第13章 应用密码学-序列密码

（七）、移存器的计数
1、r次本原多项式：J r (2r 1) / r 2、r次不可约多项式：r 1 2d (r / d ) I
r
d |r
3、r次非本原不可约多项式：K r I r J r
4、r次可约多项式： Lr 2r 1 I r
（四）、序列和周期
a 一般地，一个移存器序列表示为： a0a1a2 ai
对于序列 a a0a1a2 ai ，若存在整数p使得对 任意正整数k有 ak ak p 成立，称满足该式的最小正 整数p为序列的周期。
2 r 1 ，能 r级线性反馈移存器的最长周期: 达到最长周期的线性移存器序列称为m序列。
an an-1 an-2 an-3 an-4
an an2 an3 an4 (n 4)
2、反馈多项式表示
一个r级线性移存器的反馈多项式表示为：
f ( x) cr x r cr 1 x r 1 c1 x 1
x1
x2
4 3
x3
2
x4
f ( x) x x x 1
在密码学中，我们希望参与变换的序列周期越长越好，因 此对线性反馈移存器我们更感兴趣的是能达到最长周期的序 列，即m序列。
（五）、实例（画出下列个移存器的逻辑框图，写出相
应的线性递推式，并讨论由它们所产生的序列）
1、不可约多项式 f ( x) x4 x3 x2 x 1 2、可约多项式 f ( x) x4 x3 x 1 ( x3 1)(x 1) 3、本原多项式 4、环式移存器
1、真值表
例如 f ( x) f ( x1 , x 2 )
x
0 0 1 1 0 1 0 1
f(x)
0 1 1 0
2、小项表示 小项表示实际上是布尔代数表达方式，即逻辑表达 方式，此方法常用于布尔函数的设计实现。 上例的小项表示为 3、多项式表示 因为 x 1 x ，将小项表示中的逻辑非的形式换掉 即得多项式表示。
c0 1
将上式中的D用符号x代替，引入多项式：
f ( x) cr x r cr 1 x r 1 c1 x 1
从而有：f ( D)an 0, (n r ) 那么对于序列a， f ( D)a 0
集合1：G( f ) {a | f ( D)a 0}
；
是以 f (x) 为反馈多项式的移存器产生的所 有可能序列的集合。 集合2：A(a) { f ( x) | f ( D)a 0} ； 是所有能产生序列的多项式的集合。 对于该集合有以下性质： （1）若 f ( x), g ( x) A(a) ，则 f ( x) g ( x) A(a), ( f g ) （2）若 f ( x) A(a), g ( x) F[ x] ，则 f ( x) g ( x) A(a)
an c1an1 c2an2 cr anr (n r )
Dak ak 1, Di ak ak i , D0 I 引进迟延算子D：
2 r c 递推式可改写为：0 Ian c1Dan c2 D an cr D an 0
(c0 c1D c2 D2 cr Dr )an 0 即：123源自图2、非线性反馈移位寄存器
（二）、工作原理
( 假设在j时刻其内部状态为：a j 1, a j 2 ,, a j r )
在j+1时刻其内部状态变为：(a j , a j 1,, a j r 1 )
其中： a j f (a j 1, a j 2 ,, a j r )
此时的输出为j时刻的最高级：a j r
序列密码
量子密码研究室
王 滨
2005年3月28日
主要内容
• 序列密码概述 • 布尔函数 • 线性反馈移存器
序列密码概述
• 序列密码的起源 • 序列密码的加解密思想 • 序列密码的基本原理
序列密码的基本原理
由少量的随机密钥,通过移位寄存器 以及非线性变换等多层编码环节，产生 变化量大、复杂度高、随机性好的伪随 机乱数，利用简单的密码法把它与明文 数据串进行结合，从而实现对明文数据 的加密。
预备知识：布 尔 函 数
一般地，我们把n元布尔函数定义为如下映射：
f : F2n F2 ，其中
f (x)
记为
x ( x1, x2 ,, xn ) F2n , f ( x) F2 , F2 0, 1
布尔函数是研究数字逻辑电路的重要数学工具， 在序列密码、分组密码和公钥密码中，布尔函数都有 重要的应用。特别在序列密码中，布尔函数是重要的 数学工具之一。
1
2
3
第0时刻 第1时刻 第2时刻 第3时刻 第4时刻 第5时刻 第6时刻 第7时刻
0 1 1 1 0 1 0 0
0 0 1 1 1 0 1 0
1 0 0 1 1 1 0 1
产生序列为：1001110……和一个全零序列。
（三）、表示方法
1、线性递推式表示
一个r级线性移存器的线性递推式表示为：
an c1an1 c2an2 cr anr (n r )
f ( x) x 4 x 1
f ( x) x 4 1
答案： 1、该移存器产生三类周期相同（全为5）的序列及一 个全零序列。 2、该移存器产生五类周期分别为6、3、3、2、1的序 列及一个全零序列。 3、该移存器产生周期为15的m序列及一个全零序列。
（六）、反馈多项式的含义
一个r级线性移存器的线性递推式表示为：
f ( x) x1 x2
f ( x) x1x2 x1 x2
§5.1 线性反馈移存器
一、线性反馈移存器简介 （一）基本概念
定义：反馈移存器的反馈逻辑电路可用一布 尔函数来表示，若对应的布尔函数是线性函数， 则称该反馈移存器为线性反馈移存器，否则称为 非线性反馈移存器。
1
2
3
4
图1、线性反馈移位寄存器