2013-2014学年人教版八年级数学下册专题讲解+课后训练：二次根式的概念和性质课后练习二及详解

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新人教版八年级数学下册二次根式的知识点汇总

二次根式的知识点汇总知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。

例1．下列式子，哪些是二次根式，、1x x>0）、、1x y+、（x ≥0，y •≥0）．；第二，被开方数是正数或0．知识点二：取值范围1、二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2、二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a ﹤0时，没有意义。

例2．当x例3．当x 11x +在实数范围内有意义？知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a 的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。

注：因为二次根式（）表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。

这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。

例4(1)已知，求xy的值．(2)，求a 2004+b 2004的值知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。

上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.例1 计算1．2 2．（）2 3．2 4．（2）2例2在实数范围内分解下列因式:（1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x 2-3 知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数，若是正数或0，则等于a 本身，即；若a 是负数，则等于a 的相反数-a,即；2、中的a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。

初二数学经典讲义二次根式(基础)知识讲解

《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（基础）【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】【要点梳理】要点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式，如13,,0.02,02等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式a 有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义. 2.二次根式的性质（1）；（2）；（3）.要点诠释：（1）一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2a =（0a ≥），如2221122););)33x x ===（0x ≥）. （2）2a a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 2a .（3a ，再根据绝对值的意义来进行化简.（42的异同a可以取任何实数，而2中的a 必须取非负数；a，2=a （0a ≥）.相同点：被开方数都是非负数，当a2.3. 最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.次根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.显然是同类二次根式. 要点二、二次根式的运算 1. 乘除法（1）乘除法法则：类型法则逆用法则二次根式的乘法0,0)a b =≥≥积的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥≥二次根式的除法0,0)a b ≥>商的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥>要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如= （2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.≠. 2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如23252(135)22+-=+-=-. 【典型例题】类型一、二次根式的概念与性质1．当________时，二次根式3x -在实数范围内有意义. 【答案】x ≥3.【解析】根据二次根式的性质，必须3x -≥0才有意义.【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有0a ≥时a 才是二次根式. 举一反三【高清课堂：二次根式高清ID 号：388065 关联的位置名称：填空题5】【变式】①242x x =-成立的条件是 . ②2233x x x x--=--成立的条件是 . 【答案】① x ≤0；(2422x x x x ==-∴≤0.)② 2≤3x <.(20,30,x x -->∴≥2≤3x <)2．当0≤x <1时，化简21x x +-的结果是__________.【答案】 1.【解析】因为x ≥0，所以2x =x ；又因为x <1,即x -1<0,所以1(1)1x x x -=--=-，所以21x x +-=x +1-x =1.【总结升华】利用二次根式的性质化简二次根式，即2a =a ，同时联系绝对值的意义正确解答. 举一反三【变式】已知0a <，化简二次根式3a b -的正确结果是（）.A.a ab --B. a ab -C. a abD.a ab -【答案】A.3.下列二次根式中属于最简二次根式的是（）.1448ab44a +【答案】A.【解析】选项B ：48=43；选项C ：有分母；选项D ：44a +=21a +，所以选A. 【总结升华】本题考查了最简二次根式的定义.最简二次根式要满足：（1）被开方数是整数或是整式；（2）被开方数中不含能开方的因式或因数. 类型二、二次根式的运算4．下列计算错误的是（）.A. 14772⨯=B. 60523÷=C. 9258a a a +=D. 3223-= 【答案】 D.【解析】选项A ： 14714727772⨯=⨯=⨯⨯= 故正确；选项B ：605605123423÷=÷==⨯=，故正确；选项C925358a a a a a +=+=故正确；选项D ：32222-= 故错误.【总结升华】本题主要考查了二次根式的加减乘除运算，属于基础性考题. 举一反三【变式】计算：48(54453)833-+⨯ 【答案】243610-.5.化简20102011(32)(32)⋅. 【答案与解析】201020102010=(32)32)(32)(32)32)32)132)3 2.⋅⋅⎡⎤=⋅⋅⎣⎦=⋅=原式【总结升华】本题的求解用到了积的乘方的性质，乘法运算律，平方差公式及根式的性质，是一道综合运算题型.6 已知2231,12x x x x=-+求.【答案与解析】2231,1=30,(1)1313331=3x x x xx x x =+∴->∴=--++==原式当时，原式【总结升华】化简求值时要注意x 的取值范围，如果未确定要注意分类讨论. 举一反三【高清课堂:二次根式高清ID 号：388065关联的位置名称：计算技巧6-7】【变式】已知a b +=-3, ab =1,求ab b a +的值. 【答案】∵a b +=-3,ab =1，∴<0a ,<0b11+==-(+)=-=3--ab ab a bb a b a ab∴+原式.。

人教版数学八年级下册：二次根式(含答案)

