高二理科数学期中测试题及答案.doc
高二下学期期中考试理科数学试卷含答案(共5套)
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高二下学期理科数学期中考试卷第I 卷(选择题共60分)一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分;在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{}(){}2|560,|ln 1A x x x B x y x =--≤==-,则AB 等于( )A .[]1,6-B .(]1,6C .[)1,-+∞D .[]2,3 2.复数201811z i i=++在复平面内对应的点在( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限3. 已知命题p :存在实数α,β,sin()sin sin αβαβ+=+;命题q :2log 2log 2a a +≥(0a >且1a ≠). 则下列命题为真命题的是( )A .p q ∨B .p q ∧C .()p q ⌝∧D .()p q ⌝∨ 4.已知平面向量,a b 满足3a =, 23b =,且a b +与a 垂直,则a 与b 的夹角为( )A.6π B. 3πC. 23πD. 56π5.设a R ∈,则“1a =”是“直线1l :240ax y +-=与直线2l :()120x a y +++=平行”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.设实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-010101y x y y x ,则y x z -=2的最大值为( )A .3-B .2-C .1D .27.执行如图所示的程序框图,如果输入的a 依次为2,2,5时,输出的s 为17,那么在判断框 中,应填入( ) A .?n k < B .?n k > C .?n k ≥ D .?n k ≤8.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( )A .121B .49C .92D .39.某城市关系要好的A , B , C , D 四个家庭各有两个小孩共8人,分别乘甲、乙两辆汽车出去游玩,每车限坐4名(乘同一辆车的4名小孩不考虑位置),其中A 户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有( )A. 48种B. 36种C. 24种D. 18种 10.已知点D C B A ,,,在同一个球的球面上,2==BC AB ,2=AC ,若四面体ABCD 的体积为332,球心O 恰好在棱DA 上,则这个球的表面积为( )A . π16B .π8 C. π4 D .425π11.P 为双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>上一点, 12,F F 分别为C 的左、右焦点, 212PF F F ⊥,若12PF F ∆的外接圆半径是其内切圆半径的2.5倍,则C 的离心率为( )A .2或3B .2或3C .2D .212.已知函数()f x 是定义在()0,+∞的可导函数,()'f x 为其导函数,当0x >且1x ≠ 时,()()2'01f x xf x x +>-,若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为1-,则()1f =( )A. 12-B. 0C. 12D. 1第II 卷(非选择题共90分)二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.2-=⎰**** .14.5(2)(1)x x +-展开式中含3x 项的系数为 **** .(用数字表示) 15.若sin 2cos 24παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,且,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos2α= **** . 16.对任一实数序列),,,(321 a a a A =,定义新序列),,,(342312 a a a a a a A ---=∆,它的第n 项为n n a a -+1,假设序列)(A ∆∆的所有项都是1,且02212==a a ,则=2a **** .三、解答题:(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且满足()cos 2cos b C a c B =-. (1)求角B 的大小;(2)若b =,求ABC ∆面积的最大值.18.(本小题满分12分)某工厂为了对新研发的产品进行合理定价,将该产品按实现拟定的价格进行试销,得到一组检测数据),(i i y x (6,,2,1 =i )如下表所示:已知变量,x y 具有线性负相关关系,且3961=∑=i ix,48061=∑=i i y ,现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其回归直线方程为:甲:544+=x y ;乙:1064+-=x y ;丙:1052.4+-=x y ,其中有且仅有一位同学的计算是正确的.(1)试判断谁的计算结果正确?并求出,a b 的值;(2)若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1,则该检测数据是“理想数据”.现从检测数据中随机抽取2个,求至少有一个检测数据为“理想数据”的概率.19.(本小题满分12分)已知数列{}n a 满足13a =, 121n n a a n +=-+,数列{}n b 满足12b =, 1n n n b b a n +=+-. (1)证明:{}n a n -是等比数列; (2)数列{}n c 满足()()111n n n n a nc b b +-=++,求数列{}n c 的前n 项的和n T .20.(本小题满分12分)已知四棱锥P ABCD -,底面ABCD 为菱形,,PD PB H =为PC 上的点,过AH 的平面分别交,PB PD 于点,M N ,且//BD 平面AMHN . (1)证明: MN PC ⊥;(2)当H 为PC 的中点, 3PA PC AB ==, PA 与平面ABCD 所成的角为60︒,求二面角P AM N --的余弦值.21.(本题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点)22,1(P ,且离心率为22. (1)求椭圆C 的方程;(2)设21,F F 分别为椭圆C 的左、右焦点,不经过1F 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点B A ,,如果直线1AF 、l 、1BF 的斜率依次成等差数列,求焦点2F 到直线l 的距离d 的取值范围.22.(本小题满分12分)设函数e R a a x a e x f x,),ln(2)(∈+--=为自然对数的底数.(1)若0>a ,且函数)(x f 在区间),0[+∞内单调递增,求实数a 的取值范围; (2)若320<<a ,判断函数)(x f 的零点个数并证明.高二下学期理科数学期中考试参考答案及评分标准13、2π; 14、10 ; 15、8; 16、100. 11、【解析】由于12PF F ∆为直角三角形,故外心在斜边中线上.由于22b PF a =,所以212b PF a a =+,故外接圆半径为21122b PF a a=+.设内切圆半径为r ,根据三角形的面积公式,有2221122222b b b c c a r a a a ⎛⎫⋅⋅=+++⋅ ⎪⎝⎭,解得2b r ac =+,故两圆半径比为22:2.52b b a a a c ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭,化简得()()()1230e e e +--=,解得2e =或3e =.12、【解析】曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为1-,所以()'11f =- ,当0x >且1x ≠时,()()2'01f x xf x x +>-,可得1x >时, ()()2'0,f x xf x +>01x <<时, ()()2'0f x xf x +<,令()()()2,0,,g x x f x x =∈+∞ ()()()()()2'2'2'g x xf x x f x x f x xf x ⎡⎤∴=+=+⎣⎦,可得1x >时,()'0,g x >01x <<时,()'0g x <,可得函数()g x 在1x =处取得极值, ()()()'121'10,g f f ∴=+=, ()()111'122f f ∴=-⨯=,故选C.17、【解析】 (1)由()cos 2cos b C a c B =-,得()sin cos 2sin sin cos B C A C B ⋅=-⋅sin()2sin cos sin B C A B A ∴+=⋅=,又sin 0A ≠, 1cos 2B ∴=, 又0B π<<, 3B π∴=. (2)由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-,∴2212a c ac =+-,∵222a c ac +≥,∴12ac ≤,当且仅当a c ==∴11sin 12222ABC S ac B ∆=≤⨯⨯=即ABC ∆面积的最大值为.……………………10分18、解:(1)∵变量y x ,具有线性负相关关系, ∴甲是错误的. 又∵3961=∑=i ix,48061=∑=i i y ,∴80,5.6==y x ,满足方程1064+-=x y ,故乙是正确的.由3961=∑=i ix,48061=∑=i i y ,得8=a ,90=b . ……………………6分(2)由计算得不是“理想数据”有3个,即(5,84),(7,80),(9,68),从6个检测数据中随机抽取2个,共有2615C =种不同的情形,其中这两个检测数据都不是“理想数据”有233C =中情形,故至少有一个检测数据为“理想数据”的概率为:341155P =-=.……………………12分19、【解析】(1)121n n a a n +=-+()()112n n a n a n +∴-+=-,又因为112a -=,所以{}n a n -是首项为2,公比为2的等比数列. …………………4分 (2)由(1)得()11122n n n a n a --=-⋅=,又1n n n b b a n +=+-12n n n b b +∴-=()()()()121112*********n n n n n n n n b b b b b b b b n -----∴=-+-+-+=++++=≥12b =满足上式. 2nn b ∴=()()()()1112111121212121n n n n n n n n n a n c b b +++-===-++++++12231111111111212121212121321n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭………12分20、【解析】(1)证明:连结AC 交BD 于点O ,连结PO .因为ABCD 为菱形,所以BD AC ⊥,且O 为AC 、BD 的中点,因为PD PB =,所以PO BD ⊥,因为AC PO O =且AC PO ⊂、平面PAC ,所以BD ⊥平面PAC ,因为PC ⊂平面PAC ,所以BD PC ⊥.因为//BD 平面AMHN , BD ⊂平面PBD ,且平面AMHN平面PBD MN =,所以//BD MN ,所以MN PC ⊥. ………………4分 (2)由(1)知BD AC ⊥且PO BD ⊥, 因为PA PC =,且O 为AC 的中点, 所以PO AC ⊥,所以PO ⊥平面ABCD , 所以PA 与平面ABCD 所成的角为PAO ∠, 所以,所以13,22AO PA PO PA ==, 因为3PA AB =,所以36BO PA =. 如图,分别以OA , OB , OP 为,,x y z 轴,建立所示空间直角坐标系, 设6PA =,则()()()()0,0,0,3,0,0,0,3,0,3,0,0O A B C -,()0,3,0,D -()3330,0,33,,0,22P H ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ 所以()9330,23,0,,0,,22DB AH ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ ()()3,3,0,3,0,33AB AP =-=-.记平面AMHN 的法向量为()1111,,n x y z =,则11111230933022n DB y n AH x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩, 令11x =,则110,3y z ==,所以()11,0,3n =,记平面PAB 的法向量为()2222,,n x y z =,则2222223303330n AB x y n AP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩,令23x =,则223,1y z ==,所以()23,3,1n =,记二面角P AM N --的大小为θ,θ为锐角 则1212122339cos cos ,13213n n n n n n θ⋅====⋅⋅ 所以二面角P AM N --的余弦值为3913.……………………12分21、解析:(1)由题意,知22111,22a b c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩考虑到222a b c =+,解得222,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为2212x y +=. ……………………3分 (2)设直线l 的方程为y kx m =+,代入椭圆方程2212x y +=, 整理得222(12)42(1)0k x kmx m +++-=.由222(4)8(12)(1)0km k m ∆=-+->,得2221k m >-. ①设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则122412kmx x k+=-+,21222(1)12m x x k -=+. 因为(1,0)F -,所以1111AF y k x =+,1221AF y k x =+. 因为1212211y yk x x =+++,且11y kx m =+,22y kx m =+, 所以12()(2)0m k x x -++=.因为直线AB :y kx m =+不过焦点(1,0)F -,所以0m k -≠, 所以1220x x ++=,从而242014km k -+=+,即12m k k=+. ② 由①②得2212()12k k k>+-,化简得||2k > ③ 焦点2(1,0)F 到直线l :y kx m =+的距离211|2|2k d ++===.令t =||2k >t ∈.于是23132()2t d t t t+==+.考虑到函数13()()2f t t t=+在上单调递减,则(1)f d f <<2d <<.所以d的取值范围为2). ……………………12分22、解:(1)∵函数()x f 在区间[)∞+,0内单调递增, ∴01)('≥+-=ax e x f x在区间[)∞+,0内恒成立. 即x ea x-≥-在区间[)∞+,0内恒成立. 记()x ex g x-=-,则01)('<--=-x e x g 恒成立,∴()x g 在区间[)∞+,0内单调递减, ∴()()10=≤g x g ,∴1≥a ,即实数a 的取值范围为[)∞+,1.…………………4分 (2)∵320<<a ,ax e x f x+-=1)(', 记)(')(x f x h =,则()01)('2>++=a x e x h x, 知)('x f 在区间()+∞-,a 内单调递增. 又∵011)0('<-=a f ,1'(1)01f e a=->+, ∴)('x f 在区间()+∞-,a 内存在唯一的零点0x , 即01)('000=+-=ax ex f x , 于是ax ex +=01,()a x x +-=00ln . 当0x x a <<-时,)(,0)('x f x f <单调递减; 当0x x >时,)(,0)('x f x f >单调递增.∴()())ln(200min 0a x a ex f x f x +--==a a ax a x x a a x 3231210000-≥-+++=+-+=,当且仅当10=+a x 时,取等号. 由320<<a ,得032>-a , ∴()()00min >=x f x f ,即函数()x f 没有零点. …………12分高二(下)理科数学期中考试试卷一、单选题(共12题;共60分)1.()()121-1x +=⎰A. 212+π B. 214+πC. 12+πD. 21+π2.