24－3＋3＝21＋ 3.【答案】 A二、填空题6．已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为________．【解析】设上底面半径为r，则下底面半径为4r，高为4r，∵母线长为10，∴有102＝(4r)2＋(4r－r)2，解得r＝2，∴S圆台侧＝π(r＋4r)×10＝100π.【答案】100π7．侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，则该三棱锥的表面积为__________．【解析】∵底面边长为a，则斜高为a 2，故S侧＝3×12a×a2＝34a2，而S底＝34a2，故S表＝3＋34a2.【答案】3＋34a28．如图1-7-11，直三棱柱的主视图面积为2a 2，则左视图的面积为________．图1-7-11【解析】此直三棱柱的底面是边长为a 的正三角形，该三角形的高为32a .左视图是一矩形，一边为32a ，另一边为2a ，故左视图的面积为32a ×2a ＝3a 2. 【答案】 3a 2三、解答题9．正四棱锥底面正方形边长为4 cm ，高与斜高的夹角为30°，求正四棱锥的侧面积和表面积(单位：cm 2)．【解】正四棱锥的高PO ，斜高PE 与底面边心距OE 组成Rt △POE .∵OE ＝2 cm ，∠OPE ＝30°， ∴PE ＝OEsin 30°＝4(cm)，因此，S 侧棱锥＝12ch ′＝12×4×4×4＝32(cm 2)， S 表面积＝S 侧＋S 底＝32＋16＝48(cm 2)．10．一个几何体的三视图及其相关数据如图1-7-12所示，求这个几何体的表面积．图1-7-12【解】这个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半．根据图中数据可知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为3，母线长为2，几何体的表面积是两个半圆的面积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和，故这个几何体的表面积为S ＝12π×12＋12π×22＋12π×(1＋2)×2＋12×(2＋4)×3＝11π2＋3 3.[能力提升]1．(2016·吉林高一检测)已知圆锥的侧面展开图为半圆，半圆的面积为S ，则圆锥的底面面积是( )A ．2S B.S 2 C.2S D.22S【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l . 则由题意，得S ＝12πl 2，S ＝πrl ，所以12πl 2＝πrl ，于是l ＝2r ，代入S ＝πrl ，得S ＝2πr 2，所以圆锥的底面面积πr 2＝S2. 【答案】 B2．(2014·重庆高考)某几何体的三视图如图1-7-13所示，则该几何体的表面积为( )图1-7-13A ．54B ．60C ．66D ．72【解析】由三视图可知，该几何体为如图所示的一个三棱柱上方被截去一个三棱锥得到的．由三视图中的相关数据易知，底面的面积为12×3×4＝6，左侧侧面积为3×5＝15，前面的侧面积为12×(2＋5)×4＝14，后面的侧面积为12×(2＋5)×5＝352，截面积为12×3×5＝152，故表面积为6＋14＋15＋352＋152＝60.选B.【答案】 B3．直平行六面体底面是菱形，两个对角面的面积分别为Q 1和Q 2，则此平行六面体的侧面积为________．【解析】设侧棱为b ，底面边长为a ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫Q 12b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫Q 22b 2＝a 2， ∴Q 21＋Q 22＝4a 2b 2， ∴S 侧＝4ab ＝2Q 21＋Q 22. 【答案】 2Q 21＋Q 224．如图1-7-14，已知平行四边形ABCD ，AB ＝8，AD ＝6，∠DAB ＝60°，以AB 为轴旋转一周，得旋转体，求旋转体的表面积．图1-7-14【解】如图(1)，作DH ⊥AB 于H ，在Rt △ADH 中，AD ＝6，∠DAH ＝60°，∴DH ＝32×AD ＝33，如图(2)，所得旋转体的表面积是一个圆柱的侧面积与两个圆锥侧面积的和．即S 表＝2π×DH ×DC ＋π×DH ×AD ×2＝2π×33×8＋π×33×6×2＝483π＋363π＝843π，即旋转体的表面积为843π.。

【小初高学习]2016-2017学年高中数学学业分层测评2 弧度制和弧度制与角度制的换算(含解析)

学业分层测评(二) 弧度制和弧度制与角度制的换算(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.－25π6的角是( )A.第一象限的角B.第二象限的角C.第三象限的角D.第四象限的角【解析】因为－25π6＝－π6－4π，所以－25π6与－π6的终边相同，为第四象限的角.【答案】 D2.若2 rad 的圆心角所对的弧长为4 cm ，则这个圆心角所对的扇形面积是() A.4 cm 2 B.2 cm 2C.4π cm 2D.2π cm 2【解析】 r ＝l|α|＝42＝2(cm)，S ＝12lr ＝12×4×2＝4(cm 2).【答案】 A3.圆的半径是6 cm ，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是( )A.π2 cm 2B.3π2 cm 2C.π cm 2D.3π cm 2【解析】 15°＝π12，则S ＝12|α|r 2＝12×π12×62＝3π2(cm 2).【答案】 B4.下列说法不正确的是( )A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.1°的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12πC.1 rad 的角比1°的角要大D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关【解析】用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关.【答案】 D5.集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中角所表示的范围(阴影部分)是( )【解析】 k 为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y ＝x 左上部分(包含边界)，k 为奇数时集合对应的区域为第三象限内直线y ＝x 的右下部分(包含边界).故选C.【答案】 C二、填空题6.把－570°写成2k π＋α(k ∈Z ，α∈(0,2π)的形式是________.【导学号：72010005】【解析】法一：－570°＝－⎝⎛⎭⎪⎫570×π180rad ＝－196πrad ， ∴－196π＝－4π＋56π. 法二：－570°＝－2×360°＋150°，∴－570°＝－4π＋56π. 【答案】－4π＋56π 7.一个半径为2的扇形，如果它的周长等于所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是________弧度，扇形面积是________.【解析】由题意知r ＝2，l ＋2r ＝πr ，∴l ＝(π－2)r ，∴圆心角α＝l r ＝π－r r ＝π－2(rad)，扇形面积S ＝12lr ＝12×(π－2)·r ·r ＝2(π－2). 【答案】 π－2 2(π－2)三、解答题8.已知α＝2 000°.(1)把α写成2k π＋β(k ∈Z ，β∈[0,2π)的形式；(2)求θ，使得θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π).【解】 (1)α＝2 000°＝5×360°＋200°＝10π＋109π. (2)θ与α的终边相同，故θ＝2k π＋109π，k ∈Z ，又θ∈(4π，6π)，所以k ＝2时，θ＝4π＋109π＝46π9. 9.已知一个扇形的周长是40，(1)若扇形的面积为100，求扇形的圆心角；(2)求扇形面积S 的最大值.【解】 (1)设扇形的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＋2r ＝40，12lr ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＝20，r ＝10，则α＝l r＝2(rad). 故扇形的圆心角为2 rad.(2)由l ＋2r ＝40得l ＝40－2r ，故S ＝12lr ＝12(40－2r )·r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100，故r ＝10时，扇形面积S 取最大值100.[能力提升]1.如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的32倍，则该弧所对的圆心角是原来的( )A.12B.2倍C.13D.3倍【解析】设圆的半径为r ，弧长为l ，圆心角的弧度数为l r，将半径变为原来的一半，弧长变为原来的32倍，则弧度数变为32l 12r ＝3·l r ，即弧度数变为原来的3倍. 【答案】 D2.已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.(1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .【解】 (1)由⊙O 的半径r ＝10＝AB ，知△AOB 是等边三角形，∴α＝∠AOB ＝60°＝π3. (2)由(1)可知α＝π3，r ＝10， ∴弧长l ＝α·r ＝π3×10＝10π3， ∴S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3，而S △AOB ＝12·AB ·53＝12×10×53＝5032， ∴S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32.。

【课堂新坐标】高中数学北师大版必修二练习：2.1.1直线的倾斜角和斜率（含答案解析）

学业分层测评(十三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题一、选择题1．已知直线l 1的倾斜角为45°，直线l 2的倾斜角为θ，若l 1与l 2关于y 轴对称，则θ的值为( )A ．45°B ．90°C ．135°D ．180° 【解析】【解析】由对称性知θ＝180°－45°＝135°135°.. 【答案】【答案】 C2．直线l 经过原点和点(－1，－1)，则它的倾斜角是( ) A ．45° B ．135° C ．135°或225°D ．0°【解析】【解析】由k ＝－1－0－1－0＝1，知tan α＝1，α＝45°45°. . 【答案】【答案】 A3．过点M (－2，a )，N (a,4)的直线的斜率为－12，则a 等于( ) A ．－8 B ．10 C ．2 D ．4 【解析】【解析】 ∵k ＝4－a a ＋2＝－12，∴a ＝10.【答案】【答案】 B4．已知三点A (2，－3)，B (4,3)及C èæøö5，k 2在同一条直线上，则k 的值是( )A ．7B ．9C ．11D ．12 【解析】【解析】若A 、B 、C 三点在同一条直线上，则k AB ＝k AC ，即3＋34－2＝k2＋35－2，解得k ＝12. 【答案】【答案】 D5．直线l 过点A (1,2)且不过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[0,1] C.ëéûù0，12D.ëéøö0，12 【解析】【解析】如图，当k ＝0时，不过第四象限，当直线过原点时也不过第四象限，时，不过第四象限，当直线过原点时也不过第四象限，∴由k OA ＝2－01－0＝2，知k ∈[0,2]．【答案】【答案】 A 二、填空题二、填空题6．若过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，那么实数a 的取值范围是________．【解析】【解析】 k ＝2a －＋a 3－－a＝a －12＋a ，因为倾斜角为钝角，，因为倾斜角为钝角，所以k <0，即a －12＋a <0，解得－2<a <1.【答案】【答案】 (－2,1)7．已知点M 的坐标为(3,4)，在坐标轴上有一点N ，若k MN ＝2，则N 点的坐标为________. 【导学号：10690041】【解析】【解析】设N (x,0)或(0，y )，k MN ＝43－x 或4－y 3，∴43－x ＝2或4－y 3＝2，∴x ＝1或y ＝－2，∴N 点的坐标为(1,0)或(0，－2)．【答案】【答案】 (1,0)或(0，－2)8．已知直线l 的倾斜角为60°，将直线l 绕它与x 轴的交点顺时针旋转80°到l ′，则l ′的倾斜角为________．【解析】【解析】如图，如图，顺时针旋转顺时针旋转80°，等价于逆时针旋转100°，故l ′的倾斜角为60°＋100°＝160°160°..【答案】【答案】 160° 三、解答题三、解答题9．已知A (1,1)，B (3,5)，C (a,7)，D (－1，b )四点在同一条直线上，求直线的斜率k 及a 、b 的值．的值．【解】【解】由题意可知k AB ＝5－13－1＝2， k AC ＝7－1a －1＝6a －1， k AD ＝b －1－1－1＝b －1－2，所以k ＝2＝6a －1＝b －1－2，解得a ＝4，b ＝－3，所以直线的斜率k ＝2，a ＝4，b ＝－3.10．已知P (3，－1)，M (5,1)，N (1,1)，直线l 过P 点且与线段MN 相交，求：相交，求： (1)直线l 的倾斜角α的取值范围；的取值范围； (2)直线l 的斜率k 的取值范围．的取值范围．【解】【解】k PM ＝1＋15－3＝1，∴直线PM 的倾斜角为45°45°.. 又k PN ＝1＋11－3＝－1，∴直线PN 的倾斜角为135°135°.. (1)由图可知，直线l 过P 点且与线段MN 相交，则直线l 的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°.(2)当l 垂直于x 轴时，直线l 的斜率不存在，∴直线l 的斜率k 的取值范围是k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．[能力提升]1．若图2-2-1-1-1-44中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )图2-2-1-1-1-4 4 A ．k 1<k 2<k 3 B ．k 3<k 1<k 2 C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2【解析】由图可知，l 1的倾斜角α1>90°，所以k 1<0，l 2，l 3的倾斜角满足0°0°<<α3<α2<90°，所以k 3<k 2，于是可得k 1<k 3<k 2，故选D.【答案】【答案】 D2．将直线l 向右平移4个单位，再向下平移5个单位后仍回到原来的位置，则此直线的斜率为( )A.54B.45 C ．－54 D ．－45【解析】【解析】设点P (a ，b )是直线l 上的任意一点，当直线l 按题中要求平移后，点P 也做同样的平移，平移后的坐标为(a ＋4，b －5)，由题意知，这两点都在直线l 上，∴直线l 的斜率为k ＝b －5－b a ＋4－a＝－54.【答案】【答案】 C3．直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R)两点，则直线l 的倾斜角的取值范围为________．【解析】【解析】直线l 的斜率k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1. 若l 的倾斜角为α，则tan α≤1.又∵α∈[0°，180°180°))，当0≤tan α≤1时，0°≤α≤45°；当tan α<0时，90°90°<<α<180°，∴α∈[0°，45°45°]]∪(90°，180°180°))．【答案】【答案】 [0°，45°45°]]∪(90°，180°180°) ) 4．已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求yx 的最大值和最小值．的最大值和最小值．【解】【解】如图所示，由于点(x ，y )满足关系式2x ＋y ＝8，且2≤x ≤3，可知点P (x ，y )在线段AB 上移动，并且A ，B 两点的坐标可分别求得为A (2,4)，B (3,2)．由于yx 的几何意义是直线OP 的斜率，的斜率，且k OA ＝2，k OB ＝23，所以可求得y x 的最大值为2，最小值为23.。