《二次根式》1．二次根式的概念(1)一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式．(2)对于a(a≥0)的讨论应注意下面的问题：①二次根号“”的根指数是2，二次根号下的a叫被开方数，被开方数可以是数字，也可以是整式、分式等．②式子a只有在条件a≥0时才叫二次根式．即a≥0是a为二次根式的前提条件．式子－2就不是二次根式，但式子(－2)2是二次根式．③a(a≥0)实际上就是非负数a的算术平方根，既可表示开方运算，也可表示运算的结果．④4是二次根式，虽然4＝2，但2不是二次根式．因此二次根式指的是某种式子的“外在形态”．二次根式有两个要素：一是含有二次根号“”；二是被开方数可以不只是数字，但必须是非负的，否则无意义．【例1－1】当a为实数时，下列各式中哪些是二次根式？a＋10，|a|，a2，a2－1，a2＋1，(a－1)2.分析：因为a为实数，而|a|≥0，a2≥0，a2＋1＞0，(a－1)2≥0，所以|a|，a2，a2＋1，(a－1)2是二次根式．因为a是实数时，并不能保证a＋10，a2－1是非负数，即a＋10，a2－1可能是负数．如当a＜－10时，a＋10＜0；又如当0＜a＜1时，a2－1＜0，因此，a＋10，a2－1不是二次根式．解：|a|，a2，a2＋1，(a－1)2是二次根式．【例1－2】x是怎样的实数时，式子x－3在实数范围内有意义？分析：问题实质上是问当x是怎样的实数时，x－3是非负数，式子x－3有意义．解：由二次根式的定义可知被开方式x－3≥0，即x≥3，就是说当x≥3时，式子x－3在实数范围内有意义．2．二次根式的性质(1)a(a≥0)是一个非负数．．．a(a≥0)既是二次根式，又是非负数的算术平方根，所以它一定是非负数，即a ≥0(a≥0)，我们把这个性质叫做二次根式的非负性．【例2－1】若a＋3＋(b－2)2＝0，则a b的值是__________．解析：由题意可知a＋3＝0，(b－2)2＝0，所以a＋3＝0，b－2＝0，则a＝－3，b＝2.所以a b＝(－3)2＝9.答案：9(2)(a)2＝a(a≥0)由于a(a≥0)是一个非负数，表示非负数a的算术平方根，因此通过算术平方根的定义，将非负数a的算术平方根平方，就等于它本身，即(a)2＝a(a≥0)．【例2－2】化简：①(23)2＝__________；②(x －3)2(x ≥3)＝__________.解析：①直接利用公式(a )2＝a (a ≥0)，可得(23)2＝23；②因为x ≥3，所以x －3≥0，所以由公式(a )2＝a (a ≥0)，可得(x －3)2＝x －3(x ≥3)．答案：①23②x －3(3)a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a <0).由算术平方根的定义，可得a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a <0).a 2＝a (a ≥0)表示非负数a 的平方的算术平方根等于a .【例2－3】计算： (1)(－1.5)2；(2)(a －3)2(a ＜3)；(3)(2x －3)2(x ＜32)．解析：错解正解(1)(－1.5)2＝－1.5；(2)(a －3)2＝a －3； (3)(2x －3)2＝2x －3. (1)(－1.5)2＝|－1.5|＝1.5；(2)(a －3)2＝|a －3|＝3－a (a ＜3)；(3)(2x －3)2＝|2x －3|＝3－2x (x ＜32)．错因剖析：本题对性质(a )2＝a (a ≥0)与a 2＝|a |应用混淆，需特别注意被开方数是非负数时，a 2＝a (a ≥0).思路分析：根据a 2＝|a |，首先去掉根号，然后利用绝对值的定义求解.(1)(a )2＝a 的前提条件是a ≥0；而a 2＝|a |中的a 为一切实数．(2)a (a ≥0)，|a |，a 2是三个重要的非负数，即a (a ≥0)≥0，|a |≥0，a 2≥0，在解题时应用较多．(3)a 2＝(a )2成立的条件是a ≥0，否则不成立．(4)(a )2＝a (a ≥0)可以逆用，即任意的一个非负数都可以写成它的算术平方根的平方形式．(5)在利用a 2进行化简时，要先得出|a |，再根据绝对值的性质进行化简，一定要弄清被开方数的底数是正还是负，这是容易出错的地方．3．求二次根式中被开方数字母的取值范围由二次根式的意义可知，a 的取值范围是：a ≥0.即当a ≥0时，a 有意义，是二次根式；当a ＜0时，a 无意义，不是二次根式．(1)确定形如a 的式子中的被开方数中的字母取值范围时，可根据式子a 有意义或无意义的条件，列出不等式，然后解不等式即可．(2)当被开方数是分式时，同时要求分母不等于零．求解此类问题抓住一点，就是由二次根式的定义a (a ≥0)得被开方数必须是非负数，即把问题转化为解不等式．【例3】当字母取何值时，下列各式为二次根式． (1)a 2＋b 2； (2)－3x ；(3)12x ； (4)－32－x.分析：必须保证被开方数是非负数，以上式子才是二次根式，当分母上有未知数时，分母不能为0，根据这些要求列不等式解答即可．解：(1)因为a ，b 为任意实数时，都有a 2＋b 2≥0，所以当a ，b 为任意实数时，a 2＋b 2是二次根式．(2)－3x ≥0，x ≤0，即当x ≤0时，－3x 是二次根式．(3)12x≥0，且x ≠0，所以x ＞0. 当x ＞0时，12x 是二次根式．(4)－32－x ≥0，故x －2≥0且x －2≠0，所以x ＞2. 当x ＞2时，－32－x 是二次根式． 4．二次根式非负性的应用(1)在实数范围内，我们知道式子a (a ≥0)表示非负数a 的算术平方根，它具有双重非负性：①a ≥0；②a ≥0.运用这两个简单的非负性，再结合非负数的简单性质“若几个非负数的和等于0，则这几个非负数都等于0”可以解决一些算术平方根问题．巧记要点：二次根式，内外一致；即二次根式根号下和根号外一致为非负数． (2)到目前为止，我们已经学过三类具有非负性的代数式： ①|a |≥0；②a 2≥0；③a ≥0(a ≥0)．【例4－1】已知x ，y 都是实数，且满足y ＝5－x ＋x －5＋3，求x ＋y 的值．分析：式子中有两个二次根式，它们的被开方数都应该是非负数，由此可得关于x 的不等式组．解：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 5－x ≥0，x －5≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≤5，x ≥5，∴x ＝5.当x ＝5时，y ＝5－5＋5－5＋3＝3.∴x ＋y ＝5＋3＝8.两个算术平方根，当被开方数互为相反数时，只有它们同时为零，这两个式子才能都有意义．【例4－2】已知x ，y 为实数，且y ＝12＋8x －1＋1－8x ，则x ∶y ＝__________.解析：因为y 为实数，所以隐含着两个算术平方根都有意义，即被开方数均为非负数．实际上，若a 和－a 都有意义，则a ＝0.即依题意得⎩⎪⎨⎪⎧8x －1≥0，1－8x ≥0.解得x ＝18，于是y ＝12＋0＋0＝12.故x ∶y ＝1∶4.答案：1∶4,5．式子(a )2的意义和运用二次根式的一个性质是：(a )2＝a (a ≥0)．因为2＝(2)2，35＝(35)2，所以上面的性质又可以写成：a ＝(a )2(a ≥0)．可见，利用这个式子我们可以把任何一个非负数写成一个数的平方的形式．