如图,在矩形ABCD 中,2AB =,1AD =,以A 为顶点且过点C 的抛物线的一部分在矩形内.若在矩形ABCD 内随机地投一点,则此点落在阴影部分内的概率为()A.12 B. 23 C. 35D. 34 3.设复数z 满足()11z i i +=-,则z =() A. 2i -- B. 1i -- C. 2i -+ D. 1i -+4.设P 为曲线C :223y x x =++上的点,且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[42ππ,),则点P横坐标的取值范围为()A. 12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦, B. []10-,C. []01, D. 12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭, 5.已知函数,在区间(0,1)内任取两个实数,,且,若不等式恒成立,则实数的取值范围是A. (15,B. [15,C. (,6) D. (,66.若,则下列不等式恒成立的是 ( )A.B.C. D.7.函数f(x)=x 3+ax 2+bx +a 2在x=1处的极值为10,则数对(a,b )为( )A. (-3,3)B. (-11,4)C. (4,-11)D.(-3,3)或(4,-11) 8.已知对于任意恒成立,则实数a 的最大值为( )A. 0B. 1C.D.9.函数f(x)= 的大致图象是()A. B.C. D.10.已知函数,其导函数的图象如图,则函数的极小值为()A. cB. a+b+cC. 8a+4b+cD. 3a+2b11.设函数的导函数为,且,,则下列不等式成立的是()A. B.C. D.12.若函数在内无极值,则实数的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题(共4题;共20分)13.若,则= ________14.球的直径为,当其内接正四棱柱的体积最大时的高为________.15.已知函数在上为减函数,则实数的取值范围是________.16.若函数在上有最小值,则实数的取值范围为________.三、解答题(共6题;共70分)17.已知.(满分10分) (1)若时,求曲线在点处的切线方程;(2)若,求函数的单调区间.18.已知函数,.(满分10分)(1)若,判断函数是否存在极值,若存在,求出极值;若不存在,说明理由;(2)设函数,若至少存在一个,使得成立,求实数的取值范围.19.已知三棱锥A BCD -如图所示,其中90BAD BDC ∠=∠=︒,ADB DBC ∠=∠,面ABD 垂直面CBD.(满分14分)(1)证明:AB DC ⊥;(2)若E 为线段BC 的中点,且1AD =,tan 6CAD ∠=,求二面角B AD E --的余弦值.20.已知椭圆C1的方程为+ =1,双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而以双曲线C2的左、右顶点分别是椭圆C1的左、右焦点.(满分12分)(1)求双曲线C2的方程;(2)记O为坐标原点,过点Q(0,2)的直线l与双曲线C2相交于不同的两点E、F,若△OEF的面积为2 ,求直线l的方程.21.已知椭圆E:+ =1(a>b>0)过点,且离心率e为.(1)求椭圆E的方程;(2)设直线x=my﹣1(m∈R)交椭圆E于A,B两点,判断点G 与以线段AB为直径的圆的位置关系,并说明理由.(满分12分)22.已知函数f(x)=(a﹣)x2+lnx(a为实数).(满分12分)(1)当a=0时,求函数f(x)在区间[ ,e]上的最大值和最小值;(2)若对任意的x∈(1,+∞),g(x)=f(x)﹣2ax<0恒成立,求实数a的取值范围.19、(满分14分)20. (满分12分)21、(满分12分)答案解析部分1,B 2,B 3,A 4,D 5,B 6,C 7,C8.【答案】C【解析】【解答】依题意得令,则,当时,,当时,,所以函数先增后减,最小值为,所以.故答案为:C.9.【答案】C【解析】【解答】解:∵f(x)= ,当x=0时,f(0)=﹣3,故排除AB当x= 时,f()=0,故排除D,故选:C10.【答案】C【解析】【解答】由导函数的图象可知,在处取得极小值,.f(2)=8a+4b+c故答案为:C。
高二年级期中考试数学试卷(理科)(及答案)
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高二年级期中考试数学试卷(理科)(及答案)考试时间:120分钟共150分第I 卷(模块卷)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 已知过点A (-2,m )和B (-8,4)的直线与直线01-2y x 平行,则m 的值为()A. 0B. -8C. 2D. 102. 圆4)2(22yx 与圆91)()2(22y x的位置关系为()A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离3. 关于直线a 、b 、l 及平面M 、N ,下列命题中正确的是()A. 若M b M a //,//,则b a //B. 若a b M a ,//,则Mb C. 若,,a M bM 且,la lb ,则l MD. 若N a M a//,,则MN 4. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是()A.122B. 144C.12D.1425. 若直线10x y 与圆22()2xa y有公共点,则实数a 的取值范围是()A.3,1B.1,3 C.3,1 D. ),1[]3,(6. 如图,在正四面体P —ABC 中,D ,E ,F 分别是棱AB ,BC ,CA 的中点,下面四个结论中不成立...的是()A. BC//平面PDFB. DF ⊥平面PAEC. 平面PDF ⊥平面ABCD. 平面PAE ⊥平面ABC7. 已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等,则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值等于A.46 B.410 C.22 D.238. 如图,正方体AC 1的棱长为1,过点A 作平面A 1BD 的垂线,垂足为点H ,则以下命题中,错误..的命题是()A. 点H 是△A 1BD 的垂心B. AH 垂直平面CB 1D 1C. AH 的延长线经过点C 1D. 直线AH 和BB 1所成角为45°二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。
高中高二理科数学期中测试卷试题包括答案.doc
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高二期中理科数学试卷10、 若 f ( x)1 x2 b ln( x 2)在 (-1,+ ) 上是减函数,b 的取 范 是()2第 I 卷 ( , 共 60 分)A. [ 1,)B.( 1, )C.( , 1]D.( , 1)一、 (共12 小 ,每小 5 分,共 60 分)11、点 P 是曲 yx 2ln x上任意一点 , 点 P 到直 yx 2 的距离的最小 是()51、复数的共 复数是 ()2i(A)1(B)2(C)2(D) 2 2A 、 i 2B 、 i 2C 、2 iD 、 2 i'12、 于 R 上可 的任意函数 f ( x ),且3f (1) 0若 足( - ), 必有()2、 已知 f(x)=x· sinx,f '(1) )x1 f( x )>0=(A . f (0)+ f (2) 2 f ( 1)B . f ( 0)+ f (2) 2 f ( 1)1+cos1 B.1 sin1+cos1 C.1 D.sin1+cos1C . f (0)+ f (2) > 2 f ( 1)D. f (0)+ f ( 2) 2 f ( 1)A.3 sin1-cos133第Ⅱ卷 (非 , 共 90 分)3、 设 aR ,函数 fe xae x 的导函数为 f ' xx,且 f ' x是奇函数,则 a 为 ()5 分,共 20分)二.填空 (每小A .0B. 1 C.2D. -124、 定积分1x13、 f (x)x , x [0,1], 02f ( x) dx =( 2 x e ) dx 的值为( )2 x, x(1,2]A 2 eB e CeD2 e .. .1.14、若三角形内切 半径r ,三 a,b,c 三角形的面S(r a b c );1 112(n ≥ 2, n ∈N * )的 程中,由5、利用数学 法 明不等式1+ 2 + 3+⋯2n - 1<f(n) n = k 到 n= k + 1 ,左 增加了 ()利用 比思想:若四面体内切球半径R ,四个面的面S 1, S 2, S 3, S 4 ;A . 1B . kk -1k四面体的体V=C .2D . 22,其中 i 是虚数 位, |z|= ______.15、若复数 z =6、由直 y= x - 4,曲 y2x 以及 x 所 成的 形面 ()1+ 3i16、已知函数 f(x) = x 3+ 2x 2- ax + 1 在区 (- 1,1)上恰有一个极 点, 数 a 的取 范_____.4025B.13C.D.1570 分)A.2三、解答 (本大 共37、函数 f (x)x 3ax 2bx a 21 有极 10,点 (a, b)()17、( 10 分) 实数 m 取怎样的值时,复数z m3 (m 22m 15)i 是:在 x( A ) (3,3) ( B ) (4,11) ( C ) (3,3) 或 ( 4,11)( 1)实数?( 2)虚数?( 3)纯虚数?(D )不存在18、( 12 分)已知函数f ( x) x33x .8、函数 f(x) = x 2- 2lnx 的 减区 是 ( )3, 3] 上的最大 和最小 . A . (0,1]B . [1,+∞ )C . (-∞,- 1]∪ (0,1]D .[ -1,0)∪ (0,1]( 1)求函数 f ( x) 在 [29、 已知f ( x1) 2 f ( x) , f (1),猜想 的表达式( )( 2) 点 P(2,6)作曲 y f ( x) 的切 ,求此切 的方程 .f (x) 2 1 ( x N *)f (x )A. f (x)2 x4 ; B.f ( x)2; C.f (x)1; D.f ( x)2 .2x 1x 12x 11 1 又因 f (3)18, f ( 1) 2, f (1)3919、( 12 分)在各 正的数列a n 中 , 数列的前 n 和 S n 足 S n2, f ( ),a n,282a n⑴求 a 1 , a 2 , a 3 ;所以当 x3 , f (x) min 18 当 x1 , f (x)max2 ⋯⋯⋯⋯ 6 分y ( x o 33(x o 2a n( II ) 切点 Q( x o , x o 3 3x o ) , 所求切 方程 3x o ) 1)(x x o )⑵由⑴猜想数列的通 公式 , 并用数学 法 明你的猜想由于切 点 P(2, 6) ,6 ( x o 33x o ) 3( x o21)(2 x o ) ,220、( 12 分)已知函数 f ( x) x 3 ax 2 bx c 在 x 与 x 1 都取得极解得 x o 0 或 x o3 所以切 方程y3x 或 y 6 24( x 2) 即(1) 求 a, b 的 与函数 f ( x) 的 区33x y 0 或 24 x y54 0(2) 若 x[ 1,2] ,不等式 f (x) 2⋯⋯⋯⋯ 12 分c 恒成立,求 c 的取 范21、( 12 分)已知函数f ( x) 2x 3 3x 2 3.( 1)求曲 yf ( x) 在点 x 2 的切 方程;( 2)若关于 x 的方程 fxm 0 有三个不同的 根,求 数m 的取 范 . 19 . 解 : ⑴易求得 a 11, a 2 2 1, a 3 32⋯⋯⋯⋯ 2 分f xa 2xxln x ,其中 a0 .⑵猜想 a nn n1(n N *)22、( 12分)已知函数x, g⋯⋯⋯⋯ 5 分xa 的 ;( 1)若 x1 是函数 h xf xg x 的极 点,求 数明 : ①当 n 1 , a 111, 命 成立( 2)若 任意的 x 1 , x 21, e ( e 自然 数的底数)都有fx 1 ≥ g x 2 成立,求 数 a的取 范 .②假 nk , a k k k 1 成立 ,n k1 ,ak 1Sk 1S k1(a k 11 ) 1(a k 1 )参考答案2ak 12a k1、 D 2 、 B 3 、 D 4 、 A 5 、D 6 、 A 7 、 B 8 、 A 9 、 B 10 、 C 11 、B 12 、 C11)1 ( kk 11 11k ,51(a k 1ak 1 2)( a k 1)13、14、S 3 +S 4)15 、116、 [ -1,7)2kk 12ak 16R (S 1 S 2317. 解:(1)当 m 22m 15 0 ,即 m 3 或 m 5 时,复数 Z 为实数;(3 分) ( 2)当 m 22m 15 0 ,即 m3 且 m5 时,复数 Z 为虚数;( 7 分)( 3)当 m22m15 0,且 m - 3 0 ,即 m 3 时,复数 Z 为纯虚数;( 10 分) 18. 解:( I ) f '( x) 3( x 1)( x 1) ,当 x[ 3, 1) 或 x (1, 3] , f '(x) 0 ,[ 3,1],[1, 3] 函数 f (x) 的 增区22 当 x( 1,1) , f '(x)0 , [ 1,1] 函数f (x) 的 减区所以 , a k 2 1 2 ka k 1 1 0 , ak 1k 1 k .即 n k1 , 命 成立 .由①②知 , nN * , a nnn 1 . ⋯⋯⋯⋯ 12 分20. 解:( 1) f ( x) x 3 ax 2 bx c, f ' ( x) 3x 2 2axb由 f '( 2 )12 4 ab 0 , f '(1)3 2a b 0 得 a1, b23 9 32f ' ( x) 3x 2x 2 (3x 2)( x1) ,函数 f ( x) 的 区 如下表:(, 2) 2( 2,1) (1, )333f '( x)f ( x)极大极小所以函数 f ( x) 的 增区 是 (, 2) 与 (1,) , 减区 是 ( 2,1) ;⋯⋯⋯⋯ 6 分33 ( 2) f ( x)x 31 x 22xc, x [ 1,2] ,当 x2, f ( 2)22 c233 27 极大 ,而f (2) 2 c , f (2)2 c 最大 ,要使f ( x)c 2, x [ 1,2]恒成立, 只需要c 2f (2) 2 c ,得 c 1,或 c2 ⋯⋯⋯⋯ 12 分21 解:( 1) f ( x) 6x 26x, f (2) 12, f (2)7, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分∴曲 y f ( x) 在 x2 的切 方程 y 7 12( x 2) ,即 12x y 170 ;⋯⋯ 4 分( 2) g (x)2x 3 3x 2 m 3, g (x) 6x 2 6x 6x(x 1)令 g ( x) 0, x 0 或 1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分x, g ( x), g( x) 的 化情况如下表x(,0) 0 (0,1)1(1,)g ( x)g( x) Z 极大] 极小Z当 x 0, g (x) 有极大 m 3; x1, g( x) 有极小 m 2 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分由 g(x) 的 知,当且 当g(0) 0g(1) ,m 3 0 m2 ,即2, 3m 0函数 g(x) 有三个不同零点, 点 A 可作三条不同切 .所以若 点A 可作曲 yf ( x) 的三条不同切 , m 的范 是 ( 3,2) . ⋯⋯⋯⋯ 12 分22. 解:( 1)解法 1: ∵ hx 2xa2ln x ,其定 域0,,xa2∴ h x1.2x 2 x∵ x 1 是函数 h x 的极 点,∴ h1 0 ,即 3a20 .∵ a0 ,∴ a3 .当 a 3 , x1 是函数 h x的极 点,∴ a3 .解法 2: ∵ h xa 2ln x ,其定 域0,, 2xxa 2∴ h x12.x 2x令 h x0 ,即 2 a 2 1 0 ,整理,得 2x 2x a 2 0 .x 2x∵ 1 8a 2 0 ,∴ hx0 的两个 根 x 1 11 8a 211 8a 24(舍去), x 24,当 x 化 , hx , hx 的 化情况如下表:x 0,x 2x 2x 2 ,h x —+h x]极小Z依 意,11 8a2 1,即 a 23 ,4∵ a 0 ,∴ a 3 .( 2)解: 任意的 x , x1,e 都有 f x ≥ g x成立等价于 任意的 x , x2 1, e 都12121有f x≥ gx.minmax当 x [ 1, e ] , gx1 0 .1x∴函数 g xx ln x 在 1,e 上是增函数.∴ g xmaxg ee 1 .∵ f x1a 2x ax a1, e , a 0 .22,且 xxxx a x a①当 0 a 1且 x[1, e ] , f x0 ,x2∴函数 f xxa 2在[ 1, e ]上是增函数,x∴ fxminf 11 a2 .由 1 a 2≥ e 1a≥ e ,,得又 0 a 1,∴ a 不合 意.②当 1≤ a ≤ e ,x a x a若 1≤ x < a ,则 f xx 2 0 ,x a x a若 a < x ≤ e ,则 f xx20 .∴函数 f xxa 2 上是减函数,在a ,e 上是增函数.在 1,ax∴f xfa 2a.min由 2a ≥ e 1,得 a ≥e 1,2又 1≤ a ≤ e ,∴e 1≤ a ≤ e . 2③当 a e 且 x[ 1, e ]时, f x a x axx 20 ,∴函数 f xa 2在 1, e 上是减函数.xx∴ fxf ee a 2 .minea2由eeae ,≥,得 ≥e 1又 ae ,∴ a e .综上所述, a 的取值范围为 e 1.2 ,。
