2018年最新整理全国卷理科数学模拟试题(一)

2018年全国卷理科数学模拟试题（一）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.1. 已知全集R U =，集合}5,4,3,2,1,0{=A ，}2|{≥∈=x R x B ，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．1}{0，B ．{1}C ．2}{1，D ．2}1{0，，2.设R b a ∈,，若p ：b a 22<，q ：22b a <，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3.设i 为虚数单位，则6)(i x -的展开式中含4x 的项为（ ） A ．415x - B ．415x C ．420ix - D ．420ix 4.若坐标原点到抛物线2mx y =的准线的距离为2，则=m （ ） A ．8 B ．8± C ．41±D ．81±5. 函数x x x f sin )(=，)('x f 为)(x f 的导函数，则)('x f 的图象是（ ）6. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是3224π，则它的表面积是（ ） A ．π17 B ．π18 C ．π60 D ．π687. 公元263年左右，我国数学刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术.利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名是徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n 为（ ）（参考数据：1305.05.7sin ,2588.015sin ,732.13≈≈≈ ） A ．12 B ．24 C ．36 D ．488.设n m ,为空间两条不同的直线，βα,为空间两个不同的平面，给出下列命题：①若βα//,//m m ，则βα//； ②若n m m //,//α，则α//n ； ③若βα//,m m ⊥，则βα⊥；④若βαα//,⊥m ，则β⊥m . 其中所有正确命题的序号是（ ）A ．③④B ．②④C ．①②D ．①③ 9. 已知函数)32sin(3)(π-=x x f ，则下列结论正确的是（ ） A ．导函数为)32cos(3)('π-=x x f B ．函数)(x f 的图象关于直线2π=x 对称C ．函数)(x f 在区间)125,12(ππ-上是增函数 D ．函数)(x f 的图象可由函数x y 2sin 3=的图象向右平移3π个单位长度得到 10.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且b a B c +=2co s 2，若A B C ∆的面积c S 123=，则ab 的最小值为（ ） A ．21 B ．31 C ．61D ．3 11.定义在R 上的奇函数)(x f 和偶函数)(x g 满足：xe x g xf =+)()(，给出如下结论：①2)(x x e e x f --=且)2()1(0g f <<； ②R x ∈∀，总有1)]([)]([22=-x f x g ；③R x ∈∀，总有0)()()()(=+--x g x f x g x f ；④R x ∈∃0，使得)()(2)2(000x g x f x f >. 其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②③B ．②③C ．①③④D ．①②③④12. 已知函数||)(xxe x f =，方程)(01)()(2R t x tf x f ∈=+-有四个实数根，则t 的取值范围为（ ）A ．),1(2+∞+e eB ．)1,(2e e +--∞C ．2),1(2-+-e e D ．)1,2(2e e + 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量)1,(t =与),4(t =共线且方向相同，则=t . 14. 若31044=+-xx，则=4log 3x . 15. 正月十六登高是“中国石刻艺术之乡”、“中国民间文化艺术之乡”四川省巴中市沿袭千年的独特民俗.登高节前夕，李大伯在家门前的树上挂了两串喜庆彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮.那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 .16. 设函数222)2(ln )()(a x a x x f -+-=，其中0>x ，R a ∈，若存在0x 使得54)(0≤x f 成立，则实数a 的值是 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. (12分)在等差数列}{n a 中，2372-=+a a ，2983-=+a a .（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设数列}{n n b a +是首项为1，公比为q 的等比数列，求}{n b 的前n 项和n S .18. (本小题满分12分)某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动. 为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数，满分为100分)作为样本(样本容量为n )进行统计. 按照[50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在[50,60), [90,100]的数据).（1）求样本容量n 和频率分布直方图中的y x 、的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在[80,90)的学生人数，求ξ的分布列及数学期望.19. (12分)如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，D 是BC 的中点.