立体几何证明垂直专项知识点及练习

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专题4：立体几何中垂直关系的证明基础练习题

∴ 平面 .
12．证明见解析
【分析】
在等腰三角形PAB中，是的中点，可得，利用线面垂直的判定定理可证平面，利用线面垂直的性质定理，即可得证.
【详解】
证明：∵ 是的中点，，
∴ ，
∵ 底面，
∴ ，
又∵ ，即
∴ 平面，
∴ ，
∵ 平面，平面，
∴ 平面，
∵ 平面，
∴ .
8．证明见解析
【分析】
由平面 ⊥平面得到 ⊥平面，进一步得到 ⊥ ，再结合直径所对圆周角为直角得到 ⊥ ， ⊥平面，从而得到证明.
【详解】
由题设知，平面 ⊥平面，交线为 .
因为 ⊥ ，平面，所以 ⊥平面，故 ⊥ .
因为为上异于，的点，且为直径，所以 ⊥ .
又 = ，所以 ⊥平面 .
∴点O为三角形ABC的垂心，∴BO⊥AC
又因PO⊥AC，所以AC⊥PBO
故PB⊥AC
考点：证明异面直线垂直．
7．见解析
【分析】
由已知中P为正方形ABCD所在平面外一点，PA⊥面ABCD，结合正方形的几何特征，我们易得到BC⊥平面PAB，由线面垂直的性质得到BC⊥AE，结合已知中AE⊥PB，及线面垂直的判定定理，得到AE⊥平面PBC，最后再由线面垂直的判定定理，即可得到AE⊥PC．
【点睛】
此题考查线面垂直的性质和判定的综合应用，利用线面垂直得线线垂直.
5．证明见解析
【分析】
先证直线平面，再证平面 ⊥平面 .
【详解】
证明:∵ 是圆的直径，是圆上任一点，，，
平面，平面，
，又，
平面，又平面，
平面 ⊥平面 .
【点睛】

