结构可靠度计算

g
(U1*
,U
* 2
,L
,
U
* n
)
0
超切平面方程化简为
n
i 1
g Ui
Pˆ*
(Ui
U
* i
)
0
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可靠指标的几何意义
U 空间内坐标原点到极限状态超曲面Ｚ＝0的最短距离。
在超曲面Ｚ＝0上，离原点Ｍ最近的点
在中心点M处将功能函数展开为泰勒级数，并取
线性项：
Z g X1 , X2 ,L , Xn
n g
i1 X i M
Xi Xi
则功能函数Z的平均值和标准差为
Z g X1 , X2 ,L , Xn
2
Z
n g i1 X i
M
Xi
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1、中心点法的优点 直接给出与随机变量统计参数之间的关系，不必知道基本
变量的的真实概率分布，只需知道基本变量的统计参数即 可计算可靠指标值；
若值β较小，即Ｐf 值较大时，Ｐf 值对基本变量联合概率分
布类型很不敏感，由各种合理分布计算出的Ｐf 值大致在同
一个数量级内；
对正常使用极限状态尤为适用 ( ＝1～2)。
Z g(X1, X2, Xn)
X1, X 2 ,L X n 是表示影响结构可靠度因素的随机变量，
简称基本变量。
X1 , X1 , X2 , X2 ,L Xn , Xn 是基本变量的统计参数。 M (X1 , X2 ,L Xn ) 称为中心点。
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2、中心点法的缺点：
算得的与结构功能函数的形式有关； 没有考虑基本变量的实际分布； 对于非线性功能函数，近似在基本变量的平均值
处按泰勒级数展开不尽合理；
当失效概率pf < 10-3时(相应的 >3.09)， Z的分布
类型不同将会导致pf 值在几个数量级的范围内波 动，中心点法失效。
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3.2 验算点法
一、验算点法的两点改进
R. Rackwitz和 B.Fiessler 等人提出验算点法。
（１）当功能函数Z为非线性时，不以通过中心点的超切平 面作为线性近似，而以通过Z＝0上的某一点P* (x1*, x2*,·····, xn*)超切平面作为线性近似，以避免中心点方法 中的误差。
(2)
g fy , d
( g f y
M
fy
)2
( g d
M d )2
fy
4P
d2
3.93
(1g
fy
)2
(
8P
d3
d
)2
说明中心点法计算结果依赖于功能函数的形式。
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三、中心点法的评价
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3、U空间的可靠指标
极限状态超曲面 Zˆ g(U ) 0过验算点的超切平面
方程为
g
(U1*
,U
* 2
,L
,U
* n
)
n i 1
g Ui
Pˆ*
(Ui
U
* i
)
0
因为 Pˆ * 为极限状态超曲面上的点，则 Zˆ 0
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第3章 结构可靠度计算
杨春侠 长沙理工大学土木工程学院
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3.1 中心点法
一、计算公式 设结构功能函数为：
Z g(X1, X2,L Xn ) 0
X1, X 2 ,L X n 基本变量服从正态分布，统计参数已知。
2、空间变换：
Ui
Xi Xi Xi
X 空间（正态空间）
U空间 （标准正态空间）
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（２）当基本变量xi 具有分布类型的信息时，将Xi 的分布在 验算点P* 处以与正态分布等价的条件，变换为当量正态 分布，从而在β中合理地反映了分布类型的影响。
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二、计算公式
1、设极限状态方程为：
则按下式近似确定可靠指标
Z g X1 , X2 , , Xn
Z
2
n g
i1 X i
Xi
X
因为功能函数采用在中心点处泰勒级数展开式线性
项作为线性近似函数，因此称此法为中心点法。
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二、公式的应用
例题3-1 一圆截面直杆，承受拉力P=100kN，基本变
量及其统计参数如下，求此杆的可靠指标。
材料强度设计值 fy fy 290Mpa, fy 25Mpa
杆的直径d d 30mm, d 3mm
功能函数为
(1)
Z
g(
fy,d)
4
d2
fy
P
4P
(2) Z g( f y , d ) f y P d 2
X 空间的功能函数
Z g(X ) g(X1, X 2,L , X n )
转换为U空间功能函数
Zˆ g(U) g(U1,U2,L ,Un)
验算点
P*
(
X1*
,
X
* 2
,L
,
X
* n
)
转换为
Pˆ*(U1*,U2*,L ,Un*)
X (X1, X 2,L , X n )
U (U1,U2 ,L ,Un )
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解：
(1)
g fy , d
( g f yຫໍສະໝຸດ Mfy)2
( g d
M d )2
4
d2 fy
P
2.35
(
4
d2
fy
)2
(
2
d fy d
)2
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