高中数学(人教B版必修2)学业分层测评：第2章 2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率 Word版含答案

学业分层测评(建议用时：45分钟)一、选择题1.下列说法正确的是( )A.一条直线和x 轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角B.直线的倾斜角α的取值范围是锐角或钝角C.与x 轴平行的直线的倾斜角为180°D.每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率【解析】选项A 成立的前提条件为直线和x 轴相交，故错误；选项B 中倾斜角α的范围是0°≤α<180°，故错误；选项C 中与x 轴平行的直线，它的倾斜角为0°，故错误；选项D 中每一条直线都存在倾斜角，但是直线与y 轴平行时，该直线的倾斜角为90°，斜率不存在，故正确.【答案】 D2.若A 、B 两点的横坐标相等，则直线AB 的倾斜角和斜率分别是( )A.45°，1B.135°，－1C.90°，不存在D.180°，不存在【解析】由于A 、B 两点的横坐标相等，所以直线与x 轴垂直，倾斜角为90°，斜率不存在.故选C.【答案】 C3.若过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y 等于( )A.1B.5C.－1D.－5【解析】由斜率公式可得：y ＋34－2＝tan 135°， ∴y ＋32＝－1，∴y ＝－5.∴选D.【答案】 D4.若直线l 的向上方向与y 轴的正方向成60°角，则l 的倾斜角为( )A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°【解析】直线l 可能有两种情形，如图所示，故直线l 的倾斜角为30°或150°.故选C.【答案】 C5.直线l 过点A (1,2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率k 的最大值是( )A.0B.1C.12D.2【解析】如图，k OA ＝2，k l ′＝0，只有当直线落在图中阴影部分才符合题意，故k ∈.故直线l 的斜率k 的最大值为2.【答案】 D二、填空题6.a ，b ，c 是两两不等的实数，则经过P (b ，b ＋c )，C (a ，c ＋a )两点直线的倾斜角为________.【解析】由题意知，b ≠a ，所以k ＝c ＋a －b ＋c a －b＝1，故倾斜角为45°.【答案】 45°7.已知三点A (－3，－1)，B (0,2)，C (m,4)在同一直线上，则实数m 的值为________.【解析】 ∵A 、B 、C 三点在同一直线上，∴k AB ＝k BC ，∴2－－0－－＝4－2m －0， ∴m ＝2.【答案】 28.在平面直角坐标系中，正△ABC 的边BC 所在直线的斜率是0，则AC ，AB 所在直线的斜率之和为________.【解析】如图，易知k AB ＝3，k AC ＝－3，则k AB ＋k AC ＝0.【答案】 0三、解答题9.已知点A (1,2)，在坐标轴上求一点P 使直线PA 的倾斜角为60°.【解】 (1)当点P 在x 轴上时，设点P (a,0)，∵A (1,2)，∴k PA ＝0－2a －1＝－2a －1. 又∵直线PA 的倾斜角为60°，∴tan 60°＝－2a －1，解得a ＝1－233. ∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233，0. (2)当点P 在y 轴上时，设点P (0，b ). 同理可得b ＝2－3， ∴点P 的坐标为(0,2－3).10.已知A (2,4)，B (3,3)，点P (a ，b )是线段AB (包括端点)上的动点，求b －1a －1的取值范围.【解析】设k ＝b －1a －1，则k 可以看成点P (a ，b )与定点Q (1,1)连线的斜率.如图，当P 在线段AB 上由B 点运动到A 点时，PQ 的斜率由k BQ 增大到k AQ ，因为k BQ ＝3－13－1＝1，k AQ ＝4－12－1＝3，所以1≤k ≤3，即b －1a －1的取值范围是.1.斜率为2的直线经过点A (3,5)，B (a,7)，C (－1，b )三点，则a ，b 的值分别为( )A.4,0B.－4，－3C.4，－3D.－4,3【解析】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ k AC ＝2，k AB ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ b －5－1－3＝2，7－5a －3＝2，解得a ＝4，b ＝－3.【答案】 C2.已知直线l 1的斜率为1，l 2的斜率为a ，其中a 为实数，当两直线的夹角在(0°，15°)内变动时，则a 的取值范围是( )A.(0,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1∪(1，3)D.(1，3)【解析】 ∵l 1的倾斜角为45°，∴l 2的倾斜角的取值范围为(30°，45°)∪(45°，60°)，∴a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫33，1∪(1，3)，故选C. 【答案】 C3.已知直线l 1的倾斜角α1＝15°，直线l 1与l 2的交点为A ，把直线l 2绕着点A 按逆时针方向旋转到和直线l 1重合时所转的最小正角为60°，则直线l 2的斜率的值为________. 【解析】设直线l 2的倾斜角为α2，则由题意知：180°－α2＋15°＝60°，α2＝135°，k 2＝tan α2＝－tan 45°＝－1.【答案】－14.点M (x ，y )在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x ∈时，求y ＋1x ＋1的取值范围.【解】 y ＋1x ＋1＝y －－x －－的几何意义是过M (x ，y )，N (－1，－1)两点的直线的斜率. ∵点M 在函数y ＝－2x ＋8的图象上，且x ∈，∴设该线段为AB 且A (2,4)，B (5，－2)，设直线NA ，NB 的斜率分别为k NA ，k NB .∵k NA ＝53，k NB ＝－16，∴－16≤y ＋1x ＋1≤53. ∴y ＋1x ＋1的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，53.。

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学苏教版必修二课件：第二章平面解析几何初步-2.1-2.1.2-第1课时

直线的点斜式方程和斜截式方程的应用
探究1 对于直线y＝kx＋1，是否存在k使直线不过第三象限？若存在，k的取值范围是多少？
【提示】直线y＝kx＋1过定点(0,1)，直线不过第三象限，只需k<0.
探究2 已知直线l的方程是2x＋y－1＝0，求直线的斜率k在y轴上的截距 b，以及与y轴交点P的坐标．【提示】 ∵2x＋y－1＝0可变形为y＝－2x＋1，斜率k＝－2.令x＝0，得y ＝1，即b＝1，直线l与y轴的交点为(0,1)．
【答案】 y＝－x＋5
2．过点P(1,1)平行于x轴的直线方程为________，垂直于x轴的直线方程为 ________．【解析】过点P(1,1)平行于x轴的直线方程为y＝1，垂直于x轴的直线方程为x＝1.
【答案】 y＝1 x＝1
3．若直线l过点A(－1,1)，B(2,4)，则直线l的方程为________．
4－1 【解析】 k＝＝1，l的方程为y－1＝1· (x＋1)，即y＝x＋2. 2－－1
【答案】 y＝x＋2
教材整理2
直线的斜截式方程
阅读教材P82探究以上部分内容，完成下列问题．
y＝kx＋b 斜截式方程：__________________ ，它表示经过点P(0，b)，且斜率为k的
截距．直线方程．其中b为直线与y轴交点的纵坐标，称其为直线在y轴上的______
【导学
【解析】直线x＋y＋1＝0变成斜截式得y＝－x－1，故该直线的斜率为－ 1，在y轴上的截距为－1.若直线的倾斜角为α，则tan α＝－1，即α＝135° .
【答案】 135° ，－1
5．求经过点A(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程．
【解】设直线方程为y－4＝k(x＋3)(k≠0)．当x＝0，y＝4＋3k， 4 当y＝0，x＝－ k－3，

【课堂新坐标】高中数学北师大版必修二练习：模块综合测评(含答案解析)

