2018高考数学科【全国通用】大一轮复习2017高考试题汇编 第四章 三角函数
2018高考数学(理)(全国通用)大一轮复习2017高考试题汇编 第四章 三角函数 Word版含解析
第四章 三角函数第一节 三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式题型42 终边相同的角的集合的表示与识别——暂无 题型43 倍角、等分角的象限问题——暂无 题型44 弧长与扇形面积公式的计算——暂无 题型45 三角函数定义题——暂无 题型46 三角函数线及其应用——暂无题型47 象限符号与坐标轴角的三角函数值——暂无 题型48 诱导求值与变形——暂无题型49 同角求值——已知角与目标角相同——暂无第二节 三角函数的图像与性质题型50 已知解析式确定函数性质1.【2017全国3理6】设函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列结论错误的是【 】. A 、()f x 的一个周期为2-πB 、()y f x =的图像关于直线83x π=对称 C 、()f x +π的一个零点为6x π=D 、()f x 在上π,2⎛⎫π⎪⎝⎭单调递减 解析 函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像可由cos y x =向左平移π3个单位长度得到，由图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，所以D 选项错误.故选D.π题型51 根据条件确定解析式1.【2017天津理7】设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若528f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，08f 11π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则【 】.A.23ω=，12ϕπ= B.23ω=，12ϕ11π=- C.13ω=，24ϕ11π=- D.13ω=，24ϕ7π= 解析 解法一：由题意125π282118k k ωϕωϕπ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以()2142233k k ω=--.又22T ωπ=>π，所以01ω<<，从而23ω=.由11212k ϕ=π+π，由ϕ<π，得π12ϕ=.故选A 、解法二：由528f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，08f 11π⎛⎫= ⎪⎝⎭，易知58x π=为()()2sin f x x ωϕ=+的一条对称轴，点11,08π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 的一个零点，则()11521884T k ππ-=+⨯，又因为2T ωπ= ，即()221=3k ω+.又0ω>，且()f x 的最小正周期大于2π，所以2=3ω，从而52+2832k ϕππ⨯=π+，又ϕ<π，所以=12ϕπ.故选A. 2.(2017浙江理18)已知函数()()22sin cos cos f x x x x x x =--∈R . 【1】求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； 【2】求()f x 的最小正周期及单调递增区间.解析 【1】由2sin 3π=21cos 32π=-，得222112322f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【2】由22cos 2cos sin x x x=-，sin 22sin cos x x x=，得()cos 222sin 26f x x x x π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期是2π2T ==π. 由正弦函数的性质得3222,262k x k k πππ+π++π∈Z 剟，解得2,63k x k k ππ+π+π∈Z 剟. 所以()f x 的单调递增区间是2,63k k k ππ⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ，.题型52 三角函数的值域【最值)——暂无 题型53 三角函数图像变换1.【2017全国1理9】已知曲线1cos C y x =：，22πsin 23C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭：， 则下面结论正确的是【 】.A.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C解析 1:cos C y x =，22π:sin 23⎛⎫=+⎪⎝⎭C y x . 首先曲线1C ，2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理、πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x 、横坐标变换需将1=ω变成2=ω，即112πππsin sin 2sin 2224C y x y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+→=+=+→⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭上各坐短到原的倍点横标缩来2ππsin 2sin 233y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、注意ω的系数，左右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π3+x ， 根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π12、故选D. 2.【2017山东理1】设函数()sin sin 62f x x x ωωππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中03ω<<.已知06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. 【1】求ω；【2】将函数()y f x =的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍【纵坐标不变】，再将得到的图像向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图像，求()g x 在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值. 解析 【1】因为()sin sin 62f x x x ωωππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()1cos cos 2f x x x x ωωω=--3cos 2x x ωω=-1sin 2x x ωω⎫==⎪⎪⎭sin 3x ωπ⎫-⎪⎭.由题设知06f π⎛⎫=⎪⎝⎭，所以63k ωππ-=π，k ∈Z . 故62k ω=+，k ∈Z ，又03ω<<，所以2ω=.【2】由【1】得()23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以()4312g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为3,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2,1233x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当123x ππ-=-，即4x π=-时，()g x 取得最小值32-.第三节 三角恒等变换题型54 化简求值1.【17江苏05】若π1tan 46α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α= 、 解析 解法一【角的关系】：tan tan 44ααππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭7tan 1746551tan 64ααπ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭===π⎛⎫-- ⎪⎝⎭、故填75、解法二【直接化简】：πtan 11tan 41tan 6ααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，所以7tan 5α=、故填75、 2.(2017北京理12)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，()cos αβ-=___________. 解析 由题作出图形，如图所示，1sin 3α=，则cos α=，由于α与β关于y 轴对称，则()1sin sin 3βα=π-=，cos β=，故()117cos 33339αβ⎛-=-+⨯=- ⎝⎭.3.【2017全国2理14】函数()23s i n c o s 0,42f x x x x ⎛π⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是 、解析 ()2233πsin 1cos 0442f x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=-=--∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，，令c o s x t =且[]01t ∈，，214y t =-++21t ⎛=-+ ⎝⎭，当t =，即6x π=时，()f x 取最大值为1、4.(2017浙江理18)已知函数()()22sin cos cos f x x x x x x =--∈R . 【1】求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； 【2】求()f x 的最小正周期及单调递增区间.解析 【1】由2sin 3π=21cos 32π=-，得222112322f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【2】由22cos 2cos sin x x x=-，sin 22sin cos x x x=，得()c o 23s i n 22s i n 26fxx x x π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期是2π2T ==π. 由正弦函数的性质得3222,262k x k k πππ+π++π∈Z 剟，解得2,63k x k k ππ+π+π∈Z 剟. 所以()f x 的单调递增区间是2,63k k k ππ⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ，.第四节 解三角形题型55 正弦定理的应用1.【2017天津理15】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =. 【1】求b 和sin A 的值； 【2】求πsin 24A ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 解析 【1】在ABC △中，因为a b >，故由3sin 5B =，可得4cos 5B =.由已知及余弦定理，得2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b =由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin a B A b ==.【2】由【Ⅰ】及a c <，得cos 13A =，所以12sin 22sin cos 13A A A ==，25cos 212sin 13A A =-=-，故πππsin 2sin 2cos cos 2sin 44426A A A ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭. 2.【2017山东理9】在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 、若ABC △为锐角三角形，且满足()sin 12cos 2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是【 】.A.2a b =B.2b a =C.2A B =D.2B A = 解析因为s i n ()2s i n c o s 2s i A C B C A C A C++=+，所以2sin cos sin cos B C A C =，又02C π<<，得2sin sin B A =，即2b a =.故选A.题型56 余弦定理的应用题型57 判断三角形的形状——暂无 题型58 解三角形的综合应用1.【2017江苏18】如图所示，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm 、分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm 、 现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm 【容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计】.【1】将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度；【2】将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度、ACA 11容器ⅠE G 1H 1容器Ⅱ解析 【1】由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥、记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处，如图所示为截面11A ACC的平面图形、因为AC =40AM =，所以30MC ==，从而3sin 4MAC ∠=.记AM 与水面的交点为1P ， 过点1P 作11PQ AC ⊥，1Q 为垂足，则11PQ ⊥平面ABCD ，故1112PQ =，从而11116sin PQ AP MAC==∠、答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm 、问(1)AC 1A 1CMP 1Q 1【2】如图所示为截面11E EGG 的平面图形，O ，1O 是正棱台两底面的中心、由正棱台的定义，1OO ⊥平面EFGH ， 所以平面11E EGG ⊥平面EFGH ，1O O EG ⊥、 同理，平面11E EGG ⊥平面1111E FG H ，111O O E G ⊥、 记玻璃棒的另一端落在1GG 上点N 处、过G 作11GK E G ⊥，K 为垂足，则132GK OO ==、因为 14EG =，1162E G =，所以16214242KG -==，从而1GG =40==、设1EGG α∠=，ENG β∠=，则114sin sin cos 25KGG KGG απ⎛⎫=+==⎪⎝⎭∠∠、因为2απ<<π，所以3cos 5α=-、 在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=、 因为02βπ<<，所以24cos 25β=， 于是()()sin sin sin =NEG αβαβ=π--=+∠sin cos cos sin αβαβ+4243735255255⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭、记EN 与水面的交点为2P ，过2P 作22PQ EG ⊥，2Q 为垂足，则22PQ ⊥平面EFGH ， 故2212PQ =，从而22220sin P Q EP NEG==∠、答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm 、问(2)G O E Q 2P 2NG 1KE 1O 1评注 此题本质上考查解三角形的知识，但在这样的大背景下构造的应用题让学生有畏惧之感，且该应用题的实际应用性也不强、也有学生第【1】问采用相似法解决，解法如下：AC =40AM =，所以30CM ==，1112PQ =，所以由11AP A Q CM △△∽，111PQ AP CM AM =，即1123040AP =，解得116AP =、 答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm 、 2.(2017北京理15)在ABC △中，60A ∠=，37c a =. 【1】求sin C 的值；【2】若7a =，求ABC △的面积.解析 【1】在ABC △中，因为60A ∠=，37c a =，所以由正弦定理得sin 3sin 7214c A C a ==⨯=. 【2】因为7a =，所以3737c =⨯=.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222173232b b =+-⨯⨯，解得8b =或5b =-【舍】.所以ABC △的面积11sin 8322S bc A ==⨯⨯=. 3.【2017全国1理17】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC△的面积为23sin a A.【1】求sin sin B C 的值；【2】若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长.分析 本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.解析 【1】因为ABC △的面积23sin a S A =且1sin 2S bc A =，所以21sin 3sin 2a bc A A =，即223sin 2a bc A =.由正弦定理得223sin sin sin sin 2A B C A =，由sin 0A ≠，得2sin sin 3B C =. 【2】由【1】得2sin sin 3B C =，又1cos cos 6B C =，因为πA B C ++=， 所以()()1cos cos πcos sin sinC cos cos 2A B C B C B B C =--=-+=-=.又因为()0πA ∈，，所以60A =，sin A =，1cos 2A =.由余弦定理得2229a b c bc =+-= ①由正弦定理得sin sin a b B A =⋅，sin sin a c C A =⋅，所以22sin sin 8sin a bc B C A=⋅= ②由①，②，得b c +=3a b c ++=ABC △周长为3+4.【2017全国2理17】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2BA C +=、 (1)求cosB ;(2)若6a c +=，ABC △的面积为2，求.b解析 【1】依题得21cos sin 8sin84(1cos )22B B B B -==⋅=-、 因为22sin cos 1B B +=，所以2216(1cos )cos 1B B -+=，所以(17cos 15)(cos 1)0B B --=，得cos 1B =【舍去】或15cos 17B =. 【2】由⑴可知8sin 17B =，因为2ABC S =△，所以1sin 22ac B ⋅=，即182217ac ⋅=，得172ac =.因为15cos 17B =，所以22215217a cb ac +-=，即22215a c b +-=，从而22()215a c ac b +--=，即2361715b --=，解得2b =、5.【2017全国3理17】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知s i n c o s 0A A =，a =2b =、【1】求c ；【2】设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积、解析 【1】由sin 0A A +=，得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈，所以ππ3A +=，得2π3A =.由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅.又因为12,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，解得4c =.【2】因为2,4AC BC AB ===，由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-==因为AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，则cos AC CD C =⋅，得CD =从而点D 为BC的中点，111sin 222ABD ABC S S AB AC A ==⨯⨯⨯⨯=△6.(2017浙江理14)已知ABC △，4AB AC ==，2BC =. 点D 为AB 延长线上的一点，2BD =，联结CD ，则BDC △的面积是___________，cos BDC ∠=__________.解析 如图所示，取BC 的中点为O ，在等腰ABC △中，AO OB ⊥，所以AO =sin sin CBDOBA?? 所以BDC △的面积为1sin 2BC BD OBA 创葱=、因为2B C B D ==，所以BDC△是等腰三角形，所以2πC B D B D C??，21cos cos(π2)12cos 4CBDBDC BDC?-?-?-，解得cos 4BDC ?、ODC BA。
高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形第3讲两角和与差的正弦余弦和正切公式
(教材习题改编)已知
cos
α＝－35，α
是第三象限角，则
π cos(4
＋α)为( )
A．
2 10
C．7102
B．－
2 10
D．－7102
解析：选 A.因为 cos α＝－35，α 是第三象限的角， 所以 sin α＝－ 1－cos2α＝－ 1－（－35）2＝－45， 所以 cos(π4＋α)＝cos π4cos α－sin π4sin α＝ 22·(－35)－ 22·(－45) ＝ 102.
又 sin2α＋cos2α＝1，所以 sin α＝255，cos α＝ 55，则 cosα－π4
＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝ 55× 22＋255× 22＝31010.