立体几何之垂直问题知识点及题型总结拔高教师版

目录立体几何之垂直问题 (2)模块一：垂直的判定与性质 (2)考点1：线面垂直的判定、性质及证明 (2)考点2：面面垂直的判定、性质及证明 (7)课后作业： (12)立体几何之垂直问题模块一：垂直的判定与性质考点1：线面垂直的判定、性质及证明例1.（1）（2019春•秦淮区期末）已知α，β，γ为平面，l ，m ，n 为直线，则下列哪个条件能推出(l β⊥ )A ．αβ⊥，n αβ=I ，1n ⊥B ．αγ⊥，βγ⊥，l α⊥C ．m α⊥，m β⊥，l α⊥D ．αγ⊥，l αγ=I ，βγ⊥【解答】解：对于A ，未说明l α⊂，故错误；对于B ，垂直同一平面的各平面的位置关系不确定，故错误；对于C ，可确定//αβ，则l β⊥，故正确；对于D ，垂直同一平面的各平面的位置关系不确定，故错误；故选：C ．线面垂直与面面垂直线面垂直：如果一条直线和一个平面相交于点，并且和这个平面内过点的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直．点面距离：如果一条直线和平面垂直，则线与面的交点叫做垂足，垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．推论：如果两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直面面垂直：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．判定判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直．线面垂直面面垂直定义定理定理定义（2）（2019春•漳州期中）已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法中正确的是( )A ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥B ．若//m α，//n α，则//m nC ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥【解答】解：对于A ，若m α⊥，n α⊂，根据线面垂直的性质可得m n ⊥；故正确；对于B ，若//m α，//n α，则m 与n 可能相交、平行或者异面；故错误；对于C ，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n α⊂，故错误；对于D ，若//m α，m n ⊥，则n 与α相交、平行或n α⊂，故错误．故选：A ．例2.（1）（2018秋•唐山期末）如图，在以下四个正方体中，直线AB 与平面CDE 垂直的是( )A ．①②B ．②④C ．①③D ．②③【解答】解：在①中，AB 与CE 的夹角为45︒，∴直线AB 与平面CDE 不垂直，故①错误；在②中，AB BC ⊥，AB CD ⊥，AB ∴⊥平面CDE ，故②正确；在③中，AB 与EC 的夹角为60︒，∴直线AB 与平面CDE 不垂直，故③错误；在④中，AB DE ⊥，AB CE ⊥，AB ∴⊥平面CDE ，故④正确．故选：B ．（2）（2019春•浉河区校级月考）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC AA ===若11AC BC ⊥，则1(BC = )A ．B ．C ．D ．【解答】解：如图，连结1AC ，1AC AA =Q ， ∴直三棱柱111ABC A B C -的侧面11ACC A 为正方形，11AC AC ∴⊥，11AC BC ⊥Q ，111AC BC C =I ， 1A C ∴⊥平面1ABC ，1AC AB ∴⊥， 1AB AA ⊥Q ，111A C AA A =I ，AB ∴⊥侧面11ACC A ，1AB AC ∴⊥，故选：C ．（3）（2018秋•兴庆区校级期末）如图，AB 是O e 的直径，C 是圆周上不同于A ，B 的任意一点，PA ⊥平面ABC ，则四面体P ABC -的四个面中，直角三角形的个数有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【解答】证明：AB Q 是圆O 的直径90ACB ∴∠=︒即BC AC ⊥，三角形ABC 是直角三角形又PA ⊥Q 圆O 所在平面，PAC ∴∆，PAB ∆是直角三角形．且BC 在这个平面内，PA BC ∴⊥ 因此BC 垂直于平面PAC 中两条相交直线，BC ∴⊥平面PAC ， PBC ∴∆是直角三角形．从而PAB ∆，PAC ∆，ABC ∆，PBC ∆中，直角三角形的个数是：4．故选：A ．（4）（2019春•南昌期中）如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，G 是EF 的中点，现在沿AE 、AF 及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使B 、C 、D 三点重合，重合后的点记为H ，那么，在这个空间图形中必有( )A ．AG EFH ⊥∆所在平面B ．AH EFH ⊥∆ 所在平面C ．HF AEF ⊥∆所在平面D ．HG AEF ⊥∆所在平面【解答】解：根据折叠前、后AH HE ⊥，AH HF ⊥不变，AH ∴⊥平面EFH ，B 正确； Q 过A 只有一条直线与平面EFH 垂直，A ∴不正确；AG EF ⊥Q ，EF AH ⊥，EF ∴⊥平面HAG ，∴平面HAG AEF ⊥，过H 作直线垂直于平面AEF ，一定在平面HAG 内， C ∴不正确；HG Q 不垂直于AG ，HG ∴⊥平面AEF 不正确，D 不正确．故选：B ．例3.（2019春•攀枝花期末）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的多面体中，AF ⊥平面ABCD ，//DE AF ，//AD BC ，AB CD =，60ABC ∠=︒，22BC AD ==．（Ⅰ）请在图中作出平面DEG ，使得//BF 平面DEG ，并说明理由；（Ⅱ）证明：AC ⊥平面ABF ．【解答】解：（Ⅰ）如图，取BC 中点G ，连接DG ，EG ，则平面DEG 即为所求．22BC AD ==Q ，//AD BC ， //AD BG ∴且AD BG =．∴四边形ABGD 是平行四边形，则//AB DG ．AB ⊂/Q 平面DEG ，DG ⊂平面DEG ． //AB ∴平面DEG ．//AF DE Q ，AF ⊂/平面DEG ，DE ⊂平面DEG ，//AF ∴平面DEG ．AF ⊂Q 平面ABF ，AB ⊂平面ABF ，且AB AF A =I ．∴平面//ABF 平面DEG ．BF ⊂Q 平面ABF ，//BF ∴平面DEG ．（Ⅱ）由（Ⅰ）四边形ABGD 是平行四边形，则AB DG =，60DGC ABC ∠=∠=︒AB CD =Q ，CDG ∴∆是边长为1的正三角形． 1AD =Q ，120ADC ∠=︒，30ACD CAD ACB ∴∠=∠=∠=︒． 90BAC ∴∠=︒，即AC AB ⊥．AF ⊥Q 平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ． AC AF ∴⊥AF ⊂Q 平面ABF ，AB ⊂平面ABF ，AB AF A =I ． AC ∴⊥平面ABF ．考点2：面面垂直的判定、性质及证明例4.（1）（2019•衡阳三模）如图，在四面体ABCD 中，AD BD ⊥，截面PQMN 是矩形，则下列结论不一定正确的是( ) A ．平面BDC ⊥平面ADC B ．//AC 平面PQMN C ．平面ABD ⊥平面ADCD ．AD ⊥平面BDC【解答】解：由//PQ MN ，MN ⊂平面ADC ，PQ ⊂/平面ADC ，得//PQ 平面ADC ，又PQ ⊂平面ABC ，平面ABC ⋂平面ADC AC =，//PQ AC ∴，同理，//QM BD ，//PQ AC ，//QM BD ，PQ OM ⊥，AC BD ∴⊥，又BD AD ⊥，BD ∴⊥平面ADC ，∴平面BDC ⊥平面ADC ，平面ABD ⊥平面ADC ，A ∴和C 选项均正确；由//PQ AC ，得//AC 平面PQMN ，B ∴选项正确；Q 不能得到AD DC ⊥或AD BC ⊥，∴不能得到AD ⊥平面BDC ，故选项D 不一定正确．故选：D ．（2）（2018秋•潍坊期末）四面体PABC 中，PA PB PC ==，底面ABC ∆为等腰直角三角形，AC BC =，O 为AB 中点，请从以下平面中选出两个相互垂直的平面．（只填序号） ①平面PAB ②平面ABC ③平面PAC ④平面PBC ⑤平面POC【解答】解：Q 四面体PABC 中，PA PB PC ==，底面ABC ∆为等腰直角三角形，AC BC =，O 为AB 中点，CO AB ∴⊥，PO AB ⊥，CO PO O =I ，AB ∴⊥平面POC ， AB ⊂Q 平面ABC ，∴平面POC ⊥平面ABC ， ∴两个相互垂直的平面为②⑤．故答案为：②⑤．（3）（2019春•雁峰区校级期末）如图，在三棱锥DABC 中，若AB CB =，AD CD =，E 是AC 的中点，则下列命题中正确的有（写出全部正确命题的序号）． ①平面ABC ⊥平面ABD ； ②平面ABD ⊥平面BCD ；③平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ACD ⊥平面BDE ； ④平面ABC ⊥平面ACD ，且平面ACD ⊥平面BDE ．【解答】解：因为AB CB =，且E 是AC 的中点，所以BE AC ⊥，同理有DE AC ⊥，于是AC ⊥平面BDE ．因为AC 在平面ABC 内，所以平面ABC ⊥平面BDE ．又由于AC ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BDE ，故答案为③．例5.（2019春•海安县校级期中）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为11A B ，11B C 的中点，点F 在侧棱1BB 上，且BD AF ⊥，AC AB ⊥．求证：（1）直线//DE 平面ACF ；（2）平面BDE ⊥平面ACF ．【解答】证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，11//AC AC ，在三角形111A B C 中，D ，E 分别为1A 1B ，11B C 的中点，所以11//DE AC ，于是//DE AC ，又因为DE ⊂/平面ACF ，AC ⊂平面ACF ，所以直线//DE 平面ACF ；（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC 因为AC ⊂平面ABC ，所以1AA AC ⊥，又因为AC AB ⊥，1AA ⊂平面11ABB A ，AB ⊂平面11ABB A ，1AB AA A =I ，所以AC ⊥平面11ABB A ．因为BD ⊂平面11ABB A ，所以AC BD ⊥．又因为BD AF ⊥，AC ⊂平面ACF ，AF ⊂平面ACF ，AC AF A =I ，所以BD ⊥平面ACF ．因为直线BD ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ACF ．例6.（2019春•普宁市期末）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB AD ⊥，2CD AB =，平面PAD ⊥底面ABCD ，E 和F 分别是CD 和PC 的中点．求证：（1）//PA 平面BEF ；（2）平面BEF ⊥平面PCD ．【解答】证明：（1）连接AC ，交BE 于H ，可得四边形ABCE 为平行四边形，且H 为AC 的中点，可得FH 为PAC ∆的中位线，可得//PA FH ，PA ⊂/平面BFE ，FH ⊂面BFE ，可得//PA 面BFE ；（2）平面PAD ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，可得AB ⊥平面PAD ，即有AB PD ⊥，//AB CD ，可得CD PD ⊥，由//EF PD ，由AB AD ⊥，2CD AB =，可得四边形ABED 为矩形，即有CD BE ⊥，又CD PD ⊥，//FE PD ，可得CD FE ⊥，即有CD ⊥平面BFE ，而CD ⊂平面PCD ，则平面BEF ⊥平面PCD ．例7.（2019春•宣城期末）如图，矩形ABCD 中，2AB BC =，以BD 为折痕把BDC ∆折起，使点C 到达点P 的位置．（1）若1BC =，求三棱锥P ABD -体积的最大值；（2）若PA PB ⊥，证明：平面PAB ⊥平面ABD ；【解答】解：（1）过P 作PO BD ⊥于O ，则PO BD PB PD =g g ，当PO ⊥平面ABD 时，三棱锥P ABD -体积最大， ∴三棱锥P ABD -体积的最大值为：（2）在PBD ∆中，PD PB ⊥，又PA PB ⊥，PA PB P =I ，PA ，PD ⊂平面PAD ， PB ∴⊥平面PAD ，PB AD ⊥Q ，又AB AD ⊥，AB PB B =I ， AD ∴⊥平面PAB ，又AD ⊂平面ABD ，∴平面PAB ⊥平面ABD ．例8.（2019春•禅城区校级月考）如图，在三棱锥中，点E 、F 分别为AC 、AD 的中点．（1）求证：//EF 平面BCD ；（2）求证：平面EFB ⊥平面ABD ．【解答】证明：（1）在ACD ∆中，A Q ，F 是AC ，AD 的中点，//EF CD ∴，EF ⊂/Q 平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， //EF ∴平面BCD ．（2）在ACD ∆中，AD CD ⊥，//EF CD ，EF AD ∴⊥，Q 在ABD ∆中，BA BD =，F 为AD 的中点，BF AD ∴⊥，EF ⊂Q 平面EFB ，BF ⊂平面EFB ，且EF BF F =I ， AD ∴⊥平面EFB ，AD ⊂Q 平面ABD ，∴平面EFB ⊥平面ABD ．课后作业：1.（2019春•秦淮区期末）已知α，β，γ为平面，l ，m ，n 为直线，则下列哪个条件能推出(l β⊥ )A ．αβ⊥，n αβ=I ，1n ⊥B ．αγ⊥，βγ⊥，l α⊥C ．m α⊥，m β⊥，l α⊥D ．αγ⊥，l αγ=I ，βγ⊥【解答】解：对于A ，未说明l α⊂，故错误；对于B ，垂直同一平面的各平面的位置关系不确定，故错误；对于C ，可确定//αβ，则l β⊥，故正确；对于D ，垂直同一平面的各平面的位置关系不确定，故错误；故选：C ．2.（2018秋•唐山期末）如图，在以下四个正方体中，直线AB 与平面CDE 垂直的是( )A ．①②B ．②④C ．①③D ．②③【解答】解：在①中，AB 与CE 的夹角为45︒，∴直线AB 与平面CDE 不垂直，故①错误；在②中，AB BC ⊥，AB CD ⊥，AB ∴⊥平面CDE ，故②正确；在③中，AB 与EC 的夹角为60︒，∴直线AB 与平面CDE 不垂直，故③错误；在④中，AB DE ⊥，AB CE ⊥，AB ∴⊥平面CDE ，故④正确．故选：B ．3.（2019春•南昌期中）如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，G 是EF 的中点，现在沿AE 、AF 及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使B 、C 、D 三点重合，重合后的点记为H ，那么，在这个空间图形中必有( )A ．AG EFH ⊥∆所在平面B ．AH EFH ⊥∆ 所在平面C ．HF AEF ⊥∆所在平面D ．HG AEF ⊥∆所在平面【解答】解：根据折叠前、后AH HE ⊥，AH HF ⊥不变，AH ∴⊥平面EFH ，B 正确； Q 过A 只有一条直线与平面EFH 垂直，A ∴不正确；AG EF ⊥Q ，EF AH ⊥，EF ∴⊥平面HAG ，∴平面HAG AEF ⊥，过H 作直线垂直于平面AEF ，一定在平面HAG 内， C ∴不正确；HG Q 不垂直于AG ，HG ∴⊥平面AEF 不正确，D 不正确．故选：B ．4.（2019春•南昌期中）如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，G 是EF 的中点，现在沿AE 、AF 及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使B 、C 、D 三点重合，重合后的点记为H ，那么，在这个空间图形中必有( )A ．AG EFH ⊥∆所在平面B ．AH EFH ⊥∆ 所在平面C ．HF AEF ⊥∆所在平面D ．HG AEF ⊥∆所在平面【解答】解：根据折叠前、后AH HE ⊥，AH HF ⊥不变，AH ∴⊥平面EFH ，B 正确； Q 过A 只有一条直线与平面EFH 垂直，A ∴不正确；AG EF ⊥Q ，EF AH ⊥，EF ∴⊥平面HAG ，∴平面HAG AEF ⊥，过H 作直线垂直于平面AEF ，一定在平面HAG 内， C ∴不正确；HG Q 不垂直于AG ，HG ∴⊥平面AEF 不正确，D 不正确．故选：B ．5.（2019春•海安县校级期中）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为11A B ，11B C 的中点，点F 在侧棱1BB 上，且BD AF ⊥，AC AB ⊥．求证：（1）直线//DE 平面ACF ；（2）平面BDE ⊥平面ACF ．【解答】证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，11//AC AC ，在三角形111A B C 中，D ，E 分别为1A 1B ，11B C 的中点，所以11//DE AC ，于是//DE AC ，又因为DE ⊂/平面ACF ，AC ⊂平面ACF ，所以直线//DE 平面ACF ；（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC 因为AC ⊂平面ABC ，所以1AA AC ⊥，又因为AC AB ⊥，1AA ⊂平面11ABB A ，AB ⊂平面11ABB A ，1AB AA A =I ，所以AC ⊥平面11ABB A ．因为BD ⊂平面11ABB A ，所以AC BD ⊥．又因为BD AF ⊥，AC ⊂平面ACF ，AF ⊂平面ACF ，AC AF A =I ，所以BD ⊥平面ACF ．因为直线BD ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ACF ．。

