结构可靠度计算
可靠度计算方法
三、可靠度计算方法
可靠度分析的主要方法：
一次二阶矩方法、二次二阶矩方法、蒙特卡罗模拟法和概率有限法等。 一次二阶矩方法是目前最常用的方法之一，国际标准《结构可靠性总原则》以及我国第一层次和第二层次的结构可靠度设计统一标准如《工程结构可靠性设计统一标准》和《建筑结构可靠度设计统一标准》等，也都推荐采用一次二阶矩方法。
一次二阶矩方法（First-Order Reliability Method ，简称FORM ）最初是根据线性功能函数和独立正态随机变量二阶矩所提出的计算方法。这一方法的基本原理是：
假定功能函数(n 21,,,X X X g Z L )=是基本变量X i （i ＝1，2，…，n )的线性函数，基本变量均服从正态分布或对数正态分布，且各基本变量之间相互统计独立，则可以由基本随机变量X i （i ＝1，2，…，n )的一阶矩、二阶矩计算功能函数Z 的统计均值Z μ和标准差Z σ，进而确定状态方程的可靠性指标β值。对于非线性功能函数，可将功能函数展开成Taylor 级数，保留线性项，将Z 近似简化成基本变量X (n 21,,,X X X g Z L =)i （i ＝1，2，…，n )的线性函数，计算Z 的统计均值Z μ和标准差Z σ，再计算可靠性指标β值。如果基本变量为非独立和非正态变量，则需要先对基本变量进行相应的处理，然后计算可靠性指标β值。
根据功能函数线性化点的取法不同以及是否考虑基本随机变量的分布类型，又分为均值一次二阶矩法（中心点法）、改进的一次二阶矩法（验算点法）和JC 法等。
可靠度计算方法
一次二阶矩法
当基本状态变量X i (i =1,2,···,n )的概率密度未知，或者在概率密度函数复杂不易求其分布参数的积分时，可利用泰勒级数展开后忽略二次以上的项，只考虑它们的一阶原点矩和二阶中心矩这两个特征参数，近似地计算状态函数的均值和方差，求得可靠指标和破坏概率，故称作一次二阶矩法(First order second moment method)，包括中心点法和验算点法。
中心点法
中心点法[56]是早期结构可靠度研究所提出的分析方法，只考虑随机变量的平均值和标准差，作为一种简单的计算方法，对于结构功能函数为
S R Z -=
的可靠度问题，可靠度指标为
Z
Z
σμβ=
当随机变量R 和S 服从正态分布时，式可变为
22S
R
S R σ
σμμβ+-=
上式表示的是两个随机变量的情形，对于多个随机变量的一般形式的结构功能函数
),,,(21n X X X X g Z =
其中：X 1,X 2,···,X n 为结构中的n 个相互独立的随机变量，其平均值为n X X X μμμ,,,21 ，标准差为n X X X σσσ,,,21 。
将功能函数在随机变量的平均值处展开泰勒级数展开，取一次项近似
)()
(),,,(121i X i n
i i
n X L X X g g Z Z μμμμμ-∂∂+=≈∑
= 函数的均值和方差分别为
),,,(21n X Z Z g EZ μμμμμ ==≈
∑=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂=-=≈n
i X i X Z L Z
Z i L L
X
g Z E 12
2)()(σμμσσ 由中心点法的可靠度指标的定义，从而有
工程结构可靠度计算方法—中心点法和验算点法
(2)设计验算点 (2)设计验算点
在标准正态化坐标系中，结构的极限状态直线上距离原点最近的点 在标准正态化坐标系中，结构的极限状态直线上距离原点最近的点 P*称为结构的设计验算点
ˆ ˆ P ( S * , R* )
*
ˆ R
极限状态线
θR
θS
ˆ S * = β cos θ s
ˆ R * = β cos θ R
在原坐标系中， 在原坐标系中，验算点的坐标
ˆ S*
ˆ S
0' β
ˆ R*
P*
S * = µ S + σ S β cos θ S R* = µ R + σ R β cos θ R