高二第二学期期中考试理科数学试卷含答案
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高二(下)期中数学试卷(理科)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集是实数集R ,2{|2730}A x x x =-+≤,2{|0}B x x a =+<,若()R C A B B =,则实数a 的取值范围是( )A .1(,)4-+∞ B .1(,]4-∞- C .1[,)4-+∞ D .1(,)4-∞- 2.设复数122iz i-=-(其中i 为虚数单位),则复数z 在复平面内对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 3.已知a ,b 都是实数,则“4a b +≥”是“224a b +≥”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分不必要条件 D . 既不充分也不必要条件 4.设1sin cos 2x x +=-(其中(0,)x π∈),则cos 2x 的值为( )A B .5.已知l 、m 为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列命题中正确的是( ) A .若l m ,l α,则m α B .若αβ⊥,l α,则l β⊥ C.若l β⊥,αβ⊥,则l α D .若l m ⊥,l α⊥,且m β⊥,则αβ⊥6.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )A .36128π+B .128π C.36 D .3664π+7.某程序框图如图所示,若输入的100N =,该程序运行后输出的结果为( )A .50B .1012 C.51 D .10328.某会议室第一排有9个座位,现安排4人就座,若要求每人左右均有空位,则不同的坐法种数为( ) A .8 B .16 C.24 D .609.定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足3()()2f x f x -=,(2)3f -=-,(2)3f -=-,数列{}n a ,满足11a =-,且2n n S a n =+(其中n S 为{}n a 的前n 项和),则56()()f a f a +=( ) A .-2 B .3 C.-3 D .210.如图为函数()f x =01x <<)的图象,其在点(,())M t f t 处的切线为l ,l 与y 轴和直线1y =分别交于点P 、Q ,点(0,1)N ,若PQN ∆的面积为b 时的点M 恰好有两个,则b 的取值范围为( )A .110,427⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .110(,]227 C.110(,]227 D .18(,)427 11.设点P 是椭圆22221x y a b+=(0a b >>)上一点,1F ,2F 分别是椭圆的左、右焦点,l 为12PF F ∆的内心,若11122IPF IPF IF F S S S ∆∆∆+=,则该椭圆的离心率是( )A .12 B.2C.2 D .14 12.在直三棱柱111A B C ABC -中,2BAC π∠=,11AB AC AA ===,已知G 和E 分别为11A B 和1CC 的中点,D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点(不包括端点),若GD EF ⊥,则线段DF 的长度的取值范围为( ) A.,1)5 B.5C.(5 D.[5第Ⅱ卷(共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分 13.设4(1)x -的展开式中2x 的系数为A ,则A = .14.设a ,b 为两非零向量,且满足||||2a b +=,222a b a b ⋅=⋅,则两向量a ,b 的夹角的最小值为 .15.已知正数x ,y 满足1910x y x y+++=,则x y +的最大值为 . 16.设点(,)M x y 的坐标满足不等式组001x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩,点(,)m n 在点(,)M x y 所在的平面区域内,若点(,)N m n m n +-所在的平面区域的面积为S ,则S 的值为 .三、解答题 :共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在ABC ∆中,角A 、B 、C 的所对边的长分别为a 、b 、c,且a =3b =,sin 2sin C A =. (I )求c 的值; (II )求sin(2)3A π-的值.18. 设函数()kx f x x e =⋅(0k ≠)(1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程; (2)求函数()f x 的单调区间.19. 已知等差数列{}n a 满足:37a =,5726a a +=,{}n a 的前n 项和为n S . (I )求n a 及n S ; (II )令211n n b a =-(*n N ∈),求数列{}n b 的前n 项和n T .20. 如图(1)在等腰ABC ∆中,D ,E ,F 分别是AB ,AC 和BC 边的中点,120ACB ∠=︒,现将ABC ∆沿CD 翻折成直二面角A DC B --.(如图(2))(I )试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系,并说明理由; (II )求二面角E DF C --的余弦值;(III )在线段BC 是否存在一点P ,但AP DE ⊥?证明你的结论.21. 已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点(0,1),且离心率为2,Q 为椭圆C 的左顶点. (I )求椭圆C 的标准方程;(II )已知过点5(,0)6-的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点. (i )若直线l 垂直于x 轴,求AQB ∠的大小;(ii )若直线l 与x 轴不垂直,是否存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形?如果存在,求出直线l 的方程;如果不存在,请说明理由.22. 已知函数2()ln()f x x ax =(0a >)(1)若2'()f x x ≤对任意的0x >恒成立,求实数a 的取值范围; (2)当1a =时,设函数()()f x g x x =,若1x ,21(,1)x e∈,121x x +<,求证41212()x x x x <+.试卷答案一、选择题1-5:CDAAD 6-10:AACBD 11、12:AA 二、填空题 13.6 14.3π15.8 16.1 三、解答题17.解:(I )∵a =sin 2sin C A =,∴根据正弦定理sin sin c a C A =得:sin 2sin Cc a a A===(II )∵a =3b =,c =∴由余弦定理得:222cos 2c b a A bc +-==, 又A 为三角形的内角,∴sin 5A ==, ∴4sin 22sin cos 5A A A ==,223cos 2cos sin 5A A A =-=,则4sin(2)sin 2coscos 2sin33310A A A πππ--=-=. 18.解:(1)'()(1)kx kx kxf x e kxe kx e =+=+(x R ∈),且'(0)1f =,∴切线斜率为1, 又(0)0f =,∴曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为0x y -=.(2)'()(1)kxf x kx e =+(x k ∈),令'()0f x =,得1x k=-, ○1若0k >,当1(,)x k ∈-∞-时,'()0f x <,()f x 单调递减;当1(,)x k ∈-+∞时,'()0f x >, ()f x 单调递增.○2若0k <,当1(,)x k ∈-∞-时,'()0f x >,()f x 单调递增;当1(,)x k∈-+∞时,'()0f x <, ()f x 单调递减.综上所述,0k >时,()f x 的单调递减区间为1(,)k -∞-,单调递增区间为1(,)k-+∞; 0k <时,()f x 的单调递增区间为1(,)k -∞-,单调递减区间为1(,)k-+∞19.解:(I )设等差数列{}n a 的公差为d ,因为37a =,5726a a +=,所有有112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩,解得13a =,2d =,所有32(1)21n a n n =+-=+;2(1)3222n n n S n n n -=+⨯=+. (II )由(I )知21n a n =+,所以221111111()1(21)14(1)41n n b a n n n n n ===⋅=--+-++, 所以数列{}n b 的前n 项和11111111(1)(1)42231414(1)n n T n n n n =-+-++-=-=+++, 即数列{}n b 的前n 项和4(1)n nT n =+.20.解:(I )如图1在ABC ∆中,由E ,F 分别是AC ,AB 中点,得EF AB ,又AB ⊄平面DEF ,EF ⊂平面EDF ,∴AB 平面DEF .(II )∵AD CD ⊥,BD CD ⊥,∴ADB ∠是二面角A CD B --的平面角,∴AD BD ⊥, ∴AD ⊥平面BCD , 取CD 的点M ,使EMAD ,∴EM ⊥平面BCD ,过M 作MN DF⊥于点N ,连接EN ,则EN DF ⊥, ∴MNE ∠是二面角E DF C --的平面角.设CD a =,则2AC BC a ==,AD DB ==, 在DFC ∆中,设底边DF 上的高为h 由Rt EMN ∆中,122EM AD ==,124MN h ==,∴tan 2MNE ∠= 从而cos 5MNE ∠=(III )在线段BC 上不存在点P ,使AP DE ⊥,证明如下:在图2中,作AG DE ⊥,交DE 于G 交CD 于Q 由已知得120AED ∠=︒,于是点G 在DE 的延长线上,从而Q 在DC 的延长线上,过Q 作PQ CD ⊥交BC 于P , ∴PA ⊥平面ACD ,∴PQ DE ⊥,∴DE ⊥平面APQ ,∴AP DE ⊥. 但P 在BC 的延长线上.图1图221.解:(I )设椭圆C 的标准方程为22221x y a b+=(0a b >>),且222a b c =+.由题意,椭圆C 过点(0,1)1b =,c a =. 所以24a =.所以,椭圆C 的标准方程为2214x y +=. (II )由(I )得(2,0)Q -.设11(,)A x y ,22(,)B x y .(i )当直线l 垂直于x 轴时,直线l 的方程为65x =-. 由226514x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得6545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩即64(,)55A -,64(,)55B --(不妨设点A 在x 轴上方). 则直线AQ 的斜率1,直线BQ 的斜率1-.因为直线AQ 的斜率与直线BQ 的斜率的乘积为1-,所以AQ BQ ⊥,所以2AQB π∠=.(ii )当直线l 与x 轴不垂直时,由题意可设直线AB 的方程为6()5y k x =+(0k ≠)由226()514y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得:2222(25100)2401441000k x k x k +++-=. 因为点6(,0)5-在椭圆C 的内部,显然0∆>.212221222402510014410025100k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为11(2,)QA x y =+,22(2,)QB x y =+,116()5y k x =+,226()5y k x =+, 所以22212121212636(2)(2)(1)(2)()4525QA QB x x y y k x x k x x k ⋅=+++=++++++ 2222222144100624036(1)(2)()402510052510025k k k k k k k -=+⨯++-++=++ ∴QA QB ⊥.所以QAB ∆为直角三角形.假设存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形,则||||QA QB =. 取AB 的中点M ,连接QM ,则QM AB ⊥. 记点6(,0)5-为N .另一方面,点M 的横坐标2224520M k x k =-+,所以点M 的纵坐标26520M ky k=-+. 所以22222222101666660132(,)(,)0520520520520(520)k k k k QM QN k k k k k ++⋅=⋅=≠+++++所以QM 与NM 不垂直,矛盾.所以当直线l 与x 轴不垂直时,不存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形.22.解:(1)'()2ln()f x x ax x =+ 2'()2ln()f x x ax x x =+≤,及2ln()1ax x +≤在0x >上恒成立 设()2ln()1u x ax x =+-,2'()10u x x=-=,2x =,2x >时,单调减,2x <单调增,所以2x =时,()u x 有最大值(2)u(2)0u ≤,2ln 212a +≤,所以02a <≤(2)当1a =时,()()ln f x g x x x x ==,'()1ln 0g x x =+=,1x e=, 所以在1(,)e +∞上()g x 是增函数,1(0,)e 上是减函数因为11211x x x e<<+<,所以121212111()()ln()()ln g x x x x x x g x x x +=++>=即121121ln ln()x x x x x x +<+ 同理122122ln ln()x x x x x x +<+ 所以1212121212122121ln ln ()ln()(2)ln()x x x x x xx x x x x x x x x x +++<++=+++ 又因为122124x x x x ++≥,当且仅当“12x x =”时,取等号11 又1x ,21(,1)x e ∈,121x x +<,12ln()0x x +< 所以12121221(2)ln()4ln()x x x x x x x x +++≤+ 所以1212ln ln 4ln()x x x x +<+ 所以:41212()x x x x <+。
高二理科数学期中测试题及答案
