三线八角(初一数学下册第二章平行线)

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2021年初中数学人教版特色小组课程：第2讲：三线八角定平行——平行线及其判定《讲义教师版》

第2讲三线八角定平行——平行线及其判定学习目标1.理解三线八角的意义，掌握平行公理及其推论；2.掌握平行线的判定方法入门测单选题练习1.三条直线a、b、c，若a∥c，b∥c，则a与b的位置关系是（）.A．a⊥b B．a∥bC．a⊥b或a∥b D．无法确定【答案】B【解析】题干解析:解：由于直线a、b都与直线c平行，依据平行公理的推论，可推出a∥b．故选B．练习2.（2021春∙封开县期末）如图，已知∠2=110°，要使a∥b，则须具备另一个条件（）A．∠3=70°B．∠3=110°C．∠4=70°D．∠1=70°【解析】题干解析:当∠3=70°，∠2=110°时，∠2+∠3=180°，∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行），填空题练习1.下列说法中：（1）在同一平面内，经过已知一点有且只有一条直线与已知直线平行；（2）两个相等的角是对顶角；（3）一个锐角的补角一定比这个角的余角大90°；（4）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；（5）三条直线两两相交，一定有三个交点．正确的说法是．（填入你认为正确的说法的序号）【答案】（3）、（4）【解析】题干解析:解：（1）在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故（1）错误；（2）对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，故（2）错误；（3）一个锐角的补角一定比这个角的余角大90°，故（3）正确；（4）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故（4）正确；（5）三条直线两两相交，有三个交点或一个交点，故（5）错误；故答案为：（3），（4）．练习2.如图，共有___组平行线段．【答案】9【解析】题干解析:图中的平行线段有AD∥EF；BD∥EF；DE∥FB；DE∥FC；DF∥AE；DF∥EC；DE∥BC；DF∥AC；EF∥AB．共有9对．解答题练习1.我们已经掌握“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”这一判定两直线平行的方法．如图，已知直线AB和直线外一点C，请按照上述方法利用三角尺过点C画AB的平行线．（保留作图痕迹，不用写作法）．【答案】解：如图所示：EF为所求作的图形．【解析】题干解析:利用直角三角板过点C作CD⊥AB，再利用直角三角板过点C作EF⊥CD．情景导入中国最早的风筝据说是有古代哲学家墨翟制作的，风筝的骨架构成了多种关系的角。

苏教版七年级下册数学知识点总结

第七章平面图形的认识（二）一、知识点：1、“三线八角”① 如何由线找角：一看线，二看型。

同位角是“F ”型；内错角是“Z ”型；同旁内角是“U ”型。

② 如何由角找线：组成角的三条线中的公共直线就是截线。

2、平行公理：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行。

简述：平行于同一条直线的两条直线平行。

补充定理：如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线也平行。

简述：垂直于同一条直线的两条直线平行。

34、图形平移的性质：图形经过平移，连接各组对应点所得的线段互相平行（或在同一直线上）并且相等。

5、三角形三边之间的关系：三角形的任意两边之和大于第三边；三角形的任意两边之差小于第三边。

若三角形的三边分别为a 、b 、c ，则b a c b a +<<-6、三角形中的主要线段：三角形的高、角平分线、中线。

注意：①三角形的高、角平分线、中线都是线段。

②高、角平分线、中线的应用。

7、三角形的内角和：三角形的3个内角的和等于180°；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。

8、多边形的内角和：n边形的内角和等于（n-2）•180°；任意多边形的外角和等于360°。

第八章幂的运算幂（power）指乘方运算的结果。

a n指将a自乘n次(n个a相乘）。

把a n看作乘方的结果，叫做a的n次幂。

对于任意底数a,b，当ｍ，ｎ为正整数时，有:aｍ•a n=a m+n (同底数幂相乘,底数不变,指数相加)aｍ÷a n=a m-n (同底数幂相除,底数不变,指数相减)(aｍ)n=a mn (幂的乘方,底数不变,指数相乘)(ab)n=a n a n (积的乘方,把积的每一个因式乘方,再把所得的幂相乘)a0=1(a≠0) (任何不等于0的数的0次幂等于1)a-n=1/a n (a≠0) (任何不等于0 的数的-n次幂等于这个数的n次幂的倒数)科学记数法:把一个绝对值大于10(或者小于1)的整数记为a×10n的形式(其中1≤|a|＜10),这种记数法叫做科学记数法.复习知识点：1.乘方的概念:a中，a 叫做底数，求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

(完整版)平行线与三线八角

平行线与三线八角平行线在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。

如图，直线a与直线b互相平行，记作“a ∥b”。

念为a平行于b。

1.根据所学的知识，在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系有几种呢？两种：平行或相交。

2.利用直尺和三角板画已知直线的平行线。

（1）工具：直尺、三角板（2）方法：一“落”把三角尺一边落在已知直线上；二“靠”用直尺紧靠三角尺的另一边；三“移”沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点；四“画”沿三角尺过已知点的边画直线。

例1：请你根据上述方法练习画平行线：已知:直线a ，,点B,，点C.（1）过点B画直线a的平行线,能画几条?（2）过点C画直线a的平行线,它与过点B且与直线a平行线的直线平行吗?思考：上图中，①过点B画直线a的平行线，能画条；②过点C画直线a的平行线，能画条；③你画的两条直线有什么位置关系？。

练习：1.在同一平面内,一条直线和两条平行线中的一条直线相交,那么这条直线与平行线中的另一条必__________.cba 2.两条直线相交,交点的个数是______,两条直线平行,交点的个数是_____个. 3.在同一平面内，与已知直线L 平行的直线有条，而经过L 外一点，与已知直线L 平行的直线有且只有条。

平行公理及推论①公理内容：。

②比较平行公理和垂线的第一条性质：共同点:都是“有且只有一条直线”,这表明与已知直线平行或垂直的直线存在并且是唯一的.不同点:平行公理中所过的“一点”要在已知直线外, 垂线性质中对“一点”没有限制,可在直线上,也可在直线外.例2、下列命题：（1）长方形的对边所在的直线平行；（2）经过一点可作一条直线与已知直线平行；（3）在同一平面内，如果两条直线不平行，那么这两条直线相交； (4)经过一点可作一条直线与已知直线垂直．其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．43、推论：。

①符号语言：∵b∥a，c∥a（已知） ∴b∥c（如果两条直线都与第三条直线平行, 那么这两条直线也互相平行）例3、（1）下列推理正确的是（）A 、因为a//d, b//c,所以c//dB 、因为a//c, b//d,所以c//dC 、因为a//b, a//c,所以b//cD 、因为a//b, d//c,所以a//c （2）在同一平面内有三条直线,若其中有两条且只有两条直线平行,则它们交点的个数为( )A.0个B.1个C.2个D.3个（3）下列说法正确的有( ) ①不相交的两条直线是平行线;②在同一平面内,两条直线的位置关系有两种; ③若线段AB 与CD 没有交点,则AB ∥CD; ④若a ∥b,b ∥c,则a 与c 不相交.A.1个B.2个C.3个D.4个1.平行公理是：经过一点，一条直线与这条直线平行.2.在同一平面内，两条不重合直线的位置关系有和两种.3.因为AB∥CD，CD∥EF，所以∥ . 推理理由( ).4.判断下列语句：(1)过两条平行线AB、CD外一点P，作一条直线MN，使MN∥AB，且MN∥CD；(2)过两条平行线AB、CD外一点P，作直线MN，使MN∥AB，∵AB∥CD，∴M N∥CD；(3)过两条平行线AB、CD外一点P，作一条直线EF，使EF⊥AB，且EF⊥CD；(4)过两条平行线AB、CD外一点P，作一条直线EF，使EF⊥AB，∵AB∥CD，∴EF⊥CD.其中，正确的是( )A.(1)(2)B.(3)(4)C.(1)(3)D.(2)(4)三线八角提问： 1两条直线相交后产生了几个角?每两个角之间的关系是什么?2三条直线之间也可以有什么样的位置关系?三线八角的意义(2)内错角(3)同旁内例4、如图1，直线a、b被直线c所截，∠1和∠2是，∠3和∠4是，∠3和∠2是。

【七年级寒假班讲义】第6讲三线八角及平行线的判定(教师版)