且点P 极限状态直线上， 且点P*在极限状态直线上， S*、R*满足极限状态方程 R 满足极限状态方程
Z = R* − S * = 0
R
µZ = µln R − µln S σz = σ 2 ln R + σ 2 ln S µln R − µln S µZ β= = σZ σ 2 ln R + σ 2 ln S
若Ｘ服从对数正态分布，则 服从对数正态分布，
µln X = ln µ Baidu Nhomakorabea − σ 2 ln X
1 2
σ 2ln X = ln(1 + δ 2 X )
Xi =σiβ cos i + µi θ
可靠度实用计算方法
可靠度定义及重要性
可靠度定义
可靠度是指系统在规定条件下和规定时间内，完成规定功 能的能力。它是一个综合性的指标，反映了系统的性能、 耐久性和可维护性等多个方面。
提高经济效益
通过提高系统的可靠度，可以减少维修和更换设备的频率 和成本，延长设备的使用寿命，从而提高企业的经济效益 。
系统安全的保障
高可靠度意味着系统能够稳定运行，减少故障和事故发生 的可能性，从而保障人员和财产的安全。
Minitab
首先输入实验数据并选择相应的统计 量进行描述性分析，然后选择合适的 分布模型进行可靠度计算，最后生成 统计图表并导出结果。
06
总结与展望
06
总结与展望
本次研究成果回顾
01 02
可靠度计算方法创新
本次研究在可靠度计算方面取得了重要突破，提出了多种高效、准确的 计算方法，包括基于模拟的蒙特卡罗方法、基于概率图模型的计算方法 等。
基本原理
通过随机抽样模拟系统行为，进而估算系统 可靠度。
缺点
计算量大，收敛速度慢，精度受随机因素影 响。
优点
适用于复杂系统，可处理非线性、非正态分 布等问题。
应用范围
广泛应用于结构工程、机械工程等领域。
一次二阶矩法
基本原理
基于概率统计理论，利用随机变量的 前两阶矩（均值和方差）进行可靠度 计算。
9.2 结构可靠度指标
知识点2结构可靠度指标
●结构可靠度
➢定义：结构在规定的时间内，在规定的条件下，完成预定功能的概率。是结构可靠性的概率量度。
✓规定的时间——一般指结构设计基准期。在同样的条件下，规定时间越长，结构的可靠度越低。
✓规定的条件——指正常设计、正常施工、正常使用条件，排除人为错误或过失因素。
➢基本计算公式
可靠度失效概率
或
如果Ｓ与Ｒ相互独立，则
知识点2结构可靠度指标
此时
dR R f dS S f p R R S f )()(⎰⎰+∞
∞−+∞⎥⎦⎤⎢⎣⎡=知识点2结构可靠度指标
●结构可靠指标
➢如果Ｒ和Ｓ为两个相互独立的正态随机变量，则
其中
知识点2结构可靠度指标
令
标准正态随机变量
则
Φ（•）：标准正态分布函数
知识点2结构可靠度指标
➢β 与P f的关系：β越大，P f越小，P s越大
β 与P f的数值关系
β 1.0 1.5 2.0 2.5
P f 1.59x10-1 6.68x10-2 2.28x10-2 6.21x10-3β 3.0 3.5 4.0 4.5
P f 1.35x10-3 2.33x10-4 3.17x10-5 3.40x10-6
可靠度实用计算方法
2 2 ( X m ) g n g i x i Z g ( m , m , , m ) ( X m ) x 1 x 2 xn i xi 2 X 2 X i 1 1 i m i i
x i
m x i
取线性项，做线性化处理
一类是与结构或构件的作用效应或荷载效应的有关参数，包括施加在 结构上的直接作用或引起结构外加变形或约束变形的间接作用，如结 构承受的设备、车辆及施加于结构的刚荷载、雪荷载、土压力、温度 作用等。 另一类是与结构或构件抗力的有关参数，如材料强度、截面尺寸、连 接条件等。
它们共同构成了结构设计的基本变量，它们的统计规律构成 了可靠性理论的基础。我们就把这些决定结构静态或动态反 应的设计参数，定义为结构设计基本随机变量。
z
2 R
2 S
z R S 2 2 z R S