模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线x3－y3＝1的倾斜角的大小为()A．30°B．60°C．120°D．150°【解析】由x3－y3＝1，得该直线的斜率k＝33，故倾斜角为30°.【答案】 A2．在空间直角坐标系中，点B是A(1,2,3)在yOz坐标平面内的射影，O为坐标原点，则|OB|等于()A.14B.13C．2 3 D.11【解析】点A(1,2,3)在yOz坐标平面内的投影为B(0,2,3)，∴|OB|＝02＋22＋32＝13.【答案】 B3．(2016·银川高一检测)在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是()【解析】由y＝x＋a得斜率为1，排除B，D；由y＝ax与y＝x＋a中a同号知，若y ＝ax递增，则y＝x＋a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y＝ax递减，则y＝x＋a与y轴的交点在y轴的负半轴上．故选C.【答案】 C4．已知M，N分别是正方体AC1的棱A1B1，A1D1的中点，如图1是过M，N，A和D，N，C1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为()图1【解析】由主视图的性质知，几何体的正投影为一正方形，正面有可见的一棱和背面有不可见的一棱，故选B.【答案】 B5．直线ax ＋2y －1＝0与x ＋(a －1)y ＋2＝0平行，则a 等于( ) A.32 B ．2 C ．－1D ．2或－1【解析】由a (a －1)－2×1＝0，得a 2－a －2＝0，a ＝2或－1. 【答案】 D6．(2016·成都高一检测)已知m 是平面α的一条斜线，点A ∉α，l 为过点A 的一条动直线，那么下列情形中可能出现的是( )A ．l ∥m ，l ⊥αB ．l ⊥m ，l ⊥αC ．l ⊥m ，l ∥αD ．l ∥m ，l ∥α【解析】如图l 可以垂直m ，且l 平行α.【答案】 C7．(2016·亳州高一检测)已知A ，B ，C ，D 是空间不共面的四个点，且AB ⊥CD ，AD ⊥BC ，则直线BD 与AC ( )A ．垂直B ．平行C ．相交D ．位置关系不确定【解析】过点A 作AO ⊥平面BCD ，垂足为O ，连接BO ，CO 并延长分别交CD ，BD 于F ，E 两点，连接DO .因为AB ⊥CD ，AO ⊥CD ，所以CD ⊥平面AOB ，所以BO ⊥CD ，同理DO ⊥BC ，所以O 为△BCD 的垂心，所以CO ⊥BD ，所以BD ⊥AC .故选A. 【答案】 A8．已知一个正六棱锥的体积为12，底面边长为2，则它的侧棱长为( ) A ．4 B.433C. 6 D ．2【解析】由正六棱锥可知，底面是由六个正三角形组成的， ∴底面积S ＝6×12×2×3＝63，∴体积V ＝13Sh ＝12，∴h ＝36S ＝3663＝23，在直角三角形SOB 中，侧棱长为SB ＝OB 2＋h 2＝4＋12＝4. 故选A. 【答案】 A9．过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A ．(0°，30°]B ．(0°，60°]C ．[0°，30°]D ．[0°，60°]【解析】如图，过点P 作圆的切线P A ，PB ，切点为A ，B .由题意知|OP |＝2，|OA |＝1，则sin α＝12，所以α＝30°，∠BP A ＝60°.故直线l 的倾斜角的取值范围是[0°，60°]．选D. 【答案】 D10．若M (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( ) A ．x －y －3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝0【解析】设圆心为C ，其坐标为(1,0)．则AB ⊥CM ，k CM ＝－1， ∴k AB ＝1，∴直线AB 的方程为y －(－1)＝1×(x －2)，即x －y －3＝0，故选A. 【答案】 A11．过点P (－3,4)作圆x 2＋y 2＝4的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．3x ＋4y －7＝0 B ．3x －4y ＋25＝0 C ．3x －4y ＋4＝0D ．3x －4y ＝0【解析】先求出以PO (O 为原点)为直径的圆C 的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋322＋(y －2)2＝⎝⎛⎭⎫522，即x 2＋y 2＋3x －4y ＝0，再将两圆方程相减得3x －4y ＋4＝0，因为这条直线经过两圆的交点即切点A ，B ，所以3x －4y ＋4＝0就是直线AB 的方程，故选C.【答案】 C12．若直线y ＝kx －1与曲线y ＝－1－x －2有公共点，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，43 B.⎣⎡⎦⎤13，43 C.⎣⎡⎦⎤0，12 D ．[0,1]【解析】曲线y ＝－1－x －2可化为(x －2)2＋y 2＝1它表示以(2,0)为圆心，1为半径的x 轴下方的半圆，直线y ＝kx －1过定点(0，－1)，要使直线与曲线有公共点(如图)，易知0≤k ≤1.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为9π2，则正方体的棱长为________．【解析】设正方体的棱长为x ，其外接球的半径为R ，则由球的体积为9π2，得43πR 3＝9π2，解得R ＝32.由2R ＝3x ，得x ＝2R3＝ 3.【答案】314．(2016·赣州高一检测)在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，对角线AC ＝BD ＝2，且AC ⊥BD ，则四边形EFGH 的面积为______.【导学号：10690078】【解析】如图，由条件，易判断EH ═∥FG ═∥12BD ，所以EH ＝FG ＝1，同样有EF ═∥GH ═∥12AC ，EF ＝GH ＝1，又BD ⊥AC ，所以EF ⊥EH ，所以四边形EFGH 是边长为1的正方形，其面积S ＝12＝1.【答案】 115．已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2)，则过点A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为______．【解析】由题意知，点A 在圆上，切线斜率为－1k OA ＝－121＝－12，用点斜式可直接求出切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0，从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和52，所以所求面积为12×52×5＝254.【答案】25416．如图2，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1垂直于底面A 1B 1C 1，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 的中点，则下列叙述正确的是________．图2①CC 1与B 1E 是异面直线； ②AC ⊥平面ABB 1A 1；③AE 与B 1C 1是异面直线，且AE ⊥B 1C 1； ④A 1C 1∥平面AB 1E .【解析】 ①中，直线CC 1与B 1E 都在平面BCC 1B 1中，不是异面直线；②中，平面ABC ⊥平面ABB 1A 1，而AC 与AB 不垂直，则AC 与平面ABB 1A 1不垂直； ③中，AE 与B 1C 1不平行也不相交，是异面直线，又由已知得平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，由△ABC 为正三角形，且E 为BC 的中点知AE ⊥BC ，所以AE ⊥平面BCC 1B 1，则AE ⊥B 1C 1；④中，A 1C 1与平面AB 1E 相交，故错误．【答案】 ③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)将圆心角为120°，面积为3π的扇形作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积．【解】设扇形的半径和圆锥的母线都为l ，圆锥的半径为r ，则 120360πl 2＝3π，l ＝3；2π3×3＝2πr ，r ＝1； S 表面积＝S 侧面＋S 底面＝πrl ＋πr 2＝4π， V ＝13Sh ＝13×π×12×22＝223π.18．(本小题满分12分)(2016·温州高一检测)已知直线l 过两直线3x －y －10＝0和x ＋y －2＝0的交点，且直线l 与点A (1,3)和点B (5,2)的距离相等，求直线l 的方程．【解】由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －10＝0，x ＋y －2＝0，得交点为(3，－1)，当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －3)，则|－2k －4|k 2＋1＝|2k －3|k 2＋1，解得k ＝－14，所以直线l 的方程为y ＋1＝－14(x －3)，即x ＋4y ＋1＝0；又当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝3，也满足题意．故x ＋4y ＋1＝0或x ＝3为所求方程．19．(本小题满分12分)如图3，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1B 1＝A 1C 1，D ，E 分别是棱BC ，CC 1上的点(点D 不同于点C )，且AD ⊥DE ，F 为B 1C 1的中点．图3求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.【证明】(1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又AD平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC1、DE平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因为CC1、B1C1平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD平面ADE，A1F⊆/平面ADE，所以A1F∥平面ADE.20．(本小题满分12分)(2016·长沙高一检测)已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|P A|＝2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．【解】(1)设点P的坐标为(x，y)，则x＋2＋y2＝2x－2＋y2，化简可得(x－5)2＋y2＝16，此即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图，则直线l 是此圆的切线，连接CQ ，则|QM |＝|CQ |2－|CM |2＝|CQ |2－16.当CQ ⊥l 1时，|CQ |取最小值， |CQ |＝|5＋3|2＝42， ∴|QM |最小＝4.21．(本小题满分12分)如图4，多面体EF -ABCD 中，已知ABCD 是边长为4的正方形，EF ∥AB ，平面FBC ⊥平面ABCD ，EF ＝2.图4(1)若M ，N 分别是AB ，CD 的中点，求证：平面MNE ∥平面BCF ； (2)若△BCF 中，BC 边上的高FH ＝3，求多面体EF -ABCD 的体积V . 【解】 (1)若M ，N 分别是AB ，CD 的中点，则MN ∥BC ，MN ⊆/平面BCF ，BC平面BCF ，∴MN ∥平面BCF .又EF ∥AB ，EF ＝2＝12AB ，∴EF ＝MB ，∴四边形BMEF 是平行四边形，∴ME ∥BF ，又∵ME ⊆/平面BCF ，BF平面BCF ，∴ME ∥平面BCF ，又ME ∩MN ＝M ，由面面平行的判定定理知，平面MNE ∥平面BCF . (2)∵平面FBC ⊥平面ABCD ，FH ⊥BC ，AB ⊥BC ， ∴FH ⊥平面ABCD ，AB ⊥平面BCF ，∴FH 是四棱锥E -AMND 的高，MB 是三棱柱BCF -MNE 的高， ∴多面体EF -ABCD 的体积 V ＝V E -AMND ＋V BCF -MNE ＝13S AMND ·FH ＋S △BCF ·MB ＝13×4×2×3＋12×4×3×2＝20. 22．(本小题满分12分)如图5，l 1，l 2是通过某城市开发区中心O 的两条南北和东西走向的街道，连结M 、N 两地之间的铁路线是圆心在l 2上的一段圆弧．若点M 在点O 正北方向，且|MO |＝3 km ，点N 到l 1，l 2的距离分别为4 km 和5 km.图5(1)建立适当的坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；(2)若该城市的某中学拟在点O 正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O 的距离大于4 km ，并且铁路线上任意一点到校址的距离不能少于26 km ，求该校址距点O 的最近距离．(注：校址视为一个点)【解】 (1)分别以l 2、l 1为x 轴、y 轴建立直角坐标系，依题意得M (0,3)，N (4,5)，故k MN ＝5－34－0＝12，M 、N 中点为(2,4)．故线段MN 的垂直平分线方程为：y －4＝－2(x －2)．令y ＝0得x ＝4，故圆心A 的坐标为(4,0)，半径r ＝－2＋－2＝5.∴⊙A 的方程为(x －4)2＋y 2＝25，∴MN ︵的方程为(x －4)2＋y 2＝25(0≤x ≤4,3≤y ≤5)． (2)设校址选在B (a,0)(a >4)，则x －a2＋y 2≥26对0≤x ≤4恒成立，即x －a2＋25－x －2≥26对0≤x ≤4恒成立，整理得(8－2a )x ＋a 2－17≥0①对0≤x ≤4恒成立．∵a >4，∴8－2a <0.令f (x )＝(8－2a )x ＋a 2－17，则f (x )在[0,4]上为减函数，故要使①式对0≤x ≤4恒成立，必须有⎩⎪⎨⎪⎧a >4，f ，即⎩⎪⎨⎪⎧a >4，－2a ＋a 2－17≥0，解得a ≥5，即校址距点O 的最近距离为5 km.。

课堂新坐标高中数学北师大选修22学业分层测评6 含解析

学业分层测评(六)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.(2016·广州高二检测)用数学归纳法证明3n ≥n 3(n ≥3，n ∈N ＋)，第一步验证( )A.n ＝1B.n ＝2C.n ＝3D.n ＝4【解析】由题知，n 的最小值为3，所以第一步验证n ＝3是否成立.【答案】 C2.已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( ) A.f (n )共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B.f (n )共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C.f (n )共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D.f (n )共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14【解析】结合f (n )中各项的特征可知，分子均为1，分母为n ，n ＋1，…，n 2的连续自然数共有n 2－n ＋1个，且f (2)＝12＋13＋14.【答案】 D3.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1(n ∈N ＋)时，等式左边应在n ＝k 的基础上加上( )【导学号：94210025】A.k 2＋1B.(k ＋1)2C.（k ＋1）4＋（k ＋1）22D.(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2【解析】当n ＝k 时，等式左边＝1＋2＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，等式左边＝1＋2＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2，故选D.【答案】 D4.设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( )A.若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立B.若f (5)≥25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立C.若f (7)<49成立，则当k ≥8时，均有f (k )<k 2成立D.若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均为f (k )≥k 2成立【解析】对于A ，若f (3)≥9成立，由题意只可得出当k ≥3时，均有f (k )≥k 2成立，故A 错；对于B ，若f (5)≥25成立，则当k ≥5时均有f (k )≥k 2成立，故B 错；对于C ，应改为“若f (7)≥49成立，则当k ≥7时，均有f (k )≥k 2成立.”【答案】 D5.已知命题1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1及其证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，所以等式成立.(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1成立，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，所以n ＝k ＋1时等式也成立.由(1)(2)知，对任意的正整数n 等式都成立.判断以上评述( )A.命题、推理都正确B.命题正确、推理不正确C.命题不正确、推理正确D.命题、推理都不正确【解析】推理不正确，错在证明n ＝k ＋1时，没有用到假设n ＝k 的结论，命题由等比数列求和公式知正确，故选B.【答案】 B二、填空题6.若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________.【解析】 ∵f (k )＝12＋22＋32＋…＋(2k )2，f (k ＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2，∴f (k ＋1)－f (k )＝(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2，即f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.【答案】 f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)27.用数学归纳法证明：122＋132＋…＋1（n ＋1）2>12－1n ＋2.假设n ＝k 时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标不等式是____________________.【解析】当n ＝k ＋1时，目标不等式为：122＋132＋…＋1（k ＋1）2＋1（k ＋2）2>12－1k ＋3. 【答案】 122＋132＋…＋1（k ＋1）2＋1（k ＋2）2>12－1k ＋38.用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n （2n 2＋1）3时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是__________.【解析】当n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12.当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，所以左边添加的式子为(k ＋1)2＋k 2.【答案】 (k ＋1)2＋k 2三、解答题9.用数学归纳法证明：1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2(n ∈N ＋).【证明】 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立.(2)假设当n ＝k (k ≥1)时，等式成立，即1＋3＋…＋(2k －1)＝k 2，那么，当n ＝k ＋1时，1＋3＋…＋(2k －1)＋[2(k ＋1)－1]＝k 2＋[2(k ＋1)－1]＝k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2.这就是说，当n ＝k ＋1时等式成立.根据(1)和(2)可知等式对任意正整数n 都成立.10.用数学归纳法证明：1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N ＋，n >1). 【证明】 (1)当n ＝2时，左边＝1＋12＋13，右边＝2，左边<右边，不等式成立.(2)假设当n ＝k 时，不等式成立，即1＋12＋13＋…＋12k －1<k ，则当n ＝k ＋1时，有1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1<k ＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1<k ＋1×2k 2k ＝k ＋1，所以当n ＝k ＋1时不等式成立. 由(1)和(2)知，对于任意大于1的正整数n ，不等式均成立.[能力提升]1.用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，第二步归纳假设应写成( )A.假设n ＝2k ＋1(k ∈N ＋)时正确，再推n ＝2k ＋3时正确B.假设n ＝2k －1(k ∈N ＋)时正确，再推n ＝2k ＋1时正确C.假设n ＝k (k ∈N ＋)时正确，再推n ＝k ＋1时正确D.假设n ＝k (k ∈N ＋)时正确，再推n ＝k ＋2时正确【解析】 ∵n 为正奇数，∴在证明时，归纳假设应写成：假设n ＝2k －1(k ∈N ＋)时正确，再推出n ＝2k ＋1时正确.故选B.【答案】 B2.对于不等式n2＋n≤n＋1(n∈N＋)，某学生的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立；(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即k2＋k≤k＋1，则当n＝k＋1时，（k＋1）2＋（k＋1）＝k2＋3k＋2<（k2＋3k＋2）＋（k＋2）＝（k＋2）2＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立.上述证法()【导学号：94210026】A.过程全都正确B.n＝1验证不正确C.归纳假设不正确D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确【解析】n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而是通过不等式的放缩法直接证明，这不符合数学归纳法的证题要求.故选D.【答案】 D3.用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k ＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为__________.【解析】当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81·34k＋2＋25·52k＋1＝25(34k ＋2＋52k＋1)＋56·34k＋2.【答案】25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋24.设函数y＝f(x)对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy.(1)求f(0)的值；(2)若f(1)＝1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；(3)在(2)的条件下，猜想f(n)(n∈N＋)的表达式，并用数学归纳法加以证明.【解】(1)令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋2×0×0⇒f(0)＝0.(2)f(1)＝1，f(2)＝f(1＋1)＝1＋1＋2＝4，f(3)＝f(2＋1)＝4＋1＋2×2×1＝9，f(4)＝f(3＋1)＝9＋1＋2×3×1＝16.(3)猜想f(n)＝n2，下面用数学归纳法证明.当n＝1时，f(1)＝1满足条件.假设当n＝k(k∈N＋)时成立，即f(k)＝k2，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋f(1)＋2k＝k2＋1＋2k＝(k＋1)2，从而可得当n＝k＋1时满足条件，所以对任意的正整数n，都有f(n)＝n2.。