空间中的平行与垂直例题和知识点总结

空间中的平行与垂直例题和知识点总结在立体几何的学习中，空间中的平行与垂直关系是非常重要的内容。

理解和掌握这些关系，对于解决相关的几何问题具有关键作用。

下面我们通过一些例题来深入探讨，并对相关知识点进行总结。

一、平行关系（一）线线平行1、定义：如果两条直线在同一平面内没有公共点，则这两条直线平行。

2、判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。

例 1：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：EF∥A₁C₁。

证明：连接 AC，因为 E，F 分别是 AB，BC 的中点，所以 EF∥AC。

又因为正方体中，AC∥A₁C₁，所以 EF∥A₁C₁。

（二）线面平行1、定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，则称这条直线与这个平面平行。

2、判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

例 2：已知四棱锥 P ABCD 的底面是平行四边形，M 是 PC 的中点，求证：PA∥平面 MBD。

证明：连接 AC 交 BD 于 O，连接 MO。

因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 O 是 AC 的中点。

又因为 M 是 PC 的中点，所以MO∥PA。

因为 MO⊂平面 MBD，PA⊄平面 MBD，所以 PA∥平面MBD。

（三）面面平行1、定义：如果两个平面没有公共点，则称这两个平面平行。

2、判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

例 3：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，求证：平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。

证明：因为 A₁B∥D₁C，A₁D∥B₁C，且 A₁B 和 A₁D 是平面A₁BD 内的两条相交直线，D₁C 和 B₁C 是平面 B₁D₁C 内的两条相交直线，所以平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。

二、垂直关系（一）线线垂直1、定义：如果两条直线所成的角为 90°，则这两条直线垂直。

高考指南立体几何垂直证明的六大绝招秒懂

高考指南立体几何垂直证明的六大绝招秒懂！类型一AD⊥SC，求证:AD⊥面SBC证明：∵SA⊥面ABC ∴SA⊥BC又∠ACB=90°∴AC⊥BC又AC，SA⊆面SAC ∴BC ⊥面SAC∴BC⊥AD又AD⊥SC且BC，SC⊆面SBC∴AD⊥面SBC变式：如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，求证：AD⊥AC类型二利用等腰三角形中线证垂直例题：在三棱锥P-ABC中，AC=BC，AP=BP，求证PC⊥AB证明：取AB的中点M，连接PM，CM∵AC=BC，M是AB的中点，∴AB⊥CM∵AP=BP，M是AB的中点，∴AB⊥PM∴AB⊥面PCM∴AB⊥PC变式：四棱锥P-ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AD，求证面PAD⊥面PCD类型三利用勾股定理逆定理证垂直例题：如图，四棱锥P-ABCD的底面是边成为3的正方形，PA⊥CD，PA=4，PD=5，求证：PA⊥面ABCD证明：∵PA=4，AB=3，PD=5∴PA2+AB2=PD2，∴三角形PAD是直角三角形，∴PA⊥AD又PA ⊥CD，∴PA⊥面ABCD变式：如果，在三棱台ABC-DEF中，平面BDEF⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3，求证：BF⊥面ACFD类型四利用三角形全等证垂直例题：如图，三棱锥P-ABC中，△PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90°，求证：AB⊥PC证明：取AB的中点M，连接CM，∵△PAB是等边三角形，∴PB=PA又PC=PC，∠PAC=∠PBC=90°∴△PBC≌△PAC，∴BC=AC∴△ACB是等腰三角形，M是AB的中点，∴CM⊥AB又在等边△PAB中，M是AB的中点，∴PM⊥AB∴AB⊥面PMC∴AB⊥PC变式：如图，在以A、B、C、D、E、F为顶点的五面体中，平面CDEF⊥平面ABCD，FC=FB，四边形ABCD为平行四边形，且∠BCD=45°，求证：CD⊥BF类型五利用平行关系证明垂直例题：如图四棱锥P-ABCD，底面是正方形，PA⊥底面ABCD，∠PDA=45°，E是棱AB的中点，求证：面PCE⊥面PCD证明：分别做PC，PD的中点M，N两点，连接EM，MN，NA∵MN为△PCD的中位线，∴MN∥CD且MN=1/2CD又∵E是AB的中点，∴AE∥CD且AE=1/2CD ∴四边形AEMN是平行四边形，则EM∥AN，∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AD，且∠PDA=45°，∴△PAD 是等腰直角三角形又N是PD中点，∴AN⊥PD∵四边ABCD是正方形，∴CD⊥AD，又PA⊥CD，∴CD⊥面PAD，∴CD⊥AN，又上面已求PD⊥AN，∴AN⊥面PCD又∵EM∥AN，∴EM⊥面PCD∵EM ⊂面PEC，∴面PEC⊥面PCD变式：如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图2，证明CD⊥面A1OC.类型六梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD，侧面PBC⊥底面ABCD，证明：PA⊥BD。

立体几何线线垂直专题(史上最全)

立体几何垂直总结1、线线垂直的判断：线面垂直的定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。

补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。

2、线面垂直的判断：（1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。

（2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。

（3）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

（4）如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。

3、面面垂直的判断：一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。

证明线线垂直的常用方法：例1、（等腰三角形三线合一）如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。

求证：（1）⊥AB 平面CDE;（2）平面CDE ⊥平面ABC 。

证明：（1）BC AC CE AB AE BE =⎫⇒⊥⎬=⎭同理，AD BD DE AB AE BE =⎫⇒⊥⎬=⎭又∵CE DE E ⋂= ∴AB ⊥平面CDE （2）由（1）有AB ⊥平面CDE又∵AB ⊆平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC例2、（菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形．PB PD =，E 为PA 的中点．（Ⅰ）求证：PC ∥平面BDE ；（Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面BDE ．AEDBC例3、(线线、线面垂直相互转化)已知ABC ∆中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ．证明：90ACB ∠=∵° B C A C ∴⊥ 又SA ⊥面ABC S A B C ∴⊥ BC ∴⊥面SACBC AD ∴⊥ 又,SC AD SC BC C ⊥⋂=AD ∴⊥面SBC例4、(直径所对的圆周角为直角)如图2所示，已知PA 垂直于圆O 在平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 的圆周上异于A 、B 的任意一点，且PA AC =，点E 是线段PC 的中点.求证：AE ⊥平面PBC .证明：∵PA ⊥O 所在平面，BC 是O 的弦，∴BC PA ⊥.又∵AB 是O 的直径，ACB ∠是直径所对的圆周角，∴BC AC ⊥.∵,PA AC A PA =⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC . ∴BC ⊥平面PAC ，AE ⊂平面PAC ，∴AE BC ⊥. ∵PA AC =，点E 是线段PC 的中点.∴AE PC ⊥. ∵PCBC C =,PC ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC .∴AE ⊥平面PBC .例5、（证明所成角为直角）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，AE ⊥BD ，CB ＝CD ＝CF . 求证：BD ⊥平面AED ；证明因为四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，所以∠ADC ＝∠BCD ＝120°. 又CB ＝CD ，所以∠CDB ＝30°，因此∠ADB ＝90°，即AD ⊥BD .又AE ⊥BD ，且AE ∩AD ＝A ，AE ，AD ⊂平面AED ，SDCBAACBPEO图2所以BD ⊥平面AED .例6、（勾股定理的逆定理）如图7－7－5所示，已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 的中点．求证：(1)DE ∥平面ABC ；(2)B 1F ⊥平面AEF .例7、（三垂线定理）证明：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1C ⊥平面BC 1D证明：连结ACB D AC ∵⊥∴ AC 为A 1C 在平面AC 上的射影∴⊥⊥⎫⎬⎭⇒⊥BD A C A C BC A C BC D11111同理可证平面练习；1、如图在三棱锥P —ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上.证明：AP ⊥BC ；AC2、直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD .证明：DC 1⊥BC 。