初一数学寒假班（教师版）- 1 -- 2 -同位角、内错角、同旁内角(三线八角) 若直线a ，b 被直线l 所截：（1）同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角．（如15∠∠和）（2）内错角：两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角．（如35∠∠和）（3）同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．（如36∠∠和）注意：三线八角是位置关系，数量上没有确定的关系．知识结构三线八角及平行线的判定模块一：三线八角的意义知识精讲1 2 3 4 5 6 7 8- 3 -【例1】填空【例1】如图，∠2与∠3是_______角．∠2与∠4是_______角． ∠2与∠5是_______角． ∠1与∠5是_______角． ∠3与∠5是_______角． ∠3与∠7是_______角． ∠3与∠8是_______角．∠2与∠8是_______角．【难度】★【答案】邻补角、对顶角、同旁内角、同位角、内错角、同位角、同旁内角、内错角．【解析】考查线八角的角的概念．【总结】考查三线八角的本概念．【例2】填空(1)∠B 和∠1是两条直线________和_______被第三条直线_______所截构成的_______角． (2)∠ACB 与∠7是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角． (3)∠3与∠5是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角． (4)∠3与∠B 是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角． (5)∠2与∠7是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角．【难度】★【答案】（1）BC 、DE 、AB 、同位角；（2）BC 、DE 、AC 、同位角；（3）BA 、CA 、DC 、内错角；（4）DC 、BC 、BA 、同旁内角；（5）DC 、AC 、DE 、内错角．【解析】考查线八角的角的概念．【总结】考查三线八角的本概念．【例3】如图，同旁内角有()对． A ．4对 B ．3对C ．2对D ．1对【难度】★ 【答案】B【解析】任意两个角都互为同旁内角，共3对．例题解析1234 8 765 7612354ABCDE- 4 - 【总结】考查同旁内角的概念．【例4】如图，同位角共有()对． A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对【难度】★【答案】B【解析】同位角像F 形，由F 形找同位角．【总结】考查同位角的概念．【例5】如图，是同位角关系的是()．A ．∠3和∠4B ．∠1和∠4C ．∠2和∠4D ．不存在【难度】★【答案】B【解析】A 是内错角；B 内错角；C 同旁内角．【总结】考查同位角的概念．【例6】如图，内错角共有()对． A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对【难度】★★【答案】D【解析】∠EDB 与∠DBC 、∠EDB 与∠DBA 、 ∠FDB 与∠DBC 、∠FDB 与∠DBA ，共4对【总结】考查内错角的概念．【例7】如图，同旁内角共有()对． A ．10对B ．8对C ．6对D ．4对【难度】★★【答案】C【解析】四边形内有4组，四边形上方和右边各有一组，共6组．【总结】考查同旁内角的判定．【例8】如图，∠1与∠2是两条直线____和____被第三条直线______所截构成的_____角．∠3与∠4是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角．【难度】★★【答案】AD 、BC 、AC 、内错角；AB 、CD 、AC 、内错角．【解析】内错角像字母Z ．【总结】考查内错角的特点及判定．2341 ABC EFD A BCEFD1432ABCD- 5 -【例9】如图，∠C 的同位角有_____________________，同旁内角是____________________，∠1与∠2是___________角．直线AB 和CD 被AD 所截，∠A 的内错角是___________，∠A 与∠ADC 是_______角．【难度】★★【答案】∠ADE 、∠BDE ；∠ABC 、∠DBC 、∠ADC 、∠BDC ；内错角；∠ADE ；同旁内角．【解析】同位角像字母F ，内错角像字母Z ，同旁内角像字母U ．【总结】考查基本角的特点．【例10】如图，∠1的同位角是∠______，∠1的内错角是∠______，∠1的同旁内角是∠_____， ∠1的对顶角是∠______，∠1的邻补角是∠______．【难度】★★★【答案】∠DEB 、∠EBH ；∠AEF 、∠IBF ；∠BEF 、∠EBF ； ∠CFG ；∠CFD 、∠GFH ．【解析】同位角像字母F ，内错角像字母Z ，同旁内角像字母U ，找的时候要注意找全．【总结】考查基本角的特点及概念．【例11】如图，DC 垂直于AE ，已知∠DCE 的同位角是它的一半，∠B =2∠ACB ，试判断△ABC 的形状．【难度】★★★【答案】等腰直角三角形．【解析】∵DC ⊥AE ，∴∠DCE =90°∠DCE 的同位角是∠BAC ，由题已知∠BAC =45°， ∴∠B +∠ACB =180°-45°=135°又∵∠B =2∠ACB ∴∠B =90°，∠ACB =45° ∴△ABC 为等腰直角三角形【总结】考查同位角的概念及三角形的类型判定．1、平行线的定义同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．知识精讲模块二：平行线的意义和性质ABCDE12AB DE FCG1H IABC DE2、平行线的基本性质（1）经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；（2）平行线之间的距离处处相等；（3）平行于同一条直线的两直线平行（平行的传递性）．（4）同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行．（5）两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离，平行线间的距离处处相等．例题解析【例12】已知直线a//b，b//c，那么a________c．【难度】★【答案】平行【解析】平行于同一条直线的两直线平行．【总结】考查平行线的传递性．【例13】a、b、c是直线，且a//b，b⊥c，则a与c的位置关系是________．【难度】★【答案】垂直【解析】∵a∥b，b⊥c，∴a⊥c．【总结】考查直线的位置关系．【例14】下列说法中，正确的是（）．A．两直线不相交则平行B．两直线不平行则相交C．若两线段平行，那么它们不相交D．两条线段不相交，那么它们平行【难度】★【答案】C【解析】两条直线还可能重合，所以A、B错；D错误．【总结】考查同一平面内线段、直线的位置关系．【例15】在同一平面内，有三条直线，其中只有两条是平行的，那么交点有（）．A．0个B．1个C．2个D．3个【难度】★【答案】C【解析】第三条直线与这两条直线都相交，所以有两个交点．【总结】考查直线的位置关系及交点个数．- 6 -- 7 -【例16】下列说法中，错误的有（）．①若a 与c 相交，b 与c 相交，则a 与b 相交； ②若a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种 A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【难度】★★【答案】A【解析】①a 与b 可能平行，错误；②平行线的传递性，正确；③这个点必须不在已知直线上，错误；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交两种，错误．【总结】考查同一平面内两直线的位置关系．【例17】如图，按要求画平行线．（1）过P 点画AB 的平行线EF ；（2）过P 点画CD 的平行线MN ．【难度】★★ 【答案】如右图．【解析】如右图．【总结】考查基本的作图能力．【例18】如图，点A ，B 分别在直线1l ，2l 上，（1）过点A 画到2l 的垂线段；（2）过点B 画直线CD ∥1l ．【难度】★★ 【答案】如右图．【解析】如右图．【总结】考查基本的作图能力，此题中注意垂线段是一条线段，不要画成直线．平行线的三种判定方法：（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．知识精讲模块三：平行线的判定CDEFMN- 8 - 简单地说，同位角相等，两直线平行．（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单地说，内错角相等，两直线平行．（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单地说，同旁内角互补，两直线平行．【例19】如图，请写出能判定CE ∥AB 的一个条件______________．【难度】★【答案】∠DC E=∠A 等．【解析】可以通过同位角相等两直线平行来判定．【总结】考查平行线的判定定理的运用，答案不唯一，只要成立即可．【例20】如图，AB ∥CD ， AC ⊥BC ，∠BAC =65°，则∠BCD =_______度．【难度】★【答案】25°．【解析】因为AB ∥CD （已知），所以ACE BAC ∠=∠（两直线平行，内错角相等），因为∠BAC =65°（已知），所以65ACE ∠=（等量代换）．因为AC ⊥BC （已知），所以90ACB ∠=（垂直的意义）因为180ACE ACB BCD ∠+∠+∠=（邻补角的意义），所以180659025BCD ∠=--=（等式性质）．【总结】考查平行线的性质及邻补角性质的综合运用．【例21】如图，下列说法错误的是（ )．A ．∠1和∠3是同位角；B ．∠1和∠5是同位角；C ．∠1和∠2是同旁内角；D ．∠5和∠6是内错角．【难度】★【答案】B 【解析】同位角像字母Z ．【总结】考查同位角的概念．【例22】已知，△ABC 中，DE 垂直于AC 于E ，△ACB=90°，试说明DE△BC 的理由．【难度】★★【答案】略．【解析】因为DE ⊥AC （已知），所以90AED ∠=（垂直的意义）．例题解析CA BD E ABCDE 12 34 5 6 ABC DE- 9 -因为∠ACB =90°（已知），所以∠ACB =∠AED （等量代换），所以DE ∥BC （同位角相等，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理及垂直的意义的综合运用．【例23】如图，∠5=∠CDA =∠ABC ，∠1=∠4，∠2=∠3，∠BAD +∠CDA =180°，填空：∵∠5=∠CDA （已知）∴_______//_______（内错角相等，两直线平行） ∵∠5=∠ABC （已知）∴_______//_______（同位角相等，两直线平行） ∵∠2=∠3（已知）∴_______//_______（内错角相等，两直线平行） ∵∠BAD +∠CDA =180°（已知）∴_______//_______（同旁内角互补，两直线平行） ∵∠5=∠CDA （已知），又∵∠5与∠BCD 互补，∠CDA 与_______互补（邻补角定义） ∴∠BCD =∠6（等角的补角相等）∴_______//_______（同位角相等，两直线平行）【难度】★★【答案】AD 、BC ；AB 、CD ；AB 、CD ；AB 、CD ；∠6；AD 、BC ．【解析】解题时要看清题目，根据条件判断出哪一组直线平行，不能混淆．【总结】考查平行线的判定定理的运用．【例24】如图，AB ⊥BC ，∠1+∠2=90°，∠2=∠3，那么BE 与DF 平行吗?为什么? 【难度】★★ 【答案】平行【解析】因为AB ⊥BC （已知），所以∠ABC =90°（垂直的意义），即3490∠+∠=（角的和差）因为∠2=∠3（已知），所以2490∠+∠=（等量代换）因为∠1+∠2=90°（已知），所以∠1=∠4（同角的余角相等），所以BE ∥DF （同位角相等，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理及垂直的综合运用，注意分析题目中条件．AB CDEF4321435261ABCD E【例25】如图，∠2=3∠1，且∠1+∠3=90°，试说明//AB CD．【难度】★★【答案】略【解析】因为∠2=3∠1（已知），∠2+∠1=180°（邻补角的意义），所以∠1=45°，∠2=135°（等式性质）．又因为∠1+∠3=90°（已知），所以∠3=45°（等式性质），所以∠2+∠3=180°（等式性质），所以AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理的运用．【例26】已知∠1=∠2，DE平分∠BDC，DE交AB于点E，试说明AB//CD．【难度】★★【答案】略．【解析】因为DE平分∠BDC（已知），所以∠2=∠EDC（角平分线的意义）因为∠1=∠2（已知），所以∠1=∠EDC（等量代换）所以AB∥CD（内错角相等，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理及角平分线的意义的综合运用．【例27】已知AC、BC分别平分∠QAB、∠ABN，且∠1与∠2互余，试说明PQ//MN．【难度】★★【答案】略【解析】因为AC、BC分别平分∠QAB、∠ABN（已知）所以∠1=12∠QAB，∠2=12∠ABN（角平分线的意义）因为∠1+∠2=90°（互余的意义）所以∠QAB+∠ABN=180°（等式性质）所以PQ∥MN（同旁内角互补，两直线平行）【总结】考查平行线的判定及角平分线的意义的综合运用，注意分析条件，得出角度间的关系．【例28】如图，直线AB分别与直线CD、EF交于点O、点E，GO⊥OH，OH平分∠AOC，且∠EDO与∠GOB互余，试说明OH //EF．【难度】★★★【答案】略【解析】因为GO⊥OH（已知），所以90GOH∠=（垂直的意义），因为OH平分∠AOC（已知），A BCDEFGHOABCP Q M N21A BC DEF123ABCDEFG21- 10 -所以AOH COH ∠=∠（角平分线的意义）．因为180BOC COA ∠+∠=（邻补角的意义），所以∠GOB +∠HOC =90°（等式性质）因为∠EDO +∠GOB =90°（已知）所以∠EDO =∠HOC （同角的余角相等）所以OH ∥EF （同位角相等，两直线平行）【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的判定定理及同角的余角相等的综合运用，解题时认真分析，找出角度间的关系．【例29】如图，∠ABE =∠E +∠D ，试说明AB //CD 的理由．【难度】★★★【答案】略【解析】因为180D E ECD ∠+∠+∠=（三角形内角和等于180°）又180ECD DCB ∠+∠=（邻补角的意义）所以∠DCB =∠E +∠D （等式性质）因为∠ABE =∠E +∠D （已知）所以∠DCB =∠ABE （等量代换），所以AB ∥CD （内错角相等，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理及三角形内角和的综合运用，综合性较强，解题时要认真分析．【习题1】观察图，下列说法中，正确的是（）．A ．3∠和4∠是内错角B ．1∠和4∠是同位角C ．5∠和2∠是内错角D ．4∠和6∠是同旁内角【难度】★【答案】D【解析】考查同位角、内错角和同旁内角的概念及判定．【习题2】如图，能使AB ∥CD 的条件是()．A. ∠1=∠BB ．∠3=∠AC ．∠1+∠2+∠B =180°D ．∠1=∠A【难度】★【答案】C【解析】同旁内角互补，两直线平行，C 选项满足条件．【总结】考查平行线的判定定理的运用．随堂检测ABCDE1 7 3 56 24321ABCDE- 12 - 53486721【习题3】一学员在广场上练习驾车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度是()A ．第一次向左拐，第二次向右拐B ．第一次向右拐，第二次向左拐C ．第一次向右拐，第二次向右拐D ．第一次向左拐，第二次向左拐【难度】★【答案】A【解析】B 向左拐了50°，C 、D 都朝相反方向开去．【总结】考查平行线的判定定理在实际问题中的运用．【习题4】如图，在下列条件中，能判定AB //CD 的是（）A ．∠1=∠3B ．∠2=∠3C ．∠1=∠4D ．∠3=∠4 【难度】★ 【答案】C【解析】A 错误；B 能推出AD ∥BD ；D 错误．【总结】考查平行线的判定定理的运用．【习题5】如图，图中所标号的8个角，是∠1的同位角的是_________；∠3的内错角是 _________；∠7的同旁内角是_________；∠4的同位角是_________；∠6的内错角是_________；∠2的同旁内角是_________．【难度】★【答案】∠2；∠5；∠6、∠8；∠3、∠7； ∠4；∠5．【解析】考查同位角、内错角、同旁内角的概念．【习题6】如图，已知直线b ⊥a ，c ⊥a ．那么直线b 与c 平行吗？如果平行，请给出证明；如果不平行，举出反例．【难度】★★ 【答案】平行．【解析】因为b ⊥a ，c ⊥a （已知）， ∴∠1=∠2=90°（垂直的意义）， ∴b ∥c （同位角相等，两直线平行）．【总结】考查平行线的判定定理及垂直的意义的综合运用．3030501305013050130abc123421ABCDF E21DCBA【习题7】如图，已知AC ⊥AE ，BD ⊥BF ，∠1=35°，∠2=35°，AC 与BD 平行吗?AE 与BF平行吗?为什么? 【难度】★★ 【答案】平行．【解析】因为∠1=35°，∠2=35°（已知），所以∠1=∠2（等量代换），因为AC ⊥AE ，BD ⊥BF （已知），所以90DBF CAE ∠=∠=（垂直的意义）所以∠NBF =∠BAE （等式性质）所以AE ∥BF （同位角相等，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理及垂直的意义的综合运用．【习题8】如图，∠1+∠2=180°．AE 与FC 会平行吗? 说明理由．【难度】★★【答案】平行．【解析】因为∠1+∠2=180°（已知），∠2+∠BDC =180°（邻补角的意义）所以∠1=∠BDC （同角的补角相等）所以CF ∥AE （同位角相等，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理的运用．【习题9】根据图完成下列填空（括号内填写定理或公理）（1）∵∠1=∠4（已知）∴_________∥_________（）（2）∵∠ABC +∠_________=180°（已知）∴AB ∥CD （）（3）∵∠_________=∠_________（已知）∴AD ∥BC （）（4）∵∠5=∠_________（已知）∴AB ∥CD （）【难度】★★【答案】（1）AB ∥CD 、内错角相等，两直线平行；（2）∠BCD 、同旁内角互补，两直线平行；（3）∠2=∠3、内错角相等，两直线平行；（4）∠ABC 、同位角相等，两直线平行．【解析】考查平行线的判定定理的综合运用．ABC DEF 12NM54321ABCDE- 14 -【习题10】已知DE ⊥BC ，FG ⊥BC ，∠DEH =∠GFC ，试说明EH ∥FC 的理由．【难度】★★ 【答案】略．【解析】因为DE ⊥BC ，FG ⊥BC （已知）所以∠DEC =∠FGC =90°（垂直的意义）所以∠GFC +∠FCG =90°（三角形内角和等于180°）因为∠DEH =∠GFC （已知），所以∠HEC =∠FCG （等角的余角相等）所以EH ∥FC （内错角相等，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理的运用．【习题11】已知∠EDC +∠B =180°，∠EDC =∠A ，试说明AE //BC 的理由．【难度】★★【答案】略【解析】因为∠EDC +∠B =180°，∠EDC =∠A （已知）所以∠A +∠B =180°（等量代换）所以AE ∥BC （同旁内角互补，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理的运用．【习题12】已知：∠ABC ＝∠ADC ，BF 和DE 分别平分∠ABC 和∠ADC ，12∠=∠．试说明DE ∥BF 的理由．【难度】★★ 【答案】略【解析】因为BF 和DE 分别平分∠ABC 和∠ADC （已知）所以112ADC ∠=∠，12ABF ABC ∠=∠（角平分线的意义）因为∠ABC ＝∠ADC （已知），所以∠1=∠ABF （等式性质）因为∠1=∠2（已知）， ∴∠2=∠FBA （等量代换）所以DE ∥BF （同位角相等，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理及角平分线意义的综合运用．【习题13】已知直线a ，b ，c 被直线d 所截，01334180∠=∠∠+∠=，，试说明a ∥c ．【难度】★★【答案】略．【解析】因为∠1=∠3（已知）ABCDE 82453671a bcd BCD EF GH 12ABCDEF2431EDCBA所以a ∥b （同位角相等，两直线平行）因为∠3+∠4=180°（已知），∠3+∠5=180°（邻补角的意义）所以∠4=∠5（同角的补角相等）所以b ∥c （同位角相等，两直线平行）所以a ∥c （平行的传递性）【总结】考查平行线的判定定理及平行的传递性的综合运用．【作业1】下列说法中正确的是（）A ．经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行B ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等C ．垂直于同一条直线的两条直线互相垂直D ．两条直线被第三条直线所截，内错角相等，则两条直线平行【难度】★【答案】D【解析】A 这个点必须是直线外的点，错误；B 同位角相等的前提是两直线平行，错误； C 垂直于同一条直线的两条直线互相平行，错误；故选D 【总结】考查平面内直线的位置关系．【作业2】在同一平面内，若a ⊥b ，c ⊥b 则a 与c 的关系是（）A ．平行B ．垂直C ．相交D ．以上都不对【难度】★【答案】A【解析】垂直于同一条直线的两条直线互相平行【总结】考查平面内直线的位置关系．【作业3】如图，∠ADE 和∠CED 是（）A ．同位角B ．内错角C ．同旁内角D ．互为补角【难度】★【答案】B 【解析】内错角像字母Z ．【总结】考查内错角的特点及判定．【作业4】如图，属于内错角的是（）A ．∠1和∠2B ．∠2和∠3C ．∠1和∠4D ．∠3和∠4【难度】★课后作业- 16 - α【答案】D【解析】内错角像字母Z ．【总结】考查基本角的特点．【作业5】下列有关垂直相交的说法：①同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②一条直线如果它与两条平行线中的一条垂直，那么它与另一条也垂直； ③同一平面内，一条直线不可能与两条相交直线都垂直；其中说法正确个数有（）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【难度】★★【答案】B【解析】①、③正确，②要在同一平面内才成立，故选C ．【总结】考查平面内直线的位置关系．【作业6】下列语句：①三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行；②如果两条平行线被第三条直线所截，同旁内角相等，那么这两条平行线都与第三条直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中（）A ．①、②是正确的命题B ．②、③是正确命题C ．①、③是正确命题D ．以上结论皆错【难度】★★【答案】A【解析】①正确；②两直线平行，同旁内角互补，此时又相等，所以两个角分别为90°，即垂直，正确；③这个点必须是直线外的一点，错误，故选A ．【总结】考查平面内直线的位置关系．【作业7】如图，能与α∠构成同旁内角的角有（）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【难度】★★【答案】A 【解析】同旁内角像字母U【总结】考查基本角的特点及判定．NMFEDCBAHGNMFE DCB A【作业8】如图，AB ⊥BD ，CD ⊥MN ，垂足分别是B 、D 点，∠FDC =∠EBA ．（1）判断CD 与AB 的位置关系；（2）BE 与DF 平行吗?为什么? 【难度】★★【答案】（1）平行（2）平行【解析】（1）因为AB ⊥BD ，CD ⊥MN （已知），所以CD ∥AB （垂直于同一条直线的两条直线互相平行）；（2）因为∠CDM =∠ABM 90 （垂直的意义），又∠FDC =∠EBA （已知），所以∠MDF =∠MBE （等式性质）所以BE ∥DF （同位角相等，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理及垂直的综合运用．【作业9】如图CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，∠1=∠2，试说明DG //BC 的理由．【难度】★★ 【答案】略【解析】因为CD ⊥AB ，EF ⊥AB （已知），所以EF ∥CD （垂直于同一条直线的两条直线互相平行）所以∠2=∠DCB （两直线平行，同位角相等）因为∠2=∠1（已知），所以∠1=∠DCB （等量代换）所以DG ∥BC （内错角相等，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用．【作业10】如图，AB 、CD 被EF 所截，MG 平分∠BMN ，NH 平分∠DNM ，已知∠GMN +∠HNM =90°，试问：AB ∥CD 吗？请说明理由．【难度】★★★ 【答案】平行．【解析】因为MG 平分∠BMN ，NH 平分∠DNM （已知）所以∠BMN =2∠GMN ，∠DNM =2∠HNM （角平分线的意义）因为∠FMG +∠HNM =90°（已知）所以∠BMN +∠DNM =180°（等式性质）所以AB ∥CD （同旁内角互补，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理及角平分线的综合运用．12ABCDE FG- 18 -【作业11】如图， ∠B =∠C ，∠A =∠D ，试说明AE //DF ．【难度】★★★ 【答案】略【解析】因为180A B AEB ∠+∠+∠=，180C D CFD ∠+∠+∠=（三角形内角和等于180°）又1180AEB ∠+∠=，2180CFD ∠+∠=（邻补角的意义）所以1A B ∠=∠+∠，2C D ∠=∠+∠（等式性质）因为∠B =∠C ，∠A =∠D （已知），所以12∠=∠（等式性质），所以AE ∥DF （内错角相等，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理及三角形内角和定理的综合运用，综合性较强，建议老师选择性讲解．【作业12】如图，已知：∠B +∠D ＝∠BED ．AB 与CD 平行吗，说明理由．【难度】★★★ 【答案】略【解析】过点E 作EF ∥AB ，则∠B =∠BEF （两直线平行，内错角相等）因为∠BED =∠BEF +∠FED =∠B +∠D （已知），所以∠FED =∠D （等式性质）所以CD ∥EF （内错角相等，两直线平行）所以AB ∥CD （平行的传递性）【总结】考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用，教师可选择性的讲解．21ABCDE FABCDEF。