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高二期中理科数学试卷第I 卷 (选择题, 共60分)一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分) 1、复数i-25的共轭复数是( ) A 、2+i B 、2-i C 、i --2 D 、i -2 2、 已知f(x)=3x ·sinx ,则'(1)f =( )A.31+cos1 B. 31sin1+cos1 C. 31sin1-cos1 +cos13、设a R ∈,函数()xxf x e ae -=-的导函数为()'f x ,且()'f x 是奇函数,则a 为( )A .0B .1C .2D .-14、定积分dx e x x ⎰-10)2(的值为( )A .e -2B .e -C .eD .e +25、利用数学归纳法证明不等式1+12+13+ (1)2n -1<f(n) (n≥2,n ∈N *)的过程中,由n =k 变到n =k +1时,左边增加了( )A .1项B .k 项C .2k -1项D .2k 项6、由直线y= x - 4,曲线x y 2=以及x 轴所围成的图形面积为( ) A.340 C.2257、函数223)(a bx ax x x f +--=在1=x 处有极值10, 则点),(b a 为 ( ) (A ))3,3(- (B ))11,4(- (C ) )3,3(-或)11,4(- (D )不存在8、函数f(x)=x 2-2lnx 的单调减区间是( )A .(0,1]B .[1,+∞)C .(-∞,-1]∪(0,1]D .[-1,0)∪(0,1]9、 已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈(),猜想(f x )的表达式( )A.4()22xf x =+; B.2()1f x x =+; C.1()1f x x =+; D.2()21f x x =+. 10、 若21()ln(2)2f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数,则b 的取值范围是( )A. [1,)-+∞B. (1,)-+∞C. (,1]-∞-D. (,1)-∞- 11、点P 是曲线x x y ln 2-=上任意一点, 则点P 到直线2y x =-的距离的最小值是()(A) 1 (B) 2 (C) 2 (D) 2212、对于R 上可导的任意函数f(x),且'(1)0f=若满足(x-1)f x'()>0,则必有()A.f(0)+f (2) 2 f(1) B.f(0)+f(2) 2 f(1)C.f(0)+f(2)> 2 f(1) D.f(0)+f(2) 2 f(1)第Ⅱ卷(非选择题, 共90分)二.填空题(每小题5分,共20分)13、设2,[0,1]()2,(1,2]x xf xx x⎧∈=⎨-∈⎩,则2()f x dx⎰=14、若三角形内切圆半径为r,三边长为a,b,c则三角形的面积12S r a b c=++();利用类比思想:若四面体内切球半径为R,四个面的面积为124S S S3,,S,;则四面体的体积V=15、若复数z=21+3i,其中i是虚数单位,则|z|=______.16、已知函数f(x)=x3+2x2-ax+1在区间(-1,1)上恰有一个极值点,则实数a的取值范围_____.三、解答题(本大题共70分)17、(10分)实数m取怎样的值时,复数immmz)152(32--+-=是:(1)实数(2)虚数(3)纯虚数18、(12分)已知函数3()3f x x x=-.(1)求函数()f x在3[3,]2-上的最大值和最小值.(2)过点(2,6)P-作曲线()y f x=的切线,求此切线的方程.19、(12分)在各项为正的数列{}n a 中,数列的前n 项和n S 满足⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=n n n a a S 121, ⑴求321,,a a a ;⑵由⑴猜想数列{}n a 的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想20、(12分)已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间(2)若对[1,2]x ∈-,不等式2()f x c <恒成立,求c 的取值范围 21、(12分)已知函数32()23 3.f x x x =-+(1)求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程;(2)若关于x 的方程()0f x m +=有三个不同的实根,求实数m 的取值范围.22、(12分)已知函数()2af x x x=+,()ln g x x x =+,其中0a >. (1)若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点,求实数a 的值; (2)若对任意的[]12,1x x e ∈,(e 为自然对数的底数)都有()1f x ≥()2g x 成立,求实数a 的取值范围.参考答案1、D2、B3、D4、A5、D6、A7、B8、A9、B 10、C 11、B 12、C13、56 14、 23413S S ++1R (S +S ) 15、1 16、[-1,7)17.解:(1)当01522=--m m ,即3-=m 或5=m 时,复数Z 为实数;(3分) (2)当01522≠--m m ,即3-≠m 且5≠m 时,复数Z 为虚数;(7分) (3)当03-m ,01522=≠--且m m ,即3=m 时,复数Z 为纯虚数;(10分) 18.解:(I )'()3(1)(1)f x x x =+-,当[3,1)x ∈--或3(1,]2x ∈时,'()0f x >,3[3,1],[1,]2∴--为函数()f x 的单调增区间当(1,1)x ∈-时,'()0f x <, [1,1]∴-为函数()f x 的单调减区间又因为39(3)18,(1)2,(1)2,()28f f f f -=--==-=-,所以当3x =-时,min ()18f x =- 当1x =-时,max ()2f x = …………6分(II )设切点为3(,3)Q x x x -,则所求切线方程为32(3)3(1)()y x x x x x --=--由于切线过点(2,6)P -,326(3)3(1)(2)x x x x ∴---=--, 解得0x =或3x =所以切线方程为3624(2)y x y x =-+=-或即30x y +=或24540x y --= …………12分19 .解:⑴易求得23,12,1321-=-==a a a …………2分 ⑵猜想)(1*N n n n a n ∈--= …………5分 证明:①当1=n 时,1011=-=a ,命题成立②假设k n =时, 1--=k k a k 成立, 则1+=k n 时, )1(21)1(211111k k k k k k k a a a a S S a +-+=-=++++ )111(21)1(2111--+---+=++k k k k a a k k k a a k k -+=++)1(2111, 所以,012121=-+++k k a k a , k k a k -+=∴+11.即1+=k n 时,命题成立. 由①②知,*N n ∈时,1--=n n a n . …………12分20. 解:(1)32'2(),()32f x x ax bx c f x x ax b =+++=++由'2124()0393f a b -=-+=,'(1)320f a b =++=得1,22a b =-=-'2()32(32)(1)f x x x x x =--=+-,函数()f x 的单调区间如下表:所以函数()f x 的递增区间是2(,)3-∞-与(1,)+∞,递减区间是2(,1)3-;…………6分(2)321()2,[1,2]2f x x x x c x =--+∈-,当23x =-时,222()327f c -=+ 为极大值,而(2)2f c =+,则(2)2f c =+为最大值,要使2(),[1,2]f x c x <∈-恒成立,则只需要2(2)2c f c >=+,得1,2c c <->或 …………12分21 解:(1)2()66,(2)12,(2)7,f x x x f f ''=-== ………………………2分∴曲线()y f x =在2x =处的切线方程为712(2)y x -=-,即12170x y --=;……4分(2)记322()233,()666(1)g x x x m g x x x x x '=-++=-=-令()0,0g x x '==或1. …………………………………………………………6分 则,(),()x g x g x '的变化情况如下表当0,()x g x =有极大值3;1,()m x g x +=有极小值2m +. ………………………10分由()g x 的简图知,当且仅当(0)0,(1)0g g >⎧⎨<⎩即30,3220m m m +>⎧-<<-⎨+<⎩时,函数()g x 有三个不同零点,过点A 可作三条不同切线.所以若过点A 可作曲线()y f x =的三条不同切线,m 的范围是(3,2)--.…………12分22. 解:(1)解法1:∵()22ln ah x x x x=++,其定义域为()0 +∞,, ∴()2212a h x x x'=-+.∵1x =是函数()h x 的极值点,∴()10h '=,即230a -=.∵0a >,∴a =经检验当a =1x =是函数()h x 的极值点,∴a =解法2:∵()22ln a h x x x x =++,其定义域为()0+∞,,∴()2212a h x x x'=-+.令()0h x '=,即22120a x x-+=,整理,得2220x x a +-=.∵2180a ∆=+>,∴()0h x '=的两个实根114x -=(舍去),214x -=,当x 变化时,()h x ,()h x '的变化情况如下表:1=,即23a =,∵0a >,∴a =(2)解:对任意的[]12,1x x e ∈,都有()1f x ≥()2g x 成立等价于对任意的[]12,1x x e ∈,都有()min f x ⎡⎤⎣⎦≥()max g x ⎡⎤⎣⎦.当x ∈[1,e ]时,()110g x x'=+>.∴函数()ln g x x x =+在[]1e ,上是增函数.∴()()max 1g x g e e ==+⎡⎤⎣⎦.∵()()()2221x a x a a f x x x+-'=-=,且[]1,x e ∈,0a >. ①当01a <<且x ∈[1,e ]时,()()()2x a x a f x x+-'=>,∴函数()2a f x x x=+在[1,e ]上是增函数,∴()()2min11f x f a ==+⎡⎤⎣⎦. 由21a +≥1e +,得a又01a <<,∴a 不合题意.②当1≤a ≤e 时, 若1≤x <a ,则()()()2x a x a f x x+-'=<,若a <x ≤e ,则()()()20x a x a f x x +-'=>.∴函数()2a f x x x=+在[)1,a 上是减函数,在(]a e ,上是增函数.∴()()min 2f x f a a ==⎡⎤⎣⎦. 由2a ≥1e +,得a ≥12e +, 又1≤a ≤e ,∴12e +≤a ≤e .③当a e >且x ∈[1,e ]时,()()()20x a x a f x x +-'=<,∴函数()2a f x x x=+在[]1e ,上是减函数.∴()()2mina f x f e e e==+⎡⎤⎣⎦.由2a e e+≥1e +,得a又a e >,∴a e >.综上所述,a 的取值范围为1,2e +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.。
高二下学期期中联考数学(理)试题Word版含答案
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高二数学试题(理科)(本试卷满分150分,时间:120分钟) 一.选择题(每小题5分,共60分)1. 若i 是虚数单位,则复数2018(23)z i i =⋅-的虚部等于( )A. 2B. 3C. 3iD. 3-2.61()2x x +的展开式中,常数项等于( )A. 52B. 1516 C. 20 D. 1603. 《论语·子路》篇中说:“名不正,则言不顺;言不顺,则事不成;事不成,则礼乐不兴;礼乐不兴,则刑罚不中;刑罚不中,则民无所措手足”,所以,名不正,则民无所措手足.上述推理过程用的是( )A. 类比推理B. 归纳推理C. 演绎推理D. 合情推理4. 某班准备从甲、乙、丙等6人中选出4人在班会上发言介绍学习经验,要求甲、乙、丙三人中至少有两人参加,那么不同的发言顺序有( )A .18种B .12种C . 432种D .288种5. 若纯虚数z 满足(12)z i a i -=+,其中a R ∈,i 是虚数单位,则实数a 的值等于( )A. 2-B.12-C. 2D. 126. 若函数2()1x a f x x -=+在2x =-取得极值,则函数()f x 的单调递减区间是( ) A.(,2)-∞-和(0,)+∞ B.(2,0)- C.(2,1)--和(1,0)- D. (2,1)--7. 在等差数列{}n a 中,如果,,,m n p r N *∈,且3m n p r ++=,那么必有3m n p r a a a a ++=,类比该结论,在等比数列{}n b 中, 如果,,,m n p r N *∈,且3m n p r ++=,那么必有( )A .3m n p rb b b b ++= B.3m n p r b b b b ++= C.3m n p rb b b b = D.3m n p r b b b b =8. 若一条曲线上任意一点处的切线的斜率均为正数,则称该曲线为“升曲线”.已知函数()f x 定义域为R ,且满足'()()f x f x >,则下列曲线中是“升曲线”的是( )A. ()y xf x =B.()xy e f x = C. ()f x y x =D. ()xf x y e =9. 利用数学归纳法证明不等式1111++1()232nn n N n *+++<∈-的过程中,由n k =到1n k =+时,不等式的左边增加的项数为( )A.1B.21k -C. 2kD. k10.已知函数3()3f x x x m =-+,若方程()0f x =有两个相异实根12,x x ,且120x x +<,则实数m 的值等于( )A. 2-或2B. 2-C. 2D. 011. 已知03cos()2m x dx ππ=-⎰,则23)mx y z -+(的展开式中,2m x yz -项的系数等于( )A. 180B. 180-C. 90-D. 1512. 若直线y ax b =+与曲线()ln 1f x x =-相切,则ba 的最小值为( )A.21e -B. 2e -C. e -D. 1e -二.填空题(每小题5分,共20分)13. 若i 是虚数单位,复数z 满足121zii =+-,则复数z 在复平面内对应点的坐标为________.14.观察下列各式:11=,141123+=+,1131121232++=+++,111811212312345+++=++++++,由此可猜想,若1111+12123123+10m+++=++++++,则m =__________.15. 在某班举行的“庆五一”联欢晚会开幕前已排好有8个不同节目的节目单,如果保持原来的节目相对顺序不变,临时再插进去,,A B C 三个不同的新节目,且插进的三个新节目按,,A B C 顺序出场,那么共有__________种不同的插入方法(用数字作答).16. 若函数21()ln 22f x x ax x=--存在单调递减区间,则实数a 的取值范围是——————.三.解答题(共6小题,满分70分)17. (本小题满分10分)已知i 是虚数单位,复数z 的共轭复数是z ,且满足521i z z i ++=+.(I )求复数z 的模||z ;(II )若复数(2)z mi -在复平面内对应的点在第一象限,求实数m 的取值范围.18. (本小题满分12分)已知01a b <<<. (I )试猜想ln a b +与ln b a +的大小关系; (II )证明(I )中你的结论.19. (本小题满分12分)若(21)nx -的展开式中第3项的系数是第5项的系数的4倍.(I )求n 的值; (II )若2012(21)(45)(45)(45)n nn x a a x a x a x -=+-+-++-,求024na a a a ++++的值.20. (本小题满分12分)已知函数ax x e x f x --=2)(的图像在0=x 处的切线方程为2y x b =+.(I )求实数,a b 的值;(II )若函数'()1()f x g x x -=,求()g x 在(0,)+∞上的极值.21. (本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S,且满足3(,,0)2n n S a b n N b R b *=+∈∈≠.(I )求证:{}n a 是等比数列; (II )求证:{}1n a +不是等比数列.22. (本小题满分12分)已知函数()()()2ln ,.f x a x xg x x =+=(I )当2a =-时,求函数()()()h x f x g x =+的单调区间;(II )当0a >时,若对于区间[]1,2上的任意两个不相等的实数12,x x ,都有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立,求实数a 的取值范围.高二数学试题(理科)参考答案及评分标准 一.选择题1.B2. A3. C4. D5. C6. C7. D8. D9. B 10. C 11. B 12. C 二.填空题13.(3,1)- 14. 2011 15. 165 16. (1,)-+∞三.解答题17. 解析:(I )设复数(,)z x yi x y R =+∈,则z x yi =-, ---------1分于是(5)(1)2()(1)(1)i i x yi x yi i i +-++-=+-,即332x yi i -=-, ---------3分所以332x y =⎧⎨-=-⎩,解得12x y =⎧⎨=⎩,即12z i =+. ---------5分故||z ==. ---------6分 (II )由(I )得(2)(12)(2)(22)(4)z mi i mi m m i -=+-=++-, ---------8分 由于复数(2)z mi -在复平面内对应的点在第一象限,所以22040m m +>⎧⎨->⎩,解得14m -<<. ---------10分 18. 