(全国通用试题)【课堂新坐标】2017学年高二数学北师大版汇总

§2结构图1．通过实例了解结构图，能运用结构图梳理已学过的知识，整理收集到的资料信息．(重点)2．会画简单的结构图，结合作出的结构图与他人进行交流，体会结构图在揭示事物联系中的作用．(难点)[基础·初探]教材整理1结构图的概念及分类阅读教材P44～P46“练习”以上部分，完成下列问题．1．结构图用来描述一些事物之间逻辑关系的框图，叫作结构图．2．结构图的分类常见的结构图有组织结构图、分类结构图和知识结构图．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在结构图中，上下的元素之间通常是从属关系或逻辑先后关系．()(2)在结构图中，同一元素的下级元素之间一般是并列关系．()(3)在结构图中，当元素间是从属关系时，一般用线段连接．()【答案】(1)√(2)√(3)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：___________________________________________________解惑：___________________________________________________疑问2：___________________________________________________解惑：___________________________________________________疑问3：___________________________________________________解惑：___________________________________________________,层次结构图某中学行政机构关系如下：校长下设两名副校长和校长办公室，副校长A，B又各自管理教务处、教科室和保卫科、政教处、总务处，各科室共同管理和服务各班级．试画出该校的行政组织结构图．【精彩点拨】由题意知该组织结构图呈“树”形结构，注意要从“根”开始，然后逐次分级，直到“树梢”结束．【自主解答】该校的行政组织结构图如图所示：1．解答本题的关键是弄清上下属关系．2．组织结构图一般都会呈“树”形结构，绘图时可采用从上到下或从左到右的顺序来绘图，并在绘制好后能纵观全局，对整个组织结构图进行必要的调整和美化，以保证最后绘制的结构图美观、简洁、明了．[再练一题]1．某校学生会由学生会主席管理两个副主席，而两副主席又分别管理生活、学习、宣传和体育、文艺、纪检部门，各部门又由部长管理本部门，试画出学生会组织结构图．【解】知识结构图对于《数学3(必修)》第二章“算法初步”，画出这一章的知识结构图．【精彩点拨】确定构成要素间的从属关系→选择“树”形图或“环”形图表达该关系【自主解答】如图所示：1．绘制结构图的一般步骤与绘制流程图类似，具体如下：2．在结构图中会出现“树”形结构，也会出现一些“环”形结构．一般来说，包含从属关系的结构图呈“树”形结构，包含逻辑先后关系的结构图则可能呈“环”形结构．[再练一题]2．画出《数学1－2(选修)》第一章“统计案例”的知识结构图．【解】[构建·体系]1．如图2-2-1是“集合”的知识结构图，如果要加入“子集”，则应该放在()图2-2-1A．“集合的概念”的下位B．“集合的表示”的下位C．“基本关系”的下位D．“基本运算”的下位【解析】子集属于集合的基本关系中的概念．【答案】 C2．下列关于函数、函数的定义域、函数的值域、函数的对应法则的结构图正确的是()【解析】函数的定义域、值域、对应法则是并列关系，与函数是从属关系，故结构图为A．【答案】 A3．用结构图描述四种命题的关系，如图2-2-2所示，图2-2-2其中表示互逆关系的是__________，表示互否关系的是________.【解析】根据四种命题的关系可知，互逆关系的是①③，互否关系的是②④.【答案】①③②④4．阅读如图2-2-3所示的知识结构图：图2-2-3“求简单函数的导数”的“上位”要素有________个．【解析】“上位”要素有“基本导数公式”“函数四则运算求导法则”“复合函数求导法则”共3个．【答案】 35．某公司的组织结构是：总经理之下设执行经理、人事经理和财务经理．执行经理领导生产经理、工程经理、品质管理经理和物料经理．生产经理领导线长，工程经理领导工程师，工程师管理技术员，物料经理领导计划员和仓库管理员．根据上述描绘，用框图表示这家公司的组织结构图.【解】如图所示．我还有这些不足：(1)___________________________________(2)___________________________________我的课下提升方案：(1)___________________________________(2)___________________________________学业分层测评(五)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列关于流程图和结构图的说法中不正确的是()A．流程图用来描述一个动态过程B．结构图是用来刻画系统结构的C．流程图中只能用带箭头的流程线表示各单元的先后关系D．结构图中只能用方向箭头表示各要素之间的从属关系或逻辑上的先后关系【解析】根据流程图和结构图的意义及画法可知A，B，C都对，故选D．【答案】 D2．图2-2-4是一商场某一个时间制订销售计划时的局部结构图，则“计划”受影响的主要要素有()图2-2-4A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】共有“策划部”“政府行为”“社会需求”，三个要素影响计划的执行，故选C．【答案】 C3．下列结构图中各要素之间表示从属关系的是()A．随机事件→频率→概率→应用D．平面向量→空间向量→n维向量【解析】A表示的是逻辑先后关系，B既不是逻辑先后关系也不是从属关系，C是从属关系，D是逻辑先后关系．【答案】 C4．如图2-2-5是某工厂的结构图，由图可以知道，工厂办公室所管辖的科室有()图2-2-5A．销售科、后勤科、宣传科B．汽车队、接待科、宣传科C．生产部、销售科、后勤科D．生产部、汽车队、宣传科【解析】由结构图可知工厂办公室的“下位”要素共有3个，分别为汽车队、接待科、宣传科．【答案】 B5．把平面内两条直线的位置关系填入结构图2-2-6中的M，N，E，F中，顺序较为恰当的是()图2-2-6①平行；②垂直；③相交；④斜交．A．①②③④B．①④②③C．①③②④D．②①④③【解析】平行无交点，而垂直、相交、斜交都有交点，垂直与斜交是并列的，都隶属于相交．【答案】 C二、填空题6．按边对三角形进行分类的结构图为：图2-2-7则①处应填入________.【解析】等腰三角形又可分为“等边三角形”和“腰和底边不等的等腰三角形”两类．【答案】等边三角形7．如图2-2-8所示的结构图中，进一步细化时，二面角应放在________的下位．图2-2-8【解析】二面角反映的是两平面的位置关系，应放在“平面与平面”的下位．【答案】平面与平面8．在工商管理学中，MRP(Material Requirement Planning)指的是物资需求计划，基本MRP的体系结构如图2-2-9所示：图2-2-9从图中可以看出，基本MRP直接受________、_____________和________的影响．【解析】由图看出箭头指向基本MRP的有三点：产品结构、主生产计划、库存状态．【答案】产品结构主生产计划库存状态三、解答题9．(2016·安庆高二检测)目前我省高考科目为文科考：语文，数学(文科)，英语，文科综合(政治、历史、地理)；理科考：语文，数学(理科)，英语，理科综合(物理、化学、生物)．请画出我省高考科目结构图．【解】10．某大学的学校组织结构图如图2-2-10所示，由图回答下列问题：图2-2-10(1)学生工作处的“下位”要素是什么？(2)学生工作处与其“下位”要素是什么关系？【解】(1)由图可知学生工作处的“下位”要素包括工业工程系、城建环保工程系、电气工程系、计算机工程系、机械工程系、汉教部．(2)学生工作处与其“下位”要素的关系是从属关系．[能力提升]1．下列结构图中，体现各要素之间是逻辑先后关系的是()C．整数指数幂—有理指数幂—无理指数幂【解析】C选项中的结构图表达了从整数指数幂到无理指数幂的发展过程与顺序，体现的是各要素间的逻辑先后关系，故选C．【答案】 C2．如图2-2-11所示是数列一章的知识结构图，下列说法正确的是()图2-2-11A．“概念”与“分类”是从属关系B．“等差数列”与“等比数列”是从属关系C．“数列”与“等差数列”是从属关系D．“数列”与“等差数列”是从属关系，但“数列”与“分类”不是从属关系【解析】画某一章节的知识结构图时，首先应对本章节的知识有全面的把握，然后明确各知识之间在逻辑上的先后顺序、概念上的从属关系．按从上到下、从左到右的顺序画图，在A，B，C，D四个选项中只有C正确．【答案】 C3．在平面几何中，特殊四边形的分类关系可用以下框图描述：图2-2-12则在①中应填入________；在②中应填入________.【解析】结合①的条件可知：有一组邻边相等的平行四边形为菱形，故①处应填菱形．结合②的条件可知：两腰相等的梯形叫等腰梯形，故②处应填等腰梯形．【答案】菱形等腰梯形4．据有关人士预测，我国居民的消费正由生存型消费转向质量型消费，城镇居民消费热点是商品住房、小轿车、新型食品、服务消费和文化消费；农村居民消费热点是住房、家电，试设计表示我国居民消费情况的结构图．【解】结构图如图所示．。