答案：3
10 10
三角函数公式的直接应用
(1)已知 α∈π2，π，sin α＝153，则 tanα＋π4＝(
2．若 α＋β＝34π，则(1－tan α)(1－tan β)的值是________． 解析：－1＝tan34π＝tan(α＋β)＝1t－antaαn＋αttaannββ， 所以 tan αtan β－1＝tan α＋tan β. 所以 1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2， 即(1－tan α)(1－tan β)＝2. 答案：2
三角函数公式的活用 (高频考点) 三角函数公式的活用是高考的热点，高考多以选择题或填空题 的形式出现，研究三角函数的性质和解三角形常应用三角函数 公式．主要命题角度有： (1)两角和与差公式的逆用及变形应用； (2)二倍角公式的活用．
角度一 两角和与差公式的逆用及变形应用
(1)已知 sin α＋cos α＝13，则 sin2(π4－α)＝(
2018版高考数学一轮复习 第四章 三角函数与解三角形 4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
2018版高考数学一轮复习 第四章 三角函数与解三角形 4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式真题演练集训 理 新人教A 版1．[2015·新课标全国卷Ⅰ]sin 20°cos 10°－cos 160°·sin 10°＝( )A ．－32 B.32 C ．－12 D.12答案：D解析：sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°·cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D. 2．[2016·四川卷]cos 2π8－sin 2π8＝________. 答案：22 解析：由二倍角公式，得cos 2 π8－sin 2 π8＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×π8＝22. 3．[2015·四川卷]sin 15°＋sin 75°的值是________． 答案：62解析：sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 15°＋22cos 15° ＝2(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°)＝2sin 60°＝2×32＝62. 4．[2015·江苏卷]已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________． 答案：3解析：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝α＋β－tan α1＋α＋βα＝17－－1＋17－＝3.课外拓展阅读三角恒等变换的综合问题1．三角恒等变换与三角函数性质的综合应用利用三角恒等变换先将三角函数式转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再求其周期、单调区间、最值等，一直是高考的热点．[典例1] [改编题]已知函数f (x )＝2sin ωx －4sin 2ωx 2＋2＋a (其中ω>0，α∈R )，且f (x )的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为2.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在区间[6,16]上的最大值为4，求a 的值．[解] (1)f (x )＝2sin ωx －4sin 2ωx 2＋2＋a ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＋a ， 由题意，知2ω＋π4＝π2，得ω＝π8. 所以最小正周期T ＝2πω＝16. (2)f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4＋a ， 因为x ∈[6,16]，所以π8x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，9π4. 由图象可知(图略)，当π8x ＋π4＝9π4， 即当x ＝16时， f (x )的最大值，由22sin 9π4＋a ＝4，得a ＝2. 2．三角恒等变换与三角形的综合三角恒等变换经常出现在解三角形中，与正弦定理、余弦定理相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等，是高考热点内容．根据所给条件解三角形时，主要有两种途径：(1)利用正弦定理把边的关系化成角，因为三个角之和等于π，可以根据此关系把未知量减少，再用三角恒等变换化简求解；(2)利用正弦、余弦定理把边的关系化成角的关系，再用三角恒等变换化简求解．[典例2] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2＋b 2＋2ab ＝c 2.(1)求C ；(2)设cos A cos B ＝325，α＋A α＋B cos 2α＝25，求tan α的值．[解] (1)因为a 2＋b 2＋2ab ＝c 2， 由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－2ab 2ab ＝－22.故C ＝3π4. (2)由题意，得 αsin A －cos αcos A αsin B －cos αcos Bcos 2α＝25， 因此(tan αsin A －cos A )(tan αsin B －cos B )＝25， tan 2αsin A sin B －tan α(sin A cos B ＋cos A sin B )＋cos A cos B ＝25， tan 2αsin A sin B －tan αsin(A ＋B )＋cos A cos B ＝25.① 因为C ＝3π4，A ＋B ＝π4， 所以sin(A ＋B )＝22. 因为cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ，即325－sin A sin B ＝22， 解得sin A sin B ＝325－22＝210. 由①得tan 2α－5tan α＋4＝0，解得tan α＝1或tan α＝4.3．三角恒等变换与向量的综合三角恒等变换与向量的综合问题是高考中经常出现的问题，一般以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，往往是两向量平行或垂直的计算，即令a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，a ∥b ⇔x 1y 2＝x 2y 1，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0，把向量形式化为坐标运算后，接下来的运算仍然是三角函数的恒等变换以及三角函数、解三角形等知识的运用．[典例3] 已知△ABC 为锐角三角形，若向量p ＝(2－2sin A ，cos A ＋sin A )与向量q ＝(sin A －cos A,1＋sin A )，是共线向量．(1)求角A ；(2)求函数y ＝2sin 2B ＋cos C －3B2的最大值． [思路分析] (1)向量共线→三角函数式――→化简得sin 2A 的值→得锐角A (2)化函数为A ωx ＋φ＋b 的形式→根据B 的范围求最值 [解] (1)因为p ，q 共线，所以(2－2sin A )(1＋sin A )＝(cos A ＋sin A )(sin A －cos A )，则sin 2A ＝34. 又A 为锐角，所以sin A ＝32，则A ＝π3. (2)y ＝2sin 2B ＋cos C －3B2＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3－B －3B 2＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2B ＝1－cos 2B ＋12cos 2B ＋32sin 2B ＝32sin 2B －12cos 2B ＋1 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6＋1. 因为B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以2B －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6， 所以当2B －π6＝π2时，函数y 取得最大值， 解得B ＝π3，y max ＝2.。
2018版高考数学理一轮复习文档：第四章 三角函数、解
1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示：3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象的步骤如下：【知识拓展】1．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π，k ∈Z确定其横坐标．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象是由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象向右平移π2个单位得到的．( √ ) (2)将函数y ＝sin ωx 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y ＝sin(ωx －φ)的图象．( × )(3)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．( × )(4)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝2πω.( × )(5)把y ＝sin x 的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin 12x .( × )(6)若函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，则函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( √ )1．(教材改编)y ＝2sin(12x －π3)的振幅，频率和初相分别为( )A ．2,4π，π3B ．2，14π，π3C ．2，14π，－π3D ．2,4π，－π3答案 C解析 由题意知A ＝2，f ＝1T ＝ω2π＝14π，初相为－π3.2．(2015·山东)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位答案 B解析 ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x －π12， ∴要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位． 3．(2016·青岛模拟)将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( ) A ．y ＝sin(2x －π10)B ．y ＝sin(2x －π5)C ．y ＝sin(12x －π10)D ．y ＝sin(12x －π20)答案 C解析 y ＝sin x π10−−−−−→右移个单位 y ＝sin(x －π10)―――――→横坐标伸长到原来的2倍y ＝sin(12x －π10)．4．(2016·临沂模拟)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋θ)的图象如图所示，f (π2)＝－23，则f (－π6)＝________.答案 －23解析 由题图知，函数f (x )的周期 T ＝2(11π12－7π12)＝2π3，所以f (－π6)＝f (－π6＋2π3)＝f (π2)＝－23.5．若将函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________． 答案3π8解析 ∵函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ个单位得到g (x )＝sin[2(x －φ)＋π4]＝sin(2x＋π4－2φ)， 又∵g (x )是偶函数，∴π4－2φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝－k π2－π8(k ∈Z )．当k ＝－1时，φ取得最小正值3π8.题型一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换例1 (2015·湖北)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，求θ的最小值．解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z .由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.引申探究在本例(2)中，将f (x )图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到g (x )的图象，求g (x )的解析式，并写出g (x )图象的对称中心． 解 由(1)知f (x )＝5sin(2x －π6)，因此g (x )＝5sin[2(x ＋π6)－π6]＝5sin(2x ＋π6)．因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z .即y ＝g (x )图象的对称中心为(k π2－π12，0)，k ∈Z .思维升华 (1)五点法作简图：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移π4个单位，得到的函数图象的解析式是( )A ．y ＝cos 2xB ．y ＝－sin 2xC ．y ＝sin(2x －π4)D ．y ＝sin(2x ＋π4)答案 A解析 由y ＝sin x 图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图象的解析式为y ＝sin 2x ，再向左平移π4个单位得y ＝sin2(x ＋π4)，即y ＝cos 2x .题型二 由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示．(1)求f (x )的表达式； (2)试写出f (x )的对称轴方程．解 (1)观察图象可知A ＝2且点(0,1)在图象上， ∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sin φ＝12.∵|φ|<π2，∴φ＝π6，又∵1112π是函数的一个零点且是图象递增穿过x 轴形成的零点，∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2. ∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)设2x ＋π6＝B ，则函数y ＝2sin B 的对称轴方程为B ＝π2＋k π，k ∈Z ，即2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)的对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．思维升华 求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)解析式的步骤 (1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，B ＝M ＋m2. (2)求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2πT .(3)求φ，常用方法如下：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π.(2016·太原模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则y ＝f (x ＋π6)取得最小值时x 的集合为( )A ．{x |x ＝k π－π6，k ∈Z }B ．{x |x ＝k π－π3，k ∈Z }C ．{x |x ＝2k π－π6，k ∈Z }D ．{x |x ＝2k π－π3，k ∈Z }答案 B解析 根据所给图象，周期T ＝4×(7π12－π3)＝π，故π＝2πω，∴ω＝2，因此f (x )＝sin(2x ＋φ)，另外图象经过点(7π12，0)，代入有2×7π12＋φ＝k π(k ∈Z )，再由|φ|<π2，得φ＝－π6，∴f (x ＋π6)＝sin(2x ＋π6)，当2x ＋π6＝－π2＋2k π (k ∈Z )，即x ＝－π3＋k π(k ∈Z )时，y ＝f (x ＋π6)取得最小值．题型三 三角函数图象性质的应用 命题点1 三角函数模型的应用例3 (2015·陕西)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10答案 C解析 由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5. ∴y max ＝k ＋3＝8.命题点2 函数零点(方程根)问题例4 已知关于x 的方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0在⎝⎛⎭⎫π2，π上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是________． 答案 (－2，－1)解析 方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0可转化为 m ＝1－2sin 2x ＋3sin 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 设2x ＋π6＝t ，则t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π， ∴题目条件可转化为m2＝sin t ，t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π有两个不同的实数根． ∴y ＝m2和y ＝sin t ，t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，m 2的范围为(－1，－12)，故m 的取值范围是(－2，－1)． 引申探究例4中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m 的取值范围是__________． 答案 [－2,1)解析 由例4知，m2的范围是⎣⎡⎭⎫－1，12， ∴－2≤m <1，∴m 的取值范围是[－2,1)． 命题点3 图象与性质的综合应用例5 已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，由－π2≤φ<π2，得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.综上，ω＝2，φ＝－π6.(2)由(1)知f (x )＝3sin(2x －π6)，当x ∈[0，π2]时，－π6≤2x －π6≤5π6，∴当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )最大值＝3；当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )最小值＝－32.思维升华 (1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题． (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．已知函数f (x )＝cos(3x ＋π3)，其中x ∈[π6，m ]，若f (x )的值域是[－1，－32]，则m 的取值范围是__________． 答案 [2π9，5π18]解析 画出函数的图象．由x ∈[π6，m ]，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3，因为f (π6)＝cos 5π6＝－32且f (2π9)＝cos π＝－1，要使f (x )的值域是[－1，－32]，只要2π9≤m ≤5π18，即m ∈[2π9，5π18]．4．三角函数图象与性质的综合问题典例 (12分)已知函数f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos(x 2＋π4)－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．思维点拨 (1)先将f (x )化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再求周期；(2)将f (x )解析式中的x 换成x －π6，得g (x )，然后利用整体思想求最值．规范解答解 (1)f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos(x 2＋π4)－sin(x ＋π)＝3cos x ＋sin x [3分]＝2sin(x ＋π3)，[5分]于是T ＝2π1＝2π.[6分](2)由已知得g (x )＝f (x －π6)＝2sin(x ＋π6)，[8分]∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈[π6，7π6]，∴sin(x ＋π6)∈[－12，1]，[10分]∴g (x )＝2sin(x ＋π6)∈[－1,2]．[11分]故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[12分]解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤： 第一步：(化简)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式； 第二步：(用辅助角公式)构造f (x )＝a 2＋b 2·(sin x ·a a 2＋b 2＋cos x ·ba 2＋b 2)； 第三步：(求性质)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质； 第四步：(反思)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．1．为了得到函数y ＝cos(2x ＋π3)的图象，可将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移5π6个单位长度B ．向右平移5π6个单位长度C ．向左平移5π12个单位长度D ．向右平移5π12个单位长度答案 C解析 由题意，得y ＝cos(2x ＋π3)＝sin(2x ＋π3＋π2)＝sin 2(x ＋5π12)，则它是由y ＝sin 2x 向左平移5π12个单位得到的，故选C. 2．若f (x )＝sin(2x ＋φ)＋b ，对任意实数x 都有f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝f (－x )，f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－1，则实数b 的值为( ) A ．－2或0 B ．0或1 C ．±1 D ．±2答案 A解析 由f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝f (－x )可得f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，∴2×π6＋φ＝π2＋k π，k ∈Z .当直线x ＝π6经过最高点时，φ＝π6；当直线x ＝π6经过最低点时，φ＝－56π.若f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋b ，由f ⎝⎛⎭⎫23π＝－1，得b ＝0；若f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －56π＋b ，由f ⎝⎛⎭⎫23π＝－1，得b ＝－2.所以b ＝－2或b ＝0.3．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( )A.π2B.2π3 C ．π D ．2π 答案 C解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π6)(ω>0)．由2sin(ωx ＋π6)＝1，得sin(ωx ＋π6)＝12，∴ωx ＋π6＝2k π＋π6或ωx ＋π6＝2k π＋56π(k ∈Z )．令k ＝0，得ωx 1＋π6＝π6，ωx 2＋π6＝56π，∴x 1＝0，x 2＝2π3ω.由|x 1－x 2|＝π3，得2π3ω＝π3，∴ω＝2.故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.4．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (x ∈R ，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，如果x 1，x 2∈(－π6，π3)且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)等于( )A.12 B.32C.22D ．1答案 B解析 观察图象可知，A ＝1，T ＝π， ∴ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)．将(－π6，0)代入上式得sin(－π3＋φ)＝0，由|φ|<π2，得φ＝π3，则f (x )＝sin(2x ＋π3)．函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈(－π6，π3)，且f (x 1)＝f (x 2)，∴x 1＋x 22＝π12，∴x 1＋x 2＝π6，∴f (x 1＋x 2)＝sin(2×π6＋π3)＝32.故选B.5．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的图象向左平移π6个单位后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－32B ．－12C.12 D.32答案 A解析 由函数f (x )的图象向左平移π6个单位得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π3的图象， 因为是奇函数，所以φ＋π3＝k π，k ∈Z ，又因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， 所以当x ＝0时，f (x )取得最小值为－32. 6．(2016·太原模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期是π，若将f (x )的图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π12对称B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π12，0对称 D ．关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称答案 B解析 由题意知2πω＝π，∴ω＝2；又由f (x )的图象向右平移π3个单位后得到y ＝sin[2⎝⎛⎭⎫x －π3＋φ]＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ－23π，此时关于原点对称，∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝2π3＋k π，k ∈Z ，又|φ|＜π2，∴φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 当x ＝π12时，2x －π3＝－π6，∴A 、C 错误； 当x ＝5π12时，2x －π3＝π2，∴B 正确，D 错误．7．(2016·全国丙卷)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到． 答案2π3解析 y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，因此至少向右平移2π3个单位长度得到．8.(2017·长春质检)设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f (16)的值为________．答案34解析 由题意知，点M 到x 轴的距离是12，根据题意可设f (x )＝12cos ωx ，又由题图知12·2πω＝1，所以ω＝π，所以f (x )＝12cos πx ，故f (16)＝12cos π6＝34.9．(2015·天津)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．答案π2解析 f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4， 因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z .又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2，即ω2＝π4，所以ω＝π2.10.电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是________安．答案 －5解析 由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴ω＝2πT ＝100π，∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．∵图象过点⎝⎛⎭⎫1300，10， ∴10sin(100π×1300＋φ)＝10，∴sin(π3＋φ)＝1，π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，又∵0<φ<π2，∴φ＝π6.∴I ＝10sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6， 当t ＝1100秒时，I ＝－5安．11．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象过点P (π12，0)，图象上与点P 最近的一个最高点是Q (π3，5)．(1)求函数的解析式；(2)求函数f (x )的递增区间．解 (1)依题意得A ＝5，周期T ＝4(π3－π12)＝π，∴ω＝2ππ＝2.故y ＝5sin(2x ＋φ)，又图象过点P (π12，0)，∴5sin(π6＋φ)＝0，由已知可得π6＋φ＝0，∴φ＝－π6，∴y ＝5sin(2x －π6)．(2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，故函数f (x )的递增区间为[k π－π6，k π＋π3] (k ∈Z )．12．已知函数f (x )＝3cos 2x ＋sin x ·cos x －32. (1)求函数f (x )的最小正周期T 和函数f (x )的单调递增区间； (2)若函数f (x )的对称中心为(x,0)，求x ∈[0,2π)的所有x 的和． 解 (1)由题意得f (x )＝sin(2x ＋π3)，∴T ＝2π2＝π，令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z .可得函数f (x )的单调递增区间为[－5π12＋k π，π12＋k π]，k ∈Z .(2)令2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，可得x ＝－π6＋k π2，k ∈Z .∵x ∈[0,2π)，∴k 可取1,2,3,4. ∴所有满足条件的x 的和为2π6＋5π6＋8π6＋11π6＝13π3. *13.(2016·潍坊模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)设g (x )＝[f (x －π12)]2，求函数g (x )在x ∈[－π6，π3]上的最大值，并确定此时x 的值．解 (1)由题图知A ＝2，T 4＝π3，则2πω＝4×π3，∴ω＝32. 又f (－π6)＝2sin[32×(－π6)＋φ]＝2sin(－π4＋φ)＝0，∴sin(φ－π4)＝0，∵0<φ<π2，∴－π4<φ－π4<π4，∴φ－π4＝0，即φ＝π4，∴f (x )的解析式为f (x )＝2sin(32x ＋π4)．(2)由(1)可得f (x －π12)＝2sin[32(x －π12)＋π4]＝2sin(32x ＋π8)，∴g (x )＝[f (x －π12)]2＝4×1－cos (3x ＋π4)2＝2－2cos(3x ＋π4)，∵x ∈[－π6，π3]，∴－π4≤3x ＋π4≤5π4，∴当3x ＋π4＝π，即x ＝π4时，g (x )max ＝4.。