初一平行线的判定及性质

平行线的判定及性质一、知识概述1、在“三线八角”中，同位角、内错角、同旁内角的识别角的名称位置特征图形结构特征同位角在截线同侧在被截线同一方形如字母“F”(或倒置)内错角在截线两侧(交错)夹在两条被截线之间形如字母“Z”(或反置)同旁内角在截线同侧夹在两条被截线之间形如字母“U”2、平行线的判定方法平行线的判定定理：定理1：同位角相等，两直线平行．定理2：内错角相等，两直线平行．定理3：同旁内角互补，两直线平行．另外：1、平行于同一直线的两条直线相互平行（平行线的传递性）2、在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线相互平行（经常出现在图中有3条平行线的题目中）3、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等性质2：两直线平行，内错角相等性质3：两直线平行，同旁内角互补二、例题讲解例1、如图，直线AB、CD、EF相交，①指出∠3与其它角（带标号的），是什么关系的角；②图中共有多少对同位角、内错角和同旁内角.变式：如图，AB、CD被EF、EG所截，在∠1～∠6的6个角中，同位角、内错角、同旁内角的对数分别是（）A．8、12、8B．8、2、8 C．3、3、2D．12、12、8例2、已知平面内四条直线共有三个交点，则这四条直线中有几条平行？例3、如图，CD⊥AB，EF⊥AB，∠1=∠2，则∠AGD与∠ACB相等吗?请说明理由.解: ∠AGD= ∠ACB.理由如下：∵CD⊥AB，EF⊥AB(已知)，∴∠EFB=∠CDF=90°(垂直的意义)，∴CD//EF( )∴∠2=( ) ( )∵∠1= ∠2(已知).∴∠1= ∠BCD( )∴DG//BC( )∴∠AGD= ∠ACB( )例4、如图，已知∠B=110°∠BCG=110°∠BCD=150°∠D=100°，求证：DE∥AB 证明：∵∠B=∠BCG=110°（）∴AB∥FG（）∴∠BCF+ ∠B =180°（）即∠BCF= 180°—∠B = 180°—110°= 70°∵∠BCD=150°∴∠FCD= ∠BCD—∠BCF= 150°—70°= 80°又∵∠D=100°∴（∠＋∠）=100°＋80°=180°∴FG∥ED（）∴AB∥ED（）变式1：如图，已知∠1＋∠2=∠APC，试说明AB∥CD的理由．变式2：如下图，已知∠ABE +∠DEB = 180°，∠1 =∠2，求证：∠F =∠G．课外拓展：例1、如图，B 处在A 处的南偏西450方向，C 处在B 处的北偏东800方向.（1）求∠ABC.（2）要使CD ∥AB ，D 处应在C 处的什么方向？例2、在小学我们就知道“三角形三个内角的和等于1800”，现在你能用学过的知识说明理由吗？例3、如图(1)，线段AB//CD ，点P 是AB 、CD 间的－个点． (1)试判断∠A 、∠C 与∠APC 的数量关系；(2)如果点P 移动到线段AC 的左侧，那你发现的上述结论还成立吗?说明理由；(3)如果点P 移到两平行线的同侧，那么你发现的上述结论还成立吗?说明理由．12ACB FG E DAB 北南DABC练习：1、如图1，已知直线a∥b,c∥d，∠1=115°，则∠2=_____，∠3=_____.2、如图2，∠1=82°，∠2=98°，∠3=80°,则∠4的度数为_____.3、如图3，已知AB∥CD，∠1=100°，∠2=120°，则∠α=_____.图1 图2 图34、如图，AB∥CD，AD∥BC，则图中与∠A相等的角有_____个.5、如图，标有角号的7个角中共有_____对内错角，_____对同位角，_____对同旁内角.6、下列结论中，正确的个数是多少个（）（1）在同一平面内不相交的两条线段必平行；（2）在同一平面内不相交的两条直线必平行；（3）在同一平面内不平行的两条线段必相交；（4）在同一平面内不平行的两条直线必相交．A．1 B．2 C．3 D．4 7、如图，下列能判定AB∥CD的条件有（）个．（1）∠B+∠BCD=180°；（2）∠1=∠2；（3）∠3=∠4；（4）∠B=∠5．A、1B、2C、3D、48、下列四个图中若∠1=∠2，能够判定AB∥CD的是（）A ．B ．C ．D ．9、如图15，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°，求∠EDC的度数.10、如图已知∠B=25°，∠BCD=45°，∠CDE=30°，∠E=10°．试证AB∥EF．。

