15随机排队论-15
排队论模型
排队论模型随机服务系统理论是研究由顾客、服务机构及其排队现象所构成的一种排队系统的理论，又称排队论。
排队现象是一种经常遇见的非常熟悉的现象，例如：顾客到自选商场购物、乘客乘电梯上班、汽车通过收费站等。
随机服务系统模型已广泛应用于各种管理系统，如生产管理、库存管理、商业服务、交通运输、银行业务、医疗服务、计算机设计与性能估价，等等。
随机服务系统模拟，如存储系统模拟类似，就是利用计算机对一个客观复杂的随机服务系统的结构和行为进行动态模拟，以获得系统或过程的反映其本质特征的数量指标结果，进而预测、分析或估价该系统的行为效果，为决策者提供决策依据。
排队论模型及其在医院管理中的作用每当某项服务的现有需求超过提供该项服务的现有能力时，排队就会发生。
排队论就是对排队进行数学研究的理论。
在医院系统内，“三长一短”的现象是司空见惯的。
由于病人到达时间的随机性或诊治病人所需时间的随机性，排队几乎是不可避免的。
但如何合理安排医护人员及医疗设备，使病人排队等待的时间尽可能减少，是本文所要介绍的。
一、医院系统的排队过程模型医院是一个复杂的系统，病人在医院中的排队过程也是很复杂的。
如图1中每一个箭头所指的方框都是一个服务机构，都可构成一个排队系统，可见图2。
图1 医院系统的多级排队过程模型二、排队系统的组成和特征一般的排队系统都有三个基本组成部分：1. 输入过程其特征有：顾客源（病人源）的组成是有限的或无限的；顾客单个到来或成批到来；到达的间隔时间是确定的或随机的；顾客的到来是相互独立或有关联的；顾客相继到达的间隔时间分布和所含参数（如期望值、方差等）都与时间无关或有关。
2. 排队规则其特征是对排队等候顾客进行服务的次序有下列规则：先到先服务，后到先服务，有优先权的服务（如医院对于病情严重的患者给予优先治疗，在此不做一般性的讨论），随机服务等；还有具体排队（如在候诊室）和抽象排队（如预约排队）。
排队的列数还分单列和多列。
3. 服务机构其特征有：一个或多个服务员；服务时间也分确定的和随机的；服务时间的分布与时间有关或无关。
排队论
11.排队论11.1基本概念排队现象是指到达服务机构的顾客数量超过服务机构提供服务的容量,也就是说顾客不能够立即得到服务而产生的等待现象。
顾客可以是人,也可以是物,比如说,在银行营业部办理存取款的储户,在汽车修理厂等待修理的车辆,在流水线上等待下一到工序加工的半成品,机场厂上空等待降落的飞机,以及等待服务器处理的网页等,都被认为是顾客。
服务机构可以是个人,像理发员和美容师,也可以是若干人,像医院的手术小组。
服务机构也还可以是包装糖果的机器,机场的跑道,十字路口的红绿灯,以及提供网页查询的服务器等等。
11因为顾客到达,服务时间具有不确定性,排队系统又称随机服务系统,它的基本结构如图1.所示:商业服务理发店,银行柜台,机场办理登机手续的柜台,快餐店的点餐柜台运输行业城市道路的红绿灯,等待降落或起飞的飞机,出租车制造业待修理的机器,待加工的材料,生产流水线社会服务法庭,医疗机构为了描述一个排队系统,我们需要说明输入(到达)和输出(服务)过程,及其他基本特征。
表2.11列举了一些排队系统的到达和服务过程。
表11.2: 排队系统举例)1(到达过程通常,我们假设顾客的相继到达间隔时间是相互独立并且都具有相同概率分布。
在许多实际(Poisson流,或指数分布。
顾客源可能是有限的,也可情况中,顾客的相继到达间隔是服从泊松)能是无限的。
顾客到来方式可能是一个接一个的,也可能是批量的。
比如,到达机场海关的旅行团就是成批顾客。
一般来说,我们假设到达过程不受排队系统中顾客数量的影响。
以银行为例,无论银行内有3位顾客还是300位顾客,顾客来到银行的到达过程是不会受到影响的。
但是在两种情况下到达过程与排队系统中的顾客数量相关。
第一种情况发生在顾客源是有限的系统,比如某工厂共有五台机床,若在维修部中已有两台机床,接下来到达维修部的最大量是三台。
另一种情况是当顾客到达排队系统时,如果服务机构的设施都被占用,顾客可能耐心等待,也可能选择离开。
排队论
(t )n et P( X (t ) n) n!