在一般情况下，一阶矩（均值）和二阶矩（标准差）是比 较容易得到的参数，故国内外目前广泛采用均值 ( 一阶原 点矩)和标准差(二阶中心矩)来计算结构可靠度。当结构功 能函数为非线性函数时，则设法对其进行线性化处理。具 有这种特点的方法称为一次二阶矩法（FOSM）。
可靠度实用计算方法
4.1结构可靠性分析的基本概念和原理
结构可靠性分析是基于事物具有不确定性这样一个基本观点， 利用适当的数学模型建立这些不确定性与结构性能之间的联 系，则是结构可靠性理论所研究的主要问题。工程结构可靠 性分析与广泛应用于电子学、机械学等领域的可靠性分析有 其自身的一些特点： （1）大多数电子、机械部件和系统，在使用过程中由于温 度升高、机械磨损、疲劳、超负荷和其他原因而损坏，因此 考虑它们的寿命是很自然的。除了由于腐蚀和疲劳机理而破 坏之外，土木工程结构体系不是被逐渐破坏的，甚至在某些 情况下它的强度会增强，例如混凝土的强度随龄期增加，土 壤的强度由于固结而增大。因此它们一般不是在使用中失效。 （2）大多数电子和机械部件是大批量生产，并且名义上可 假定是相同的，可用相对频率来解释失效概率。但对于土木 工程结构，现场施工而成，并非是大批量生产。用相对频率 来解释失效概率的处理方法显然是不合适的。
9-结构可靠度分析与计算
β 值可按式(9-5)计算，得：
β= μ − μS μZ = R 2 2 σZ +σS σR
(9-5)
β 与 Pf 在数值上的对应关系见表 9-1。 从表中可以看出，β 值相差 0.5， 失效概率 Pf 大
致差一个数量级。
·156·
第9章
结构可靠度分析与计算
β 与 Pf 的对应关系 β
3.2 3.5 3.7 4.0 4.2 Pf
图 9.2 功能函数 Z 的分布曲线
Z = R − S < 0 的事件出现的概率就是失效概率 Pf ：
Pf = P ( Z = R − S < 0) = ∫
0 −∞
f ( Z )dZ
(9-2)
式中， f ( Z ) ——结构功能函数 Z 的概率密度分布函数。 失效概率 Pf 就可以用图 9.2 中的阴影面积表示。如结构抗力 R 的平均值为 μ R ，标准差 为 σ R ；荷载效应的平均值为 μ S ，标准差为 σ S ，则功能函数 Z 的平均值及标准差为：
(Xi − μX )
i
(9-7)
μ
Z μ 的平均值：
μ Z = E ( Z μ ) = g ( μ X ，μ X ，…，μ X )
μ
1 2 n
(9-8)
Z μ 的方差：
2 = E[ Z μ − E ( Z μ )]2 = ∑ ( ∂ σZ
工程结构可靠度计算方法
工程结构可靠度计算方法
工程结构可靠度计算是一种用来评估工程结构系统在给定的设计
条件下能够正常运行的能力。通过可靠度计算，可以评估结构在各种
设计负载下的可用寿命、安全系数以及潜在的失效模式。因为结构的
可靠性直接关系到工程安全性和经济性，因此可靠度计算在工程领域
中具有非常重要的意义。
工程结构可靠度的计算方法有多种，下面将介绍常见的几种方法。
一、确定性方法
确定性方法是最简单的可靠度计算方法，它假设结构的参数和负
载都是确定值，并且不考虑不确定性因素的影响。在确定性方法中，
常用的计算方法有极限状态法和等效正态法。
极限状态法是通过将结构的参数和负载转化为正态分布的随机变量，利用统计方法进行计算。该方法假设结构的失效状态是定义好的，当结构的极限状态超过给定的设计阈值时，认为结构失效。这种方法
在可靠性计算中广泛应用，其计算过程相对简单，适用于一般的工程
结构。
等效正态法是将结构的参数和负载转化为正态分布的随机变量，并通过概率统计的方法计算结构的可靠度。该方法假设结构的失效状态服从正态分布，在计算过程中需要对结构各参数的概率分布进行估计。这种方法计算精度较高，但计算过程相对复杂。
二、概率方法
概率方法是一种基于概率论的可靠度计算方法，它充分考虑了结构参数和负载的不确定性因素，通过对模型进行概率分析，得到结构的可靠度指标。概率方法包括蒙特卡罗模拟法、局部线性化法和形式法等。
蒙特卡罗模拟法是一种基于统计随机过程的可靠度计算方法，通过随机数生成来模拟结构的参数和负载的随机变化，进行多次重复实验来估计结构的可靠度。这种方法计算精度较高，但计算量较大。