01三线八角、平行线的判定(教师)初一数学尖子班

三线八角、平行线的判定【知识点归纳】一、三线八角：1、同位角：如果其中的两个角都在第三条直线l 的同旁，且又在直线a 、b 的同一侧，这两个角叫做同位角．．．. （类似字母“F ”）如3∠与7∠等。

2、内错角：如果其中的两个角分别在第三条直线l 的两旁，且又在直线a 、b 之间，这两个角叫做内错角．．．. （类似字母“Z ”）如2∠与8∠等。

3、同旁内角：如果其中的两个角都在第三条直线l 的同旁，且又在直线a 、b 之间，这两个角叫做同旁内．．．角．. （类似字母“C ”）如3∠与8∠等。

（请找出其它的同位角、内错角、同旁内角）二、平行线的定义及判定方法1、平行线的定义：同一平面内．．．．．不相交的两条直线叫做平行线。

“平行”用符号“∥”表示.2、结论：（1）平行线的传递性：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

（2）平行线的基本性质：经过直线．．外．的一点，有且只有一条直线与已知直线平行. 3、平行线的判定方法：（1）同位角相等，两直线平行. （2）内错角相等，两直线平行.（3）同旁内角互补，两直线平行.4、结论：同一平面内．．．．．，垂直于同一条直线的两条直线互相平行. （为什么？）（同位角相等，两直线平行）例1. 如图，1∠和B ∠是直线________和_________被直线_________所截而成的____________；A ∠和1∠是直线________和________ 被直线_________所截而成的____________； 1∠和2∠是直线_________和_________被直线_________所截而成的____________.（第1题）（第2题）例2. 看图填空：（1）∵3∠=∠A （已知），∴ ___ ∥ ___ . （）；（2）∵2∠4∠=（已知），∴ ______∥ _______ . （）；（3）∵︒=∠+∠1806C (已知），∴ ___ ∥ ___ （）.例3. 如图，已知A 、B 、C 三点在同一条直线上，︒=∠70A ，︒=∠40ABE ，BF 平分EBC ∠.试说明AD ∥BF 的理由.（第3题）BC1. 如图所示，同位角共有（）A .6对B .8对C .10对D .12对2. 如图所示，图中1∠与2∠是_________与_________被________所截得的_________角；3∠和4∠是_________与_________被__________所截得的_________角.3. 如图所示，下列条件中，能判断直线21//l l 的是（） A.32∠=∠B.31∠=∠C.18054=∠+∠ D.42∠=∠4. 如图，已知21∠=∠，43∠=∠，说明：EF AB //。

直线的相交、垂直、三线八角

北师大版七年级数学下册第二章相交线与平行线暑假培训讲义集体备课教案（授课内容：直线的相交、垂直、三线八角）（一）知识梳理回顾一、直线的相交 1．两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线要么相交，要么平行．【注】两条直线：①有且只有一个公共点，两直线相交；②无公共点，则两直线平行；③两个或两个以上公共点，则两直线重合，视为一条直线．2．直线的相交——两线四角（1）邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有一条公共边且另一边互为反向延长线的两个角，互为邻补角．【例】如图1，∠1和∠2，∠1和∠4，∠2和∠3，∠3和∠4互为邻补角．【注】互为邻补角的两个角一定互补，但两个角互补不一定互为邻补角．（2）对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，则这两个角互为对顶角．【例】如图1，∠1和∠3，∠2和∠4，互为对顶角．【注】互为对顶角的两个角一定相等，但两个角相等不一定互为对顶角．图1 图2 图3二、垂直1．垂直：一条直线与另一条直线相交成90︒，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．【例】如图2，AB CD ⊥，垂足为O ，可记为“AB CD ⊥于点O ”． 2．性质：4321DCBADC BAO87654321FE DCBA（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．【注】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．三、三线八角1．同位角：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角（即两个角分别在两条直线的同一侧，并且在第三条直线的同侧），叫做同位角．【例】如图3，∠1和∠5，∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8都是同位角．2．内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且位置交错的一对角（即两个角分别在第三条直线的两侧），叫做内错角．【例】如图3，∠3和∠5，∠4和∠6都是内错角．3．同旁内角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线的同侧的一对角，叫做同旁内角．【例】如图3，∠3和∠6，∠4和∠5都是同旁内角． 4．角的计数技巧：（1）“F ”字型中的同位角，如下图所示：（2）“Z ”字型中的内错角，如下图所示：（3）“U ”字型中的同旁内角，如下图所示：FMNDB F M N CAMNDB EMNECANMDANM B C（二）例题精讲 1、直线的相交（1）在同一平面内的两条直线的位置关系有（）A ．平行或垂直B ．垂直或相交C ．平行，垂直或相交D ．平行或相交（2）判断正误：①两条直线的位置关系只有两种：平行或相交．（） ②平面内，两条线段不相交，则平行．（） ③平面内不平行的两条射线必定相交．（）（1）D ；（2）①错误，异面；②错误；③错误．（1）下列图中∠1和∠2是对顶角的有（） A ．0对 B ．1对 C ．2对 D ．3对（2）下列四个图中，α∠与β∠成邻补角的是（）NMCAMNDB（4）12（3）12（2）12（1）12αβαβαβαβA ．B ．C ．D ．（3）下列各项中，①有公共顶点，没有公共边的两个角是对顶角；②如果两个角是对顶角，则这两个角相等；③相等的两个角是对顶角；④如果两个角不是对顶角，则这两个角不相等；⑤如果两个角不相等，则这两个角不是对顶角，其中正确的有________．（填序号）【解析】（1）A ；（2）C ；（3）②⑤．（1）如图3-1，AB 、CD 、EF 交于点O ，AOE ∠=25︒，DOF ∠=45︒，求AOD ∠的对顶角和邻补角的度数．（2）如图3-2，直线AB 、CD 交于O ，OE 平分AOD ∠，BOC BOD ∠=∠-30︒，求COE ∠的度数．图3-1 图3-2【解析】（1）由对顶角相等可知，COE DOF ∠=∠=45︒，故AOC AOE COE ∠=∠+∠=25︒+45︒=70︒．由AOC ∠、AOD ∠互为邻补角可知，AOD ∠=180︒-70︒=110︒ 由对顶角相等可知，AOD ∠的对顶角BOC ∠=110︒．（2）由BOC ∠、BOD ∠互为邻补角可知，BOC BOD ∠+∠=180︒．又BOC BOD ∠=∠-30︒，故BOD ∠=105︒，BOC ∠=75︒．由对顶角相等可知，AOD BOC ∠=∠=75︒．AECBODAEF D CBO又OE 平分AOD ∠，故.AOE ∠=375︒，从而可知，..COE ∠=375︒+105︒=1425︒．【提示】两线四角倒角，规范书写．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分BOC ∠，COF ∠=90︒．（1）若BOE ∠=70︒，求AOF ∠的度数；（2）若::BOD BOE ∠∠=12，求AOF ∠的度数．【解析】（1）50︒；（2）54︒．求证：成对顶角的两个角的平分线在同一直线上．【解析】如图，AB 、CD 交于点O ，则AOC ∠与BOD ∠成对顶角．设OE 、OF 分别为AOC ∠、BOD ∠的平分线，则AOE COE AOC 1∠=∠=∠2，BOF DOF BOD 1∠=∠=∠2，∵AOC BOD ∠=∠，∴AOE BOF ∠=∠．又∵BOF DOF AOD ∠+∠+∠=180︒， ∴AOE DOF AOD ∠+∠+∠=180︒，即EOF ∠=180︒，∴OE 、OF 在同一直线上．【提示】可补充证明：成邻补角的两个角的平分线互相垂直． 2、垂直（1）下列说法中正确的是（） ①点到直线的距离是点到直线所作的垂线；②两个角互为邻补角，这两个角的角平分线互相垂直； ③两个对顶角互补，则构成这两个角的两条直线互相垂直；ECBDAOF④连接直线外一点到直线上所有点的线段中垂线段最短．A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④（2）P 为直线外一点，点A 、B 、C 为l 上的三点，且PB l ⊥，下列说法错误的是（） A ．P A 、PB 、PC 三条线段中，PB 最短 B ．线段PB 叫做点P 到直线的l 的距离 C ．PB 是点P 到l 的垂线段D ．线段AB 的长是点A 到PB 的距离【解析】（1）D ；（2）B ．（1）如图7-1，直线AB 与CD 相交于点O ，OE CD ⊥，OF AB ⊥，DOF ∠=65︒，求BOE ∠和AOC ∠的度数．（2）如图7-2，已知直线AB 和CD 相交于点O ，OE OC ⊥，OF 平分AOE ∠，COF ∠=35︒，求BOD ∠的度数．图7-1 图7-2【解析】（1）∵OF AB ⊥，∠DOF =65︒∴BOD ∠=90︒-65︒=25︒（垂直定义）． ∴AOC BOD ∠=∠=25︒（对顶角相等）． ∵OE CD ⊥，∴BOE ∠=90︒-25︒=65︒（垂直定义）． lCBAPF ACDBOEFA CDB OE（2）∵COE ∠是直角，∴COE ∠=90︒．又∵COF ∠=35︒，∴FOE COE COF ∠=∠-∠=90︒-35︒=55︒． ∵OF 平分AOE ∠， ∴AOF FOE ∠=∠=55︒．∴AOC AOF COF ∠=∠-∠=55︒-35︒=20︒． ∵BOD AOC ∠=∠， ∴BOD ∠=20︒．【提示】利用垂直的定义来倒角，倒角一定要反复练习．如图所示，在一个面积为1843200平方米的正方形货场中有一条长为1600米的直线铁路AE ．现有一辆装满货物的卡车停放在D 点，如果卡车的速度是每分钟96米，请说明11分钟内能否将这车货物运到铁路线旁？【解析】由垂线段最短，可知比较D 到AE 的垂线段长度与卡车行驶11分钟路程的大小，即可得出结论．如右图所示，汽车由D 到AE 的最短距离是由D 向AE 引的垂线DH ，连结DE ．则△AED ABCD S S 11==1843200⨯=92160022正方形，又△AED S AE DE DH DH 11=⋅=⨯1600⋅=800⋅22，解得DH =1152（米）． A BCD EHEDCBA而卡车行驶11分钟的路程为96⨯11=1056（米）<1152（米），所以11分钟内不能将这车货物由D 点运到铁路线旁． 3、三线八角如图，填空：①∠1与∠2是两条直线______与______被第三条直线______所截构成的________角．②∠1与∠3是两条直线______与______被第三条直线______所截构成的________角．③∠2与∠4是两条直线______与______被第三条直线______所截构成的________角． ④∠3与∠4是两条直线______与______被第三条直线______所截构成的________角． ⑤∠5与∠6是两条直线______与______被第三条直线______所截构成的________角．【解析】①∠1与∠2是两条直线l 2与l 3被第三条直线l 1所截构成的同位角．②∠1与∠3是两条直线l 1与l 3被第三条直线l 2所截构成的同位角． ③∠2与∠4是两条直线l 2与l 3被第三条直线l 1所截构成的内错角． ④∠3与∠4是两条直线l 1与l 3被第三条直线l 2所截构成的内错角． ⑤∠5与∠6是两条直线l 1与l 2被第三条直线l 3所截构成的同旁内角．过点O 任意作7条直线，求证：以O 为顶点的角中，必有一个小于26︒．【解析】如图所示，点O 把7条直线分成14条射线，记为OA 1，OA 2，…，OA 14.相邻两射线组成14个角，记为α1，α2，…，α14. 其和为一个周角：ααα1214+++=360︒L . 若结论不成立，则i α≥26︒，(,,,)i =1214L . 相加，得ααα1214360︒=+++≥26︒⨯14=364︒L .l 2l 1l 3124563A 7A 6A 5A 4A 3A 2A 1O这一矛盾说明，在α1，α2，…，α14中，必有一个角小于26︒．（三）课后作业设计1、（1）如图1-1所示，AB 与CD 相交所成的四个角中，1∠的邻补角是______，1∠的对顶角是______．若125∠=︒，则2∠=______，3∠=______，4∠=_______．（2）如图1-2，直线AB 、CD 、EF 相交于O ，图中对顶角共有（） A ．3对 B ．4对 C ．5对 D ．6对图1-1 图1-2【解析】（1）2∠和4∠，∠3，155︒，25︒，155︒．（2）D ．2、（1）如图2-1，已知直线a 、b 、c 相交于点O ，∠1=30︒，∠2=70︒，则∠3=______．（2）如图2-2，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分AOD ∠，若BOD ∠=100︒，则AOE ∠=___________．图2-1 图2-2∴∠3=180︒-∠1-∠2=80︒．O c ba321CBODEA ACD B1234A FCEOBD（2）40︒．3、如图，已知直线AB 和CD 相交于点O （AOC ∠为锐角）（1）写出AOC ∠和BOD ∠的大小关系；判断的依据是_____________．（2）过点O 作射线OE 、OF ，若COE ∠=90︒，OF 平分AOE ∠，求AOF COF ∠+∠的度数，说明你的理由．（3）在（2）的条件下，若AOD ∠=120︒，请计算COF ∠的度数．【解析】（1）AOC BOD ∠=∠；对顶角相等．（2）AOF COF ∠+∠=90︒．（3）COF ∠=15︒．4、如图，已知∠ACB =90︒．CD AB ⊥，垂足为D ，则点A 到直线CB 的距离为线段________的长；线段DB 的长为点________到直线________的距离．【解析】AC ，B ，CD ．5、已知：如下图A 、O 、B 三点共线，OC 为任意一条射线，OE 平分BOC ∠，OD 平分AOC ∠．求证：OD OE ⊥．【解析】∵A 、O 、B 三点共线∴AOB ∠=180︒，∵OE 平分BOC ∠，OD 平分AOC ∠， ∴COE BOC 1∠=∠2，DOC AOC 1∠=∠2，∴()COE DOC BOC AOC BOC AOC 111∠+∠=∠+∠=∠+∠222AOB 11=∠=⨯180︒=90︒22又∵DOE COE DOC ∠=∠+∠，∴DOE ∠=90︒， ∴OD OE ⊥．6、如图，A 点处是一座小屋，BC 是一条公路，一人在O 处．（1）此人到小屋去，怎么走最近？理由是什么？FE ODCBAAC D BE（2）此人要到公路，怎么走最近？理由是什么？【解析】（1）走线段OA最近，因为两点之间线段最短；（2）如图，过点O作OD BC⊥，垂足为D，则走线段OD最近，因为垂线段最短．7、如图，判断下列各对角的位置关系：①∠1与∠4；②∠2与∠6；③∠5与∠8；④∠4与BCD∠；⑤∠3与∠5．【解析】①∠1与∠4是同位角，∠2与∠6是内错角，∠5与∠8是对顶角，∠4与BCD∠是同旁内角，∠3与∠5是内错角．。