（1）求证：//1B A 平面1ADC ； （2）若AC AB ⊥，1==AC AB ，21=AA ，求平面1ADC 与平面1ABA 所成二面角的正弦值.20. (本小题满分12分) 已知椭圆M ：13222=+y a x (0>a )的一个焦点为)0,1(-F ，左右顶点分别为B A ,，经过点F 的直线l 与椭圆M 交于D C ,两点.（1）求椭圆方程；（2）记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S 和2S ，求||21S S -的最大值.21. (12分)已知函数23)(bx ax x f +=在1=x 处取得极值61.（1）求b a ，的值； （2）若对任意的),0[+∞∈x ，都有)1ln()('+≤x k x f 成立(其中)('x f 是函数)(x f 的导函数)，求实数k 的最小值；（3）证明：2)1ln(11++<∑=n ini (*∈N n ).请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为a 22)4sin(=+πθρ，曲线2C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+-=ϕϕsin 1cos 1y x （ϕ为参数）.（1）求曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程；（2）当曲线1C 和曲线2C 有两个不同公共点时，求实数a 的取值范围.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数|3|)(--=x m x f ，不等式2)(>x f 的解集为)4,2(.（1）求实数m 的值；（2）若关于x 的不等式)(||x f a x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.理科数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．【考向】考查集合的列举法、描述法、韦恩图法三种表示及交集、补集运算 2．【考向】原创 考查指数函数、幂函数的性质，不等式的性质，充分必要条件的判断 3．【考向】由2016年四川高考题改编 考查二项式定理的通项公式和复数的基本运算 4．【考向】抛物线的几何性质简单应用 5．【考向】由山东高考题改编 考查导数的求导公式与法则、函数的图象与性质 6．【考向】由2016年新课标全国高考题改编 考查简单的三视图及球的体积、表面积公式 7．【考向】考查算法中的循环结构、传承并弘扬灿烂的中国古代数学文化 8.【考向】整合课本相关理论知识创编 主要考查：（1）直线与平面平行的判定定理及其性质定理；（2）直线与平面垂直的判定定理及其性质定理9.【考向】由传统经典题改编 考查)sin(φω+=x A y 型三角函数的求导、对称性、单调性、图象变换等主干性质10.【考向】本题由2014年全国新课标Ⅰ卷16题改编 考查正余弦定理、三角形面积公式、两角和的正弦、基本不等等基础知识，是一道兼具基础性与能力性的好题.其中根据正余弦定理实施边角互化是解题的关键 11.【考向】由必修一P83.4题原创 考查函数的奇偶性与单调性、指数式的基本运算、全称量词与存在量词等主干知识12.【考向】传统经典题目改编 考查分段函数中导数与函数单调性的关系、复合函数方程中方程的实根与两函数图像公共点的等价转化关系.综合检测分类讨论思想、函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想，体现出较高的交汇性与能力性二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．2； 14．1±； 15．43； 16．51 13.【考向】考查向量同向（或反向）的充要条件14.【考向】由人教版必修1.P75.8.1原创 交换课本题目的条件与结论，得到一道将解方程的基本方法与指数式与对数式的互化、换底公式等基本技能融合在一起的好题.此题不难，但学生任意马虎、遗漏，造成丢分.15.【考向】由人教版教材几何概型习题及2013年四川高考题改编 考查几何概型、线性规划及其实际应用与数学文化.分清几何概型中的长度比，面积比，角度比，体积比是解决问题的关键16.【考向】原创 考查函数结构形似联想与几何意义、导数的几何意义、存在量词等，体现等价转化与数形结合的思想，有一定的灵活性、综合性与创意性 三、解答题：本大题共6个题，共70分．17．解：（1）设等差数列}{n a 的公差为d ，则62)(7283-==+-+d a a a a ，∴3-=d . ∴2372172-=+=+d a a a ，解得11-=a . ∴数列}{n a 的通项公式为23+-=n a n .（2）∵数列}{n n b a +是首项为1，公比为q 的等比数列，∴1-=+n n n q b a ，即123-=++-n n q b n ，∴123-+-=n n q n b ，【考向】考查等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式及分类讨论思想18．【分析】（1）根据：频率=频数/样本容量，可得5010016.08=⨯=n ，004.010502==y ，再根据频率之和为1，可求x 的值；（2）首先确定ξ的可能取值为1，2，3，基本事件的总数为3537=C ，求出相应的概率列出分布列.解：（1）由题意可知，样本容量50100.0168=⨯=n ，004.010502==y ， 又由1)010.0040.0016.0(10=++++y x ，得030.0=x .（2）由题意可知，分数[80,90)在有人，分数在[90,100]有2人，共7人. 抽取的3名同学中得分在[80,90)的学生个数ξ的可能取值为1，2，3，则71355)1(372215====C C C P ξ，743520)2(371225====C C C P ξ，723510)3(3735====C C P ξ， 所以ξ的分布列为所以7157********=⨯+⨯+⨯=ξE 【考向】（1）频率分布直方图（2）古典概型及离散型随机变量分布列的求法.19.