高中数学选修(A版)2-2课后题答案
新课程人教版高中数学选修2-2课后习题解答(全)(20201130151731)
第一章导数及其应用3. 1变化率与导数练习（P6）在第3 h和5 h时，原油温度的瞬时变化率分别为1和3.它说明在第3 h附近，原油温度大约以1 C/ h的速度下降；在第 5 h时，原油温度大约以 3 C/ h的速率上升.练习（P8）函数h（t ）在t - t3附近单调递增，在t~t4附近单调递增.并且，函数h（t ）在t4附近比在t3附近增加得慢•［说明：体会“以直代曲”的思想练习（P9）因此，物体在第5 s 时的瞬时速度为10 m / s ,它在第5 s 的动能Ek =—1 3X 102 = 150 J. 2 4、设车轮转动的角度为'，时间为t ，则'"kt 2（「0）.由题意可知，当 t -0.8时，.-2 '-.所以k ^2^ ，于是'心二"斫t 2 .8 8函数r (V )根据图象，估算出 r (0.6) 0.3, r (1.2) 0.2说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意 义估算两点处的导数. 习题1.1 A 组(P10 )1、在t 处，虽然W (t ) W (t0 10 2 0)，然w W 1(t 0 ^W 1(t^ t )4t W 2 (t 0 r W 2 (t(f t ).所以，企业甲比企业乙治理的效率高 .说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵2、h -h(1t )一 h ⑴…St 33,所以, t ； th ⑴二 3.3这说明运动员在t Ms 附近以3.3 m /s 的速度下降3、物体在第 5 s 的瞬时速度就是函数 s （t ）在「5时的导数t ) s ( 5i t 10，所以, ts (5) 二 10 .（0 V 5）的图象为-s( 5车轮转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度就是函数 「⑴在t 另.2时的导数A ( 3. 2+U ) &(3幵2) 25- 八一 -t 20，所以 一 (3.2)_ 20..处t 8因此，车轮在开始转动后第3.2 s 时的瞬时角速度为 20 s -1 .说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固 5、由图可知，函数f (x)在x - 5处切线的斜率大于零，所以函数在x =.「5附近单调递增.同理可得，函数f ( x)在x - -4，-2，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调 递减. 说明：“以直代曲”思想的应用6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数 f (x)的图象如图(1)所示；第二个函数的导数 f ( X )恒大于零，并且随着x 的增加，f ( x)的值也在增加；对于第三个函数，当X 小于零时，f ( x)小于零，当x 大于零时，f ( x)大于零，并且随着 x 的增加，f ( x)的值也在增加.以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种说明：由给出的 v( t)的信息获得s(t )的相关信息，并据此画出 s(t )的图象的大致形状.这个说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系 习题3.1 B 组(P11)1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度; 速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度 速度关于时间的导数刻画的是2、过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换3、由(1)的题意可知，函数f ( x)的图象在点(1, 5)处的切线斜率为_1，所以此点附近曲线呈下降趋势.首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象点处函数图.同理可得(2)( 3 )某象的大致形状.下面是一种参考答案.1、 f ( x) -2x -7，所以，f (2) 3, f (6) - 5.2、 (1)y 1 - (2) y — 2e x ；xln 2(3) y 二 10 x 4-6x ;(4) y 二-3sin x -1x(5) y 二 _ _ sin ；(6y 「— 13 32心-1习题1.2 A 组(P18)S S(r 阳播;r ) S(r ) r , 所以，S (r )-1、«— •一 nrr A 1A rr2、T h (t) -9.8t 6.5 .十3f ■=1 J 33、 r (V )3 '4 V 24、 (1) y - 3x 21 ;(2) y - i 说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思 想的领悟.本题的答案不唯一. 1 . 2导数的计算 练习(P18)xln 2(3) 4cos x ;nx n=e xIim(2 低 r + A r ) = 2i r .r 0"x n e x;(5)f (x)6y =—x 3cosx _cos x；( 4)sin 2 xy ^99(x 学 1)98 ；-2'x ;(6)e8 2 2x .由 f (x o ) ~ 4 有 4~ 8y 2si n(2 x 5)4 xcos(2x 5)2 2x o ，解得 x o 一 3' 2 .7、 y 1.8、 ( 1)氨气的散发速度 A (t ) ~500 In0.8340.834：(2) A (7) 一 25.5，它表示氨气在第 7天左右时，以25.5克/天的速率减少(3)y -sin x 的导数为y - cos x .就越来越逼近函数y cos x .-0时，x-0.所以函数图象与x轴交于点P(0,0).x，所以y e y所以，曲线在点P处的切线的方程为d (t) - -4sin t .所以，上午6:00时潮水的速度为0.42 m / h ;上午9:00时潮水的速度为0.63 m / h;中午12:00时潮水的速度为1 . 3导数在研究函数中的应用练习(P26)0.83 m/h ;下午6:00时潮水的速度为 1.24 m /h.1、亠44 ,所以*f ( X)-2x1时，函数f ( X)二X21时，函数 f ( X尸X2所以 f (X) -e x 1 .时，函数 f ( x)- -e x时，函数 f ( x)- -e x(1)因为f ( x)_x2— 2x-2 .-2 x 4单调递增;当f (x) 0 ,即x2x 4单调递减.x单调递增;-x单调递减.(2)因为f ( x) v e x x ,当 f (x) 0，即x,所以f ( x)二3 3x2.jf,当 f (x) 0，即x :当 f (x) 0，即x(3)因为f ( x) =3x x3当f (X) 0 ,即一1 X 1时，函数f (x) -3x x3单调递增;3(4)因为f ( x) 一x3一x2…x，所以f ( x) — 3x2一2x 一1.1当f(X)0，即X —•或x . 1时，函数f ( X)- X3 - X2- X单调递增;3当f (x).0,即—1 x 1时，函数f ( x) _ x 3x 2x 单调递减轧_ M w亠 _ _32、 絆- 匕・ ------ ・---- V* a Pi［砾號\: 注：图象形状不唯一.bx c(a - 0)，所以 f ( x)- 2ax b .(2) 当 a <0 时，因此函数f ( x) ~2x 3 - 6x 2 7在(0, 2)内是减函数练习(P29)1、X 2 , X 4是函数y 一 f ( x)的极值点，其中x x 2是函数 y — f (x)的极大值点，x " x 4是函数y — f ( x)的极小值点. 2、( 1)因为 f ( x)— 6 x 2 x 2，所以 f ( x) -12x 1 .令 f (x) 12- x-1 £，得 x 尸■ 1 .121当x 严一时，f (x)0， f ( x)单调递增；当x 凉；1时，f (x):0， f ( x)单调递减.12 12所以，当x -r 时，f (x)有极小值，并且极小值为f (r i 6(r)2-”r -.3、因为 f (x)ax 2 (1 )当 a 「0 时，即x —b时，2a即x — 时，f (x) 0， f (x) 0，函数 函数f ( x) = ax 2bx 2f ( x) _ ax bx• c(a - 0)单调递增; c( a 二0)单调递减.f(x) 0 ， 函数2f ( x) _ ax bxf (x)0， 4、证明：因为f ( x) 2x 3即x 弓一“b 时， 2a 即x b 时，2a6x 27，所以'f (x)—6x 2c( a-0)单调递增; 函数 2f ( x)ax bxc(a 辱0)单调递减.12x .当 x (0, 2)时，f ( x) £x 2 12 x : 0，12 12 12 12 24 (2) 因为f ( x) — x327x，所以f ( x) — 3x227 .令f (x) 3x2一27 一0，得x 一：3 .下面分两种情况讨论：①当f (；)讥，即x V—3或x --3时；②当f "(x) V 0，即3 V X* 3时.if当x变化时，f (x)，f (x)变化情况如下表：因此，当x壬鼻3时，f ( x)有极大值，并且极大值为54 ;当x - 3时，f (x)有极小值，并且极小值为—54 .(3) 因为f ( x) -6 12x x3，所以f ( x) - 12 3x2.令f (x) 12 - 3x2-0，得x -匚2 .下面分两种情况讨论：①当f ( x) ■ 0，即卩2 x :: 2时；②当f(X)： 0，即x匚2或x「2时. 当x变化时，f (x)， f (x)变化情况如下表:因此，当S2时，f ( x)有极小值，并且极小值为=10 ；当x -2时，f ( x)有极大值，并且极大值为22(4) 因为f ( x)_3x_x3，所以f( x)— 3 3x2.令f (x) 3二3x2二0，得x 1 .下面分两种情况讨论：①当f ( 1)哀・0，即卩彳东＜1时；②当f '( x)弋0，即x V F或x洁1时. 当x变化时，f (x)，f (x)变化情况如下表:因此，当x二-1时，f ( x)有极小值，并且极小值为"2 ；当x _1时，f (x)有极大值，并且极大值为2练习(P31 )11(1 )在［0, 2］上，当x _ 时，f ( X )_6X 2_X _2有极小值，并且极小值为f ()1212又由于 f (0)冃一2 , f (2)- 20 .因此，函数f ( x) 6x 2x 2在［0, 2］上的最大值是20、最小值是 _49・24(2)在［-4,4］上，当x "=-3时，f (x)x^ - 27x 有极大值，并且极大值为 f ( 3): 当x 二3时，f (x) m x 3- 27 x 有极小值，并且极小值为f ⑶--又由于 f ( V) — 44， f (4)戸—』44.又由于f (丄__，f ⑶_15 .3271 55因此，函数f ( x) -6 12x _x 3在［—,3］上的最大值是 22、最小值是.327在［2,3］上，函数f (x) -3x - x 3无极值. 因为 f (2) - 2，f (3) - 18 .因此，函数f ( x) =3x_x 3在［2,3］上的最大值是 一2、最小值是一18习题1.3 A 组(P31)_ 49 24-54 ； 54 ；二 22 .因此，函数f ( x) - X 3-- 27 x 在卜4,4］上的最大值是 54、最小值是 54 .1,3］上，当x -2时，f ( x)二6 12x _ X 3有极大值，并且极大值为f (2)31 551、( 1)因为f (刈二一2 x 1，所以f ( x)二一2 0 .因此，函数f ( x)二「2x 1是单调递减函数.(2) 因为f ( x) = x cos x ，x (0, —)，所以f (x) = 1 sin x 0 ，x (0, —).2 2 因此，函数f ( x) - x cos x在(0, — )上是单调递增函数.2(3) 因为f ( x) 一-2x^4，所以f (x) 2一：0 .因此，函数 f ( x) -2x 4是单调递减函数.(4) 因为f ( x) -2 x3” 4x，所以f ( x)— 6x2 40 .因此，函数f ( x) - 2x3 4x是单调递增函数.2、( 1)因为f ( x)— x2• 2x 4，所以f ( x) —2x 2 .当f (x) 0 ,即x萨一1时，函数f (x)尸x2 1 2x 4单调递增当 f (x) f (x) - x22x i 4单调递减(2)因为f ( x)-2x2 - 3x^3，所以f (x) -4x - 3 .当f (x) 0，即x 3时，函数f ( x) - 2x2 _ 3x 3单调递增4当f (x) 0，即x 3时，函数f ( x) _2x2 3x 3单调递减4(3)因为f ( x)-3x x3，所以f ( x) 3 - 3x2 0 .因此，函数f ( x) _3x x3是单调递增函数.(4)因为f ( x) =x3 +x2 - x，所以f "( x) =3x2±2x -1.1当f (x) 0，即x^»1或x 时，函数f ( x) _ x3 x2一_ x单调递增.31当f (x) 0,即_1 x.：时，函数f ( x)=x3^x2= x单调递减.33、 ( 1)图略. (2)加速度等于0.4、 ( 1 )在X2处，导函数yf ( x)有极大值；(2)在x - X1和x—X4处，导函数y 一f (x)有极小值；(3)在x - X3处，函数y 一 f ( x)有极大值；(4)在x 一X5处，函数y— f ( x)有极小值.5、 ( 1)因为f ( x) -6 X2 x 2，所以f ( x) 12x 1 .令f (x) 12 x 1 -0，得x =「「1 .12当x啊■-时，f ( X) 0，f ( x)单调递增；12当x •-汁时，f ( x) 0， f ( x)单调递减.12所以，x 一十时，f (x)有极小值，并且极小值为 f ( 4)U夢6 (—1)2 F■12 12 12 12(2)因为f ( x) -x312x，所以f (x) 3x2 12.令f (x) "3x2 12 一0，得x「2 .下面分两种情况讨论：①当f ( x) - 0，即x 2或x 2时；②当f ( x) 0，即2 : x 2时.当x变化时，f (x) , f (x)变化情况如下表:因此，当x 一—2时，f ( x)有极大值，并且极大值为16; 当x -2时，f ( x)有极小值，并且极小值为-16 .(3)因为f ( x) -6 -12x x3，所以f ( x)— -12 3x2.令f (x) ^「12 3x2口0，得x 2 .下面分两种情况讨论：①当f ( x) • 0，即x二2或x 2时；②当f ( x) 一0，即卩2二x ： 2时.当x变化时，f (x)，f (x)变化情况如下表:因此，当x - 2时，f ( x)有极大值，并且极大值为22 ；当x 一2时，f ( x)有极小值，并且极小值为-10 .(4)因为f ( x) -48x x3，所以f (x) - 48 3x2.令f (x)二48— 3x2二0，得x「二4 .下面分两种情况讨论：①当f ( x) 0，即x ： -2或x 2时；②当f ( xp 0，即—2 x 2时. 当x变化时，f (x)，f (x)变化情况如下表:因此，当x _ 4时，f ( x)有极小值，并且极小值为128 ;当x -4时，f ( x)有极大值，并且极大值为 128.(1 )在［_1,1］上，当x =「丄 时，函数f (x) 6x 2+x 42有极小值，并且极小值为1247 24由于 f ( 1)一7 , f (1) 一 9 ,247所以，函数f ( x) _6x 2 x- 2在［_1,1］上的最大值和最小值分别为 9，24(2)在［3,3］上，当x »2时，函数f ( x) -x 312x 有极大值，并且极大值为16;当x =2时，函数f ( x) - X 3=12X 有极小值，并且极小值为-16 .由于 f ( —3) 一9 , f (3) - —9 ,所以，函数f ( x) - x 3-12x 在［-3,3］上的最大值和最小值分别为16， 16 .1 1(3)在［_ ,1］上，函数 f ( x) 6 12x. x 3在［—,1］上无极值.32693由于 f ( 1)，f (1)_ 5， 3271所以，函数f ( x) - 6 —12x ；方x 3在［,1］上的最大值和最小值分别为 326927(4 )当x 4时，f ( x)有极大值，并且极大值为128..由于 f ( 一3) 一 -117 , f (5) - 115 ,所以，函数f ( x) =48x_x 3在［-3,5］上的最大值和最小值分别为 128， 117 .习题3.3 B 组(P32)1、( 1 )证明：设 f ( x) _sin x x ， x (0,).因为 f ( X )- cos x 1 0， x (0,)所以f ( x) -sin x _x 在(0^ )内单调递减因此 f ( x) — sin x x ： f (0)一0， x (0/ )，即 sin x x ， x (0,). 图略(2)证明：设 f ( x) - x x 2， x (0,1). 因为 f ( x) — 1 2x ，x (0,1)所以，当x (0, 1 )时，f (x) _1_2x 0 , f (x)单调递增，2f ( x)r x x2嚣f (0) - 0 ;,1)时，f ( x) _ 1 _ 2x 0 , f ( x)单调递减，f (X)EX-X2 f (1尸0 ;1又f(__) 0 .因此，x _x20 , x (0,1).2 4()一x_1 一，x - 0 .x e x因为f ( x) - e x 1, x - 0所以，当x 0时，f ( x) - e x T 0 , f (x)单调递增，f (x)二e x 1 x f (0)二0 ；当x 0时，f ( x) i e x 1 0 , f (x)单调递减，f (x) = e x-1 - x > f (0)=0 ;综上，e x-1 x , x - 0 . |图略(4)证明：设 f (x) J|n x - x , x 0 .因为 f ( x) - 11，X = 0x所以，当0-C X V1时，f Yx) z斗一1刃，f ( x)单调递增，xf ( x)二In x i x f (1)二一1 0 ；当x 1 时，f ( x)--1-1 0，f ( x)单调递减，xf ( x) — In x x ： f (1) —10 ；当x "1时，显然In1 : 1 . 因此，In x x .由(3)可知，e x x 1 x，x 0 . 图略(3 )证明：设. 综上，In x x e x，x 0 图略2、( 1)函数f ( x) 一ax3 bx2 cx d的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或的形状.若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间.(2)因为f ( x) -ax3 bx2 cx d，所以f ( x)」3ax2 2bx c .下面分类讨论：当a -0时，分a 0和a 0两种情形:①当a 0 ,且b? -3ac 0时，设方程f ( x) 一3ax2 2bx c "0的两根分别为x i, X2，且x i ' X2 ,当f (x) -3ax2 2bx 0，即x x i 或x X2 时，函数f (x) - ax3 ' bx2 ex ' d 单调递增;当f (x) _3ax2 2bx c 0，即x i，x X2 时，函数f ( x)「「ax3 bx2 ex d 单调递减.当a 0，且b23ac-0 时，此时f ( x) =3ax2 ' 2bx ' c 0，函数f ( x)二ax3 ' bx2 c^ d 单调递增②当a 0，且b2- 3ac 0时，设方程f ( x) 一3ax2 2bx c 0的两根分别为x i, X2，且x i x2，当f (x) =3ax2 2bx c ' 0，即x i x ； X2 时，函数f ( x)二ax3 bx2 cx d 单调递增;当f (x)…3ax22bx c 0，即x ：x i 或x X2 时，函数f (x) ax 3bx2 cx d 单调递减当 a 0，且b23ac—0 时，此时f ( x) "3ax2 ' 2bx ' c 0，函数f ( x) 一ax3 bx2 c^ d 单调递减i . 4生活中的优化问题举例习题i.4 A组(P37 )i、设两段铁丝的长度分别为x , l x，则这两个正方形的边长分别为x , L A，两个正方1- 4 4形的面积和为S f (x) - (-"X )2( - x)2 -亍(2 x2- 2lx T 2 ) , 0二x "1 .4 4 i6令 f ( x)二0，即4x 21 =0, x =十.2当X 和，1厂时，f '(X)W0 ；当X J )时，f ( X) 0 >2 2因此，X --是函数f ( X)的极小值点，也是最小值点.2所以，当两段铁丝的长度分别是-时，两个正方形的面积和最小2、如图所示，由于在边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长为x的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无盖方盒的底面为正方形，且边长为 a 2x，高为x .(i )无盖方盒的容积V ( x)」(a 一2x)2 x , 0 • x ' a .2(2)因为V (x) 4x 3 _4ax2 a2 x ,(第2 题)Rh42R 0222222 8 n i i a i )当R—+ 2V x 2 m 2 (x所以 V ( x)二 12x 2 8ax a 2 . 2—2第一章课后习题解答 沖j一 T令 f (x) 0，得 x - a i ， 1 'n可以得到，x- a i 是函数f ( x)的极小值点，也是最小值点 5、设矩形的底宽为 x m ，则半圆的半径为 (第 3 题).此时，h VR 2所以，当罐咼与底面直径相等时，所用材料最省 =r z rf - 24、证明：由于 f ( x) =( x ai)，所以f (x)n i in i i这个结果说明，用 n 个数据的平均值 1-n a i 表示这个物体的长度是合理的，m ，半圆的面积为 63、如图，设圆柱的高为.-.h ，底半径为R , 则表面积S 2 Rh 2 R 2I ----- ---23 V 2R . 这就是最小二乘法的基本原理 71二厂 ----------R 2 h ，得 h V 2 'R—兀 ---------------------+ TT o — S(R) 2 R V 2 R 2 R 22V 2 R 2, R 0 . R —当R因此，二 VR 3 ；-是函数S(R)的极小值点，也是最小值点由V 因此，令 S(R)R_ 0，解得 R _ I VS(R)V ］时)时，S(R)令V (x)0 ,得x a (舍去)，或 x a .26a a a」当 x (0,)时，V (x) 0 ;当x e (- 一 )时，V ( x/0 .66 2因此，xa是函数V ( x)的极大值点，也是最大值点6 —所以，当x a 时，无盖方盒的容积最大.r °2a x矩形的面积为ax 2 m 2，矩形的另一边长为 — ) m8x 8因此铁丝的长为 I (x)冷 _xx Na -— 二(「•： =) x_2a, 0 x 8a2 x 4 4 x'■ ~令 I ( x) ] 2a _0，得 x_ 8a(负值舍去).4 x 2 丫4 械因此，所以，当底宽为8a m 时，所用材料最省.56、利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘单价. 由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润.1 彳收入 R _q p 一 q (25 _ q) - 25q_ 1q 2，8 8利润 L _ R =C _(25q =1 q 2)_ (100 4q)q 221q =100， 0 : q 厂 200 .8 8求导得L * =+ 214令 L —0，即卩—1 q 21 0， q _84 .4当 q (0,84)时，L 0 ；当 q (84,200)时，L 0 ；因此，q 84是函数L 的极大值点，也是最大值点所以，产量为 84时，利润L 最大，当 x (0, 8a )时，V 4仕I ( x). 0 .x_ 8a 是函数I (x)的极小值点，也是最小值点I 4习题1.4 B组(P37)1、设每个房间每天的定价为x元，那么宾馆利润L (x)二(50 -x—)( x 20)二一1 X2 70x 1360，180 x : 680 .10 10令L (x) 1 x 70- 0，解得x -350 .5当x (180,350)时，L ( x) 0 ;当乂(350,680)时，L ( x) 0.因此，x ~ 350是函数L( x)的极大值点，也是最大值点所以，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大2、设销售价为x元/件时，利润L (x) =( x_a)(c #C b ~x x4)_p( x _ a)(5 —呂x) , a”.F~l«^T.b b 4令L (x) _ _ 8c x 4ac 5bc ― 0，解得x _ 4a 5b .当x _4a 5b是函数L（ x）的极大值点，也是最大值点84a所以，销售价为4a 5b元/件时，可获得最大利润81 . 5定积分的概念练习（P42）说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想练习（P45）1、S i S i --v()『二t - [ - ( ' ) 2& 2] -1 —-( i)2 1爼■nn n于是S L工/：.,s i達？止S ii T 行n[_(i )2 1 i卜n n-()2-1n n1 23 [1 22'n1 n(n 1)(23n1 1 土一占(1 )(13取极值，得n s - limn—九i 叶)] n说明：进一步体会22 kkm.3说明：进一步体会和步骤.练习（P48）x3dx 4.“以不变代变“以不变代b b⑴/ 4a」*5b 口」当x (a, )时，L (x)88r/ +5b 5b □斗0 ;当x ( 4a ,)时，8 4L ( x) 0 .从几何上看，表示由曲线 y x 3与直线x0 , x 2 , y 0所围成的曲边梯形的面积n nnnr 2^ ii'三£ v( ) ti Tn2]n(^_-1 )2」 （』）n n nn 2 ]2n 1)21 ) !n2n1 1-lim •「[-(1 -n • 厂13 n”和“ '逼近” 的思想 ”和“ '逼近” 的思想，21 n 1)(1 )2ni =1,2, ” ；»n .熟悉求变速直线运动物体路程的方法说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义习题1.5 A 组（P50 ）1、（ 1） (x 1)dx100i 1)1]10.495 ；1 2-H -- --t -------- =■i 11001002 500(2)(x __1)dx ■ -[(1i _1k_1]1 — 0.499 ；1i 怎5005002 10001(3)(X _1)dx-[(1i 」)」.<■ 1 -0.4995 .1i 110001000说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法 2、距离的不足近似值为：18 V 12 17 13 V 0 1 40（ m ）;距离的过剩近似值为： 271 18 1 12 V 7 V3 1 - 67 （ m ）3、证明：令f （ x ）匸1 .用分点a 二x o * X 1作和式i1i1y x 3所围成的曲边梯形的面积的相反数（2）根据定积分的性质，得1 qx 3dx1由于在区间［1,0］上x 30，在区间［0,1］仔x 3dx1> 上x 31x 3 dx1 1 0 .4£，所以定积分 1x 3dx 等于位于x 轴上方的将区间 ［a, b ］等分成 n个小区间，在每个小区间［X i 1 , x i ］上任取一点 i (i 1,2, , n)X i 1 X i X n — b从而「b. ； b -a 1dx i im b - a ，a 7冕斗n说明：进一步熟悉定积分的概念 4、根据定积分的几何意义，-1 x 2 dx 表示由直线沪0，x=，尸0以及曲线所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此(1)x 3 dx4<由于在区间［1,0］上x 30，所以定积分[ ~ =—"—x 3 dx 表示由直线 x 0 ， x 1 ， y1二0和曲说明：在（3）中，由于x 3在区间［1,0］上是非正的，曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积 . I 0 3x 3dx1上x 3（3）根据定积分的性质，得2 x 3dx1一 空由于在区间［1,0］ 上 x 30，在区间［0, 2］曲边梯形面积减去位于 X 轴下方的曲边梯形面积2 — — ' — ---------------------------------x 3dx1 4 15 04 4）_2，所以定积分 1x 3dx 等于位于x 轴上方的在区间 ［0, 2］上是非负的，如果直接利用定义把区间［1,2］分成n 等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵「X - il - (i 1)1-1 .n则细棒的质量挡一些项，求和会非常麻烦 .利用性质3可以将定积分2 0x 3dx 化为x 3dx.12x 3dx ，这样，x 3在区间［1,0］和区间［0, 2］ 上的符号都是不变的，再利用定积分的定义，容易求出r °x 3dx ，12;x 3dx ，进而得到定积分2I x 3dx 的值.由此可见，利用定积分的性质可以化简运算--1在（2）（ 3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分 的几何意义.习题1.5 B 组（P50 ）1、 该物体在t - 0到t - 6 （单位： 说明：根据定积分的几何意义， 的路程.2、 （ 1） v — 9.81t .s ）之间走过的路程大约为 145 m.通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过（2）过剩近似值:丄1…9.81- 空-88.29 ( m )； 2 24 2不足近似值:8i 1 1 1 8 7 '9.81 ---------- 「一 9.81 一 ： ------- 68.67------------------ ( m )4(3)9.81tdt49.81tdt 二 78.48( m ).■ 0（1）分割在区间［0, l ］上等间隔地插入 l［0,-］， n 记第i 个区间为［（i-1）| , -iL ］nn -1个分点，将它分成 n 个小区间:l 2l［--,—］，,,，n n (i -1,2, n ) ［4n^）L,i ］，n把细棒在小段 [0, l ]， n[l , 2l]，,,， n nA —心[(n 2)l ,l ]上质量分别记作: n m 1, m 2 , , m n ，（2）近似代替（i -x很小时，在小区间［'1）1 , il ］上，可以认为线密度n n化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于任意一点当n 很大，即'(x) - x 2的值变值（-i ）s 卩［（F 1）l-』］处的函数n ni 2.于是，细棒在小段［,』］上质量 m^ （ i 厂x i 2」（i 「1,2, n ）.n nn(3)求和得细棒的质量m i 、2 _!_.i 1 i n(4)取极限n 细棒的质量m ^!im r.n_]* •i2 L，所以m l2x dx ..。
高中数学 3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义课后习题 新人教A版选修2-2
3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义课时演练·促提升A组1.已知z1=2+i,z2=1-2i,则复数z=z2-z1对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:z=z2-z1=(1-2i)-(2+i)=-1-3i,故z对应的点为(-1,-3),在第三象限.答案:C2.已知复数z满足z+i-3=3-i,则z等于()A.0B.2iC.6D.6-2i解析:z=3-i-(i-3)=6-2i.答案:D3.若复数z1=a-i,z2=-4+b i,z1-z2=6+i,z1+z2+z3=1(a,b∈R),则z3为()A.-1-5iB.-1+5iC.3-4iD.3+3i解析:∵z1-z2=(a-i)-(-4+b i)=a+4-(1+b)i=6+i,∴a=2,b=-2,∴z3=1-z1-z2=1-2+i+4+2i=3+3i.故选D.答案:D4.若复平面上的▱ABCD中,对应复数6+8i,对应复数为-4+6i,则对应的复数是()A.-1-7iB.2+14iC.1+7iD.2-14i解析:设对应的复数分别为z1与z2,则有于是2z2=2+14i,z2=1+7i,故对应的复数是-1-7i.答案:A5.A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O是原点,若|z1+z2|=|z1-z2|,则三角形AOB一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解析:根据复数加(减)法的几何意义知,以为邻边所作的平行四边形的对角线相等,则此平行四边形为矩形,故三角形OAB为直角三角形.答案:B6.计算(-1+2i)+(i+i2)-|1+2i|=.解析:原式=-1+2i+(i-1)-=-2+3i-=-(2+)+3i.答案:-(2+)+3i7.已知复数z1=(a2-2)+(a-4)i,z2=a-(a2-2)i(a∈R),且z1-z2为纯虚数,则a=.解析:z1-z2=(a2-a-2)+(a-4+a2-2)i=(a2-a-2)+(a2+a-6)i(a∈R)为纯虚数,所以解得a=-1.答案:-18.已知z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R).若z1-z2=13-2i,求z1,z2.解:∵z1-z2=(3x+y)+(y-4x)i-[(4y-2x)-(5x+3y)i]=[(3x+y)-(4y-2x)]+[(y-4x)+(5x+3y)]i=(5x-3y)+(x+4y)i,又z1-z2=13-2i,∴(5x-3y)+(x+4y)i=13-2i.∴解得∴z1=(3×2-1)+(-1-4×2)i=5-9i,z2=[4×(-1)-2×2]-[5×2+3×(-1)]i=-8-7i.9.在复平面内A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i.(1)求对应的复数;(2)判断△ABC的形状;(3)求△ABC的面积.解:(1)对应的复数为2+i-1=1+i,对应的复数为-1+2i-(2+i)=-3+i,对应的复数为-1+2i-1=-2+2i.(2)∵||=,||=,||==2,∴||2+||2=||2,∴△ABC为直角三角形.(3)S△ABC=×2=2.B组1.复数z=x+y i(x,y∈R)满足条件|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为()A.2B.4C.4D.16解析:∵复数z=x+y i(x,y∈R)满足|z-4i|=|z+2|,∴|x+(y-4)i|=|(x+2)+y i|,化简得x+2y=3.∴2x+4y≥2=2=2=4,当且仅当x=2y=时,等号成立.答案:C2.△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3,复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则z对应的点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心解析:设复数z与复平面内的点Z相对应,由△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3及|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|可知点Z到△ABC的三个顶点的距离相等,由三角形外心的定义可知,点Z即为△ABC的外心.答案:A3.设纯虚数z满足|z-1-i|=3,则z=.解析:∵z为纯虚数,∴设z=b i(b∈R,且b≠0).由|z-1-i|=3,得|-1+(b-1)i|=3.∴1+(b-1)2=9.∴b-1=±2.∴b=1±2.答案:(1±2)i4.已知复数z=x+y i(x,y∈R),且|z-2|=,则的最大值为.解析:∵z=x+y i(x,y∈R),且|z-2|=,∴(x-2)2+y2=3.由图可知.答案:5.已知复平面内的A,B对应的复数分别是z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+icos 2θ,其中θ∈(0,π),设对应的复数是z.(1)求复数z;(2)若复数z对应的点P在直线y=x上,求θ的值.解:(1)∵点A,B对应的复数分别是z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+icos 2θ,∴点A,B的坐标分别是A(sin2θ,1),B(-cos2θ,cos 2θ),∴=(-cos2θ,cos 2θ)-(sin2θ,1)=(-cos2θ-sin2θ,cos 2θ-1)= (-1,-2sin2θ).∴对应的复数z=-1+(-2sin2θ)i.(2)由(1)知点P的坐标是,代入y=x,得-2sin2θ=-,即sin2θ=,∴sin θ=±.又θ∈(0,π),∴sin θ=,∴θ=.6.若z∈C,且|z+2-2i|=1,求|z-2-2i|的最小值.解:设z=x+y i,x,y∈R,由|z+2-2i|=1,得|z-(-2+2i)|=1,表示以(-2,2)为圆心,1为半径的圆,如图所示,则|z-2-2i|=表示圆上的点与定点(2,2)的距离,由数形结合得|z-2-2i|的最小值为3.7.设z1=1+2a i,z2=a-i,a∈R,A={z||z-z1|<},B={z||z-z2|≤2},已知A∩B=⌀,求a的取值范围.解:因为z1=1+2a i,z2=a-i,|z-z1|<,即|z-(1+2a i)|<,|z-z2|≤2,即|z-(a-i)|≤2,由复数减法及模的几何意义知,集合A是以 (1,2a)为圆心,为半径的圆的内部的点对应的复数,集合B是以(a,-1)为圆心,2为半径的圆周及其内部的点所对应的复数,若A∩B=⌀,则两圆圆心距大于或等于半径和,即≥3,解得a≤-2或a≥.中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：第一章 导数及其应用 章末复习 Word版含答案