沪科版数学七年级下册平行线的概念、基本性质及三线八角

D 21 34 B
A
58 67
E
C
练一练：识别各组角是同位角、内错角还是同旁内角.
1
2 (1)
同位角
1
2
(2)
同位角
1
2 (3)
同位角
2 1
(4)
同位角
2 1
(5)
1
2
(6)
同位角
1 2 (7)
1
2 (8)
内错角
1
2
1
2
(9)
(10)
同旁内角
例5 如图，直线 DE，BC 被直线 AB 所截.
（1）∠1 与∠2， ∠1 与∠3，∠1 与∠4 各是什么关
生活中的平行线
平行线的定义及表示
思考：如图，分别将木条 a、b 与木条 c 钉在一起，并
把它们想象成两端可以无限延伸的三条直线. 转动 a，
直线 a 从在 c 的左侧与直线 b 相交逐步变为在 c 的右侧
与 b 相交. 想象一下，在这个过程中，有没有直线 a 与
直线
c
b
不相交的情况呢？c
a
c
a
a
D
78
F 图中还有哪些同旁内角？∠3 和∠6
例3 下列图形中，∠1 和∠2 是同旁内角的有（ A ）
1
1
1
21
2
2
2
A
B
C
D
归纳总结变式图形：下图中的∠1 与∠2 都是同旁内角的关系.
1
1
2
2
12
12
图形特征：在形如字母“U”的图形中有同旁内角.
总结归纳角的名称角的特征
基本图形
同位角

七年级数学下册第二章平行线与相交线

第二章平行线与相交线余角余角补角补角角两线相交对顶角同位角三线八角内错角同旁内角平行线的判定平行线平行线的性质尺规作图一、余角与补角 1、如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角，简称为互余，称其中一个角是另一个角的余角。