二次根式中的23表示2×3，这与带分数212表示2＋12是不一样的，因此，以后遇到32×3应写成323，而不能写成1123.【例5－1】计算：(1)(23)2；(2)(－212)2；(3)(－5×3)2.解：(1)(23)2＝22×(3)2＝12. (2)(－212)2＝(－2)2×(12)2＝2. (3)(－5×3)2＝(－1)2×(5×3)2＝15.【例5－2】把多项式n 5－6n 3＋9n 在实数范围内分解因式．分析：按照因式分解的一般步骤，先对多项式n 5－6n 3＋9n 提取公因式，得n (n 4－6n 2＋9)，再利用完全平方公式分解，得n (n 2－3)2，要求在实数范围内分解，所以可以将3写成(3)2，再运用平方差公式进行因式分解．解：n 5－6n 3＋9n ＝n (n 4－6n 2＋9)＝n (n 2－3)2＝n (n ＋3)2(n －3)2.6．二次根式与相反数和绝对值的综合应用(1)二次根式具有非负性，一个数的绝对值，完全平方数也是一个非负数，因此可以把这几者结合出题．(2)绝对值、算术平方根、完全平方数为非负数，即：|a |≥0，b ≥0(b ≥0)，c 2≥0.非负数有一个重要的性质，即若干个非负数的和等于零，那么每一个非负数分别为零．即：|a |＋b ＝0⇒a ＝0，b ＝0； |a |＋c 2＝0⇒a ＝0，c ＝0； b ＋c 2＝0⇒b ＝0，c ＝0； |a |＋b ＋c 2＝0⇒a ＝0， b ＝0，c ＝0.【例6－1】若|a －b ＋1|与a ＋2b ＋4互为相反数，则(a ＋b )2 011＝______.解析：|a －b ＋1|与a ＋2b ＋4互为相反数，∴|a －b ＋1|＋a ＋2b ＋4＝0.而|a －b ＋1|≥0，a ＋2b ＋4≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋1＝0，a ＋2b ＋4＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.∴(a ＋b )2 011＝(－2－1)2 011＝(－3)2 011＝－32 011. 答案：－32 011【例6－2】若a 2＋b －2＝4a －4，求ab 的值．分析：通过变形将等式转化为两个非负数的和等于零的形式，即(a －2)2＋b －2＝0，由二次根式的性质可知b －2≥0，由完全平方数的意义可知(a －2)2≥0，而它们的和为零，则a －2＝0，b －2＝0，从而可求出a ，b 的值．解：由a 2＋b －2＝4a －4，得a 2－4a ＋4＋b －2＝0，即(a －2)2＋b －2＝0.∵(a －2)2≥0，b －2≥0且(a －2)2＋b －2＝0，∴a －2＝0，b －2＝0，解得a ＝2，b ＝2. ∴ab ＝2，即ab 的值为2.7．二次根式(a )2＝a (a ≥0)与a 2＝|a |的区别、运用(a )2＝a (a ≥0)与a 2＝|a |是二次根式的两个极为重要的性质，是正确地进行二次根式化简、运算的重要依据．(1)正确理解(a )2与a 2的意义学习了二次根式的定义以后，我们知道a ≥0(a ≥0)，即a 是一个非负数，a 是非负数a 的算术平方根，那么(a )2就是非负数a 的算术平方根的平方，但只有当a ≥0时，a 才能有意义．对于a 2，则表示a 2的算术平方根，由于a 2中的被开方数是一个完全平方式，所以a 无论取什么值，a 2总是非负数，即a 2总是有意义的．(2)(a )2与a 2的区别和联系区别：①表示的意义不同．(a )2表示非负实数a 的算术平方根的平方；a 2表示实数a 的平方的算术平方根．②运算的顺序不同．(a )2是先求非负实数a 的算术平方根，然后再进行平方运算；而a 2则是先求实数a 的平方，再求a 2的算术平方根．③取值范围不同．在(a )2中，a 只能取非负实数，即a ≥0；而在a 2中，a 可以取一切实数．④写法不同．在(a )2中，幂指数2在根号的外面；而在a 2中，幂指数2在根号的里面．⑤结果不同．(a )2＝a (a ≥0)，而a 2＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ＞0)，0(a ＝0)，－a (a ＜0).联系：①在运算时，都有平方和开平方的运算．②两式运算的结果都是非负数，即(a )2≥0，a 2≥0. ③仅当a ≥0时，有(a )2＝a 2.如果先做二次根式运算，后做平方运算，只有一种可能；如果先做平方运算，再做二次根式运算，答案需分情况讨论．___________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________【例7－1】已知x ＜2，则化简x 2－4x ＋4的结果是( )． A ．x －2 B ．x ＋2 C ．－x －2 D ．2－x 解析：x 2－4x ＋4＝(x －2)2＝(2－x )2，因为x ＜2,2－x ＞0，所以x 2－4x ＋4＝2－x . 答案：D【例7－2】化简1－6x ＋9x 2－(2x －1)2得( )． A ．－5x B ．2－5x C ．x D ．－x解析：错解正解原式＝(1－3x )2－(2x －1)＝(1－3x )－(2x －1)＝2－5x ，故选B. 由2x －1，知2x －1≥0，得x ≥12，从而有3x －1≥0，所以原式＝(1－3x )2－(2x －1)＝(3x －1)2－(2x －1)＝(3x －1)－(2x －1)＝x .故选C. 错因剖析：本题错在忽视了二次根式成立的隐含条件．题目中2x －1有意义，说明隐含了条件2x －1≥0，即x ≥12，可知3x －1≥0.思路分析：本题主要应用二次根式的性质：(1)a 2＝|a |＝()()0,0.a a a a ≥⎧⎪⎨⎪⎩－＜ (2)(a )2＝a (a ≥0) .正确应用二次根式的性质是解决本题的关键. 答案：C【例7－3】若m 满足关系式3x ＋5y －2－m ＋2x ＋3y －m ＝x －199＋y ·199－x －y ，试确定m 的值．分析：挖掘题目中隐含的算术平方根的两个非负性，并在解题过程中有机地配合应用，是解决本题的关键．解：由算术平方根的被开方数的非负性，得⎩⎪⎨⎪⎧ x －199＋y ≥0，199－x －y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥199，x ＋y ≤199.∴x ＋y ＝199. ∴x －199＋y ·199－x －y ＝0. ∴3x ＋5y －2－m ＋2x ＋3y －m ＝0.再由算术平方根的非负性及两个非负数的和为零，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋5y －2－m ＝0，2x ＋3y －m ＝0.①②由①－②，得x ＋2y ＝2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝199，x ＋2y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝396，y ＝－197.∴m ＝2x ＋3y ＝2×396＋3×(－197)＝201.点拨：(1)运用二次根式的定义得出：x ≥a 且x ≤a ，故有x ＝a ，这是由不等关系推出相等关系的一种十分有效的方法，在前面的解题中已用到．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，b ≥0，a ＋b ＝0推出a ＝b ＝0，这也是求一个方程中含有多个未知数的有效方法之一．。