章末复习1．对于导数的定义，必须明确定义中包含的基本内容和Δx→0的方式，导数是函数的增量Δy与自变量的增量Δx的比ΔyΔx的极限，即limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．2．曲线的切线方程利用导数求曲线过点P的切线方程时应注意：(1)判断P点是否在曲线上；(2)如果曲线y＝f(x)在P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)，可得方程为x＝x0；P点坐标适合切线方程，P点处的切线斜率为f′(x0)．3．利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基本求导公式，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便．因此观察式子的特点，对式子进行适当的变形是优化解题过程的关键．4．判断函数的单调性(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间；(2)注意在某一区间内f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)是函数f (x )在该区间上为增(或减)函数的充分条件．5．利用导数研究函数的极值要注意(1)极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧领域而言的．(2)连续函数f (x )在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有极值点，函数的极大值与极小值没有必然的大小联系，函数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小．(3)可导函数的极值点一定是导数为零的点，但函数的导数为零的点，不一定是该函数的极值点．因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充要条件是加上这点两侧的导数异号．6．求函数的最大值与最小值(1)函数的最大值与最小值：在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )，在[a ，b ]上必有最大值与最小值；但在开区间(a ，b )内连续的函数f (x )不一定有最大值与最小值，例如：f (x )＝x 3，x ∈(－1,1)．(2)求函数最值的步骤一般地，求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上最大值与最小值的步骤如下： ①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；②将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．7．应用导数解决实际问题，关键在于建立恰当的数学模型(函数关系)，如果函数在区间内只有一个点x 0，使f ′(x 0)＝0，则f (x 0)是函数的最值.题型一 应用导数解决与切线相关的问题根据导数的几何意义，导数就是相应切线的斜率，从而就可以应用导数解决一些与切线相关的问题．例1 (2013·福建)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x .(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x (x ＞0)，∴f (1)＝1，f ′(1)＝－1，∴y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.(2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x ＞0.①当a ≤0时，f ′(x )＞0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a ＞0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a ；∵x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0，x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0∴f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值．综上当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．跟踪演练1 已知曲线C 的方程是y ＝x 3－3x 2＋2x . (1)求曲线在x ＝1处的切线方程；(2)若l 2：y ＝kx ，且直线l 2与曲线C 相切于点(x 0，y 0)(x 0≠0)，求直线l 2的方程及切点坐标． 解 (1)∵y ′＝3x 2－6x ＋2， ∴y ′|x ＝1＝3×1－6×1＋2＝－1. ∴l 1的斜率为－1，且过点(1,0)． ∴直线l 1的方程为y ＝－(x －1)， 即l 1的方程为x ＋y －1＝0.(2)直线l 2过原点，则k ＝y 0x 0(x 0≠0)，由点(x 0，y 0)在曲线C 上，得y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，∴y 0x 0＝x 20－3x 0＋2. ∵y ′＝3x 2－6x ＋2，∴k ＝3x 20－6x 0＋2.又k ＝y 0x 0，∴3x 20－6x 0＋2＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2， 整理得2x 20－3x 0＝0.∵x 0≠0，∴x 0＝32， 此时y 0＝－38，k ＝－14，因此直线l 2的方程为y ＝－14x ，切点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－38. 题型二 利用导数求函数的单调区间在区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内单调递增；在区间(a ，b )内，如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内单调递减． 例2 已知函数f (x )＝x －2x ＋a (2－ln x )，a ＞0.讨论f (x )的单调性．解 由题知，f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2.设g (x )＝x 2－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8.①当Δ＜0即0＜a ＜22时，对一切x ＞0都有f ′(x )＞0.此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．②当Δ＝0即a ＝22时，仅对x ＝2，有f ′(x )＝0，对其余的x ＞0都有f ′(x )＞0.此时f (x )也是(0，＋∞)上的单调递增函数．③当Δ＞0即a ＞22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0＜x 1＜x 2.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－82，a ＋a 2－82上单调递减， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增．跟踪演练2 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝(x －3)e x ，x ∈(0，＋∞)； (2)f (x )＝x (x －a )2.解 (1)f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，令f ′(x )＞0，解得x ＞2，又x ∈(0，＋∞)，所以函数的单调增区间(2，＋∞)，函数的单调减区间(0,2)． (2)函数f (x )＝x (x －a )2＝x 3－2ax 2＋a 2x 的定义域为R ， 由f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2＝0，得x 1＝a3，x 2＝a .①当a >0时，x 1<x 2.∴函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，a 3，(a ，＋∞)，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a 3，a . ②当a <0时，x 1>x 2，∴函数f (x )的单调递增区间为(－∞，a )，⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞， 单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a ，a3. ③当a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，∴函数f (x )的单调区间为(－∞，＋∞)，即f (x )在R 上是递增的．综上，a >0时，函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，a 3，(a ，＋∞)，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a3，a . a <0时，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，a )，⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a ，a3. a ＝0时，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)． 题型三 利用导数求函数的极值和最值 1．利用导数求函数极值的一般步骤 (1)确定函数f (x )的定义域； (2)解方程f ′(x )＝0的根；(3)检验f ′(x )＝0的根的两侧f ′(x )的符号． 若左正右负，则f (x )在此根处取得极大值； 若左负右正，则f (x )在此根处取得极小值； 否则，此根不是f (x )的极值点．2．求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最大值、最小值的方法与步骤 (1)求f (x )在(a ，b )内的极值；(2)将(1)求得的极值与f (a )、f (b )相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．特别地，①当f (x )在[a ，b ]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f (x )在(a ，b )内只有一个极值点时，若在这一点处f (x )有极大(或极小)值，则可以断定f (x )在该点处取得最大(最小)值， 这里(a ，b )也可以是(－∞，＋∞)． 例3 已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R ),(1)若f (x )在x ＝2时取得极值，求a 的值； (2)求f (x )的单调区间；(3)求证：当x ＞1时，12x 2＋ln x ＜23x 3.(1)解 f ′(x )＝x －a x ，因为x ＝2是一个极值点，所以2－a 2＝0，则a ＝4.此时f ′(x )＝x －4x ＝(x ＋2)(x －2)x ，因为f (x )的定义域是(0，＋∞)，所以当x ∈(0,2)时，f ′(x )＜0；当x ∈(2，＋∞)，f ′(x )＞0，所以当a ＝4时，x ＝2是一个极小值点，故a ＝4.(2)解 因为f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax ，所以当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．当a ＞0时，f ′(x )＝x －a x ＝x 2－a x ＝(x ＋a )(x －a )x，所以函数f (x )的单调递增区间(a ，＋∞)；递减区间为(0，a )．(3)证明 设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，则g ′(x )＝2x 2－x －1x，因为当x ＞1时，g ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x ＞0，所以g (x )在x ∈(1，＋∞)上是增函数，所以g (x )＞g (1)＝16＞0，所以当x ＞1时，12x 2＋ln x ＜23x 3.跟踪演练3 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b 的图象上一点P (1,0)，且在点P 处的切线与直线3x ＋y ＝0平行．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在区间[0，t ](0<t <3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x 的方程f (x )＝c 在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c 的取值范围．解 (1)因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ，曲线在P (1,0)处的切线斜率为：f ′(1)＝3＋2a ，即3＋2a ＝－3，a ＝－3.又函数过(1,0)点，即－2＋b ＝0，b ＝2.所以a ＝－3，b ＝2，f (x )＝x 3－3x 2＋2. (2)由f (x )＝x 3－3x 2＋2得，f ′(x )＝3x 2－6x . 由f ′(x )＝0得，x ＝0或x ＝2.①当0<t ≤2时，在区间(0，t )上f ′(x )<0，f (x )在[0，t ]上是减函数，所以f (x )max ＝f (0)＝2， f (x )min ＝f (t )＝t 3－3t 2＋2.②当2<t <3时，当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：min max f (t )－f (0)＝t 3－3t 2＝t 2(t －3)<0. 所以f (x )max ＝f (0)＝2.(3)令g (x )＝f (x )－c ＝x 3－3x 2＋2－c ， g ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．在x ∈[1,2)上，g ′(x )<0；在x ∈(2,3]上，g ′(x )>0.要使g (x )＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥0，g (2)<0，g (3)≥0，解得－2<c ≤0.题型四 导数与函数、不等式的综合应用利用导数研究函数是高考的必考内容，也是高考的重点、热点．考题利用导数作为工具，考查求函数的单调区间、函数的极值与最值，参数的取值范围等问题，若以选择题、填空题出现，以中低档题为主；若以解答题形式出现，则难度以中档以上为主，有时也以压轴题的形式出现．考查中常渗透函数、不等式等有关知识，综合性较强．例4 设函数f (x )＝－13x 3＋2ax 2－3a 2x ＋b (0<a <1)．(1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)若当x ∈[a ＋1，a ＋2]时，恒有|f ′(x )|≤a ，试确定a 的取值范围；(3)当a ＝23时，关于x 的方程f (x )＝0在区间[1,3]上恒有两个相异的实根，求实数b 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝－x 2＋4ax －3a 2＝－(x －a )(x －3a )． 令f ′(x )＝0，得x ＝a 或x ＝3a .当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：值，f (x )极小值＝f (a )＝b －43a 3；当x ＝3a 时，f (x )取得极大值，f (x )极大值＝f (3a )＝b .(2)f ′(x )＝－x 2＋4ax －3a 2，其对称轴为x ＝2a . 因为0<a <1，所以2a <a ＋1.所以f ′(x )在区间[a ＋1，a ＋2]上是减函数．当x ＝a ＋1时，f ′(x )取得最大值，f ′(a ＋1)＝2a －1； 当x ＝a ＋2时，f ′(x )取得最小值，f ′(a ＋2)＝4a －4.于是有⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≤a ，4a －4≥－a ，即45≤a ≤1.又因为0<a <1，所以45≤a <1.(3)当a ＝23时，f (x )＝－13x 3＋43x 2－43x ＋b .f ′(x )＝－x 2＋83x －43，由f ′(x )＝0，即－x 2＋83x －43＝0，解得x 1＝23，x 2＝2，即f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，23上是减函数， 在⎝⎛⎭⎫23，2上是增函数，在(2，＋∞)上是减函数． 要使f (x )＝0在[1,3]上恒有两个相异实根， 即f (x )在(1,2)，(2,3)上各有一个实根，于是有⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0，f (2)>0，f (3)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－13＋b ≤0，b >0，－1＋b ≤0，解得0<b ≤13.跟踪演练4 证明：当x ∈[－2,1]时，－113≤13x 3－4x ≤163.证明 令f (x )＝13x 3－4x ，x ∈[－2,1]，则f ′(x )＝x 2－4.因为x ∈[－2,1]，所以f ′(x )≤0， 即函数f (x )在区间[－2,1]上单调递减．故函数f (x )在区间[－2,1]上的最大值为f (－2)＝163，最小值为f (1)＝－113.所以，当x ∈[－2,1]时，－113≤f (x )≤163，即－113≤13x 3－4x ≤163成立．题型五 定积分及其应用定积分的几何意义表示曲边梯形的面积，它的物理意义表示做变速直线运动物体的位移或变力所做的功，所以利用定积分可求平面图形的面积以及变速运动的路程和变力做功等问题．利用定积分解决问题时要注意确定被积函数和积分上下限． 例5 求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝54π，y ＝0所围成图形的面积．解所求面积S ＝∫54π－π2||sin x d x＝－⎠⎛0－π2sin x d x ＋⎠⎛0πsin x d x －∫54ππsin x d x ＝1＋2＋⎝⎛⎭⎫1－22＝4－22. 跟踪演练5 求由曲线y ＝e x ，y ＝e －x及x ＝1所围成的图形面积．解如图，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝e x，y ＝e －x，解得交点为(0,1)．所求面积为S ＝⎠⎛01(e x －e －x )d x ＝(e x＋e －x)⎪⎪10＝e ＋1e－2.1．求函数中参数的取值范围问题，可以有两种类型：一是已知函数单调性(或极值)，求参数范围；二是已知函数最值(或恒成立)等性质，求参数范围．这两种类型从实质上讲，可以统一为：已知函数值的变化规律，探求其参数变化范围．2．在解决问题的过程中主要处理好下面的问题：(1)注意定义域；(2)函数在某区间上递增(或递减)的充要条件是：f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)，且f ′(x)不恒为零；(3)与函数最值有关问题要注意最值能否取得的情况，一般我们可以研究临界值取舍即可．高中数学学习技巧：在学习的过程中逐步做到：提出问题，实验探究，展开讨论，形成新知，应用反思。
高中数学人教A版选修2-2学案：第一章 1.7 定积分的简单应用含解析
定积分的简单应用预习课本P56～59，思考并完成下列问题(1)利用定积分求平面图形的面积时，需要知道哪些条件？(2)两条曲线相交围成的平面图形能否用定积分求其面积？[新知初探]1．定积分与平面图形面积的关系(1)已知函数f (x )在[a ，b ]上是连续函数，由直线y ＝0，x ＝a ，x ＝b 与曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积为S .f (x )的符号 平面图形的面积与定积分的关系f (x )≥0 S ＝⎠⎛a bf (x )d x f (x )<0S ＝－⎠⎛a b f (x )d x(2)一般地，如图，如果在公共的积分区间[a ，b ]上有f (x )>g (x )，那么直线x ＝a ，x ＝b 与曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )围成的平面图形的面积为S ＝⎠⎛a b[f (x )－g (x )]d x .[点睛] 对于不规则平面图形面积的处理原则定积分只能用于求曲边梯形的面积，对于非规则的曲边梯形，一般要将其分割或补形为规则的曲边梯形，再利用定积分的和与差求面积．对于分割或补形中的多边形的面积，可直接利用相关面积公式求解．2．变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b ]上的定积分，即s ＝⎠⎛a bv (t )d t .3．力做功(1)恒力做功：一物体在恒力F (单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移动了s ，则力F 所做的功为W ＝Fs .(2)变力做功：如果物体在变力F (x )的作用下做直线运动，并且物体沿着与F (x )相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b (a <b )，那么变力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛a bF (x )d x .[点睛] 变速直线运动物体的路程、位移与定积分的关系如果做变速直线运动物体的速度－时间函数为v ＝v (t )，则物体在区间[a ，b ]上的位移为定积分⎠⎛a bv (t )d t ；物体在区间[a ，b ]上的路程为⎠⎛a b|v (t )|d t .[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)曲线y ＝x 3与直线x ＋y ＝2，y ＝0围成的图形面积为⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12(2－x )d x .( ) (2)曲线y ＝3－x 2与直线y ＝－1围成的图形面积为⎠⎛－2 2(4－x 2)d x .( )(3)速度是路程与时间的函数关系的导数．( )(4)一个物体在2≤t ≤4时，运动速度为v (t )＝t 2－4t ，则它在这段时间内行驶的路程为⎠⎛24(t 2－4t )d t .( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．曲线y ＝cos x ⎝⎛⎭⎫0≤x ≤3π2与坐标轴所围成的图形面积是( ) A ．2 B ．3 C.52 D ．4答案：B3．已知做自由落体运动的物体的速度为v ＝gt ，则物体从t ＝0到t ＝t 0所走过的路程为( )A.13gt 20B. gt 20C. 12gt 20D.14gt 20答案：C4．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v (t )＝27－0.9t ，则列车从刹车到停车所前进的路程为________．答案：405利用定积分求平面图形的面积[典例] 求抛物线y 2＝2x 和直线y ＝－x ＋4所围成的图形的面积．[解] 先求抛物线和直线的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝－x ＋4，求出交点坐标为A (2,2)和B (8，－4)．法一：选x 为积分变量，变化区间为[0,8]，将图形分割成两部分(如图)，则面积为S ＝S 1＋S 2＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28()2x －x ＋4d x ＝423x 3220＋⎝⎛⎭⎫223x 32－12x 2＋4x 82＝18.法二：选y 作积分变量，则y 的变化区间为[－4,2]，如图得所求的面积为 S ＝⎠⎛2－4⎝⎛⎭⎫4－y －y22d y ＝⎝⎛⎭⎫4y －y 22－y362－4＝18.利用定积分求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤 (1)画出图形．(2)确定图形范围，通过方程组求出交点的横坐标，确定积分上限和积分下限． (3)确定被积函数及积分变量，确定时可以综合考察下列因素：①被积函数的原函数易求；②较少的分割区域；③积分上限和积分下限比较简单． (4)写出平面图形的面积的定积分表达式．(5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积． [活学活用]求曲线y ＝e x ，y ＝e －x 及直线x ＝1所围成的图形的面积．解： 如图，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝e x ，y ＝e －x ，解得交点为(0,1)， 所求面积为S ＝⎠⎛01(e x －e －x )d x ＝(e x ＋e －x )10＝e ＋1e －2.求变速直线运动的路程、位移[典例] 有一动点P 从原点出发沿x 轴运动，在时刻为t 时的速度为v (t )＝8t －2t 2(速度的正方向与x 轴正方向一致)．求(1)t ＝6时，点P 离开原点后运动的路程和点P 的位移； (2)经过时间t 后又返回原点时的t 值． [解] (1)由v (t )＝8t －2t 2≥0得0≤t ≤4， 即当0≤t ≤4时，P 点沿x 轴正方向运动， 当t >4时，P 点向x 轴负方向运动． 故t ＝6时，点P 离开原点后运动的路程 s 1＝⎠⎛04(8t －2t 2)d t －⎠⎛46(8t －2t 2)d t ＝⎝⎛⎭⎫4t 2－23t 3⎪⎪⎪ 40－⎝⎛⎭⎫4t 2－23t 3⎪⎪⎪64＝1283. 当t ＝6时，点P 的位移为⎠⎛06(8t －2t 2)d t ＝⎝⎛⎭⎫4t 2－23t 3⎪⎪⎪60＝0.(2)依题意，⎠⎛0t(8t －2t 2)d t ＝0， 即4t 2－23t 3＝0，解得t ＝0或t ＝6，因为t ＝0对应于点P 刚开始从原点出发的情况，所以t ＝6为所求，(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误．[活学活用]一质点在直线上从时刻t ＝0(s)开始以速度v ＝t 2－4t ＋3(m/s)运动，求点在t ＝4 s 时的位置及经过的路程．解：在t ＝4 s 时该点的位移为 ⎠⎛04(t 2－4t ＋3)d t ＝⎝⎛⎭⎫13t 3－2t 2＋3t ⎪⎪⎪4＝43(m)． 即在t ＝4 s 时该点距出发点43m.又因为v (t )＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)， 所以在区间[0,1]及[3,4]上的v (t )≥0， 在区间[1,3]上，v (t )≤0.所以在t ＝4 s 时的路程为s ＝⎠⎛01(t 2－4t ＋3)d t －⎠⎛13(t 2－4t ＋3)d t ＋⎠⎛34(t 2－4t ＋3)d t ＝⎝⎛⎭⎫t 33－2t 2＋3t ⎪⎪⎪1－⎝⎛⎭⎫t 33－2t 2＋3t ⎪⎪⎪31＋⎝⎛⎭⎫t 33－2t 2＋3t ⎪⎪⎪ 43＝4(m).求变力做功[典例] 一物体在变力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，0≤x ≤2，x 2＋2x ，2≤x ≤5，(x 的单位：m ，F 的单位：N)的作用下，沿着与力F 相同的方向从x ＝0运动到x ＝5处，求变力所做的功．[解] 变力F (x )所做的功为 W ＝⎠⎛02(2x ＋4)d x ＋⎠⎛25(x 2＋2x )d x＝(x 2＋4x ) ⎪⎪⎪2＋⎝⎛⎭⎫13x 3＋x 2⎪⎪⎪52＝12＋60＝72(J)．求变力做功的方法步骤(1)要明确变力的函数式F (x )，确定物体在力的方向上的位移． (2)利用变力做功的公式W ＝⎠⎛ab F (x )d x 计算．(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳． [活学活用]在弹性限度内，用力把弹簧从平衡位置拉长10 cm 所用的力是200 N ，求变力F 做的功． 解：设弹簧所受到的拉力与弹簧伸长的函数关系式为F (x )＝kx (k >0)，当x ＝10 cm ＝0.1 m 时，F (x )＝200 N ，即0.1k ＝200，得k ＝2 000，故F (x )＝2 000x ， 所以力F 把弹簧从平衡位置拉长10 cm 所做的功是W ＝⎠⎛0 0.12 000x d x ＝1 000x 2⎪⎪⎪1＝10(J)．层级一 学业水平达标1．在下面所给图形的面积S 及相应的表达式中，正确的有( )A ．①③B ．②③C ．①④D ．③④解析：选D ①应是S ＝⎠⎛a b[f (x )－g (x )]d x ，②应是S ＝⎠⎛0822x d x －⎠⎛48(2x －8)d x ，③和④正确．故选D.2．一物体以速度v ＝(3t 2＋2t )m/s 做直线运动，则它在t ＝0 s 到t ＝3 s 时间段内的位移是( )A ．31 mB ．36 mC ．38 mD ．40 m解析：选B S ＝⎠⎛03(3t 2＋2t )d t ＝(t 3＋t 2)30＝33＋32＝36(m)，故应选B. 3.如图所示，阴影部分的面积是( ) A ．2 3 B ．2－ 3 C.323D.353解析：选C S ＝⎠⎛-3 1(3－x 2－2x )d x ，即F (x )＝3x －13x 3－x 2，则F (1)＝3－13－1＝53，F (－3)＝－9＋9－9＝－9.∴S ＝F (1)－F (－3)＝53＋9＝323.故应选C.4．由y ＝x 2，y ＝14x 2及x ＝1围成的图形的面积S ＝( )A.14B.12C.13D ．1解：选A 图形如图所示，S ＝⎠⎛01x 2d x －⎠⎛0114x 2d x＝⎠⎛0134x 2d x＝14x 310＝14. 5．曲线y ＝x 3－3x 和y ＝x 围成的图形面积为( ) A ．4 B ．8 C ．10D ．9解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 3－3x ，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2.∵两函数y ＝x 3－3x 与y ＝x 均为奇函数，∴S ＝2⎠⎛02[x －(x 3－3x )]d x ＝2·⎠⎛02(4x －x 3)d x＝2⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 4⎪⎪⎪20＝8，故选B.6．若某质点的初速度v (0)＝1，其加速度a (t )＝6t ，做直线运动，则质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为________．解析：v (2)－v (0)＝⎠⎛02a (t )d t ＝⎠⎛026t d t ＝3t 2⎪⎪⎪2＝12，所以v (2)＝v (0)＋3×22＝1＋12＝13. 答案：137．一物体沿直线以速度v ＝1＋t m/s 运动，该物体运动开始后10 s 内所经过的路程是______．解析：S ＝⎠⎛0101＋t d t ＝23(1＋t )32 ⎪⎪⎪10＝23⎝⎛⎭⎫1132－1. 答案： 23⎝⎛⎭⎫1132－1 8．由y ＝1x，x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形的面积为________．