课堂新坐标高中数学北师大必修二学业分层测评：第二章解析几何初步1 含解析

学业分层测评(十七)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2016·抚州高一检测)A ＝{(x ，y )|x ＋y －4＝0}，B ＝{(x ，y )|2x －y －5＝0}，则集合A ∩B 等于( )A ．{1,3}B ．{(1,3)}C ．{(3,1)}D ．∅【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝0，2x －y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，故A ∩B ＝{(3,1)}．【答案】 C2．直线3x －2y ＋m ＝0和(m 2＋1)x ＋3y －3m ＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．重合 C ．相交D ．不确定【解析】 ∵k 1＝32，k 2＝－m 2＋13，∴k 1≠k 2，∴两直线相交．【答案】 C3．方程(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0(a ∈R )所表示的直线( ) A ．恒过定点(－2,3) B ．恒过定点(2,3) C ．恒过点(－2,3)和点(2,3) D ．都是平行直线【解析】 (a －1)x －y ＋2a ＋1＝0化为ax －x －y ＋2a ＋1＝0，因此－x －y ＋1＋a (x ＋2)＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ －x －y ＋1＝0，x ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3.故选A. 【答案】 A4．(2016·淮北高一检测)直线2x ＋y ＋2＝0与ax ＋4y －2＝0互相垂直，则这两条直线的交点坐标为( )A ．(1，－4)B ．(0，－2)C ．(－1,0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 【解析】由两条直线互相垂直得， (－2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4＝－1，a ＝－2，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋2＝0，－2x ＋4y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，所以两直线的交点为(－1,0)．【答案】 C5．若两条直线2x －my ＋4＝0和2mx ＋3y －6＝0的交点位于第二象限，则m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，2 B ．(0,2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，2 【解析】联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －my ＋4＝0，2mx ＋3y －6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3m －6m 2＋3<0，y ＝4m ＋6m 2＋3>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧3m －6<0，4m ＋6>0，所以－32<m <2.【答案】 A 二、填空题6．已知l 1过P 1(0，－1)，P 2(2,0)，l 2：x ＋y －1＝0，则l 1与l 2的交点坐标为________．【解析】 l 1的方程为x －2y －2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2＝0，x ＋y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43，y ＝－13，故交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－13.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－13 7．已知直线ax ＋4y －2＝0和2x －5y ＋b ＝0垂直，交于点A (1，m )，则a ＝________，b ＝________，m ＝________.【解析】 ∵点A (1，m )在两直线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋4m －2＝0，2－5m ＋b ＝0，①②又两直线垂直，得2a －4×5＝0， ③ 由①②③得，a ＝10，m ＝－2，b ＝－12. 【答案】 10 －12 －28．若三条直线x －2y ＋1＝0，x ＋3y －1＝0，ax ＋2y －3＝0共有两个不同的交点，则a ＝________.【导学号：10690053】【解析】因为直线x －2y ＋1＝0与x ＋3y －1＝0相交于一点，要使三条直线共有两个不同交点，只需ax ＋2y －3＝0与以上两条直线中的一条平行即可，当ax ＋2y －3＝0与x －2y ＋1＝0平行时，有－a 2＝12，解得a ＝－1；当ax ＋2y －3＝0与x ＋3y －1＝0平行时，有－a 2＝－13，解得a ＝23. 【答案】 23或－1 三、解答题9．已知直线l 1：3x －y ＋12＝0，l 2：3x ＋2y －6＝0，求l 1，l 2及x 轴围成的三角形的面积．【解】由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y ＋12＝0，3x ＋2y －6＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝6，即l 1与l 2交于点P (－2,6)，由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y ＋12＝0，y ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝0， l 1交x 轴于A (－4,0)．同理l 2交x 轴于B (2,0)，|AB |＝6. S △ABP ＝12×6×6＝18.即l 1，l 2及x 轴围成的三角形面积为18.10．已知△ABC 的顶点A 的坐标为(5,6)，两边AB 、AC 上的高所在直线的方程分别为4x ＋5y －24＝0与x －6y ＋5＝0，求直线BC 的方程．【解】 ∵AB 边上的高所在直线的方程为4x ＋5y －24＝0， ∴可设直线AB 的方程为5x －4y ＋m ＝0，把点A (5,6)坐标代入，得25－24＋m ＝0， ∴m ＝－1，即直线AB 方程为5x －4y －1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －4y －1＝0，x －6y ＋5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即B (1,1)．同理可得C (6,0)，∴k BC ＝1－01－6＝－15.∴直线BC 的方程为y ＝－15(x －6)，即x ＋5y －6＝0.[能力提升]1．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝0【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，x ＝1，得交点A (1,1)，且可知所求直线斜率为－12，排除B 、C ，又所求直线过点A (1,1)，故选D.【答案】 D2．当0＜k ＜12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】解方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k k －1，2k －1k －1.因为0＜k ＜12，所以k k －1＜0，2k －1k －1＞0，故交点在第二象限．【答案】 B3．在△ABC 中，已知B (2,1)，AC 边所在直线的方程为2x －y ＋5＝0，直线3x －2y ＋1＝0是BC 边的高线，则点C 的坐标为________．【解析】设BC 的方程为2x ＋3y ＋m ＝0，将点B 的坐标代入，可得m ＝－7，∴BC 的方程为2x ＋3y －7＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －7＝0，2x －y ＋5＝0，得C (－1,3)．【答案】 (－1,3)4．已知点A 是x 轴上的动点，一条直线过点M (2,3)且垂直于MA ，交y 轴于点B ，过A ，B 分别作x ，y 轴的垂线交于点P ，求点P (x ，y )满足的关系式．【解】如图所示，∵P A⊥x轴，PB⊥y轴，P点坐标为(x，y)，∴A点坐标为(x,0)，B点坐标为(0，y)，由题意可知MA⊥MB，当x≠2时，k MA·k MB＝－1，即3－02－x·3－y2－0＝－1(x≠2)，化简得2x＋3y－13＝0.当x＝2时，点P与M重合，点P(2,3)的坐标也满足方程2x＋3y－13＝0.∴点P(x，y)满足的关系式为2x＋3y－13＝0.。

2016-2017学年高中数学北师大版选修2-2学业分层测评2

学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的()A.一条中线上的点，但不是中心B.一条垂线上的点，但不是垂心C.一条角平分线上的点，但不是内心D.中心【解析】由正四面体的内切球可知，内切球切于四个面的中心.【答案】 D2.下列推理正确的是()A.把a(b＋c)与log a(x＋y)类比，则有log a(x＋y)＝log a x＋log a yB.把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin yC.把(ab)n与(a＋b)n类比，则有(x＋y)n＝x n＋y nD.把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)【解析】乘法的结合律与加法结合律相类比得(xy)z＝x(yz).故选D.【答案】 D3.设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝2Sa＋b＋c，类比这个结论可知：四面体S-ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体S-ABC的体积为V，则R＝()【导学号：94210007】A.VS1＋S2＋S3＋S4B.2VS1＋S2＋S3＋S4C.3VS1＋S2＋S3＋S4D.4VS1＋S2＋S3＋S4【解析】设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和.则四面体的体积为V 四面体S -ABC ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，∴R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.【答案】 C4.在等差数列{a n }中，若a n >0，公差d ≠0，则有a 4a 6>a 3a 7.类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，公比q ≠1，则关于b 5，b 7，b 4，b 8的一个不等关系正确的是( )A.b 5b 7>b 4b 8B.b 7b 8>b 4b 5C.b 5＋b 7<b 4＋b 8D.b 7＋b 8<b 4＋b 5【解析】 b 5＋b 7－b 4－b 8＝b 1(q 4＋q 6－q 3－q 7) ＝b 1[q 3(q －1)＋q 6(1－q )] ＝b 1[－q 3(q －1)2(1＋q ＋q 2)]<0， ∴b 5＋b 7<b 4＋b 8. 【答案】 C5.已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AGGD ＝2”.若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体A -BCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等”，则AOOM ＝( )A.1B.2C.3D.4【解析】如图，设正四面体的棱长为1，即易知其高AM ＝63，此时易知点O 即为正四面体内切球的球心，设其半径为r ，利用等体积法有4×13×34r ＝13×34×63⇒r ＝612，故AO ＝AM －MO ＝63－612＝64，故AO ∶OM ＝64∶612＝3∶1.【答案】 C 二、填空题6.(2016·山东日照一模)36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36＝22×32，所以36的所有正约数之和为(1＋3＋32)＋(2＋2×3＋2×32)＋(22＋22×3＋22×32)＝(1＋2＋22)(1＋3＋32)＝91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为________.【解析】类比求36的所有正约数之和的方法，200的所有正约数之和可按如下方法求得：因为200＝23×52，所以200的所有正约数之和为(1＋2＋22＋23)(1＋5＋52)＝465.【答案】4657.在Rt△ABC中，若C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC的外接圆半径为r＝a2＋b22，将此结论类比到空间有______________________________.【解析】Rt△ABC类比到空间为三棱锥A-BCD，且AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD；△ABC的外接圆类比到空间为三棱锥A-BCD的外接球.【答案】在三棱锥A-BCD中，若AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD，AB＝a，AC＝b，AD＝c，则三棱锥A-BCD的外接球半径R＝a2＋b2＋c228.已知等差数列{a n}中，有a11＋a12＋…＋a2010＝a1＋a2＋…＋a3030，则在等比数列{b n}中，会有类似的结论____________________.【解析】由等比数列的性质可知b1b30＝b2b29＝…＝b11b20，∴10b11b12 (20)30b1b2 (30)【答案】10b11b12 (20)30b1b2…b30三、解答题9.如图1-1-13(1)，在平面内有面积关系S△P A′B′S△P AB＝P A′·PB′P A·PB，写出图1-1-13(2)中类似的体积关系，并证明你的结论.(1)(2)图1-1-13【解】类比S△P A′B′S△P AB＝P A′·PB′P A·PB，有V PA′B′C′V PABC＝P A′·PB′·PC′P A·PB·PC.证明：如图，设C′，C到平面P AB的距离分别为h′，h.则h′h＝PC′PC，故V PA′B′C′V PABC＝13S△P A′B′·h′13S△P AB·h＝P A′·PB′·h′P A·PB·h＝P A′·PB′·PC′P A·PB·PC.10.在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N＋)成立.类比上述性质，相应地，在等比数列{b n}中，若b9＝1，则有什么样的等式成立？【解】在等差数列{a n}中，由a10＝0，则有a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N＋)成立，相应地，在等比数列{b n}中，若b9＝1，则可得b1b2…b n＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N＋).[能力提升]1.已知正三角形内切圆的半径是其高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是()A.正四面体的内切球的半径是其高的1 2B.正四面体的内切球的半径是其高的1 3C.正四面体的内切球的半径是其高的1 4D.正四面体的内切球的半径是其高的1 5【解析】原问题的解法为等面积法，即S＝12ah＝3×12ar⇒r＝13h，类比问题的解法应为等体积法，V＝13Sh＝4×13Sr⇒r＝14h，即正四面体的内切球的半径是其高的14.【答案】 C2.若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }⎝ ⎛⎭⎪⎫b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也为等差数列.类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A.d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB.d n ＝c 1·c 2·…·c nnC.d n ＝n c n 1＋c n 2＋…＋c nnnD.d n ＝nc 1·c 2·…·c n 【解析】若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n （n －1）2d ， ∴b n ＝a 1＋（n －1）2d ＝d 2n ＋a 1－d2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n 1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·qn （n －1）2，∴d n ＝nc 1·c 2·…·c n ＝c 1·q n －12，即{d n }为等比数列.【答案】 D3.类比“等差数列”的定义，写出“等和数列”的定义，并解答下列问题：已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，那么a 18＝________，这个数列的前n 项和S n 的计算公式为________.【导学号：94210008】【解析】定义“等和数列”：在一个数列中，从第二项起每一项与它前一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.由上述定义，得a n ＝⎩⎨⎧2，n 为奇数，3，n 为偶数，故a 18＝3.从而S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧52n －12，n 为奇数，52n ，n 为偶数.【答案】 3S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧52n －12，n 为奇数，52n ，n 为偶数4.(1)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与x 轴交于A ，B 两点，点P 是椭圆C 上异于A ，B 的任意一点，直线P A ，PB 分别与y 轴交于点M ，N ，求证：AN →·BM →为定值b 2－a 2.(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 轴交于A ，B 两点，点P 是双曲线C 上异于A ，B 的任意一点，直线P A ，PB 分别与y 轴交于点M ，N ，求证AN →·BM →为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程).【解】 (1)证明如下：设点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )，依题意，得A (－a ，0)，B (a ，0)，所以直线P A 的方程为y ＝y 0x 0＋a(x ＋a ). 令x ＝0，得y M ＝ay 0x 0＋a ，同理得y N ＝－ay 0x 0－a ，所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20.又因为点P (x 0，y 0)在椭圆上，所以x 20a 2＋y 20b 2＝1，因此y 20＝b 2a2(a 2－x 20)，所以y M y N ＝a 2y 2a 2－x 20＝b 2.因为AN →＝(a ，y N )，BM →＝(－a ，y M )，所以AN →·BM →＝－a 2＋y M y N ＝b 2－a 2. (2)－(a 2＋b 2).。