第04章 结构可靠度与可靠指标
4.1 结 构
可
靠 度 与 失 效 概 率
为了计算失效 概率，先来考虑荷 载效应S落在区间ds 内的概率。由图4-3 可以得到
ds ds P s S s f S ( s)ds 2 2
而抗力R小于荷载效应S的概率为
P( R S ) f R (r )dr
称 为 结 构 功 能 函 数 。 随 机 变 量 X1， X2，…，Xn 可以是构件的几何尺寸、材 料的物理参数、结构受到的外来作用等 等。
4.1 结 构
当 Z > 0 时，结构具有规定功能，即处 于可靠状态；
当 Z < 0 时，结构丧失规定功能，即处 于失效状态； 当Z = 0时，结构处于临界状态，或称 为极限状态。 相应地，方程
Z a 0 ai X i 0
i 1 n
(4-23)
β
的 两 个 常 用 公 式
其均值和标准差分别为：
mZ a0 ai mXi
i 1 n
(4-24) (4-25)
Z
a
i 1 2 i
4.2 结 构
可
靠 度 与 可 靠 指 标
2. 在某种分布下，当σZ为常量时， β 仅随均值mZ变化。当β 增加时，概率 密度曲线将由于均值mZ的增大而向右移 动（见图 4-5 ），这时失效概率 Pf 减小， 而结构可靠度Pr增大。
结构构件可靠度的计算方法
X i 是相互独立的随机变量，其相应的均值和标准差为
µ
X
和
i
σ
X
。
i
2. 功能函数泰勒级数展开
将Z在各变量的均值点 M = (µX1 , µX2 ,L, µXn ) 处展开成泰勒级数， 并取线性项
∑ Z
≈
g(µX1 , µX2 ,L, µXn ) +
2
= 0.9806
(7) 计算验算点（第一组参数）
X
* i
=
µXi
+ αiβσ Xi
R* = µR + α R βσ R = 9.808
S * = µS + α s βσ s = 9.712
例 3.2
3.1 均值一次二阶矩法
假定钢梁承受确定性的弯矩M＝128.8kN·m。钢梁截面的塑 性抵抗矩W和材料屈服强度fy都是随机变量，且相互独立。 已知fy的均值和变异系数分布为 µ fy = 262MPa和δ fy = 0.1；W 的均值和变异系数分布为 µW = 884.9 ×10−6 m3和 δW = 0.05。试 求构件抗弯可靠指标。
Pf 2 ≈ 0.0853 Pf 3 ≈ 0.0381
(4) 采用概率直接积分法计算结构构件截面强度的失效概率
结构可靠度分析
（3）串-并联模型
在延性构件组成的超静定结构中，若结构的最终失效形态不 限于一种，则这类结构系统可用串 -并联模型表示。
* 多失效形态的超静定结构的失效分析——串-并联模型。 * 由脆性构件组成的超静定结构，其并联子系统可简化为一个
元件——串联模型。(当一个元件发生破坏，就可近似认为整个结构破坏)
P{ln R ln S 0}
则可靠指标的表达式为：
ln R ln Z
2 ln R
ln
R 1 S2
2 S 1 R
2 ln S
2 1 S2 ln 1 R
当结构功能函数的基本变量不为正态分布或对数正态分布 时，或者结构功能函数为非线性函数时，可靠指标可由失效 概率计算：
3、结构体系可靠度计算的复杂性
* 各构件失效间的相关性
构件抗力之间的相关性（各构件可能由同一批材料制成） ； 构件荷载效应之间的相关性（各构件的荷载效应来源于同一荷载）。
* 各失效形态间的相关性
体系失效形态不唯一，不同失效形态中所含失效构件相同。
二、结构体系可靠度的上下界
在特殊情况下，结构体系可靠度可仅利用各构件可靠度按 概率论方法进行计算。
学习要点：
1.什么是结构可靠度？ 2.结构可靠度分析的实用方法有哪些？
结构体系可靠度分析的主要思路：由结构各构件的失效概 率估算整体结构的失效概率。
结构可靠度常用计算方法分析
结构可靠度常用计算方法分析
作者：孙虎
来源：《山东工业技术》2017年第19期
摘要：上世纪四十年代以来，工程技术人员逐渐意识到，在结构设计中，必需引入考虑不确定因素的可靠性模型。卡宾奇在研究荷载及材料强度的离散性时，采用统计数学的方法，进而使概率方法在结构设计中得以应用。本文主要对可靠度计算的常用方法进行了总结。