解析：画出曲线y ＝1x (x >0)及直线x ＝1，x ＝2，y ＝0，则所求面积S 为如图所示的阴影部分面积．∴S ＝⎠⎛121x d x ＝ln x ⎪⎪⎪21＝ln 2－ln 1＝ln 2.答案：ln 29．计算曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围图形的面积．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝x 2－2x ＋3，解得x ＝0及x ＝3.从而所求图形的面积S ＝⎠⎛03[(x ＋3)－(x 2－2x ＋3)]d x ＝⎠⎛03(－x 2＋3x )d x ＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋32x 2⎪⎪⎪30＝92. 10. 设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2. (1)求y ＝f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积． 解：(1)∵y ＝f (x )是二次函数且f ′(x )＝2x ＋2， ∴设f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又f (x )＝0有两个等根，∴4－4c ＝0，∴c ＝1，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)y ＝f (x )的图象与两坐标所围成的图形的面积S ＝⎠⎛-10(x 2＋2x ＋1)d x ＝13x 3＋x 2＋x ⎪⎪⎪-1＝13. 层级二 应试能力达标1．一物体在力F (x )＝4x －1(单位：N)的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x ＝1运动到x ＝3处(单位：m)，则力F (x )所做的功为( )A ．8 JB ．10 JC ．12 JD ．14 J解析：选D 由变力做功公式有：W ＝⎠⎛13(4x －1)d x ＝(2x 2－x ) ⎪⎪⎪31＝14(J)，故应选D.2．若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t 的函数，若已知产量的变化率为a ＝36t，那么从3小时到6小时期间内的产量为( )A.12B ．3－322 C ．6＋3 2D ．6－3 2解析：选D ⎠⎛3636t d t ＝6t ⎪⎪⎪63＝6－32，故应选D.3．以初速40 m/s 竖直向上抛一物体，t s 时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )A.1603 m B.803 m C.403m D.203m 解析：选A 由v ＝40－10t 2＝0，得t 2＝4，t ＝2. ∴h ＝⎠⎛02(40－10t 2)d t ＝⎝⎛⎭⎫40t －103t 3⎪⎪⎪2＝80－803＝1603(m)．故选A. 4．(山东高考)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2D ．4解析：选D 由4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛02(4x －x 3)d x＝⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 4⎪⎪⎪2＝4.5．椭圆x 216＋y 29＝1所围区域的面积为________．解析：由x 216＋y 29＝1，得y ＝±3416－x 2.又由椭圆的对称性知，椭圆的面积为S ＝4⎠⎛043416－x 2d x ＝3⎠⎛0416－x 2d x. 由y ＝16－x 2，得x 2＋y 2＝16(y ≥0)．由定积分的几何意义知⎠⎛0416－x 2d x 表示由直线x ＝0，x ＝4和曲线x 2＋y 2＝16(y ≥0)及x 轴所围成图形的面积，∴⎠⎛0416－x 2d x ＝14×π×16＝4π，∴S ＝3×4π＝12π.答案：12π6.如图，在边长为e (e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为____________．解析：∵S 阴＝2⎠⎛01(e －e x )d x ＝2(e x －e x ) ⎪⎪⎪1＝2，S 正方形＝e 2，∴P ＝2e 2.答案：2e27．求由曲线xy ＝1及直线x ＝y ，y ＝3所围成平面图形的面积．解：作出曲线xy ＝1，直线x ＝y ，y ＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．求交点坐标：由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝3，故A ⎝⎛⎭⎫13，3；由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝x ， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1(舍去)， 故B(1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，故C(3,3)，8．函数f(x)＝ax 3＋bx 2－3x ，若f(x)为实数集R 上的单调函数，且a ≥－1，设点P 的坐标为(b ，a )，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S .解：当a ＝0时，由f (x )在R 上单调，知b ＝0.当a ≠0时，f (x )在R 上单调⇔f ′(x )≥0恒成立或f ′(x )≤0恒成立．∵f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4b 2＋36a ≤0，a ≥－1.∴a ≤－19b 2且a ≥－1.因此满足条件的点P (b ，a )在直角坐标平面xOy 的轨迹所围成的图形是由曲线y ＝－19x 2与直线y ＝－1所围成的封闭图形．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－19x 2，y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，如图，其面积S ＝⎠⎛3－3⎝⎛⎭⎫1－19x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫x －x 327⎪⎪⎪3-3＝(3－1)－(－3＋1)＝4.(时间： 120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若f (x )＝sin α－cos x ，则f ′(x )等于( ) A ．sin x B ．cos x C ．cos α＋sin xD ．2sin α＋cos x解析：选A 函数是关于x 的函数，因此sin α是一个常数．2．以正弦曲线y ＝sin x 上一点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π B ．[0，π) C.⎣⎡⎦⎤π4，3π4D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4 解析：选A y ′＝cos x ，∵cos x ∈[－1,1]，∴切线的斜率范围是[－1,1]，∴倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 3．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选A 设极值点依次为x 1，x 2，x 3且a ＜x 1＜x 2＜x 3＜b ，则f (x )在(a ，x 1)，(x 2，x 3)上递增，在(x 1，x 2)，(x 3，b )上递减，因此，x 1，x 3是极大值点，只有x 2是极小值点．4．函数f (x )＝x 2－ln x 的单调递减区间是( ) A. ⎝⎛⎦⎤0， 22 B.⎣⎡⎭⎫22，＋∞ C. ⎝⎛⎦⎤－∞，－22，⎝⎛⎭⎫0， 22 D.⎣⎡⎭⎫－22， 0，⎝⎛⎦⎤0， 22 解析：选A ∵f ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x ，当0＜x ≤22时，f ′(x )≤0，故f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎦⎤0，22. 5．函数f (x )＝3x －4x 3(x ∈[0,1])的最大值是( ) A ．1 B.12 C ．0D ．－1解析：选A f ′(x )＝3－12x 2，令f ′(x )＝0， 则x ＝－12(舍去)或x ＝12，f (0)＝0，f (1)＝－1，f ⎝⎛⎭⎫12＝32－12＝1，∴f (x )在[0,1]上的最大值为1.6．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3处取得极值，则a ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选D f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，∵f ′(－3)＝0. ∴3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，∴a ＝5.7．函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－310，67 B.⎝⎛⎭⎫－85，－316 C.⎝⎛⎭⎫－83，－116 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－310∪⎝⎛⎭⎫67，＋∞ 解析：选D f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x ＋2)(x －1)，要使函数f (x )的图象经过四个象限，则f (－2)f (1)<0，即⎝⎛⎭⎫103a ＋1⎝⎛⎭⎫－76a ＋1<0，解得a <－310或a >67. 故选D.8.已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是( )解析：选D 由导函数图象可知，当x <0时，函数f (x )递减，排除A 、B ；当0<x <x 1时，f ′(x )>0，函数f (x )递增．因此，当x ＝0时，f (x )取得极小值，故选D.9．定义域为R 的函数f (x )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )>12，则满足2f (x )<x ＋1的x 的集合为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x <1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x >1}解析：选B 令g (x )＝2f (x )－x －1，∵f ′(x )>12，∴g ′(x )＝2f ′(x )－1>0，∴g (x )为单调增函数， ∵f (1)＝1，∴g (1)＝2f (1)－1－1＝0，∴当x <1时， g (x )<0，即2f (x )<x ＋1，故选B.10．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2，生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x ＞0)，为使利润最大，应生产( )A ．6千台B ．7千台C ．8千台D ．9千台解析：选A 设利润为y ，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝18x 2－2x 3，y ′＝36x －6x 2，令y ′＝0得x ＝6或x ＝0(舍)，f (x )在(0,6)上是增函数，在(6，＋∞)上是减函数，∴x ＝6时y 取得最大值．11．已知定义在R 上的函数f (x )，f (x )＋x ·f ′(x )＜0，若a ＜b ，则一定有( ) A ．af (a )＜bf (b ) B ．af (b )＜bf (a ) C ．af (a )＞bf (b )D ．af (b )＞bf (a )解析：选C [x ·f (x )]′＝x ′f (x )＋x ·f ′(x )＝f (x )＋x ·f ′(x )＜0， ∴函数x ·f (x )是R 上的减函数， ∵a ＜b ，∴af (a )＞bf (b )．12．若函数f (x )＝sin x x ，且0<x 1<x 2<1，设a ＝sin x 1x 1，b ＝sin x 2x 2，则a ，b 的大小关系是( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a ，b 的大小不能确定解析：选A f ′(x )＝x cos x －sin xx 2，令g (x )＝x cos x －sin x ，则g ′(x )＝－x sin x ＋cos x－cos x ＝－x sin x .∵0<x <1，∴g ′(x )<0，即函数g (x )在(0,1)上是减函数，得g (x )<g (0)＝0，故f ′(x )<0，函数f (x )在(0,1)上是减函数，得a >b ，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上) 13．若f (x )＝13x 3－f ′(1)x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝________.解析：f ′(x )＝x 2－2f ′(1)x ＋1，令x ＝1，得f ′(1)＝23.答案：2314．设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝__________.解析：S ＝⎠⎛0ax d x ＝23x 32a0＝23a 32＝a 2，∴a ＝49. 答案：4915．已知函数f (x )满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，f (x )＝x ＋sin x ，设a ＝f (1)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：f (2)＝f (π－2)，f (3)＝f (π－3)， 因为f ′(x )＝1＋cos x ≥0， 故f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数， ∵π2>π－2>1>π－3>0， ∴f (π－2)>f (1)>f (π－3)，即c <a <b . 答案：c <a <b 16．若函数f (x )＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________．解析：f ′(x )＝4－4x 2(x 2＋1)2，令f ′(x )＞0，得－1＜x ＜1，即函数f (x )的增区间为(－1,1)． 又f (x )在(m,2m ＋1)上单调递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，m ＜2m ＋1，2m ＋1≤1.解得－1＜m ≤0.答案：(－1,0]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f (x )的极值点．已知a ，b 是实数，1和－1是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点．(1)求a 和b 的值；(2)设函数g (x )的导函数g ′(x )＝f (x )＋2，求g (x )的极值点． 解：(1)由题设知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，且f ′(－1)＝3－2a ＋b ＝0，f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0， 解得a ＝0，b ＝－3. (2)由(1)知f (x )＝x 3－3x . 因为f (x )＋2＝(x －1)2(x ＋2)，所以g ′(x )＝0的根为x 1＝x 2＝1，x 3＝－2， 于是函数g (x )的极值点只可能是1或－2. 当x ＜－2时，g ′(x )＜0；当－2＜x ＜1时， g ′(x )＞0，故－2是g (x )的极值点． 当－2＜x ＜1或x ＞1时，g ′(x )＞0， 故1不是g (x )的极值点． 所以g (x )的极值点为－2.18. (本小题满分12分)(北京高考)设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间． 解：(1)因为f (x )＝x e a －x ＋bx ， 所以f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b .依题设有⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝2e ＋2，f ′(2)＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知f(x)＝x e2－x＋e x.由f′(x)＝e2－x(1－x＋e x－1)及e2－x>0知，f′(x)与1－x＋e x－1同号．令g(x)＝1－x＋e x－1，则g′(x)＝－1＋e x－1.所以当x∈(－∞，1)时，g′(x)<0，g(x)在区间(－∞，1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．故g(1)＝1是g(x)在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g(x)>0，x∈(－∞，＋∞)．综上可知，f′(x)>0，x∈(－∞，＋∞)，故f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．19．(本小题满分12分)某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x(x≥0)万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元，其中f(x)＝a(x－1)＋2，g(x)＝6ln(x＋b)(a＞0，b＞0)．已知投资额为零时收益为零．(1)求a，b的值；(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润．解：(1)由投资额为零时收益为零，可知f(0)＝－a＋2＝0，g(0)＝6ln b＝0，解得a＝2，b＝1.(2)由(1)可得f(x)＝2x，g(x)＝6ln(x＋1)．设投入经销B商品的资金为x万元(0＜x≤5)，则投入经销A商品的资金为(5－x)万元，设所获得的收益为S(x)万元，则S(x)＝2(5－x)＋6ln(x＋1)＝6ln(x＋1)－2x＋10(0＜x≤5)．S′(x)＝6x＋1－2，令S′(x)＝0，得x＝2.当0＜x＜2时，S′(x)＞0，函数S(x)单调递增；当2＜x≤5时，S′(x)＜0，函数S(x)单调递减．所以当x＝2时，函数S(x)取得最大值，S(x)max＝S(2)＝6ln 3＋6≈12.6万元．所以，当投入经销A商品3万元，B商品2万元时，他可获得最大收益，收益的最大值约为12.6万元．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋2ln(1－x )(a 为常数)．(1)若f (x )在x ＝－1处有极值，求a 的值并判断x ＝－1是极大值点还是极小值点； (2)若f (x )在[－3，－2]上是增函数，求a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝2ax －21－x，x ∈(－∞，1)， f ′(－1)＝－2a －1＝0， 所以a ＝－12.f ′(x )＝－x －21－x ＝(x ＋1)(x －2)1－x. ∵x <1，∴1－x >0，x －2<0， 因此，当x <－1时f ′(x )>0， 当－1<x <1时f ′(x )<0， ∴x ＝－1是f (x )的极大值点．(2)由题意f ′(x )≥0在x ∈[－3，－2]上恒成立， 即2ax －21－x≥0在x ∈[－3，－2]上恒成立 ∴a ≤1－x 2＋x 在x ∈[－3，－2]上恒成立，∵－x 2＋x ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14 ∈[－12，－6]， ∴1－x 2＋x ∈⎣⎡⎦⎤－16，－112， ∴⎝⎛⎭⎫1－x 2＋ x min ＝－16，a ≤－16.即a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－16. 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－m ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a . (1)当a ＝0时，f (x )≥h (x )在(1，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；(2)当m ＝2时，若函数k (x )＝f (x )－h (x )在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围．解：(1)由f (x )≥h (x )， 得m ≤xln x在(1，＋∞)上恒成立． 令g (x )＝xln x ，则g ′(x )＝ln x －1(ln x )2， 当x ∈(1，e)时，g ′(x )＜0；当x ∈(e ，＋∞)时，g ′(x )＞0，所以g (x )在(1，e)上递减，在(e ，＋∞)上递增． 故当x ＝e 时，g (x )的最小值为g (e)＝e. 所以m ≤e.即m 的取值范围是(－∞，e]． (2)由已知可得k (x )＝x －2ln x －a . 函数k (x )在(1,3)上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x )＝x －2ln x 与直线y ＝a 有两个不同的交点． φ′(x )＝1－2x ＝x －2x，当x ∈(1,2)时，φ′(x )＜0，φ(x )递减， 当x ∈(2,3)时，φ′(x )＞0，φ(x )递增． 又φ(1)＝1，φ(2)＝2－2ln 2，φ(3)＝3－2ln 3， 要使直线y ＝a 与函数φ(x )＝x －2ln x 有两个交点， 则2－2ln 2＜a ＜3－2ln 3.即实数a 的取值范围是(2－2ln 2,3－2ln 3)．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(x －2)e x ＋a (x －1)2有两个零点． (1)求a 的取值范围；(2)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：x 1＋x 2<2. 解：(1)f ′(x )＝(x －1)e x ＋2a (x －1)＝(x －1)(e x ＋2a )． ①设a ＝0，则f (x )＝(x －2)e x ，f (x )只有一个零点． ②设a >0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增． 又f (1)＝－e ，f (2)＝a ，取b 满足b <0且b <ln a2，则f (b )>a2(b －2)＋a (b －1)2＝a ⎝⎛⎭⎫b 2－32b >0， 故f (x )存在两个零点．③设a <0，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )． 若a ≥－e2，则l n(－2a )≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，因此f (x )在(1，＋∞)内单调递增． 又当x ≤1时，f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点． 若a <－e2，则ln(－2a )>1，故当x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)<0；当x∈(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)>0.因此f(x)在(1，ln(－2a))内单调递减，在(ln(－2a)，＋∞)内单调递增．又当x≤1时，f(x)<0，所以f(x)不存在两个零点．综上，a的取值范围为(0，＋∞)．(2)证明：不妨设x1<x2，由(1)知，x1∈(－∞，1)，x2∈(1，＋∞)，2－x2∈(－∞，1)，又f(x)在(－∞，1)内单调递减，所以x1＋x2<2等价于f(x1)>f(2－x2)，即f(2－x2)<0.由于f(2－x2)＝－x2e2－x2＋a(x2－1)2，而f(x2)＝(x2－2)e x2＋a(x2－1)2＝0，所以f(2－x2)＝－x2e2－x2－(x2－2)e x2.设g(x)＝－x e2－x－(x－2)e x，则g′(x)＝(x－1)(e2－x－e x)．所以当x>1时，g′(x)<0，而g(1)＝0，故当x>1时，g(x)<0.从而g(x2)＝f(2－x2)<0，故x1＋x2<2.。
高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：1.6 微积分基本定理 Word版含答案
1.6 微积分基本定理[学习目标]1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的定积分． [知识链接]1．导数与定积分有怎样的联系？答 导数与定积分都是微积分学中两个最基本、最重要的概念，运用它们之间的联系，我们可以找出求定积分的方法，求导数与定积分是互为逆运算．2．在下面图(1)、图(2)、图(3)中的三个图形阴影部分的面积分别怎样表示？答 根据定积分与曲边梯形的面积的关系知： 图(1)中S ＝⎠⎛ab f (x )d x ，图(2)中S ＝－⎠⎛ab f (x )d x ，图(3)中S ＝⎠⎛0b f (x )d x －⎠⎛a0f (x )d x .[预习导引] 1．微积分基本定理如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )．2．函数f (x )与其一个原函数的关系 (1)若f (x )＝c (c 为常数)，则F (x )＝cx ； (2)若f (x )＝x n (n ≠－1)，则F (x )＝1n ＋1·x n ＋1；(3)若f (x )＝1x ，则F (x )＝ln_x (x >0)；(4)若f (x )＝e x ，则F (x )＝e x ；(5)若f (x )＝a x，则F (x )＝a xln a(a >0且a ≠1)；(6)若f (x )＝sin x ，则F (x )＝－cos_x ； (7)若f (x )＝cos x ，则F (x )＝sin_x .要点一 求简单函数的定积分 例1 计算下列定积分 (1)⎠⎛123d x ； (2)⎠⎛02(2x ＋3)d x ；(3)⎠⎛3－1(4x －x 2)d x ； (4)⎠⎛12(x －1)5d x .解 (1)因为(3x )′＝3，所以⎠⎛123d x ＝(3x )⎪⎪⎪21＝3×2－3×1＝3. (2)因为(x 2＋3x )′＝2x ＋3， 所以⎠⎛02(2x ＋3)d x ＝(x 2＋3x )⎪⎪⎪2＝22＋3×2－(02＋3×0)＝10.(3)因为⎝⎛⎭⎫2x 2－x33′＝4x －x 2， 所以⎠⎛3－1(4x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－x 33⎪⎪⎪3－1＝⎝⎛⎭⎫2×32－333－⎣⎡⎦⎤2×(－1)2－(－1)33＝203. (4)因为⎣⎡⎦⎤16(x －1)6′＝(x －1)5， 所以⎠⎛21(x －1)5d x＝16(x －1)6⎪⎪⎪21＝16(2－1)6－16(1－1)6 ＝16. 规律方法 (1)用微积分基本定理求定积分的步骤： ①求f (x )的一个原函数F (x )； ②计算F (b )－F (a )． (2)注意事项：①有时需先化简，再求积分；②f (x )的原函数有无穷多个，如F (x )＋c ，计算时，一般只写一个最简单的，不再加任意常数c .跟踪演练1 求下列定积分： (1)∫π20(3x ＋sin x )d x ；(2)⎠⎛21⎝⎛⎭⎫e x －1x d x . 解 (1)∵⎝⎛⎭⎫32x 2－cos x ′＝3x ＋sin x ， ∴∫π20(3x ＋sin x )d x ＝⎝⎛⎭⎫32x 2－cos x ⎪⎪⎪⎪π20＝⎣⎡⎦⎤32×⎝⎛⎭⎫π22－cos π2－⎝⎛⎭⎫32×0－cos 0＝3π28＋1； (2)∵(e x －ln x )′＝e x －1x，∴⎠⎛21(e x－1x )d x ＝()e x －ln x ⎪⎪⎪21＝(e 2－ln 2)－(e －0) ＝e 2－e －ln 2.要点二 求较复杂函数的定积分 例2 求下列定积分：(1)⎠⎛41x (1－x )d x ； (2)∫π202cos 2x2d x ；(3)⎠⎛41(2x ＋1x)d x . 解 (1)∵x (1－x )＝x －x ， 又∵⎝⎛⎭⎫23x 32－12x 2′＝x －x . ∴⎠⎛41x (1－x )d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32－12x 2⎪⎪⎪41 ＝⎝⎛⎭⎫23×432－12×42－⎝⎛⎭⎫23－12＝－176. (2)∵2cos 2x2＝1＋cos x ，(x ＋sin x )′＝1＋cos x ，∴原式＝∫π20(1＋cos x )d x ＝(x ＋sin x )⎪⎪⎪⎪π20＝π2＋1.(3)∵⎝⎛⎭⎫2xln 2＋2x ′＝2x ＋1x，∴⎠⎛41(2x＋1x)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x ln 2＋2x ⎪⎪⎪41 ＝⎝⎛⎭⎫24ln 2＋24－⎝⎛⎭⎫2ln 2＋2＝14ln 2＋2. 规律方法 求较复杂函数的定积分的方法：(1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后求解，具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数、正、余弦函数、指数、对数函数与常数的和与差． (2)确定积分区间，分清积分下限与积分上限． 跟踪演练2 计算下列定积分： (1)∫π30(sin x －sin 2x )d x ；(2)⎠⎛0ln 2e x (1＋e x )d x .解 (1)sin x －sin 2x 的一个原函数是－cos x ＋ 12cos 2x ，所以∫π30(sin x －sin 2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫－cos x ＋12cos 2x ⎪⎪⎪⎪π30＝⎝⎛⎭⎫－12－14－⎝⎛⎭⎫－1＋12＝－14. (2)∵e x (1＋e x )＝e x ＋e 2x ， ∴⎝⎛⎭⎫e x ＋12e 2x ′＝e x ＋e 2x ， ∴⎠⎛0ln 2e x (1＋e x )d x ＝⎠⎛0ln 2()e x＋e2xd x＝⎝⎛⎭⎫e x ＋12e 2x ⎪⎪⎪ln 2＝e ln 2＋12e 2ln 2－e 0－12e 0＝2＋12×4－1－12＝52.要点三 定积分的简单应用例3 已知f (a )＝⎠⎛10(2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值．解 ∵⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2′＝2ax 2－a 2x ， ∴⎠⎛10(2ax 2－a 2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2⎪⎪⎪10＝23a －12a 2， 即f (a )＝23a －12a 2＝－12⎝⎛⎭⎫a 2－43a ＋49＋29 ＝－12⎝⎛⎭⎫a －232＋29， ∴当a ＝23时，f (a )有最大值29.规律方法 定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考查，解题过程中注意体会转化思想的应用． 跟踪演练3 已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛10f (x )d x ＝－2，求a 、b 、c 的值．解 由f (－1)＝2，得a －b ＋c ＝2. ① 又f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0， ②而⎠⎛10f (x )d x ＝⎠⎛10(ax 2＋bx ＋c )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋12bx 2＋cx ⎪⎪⎪1＝13a ＋12b ＋c ， ∴13a ＋12b ＋c ＝－2， ③由①②③式得a ＝6，b ＝0，c ＝－4. 要点四 求分段函数的定积分 例4 计算下列定积分：(1)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (x ≤0)cos x －1 (x >0)，求∫π2－1f (x )d x ；(2)⎠⎛30|x 2－4|d x .解 (1)∫π2－1f (x )d x ＝⎠⎛0－1x 2d x ＋∫π20(cos x －1)d x ，又∵⎝⎛⎭⎫13x 3′＝x 2，(sin x －x )′＝cos x －1 ∴原式＝13x 3⎪⎪⎪0－1＋(sin x －x )⎪⎪⎪⎪π20＝⎝⎛⎭⎫0＋13＋⎝⎛⎭⎫sin π2－π2－(sin 0－0) ＝43－π2.(2)∵|x 2－4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4 (x ≥2或x ≤－2)，4－x 2(－2<x <2)， 又∵⎝⎛⎭⎫13x 3－4x ′＝x 2－4，⎝⎛⎭⎫4x －13x 3′＝4－x 2， ∴⎠⎛30|x 2－4|d x ＝⎠⎛20(4－x 2)d x ＋⎠⎛32(x 2－4)d x＝⎝⎛⎭⎫4x －13x 3⎪⎪⎪20＋⎝⎛⎭⎫13x 3－4x ⎪⎪⎪32 ＝⎝⎛⎭⎫8－83－0＋(9－12)－⎝⎛⎭⎫83－8＝233. 规律方法 (1)求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表示为几段积分和的形式； (2)带绝对值的解析式，先根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝对值号，化为分段函数； (3)含有字母参数的绝对值问题要注意分类讨论． 跟踪演练4 求⎠⎛3－3(|2x ＋3|＋|3－2x |)d x .解 ∵|2x ＋3|＋|3－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ，x <－32，6，－32≤x ≤32，4x ，x >32，∴⎠⎛3－3(|2x ＋3|＋|3－2x |)d x＝∫－32－3(－4x )d x ＋∫32－326d x ＋∫3324x d x＝－2x 2⎪⎪⎪⎪－32－3＋6x ⎪⎪⎪32－32＋2x 2⎪⎪⎪⎪332＝45.1．