解:(I )取211,a b e e ==,则21ln 1a b e +=-,1ln 2b a e +=-,则有ln ln a b b a +>+;再取3211,a b e e ==,则31ln 2a b e +=-,21ln 3b a e +=-,则有ln ln a b b a +>+.故猜想ln ln a b b a +>+. ---------4分(II )令()ln f x x x =-,则'1()1f x x =-,当01x <<时,'1()10f x x =-<,即函数()f x 在(0,1)上单调递减, ---------7分 又因为01a b <<<,所以()()f a f b >,即ln ln a a b b ->-, ---------10分 故ln ln a b b a +>+. ---------12分19. 解:(I )(21)nx -展开式的通项1(2)(1)(1)2r n r r r r n r n r r n n T C x C x ---+=-=-⋅,0,1,2,,r n=.---------1分因此第3项的系数是222(1)2n n C --,第5项的系数444(1)2n n C --, ---------3分于是有222(1)2n n C --4444(1)2n nC -=-, ---------4分整理得24n nC C =,解得6n =. ---------6分(II )由(I )知6260126(21)(45)(45)(45)x a a x a x a x -=+-+-++-.令451x -=,即32x =,得60123456264a a a a a a a ++++++==, ---------8分令451x -=-,即1x =,得6012345611a a a a a a a -+-+-+==, ---------10分两式相加得02462()65a a a a +++=,故0246652a a a a +++=. ---------12分20. 解析:(I )因为,a x e x f x --='2)(所以a f -='1)0(. -----------2分于是由题知12a -=,解得1a =-. -----------4分因此x x e x f x +-=2)(,而1)0(=f ,于是b +⨯=021,解得1=b . ----------6分 (II )由(I )得'()12()x f x e x g x x x --==,所以'2(1)()x e x g x x -=, ----------8分令'()0g x =得1x =, 当x 变化时,'(),()g x g x 的变化情况如下:x(0,1)1 (1,)+∞'()g x-0 +()g x递减极小值递增------------10分 所以()g x 在1x =取得极小值(1)2g e =-,无极大值. ---------12分21. 证明:(I )因为32n n S a b =+,所以当2n ≥时1132n n S a b--=+, ---------1分 两式相减得1133()()22n n n n S S a b a b ---=+-+,即13322n n n a a a -=-, ---------3分因此13nn a a -=, ---------4分故{}n a 是公比为3q =的等比数列. ---------5分(II )(方法一)假设{}1n a +是等比数列,则有211(1)(1)(1)n n n a a a -++=++,即21111211n n n n n n a a a a a a -+-+++=+++. ---------7分由(I )知{}n a 是等比数列,所以211n n n a a a -+=,于是112n n n a a a -+=+,即11169n n n a a a ---=+,解得10n a -=,这与{}n a 是等比数列相矛盾, ---------11分故假设错误,即{}1n a +不是等比数列. ---------12分(方法二) 由(I )知11132a S a b==+,所以12a b =-,因此123n n a b -=-⋅. ---------7分于是123112,116,1118a b a b a b+=-+=-+=-, ---------8分假设{}1n a +是等比数列,则有2213(1)(1)(1)a a a +=++, ---------10分即2(16)(12)(118)b b b -=--,解得0b =,这与0b ≠相矛盾, ---------11分 故假设错误,即{}1n a +不是等比数列. ---------12分22. 解析:(I )当2a =-时,22()()()2(ln )22ln h x f x g x x x x x x x =+=-++=--,定义域为(0,)+∞.2'2222()22x x h x x x x --=--=. -----------2分令'()0h x >得210x x -->,解得12x +>,令'()0h x <得210x x --<,解得102x <<,因此()h x的单调递增区间是)+∞,单调递减区间是. ---------4分(II )不妨设1212x x ≤<≤.因为0a >,所以()'1(1)0f x a x =+>,因此()f x 在[1,2]上单调递增,即12()()f x f x <.又因为2()g x x =在[1,2]上也单调递增,所以12()()g x g x <.所以不等式()()()()1212f x f x g x g x -<-即为2121()()()()f x f xg x g x -<-,即2211()()()()f xg x f x g x -<-, ------------7分设()()()F x f x g x =-,即2()ln F x ax a x x =+-,则21()()F x F x <,因此()F x 在[1,2]上单调递减.于是'()20aF x a x x =+-≤在[1,2]上恒成立,即221x a x ≤+在[1,2]上恒成立. -------------9分 令22()1x u x x =+,则2'224()0(1)x x u x x +=>+,即()u x 在[1,2]上单调递增,因此()u x 在[1,2]上的最小值为(1)1u =, ------------11分 所以1a ≤,故实数a 的取值范围是01a <≤. ------------12分。
高二理科数学期中测试题及答
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高二期中理科数学试卷第 I 卷 (选择题, 共 60 分)一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1、复数 5 的共轭复数是( ) 2iA、 i 2B、 i 2C、 2 iD、 2 i2、 已知 f(x)= 3 x ·sinx,则 f '(1) =( )A. 1 +cos1 3B. 1 sin1+cos1 3C. 1 sin1-cos1 3D.sin1+cos13、设 a R ,函数 f x ex aex 的导函数为 f ' x ,且 f ' x 是奇函数,则 a 为( )A.0B.1C.2D.-1 4、定积分1(2xex)dx的值为()0A. 2 eB. eC. e5、利用数学归纳法证明不等式 1+12+13+…2n-1 1<f(n)D. 2 e(n≥2,n∈N*)的过程中,由 n=k 变到 n=k+1 时,左边增加了( )A.1 项B.k 项 C.2k-1 项D.2k 项6、由直线 y= x - 4,曲线 y 2x 以及 x 轴所围成的图形面积为( )A. 40B.13C. 25D.15327、函数 f (x) x3 ax2 bx a 2 在 x 1处有极值 10, 则点 (a, b) 为 ( )(A) (3,3)(B) (4,11) (C) (3,3) 或 (4,11) (D)不存在8、函数 f(x)=x2-2lnx 的单调减区间是()A.(0,1] B.[1,+∞) C.(-∞,-1]∪(0,1] D.[-1,0)∪(0,1]9、 已知 f (x 1) 2 f (x) , f (1) 1 (x N *),猜想 f (x)的表达式( ) f (x) 2A.f(x)4 2x 2;B. f (x) 2 ; x 1C. f (x) 1 ; D. f (x) 2 .x 12x 110、 若 f (x) 1 x2 b ln(x 2)在(-1,+)上是减函数,则 b 的取值范围是( ) 2A. [1, )B. (1, )C. (, 1]D. (, 1)11、点 P 是曲线 y x2 ln x 上任意一点, 则点 P 到直线 y x 2 的距离的最小值是( )(A) 1(B)2(C) 2(D) 2 212、对于 R 上可导的任意函数 f(x),且 f ' (1) 0 若满足(x-1) f (x)>0,则必有( )A.f(0)+f(2) 2 f(1)B.f(0)+f(2) 2 f(1)C.f(0)+f(2)> 2 f(1)D.f(0)+f(2) 2 f(21)0第Ⅱ卷 (非选择题, 共 90 分)0二.填空题(每小题 5 分,共 20 分)8013、设f(x)x 22, x [0,1] x, x (1,2],则02f(x)dx =5 014、若三角形内切圆半径为r,三边长为a,b,c则三角形的面积S1(r a9bc);2利用类比思想:若四面体内切球半径为 R,四个面的面积为 S1,S2,S3,S4 ;则四面体的体积 V=15、若复数 z=1+2,其中 i 是虚数单位,则|z|=______. 3i16、已知函数 f(x)=x3+2x2-ax+1 在区间(-1,1)上恰有一个极值点,则实数 a 的取值范围 _____. 三、解答题(本大题共 70 分)17、(10 分)实数 m 取怎样的值时,复数 z m 3 (m2 2m 15)i 是:(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?18、(12 分)已知函数 f (x) x3 3x .(1)求函数 f (x) 在[3, 3] 上的最大值和最小值. 2(2)过点 P(2, 6) 作曲线 y f (x) 的切线,求此切线的方程.19、(12分)在各项为正的数列an 中,数列的前 n 项和 Sn满足 Sn1 2an1 an ,⑴求 a1 , a2 , a3 ;⑵由⑴猜想数列an 的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想20、(12 分)已知函数 f (x) x3 ax2 bx c 在 x 2 与 x 1时都取得极值 3(1)求 a, b 的值与函数 f (x) 的单调区间 (2)若对 x [1, 2] ,不等式 f (x) c2 恒成立,求 c 的取值范围 21、(12 分)已知函数 f (x) 2x3 3x2 3.(1)求曲线 y f (x) 在点 x 2 处的切线方程;(2)若关于 x 的方程 f x m 0有三个不同的实根,求实数 m 的取值范围. 22、(12分)已知函数 f x x a2 , g x x ln x ,其中 a 0 .x(1)若 x 1是函数 h x f x g x 的极值点,求实数 a 的值; (2)若对任意的 x1, x2 1,e( e 为自然对数的底数)都有 f x1 ≥ g x2 成立,求实数 a的取值范围.参考答案1、D 2、B 3、D 4、A 5、D 6、A 7、B 8、A 9、B 10、C 11、B 12、C13、 5 614、1 3R(S1S2S3+S ) 415、116、[-1,7)17.解:(1)当 m2 2m 15 0 ,即 m 3或 m 5 时,复数 Z 为实数;(3 分)(2)当 m2 2m 15 0 ,即 m 3 且 m 5 时,复数 Z 为虚数;(7 分)(3)当 m2 2m 15 0,且m - 3 0 ,即 m 3 时,复数 Z 为纯虚数;(10 分)18.解:(I) f '(x) 3(x 1)(x 1) ,当 x [3, 1) 或 x (1, 3] 时, f '(x) 0 ,[3, 1],[1, 3] 为函数 f (x) 的单调增区间22当 x (1,1) 时, f '(x) 0 , [1,1] 为函数 f (x) 的单调减区间又因为 f (3) 18, f (1) 2, f (1) 2, f ( 3) 9 , 28所以当 x 3时, f (x)min 18 当 x 1时, f (x)max 2 …………6 分 (II)设切点为 Q(x , x3 3x ) ,则所求切线方程为 y (x3 3x ) 3(x2 1)(x x ) 由于切线过点 P(2, 6) ,6 (x3 3x ) 3(x 2 1)(2 x ) , 解得 x 0 或 x 3 所以切线方程为 y 3x或y 6 24(x 2) 即3x y 0 或 24x y 54 0…………12 分19 .解:⑴易求得 a1 1, a2 2 1, a3 3 2…………2 分⑵猜想 an n n 1(n N*)…………5 分证明:①当 n 1时, a1 1 0 1,命题成立②假设 n k 时, ak k k 1 成立,则 n k 1时,ak1 Sk1 Sk1 2 (ak11 ) ak 11 2 (ak1 ak)1 2(ak 11 ak 1)1 2(kk 1 k1 k) 11 2(ak 11 ak 1)k,所以, ak21 2 kak1 1 0 , ak1 k 1 k .即 n k 1时,命题成立. 由①②知, n N * 时, an n n 1 . …………12 分20. 解:(1) f (x) x3 ax2 bx c, f ' (x) 3x2 2ax b由 f ' ( 2) 12 4 a b 0 , f ' (1) 3 2a b 0 得 a 1 ,b 23 932f ' (x) 3x2 x 2 (3x 2)(x 1) ,函数 f (x) 的单调区间如下表:(, 2) 3 2 ( 2 ,1) 33(1, )f '(x)00f (x) 极大值 极小值 所以函数 f (x) 的递增区间是 (, 2) 与 (1, ) ,递减区间是 ( 2 ,1) ;…………6 分33(2) f (x) x3 1 x2 2x c, x [1, 2] ,当 x 2 时, f ( 2) 22 c233 27为极大值,而 f (2) 2 c ,则 f (2) 2 c 为最大值,要使 f (x) c2, x [1, 2]恒成立,则只需要 c2 f (2) 2 c ,得 c 1,或c 2 …………12 分21 解:(1) f (x) 6x2 6x, f (2) 12, f (2) 7, ………………………2 分∴曲线 y f (x) 在 x 2 处的切线方程为 y 7 12(x 2) ,即12x y 17 0 ;……4 分(2)记 g(x) 2x3 3x2 m 3, g (x) 6x2 6x 6x(x 1)令 g(x) 0, x 0 或 1.…………………………………………………………6 分则 x, g(x), g(x) 的变化情况如下表x(, 0) 0(0,1) 1(1, )g(x) g(x)0极大0极小当 x 0, g(x) 有极大值 m 3; x 1, g(x) 有极小值 m 2 . ………………………10 分由g(x)的简图知,当且仅当g(0) g(1) 0 0,即m m 3 2 0 0,3m2时,函数 g(x) 有三个不同零点,过点 A 可作三条不同切线.所以若过点 A 可作曲线 y f (x) 的三条不同切线, m 的范围是 (3, 2) .…………12 分22. 解:(1)解法1:∵ h x 2x a2 ln x ,其定义域为 0, ,x∴h x2a2 x21 x.∵ x 1是函数 h x 的极值点,∴ h1 0 ,即 3 a2 0 .∵ a 0 ,∴ a 3 .经检验当 a 3 时, x 1是函数 h x 的极值点,∴a 3.解法2:∵ h x 2x a2 ln x ,其定义域为 0, ,x∴h x2a2 x21 x.令h x0 ,即 2 a2 x21 x0,整理,得 2x2x a20.∵ 1 8a2 0 ,∴ h x 0 的两个实根 x1 11 8a2 4(舍去),x211 8a2 , 4当 x 变化时, h x , h x 的变化情况如下表:x 0, x2 x2 x2, h x —0+hx极小值依题意, 1 1 8a2 1,即 a2 3 , 4∵ a 0 ,∴ a 3 .(2)解:对任意的 x1, x2 1,e都有 f x1 ≥ g x2 成立等价于对任意的 x1, x2 1,e都有 f xmin ≥ g xmax . 当 x [1, e ]时, g x 1 1 0 .x∴函数 g x x ln x 在1,e上是增函数.∴ g xmax g e e 1.∵fx1a2 x2xax2xa,且x1,e,a0.①当0a 1且x [1, e]时,fxxaxx2a0,∴函数 f x x a2 在[1, e ]上是增函数,x∴ f xmin f 1 1 a2 .由1 a2 ≥ e 1,得 a ≥ e , 又 0 a 1,∴ a 不合题意.②当1≤ a ≤ e 时,若1≤x<a,则fxxaxx2a0,若a<x≤e,则fxxaxx2a0.∴函数 f x x a2 在1, a 上是减函数,在 a,e 上是增函数.x∴ f xmin f a 2a .由 2a ≥ e 1,得 a ≥ e 1 , 2又1≤ a ≤ e ,∴ e 1 ≤ a ≤ e .2③当 ae且x [1, e ]时,fxxaxx2a0,∴函数 f x x a2 在1,e上是减函数.x∴ f xminfe ea2 e.由 e a2 ≥ e 1,得 a ≥ e , e又 a e ,∴ a e .综上所述,a的取值范围为 e 21, .赠送以下资料 考试知识点技巧大全一、 考试中途应饮葡萄糖水大脑是记忆的场所,脑中有数亿个神经细胞在不停地进行着繁重的活动, 大脑细胞活动需要大量能量。