2018高考数学(理)(全国通用)大一轮复习2017高考试题汇编_第四章_三角函数_有解析
第四章 三角函数第一节 三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式题型42 终边相同的角的集合的表示与识别——暂无 题型43 倍角、等分角的象限问题——暂无 题型44 弧长与扇形面积公式的计算——暂无 题型45 三角函数定义题——暂无 题型46 三角函数线及其应用——暂无题型47 象限符号与坐标轴角的三角函数值——暂无 题型48 诱导求值与变形——暂无题型49 同角求值——已知角与目标角相同——暂无第二节 三角函数的图像与性质题型50 已知解析式确定函数性质1.（2017全国3理6）设函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（ ）. A ．()f x 的一个周期为2-πB ．()y f x =的图像关于直线83x π=对称 C ．()f x +π的一个零点为6x π=D ．()f x 在上π,2⎛⎫π⎪⎝⎭单调递减 解析 函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像可由cos y x =向左平移π3个单位长度得到，由图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，所以D 选项错误.故选D.π题型51 根据条件确定解析式1.（2017天津理7）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若528f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，08f 11π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）. A.23ω=，12ϕπ= B.23ω=，12ϕ11π=- C.13ω=，24ϕ11π=- D.13ω=，24ϕ7π=解析 解法一：由题意125π282118k k ωϕωϕπ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以()2142233k k ω=--.又22T ωπ=>π，所以01ω<<，从而23ω=.由11212k ϕ=π+π，由ϕ<π，得π12ϕ=.故选A ． 解法二：由528f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，08f 11π⎛⎫= ⎪⎝⎭，易知58x π=为()()2sin f x x ωϕ=+的一条对称轴，点11,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭为()f x 的一个零点，则()11521884Tk ππ-=+⨯，又因为2T ωπ= ，即()221=3k ω+.又0ω>，且()f x 的最小正周期大于2π，所以2=3ω，从而52+2832k ϕππ⨯=π+，又ϕ<π，所以=12ϕπ.故选A. 2.(2017浙江理18)已知函数()()22sin cos cos f x x x x x x =--∈R . （1）求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.解析 （1）由2sin 3π=21cos 32π=-，得222112322f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）由22cos 2cos sin x x x =-，sin 22sin cos x x x =，得()cos 222sin 26f x x x x π⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期是2π2T ==π. 由正弦函数的性质得3222,262k x k k πππ+π++π∈Z 剟，解得2,63k x k k ππ+π+π∈Z 剟.所以()f x 的单调递增区间是2,63k k k ππ⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ，.题型52 三角函数的值域（最值)——暂无 题型53 三角函数图像变换1.（2017全国1理9）已知曲线1cos C y x =：，22πsin 23C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭：， 则下面结论正确的是（ ）.A.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2C B.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2C D.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C 解析 1:cos C y x =，22π:sin 23⎛⎫=+⎪⎝⎭C y x . 首先曲线1C ，2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，即112πππsin sin 2sin 2224C y x y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+→=+=+→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭上各坐短到原的倍点横标缩来2ππsin 2sin 233y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．注意ω的系数，左右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π3+x ， 根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π12．故选D. 2.（2017山东理1）设函数()sin sin 62f x x x ωωππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中03ω<<.已知06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求ω；（2）将函数()y f x =的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图像，求()g x 在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值. 解析 （1）因为()sin sin 62f x x x ωωππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1cos cos 22f x x x x ωωω=--3cos 22x x ωω=-1sin 2x x ωω⎫==⎪⎪⎭sin 3x ωπ⎫-⎪⎭.由题设知06f π⎛⎫=⎪⎝⎭，所以63k ωππ-=π，k ∈Z . 故62k ω=+，k ∈Z ，又03ω<<，所以2ω=.（2）由（1）得()23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()4312g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为3,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2,1233x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当123x ππ-=-，即4x π=-时，()g x 取得最小值32-.第三节 三角恒等变换题型54 化简求值1.（17江苏05）若π1tan 46α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α= ． 解析 解法一（角的关系）：tan tan 44ααππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭7tan 1746551tan 64ααπ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭===π⎛⎫-- ⎪⎝⎭．故填75． 解法二（直接化简）：πtan 11tan 41tan 6ααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，所以7tan 5α=．故填75． 2.(2017北京理12)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，()cos αβ-=___________. 解析 由题作出图形，如图所示，1sin 3α=，则cos 3α=，由于α与β关于y 轴对称， 则()1sin sin 3βα=π-=，cos 3β=-，故()117cos 33339αβ⎛⎫-=-+⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭. y3.（2017全国2理14）函数()23sin 0,42f x x x x ⎛π⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是 ． 解析()2233πsin 1cos 0442f x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=+-=-+-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，，令c o s x t =且[]01t ∈，，214y t =-+21t ⎛=-+ ⎝⎭，当t =，即6x π=时，()f x 取最大值为1． 4.(2017浙江理18)已知函数()()22sin cos cos f x x x x x x =--∈R . （1）求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.解析 （1）由2sin 3π=21cos 32π=-，得222112322f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）由22cos 2cos sin x x x =-，sin 22sin cos x x x =，得()cos 222sin 26f x x x x π⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期是2π2T ==π. 由正弦函数的性质得3222,262k x k k πππ+π++π∈Z 剟，解得2,63k x k k ππ+π+π∈Z 剟.所以()f x 的单调递增区间是2,63k k k ππ⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ，.第四节 解三角形题型55 正弦定理的应用1.（2017天津理15）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =. （1）求b 和sin A 的值； （2）求πsin 24A ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 解析 （1）在ABC △中，因为a b >，故由3s i n 5B =，可得4cos 5B =.由已知及余弦定理，得2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b .由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin 13a B Ab ==.（2）由（Ⅰ）及a c <，得cos A =，所以12sin 22sin cos 13A A A ==，25cos 212sin 13A A =-=-，故πππsin 2sin 2cos cos 2sin 44426A A A ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭. 2.（2017山东理9）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △为锐角三角形，且满足()sin 12cos 2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ）.A.2a b =B.2b a =C.2A B =D.2B A = 解析 因为s i n ()2s i nc o s 2s i n c o s c o s A C B C A C A C ++=+，所以2s i n c o s s i n c o s B C A C =，又02C π<<，得2sin sin B A =，即2b a =.故选A.题型56 余弦定理的应用题型57 判断三角形的形状——暂无 题型58 解三角形的综合应用1.（2017江苏18）如图所示，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ． 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ． 现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm （容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）.（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度； （2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．ACA 11容器ⅠE G 1H 1容器Ⅱ解析 （1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥． 记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处，如图所示为截面11A ACC 的平面图形．因为AC =40AM =，所以30MC ==，从而3sin 4MAC ∠=.记AM 与水面的交点为1P ， 过点1P 作11PQ AC ⊥，1Q 为垂足，则11PQ ⊥平面ABCD ，故1112PQ =，从而11116sin PQ AP MAC==∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ．问(1)AC 1A 1CMP 1Q 1（2）如图所示为截面11E EGG 的平面图形，O ，1O 是正棱台两底面的中心．由正棱台的定义，1OO ⊥平面EFGH ， 所以平面11E EGG ⊥平面EFGH ，1O O EG ⊥．同理，平面11E EGG ⊥平面1111E FG H ，111O O E G ⊥． 记玻璃棒的另一端落在1GG 上点N 处．过G 作11GK E G ⊥，K 为垂足，则132GK OO ==．因为 14EG =，1162E G =，所以16214242KG -==，从而1GG =40==．设1EGG α∠=，ENG β∠=，则114sin sin cos 25KGG KGG απ⎛⎫=+==⎪⎝⎭∠∠．因为2απ<<π，所以3cos 5α=-． 在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=． 因为02βπ<<，所以24cos 25β=， 于是()()sin sin sin =NEG αβαβ=π--=+∠sin cos cos sin αβαβ+4243735255255⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭．记EN 与水面的交点为2P ，过2P 作22PQ EG ⊥，2Q 为垂足，则22PQ ⊥平面EFGH ， 故2212PQ =，从而22220sin P Q EP NEG==∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．问(2)G O E Q 2P 2NG 1KE 1O 1评注 此题本质上考查解三角形的知识，但在这样的大背景下构造的应用题让学生有畏惧之感，且该应用题的实际应用性也不强．也有学生第（1）问采用相似法解决，解法如下：AC =40AM =，所以30CM ==，1112PQ =，所以由11AP A Q CM △△∽，111PQ AP CM AM =，即1123040AP =，解得116AP =．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ． 2.(2017北京理15)在ABC △中，60A ∠=，37c a =. （1）求sin C 的值；（2）若7a =，求ABC △的面积.解析 （1）在ABC △中，因为60A ∠=，37c a =，所以由正弦定理得sin 3sin 7c A C a ===. （2）因为7a =，所以3737c =⨯=.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222173232b b =+-⨯⨯，解得8b =或5b =-（舍）.所以ABC △的面积11sin 83222S bc A ==⨯⨯⨯=. 3.（2017全国1理17）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin a A.（1）求sin sin B C 的值；（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长.分析 本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.解析 （1）因为ABC △的面积23sin a S A =且1sin 2S bc A =，所以21sin 3sin 2a bc A A =，即223sin 2a bc A =.由正弦定理得223sin sin sin sin 2A B C A =，由sin 0A ≠，得2sin sin 3B C =. （2）由（1）得2sin sin 3B C =，又1cos cos 6B C =，因为πA B C ++=， 所以()()1cos cos πcos sin sinC cos cos 2A B C B C B B C =--=-+=-=.又因为()0πA ∈，，所以60A =，sin A =1cos 2A =.由余弦定理得2229a b c bc =+-= ①由正弦定理得sin sin a b B A =⋅，sin sin a c C A =⋅，所以22sin sin 8sin a bc B C A=⋅= ②由①，②，得b c +=3a b c ++=ABC △周长为3+4.（2017全国2理17）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2BA C +=． (1)求cosB ;(2)若6a c +=，ABC △的面积为2，求.b 解析 （1）依题得21cos sin 8sin84(1cos )22B B B B -==⋅=-．因为22sin cos 1B B +=，所以2216(1cos )cos 1B B -+=，所以(17cos 15)(cos 1)0B B --=，得cos 1B =（舍去）或15cos 17B =. （2）由⑴可知8sin 17B =，因为2ABC S =△，所以1sin 22ac B ⋅=，即182217ac ⋅=，得172ac =.因为15cos 17B =，所以22215217a cb ac +-=，即22215a c b +-=，从而22()215a c ac b +--=，即2361715b --=，解得2b =．5.（2017全国3理17）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin 0A A =，a =2b =． （1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积． 解析 （1）由sin 0A A +=，得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈，所以ππ3A +=，得2π3A =.由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅.又因为12,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，解得4c =.（2）因为2,4AC BC AB ===，由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-==因为AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，则cos AC CD C =⋅，得CD =从而点D 为BC的中点，111sin 222ABD ABC S S AB AC A ==⨯⨯⨯⨯=△6.(2017浙江理14)已知ABC △，4AB AC ==，2BC =. 点D 为AB 延长线上的一点，2BD =，联结CD ，则BDC △的面积是___________，cos BDC ∠=__________.解析 如图所示，取BC 的中点为O ，在等腰ABC △中，AO OB ⊥，所以AO =sin sin CBDOBA?? 所以B D C △的面积为1sin 2BC BD OBA 创葱=．因为2BC BD ==，所以BDC△是等腰三角形，所以2πCBD BDC ??，21cos cos(π2)12cos 4CBDBDC BDC?-?-?-，解得cos 4BDC ?．ODCBA。
2018届高考新课标数学文大一轮复习检测：第四章 三角函数、解三角形 4-1 含答案 精品
A 组 专项基础训练(时间：35分钟)1．(2017·河南开封第一次摸底)若cos θ＝35，sin θ＝－45，则角θ的终边所在直线的方程为( )A ．3x ＋4y ＝0B ．4x ＋3y ＝0C ．3x －4y ＝0D ．4x －3y ＝0【解析】 依题意，得tan θ＝sin θcos θ＝－43，因此所求直线的斜率是－43，其方程是y＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.故选B.【答案】 B2．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为( )A.π3 B.π2C. 3 D ．2【解析】 设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝α·r ，∴α＝ 3. 【答案】 C3．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( ) A ．sin α＋cos α＜0 B ．tan α－sin α＜0 C ．cos α－tan α＜0 D ．tan αsin α＜0【解析】 α是第三象限角，sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，则可排除A 、C 、D ，故选B.【答案】 B 4．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【解析】 举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．【答案】 A5．(2017·南昌二中模拟)已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于( )A ．sin 2B ．－sin 2C ．cos 2D ．－cos 2【解析】 因为r ＝（2sin 2）2＋（－2cos 2）2＝2，由任意三角函数的定义，得sin α＝y r＝－cos 2.【答案】 D6．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为________．【解析】 由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角， 所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0. 所以y ＝－1＋1－1＝－1. 【答案】 －17．函数y ＝ sin x ＋12－cos x 的定义域是________． 【解析】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，12－cos x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≤12.∴x 的取值范围为π3＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z .【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋2k π，π＋2k π(k ∈Z )8．(2017·河南信阳期末)若点P 在角－10π3的终边上，且P 的坐标为(－1，y )，则y等于________．【解析】 点P 在角－10π3的终边上，而－10π3＝－4π＋2π3，故点P 在角2π3的终边上，故有y －1＝tan 2π3＝－3，∴y ＝ 3.【答案】 39．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .【解析】 设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ， 则⎩⎪⎨⎪⎧12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝lr＝2.如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，则∠AOH ＝1 rad. ∴AH ＝1·sin 1＝sin 1(cm)， ∴AB ＝2sin 1(cm)．所以圆心角的弧度数为2，弦长AB 为2sin 1 cm. 10．已知sin α＜0，tan α＞0. (1)求α角的集合； (2)求α2终边所在的象限；(3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号．【解析】 (1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上； 由tan α＞0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z .(2)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0，cos α2＜0，所以tan α2 sin α2 cos α2取正号；当α2在第四象限时，tan α2＜0， sin α2＜0，cos α2＞0，所以tan α2sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号．B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．(2017·江西六校联考)点A (sin 2 017°，cos 2 017°)位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【解析】 因为sin 2 017°＝sin(11×180°＋37°) ＝－sin 37°＜0，cos 2 017°＝cos(11×180°＋37°) ＝－cos 37°＜0，所以点A (sin 2 017°，cos 2 017°)位于第三象限． 【答案】 C12．(2017·福州一模)设α是第二象限角，P (x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－34 D ．－43【解析】 因为α是第二象限角，所以cos α＝15x ＜0，即x ＜0.又cos α＝15x ＝xx 2＋16.解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43.【答案】 D13．(2017·济南模拟)已知sin θ－cos θ＞1，则角θ的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【解析】 由已知得(sin θ－cos θ)2＞1，即1－2sin θcos θ＞1，sin θcos θ＜0，又sin θ＞cos θ，所以sin θ＞0＞cos θ，所以角θ的终边在第二象限．【答案】 B14．在直角坐标系中，O 是原点，A 点坐标为(3，－1)，将OA 绕O 逆时针旋转450°到B 点，则B 点的坐标为________．【解析】 设B (x ，y )，由题意知|OA |＝|OB |＝2，∠BOx ＝60°，且点B 在第一象限， ∴x ＝2cos 60°＝1，y ＝2sin 60°＝3， ∴B 点的坐标为(1，3)． 【答案】 (1，3)15．如图所示，动点P ，Q 从点A (4，0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求点P ，点Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧长．【解析】 设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ， 则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π. 所以t ＝4(秒)，即第一次相遇的时间为4秒．设第一次相遇点为C ，第一次相遇时P 点和Q 点已运动到终边在π3·4＝4π3的位置，则x C ＝－cos π3·4＝－2，y C ＝－sin π3·4＝－2 3.所以C 点的坐标为(－2，－23)．P 点走过的弧长为43π·4＝163π，Q 点走过的弧长为23π·4＝83π.。