∫π2－π2(1＋cos x )d x 等于( )A ．πB ．2C ．π－2D ．π＋2答案 D解析 ∵(x ＋sin x )′＝1＋cos x ， ∴⎪⎪∫π2－π2(1＋cos x )d x ＝(x ＋sin x )π2－π2＝π2＋sin π2－⎣⎡⎦⎤－π2＋sin ⎝⎛⎭⎫－π2＝π＋2. 2．若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2答案 D解析 ⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝⎠⎛1a 2x d x ＋⎠⎛1a 1xd x ＝x 2|a 1＋ ln x ⎪⎪a1＝a 2－1＋ln a ＝3＋ln 2，解得a ＝2.3．⎠⎛02⎝⎛⎭⎫x 2－23x d x ＝________. 答案 43解析 ⎠⎛02⎝⎛⎭⎫x 2－23x d x ＝⎠⎛02x 2d x －⎠⎛0223x d x ＝x 33⎪⎪⎪⎪20－x 2320＝83－43＝43. 4．已知f (x )＝⎩⎨⎧4x －2π，0≤x ≤π2，cos x ，π2<x ≤π，计算⎠⎛0πf (x )d x .解 ⎠⎛0πf (x )d x ＝∫π20f (x )d x ＋错误!f (x )d x＝∫π20(4x －2π)d x ＋错误!cos x d x ，取F 1(x )＝2x 2－2πx ，则F 1′(x )＝4x －2π； 取F 2(x )＝sin x ，则F 2′(x )＝cos x .所以∫π20(4x －2π)d x ＋错误!cos x d x ＝(2x 2－2πx )错误!＋sin x ⎪⎪⎪ππ2＝－12π2－1，即⎠⎛0πf (x )d x ＝－12π2－1.1．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数.一、基础达标1．已知物体做变速直线运动的位移函数s ＝s (t )，那么下列命题正确的是( ) ①它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝s (t )⎪⎪ba ； ②它在某一时刻t ＝t 0时，瞬时速度是v ＝s ′(t 0)； ③它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝li m n→∞∑i ＝1n b －ans ′(ξi )； ④它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝⎠⎛ab s ′(t )d t .A ．①B ．①②C ．①②④D ．①②③④答案 D2．若F ′(x )＝x 2，则F (x )的解析式不正确的是( ) A ．F (x )＝13x 3B ．F (x )＝x 3C ．F (x )＝13x 3＋1D ．F (x )＝13x 3＋c (c 为常数)答案 B解析 若F (x )＝x 3，则F ′(x )＝3x 2，这与F ′(x )＝x 2不一致，故选B. 3．⎠⎛01(e x ＋2x )d x 等于( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1答案 C解析 ⎠⎛01(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)|10＝(e 1＋12)－(e 0＋02)＝e.4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则⎠⎛1－1f (x )d x 的值为( )A.32 B ．43C ．23D ．－23答案 B解析 ⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛0－1x 2d x ＋⎠⎛011d x ＝⎪⎪x 330－1＋1＝13＋1＝43，故选B. 5．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．答案33解析 由已知得13a ＋c ＝ax 20＋c ，∴x 20＝13，又∵0≤x 0≤1，∴x 0＝33. 6．(2013·湖南)若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．答案 3解析 ⎠⎛0T x 2d x ＝⎪⎪13x 3T 0＝13T 3＝9，即T 3＝27，解得T ＝3. 7．已知⎠⎛1－1(x 3＋ax ＋3a －b )d x ＝2a ＋6且f (t )＝⎠⎛0t (x 3＋ax ＋3a －b )d x 为偶函数，求a ，b 的值．解 ∵f (x )＝x 3＋ax 为奇函数， ∴⎠⎛1－1(x 3＋ax )d x ＝0，∴⎠⎛1－1(x 3＋ax ＋3a －b )d x＝⎠⎛1－1(x 3＋ax )d x ＋⎠⎛1－1(3a －b )d x＝0＋(3a －b )[1－(－1)]＝6a －2b . ∴6a －2b ＝2a ＋6，即2a －b ＝3，①又f (t )＝⎪⎪⎣⎡⎦⎤x 44＋a2x 2＋(3a －b )x t 0 ＝t 44＋at 22＋(3a －b )t 为偶函数， ∴3a －b ＝0，②由①②得a ＝－3，b ＝－9. 二、能力提升8．∫π20sin 2x2d x 等于( )A.π4B ．π2－1C ．2D ．π－24答案 D解析 ∫π20sin 2x 2d x ＝∫π201－cos x 2d x ＝⎪⎪12(x －sin x )π20＝π－24，故选D. 9．(2013·江西)若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1＜S 2＜S 3B ．S 2＜S 1＜S 3C ．S 2＜S 3＜S 1D ． S 3＜S 2＜S 1答案 B解析 S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝13x 3⎪⎪21＝73，S 2＝⎪⎪⎪⎠⎛121x d x ＝ln x 21＝ln 2＜1，S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e(e －1)＞73，所以S 2＜S 1＜S 3，选B.10．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0.若f [f (1)]＝1，则a ＝________.答案 1解析 因为x ＝1>0，所以f (1)＝lg 1＝0.又x ≤0时，f (x )＝x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ＝x ＋t 3|a 0＝x ＋a 3，所以f (0)＝a 3.因为f [f (1)]＝1，所以a 3＝1，解得a ＝1.11．设f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，求f (x )的解析式．解 ∵f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则 ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝⎠⎛01ax d x ＋⎠⎛01b d x ＝12a ＋b ＝5， ⎠⎛01xf (x )d x ＝⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝⎠⎛01(ax 2)d x ＋⎠⎛a 1b x d x ＝13a ＋12b ＝176. 由⎩⎨⎧12a ＋b ＝513a ＋12b ＝176，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝3.即f (x )＝4x ＋3.12．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈(1，2]，2x ，x ∈(2，3].求⎠⎛03f (x )d x 的值．解 由积分的性质，知：⎠⎛03f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＋⎠⎛23f (x )d x ＝⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x d x ＋⎠⎛232x d x ＝x 44⎪⎪⎪⎪10＋23x 3221⎪⎪＋2x ln 232 ＝14＋432－23＋8ln 2－4ln 2＝－512＋432＋4ln 2. 三、探究与创新13．求定积分⎠⎛3－4|x ＋a |d x . 解 (1)当－a ≤－4即a ≥4时，原式＝⎠⎛3－4(x ＋a )d x ＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 22＋ax 3－4＝7a －72. (2)当－4＜－a ＜3即－3＜a ＜4时，原式＝⎠⎛－4－a [－(x ＋a )]d x ＋⎠⎛3－a(x ＋a )d x ＝⎝⎛⎭⎫－x 22－ax ⎪⎪－a －4＋ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 22＋ax 3－a ＝a 22－4a ＋8＋⎝⎛⎭⎫a 22＋3a ＋92 ＝a 2－a ＋252. (3)当－a ≥3即a ≤－3时，原式＝⎠⎛3－4[－(x ＋a )]d x ＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫－x 22－ax 3－4＝ －7a ＋72. 综上，得⎠⎛3－4|x ＋a |d x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 7a －72(a ≥4)，a 2－a ＋252(－3＜a ＜4)，－7a ＋72(a ≤－3).高中数学学习技巧：在学习的过程中逐步做到：提出问题，实验探究，展开讨论，形成新知，应用反思。
高中数学(人教A版选修2-2)练习：1.5.3 定积分的概念
课时提升作业(十)定积分的概念一、选择题(每小题3分，共12分)1.(2014·广州高二检测)关于定积分m=dx，下列说法正确的是( )A.被积函数为y=-xB.被积函数为y=-C.被积函数为y=-x+C，D.被积函数为y=-x3【解析】选B.由定积分的定义知，被积函数为y=-.2.定积分f(x)dx(f(x)>0)的积分区间是( )A.[-2，2]B.[0，2]C.[-2，0]D.不确定【解析】选A.由定积分的概念得定积分f(x)dx的积分区间是[-2，2].3.设f(x)=则f(x)dx的值是( )A.x2dxB.2x dxC.x2dx+2x dxD.2x dx+x2dx【解析】选D.因为f(x)在不同区间上的解析式不同，所以积分区间应该与对应的解析式一致.利用定积分的性质可得正确答案为D.4.(2014·南昌高二检测)下列等式不成立的是( )A.[mf(x)+ng(x)]dx=m f(x)dx+n g(x)dxB.[f(x)+1]dx=f(x)dx+b-aC.f(x)g(x)dx=f(x)dx·g(x)dxD.sinxdx=sinxdx+sinxdx【解析】选C.由定积分的性质知选项A，B，D正确.【误区警示】应用定积分的性质计算定积分时，要特别注意积分区间及被积函数的符号.二、填空题(每小题4分，共8分)5.(2014·长春高二检测)定积分(-3)dx=__________.【解析】3dx表示图中阴影部分的面积S=3×2=6，(-3)dx=-3dx=-6.答案：-66.计算：(1-cosx)dx=________.【解题指南】根据定积分的几何意义，运用余弦曲线的对称性计算，或通过补形转化为矩形的面积计算.【解析】根据定积分的几何意义，得1dx=2π，cosxdx=cosxdx+cosxdx+cosxdx+cosxdx=cosxdx-cosxdx-cosxdx+cosxdx=0，所以(1-cosx)dx=1dx-cosxdx=2π-0=2π.答案：2π【一题多解】在公共积分区间[0，2π]上，(1-cosx)dx表示直线y=1与余弦曲线y=cosx在[0，2π]上围成封闭图形的面积，如图，由于余弦曲线y=cosx在[0，π]上关于点中心对称，在上关于点中心对称，所以区域①与②的面积相等，所求平面图形的面积等于边长分别为1，2π的矩形的面积，其值为2π.所以(1-cosx)dx=2π.答案：2π三、解答题(每小题10分，共20分)7.(2014·济南高二检测)已知x3dx=，x3dx=，x2dx=，x2dx=，求：(1)3x3dx.(2)6x2dx.(3)(3x2-2x3)dx.【解析】(1)3x3dx=3x3dx=3=3=12.(2)6x2dx=6x2dx=6(x2dx+x2dx)=6=126.(3)(3x2-2x3)dx=3x2dx-2x3dx=3×-2×=-.8.求定积分(-x)dx的值.【解析】(-x)dx表示圆(x-1)2+y2=1(y≥0)的一部分与直线y=x所围成的图形(图中阴影部分)的面积，故原式=×π×12-×1×1=-.【拓展延伸】1.利用定积分的几何意义求定积分的方法步骤(1)确定被积函数和积分区间.(2)准确画出图形.(3)求出各部分的面积.(4)写出定积分，注意当f(x)≥0时，S=f(x)dx，而当f(x)≤0时，S=-f(x)dx.2.利用定积分的几何意义求定积分的注意点准确理解其几何意义，同时要合理利用函数的奇偶性、对称性来解决问题.另外，要注意结合图形的直观辅助作用.一、选择题(每小题4分，共12分)1.(2014·黄冈高二检测)设曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭区域的面积为S，则下列等式成立的是( )A.S=(x2-x)dxB.S=(x-x2)dxC.S=(y2-y)dyD.S=(y-)dy【解析】选B.将曲线方程y=x2与直线方程y=x联立方程组，解得x=0或x=1，结合图形可得B正确.2.如图所示，图中曲线方程为y=x2-1，用定积分表示围成封闭图形(阴影部分)的面积是( )A.B.(x2-1)dxC.|x2-1|dxD.(x2-1)dx+(x2-1)dx【解题指南】由定积分的几何意义及性质即可得出.【解析】选 C.由定积分的几何意义和性质可得：图中围成封闭图形(阴影部分)的面积S=(1-x2)dx+(x2-1)dx=|x2-1|dx，故选C.【举一反三】将本题中的函数改为f(x)=x-1，则(x-1)dx=__________.【解析】直线y=x-1，与x=0，x=1.y=0围成的图形为三角形，面积为S=×1×1=.由定积分的几何意义得(x-1)dx=-.答案：-3.(2013·天津高二检测)曲线y=与直线y=x，x=2所围成的图形面积用定积分可表示为( )A.dxB.dxC.dxD.dx【解析】选A.如图所示，阴影部分的面积可表示为xdx-dx=dx.二、填空题(每小题4分，共8分)4.(2014·深圳高二检测)定积分2014dx=__________.【解析】根据定积分的几何意义2014dx表示直线x=2014，x=2015，y=0，y=2014围成的图形的面积，故2014dx=2014×(2015-2014)=2014.答案：20145.定积分(2+)dx=________.【解题指南】利用定积分的几何意义先分别求出2dx，dx.再由性质求和.【解析】原式=2dx+dx.因为2dx=2，dx=，所以(2+)dx=2+.答案：2+三、解答题(每小题10分，共20分)6.(2014·青岛高二检测)根据定积分的几何意义求下列定积分的值：(1)xdx.(2)cosxdx.(3)|x|dx.【解析】(1)如图(1)，xdx=-A1+A1=0.(2)如图(2)，cosxdx=A1-A2+A3=0.(3)如图(3)，因为A1=A2，所以|x|dx=2A1=2×=1.(A1，A2，A3分别表示图中相应各处面积)【拓展延伸】利用几何意义求定积分的注意点(1)关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间.(2)正确利用相关的几何知识求面积.(3)不规则的图形常用分割法求面积，注意分割点的准确确定.7.一辆汽车的速度——时间曲线如图所示，求汽车在这一分钟内行驶的路程.【解析】依题意，汽车的速度v与时间t的函数关系式为v(t)=所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为s=v(t)dt=tdt+(50-t)dt+10dt=300+400+200=900(米).关闭Word文档返回原板块。
(完整版)数学选修2-2练习题及答案
目录：数学选修2-2第一章 导数及其应用 [基础训练A 组] 第一章 导数及其应用 [综合训练B 组] 第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 第二章 推理与证明 [基础训练A 组] 第二章 推理与证明 [综合训练B 组]第二章 推理与证明 [提高训练C 组] 第三章 复数 [基础训练A 组] 第三章 复数 [综合训练B 组]第三章 复数 [提高训练C 组]（数学选修2-2）第一章 导数及其应用[基础训练A 组]一、选择题1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（ ）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．02．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 3．函数3yx x 的递增区间是（ ）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ）A ．319 B ．316C ．313 D ．310 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ）A ．72B ．36C ．12D ．0二、填空题1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________；2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 3．函数sin xy x=的导数为_________________； 4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________； 5．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。
2014-2015学年 高中数学 人教A版选修2-2 复数课后作业含答案
§3.1 数系的扩充和复数的概念3．1.1 数系的扩充和复数的概念一、基础过关1． “复数a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数”是“a ＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2． 下列命题正确的是( )A ．若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数B ．若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋iC ．若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1D ．两个虚数不能比较大小3． 以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( )A ．2－2iB ．－5＋5iC ．2＋iD ．5＋5i 4． 若(x ＋y )i ＝x －1(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的值为( )A ．12B ．2C ．0D ．15． 若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－1或1二、能力提升6． 若sin 2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( )A ．2k π－π4(k ∈Z )B ．2k π＋π4(k ∈Z )C ．2k π±π4(k ∈Z )D ．k 2π＋π4(k ∈Z )7．z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i ，且z 1＝z 2，则实数m ＝______，n ＝______. 8． 给出下列几个命题：①若x 是实数，则x 可能不是复数； ②若z 是虚数，则z 不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ④－1没有平方根． 则其中正确命题的个数为________．9． 已知集合M ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数a ＝________. 10．实数m 分别为何值时，复数z ＝2m 2＋m －3m ＋3＋(m 2－3m －18)i 是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．11．已知(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，求实数x ，y 的值．12．设z 1＝m 2＋1＋(m 2＋m －2)i ，z 2＝4m ＋2＋(m 2－5m ＋4)i ，若z 1<z 2，求实数m 的取值范围．三、探究与拓展13．如果log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，如何求自然数m ，n 的值？3.1.2 复数的几何意义一、基础过关1． 复数z ＝3＋i 3对应的点在复平面第几象限( )A ．一B ．二C ．三D ．四2． 当0<m <1时，z ＝(m ＋1)＋(m －1)i 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3． 在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是 ( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i4． 已知复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，当a ＝0时，复平面内的点z 的轨迹是( )A ．实轴B ．虚轴C ．原点D ．原点和虚轴5．已知复数z ＝a ＋3i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则复数z 等于( )A ．－1＋3iB ．1＋3IC ．－1＋3i 或1＋3iD ．－2＋3i6．若复数(－6＋k 2)－(k 2－4)i(k ∈R )所对应的点在第三象限，则k 的取值范围是________． 二、能力提升7． 若θ∈(3π4，5π4)，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 8． 复数z ＝icos θ，θ∈[0,2π)的几何表示是( )A ．虚轴B ．虚轴除去原点C ．线段PQ ，点P ，Q 的坐标分别为(0,1)，(0，－1)D ．C 中线段PQ ，但应除去原点9．复数z ＝log 123＋ilog 3 12对应的点位于复平面内的第______象限．10．若复数z 1＝1－i ，z 2＝3－5i ，则复平面上与z 1，z 2对应的点Z 1与Z 2的距离为________． 11．复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则|z |＝______.12．当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点：（1）位于第四象限； （2）位于x 轴负半轴上； （3）在上半平面(含实轴)．13．已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →与实轴正向的夹角为120°且复数z 的模为2，求复数z .三、探究与拓展14．（1）满足条件|z －i|＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应点的轨迹是( )A ．一条直线B ．两条直线C ．圆D ．椭圆（2）已知复数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为3，则yx的最大值为________．§3.2 复数代数形式的四则运算3．2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义一、基础过关1． 若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于( )A ．0B ．2iC ．6D ．6－2i 2． 复数i ＋i 2在复平面内表示的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3． 复数z 1＝3＋i ，z 2＝－1－i ，则z 1－z 2等于( )A ．2B ．2＋2iC ．4＋2iD ．4－2i 4． 设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( )A ．1＋iB ．2＋IC ．3D ．－2－i 5． 已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( )A ．－3iB ．3iC ．±3iD ．4i6． 计算：(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2 008＋2 009i)＋(2 009－2 010i)＋(－2 010＋2011i)．二、能力提升7． 若复数z 1＝－1，z 2＝2＋i 分别对应复平面上的点P ，Q ，则向量PQ →对应的复数是____．8． 如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是________． 9． 若|z －2|＝|z ＋2|，则|z －1|的最小值是________．10．设m ∈R ，复数z 1＝m 2＋mm ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，若z 1＋z 2是虚数，求m 的取值范围．11．复平面内有A ，B ，C 三点，点A 对应的复数是2＋i ，向量BA →对应的复数是1＋2i ，向量BC →对应的复数是3－i ，求C 点在复平面内的坐标．12．已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，求点D 对应的复数．三、探究与拓展13．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.（1）求AB →，BC →，AC →对应的复数； （2）判断△ABC 的形状； （3）求△ABC 的面积．3.2.2 复数代数形式的乘除运算一、基础过关 1． 复数－i ＋1i等于( )A ．－2iB ．12I C ．0D ．2i 2． i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i7等于( )A ．0B ．2iC ．－2iD ．4i3． 若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－14． 在复平面内，复数i1＋i＋(1＋3i)2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．设复数z 的共轭复数是z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于 ( )A ．34B ．43C ．－43D ．－346． 若z ＝1＋2ii，则复数z 等于( )A ．－2－iB ．－2＋IC ．2－iD ．2＋i二、能力提升7．设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________． 8．复数2i－1＋3i的虚部是________．9．已知z 是纯虚数，z ＋21－i 是实数，那么z=________．10．计算：（1）2＋2i (1－i )2＋(21＋i)2 010； （2）(4－i 5)(6＋2i 7)＋(7＋i 11)(4－3i)．11．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.12．已知复数z 的共轭复数为z ，且z ·z －3i z ＝101－3i ，求z .探究与拓展13．已知1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根(b 、c 为实数)．（1）求b ，c 的值；（2）试说明1－i 也是方程的根吗？习题课一、基础过关1． 复数1－2＋i ＋11－2i的虚部是( )A ．15iB ．15C ．－15iD ．－152． 复数2＋i1－2i的共轭复数是( )A ．－35iB ．35I C ．－iD ．i3． 若(m 2－5m ＋4)＋(m 2－2m )i>0，则实数m 的值为( )A ．1B ．0或2C ．2D ．04． 设a ，b ∈R 且b ≠0，若复数(a ＋b i)3是实数，则( )A ．b 2＝3a 2B ．a 2＝3b 2C ．b 2＝9a 2D ．a 2＝9b 2 5． 设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a 为( )A ．2B ．－2C ．－12D ．126． 复平面内点A 、B 、C 对应的复数分别为i 、1、4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作平行四边形ABCD ，则|BD →|等于( )A ．5B ．13C ．15D ．17二、能力提升7．已知复数z ＝2－i1－i ，其中i 是虚数单位，则|z |＝________.8．已知(a －i)2＝2i ，那么实数a ＝________.9．设复数z 满足条件|z |＝1，那么|z ＋22＋i|的最大值是________．10．已知a ∈R ，则z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应的点的轨迹是什么？11．设复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ，若z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值．12．在复平面内，O 是原点，向量OA →对应的复数是2＋i.（1）如果点A 关于实轴的对称点为B ，求向量OB →对应的复数； （2）如果（1）中点B 关于虚轴的对称点为C ，求点C 对应的复数．三、探究与拓展13．是否存在复数z ，使其满足z ·z ＋2i z ＝3＋a i ？如果存在，求实数a 的取值范围；如果不存在，请说明理由．章末检测一、选择题1． i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( )A ．i ∈SB ．i 2∈SC ．i 3∈SD ．2i∈S2． z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 3． i 是虚数单位，复数3＋i1－i等于( )A ．1＋2iB ．2＋4iC ．－1－2iD ．2－i 4． 已知a 是实数，a －i1＋i是纯虚数，则a 等于( )A ．1B ．－1C ． 2D ．－ 2 5． 若(x －i)i ＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 等于( )A ．－2＋iB ．2＋iC ．1－2iD ．1＋2i 6． (1＋i)20－(1－i)20的值是( )A ．－1 024B ．1 024C ．0D ．1 024i7． i 是虚数单位，若1＋7i2－i＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则ab 的值是( )A ．－15B ．3C ．－3D ．158． 若z 1＝(x －2)＋y i 与z 2＝3x ＋i(x ，y ∈R )互为共轭复数，则z 1对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 9． 已知f (n )＝i n －i －n (n ∈N *)，则集合{f (n )}的元素个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．无数个二、填空题10．复平面内，若z ＝m 2(1＋i)－m (4＋i)－6i 所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是________． 11．给出下面四个命题：①0比－i 大；②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；③x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1；④如果让实数a 与a i 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应．其中真命题的个数是________．12．已知0<a <2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是______． 13．下列说法中正确的序号是________．①若(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，其中x ∈R ，y ∈∁C R ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y1＝－(3－y )；②2＋i>1＋i ； ③虚轴上的点表示的数都是纯虚数；④若一个数是实数，则其虚部不存在； ⑤若z ＝1i ，则z 3＋1对应的点在复平面内的第一象限．三、解答题14．设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i ，当m 为何值时，（1）z 是实数？（2）z 是纯虚数？15．已知复数z 1＝1－i ，z 1·z 2＋z 1＝2＋2i ，求复数z 2.16．计算：（1）(2＋2i )4(1－3i )5；（2）(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.17．实数m 为何值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 对应的点在：（1）x 轴上方；（2）直线x ＋y ＋5＝0上．18．已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2.（1）求复数z ；（2）设z ，z 2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．19．设z 1是虚数，z 2＝z 1＋1z 1是实数，且－1≤z 2≤1.（1）求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围； （2）若ω＝1－z 11＋z 1，求证：ω为纯虚数．复数参考答案第一节1．A 2．D 3．A 4．D 5．A 6．B 7．2 ±2 8．1 9．－110．解 (1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.故若使z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －18＝0m ＋3≠0，解得m ＝6.