关键词：结构可靠度；方法；概率；可靠性
DOI：10.16640/ki.37-1222/t.2017.19.243
0 前言
在对结构的可靠性进行分析时，可将其分为确定结构的失效模式和计算结构发生的失效概率。可靠性分析的目的之一是计算失效概率，而可靠性分析是以确定失效模式以及建立各个失效模式的极限状态方程为基础的。只有在变量间的函数关系已知时，才可以应用解析或数值方法计算失效概率。
1 一次二阶矩法
仅考虑随机变量标准差和平均值来衡量结构可靠度大小的“二阶矩模式”，先后由迈尔、巴斯勒、尔然尼采和康奈尔[1]提出过，但这种模式是在康奈尔提出之后才得到重点关注。现在，对结构可靠度影响因素的研究还停留在较浅的层面上，这也是由于随机变量的概率分布和参数难以准确确定。通常依据概率论与数理统计的理论方法，并结合大量的数据样本对数据进行分析计算，可以得到随机变量的一阶矩和二阶矩。一次二阶矩法的主要思想是，虽然随机变量的分布类型无法确定，但根据其平均值和标准差的概率分布类型可以求解可靠指标。一次二阶矩法是对功能函数进行泰勒级数展开，并对展开式取常数项和一次项，让极限状态方程得以线性化，进而计算其可靠指标。计算结构可靠度的一次二阶矩方法通常根据线性化点的选取，可分为以下两种方法：
结构可靠度与可靠指标
目录
4.1 结构可靠度与失效概率 4.2 结构可靠度与可靠指标 4.3 可靠指标的几何涵义
4.4 计算可靠指标β的两个常用公式
4.5 可靠指标与安全系数的关系 4.6 可靠指标与分项系数的关系
4.1 结构可靠度与失效概率
结构设计的基本目的是使所设 计的结构在设计基准期内满足安全性、 适用性和耐久性，也就是使结构具有 足够的可靠性。结构可靠性的概率度 量称为结构的可靠度。也就是说，结 构的可靠度是指结构在规定的时间内 与规定的条件下完成预定功能的概率。
度
Z = g(X1，X2，…，Xn)
(4-1)
与
失 称 为 结 构 功 能 函 数 。 随 机 变 量 X1，
效 X2，…，Xn可以是构件的几何尺寸、材
概 料的物理参数、结构受到的外来作用等
率 等。
4.1 当Z > 0时，结构具有规定功能，即处
结
于可靠状态；
构 当Z < 0时，结构丧失规定功能，即处
4.1
结
结构完成各项功能的标志可由相
构 应的极限状态来衡量。结构整体或某一
可
部分超过某一特定状态时，结构就不能
靠
满足设计规定的某一功能要求，这一特
度
与
定状态称为结构的极限状态。
失
因此，结构的极限状态是区分结
结构可靠度 响应面法 matlab
结构可靠度分析和响应面法是两个不同的概念，但它们在某些方面是相关的。结构可靠度分析是评估结构在各种不确定性因素（如材料强度、载荷、几何尺寸等）影响下，在规定时间内完成预定功能的概率。而响应面法是一种统计技术，用于构建一个简化的数学模型来描述一个复杂系统对外部激励的响应。
在结构可靠度分析中，响应面法可以用来估计结构的响应，以便更好地理解结构在不同不确定性因素作用下的行为。通过构建响应面模型，可以方便地分析结构在不同不确定性因素作用下的性能变化，并计算结构的可靠度。
Matlab是一种常用的数值计算软件，可用于实现结构可靠度分析和响应面法的计算。Matlab提供了许多用于统计分析、优化设计、数值计算等方面的工具箱和函数库，可以帮助用户方便地实现各种复杂的计算和分析任务。
在Matlab中实现结构可靠度分析和响应面法需要使用到相关的工具箱和函数库，如统计与机器学习工具箱、优化工具箱等。这些工具箱和函数库提供了丰富的函数和算法，可以帮助用户方便地实现结构可靠度分析和响应面法的计算。
总的来说，结构可靠度分析和响应面法是两个相互关联的概念，而Matlab是一个强大的数值计算软件，可以帮助用户方便地实现这些计算和分析任务。
第05章结构可靠度计算方法
第05章结构可靠度计算方法
5.1简介