人教版八年级下册数学二次根式

人教版八年级下册数学二次根式二次根式是指形如$\sqrt{a}$的式子，其中$a\geq 0$。

最简二次根式是指被开方数的因数是整数且因式是整式（分母中不含根号），同时被开方数中含能开得尽方的因数或因式的二次根式。

如果几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，那么这几个二次根式就是同类二次根式。

二次根式有一些性质，比如$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（其中$a\geq 0$，$b\geq 0$），以及$\sqrt{a}=\sqrt{|a|}$（其中$a$为任意实数）。

分母有理化是指将分母中的根号化去，有理化因式则是指两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式。

在解题时，需要掌握二次根式的计算和化简求值，以及二次根式的运算法则，包括加减乘除四则运算和分母有理化。

在选择题中，常考查最简二次根式、同类二次根式的概念，而在中等难度的解答题中，则常考查二次根式的计算和化简求值。

在计算或化简求值时，可以使用因式的外移和内移的方法，将被开方数中的因式移到根号外面或根号里面。

11.当$x=-2$时，代数式$5x^2-3x-1$的值是多少？1.计算：$(3-2)+\frac{1}{3}+4\cos30^\circ-|-12|$。

2.在进行二次根式化简时，有时会遇到如下式子：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，其实我们还可以将其进一步化简：begin{aligned} \frac{\sqrt{5}-1}{2} &= \frac{\sqrt{5}-1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1} \\ &= \frac{5-1}{4} \\ &=\frac{3}{2}-\frac{1}{2} \end{aligned}$$以上这种化简的步骤叫做分母有理化。