所以当m ＝6时，z 为实数．(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0. 故若使z 为虚数，则m 2－3m －18≠0，且m ＋3≠0， 所以当m ≠6且m ≠－3时，z 为虚数．(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0. 故若使z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0m ＋3≠0m 2－3m －18≠0，解得m ＝－32或m ＝1.所以当m ＝－32或m ＝1时，z 为纯虚数．11．解 ∵(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，y －2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2. 所以实数x ，y 的值分别为12，2.12．解 由于z 1<z 2，m ∈R ，∴z 1∈R 且z 2∈R ，当z 1∈R 时，m 2＋m －2＝0，m ＝1或m ＝－2.当z 2∈R 时，m 2－5m ＋4＝0， m ＝1或m ＝4，∴当m ＝1时，z 1＝2，z 2＝6，满足z 1<z 2. ∴z 1<z 2时，实数m 的取值为m ＝1.13．解 因为log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，所以log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i 是实数，从而有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0， ①log 12(m ＋n )>－1， ② 由①得m ＝0或m ＝3，当m ＝0时，代入②得n <2，又m ＋n >0，所以n ＝1； 当m ＝3时，代入②得n <－1，与n 是自然数矛盾， 综上可得m ＝0，n ＝1.第二节1．D 2．D 3．C 4．B 5．A 6．2<k <6或－6<k <－2 7．B 8．C 9．三 10．2 5 11．212．解 (1)要使点位于第四象限，须⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15>0m 2＋3m －28<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m <3或m >5－7<m <4，∴－7<m <3. (2)要使点位于x 轴负半轴上，须⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15<0m 2＋3m －28＝0，∴⎩⎨⎧3<m <5m ＝－7或m ＝4，∴m ＝4. (3)要使点位于上半平面(含实轴)，须m 2＋3m －28≥0，解得m ≥4或m ≤－7.13．解 根据题意可画图形如图所示：设点Z 的坐标为(a ，b )， ∵|OZ →|＝|z |＝2，∠xOZ ＝120°， ∴a ＝－1，b ＝3， 即点Z 的坐标为(－1，3)， ∴z ＝－1＋3i. 14．(1)C(2) 3第三节1．D 2．B 3．C 4．D 5．B6．解 原式＝(1－2＋3－4＋…－2 008＋2 009－2 010)＋(－2＋3－4＋5＋…＋2 009－2 010＋2 011)i ＝－1 005＋1 005i. 7．3＋i 8.115＋3i 9．110．解 ∵z 1＝m 2＋mm ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，∴z 1＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋m m ＋2－2＋[(m －15)＋m (m －3)]i ＝m 2－m －4m ＋2＋(m 2－2m －15)i.∵z 1＋z 2为虚数，∴m 2－2m －15≠0且m ≠－2， 解得m ≠5，m ≠－3且m ≠－2(m ∈R )． 11．解 ∵AC →＝BC →－BA →，∴AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i ， 设C (x ，y )，则(x ＋y i)－(2＋i)＝2－3i ， ∴x ＋y i ＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i ，故x ＝4，y ＝－2.∴C 点在复平面内的坐标为(4，－2)．12．解 方法一 设D 点对应的复数为x ＋y i (x ，y ∈R )，则D (x ，y )，又由已知A (1,3)，B (0，－1)，C (2,1)． ∴AC 中点为⎝⎛⎭⎫32，2，BD 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y －12. ∵平行四边形对角线互相平分，∴⎩⎪⎨⎪⎧32＝x 22＝y －12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i.方法二 设D 点对应的复数为x ＋y i (x ，y ∈R )．则AD →对应的复数为(x ＋y i)－(1＋3i)＝(x －1)＋(y －3)i ，又BC →对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i ， 由于AD →＝BC →.∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝2y －3＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5. 即点D 对应的复数为3＋5i.13．解 (1)AB →对应的复数为2＋i －1＝1＋i ，BC →对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ， AC →对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i ， (2)∵|AB →|＝2，|BC →|＝10，|AC →|＝8＝22， ∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2， ∴△ABC 为直角三角形． (3)S △ABC ＝12×2×22＝2.第四节1．A 2．A 3．D 4．B 5．A 6．D 7．1 8．－129．－2i10．解 (1)2＋2i(1－i )2＋(21＋i )2 010＝2＋2i －2i＋(22i ) 1 005＝i(1＋i)＋(1i )1 005＝－1＋i ＋(－i)1 005＝－1＋i －i ＝－1.(2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i) ＝22－14i ＋25－25i ＝47－39i. 11．解 (z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1z 2＝(2－i)·(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i ， ∵z 1z 2∈R ，∴a ＝4，∴z 2＝4＋2i. 12．解 z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i.又z ·z －3i z ＝101－3i，∴a 2＋b 2－3i(a ＋b i)＝10(1＋3i )10，∴a 2＋b 2＋3b －3a i ＝1＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＋3b ＝1，－3a ＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3. ∴z ＝－1，或z ＝－1－3i.13．解 (1)因为1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的根，∴(1＋i)2＋b (1＋i)＋c ＝0， 即(b ＋c )＋(2＋b )i ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝02＋b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2c ＝2.∴b 、c 的值为b ＝－2，c ＝2. (2)方程为x 2－2x ＋2＝0.把1－i 代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i 也是方程的一个根． 第五节1．B 2．C 3．D 4．A 5．A 6．B 8．－1 9．410．解 由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3，－(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1，∴复数z 的实部为正数，虚部为负数，因此，复数z 的对应点在第四象限． 设z ＝x ＋y i (x 、y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－(a 2－2a ＋2)消去a 2－2a 得：y ＝－x ＋2 (x ≥3)．∴复数z 的对应点的轨迹是一条射线， 方程为y ＝－x ＋2 (x ≥3)．11．解 z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i＝(3－i )(2－i )5＝1－i.因为z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ， 所以(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i. 所以(a ＋b )－(a ＋2)i ＝1＋i.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，－(a ＋2)＝1，解得a ＝－3，b ＝4.即实数a ，b 的值分别是－3,4.12．解 (1)设所求向量OB →对应的复数为z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则点B 的坐标为(a ，b )．已知A (2,1)，由对称性可知a ＝2，b ＝－1. 所以OB →对应的复数为z 1＝2－i.(2)设所求点C 对应的复数为z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )，则C (c ，d )． 由(1)，得B (2，－1)．由对称性可知，c ＝－2，d ＝－1. 故点C 对应的复数为z 2＝－2－i.13．解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则原条件等式可化为x 2＋y 2＋2i(x －y i)＝3＋a i.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2y ＝3，2x ＝a .消去x ，得y 2＋2y ＋a 24－3＝0. 所以当Δ＝4－4⎝⎛⎭⎫a 24－3＝16－a 2≥0， 即－4≤a ≤4时，复数z 存在．故存在满足条件的复数z ，且实数a 的取值范围为－4≤a ≤4.章末检测答案1．B 2．A 3．A 4．A 5．B 6．C 7．C 8．C 9．B 10．(3,4) 11．0 12．(1，5) 13．⑤14．解 (1)要使复数z 为实数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2>0m 2＋3m ＋2＝0，解得m ＝－2或－1.即当m ＝－2或－1时，z 是实数．(2)要使复数z 为纯虚数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2＝1m 2＋3m ＋2≠0，解得m ＝3.即当m ＝3时，z 是纯虚数．15．解 因为z 1＝1－i ，所以z 1＝1＋i ，所以z 1·z 2＝2＋2i －z 1＝2＋2i －(1＋i)＝1＋i. 设z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 由z 1·z 2＝1＋i ， 得(1－i)(a ＋b i)＝1＋i ， 所以(a ＋b )＋(b －a )i ＝1＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1b －a ＝1，解得a ＝0，b ＝1， 所以z 2＝i.16．解 (1)原式＝16(1＋i )4(1－3i )4(1－3i )＝16(2i )2(－2－23i )2(1－3i )＝－644(1＋3i )2(1－3i )＝－16(1＋3i )×4 ＝－41＋3i＝－1＋3i. (2)原式＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝53＋21i ＋2i ＝53＋23i. 17．解 (1)若z 对应的点在x 轴上方，则m 2－2m －15>0，解得m <－3或m >5.(2)复数z 对应的点为(m 2＋5m ＋6，m 2－2m －15)， ∵z 对应的点在直线 x ＋y ＋5＝0上，∴(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋5＝0， 整理得2m 2＋3m －4＝0，。
高中数学 1.5.1-1.5.2曲边梯形的面积 汽车行驶的路程课后习题 新人教A版选修2-2-新人教
曲边梯形的面积1.和式(x i-3)等于()A.(x1-3)+(x10-3)B.x1+x2+x3+…+x10-3C.x1+x2+x3+…+x10-30D.(x1-3)(x2-3)(x3-3)·…·(x10-3)答案:C2.一物体沿直线运动,其速度v(t)=t,这个物体在t=0到t=1这段时间内所走的路程为()A. B. C.1 D.解析:曲线v(t)=t与直线t=0,t=1,横轴围成的三角形面积S=即为这段时间内物体所走的路程.答案:B3.把区间[a,b](a<b)n等分之后,第i个小区间是()A.B.C.D.解析:区间[a,b](a<b)的长度为(b-a),n等分之后,每个小区间长度均为,第i个小区间是(i=1,2,…,n).答案:D4.在求由曲线y=与直线x=1,x=3,y=0所围成图形的面积时,若将区间n等分,并用每个区间的右端点的函数值近似代替,则第i个小曲边梯形的面积ΔS i约等于()A. B.C. D.解析:每个小区间长度为,第i个小区间为,因此第i个小曲边梯形的面积ΔS i≈.答案:A5.在等分区间的情况下,f(x)=(x∈[0,2])及x轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是()A.B.C.D.解析:若将区间[0,2]n等分,则每一区间的长度为,第i个区间为,若取每一区间的右端点进行近似代替,则和式的极限形式为.答案:B6.在求由y=0,x=a,x=b(0<a<b)与曲线y=f(x)=x2围成的曲边梯形的面积S时,在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个分点,分别过这些分点作x轴的垂线,把曲边梯形分成n个小曲边梯形,以每一个小区间的左端点的函数值为高的小矩形的面积和为S',下列说法:①n个小曲边梯形的面积和等于S;②n个小曲边梯形的面积和大于S;③n个小矩形的面积和S'小于S;④n个小矩形的面积和S'等于S.其中,所有正确结论的序号为.解析:n个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的,因此其面积和为S,①正确;由于以每一个小区间的左端点的函数值为高的小矩形的面积小于小曲边梯形的面积,所以小矩形的面积和S'小于曲边梯形的面积S,③正确,②④错误.答案:①③7.物体运动的速度和时间的函数关系式为v(t)=2t(t的单位:h,v的单位:km/h),近似计算在区间[2,8]内物体运动的路程时,把区间6等分,则过剩近似值(每个ξi均取值为小区间的右端点)为km.解析:以小区间右端点时的速度作为小区间的平均速度,可得过剩近似值为s=(2×3+2×4+2×5+2×6+2×7+2×8)×1=66(km).答案:668.求由直线x=0,x=1,y=0及曲线f(x)=x2所围成的图形的面积.解:(1)分割将区间[0,1]等分成n个小区间:,…,,…,.每个小区间的长度为Δx=.过各分点作x轴的垂线,将曲边梯形分成n个小曲边梯形,它们的面积分别记作ΔS1,ΔS2,…,ΔS n.(2)近似代替在区间上,用处的函数值作为高,以小区间的长度Δx=作为底边长的小矩形的面积近似代替第i个小曲边梯形的面积,即ΔS i≈.(3)求和曲边梯形的面积为S n=ΔS i≈=0·+…+=[12+22+…+(n-1)2]=.(4)取极限曲边梯形的面积为S=.9.已知物体自由落体的运动速度v=gt,求在时间区间[0,t]内物体下落的距离.解:(1)分割.把时间区间[0,t]等分成n个小区间,其中第i个小区间为(i=1,2,…,n),每个小区间所表示的时间段的长度为Δt=.在各个小区间内物体下落的距离记作s i.过各点作x轴的垂线,把曲边梯形分割成n个小曲边梯形,它们的面积分别记作:Δs1,Δs2,…,Δs n.(2)近似代替.在(i=1,2,…,n)上任取一时刻ξi,可取时刻ξi=·t,使v(ξi)=g,近似代替第i个小区间上的速度,因此在每个小区间内所经过的距离可近似地表示为Δs i≈g(i=1,2,…,n).(3)求和.s n=Δs i=[0+1+2+…+(n-1)]=gt2.(4)取极限.s=gt2gt2.所以在时间[0,t]内物体下落的距离为gt2.B组1.对于由直线x=1,y=0和曲线y=x3所围成的曲边三角形,把区间3等分,则曲边三角形面积的近似值(取每个区间的左端点)是()A. B. C. D.解析:将区间[0,1]三等分为,各小矩形的面积和为s1=03·.答案:A2.若做变速直线运动的物体v(t)=t2在0≤t≤a内经过的路程为9,则a的值为()A.1B.2C.3D.4解析:将区间[0,a]n等分,记第i个区间为(i=1,2,…,n),此区间长为,用小矩形面积近似代替相应的小曲边梯形的面积,则S n=·(12+22+…+n2)=,依题意得=9,∴=9,解得a=3.答案:C3.汽车以v=(3t+2) m/s做变速直线运动时,在第1 s到第2 s间的1 s内经过的路程s是.解析:将[1,2]n等分,并取每个小区间左端点的速度近似代替,则Δt=,v(ξi)=v=3+2=(i-1)+5.∴s n===+5=+5.∴s=s n=+5=6.5.答案:6.5 m4.求由直线x=0,x=1,y=0和曲线y=x(x-1)围成的图形的面积.解:(1)分割:将曲边梯形分割成n个小曲边梯形,在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将区间[0,1]等分成n个小区间:,…,,记第i个区间为(i=1,2,…,n),其长度为Δx=.把每个小曲边梯形的面积记为ΔS1,ΔS2,…,ΔS n.(2)近似代替:根据题意可得第i个小曲边梯形的面积ΔS i===(i=1,2,…,n).(3)求和:把每个小曲边梯形近似地看作矩形,求出这n个小矩形的面积的和S n=,从而得到所求图形面积的近似值S≈.(4)取极限:S=,即直线x=0,x=1,y=0和曲线y=x(x-1)围成的图形的面积为.5.设力F作用在质点m上使m沿x轴正向从x=1运动到x=10,已知F=x2+1且力的方向和x轴正向相同,求F对质点m所做的功.解:将区间[1,10]n等分,则各小区间的长度为,在上取ξi=1+i.∴F i=+1=+1,∴W i=F i·(i=1,2,…,n).∴W=====18+81+243=342.故F对质点所做的功为342.6.求由抛物线y=x2与直线y=4所围成的图形的面积.解:如图,∵y=x2为偶函数,图象关于y轴对称,∴所求图形的面积应为抛物线y=x2(x≥0)与直线x=0,y=4所围图形面积S阴影的2倍,下面求S 阴影.由得交点为(2,4).如图,先求由直线x=0,x=2,y=0和曲线y=x2围成的图形的面积.(1)分割:将区间[0,2]n等分,则Δx=,取ξi=.(2)近似代替、求和:S n=[12+22+32+…+(n-1)2]=.(3)取极限:S=S n=.∴S阴影=2×4-.∴2S阴影=,即抛物线y=x2与直线y=4所围成的图形的面积为.。
高中数学 综合测试题3 新人教A版选修2-2
高中新课标数学选修（2-2）综合测试题一、选择题1．函数2y x =在区间[12]，上的平均变化率为（ ） Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．5答案：Ｂ2．已知直线y kx =是ln y x =的切线，则k 的值为（ ）Ａ．1e Ｂ．1e- Ｃ．2e Ｄ．2e -答案：Ａ3．如果1N 的力能拉长弹簧1cm ，为了将弹簧拉长6cm （在弹性限度内）所耗费的功为（ ） Ａ．0.18J Ｂ．0.26J Ｃ．0.12J Ｄ．0.28J答案：Ａ4．方程2(4)40()x i x ai a ++++=∈R 有实根b ，且z a bi =+，则z =（ ）Ａ．22i - Ｂ．22i + Ｃ．22i -+ Ｄ．22i --答案：Ａ5．ABC △内有任意三点不共线的2002个点，加上A B C ，，三个顶点，共2005个点，把这2005个点连线形成不重叠的小三角形，则一共可以形成小三角形的个数为（ ） Ａ．4005 Ｂ．4002 Ｃ．4007 Ｄ．4000答案：Ａ6．数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，的第50项（ ） Ａ．8 Ｂ．9 Ｃ．10 Ｄ．11答案：Ｃ7．在证明()21f x x =+为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数()21f x x =+满足增函数的定义是大前提；④函数()21f x x =+满足增函数的定义是大前提．其中正确的命题是（ ） Ａ．①② Ｂ．②④ Ｃ．①③ Ｄ．②③答案：Ｃ8．若a b ∈R ，，则复数22(45)(26)a a b b i -++-+-表示的点在（ ） Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限答案：Ｄ9．一圆的面积以210πcm /s 速度增加，那么当圆半径20cm r =时，其半径r 的增加速率u 为（ ）Ａ．12cm/s Ｂ．13 cm/s Ｃ．14 cm/s Ｄ．15 cm/s答案：Ｃ10．用数学归纳法证明不等式“11113(2)12224n n n n +++>>++”时的过程中，由n k =到1n k =+时，不等式的左边（ ）Ａ．增加了一项12(1)k +Ｂ．增加了两项11212(1)k k +++ Ｃ．增加了两项11212(1)k k +++，又减少了一项11k + Ｄ．增加了一项12(1)k +，又减少了一项11k +答案：Ｃ11．在下列各函数中，值域不是[22]-，的函数共有（ ） （1）(sin )(cos )y x x ''=+ （2）(sin )cos y x x '=+ （3）sin (cos )y x x '=+（4）(sin )(cos )y x x ''=· Ａ．1个Ｂ．2个Ｃ．3个Ｄ．4个答案：Ｃ12．如图是函数32()f x x bx cx d =+++的大致图象，则2212x x +等于（ ） Ａ．23Ｂ．43 Ｃ．83Ｄ．123答案：Ｃ二、填空题13．函数3()31f x x x =-+在闭区间[30]-，上的最大值与最小值分别为 ．答案：3，17-14．若113z i =-，268z i =-，且12111z z z +=，则z 的值为 ．答案：42255i -+15．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数n a 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是 ．答案：21n a n =+16．物体A 的运动速度v 与时间t 之间的关系为21v t =-（v 的单位是m/s ，t 的单位是s ），物体B 的运动速度v 与时间t 之间的关系为18v t =+，两个物体在相距为405m 的同一直线上同时相向运动．则它们相遇时，A 物体的运动路程为 ．答案：72m三、解答题17．已知复数1z ，2z 满足2212121052z z z z +=，且122z z +为纯虚数，求证：123z z -为实数．证明：由2212121052z z z z +=，得22112210250z z z z -+=， 即221212(3)(2)0z z z z -++=，那么222121212(3)(2)[(2)]z z z z z z i -=-+=+， 由于，122z z +为纯虚数，可设122(0)z z bi b b ==∈≠R ，且， 所以2212(3)z z b -=，从而123z z b -=±， 故123z z -为实数．18．用总长14.8的钢条做一个长方体容器的框架，如果所做容器的底面的一边长比另一边长多0.5m ，那么高是多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．解：设该容器底面矩形的短边长为x cm ，则另一边长为(0.5)x +m ，此容器的高为14.8(0.5) 3.224y x x x =--+=-， 于是，此容器的容积为：32()(0.5)(3.22)2 2.2 1.6V x x x x x x x =+-=-++，其中0 1.6x <<，即2()6 4.4 1.60V x x x '=-++=，得11x =，2415x =-（舍去）， 因为，()V x '在(01.6)，内只有一个极值点，且(01)x ∈，时，()0V x '>，函数()V x 递增； (11.6)x ∈，时，()0V x '<，函数()V x 递减；所以，当1x =时，函数()V x 有最大值3(1)1(10.5)(3.221) 1.8m V =⨯+⨯-⨯=， 即当高为1.2m 时，长方体容器的空积最大，最大容积为31.8m ． 19．如图所示，已知直线a 与b 不共面，直线c a M =，直线b c N =，又a 平面A α=，b 平面B α=，c 平面C α=，求证：A B C ，，三点不共线．证明：用反证法，假设A B C ，，三点共线于直线l ， A B C α∈，，∵，l α⊂∴．c l C =∵，c ∴与l 可确定一个平面β． c a M =∵，M β∈∴．又A l ∈，a β⊂∴，同理b β⊂，∴直线a ，b 共面，与a ，b 不共面矛盾． 所以A B C ，，三点不共线．20．已知函数32()31f x ax x x =+-+在R 上是减函数，求a 的取值范围．解：求函数()f x 的导数：2()361f x ax x '=+-． （1）当()0()f x x '<∈R 时，()f x 是减函数．23610()0ax x x a +-<∈⇔<R 且36120a ∆=+<3a ⇔<-．所以，当3a <-时，由()0f x '<，知()()f x x ∈R 是减函数； （2）当3a =-时，33218()331339f x x x x x ⎛⎫=-+-+=--+ ⎪⎝⎭，由函数3y x =在R 上的单调性，可知当3a =-时，()()f x x ∈R 是减函数； （3）当3a >-时，在R 上存在使()0f x '>的区间，所以，当3a >-时，函数()()f x x ∈R 不是减函数． 综上，所求a 的取值范围是(3)--，∞．21．若0(123)i x i n >=，，，，，观察下列不等式：121211()4x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥，123123111()9x x x x x x ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭≥，，请你猜测1212111()n nx x x x x x ⎛⎫++++++⎪⎝⎭满足的不等式，并用数学归纳法加以证明．解：满足的不等式为21212111()(2)n n x x x n n x x x ⎛⎫++++++⎪⎝⎭≥≥，证明如下： 1．当2n =时，结论成立；2．假设当n k =时，结论成立，即21212111()k kx x x k x x x ⎛⎫++++++⎪⎝⎭12121121121111111()()1k k k k k x x x x x x x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫=+++++++++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭· 212111)1k kk x x x x ⎛⎫+++++++ ⎪⎝⎭≥ 2221(1)k k k ++=+≥．显然，当1n k =+时，结论成立．22．设曲线2(0)y ax bx c a =++<过点(11)-，，(11)，． （1）用a 表示曲线与x 轴所围成的图形面积()S a ； （2）求()Sa 的最小值．解：（1）曲线过点(11)-，及(11)，，故有1a b c a b c =-+=++，于是0b =且1c a =-，令0y =，即2(1)0ax a +-=，得x = 记α=，β，由曲线关于y 轴对称， 有2300()2[(1)]2(1)3a S a ax a dx x a x ββ⎡⎤=+-=+-⎢⎥⎣⎦⎰|2(13a a ⎡=-=⎢⎣· （2）()S a 3(1)()(0)a f a a a-=<，则223221(1)()[3(1)(1)](21)a f a a a a a a a -'=---=+．令()0f a '=，得12a =-或1a =（舍去）．又12a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，∞时，()0f x'<；102a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，()0f x '>．所以，当12a =-时，()f a 有最小值274，此时()S a高中新课标数学选修（2-2）综合测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．函数cos sin y x x x =-的导数为 （ ） （A ）cos x x （B ）sin x x - （C ）sin x x （D ）cos x x -2．下列说法正确的是 （ ） （A ）当0()0f x '=时，0()f x 为()f x 的极大值（B ）当0()0f x '=时，0()f x 为()f x 的极小值 （C ）当0()0f x '=时，0()f x 为()f x 的极值 （D ）当0()f x 为()f x 的极值时， 0()0f x '=3．如果z 是34i +的共轭复数，则z 对应的向量OA 的模是 （ ） （A ）1 （B 7 （C 13（D ）54．若函数3()y a x x =-的递减区间为33(,33-，则a 的取值范围是 （ ） （A ）(0,)+∞ （B ）(1,0)- （C ）(1,)+∞ （D ）(0,1)5．下列四条曲线（直线）所围成的区域的面积是 （ ） (1)sin y x =;(2) s y co x =; (3)4x π=-;(4) 4x π=2 (B)22226．由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，叫 （ ）（A ）合情推理 （B ）演绎推理 （C ）类比推理 （D ）归纳推理7．复数a bi -与c di +的积是实数的充要条件是 （ ） （A ）0ad bc += （B ）0ac bd += （C ）0ad bc -= （D ）0ac bd -= 8．已知函数1sin 2sin 2y x x =+，那么y '是 （ ） （A ）仅有最小值的奇函数 （B ）既有最大值又有最小值的偶函数 （C ）仅有最大值的偶函数 （D ）非奇非偶函数9．用边长为48厘米的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒。
高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：1.2 导数的计算1.2.1-1.2.2 Word版含答案