E ( X (t )) t
e t f T (t ) 0 1 E (T )
for t 0 for t 0
服务时间的概率 = t 1/ : 平均服务时间
在t时间内已经服务n个顾客 的概率 平均服务率=
队列
队列容量
有限/无限 先来先服务（FCFS）；后来先服务； 随机服务； 有优先权的服务；
排队规则
3.服务机构
服务机构
服务设施， 服务渠道与服务台 服务台数量:1台和多台 服务时间分布:
指数, 常数,
排队模型分类－Kendall记号
Kendall 记号: X/Y/Z/ A/B/C 顾客到达时间间隔分布/服务时间分布/服务台数 目/排队系统允许的最大顾客容量/顾客总体数量/ 排队规则 M/M/1///FCFS M/M/1 / M: 指数分布 (Markovian) D: 定长分布 (常数时间) Ek: k级Erlang 分布 GI:一般相互独立的时间间隔分布 G: 普通的概率分布 (任意概率分布)
0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 NUMBER IN SYSTEM 26 28 30 32 34 36 38 40
Probability
74.94% 0.2506 1.2294 1.9788 0.2734 0.4401 0.7494 0.1007
排队模型的记号
系统状态 = 排队系统顾客的数量。 N(t) = 在时间 t 排队系统中顾客的数量。 队列长度 = 等待服务的顾客的数量。 Pn(t) = 在时间t,排队系统中恰好有n个顾客的概率。 s = 服务台的数目。
(完整)排队论
5。
2 排队论排队是日常生活和工作中常见的现象,它由两个方面构成，一是要求得到服务的顾客，二是设法给予服务的服务人员或服务机构（统称为服务员或服务台）,顾客与服务台就构成一个排队系统，或称为随机服务系统。
如图5。
5所示。
图5.5 排队系统结构5.2.1 排队论概述1. 排队论研究的基本问题随机性是排队系统的共同特性，顾客的到达间隔时间与顾客所需的服务时间中,至少有一个具有随机性.排队论研究的首要问题是系统的主要数量指标（如：系统的队长（系统中的顾客数）、顾客的等待时间和逗留时间等）的概率特性，然后进一步研究系统优化问题。
与这两个问题相关联的还有系统的统计推断问题。
1) 性态问题（即数量指标的研究）研究排队系统的性态问题就是通过研究系统的主要数量指标的瞬时性质或统计平衡下的性态来研究排队系统的基本特征.2) 最优化问题排队系统的最优化问题涉及排队系统的设计、控制以及系统有效性的度量，包括系统的最优设计（静态最优）和已有系统的最优运行控制(动态最优），前者是在服务系统设置之前,对未来运行的情况有所估计，确定系统的参数，使设计人员有所依据；后者是对已有的排队系统寻求最优运行策略。
其内容很多，有最小费用问题，服务率的控制问题等。
3) 统计推断问题排队系统的统计推断是通过对正在运行的排队系统多次观测、搜集数据，用数理统计的方法对得到的资料进行加工处理，推断所观测的排队系统的概率规律,建立适当的排队模型。
2. 排队系统的基本组成及特征实际中的排队系统是各种各样的，但从决定排队系统进程的因素看，它由3个基本部分组成：输入过程、排队规则和服务机构。
由于输入过程、排队规则和服务机构的复杂多样性,可以形成各种各样的排队模型，因此在研究一个排队系统之前，有必要弄清楚这3部分的具体内容和结构。
1） 输入过程输入过程是说明顾客来源及顾客是按怎样的规律到达系统.它包括3方面内容:①顾客总体（顾客源）数：它可能是有限的，也可能是无限的。
数学建模.排队论讲解
P1
(m 1)
(m n 1) (m n)
P2
Pn 1
Pn
Pn 1
2
由状态转移图，可以建立系统概率平衡方程如下： P 1 mP 0, Pn 1 (m n 1)Pn 1 [(m n) ]Pn , 1 n m 1 Pm Pm 1 ,
E (T ) 1
n!
e
1.5 排队系统的常用分布
同样，对顾客服务时间常用的概率分布也是负指数分布， 概率密度为： t
f (t ) e
(t 0)
其中 表示单位时间内完成服务的顾客数，也称平均服务率． 3）爱尔朗分布：
(k ) k t k 1 kt 分布密度函数： f k (t ) (k 1)! e (t 0, k , 0)
N k k
模型的各数量指标参数如下： 1）系统里没有顾客的概率 1 1 N 1 P
0
1 1
1 1 N
2.2 系统容量有限的 M / M / 1/N / 模型
n P P0，n N 2）系统里有n个顾客的概率 n
3）在系统里的平均顾客数
3）服务时间的分布——在多数情况下，对每一个顾客的服务 时间是一随机变量，其概率分布有定长分布、负指数分布、 爱尔朗分布等.
1.3 排队系统的符号表示（Kendall符号）
根据不同的输入过程、排队规则和服务台数量，可以形成 不同的排队模型，为方便对模型的描述，通常采用如下的符 号形式：
X /Y / Z / A/ B /C
式中 表示平均到达率与平均服务率 之比，称为服务强度.
2.1 标准的 M / M / 1 模型
排队论
泊松输入中的顾客到达间隔时间 T 相互独立且服从同参数 λ 的负指数分 布，其密度函数为
其平均到达间隔时间为
λ 称为到达率。
三. 排队系统的主要特征
1. 输入过程 ⑴ 定长输入( D, Deterministic ) ⑵泊松输入 (最简单流， M ) ⑶ 一般独立输入( G，General Independent ) —— 指顾客到达间隔时间 T 为相互独立且同分布的随机变量。最简单 流是它的一个特例。 此外，在本章所讨论的排队系统中，总假定输入过程是平稳的，或 称对时间是齐次的。 平稳的输入过程 —— 指顾客到达间隔时间的分布与时间无关。否则就称 为非平稳的。
服务台m
服务台 1
⑸
服务台 2