2016-2017学年高中数学北师大版必修2学业分层测评18 平面直角坐标系中的距离公式

学业分层测评(十八)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2016·西安高一检测)已知点A(2k，－1)，B(k,1)，且|AB|＝13，则实数k 等于()A．±3 B．3 C．－3 D．0【解析】|AB|＝(2k－k)2＋(－1－1)2＝13，即k2＋4＝13，所以k＝±3.【答案】 A2．到直线3x－4y－11＝0的距离为2的直线方程为()A．3x－4y－1＝0B．3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0C．3x－4y＋1＝0D．3x－4y－21＝0【解析】设所求的直线方程为3x－4y＋c＝0.由题意|c－(－11)|32＋(－4)2＝2，解得c＝－1或c＝－21.故选B.【答案】 B3．点P(a,0)到直线3x＋4y－6＝0的距离大于3，则实数a的取值范围为() A．a>7 B．a<－3C．a>7或a<－3 D．a>7或－3<a<7【解析】根据题意，得|3a－6|32＋42>3，解得a>7或a<－3.【答案】 C4．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值是() A. 5 B.7 C. 6 D．2 2【解析】|OP|的最小值就是原点到直线x＋y－4＝0的距离，d＝|0＋0－4|2＝2 2.【答案】 D5．过点A (4，a )和点B (5，b )的直线与y ＝x ＋m 平行，则|AB |的值为( ) A ．6 B. 2 C ．2D ．不能确定【解析】 k AB ＝b －a5－4＝b －a . 又∵过A ，B 的直线与y ＝x ＋m 平行， ∴b －a ＝1，∴|AB |＝(5－4)2＋(b －a )2＝ 2. 【答案】 B 二、填空题6．点P 与x 轴及点A (－4,2)的距离都是10，则P 的坐标为________．【解析】设P (x ，y )，则⎩⎨⎧|y |＝10，(x ＋4)2＋(y －2)2＝100. 当y ＝10时，x ＝2或－10；当y ＝－10时，无解．则P (2,10)或P (－10,10)．【答案】 (2,10)或(－10,10)7．倾斜角为60°，且与原点的距离是5的直线方程为________.【导学号：10690056】【解析】因为直线斜率为tan 60°＝3，可设直线方程为y ＝3x ＋b ，化为一般式得3x －y ＋b ＝0.由直线与原点距离为5，得|0－0＋b |(3)2＋(－1)2＝5⇒|b |＝10，所以b ＝±10，所以直线方程为3x －y ＋10＝0或 3x －y －10＝0.【答案】3x －y ＋10＝0或3x －y －10＝08．(2016·蚌埠高一检测)如图2-1-6，点A 的坐标为(1,0)，点B 在直线y ＝－x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为______．图2-1-6【解析】由题意知，当AB 垂直于直线x ＋y ＝0时，线段AB 最短，此时k AB ＝1，设B (a ，－a )，则k AB ＝－a a －1＝1，∴a ＝12，故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12三、解答题9．在直线2x －y ＝0上求一点P ，使它到点M (5,8)的距离为5，并求直线PM 的方程．【解】 ∵点P 在直线2x －y ＝0上，∴可设P (a,2a )．根据两点间的距离公式得 |PM |2＝(a －5)2＋(2a －8)2＝52，即5a 2－42a ＋64＝0，解得a ＝2或a ＝325， ∴P (2,4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫325，645，∴直线PM 的方程为y －84－8＝x －52－5或y －8645－8＝x －5325－5，整理得4x －3y ＋4＝0或24x －7y －64＝0.10．已知点A (0,0)，B (1,1)，C (2，－1)，求△ABC 的面积．【解】直线AB 的方程为x －y ＝0，点C 到AB 的距离d ＝|2－(－1)|12＋(－1)2＝322， |AB |＝(1－0)2＋(1－0)2＝2， ∴S △ABC ＝12|AB |d ＝12×2×322＝32.[能力提升]1．过点P(1,2)引直线，使A(2,3)、B(4，－5)到它的距离相等，则这条直线的方程是()A．4x＋y－6＝0B．x＋4y－6＝0C．2x＋3y－7＝0或x＋4y－6＝0D．3x＋2y－7＝0或4x＋y－6＝0【解析】∵k AB＝－4，线段AB的中点C(3，－1)，∴过点P(1,2)与AB平行的直线方程为y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0，此直线符合题意．过点P(1,2)与线段AB中点C(3，－1)的直线方程为y－2＝－32(x－1)，即3x＋2y－7＝0，此直线符合题意．故所求直线方程为4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.故选D.【答案】 D2．直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是() A．3x－2y－6＝0 B．2x＋3y＋7＝0C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y＋8＝0【解析】法一：设所求直线的方程为2x＋3y＋C＝0，由题意可知|2－3－6| 22＋32＝|2－3＋C|22＋32，∴C＝－6(舍)或C＝8，故所求直线的方程为2x＋3y＋8＝0.法二：令(x0，y0)为所求直线上任意一点，则点(x0，y0)关于(1，－1)的对称点为(2－x0，－2－y0)，此点在直线2x＋3y－6＝0上，代入可得所求直线方程为2x ＋3y＋8＝0.【答案】 D3．若实数x，y满足关系式x＋y＋1＝0，则式子S＝x2＋y2－2x－2y＋2的最小值为________．【解析】法一：∵x 2＋y 2－2x －2y ＋2＝(x －1)2＋(y －1)2， ∴上式可看成是一个动点M (x ，y )到一个定点N (1,1)的距离．即为点N 与直线l ：x ＋y ＋1＝0上任意一点M (x ，y )的距离， ∴S ＝|MN |的最小值应为点N 到直线l 的距离，即 |MN |min ＝d ＝|1＋1＋1|2＝322. 法二：∵x ＋y ＋1＝0，∴y ＝－x －1， ∴S ＝x 2＋(－x －1)2－2x －2(－x －1)＋2 ＝2x 2＋2x ＋5＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋92， ∴x ＝－12时，S min ＝92＝322.【答案】3224．直线l 经过点P (2，－5)，且与点A (3，－2)和B (－1,6)的距离之比为1∶2，求直线l 的方程．【解】 ∵直线l 过点P (2，－5)， ∴可设直线l 的方程为y ＋5＝k (x －2)，即kx －y －2k －5＝0.∴点A (3，－2)到直线l 的距离为 d 1＝|k ·3－(－2)－2k －5|k 2＋1＝|k －3|k 2＋1，点B (－1,6)到直线l 的距离为 d 2＝|k ·(－1)－6－2k －5|k 2＋1＝|3k ＋11|k 2＋1. ∵d 1∶d 2＝1∶2， ∴|k －3||3k ＋11|＝12，∴k 2＋18k ＋17＝0，解得k 1＝－1，k 2＝－17，∴所求直线方程为x ＋y ＋3＝0或17x ＋y －29＝0.。

课堂新坐标高中数学北师大必修二学业分层测评：第二章解析几何初步含解析

学业分层测评(二十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的周长等于()A.2πB．2πC．22πD．4π【解析】圆的方程配方后可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝2，∴圆的半径r＝2，∴周长＝2πr＝22π.【答案】 C2．如果过A(2,1)的直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，则l的方程为() A．x＋y－3＝0 B．x＋2y－4＝0C．x－y－1＝0 D．x－2y＝0【解析】由题意知直线l过圆心(1,2)，由两点式可得l的方程为y－12－1＝x－2 1－2，即x＋y－3＝0.【答案】 A3．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是() A．2 B．1＋ 2C．2＋22D．1＋2 2【解析】圆的方程变为(x－1)2＋(y－1)2＝1，∴圆心为(1,1)，半径为1，圆心到直线的距离d＝|1－1－2|12＋(－1)2＝2，∴所求的最大值为1＋ 2.【答案】 B4．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心， 5为半径的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0【解析】直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0可化为(－x －y ＋1)＋a (1＋x )＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＋1＝0，x ＋1＝0，得C (－1,2)， ∴圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.【答案】 C5．若Rt △ABC 的斜边的两端点A ，B 的坐标分别为(－3，0)和(7,0)，则直角顶点C 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝25(y ≠0)B ．x 2＋y 2＝25C ．(x －2)2＋y 2＝25(y ≠0)D ．(x －2)2＋y 2＝25 【解析】线段AB 的中点为(2,0)，因为△ABC 为直角三角形，C 为直角顶点，所以C 到点(2,0)的距离为12|AB |＝5，所以点C (x ，y )满足(x －2)2＋y 2＝5(y ≠0)，即(x －2)2＋y 2＝25(y ≠0)．【答案】 C二、填空题6．以点A (2,0)为圆心，且经过点B (－1,1)的圆的一般方程为______．【解析】由题意知，圆的半径r ＝|AB |＝(－1－2)2＋(1－0)2＝10， ∴圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝10，化为一般方程为x 2＋y 2－4x －6＝0.【答案】 x 2＋y 2－4x －6＝07．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是________．【解析】由题意知，直线y ＝2x ＋b 过圆心，而圆心坐标为(－1,2)，代入直线方程，得b ＝4，圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ，所以a <5，由此，得a －b <1.【答案】 (－∞，1)8．点P (x 0，y 0)是圆x 2＋y 2＝16上的动点，点M 是OP (O 为原点)的中点，则动点M 的轨迹方程是________．【解析】设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 02，y ＝y 02，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y ，又P (x 0，y 0)在圆上，∴4x 2＋4y 2＝16，即x 2＋y 2＝4.【答案】 x 2＋y 2＝4三、解答题9．若点A (1，－1)，B (1,4)，C (4，－2)，D (a,1)共圆，求a 的值.【导学号：10690062】【解】设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将A ，B ，C 三点坐标代入，整理得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ D －E ＋F ＝－2，D ＋4E ＋F ＝－17，4D －2E ＋F ＝－20，解得D ＝－7，E ＝－3，F ＝2，∴圆的方程为x 2＋y 2－7x －3y ＋2＝0.又∵点D 在圆上，∴a 2＋1－7a －3＋2＝0，∴a ＝0或a ＝7.10．已知△ABC 的边AB 长为2a ，若BC 边上的中线为定长m ，求顶点C 的轨迹．【解】以直线AB 为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系(如图)，则A (－a,0)，B (a,0)，设C (x ，y )，BC 中点D (x 0，y 0)，∴x 0＝x ＋a 2，y 0＝y 2， ①∵|AD |＝m ，∴(x 0＋a )2＋y 20＝m 2，② 将①代入②，整理得(x ＋3a )2＋y 2＝4m 2.∵点C 不能在x 轴上，∴y ≠0.综上，点C 的轨迹是以(－3a,0)为圆心，以2m 为半径的圆，挖去(－3a ＋2m,0)和(－3a －2m,0)两点．[能力提升]1．若圆x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有点都在第二象限，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)【解析】由x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0得(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，其圆心坐标为(－a,2a )，半径为2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ －a <0，2a >0，|－a |>2，2a >2，解得a >2，故选D.【答案】 D 2．已知定点P 1(－1,0)，P 2(1,0)，动点M 满足|MP 1|＝2|MP 2|，则构成△MP 1P 2面积的最大值是( ) A. 2B ．2 2 C.233 D ．2 3【解析】设M (x ，y )，由|MP 1|＝2|MP 2|，可得(x ＋1)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2，化简得(x －3)2＋y 2＝8，即M 在以(3,0)为圆心，22为半径的圆上运动，又S △MP 1P 2＝12·|P 1P 2|·|yM |＝|y M |≤2 2.故选B.【答案】 B3．若点(a ＋1，a －1)在圆x 2＋y 2－2ay －4＝0的内部(不包括边界)，则a 的取值范围是________．【解析】 ∵点(a ＋1，a －1)在圆x 2＋y 2－2ay －4＝0内部，∴⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋1)2＋(a －1)2－2a (a －1)－4<0，(－2a )2－4×(－4)>0，即2a <2，a <1. 【答案】 a <14．(2016·沈阳高一检测)在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b (x ∈R )的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C .(1)求实数b 的取值范围；(2)求圆C 的方程；(3)问圆C 是否经过某定点(其坐标与b 无关)？请证明你的结论．【解】 (1)令x ＝0，得抛物线与y 轴交点是(0，b )；令f (x )＝x 2＋2x ＋b ＝0，由题意b ≠0且Δ＞0，解得b ＜1且b ≠0.(2)设所求圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，这与x 2＋2x ＋b ＝0是同一个方程，故D ＝2，F ＝b .令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，此方程有一个根为b ，代入得出E ＝－b －1. 所以圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0.(3)圆C 必过定点(0,1)和(－2,1)．证明如下：x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0可化为x2＋y2＋2x－y＋b(1－y)＝0，因为过定点，则与b无关，即y＝1代入上式，可得x＝0或x＝－2，所以圆C 必过定点(0,1)，(－2,1)．。

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学北师大版必修一学业分层测评：第二章函数(9) Word版含解析