1.2导数的计算1.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)[学习目标]1．能根据定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝1x，y＝x的导数．2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．[知识链接]在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何用定义求函数y＝f(x)的导数？答(1)计算ΔyΔx，并化简；(2)观察当Δx趋近于0时，ΔyΔx趋近于哪个定值；(3)ΔyΔx趋近于的定值就是函数y＝f(x)的导数．[预习导引]1．几个常用函数的导数2．基本初等函数的导数公式要点一利用导数定义求函数的导数例1用导数的定义求函数f(x)＝2 013x2的导数．解f′(x)＝limΔx→02 013(x＋Δx)2－2 013x2x＋Δx－x＝limΔx→02 013[x2＋2x·Δx＋(Δx)2]－2 013x2Δx＝limΔx→04 026x·Δx＋2 013(Δx)2Δx＝limΔx→0(4 026x＋2 013Δx)＝4 026x.规律方法 解答此类问题，应注意以下几条： (1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤． (2)当Δx 趋于0时，k ·Δx (k ∈R )、(Δx )n (n ∈N *)等也趋于0.(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用． 跟踪演练1 用导数的定义求函数y ＝x 2＋ax ＋b (a ，b 为常数)的导数． 解 y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋a (x ＋Δx )＋b －(x 2＋ax ＋b )Δx ＝lim Δx →0 x 2＋2x ·Δx ＋(Δx )2＋ax ＋a ·Δx ＋b －x 2－ax －b Δx ＝lim Δx →0 2x ·Δx ＋a ·Δx ＋(Δx )2Δx ＝lim Δx →0(2x ＋a ＋Δx )＝2x ＋a . 要点二 利用导数公式求函数的导数 例2 求下列函数的导数(1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x ；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝log 3x . 解 (1)y ′＝0； (2)y ′＝(5x )′＝5x ln 5； (3)y ′＝(x －3)′＝－3x －4；(4)y ′＝⎝⎛⎭⎫4x 3′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 34′＝34x －14＝344x ； (5)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3.规律方法 求简单函数的导函数的基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．跟踪演练2 求下列函数的导数：(1)y ＝x 8；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ；(3)y ＝x x ；(4)y ＝log 13x .解 (1)y ′＝8x 7；(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ln 12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12xln 2；(3)∵y ＝x x ＝x 32，∴y ′＝32x 12； (4) y ′＝1x ln 13＝－1x ln 3.要点三 利用导数公式求曲线的切线方程例3 求过曲线y ＝sin x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12且与过这点的切线垂直的直线方程．解 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ， 曲线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12处的切线斜率是：y ′|x ＝π6＝cos π6＝32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为－23， 故所求的直线方程为y －12＝－23⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即2x ＋3y －32－π3＝0.规律方法 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互垂直的直线斜率乘积等于－1是解题的关键．跟踪演练3 已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．解 ∵y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)， 则y ′|x ＝x 0＝2x 0，又∵PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，∴k ＝2x 0＝1，即x 0＝12，所以切点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.∴所求的切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.1．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( )A ．0B ．2xC ．6D ．9答案 C解析 ∵f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(3)＝6. 2．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( ) A.36 B ．0 C ．12xD ．32答案 A解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝12x，∴f ′(3)＝123＝36. 3．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B ．[0，π)C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4 答案 A解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∵k l ＝cos x ，∴－1≤k l ≤1， ∴αl ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________． 答案 12e 2解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×||－e 2＝12e 2.1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y ＝1－2sin 2x 2的导数．因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ， 所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.一、基础达标1．下列结论中正确的个数为( )①y ＝ln 2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227；③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2；④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 D解析 ①y ＝ln 2为常数，所以y ′＝0.①错．②③④正确．2．过曲线y ＝1x 上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2＝－4，x ＝±12，故选B. 3．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5 答案 A解析 f ′(x )＝ax a －1，f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4，a ＝4.4．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不确定答案 B解析 ∵f ′(x )＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则3x 20＝1，得x 0＝±33，即在点⎝ ⎛⎭⎪⎫33，39和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－39处有斜率为1的切线．5．曲线y ＝9x 在点M (3,3)处的切线方程是________．答案 x ＋y －6＝0解析 ∵y ′＝－9x 2，∴y ′|x ＝3＝－1， ∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为： y －3＝－(x －3)即x ＋y －6＝0.6．若曲线y ＝x －12在点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a －12处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝________. 答案 64解析 ∵y ＝x －12，∴y ′＝－12x －32，∴曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a －12处的切线斜率k ＝－12a －32，∴切线方程为y －a －12＝－12a －32(x －a )． 令x ＝0得y ＝32a －12；令y ＝0得x ＝3a . ∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12·3a ·32a －12＝94a 12＝18，∴a ＝64. 7．求下列函数的导数：(1) y ＝5x 3；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4； (4)y ＝log 2x 2－log 2x .解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫5x 3′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 35′＝35x 35－1＝35x －25＝355x 2. (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5.(3)∵y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x 2＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x . (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ， ∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2. 二、能力提升8．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A.1e B ．－1e C ．－e D ．e答案 D解析y ′＝e x ，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0＝kx 0y 0＝e x 0k ＝e x 0.∴e x 0＝e x 0·x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e.9．曲线y ＝ln x 在x ＝a 处的切线倾斜角为π4，则a ＝________. 答案 1解析 y ′＝1x ，∴y ′|x ＝a ＝1a ＝1，∴a ＝1.10．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x 的最小距离为________． 答案 22 解析根据题意设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x 相切于点(x 0，y 0)，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，如图．则在点(x 0，y 0)处的切线斜率为1，即y ′|x ＝x 0＝1.∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为22.11．已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，求适合f ′(x )＋g ′(x )≤0的x 的值． 解 ∵f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，∴f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，g ′(x )＝x ′＝1， 由f ′(x )＋g ′(x )≤0，得－sin x ＋1≤0， 即sin x ≥1，但sin x ∈[－1,1]， ∴sin x ＝1，∴x ＝2k π＋π2，k ∈Z .12．已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离． 解 根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14，切点到直线x －y －2＝0的距离 d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728. 三、探究与创新13．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，试求f 2 014(x )．解 f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f2(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝(－cos x)′＝sin x，f5(x)＝(sin x)′＝f1(x)，f6(x)＝f2(x)，…，f n＋4(x)＝f n(x)，可知周期为4，∴f2 014(x)＝f2(x)＝－sin x．1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)[学习目标]1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．3．能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导．[知识链接]前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？答利用导数的运算法则．[预习导引]1．导数运算法则2．复合函数的求导法则要点一 利用导数的运算法则求函数的导数 例1 求下列函数的导数： (1) y ＝x 3－2x ＋3； (2)y ＝(x 2＋1)(x －1)； (3)y ＝3x －lg x .解 (1)y ′＝(x 3)′－(2x )′＋3′＝3x 2－2. (2)∵y ＝(x 2＋1)(x －1)＝x 3－x 2＋x －1， ∴y ′＝(x 3)′－(x 2)′＋x ′－1′＝3x 2－2x ＋1.(3)函数y ＝3x －lg x 是函数f (x )＝3x 与函数g (x )＝lg x 的差．由导数公式表分别得出f ′(x )＝3x ln 3，g ′(x )＝1x ln 10，利用函数差的求导法则可得 (3x －lg x )′＝f ′(x )－g ′(x )＝3x ln 3－1x ln 10. 规律方法 本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数． 跟踪演练1 求下列函数的导数： (1)y ＝5－4x 3；(2)y ＝3x 2＋x cos x ；(3)y＝e x·ln x；(4)y＝lg x－1 x2.解(1)y′＝－12x2；(2)y′＝(3x2＋x cos x)′＝6x＋cos x－x sin x；(3)y′＝e xx＋ex·ln x；(4)y′＝1x ln 10＋2x3.要点二求复合函数的导数例2求下列函数的导数：(1)y＝ln(x＋2)；(2)y＝(1＋sin x)2；解(1)y＝ln u，u＝x＋2∴y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·(x＋2)′＝1u·1＝1x＋2.(2)y＝u2，u＝1＋sin x，∴y x′＝y u′·u x′＝(u2)′·(1＋sin x)′＝2u·cos x＝2cos x(1＋sin x)．规律方法应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面：(1)中间变量的选取应是基本函数结构．(2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导．(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导．(4)善于把一部分表达式作为一个整体．(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．熟练后，就不必再写中间步骤．跟踪演练2(1)y＝e2x＋1；(2)y＝(x－2)2.解(1)y＝e u，u＝2x＋1，∴y′x＝y′u·u′x＝(e u)′·(2x＋1)′＝2e u＝2e2x＋1.(2)法一∵y＝(x－2)2＝x－4x＋4，∴y′＝x′－(4x)′＋4′＝1－4×12x－12＝1－2x.法二 令u ＝x －2，则y x ′＝y u ′·u x ′＝2(x －2)·(x －2)′＝ 2(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12·1x －0＝1－2x .要点三 导数的应用例3 求过点(1，－1)与曲线f (x )＝x 3－2x 相切的直线方程． 解 设P (x 0，y 0)为切点，则切线斜率为 k ＝f ′(x 0)＝3x 20－2故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0) ① ∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0 ②又∵(1，－1)在切线上， ∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)．解得x 0＝1或x 0＝－12.故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)． 即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.规律方法 (1，－1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要失解． 跟踪演练3 已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t 2＋2t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求t ＝3 s 时物体的瞬时速度． 解 ∵s (t )＝t －1t 2＋2t 2＝t t 2－1t 2＋2t 2＝1t －1t 2＋2t 2， ∴s ′(t )＝－1t 2＋2·1t 3＋4t ， ∴s ′(3)＝－19＋227＋12＝32327，即物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为32327 m/s.1．下列结论不正确的是( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x＋1D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x 答案 D解析 利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D 项，∵y ＝sin x ＋cos x ， ∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x . 2．函数y ＝cos x1－x的导数是( ) A.－sin x ＋x sin x(1－x )2B．x sin x －sin x －cos x(1－x )2C ．cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2D．cos x －sin x ＋x sin x1－x答案 C解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 1－x ′＝(－sin x )(1－x )－cos x ·(－1)(1－x )2＝cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2.3．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2答案 A解析∵y′＝x′(x＋2)－x(x＋2)′(x＋2)2＝2(x＋2)2，∴k＝y′|x＝－1＝2(－1＋2)2＝2，∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.4．直线y＝12x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b＝________.答案ln 2－1解析设切点为(x0，y0)，∵y′＝1x，∴12＝1x0，∴x0＝2，∴y0＝ln 2，ln 2＝12×2＋b，∴b＝ln 2－1.求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.一、基础达标1．设y＝－2e x sin x，则y′等于()A．－2e x cos x B．－2e x sin xC．2e x sin x D．－2e x(sin x＋cos x)答案D解析y′＝－2(e x sin x＋e x cos x)＝－2e x(sin x＋cos x)．2．当函数y＝x2＋a2x(a>0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0＝()A．a B．±aC ．－aD ．a 2答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2，由x 20－a 2＝0得x 0＝±a .3．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．2B ．12 C ．－12 D ．－2答案 D解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，∴y ′＝－2(x －1)2.∴y ′|x ＝3＝－12. ∴－a ＝2，即a ＝－2.4．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( ) A ．(－2，－8) B ．(－1，－1)或(1,1) C ．(2,8) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－18答案 B解析 y ′＝3x 2，∵k ＝3，∴3x 2＝3，∴x ＝±1， 则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．5．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________． 答案 4解析 依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ， f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4.6．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝________. 答案 1解析 由于f ′(0)是一常数，所以f ′(x )＝x 2＋3f ′(0)，令x ＝0，则f ′(0)＝0， ∴f ′(1)＝12＋3f ′(0)＝1. 7．求下列函数的导数： (1)y ＝(2x 2＋3)(3x －1)； (2)y ＝x －sin x 2cos x2.解 (1)法一 y ′＝(2x 2＋3)′(3x －1)＋(2x 2＋3)(3x －1)′＝4x (3x －1)＋3(2x 2＋3)＝18x 2－4x ＋9.法二 ∵y ＝(2x 2＋3)(3x －1)＝6x 3－2x 2＋9x －3， ∴y ′＝(6x 3－2x 2＋9x －3)′＝18x 2－4x ＋9. (2)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ， ∴y ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x .二、能力提升8．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12 B ．12 C ．－22 D ．22答案 B解析 y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2，故y ′|x ＝π4＝12，∴曲线在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12.9．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A ．[0，π4)B ．[π4，π2)C ．(π2，3π4]D ．[3π4，π)答案 D解析 y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1，设t ＝e x∈(0，＋∞)，则y ′＝－4t t 2＋2t ＋1＝－4t ＋1t ＋2，∵t ＋1t ≥2，∴y ′∈[－1,0)，α∈[3π4，π)．10．(2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. 答案 2解析 令t ＝e x ，则x ＝ln t ，所以函数为f (t )＝ln t ＋t ，即f (x )＝ln x ＋x ，所以f ′(x )＝1x ＋1，即f ′(1)＝11＋1＝2.11．求过点(2,0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程．解 点(2,0)不在曲线y ＝x 3上，可令切点坐标为(x 0，x 30)．由题意，所求直线方程的斜率k ＝x 30－0x 0－2＝y ′|x ＝x 0＝3x 20，即x 30x 0－2＝3x 20，解得x 0＝0或x 0＝3.当x 0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k ＝0，则所求直线方程是y ＝0； 当x 0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k ＝27， 则所求直线方程是y －27＝27(x －3)， 即27x －y －54＝0.综上，所求的直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0.12．已知曲线f (x )＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程． 解 设切点为(x 0，y 0)，则由导数定义得切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3， ∴切线方程为y ＝(3x 20－3)x ＋16， 又切点(x 0，y 0)在切线上，∴y 0＝3(x 20－1)x 0＋16， 即x 30－3x 0＝3(x 20－1)x 0＋16，解得x 0＝－2，∴切线方程为9x －y ＋16＝0. 三、探究与创新13．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值． (1)解 由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12， ①又f ′(x )＝a ＋bx 2， ∴f ′(2)＝74， ② 由①，②得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12a ＋b 4＝74.解之得⎩⎨⎧a ＝1b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知 曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)． 所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.1．2导数的计算1．2.1几个常用函数的导数1．2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)[学习目标]1．能根据定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝1x，y＝x的导数．2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．[知识链接]在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何用定义求函数y＝f(x)的导数？答(1)计算ΔyΔx，并化简；(2)观察当Δx趋近于0时，ΔyΔx趋近于哪个定值；(3)ΔyΔx趋近于的定值就是函数y＝f(x)的导数．[预习导引]1．几个常用函数的导数2．基本初等函数的导数公式要点一利用导数定义求函数的导数例1用导数的定义求函数f(x)＝2 013x2的导数．解f′(x)＝limΔx→02 013(x＋Δx)2－2 013x2x＋Δx－x＝limΔx→02 013[x2＋2x·Δx＋(Δx)2]－2 013x2Δx＝limΔx→04 026x·Δx＋2 013(Δx)2Δx＝lim Δx →0 (4 026x ＋2 013Δx ) ＝4 026x .规律方法 解答此类问题，应注意以下几条： (1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤． (2)当Δx 趋于0时，k ·Δx (k ∈R )、(Δx )n (n ∈N *)等也趋于0.(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用． 跟踪演练1 用导数的定义求函数y ＝x 2＋ax ＋b (a ，b 为常数)的导数． 解 y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋a (x ＋Δx )＋b －(x 2＋ax ＋b )Δx ＝lim Δx →0 x 2＋2x ·Δx ＋(Δx )2＋ax ＋a ·Δx ＋b －x 2－ax －b Δx ＝lim Δx →0 2x ·Δx ＋a ·Δx ＋(Δx )2Δx ＝lim Δx →0(2x ＋a ＋Δx )＝2x ＋a . 要点二 利用导数公式求函数的导数 例2 求下列函数的导数(1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x ；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝log 3x . 解 (1)y ′＝0； (2)y ′＝(5x )′＝5x ln 5； (3)y ′＝(x －3)′＝－3x －4；(4)y ′＝⎝⎛⎭⎫4x 3′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 34′＝34x －14＝344x ； (5)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3.规律方法 求简单函数的导函数的基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．跟踪演练2 求下列函数的导数：(1)y ＝x 8；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ；(3)y ＝x x ；(4)y ＝log 13x .解 (1)y ′＝8x 7；(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ln 12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12xln 2；(3)∵y ＝x x ＝x 32，∴y ′＝32x 12； (4) y ′＝1x ln 13＝－1x ln 3.要点三 利用导数公式求曲线的切线方程例3 求过曲线y ＝sin x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12且与过这点的切线垂直的直线方程．解 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ， 曲线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12处的切线斜率是：y ′|x ＝π6＝cos π6＝32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为－23， 故所求的直线方程为y －12＝－23⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即2x ＋3y －32－π3＝0.规律方法 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互垂直的直线斜率乘积等于－1是解题的关键．跟踪演练3 已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．解 ∵y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)， 则y ′|x ＝x 0＝2x 0， 又∵PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ， ∴k ＝2x 0＝1，即x 0＝12，所以切点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.∴所求的切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.1．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( ) A ．0 B ．2x C ．6 D ．9答案 C解析 ∵f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(3)＝6. 2．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( ) A.36 B ．0 C ．12xD ．32 答案 A解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝12x，∴f ′(3)＝123＝36. 3．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B ．[0，π)C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4 答案 A解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∵k l ＝cos x ，∴－1≤k l ≤1， ∴αl ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________． 答案 12e 2解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1.∴S △＝12×1×||－e 2＝12e 2.1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y ＝1－2sin 2x 2的导数．因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ， 所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.一、基础达标1．下列结论中正确的个数为( )①y ＝ln 2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227；③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2；④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 D解析 ①y ＝ln 2为常数，所以y ′＝0.①错．②③④正确．2．过曲线y ＝1x 上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2＝－4，x ＝±12，故选B.3．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( )A ．4B ．－4C ．5D ．－5答案 A解析 f ′(x )＝ax a －1，f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4，a ＝4. 4．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不确定答案 B解析 ∵f ′(x )＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则3x 20＝1，得x 0＝±33，即在点⎝ ⎛⎭⎪⎫33，39和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－39处有斜率为1的切线．5．曲线y ＝9x 在点M (3,3)处的切线方程是________． 