2018届高考(新课标)数学(理)大一轮复习检测：第四章 三角函数、解三角形 4-4 Word版含答案
A 组 专项基础训练(时间：35分钟)1．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的部分图象可能是( )∵y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，∴当2x －π3＝0， 即x ＝π6时，函数取得最大值1，结合图象看，可使函数在x ＝π6时取得最大值的只有D.【答案】 D2．(2016·课标全国Ⅱ)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z ) B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z ) D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z ) 将y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度后对应的函数解+析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，可得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．故选B.【答案】 B3．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，且|φ|＜π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，5π12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，－π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，7π12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12 由函数的图象可得14T ＝23π－512π，∴T ＝π，则ω＝2. 又图象过点⎝⎛⎭⎪⎫512π，2，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×512π＋φ＝2， ∴φ＝－π3＋2k π，k ∈Z ，∵|φ|＜π2，∴取k ＝0，则φ＝－π3，即得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， 其单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ，取k ＝0，即得选项D.【答案】 D4．(2016·沈阳质检)已知曲线f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)相邻的两条对称轴之间的距离为π2，且曲线关于点(x 0，0)中心对称，若x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则x 0等于( )A.π12B.π6 C.π3 D.5π12f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx ＋32cos ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3. ∵曲线f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3相邻的两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π＝2πω，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. ∵曲线关于点(x 0，0)中心对称； ∴2x 0＋π3＝k π(k ∈Z )，∴x 0＝k π2－π6(k ∈Z )， 又x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴x 0＝π3.【答案】 C5．(2016·开封模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，为了得到这个函数的图象，只需将y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点( )A ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变由图象可知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，由y ＝sin x 的图象先左移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变．【答案】 C6．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是________安．由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴ω＝2πT＝100π，∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．∵图象过点⎝⎛⎭⎪⎫1300，10，∴10sin ⎝⎛⎭⎪⎫100π×1300＋φ＝10， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，又∵0＜φ＜π2，∴φ＝π6.∴I ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6，当t ＝1100秒时，I ＝－5安． 【答案】 －57．(2016·全国卷Ⅲ)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．函数y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象至少向右平移2π3个单位长度得到．【答案】 2π38．(2015·忻州市高三联考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2在一个周期内的图象如图所示．若方程f (x )＝m 在区间上有两个不同的实数x 1，x 2，则x 1＋x 2的值为________．由图象可知y ＝m 和y ＝f (x )图象的两个交点关于直线x ＝π6或x ＝23π对称，∴x 1＋x 2＝π3或43π.【答案】 π3或43π9．(2015·天津)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．(1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34， 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12. 10．(2016·青岛模拟)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋a (ω＞0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求a 和ω的值；(2)求函数f (x )在上的单调递减区间．(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋a ＝4cos ωx ·⎝⎛⎭⎪⎫32sin ωx ＋12cos ωx ＋a＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx －1＋1＋a ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋1＋a .当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＝1时，f (x )取得最大值2＋1＋a ＝3＋a ， 又f (x )图象上最高点的纵坐标为2， ∴3＋a ＝2，∴a ＝－1.又f (x )图象上相邻两个最高点的距离为π，∴f (x )的最小正周期T ＝π，∴2ω＝2πT＝2，∴ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z . 令k ＝0，得π6≤x ≤2π3，∴函数f (x )在上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－92∪∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 当ω＞0时，－π3ω≤ωx ≤π4ω，由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥32；当ω＜0时，π4ω≤ωx ≤－π3ω，由题意知π4ω≤－π2，∴ω≤－2.综上可知，ω的取值范围是(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.【答案】 D12．(2016·宁夏大学附中第三次月考)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为π2的等差数列，把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象．关于函数g (x )，下列说法正确的是( )A ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是增函数 B ．其图象关于直线x ＝－π4对称C ．函数g (x )是奇函数D ．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，函数g (x )的值域是．∵f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2⎝⎛⎭⎪⎫32sin ωx ＋12cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，由题意知T 2＝π2，则T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位长度，得g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x .其图象如图．由图可知，函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是减函数，A 错误；其图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0，B 错误；函数为偶函数，C 错误；2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＝1，2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×2π3＝－1，∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，23π时，函数g (x )的值域是，D 正确．故选D.【答案】 D13．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32，则m 的取值范围是________．画出函数的图象．由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos 5π6＝－32，且f ⎝⎛⎭⎪⎫2π9＝cos π＝－1，要使f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32， 所以π≤3m ＋π3≤76π，则2π9≤m ≤5π18，即m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π9，5π18. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π9，5π18 14．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________．依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4ω＋π3＝－1，∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2(k ∈Z )， ∴ω＝8k ＋143(k ∈Z )，∵f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值， ∴π3－π4＜πω，即ω＜12，令k ＝0，得ω＝143.【答案】 14315．(2016·天津卷)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．(1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z . f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)令z ＝2x －π3，函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z .单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z .由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .由π2＋2k π≤2x －π3≤3π2＋2k π，得5π12＋k π≤x ≤11π12＋k π.所以，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减．。
2018年高考试题分类汇编(三角函数)
2018年高考试题分类汇编(三角函数) 2018年高考试题分类汇编（三角函数）考点1：任意角的三角函数考法1：三角函数的定义已知角$\alpha$的顶点与坐标原点重合，始边与$x$轴的非负半轴重合，终边上两点$A(1,a)$，$B(2,b)$，且$\cos2\alpha=\frac{1}{3}$，则$a-b=5\sqrt{3}$。
考法2：三角函数的图像与性质1.（2018·全国卷Ⅲ理）函数$f(x)=\cos(3x+\frac{\pi}{6})$在$[0,\pi]$的零点的个数为6.2.（2018·江苏）已知函数$y=\sin(2x+\varphi)$，($-\frac{\pi}{2}<\varphi<\frac{\pi}{2}$)关于直线$x=\frac{\pi}{4}$对称，则$\varphi$的值是$-\frac{\pi}{4}$。
3.（2018·天津文科）将函数$y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$的图象向右平移$\frac{1}{2}$个单位长度，所得图象关于直线$x=\frac{\pi}{3}$对称的图象对应的函数为$y=\sin(2x+\frac{5\pi}{6})$。
4.（2018·天津理科）将函数$y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$的图象向右平移$\frac{1}{2}$个单位长度，所得图象对应的函数在区间$[\frac{3\pi}{4},2\pi]$上单调递减。
5.（2018·北京理科）设函数$f(x)=\cos(\omega x-\frac{\pi}{4})$，若$f(x)\leq f(\frac{\pi}{4})$对任意的实数$x$都成立，则$\omega$的最小值为$\frac{2}{\pi}$。
6.（2018·全国卷Ⅱ文科）若函数$f(x)=\cos x-\sin x$在$[0,a]$是减函数，则$a$的最大值为$\frac{3\pi}{4}$。
2018版高考数学全国用文科一轮专题练习：专题4 三角函
1．(2016·泰安期中)在△ABC 中，BC ＝5，B ＝120°，AB ＝3，则△ABC 的周长等于( ) A ．7 B ．58 C ．49D ．152．海上有三个小岛A ，B ，C ，则得∠BAC ＝135°，AB ＝6，AC ＝32，若在B ，C 两岛的连线段之间建一座灯塔D ，使得灯塔D 到A ，B 两岛距离相等，则B ，D 间的距离为( ) A ．310 B.10 C.13D ．3 23．(2016·辽宁师大附中期中)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，则B 等于( )A.π6或5π6B.π3C.π6D.5π64．(2017·武汉调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2＝a 2＋bc ，A ＝π6，则角C 等于( ) A.π6 B.π4 C.3π4D.π4或3π45．(2016·衡水中学第二学期调研)设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝2A ，则b 的取值范围为( ) A ．(2，3) B ．(1，3) C ．(2，2)D ．(0,2)6．(2016·东营期中)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示△ABC 的面积，若a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则B 等于( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°7．(2016·山西大学附中期中)已知三个向量m ＝⎝⎛⎭⎫a ，cos A 2，n ＝⎝⎛⎭⎫b ，cos B 2，p ＝⎝⎛⎭⎫c ，cos C2共线，其中a 、b 、c 、A 、B 、C 分别是△ABC 的三条边及相对三个角，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形8．已知点O 是△ABC 的外接圆圆心，且AB ＝3，AC ＝4.若存在非零实数x ，y ，使得AO →＝xAB →＋yAC →，且x ＋2y ＝1，则cos ∠BAC 的值为( ) A.23 B.33C.23D.13二、填空题9．△ABC 中，A 、B 、C 是其内角，若sin 2A ＋sin(A －C )－sin B ＝0，则△ABC 的形状是__________________．10．(2016·惠州二调)在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且∠C ＝60°，c ＝3，则a ＋23cos A sin B＝________.11．(2016·佛山期中)如图，一艘船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________ km.12．(2016·吉安期中)在△ABC 中，D 为BC 边上一点，若△ABD 是等边三角形，且AC ＝43，则△ADC 的面积的最大值为________.答案精析1．D [∵在△ABC 中，BC ＝5，B ＝120°，AB ＝3，∴由余弦定理，得AC 2＝BC 2＋AB 2－2BC ·AB cos B ＝25＋9＋15＝49，解得AC ＝7，则△ABC 的周长为5＋3＋7＝15.]2．B [设BD ＝t ，由余弦定理可得BC 2＝62＋(32)2－2×6×32cos ∠BAC ＝90⇒BC ＝310，cos ∠ABC ＝62＋t 2－t 22×6×t ＝62＋(310)2－(32)22×6×310⇒t ＝10，故选B.]3．A [∵a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，∴由正弦定理可得sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A ＝12sin B .又sin B ≠0，∴sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，即sin(A ＋C )＝sin B ＝12.∵0<B <π，∴B ＝π6或5π6.故选A.]4．B [在△ABC 中，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，即32＝b 2＋c 2－a22bc，所以b 2＋c 2－a 2＝3bc ，又b 2＝a 2＋bc ，所以c 2＋bc ＝3bc ，所以c ＝(3－1)b <b ，a ＝2－3b ， 所以cos C ＝b 2＋a 2－c 22ab ＝22，所以C ＝π4.]5．A [∵B ＝2A ，∴sin B ＝sin 2A ， ∴sin B ＝2sin A cos A ，∴b ＝2a cos A ， 又∵a ＝1，∴b ＝2cos A . ∵△ABC 为锐角三角形， ∴0<A <π2，0<B <π2，0<C <π2，即0<A <π2，0<2A <π2，0<π－A －2A <π2，∴π6<A <π4，∴22<cos A <32， ∴2<2cos A <3，∴b ∈(2，3)．]6．C [由正弦定理可知a cos B ＋b cos A ＝2R sin A cos B ＋2R sin B cos A ＝2R sin(A ＋B )＝2R sin C ＝2R sin C ·sin C ，∴sin C ＝1，C ＝90°.∴S ＝12ab ＝14(b 2＋c 2－a 2)，解得a ＝b ，因此B ＝45°.故选C.]7．B [∵m ＝⎝⎛⎭⎫a ，cos A 2与n ＝⎝⎛⎭⎫b ，cos B 2共线，∴a cos B 2＝b cos A2， 由正弦定理，得sin A cos B 2＝sin B cos A2，∵sin A ＝2sin A 2cos A 2，sin B ＝2sin B 2cos B2，∴2sin A 2cos A 2cos B 2＝2sin B 2cos B 2cos A2，化简，得sin A 2＝sin B2.又0<A 2<π2，0<B 2<π2，∴A 2＝B2，可得A ＝B . 同理，由n ＝⎝⎛⎭⎫b ，cos B 2与p ＝⎝⎛⎭⎫c ，cos C2共线得到B ＝C ， ∴A ＝B ＝C ，可得△ABC 是等边三角形．]8．A [设线段AC 的中点为点D ，则直线OD ⊥AC .因为AO →＝xAB →＋yAC →， 所以AO →＝xAB →＋2yAD →.又x ＋2y ＝1，所以点O 、B 、D 三点共线， 即点B 在线段AC 的中垂线上，则AB ＝BC ＝3.在△ABC 中，由余弦定理，得cos ∠BAC ＝32＋42－322×3×4＝23.故选A.]9．等腰或直角三角形解析 因为sin 2A ＋sin(A －C )－sin B ＝sin 2A ＋sin(A －C )－sin(A ＋C ) ＝2sin A cos A －2sin C cos A ＝2cos A (sin A －sin C )＝0， 所以cos A ＝0或sin A ＝sin C ， 所以A ＝π2或A ＝C .故△ABC 为等腰或直角三角形． 10．4解析 由正弦定理知a sin A ＝csin C ＝2，所以a ＝2sin A ，代入得原式＝2sin A ＋23cos Asin B＝4·A ＋sin B＝4.11．30 2解析 依题意有AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°， 在△AMB 中，由正弦定理得60sin 45°＝BM sin 30°，解得BM ＝30 2.12．4 3解析 在△ACD 中，cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝AD 2＋DC 2－482AD ·DC ＝－12，整理得AD 2＋DC 2＝48－AD ·DC ≥2AD ·DC ， ∴AD ·DC ≤16，当且仅当AD ＝CD 时等号成立，∴△ADC 的面积S ＝12AD ·DC ·sin ∠ADC ＝34AD ·DC ≤4 3.。
2018届高考(新课标)数学(文)大一轮复习检测第四章 三角函数、解三角形 4-4 Word版含答案
组专项基础训练(时间：分钟)．函数＝的部分图象可能是()【解析】∵＝，∴当－＝，即＝时，函数取得最大值，结合图象看，可使函数在＝时取得最大值的只有.【答案】．(·课标全国Ⅱ)函数＝(ω＋φ)的部分图象如图所示，则()．＝．＝．＝．＝【解析】由图易知＝，因为周期满足＝－，所以＝π，ω＝＝.由＝时，＝可知×＋φ＝＋π(∈)，所以φ＝－＋π(∈)，结合选项可知函数解析式为＝.【答案】．(·天津)已知函数()＝＋ω－(ω＞)，∈.若()在区间(π，π)内没有零点，则ω的取值范围是()∪∪【解析】()＝ω)＋ω－＝·( ω－ω)＝，∵∈(π，π)，ω＞，∴ω－∈，∵()在区间(π，π)内没有零点，∴有以下两种情况：①⊆(π，π＋π)，∈，则有∈，得ω∈，∈，当＝时，ω∈；②⊆(π＋π，π＋π)，∈，则有∈，得ω∈，∈，当＝－时，ω∈，又ω＞，∴ω∈.综上，ω∈∪，故选.【答案】．(·沈阳质检)已知曲线()＝ω＋ω(ω＞)相邻的两条对称轴之间的距离为，且曲线关于点(，)中心对称，若∈，则等于()【解析】()＝ω＋ω＝ω＋(()) ω))＝.∵曲线()＝相邻的两条对称轴之间的距离为，∴最小正周期＝π＝，∴ω＝，∴()＝.∵曲线关于点(，)中心对称；∴＋＝π(∈)，∴＝－(∈)，又∈，∴＝.【答案】．(·开封模拟)函数()＝(ω＋φ)(＞，ω＞，＜φ＜π)的图象如图所示，为了得到这个函数的图象，只需将＝ (∈)的图象上所有的点()。
精编2018版高考数学人教A版理一轮复习真题集训第四章三角函数与解三角形44和答案
真题演练集训1．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( ) A.725B.15 C ．－15D ．－725答案：D解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos πcos α＋sin π·sin α＝2(sin α＋cos α)＝35，所以sin α＋cos α＝325，所以1＋sin 2α＝1825，所以sin 2α＝－725，故选D.2．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( ) A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2 答案：B解析：解法一：由tan α＝1＋sin βcos β，得sin αcos α＝1＋sin βcos β， 即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，∴sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，π2－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴由sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，得 α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2. 解法二：tan α＝1＋sin βcos β＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－βsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cot ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2， ∴α＝k π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2，k ∈Z ∴2α－β＝2k π＋π2，k ∈Z . 当k ＝0时，满足2α－β＝π2，故选B. 3．已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＝________，b ＝________. 答案： 2 1解析：由于2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以A ＝2，b ＝1.4．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＜α＜2π3，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值． 解：(1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T＝π，从而ω＝2πT＝2. 又因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称， 所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，…. 因为－π2≤φ＜π2得k ＝0， 所以φ＝π2－2π3＝－π6. (2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·α2－π6＝34， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝14. 由π6＜α＜2π3得0＜α－π6＜π2， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154. 因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6 ＝14×32＋154×12＝3＋158.课外拓展阅读给值求角忽视角的范围致误已知α，β为三角形的两个内角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，则β＝________. ∵0<α<π，cos α＝17， ∴sin α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437. 又∵sin(α＋β)＝5314， ∴cos(α＋β)＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫53142＝－1114. ∴sin β＝sin ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝32. 又∵0<β<π，∴β＝π3或2π3. (1)不能根据题设条件缩小α，β及α＋β的取值范围，在由同角基本关系式求sin(α＋β)时不能正确判断符号，产生两角解．(2)结论处应由cos β的值确定β的取值，由sin β确定结论时易出现两解而造成失误．因为0<α<π，cos α＝17，所以sin α＝1－cos 2α＝437，故π3<α<π2.又因为0<α＋β<π，sin(α＋β)＝53<3，所以0<α＋β<π3或2π3<α＋β<π. 由π3<α<π2，知2π3<α＋β<π， 所以cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β＝－1114， 所以cos β＝cos＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝12， 又0<β<π，所以β＝π3. π3答题启示利用三角函数值求角时，要充分结合条件，确定角的取值范围，再选取合适的三角函数进行求值，最后确定角的具体取值．。