高二期中试题数学理科答案
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期中试题数学理科答案一.选择题112BABAC CCDAC DB -二.填空题32213.114.115.616.3()3n n n S S S π-+=-三.解答题 17.(1)20;(2)540(每一问各5分) 18.02111(1)2,42n n n C C C +=⋅2980;n n -+=8;n =3分 535(2)8T = 3分(3)研究系数绝对值即可,1188118811()()2211()()22r r r r r r r r C C C C ++--≥≥ 2分 解得23r ≤≤, 2分4337T x = 2分 19. (1)当1111,2n a S a ===-时 ∴a 1=1当1222232,222n a a S a a =+==⨯-∴=时 当123333,23n a a a S a =++==⨯-时 ∴374a =由此猜想*121()2n n n a n N --=∈ 5分⑵证明:①111n a ==当时结论成立 6分②假设(1,*)n k k k N =∈≥且时结论成立即1212k k k a --= 7分当1n k =+时11112(1)22k k k k k k k a S S k a k a a a ++++=-=+--+=+-,122k k a a +=+ 10分∴kk k k a a 2122211-=+=++∴当1n k =+时结论成立 11分 于是对于一切的自然数*∈N n 1212n n n a --=成立 …………………………12分20.证明:(ⅰ)当n=1时,11121==T ,3411214=+⨯⨯,341<………………………………….2’ (ⅱ)假设当n=k 时,124+<k kT k ………………………………………………………………4’则当n=k+1时,221)1(1124)1(1+++<++=+k k k k T T k k 要证:1)1(2)1(41+++<+k k T k只需证:1)1(2)1(4)1(11242+++<+++k k k k k 由于22)1(11)22(4)12)(32(41241)1(2)1(4+<-+=++=+-+++k k k k k k k k 所以1)1(2)1(4)1(11242+++<+++k k k k k …………………………………………………………11’ 于是对于一切的自然数*∈N n ,都有124+<n nT n …………………………………………12’ 21. 解:(1)函数的定义域为(0,)+∞,11()ax f x a x x+'=+=当0a ≥时,()0f x '>,所以()f x 在(0,)+∞上为增函数;当0a <时,1(0,),()0,()x f x f x a '∈->是增函数;1(,),()0,()x f x f x a'∈-+∞<是减函数。
高二理科数学下学期期中考试试题及答案.docx
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高二下学期模块考试 数学试卷(理科)第I 卷(共60分)一、选择题(每小题5分,共60分,将答案填涂到答题卡上)1. 复数z ( r -i 等于\-iA. 1B. -1C. iD. -i2. 观察按下列顺序排列的等式:9x0 + l = l , 9x1 + 2 = 11, 9x2 + 3 = 21, 9x3 + 4 = 31,…, 猜想第n(ne N +)个等式应为A. 9(/? + 1) + 川=10川 + 9B. 9(71-1) + /? = 10/?-9C. 9A 2 + (M -1) = 1O/?-1D. 90 — 1) + (72 — 1) = 10/7 — 103. 函数/'⑴二sin 兀+ cos x 在点(0, /(0))处的切线方程为A. x- y +1 = 0B. x- y-] = 04. 用4种不同的颜色涂入如图四个小矩形中, 相同,则不同的涂色方法种数是A 36B 72 C5. 用反证法证明某命题时,对结论:“自然数0, b, c 小恰有一个偶数”正确的反设为A. a, b, c 都是奇数B . a, b, c 都是偶数C . a, b, c 屮至少有两个偶数D . a, b, c 屮至少有两个偶数或都是奇数6. 两曲线歹二-x 2+2x, y 二2x 2-4兀所围成图形的面积S 等于A. -4B.OC. 2D. 4X7•函数/(%) = —-- (a<b<l),则B. f(a) < f(b)C. f(a) > /(b)D./(a),/@)大小关系不能确定8. 己知函数/(x) = 21n3x + 8x,则 lim /(1一2心)一/(1)的值为AYT ° ArA. -20B. -10C. 10D. 209. 在等差数列{色}中,若色>0,公差d>0,则有為盘 >色6,类比上述性质,在等比数列{仇}C. x+y-1=0D.要求相邻矩形的涂色不得24 D 54中,若仇>0,公比q>l,则的,b、, b“ 2的一个不等关系是C . Z?4 +E >b 5 +22c10.函数/(X ) = X 3+/7X 2+CX + J 图象如图,则函数『=兀2+一应+ —的单调递增区间为A. (-00-2]B. [3,+oo)-yZAo ? !rC. [-2,3]1D ・[三,+°°)/ -2211•已知函数 f(x) = (x-a)(x-b)(x-c), Ji f\d) = f\b) = 1,则 f(c)等于A. 2+2 >b 5 +/?7B • b 4 十% <b 5 +E1 A.——212.设函数 f(x) = -ax1B.—23 1「 + _/zr 2C. —1D. 1 +仅,且/(l) = -p 3a>2c>2h f 则下列结论否巫陨的是 B.-< —< 1 C. D. a >OJBLb<02 b 4 a 2第II 卷(共90分)二、填空题(每小题4分13. ___________________________________________ 若复数(/・3d+2)+(a ・l)i 是纯虚数,则实数a 的值为 __________________ .14. 从0, 1, 2, 3, 4, 5六个数字中每次取3个不同的数字,可以组成 3位偶,共16分,将答案填在答题纸上) 个无重复数字的 4 r15.若函数/(x) = -—在区间(m,2m + l)±是单调递增函数,则实数加的取值范围是JT+116.观察下列等式:(说明:和式'匕+心+為 ---------- 记作工你)<=1n—n 2 /=! n—fT H —乞尸二丄泸+丄沪+巴斤―丄沪rr 6 2 12 12£4丄/+丄涉+丄宀丄/+丄幺 7 2 26 42工产=a k+l n k+2+ a k n k+ a k _{n k ~]+ ci k _2n k ~24 --------- a {n + a Q ,,=]* 11 可以推测,当 k^2 ( ke N )时,a M ------ ---- ,a k = — ,a k _i - _________ , a k _^ -________k + 1 2三、解答题(本大题共6小题,满分74分。
高二数学期中试题理含解析试题
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2021-2021学年第二学期半期考本卷贰O贰贰年贰月捌日编写;出题人:令狐学复;欧阳化语;令狐理总。
高二数学〔理科〕试题一、选择题:本大题一一共12小题,每一小题5分,在每一小题给出的四个选项里面,只有一个是符合题目要求的.〔a∈R,i为虚数单位位〕是纯虚数,那么实数a的值是〔〕A. -2B. 4C. -6D. 6【答案】C【解析】解:因为是纯虚数,因此实部为零,那么a+6=0,a=-6在点处的切线方程为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求函数的导数,利用导数的几何意义求出切线斜率,进展求解即可.【详解】函数的导数,那么函数在点处的切线斜率,因为,所以切点坐标为为,那么切线方程为,应选B.【点睛】该题考察的是有关函数图象在某点处的切线方程的求解问题,涉及到的知识点有导数的几何意义,直线方程的点斜式,属于简单题目.的递增区间是〔〕A. B. 和 C. D. 和【答案】C【解析】【分析】先求出函数的导数,再令导数大于0,即可求得函数的递增区间.【详解】由题意,函数的定义域为,因为,所以,令,即,解得或者,又因为函数的定义域是,所以函数的递增区间是,应选C.【点睛】该题考察的是有关函数的单调增区间的问题,涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性的问题,属于简单题目.的图象如以下图所示,那么导函数的图象的大致形状是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】函数先减后增,再为常数,所以导函数先负后正,再为零,选D.为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出被积函数的原函数,然后分别代入积分上限和积分下限后作差得答案.【详解】,应选A.【点睛】该题考察的是有关定积分的求解问题,注意被积函数的原函数的正确求解,属于简单题目.的过程中,从到时左边需增加的代数式是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出当时,左边的代数式,当时,左边的代数式,相减可得结果.【详解】当时,左边的代数式为,当时,左边的代数式为,故用当时,左边的代数式减去时,左边的代数式的结果为:,应选B.【点睛】该题考察的是有关应用数学归纳法证明问题的过程中,由到增加的项的问题,注意对式子的正确归纳,属于简单题目.在处获得极值10,那么〔〕A. 或者B. 或者C.D.【答案】D【解析】【分析】根据函数在处获得极值10,得,由此求得的值,再验证是否符合题意即可. 【详解】函数在处获得极值10,所以,且,解得或者,当时,,根据极值的定义知道,此时函数无极值;当时,,令得或者,符合题意;所以,应选D.【点睛】该题考察的是有关根据函数的极值求解析式中的参数的问题,注意其对应的条件为函数值以及函数在对应点处的导数的值,构造出方程组,求得结果,属于简单题目.8.如图是美丽的“勾股树〞,它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图一是第1代“勾股树〞,重复图一的作法,得到图二为第2代“勾股树〞,以此类推,最大的正方形面积为1,那么第n代“勾股树〞所有正方形的面积的和为〔〕A. nB.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题中所给的条件,最大的正方形的面积为1,从而得到直角三角形的斜边长为1,两个直角边的平方和为1,从而得到图一的三个正方形面积和为2,再算出图二的“勾股树〞的所有正方形的面积和为3,观察各选项里面的式子求得结果.【详解】最大的正方形的面积为1,当时,由勾股定理知正方形面积的和为2,当时,从图二中图形的特征,结合勾股定理以及正方形的面积公式,求得图二的“勾股树〞的所有正方形的面积和为3,即当时,勾股树的面积为为3,由此类推,并结合选项,可以得出所有正方形面积的和为,应选D.【点睛】该题考察的是有关“勾股树〞的所有正方形的面积和的问题,在解题的过程中,注意应用前两个图中的结果,对式子进展验证,求得结果,属于简单题目.9.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=11-3t+(t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停顿.在此期间汽车继续行驶的间隔 (单位:m)是〔〕A. 4+25ln5B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意首先求得积分上限,然后结合定积分的几何意义整理计算即可求得最终结果.【详解】求解方程,即,解得或者,结合,可得,那么汽车行驶的间隔为,应选C.【点睛】该题考察的是有关利用速度与时间是的关系求直至停顿所行的路程问题,涉及到的知识点有位移的导数是速度,所以速度在对应时间是段内的定积分为路程,从而求得结果.中“〞即代表无限次重复,但原式却是个定值,它可以通过方程,求得,类似上述过程,那么〔〕A. B. 3 C. 6 D.【答案】A【解析】由代数式的求值方法:先换元,再列方程,解方程,求解〔舍去负根〕,可得要求的式子,令,那么两边平方得,得,即,解得舍去,应选A.在[-2,2]的最大值为2,那么的取值范围是〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】运用导数,判断函数在时的单调性,求得函数在上的最大值为2,;欲使得函数在上的最大值为2,那么当时,,从而解得的范围.【详解】由题意,当时,,可得,根据导数的符号可以断定函数在是单调增,在上单调减,所以函数在上的最大值为;要使函数在上的最大值为2,那么当时,的值必须小于等于2,即,解得,所以的取值范围是,应选D.【点睛】该题考察的是有关根据分段函数的最值求参数的取值范围的问题,涉及到的知识点有应用导数研究函数的最值,属于简单题目.12.是定义在上的增函数,其导函数满足,那么以下结论正确的选项是〔〕A. 对于任意,B. 对于任意,C. 当且仅当D. 当且仅当【答案】B【解析】【分析】由题意可得,结合函数的单调性,从而可以判断,即在上单调递增,从而判断出结果.【详解】因为,是定义在上的增函数,,所以,即,所以,所以函数在上单调递增,且,所以当时,,而,所以此时,当时,,而,所以此时,结合选项,可知对于任意,应选B.【点睛】该题考察的是有关构造函数,利用函数的单调性,确定函数值的符号的问题,属于中档题目.第二卷〔非选择题一共90分〕二、填空题〔本大题一一共4小题,每一小题5分,一共20分〕13.在复平面内,复数对应的点的坐标为__________【答案】【解析】试题分析:因为,所以复数对应的点的坐标为.考点:复数的运算14.如图,在边长为1的正方形中随机撒一粒黄豆,那么它落在阴影局部的概率为_______.【答案】【解析】【分析】利用定积分求得阴影局部的面积,然后利用几何概型的概率计算公式,即可求解。
高二期中数学(理科)答案