结构可靠度是指结构系统得以完整适应承受未知外力的能力，也就是说，在任意情况下结构系统都可以发挥正常的功能并保持稳定。结构可靠度评价是结构安全设计过程的重要环节，这会牵涉到力学有效性分析、可靠性及安全系数等方面，这使得它成为结构安全设计的一个重要部分。
5.2定义
结构可靠度是指未知外力作用下非破坏性状态下结构体的抗压强度和抗弯强度，这些外力包括温度变化、振动、压力、弯曲、拉伸和弹性力。结构可靠度与结构材料的性能、结构力学和动力学特性有关，也与结构设计的合理性和安全系数有关。
1、基于概率的结构可靠度计算方法：基于概率的结构可靠度计算方法由可靠性理论结合统计学概率理论技术来计算结构可靠性，主要从失效状态分析的方法出发研究结构可靠性。
2、基于模型的结构可靠度计算方法：基于模型的结构可靠度计算方法以具有普遍性的假设模型来计算结构可靠度，它主要从力学有效性研究的方法出发，其中包括有限元法、统计分析法和特殊分布法等。
结构构件可靠度的计算方法讲解
,L
,U
* n
)
n i 1
G Ui
Pˆ*
(Ui
U
* i
)
0
G
(U1*
,U
* 2
,L
,U
* n
)
0
a0
ai Xi
i 1
Z
n
2
ai Xi
i 1
根据概率论中心极限定理，当 n，Z 近似服从正态分布
Pf ( )
– 什么条件下，上述公式计算的失效概率是精确的？
– 设计验算点：
X
* i
Xi
i Xi
i
ai
n
ai2
i 1
3.1 均值一次二阶矩法
Z
g(X1 , X2 ,L
,Xn )
n
(Xi
i 1
X
i
)
g X i
(X1 ,X2 ,L ,Xn )
g(M )
n i 1
(Xi
xi*
)
g X i
M
3.1 均值一次二阶矩法
3. 功能函数的概率特征值 Z g(X1 , X2 ,L , Xn )
Xi
一般情况下，均值一次二阶矩法计算的设计验算点不在极 限状态方程表示的失效面上。
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在中心点M处将功能函数展开为泰勒级数，并取
线性项：
Z g X1 , X2 ,L , Xn
n g
i1 X i M
Xi Xi
则功能函数Z的平均值和标准差为
Z g X1 , X2 ,L , Xn
2
Z
n g i1 X i
M
Xi
2012
结构可靠度计算
3
Changsha University of Science & Technology
X 空间的功能函数
Z g(X ) g(X1, X 2,L , X n )
转换为U空间功能函数
Zˆ g(U) g(U1,U2,L ,Un)
验算点
P*
(
X1*
,
X
* 2
,L
,
X
* n
)
转换为
Pˆ*(U1*,U2*,L ,Un*)
X (X1, X 2,L , X n )
U (U1,U2 ,L ,Un )
Z g(X1, X2,L Xn ) 0
X1, X 2 ,L X n 基本变量服从正态分布，统计参数已知。
2、空间变换：
Ui
Xi Xi Xi
X 空间（正态空间）
U空间 （标准正态空间）
2012
结构可靠度计算
11
Changsha University of Science & Technology
2012
结构可靠度计算
12
Changsha University of Science & Technology
3、U空间的可靠指标
极限状态超曲面 Zˆ g(U ) 0过验算点的超切平面
方程为
g
(U1*
,U
* 2
,L
,U
* n
)
n i 1
g Ui
Pˆ*
(Ui
U
* i
)
0
因为 Pˆ * 为极限状态超曲面上的点，则 Zˆ 0
1、中心点法的优点 直接给出与随机变量统计参数之间的关系，不必知道基本
变量的的真实概率分布，只需知道基本变量的统计参数即 可计算可靠指标值；
若值β较小，即Ｐf 值较大时，Ｐf 值对基本变量联合概率分
布类型很不敏感，由各种合理分布计算出的Ｐf 值大致在同
一个数量级内；
对正常使用极限状态尤为适用 ( ＝1～2)。
(2)
g fy , d
( g f y
M
fy
)2
( g d
M d )2
fy
4P
d2
3.93
(1g