[推荐学习]2018高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形课时达标检测二十二函数y=Asinωx+
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[推荐学习]2018高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形课时达标检测二十二函数y=Asinωx+课时达标检测（二十二） 函数y=Asin （ωx+φ）的图象及三角函数模型的简单应用[练基础小题——强化运算能力]1．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位解析：选B 由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝⎛⎭⎪⎫x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位即可，故选B.2．(2017·渭南模拟)由y ＝f (x )的图象向A ．－π6B.π6C ．－π3D.π3解析：选D 由图可知A ＝2，T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，故ω＝2ππ＝2，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝2，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝2，所以2×π12＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，故φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝π3.4．(2016·长沙四校联考)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π3个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则函数f (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π12，2k π＋5π12，k ∈Z B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋5π6，k ∈Z 解析：选C 将y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位长度得到的函数为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上每一点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，则函数变为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＝f (x )，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，选C.5.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值时x 的集合为________．解析：根据所给图象，周期T ＝4×⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，故ω＝2ππ＝2，因此f (x )＝sin(2x ＋φ)，又图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，0，所以有2×7π12＋φ＝k π(k ∈Z)，再由|φ|<π2，得φ＝－π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin2x ＋π6，当2x ＋π6＝－π2＋2k π(k ∈Z)，即x ＝－π3＋k π(k ∈Z)时，y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值．答案： ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π－π3，k ∈Z[练常考题点——检验高考能力] 一、选择题1．(2017·汕头调研)已知函数周期为π，其图象的一条对称轴是x ＝π3，则此函数的解析式可以是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6解析：选A 由函数周期为π，排除D ；又其图象的一条对称轴是x ＝π3，所以x ＝π3时，函数取得最值，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3－π6＝1，所以A 正确．2.(2017·洛阳统考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3 B．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3 D．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6解析：选D 由图象可知A ＝1，T 4＝5π12－π6，∴T ＝π，∴ω＝2πT ＝2，故排除A ，C ，把x ＝π6代入检验知，选项D 符合题意．3．(2017·湖北八校联考)把函数y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有点向左平移π6个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到图象的函数解析式为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6解析：选C 把函数y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6(x ∈R)的图象；再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到图象的函数解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6(x ∈R)．4．(2017·郑州模拟)将函数f (x )＝－cos 2x 的图象向右平移π4个单位后得到函数g (x )的图象，则g (x )具有性质( )A ．最大值为1，图象关于直线x ＝π2对称B ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减，为奇函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8，π8上单调递增，为偶函数 D ．周期为π，图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0对称解析：选B 由题意得，g (x )＝－cos2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝－cos2x －π2＝－sin 2x .A.最大值为1正确，而g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，图象不关于直线x ＝π2对称，故A 错误；B.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4时，2x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，g (x )单调递减，显然g (x )是奇函数，故B 正确；C.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8，π8时，2x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－3π4，π4，此时不满足g (x )单调递增，也不满足g (x )是偶函数，故C 错误；D.周期T ＝2π2＝π，g ⎝⎛⎭⎪⎫3π8＝－22，故图象不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0对称．故选B.5．(2017·太原模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期是π，若将f (x )的图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π12对称 B ．关于直线x＝5π12对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称 D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0对称 解析：选B ∵f (x )的最小正周期为π，∴2πω＝π，ω＝2，∴f (x )的图象向右平移π3个单位后得到g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＋φ的图象，又g (x )的图象关于原点对称，∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝2π3＋k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.当x ＝π12时，2x －π3＝－π6，∴A ，C 错误；当x ＝5π12时，2x －π3＝π2，∴B 正确，D 错误．6．将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位后得到函数g (x )的图象．若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( ) A.5π12 B.π3C.π4D.π6解析：选 D 由已知得g (x )＝sin (2x －2φ)，满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2，不妨设此时y ＝f (x )和y ＝g (x )分别取得最大值与最小值，又|x 1－x 2|min ＝π3，令2x 1＝π2，2x 2－2φ＝－π2，此时|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2－φ＝π3，又0<φ<π2，故φ＝π6，选D. 二、填空题7.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________.解析：观察图象可知，A ＝1，T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π， ∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．将⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0代入上式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ＝0， 即－π3＋φ＝k π，k ∈Z ，由|φ|＜π2，得φ＝π3，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，∴x 1＋x 22＝π12，即x 1＋x 2＝π6， ∴f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32.答案：328．(2017·山东师大附中模拟)设P 为函数f (x )＝sin π2x 的图象上的一个最高点，Q 为函数g (x )＝cos π2x 的图象上的一个最低点，则|PQ |的最小值是________．解析：由题意知两个函数的周期都为T ＝2ππ2＝4，由正、余弦函数的图象知，f (x )与g (x )的图象相差14个周期，设P ，Q 分别为函数f (x )，g (x )图象上的相邻的最高点和最低点，设P (x 0,1)，则Q (x 0＋1，－1)，则|PQ |min ＝x 0＋1－x 02＋－1－12＝ 5.答案： 59．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f π6＝________.解析：把函数y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，再把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的图象，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22.答案：2210．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________.解析：依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4ω＋π3＝－1，则π4ω＋π3＝2k π＋3π2(k ∈Z)．所以ω＝8k ＋143(k ∈Z)．因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，所以π3－π4≤πω，即ω≤12，令k ＝0，得ω＝143. 答案：143三、解答题11.函数f (x )＝cos(πx ＋φ)0<φ<π2的部分图象如图所示．(1)求φ及图中x 0的值；(2)设g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13上的最大值和最小值．解：(1)由题图得f (0)＝32，所以cos φ＝32，因为0<φ<π2，故φ＝π6.由于f (x )的最小正周期等于2，所以由题图可知1<x 0<2，故7π6<πx 0＋π6<13π6，由f (x 0)＝32得cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx 0＋π6＝32，所以πx 0＋π6＝11π6，故x 0＝53. (2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π2＝－sin πx ，所以g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6－sin πx ＝cosπx cos π6－sin πx sin π6 －sin πx ＝32cosπx －32sin πx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－πx .当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13时，－π6≤π6－πx ≤2π3.所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－πx ≤1，故当π6－πx ＝π2，即x ＝－13时，g (x )取得最大值3；当π6－πx ＝－π6，即x ＝13时，g (x )取得最小值－32.12．(2017·洛阳质检)如图，摩天轮上一点P 在时刻t (单位：分钟)距离地面的高度y (单位：米)满足y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b ，φ∈[－π，π]，已知该摩天轮的半径为50米，圆心O 距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P 的起始位置在摩天轮的最低点处．(1)根据条件写出y 关于t 的解析式； (2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P 距离地面的高度超过85米？解：(1)由题设可知A ＝50，b ＝60， 又T ＝2πω＝3，所以ω＝2π3，从而y ＝50sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3t ＋φ＋60.生活的色彩就是学习K12的学习需要努力专业专心坚持 由题设知t ＝0时y ＝10，将t ＝0，y ＝10代入y ＝50sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3t ＋φ＋60，得sin φ＝－1，又φ∈[－π，π]，从而φ＝－π2， 因此y ＝60－50cos 2π3t (t ≥0)． (2)要使点P 距离地面的高度超过85米，则有y ＝60－50cos 2π3t >85， 即cos 2π3t <－12，解得2π3<2π3t <4π3，即1<t <2，所以在摩天轮转动的一圈内，点P 距离地面的高度超过85米的时间有1分钟.。
2018版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函
第四章 三角函数、解三角形 4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数教师用书 理 新人教版1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z }．(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. (2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝π180 rad ，1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°.(3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|·r 2.3．任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时，sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x(x ≠0)． 三个三角函数的初步性质如下表：4.三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T .为正弦线；有向线段OM 为余弦线；有向线段【知识拓展】1．三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 2．任意角的三角函数的定义(推广)设P (x ，y )是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O 的距离为r ，则sin α＝y r，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( × ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．( √ ) (3)不相等的角终边一定不相同．( × ) (4)终边相同的角的同一三角函数值相等．( √) (5)若α∈(0，π2)，则tan α>α>sin α.( √ )(6)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( √ )1．角－870°的终边所在的象限是( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 由－870°＝－1 080°＋210°，知－870°角和210°角终边相同，在第三象限． 2．(教材改编)已知角α的终边与单位圆的交点为M (12，y )，则sin α等于( )A.32 B ．±32 C.22D ．±22答案 B解析 由题意知|r |2＝(12)2＋y 2＝1，所以y ＝±32. 由三角函数定义知sin α＝y ＝±32. 3．(2016·潍坊二模)集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z }中的角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 C解析 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1 (n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样，故选C.4．已知在半径为120 mm 的圆上，有一段弧长是144 mm ，则该弧所对的圆心角的弧度数为________rad. 答案 1.2解析 由题意知α＝l r ＝144120＝1.2 rad.5．函数y ＝2cos x －1的定义域为________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z ) 解析 ∵2cos x －1≥0， ∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示)．∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )．题型一 角及其表示例1 (1)若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z )，则α在( ) A ．第一或第三象限 B ．第一或第二象限 C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________________．答案 (1)A (2)(2k π＋π4，2k π＋56π)(k ∈Z )解析 (1)当k ＝2n (n ∈Z )时，α＝2n ·180°＋45°＝n ·360°＋45°，α为第一象限角； 当k ＝2n ＋1 (n ∈Z )时，α＝(2n ＋1)·180°＋45°＝n ·360°＋225°，α为第三象限角． 所以α为第一或第三象限角．故选A.(2)在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为⎝⎛⎭⎪⎫π4，56π，∴所求角的集合为⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋56π(k ∈Z )． 思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角．(2)利用终边相同的角的集合S ＝{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限．(1)终边在直线y ＝3x 上的角的集合是__________________．(2)(2017·广州调研)若角θ的终边与6π7角的终边相同，则在[0,2π]内终边与θ3角的终边相同的角的个数为________．答案 (1){α|α＝π3＋k π，k ∈Z } (2)3解析 (1)在(0，π)内终边在直线y ＝3x 上的角为π3，∴终边在直线y ＝3x 上的角的集合为 {α|α＝π3＋k π，k ∈Z }．(2)∵θ＝6π7＋2k π(k ∈Z )，∴θ3＝2π7＋2k π3(k ∈Z )， 依题意0≤2π7＋2k π3≤2π，k ∈Z ，∴－37≤k ≤187，∴k ＝0,1,2，即在[0,2π]内与θ3角的终边相同的角为2π7，20π21，34π21共三个．题型二 弧度制例2 (1)(2016·成都模拟)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________． 答案2解析 设圆半径为r ，则圆内接正方形的对角线长为2r ，∴正方形边长为2r ，∴圆心角的弧度数是2rr＝ 2.(2)已知扇形的圆心角是α，半径是r ，弧长为l . ①若α＝100°，r ＝2，求扇形的面积；②若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数． 解 ①S ＝12lr ＝12αr 2＝12×59π×4＝109π.②由题意知l ＋2r ＝20，即l ＝20－2r ，S ＝12l ·r ＝12(20－2r )·r ＝－(r －5)2＋25，当r ＝5时，S 的最大值为25.当r ＝5时，l ＝20－2×5＝10，α＝l r＝2(rad)．即扇形面积的最大值为25，此时扇形圆心角的弧度数为2 rad. 思维升华 应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．(1)将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是 ( )A.π3B.π6 C ．－π3D ．－π6(2)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) A.π6 B.π3 C ．3D. 3答案 (1)C (2)D解析 (1)将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，故A 、B 不正确；又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16.即为－16×2π＝－π3.(2)如图，等边三角形ABC 是半径为r 的圆O 的内接三角形，则线段AB 所对的圆心角∠AOB ＝2π3，作OM ⊥AB ，垂足为M ，在Rt△AOM 中，AO ＝r ，∠AOM ＝π3，∴AM ＝32r ，AB ＝3r ， ∴l ＝3r ，由弧长公式得α＝l r＝3rr＝ 3.题型三 三角函数的概念 命题点1 三角函数定义的应用例3 (1)(2016·广州模拟)若角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝24m ，则cos θ的值为________．(2)点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为 ( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎪⎫－32，12 答案 (1)－64(2)A 解析 (1)由题意知r ＝3＋m 2， ∴sin θ＝m3＋m2＝24m ， ∵m ≠0，∴m ＝±5，∴r ＝3＋m 2＝22， ∴cos θ＝－322＝－64.(2)由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32. ∴Q 点的坐标为(－12，32)．命题点2 三角函数线例4 函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域为__________________． 答案 [2k π＋π3，2k π＋5π6)(k ∈Z )解析 要使原函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1>0，1－2cos x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >12，cos x ≤12，如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，原函数的定义域为[2k π＋π3，2k π＋5π6) (k ∈Z )．思维升华 (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P 的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P 的坐标．(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围．(1)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0.则实数a的取值范围是( ) A ．(－2,3] B ．(－2,3) C ．[－2,3)D ．[－2,3](2)满足cos α≤－12的角α的集合为________．答案 (1)A (2){α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z }解析 (1)∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3.(2)作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连接OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为{α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z }．6．数形结合思想在三角函数中的应用典例 (1)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于C (2,1)时，OP →的坐标为________．(2)(2017·合肥调研)函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________．思想方法指导 在坐标系中研究角就是一种数形结合思想，利用三角函数线可直观得到有关三角函数的不等式的解集． 解析 (1)如图所示，过圆心C 作x 轴的垂线，垂足为A ，过P 作x 轴的垂线与过C 作y 轴的垂线交于点B .因为圆心移动的距离为2，所以劣弧PA ＝2，即圆心角∠PCA ＝2， 则∠PCB ＝2－π2，所以PB ＝sin(2－π2)＝－cos 2，CB ＝cos(2－π2)＝sin 2，所以x P ＝2－CB ＝2－sin 2，yP ＝1＋PB ＝1－cos 2， 所以OP →＝(2－sin 2,1－cos 2)． (2)∵3－4sin 2x ＞0， ∴sin 2x ＜34，∴－32＜sin x ＜32. 利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )． 答案 (1)(2－sin 2,1－cos 2)(2)⎝⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )1．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是 ( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋94π(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案 C解析 与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C 正确．2．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( ) A ．sin α＋cos α＜0 B ．tan α－sin α＜0 C ．cos α－tan α＜0 D ．