第8章立体几何专题4 垂直的证明常考题型专题练习——【含答案】

1垂直的证明【方法总结】1、证明线面垂直的方法：①利用线面垂直定义：如果一条直线垂直于平面内任一条直线，则这条直线垂直于该平面；②用线面垂直判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与平面垂直；③用线面垂直性质：两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也必垂直于这个平面．2、证明线线（或线面）垂直有时需多次运用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，实现线线垂直与线面垂直的相互转化．3、证明面面垂直一般要先找到两个面的交线，然后再在两个面内找能与交线垂直的直线，最后通过证明线面垂直证明面面垂直。

【分类练习】考向一线面垂直例1、在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AB CD ，AB BC ⊥，1AB BC ==，2DC =，点E 在PB 上求证：CA 平面PAD；【答案】(1)证明见解析；(2)2.【解析】(1)过A作AF⊥DC于F,则CF=DF=AF,所以∠DAC=90°,即AC⊥DA，又PA⊥底面ABCD，AC⊂面ABCD，所以AC⊥PA，因为PA、AD⊂面PAD，且PA∩AD=A，所以AC⊥平面PAD.例2、如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.11（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；解析：（1）由已知得，11B C ⊥平面11ABB A ，BE ⊂平面11ABB A ，故11B C ⊥BE ．又1BE EC ⊥，所以BE ⊥平面11EB C ．例3、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，D ，E ，F ，G 分别为1AA ，AC ，11A C ，1BB 的中点C 1B 1A 1GFE DCBA求证：AC ⊥平面BEF ；1【解析】(1)在三棱柱111ABC A BC -中，∵1CC ⊥平面ABC ， ∴四边形11A ACC 为矩形．又E ，F 分别为AC ，11A C 的中点， ∴AC ⊥EF ． ∵AB BC =． ∴AC ⊥BE ， ∴AC ⊥平面BEF ．例4、如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，BC ∥AD ，12BC CD AD ==.（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAB ；【解析】因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥PA .在直角梯形ABCD 中，12BC CD AD ==，由题意可得2AB BDBC==，所以222AD AB BD=+，所以BD AB⊥.因为PA AB A=，所以BD⊥平面PAB.【巩固练习】1、如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D 是B1C1的中点．证明：A1D⊥平面A1BC；【答案】见解析【解析】证明：设E为BC的中点，连接A1E，AE.由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE.11因为AB ＝AC ，所以AE ⊥BC.故AE ⊥平面A 1BC.连接DE ，由D ，E 分别为B 1C 1，BC 的中点，得DE ∥B 1B 且DE ＝B 1B，从而DE ∥A 1A 且DE ＝A 1A ，所以AA 1DE 为平行四边形．于是A 1D ∥AE. 因为AE ⊥平面A 1BC ，所以A 1D ⊥平面A 1BC.2．（2019·上海格致中学高三月考）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F .（1）证明：PA ∥平面EDB ；（2）证明：PB ⊥平面EFD .【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）设AC 与BD 相交于O ，连接OE ，由于O 是AC 中点，E 是PC 中点，所以OE 是三角形PAC 的中位线，所以//PA OE ，而PA ⊂平面EDB ，OE ⊂平面EDB ，1所以PA ∥平面EDB.（2）由于PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥，由于,BC CD PD CD D ⊥⋂=，所以BC ⊥平面PCD ，所以BC DE ⊥.由于DP DC =且E 是PC 中点，所以DE PC ⊥，而PC BC C ⋂=，所以DE ⊥平面PBC ，所以DE PB ⊥.依题意EF PB ⊥，DE EF E =，所以PB ⊥平面EFD .3．（2019·江苏高三月考）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，OP OC =，E 为PC 的中点，PA PD ⊥.（1）求证：//PA 平面BDE ；（2）求证：PA ⊥平面PCD 【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】（1）连结OE .1因为四边形ABCD 是平行四边形，AC ，BD相交于点O ，所以O 为AC 的中点. 因为E 为PC 的中点，所以//OE PA .因为OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，所以//PA 平面BDE .（2）因为OP OC =，E 为PC 的中点，所以OE PC ⊥. 由（1）知，//OE PA ，所以PA PC ⊥.因为PA PD ⊥，PC ， PD ⊂平面PCD ，PC PD P ⋂=，所以PA ⊥平面PCD .考向二面面垂直例1、如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 为矩形，且2AB =，1BC =，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，PA DE ⊥.旗开得胜1(1)求证：//EF 平面PAD ； (2)求证：平面PAC ⊥平面PDE ．【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】证明：(1)取PD 中点G ，连AG ，FG ，F ，G 分别是PC ，PD 的中点//FG CD ∴，且12FG CD = 又E 为AB 中点//AE CD ∴，且12AE CD =//AE FG ∴，AE FG =四边形AEFG 为平行四边形//EF AG ∴，又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD //EF ∴平面PAD(2)设AC DE H =由AEHCDH ∆∆及E 为AB 中点旗开得胜1得12AH AE CH CD == 又2AB =，1BC =3AC ∴=，1333AH AC ==23AH AB AE AC ∴==又BAD ∠为公共角GAE BAC ∴∆∆90AHE ABC ∴∠=∠=︒即DE AC ⊥又DE PA ⊥，PAAC A =DE ⊥平面PAC ，又DE ⊂平面PDE∴平面PAC ⊥平面PDE例2、如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD上异于C ，D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；MD CBA【解析】(1)由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD ．因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．因为M为CD上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM．又BC CM=C，所以DM⊥平面BMC．而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．例3、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=3π，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=AD，点M在线段EF上。

专题20立体几何中的平行与垂直问题(解析版)

专题20 立体几何中的平行与垂直问题一、题型选讲题型一、线面平行与垂直知识点拨：证明直线与平面的平行与垂直问题，一定要熟练记忆直线与平面的平行与垂直判定定理和性质定理，切记不可缺条件。