答案 x ＋y －6＝0解析 ∵y ′＝－9x 2，∴y ′|x ＝3＝－1， ∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为： y －3＝－(x －3)即x ＋y －6＝0.6．若曲线y ＝x －12在点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a －12处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝________. 答案 64解析 ∵y ＝x －12，∴y ′＝－12x －32，∴曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a －12处的切线斜率k ＝－12a －32，∴切线方程为y －a －12＝－12a －32(x －a )． 令x ＝0得y ＝32a －12；令y ＝0得x ＝3a . ∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12·3a ·32a －12＝94a 12＝18，∴a ＝64.7．求下列函数的导数：(1) y ＝5x 3；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4；(4)y ＝log 2x 2－log 2x .解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫5x 3′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 35′＝35x 35－1＝35x －25＝355x 2.(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5.(3)∵y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x 2＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x . (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ， ∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2. 二、能力提升8．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A.1e B ．－1e C ．－e D ．e答案 D解析y ′＝e x ，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0＝kx 0y 0＝e x 0k ＝e x 0.∴e x 0＝e x 0·x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e.9．曲线y ＝ln x 在x ＝a 处的切线倾斜角为π4，则a ＝________. 答案 1解析 y ′＝1x ，∴y ′|x ＝a ＝1a ＝1，∴a ＝1.10．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x 的最小距离为________．答案 22 解析根据题意设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x 相切于点(x 0，y 0)，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，如图．则在点(x 0，y 0)处的切线斜率为1，即y ′|x ＝x 0＝1.∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为22.11．已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，求适合f ′(x )＋g ′(x )≤0的x 的值． 解 ∵f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，∴f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，g ′(x )＝x ′＝1， 由f ′(x )＋g ′(x )≤0，得－sin x ＋1≤0， 即sin x ≥1，但sin x ∈[－1,1]， ∴sin x ＝1，∴x ＝2k π＋π2，k ∈Z .12．已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离． 解 根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14，切点到直线x －y －2＝0的距离 d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728. 三、探究与创新13．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，f n＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，试求f2 014(x)．解f1(x)＝(sin x)′＝cos x，f2(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝(－cos x)′＝sin x，f5(x)＝(sin x)′＝f1(x)，f6(x)＝f2(x)，…，f n＋4(x)＝f n(x)，可知周期为4，∴f2 014(x)＝f2(x)＝－sin x．1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)[学习目标]1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．3．能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导．[知识链接]前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？答利用导数的运算法则．[预习导引]1．导数运算法则2．复合函数的求导法则要点一 利用导数的运算法则求函数的导数 例1 求下列函数的导数： (1) y ＝x 3－2x ＋3； (2)y ＝(x 2＋1)(x －1)； (3)y ＝3x －lg x .解 (1)y ′＝(x 3)′－(2x )′＋3′＝3x 2－2. (2)∵y ＝(x 2＋1)(x －1)＝x 3－x 2＋x －1， ∴y ′＝(x 3)′－(x 2)′＋x ′－1′＝3x 2－2x ＋1.(3)函数y ＝3x －lg x 是函数f (x )＝3x 与函数g (x )＝lg x 的差．由导数公式表分别得出f ′(x )＝3x ln 3，g ′(x )＝1x ln 10，利用函数差的求导法则可得 (3x －lg x )′＝f ′(x )－g ′(x )＝3x ln 3－1x ln 10.规律方法 本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数． 跟踪演练1 求下列函数的导数：(1)y＝5－4x3；(2)y＝3x2＋x cos x；(3)y＝e x·ln x；(4)y＝lg x－1 x2.解(1)y′＝－12x2；(2)y′＝(3x2＋x cos x)′＝6x＋cos x－x sin x；(3)y′＝e xx＋ex·ln x；(4)y′＝1x ln 10＋2x3.要点二求复合函数的导数例2求下列函数的导数：(1)y＝ln(x＋2)；(2)y＝(1＋sin x)2；解(1)y＝ln u，u＝x＋2∴y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·(x＋2)′＝1u·1＝1x＋2.(2)y＝u2，u＝1＋sin x，∴y x′＝y u′·u x′＝(u2)′·(1＋sin x)′＝2u·cos x＝2cos x(1＋sin x)．规律方法应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面：(1)中间变量的选取应是基本函数结构．(2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导．(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导．(4)善于把一部分表达式作为一个整体．(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．熟练后，就不必再写中间步骤．跟踪演练2(1)y＝e2x＋1；(2)y＝(x－2)2.解(1)y＝e u，u＝2x＋1，∴y′x＝y′u·u′x＝(e u)′·(2x＋1)′＝2e u＝2e2x＋1.(2)法一∵y＝(x－2)2＝x－4x＋4，∴y′＝x′－(4x)′＋4′＝1－4×12x －12＝1－2x .法二 令u ＝x －2，则y x ′＝y u ′·u x ′＝2(x －2)·(x －2)′＝ 2(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12·1x －0＝1－2x .要点三 导数的应用例3 求过点(1，－1)与曲线f (x )＝x 3－2x 相切的直线方程． 解 设P (x 0，y 0)为切点，则切线斜率为 k ＝f ′(x 0)＝3x 20－2故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0) ① ∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0 ②又∵(1，－1)在切线上， ∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)．解得x 0＝1或x 0＝－12.故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)． 即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.规律方法 (1，－1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要失解． 跟踪演练3 已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t 2＋2t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求t ＝3 s 时物体的瞬时速度． 解 ∵s (t )＝t －1t 2＋2t 2＝t t 2－1t 2＋2t 2＝1t －1t 2＋2t 2， ∴s ′(t )＝－1t 2＋2·1t 3＋4t ， ∴s ′(3)＝－19＋227＋12＝32327，即物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为32327 m/s.1．下列结论不正确的是( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x＋1D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x 答案 D解析 利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D 项，∵y ＝sin x ＋cos x ， ∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x . 2．函数y ＝cos x1－x的导数是( ) A.－sin x ＋x sin x(1－x )2B．x sin x －sin x －cos x(1－x )2C ．cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2D．cos x －sin x ＋x sin x1－x答案 C解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 1－x ′＝(－sin x )(1－x )－cos x ·(－1)(1－x )2＝cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2.3．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2答案A解析∵y′＝x′(x＋2)－x(x＋2)′(x＋2)2＝2(x＋2)2，∴k＝y′|x＝－1＝2(－1＋2)2＝2，∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.4．直线y＝12x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b＝________.答案ln 2－1解析设切点为(x0，y0)，∵y′＝1x，∴12＝1x0，∴x0＝2，∴y0＝ln 2，ln 2＝12×2＋b，∴b＝ln 2－1.求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.一、基础达标1．设y＝－2e x sin x，则y′等于()A．－2e x cos x B．－2e x sin xC．2e x sin x D．－2e x(sin x＋cos x)答案D解析y′＝－2(e x sin x＋e x cos x)＝－2e x(sin x＋cos x)．2．当函数y＝x2＋a2x(a>0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0＝()A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2，由x 20－a 2＝0得x 0＝±a .3．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．2B ．12C ．－12D ．－2答案 D解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，∴y ′＝－2(x －1)2.∴y ′|x ＝3＝－12. ∴－a ＝2，即a ＝－2.4．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( ) A ．(－2，－8) B ．(－1，－1)或(1,1) C ．(2,8) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－18答案 B解析 y ′＝3x 2，∵k ＝3，∴3x 2＝3，∴x ＝±1， 则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．5．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________． 答案 4解析 依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ， f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4.6．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝________. 答案 1解析 由于f ′(0)是一常数，所以f ′(x )＝x 2＋3f ′(0)， 令x ＝0，则f ′(0)＝0， ∴f ′(1)＝12＋3f ′(0)＝1. 7．求下列函数的导数： (1)y ＝(2x 2＋3)(3x －1)； (2)y ＝x －sin x 2cos x2.解 (1)法一 y ′＝(2x 2＋3)′(3x －1)＋(2x 2＋3)(3x －1)′＝4x (3x －1)＋3(2x 2＋3)＝18x 2－4x ＋9.法二 ∵y ＝(2x 2＋3)(3x －1)＝6x 3－2x 2＋9x －3， ∴y ′＝(6x 3－2x 2＋9x －3)′＝18x 2－4x ＋9. (2)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ， ∴y ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x .二、能力提升8．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12 B ．12 C ．－22 D ．22答案 B 解析 y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2，故y ′|x ＝π4＝12，∴曲线在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12.9．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A ．[0，π4)B ．[π4，π2)C ．(π2，3π4]D ．[3π4，π)答案 D解析 y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1，设t ＝e x∈(0，＋∞)，则y ′＝－4t t 2＋2t ＋1＝－4t ＋1t ＋2，∵t ＋1t ≥2，∴y ′∈[－1,0)，α∈[3π4，π)．10．(2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. 答案 2解析 令t ＝e x ，则x ＝ln t ，所以函数为f (t )＝ln t ＋t ，即f (x )＝ln x ＋x ，所以f ′(x )＝1x ＋1，即f ′(1)＝11＋1＝2.11．求过点(2,0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程．解 点(2,0)不在曲线y ＝x 3上，可令切点坐标为(x 0，x 30)．由题意，所求直线方程的斜率k ＝x 30－0x 0－2＝y ′|x ＝x 0＝3x 20，即x 30x 0－2＝3x 20，解得x 0＝0或x 0＝3.当x 0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k ＝0，则所求直线方程是y ＝0； 当x 0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k ＝27， 则所求直线方程是y －27＝27(x －3)， 即27x －y －54＝0.综上，所求的直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0.12．已知曲线f (x )＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程． 解 设切点为(x 0，y 0)，则由导数定义得切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3， ∴切线方程为y ＝(3x 20－3)x ＋16， 又切点(x 0，y 0)在切线上，∴y 0＝3(x 20－1)x 0＋16， 即x 30－3x 0＝3(x 20－1)x 0＋16，解得x 0＝－2，∴切线方程为9x －y ＋16＝0. 三、探究与创新13．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值． (1)解 由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12， ①又f ′(x )＝a ＋bx 2， ∴f ′(2)＝74， ② 由①，②得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12a ＋b 4＝74.解之得⎩⎨⎧a ＝1b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知 曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)． 所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。
11-12学年高中数学 3.1.2 复数的几何意义同步练习 新人教A版选修2-2
复数的几何意义一、选择题1．如果复数a ＋b i(a ，b ∈R )在复平面内的对应点在第二象限，则( )A ．a >0，b <0B ．a >0，b >0C ．a <0，b <0D ．a <0，b >0[答案] D[解析] 复数z ＝a ＋b i 在复平面内的对应点坐标为(a ，b )，该点在第二象限，需a <0且b >0，故应选D.2．(2010·北京文，2)在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i[答案] C[解析] 由题意知A (6,5)，B (－2,3)，AB 中点C (x ，y )，则x ＝6－22＝2，y ＝5＋32＝4， ∴点C 对应的复数为2＋4i ，故选C.3．当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] D[解析] ∵23＜m ＜1，∴3m －2>0，m －1＜0， ∴点(3m －2，m －1)在第四象限．4．复数z ＝－2(sin100°－icos100°)在复平面内所对应的点Z 位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] C[解析] z ＝－2sin100°＋2icos100°.∵－2sin100°<0,2cos100°<0，∴Z 点在第三象限．故应选C.5．若a 、b ∈R ，则复数(a 2－6a ＋10)＋(－b 2＋4b －5)i 对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] D[解析] a 2－6a ＋10＝(a －3)2＋1>0，－b 2＋4b －5＝－(b －2)2－1<0.所以对应点在第四象限，故应选D.6．设z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R ，则以下结论中正确的是( )A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不是纯虚数C ．z 对应的点在实轴上方D ．z 一定是实数[答案] C[解析] ∵2t 2＋5t －3＝(t ＋3)(2t －1)的值可正、可负、可为0，t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1≥1，∴排除A 、B 、D ，选C.7．下列命题中假命题是( )A ．复数的模是非负实数B ．复数等于零的充要条件是它的模等于零C ．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D ．复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|＞|z 2|[答案] D[解析] ①任意复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2≥0总成立．∴A 正确；②由复数相等的条件z ＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0b ＝0.⇔|z |＝0，故B 正确；③若z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1、b 1、a 2、b 2∈R )若z 1＝z 2，则有a 1＝a 2，b 1＝b 2，∴|z 1|＝|z 2|反之由|z 1|＝|z 2|，推不出z 1＝z 2，如z 1＝1＋3i ，z 2＝1－3i 时|z 1|＝|z 2|，故C 正确；④不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D 错．8．已知复数z ＝(x －1)＋(2x －1)i 的模小于10，则实数x 的取值范围是( )A ．－45<x <2 B ．x <2C ．x >－45D ．x ＝－45或x ＝2 [答案] A[解析] 由题意知(x －1)2＋(2x －1)2<10，解之得－45<x <2.故应选A. 9．已知复数z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 2＝－1＋a i ，若|z 1|<|z 2|，则实数b 适合的条件是( )A ．b <－1或b >1B ．－1<b <1C ．b >1D ．b >0[答案] B[解析] 由|z 1|<|z 2|得a 2＋b 2<a 2＋1，∴b 2<1，则－1<b <1.10．复平面内向量OA →表示的复数为1＋i ，将OA →向右平移一个单位后得到向量O ′A ′→，则向量O ′A ′→与点A ′对应的复数分别为( )A ．1＋i,1＋iB ．2＋i,2＋iC ．1＋i,2＋iD ．2＋i,1＋i[答案] C[解析] 由题意O ′A ′→＝OA →，对应复数为1＋i ，点A ′对应复数为1＋(1＋i)＝2＋i.二、填空题11．如果复数z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R )对应的点在第一象限，则实数m 的取值范围为________________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－52∪⎝⎛⎭⎪⎫32，＋∞ [解析] 复数z 对应的点在第一象限需⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －1>04m 2－8m ＋3>0解得：m <－1－52或m >32. 12．设复数z 的模为17，虚部为－8，则复数z ＝________.[答案] ±15－8i[解析] 设复数z ＝a －8i ，由a 2＋82＝17，∴a 2＝225，a ＝±15，z ＝±15－8i.13．已知z ＝(1＋i)m 2－(8＋i)m ＋15－6i(m ∈R )，若复数z 对应点位于复平面上的第二象限，则m 的取值范围是________．[答案] 3<m <5[解析] 将复数z 变形为z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2－m －6)i∵复数z 对应点位于复平面上的第二象限∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－8m ＋15<0m 2－m －6>0解得3<m <5.14．若t ∈R ，t ≠－1，t ≠0，复数z ＝t 1＋t ＋1＋t ti 的模的取值范围是________． [答案] [2，＋∞)[解析] |z |2＝⎝⎛⎭⎪⎫t 1＋t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t t 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫t 1＋t ·1＋t t ＝2. ∴|z |≥ 2.三、解答题15．实数m 取什么值时，复平面内表示复数z ＝2m ＋(4－m 2)i 的点(1)位于虚轴上；(2)位于一、三象限；(3)位于以原点为圆心，以4为半径的圆上．[解析] (1)若复平面内对应点位于虚轴上，则2m ＝0，即m ＝0.(2)若复平面内对应点位于一、三象限，则2m (4－m 2)>0，解得m <－2或0<m <2.(3)若对应点位于以原点为圆心，4为半径的圆上， 则4m 2＋(4－m 2)2＝4即m 4－4m 2＝0，解得m ＝0或m ＝±2.16．已知z 1＝x 2＋x 2＋1i ，z 2＝(x 2＋a )i ，对于任意的x ∈R ，均有|z 1|>|z 2|成立，试求实数a 的取值范围．[解析] |z 1|＝x 4＋x 2＋1，|z 2|＝|x 2＋a |因为|z 1|>|z 2|，所以x 4＋x 2＋1>|x 2＋a |⇔x 4＋x 2＋1>(x 2＋a )2⇔(1－2a )x 2＋(1－a 2)>0恒成立． 不等式等价于1－2a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a >0Δ＝－4(1－2a )(1－a 2)<0解得－1<a ≤12所以a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－1，12. 17．已知z 1＝cos θ＋isin2θ，z 2＝3sin θ＋icos θ，当θ为何值时(1)z 1＝z 2；(2)z 1，z 2对应点关于x 轴对称；(3)|z 2|< 2.[解析] (1)z 1＝z 2⇔⎩⎨⎧ cos θ＝3sin θsin2θ＝cos θ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ tan θ＝332sin θcos θ＝cos θ⇒θ＝2k π＋π6(k ∈Z )． (2)z 1与z 2对应点关于x 轴对称⇒⎩⎨⎧ cos θ＝3sin θsin2θ＝－cos θ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ θ＝k π＋π6(k ∈Z )2sin θcos θ＝－cos θ⇒θ＝2k π＋76π(k ∈Z )． (3)|z 2|<2⇒(3sin θ)2＋cos 2θ< 2 ⇒3sin 2θ＋cos 2θ<2⇒sin 2θ<12⇒k π－π4<θ<k π＋π4(k ∈Z )． 18．已知复数z 1＝3－i 及z 2＝－12＋32i. (1)求|z 1|及|z 2|的值并比较大小；(2)设z ∈C ，满足条件|z 2|≤|z |≤|z 1|的点Z 的轨迹是什么图形？[解析] (1)|z 1|＝|3＋i|＝(3)2＋12＝2 |z 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12－32i ＝1.∴|z 1|＞|z 2|. (2)由|z 2|≤|z |≤|z 1|，得1≤|z |≤2.因为|z |≥1表示圆|z |＝1外部所有点组成的集合． |z |≤2表示圆|z |＝2内部所有点组成的集合，∴1≤|z|≤2表示如图所示的圆环．。
新课标人教A版高中数学选修2-2复习学案(考前复习专用,含答案)
选修2-2 复习学案一、导数及其应用1、求曲线的切线例1 （1）已知函数3()2f x x x =+- ①在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标 ； ②函数)(x f 在点．．（1，0）处的切线方程为 ； （2）曲线2y x =过点．．P(3,5)的切线方程 .变式1：若函数21()ln 2f x x ax x =-+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围2、利用导数研究函数的性质例2.已知时都取得极值与在132)(23=-=+++=x x c bx ax x x f(1) 求ａ、ｂ的值及函数)(x f 的单调区间．(2) 若对2)(],2,1[c x f x <-∈不等式恒成立，求ｃ的取值范围． (3) 若对[1,2],()=0x f x ∈-方程有三个零点，求ｃ的取值范围．变式2 已知函数1,13)(23=-=-+=x x x bx ax x f 在处取得极值（1）求函数)(x f 的解析式.（2）若过点)2)(,1(-≠m m A 可作曲线y=)(x f 的三条切线,求实数m 的取值范围.例3若函数32()23(1)68()f x x a x ax a R =-+++∈在(,0)-∞单增，求a 的取值范围变式3 （1）已知函数233)(x x x f +=在区间[2m-1,m+1]上递增,则m 的取值范围 . （2）已知函数233)(x x x f +=的单减区间为（a ，b ）,则a+b= . 例4 已知函数()ln a f x x x=-（1）若()f x 存在最小值且最小值为2，求a 的值；（2）设()ln g x x a =-，若2()g x x <在(0,]e 恒成立，求a 的取值范围3、定积分的计算例5计算下列定积分（1）⎰+5321dx xx =_______； （2）⎰--1121dx x =_______.；（3）22|2|x x dx +-⎰= ；（4）21(23)t dx +=⎰ ；（5）已知()f x 为偶函数且⎰6)(dx x f =8则⎰-66)(dx x f =________________；（6）由曲线12,3y y x y x ==-=-所围成的图形的面积为二、推理与证明与复数1.下面几种推理是合情推理的是：①由圆的性质类比推出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是1800，归纳出所有三角形的内角和都是1800；③某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是1800，四边形内角和是3600，五边形的内角和是5400，得出凸n 边形内角和是(n-2)·1800.( ) A.①②B.①③④C.①②④D.②④2.若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a ∈R ，结论是：a 2>0，那么这个演绎推理出错在( ) A.大前提B.小前提C.推理过程D.其他3．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．不是以上错误4. 用反证法证明命题“若a 2+b 2+c 2≠0，则a,b ,c 不全为零”反设正确的是( )A. a ,b ,c 全不为零B.a ,b ,c 全为零C.a ,b ,c 恰有一个为零D.a ,b ,c 至少有一个为零 5.用反证法证明“关于x 的方程ax=b （a ≠0）有且只有一个根”时，应该假设方程（ ） A.无解 B.两解 C.至少两解 D.无解或至少两解6.(2012江西)观察下列各式：221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+= 则1010a b += （ ） A ．28 B ．76 C ．123 D ．1997. 观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，则52011的末四位数字为( ) A ．3125 B ．5625 C ．0625 D ．8125 8.用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2(n ∈N *)时，验证n ＝1，左边应取的项是( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4 9.（2012全国卷理）下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p （C ）,p p 24()D ,p p 3410.（2011重庆理）复数2341i i ii++=-（ ）（A ）1122i -- (B) 1122i -+ (C)1122i - (D) 1122i +11.212.[2011·陕西卷] 观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n 个等式为_______________________________． 13.若数列{a n }，(n ∈N *)是等差数列,则有数列b n =na a a n +⋯++21(n ∈N *)也是等差数列，类比上述性质，相应地：若数列{c n }是等比数列,且c n ＞0(n ∈N *),则有d n =___ ___ __(n ∈N *)也是等比数列.14.由“三角形的两边之和大于第三边”可以类比推出三棱锥的类似属性是 . 15.下列两个方程：x 2+(a -1)x +a 2=0,x 2+2ax -2a=0中至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围.16.在数列{a n }中，)(22,111++∈+==N n a a a a nn n ，试猜想这个数列的通项公式，并用数学归纳法证明.选修2-2 复习学案参考答案一、导数及其应用例1 （1）① (1,0)或(1,4)-- ② 440x y --= （2）210x y --=或10250x y --= 变式1 2a ≥例2略解：(1)2,21-=-=b a'22222223(2).()32,3201(),(1)332721(1),(2)2,()[1,2](2)22212f x x x x x x x f c f cf c f c f x f c c c c c =----==-=-=+=-+-=+=+-=+>+<->由得或且所以在上的最大值为从而解得或（3）由（2）知，结合图像应满足(1)02212272()03f c f -≤⎧⎪-<≤-⎨->⎪⎩得 变式2略解(1)求得x x x f 3)(3-=(2)设切点为33)(),3,(2'0300-=-x x f x x x M 因为200'20300020300200302066)(332)(,0332)1)(33(3),1)(33(x x x g m x x x g x A m x x x x m x x M x x m y -=++-=**=++---=----=-则设有三个不同的实数根的方程所以关于可作曲线的三条切线因为过点即所以又切线过点所以切线方程为'00000000()001()(,0),(1,),(0,1),()0,1(0)032(1)0(3,2)g x x x g x g x x x x g m g m ===-∞+∞==*>⎧-<<-⎨<⎩--由得或所以在上单调递增在上单调递减故函数的极值点为所以关于的方程有三个不同实根的充要条件是 解得所求的实数的取值范围是例3 解： 方法１：)1)((66)1(66)(2'--=++-=x a x a x a x x f方法２： 方法３．变式3 （1）1(,3][,2)2-∞-（2）2-例4 （1）a e =（2）1(ln,)22-+∞（详解见导学案《阶段质量检测一》18题） 例5 （1）58ln3+ （2）2π （3）3 （4）23t + （5）16 （6）136 21,()(,1),(,),.1,()6(1)0,()(,).1,()(,),(1,),()(,0),01.0,()(,0).a f x a a f x x f x a f x a f x a a f x >-∞+∞==-≥-∞+∞<-∞+∞-∞≤<≥-∞当时在上递增符合条件当时恒成立在上递增当时在上递增要保证在上递增则综上所述时在上递增'()(,0)()0(,0)(1)(1)(,0)0,10f x f x x x x a x x x x x aa -∞≥∈-∞-≥-∈-∞<∴-<∴≤≥因为在上递增所以在上恒成立即在上恒成立从而'2'()66(1)6(,0]1100220(0)00f x x a x a a a f a =-++-∞++⎧⎧≥<⎪⎪⎨⎨⎪⎪∆≤≥⎩⎩≥保证在上最小值大于或等于零故有或可解得二、推理与证明与复数 1-5 CACBD 6-10 CDDCC 11.<12.n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)=(2n －1)213.n n c c c c (321)14.三棱锥任意三个面的面积和大于第四个面的面积15.若两个方程都没有实根，则⎩⎨⎧<∆<∆0021，解得-2<a <-1，所以a ≥1,或a ≤ 216解：在数列{a n }中，∵)(22,111++∈+==N n a a a a nnn,15222,14222,13222,12222,2214453342231121+=+=+=+=+=+=+=+===a a a a a a a a a a a a a ∴可以猜想，这个数列的通项公式是12+=n a n 。