tan αsin α＜0 答案 B解析 α是第三象限角，sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，则可排除A 、C 、D ，故选B. 3．(2016·广州一模)已知α是第二象限的角，其终边上的一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，则tan α等于( )A.155 B.153 C ．－155D ．－153答案 D解析 ∵P (x ，5)，∴y ＝ 5. 又cos α＝24x ＝xr，∴r ＝22， ∴x 2＋(5)2＝(22)2，解得x ＝± 3. 由α是第二象限的角，得x ＝－3，∴tan α＝y x ＝5－3＝－153.4．(2017·九江质检)若390°角的终边上有一点P (a,3)，则a 的值是( )A. 3B ．3 3C ．－ 3D ．－3 3 答案 B解析 tan 390°＝3a， 又tan 390°＝tan(360°＋30°)＝tan 30°＝33， ∴3a ＝33，∴a ＝3 3. 5．给出下列各函数值：①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)；④sin 7π10cos πtan 17π9. 其中符号为负的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④ 答案 C 解析 sin(－1 000°)＝sin 80°>0；cos(－2 200°)＝cos(－40°)＝cos 40°>0；tan(－10)＝tan(3π－10)<0；sin 7π10cos πtan 179π＝－sin 7π10tan 17π9>0. 6．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( ) A ．1B ．－1C ．3D ．－3答案 B解析 由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.7．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．答案 (－1，3)解析 依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)．8．已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________． 答案 π3解析 设扇形半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧ l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＝π3，r ＝2.9．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是第________象限角． 答案 二解析 由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角， ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2， ∴cos θ2≤0， 综上知θ2为第二象限角． 10．在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为________．答案 (π4，5π4) 解析 如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cos π4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－22.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x ∈(π4，5π4)． 11．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB . 解 设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝l r＝2(rad)．如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，则∠AOH ＝1 rad.∴AH ＝1·sin 1＝sin 1(cm)，∴AB ＝2sin 1(cm)．∴圆心角的弧度数为2 rad ，弦长AB 为2sin 1 cm.12．已知角α终边上一点P ，P 到x 轴的距离与到y 轴的距离之比为3∶4，且sin α<0，求cos α＋2tan α的值．解 设P (x ，y )，则根据题意，可得|y ||x |＝34. 又∵sin α<0，∴α的终边只可能在第三、第四象限．①若点P 位于第三象限，可设P (－4k ，－3k )(k >0)，则r ＝x 2＋y 2＝5k ， 从而cos α＝x r ＝－45，tan α＝y x ＝34， ∴cos α＋2tan α＝710. ②若点P 位于第四象限，可设P (4k ，－3k )(k >0)，则r ＝x 2＋y 2＝5k ， 从而cos α＝x r ＝45，tan α＝y x ＝－34， ∴cos α＋2tan α＝－710. 综上所述，若点P 位于第三象限，则cos α＋2tan α＝710；若点P 位于第四象限，则cos α＋2tan α＝－710. *13.已知sin α<0，tan α>0.(1)求角α的集合；(2)求α2终边所在的象限； (3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号． 解 (1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上； 由tan α>0，知α在第一、三象限，故角α在第三象限，其集合为{α|2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z }． (2)由2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ， 故α2终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时，tan α2<0， sin α2>0，cos α2<0， 所以tan α2sin α2cos α2取正号； 当α2在第四象限时，tan α2<0， sin α2<0，cos α2>0， 所以tan α2sin α2cos α2也取正号． 因此，tan α2sin α2cos α2取正号．。
2018版高考数学(全国人教B版理)大一轮复习讲义：第四章解三角函数、解三角形第7讲含解析
基础巩固题组（建议用时：40分钟）一、选择题1。
在相距2 km的A,B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°,则A，C两点之间的距离为（)A. 6 km B。
错误!kmC。
3 km D.2 km解析如图，在△ABC中，由已知可得∠ACB＝45°,∴错误!＝错误!，∴AC＝2错误!×错误!＝错误!（km）.答案A2。
一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B,C两点间的距离是( )A。
10错误!海里B。
10错误!海里C。
203海里D。
20错误!海里解析如图所示，易知，在△ABC中,AB＝20，∠CAB＝30°,∠ACB＝45°，根据正弦定理得BCsin 30°＝错误!，解得BC＝10错误!(海里）。
答案A3。
（2017·青岛调研)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为（）A.a km B。
错误!a kmC.2a km D。
2a km解析由题图可知，∠ACB＝120°，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝a2＋a2－2·a·a·错误!＝3a2，解得AB＝错误!a(km）.答案B4.如图，一条河的两岸平行,河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B。
已知AB＝1 km,水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为( )A。
8 km/h B。
2018版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函
2018版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数试题 理 新人教版基础巩固题组 (建议用时：30分钟)一、选择题1.给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角.其中正确的命题有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个解析 －3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，②正确.－400°＝－360°－40°，从而③正确.－315°＝－360°＋45°，从而④正确. 答案 C2.已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边所在象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限解析 由题意知tan α＜0，cos α＜0，∴α是第二象限角. 答案 B3.(2017·福州模拟)已知角θ的终边经过点P (4，m )，且sin θ＝35，则m 等于( )A.－3B.3C.163D.±3解析 sin θ＝m16＋m 2＝35，解得m ＝3. 答案 B4.点P 从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A.(－12，32)B.(－32，－12) C.(－12，－32)D.(－32，12) 解析 由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32.答案 A5.已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0.则实数a 的取值范围是( ) A.(－2，3] B.(－2，3) C.[－2，3)D.[－2，3]解析 ∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上.∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3. 答案 A6.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为( ) A.π3B.π2C. 3D.2解析 设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝α·r ，∴α＝ 3. 答案 C 7.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角. 其中正确命题的个数是( ) A.1B.2C.3D.4解析 举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错.综上可知只有③正确. 答案 A8.(2016·合肥模拟)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( ) A.－45B.－35C.35D.45解析 由题意知，tan θ＝2，即sin θ＝2cos θ，将其代入sin 2θ＋cos 2θ＝1中可得cos 2θ＝15，故cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35.答案 B 二、填空题9.已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________.解析 在[0，2π)内，终边落在阴影部分角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，56π，所以，所求角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋56π(k ∈Z ). 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋56π(k ∈Z )10.设P 是角α终边上一点，且|OP |＝1，若点P 关于原点的对称点为Q ，则Q 点的坐标是________.解析 由已知P (cos α，sin α)，则Q (－cos α，－sin α). 答案 (－cos α，－sin α)11.已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________.解析 设扇形半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝π3，r ＝2. 答案π312.(2017·九江模拟)若390°角的终边上有一点P (a ，3)，则a 的值是________. 解析 tan 390°＝3a ，又tan 390°＝tan(360°＋30°)＝tan 30°＝33.∴3a ＝33，∴a＝3 3. 答案 3 3能力提升题组 (建议用时：15分钟)13.已知圆O ：x 2＋y 2＝4与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆O 顺时针运动π2弧长到达点N ，以ON 为终边的角记为α，则tan α＝( ) A.－1B.1C.－2D.2解析 圆的半径为2，π2的弧长对应的圆心角为π4，故以ON 为终边的角为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋π4，k ∈Z ，故tan α＝1. 答案 B14.(2016·郑州一模)设α是第二象限角，P (x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α等于( ) A.43B.34C.－34D.－43解析 因为α是第二象限角，所以cos α＝15x <0，即x <0.又cos α＝15x ＝xx 2＋16，解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43.答案 D15.函数y ＝2sin x －1的定义域为________. 解析 ∵2sin x －1≥0，∴sin x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示). ∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z ). 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P 的位置在(0，0)，圆在x 轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP →的坐标为________.解析 如图，作CQ ∥x 轴，PQ ⊥CQ, Q 为垂足.根据题意得劣弧DP ︵＝2，故∠DCP ＝2，则在△PCQ 中，∠PCQ ＝2－π2，|CQ |＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＝sin 2，|PQ |＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＝－cos 2，所以P 点的横坐标为2－|CQ |＝2－sin 2，P 点的纵坐标为1＋|PQ |＝1－cos 2，所以P点的坐标为(2－sin 2，1－cos 2)，故OP →＝(2－sin 2，1－cos 2). 答案 (2－sin 2，1－cos 2)。
2018高考数学复习：第4章三角函数第2节三角函数的图像与性质
第四章 三角函数第2节 三角函数的图像与性质题型51 已知解析式确定函数性质1.（2013浙江文6）函数()sin cos f x x x x =⋅+的最小正周期和振幅分别是 A.π1， B.π2， C. 2π1， D. 2π2，1.分析 把函数的解析式化简为只含一个三角函数名的三角函数式，再求周期和振幅.解析 ()1sin 22sin 223f x x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，所以最小正周期为22T π==π，振幅1A =.故选A.2.（2013江苏1）函数π3sin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为 . 2.分析 利用函数()sin y A x ωϕ=+的周期公式求解. 解析 函数3sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期T 2π==π2. 3.（2014陕西文2）函数()πcos 2+4f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的最小正周期是（ ）.A.π2B.πC.2πD.4π 4.（2014新课标Ⅰ文7）在函数①cos 2y x =，②cos y x =，③cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， ④tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为（ ）A.①②③B. ①③④C. ②④D. ①③5.（2014天津文8）已知函数()()cos 0,.f x x x x ωωω=+>∈R 在曲线()y f x =与直线1y =的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则()f x 的最小正周期为（ ）.A.π2 B.2π3C.πD.2π 6. （2014山东文12）函数22cos y x x =+的最小正周期为 . 7.（2014福建文18）（本小题满分12分） 已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+.（1）求5()4f π的值； （2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.8.（2015四川文5）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（ ）. A.πsin 22y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B. πcos 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.sin 2cos 2y x x =+D. sin cos y x x =+ 8.解析 由2πT ω=，可知选项A ，B ，C 的周期都是π，选项D 的周期为2π.通过化简可得，选项A ：cos 2y x =，为偶函数； 选项B 为：sin 2y x =-，为奇函数； 选项C为：π24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，为非奇非偶函数.故选B.9.（2015全国1文8）函数则()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，()f x 的单调递减区间为（ ）.A. ()13π,π44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ZB. ()132π,2π44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z C. ()13,44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z D. ()132,244k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z 9.解析 由图可知511244T =-=，得2T =，2ππTω==. 画出图中的一条对称轴0x x =，如图所示. 由图可知034x =，则3πcos 14ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 可得3π2ππ4k ϕ+=+， 则()π2π4k k ϕ=+∈Z ，得()πcos π4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由π2ππ2ππ4k x k ++， 得132244k xk -+.故选D. 4.（2015湖南文）已知0ω>，在函数的交点2sin y xω=与2cos y x ω=的图像中，距离最短的两个交点的距离为则ω= .4.解析 令2sin 2cos x x ωω=，解得2ππ4k x ωω=+和2π5π4k x ωω=+，k ∈Z . 2ππ2sin 4k ωωω⎛⎫+= ⎪⎝⎭2π5π2sin 4k ωωω⎛⎫+=⎪⎝⎭所以交点的坐标为2ππ4k ωω⎛+⎝，2π5π,4k ωω⎛+ ⎝.k ∈Z .距离最短的两个交点一定在同一个周期内，所以((2222π5π2ππ44k k ωωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，解得π2ω=. 5.（2015浙江文）函数()2sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，最小值是 ．5.解析 ()1cos 21π3sin 21sin 222242x f x x x -⎛⎫=++=-+ ⎪⎝⎭，所以2ππ2T ==，()min 32f x =. 6.（2015天津文）已知函数()()sin cos 0,,f x x x x ωωω=+>∈R 若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增，且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称，则ω的值为 ．6.解析 由()f x 在区间(),ωω-内单调递增，且()f x 的图像关于直线x ω=对称，可得π2ωω，即2π2ω，且()222πsin cos sin 14f ωωωω⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，所以2ππ422ωω+=⇒= 7.（2015安徽文）已知函数2()(sin cos )cos 2f x x x x =++（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.7.解析 （1）因为()()2sin cos cos21sin 2cos2f x x x x x x =++=++=π214x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2π2ππ2T ω===.（2）因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则πsin 242x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以()max 1f x =()min 0f x =.8.（2015北京文）已知函数()2sin 2xf x x =- （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值. 8. 解析 （1）()21cos sin sin 22x xf x x x -=-=-=πsin 2sin 3x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，函数()f x 的最小正周期2πT =.（2）当（1）知()π2sin 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，当2π03x，πππ33x +，π0sin 13x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()323f x --，函数()f x 在区间2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为. 9.（2016浙江文3）函数2sin y x =的图像是（ ）.A. B. C. D.9. D 解析 易知2sin y x =为偶函数，所以它的图像关于y 轴对称，排除A ，C 选项；当2π2x =，即x =max 1y =，排除B 选项.故选D.10.（2016上海文8）方程3sin 1cos2x x =+在[]0,2π区间上的解为 . 10.π6，5π6解析 23sin 22sin x x =-，即22sin 3sin 20x x +-=， 所以()()2sin 1sin 20x x -+=，故1sin 2x =.由于[]0,2πx ∈，故π6x =，5π6. 11.（2016江苏9）定义在区间[]0,3π上的函数sin 2y x =的图像与cos y x =的图像的交点个数是 .11.7解析 解法一（图像法）：画出函数图像草图，如图所示.共7个交点.解法二（解方程）：即解方程sin2cos x x =，即2sin cos cos x x x =. 所以cos 0x =或1sin 2x =，由[]0,3πx ∈. 当cos 0x =时，,,222x π3π5π=；当1sin 2x =时，,,,6666x π5π13π17π=. 共7个根，即共7个交点.12.（2016山东文17）设2()π)sin (sin cos )f x x x x x =---.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）把()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图像向左平移π3个单位，得到函数()y g x =的图像，求π6g ⎛⎫⎪⎝⎭的值. 12.解析 （1）由()()()2πsin sin cos f x x x x x =---=()212sin cos x x x --)1cos 2sin 21x x =-+-=sin 221x xπ2sin 213x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()πππ2π22π232k x k k --+∈Z ，得()π5πππ1212k x k k -+∈Z ， 所以()f x 的单调递增区间是()π5ππ,π1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，（或写为()π5ππ,π1212k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ）.（2）由（1）知()f x π2sin 213x ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 把()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y =π2sin 13x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像，再把得到的图像向左平移π3个单位，得到y 2sin 1x =+的图像，即()2sin 1.g x x =所以ππ2sin 166g ⎛⎫=+=⎪⎝⎭13.（2017全国2文3）函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为（ ）.A.4πB.2πC. πD. π213.解析 由题意，22T π==π.故选C.14.（2017山东文7）函数2cos 2y x x =+的最小正周期为（ ）.A.π2 B.2π3C.πD. 2π 14.解析 由题意，得2sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，其最小正周期22T π==π.故选C.15.（2017浙江18）已知函数()()22sin cos cos f x x x x x x =--∈R . （1）求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.15.解析 （1）由2sin 3π=21cos 32π=-，得222112322f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）由22cos2cos sin x x x =-，sin22sin cos x x x =，得()cos 222sin 26f x x x x π⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期是2π2T ==π.由正弦函数的性质得3222,262k x k k πππ+π++π∈Z ，解得2,63k x k k ππ+π+π∈Z . 所以()f x 的单调递增区间是2,63k k k ππ⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ，.题型52 函数的值域(最值)1. (2013天津文6）函数π()sin 24f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是( ). A. 1-B.C.D. 01.分析：确定出π24x -的范围，根据正弦函数的单调性求出最小值. 解析 因为π0,,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以ππ3π2,444x --≤≤所以当ππ244x -=-时，()πsin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有最小值2-故选B. 2.（2013江西文13）设sin 3cos3f x x x =+（），若对任意实数x 都有||f x a （），则实数a的取值范围是 .2.解析 由于()π3cos32sin 36f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则()π2sin 326f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭≤，要使()f x a ≤恒成立，则2a ≥.答案[)2,+∞.3. (2013陕西文14）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x 为 m . 3.解析 设矩形花园的宽为y m ，则404040x y-=，即40y x =-,矩形花园的面积()()22404020400S x x x x x =-=-+=--+，当20x =m 时，面积最大．4. （2013江苏18）如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲.乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m /min .