服务台 1 服务台 2
···
···
服务台 m
服务台 m
三. 排队系统的主要特征
1. 输入过程 2. 服务时间 τ 的分布 3. 服务机构(服务台) 4. 服务规则
⑴ 先到先服务(FCFS) ⑵ 后到先服务(LCFS)
如信息处理、仓库中堆积的货物等。 ⑶ 随机服务(SIRO) ⑷ 优先权服务(PR) ⑸ 一般服务规则(GD)
1909年，由丹麦工程师爱尔朗(A.K.Erlang)在研究电话系统时初创的。
§l 排队论的基本概念及研究的问题
一.排队论中有两个基本概念:
顾客:把提出需求的对象称为顾客(或需求); 服务:把实现服务的设施称为服务机构(或服务台)。
顾客和服务机构组成一个排队系统，称为随机服务系统。 因此也称排队论为随机服务系统理论
⑴ 定长输入( D, Deterministic ) —— 每隔一定时间 α 到达一个顾客，顾客到达间隔时间 T 的分布函数为
三. 排队系统的主要特征
排队论模型
排队论模型随机服务系统理论是研究山顾客、服务机构及其排队现象所构成的一种排队系统的理论，乂称排队论。
排队现象是一种经常遇见的非常熟悉的现象，例如：顾客到自选商场购物、乘客乘电梯上班、汽车通过收费站等。
随机服务系统模型已广泛应用于各种管理系统，如生产管理、库存管理、商业服务、交通运输、银行业务、医疗服务、计算机设讣与性能估价，等等。
随机服务系统模拟，如存储系统模拟类似，就是利用计算机对一个客观复杂的随机服务系统的结构和行为进行动态模拟，以获得系统或过程的反映其本质特征的数量指标结果，进而预测、分析或估价该系统的行为效果，为决策者提供决策依据。
排队论模型及其在医院管理中的作用每当某项服务的现有需求超过提供该项服务的现有能力时，排队就会发生。
排队论就是对排队进行数学研究的理论。
在医院系统内，“三长一短”的现象是司空见惯的。
山于病人到达时间的随机性或诊治病人所需时间的随机性，排队儿乎是不可避免的。
但如何合理安排医护人员及医疗设备，使病人排队等待的时间尽可能减少，是本文所要介绍的。
一.医院系统的排队过程模型医院是一个复杂的系统，病人在医院中的排队过程也是很复朵的。
如图1中每一个箭头所指的方框都是一个服务机构，都可构成一个排队系统，可见图2。
图1医院系统的多级排队过程模型二、排队系统的组成和特征一般的排队系统都有三个基本组成部分：1.输入过程其特征有：顾客源（病人源）的组成是有限的或无限的；顾客单个到来或成批到来；到达的间隔时间是确定的或随机的；顾客的到来是相互独立或有关联的；顾客相继到达的间隔时间分布和所含参数（如期望值、方差等）都与时间无关或有关。
2.排队规则其特征是对排队等候顾客进行服务的次序有下列规则：先到先服务，后到先服务，有优先权的服务（如医院对于病情严重的患者给予优先治疗, 在此不做一般性的讨论），随机服务等；还有具体排队（如在候诊室）和抽象排队（如预约排队）。
排队的列数还分单列和多列。
3.服务机构其特征有：一个或多个服务员；服务时间也分确定的和随机的; 服务时间的分布与时间有关或无关。
排队论简述
0.9 1 2 3 0.3(人 / min) 3
八、M/M/S等待制排队模型
• 下表给出了M/M/3/∞和3个M/M/1/∞的比较：
项目 空闲的概率 顾客必须等待的概率 平均队长 平均排队长 M/M/3/∞ 0.0748 0.57 3.95 1.70 3个M/M/1/∞ 0.25（每个子系统） 0.75 9（整个系统） 2.25（每个子系统）
二、排队系统模型的基本组成部分
• 排队现象是由两个方面构成，一方要求得到服务，另 一方设法给予服务。我们把要求得到服务的人或物（ 设备）统称为顾客，给予服务的服务人员或服务机构 统称为服务员或服务台。顾客与服务台就构成一个排 队系统，或称为随机服务系统。显然缺少顾客或服务 台任何一方都不会形成排队系统。 • 对于任何一个排队服务系统，每一名顾客通过排队服 务系统总要经过如下过程：顾客到达、排队等待、接 受服务和离去，其过程如下图所示: 顾客总体 输入 队 伍 服务台 输出 服务系统
五、描述排队系统的主要数量指标
4.根据排队系统对应的理论模型求用以判断系统运 行优劣的基本数量指标的概率分布或特征数。 平均队长（Ls）:指系统内顾客数（包括正被服务的顾 客与排队等待服务的顾客）的数学期望。 平均队列长（Lq）:指系统内等待服务的顾客数的数学 期望。 平均逗留时间（Ws）:顾客在系统内逗留时间（包括排 队等待的时间和接受服务的时间）的数学期望 平均等待时间（Wq）:指一个顾客在排队系统中排队等 待时间的数学期望间 忙期（Tb）：指服务机构连续繁忙时间（顾客到达空 闲服务机构起，到服务机构再次空闲止的时间）长度 的数学期望
Ls Lq ,
Lq
,
Ws Wq
1
排队理论(queueing theory)
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排队系统模型的基本组成部分
排队系统又称服务系统。服务系统由服务机构和服务对象（顾客）构成。服务对象到来的时 刻和对他服务的时间（即占用服务系统的时间）都是随机的。图 1 为一最简单的排队系统模型。 排队系统包括三个组成部分：输入过程、排队规则和服务机构。
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输入过程
输入过程考察的是顾客到达服务系统的规律。它可以用一定时间内顾客到达数或前后两个顾 客相继到达的间隔时间来描述，一般分为确定型和随机型两种。例如，在生产线上加工的零件按 规定的间隔时间依次到达加工地点，定期运行的班车、班机等都属于确定型输入。随机型的输入 是指在时间 t 内顾客到达数 n（t）服从一定的随机分布。如服从泊松分布,则在时间 t 内到达 n 个顾客的概率为
在单队单服务台的情况下:
, 多队多服务台可看作是多个单队单服务台。在单队 k 个服务台的情况下:
，
三、超市收银台的优化设计
作为顾客来说，超市收银台越多越好越方便，而就超市经营者来说，增加收银台就要增加投 资。所以应该合理的规划收银台的数量，使得既不会因为收银台的数量过多而造成资源闲置浪
费，也不会因为收银台的数量过少而造成严重的排队现象。因此可对超市收银台进行管理和优化 设计。
Ls = Ls(C)
化简得：
(5)
通过计算机模拟依次算出 LS(1),LS(2),LS(3)…相邻两项之差，看常数落在哪两者之间，从而确 定使顾客损失费用和公司服务成本之和达到最优化服务台个数 C 的最优解 C * 。
1.对超市布局进行合理规划，为顾客营造出温馨，简便的购物环境。让顾客在尽量短的时间 内买到自己想买的商品，提高单位时间内进出超市的客流量，这样既节省了顾客的时间，也使超 市增加了顾客的流量，从而使超市的经营效率得到了提高。对于大型的超市在恰当的位置增加导 购员使一种很好的方法。对于第一次来消费的顾客，导购员的指导就会大量的减少他们的漫无目 的的逗留时间。收银台前的管理也是非常重要的，尽量让等待的顾客按顺序排队，避免过分的拥 挤和混乱。
排队论详解及案例
服务顾客总数 到达顾客总数 平均到达率 =
总时间 平均服务率 = 服务顾客总数
服务时间总和
cmLiu@shufe
Operations Research
9.2.2 泊松分布
泊松分布也称为泊松流，在排队论中称为最简单流。
设 N (t )表示在时间区间 [t0,t0 + ∆t) 内到达的顾客数，是随机变量。
其常用的主要衡量指标如下： 1）队长（Ls）：排队系统中顾客的平均数（期望值），它是正在服务的
顾客和等待接受服务的顾客总数的期望值。 2）队列长（Lq）：排队系统中平均等待服务顾客数的期望值。显然有
队长＝排队长＋正被服务的顾客数 3）逗留时间（Ws）：一个顾客从到达排队系统到服务完毕离去的总停留
时间的期望值。
cmliushufeoperationsresearch913排队论研究的基本问题2统计推断问题的研究在建立实际问题的排队系统模型时首先要对现实数据进行收集处理然后分析顾客相继到达的间隔时间是否相互独立确定其分布的类型和相关参数研究服务时间的独立性以及服务时间的分布等在此基础上选择适合该系统的排队模型再用排队模型进行分析和研究
用F (t ) 表示 t 的概率分布函数，则有
∫ ∫ F
(t)
=P {T
≤
t}
t
= 0
µe−µt dt
=−
t 0
d
e − µt
=1 −
e−µt
cmLiu@shufe
Operations Research
9.2.3 负指数分布
负指数分布具有下列性质：
cmLiu@shufe
Operations Research
• 队长有限，即系统的等待空间是有限的； • 等待时间有限，即顾客在系统中的等待时间不超过某一给定的长度T，
排队论
排队论一、引言：日常生活中存在大量有形和无形的排队或拥挤现象，如旅客购票排队，食堂买饭排队，列车调用，计算机进程调用，市内电话占线等现象。
凡是具有公共服务性质的事业和工作，凡是出现拥挤现象的领域，都是排队论的用武之地。
排队论是研究服务系统中排队现象随机规律的学科，广泛应用于计算机网络、生产、运输、库存等各项资源共享的随机服务系统，其目的是正确设计和有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
排队论研究的内容有3个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。
二、排队论的起源与历史：排队论起源于20世纪初的电话通话。
1909年丹麦电话工程师 A.K.埃尔朗：话务理论，导出著名的埃尔朗电话损失率公式，自20世纪初以来，电话系统的设计一直在应用这个公式。
20世纪30年代苏联数学家А.Я.欣钦把处于统计平衡的电话呼叫流称为最简单流，瑞典数学家巴尔姆又引入有限后效流等概念和定义。
20世纪50年代初美国数学家关于生灭过程的研究，英国数学家D.G.肯德尔提出嵌入马尔可夫链理论，以及对排队队型的分类方法， L.塔卡奇等人又将组合方法引进排队论，使它更能适应各种类型的排队问题。
20世纪70年代以来人们开始研究排队网络和复杂排队问题的渐近解等，成为研究现代排队论的新趋势。
三、排队论的定义：排队论(queuing theory), 或称随机服务系统理论, 是通过对服务对象到来及服务时间的统计研究，得出这些数量指标（等待时间、排队长度、忙期长短等）的统计规律，然后根据这些规律来改进服务系统的结构或重新组织被服务对象，使得服务系统既能满足服务对象的需要，又能使机构的费用最经济或某些指标最优。
四、排队系统：（一）、排队系统的构成排队系统又称随机服务系统，是研究服务过程和拥挤现象的随机模型。
服务系统由服务机构和服务对象（顾客）构成，顾客到达系统的时间是随机的，服务员为每一位客户服务的时间也是随机的，所以整个排队系统的状态也是随机的。
管理运筹学 排队论
第十章 排队论
.如果货轮到达时间间隔是随机变量,码头卸货时间也为随 机变量,则构成一个随机服务系统。即便货轮到达时间间 隔的平均时间还为6小时，但每一个间隔时间Xi（i=1、 2……）并不都是6小时，只是指：
n
xi / n 6小时
i 1
同理，平均服务时间为4小时，从而会产生排队或服务空 闲时间。但事先无法确定。
9
第十章 排队论
• 1、输入过程 刻划顾客按怎样的规律到达 服务系统，主要有以下几方面：
• 1）顾客总体（顾客源）数可能是有限的（例 厂内故障设备数）也可能是无限的（到达售票 窗口前的顾客总体）；
• 2）顾客可能是单个到达，也可能是成批到达； • 3）顾客相继到达的间隔时间分布可以是确定
型，也可以是随机型； • 4）顾客的到达可以是相互独立的，即以前的