2、如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角，简称为互补，称其中一个角是另一个角的补角。

3、互余和互补是指两角和为直角或两角和为平角，它们只与角的度数有关，与角的位置无关。

4、余角和补角的性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。

5、余角和补角的性质用数学语言可表示为：（1）00001290(180),1390(180),∠+∠=∠+∠=则23∠=∠(同角的余角（或补角）相等)。

（2）00001290(180),3490(180),∠+∠=∠+∠=且14,∠=∠则23∠=∠(等角的余角（或补角）相等)。

6、余角和补角的性质是证明两角相等的一个重要方法。

二、对顶角 1、两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角是对顶角。

2、一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。

3、对顶角的性质：对顶角相等。

4、对顶角的性质在今后的推理说明中应用非常广泛，它是证明两个角相等的依据及重要桥梁。

5、对顶角是从位置上定义的，对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。

三、同位角、内错角、同旁内角 1、两条直线被第三条直线所截，形成了8个角。

2、同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同位角。

3、内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内错角。

4、同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫同旁内角。

5、这三种角只与位置有关，与大小无关，通常情况下，它们之间不存在固定的大小关系。

四、六类角1、补角、余角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角六类角都是对两角来说的。

七年级数学下册-相交线与平行线

第2讲相交线与平行线知识导航1．三线八角．2．平行线与平行公理．3．平行线的判定．4．平行线的性质．5．平移．【板块一】平行线的判定◆题型一三线八角方法技巧1．两条直线被第三条直线所截形成的8个角中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角．2．同位角形如字母“F"(或倒置、反置)；内错角形如字母“Z”(或反置)；同旁内角形如字母“U”(或倒置、反置)．3．三种角讲的都是位置关系，而不是大小关系，通常情况下，其大小是不确定的．【例1】在∠1至∠8这8个角中，同位角、内错角、同旁内角各有几对，请分别写出来．87654321◆题型二平行公理及其推论方法技巧(1)平行公理体现了平行线的存在性和唯一性，平行公理的推论体现了平行线的传递性，它们都可以作为以后推理的依据．(2)平行公理中强调“经过直线外一点”，而垂线性质中只要求“经过一点”，不限定点是否在直线上．【例2】下列说法中正确的是(B)．A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行B．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．因为a∥b，c∥d，所以a∥dD．一条直线的平行线只有一条◆题型三平行线的判定——两步导角证平行方法技巧1.已知角相等导角证平行.2.通过角的数量关系证平行.3.通过同角(等角)的余角相等，对顶角相等，角平分线得等角，再证平行.【例3】如图，已知CD平分∠ACB，∠1＝∠2，试判断AC与DE的位置关系，并说明理由.E DC BA21◆题型四平行线的判定方法＋平行公理推论证平行【例4】如图，∠A ＋∠B ＝180°，∠EFC ＝∠DCG ，试说明：AD ∥EF .GF ED CBA◆题型五作辅助线证折线中的平行关系方法技巧有些平行线的证明，无法直接导出相等角，此时考虑连线或作平行线转化角.【例5】如图，在长方形ABCD 中，点E 在BA 的延长线上，点F 在BC 的延长线上，AM 平分∠EAD ，CN 平分∠DCF .(1)直接写出图中∠ABC 的所有同位角；(2)求证：AM ∥CN .ABCDE FMN针对练习11.一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的方向与角度可能是( ) A.第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B.第一次向右拐50°，第二次向左拐130° C.第一次向右拐50°，第二次向右拐130° D.第一次向左拐50°，第二次向左拐130°2.平面上有2018条直线，若a 1⊥a 2，a 2⊥a 3，a 3∥a 4，a 4∥a 5，a 5⊥a 6，a 6⊥a 7，…，那么a 1和a 2018的位置关系是_________.3.如图，直线AB ，CD 被直线EF 所截，∠1＝∠2，∠CNF ＝∠BME ，那么AB ∥CD ，MP ∥NQ ，请说明理由.QP N MFEDCB A124.如图，直线EF 与直线AB ，CD 分别相交于点M ，N ，直线PT 经过点M ，∠MQN ＝∠BMQ ＋∠QND ，∠AMT ＝∠QN D. (1)求证：МР∥NQ ；(2)АВ∥СD.Q P N MT FEDCBA5.在长方形ABCD 中.(1)如图1，若CD ＝3，BD ＝5，BC ＝4，AE ⊥BD 于点E ，P 是BD 上一动点，连接CP ，当CP 为何值时，CP ∥AE ?说明理由； (2)如图2，若∠ADB ＝20°，P 为BC 上一动点，将三角形ABP 沿AP 翻折到三角形AEP 位置，当∠BAP 等于多少度时AE ∥BD ?说明理由.图1图2P EDCBAABCDEP【板块二】平行线的性质◆题型一利用平行线性质导角方法技巧1.在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内错互补的结论，这是平行线特有的性质.2.利用平行线的性质构建等角链.【例1】如图，AF ∥CD ，CB 平分∠ACD ，BD 平分∠EBF ，且BC ⊥BD ，下列结论：①BC 平分∠ABE ；②AC ∥BE ；③∠CBE ＋∠D ＝90°；④∠DEB ＝2∠ABC ，其中结论正确的个数有哪些?说明理由.F EDCB A◆题型二利用角平分线的性质与判定进行计算与证明方法技巧利用已知得可知，思考结论看需知.【例2】如图，DC ∥FP ，∠1＝∠2，∠FED ＝30°，∠AGF ＝80°，FH 平分∠EFG . (1)说明：DC ∥AB ；(2)求∠PFH 的度数.PH GFED C BA 312◆题型三平行线间的距离方法技巧1.平行线间的距离处处相等.2.夹在两条平行线间的线段必须是和这两条平行线垂直，否则其长度不是两条平行线间的距离.3.夹在两平行线间的图形的等积变换.【例3】已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，连接AC ，BD 相交于点O . (1)图中有几对面积相等的三角形?(2)若AD 与BC 之间的距离为a ，AC ＝4，BD ＝5，求AD ＋BC 的最大值.(用a 表示)ODCB A◆题型四命题方法技巧(1)命题必须是一个完整的句子，而且这个句子必须对某件事情作出肯定或否定的判断，二者缺一不可.(2)命题的内容可以是几何的，也可以是代数的，还可以是生活中的事情，如“如果a ＝b ，那么a 2＝b 2”，“末位数字是0或5的数能被5整除”，“这支粉笔是红色的”等都是命题. (3)命题是判断句，而判断句可对可错，因而命题所描述的关系可真可假，如“相等的角都是对顶角”，这个判断虽是错的，但仍然是命题.(4)疑问句、具体操作都不是命题，如“今天是星期天吗?”就不是命题.【例4】判断下列语句是不是命题，如果是命题，写成“如果…，那么…”的形式，指出题设和结论，并指出是真命题还是假命题： (1)画直线AB ；(2)两直线相交，有几个交点? (3)等角的补角相等； (4)两点确定一条直线.针对练习21.如图，AD 与BC 交于点O ，点E 在AD 上，∠C ＝∠3，∠2＝80°，∠1＋∠3＝140°，∠A ＝∠D ，求∠B 的度数.OF E DC BA 3122.如图，点E 在AB 上，点F 在CD 上，EC 交AD 于点G ，BF 交AD 于点H ，已知∠A ＝∠AGE ，∠D ＝∠DG C. (1)试说明AB ∥CD ； (2)若∠1＋∠2＝180°，且∠BEC ＝2∠B ＋60°，求∠C 的度数.HG F E DC A 123.如图，点F 在CA 的延长线上，点E 在CD 的延长线上，已知AB ∥CD ，∠C ＝35°，AB 是∠F AD 的平分线，∠ADB ＝110°，求∠BDE 的度数.AB CD EF4.直线a 上有一点A ，直线b 上有一点B ，且a ∥b .点P 在直线a ，b 之间，若P A ＝3，PB ＝4，则直线a ，b 之间的距离( )A.等于7B.小于7C.不小于7D.不大于75.如图，在△ABC 中，AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，垂足分别为C ，D 两点，∠1＝∠2，下列结论：①∠3＝∠EDB ；②∠A ＝∠3；③AC ∥DE ；④∠2与∠3互补；⑤∠1＝∠EDB ，其中正确的有( )A.2个B.3个C.4个D.5个ED CBA 3126.如图，在长方形内画了一些直线，已知其中有3块面积分别是12，32，52的三角形、三角形、四边形，那么图中阴影部分的面积是( ) A.108 B.96 C.84 D.727.如图1，将线段AB 平移至CD ，使点A 与点D 对应，点B 与点C 对应，连接AD ，B C. (1)填空：AB 与CD 的位置关系为_________，BC 与AD 的位置关系为___________； (2)点G ，E 都在直线DC 上，∠AGE ＝∠GAE ，AF 平分∠DAE 交直线CD 于点F . ①如图2，若G ，E 为射线DC 上的点，∠F AG ＝30°，求∠B 的度数；②如图3，若G ，E 为射线CD 上的点，∠F AG ＝α，求∠C 的度数(结果用含α的式子表示).DCBAG F E DCB图3图1图2ABC D EF G【板块三】阅读理解填空、解答题◆题型一阅读理解填理由题方法技巧看图，联系上下文，运用有关定理进行合理填空. 【例1】完成下列推理过程如图，M ，F 两点在直线CD 上，AB ∥CD ，CB ∥DE ，BM 、DN 分别是∠ABC 、∠EDF 的平分线，求证：BM ∥DN .NMFEDC BA312证明：∵BM 、DN 分别是∠ABC 、∠EDF 的平分线，∴∠1＝12∠ABC ，∠3＝__________(角平分线定义). ∵AB ∥CD ，∴∠1＝∠2，∠ABC ＝________（____________） ∵CB ∥DE ，∴∠BCD ＝________（____________）. ∴∠ABC ＝∠EDF ，∴∠1＝∠3， ∴∠2＝________（____________） ∴BM ∥DN （____________）◆题型二阅读理解和运用【例2】如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，某同学为了探究这两个角之间的关系，画出了以下两个不同的图形，请你根据图形完成以下问题：图2图1MFEDC BAM FE DCB A213312(1)如图1，如果AB ∥CD ，BE ∥DF ，那么∠1与∠2的关系是_________；如图2，如果AB ∥CD ，BE ∥DF ，那么∠1与∠2的关系是_________；(2)根据(1)的探究过程，我们可得出结论：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角____________；(3)利用结论解决问题：如果有两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的3倍少60°，则这两个角分别是多少度?针对练习31.完成下面的证明：如图，点D 、E 、F 分别在线段AB 、BC 、AC 上，连接DE 、EF ，DM 平分∠ADE 交EF 于点M ，∠1＋∠2＝180°，求证：∠B ＝∠BE D.ME DCBA12证明：∵∠1＋∠2＝180°(已知)，又∵∠1＋∠BEM ＝180°(平角定义)， ∴∠2＝∠BEM (___________)，∴DM ∥_________(_________________) ∴∠ADM ＝∠B (_________________) ∠MDE ＝∠BED (_________________) 又∵DM 平分∠ADE (已知)，∴∠ADM ＝∠MDE (角平分线定义)， ∴∠B ＝∠BED (_________________).2.探究：如图1，直线AB ，BC ，AC 两两相交，交点分别为点A ，B ，C ，点D 在线段AB 上，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ，过点E 作EF ∥AB ，交BC 于点F .若∠ABC ＝40°，求∠DEF 的度数.图1FE D CBA请将下面的解答过程补充完整.解：∵DE ∥BC (已知)，∴_________________(两直线平行，内错角相等) ∵EF ∥AB (已知)，∴∠ABC ＝∠EFC (_____________)， ∴∠DEF ＝∠ABC ＝40°(等量代换).应用：如图2，四边形BDEF 中，BF ∥DE ，DB ∥EF ，∠F ＝2∠D －50°，点C 在线段BF 上，若∠FCE ＝∠CEF ＋10°，求∠CEF 的度数.图2FEDCB【板块四】运用“中间等角”导角证两线平行◆题型一利用同角或等角的余角(或补角)相等导角方法技巧在已知条件为a ＋b ＝90°或a ＋b ＝180°的题目中，寻找第二对a ＋c ＝90°或a ＋c ＝180°，得出b ＝c .【例1】如图，已知直线AB ∥DF ，点G 在射线BC 上，射线DE 分别交AB 、AG 于点H 、M ，∠D ＋∠B ＝180°. (1)求证：DE ∥BC ； (2)如果∠AMD ＝80°，∠AHE ＝70°，∠EHB 与∠MGC 的平分线交于点P ，求∠HPG 的度数.ABCDEFGHMP◆题型二运用等式的性质证角相等方法技巧1.若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；2.若a ＝b ，则a ＋c ＝b ＋c .【例2】如图，点B 在AC 上，AB ∥EF ，∠1＝∠2，∠3＝∠4，AF 与BE 平行吗?为什么?3412FEDCB A◆题型三反复运用平行线的判定与性质导角【例3】如图，点E 在AB 上，点F 在CD 上，∠1＝∠2，∠B ＝∠C ，求证：AB ∥C D.3412ABC DE F◆题型四作适当的辅助线构造中间等角方法技巧有些题目给出的等角的位置不是三线八角中的基本角，这时作适当的辅助线(连线，延长线或作平行线)来转化角.【例4】如图是一个汉字“互”字，其中点M 在AB 上，点N 在CD 上，点G 在ME 上，点F 在NH 上，GH ∥EF ，∠1＝∠2，∠MEF ＝∠GHN . 求证：(1)∠MGH ＝∠GHN ；(2)AB ∥C D.12A B C DEFG H MN题型三设两个未知数，列关系式求解方法技巧题目中有两个独立未知角，一个已知方程不能求出未知角时，需列两个方程求解．【例3】如图1，在五边形ABCDE 中，AE ∥BC ，∠A ＝∠C ．（1）猜想AB 与CD 之间的位置关系，并说明理由；（2）如图2，延长DE 至点F ，连接BE ，若∠1＝∠3，∠AEF ＝2∠2，∠AED ＝2∠C －140°，求∠C 的度数．图2图1ABCDE321FED BA题型四设两个未知数列一个方程巧解角的度数题目中有两个独立未知角，只有一个等戏，这时设两个未知数，列一个方程，巧解所求角．【例4】已知AB ∥CD ，M ，N 分别是直线AB ，CD 上两点，点G 在AB ，CD 之间，连接MG ，NG ，点E 是AB 上方一点，连接EM ，EN ，且GM 的延长线平分∠AME ，NE 平分∠CNG ，2∠MEN ＋∠MGN ＝105°，求∠AME 的度数．NMGF E DCB A针对练习71．如图，AB ∥CD ，点E 在直线AB 上，点N ，F 在直线CD 上，PE 平分∠AEN ，FH ∥EN ，延长PF 到点G ，FG 平分∠DFH ，若∠PFC ＝∠AEP ＋10°，求∠BEN 的度数．HNPFE DCBA2．如图1，AC 平分∠DAB ，∠1＝∠2．（1）试说明AB 与CD 的位置关系，并予以证明；（2）如图2，延长AD ，BC 交于点G ，过点D 作DH ∥BC 交AC 于点H ，若AC ⊥BC ，问当∠CDH 多少度时，∠GDC ＝∠ADH ?图2图12121H GBD ACDCBA3．如图，已知AB ∥CD ，∠EBF ＝2∠ABF ，CF 平分∠DCE ，若2∠F －∠E ＝10°，求∠ABE 的度数．KFEACBD【板块八】分类讨论思想求角题型一按照点的不同位置关系分类讨论求角方法技巧点在运动过程中，由于点在线上的不同位置，产生不同的图形，需分类讨论．【例1】已知AB ∥CD ，∠BAD ＝50°，点P 在直线AD 上，E 为UD 上一点（1）如图1，当点P 在线段AD 延长线上时，求证：∠PEC －∠APE ＝130°；图1PE DCBA（2）如图2，当点P 在直线AD 上运动时（不与点A ，D 重合），求∠APE 与∠PEC 之间的数量关系．题型二按照线的不同位置关系分类讨论求角方法技巧按照动线的不同位置来分类讨论求角．【例2】一个角为60°，另一个角的两边分别与这个角的两边平行，则这个角的度数为．题型三分类讨论求角之间的关系方法技巧点在运动时，两个动角之间具有某种确定的数量关系，此时设未知数，探求它们之间的关系【例3】如图，已知AB /CD 、BE 平分ABD ，DE 平分/BDC （1)求证：BE ⊥DE ;（2）H 是直线CD 上一动点（不与点D 重合），BI 平分∠HBD 交CD 于点I ，在图2或备用图中，请你画出图形，并猜想∠EBI 与∠BHD 的数量关系，且说明理由．图3图2图1ABCD EABCDEE DCBA针对练习81．如果两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的两倍少80°，则这两个角的度数分别是．2．如图，AB ∥CD ，直线EF 与直线AB ，CD 分别交于点E ，F ，∠BEF <150°，点P 为直线EF 左侧平面上一点，且∠BEP ＝150°，∠EPF ＝50°，则∠DFP 的度数是．FEDC BA3．(1)如图1，F 是OC 边上一点，求证：∠AFC ＝∠AOC ＋∠OAF ；（2）如图2，∠AOB ＝40°，OC 平分∠AOB ，点D ，E 在射线OA ，OC 上，点P 是射线OB 上的一个动点，连接DP 交射线OC 于点F ，设∠ODP ＝x °，若DE ⊥OA ，是否存在这样的x 的值，使得∠EFD ＝4∠EDF ?若存在，求出x 的值；若不存在，说明理由．备用图图2图1DBEC AAC EBDCF OA【板块九】平移题型一平移定义方法技巧1．图形的平移必须具备两个要素：平移的方向与平移的距离．其中，平移的方向是平移前图形上的某一点到其对应点所指的方向；平移的距离是平移前图形上的某一点到其对应点之间的距离．2．平移只改变位置，形状与大小都不改变。