直线与平面的平行有两种方法：一是在面内找线；二是通过面面平行转化。

直线与平面垂直关键是找两条相交直线例1、（2019南通、泰州、扬州一调）如图，在四棱锥PABCD中，M, N分别为棱PA, PD的中点.已知侧面PAD丄底面ABCD,底面ABCD是矩形，DA=DP.求证：（1）MN〃平面PBC；MD丄平面PAB.【证明】（1）在四棱锥P-ABCD中，M, N分别为棱PA, PD的中点，所以MN〃AD.（2分）又底面ABCD是矩形，所以BC〃AD.所以MN〃BC.（4分）又BC U平面PBC，MN Q平面PBC，所以MN〃平面PBC. （6分）（2）因为底面ABCD是矩形，所以AB丄AD.又侧面PAD丄底面ABCD，侧面PAD n底面ABCD=AD, AB U底面ABCD，所以AB丄侧面PAD.（8分）又MD U侧面PAD，所以AB丄MD.（10分）因为DA=DP,又M为AP的中点，从而MD丄PA. （12分）又PA，AB在平面PAB内，PA n AB=A，所以MD丄平面PAB.（14分）例2、（2019扬州期末）如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B为矩形，平面AA1B1B丄平面ABC,点E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点.（1）求证：EF〃平面ABC；（2）求证：BB］丄AC.规范解答（1）在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B,四边形BB1C1C均为平行四边形，E, F分别是侧面AA1B1B, BB1C1C对角线的交点，所以E, F分别是AB1，CB1的中点，所以EF〃AC.（4分）因为EF Q平面ABC, AC U平面ABC，所以EF〃平面ABC.（8分）（2）因为四边形AA1B1B为矩形，所以BB1丄AB.因为平面AA1B1B丄平面ABC,且平面AA1B1B n平面ABC=AB, BB1U平面AA1B1B, 所以BB1丄平面ABC.（12分）因为AC U平面ABC，所以BB1丄AC.（14分）例3、（2019南京、盐城二模）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC, A1C丄BC］, AB］丄BC1，D, E 分别是AB1和BC的中点.求证：（1）DE〃平面ACC1A1；（2）AE丄平面BCC1B1.A _________ c,规范解答⑴连结A1B，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1#BB1且AA1=BB1，所以四边形AA1B1B是平行四边形．又因为D是AB1的中点，所以D也是BA1的中点.（2分）在厶BA1C中，D和E分别是BA1和BC的中点，所以DE〃A］C.又因为DE G平面ACC1A1，A1C U平面ACC1A1，所以DE〃平面ACC1A1.（6分）（2）由（1）知DE〃A］C，因为A1C丄BC” 所以BC］丄DE.（8 分）又因为BC］丄AB1，AB1H DE=D，AB1，DE U平面ADE，所以BC1丄平面ADE.又因为AE U平在ADE,所以AE丄BC1.（10分）在厶ABC中，AB=AC，E是BC的中点，所以AE丄BC.（12分）因为AE丄BC1，AE丄BC，BC1H BC=B，BC1，BC U平面BCC1B1，所以AE丄平面BCC1B1. （14 分）例4、（2019苏锡常镇调研）如图，三棱锥DABC中，已知AC丄BC，AC丄DC，BC=DC，E，F 分别为BD，CD 的中点．求证：（1）EF〃平面ABC；（2）BD丄平面ACE.所以EF 〃平面ABC.（6分）（2）因为AC丄BC，AC丄DC，BC H DC = C，BC，DC U平面BCD所以AC丄平面BCD，（8分）因为BD U平面BCD，所以AC丄BD，（10分）因为DC=BC，E为BD的中点，所以CE丄BD，（12分）因为AC n CE = C, AC，CE U平面ACE，所以BD丄平面ACE.（14分）例5、（2019苏州三市、苏北四市二调）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，A1B1 丄B1C1•设A1C与AC1交于点D, B1C与BC1交于点E.求证：（1） DE〃平面ABB1A1；（2） BC］丄平面A1B1C.规范解答（1）因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，所以侧面ACC1A1为平行四边形．又A1C 与AC1 交于点D,所以D为AC]的中点，同理，E为BC]的中点•所以DE〃AB.（3分）又AB U平面ABB]A], DE G平面ABB]A], 所以DE〃平面ABB]A].（6分）（2）因为三棱柱ABCA]B]C]为直三棱柱，所以BB]丄平面A]B]C]. 又因为A]B]U平面A]B]C],所以BB]丄A]B i.（8分）又A]B]丄B]C], BB], B]C] U 平面BCC]B], BB]n B]C1=B1，所以A]B]丄平面BCC]B].（10 分）又因为BC]U平面BCC]B1，所以A]B丄BC].（12分）又因为侧面BCC]B1为正方形，所以BC]丄BQ.又A1B1n B1C=B1，A1B1，B1C U平面A1B1C, 所以BC1丄平面A1B1C.（14分）例6、（2017苏北四市一模）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知D, E分别为BC, B1C1的中点，点F 在棱CC1上，且EF丄CD.求证：（1）直线A1E〃平面ADC1；⑴证法1连结ED,因为D, E分别为BC, B1C1的中点，所以B&/BD且B1E=BD, 所以四边形BBDE是平行四边形，（2分）所以BB/DE且BB1=DE. 又BB]〃AA]且BB]=AA], 所以AA/DE且AA1=DE, 所以四边形AA]ED是平行四边形，所以A]E〃AD.（4分）又因为AE G平面ADC, AD U平面ADC，所以直线AE〃平面ADC.（7分）1 1 1畀 ------ 1B证法2连结ED,连结A1C, EC分别交AC” DC1于点M, N,连结MM,则因为D, E分别为BC,B1C1的中点，所以C1E^CD且C、E=CD,所以四边形C1EDC是平行四边形，所以N是CE的中点.（2分）因为A1ACC1为平行四边形，所以M是A1C的中点，（4分）所以MN//A\E.又因为A]E G平面ADC，MN U平面ADC，，所以直线Af〃平面ADC、.（7分）（2）在正三棱柱ABCA1B1C1中，BB]丄平面ABC.又AD U平面ABC，所以AD丄BB、.又A ABC是正三角形，且D为BC的中点，所以AD丄BC.（9分）又BB，，BC U 平面BBCC，，BB1A BC=B，所以AD丄平面B,BCC,，又EF U平面BBCC，所以AD丄EF.（11分）又EF丄CD，CD，AD U平面ADC,，C,D A AD=D，所以直线EF丄平面ADC,.（14分）题型二、线面与面面平行与垂直证明平面与平面的平行与垂直问题，一定要熟练记忆平面与平面的平行与垂直判定定理和性质定理，切记不可缺条件。

立体几何专题复习(自己精心整理)