到达情况对以后顾客的到来没有影响；
10
第十章 排队论
• 5）输入过程可以是平稳的（指描述相继到达的
• 间隔时间分布和所含参数（如 x和 2等）
• 都与时间无关，否则称为非平稳的； • 6）具有不耐烦顾客的输入 • a）弃长队而去 • b）排队太久而去 • c）转队
11
第十章 排队论
• 2、排队规则（到达的顾客按什么样的规则接受服务） • 1）损失制 即服务台一旦占用，顾客随即离去； • 2）等待制 顾客到达后须等待服务，服务次序为： • a）先到先服务 • b）后到先服务 • c）随机服务 • d）有优先权的服务 • 3）混合制（损失制与等待制的混合） • a）队长有限制的情形 • 队长<k，排队;队长>k，离去
• W总= 32W 32 1 32小时
•病人逗留时间和排队超过1小时的概率分别为：
排队论系统仿真
于零，即
dPn (t ) 0, 对一切n 。 dt 因为稳态和时间无关，所以将符号简化，用 Pn 代替 Pn(t)，于是
Pn n 1 n 2 0 P0 n n 1 1
i 0 n i 1
——平均服务率，即单位时间内接受服务的顾客数；
C——并列服务台的个数；
——服务强度。
通常，排队论研究的相关问题可大体分成统计问题和最优化问题两大类。 统计问题是排队系统建模中的一个组成部分，它主要研究对现实数据的处理 问题， 在输入数据的基础上， 首先要研究顾客相继到达的间隔时间是否独立同分
布，如果是独立同分布，还要研究分布类型以及有关参数的确定问题．类似地， 对服务时间也要进行相应的研究。 排队系统的优化问题涉及到系统的设计、控制以及有效性评价等方面的内 容。 排队论本身不是一种最优化方法，它是一种分析工具。常见的系统最优设计 问题是在系统设置之前， 根据已有的顾客输入与服务过程等资料对系统的前景进 行估计或预测，依此确定系统的参数。 系统最优控制问题是根据顾客输入的变化而对现有服务系统进行的适度调 整，即根据系统的实际情形，制定一个合理的控制策略，并据此确定系统运行的 最佳参数。作为一种分析工具，处理排队问题的过程可以概括为以下四步： (1)确定排队问题的各个变量，建立它们之间的相互关系； (2)根据已知的统计数据， 运用适当的统计检验方法以确定相关的概率分布； (3)根据所得到的概率分布，确定整个系统的运行特征； (4)根据服务系统的运行特征，按照一定的目的，改进系统的功能。
P0 (t ) e t
T 小于等于 t 的概率 P（T≤t）表示为 F（t） （累积分布函数） ，有
F (t ) 1 et
排队论论述
1971年，一次关于排队论符号标准化会议， 将kendall符号扩充为：
X /Y /Z / A/B/C
前三项意义不变， A处填写系统容量限制， B处填写顾客源数目， C处填写服务规则
表示相继到达间隔时间和服务时间 的各种分布的符号：
M：负指数分布，（M 是 Markov 的字头，因为负指数分布具有 无记忆性，即：Markov 性） D：确定型（Deterministic）
13
2. 排队规则
③随机服务（RAND） 。即当服务台空闲时， 不按照排队序列而随意指定某个顾客去接受 服务，如电话交换台接通呼叫电话就是一例。
④优先权服务（PR）。如老人、儿童先进车站； 危重病员先就诊；遇到重要数据需要处理计 算机立即中断其他数据的处理等，均属于此 种服务规则。
14
2. 排队规则
在[t,t+Δt]内有一个顾客到达的概率与t无关,而 与Δt成正比。
30
λ>0 是常数，它表示单位时间到达的顾客数，称 为概率强度。
③ 普通性：对充分小的Δt,在时间区间（t,t+Δt） 内有2个或2个以上顾客到达的概率是一高P0+阶P1无+P穷≥2=小1 .
即 Pn (t, t t) o(t) n2
12
2. 排队规则
(2)等待制。指当顾客来到系统时，所有服务台 都不空，顾客加入排队行列等待服务。
例如，排队等待售票，故障设备等待维修等。 等待制中，服务台在选择顾客进行服务时，常有 如下四种规则：
①先到先服务（FCFS ）。按顾客到达的先后顺 序对顾客进行服务，这是最普遍的情形。
②后到先服务（LCFS）。仓库中迭放的钢材， 后迭放上去的都先被领走，就属于这种情况。
数学期望:(离散) E(ξ)=
排队论及其应用
的倒数称为平均到达时间间隔 T ，即
T 1/
21
1.1.1 基本概念
系统的有效到达率e ： 实际能够进入系统并接受服务的到达率，即单位时间内进 入系统的平均顾客数，有
e (1 Pn )
Pn
（1.1）
为阻塞概率（或拒绝概率）。对于非拒绝系统， Pn 0 则
e
1
学习要求
• 重点掌握和理解排队论的基本概念、M/M/m(n)排 队系统的模型分析方法，了解它们在网络中的实际 应用； • 掌握通信网业务量的基本概念，理解、掌握和运用 Erlang B公式和C公式；能够运用这些知识分析和 计算实际网络的性能指标； • 掌握随机接入系统的工作原理及其业务分析方法。
17
1.1.1 基本概念 排队方式：包括混合排队和分别排队两种方式。 混合排队方式：顾客排成一个队列，接受任意一 个空闲窗口的服务。 分别排队方式：顾客排成m个队列，同时分别接 受m个窗口的相同服务。 当m = 1时，在该系统中，如果允许排队，顾客则 只能排成一列队列接受服务。 当m 1时，在该系统中，如果允许排队，则有混 合排队和分别排队两种排队方式。排队方式的选 择取决于两种服务方式。
20
1.1.1 基本概念
m 参数 称为窗口数或服务员数目，表征系统的资源量。它表示系 统中有多少服务设施可同时向顾客提供服务。 参数 顾客到达率或系统到达率，即单位时间内到达系统的平均 顾客数。其单位为个/时间或份/时间。 反映了顾客到达系统的快慢程度，也反映了需要服务的 一方对提供服务的一方的要求。 越大，说明系统的负载越重。
随机过程在排队论中的应用