三线八角及平行线的判定

同位角、内错角、同旁内角(三线八角) 若直线a ，b 被直线l 所截：（1）同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角．（如15∠∠和）（2）内错角：两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角．（如35∠∠和）（3）同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．（如36∠∠和）注意：三线八角是位置关系，数量上没有确定的关系．a【例1】填空如图，∠2与∠3是_______角．∠2与∠4是_______角．∠2与∠5是_______角．∠1与∠5是_______角．∠3与∠5是_______角．∠3与∠7是_______角．∠3与∠8是_______角．∠2与∠8是_______角．【例2】看图填空(1)∠B和∠1是两条直线________和_______被第三条直线_______所截构成的_______角．(2)∠ACB与∠7是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角．(3)∠3与∠5是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角．(4)∠3与∠B是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角．(5)∠2与∠7是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角．【例3】如图，同旁内角有( )对．A．4对B．3对C．2对D．1对【例4】如图，同位角共有( )对．A．1对B．2对C．3对D．4对【例5】如图，是同位角关系的是( )．A．∠3和∠4 B．∠1和∠4B．C．∠2和∠4 D．不存在【例6】如图，内错角共有( )对．A．1对B．2对C．3对D．4对【例7】如图，同旁内角共有( )对．A．10对B．8对C．6对D．4对【例8】如图，∠1与∠2是是两条直线____和____被第三条直线______所截构成的_____角．∠3与∠4是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角．【例9】如图，∠C的同位角有_____________________，同旁内角是_____________________，∠1与∠2是___________角．直线AB和CD被AD所截，∠A∠A与∠ADC是_______角．【例10】如图，∠1的同位角是∠______，∠1的内错角是∠______，∠1的同旁内角是∠_____，∠1的对顶角是∠______，∠1的邻补角是∠______．【例11】如图，DC垂直于AE，已知∠DCE的同位角是它的一半，∠B=2∠ACB，试判断△ABC的形状．1、平行线的定义同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． 2、平行线的基本性质（1）经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；（2）平行线之间的距离处处相等；（3）平行于同一条直线的两直线平行（平行的传递性）．（4）同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行．（5）两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离，平行线间的距离处处相等．【例12】已知直线a //b ，b //c ，那么a ________c ．【例13】a 、b 、c 是直线，且a //b ，b ⊥c ，则a 与c 的位置关系是________．【例14】下列说法中，正确的是（）． A ．两直线不相交则平行B ．两直线不平行则相交C ．若两线段平行，那么它们不相交D ．两条线段不相交，那么它们平行【例15】在同一平面内，有三条直线，其中只有两条是平行的，那么交点有（）．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【例16】下列说法中，错误的有（）．①若a 与c 相交，b 与c 相交，则a 与b 相交； ②若a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种 A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【例17】如图，按要求画平行线．（1）过P 点画AB 的平行线EF ；（2）过P 点画CD 的平行线MN ．【例18】如图，点A ，B 分别在直线1l ，2l 上，（1）过点A画到l的垂线段；2（2）过点B画直线CD∥l．1平行线的三种判定方法：（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单地说，同位角相等，两直线平行．（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单地说，内错角相等，两直线平行．（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单地说，同旁内角互补，两直线平行．【例19】如图，请写出能判定CE∥AB的一个条件______________．【例20】如图，AB∥CD，AC⊥BC，∠BAC =65°，则∠BCD =_______度．【例21】如图，下列说法错误的是（)．A．∠1和∠3是同位角；B．∠1和∠5是同位角；C．∠1和∠2是同旁内角；D．∠5和∠6是内错角．【例22】已知，△ABC中DE垂直于AC与E，∠ACB=90°，试说明DE∥BC的理由．【例23】如图，∠5=∠CDA =∠ABC，∠1=∠4，∠2=∠3，∠BAD+∠CDA=180°，填空：∵∠5=∠CDA（已知）∴_______//_______（内错角相等，两直线平行）∵∠5=∠ABC（已知）∴_______//_______（同位角相等，两直线平行）∵∠2=∠3（已知）∴_______//_______（内错角相等，两直线平行）∵∠BAD+∠CDA=180°（已知）∴_______//_______（同旁内角互补，两直线平行）∵∠5=∠CDA（已知），又∵∠5与∠BCD互补，∠CDA与_______互补（邻补角定义）∴∠BCD=∠6（等角的补角相等）∴_______//_______（同位角相等，两直线平行）【例24】如图，AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3，那么BE与DF平行吗?为什么?【例25】如图，∠2=3∠1，且∠1+∠3=90°，试说明//AB CD．【例26】已知∠1=∠2，DE平分∠BDC，DE交AB于点E，试说明AB//CD．【例27】已知AC、BC分别平分∠QAB、∠ABN，且∠1与∠2互余，试说明PQ//MN．【例28】如图，直线AB分别与直线CD、EF交于点O、点E，GO⊥OH，OH平分∠AOC，且∠EDO与∠GOB互余，试说明OH//EF．【例29】如图，∠ABE=∠E+∠D，试说明AB//CD的理由．【习题1】观察图，下列说法中，正确的是（）．A．3∠是内错角∠和4B．1∠和4∠是同位角C．5∠是内错角∠和2D．4∠和6∠是同旁内角【习题2】如图，能使AB∥CD的条件是( )．A.∠1=∠B B．∠3=∠AC．∠1+∠2+∠B=180°D．∠1=∠A【习题3】一学员在广场上练习驾车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度是( )F E21DCBA53486721A ．第一次向左拐，第二次向右拐B ．第一次向右拐，第二次向左拐C ．第一次向右拐，第二次向右拐D ．第一次向左拐，第二次向左拐【习题4】如图，在下列条件中，能判定AB //CD 的是（）A ．∠1=∠3B ．∠2=∠3C ．∠1=∠4D ．∠3=∠4【习题5】如图，图中所标号的8个角，是∠1的同位角的是_________；∠3的内错角是 _________；∠7的同旁内角是_________；∠4的同位角是_________；∠6的内错角是 _________；∠2的同旁内角是_________．【习题6】如图，已知直线b ⊥a ，c ⊥a ．那么直线b 与c 平行吗？如果平行，请给出证明；如果不平行，举出反例．【习题7】如图，已知AC ⊥AE ，BD ⊥BF ，∠1=35°，∠2=35°，AC 与BD 平行吗?AE 与BF平行吗?为什么?【习题8】如图，∠1+∠2=180°．AE 与FC 会平行吗? 说明理由．30o 30o 50o 130o 50o 130o 50o 130o ab c12【习题9】根据图完成下列填空（括号内填写定理或公理）（1）∵∠1=∠4（已知）∴_________∥_________（）（2）∵∠ABC +∠_________=180°（已知）∴AB ∥CD （）（3）∵∠_________=∠_________（已知）∴AD ∥BC （）（4）∵∠5=∠_________（已知）∴AB ∥CD （）【习题10】已知DE ⊥BC ，FG ⊥BC ，∠DEH =∠GFC ，试说明EH ∥FC 的理由．【习题11】已知∠EDC +∠B =180°，∠EDC =∠A ，试说明AE //BC 的理由．【习题12】已知：∠ABC ＝∠ADC ，BF 和DE 分别平分∠ABC 和∠ADC ，12∠=∠．试说明DE ∥BF 的理由．【习题13】已知直线a ，b ，c 被直线d 所截，01334180∠=∠∠+∠=，，试说明a ∥c ．2431E DCB Aα【作业1】下列说法中正确的是（）A ．经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行B ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等C ．垂直于同一条直线的两条直线互相垂直D ．两条直线被第三条直线所截，内错角相等，则两条直线平行【作业2】在同一平面内，若a ⊥b ，c ⊥b 则a 与c 的关系是（）A ．平行B ．垂直C ．相交D ．以上都不对【作业3】如图，∠ADE 和∠CED 是（）A ．同位角B ．内错角C ．同旁内角D ．互为补角【作业4】如图，属于内错角的是（）A ．∠1和∠2B ．∠2和∠3C ．∠1和∠4D ．∠3和∠4【作业5】下列有关垂直相交的说法：①同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②一条直线如果它与两条平行线中的一条垂直，那么它与另一条也垂直； ③同一平面内，一条直线不可能与两条相交直线都垂直；其中说法正确个数有（）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【作业6】下列语句：①三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行；②如果两条平行线被第三条直线所截，同旁内角相等，那么这两条平行线都与第三条直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中（）A ．①、②是正确的命题B ．②、③是正确命题C ．①、③是正确命题D ．以上结论皆错【作业7】如图，能与α∠构成同旁内角的角有（）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个N M F E D C B A H G N M F E DC B A 【作业8】如图，AB ⊥BD ，CD ⊥MN ，垂足分别是B 、D 点，∠FDC =∠EBA ．（1）判断CD 与AB 的位置关系；（2）BE 与DF 平行吗?为什么?【作业9】如图CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，∠1=∠2，试说明DG //BC 的理由．【作业10】如图，AB 、CD 被EF 所截，MG 平分∠BMN ，NH 平分∠DNM ，已知∠GMN +∠HNM =90°，试问：AB ∥CD 吗？请说明理由．【作业11】如图， ∠B =∠C ，∠A =∠D ，试说明AE //DF ．【作业12】如图，已知：∠B+∠D＝∠BED．AB与CD平行吗，说明理由．。

平行线概念、基本事实及三线八角课件.