还可以用以下方法化简：begin{aligned} \frac{3+1}{\sqrt{2^2\cdot 3^2}} &=\frac{3+1}{2\sqrt{3}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{2\sqrt{3}} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{6} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{6} \end{aligned}$$1) 请用不同的方法化简$\frac{2}{5+\sqrt{3}}$。

初中数学八年级《二次根式》知识点讲解及例题解析

《二次根式》知识讲解及例题解析【学习目标】1、理解二次根式及最简二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论： a ≥0，（a ≥0），（a ≥0），（a ≥0），并利用它们进行计算和化简．【要点梳理】要点一、二次根式的概念一般地，我们把形如(a ≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.要点二、二次根式的性质 1.a ≥0，（a ≥0）； 2.（a ≥0）；3..4.积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即（a ≥0，b ≥0）.5.商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商，即()a a a b a b b b=÷=÷或（a ≥0，b >0）.要点诠释：（1）二次根式(a ≥0)的值是非负数。

一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即2()(0a a a =≥）.（22a 2()a 要注意区别与联系：①a 的取值范围不同，2()a 中a ≥02a a 为任意值。

②a ≥0时，2()a 2a a ；a <0时，2()a 2a a -.要点三、最简二次根式（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1) 被开放数是分数或分式；（2）含有能开方的因数或因式.【典型例题】类型一、二次根式的概念1．当x 是__________时，+在实数范围内有意义？【答案】 x ≥-且x ≠-1【解析】依题意，得由①得：x ≥-由②得：x ≠-1 当x ≥-且x ≠-1时，+在实数范围内有意义.【总结升华】本题综合考查了二次根式和分式的概念.举一反三：【变式】方程480x x y m -+--=，当0y >时，m 的取值范围是（）A ．01m << B.m ≥2 C.2m < D.m ≤2【答案】C.类型二、二次根式的性质2.根据下列条件，求字母x 的取值范围：(1)； (2).【答案与解析】(1)(2)【总结升华】二次根式性质的运用.举一反三：【变式】问题探究：因为，所以，因为，所以请你根据以上规律，结合你的以验化简下列各式：（1）；（2）．【答案】解：（1）==；（2）==．3.我们可以计算出①=2=；=3而且还可以计算=2==3（1）根据计算的结果，可以得到：①当a＞0时=a；②当a＜0时=．（2）应用所得的结论解决：如图，已知a，b在数轴上的位置，化简﹣﹣．【思路点拨】（1）直接利用a 的取值范围化简求出答案；（2）利用a ，b 的取值范围，进而化简二次根式即可．【答案与解析】解：（1）由题意可得：①当a ＞0时=a ；②当a ＜0时=﹣a ；故答案为：a ，﹣a ；（2）如图所示：﹣2＜a ＜﹣1，0＜b ＜1，则﹣﹣=﹣a ﹣b +（a +b ）=0．【总结升华】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及实数与数轴，正确化简二次根式是解题关键．类型三、最简二次根式4 (122389)+++【思路点拨】此类题型为规律题型，应该是在分母有理化的基础上寻找规律. 【答案与解析】原式1(21)1(32)19-8...(12)(21)(23)(32)+9-8⨯-⨯-⨯++-+-（）（89)(）2132...9891 =2【总结升华】找出规律，是这一类型题的特点，要总结此类题型并加以记忆.举一反三： 2323+-a ，小数部分是b ，求22a ab b -+的值.【答案】2(23)(23)=3=7+43(23)(23)-+原式（）又因为整数部分是a ，小数部分是b 则a =13，b =43622221313(436)(436)a ab b ∴-+=-⨯+=3311003-。

人教版数学八年级下册16.1.1二次根式的概念(教案)

其次，在讲解二次根式的性质和运算法则时，我发现学生们在具体应用时仍存在一定的困难。尤其是在乘除运算和化简过程中，对符号的处理不够熟练。针对这一问题，我考虑在下一节课中增加一些典型例题，让学生们通过练习，进一步掌握相关运算技巧。
此外，课堂实践活动中的分组讨论环节，学生们表现得积极主动，能够将所学知识应用于解决实际问题。但在讨论过程中，我也注意到有些学生较为内向，不太愿意表达自己的观点。为了提高这部分学生的参与度，我计划在接下来的教学中，多给予他们鼓励和支持，提高他们的自信心。
2.注重运算技巧的培养，通过典型例题和练习，提高学生们的运算能力。
3.关注学生的个体差异，鼓励内向学生积极参与课堂讨论，提高他们的自信心。
4.加强学生表达能力的培养，提高他们的逻辑思维能力。
在今后的教学中，我将根据今天的反思，不断调整教学方法，以期让每位学生都能更好地掌握二次根式这一知识点。
-二次根式的乘除法运算：掌握二次根式的乘除法运算规则，能够正确进行计算。
-举例：计算√6·√2和√(12/4)，强调运算过程中的符号处理。
-二次根式的化简：学会化简复杂的二次根式，提高解题效率。
-举例：化简√(50/4)为5√2/2，展示化简过程。
2.教学难点
-理解二次根式的非负性质：学生需要理解为何二次根式的被开数必须非负。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾
今天的学习，我们了解了二次根式的定义、性质、应用以及化简方法。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对二次根式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。