在我们的日常生活中，常常遇到资源有限而需要按一定规则排队的情况，例如到超市购物付款，买火车票，数据的传输，电路交换等等，资源的有限性以及服务的随机性是排队现象存在的基础，研究这一类问题具有普遍意义。
数学中，通过随机过程分析来研究排队问题的方法论称为排队论，本文就是利用数学的随机过程理论来分析排队问题，讲述最基本的排队模型，标准的M/M/1 模型，分析代表其系统运行情况的指标。
排队系统一般来说是由等待资源的顾客和提供服务的服务员构成，由于顾客的到达与服务完毕的时间是不确定的，所以排队系统存在随机性。
为了既能保证服务质量又不浪费服务资源，人们在随机过程的基础上发展起来了一种数学方法—排队论。
任何排队系统都有三个基本参数，服务员的数目也称窗口数m ，顾客的到达速率λ，系统的服务速率μ。
除此之外，为了很好的描述系统的运行状态，还要研究顾客到达的时间间隔ti ，以及服务时间τi 的统计分布和排队规则。
最常用的方法也是比较合适的方法是认为它们服从指数分布，因为指数分布具有无记忆性，与现实中的一大类情况相似，并且使得排队过程称为马尔可夫过程。
所以要对排列规则做如下的假设：平稳性：到达k 个顾客的概率只和顾客到达的时间间隔t 有关，与起始时刻无关。
无后效性：顾客到达的时刻无相独立疏稀性：在无限小的时间间隔内，到达两个及以上顾客的概率为0，且在有限时间区间内到达的顾客数是有限的。
上面说做的假设，可以保证顾客到达的时间间隔t 为指数分布的随机变量，在现实生活中的排队系统里上述假设也是成立或者近似成立的。
t 的概率密度函数为 a(t)= λe −λt 式中的λ是顾客的到达率。
可以证明在T 时间间隔内，有k 个顾客到达的概率符合泊松分布：P k (T)=(λT)kk ! e −λT由于已经说明两个顾客服务所需的时间是互不相关的，平稳的，疏稀的，则服务时间τ的分布也服从指数分布b(τ)= μe −μτ类似的，在T 时间内，有k 个顾客被服务后离去的概率为Q k (T)=(μT)k k!e −μT 有了这些基础后，下面开始介绍一种基本的排队模型。
上海交大研究生课程随机过程和排队论习题答案
随机过程与排队论课程部分习题答案第一章1－1 解：因为，,)1()1,()1|(>>=>x p x x p x x p 其中， ⎰∞+--==>1)1(λλλe dx e x p x所以，{=>)1|(x x p )1(0--x e λλ 11>≤x x ，[]λλλ11)1|(1|1)1(+==>=>⎰⎰∞+--∞+∞-dx e x dx x x xp x x E x1－3 解：因为，y dx ye y e y Yf y x f y Y x f y y y y 1)(),()|(0=====⎰--,其中，+∞<<<<y yx 00所以，[]31|2022y dx y x y Y x E y =⋅==⎰1－4解：令，{=Y 210迷宫第一次选择左边，走出分钟徊第一次选择左边，但徘第一次选择右边561,31,21210===p p p令N 为耗子徘徊的时间均值；[]27][65][]|[+====∑N E i Y p i Y N E N E i所以，[]N E ＝21。
平均徘徊21分钟1－8解：Y 的概母函数qZ pZZ P -=1)(所以，[]()p q p P Y E 11)1(2'=-==，222][][][p qY E Y E Y Var =-=1－10 证明：（略）1－11 解：a ）N S 的概母函数为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==λλqZ p Z P G Z H 1exp ))(()(N S 的均值：p q S E N λ=][，方差，2)1(][p q qS Var N +=λb ）（1）证明：N S 的概率母函数为))1(exp())(exp()(-=-+=Z p Zp q Z H λλλ所以，N S 是均值为p λ的泊松分布。
（2）)()(),(y S P n N P y S n N P n N =⋅==== yn y n q p y n y n e n --⋅-⋅⋅=λλλ)!(!!!)!(!y n y q p e yn y n -=--λλ 得证（3）!)(),()(),()|(y e p yS n N P y S p y S n NP y S n N P py N N N N λλ-⋅=========()y n y n q e yn q ≥-=--,)!(λλ，证毕1－13 解：)()('x F x f =，且[]θλλθθ+==-K e E f x )(*所有, []λθθθKd df x E =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==0*)(1－15解：[]()22*1)(θθθθ---==e e E f x第二章2－2 解：na a a a a a n p qq p p q p q U ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--=2－5 证明：（略）2－7 证明：（略）2－8 解：)(1t N 时间t 内通过的小车数，)(2t N 时间t 内通过的大车数 a ）950.011)1)((36005.01≈-=-=≥-⨯-e e t N Pb ）[])(67105710)(|)(1辆=+==t N t N Ec ）066.0)5)(45)((12＝，＝=t N t N P2－9解：a ）顾客到达的时间的分布是均匀分布，所以，3/1)20(=p p ＝分钟内到达顾客在开始9/1)202(2=p p ＝分钟内到达个顾客在开始b ）至少有一个顾客在开始20分钟内到达的概率95)1(12=--=p p b2－11解：)1)1(exp())(()(qZ Z Z P G t M --=λ的概母函数：所以，p tP t X tE t M E i λλλ=⋅==)1(][)](['同时， 22)2(][)]([p p q t X tE t M Var +==λλ第三章3－1 解：1）根据定义，此过程为马氏链。