平行线概念、基本事实及三线八角课件.一、教学内容本节课将深入探讨平行线的概念、基本事实以及三线八角的关系。

教学内容主要基于教材第3章“几何图形与证明”的第2节“平行线与相交线”。

详细内容包括：1. 平行线的定义与性质；2. 判断两条直线是否平行的方法；3. 三线八角的概念及其应用；4. 平行线的判定与性质的应用。

二、教学目标1. 让学生掌握平行线的定义，理解平行线的性质；2. 使学生学会判断两条直线是否平行的基本方法；3. 培养学生运用三线八角关系解决实际问题的能力。

三、教学难点与重点教学难点：判断两条直线是否平行的方法，三线八角的关系。

教学重点：平行线的定义与性质，平行线判定方法的运用。

四、教具与学具准备1. 教师准备：多媒体课件、几何画板、直尺、量角器；2. 学生准备：直尺、量角器、练习本。

五、教学过程1. 导入：通过展示实际生活中的平行线实例，引导学生发现平行线的特点，激发学生的学习兴趣。

2. 基本概念讲解：（1）平行线的定义：在同一平面内，永不相交的两条直线称为平行线。

（2）平行线的性质：同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

3. 判断两条直线是否平行的方法：（1）同位角相等法；（2）内错角相等法；（3）同旁内角互补法。

4. 三线八角关系：（1）两条平行线与第三条直线交于两点，所形成的八个角中，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；（2）运用三线八角关系解决实际问题。

5. 例题讲解：选取具有代表性的例题，结合平行线的定义、性质和判定方法进行讲解。

6. 随堂练习：布置一些有关平行线与三线八角关系的练习题，让学生独立完成，并及时给予反馈。

六、板书设计1. 平行线的定义与性质；2. 判断两条直线是否平行的方法；3. 三线八角关系；4. 例题解析；5. 随堂练习。

七、作业设计1. 作业题目：（1）判断下列各题中，哪些直线是平行线，并说明理由；（2）已知直线a、b平行，求证：∠1=∠2，∠3=∠4；（3）运用三线八角关系，求出图中所有未知角的度数。

10.2.1 平行线的概念、三线八角

4
B
E
C
1 A
3
6
2
7
5
8 F
D
10.2.1 平行线的概念、三线八角
同位角的概念和识别
没
1、都在被截直线AB、
有公
A
E
共
2
CD 同一方(上方) 的_______________. 2、在截线EF的
顶点
34
B _同__旁__(右__侧__)__.
的角的位置关
C
5 6
78 F
∠2和∠6 D ∠3和∠7
DE被直线AB所截形成的．
∠C与∠CAE是内错角，∠C与∠CAD是同旁内角，B它们都是直线BC，C
DE被直线AC所截形成的.
另外，∠B与∠C是同旁内角，它们是直线AB，AC被直线BC所截形成的．
∠B与∠BAC是同旁内角，它们是直线AC，BC被直线AB所截形成的 .
∠C与∠BAC是同旁内角，它们是直线AB，BC被直线AC所截形成的．
10.2.1 平行线的概念、三线八角
课堂小结
平行线的概念
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
平行线及三线八角
平行线的性质
1.经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
2.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.
三线八角
同位角、内错角、同旁内角
5. 如图，两只手的食指和大拇指在同一个平面内，它们构成的一对角可看成是_内__错__角___．
10.2.1 平行线的概念、三线八角
6. 如图，直线DE截AB ，AC，构成8个角，指出所有的同位角，内错角，同旁内角.
解：两条直线是AB，AC，截线DE，所以8个角

2022年沪科版数学七年级下《平行线的概念、基本性质及三线八角》教案

10．2平行线的判定第1课时平行线的概念、基本事实及三线八角1．理解并掌握平行线的概念及基本事实，同位角、内错角和同旁内角的概念及性质；2．能够运用平行线及三线八角解决实际问题．(重点、难点)一、情境导入观察下列图片，想一想如果手扶式电梯左右扶手之间的宽度不相等会怎样，如果铁轨两条轨道之间的距离不相等会怎样？二、合作探究探究点一：平行线的概念、画法及基本事实【类型一】平行线的概念同一平面内，两条不重合的直线的位置关系是()A．平行或垂直B．平行或相交C．平行、相交或垂直D．相交解析：在同一平面内两条不重合的直线的位置关系是平行或相交．故选B.方法总结：本题考查了对平行线和相交线的理解和掌握，能熟练地运用性质进行说理是解此题的关键．【类型二】平行线的画法如图所示，在∠AOB内有一点P.(1)过P画l1∥OA；(2)过P画l2∥OB.解：如图所示．方法总结：运用三角板作平行线注意直尺的使用，以确保作出的两条直线为平行线．【类型三】平行线的基本事实如图，如果CD∥AB，CE∥AB，那么C、D、E三点是否共线？解析：可假设C、D、E三点不共线，则过点C就有两条直线与第三条直线平行，与平行的基本事实矛盾．解：C、D、E三点共线．理由如下：因为CD∥AB，CE∥AB，根据平行的基本事实，过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行知CD与CE是同一条直线，所以C、D、E三点共线．探究点二：同位角、内错角、同旁内角【类型一】同位角、内错角、同旁内角的判断如图，下列说法错误的()A．∠A与∠B是同旁内角B．∠3与∠1是同旁内角C．∠2与∠3是内错角D．∠1与∠2是同位角解析：根据同位角、内错角、同旁内角的基本模型判断．A中∠A与∠B形成U型，是同旁内角；B中∠3与∠1形成U型是同旁内角；C中∠2与∠3形成Z型，是内错角；D 中∠1与∠2是邻补角，题设说法错误．故选D.【类型二】同位角、内错角、同旁内角的识别如图，找出图中∠DEA，∠ADE的同位角、内错角和同旁内角．解析：结合图形，找出“三线八角”．解：图中∠DEA的同位角为∠C、内错角为∠BDE、同旁内角为∠A和∠ADE；∠ADE 的同位角为∠B、内错角为∠CED、同旁内角为∠AED和∠A.方法总结：两个角的公共边所在直线为截线，其余两边所在直线是被截的两直线，在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的两旁找内错角．变式【类型三】答案不唯一的图形问题如图所示，直线DE与∠O的两边相交，则∠O的同位角是________，∠8的同旁内角是________．解析：直线DE与∠O的两边相交，则∠O的同位角是∠5和∠2，∠8的同旁内角是∠1和∠O.故答案为∠5和∠2，∠1和∠O.易错点拨：找某角的同位角，同旁内角时，应从各个方位观察，避免漏数．三、板书设计1．平行线的概念和基本事实在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．2．同位角、内错角、同旁内角名称同位角内错角同旁内角基本图形与截线的同旁两旁同旁位置关系与被截线的位同一方向内部内部置关系图象“F”型“Z”型“U”型形状本节课学习了两个内容：平行线的概念及基本事实和认识同位角、内错角、同旁内角．教学中可让学生自己画平行线，结合图形说出平行线的基本事实．“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角的识别是难点也是易错点，让学生在学习中不断纠错，不断进步第3课时分式的混合运算1．掌握分式加减乘除法的法则，并会运用法则进行分式加减乘除法的计算；(重点)2．能够运用分式加减乘除法则来解决混合运算的实际问题．(难点)一、情境导入提出问题：1.说出有理数混合运算的顺序．，同学们能说出分式的混合运算顺序吗？今天我们共同探究分式的混合运算．二、合作探究探究点：分式的混合运算【类型一】分式的混合运算计算： (1)(3a a －3－a a ＋3)·a 2－9a ；(2)(x ＋x x 2－1)÷(2＋1x －1－1x ＋1)．解析：(1)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果；(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．解：(1)原式＝3a 2＋9a －a 2＋3a （a ＋3）（a －3）·（a ＋3）（a －3）a ＝2a ＋12；(2)原式＝x 3（x ＋1）（x －1）÷2x 2－2＋x ＋1－x ＋1（x ＋1）（x －1）＝x 3（x ＋1）（x －1）·（x ＋1）（x －1）2x 2＝x 2.方法总结：分式的混合运算，要注意运算顺序，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．【类型二】分式的化简求值先化简代数式x 2－2x ＋1x 2－1÷(1－3x ＋1)，再从－4＜x ＜4的范围内选取一个合适的整数x 代入求值．解析：先计算括号里的减法运算，再把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简，最后从x 的取值范围内选取一数值代入即可．解：原式＝（x －1）2（x ＋1）（x －1）÷(x ＋1x ＋1－3x ＋1)＝（x －1）2（x ＋1）（x －1）×x ＋1x －2＝x －1x －2，令x＝0(x ≠±1且x ≠2)，得原式＝12.方法总结：把分式化成最简分式是解题的关键，通分、因式分解和约分是基本环节，注意选数时，要求分母不能为0.【类型三】利用公式变形对分式进行化简已知a ＋1a ＝5，求a 2a 4＋a 2＋1的值．解析：本题若先求出a 的值，再代入求值，显然现在解不出a 的值，如果将a 2a 4＋a 2＋1的分子、分母颠倒过来，即求a 4＋a 2＋1a 2＝a2＋1＋1a 2的值，再利用公式变形求值就简单多了．解：因为a ＋1a ＝5，所以(a ＋1a )2＝25，即a 2＋1a 2＝23，所以a 4＋a 2＋1a 2＝a 2＋1＋1a 2a 2a 4＋a 2＋1＝124. 方法总结：利用x 和1x 互为倒数的关系，沟通已知条件与所求未知代数式的关系，可以使一些分式求值问题的思路豁然开朗，使解题过程简洁．变式【类型四】分式混合运算的应用甲、乙两人同时在同一个超市分两次购买同一种水果，甲每次都买了20千克水果，乙每次都用20元去买水果．两次水果的价格分别为a 元/千克和b 元/千克(a 、b 为正整数且a ≠b )．(1)甲、乙两人所购水果的平均价格各是多少？ (2)谁的购买方式更合算？请说明理由．解析：(1)用总钱数除以总质量即可表示出各自的平均价格；(2)利用作差法求出甲平均价格减去乙平均价格得到差大于0，可得出乙更合算．解：(1)甲的平均价格为20a ＋20b 20＋20＝a ＋b 2；乙的平均价格为20＋2020a ＋20b＝2aba ＋b ；(2)甲的平均价格与乙的平均价格的差为a ＋b 2－2ab a ＋b ＝（a ＋b ）22（a ＋b ）－4ab2（a ＋b ）＝（a －b ）22（a ＋b ），∵a ≠b ，∴（a －b ）22（a ＋b ）＞0，∴甲的平均价格＞乙的平均价格，则乙的购买方式更合算．方法总结：灵活运用作差法判断两个式子的大小，要掌握分式的加减混合运算．三、板书设计1．分式的混合运算先乘方，再乘除，后加减．如果有括号，先进行括号里面的运算． 2．分式混合运算的应用在学习这部分内容时，可以根据学生的具体情况，适当增加例题和习题，让学生熟练掌握分式的运算法则并提高运算能力．但与整式、分数的运算相比，分式的运算步骤多，符号变化复杂，所以在增加例题和习题时，要注意控制难度，特别是不要在分子、分母的因式分解上增加难度．关键是让学生通过基本的练习，弄清运算依据，做到步步有据，降低计算的错误率。

沪科版七年级数学下册10.2平行线的判定三线八角课件

(3) 哪两条直线被哪一条直线
∠１与∠５是一对同旁内角, 所截, ∠ 2与∠ 5是同位角
∠4与∠5是一对内错角. 直线ＡＢ，CD被直线EF所截
例2
如图：直线DE交∠ABC的边BA于
点 F. 如果内错角∠1与∠2相等，那么你
能找出图中其它相等的角吗？请说明理
由。
同位角∠1与∠4相等
有互补的角吗？
D
同旁内角∠1与∠3互补
10.2平行线的判定
三线八角
情景导入
你见过生活中哪些平行线呢？与同学们交流！
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什么是平行线
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线（parallel lines）.
如图：直线AB与直线CD平行，记作“AB∥CD”, 读作“AB平行于CD”.
平行线有什么特征
AC
1.在同一平面 2.不相交的两条直线
畅谈收获
主要内容：两条直线被第三条直线所
截而产生的三种角——同位角、内错角、
注同旁内角. 意 1．三种角产生的条件及位置特征；
2．判断时应先找到“截线”，再找另外两条被截直线，然后根据一对角的位置决定是哪一种角.
3．当图形复杂时可把暂时不需要的线段、角等遮住，也可采用图形分解法、图形涂色法以排除干扰.
BD
(1)
(2)
(3)
在同一平面内, 不相交的两条直线
--------- 叫做平行线
挑战自我
观察下图的立方体，回答：（1）你能找出一对互相平行的棱吗？（2）你能找出一对相互垂直的棱吗？（3）你能找出一对既不相交也不垂直的棱吗？
D A
D＇ A＇
C B
C＇ B＇
如图10— 12，点p在直线L外，按照图示的方法过点p画直线L的平行线，你能画几条？