二次根式复习专题讲义(补课用)详解

二次根式复习专题讲义一、二次根式的概念：1.二次根式：a ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。

①.式子中，被开方数(式)必须大于等于零。

②.a ≥0）是一个非负数。

③.2＝a （a ≥0）（a ≥0）2.二次根式的乘：①.②. 3.二次根式的除：①. 一般地，对二次根式的除法规定：②. 4. 二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。

典型例题分析：例1. 下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、1xx>0）1x y+x ≥0，y•≥0）．例2.当x+11x+在实数范围内有意义？变式题1：当x在实数范围内有意义？变式题2：①.当x2在实数范围内有意义？例3.①.已知，求xy的值．②.=0，求a2004+b2004的值．③.，求x y的值．例4.计算1．22．（）23．24．（2）2例5. 计算1．2（x≥0）2．23．24．2变式题：计算1.（-）22.例6.在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3例7.化简（2（3（4（1例8.填空：当a≥0时，=_____；当a<0时，=_______，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a可以是什么数？（2，则a可以是什么数？（3，则a可以是什么数？例9.当x>2．例10．先化简再求值：当a=9时，求的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．=a，求a-19952的值．变式题1．若│1995-a│变式题2．若-3≤x≤2时，试化简│x-2│。

（2（3（4）（1a≥0，b≥0）计算即可．分析：（2（3（4例12 .化简（2（3（1（5（4例13 .判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=4（2变式题1：和，•那么此直角三角形斜边长是（）．变式题2：化简a）．．√169×6变式题3变式题5：探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）验证：（2）验证：同理可得：，……通过上述探究你能猜测出：a=_______（a>0）,并验证你的结论．例14．计算：（1（2÷（3÷（4）例15．化简：（1（2（3（4例16．，且x为偶数，求（1+x的值．变式题1.的结果是（）．变式题2.阅读下列运算过程：，化”）．变式题3.已知x=3，y=4，z=5，是_______．变式题4.有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长：1，•现用直径为的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？变式题5.计算（1·（m>0，n>0）（2）（a>0）例17.把它们化成最简二次根式：(1)3; (2)总结：二次根式有如下两个特点：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．例18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．B A C例19.观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：-1，=，，……从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算++（+1）的值．练习：一、选择题1（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（）．y>0） B y>0） C y>0）AD．以上都不对2．把（a-1中根号外的（a-1）移入根号内得（）．C． D．ABA=a2DC4的结果是（）B．C．D．A．二、填空题1．（x≥0）2．化简二次根式号后的结果是_________．三、综合提高题1．已知a 过程，请判断是否正确？若不正确，•请写出正确的解答过程：2．若x 、y 为实数，且y=y x y -的值．例20.计算（1（2总结：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．例21．计算（1）（2））+例22．已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（23+y-（x -5x）的值．练习：一、选择题1中，与是同类二次根式的是（）．A ．①和②B ．②和③C ．①和④D ．③和④ 2．下列各式：①3+3=6；②17=1；③=；④，其中错误的有（）．A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个二、填空题1、、与是同类二次根式的有________．2．计算二次根式5-3-7+9的最后结果是________．三、综合提高题1．已知≈2.236，求（-）-+）的值．（结果精确到0.01） 2．先化简，再求值．（）-（，其中x=32，y=27．例23．如图所示的Rt △ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始沿BA 边以1厘米/•秒的速度向点A 移动；同时，点Q 也从点B 开始沿BC 边以2厘米/秒的速度向点C 移动．问：几秒后△PBQ 的面积为35平方厘米？PQ 的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）BAC QP例23．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m ）？例24．若最简根式3是同类二次根式，求a 、b 的值．（•同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）练习：一、选择题1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（）．（•结果用最简二次根式） A ．BC ．D ．以上都不对2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm 和20cm 的长方形的木框，•为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（）米．（结果同最简二次根式表示）A．． D．二、填空题1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m2，•鱼塘的宽是_______m．（结果用最简二次根式）2．，•那么这简二次根式）三、综合提高题1．若最简二次根式与n是同类二次根式，求m、n的值．2．同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2=（a ±b）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=）2，5=（2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：-1）2=）2-2·1+12+1=3-2反之，∴-1求：（1（2；（3吗？(√3-1)（4，则m 、n 与a 、b 的关系是什么？并说明理由．例25．计算: （1）+（2）（4）÷例26．计算（1））（3-）（2）））例27．已知xba-=2-xa b-，其中a 、b 是实数，且a+b ≠0，练习：一、选择题1．）．AC2（）．A．2 B．3 C．4 D．1二、填空题+）2的计算结果（用最简根式表示）是 1．（-12________．）（）-（）2的计算结果（用最简2．（二次根式表示）是_______．-1，则x2+2x+1=________．3．若4．已知a=3+2，，则a2b-ab2=_________．三、综合提高题12．当+的值．（结果用最简二次根式表示）课外知识1．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，•这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式．练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）．AC2．互为有理化因式：•互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如x+1-与x+1+与也是互为有理化因式．+的有理化因式是________；的有理化因式是_________．_______．3．分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、•分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的．练习：把下列各式的分母有理化（1（2；（3（44．其它材料：如果n是任意正整数，=_____=_______．例28.-1的大小。

专题01 二次根式的概念及性质(知识点串讲)(解析版)