随机服务系统理论排队论
随机服务系统理论排队论
第三，排队系统是由顾客到达过程、服务过程和排队结构组成的。
排
队结构主要包括单通道排队系统、多通道排队系统和并行排队系统等。
单
通道排队系统是指只有一个服务设施，顾客依次等待服务；多通道排队系
统是指有多个并行的服务设施，顾客可以选择一个通道等待服务；而并行
排队系统是指有多个并行的服务设施，顾客可以同时接受多个设施的服务。
通过对排队系统的研究，可以分析系统的繁忙程度、排队长度和等待时间
等指标，为系统的设计和管理提供依据。
最后，排队系统的性能评估和优化是排队论研究的核心任务。
性能评
估主要包括系统的平均等待时间、平均服务时间、系统繁忙度等指标；而
优化问题主要包括如何设计系统的排队结构、如何分配资源和如何调整服
务策略等。
通过对性能评估和优化的研究，可以提高系统的服务能力和服
务质量，提高顾客满意度和系统的效益。
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排队论主要指标的概率特性
②排队系统的统计推断。 为了解和掌握一个正在运行的排队系统的规律， 就需要通过多次观测、收集数据，然后用数理统计 的方法进行加工处理，推断所观测的排队系统的概 率规律，从而应用相应的理论成果来研究和解决该 排队系统的有关问题。排队系统的统计推断是已有 理论成果应用实际系统的基础工作，结合排队系统 的特点，发展这类特殊随机过程的统计推断方法是 非常必要的。
Pn(t):t时间内到达n 个顾客的概率。
R= ：单位时间内平均到达的顾客数。 ：平均服务率即单位时间内平均被服务完的顾客数。
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随机排队模型
随机服务系统
排队论(queueing theory), 或称随机服务系统 理论, 是通过对服务对象到来及服务时间的统计研究， 得出这些数量指标（等待时间、排队长度、忙期长 短等）的统计规律，然后根据这些规律来改进服务 系统的结构或重新组织被服务对象。 简单地说就是通过研究各种服务系统等待现象 中的概率特征，从而解决服务系统最优设计与最优 控制的一种理论.
随机服务系统模型分类
1. 2. 3. 4. 等待制排队模型 损失制排队模型 混合制排队模型 闭合式排队模型
符号说明
Ls:队长指系统中顾客数的期望值。
Lq:排队长指在系统中排队等待服务顾客数的期望值。 Ws:逗留时间指一个顾客在系统中停留时间的期望值。 Wq:等待时间指一个顾客在系统中排队时间的期望值。 Tb:忙期指服务机构连续工作的时间长度。
随机服务系统
排队论应用范围极广，在通讯问题、公共服务 问题、救护公安系统、存量问题、生产线问题、 计算机配置问题和交通问题皆有应用，有时一个 排队问题里顾客与服务台的关系也并非固定的， 甚至可以相互颠倒，例如出租汽车排队等待顾客， 而有时也是顾客排队等车子，汽车驾驶员和乘客 都关于自己的等待时间而互相以对方为服务台。 何者为顾客，何者为服务台通常是视问题侧重面 或者解决问题的方便与否来决定，排队论是可以 灵活加以运用的。
顾客到商店购物形成的排队；
病人到医院看病形成的排队； 往售票处购票形成的排队等； 另一种排队是物的排队，如文件等待打印或发送； 路口红灯下面的汽车、自行车通过十字路口。
例1. 维修中心的随机排队
某维修中心在周末现只安排一名员工为顾客提 供服务。新来维修的顾客到达是随机的，到达后若 已有顾客正在接受服务，则需要排队等待。若排队 的人数过多，势必会造成顾客抱怨，会影响到公司 产品的销售；若多安排维修人员，会增加维修中心 的支出。 如何调整两者的关系，使得兼顾到双方的利益 使排队系统达到最优.
随机服务系统
排队论起源于20世纪初的电话通话。1909— 1920年丹麦数学家、电气工程师爱尔朗 （A.K.Erlang）用概率论方法研究电话通话问题， 从而开创了这门应用数学学科，并为这门学科建 立许多基本原则。他在热力学统计平衡理论的启 发下，成功地建立了电话统计平衡模型，并由此 得到一组递推状态方程，从而导出著名的埃尔朗 电话损失率公式。
顾客的平均等待时间(通常记为Wq)是指从顾客进入系 统的时刻起直到开始接受服务止的平均时间。平均逗 留时间(通常记为Ws)是指顾客在系统中的平均等待时 间与平均服务时间之和。平均等待时间与平均服务时 间是顾客最关心的数量指标.
4. 描述排队系统的主要数量指标
• 系统的忙期与闲期
从顾客到达空闲的系统，服务立即开始，直到系统再 次变为空闲，这段时间是系统连续繁忙的时间Tb，我们 称为系统的忙期，它反映了系统中服务机构的工作强度， 是衡量服务机构利用效率的指标，即
顾客总体 输入 队 伍 服务台 输出 服务系统
2. 排队服务系统的基本概念
输入过程是描述顾客来源及顾客是按怎样的规律抵达排队系统
顾客源总体：顾客的来源可能是有限的n，也 可能是无限的
输 入 过 程
到达的类型：顾客是单个到达，或是成批到达 相继顾客到达的间隔时间：通常假定是相互独 立、同分布的，有的是等距间隔时间，有的是 服从泊松Poisson分布，有的是服从k阶爱尔朗 Erlang分布，有的是服从负指数分布。
4. 描述排队系统的主要数量指标
• 队长LS与等待队长Lq
队长(通常记为LS)是指在系统中的顾客的平均数(包括 正在接受服务的顾客),而等待队长(通常记为Lq)是指 系统中排队等待的顾客的平均数，它们是顾客和服务 机构双方都十分关心的数量指标。显然队长等于等待 队长加上正在被服务的顾客数.