（1）证明：如图，连接C A 1，交1AC 于点E ，则点E 是C A 1和1AC 的中点，连接DE ，则B A DE 1//. ∵⊂DE 平面1ADC ，⊄B A 1平面1ADC ，∴//1B A 平面1ADC（2）解：如图建立空间直角坐标系xyz A -，则)0,0,0(A ，)0,0,1(B ，)0,1,0(C ，)2,1,0(1C ，)0,21,21(D ，则)0,21,21(=，)2,1,0(1=AC ，设平面1ADC 的法向量为),,(z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001AC m ，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+0202121z y y x ， 取1=z ，得2-=y ，2=x ，得)1,2,2(-=m ， 易得平面1ABA 的法向量为)0,1,0(=，故32||||,cos -=>=<n m .故平面1ADC 与平面1ABA 所成二面角的正弦值为35)32(12=--. 【考向】（1）线面平行的判定定理；（2）利用法向量求二面角的平面角.20.解：（1） ∵点)0,1(-F 为椭圆的一个焦点，∴1=c ，又32=b ，∴4222=+=c b a ，∴椭圆方程为13422=+y x . （2）当直线l 斜率不存在时，直线方程为1-=x ，此时)23,1(-D ，)23,1(--C ，ABD ∆与ABC ∆的面积相等，0||21=-S S 当直线l 斜率存在时，设直线方程为)1(+=x k y (0≠k )， 设),(11y x C ，),(22y x D 显然21,y y 异号.由⎪⎩⎪⎨⎧+==+)1(13422x k y y x 得01248)43(2222=-+++k x k x k ，显然0>∆，方程有实根，且2221438k k x x +-=+，222143124k k x x +-=，此时2121212122143||12|2)(|2|)1()1(|2||2||||||2||k k k x x k x k x k y y y y S S +=++=+++=+=-=-，由0≠k 可得3||4||3212||4||31243||122=⋅≤+=+k k k k k k ，当且仅当23±=k 时等号成立. ∴||21S S -的最大值为3【考向】（1）椭圆的标准方程的求法；（2）用韦达定理及均值不等式求面积最值问题. 21．解：（1）由题设可得bx ax x f 23)('2+=，∵)(x f 在1=x 处取得极值61， ∴⎪⎩⎪⎨⎧==61)1(0)1('f f ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+6123b a b a ，解得31-=a ，21=b . 经检验知，31-=a ，21=b 满足题设条件. （2）由（1）得232131)(x x x f +-=，∴x x x f +-=2)('，∴)1ln(2+≤+-x k x x 在),0[+∞∈x 上恒成立，即0)1ln(2≥++-x k x x 在),0[+∞∈x 上恒成立， 设)1ln()(2++-=x k x x x g ，则0)0(=g ，112112)('2+-++=++-=x k x x x k x x g ，),0[+∞∈x设12)(2-++=k x x x h ， ①当0)1(81≤--=∆k ，即89≥k 时，0)(≥x h ，∴0)('≥x g ，)(x g 在),0[+∞上单调递增， ∴0)0()(=≥g x g ，即当89≥k 时，满足题设条件. ②当0)1(81>--=∆k ，即89<k 时，设21,x x 是方程0122=-++k x x 的两个实根，且21x x <，由2121-=+x x 可知01<x ，由题设可知，当且仅当02≤x ，即021≥⋅x x ，即01≥-k ，即1≥k 时，对任意的),0[+∞∈x 有0)(≥x h ， 即0)('≥x g 在),0[+∞上恒成立，∴)(x g 在),0[+∞上单调递增，∴0)0()(=≥g x g ，∴891<≤k 时，也满足题设条件. 综上，k 的取值范围为1≥k ，∴实数k 的最小值为1.（3）证明：由（2）知，当1=k 时，)1ln(2+≤+-x x x ，即)1ln(2++≤x x x 在),0[+∞上恒成立(当且仅当0=x 时取等号). 令n x 1=(*∈N n )，得n n nn n n ln )1ln(1)11ln(1122-++=++<. ∴当2≥n 且*∈N n 时，2)1ln()1ln(12)1ln()111()3121()211(1)1ln()1(13212111)1ln(131211]ln )1[ln()2ln 3(ln )1ln 2(ln 13121113121112222221++<++-=++--++-+-+=++-++⨯+⨯+<++++++=-+++-+-+++++<++++=∑=n n nn n n n nn n n n n n n i ni 当1=n 时，原不等式显然成立. ∴原不等式得证.【考向】（1）可导函数在某点处取得极值的充要条件；（2）用求导法、分类讨论思想探寻恒成立有关的逆向求参问题；（3）用特殊赋值法构造“零件”不等式，然后通过叠加、放缩证明难度较大的数列不等式.22.解：（1）由a 22)4sin(=+πθρ，有a 22)cos sin (22=+θρθρ，∴1C 的直角坐标方程为0=-+a y x . 由⎩⎨⎧+-=+-=ϕϕsin 1cos 1y x （ϕ为参数）可得2C 的普通方程为1)1()1(22=+++y x . （2）∵曲线1C 和曲线2C 有两个不同公共点，∴12|11|<---a ，解得2222-<<--a ， ∴实数a 的取值范围为)22,22(---【考向】（1）极坐标、参数方程与普通方程的互化；（2）直线与圆的位置关系.23．解：（1）∵|3|)(--=x m x f ，∴不等式2)(>x f ，即2|3|>--x m ，∴15+<<-m x m ， 而不等式2)(>x f 的解集为)4,2(，∴25=-m 且41=+m ，解得3=m . （2）由（1），|3|3)(--=x x f ，关于x 的不等式)(||x f a x ≥-恒成立⇔关于x 的不等式|3|3||--≥-x a x 恒成立⇔ 3|3|||≥-+-x a x 恒成立，而|3||)3()(||3|||-=---≥-+-a x a x x a x ，∴只需3|3|≥-a ，则33≥-a 或33-≤-a ，解得6≥a 或0≤a .故实数a 的取值范围为),6[]0,(+∞-∞ .【考向】（1）绝对值不等式解集的逆向求参；（2）用绝对值不等式的性质解决不等式恒成立问题.。