在甲出发min 2后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留min 1后，再从匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度40m为130m /min ，山路AC 长为1260m ，经测量，1312cos =A ，53cos =C . （1）求索道AB 的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ （3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？4.分析 （1）由cos A ，cos C 的值可求得sin B 的值，然后在ABC △中利用正弦定理可得AB 的长度；（2）利用余弦定理将乙与甲之间的距离表示为出发时间的函数，然后求得函数的最小值，即得最短距离.（3）利用正弦定理求出BC 的长，再根据题 意列不等式求解.解析 （1）在ABC △中，因为12cos 13A =，3cos 5C =，所以54sin ,sin 135A C ==.从而()()sin sin sinB AC A C =π-+=+⎡⎤⎣⎦sin cos cos sin A C A C=+531246313513565=⨯+⨯=. 由正弦定理sin sin AB ACC B=，得()12604sin 1040m 63sin 565AC AB C B =⋅=⨯=. 所以索道AB 的长为1040m .（2）假设乙出发min t 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了()10050m t +，乙距离A 处130m t ，所以由余弦定理得()()22210050130d t t =++()213010050t t -⨯⨯+⨯()212200377050.13t t =-+ 由于10400130t ≤≤，即08t ≤≤，故当()35min 37t =时，甲、乙两游客距离最短.（3）由正弦定理sin sin BC ACA B=，得()12605sin 500m 63sin 1365AC BC A B =⋅=⨯=. 乙从B 出发时，甲已走了()()50281550m ⨯++=，还需走710m 才能到达C .CBA设乙步行的速度为m/min v ，由题意得5007103350v --≤≤，解得1250625434v ≤≤， 所以为使两游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在()1250625,m /min 4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦单位：范围内.5.（2013山东文18）设函数2()sin cos (0)f x x x x ωωωω=->，且y =()f x图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4．（1） 求ω的值；（2）求()f x 在区间3ππ,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 5.分析 （1）先利用倍角公式，两角和、差的三角公式把函数()f x 的解析式进行化简整理， 再利用对称中心到最近的对称轴的距离为4π求出ω；（2）先根据x 的取值范围求出23x π-的取值范围，然后利用三角函数的图象，并结合其单调性求出()f x 的最值.解析 （1）()2sin cos f x x x x ωωω=--1cos 21sin 222x x ωω-=-12sin 22x x ωω=-sin 23x ωπ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4π，又0ω，所以24ωππ=⨯24.因此1ω=.（2）由（1）知()sin 2f x x π⎛⎫=-- ⎪3⎝⎭. 当x 3ππ2≤≤时，2x 5ππ8π-332≤≤.所以sin 2x π⎛⎫-1 ⎪3⎝⎭≤.因此()f x -1≤.故()f x 在区间3,2π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦，1-.6. (2013安徽文16）设函数()sin sin 3f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小值，并求使()f x 取得最小值x 的集合；（2）不画图，说明函数()y f x =的图象可由sin y x =的图象经过怎样变化得到.6. 分析 （1）先逆用两角和正弦公式把()f x 化成关于一个角的三角函数，再利用正弦函 数性质计算；（2）利用三角函数图象的变换规律求解.解析 （1）因为()1sin sin cos 22f x x x x =++3sin cos 226x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.所以当()26x k k ππ+=π-∈2Z ，即()223x k k π=π-∈Z 时，()f x 取得最小值. 此时x 的取值集合为22,3x x k k ⎧π⎫=π-∈⎨⎬⎩⎭Z .（2）先将sin y x =y x =的图象；再将y x =的图象上所有的点向左平移π6个单位，得()y f x =的图象.7. (2013陕西文16）已知向量)1cos cos22x x x x ⎛⎫=-=∈ ⎪⎝⎭R ，，，，a b ，设函数()f x =⋅a b .（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值.7.分析 利用向量数量积运算及辅助角公式将()f x 化为一个角的一种三角函数，利用公式 确定周期；利用正弦函数的性质确定最值．解析 ())1cos ,,cos 22f x x x x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭11sin cos 22cos 222x x x x x =-=-πππcos sin 2πsin cos 2πsin 2666x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.（1）()f x 的最小正周期为2π2ππ2T ω===，即函数()f x 的最小正周期为π.（2）因为π02x ≤≤，所以ππ5π2666x --≤≤.由正弦函数的性质，得当ππ262x -=，即π3x =时，()f x 取得最大值1；当ππ266x -=-，即0x =时，()102f =-；当π52π66x -=，即π2x =时，π122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小值为12-. 因此，()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是1，最小值是12-．8. (2013重庆文18）在ABC △中，内角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，且222a b c =++.（1）求A ；（2）设a S =为ABC △的面积，求3cos cos S B C +的最大值，并指出此时B 的值.8.分析 利用正、余弦定理及差角三角函数直接运算解答.解析 （1）由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-===.又因为0πA <<，所以5π6A =.（2）由（1）得1sin 2A =.又由正弦定理及a = 11sin sin sin 3sin sin 22sin a B S ab C a C B C A==⋅⋅=，因此，3cos cos S B C +()3sin sin cos cos B C B C =+()3cos B C =-. 所以，当B C =，即ππ212A B -==时，2cos cos S B C +取最大值3.9.（2013辽宁文17） 设向量)()πsin cos sin 02a x x b x x x ⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦，，，，，.（1）若a b =，求x 的值；（2）设函数()f x a b =⋅，求()f x 的最大值.9.分析 分别表示两向量的模，利用相等求解x 的值；利用数量积运算及辅助角公式化为一 个角的一种函数求解.解析 （1）由)2222sin 4sin xx x =+=a ，222cos sin 1x x =+=b ，及=a b ，得24sin 1x =.又π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，从而1sin 2x =，所以π6x =.（2）()2cos sin f x x x x =⋅=⋅+a b 112cos 222x x =-+1sin 262x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 当ππ0,32x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦时，πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭取最大值1． 所以()f x 的最大值为32． 10.（2014新课标Ⅱ文14）函数()sin()2sin cos f x x x ϕϕ=+-的最大值为 .11.（2014江苏14）若ABC △的内角满足sin 2sin A B C +=，则cos C 的最小值是 ．12.（2014北京文16）（本小题满分13分）函数()π3sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的部分图像如图所示.（1）写出()f x 的最小正周期及图中0x ，0y 的值； （2）求()f x 在区间ππ,212⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.12. 解析 （I ）()f x 的最小正周期为π.007π36x y =⋅=. （II ）因为ππ,212x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，所以π5π2,066x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦.于是，当π206x +=，即π12x =-时，()f x 取得最大值0；当ππ262x +=-，即π3x =-时，()f x 取得最小值3-. 评注 本题主要考查函数()sin y A x ωϕ=+的图像和性质，熟练掌握三角函数的图像是解题的关键，属基础题.13．（2014湖北文18）（本小题满分12分） 某实验室一天的温度（单位：C ）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：()ππ10sin 1212f t t t =-，[)024t ∈，. （Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度； （Ⅱ）求实验室这一天的最大温差.14.（2016全国甲文11）函数()πcos26cos 2f x x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭的最大值为（ ）. A.4 B.5 C.6 D.714. B 解析 ()()cos 26sin f x x x =+22sin 6sin 1x x =-++23112sin 22x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，所以当sin 1x =时，()f x 取得最大值2615-++=.故选B.15.（2016江苏14）在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是 .15.8分析 求解多元最值问题，首要的关键是考虑如何消参.解析 解法一：由()sin sin A B C =+sin cos cos sin 2sin sin B C B C B C =+= （*） 由三角形ABC 为锐角三角形，则cos 0,cos 0B C >>， 同时除以cos cos B C 得tan tan 2tan tan B C B C +=. 又()tan tan tan tan 01tan tan B CA B C B C+=-+=->-，所以tan tan 1B C >.故tan tan tan A B C tan tan 2tan tan 1tan tan B C B C B C +⎛⎫=-⎪-⎝⎭，不妨设tan tan t B C =()1t >，故2222tan tan tan 111t A B C t t t==--+， 所以当112t =，即2t =时，()min tan tan tan 8A B C =. 此时tan tan 4B C +=，tan tan 2B C =，解得tan 2tan 2tan 4B C A ==+=（或tan ,tan B C 互换）， 此时,,A B C 均为锐角，满足条件.解法二：由解法一部分可知tan tan 2tan tan B C B C +=， 在锐角三角形中，tan ,tan ,tan 0A B C >， 而()tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B C+=-+=--，即()tan 1tan tan tan tan A B C B C -+=+，从而tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++（这个公式课本中作为例题出现要求证明）. 故tan tan tan tan 2tan tan A B C A B C=+22tan tan tan A B C整理得tan tan tan 8A B C ，当且仅当tan tan 4B C +=，tan 2tan tan 4A B C==，解得tan 2tan 2tan 4B C A ==+=（或tan ,tan B C 互换）， 此时,,A B C 均为锐角，满足条件.评注 从表面此题看似,B C 等价，但构造等腰三角形求解出的最值却不正确，因此等价的思想也需慎用.如果注意到此题的结构，我们优先考虑切化弦，且优先考虑sin sin B C 搭配， 则有：解法三：sin sin sin tan tan tan =cos cos cos A B C A B C A B C =()22sin sin 1sin sin cos cos cos cos B C B C B C B C⨯-()222sin sin 8sin sin 2B C B C =⎛⎫⎪⎝⎭（因为22a b ab +⎛⎫⎪⎝⎭）.最后检验一下是否存在即可. 16.（2017全国2文13）函数()cos sin =2+f x x x 的最大值为.16.解析 因为()())tan 2f x x ϕϕ=+=，所以()max f x 17.（2017全国3文6）函数()1ππsin cos 536f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为（ ）. A ．65B ．1C ．35D ．1517.解析 11()sin sin sin sin 5362533f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 6sin 53x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故选A. 评注 本题属于中档题，基础差一点的学生在解题思路方面可能会存在一定问题，三角恒等变换中公式的选择对于学生来说是一个难点，对于老师教学来说是一个重点，选择合适的公式能起到事半功倍的效果！18.（2017江苏16）已知向量()cos ,sin x x =a ，(3,=b ，[]0,πx ∈． （1）若∥a b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．18.解析 （1）因为()cos ,sin x x =a ，(3,=b ，∥a b ，所以3sin x x =， 若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，因此cos 0x ≠．所以tan x =，由[]0,πx ∈，所以56x =π． （2）()()(cos ,sin 3,x x f x =⋅=⋅ab 3cos 6x x x ⎛⎫=-=+⎝π⎪⎭． 因为[]0,πx ∈，所以,666x ππ7⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦π，所以31cos 62x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭π． 所以当66x +ππ=，即0x =时，()f x 的最大值为3； 当6x +π=π，即6x 5π=时，()f x 的最小值为-题型53 根据条件确定解析式1. （2013四川文6）函数()()ππ2sin >0<<22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，的部分图象如图所示，则ωϕ，的值分别是（ ）.A. π23-，B. π26-，C. π46-，D. π43， 1.分析 借助三角函数的图象和性质求解.解析 因为115,21212T =π-π所以T =π. 又()20T ωωπ=>，所以2ωπ=π，所以2ω=.由五点作图法可知当512x =π时，x ωϕπ+=2，即52122ϕπ⨯π+=，所以3ϕπ=-. 故选A.2.（2014江苏5）已知函数cos y x =与()sin 2y x ϕ=+()0ϕ<π≤，它们的图像有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 ． 3.（2014大纲文16）直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为（1，3），则1l 与2l 的夹角的正切值等于.4.（2016全国甲文3）函数的部分图像如图所示，则（ ）. A.π2sin 26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B.π2sin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C.π2sin 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭4.A 解析 解法一：当0x =时，0y <，排除C ，D.当3x π=时，2y =，代入A 满足.故选A.5.（2016上海文17）设a ∈R ，[]0,2πb ∈.若对任意实数x 都有πsin 33x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()sin ax b +，则满足条件的有序实数对(),a b 的对数为（ ）.A.1B.2C.3D.4 5.解析 ①当3a =时，则3b 5π=；②当3a =-时，则4π3b =.共2组.故选B. 评注 事实上a 确定了，则b 能唯一确定，因此共2组. 6.（2016天津文8）已知函数)0(21sin 212sin )(2>-+=ωωωx xx f ，x ∈R .若)(x f 在区间(π,2π)内没有零点，则ω的取值范围是（ ）. A.10,8⎛⎤ ⎥⎝⎦ B.150,,148⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ C.50,8⎛⎤ ⎥⎝⎦ D.1150,,848⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦6. D 解析 由题意()f x =1cos 2x ω-+sin 122x ω-=πsin 24x ω⎛⎫- ⎪⎝⎭. 由()0f x =，即πsin 04x ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得()ππ+4k x k ω=∈Z .又()()ππ+4π,2πk x k ω=∉∈Z ，因此115599,,,848484ω⎛⎫⎛⎫⎛⎫∉⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭115,,848⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1150,,848ω⎛⎤⎡⎤∈ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦.故选D. 7.（2016全国乙文12）若函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在(),-∞+∞上单调递增，则a 的取值范围是（ ）.A.[]1,1-B.11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D.11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦7. C 解析 问题转化为()21cos2cos 03f x x a x '=-+对x ∈R 恒成立， 故()2212cos 1cos 03x a x --+，即245cos cos 033a x x -+恒成立. 令cos x t =，得245033t at -++对[]1,1t ∈-恒成立. 解法一：构造()24533g t t at =-++，开口向下的二次函数()g t 的最小值的可能值为端点值，故只需保证()()11031103g a g a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得1133a -.故选C.解法二：①当0t =时，不等式恒成立； ②当01t <时，1543at t ⎛⎫- ⎪⎝⎭恒成立，由y =1543t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭在01t <上单调递增， 所以()1511445333t t ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，故13a -； ③当10t -<时，1543at t ⎛⎫- ⎪⎝⎭恒成立.由y =1543t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭在10t -<上单调递增， ()1511445333t t ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，所以13a . 综上可得，1133a -.故选C. 评注 曾经谈到必要条件的问题，如取cos 1x =，则转化为13a-，因此直接选择C 选项.这缘于运气好，若不然取cos 0x =，则式子恒成立；取cos 1x =-，则13a ，此时只能排除A 选项.此外，可在未解题之前取1a =-，此时()1sin 2sin 3f x x x x =--，则()21cos2cos 3f x x x '=--，但此时()22011033f '=--=-<，不具备在(),-∞+∞上单调递增，直接排除A ，B ，D.故选C.8. （2016浙江文11）已知22cos sin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>，则A =________，b =________.8.；1 解析 2π2cos sin 2214x x x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，所以A =1b =.9.（2016上海文5）若函数()4sin cos f x x a x =+的最大值为5，则常数a = .9.3±解析 由辅助角公式可知函数()f x 5=，故3a =±.10.（2016北京文16）已知函数()()2sin cos cos20f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π.（1）求ω的值；（2）求()f x 的单调递增区间. 10.解析 （1）因为()2sin cos cos2sin2cos2f x x x x x x ωωωωω=+=+=π24x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ωω==.依题意ππω=，解得1ω=.（2）由（1）知，()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.函数sin y x =的单调递增区间为()ππ2π,2π22k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z . 由πππ2π22π242k x k -++，得3ππππ88k xk -+.所以()f x 的单调递增区间为()3πππ,π88k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .11.（2017天津文7）设函数()2sin(),f x x x ωϕ=+∈R ，其中0,||πωϕ><.若5π28f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）. A.2π,312ωϕ== B.211π,312ωϕ==- C.111π,324ωϕ==- D.17π,324ωϕ== 11.解析 解法一：由题意，得125π282118k k ωϕωϕπ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以()2142233k k ω=--.又22T ωπ=>π，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕ=π+π，由ϕ<π，得π12ϕ=.故选A ．解法二：由5π28f ⎛⎫=⎪⎝⎭，11π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，知()11π5π3π214884T k +=-=，所以3π21T k =+.又()f x 的最小正周期2πT >，故0k =，3πT =，2π23T ω==，所以将5π8x =代入()2sin()f x x ωϕ=+，得125ππ2π382k ϕ⨯+=+，1k ∈N ，||πϕ<，解得π12ϕ=.题型54 三角函数图像变换1. （2013湖北文6）将函数sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）. A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π61.分析 先将函数解析式化简，再写出平移后的解析式，然后根据函数为偶函数求得m 的值.解析由于πsin 2cos 6y x x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，向左平移()0m m >个单位长度后得到函数π2cos 6y x m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象，由于该图象关于y 轴对称，所以()ππ6m k k -=∈Z ，于是()ππ6m k k =+∈Z ，又0m >，故当0k =时，m 取最小值π6.故选B.2．(2013福建文9）将函数()()ππsin 222f x x θθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像向右平移()1ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图像，若()(),f x g x 的图像都经过点02P ⎛⎝⎭，，则ϕ的值可以是（ ）.A ．5π3 B ．5π6 C ．π2 D ．π62.分析 先求出解析式中的字母的聚取值，再利用代入法确定答案.解析 因为P ⎛ ⎝⎭在()f x 的图象上，所以()0sin f θ==因为ππ22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以π=3θ，所以()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()()πsin 23g x x ϕ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦.因为()02g =，所以sin 232ϕπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.验证，5π6ϕ=时，ππ54sin 2sin πsin π33332ϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立.故选B. 3.（2014四川文3）为了得到函数()sin 1y x =+的图像，只需把函数sin y x =的图像上所有的点（ ）.A.向左平行移动1个单位长度B.向右平行移动1个单位长度C.向左平行移动π个单位长度D.向右平行移动π个单位长度 4.（2014福建文7）将函数sin y x =的图像向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的图像，则下列说法正确的是（ ）. A.()y f x =是奇函数 B. ()y f x =的周期是πC. ()y f x =的图像关于直线2x π=对称 D. ()y f x =的图像关于点02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称 5. （2014安徽文7）若将函数()sin2cos2f x x x =+的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ） A.8π B.4π C.83π D.43π5. 解析 由()πsin 2cos 224f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭知()f x 图像的对称轴方程为()ππ28k x k =+∈Z ，因此在y 轴左侧且离y 轴最近的对称轴方程为3π8x =-.依题意结合图像知，ϕ的最小正值为3π8，故选C.评注 本题考查三角函数的图像和性质.6. （2014辽宁文11）将函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移2π个单位长度，所得图像对应的函数（ ）. A ．在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 B ．在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 7.（2014浙江文4）为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数y x =的图像（ ）.A ．向右平移π12个单位 B ．向右平移π4个单位 C ．向左平移π12个单位 D ．向左平移π4个单位8.（2014重庆文13）将函数()()sin 022f x x ωφωφππ⎛⎫=+>-< ⎪⎝⎭，≤图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移6π个单位长度得到x y sin =的图像，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭______. 