• 顾客的平均等待时间Wq与平均逗留时间Ws
泊松分布
当满足以下三个条件时，称顾客的到达形成泊松分布流
1. 无后效性：在不相交的时间区间内顾客到达数是相互独立的。
2. 平稳性：对于充分小的时间间隔 [t , t t ] 内有1个顾客到 达的概率只与时间段的长度有关，而与起始时刻 t 无关。且 其中 0 为单位时间内有一个顾客达到的概率，称为概率 强度。 P1 ( t , t t ) t o( t ) 3. 普通性：对于充分小的 t ，在时间间隔 [t , t t ] 内有
排队论主要指标的概率特性
排队论主要研究描述系统的一些主要指标的概率特 性，分为三大部分：
①排队系统的性态问题。 研究排队系统的性态问题就是研究各种排队系 统的概率规律，主要包括系统的队长、顾客的等待 时间和逗留时间以及忙期等的概率分布，包括它们 的瞬时性质和统计平衡下的状态。排队系统的性态 问题是排队论研究的核心，是排队系统的统计推断 和最优化问题的基础。从应用方面考虑，统计平衡 下的各个指标的概率性质尤其重要。
随机服务系统
20世纪30年代中期，当费勒(W.Feller)引进了 生灭过程时，排队论才被数学界承认为一门重要 的学科。在第二次世界大战期间和第二次世界大 战以后，排队论在运筹学这个新领域中变成了一 个重要的内容。20世纪50年代初，肯达尔 (D.G.Kendall)对排队论作了系统的研究，他用嵌 入马尔柯夫(A.A.Markov)链方法研究排队论，使 排队论得到了进一步的发展。是他首先（1951年） 用3个字母组成的符号A/B/C表示排队系统。其中 A表示顾客到达时间分布，B表示服务时间的分布， C表示服务机构中的服务台的个数。
排队论主要指标的概率特性
③排队系统的最优化问题
排队系统的最优化包括系统的最优设计 （静态最优）和已有系统的最优运行控制（动 态最优），前者是在服务系统设置之前，对未 来运行的情况有所估计，使设计人员见的现象，例如： 上下班坐公共汽车的排队；
v 记K个顾客到达系统的时间间隔序列为： 1 , v 2 , , v k （为相互独立的随机变量）同服从于参数为 k
的负指数分布，则称随机变量
T vi
i 1 k
爱尔朗分布
服从于k阶爱尔朗分布。
2. 排队服务系统的基本概念
排队规则是指服务允许不允许排队，顾客是否愿意排队
排 队 规 则
损失制排队系统：顾客到达时,若有服务台均被占,服 务机构又不允许顾客等待, 此时该顾客就自动辞去。 等待制排队系统：顾客到达时．若所有服务台均被占， 他们就排队等待服务。在等待制系统中,服务顺序又分 为：先到先服务,即顾客按到达的先后顺序接受服务； 后到先服务 ，如气象信息等。 混合制排队系统：损失制与等待制的混合，分为队 长(容量)有限的混合制系统，等待时间有限的混合制 系统，以及逗留时间有限制的混合系统.
2. 排队服务系统的基本概念
服 务 机 构
服务台的数目及结构: 在多个服务台的情形下， 是串联或是并联；
顾客所需的服务时间：服从什么样的概率分布， 每个顾客所需的服务时间是否相互独立，是成 批服务或是单个服务等。常见顾客的服务时间 分布有：定长分布、负指数分布、超指数分布、 k阶Erlang分布、几何分布、一般分布等.
服务机构 工作强度
服务设施总的服务时间
用于服务顾客的时间
1 服务设施总的服务时间
用于服务顾客的时间
与忙期对应的是系统的闲期，即系统连续保持空闲的时 间长度.
5. Little（利特尔）公式
用 λ 表示单位时间内顾客到达的平均数,μ表示单位时间内 被服务完毕离去的平均顾客数，因此1/ λ表示相邻两顾客到 达的平均时间，1/ μ表示对每个顾客的平均服务时间. J. D. C. Little给出了如下公式：
3.符号表示
排队论模型的记号是20世纪50年代初由D. G. Kendall (肯
达尔)引入的，通常由3～5个英文字母组成，其形式为
A/ B / C / n
其中A表示到达时间分布，B表示服务时间分布，C表示服 务台数目，n表示系统容量限制。例如: (1) M/M/S/∞ 表示输入过程是Poisson流, 服务时间服从负 指数分布, 系统有S个服务台平行服务, 系统容量为无穷的 等待制排队系统. (2) M/G/1/ ∞表示输入过程是Poisson流，顾客所需的服务 时间为独立、服从一般概率分布，系统中只有一个服务 台，容量为无穷的等待制系统.
有2个或2个以上顾客的概率极小，可以忽略不计。 ( t ) n t 一般地长为t的时间段内到达n 个顾客的概率： Pn ( t ) n! e
负指数分布
当顾客流为泊松流时，用T表示两个相继到达顾客 的时间间隔，其服从负指数分布，与概率强度为 的泊松流等价。在排队模型的记号中都用M表示。
3. 符号表示
(3)GI/M/1/∞表示输入过程为顾客独立到达且相继到达的间 隔时间服从一般概率分布，服务时间是相互独立、服从负指 数分布，系统中只有一个服务台，容量为无穷的等待制系统 (4) Ek/G/1/K表示相继到达的间隔时间独立、服从k阶Erlang 分布，服务时间为独立、服从一般概率分布，系统中只有一 个服务台，容量为K的混合制系统. (5) D/M/S/K表示相继到达的间隔时间独立、服从定长分布、 服务时间相互独立、服从负指数分布，系统中有S个服务台 平行服务，容量为K的混合制系统.