学业分层测评(九)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．二次函数y＝2x2的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的新图像的二次函数是()A．y＝x2B．y＝2x2＋2C．y＝4x2D．y＝2x2－2【解析】将二次函数y＝2x2的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的新图像的解析式为y＝4x2.【答案】 C2．将二次函数y＝－12x2向左、向下各平移1个单位，得到的图像的解析式为()A．y＝－12(x－1)2－1 B．y＝－12(x－1)2＋1C．y＝－12(x＋1)2＋1 D．y＝－12(x＋1)2－1【解析】将二次函数y＝－12x2向左、向下各平移1个单位，得到的图像的解析式为y＝－12(x＋1)2－1.【答案】 D3．若一次函数y＝ax＋b的图像经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图像只可能是()【解析】因为一次函数y ＝ax ＋b 的图像经过第二、三、四象限，所以知a ＜0，b ＜0，所以二次函数的图像开口向下，对称轴方程x ＝－b2a ＜0，只有选项C 适合．【答案】 C4．二次函数y ＝－x 2＋4x ＋t 图像的顶点在x 轴上，则t 的值是( ) A ．－4 B ．4 C ．－2D ．2【解析】二次函数的图像顶点在x 轴上，故Δ＝0，可得t ＝－4. 【答案】 A5．已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，则此二次函数的解析式为( )A ．f (x )＝4x 2＋4x ＋7B ．f (x )＝4x 2－4x －7C ．f (x )＝－4x 2－4x ＋7D ．f (x )＝－4x 2＋4x ＋7【解析】 ∵f (2)＝－1，f (－1)＝－1， ∴对称轴为x ＝2－12＝12， ∵f (x )max ＝8，∴令f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8，∴f (2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8，＝94a ＋8＝－1， ∴a ＝－4，∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.【答案】 D 二、填空题6．二次函数的顶点坐标是(2,3)，且经过点(3,1)，则这个二次函数的解析式为________．【解析】设f (x )＝a (x －2)2＋3，则f (3)＝a (3－2)2＋3＝a ＋3＝1，∴a ＝－2，∴f (x )＝－2(x －2)2＋3.【答案】 f (x )＝－2(x －2)2＋37．(2016·株洲高一检测)若(x ＋3)(x ＋n )＝x 2＋mx －15，则m 等于________．【解析】 ∵(x ＋3)(x ＋n )＝x 2＋mx －15， ∴x 2＋(3＋n )x ＋3n ＝x 2＋mx －15， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋n ＝m ，3n ＝－15，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝－5. 【答案】－28．(2016·菏泽高一检测)若将二次函数f (x )＝x 2＋x 的图像向右平移a (a >0)个单位长度，得到二次函数g (x )＝x 2－3x ＋2的图像，则a 的值为________．【解析】法一：将函数f (x )＝x 2＋x 的图像向右平移a (a >0)个单位长度后，对应的函数解析式为f (x －a )＝(x －a )2＋(x －a )＝x 2－(2a －1)x ＋a 2－a ，由题意得x 2－(2a －1)x ＋a 2－a ＝x 2－3x ＋2，故2a －1＝3，a 2－a ＝2，解得a ＝2.法二：f (x )＝x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14，g (x )＝x 2－3x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－14，则12－a ＝－32，a ＝2.【答案】 2 三、解答题9．将二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到函数y ＝2x 2－4x －6的图像，求a ，b ，c .【解】 ∵y ＝2x 2－4x －6＝2(x －1)2－8， ∴顶点为(1，－8)．由题意，将顶点(1，－8)向左平移1个单位，向下平移3个单位得二次函数f (x )的顶点坐标(0，－11)，∴f (x )＝2x 2－11.对照y ＝ax 2＋bx ＋c 得a ＝2，b ＝0，c ＝－11.10．已知二次函数当x ＝4时有最小值－3，且它的图像与x 轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式. 【导学号：04100029】【解】法一：设二次函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由已知条件，可得抛物线的顶点为(4，－3)，且过(1,0)与(7,0)两点，将三个点的坐标代入，得：⎩⎪⎨⎪⎧－3＝16a ＋4b ＋c ，0＝a ＋b ＋c ，0＝49a ＋7b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝－83，c ＝73，∴所求二次函数解析式为y ＝13x 2－83x ＋73.法二：∵抛物线与x 轴的两个交点坐标是(1,0)与(7,0)，∴设二次函数的解析式为y ＝a (x －1)·(x －7)，把顶点(4，－3)代入，得－3＝a (4－1)(4－7)，解得a ＝13，∴二次函数解析式为y ＝13(x －1)(x －7)，即y ＝13x 2－83x ＋73.法三：∵抛物线的顶点为(4，－3)，且过点(1,0)， ∴设二次函数解析式为y ＝a (x －4)2－3. 将(1,0)代入，得0＝a (1－4)2－3，解得a ＝13，∴二次函数的解析式为y ＝13(x －4)2－3，即y ＝13x 2－83x ＋73.[能力提升]1．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a ＞b ＞c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图像可能是( )【解析】 ∵a ＞b ＞c 且a ＋b ＋c ＝0， ∴a ＞0，c ＜0. 【答案】 D2．已知二次函数f (x )满足f (0)＝－8，f (4)＝f (－2)＝0.若f (x －2)＝x 2－12，则x 的值为( )A ．－9B ．0C ．2D ．－8【解析】 ∵f (4)＝f (－2)＝0， ∴设f (x )＝a (x －4)(x ＋2)， ∴f (0)＝－8a ＝－8，∴a ＝1， ∴f (x )＝(x －4)(x ＋2)＝x 2－2x －8，∴f (x －2)＝(x －2)2－2(x －2)－8＝x 2－6x ，由x 2－6x ＝x 2－12，－6x ＝－12得x ＝2. 【答案】 C3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧2， x >0，x 2＋bx ＋c ， x ≤0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )的解析式为________，关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________．【解析】 ∵f (－4)＝f (0)，∴当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝－2， ∴－b2＝－2，∴b ＝4，∴f (x )＝x 2＋4x ＋c ，又f (－2)＝4－8＋c ＝－4＋c ＝－2， ∴c ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2， x >0，x 2＋4x ＋2， x ≤0，当x >0时，由f (2)＝2，得x ＝2；当x ≤0时，由f (x )＝x 2＋4x ＋2＝x ，得x ＝－1或x ＝－2， ∴x ＝±2或－1，故方程f (x )＝x 的解的个数为3. 【答案】 f (x )＝⎩⎨⎧2， x >0，x 2＋4x ＋2， x ≤034．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个不同的交点A (x 1,0)，B (x 2,0)且x 21＋x 22＝269，试问该抛物线是由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移几个单位得到的？【解】由题意可设所求抛物线的解析式为 y ＝－3(x －1)2＋k ，展开得y ＝－3x 2＋6x －3＋k . 由题意得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝3－k 3，∴x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝269，即4－2(3－k)3＝269，解得k＝43.∴该抛物线是由y＝－3(x－1)2的图像向上平移43个单位得到的，它的解析式为y＝－3(x－1)2＋43，即y＝－3x2＋6x－53.。

高中数学学业分层测评2含解析北师大版选修2

学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．“－2＜x ＜1”是“x ＞1或x ＜－1”的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【解析】 ∵－2＜x ＜1x ＞1或x ＜－1，且x ＞1或x ＜－1－2＜x ＜1，∴“－2＜x ＜1”是“x ＞1或x ＜－1”的既不充分，也不必要条件．【答案】 C2．a ＜0，b ＜0的一个必要条件为( )A ．a ＋b ＜0B ．a －b ＞0 C.a b ＞1D ．a b ＜－1【解析】 a ＋b ＜0a ＜0，b ＜0，而a ＜0，b ＜0⇒a ＋b ＜0. 【答案】 A3．“ab ≠0”是“直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交”的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ab ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠0，b ≠0，此时直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交；又当ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交时，a ≠0且b ≠0.【答案】 C4．一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分条件是( )A ．a ≤0B ．a ＞0C ．a ＜－1D ．a ＜1【解析】 ∵一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一正根和一负根．∴x 1x 2＜0.即1a＜0⇔a ＜0，本题要求的是充分条件．由于{a |a ＜－1}⊆{a |a ＜0}，故答案应为C.【答案】 C5．设0＜x ＜π2，则“x sin 2x ＜1”是“x sin x ＜1”的( ) A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】因为0＜x ＜π2，所以0＜sin x ＜1.由x ·sin x ＜1知x sin 2x ＜sin x ＜1，因此必要性成立．由x sin 2x ＜1得x sin x ＜1sin x ，而1sin x＞1，因此充分性不成立．【答案】 B二、填空题6．满足sin α＝12的一个充分条件是α＝____(填一角即可)．【解析】 ∵α＝π6⇒sin α＝12， ∴sin α＝12的一个充分条件可以是α＝π6. 【答案】 π67．已知“x ＞k ”是“3x ＋1＜1”的充分条件，则k 的取值范围是________．【导学号：32550004】【解析】解不等式3x ＋1＜1得，x ＜－1或x ＞2， ∵x ＞k ⇒x ＞2或x ＜－1∴k ≥2.【答案】 [2，＋∞)8．已知p ：x ∈A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，q ：x ∈B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．若p 是綈q 的充分条件，则实数m 的取值范围是________．【解析】 ∵A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}，∴∁R B ＝{x |x ＜m －2或x ＞m ＋2}．∵p 是綈q 的充分条件，∴A ⊆∁R B ，∴m －2＞3或m ＋2＜－1，∴m ＞5或m ＜－3.【答案】 (－∞，－3)∪(5，＋∞)三、解答题9．分别判断下列“若p ，则q ”命题中，p 是否为q 的充分条件或必要条件，并说明理由．(1)p ：sin θ＝0，q ：θ＝0；(2)p ：θ＝π，q ：tan θ＝0；(3)p ：a 是整数，q ：a 是自然数；(4)p ：a 是素数，q ：a 不是偶数．【解】 (1)由于p ：sin θ＝0⇐q ：θ＝0，p ：sin θ＝0q ：θ＝0，所以p 是q 的必要条件，p 是q 的不充分条件．(2)由于p ：θ＝π⇒q ：tan θ＝0，p ：θ＝π⇐/ q ：tan θ＝0，所以p 是q 的充分条件，p 是q 的不必要条件．(3)由于p ：a 是整数q ：a 是自然数，p ：a 是整数⇐q ：a 是自然数，所以p 是q 的必要条件，p 是q 的不充分条件．(4)由于p ：a 是素数⇔/ q ：a 不是偶数，所以p 是q 的不充分条件，p 是q 的不必要条件．10．已知p ：4x ＋k ≤0，q ：x 2－x －2＜0，且p 是q 的必要条件，求k 的取值范围．【解】由4x ＋k ≤0，得x ≤－k 4；由x 2－x －2＜0，得－1＜x ＜2.设A ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤－k 4，B ＝{x |－1＜x ＜2}，由p 是q 的必要条件，得A ⊇B .∴－k 4≥2， ∴k ≤－8.即k 的取值范围为(－∞，－8]．[能力提升]1．不等式1－1x＞0成立的充分条件是( ) A ．x ＞1B ．x ＞－1C ．x ＜－1或0＜x ＜1D ．x ＜0或x ＞1【解析】 x ＞1⇒1－1x＞0，故选A. 【答案】 A2．设a ，b 为向量，则“a ·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ∵a·b ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉＝|a||b|，∴cos 〈a ，b 〉＝1，∴〈a ，b 〉＝0，∴a·b ＝|a||b|⇒a∥b .而∵a∥b 夹角可为π，∴a·b ＝－|a||b|，∴a·b ＝|a||b|⇐/ a∥b ，故选A.【答案】 A3．(2016·长春高二检测)如果命题“若A ，则B ”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A 是B 的________条件．【解析】否命题为真，则逆命题为真．∴“若B ，则A ”为真，∴B ⇒A ，而原命题为假设A B ，∴A 是B 的必要条件．【答案】必要4．已知p ：x 2－2x －3＜0，若－a ＜x －1＜a 是p 的一个必要条件但不是充分条件，求使a ＞b 恒成立的实数b 的取值范围．【解】由于p ：x 2－2x －3＜0⇔－1＜x ＜3，－a ＜x －1＜a ⇔1－a ＜x ＜1＋a (a ＞0)．依题意，得{x |－1＜x ＜x |1－a ＜x ＜1＋a }(a ＞0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ≤－1，1＋a ≥3，2a ＞4.解得a ＞2，则使a ＞b 恒成立的实数b 的取值范围是b ≤2，即(－∞，2]．。

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学北师大版必修五学业分层测评：第二章解三角形 12 Word版含解析