高中数学选修2-2(人教A版)第一章导数及其应用1.1知识点总结含同步练习及答案
导数的几何意义当点趋近于点时，割线
趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 P n P (,f ()) x 0x 0 P P n P P
)．
．
．
．
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解析：图像中每点的斜率均表示这一时刻的速度．
答案：解析：4. 如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记 时刻五角星露出水面部分的图形面积为
，则导函数 的图象大致为
．
A ．
B ．
C
．D ．
A
导函数 为单位时间内五角星出水的面积率，由图可知当一个角出来时，面积率由 开始，逐渐增多，当一个角
都出完了，则面积率一下由最大开始减小，当出最后两个角时，面积率会先增加，然后减小到 ．
t S (t )(S (0)=0)y =(t )S ′()y =(t )S ′0。
【小初高学习】新版高中数学人教A版选修2-2习题：第二章推理与证明 检测B
第二章检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1下列说法正确的有()①演绎推理是由一般到特殊的推理;②演绎推理得到的结论一定是正确的;③演绎推理的一般模式是“三段论”形式;④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关.A.1个B.2个C.3个D.4个解析演绎推理只有大前提、小前提和推理形式都正确才能保证结论正确,故②错误,其他都正确.故选C.答案C2有一段演绎推理是这样的:“若直线平行于平面,则该直线平行于平面内所有直线;已知直线b⊄平面α,a⊂平面α,直线b∥平面α,则直线b∥直线a”,这显然是错误的,这是因为()A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误解析“直线平行于平面,则该直线平行于平面内所有直线”是错误的,即大前提是错误的.故选A.答案A3(1)已知p3+q3=2,求证:p+q≤2.用反证法证明此命题时可假设p+q≥2;(2)已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求证:关于x的方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明此命题时可假设方程至少有一根的绝对值大于或等于1.以下结论正确的是()A.(1)与(2)的假设都错误B.(1)与(2)的假设都正确C.(1)的假设正确,(2)的假设错误D.(1)的假设错误,(2)的假设正确解析反证法证明问题的第一步是“假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立”,而命题(1)结论的反面应为“p+q>2”;对命题(2),其结论的反面为“方程x2+ax+b=0的两根的绝对值至少有一个大于或等于1”.故选D.答案D4如图,4个小动物换座位,开始时鼠、猴、兔、猫分别坐1,2,3,4号座位,如果第1次前后排动物互换座位,第2次左右列动物互换座位,第3次前后排动物互换座位,第4次左右列动物互换座位,……这样交替进行下去,那么第2 017次互换座位后,小兔所坐的座位号为()A.1B.2C.3D.4解析由题意得第4次互换座位后,4个小动物又回到了原座位,即每经过4次互换座位后,小动物回到原座位,而2 017=4×504+1,所以第2 017次互换座位后结果与第1次互换座位结果相同,故小兔坐在1号座位上,故选A.答案A5若f0(x)=sin x,f1(x)=f0'(x),f2(x)=f1'(x),…,f n+1(x)=f n'(x),n∈N*,则f2 017(x)等于()A.sin xB.-sin xC.cos xD.-cos x解析由题意可知,函数f n(x)的表达式是呈周期性变化的,周期为4,而2 017=4×504+1, 故f2 017(x)=f1(x)=cos x,故选C.答案C6观察式子:1+,1+,1+,……,则可归纳出一般式子为()A.1++…+(n≥2,n∈N)B.1++…+(n≥2,n∈N)C.1++…+(n≥2,n∈N)D.1++…+(n≥2,n∈N)答案C7已知a,b为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列四个命题中正确的是()A.若a,b与α所成的角相等,则a∥bB.若a∥α,b∥β,α∥β,则a∥bC.若a⊂α,b⊂β,a∥b,则α∥βD.若a⊥α,b⊥β,α⊥β,则a⊥b解析对于选项A,直线a,b有可能相交或异面;对于选项B,直线a,b有可能相交或异面;对于选项C,平面α,β有可能相交;对于选项D,若a⊥α,b⊥β,当a⊂β时,有b⊥a,当a⊄β时,因为α⊥β,所以a∥β,所以b⊥a,故选D.答案D8对于奇数列1,3,5,7,9,…,现在进行如下分组:第一组有1个数{1},第二组有2个数{3,5},第三组有3个数{7,9,11},……,则每组内奇数之和S n与其所在组的编号数n的关系是()A.S n=n2B.S n=n3C.S n=n4D.S n=n(n+1)解析当n=1时,S1=1;当n=2时,S2=8=23;当n=3时,S3=27=33;故归纳猜想S n=n3,故选B.答案B9古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,比如:①②他们研究过图①中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图②中的1,4,9,16,…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数,又是正方形数的是()A.289B.1 024C.1 225D.1 378解析根据图形的规律可知,第n个三角形数为a n=,第n个正方形数为b n=n2,由此可排除选项D(1 378不是平方数),将选项A,B,C中的数代入到三角形数与正方形数表达式中检验可知,符合题意的是选项C,故选C.答案C10六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体.如图①所示,在平行四边形ABCD中,有AC2+BD2=2(AB2+AD2),在如图②所示的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,A+B+C+D等于()A.2(AB2+AD2+A)B.3(AB2+AD2+A)C.4(AB2+AD2+A)D.4(AB2+AD2)解析如图,连接A1C1,AC,则四边形AA1C1C是平行四边形,故A1C2+A=2(A+AC2).连接BD,B1D1,则四边形BB1D1D是平行四边形,∴B+D=2(B+BD2).又在▱ABCD中,AC2+BD2=2(AB2+AD2).∵A=B,∴A+B+C+D=2(A+AC2)+2(B+BD2)=2(AC2+BD2+B+A)=2[2(AB2+AD2)+2A]=4(A B2+AD2+A).故选C.答案C二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11用三段论证明f(x)=x3+sin x(x∈R)为奇函数的步骤为.答案对定义域内的任意x,若满足f(-x)=-f(x),则函数f(x)为奇函数, 大前提因为x∈R,则-x∈R,f(-x)=(-x)3+sin(-x)=-x3-sin x=-f(x), 小前提所以函数f(x)=x3+sin x(x∈R)为奇函数.结论12观察分析下表中的数据:猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是.解析因为5+6-9=2,6+6-10=2,6+8-12=2,故可猜想F+V-E=2.答案F+V-E=213为了保证信息安全传输必须使用加密方式,有一种方式其加密、解密的原理如下:明文密文密文明文已知加密为y=a x-2(x为明文,y为密文),明文“3”通过加密后得到的密文为“6”,再发送,接收方通过解密得到明文“3”,若接收方收到的密文为“14”,则原发送的明文为.解析由题意知,当x=3时,函数y=a x-2的函数值为6,即6=a3-2,∴a3=8,∴a=2.∴y=2x-2.则当y=14时,有14=2x-2,∴2x=16.∴x=4,故原发送的明文为4.答案414观察图象,第行的各数之和等于2 0172.解析观察知,题图中的第n行的各数构成一个首项为n,公差为1,共(2n-1)项的等差数列,其各项和为:S n=(2n-1)n+=(2n-1)n+(2n-1)(n-1)=(2n-1)2.令(2n-1)2=2 0172,得2n-1=2 017,∴n=1 009.答案1 00915蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看做是一个正六边形,如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢,第二个图有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规律,以f(n)表示第n个图的蜂巢总数,则用n表示的f(n)=.解析由于f(2)-f(1)=7-1=6,f(3)-f(2)=19-7=2×6,推测当n≥2时,有f(n)-f(n-1)=6(n-1),∴f(n)=[f(n)-f(n-1)]+[f(n-1)-f(n-2)]+[f(n-2)-f(n-3)]+…+[f(2)-f(1)]+f(1)=6[(n-1)+(n-2)+…+2+1]+1=3n2-3n+1.又f(1)=1=3×12-3×1+1,∴f(n)=3n2-3n+1.答案3n2-3n+1三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)实数的乘法与向量的数量积有以下类似的性质:a·b=b·a,a·b=b·a,(a+b)·c=a·c+b·c,(a+b)·c=a·c+b·c.则由①(a·b)·c=a·(b·c),②若a≠0,a·c=a·b,则b=c,猜想对于向量的数量积有什么样的结论,猜想是否正确?解猜想:①(a·b)·c=a·(b·c),②若a≠0,a·c=a·b,则b=c.这两个结论都不正确.①式左边表示与c共线的向量,右边表示与a共线的向量,c与a不一定共线,故等式不一定成立.②设a与c的夹角为α,a与b的夹角为β,由a·c=a·b,得|a||c|cos α=|a||b|cos β,可得|c|cos α=|b|cos β,则c,b在a方向上的投影相等,b,c不一定相等.故等式不一定成立.17(8分)已知△ABC的三边a,b,c的倒数成等差数列,证明角B为锐角.分析在△ABC中,要证角B为锐角,只要证cos B>0,结合余弦定理可解决问题.证明要证明角B为锐角,只需证cos B>0.又因为cos B=,所以只需证明a2+c2-b2>0,即a2+c2>b2.因为a2+c2≥2ac,所以只需证明2ac>b2.由已知,得,即2ac=b(a+c).所以只需证明b(a+c)>b2,即只需证明a+c>b.而已知a,b,c为△ABC的三边,即a+c>b成立,所以角B为锐角.18(9分)设{a n},{b n}是公比不相等的两个等比数列,c n=a n+b n,证明数列{c n}不是等比数列.分析假设数列{c n}是等比数列,利用{a n},{b n}是公比不相等的等比数列的条件推出矛盾,即知假设不成立.证明假设数列{c n}是等比数列,则当n≥2时,(a n+b n)2=(a n-1+b n-1)(a n+1+b n+1).①因为{a n},{b n}是公比不相等的两个等比数列,设公比分别为p,q,所以=a n-1a n+1,=b n-1b n+1.代入①并整理,得2a n b n=a n+1b n-1+a n-1b n+1=a n b n,即2=.②当p,q异号时,<0,与②相矛盾;当p,q同号时,因为p≠q,所以>2,与②相矛盾.故数列{c n}不是等比数列.19(10分)已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为,短轴的一个端点为M(0,1),直线l:y=kx-与椭圆相交于不同的两点A,B.(1)若|AB|=,求k的值;(2)求证:不论k取何值,以AB为直径的圆恒过点M.(1)解由题意知,b=1.由a2=b2+c2可得c=b=1,a=,所以椭圆的方程为+y2=1.由消去y得(2k2+1)x2-kx-=0.Δ=k2-4(2k2+1)×=16k2+>0恒成立.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-.所以|AB|=·|x1-x2|=,化简得23k4-13k2-10=0,即(k2-1)(23k2+10)=0,解得k=±1.(2)证明因为=(x1,y1-1),=(x2,y2-1),所以=x1x2+(y1-1)(y2-1)=(1+k2)x1x2-k(x1+x2)+=-=0.所以不论k取何值,以AB为直径的圆恒过点M.20(10分)已知数列{a n}的各项均为正数,b n=n a n(n∈N*),e为自然对数的底数.(1)求函数f(x)=1+x-e x的单调区间,并比较与e的大小;(2)计算,由此推测计算的公式,并给出证明;(3)令c n=(a1a2…a n,数列{a n},{c n}的前n项和分别记为S n,T n,证明:T n<e S n.解(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=1-e x.当f'(x)>0,即x<0时,f(x)单调递增;当f'(x)<0,即x>0时,f(x)单调递减.故f(x)的单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为(0,+∞).当x>0时,f(x)<f(0)=0,即1+x<e x.令x=,得1+,即<e.①(2)=1·=1+1=2;=2·2=(2+1)2=32;=32·3=(3+1)3=43.由此推测:=(n+1)n.②下面用数学归纳法证明②.(ⅰ)当n=1时,左边=右边=2,②成立.(ⅱ)假设当n=k时,②成立,即=(k+1)k.当n=k+1时,b k+1=(k+1)a k+1,由归纳假设可得=(k+1)k(k+1)=(k+2)k+1.所以当n=k+1时,②也成立.根据(ⅰ)(ⅱ),可知②对一切正整数n都成立.(3)由c n的定义、②、算术-几何平均值不等式、b n的定义及①得T n=c1+c2+c3+…+c n=(a1+(a1a2+(a1a2a3+…+(a1a2…a n=+…+≤+…+=b1+b2+…++…+b n·=b1+b2+…+b n+…+a1+a2+…+a n<e a1+e a2+…+e a n=e S n,即T n<e S n.。
人教A版高中数学选修2-2 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数运算法则1同步练习习题(含答案解析)
选修2-2 1.2.2 第1课时 基本初等函数的导数公式及导数运算法则一、选择题1．曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎪⎫－1，－73处切线的倾斜角为( ) A ．30°B ．45°C ．135°D ．60° [答案] B[解析] y ′|x ＝－1＝1，∴倾斜角为45°.2．设f (x )＝13x 2－1x x ，则f ′(1)等于( ) A ．－16B.56 C ．－76D.76[答案] B3．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0[答案] A[解析] ∵直线l 的斜率为4，而y ′＝4x 3，由y ′＝4得x ＝1而x ＝1时，y ＝x 4＝1，故直线l 的方程为：y －1＝4(x －1)即4x －y －3＝0.4．已知f (x )＝ax 3＋9x 2＋6x －7，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( )A.193 B.163 C.103 D.133 [答案] B[解析] ∵f ′(x )＝3ax 2＋18x ＋6，∴由f ′(－1)＝4得，3a －18＋6＝4，即a ＝163. ∴选B.5．已知物体的运动方程是s ＝14t 4－4t 3＋16t 2(t 表示时间，s 表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( )A ．0秒、2秒或4秒B ．0秒、2秒或16秒C ．2秒、8秒或16秒D ．0秒、4秒或8秒 [答案] D[解析] 显然瞬时速度v ＝s ′＝t 3－12t 2＋32t ＝t (t 2－12t ＋32)，令v ＝0可得t ＝0,4,8.故选D.6．(2010·新课标全国卷文，4)曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( )A ．y ＝x －1B ．y ＝－x －1C ．y ＝2x －2D ．y ＝－2x －2 [答案] A[解析] 本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，在解题时应首先验证点是否在曲线上，然后通过求导得出切线的斜率，题目定位于简单题．由题可知，点(1,0)在曲线y ＝x 3－2x ＋1上，求导可得y ′＝3x 2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率k ＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得过点(1,0)的曲线y ＝x 3－2x ＋1的切线方程为y ＝x －1，故选A.7．若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( )A.π2B ．0C ．钝角D ．锐角[答案] C [解析] y ′|x ＝4＝(e x sin x ＋e x cos x )|x ＝4＝e 4(sin4＋cos4)＝2e 4sin(4＋π4)<0，故倾斜角为钝角，选C.8．曲线y ＝x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2处的切线与x 轴、直线x ＝π所围成的三角形的面积为 ( )A.π22B ．π2C ．2π2D.12(2＋π)2 [答案] A[解析] 曲线y ＝x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2处的切线方程为y ＝－x ，所围成的三角形的面积为π22. 9．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2011(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x[答案] D [解析] f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝(－cos x )′＝sin x ，∴4为最小正周期，∴f 2011(x )＝f 3(x )＝－cos x .故选D.10．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )、g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )－g (x )为常数C ．f (x )＝g (x )＝0D ．f (x )＋g (x )为常数 [答案] B[解析] 令F (x )＝f (x )－g (x )，则F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )＝0，∴F (x )为常数．二、填空题11．设f (x )＝ax 2－b sin x ，且f ′(0)＝1，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝12，则a ＝________，b ＝________. [答案] 0 －1[解析] f ′(x )＝2ax －b cos x ，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧ －b cos0＝12π3a －b cos π3＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－1a ＝0. 12．设f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋1，则不等式f ′(x )＜0的解集为________． [答案] (－1,3) [解析] f ′(x )＝3x 2－6x －9，由f ′(x )＜0得3x 2－6x －9＜0，∴x 2－2x －3＜0，∴－1＜x ＜3.13．曲线y ＝cos x 在点P ⎝⎛⎭⎪⎫π3，12处的切线的斜率为______． [答案] －32 [解析] ∵y ′＝(cos x )′＝－sin x ，∴切线斜率k ＝y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32. 14．已知函数f (x )＝ax ＋b e x图象上在点P (－1,2)处的切线与直线y ＝－3x 平行，则函数f (x )的解析式是____________．[答案] f (x )＝－52x －12e x ＋1[解析] 由题意可知，f ′(x )|x ＝－1＝－3，∴a ＋b e －1＝－3，又f (－1)＝2，∴－a ＋b e －1＝2，解之得a ＝－52，b ＝－12e ， 故f (x )＝－52x －12e x ＋1. 三、解答题15．求下列函数的导数：(1)y ＝x (x 2＋1x ＋1x 3)；(2)y ＝(x ＋1)(1x－1)； (3)y ＝sin 4x 4＋cos 4x 4；(4)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x. [解析] (1)∵y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x2， ∴y ′＝3x 2－2x3；(3)∵y ＝sin 4x 4＋cos 4x4 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x 4＋cos 2x 42－2sin 2x 4cos 2x4 ＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x 2＝34＋14cos x ， ∴y ′＝－14sin x ； (4)∵y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x ＝2＋2x 1－x ＝41－x －2， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2. 16．已知两条曲线y ＝sin x 、y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．[解析] 由于y ＝sin x 、y ＝cos x ，设两条曲线的一个公共点为P (x 0，y 0)， ∴两条曲线在P (x 0，y 0)处的斜率分别为若使两条切线互相垂直，必须cos x 0·(－sin x 0)＝－1，即sin x 0·cos x 0＝1，也就是sin2x 0＝2，这是不可能的，∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．17．已知曲线C 1：y ＝x 2与C 2：y ＝－(x －2)2.直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程．[解析] 设l 与C 1相切于点P (x 1，x 21)，与C 2相切于点Q (x 2，－(x 2－2)2)． 对于C 1：y ′＝2x ，则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)，即y ＝2x 1x －x 21.① 对于C 2：y ′＝－2(x －2)，与C 2相切于点Q 的切线方程为y ＋(x 2－2)2＝－2(x 2－2)(x －x 2)， 即y ＝－2(x 2－2)x ＋x 22－4.② ∵两切线重合，∴2x 1＝－2(x 2－2)且－x 21＝x 22－4，解得x 1＝0，x 2＝2或x 1＝2，x 2＝0.∴直线l 的方程为y ＝0或y ＝4x －4.18．求满足下列条件的函数f (x )：(1)f (x )是三次函数，且f (0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0；(2)f ′(x )是一次函数，x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1.[解析] (1)设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c由f (0)＝3，可知d ＝3，由f ′(0)＝0可知c ＝0，由f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0可建立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3a ＋2b ＝－3f ′(2)＝12a ＋4b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－3， 所以f (x )＝x 3－3x 2＋3.(2)由f ′(x )是一次函数可知f (x )是二次函数，则可设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) f ′(x )＝2ax ＋b ，把f (x )和f ′(x )代入方程，得x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1整理得(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c ＝1若想对任意x 方程都成立，则需 ⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝0b －2c ＝0c ＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝2c ＝1， 所以f (x )＝2x 2＋2x ＋1.。
第1章导数及其应用专解3 求函数的单调区间-人教A版高中数学选修2-2专题考点训练(必备知识点)
【必备知识点】1.函数的单调性与导数的关系我们知道，如果函数()f x在某个区间是增函数或减函数，那么就说()f x在这一区间具有单调性.已知函数2()43f x x x=-+的图象如图所示，由函数的单调性易知，当2x<时，()f x是减函数；当2x>时，()f x是增函数.现在我们看看各个单调区间内任意一点的切线情况：考虑到曲线()y f x=的在某点处切线的斜率就是函数()f x在改点的导数值，从图象可以看到：在区间（－∞，2）内，任意一点的切线的斜率为负，即'()240f x x=<时，()f x为减函数.在区间（2，+∞）内，任意一点的切线的斜率为正，即'()240f x x=>时，()f x为增函数.导数的符号与函数的单调性：一般地，设函数()y f x=在某个区间内有导数，则在这个区间上，（1）若()0f x '>，则()f x 在这个区间上为增函数； （2）若()0f x '<，则()f x 在这个区间上为减函数； （3）若恒有()0f x '=，则()f x 在这一区间上为常函数.反之，若()f x 在某区间上单调递增，则在该区间上有()0f x '≥恒成立（但不恒等于0）；若()f x 在某区间上单调递减，则在该区间上有()0f x '≤恒成立（但不恒等于0）．2.利用导数研究函数的单调性利用导数判断函数单调性的基本方法： 设函数()y f x =在区间（a ，b ）内可导，（1）如果恒有'()0f x >，则函数()f x 在（a ，b ）内为增函数； （2）如果恒有'()0f x <，则函数()f x 在（a ，b ）内为减函数； （3）如果恒有'()0f x =，则函数()f x 在（a ，b ）内为常数函数.【典例展示】例1. 确定函数32()267f x x x =-+的单调区间.【解析】第一步：确定函数的定义域： ()f x 的定义域为R ；第二步：求导：2'()6126(2)f x x x x x =-=-， 第三步：方法一：解不等式'()0f x >确定函数的单调增区间： 令'()0f x >，解得x ＜0或x ＞2， 则函数()f x 在x ＜0或x ＞2时是增函数； 方法二：列表法：令'()=0f x ，解得x =0或x =2.当x 变化时，()f x '、()f x 的变化状态如下表：第四步：确定单调区间：因此，函数()f x 的单调增区间为（－∞，0）和（2，+∞），而单调减区间为（0，2）.例2 求函数22ln y x x =-的单调区间．【解析 】第一步：确定函数的定义域：函数22ln y x x =-的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)；第二步：求导：222(1)2(1)(1)()2x x x f x x x x x --+'=-==；第三步：方法一：解不等式()0f x '>确定单调增区间：令2(1)(1)x x x -+>，利用穿线法解不等式，得1<0x < 或1x >.方法二：令()=0f x '得，=1x ±.当x 变化时，()f x '、()f x 的变化状态如下表：第四步：确定单调区间：函数()f x 的单调增区间是（-1，0)和（1，+∞)，减区间是(-∞，-1)和(0，1)．例3. 已知函数22()(1)(1)x bf x x x -=≠-，求导函数'()f x ，并确定()f x 的单调区间.【解析】第一步：确定函数的定义域：()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞+∞；第二步：求导：2432(1)(2)2(1)2[(1)]'()(1)(1)x x b x x b f x x x ---⋅----==--； 第三步：解不等式'()0f x >，求单调增区间： 令'()0f x >，得32[(1)]0(1)x b x --->-，同解于[(1)](1)0x b x ---<.当11b ->，即2b >，不等式的解为11x b <<-； 当11b -=，即2b =，不等式的解为空集； 当11b -<，即2b <，不等式的解为11b x -<<.综上，当2b >时，()f x 的单调增区间为(1,1)b -，单调减区间为(,1)(1,)b -∞-+∞和； 当2b =时，()f x 的单调减区间为(,1)(1,)-∞+∞和，无增区间；当2b <时，()f x 的单调增区间为(1,1)b -，单调减区间为(,1)(1,)b -∞-+∞和.例4．证明不等式2(1)ln 1x x x ->+，其中1x >.【解析】设2(1)()ln ,(1)1x f x x x x -=->+，214'()(1)f x x x =-+，1,'()0x f x >∴>，()f x ∴在(1,)+∞内为单调增函数.又(1)0f =，当1x >时，()(1)0f x f ∴>=，即2(1)ln 01x x x -->+，2(1)ln 1x x x -∴>+.【思路总结与方法】1. 思路：求函数的单调区间即为求使其导函数为正（或负）的x 值的范围，先正确求出函数的导函数，然后再在函数的定义域内解导函数的不等式即可。