专题01 二次根式的概念及性质知识框架重难突破一、二次根式及代数式的概念1.二次根式的概念：一般地，我们把形如(a ≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．备注：二次根式的两个要素：①必须含有，②被开方数可以是数、字母和代数式，但必须大于等于0. 2.代数式的概念：形如5，a ，a+b ，ab ，，x 3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 例1．（2019·上海市建平中学西校初二月考）下列各式中，一定是二次根式的是（） A 1a +B 1a -C 21a -D 222a a ++【答案】D【解析】A 、被开方数可能为负数，二次根式无意义，故选项错误；B 、被开方数可能为负数，二次根式无意义，故选项错误；C 、被开方数可能为负数，二次根式无意义，故选项错误；D 、正确．故选：D ．练习1．（2019·郑州枫杨外国语学校初二月考）下列式子：7，2x ，1π-，22a b +，100，21a -，1a +( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】B【解析】解：7，22a b +，100，1a +是二次根式，共4个，故选：B ．练习2．（2019·上海市闵行区上虹中学初二月考）下列各式中，一定是二次根式的有（） ①2 ②a ③21a + ④4 ⑤x - A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B【解析】解：①2是二次根式；②a 不是二次根式；③21a +，∵a 2≥0，∴a 2+1＞0，故21a +是二次根式；④4是二次根式；⑤x -不是二次根式. 故选B.例2．（2019·上海初二期末）下列各式中，是代数式的是（）A ．s vt =B ．()2a 10+≥C ．2x x -D ．x 5≠【答案】C【解析】解：A. s vt =式子中包含等号，不是代数式，所以错误；B. ()2a 10+≥式子中包含不等号，不是代数式，所以错误；C. 2x x -式子是由数和字母的乘方、减法运算得到的式子，是代数式，所以正确；D. x 5≠式子中包含不等号，不是代数式，所以错误；故答案选C.练习1．（2019·全国初一课时练习）以下是代数式的是（）A ．m ab =B ．22()()a b a b a b +-=-C ．1a +D ．2S R π= 【答案】C【解析】因为代数式中不含“=”号，所以是代数式的是C ．故选C ．二、二次根式的性质及双重非负性1.二次根式双重非负性：a ≥0，（a ≥0）；2. 二次根式的性质：（1）（a ≥0）；（2）.备注：（1）二次根式(a ≥0)的值是非负数。

人教版八年级数学下册二次根式的概念讲义

二次根式的基本概念解题技巧：1a叫做被开方数2、被开方数a 0)a≥总结：二次根式必须满足两个条件：①含有二次根号、②被开方数0a≥例1、下列哪些是二次根式_____________________0,0) x y≥≥1 x1、下列式子属于二次根式的有_____________________________①3)x≥例2、当下列式子有意义，求x的取值范围（1（2（3（4（5（6（2（3（4（5（1（7（8（6）1总结：要让二次根式有意义，不但要令被开方数≥0，还要考虑________不能为0例3、若x 、y是实数，且13y =，求23x y +的值3、已知|1|0x -=，则x+y 的值为______ 4、已知220a -+=（）______5、若y=++2019，则x+y=______ 6、若2a =，则a ＝_____，b ＝_____7m 是________探究：1 2 3 4 5 6 7 85-x x -5=____例1、计算1 2 3 4=___例2、计算(1)25 = （2） 2)7(-= （3）252）（-= （4）232）（= （5）2193）（= （6）232）（= (7) 2)21(-= (8) 2)14.3(-π=213、在实数范围内分解因式（1）23x - （2）49x - （3）4244m m -+ （4）22x -+例3、已知2x <, ）A 、2x -B 、2x +C 、2x --D 、2x -4、若2<a<3，则()()2223a a ---等于（）A 、52a -B 、12a -C 、25a -D 、21a - 5、若a ＜1，化简2(1)1a --＝（） A 、a ﹣2 B 、2﹣a C 、aD 、﹣a6、若1<x<2，则224421x x x x -++++化简的结果是（） A 、21x - B 、21x -+ C 、3 D 、-37、如果式子2x =-x 成立,那么x 的取值范围为( )A 、x ≥0B 、x ≤0C 、x>0D 、x<0 8、已知a<0，那么│2a －2a │可化简为（）A 、－aB 、aC 、－3aD 、3a总结：先把2a 化为|a|的形式，再拆绝对值例4、如图,实数a ,b 在数轴上的位置,化简222)(b a b a ---.9、实数a在数轴上的位置如图所示：化简：2-+-a a|1|(2)10、如果数轴上表示a、b两个数的点都在原点的左侧，且a在b的左侧，求2a b a b-++的值||()11、已知a、b、c是△ABC的三边，求22a b c a b c的值12、△ABC的三边分别为a、b、c，求()22()b c a c a b-+---的值例5、3在连续的整数_____和______之间例6、52在连续的整数_____和______之间13____和____之间 14____和____之间15、已知a 、b 为两个连续的整数，且a b <<，则a+b=__________16、若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则b a -3的值为_________课后作业1、下列属于二次根式的是（）A B C 1)x ≥ D 2、下列各式中，不属于二次根式的是 ( )(x ≤0)C.D.31aab有意义，则点P （a ，b ）在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限40=，则b 的值为（）A 、0B 、0或2C 、2D 、-25、要使代数式1x -有意义，则x 的取值范围是_________6x 的取值范围是________7 a b ≠0，则点P （a ，b ）在第________象限8、要使下列式子有意义，则x的取值范围是什么？（1）3-x（2（3（4（5）（6）12-xx(7) 9、在实数范围内分解因式：x3－3x10、若x、y都是实数，且4，求xy的值11、已知1＜a＜3，化简：|1|a-43--xx。