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2021学年第|一学期高二年级||期中试卷数学试卷 (理科 )命题人:章燕君一、选择题 (本大题共10个小题 ,每题3分 ,共30分 )1. 不管m 为何实数 ,直线(m -1)x -y +2m +1=0 恒过定点(D )A .(1, -21) B .(-2, 0) C .(2, 3) D .(-2, 3)2. 函数f (x )=a x(a >0 ,且a ≠1) ,当x <0时 ,f (x )>1 ,方程y =ax +1a表示的直线是( C ).3. 直线)22(:+=x k y l 交椭圆9922=+y x 于A 、B 两点 ,假设2=AB ,那么k 的值为( C ) A ..33- B .33 C .33±D .3±4. 假设双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一个焦点到一条渐近线的距离等于其焦距的41,那么该双曲线的渐近线方程是 ( C )A .02=±y xB .02=±y xC .03=±y xD .03=±y x5. 抛物线x y 42=的焦点为F ,准线为l ,点P 为抛物线上一点,且在第|一象限,l PA ⊥,垂足为A ,4PF =,那么直线AF 的倾斜角等于 ( B ) A .712π B .23π C .34π D .56π 6. 从原点向圆2212270x y y +-+=作两条切线,那么该圆夹在两条切线间的劣弧长为( B )A.πB. 2ππ D. 6π7. 双曲线2212y x -=的焦点为12F F 、 ,点M 在双曲线上 ,且120MF MF ⋅= ,那么点M 到x 轴的距离为 (C )A. 43B. 53C. 38. 抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)(0)M m m >到其焦点的距离为 5 ,双曲线221x y a-=的左顶点为A,假设双曲线的一条渐近线与直线AM 平行 ,那么实数a 的值是( A ) A . 19B .125C .15D .139. 设P 为直线3430x y ++=上的动点 ,过点P 作圆C 22:2210x y x y +--+=的两条切线 ,切点分别为A ,B ,那么四边形PACB 的面积的最||小值为 ( D )A .1B .2C .D10. 椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,21c F c F -(,假设椭圆上存在点P 使1221sin sin F PF cF PF a ∠=∠,那么该椭圆的离心率的取值范围为 (D ) A .(0,)12-B .(122,) C .(0,22) D .(12-,1)二、填空题 (本大题共6个小题 ,每题4分 ,共24分 ,把正确答案填在题中横线上)11. 直线L 1:ax +3y +1 =0, L 2:2x + (a +1)y +1 =0, 假设L 1∥L 2,那么 a =__________. -312. F 是抛物线2y x =的焦点,M 、N 是该抛物线上的两点,3MF NF +=,那么线段MN 的中点到x 轴的距离为__________.5413. 直线0=++c by ax 与圆1:22=+y x O 相交于,A B 两点,且,3=AB 那么OB OA ⋅的值是__________.12-14. 三个数2,8m ,构成一个等比数列,那么圆锥曲线2212x y m +=的离心率为__________.22或3 15. 如图,椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点为12,F F ,上顶点为A,离心率为12,点P为第|一象限内椭圆上的一点,假设112:2:1PF A PF F S S ∆∆=,那么直线1PF 的斜率为______________.35k =16. 以下四个关于圆锥曲线的命题中:① 设A 、B 为两个定点 ,k 为非零常数 ,假设k PB PA =- ,那么动点P 的轨迹为双曲线;② 过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB 、O 为坐标原点 ,假设OP21=(OB OA +) ,那么动点P 的轨迹为椭圆;③方程2x 2-5x +2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;④ 双曲线192522=-y x 与椭圆13522=+y x 有相同的焦点.其中真命题的序号为 (写出所有真命题的序号 ).③④三、解答题 (本大题共4小题 ,共46分.解容许写出文字说明 ,证明过程或演算步骤. )17. 点N (52,0 ) ,以N 为圆心的圆与直线x y l x y l -==::21和 都相切 . (Ⅰ )求圆N 的方程;(Ⅱ )设l 分别与直线21l l 和交于A 、B 两点 ,且AB 中点为)1,4(E ,试判断直线l 与圆N 的位置关系 ,并说明理由.【答案】 (Ⅰ )由N (52,0 )且圆N 与直线y =x 相切 , 所以圆N 的半径为522,所以 圆N 的方程22525()28x y -+=. (II )设A 点的坐标为),(a a ,因为AB 中点为)1,4(E ,所以B 点的坐标为)2,8(a a -- , 又点B 在直线x y -=上 ,所以5=a , 所以A 点的坐标为)5,5( ,直线l 的斜率为4 , 所以l 的方程为0154=--y x , 圆心N 到直线l 的距离51717<524 , 所以直线l 与圆N 相交.18. 椭圆的中|心在原点 ,焦点为F 1()022,- ,F 2 (0 ,22 ) ,且离心率e =223. (I )求椭圆的方程;(II )直线l (与坐标轴不平行 )与椭圆交于不同的两点A 、B ,且线段AB 中点的横坐标为-12,求直线l 的斜率的取值范围 . 【答案】 (I )设椭圆方程为y a x bc c a 2222122223+===,由已知,又解得 a =3 ,所以b =1 ,故所求方程为 y x 2291+=解得 k k ><-33或 又直线l 与坐标轴不平行 故直线l 斜率的取值范围是{k ∣k k ><-33或}19. 如图 ,M 是抛物线2yx =上的一点 ,动弦ME 、MF 分别交力轴于A 、B 两点 ,且MA=MB .(1 )假设M 为定点 ,证明直线EF 的斜率为定值 . (2 )假设M 为动点 ,且090EMF∠= ,求EMF ∆的重心G 的轨迹方程 .(1 )设20(,)M y y ,直线ME 的斜率为(0)k k > ,那么直线MF 的斜率为k - .∴直线ME 的方程为:200()y y k x y -=-由 2002()y y k x y y x-=-= 消x 得:200(1)0kyy y ky -+-=解得20021(1),E E ky ky y x k k --=∴= 同理得20021(1),F F ky ky y x k k ++==- 002200022111(1)(1)2E F EF E F ky ky y y k k k ky ky x x y k k -+---∴===--+-- (定值 ) 所以直线EF 的斜率为定值 . (2 )当090EMF∠=时 ,045MAB ∠= ,所以1K =∴直线ME 的方程为:200y y x y -=-由2002y y x y y x-=-= ,得200(1),1)E y y --同理可得200((1),(1))F y y +-+设重心(,)G x y ,那么有200233333M E FM E F y x x x x y y y y y +++===++===- 消去0y 得2122,()9273y x x =->20.抛物线的顶点是椭圆C :13422=+y x 的中|心O ,焦点与该椭圆的右焦点重合.(Ⅰ )求抛物线的方程;(Ⅱ )直线x =4交x 轴于点Q ,过点Q 的直线l 交抛物线于D 、E 两点 .求ODE ∆面积的最||小值;(Ⅲ )设A 、B 分别为椭圆C 的左、右顶点,P 为直线x =4上不同于点Q 的任意一点 ,假设直线AP 、BP 分别与椭圆相交于异于A 、B 的点M 、N .求证:点B 在以MN 为直径的圆内.【答案】 (1)由题意,可设抛物线方程为()022>=p px y . 由13422=-=-b a ,得1=c .∴抛物线的焦点为()0,1,2=∴p . ∴抛物线的方程为x y 42=.(2) 椭圆的右准线方程为4=x ,)0,4(Q ∴设直线l 的方程为4a +=y x ,()11,y x D ,()22,y x E .联立⎩⎨⎧=+=x y y x 44a 2,整理得:016a 42=--y y 16,a 42121-==+∴y y y y21OQ 21y y S ODE -⋅=∴∆4a 84)(2221221+=-+=y y y y∴当0a =时 ,16)(min =∆O D E S(3) A (-2 ,0 ) ,B (2 ,0 ).设M (x 0 ,y 0 ) (-2<x 0<2 ).∵M 点在椭圆上 ,∴y 0=43(4-x 02 ). ○1又直线AP 的方程为y =)2(200++x x y ,那么 P (4 ,2600+x y ). 从而BM = (x 0-2 ,y 0 ) ,BP = (2 ,2600+x y ).∴BM ·BP =2x 0-4+26020+x y =220+x (x 02-4+3y 02 ). ○2将○1代入○2 ,化简得BM ·BP =25(2-x 0 ). ∵2-x 0>0 ,∴BM ·BP >0 ,那么∠MBP 为锐角 ,从而∠MBN 为钝角 , 故点B 在以MN 为直径的圆内 .。
高二理科数学第二学期期中考试2.doc
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高二数学第二学期期中考试高二数学试题(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 共150分,考试时间120分钟. 注意事项:1、所有题目用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷中,只能在各题目答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效。
2、答卷前将答题卷上的姓名、考号、班级填写清楚。
第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1、+∈N n 且20<n ,则)21)(20(n n --…)100(n -等于( ) A 、80100n A -B 、nn A --20100C 、81100n A -D 、8120n A -2、α表示一个平面,l 表示一条直线,则α内至少有一条直线与直线l ( )A 、平行B 、相交C 、异面D 、垂直3、设正方体的全面积为224cm ,一个球内切于该正方体,那么这个球的体积是( ) A 、36cm πB 、3332cm πC 、338cm π D 、334cm π4、某电视台连续播放5个广告,其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运广告,要求最后播放的必须是奥运广告,且2个奥运广告不能连续播放,则不同的播放方式有( )A 、36种B 、48种C 、 120种D 、20种5、已知球的两个平行截面面积分别为5π和8π,它们位于球心的同一侧,且相距为1,则球半径为( )A 、 4B 、3C 、 2D 、 56、已知北纬450圈上有A 、B 两地,且A 地在东经300线上,B 地在西经600线上,设地球半径为R ,则A 、B 两地的球面距离是( )A 、16R π B 、13R π C 、12R π D 、R π7、若直线l 与平面α所成角为3π,直线a 在平面α内,且与直线l 异面,则直线l 与直线a 所成的角的取值范围是( )A 、20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B 、2,33ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C 、 ,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D 、2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 8、正四面体BCD A -棱长为1,点P 在AB 上移动,点Q 在CD 上移动,则PQ 的最小值为( ) A 、21B 、22 C 、23 D 、43 9、如图,已知矩形ABCD 中,3=AB ,a BC =,若⊥PA 平面AC ,在BC 边上取点E ,使DE PE ⊥,则满足条件的E 点有2个时,a 的取值范围是( )A 、6>aB 、6≥aC 、60<<aD 、60≤<a10、若集合},,{z y x M =,集合}1,0,1{-=N ,f 是从M 到N 的映射,则满足0)()()(=++z f y f x f 的映射有( )A 、6个B 、7个C 、8个D 、9个第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分. 把答案填在题中横线上.11、54n 34,n=nnA A A +=已知则 . 12、在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =BC =3,AA 1=4,则异面直线AB 1与 A 1D 所成的角的余弦值为13、正四面体V —ABC 的棱长为2a ,E ,F ,G ,H 分别是VA ,VB , BC ,AC 的中点,则四边形EFGH 面积是________________ .14、正六棱锥S-ABCD 的底面边长为6,侧棱长为面角的大小为_________.ACDPEA CDP F E 15、表面积为4π的球O 与平面角为钝角的二面角的两个半平面相切于A 、B 两点,三角形OAB 的面积25S =,则球心到二面角的棱的距离为 _____ . 16、已知m 、n 是不同的直线,α、β是不重合的平面,给出下列命题: (1) 若//,,m n αβαβ⊂⊂,则//m n (2) 若m,n ,m//,n//αββ⊂,则//αβ; (3) 若m ,n ,m//n αβ⊥⊥,则//αβ;(4)m 、n 是一对异面直线且m n ⊥, 若m//,m//,n//,n//αβαβ,则//αβ,其中,真命题的编号是_____ (写出所有正确结论的编号).三、解答题:本大题共6小题,共76分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17、(本小题满分13分)已知ABCD 是正方形,P A ⊥平面ABCD ,且P A=AB=a ,E 、F 是 侧棱PD 、PC 的中点。
高二理科数学期中质量检测试题(卷)答案
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高二理科数学期中质量检测试卷(卷)答案一、选择题:本大题共个小题,每小题分,共分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的..选修课本5例改编; .选修课本21第题改编; .选修课本41P 第题改编; .选修课本32P 导数概念改编; .选修课本37P 第题改编; .选修课本21P 组第题改编; .选修课本11P 第、题改编; .选修课本108P 第题改编;.选修课本71P 组第题()小题改编; .选修课本83P 组第题改编; .选修课本88P 练习第题改编; .选修课本71P 组第题改编. 二、填空题:本大题共小题,每小题分,共分..选修课本49P 组例题; .100sin10+选修课本95P 组第题改编;选修课本64P 例改编; .①③④选修课本58P 例改编.三、解答题:本大题共小题,共分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . (本小题满分分) 选修课本12P 习题第题改编 证法一:要证 2a c b d +≤ 成立 只要证2()4ac bd +≤即可…………分只需证22222()()()ac bd a b c d +≤++即可…………分 即证22222acbd a d b c ≤+…………分 即证2()0ad bc -≥…………分 由题知,,,a b c d 都是实数,2()0ad bc -≥显然成立…………分故2ac bd +≤.…………分 证法二:22222222222()4()()()2()ac bd ac bd a b c d acbd a d b c ad bc +-=+-++=-+=--…………分由题知,,,a b c d 都是实数,2()0ad bc -≥2()40ac bd +-≤…………分故2ac bd +≤.…………分证法三:设cos ,sin ,2cos ,2sin (,)a b c d R ααββαβ====∈………分 则2cos cos 2sin sin ac bd αβαβ+=+………分2(cos cos sin sin )2cos()2αβαβαβ=+=-≤………分故2ac bd +≤.………分 证法四:向量换元也可证..(本小题满分分) 选修课本61P 例改编解: ()令033)23()(23=+-='++-='x x x x f 解得11-==x x 或………分当1-<x 时,0)(<'x f , 当11<<-x 时,0)(>'x f ,当1>x 时,0)(<'x f ………分 所以,函数在1-=x 处取得极小值,在1=x 取得极大值, ………分故1,121=-=x x ,4)1(,0)1(==-f f 所以,点、的坐标为)4,1(),0,1(B A -.………分 () 设(,)P x y ,()()221,1,4144PA PB x y x y x y y =-----=-+-=………分得动点P 的轨迹方程()2229x y +-=.………分.(本小题满分分)选修课本57P 组第题改编 解:()证明:连结交1C 于点,则为的中点. 又是的中点,连结,则∥. …………分 因为⊂平面⊄平面.所以∥平面. ……………………分 ()由==得⊥. ………………分以为坐标原点的方向为轴正方向的方向为轴正方向的方向为轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系-. …………分 设=,则()()(),=()=()=().……………分设1111(,,)n x y z =是平面的法向量,则1110,0n CD n CA ==, 即11110,220x y x z +=+=可取1(1,1,1)n =--.…………分 同理,设2n 是平面的法向量,则2210,0n CE n CA ==可取2(2,1,2)n =-.…………分 从而1212123cos ,3n n n n n n<>==, ………分 故二面角-1C -的余弦值为3.…………分. (本小题满分分) (·福建理,)解:()令()=()-=(+)-,∈(,+∞),则有′()=-=-. …………分当∈(,+∞)时,′()<,所以()在(,+∞)上单调递减;…………分故当>时,()<()=,即当>时,()<.…………分()令()=()-()=(+)-,∈(,+∞),则有′()=-=.…………分当≤时′()>,所以()在(,+∞)上单调递增,()>()=,故对任意正实数均满足题意.…………分当<<时,令′()=,得==->.取=-,对任意∈(,),恒有′()>,…………分从而()在(,)上单调递增,()>()=,即()>().…………分。
高二(下)期中数学试卷(理科)(内含答案)