专题一证明平行垂直问题题型一证明平行关系(1)如图所示，在正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中， M ， N分别是 C 1C ，B 1C 1的中点．求证： MN ∥平面 A 1BD.(2)如图，在四面体 A －BCD 中，AD ⊥平面 BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝ 2，BD ＝2 2，M 是 AD 的中点，P 是 BM 的中点，点 Q 在线段 AC 上，且 AQ ＝ 3QC.求证： PQ ∥平面 BCD.题型二证明垂直关系 (微专题 )微专题 1：证明线线垂直(1)已知空间四边形 OABC 中，M 为 BC 中点，N 为 AC中点，P 为 OA 中点，Q 为 OB 中点，若 AB ＝OC.求证：PM ⊥QN.(2)(2019 山·西太原检测 )如图，直三棱柱 ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝ AC ＝1，E ，F 分别是 CC 1，BC 的中点，AE ⊥A 1B 1，D 为棱 A 1B 1上的点，求证：DF ⊥AE.(3)在正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证： BD 1⊥平面 ACB 1. (4)(2019 河·南六市一模 )在如图所示的几何体中， ABC －A 1B 1C 1为三棱柱，且 AA 1⊥平面 ABC ，四边形 ABCD 为平行四边形， AD ＝2CD ，∠ADC ＝ 60°. 若 AA 1＝ AC ，求证： AC 1⊥平面 A 1B 1CD.微专题 3：证明面面垂直(5)已知正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是 BB 1，CD 的中点，求证：平面 DEA ⊥平面 A 1FD 1.(2)在正方体 AC 1 中，M ，点，求证：平面 AMN ∥平N ，E ，F 分别是 A 1B 1，A 1D 1，B 1C 1，C 1D 1 的中 EFDB.思考题 1 (1)如图所示，平面PAD ⊥平面 ABCD ，ABCD 为正方形，△ PAD 是直角三角形，且 PA ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段 PA ，PD ，CD 的中点，求证：平面 EFG ∥平面 PBC.微专题 2：证明线面垂直若不存在，说明理由．专题二求解异面直线所成角和线面角问题题型一异面直线所成的角(1)在棱长为 2 的正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面 ABCD 的中心， E ，F 分别1(6)如图，四边形 ABCD 为正方形， PD ⊥平面 ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝ 2 PD ，求证：平面 PQC ⊥平面 DCQ.思考题 2 (1)(2019 北·京东城区模拟 )如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD ⊥底面 ABCD ，PD ＝DC ，E 是 PC 的中点，作 EF ⊥BP 交 BP 于点 F ，求证： PB ⊥平面 EFD.(2)(2019济·南质检)如图，在三棱锥 P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为 BC 的中点， PO ⊥平面 ABC ，垂足 O 落在线段 AD 上．已知 BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.①证明： AP ⊥BC ；②若点 M 是线段 AP 上一点，且 AM ＝3，试证明平面 AMC ⊥平面BMC.题型三探究性问题在四棱锥 P －ABCD 中，PD ⊥底面 ABCD ，底面 ABCD 为正方形， PD ＝DC ，E ，F 分别是 AB ，PB 的中点．(1)求证： EF ⊥CD ；(2)在平面 PAD 内是否存在一点 G ，使 GF ⊥ 平面 PCB若. 存在，确定 G 点的位置；若不存在，试说明理由．思考题 3 (2019 ·山西长治二模 )如图所示，四棱锥 P －ABCD 的底面是边长为 1的正方形， PA ⊥CD ，PA ＝1，PD ＝ 2，E为 PD 上一点， PE ＝ 2ED.(1)求证： PA ⊥平面 ABCD ； (2)在侧棱PC 上是否存在一点 F ，使得 BF ∥ 平面 AEC 若存在，指出 F 点的位置，并证明；是 CC 1，AD 的中点，则异面直线 OE 和 FD 1 所成的角的余弦值等于．(2)(2019 安·徽知名示范高中联合质检 )若在三棱柱 ABC －A 1B 1C 1中，∠A 1AC＝∠BAC ＝60°，平面 A 1ACC 1⊥平面 ABC ，AA 1＝AC ＝AB ，则异面直线 AC 1与 A 1B 所成角的余弦值为思考题 1 (2019·湖南雅礼中学期末 )如图 1，在矩形 ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 是的中点；如图 2，将△DAE 沿 AE 折起，使折后平面 DAE ⊥平面 ABCE ，则异面直线 AE 和所成角的余弦值为(1)(2019 山·东荷泽期末 )在斜三棱柱 ABC －A 1B 1C 1中，侧棱 AA 1⊥平面 AB 1C 1， △AB 1C 1为等边三角形， B 1C 1＝2AA 1＝2，则直线 AB 与平面 B 1C 1CB 所成角的正切值为 ((2)如图，在正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为线段 BD 的中点．设点 P 在线段 CC 1上，直线 OP 与平面 A 1BD 所成的角为 α，则 sin α的取值范围是 B ．[ 36， 1] C ．[ 36，232]D ．思考题 2 (1)(2019 河·北石家庄一模 )如图所示，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，底面是边长为 2 的正三角形，侧棱长为面 AB 1C 1 所成的角的大小为(2)把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，当以 A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线 BD 和平面 ABC 所成的角的大小为 ( )题型三向量法求线面角DCBD ()A ．[ 33， 1]22 [232，1]A ．90°B ．60°C ． 45°D ． 30°)ABC －3，则 BB 1与(1)(2019河·南郑州月考)如图，已知四棱锥P－ABCD 的底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝PD＝5，平面ABCD⊥平面PAD，M 是PC 的中点，O是AD的中点，则直线BM与平面PCO所成角的正弦值是．(2)如图，菱形ABCD中，∠ ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝2，CF＝3.若直线FO 与平面BED所成的角为45°，则AE ＝ ______ ．思考题 3 (1)正四棱锥 S －ABCD 中，O 为顶点 S 在底面上的射影， P 为侧棱SD 的中点，且 SO ＝ OD ，则直线 BC 与平面 PAC 所成的角是．(2) (2019 河·南百校联盟联考 )已知斜四棱柱 ABCD －A 1B 1C 1D 1 的各棱长均为 2，∠A 1AD ＝ 60°，∠ BAD ＝ 90°，平面 A 1ADD 1⊥平面 ABCD ，则直线 BD 1 与平面 ABCD 所成的角的正切值为 ()是边长为 2的正方形， PA ⊥ BD.①求证： PB ＝PD ；②若 E ，F 分别为 PC ，AB 的中点， EF ⊥平面 PCD ，求直线 PB 与平面PCD 所成角的大小．(2)(2019 湖·南长郡中学选拔考试 )如图，在直三棱柱 ABC－A 1B 1C 1中，BA ＝BC ＝5，AC ＝8，D 为线段 AC 的中点．①求证： BD ⊥A 1D ；4②若直线 A 1D 与平面 BC 1D 所成角的正弦值为 5，求 AA 1的长．思考题 4 (2019 ·石家庄质检二 )如图，三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 中，侧面BB 1C 1C 为∠CBB 1＝60°的菱形， AB ＝AC 1.(1)证明：平面 AB 1C ⊥平面 BB 1C 1C ；(2)若 AB ⊥B 1C ，直线 AB 与平面 BB 1C 1C 所成的角为 30°，求直线 AB 1 与平面 A 1B 1C 所成角的正弦值．专题三求解二面角问题题型一定义法求二面角(1)(2019 台·州一模 )在边长为ABC 中，AD ⊥BC 于点 D ，沿 AD 折成二面角1(1)(2019太·原模拟一 )如图，在四棱锥 P －ABCD 中，底面 ABCDa 的等边三角B －AD －C ，若时BC＝2a，则二面角B－AD－C 的大小为．(2)如图，二面角α－l－β的大小是60°，线段ABα，B∈l，AB与l 所成的角为30°，则AB 与平面β所成的角的正弦值是(3)已知三棱锥P－ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，AC 为球O的直径．当三棱锥P－ABC的体积最大时，设二面角P－AB－C的大小为θ，则sin θ＝( )思考题 1 (1)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E为AD 的中点，现分别沿BE，CE将△ABE，△DCE翻折，使得点A，D 重合于F，此时二面角E－BC－F的余弦值为( )(2)如图，设AB为圆锥PO的底面直径，PA为母线，点C在底面圆周上，题型二向量法求二面角若PA＝AB＝2，AC＝BC，则二面角P－AC－B的正切值是．(1)已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的锐二面角的正切值为．(2)(2019河·南安阳)二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个A．150°B．45°C．60°D．120°二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2 17，则该二面角的大小为( )思考题 2 (1)设平面α的一个法向量为n1＝(1，2，－2)，平面β的一个法向量为n2＝(－22，－4，k)，若α和β所成的锐二面角的余弦值为3，则k＝(2)(2019 辽·宁丹东模拟)如图，正方形A1BCD折成直二面角 A－BD－C，则二面角A－CD－B 的余弦值是．(3)(2019 广·东中山模拟)在矩形ABCD中，已知AB＝2，AD＝ 2 2，M，N分别为AD和BC的中点，沿MN把平面ABNM折起，若折起后|AC| ＝6，则二面角A－MN－C的大小为( )A．30°B．45°C．60° D．90°(2019 ·惠州二次调研)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ ABC＝60°，PA⊥PB，PC＝2.(1)求证：平面PAB⊥平面ABCD；(2)若PA＝PB，求二面角A－PC－D 的余弦值．思考题 3 (2019 ·河北五一名校联考)在斜三棱柱(侧棱不垂直于底面)ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，底面△ABC是边长为 2 的正三角形，A1A＝A1C，A1A⊥ A1C.(1)求证：A1C1⊥B1C；(2)求二面角B1－A1C－C1 的正弦值．题型三空间角的综合问题(2019 ·唐山五校联考)如图，在四棱锥P－ABCD中，ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD，中点．(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；(2)若二面角P－AC－E 的余弦值为36，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．思考题 4 (2019·江南十校素质检测)如图，在以为顶点的五面体中，平面CDEF⊥平面四边形，且∠BCD＝45°.ABCD，FC＝FB，(1)求证：CD⊥BF；(2)若AB＝2EF＝2，BC＝2，直线BF与平面ABCD所成角为45°，求平面ADE与平面BCF 所成锐二面角的余弦值．专题四综合问题题型一空间的距离(1)(2019 江·西九江期末)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，E为CD的中点，F为PA的中点，且PA＝AB＝2.则点P到平面BEF的距离为( )(2)已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG＝2，E，F 分别是AB，AD的中点，求点 B 到平面GEF的距离．思考题 1 (1)(2019黑·龙江哈尔滨期末)三棱柱ABC －A1B1C1 底面为正三角形，侧棱与底面垂直，若AB＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC的距离为( )2.(2017 课·标全国Ⅰ，理)如图，在四棱锥P－ABCD中，∠BAP＝∠CDP＝90 °.(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠ APD＝90°，求二面角A－PB－C的余弦值．(2)(2019 湖·南长沙一模)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，求点 F 到平面A1D1E 的距离．题型二探究性问题(2019 ·湖南重点校联考)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥ 平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD,且AD＝CD＝22,BC＝4 2，PA＝2.(1)求证：AB⊥PC；(2)在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M－AC－D 的大小为45°，如果存在，求BM 与平面MAC 所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．思考题 2 (2019 ·西安八校联考)已知几何体ABCC 1B1N的直观图如图所示，CB⊥底面ABB1N，且ABB1N 为直角梯形，侧面BB1C1C为矩形，AN＝AB＝BC＝4，BB1＝8，∠NAB＝∠ABB1＝90°.(1)连接B1C，若M 为AB的中点，在线段CB上是否存在一点P，使得MP∥平面CNB1 若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．(2)求二面角C－NB1－C1 的余弦值．题型三翻折问题(2019 安·徽合肥调研性检测)平面四边形ABCD中，π∠DAB＝2，AD＝AB，△BCD为等边三角形．现将△ABD沿BD 翻折得到四面体P－BCD，点E，F，G，H 分别为PB，PD，CD，CB的中点．(1)求证：四边形EFGH为矩形；(2)当平面PBD⊥平面CBD时，求直线BG 与平面PBC所成角的正弦值．思考题 3 如图，在直角梯形 ABCP 中，∠ A ＝∠B ＝ 90°，AB ＝BC ＝3，AP ＝6，CD ⊥AP 于 D ，现将 △PCD 沿线段 CD 折成 60°的二面角 P －CD －A ，设 E ，F ，G 分别是 PD ，PC ，BC 的中点．(1)求证： PA ∥平面 EFG ；(2)若M 为线段 CD 上的动点，求直线 MF 与平面 EFG 所成角的最大角，并确定成最大角时点 M 在什么位置高考题呈现1．(2014 全·国Ⅱ)如图，四棱锥 ⊥平面 ABCD ，E 为 PD的中点．(1)证明： PB ∥平面 AEC ； (2)设 AP ＝1，AD ＝ 3，三棱锥PBC 的距离．2．(2016北·京)如图，在四棱锥 P －ABCD 中，平面 PAD ⊥平面 ABCD ， PA ⊥PD ，PA ＝ PD ， AB ⊥AD ，AB ＝1，AD ＝2，AC ＝CD ＝ 5.(1)求证： PD ⊥平面 PAB ；(2)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值；(3) 在棱 PA 上是否存在点 M ，使得 BM ∥平面 PCD 若存在，求A A M P 的值；若不存在，说明 P －ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA 3P －ABD 的体积 V ＝ 4 ，求 A 到理由．3.(2018 浙·江)如图，已知多面体ABC－A1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2.(1)证明： AB 1⊥平面 A 1B 1C 1；(2)求直线 AC 1 与平面 ABB 1所成的角的正弦值．4. (2016 课·标全国 Ⅲ)如图，四棱锥 P －ABCD 中，PA ⊥底面 ABCD ， AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为线段 AD 上一点，AM＝2MD ， N 为 PC 的中点．(1)证明： MN ∥平面 PAB ；(2)求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值．5．(2018课·标全国Ⅰ)如图，四边形 ABCD 为正方形， E ，F 分别为 AD ，BC 的中点，以 DF 为折痕把△ DFC 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且(1)证明：平面 PEF ⊥平面 ABFD ；(2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值．6．(2016·课标全国 Ⅰ，理)如图，在以 A ，B ，为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形， AF ＝2FD ，面角 D －AF －E 与二面角C －BE － F 都是 60°.(1)证明：平面 ABEF ⊥ 平面 EFDC ；(2)求二面角 E －BC －A 的余弦值．7.(2017 课·标全国Ⅰ，理 )如图，在四棱锥 P －ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.(1)证明：平面 PAB ⊥平面 PAD ；(2)若 PA ＝PD ＝AB ＝DC ，∠ APD ＝90°，求二面角 A －PB－C 的余弦值．PF ⊥BF.C ，D ，E ，F∠AFD ＝90°，且8．(2018 课·标全国Ⅱ，理)如图，在三棱锥P－ABC中，AB ＝BC＝2 2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M 在棱BC上，且二面角M－PA－C 为30°，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．9．(2018·北京，理)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G 分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB＝BC＝5，AC＝AA1＝2.(1)求证：AC⊥平面BEF；(2)求二面角B－CD－C1 的余弦值；(3)证明：直线FG与平面BCD相交．10．(2017北·京，理)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M 在线段PB上，PD∥平面MAC，PA＝PD＝6，AB＝4.(1)求证：M 为PB的中点；(2)求二面角B－PD－A 的大小；(3)求直线MC 与平面BDP所成角的正弦值．。