fy
)2
(
8P
d3
d
)2
说明中心点法计算结果依赖于功能函数的形式。
2012
结构可靠度计算
7
Changsha University of Science & Technology
三、中心点法的评价
2012
结构可靠度计算
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Changsha University of Science & Technology
2、中心点法的缺点：
算得的与结构功能函数的形式有关； 没有考虑基本变量的实际分布； 对于非线性功能函数，近似在基本变量的平均值
处按泰勒级数展开不尽合理；
当失效概率pf < 10-3时(相应的 >3.09)， Z的分布
类型不同将会导致pf 值在几个数量级的范围内波 动，中心点法失效。
2012
结构可靠度计算
9
Changsha University of Science & Technology
3.2 验算点法
一、验算点法的两点改进
R. Rackwitz和 B.Fiessler 等人提出验算点法。
（１）当功能函数Z为非线性时，不以通过中心点的超切平 面作为线性近似，而以通过Z＝0上的某一点P* (x1*, x2*,·····, xn*)超切平面作为线性近似，以避免中心点方法 中的误差。
（２）当基本变量xi 具有分布类型的信息时，将Xi 的分布在 验算点P* 处以与正态分布等价的条件，变换为当量正态 分布，从而在β中合理地反映了分布类型的影响。
2012
结构可靠度计算
10
Changsha University of Science & Technology
二、计算公式
1、设极限状态方程为：
二、公式的应用
例题3-1 一圆截面直杆，承受拉力P=100kN，基本变
量及其统计参数如下，求此杆的可靠指标。
材料强度设计值 fy fy 290Mpa, fy 25Mpa
杆的直径d d 30mm, d 3mm
功能函数为
(1)
Z
g(
fy,d)
4
d2
fy
P
4P
(2) Z g( f y , d ) f y P d 2
则按下式近似确定可靠指标
Z g X1 , X2 , , Xn
Z
2
n g
i1 X i
Xi
X
因为功能函数采用在中心点处泰勒级数展开式线性
项作为线性近似函数，因此称此法为中心点法。
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gห้องสมุดไป่ตู้
(U1*
,U
* 2
,L
,
U
* n
)
0
超切平面方程化简为
n
i 1
g Ui
Pˆ*
(Ui
U
* i
)
0
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可靠指标的几何意义
U 空间内坐标原点到极限状态超曲面Ｚ＝0的最短距离。
在超曲面Ｚ＝0上，离原点Ｍ最近的点
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第3章 结构可靠度计算
杨春侠 长沙理工大学土木工程学院
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3.1 中心点法
一、计算公式 设结构功能函数为：
Z g(X1, X2, Xn)
X1, X 2 ,L X n 是表示影响结构可靠度因素的随机变量，
简称基本变量。
X1 , X1 , X2 , X2 ,L Xn , Xn 是基本变量的统计参数。 M (X1 , X2 ,L Xn ) 称为中心点。
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解：
(1)
g fy , d
( g f y
M
fy
)2
( g d
M d )2
4
d2 fy
P
2.35
(
4
d2
fy
)2
(
2
d fy d
)2
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