二次根式的概念(教学课件)八年级数学下册(人教版)

例1.下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
(1)
பைடு நூலகம்
32;
(2) 6;
(6)
xy x, y异号 ;
2;
(3)
分析：是否含二次根号
否
(7)
是
(4)
a 2 1;
-m m≤0 ； (5)
(8)
3
被开方数是
不是非负数
否
不是二次根式
5;
是
(9)
1
;
5
2 3 .
二次根式
判断下列式子，哪些是二次根式？
11.要画一个面积为18cm2的长方形，使它的长与宽之比为3:2，它的长、宽
各应取多少？
解：设长方形的长、宽分别为3xcm、2xcm，依题意得
3x•2x=18
6x2=18
x2=3
解得 x= 3
答：矩形的长、宽分别为3 3cm、2 3cm.
1
12．先化简，再求值：(
+
−
2
)
2 +
÷
−2
2.使分式
B．①③
C．①②③
+3
有意义的x的取值范围是（

A． ≥ −3
B． ≥ −3且 ≠ 0
D．①②③⑤
B ）
C． ≠ 0
D． > 0
3.使得 x 3 有意义的x值有（ B ）
2
A.0个
B.1个
C.无数个
D.以上都不对
x 1
x 3 有意义的x的取值范围在数轴上表示为（
2.多个二次根式相加如 A B ... N 有意义的条件：
3.二次根式作为分式的分母如

8年级下册数学二次根式课程讲解

8年级下册数学二次根式课程讲解八年级下册数学二次根式课程讲解一、课程概述二次根式是八年级下册数学中的一个重要内容，它涉及到对实数的简化、四则运算以及根式的性质等方面的知识。

通过学习二次根式，学生可以加深对实数域的理解，提高数学运算能力，并为后续学习一元二次方程等知识打下基础。

二、课程目标1. 理解二次根式的概念，掌握根号的书写规则。

2. 掌握二次根式的性质和运算方法，包括简化、合并同类项、加减法、乘除法等。

3. 理解二次根式的应用，能够解决与二次根式相关的实际问题。

三、课程内容1. 二次根式的定义与性质定义：如果一个数的平方等于一个给定的数，则这个数称为给定数的平方根。

例如，4的平方根是±2。

性质：非负实数都有唯一的非负平方根；正实数有两个平方根，一个正数和一个负数；0的平方根是0。

2. 二次根式的运算加减法：同类项的二次根式可以进行加减运算，例如：±√ab（a≥0，b≥0）。

乘除法：二次根式可以与有理数进行乘除运算，例如：√a × √b = √(a×b)，√a / √b = √(a/b)。

3. 二次根式的简化利用二次根式的性质，可以化简复杂的二次根式。

例如：√(ab^2) = b√a （a≥0，b≥0）。

4. 二次根式的应用通过解决实际问题，学生可以加深对二次根式的理解。

例如：求一元二次方程的解、计算面积和体积等。

四、教学建议1. 注重实际应用：通过解决实际问题，让学生更好地理解二次根式的概念和运算方法。

2. 强化运算训练：加强学生的运算能力训练，提高学生的计算速度和准确性。

3. 引导学生自主学习：引导学生自主学习，通过独立思考和合作探究的方式，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

【北京市特级教师同步复习精讲】-人教版八年级数学下册专题讲解+课后训练：二次根式的概念和性质.doc

学科：数学专题：二次根式的概念和性质重难点易错点解析区别)0()(2≥=a a a 和⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a例1题面：判断下列等式是否成立(1)219()= (2)219()=-19()= (4)2()a b =-()a b =- (6)0)().a a =≤ 金题精讲题一题面：求使下列各式有意义的x 的取值范围？（1）2+x －x 23- （2）x -－11+x(3)y = （4）2||12--x x题二题面：（1）若x 、y 为实数，且y ＝2-x ＋x -2＋3．求y x 的值．（2）已知12-a ＋a b 2-＋c b a ++＝0．求a 、b 、c 的值．题三题面：（1）已知a <0，化简二次根式b a 3-的正确结果是（）．A ．ab a --B ．ab a -C ．ab aD ．ab a -（2）把mm 1-根号外的因式移到根号内，得（）． A ．m B ．m - C ．m -- D ．m - 题四题面：已知数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示：化简：||)(||22b b c c a a ---++-的结果是：______．思维拓展题面：若41=+a a (0<a<1)，则aa 1-= ．讲义参考答案重难点易错点解析例1答案：（1）√；（2）×；（3）√；（4）√；（5）×；（6）√．金题精讲题一答案：（1）322x-≤≤；（2）0x≤且1x≠-；（3）0x≥且1x≠．(4)12x≥且2x≠.题二答案：（1）9；（2）13,1,22 a b c===-题三答案：（1）A（2）C 题四答案：0思维拓展答案：。