高中数学立体几何平行、垂直位置关系证明题专项练习(带答案)

立体几何平行、垂直位置关系专练1、如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AB AD ⊥，2AD BC =，M 点在线段PD 上，且满足2MD PM =.（1）求证:AB PD ⊥；（2）求证://PB 平面MAC .2、如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，E 为PA 的中点，F 为BC 的中点，底面ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ．求证：（1）平面//EFO 平面PCD ；（2）平面PAC ⊥平面PBD ．3、如图，正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的高为6，其底面边长为2.已知点M ，N 分别是棱A 1C 1，AC 的中点，点D 是棱CC 1上靠近C 的三等分点．求证：(1)B 1M ∥平面A 1BN ；(2)AD ⊥平面A 1BN.4、如图，等边三角形ABC与直角梯形ABDE所在平面垂直，BD∥AE，BD＝2AE，AE⊥AB，M为AB的中点．(1)证明：CM⊥DE；(2)在边AC上找一点N，使CD∥平面BEN.5、如图，矩形ABCD所在平面与三角形ABE所在平面互相垂直，AE＝AB，M，N，H分别为DE，AB，BE 的中点．求证：(1)MN∥平面BEC；(2)AH⊥CE.6、如图，在三棱台ABCDEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.(1)设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；(2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在请确定点G的位置；若不存在，请说明理由．7、在三棱锥S ABC -中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB BC ⊥，AS AB =，过A 作AF SB ⊥，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．（1）求证：平面EFG ∥平面ABC ．（2）求证：BC SA ⊥．8、如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，点D 为棱1C C 的中点，1AC 与1A D 交于点E ，1BC 与1B D 交于点F ，连结EF .求证：（1）//AB EF ；（2）平面11A B D ⊥平面11B BCC .9、【2019年高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．点，平面PAB ⊥底面ABCD ，90PAB ∠= ．求证：（1）//PB 平面AEC ；（2）平面PAC ⊥平面ABCD ．11、2.（2020·江苏省镇江高三二模）如图，三棱锥P ABC -中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC ．()1求证：//AC 平面PDE ；()2若2PD AC ==，PE =PBC ⊥平面ABC .12、（2020·江苏省建湖高级中学高三月考）如图，在四面体ABCD 中，,90AD BD ABC =∠= ，点,E F 分别为棱,AB AC 上的点，点G 为棱AD 的中点，且平面//EFG 平面BCD ．（1）求证：12EF BC =；（2）求证：平面EFD ⊥平面ABC ．点，PA ⊥平面ABCD .（1）求证：//PB 平面AEC ；（2）若四边形ABCD 是矩形且PA AD =，求证：AE ⊥平面PCD .14、（2020·江苏省高三二模）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点.求证：（1）11AC ∥平面1B EF ；（2）1AC B E ⊥.15、（2020·江苏省连云港高三）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，E 、F 分别为AD 、PB 的中点.（Ⅰ）求证：PE BC ⊥；（Ⅱ）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求证：//EF 平面PCD .16、（2020·江苏省苏州高三）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．17、（2020·江苏省通州高三）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面1,2,1,,AB BC AA AC BC E F ⊥===分别是11,AC BC 的中点．（1）求证: 平面ABE ⊥平面11B BCC ；（2）求证:1C F ∥平面ABE ；18、（2020·江苏省高三三模）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1BC B C =，O 为四边形11ACC A 对角线交点，F 为棱1BB 的中点，且AF ⊥平面11BCC B .（1）证明：//OF 平面ABC ；（2）证明：四边形11ACC A 为矩形.参考答案1．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AB AD ⊥，2AD BC =，M 点在线段PD 上，且满足2MD PM =.（1）求证:AB PD ⊥；（2）求证://PB 平面MAC .【解析】（1）∵四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AB 平面ABCD ， ∴AB PA ⊥，又AB AD ⊥，,PA AD ⊂平面PAD ，PA AD A ⋂=， ∴AB ⊥面PAD .PD ⊂面PAD ，∴AB PD ⊥. （2）连结BD AC O ⋂=，连结MO ， ∵//AD BC ，2AD BC =，2DO BO ∴=,∵在PBD ∆中，2DM MP =，2DO BO =∴//PB MO ，又PB ⊄面MAC ，MO ⊂面MAC ，∴//PB 面MAC .2．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，E 为PA 的中点，F 为BC 的中点，底面ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ．求证：（1）平面//EFO 平面PCD ；（2）平面PAC ⊥平面PBD ．【详解】（1）因为在ΔPAC 中，E 为PA 的中点，O 为AC 的中点，所以//EO PC又EO ⊄平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，所以//EO 平面PCD同理可证，//FO 平面PCD ，又EO FO O = ，EO ⊂平面EFO ,FO ⊂平面EFO 所以平面//EFO 平面PCD ．（2）因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，又,,PA AC A PA PAC AC PAC =⊂⊂ 平面平面所以BD ⊥平面PAC 。

专题六立体几何第三讲利用空间向量证明平行与垂直关系——2024届高考数学二轮复习

的值为( )
A. 11
6
√B. 11 6
C. 1
2
D. 1
3
设 D(x, y, z) ,则 AD (x 1, y 1, z 2), AB (2, 1, 3), DB (1 x, y, 1 z) . AD 2DB ,
x 1 2(1 x),
x
1 3
,
y
z
1 2
2 y, 2
2z.
y
z
1, 3 0,
D
1 3
,
1 3
,0
, CD
1 3
,
,
1
.
CD
AB,CD
AB
2
1 3
3(1
)
0,
11 6
.故选
B.
（二）核心知识整合
考点 2：向量法求线线角、线面角、面面角 1.向量法求空间角（1）异面直线所成的角：设 a，b 分别为异面直线 a，b 的方向向量，
则两异面直线所成的角满足 cos ＝ | a b | ．
则 B(0,0,0) ， A(1,0,1) ，C(0,1,1) ，N(1,1,0) ，因此 BA (1, 0,1) ，BC (0,1,1) ，BN (1,1,0) .设平面 ABC
的一个法向量为
n
(
x,
y,
z)
，则
n
BA
x
z
0,
令
x
1，得
n
(1,1,
1)
.易知三棱锥
S
ABC
的外
n BC y z 0
√A.-1
B.1
C.2
D.3
a c ，a c 2x 4 2 0 ，解得 x 1，又 b//c ， 1 y 1 ，

(完整版)立体几何证明垂直专项含练习题及答案.doc

精品字里行间精品文档立体几何证明 ------ 垂直一. 复习引入1.空间两条直线的位置关系有： _________,_________,_________三种。