9.（2015山东文）要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 4y x =的图像（ ）. A. 向左平移12π个单位 B. 向右平移12π个单位 C. 向左平移3π个单位D. 向右平移3π个单位 9.解析 因为ππsin 4sin 4312y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以要得到πsin 43y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像， 只需要将函数sin 4y x =的图像向右平移π12个单位.故选B. 10.（2015陕西文）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数π3sin()6y x k ϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）．A ．5B ．6C ．8D ．1010.解析 由图像得，当πsin 16x ϕ⎛⎫+=-⎪⎝⎭时min 2y =，即π3sin 6y k ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小值 为2，求得5k =，所以π3sin 56y ϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，max 358y =+=. 11.（2015重庆文）已知函数()21sin22f x x x =-. （1）求()f x 的最小周期和最小值；到原来（2）将函数()f x 的图像上每一点的横坐标伸长的两倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像.当时间/hπ,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域.11.解析 （1）())211sin 2sin 21cos 2222f x x x x x ==-+=1sin 2cos 2sin 222232x x x π⎛⎫--=--⎪⎝⎭．因此()f x 的最小正周期为π，最小值为．（2）由条件可知：()sin 23x g x f x π⎛⎫⎛⎫==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当,2x π⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦时有，2,363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，从而sin 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，那么sin 32x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭的值域为1222⎡⎢⎣⎦，故()g x 在区间,2π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦上的值域是⎣⎦.12.（2015福建文）已知函数()2cos 10cos 222x x xf x =+. （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）将函数()f x 的图像向右平移π6个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图像，且函数()g x 的最大值为2． （ⅰ）求函数()g x 的解析式；（ⅱ）求证：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >．12.分析 （1）先利用二倍角公式和余弦降幂公式将()f x 化为()π10sin 56f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，然后利用2πT ω=求最小正周期；（2由函数()f x 的解析式中给x 减π6，再将所得解析式整体减去a 得()g x 的解析式为()10sin 5g x x a =+-，当sin x 取1时，()g x 取得最大值105a +-，列方程求得13a =，从而()g x 的解析式可求；欲证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，可解不等式()00g x >，只需解集的长度大于1，此时解集中一定含有整数，由周期性可得，必存在无穷多个互不相同的正整数0x ． 解析 （1因为()2103sincos 10cos 222x x x f x =+=π535cos 510sin 56x x x ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭.所以函数()f x 的最小正周期2πT =． （2（i ）将()f x 的图像向右平移π6个单位长度后得到10sin 5y x =+的图像，再向下平移()0a a >个单位长度后得到()10sin 5g x x a =+-的图像．又函数()g x 的最大值为2，所以1052a +-=，解得13a =． 所以()10sin 8g x x =-．（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得010sin 80x ->，即04sin 5x >． 由435<知，存在0π03α<<，使得04sin 5α=． 由正弦函数的性质可知，当()00,πx αα∈-时，均有4sin 5x >． 因为sin y x =的周期为2π，所以当()()002π,2π+πx k k k αα∈+-∈Z 时，均有4sin 5x >． 因为对任意的整数k ，()()000π2π+π2ππ213k k ααα--+=->>，所以对任意的正整数k ，都存在正整数()()002π,2ππk x k k k αα∈++-∈Z ，使得4sin 5k x >．即存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >． 13.（2015湖北文）某同学将“五点法”画函数()()πsin 02f x A x ωϕωϕ，⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在某一个时期内的图像时，列表并填入部分数据，如表所示：（1）请将上述数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数()f x 的解析式；（2）将(y f x =()y g x =图像，求()y g x =的图像离原点O 最近的对称中心.13.解析 (1)根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===. 数据补全如表所示：且函数表达式为()π5sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(2由(1)知π()5sin(2)6f x x =-，因此 πππ()5sin 25sin 2666g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.因为sin y x =的对称中心为()π0k ，，k ∈Z . 令π2π6x k +=，解得ππ212k x =-，k ∈Z ，即()y g x =图像的对称中心为ππ0212k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，k ∈Z ， 其中离原点O 最近的对称中心为π012⎛⎫- ⎪⎝⎭，.14.（2016四川文4） 为了得到函数πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需把函数sin y x =的图像上所有的点（ ）.A. 向左平行移动π3个单位长度 B. 向右平行移动π3个单位长度 C. 向上平行移动π3个单位长度 D. 向下平行移动π3个单位长度14.A 解析 由题意，为得到函数πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，只需把函数sin y x =的图像上所有的点向左移π3个单位.故选A. 15.（2016全国乙文6）若将函数π2sin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（ ）. A.π2sin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B.π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.π2sin 24y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭ D.π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭15. D 解析 将函数π2sin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移14个周期，即向右平移π4个单位， 故所得图像对应的函数为ππ2sin 246y x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2sin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选D.16.（2014全国丙文14）函数sin y x x =图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移______个单位长度得到.16.π3解析 由sin y x x =，得π2sin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以可由函数2sin y x =至少向右平移π3才能得到.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。
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第四章 三角函数第一节 三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式题型42 终边相同的角的集合的表示与识别——暂无 题型43 倍角、等分角的象限问题——暂无 题型44 弧长与扇形面积公式的计算——暂无 题型45 三角函数定义题——暂无 题型46 三角函数线及其应用——暂无题型47 象限符号与坐标轴角的三角函数值——暂无 题型48 诱导求值与变形——暂无题型49 同角求值——已知角与目标角相同——暂无第二节 三角函数的图像与性质题型50 已知解析式确定函数性质1.（2017全国3理6）设函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（ ）. A ．()f x 的一个周期为2-πB ．()y f x =的图像关于直线83x π=对称 C ．()f x +π的一个零点为6x π=D ．()f x 在上π,2⎛⎫π⎪⎝⎭单调递减 解析 函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像可由cos y x =向左平移π3个单位长度得到，由图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，所以D 选项错误.故选D.π题型51 根据条件确定解析式1.（2017天津理7）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若528f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，08f 11π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）.A.23ω=，12ϕπ= B.23ω=，12ϕ11π=- C.13ω=，24ϕ11π=- D.13ω=，24ϕ7π= 解析 解法一：由题意125π282118k k ωϕωϕπ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以()2142233k k ω=--.又22T ωπ=>π，所以01ω<<，从而23ω=.由11212k ϕ=π+π，由ϕ<π，得π12ϕ=.故选A ．解法二：由528f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，08f 11π⎛⎫= ⎪⎝⎭，易知58x π=为()()2sin f x x ωϕ=+的一条对称轴，点11,08π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 的一个零点，则()11521884T k ππ-=+⨯，又因为2T ωπ= ，即()221=3k ω+.又0ω>，且()f x 的最小正周期大于2π，所以2=3ω，从而52+2832k ϕππ⨯=π+，又ϕ<π，所以=12ϕπ.故选A. 2.(2017浙江理18)已知函数()()22sin cos cos f x x x x x x =--∈R .（1）求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间. 解析 （1）由2sin 3π=21cos 32π=-，得222112322f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）由22cos2cos sin x x x=-，sin22sin cos x x x=，得()cos 222sin 26f x x x x π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期是2π2T ==π. 由正弦函数的性质得3222,262k x k k πππ+π++π∈Z 剟，解得2,63k x k k ππ+π+π∈Z 剟. 所以()f x 的单调递增区间是2,63k k k ππ⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ，.题型52 三角函数的值域（最值)——暂无 题型53 三角函数图像变换1.（2017全国1理9）已知曲线1cos C y x =：，22πsin 23C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭：， 则下面结论正确的是（ ）.A.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C解析 1:cos C y x =，22π:sin 23⎛⎫=+⎪⎝⎭C y x . 首先曲线1C ，2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，即112πππsin sin 2sin 2224C y x y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−−−→=+=+→⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭上各坐短到原的倍点横标缩来2ππsin 2sin 233y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．注意ω的系数，左右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π3+x ， 根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π12．故选D. 2.（2017山东理1）设函数()sin sin 62f x x x ωωππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中03ω<<.已知06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求ω；（2）将函数()y f x =的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图像，求()g x 在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值. 解析 （1）因为()sin sin 62f x x x ωωππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()1cos cos 2f x x x x ωωω=--3cos 2x x ωω=-1sin 2x x ωω⎫==⎪⎪⎭sin 3x ωπ⎫-⎪⎭.由题设知06f π⎛⎫=⎪⎝⎭，所以63k ωππ-=π，k ∈Z . 故62k ω=+，k ∈Z ，又03ω<<，所以2ω=.（2）由（1）得()23f x xπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()4312g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为3,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2,1233x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当123x ππ-=-，即4x π=-时，()g x 取得最小值32-.第三节 三角恒等变换题型54 化简求值1.（17江苏05）若π1tan 46α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α= ． 解析 解法一（角的关系）：tan tan 44ααππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭7tan 1746551tan 64ααπ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭===π⎛⎫-- ⎪⎝⎭．故填75．解法二（直接化简）：πtan 11tan 41tan 6ααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，所以7tan 5α=．故填75． 2.(2017北京理12)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，()cos αβ-=___________. 解析 由题作出图形，如图所示，1sin 3α=，则cos 3α=，由于α与β关于y 轴对称， 则()1sin sin 3βα=π-=，cos 3β=-，故()117cos 33339αβ⎛-=⨯-+⨯=- ⎝⎭.3.（2017全国2理14）函数()23s i n c o s 0,42f x x x x ⎛π⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是 ．解析 ()2233πsin 1cos 0442f x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=+-=-+-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，，令c o sx t =且[]01t ∈，，214y t =-+21t ⎛=-+ ⎝⎭，当t ，即6x π=时，()f x 取最大值为1．4.(2017浙江理18)已知函数()()22sin cos cos f x x x x x x =--∈R . （1）求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.解析 （1）由2sin 3π=21cos 32π=-，得222112322f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）由22cos2cos sin x x x=-，sin22sin cos x x x=，得()co 23s i n 22si n 26fx x x x π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期是2π2T ==π. 由正弦函数的性质得3222,262k x k k πππ+π++π∈Z 剟，解得2,63k x k k ππ+π+π∈Z 剟. 所以()f x 的单调递增区间是2,63k k k ππ⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ，.第四节 解三角形题型55 正弦定理的应用1.（2017天津理15）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =. （1）求b 和sin A 的值； （2）求πsin 24A ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 解析 （1）在ABC △中，因为a b >，故由3sin 5B =，可得4cos 5B =.由已知及余弦定理，得2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b =由正弦定理sin sin a bA B=，得sin sin a B A b ==.（2）由（Ⅰ）及a c <，得cos A =，所以12sin 22sin cos 13A A A ==，25cos 212sin 13A A =-=-，故πππsin 2sin 2cos cos 2sin 44426A A A ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭. 2.（2017山东理9）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △为锐角三角形，且满足()sin 12cos 2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ）.A.2a b =B.2b a =C.2A B =D.2B A = 解析因为s i n ()2s i n c o s 2s i A C B C A C A C++=+，所以2sin cos sin cos B C A C =，又02C π<<，得2sin sin B A =，即2b a =.故选A.题型56 余弦定理的应用题型57 判断三角形的形状——暂无 题型58 解三角形的综合应用1.（2017江苏18）如图所示，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ． 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ． 现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm （容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）.（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．ACA 11容器ⅠE G 1H 1容器Ⅱ解析 （1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥．记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处，如图所示为截面11A ACC的平面图形．因为AC =40AM =，所以30MC ==，从而3sin 4MAC ∠=.记AM 与水面的交点为1P ， 过点1P 作11PQ AC ⊥，1Q 为垂足，则11PQ ⊥平面ABCD ，故1112PQ =，从而11116sin PQ AP MAC==∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ．问(1)AC 1A 1CMP 1Q 1（2）如图所示为截面11E EGG 的平面图形，O ，1O 是正棱台两底面的中心．由正棱台的定义，1OO ⊥平面EFGH ， 所以平面11E EGG ⊥平面EFGH ，1O O EG ⊥． 同理，平面11E EGG ⊥平面1111E F G H ，111O O E G ⊥． 记玻璃棒的另一端落在1GG 上点N 处．过G 作11GK E G ⊥，K 为垂足，则132GK OO ==． 因为 14EG =，1162E G =，所以16214242KG -==，从而1GG =40==．设1EGG α∠=，ENG β∠=，则114sin sin cos 25KGG KGG απ⎛⎫=+==⎪⎝⎭∠∠． 因为2απ<<π，所以3cos 5α=-． 在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=． 因为02βπ<<，所以24cos 25β=， 于是()()sin sin sin =NEG αβαβ=π--=+∠sin cos cos sin αβαβ+4243735255255⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭． 记EN 与水面的交点为2P ，过2P 作22P Q EG ⊥，2Q 为垂足，则22P Q ⊥平面EFGH ， 故2212P Q =，从而22220sin PQ EP NEG==∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．问(2)G O E Q 2P 2NG 1KE 1O 1评注 此题本质上考查解三角形的知识，但在这样的大背景下构造的应用题让学生有畏惧之感，且该应用题的实际应用性也不强．也有学生第（1）问采用相似法解决，解法如下：AC =40AM =，所以30CM ==，1112PQ =，所以由11AP A Q CM △△∽，111PQ AP CM AM =，即1123040AP =，解得116AP =． 答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ． 2.(2017北京理15)在ABC △中，60A ∠=，37c a =. （1）求sin C 的值；（2）若7a =，求ABC △的面积.解析 （1）在ABC △中，因为60A ∠=，37c a =，所以由正弦定理得sin 3sin 7c A C a ===. （2）因为7a =，所以3737c =⨯=.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222173232b b =+-⨯⨯，解得8b =或5b =-（舍）.所以ABC △的面积11sin 8322S bc A ==⨯⨯=3.（2017全国1理17）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC△的面积为23sin a A.（1）求sin sin B C 的值；（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长.分析 本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.解析 （1）因为ABC △的面积23sin a S A =且1sin 2S bc A =，所以21sin 3sin 2a bc A A =，即223sin 2a bc A =.由正弦定理得223sin sin sin sin 2A B C A =，由sin 0A ≠，得2sin sin 3B C =. （2）由（1）得2sin sin 3B C =，又1cos cos 6B C =，因为πA B C ++=， 所以()()1cos cos πcos sin sinC cos cos 2A B C B C B B C =--=-+=-=.又因为()0πA ∈，，所以60A =，sin A =，1cos 2A =. 由余弦定理得2229a b c bc =+-= ① 由正弦定理得sin sin a b B A =⋅，sin sin a c C A =⋅，所以22sin sin 8sin a bc B C A=⋅= ②由①，②，得b c +=3a b c ++=ABC △周长为34.（2017全国2理17）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2B AC +=． (1)求cos B ; (2)若6a c +=，ABC △的面积为2，求.b解析 （1）依题得21cos sin 8sin 84(1cos )22B B B B -==⋅=-． 因为22sin cos 1B B +=，所以2216(1cos )cos 1B B -+=，所以(17cos 15)(cos 1)0B B --=，得c o s 1B =（舍去）或15cos 17B =. （2）由⑴可知8sin 17B =，因为2ABC S =△，所以1sin 22ac B ⋅=，即182217ac ⋅=，得172ac =.因为15cos 17B =，所以22215217a cb ac +-=，即22215a c b +-=，从而22()215a c ac b +--=， 即2361715b --=，解得2b =．5.（2017全国3理17）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知s i n c o s 0A A =，a =2b =．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且 AD AC ⊥，求ABD △的面积．解析 （1）由sin 0A A =，得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ， 又()0,πA ∈，所以ππ3A +=，得2π3A =.由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅.又因为12,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，解得4c =.（2）因为2,4AC BC AB ===，由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-==因为AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，则cos AC CD C =⋅，得CD从而点D 为BC的中点，111sin 222ABD ABC S S AB AC A ==⨯⨯⨯⨯=△6.(2017浙江理14)已知ABC △，4AB AC ==，2BC =. 点D 为AB 延长线上的一点，2BD =，联结CD ，则BDC △的面积是___________，cos BDC ∠=__________. 解析 如图所示，取BC 的中点为O ，在等腰ABC △中，AO OB ⊥，所以AO =sin sin 4CBD OBA ??， 所以BDC △的面积为1sin 2BC BD OBA 创葱=．因为2BC BD ==，所以BDC△是等腰三角形，所以2πC B D B D C ??，21cos cos(π2)12cos 4CBDBDC BDC ?-?-?-，解得cos BDC ?OD C B A。