学业分层测评(十二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在△ABC 中，如果(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，那么A 等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【解析】由(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc 得b 2＋c 2－a 2＝bc ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，所以A ＝60°.【答案】 B2．若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b )2－c 2＝4且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43B ．8－4 3C ．1D ．23【解析】依题意得⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋b )2－c 2＝4，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos 60°＝ab ，两式相减得ab ＝43.【答案】 A3．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A.32B ．332 C.3＋62 D ．3＋394【解析】设AB ＝a ，则由AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B 知 7＝a 2＋4－2a ，即a 2－2a －3＝0，∴a ＝3(负值舍去)．∴S△ABC ＝12AB·BC sin B＝12×3×2×32＝332.∴BC边上的高为2S△ABCBC＝332.【答案】 B4．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝10，b＝15，C＝60°，则cos B＝()A.714B．5714C．－714D．－5714【解析】由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝102＋152－2×10×15×cos 60°＝175，∴c＝57，∴cos B＝a2＋c2－b22ac＝102＋175－1522×10×57＝714.【答案】 A5．若三角形三边长的比为5∶7∶8，则它的最大角和最小角的和是() A．90°B．120°C．135°D．150°【解析】∵三边长的比为5∶7∶8，∴可设三条边长分别为5t,7t,8t.令7t所对角为θ，则cos θ＝(5t)2＋(8t)2－(7t)22×5t×8t＝12，∴θ＝60°，从而它的最大角和最小角的和是120°.【答案】 B二、填空题6．在△ABC中，若a＝2，b＝3，C＝60°，则sin A＝________. 【解析】由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝4＋9－2×2×3×12＝7，∴c ＝7，再由正弦定理得sin A ＝a ·sin C c ＝2sin 60°7＝217. 【答案】 217 7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A ＝120°，c ＝5，a＝7，则sin B sin C ＝________.【解析】由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即49＝b 2＋25＋5b ，解得b ＝3或b ＝－8(舍去)．所以sin B sin C ＝b c ＝35.【答案】 358．在△ABC 中，已知a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，且最大角为120°，则最大的边长为________．【解析】 ∵a －b ＝4>0，∴a >b ，又a ＋c ＝2b ，∴a －c ＝a －(2b －a )＝2(a －b )>0，∴a >c ，故a 为最长边，A ＝120°，故cos A ＝b 2＋(b －4)2－(b ＋4)22b (b －4)＝－12， ∴b －162b －8＝－12，∴b ＝10，a ＝14.【答案】 14三、解答题9．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数；(2)求AB 的长；(3)求△ABC 的面积．【解】 (1)cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－12，又∵C ∈(0，π)，∴C ＝120°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝23，ab ＝2，∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10，∴AB ＝10.(3)S △ABC ＝12ab sin C ＝32.10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，cos B ＝35，且AB →·BC→＝－21，若a ＝7，求角C . 【导学号：67940038】【解】 ∵AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos (π－B )＝－ac cos B ＝－35ac ＝－21，∴ac ＝35.又a ＝7，∴c ＝5，∵cos B ＝35，且B ∈(0，π)，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45，∴b 2＝49＋25－2×7×5×35＝32，∴b ＝4 2. 由正弦定理，得4245＝5sin C ， ∴sin C ＝22.又a ＞c ，∴C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2∴C ＝π4. [能力提升]1．已知锐角三角形的边长分别是3,5，x ，则x 的取值范围是( )A ．1<x < 5B ．4<x <30C ．1<x <4D ．4<x <34【解析】若5最大，则32＋x 2－52>0，得5＞x >4，若x 最大，则32＋52－x 2>0，得5<x <34，又2<x <8，则4<x <34.【答案】 D2．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度确定【解析】设直角三角形三边为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＝c 2.则(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝a 2＋b 2＋2x 2＋2(a ＋b )x －c 2－2cx －x 2＝2(a ＋b －c )x ＋x 2＞0.设最大边(c ＋x )所对的角为θ，则cos θ＝(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )22(a ＋x )(b ＋x )＞0， ∴θ为锐角，故三角形的形状为锐角三角形．【答案】 A3．在△ABC 中，若面积S △ABC ＝a 2－(b －c )2，则cos A 的值为________．【解析】由S △ABC ＝12bc sin A ，知a 2－(b －c )2＝12bc sin A ，∴b 2＋c 2－a 2＝2bc ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14sin A ， ∴b 2＋c 2－a 22bc ＝1－14sin A ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1－14sin A ，∴sin A ＝4(1－cos A )，∴sin 2A ＝16(1－cos A )2，∴1－cos 2A ＝16－32cos A ＋16cos 2A ，即17cos 2A －32cos A ＋15＝0，解得cos A ＝1517或cos A ＝1.∵A 为三角形的内角，∴cos A ≠1，∴cos A ＝1517. 【答案】 15174．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．【解】 (1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc ，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12，又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.(2)由(1)中a 2＝b 2＋c 2＋bc 及正弦定理可得 sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ＝(sin B ＋sin C )2－sin B sin C ，又sin B ＋sin C ＝1，得sin B sin C ＝14，从而sin B ＝sin C ＝12.∵0＜B ＜π3，0＜C ＜π3，∴B ＝C .∴△ABC 是等腰钝角三角形．。

【课堂新坐标】(教师用书)高中数学第二章解析几何初步综合检测北师大版必修2

第二章解析几何初步(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·惠州高一检测)过两点A (－2，m )，B (m,4)的直线倾斜角是45°，则m 的值是( )A ．－1B ．3C ．1D ．－3【解析】 k AB ＝m －4－2－m＝tan 45°＝1，∴m ＝1.【答案】 C2．若两直线ax ＋2y ＝0和x ＋(a －1)y ＋(a 2－1)＝0平行，则a 的值是( ) A ．－1或2 B ．－1 C ．2D ．23【解析】由a (a －1)－1×2＝0得a ＝－1或2，经检验a ＝－1时，两直线重合．【答案】 C3．(2013·合肥高一检测)如果圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－3，－1)∪(1,3) B ．(－3,3)C ．[－1,1]D ．(－3，－1]∪[1,3)【解析】数形结合∵(0,0)、(a 、a )所在直线是存在两点的垂直平分线， ∴1＜a ＜3或－3＜a ＜－1. 【答案】 A4．在空间直角坐标系O —xyz 中，点M 的坐标是(1,3,5)，则其关于x 轴的对称点的坐标是( )A ．(－1，－3，－5)B ．(－1，－3,5)C ．(1，－3，－5)D ．(1,3，－5) 【解析】 M (1,3,5)关于x 轴对称的点，在x 轴上的坐标不变，其他是其相反数，即为(1，－3，－5)．【答案】 C5．圆(x－3)2＋(y＋4)2＝2关于直线y＝0对称的圆的方程是( )A．(x＋3)2＋(y－4)2＝2 B．(x－4)2＋(y＋3)2＝2C．(x＋4)2＋(y－3)2＝2 D．(x－3)2＋(y－4)2＝2【解析】圆心(3，－4)关于y＝0对称的点为(3,4)，∴圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝2.【答案】 D6．(2013·南宁高一检测)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为( )A. 3 B．2C. 6 D．2 3【解析】由题意得直线方程为y＝3x，圆的方程为x2＋(y－2)2＝4，圆心到直线的距离d＝23＋1＝1，弦长|AB|＝24－1＝2 3.【答案】 D7．(2013·潍坊高一检测)若直线l1：ax＋(1－a)y－3＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y －2＝0互相垂直，则a的值是( )A．－3 B．1 C．－1 D．1或－3【解析】∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝1或－3.【答案】 D8．若点P(a，b，c)关于原点的对称点是P′，则|PP′|＝( )A.a2＋b2＋c2B．2a2＋b2＋c2C．|a＋3＋c| D．2|a＋b＋c|【解析】P′(－a，－b，－c)．由两点间距离公式得|PP′|＝－a－a2＋－b－b2＋－c－c2＝2a2＋b2＋c2.【答案】 B9．不论a为何数，直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过( )A．第一象限B．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】由(a －3)x ＋2ay ＋6＝0，得(x ＋2y )a ＋(6－3x )＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，6－3x ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴直线(a －3)x ＋2ay ＋6＝0恒过定点(2，－1)．从而该直线恒过第四象限．【答案】 D10．使得方程 16－x 2－x －m ＝0有实数解，则实数m 的取值范围是( ) A ．－4≤m ≤4 2 B ．－42≤m ≤4 2 C ．－4≤m ≤4D ．4≤m ≤4 2【解析】设f (x )＝16－x 2，g (x )＝x ＋m ，在同一坐标系中画出函数f (x )和g (x )的图形，如图所示．则m 是直线y ＝x ＋m 在y 轴上的截距．由图可知－4≤m ≤4 2. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 11．在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且M 到A 与B 的距离相等，则M 的坐标是________．【解析】 ∵M 在y 轴上，设其坐标为(0，y,0)，由空间两点间的距离公式得 1＋y 2＋4＝1＋y ＋2＋1，得y ＝－1，∴M 的坐标为(0，－1,0)．【答案】 (0，－1,0)12．已知点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且P 点到直线x －y －1＝0的距离为2，则P 点坐标为________．【解析】点P 在直线3x ＋y －5＝0上，设P (x 0，y 0)，即P (x 0,5－3x 0)．由点到直线的距离公式，得 |x 0－－3x 0－1|12＋－2＝2，解得x 0＝2或x 0＝1，所以点P 的坐标为(2，－1) 或(1,2)．【答案】 (2，－1) 或(1,2)13．两平行直线l 1：3x ＋4y －2＝0，l 2：6x ＋ay －5＝0的距离等于__________．【解析】由3a －24＝0，得a ＝8， ∴l 2：3x ＋4y －52＝0.∴d ＝|－52－－32＋42＝110. 【答案】11014．(2013·九江高一检测)已知方程x 2＋y 2＋2mx －2my －2＝0表示的曲线恒过第三象限的一个定点A ，若点A 又在直线l ：mx ＋ny ＋1＝0上，则m ＋n ＝________.【解析】已知方程即x 2＋y 2－2＋2m (x －y )＝0，该曲线系恒经过圆x 2＋y 2－2＝0与直线x －y ＝0的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2＝0x －y ＝0得所过定点为(－1，－1)，(1,1)，∵点A 为第三象限的点，∴A 点的坐标为(－1，－1)，将其代入直线l 的方程得(－1)·m ＋(－1)·n ＋1＝0，即m ＋n ＝1. 【答案】 1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．(本小题12分)菱形ABCD 中，A (－4,7)、C (6，－5)、BC 边所在直线过点P (8，－1)，求：(1)AD 边所在直线的方程； (2)对角线BD 所在直线的方程．【解】 (1)k BC ＝2，∵AD ∥BC ，∴k AD ＝2. ∴直线AD 方程为y －7＝2(x ＋4)，即2x －y ＋15＝0.(2)k AC ＝－65，∵菱形对角线互相垂直，∴BD ⊥AC ，∴k BD ＝56，而AC 中点(1,1)，也是BD 的中点，∴直线BD 的方程为y －1＝56(x －1)，即5x －6y ＋1＝0.图116．(本小题12分)如图1所示，⊙O 的方程为x 2＋y 2＝9，点P 的坐标为(4,0)，求： (1)以点P 为圆心且与⊙O 外切的圆的标准方程； (2)以点P 为圆心且与⊙O 内切的圆的标准方程．【解】 (1)满足条件的圆P 是以(4,0)为圆心，1为半径的圆．所以圆P 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1.(2)满足条件的圆P 是以(4,0)为圆心，7为半径的圆，所以圆P 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝49.17．(本小题12分)已知方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0. (1)若此方程表示圆，求m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x ＋2y －4＝0相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON (O 为坐标原点)，求m 的值．【解】 (1)x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，D ＝－2，E ＝－4，F ＝m ， D 2＋E 2－4F ＝20－4m ＞0，m ＜5.(2)将x ＝4－2y 代入x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0得5y 2－16y ＋8＋m ＝0，y 1＋y 2＝165，y 1y 2＝8＋m5，∵OM ⊥ON ，得出：x 1x 2＋y 1y 2＝0， ∴5y 1y 2－8(y 1＋y 2)＋16＝0，∴m ＝85.18．(本小题14分)已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点． (1)求四边形PACB 面积的最小值；(2)直线l 上是否存在点P ，使∠BPA ＝60°？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【解】 (1)如图所示，△PAC ≌△PBC ，则有S PACB ＝2S △PAC .圆心C (1,1)，半径r ＝1.由切线性质得AC ⊥PA ，则|PA |＝|PC |2－|AC |2，又|AC |＝1， ∴S △PAC ＝12|AC |·|PA |＝12|PC |2－1.又P 在直线l 上，则|PC |的最小值是C 到直线l 的距离d ＝|3＋4＋8|9＋16＝3.∴S △PAC 的最小值为1232－1＝ 2.∴四边形PACB 面积的最小值是2 2. (2)假设直线l 上存在点P 满足题意．∵∠APB ＝60°，∴|AP |＝3|AC |＝3，|PC |＝2.设P (x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋y －2＝4，3x ＋4y ＋8＝0，整理可得25x 2＋40x ＋96＝0. ∵Δ＝402－4×25×96<0， ∴这样的点P 是不存在的．。

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学北师大版必修二学业分层测评：第二章 解析几何初步16 Word版含解析

【课堂新坐标】高中数学北师大版必修二练习：章末综合测评2(含答案解析)

2016-2017学年高中数学人教B版必修二学业分层测评 第

高中数学 第2章 概率 2.2 超几何分布学业分层测评 北师大版选修2-3-北师大版高二选修2-3数