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高二年级数学期中理科卷班级:_____________ 姓名:_____________ 分数:_______________ 一、 选择题(每小题5分,共50分):1、1.函数()2()2f x x =的导数是 ( ) A . ()2f x x '= B . x x f 4)(=' C . x x f 8)(=' D .x x f 16)(='2、因指数函数xa y =是增函数(大前提),而x y )31(=是指数函数(小前提),所以x y )31(=是增函数(结论)”,上面推理的错误是 ( ) A .大前提错导致结论错 B .小前提错导致结论错C .推理形式错导致结论错D .大前提和小前提都错导致结论错3、下面几种推理过程是演绎推理的是 ( ) A .两条直线平行,同旁内角互补,如果A ∠和B ∠是两条平行直线的同旁内角,则180A B ∠+∠=︒.B .由平面三角形的性质,推测空间四面体性质.C .某校高二共有10个班,1班有51人,2班有53人,3班有52人, 由此推测各班都超过50人.D .在数列{}n a 中()111111,22n n n a a a n a --⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭,由此归纳出{}n a 的通项公式. 4、用数学归纳法证明等式:()()+∈=-++++N n n n 212531 的过程中,第二步假设kn =时等式成立,则当1+=k n 时应得到 ( )()2.13521A k k +++++= ()()2.135211B k k +++++=+()()2.135212C k k +++++=+ ()()2.135213D k k +++++=+5、函数3()31f x x x =-+在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是 ( )A. 1,−1B. 1, −17C. 3, −17D. 9, −19 6、如图是导函数/()y f x =的图象, 那么函数()y f x =在下面哪个区间 是减函数( )A 13(,)x xB 24(,)x x C.46(,)x x D.56(,)x x7、设,a b R ∈,若1a bii+-为实数,则 ( ) A.0b a +≠ B.0b a -≠ C.0b a += D. 0b a -=8、设函数[]0)()(,,12)(3<∈+--=n f m f n m x x x x f 且则方程[]n m x f ,0)(在=上( ) A.至少有三个实数根 B. 至少有两个实数根C. 有且只有一个实数根D 无实数根 9、已知函数(]0)(,3,0)()()(≠∈=x g x x g x f x h ,,对任意(])()()()(,3,0x g x f x g x f x '>'∈恒成立,则 ( ) A.函数h(x)有最大值也有最小值 B. 函数h(x)只有最小值C .函数h(x)只有最大值 D. 函数h(x)没有最大值也没有最小值10、一个作直线运动的物体,它的速度v (米/秒)与时间t (秒)满足3(0)v t t =≥ ,如果它在a 秒内的平均速度与2秒时的瞬时速度相等,则a 等于 ( )A .BC .4D . 二、 填空题(每小题5分,共25分):11、设O 是原点,向量,OA OB 对应的复数分别为23,32,i i --+那么向量BA 对应的复数是_______12、已知曲线2x y =上一点P 处的切线与直线210x y -+=平行,则点P 的坐标为_______ 13、120(23)x x dx -=⎰_______14、已知函数()x x x f ln =,则)(e f '=___ _____. 15、下列命题中,错误命题的序号是____________.①两个复数不能比较大小;②z 1,z 2,z 3∈C ,若(z 1-z 2)2+(z 2-z 3)2=0,则z 1=z 3;③若(x 2-1)+(x 2+3x +2)i 是纯虚数,则实数x =±1;④z 是虚数的一个充要条件是z +z ∈R ;⑤若a ,b 是两个相等的实数,则(a -b )+(a +b )i 是纯虚数;⑥复数z ∈R 的一个充要条件是z =z ;⑦在复数集内,-1的平方根是±i ;⑧z 21+z 22=0⇔z 1=z 2=0. 三、 解答题(共75分):16、(1) 已知函数32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值,则实数a 的取值范围. (2) 已知函数f x x x ()=-+33,R x ∈;求f x ()的单调递增区间. (12分)17、(12分)设f (x )=2(0)ax bx c a ++≠,f ′(x )=2x +2. 且方程f (x )=0有两个相等的实根.(1)求y =f (x )的表达式;(2)求y =f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积;18、若a 、b 、c 均为实数且22,22,12222+-=+-=+-=x z c z y b y x a 。
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高二期中理科数学试卷第I 卷 (选择题, 共60分)一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)1、复数i-25的共轭复数是( ) A 、2+i B 、2-i C 、i --2 D 、i -22、 已知f(x)=3x ·sinx ,则'(1)f =( ) A.31+cos1 B. 31sin1+cos1 C. 31sin1-cos1 D.sin1+cos1 3、设a R ∈,函数()x x f x e ae -=-的导函数为()'f x ,且()'f x 是奇函数,则a 为( ) A .0 B .1 C .2 D .-14、定积分dx e x x⎰-1)2(的值为( )A .e -2B .e -C .eD .e +25、利用数学归纳法证明不等式1+12+13+ (1)2n -1<f(n) (n ≥2,n ∈N *)的过程中,由n =k 变到n=k +1时,左边增加了( ) A .1项 B .k 项 C .2k-1项 D .2k 项6、由直线y= x - 4,曲线x y 2=以及x 轴所围成的图形面积为( ) A.340 B.13 C.225 D.15 7、函数223)(a bx ax x x f +--=在1=x 处有极值10, 则点),(b a 为 ( ) (A ))3,3(- (B ))11,4(- (C ) )3,3(-或)11,4(- (D )不存在 8、函数f(x)=x 2-2lnx 的单调减区间是( )A .(0,1]B .[1,+∞)C .(-∞,-1]∪(0,1]D .[-1,0)∪(0,1] 9、 已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈(),猜想(f x )的表达式( )A.4()22x f x =+; B.2()1f x x =+; C.1()1f x x =+; D.2()21f x x =+. 10、 若21()ln(2)2f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数,则b 的取值范围是( ) A. [1,)-+∞ B. (1,)-+∞ C. (,1]-∞- D. (,1)-∞-11、点P 是曲线x x y ln 2-=上任意一点, 则点P 到直线2y x =-的距离的最小值是( )(A) 1 (B)(C) 2 (D)12、对于R 上可导的任意函数f (x ),且'(1)0f =若满足(x -1)f x '()>0,则必有( ) A .f (0)+f (2)< 2 f (1) B .f (0)+f (2)≥ 2 f (1) C .f (0)+f (2)> 2 f (1) D .f (0)+f (2)≤ 2 f (1)第Ⅱ卷 (非选择题, 共90分)二.填空题(每小题5分,共20分)13、设2,[0,1]()2,(1,2]x x f x x x ⎧∈=⎨-∈⎩,则20()f x dx ⎰=14、若三角形内切圆半径为r ,三边长为a,b,c 则三角形的面积12S r a b c =++();利用类比思想:若四面体内切球半径为R ,四个面的面积为124S S S 3,,S ,; 则四面体的体积V=15、若复数z =21+3i,其中i 是虚数单位,则|z |=______.16、已知函数f(x)=x 3+2x 2-ax +1在区间(-1,1)上恰有一个极值点,则实数a 的取值范围 _____. 三、解答题(本大题共70分)17、(10分)实数m 取怎样的值时,复数i m m m z )152(32--+-=是:(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?18、(12分)已知函数3()3f x x x =-.(1)求函数()f x 在3[3,]2-上的最大值和最小值.(2)过点(2,6)P -作曲线()y f x =的切线,求此切线的方程.19、(12分)在各项为正的数列{}n a 中,数列的前n 项和n S 满足⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n a a S 121, ⑴求321,,a a a ;⑵由⑴猜想数列{}n a 的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想 20、(12分)已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间(2)若对[1,2]x ∈-,不等式2()f x c <恒成立,求c 的取值范围21、(12分)已知函数32()23 3.f x x x =-+ (1)求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程;(2)若关于x 的方程()0f x m +=有三个不同的实根,求实数m 的取值范围.22、(12分)已知函数()2a f x x x=+,()ln g x x x =+,其中0a >.(1)若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点,求实数a 的值;(2)若对任意的[]12,1x x e ∈,(e 为自然对数的底数)都有()1f x ≥()2g x 成立,求实数a的取值范围.参考答案1、D2、B3、D4、A5、D6、A7、B8、A9、B 10、C 11、B 12、C 13、56 14、 23413S S ++1R (S +S ) 15、1 16、[-1,7)17.解:(1)当01522=--m m ,即3-=m 或5=m 时,复数Z 为实数;(3分)(2)当01522≠--m m ,即3-≠m 且5≠m 时,复数Z 为虚数;(7分) (3)当03-m ,01522=≠--且m m ,即3=m 时,复数Z 为纯虚数;(10分)18.解:(I )'()3(1)(1)f x x x =+-,当[3,1)x ∈--或3(1,]2x ∈时,'()0f x >,3[3,1],[1,]2∴--为函数()f x 的单调增区间 当(1,1)x ∈-时,'()0f x <, [1,1]∴-为函数()f x 的单调减区间又因为39(3)18,(1)2,(1)2,()28f f f f -=--==-=-, 所以当3x =-时,min ()18f x =- 当1x =-时,max ()2f x = …………6分(II )设切点为3(,3)Q x x x -o o o ,则所求切线方程为32(3)3(1)()y x x x x x --=--o o o o 由于切线过点(2,6)P -,326(3)3(1)(2)x x x x ∴---=--o o o o ,解得0x =o 或3x =o 所以切线方程为3624(2)y x y x =-+=-或即30x y +=或24540x y --= …………12分19 .解:⑴易求得23,12,1321-=-==a a a …………2分⑵猜想)(1*N n n n a n ∈--=…………5分证明:①当1=n 时,1011=-=a ,命题成立②假设k n =时, 1--=k k a k 成立,则1+=k n 时, )1(21)1(211111kk k k k k k a a a a S S a +-+=-=++++ )111(21)1(2111--+---+=++k k k k a a k k k a a k k -+=++)1(2111, 所以,012121=-+++k k a k a , k k a k -+=∴+11.即1+=k n 时,命题成立. 由①②知,*N n ∈时,1--=n n a n . …………12分20. 解:(1)32'2(),()32f x x ax bx c f x x ax b =+++=++由'2124()0393f a b -=-+=,'(1)320f a b =++=得1,22a b =-=-'2()32(32)(1)f x x x x x =--=+-,函数()f x 的单调区间如下表:所以函数()f x 的递增区间是(,)3-∞-与(1,)+∞,递减区间是(,1)3-;…………6分(2)321()2,[1,2]2f x x x x c x =--+∈-,当23x =-时,222()327f c -=+ 为极大值,而(2)2f c =+,则(2)2f c =+为最大值,要使2(),[1,2]f x c x <∈-恒成立,则只需要2(2)2c f c >=+,得1,2c c <->或 …………12分21 解:(1)2()66,(2)12,(2)7,f x x x f f ''=-== ………………………2分∴曲线()y f x =在2x =处的切线方程为712(2)y x -=-,即12170x y --=;……4分 (2)记322()233,()666(1)g x x x m g x x x x x '=-++=-=-令()0,0g x x '==或1. …………………………………………………………6分 则,(),()x g x g x '的变化情况如下表………………………10分由()g x 的简图知,当且仅当(0)0,(1)0g g >⎧⎨<⎩即30,3220m m m +>⎧-<<-⎨+<⎩时, 函数()g x 有三个不同零点,过点A 可作三条不同切线.所以若过点A 可作曲线()y f x =的三条不同切线,m 的范围是(3,2)--.…………12分22. 解:(1)解法1:∵()22ln a h x x x x=++,其定义域为()0 +∞,, ∴()2212a h x x x'=-+.∵1x =是函数()h x 的极值点,∴()10h '=,即230a -=. ∵0a >,∴a = 经检验当a =1x =是函数()h x 的极值点,∴()2212a h x x x'=-+.令()0h x '=,即22120a x x-+=,整理,得2220x x a +-=.∵2180a ∆=+>,∴()0h x '=的两个实根114x -=(舍去),214x -=,当x 变化时,()h x ,()h x '的变化情况如下表:依题意,11-=,即23a =,∵0a >,∴a = (2)解:对任意的[]12,1x x e ∈,都有()1f x ≥()2g x 成立等价于对任意的[]12,1x x e ∈,都有()min f x ⎡⎤⎣⎦≥()max g x ⎡⎤⎣⎦. 当x ∈[1,e ]时,()110g x x'=+>. ∴函数()ln g x x x =+在[]1e ,上是增函数. ∴()()max1g x g e e ==+⎡⎤⎣⎦.∵()()()2221x a x a a f x x x +-'=-=,且[]1,x e ∈,0a >. ①当01a <<且x ∈[1,e ]时,()()()2x a x a f x x +-'=>,∴函数()2a f x x x=+在[1,e ]上是增函数,∴()()2min 11f x f a ==+⎡⎤⎣⎦.由21a +≥1e +,得a ,又01a <<,∴a 不合题意.②当1≤a ≤e 时, 若1≤x <a ,则()()()20x a x a f x x +-'=<,若a <x ≤e ,则()()()20x a x a f x x +-'=>.∴函数()2a f x x x=+在[)1,a 上是减函数,在(]a e ,上是增函数.∴()()min 2f x f a a ==⎡⎤⎣⎦.由2a ≥1e +,得a ≥12e +, 又1≤a ≤e ,∴12e +≤a ≤e . ③当a e >且x ∈[1,e ]时,()()()20x a x a f x x +-'=<,∴函数()2af x x x=+在[]1e ,上是减函数. ∴()()2mina f x f e e e==+⎡⎤⎣⎦.由2a e e+≥1e +,得a,又a e >,∴a e >.综上所述,a 的取值范围为1,2e +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.我们中考、高考每一科考试时间都在2小时或2小时以上且用脑强度大,这样可引起低血糖并造成大脑疲劳,从而影响大脑的正常发挥,对考试成绩产生重大影响。