2.（公理 4）平行于同一条直线的两条直线互相 _________.3.直线与平面的位置关系有 _____________,_____________,_____________三种。

4.直线与平面平行判定定理 : 如果 _________的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行5.直线与平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么 _________________________.6.两个平面的位置关系 :_________,_________.7.判定定理 1：如果一个平面内有 _____________直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 .8.线面垂直性质定理：垂直于同一条直线的两个平面 ________.9.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的________平行 .10.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线都 _____于另一个平面 . 二．知识点梳理知识点一、直线和平面垂直的定义与判定定义语言描述如果直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 与平面互相垂直，记作 l ⊥α图形判定一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直 .条件 b 为平面α内的任一直线，而 l 对这l ⊥m， l ⊥n，m∩n＝B，m ，一直线总有 l ⊥αn结论l ⊥l ⊥要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同（线线垂直线面垂直）知识点二、直线和平面垂直的性质性质语言描述一条直线垂直于一个平面，那么这条垂直于同一个平面的两条直线平行.直线垂直于这个平面内的所有直线图形条件结论知识点三、二面角Ⅰ .二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle）. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角－AB－. （简记P－AB－Q）二面角的平面角的三个特征:ⅰ.点在棱上ⅱ.线在面内ⅲ .与棱垂直Ⅱ .二面角的平面角：在二面角－l－的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面,内分别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB ，则射线 OA 和 OB 构成的AOB叫做二面角的平面角.作用：衡量二面角的大小；范围：001800.知识点四、平面和平面垂直的定义和判定定义判定文字描述两个平面相交，如果它们所成的二面一个平面过另一个平面的垂线，则这角是直二面角，就说这两个平面垂两个平面垂直直.图形结果α∩β =lα-l-β=90oα⊥β（垂直问题中要注意题目中的文字表述，特别是“任何”“ 随意”“无数”等字眼）三．常用证明垂直的方法立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法：（ 1）通过“平移”。

高三文科数学立体几何平行垂直问题专题复习(含答案)

高三文科数学专题复习:立体几何平行、垂直问题【根底学问点】一、平行问题1．直线及平面平行的断定及性质定义断定定理性质性质定理图形条件a∥α结论a∥αb∥αa∩α＝a∥b2. 面面平行的断定及性质断定性质定义定理图形条件α∥β，a⊂β结论α∥βα∥βa∥b a∥α平行问题的转化关系：二、垂直问题一、直线及平面垂直1．直线与平面垂直的定义：直线l及平面α内的都垂直，就说直线l及平面α相互垂直．2．直线及平面垂直的断定定理及推论文字语言图形语言符号语言断定定理一条直线及一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线及此平面垂直推论假如在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面3．直线及平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行4.直线与平面垂直的常用性质①直线垂直于平面，那么垂直于平面内随意直线．②垂直于同一个平面的两条直线平行． ③垂直于同一条直线的两平面平行．二、平面及平面垂直1．平面及平面垂直的断定定理【典例探究】类型一、平行及垂直例1、如图，三棱锥A BPC -中，,,AP PC AC BC ⊥⊥M 为AB 中点，D为PB 中点，且△PMB 为正三角形。

〔Ⅰ〕求证：DM ∥平面APC ；〔Ⅱ〕求证：平面ABC ⊥平面APC ；〔Ⅲ〕假设BC 4=，20AB =，求三棱锥D BCM -的体积。

F D C1B1A1C例2. 如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，2AC BC ==，14AA =，22AB =M ，N 分别是棱1CC ，AB 中点.〔Ⅰ〕求证：CN ⊥平面11ABB A ；〔Ⅱ〕求证：//CN 平面1AMB ；〔Ⅲ〕求三棱锥1B AMN -的体积．【变式1】. 如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC ∆为等腰直角三角形， 90=∠BAC ，且1AA AB =，F E D ,,分别是BC CC A B ,,11的中点。

高三数学一轮复习立体几何中垂直的证明讲义

立体几何中垂直证明一、 “垂直关系”常见证明方法1直线与直线垂直的证明1.1 利用某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直,等边、等腰三角形（中线即高线），正方形、矩形邻边垂直，正方形菱形对角线垂直等。

1.2 看夹角：两条共（异）面直线的夹角为90°，则两直线互相垂直。

1.3 利用直线与平面垂直的性质：如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。

1.4 利用平面与平面垂直的性质推论：如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这两条直线互相垂直。

1.5 利用常用结论：① 如果两条直线互相平行，且其中一条直线垂直于第三条直线，则另一条直线也垂直于第三条直线。

② 如果有一条直线垂直于一个平面，另一条直线平行于此平面，那么这两条直线互相垂直。

2 直线与平面垂直的证明2.1 利用某些空间几何体的特性：如长方体侧棱垂直于底面等2.2 看直线与平面所成的角：如果直线与平面所成的角是直角，则这条直线垂直于此平面。

2.3 利用直线与平面垂直的判定定理：bβαlb l a b a l ⊥⊥⊂⊂=⋂⊥βαβαβαba ⊥⇒ca ba ⊥∥cb ⊥⇒baαcabαα⊥⊂b a ab ⊥⇒αb αα∥b a ⊥ba ⊥⇒一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面。

2.4 利用平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

2.5 利用常用结论：① 一条直线平行于一个平面的一条垂线，则该直线也垂直于此平面。

② 两个平面平行，一直线垂直于其中一个平面，则该直线也垂直于另一个平面。

3 平面与平面垂直的证明3.1 利用某些空间几何体的特性：如长方体侧面垂直于底面等3.2 看二面角：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角（即平面角是直角的二面角），就说这连个平面互相垂直。

3.3 利用平面与平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

立体几何证明垂直专项知识点及练习

立体几何证明垂直.复习引入1. 空间两条直线的位置关系有： __________ , _________ , ________ 三种。

2. （公理4）平行于同一条直线的两条直线互相__________ .3. 直线与平面的位置关系有______________ , _____________ , _____________ 种。

4. 直线与平面平行判定定理：如果________ 的一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行5. 直线与平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么____________________________ .6. 两个平面的位置关系：________ , _________ .7. 判定定理1:如果一个平面内有________________ 线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.8. 线面垂直性质定理：垂直于同一条直线的两个平面_________ .9. 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的_________ 行.10. 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线都_______ 于另一个平面.二.知识点梳理内的任意一条直线”就是指“平面要点诠释：定义中“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不（线线垂直线面垂直）知识点二、直线和平面垂直的性质知识点三、二面角I •二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle）.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面•记作二面角—AB —.（简记P—AB —Q ）二面角的平面角的三个特征：i. 点在棱上ii .线在面内iii .与棱垂直n .二面角的平面角：在二面角-1- 的棱i上任取一点O ,以点O为垂足，在半平面，内分别作垂直于棱l 的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角.作用：衡量二面角的大小；范围：001800.知识点四、平面和平面垂直的定义和判定2. 如图，四棱锥P - ABCD 的底面是正方形，PA 丄底面ABCD , / PDA=45°，点E 为棱AB 的中点.求证：平面 PCE 丄平面PCD ;(2)利用等腰三角形底边上的中线的性质(1) (2) (3) (4)通过“平移”。

立体几何平行和垂直知识点整理

βαβαβαa αa b αβ
α
a b
b 'a 'o A
P
αl
β
α
立体几何知识点整理要求：作出图形，并在
}前用符号语言写
出条件。

一、平行理论
1、线线平行⇒线面平行
2、线面平行⇒线线平行
3、线面平行⇒面面平行
4、面面平行⇒线面平行
5、线线平行⇒面面平行
6、面面平行⇒线线平行
二、垂直理论
1、线线垂直⇒线面垂直
2、线面垂直⇒线线垂直
3、线面垂直⇒面面垂直
4、面面垂直⇒线面垂直
三、空间角（作出图形并填空） 1、如图，b a 、为异面直线，
,
把称为b a 、所成角
异面直线所成角∈θ
2、如图，PA 为面α的斜线，A 为斜足
把称为PA 与α所成角直线与平面所成角∈θ
3 、如图，二面角βα--l
把称为二面角βα--l 的平面角二面角大小∈θ
α//a ⇒⎪
⎭⎪
⎬⎫b a //⇒⎪
⎭⎪
⎬⎫βα//⇒⎪
⎭⎪
⎬⎫βα//⇒⎪
⎭⎪
⎬⎫b a //⇒⎪
⎭⎪
⎬⎫α⊥⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫a b a ⊥⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫βα⊥⇒⎪
⎭⎪
⎬⎫α⊥⇒⎪
⎭
⎪
⎬⎫a α//a ⇒⎪
⎭⎪
⎬⎫。

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