【金版学案】高中数学模块综合检测试题苏教版必修4

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高中数学模块综合检测(C)(含解析)苏教版必修4(2021年整理)

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模块综合检测（C)(时间：120分钟满分：160分）一、填空题(本大题共14小题,每小题5分，共70分)1．若角600°的终边上有一点（－4，a），则a的值是________．2．若向量a＝（3,m)，b＝(2,－1），a·b＝0，则实数m的值为________．3．已知α、β为锐角,且a＝(sin α，cos β），b＝（cos α，sin β)，当a∥b时，α＋β＝________.4．设向量a＝（cos α，错误!)，若a的模长为错误!，则cos 2α＝________。

5．已知错误!＝2e1＋k e2,错误!＝e1＋3e2，错误!＝2e1－e2，若A、B、D三点共线，则k＝________。

6．tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°＝________。

7．若向量a＝(1，1)，b＝(2，5），c＝（3，x)，满足条件(8a－b）·c＝30，则x＝________。

8．已知cos4α－sin4α＝错误!,α∈(0，错误!），则cos(2α＋错误!)＝________。

9．已知A,B，C是锐角△ABC的三个内角，向量p＝（sin A，1），q＝(1，－cos B），则p 与q的夹角是________．（填“锐角”、“直角"或“钝角”）10．已知函数f(x）＝（1＋cos 2x)sin2x，x∈R，则f（x）是最小正周期为________的________(填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）函数．11．设0≤θ≤2π，向量错误!＝(cos θ，sin θ)，错误!＝（2＋sin θ,2－cos θ），则向量错误!的模长的最大值为________．12．若θ∈[0,错误!],且sin θ＝错误!，则tan 错误!＝________.13．若向量错误!＝（3，－1)，n＝(2，1)，且n·错误!＝7，那么n·错误!＝________。

【金版学案】2016-2017苏教版高中数学必修4 章末过关检测卷(一) Word版含解析

章末过关检测卷(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．角α终边经过点(1，－1)，则cos α＝( ) A ．1 B ．－1 C.22 D ．－22解析：角α终边经过点(1，－1)，所以cos α＝112＋（－1）2＝22. 答案：C2．已知扇形的半径为r ，周长为3r ，则扇形的圆心角等于( ) A.π3 B ．1 C.2π3 D ．3 解析：因为弧长l ＝3r －2r ＝r ，所以圆心角α＝lr ＝1.答案：B3．(2014·四川卷)为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度解析：根据三角函数图象的平移和伸缩变换求解．y ＝sin 2x 的图象向左平移12个单位长度得到函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的图象，即函数y＝sin(2x ＋1)的图象．答案：A4．如果函数f (x )＝sin (πx ＋θ)(0＜θ＜2π)的最小正周期是T ，且当x ＝2时取得最大值，那么( )A ．T ＝2，θ＝π2B ．T ＝1，θ＝πC ．T ＝2，θ＝πD ．T ＝1，θ＝π2解析：T ＝2π|ω|，当ωx ＋θ＝2k π＋π2(k ∈Z)时取得最大值．由题意知T ＝2ππ＝2，又当x ＝2时，有2π＋θ＝2k π＋π2，所以θ＝2(k －1)π＋π2，0＜θ＜2π.所以k ＝1.则θ＝π2.答案：A5．函数y ＝2sin(3x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪φ⎪⎪⎪<π2的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝( )A.π6B.π3C.π4 D ．－π4解析：由y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z)，可得3×π12＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，则φ＝k π＋π4.又|φ|<π2，所以取k ＝0，得φ＝π4.答案：C6．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，32π，则tan α＝( ) A.43 B.34 C ．－34 D ．±34解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝35，sin α＝－35，因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，32π，所以cos α＝－45.所以tan α＝34.答案：B7．已知a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π6，b ＝cos 23π4，c ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－334π，则a ，b ，c的大小关系是( )A ．b >a >cB ．a >b >cC ．b >c >aD ．a >c >b解析：a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π－π6＝－tan π6＝－33，b ＝cos 234π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π－π4＝cos π4＝22，c ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－334π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8π－π4＝－sin π4＝－22，所以b >a >c . 答案：A8．将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<θ<π2的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫0，32，则φ的值可以是( )A.5π3B.5π6C.π2D.π6解析：把P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32代入f (x )＝sin(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<θ<π2，解得θ＝π3，所以g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－2φ.把P ⎝⎛⎭⎪⎫0，32代入得，φ＝k π或φ＝k π－π6.答案：B9．函数y ＝3x －x 2tan x 的定义域是( )A ．(0，3]B ．(0，π)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3 解析：由y ＝3x －x 2tan x 有意义，得0≤x ≤3且x ≠k π＋π2(k ∈Z)，且x ≠k π(k ∈Z)，所以x ≠0且x ≠π2.所以x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3. 答案：C10．如图所示，函数y ＝f (x )图象的一部分，则函数y ＝f (x )的解析式可能为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6解析：14T ＝π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，所以T ＝π，所以ω＝2，排除A 、C.将f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝1代入可排除B. 答案：D11．(2014·安徽卷)设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x ≤π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0 D ．－12解析：因为f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，所以f (x )的周期T ＝2π.又因为当0≤x <π时，f (x )＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝0，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12. 答案：A12．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F (t )＝50＋4sint2(0≤t ≤20)给出，F (t )的单位是辆/分，t 的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的( )A ．[0，5]B ．[5，10]C ．[10，15]D ．[15，20]解析：因为10≤t ≤15时，有32π<5≤t 2≤152<52π，此时F (t )＝50＋4sin t2是增函数，即车流量在增加．答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上)13．(2015·四川卷)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．解析：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.所以2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝－4－14＋1＝－1. 答案：－114．(2014·江苏卷)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．解析：利用函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)的交点横坐标，列方程求解．由题意，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·π3＋φ＝cos π3，因为0≤φ<π，所以φ＝π6.答案：π615．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－m 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点，则m 的取值范围是________．解析：f (x )有两个零点，即m ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的实根．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，56π，结合正弦曲线知m ∈[1，2)．答案：[1，2)16．(2014·北京卷)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．解析：因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，所以T 2≥π2－π6.所以T ≥2π3.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，所以f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12.又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，所以f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3.所以14T ＝7π12－π3＝π4.所以T ＝π.答案：π三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知tan (2 013π＋α)＝3，试求：sin （α－3π）－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 013π2＋α－sin （－α）＋cos （π＋α）的值．解：由tan(2 013π＋α)＝3, 可得 tan α＝3，故sin （α－3π）－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 013π2＋α－sin （－α）＋cos （π＋α）＝－sin α＋2sin αsin α－cos α＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝33－1＝32.18．(本小题满分12分)已知函数y ＝2a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b 的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0， π2，值域是[－5，1]，求a ，b 的值．解：因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3.所以－12≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1.当a >0时，－a ＋b ≤2a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b ≤2a ＋b .由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝－5，2a ＋b ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3.当a <0时，2a ＋b ≤2a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b ≤－a ＋b . 由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－5，－a ＋b ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.19.(本小题满分12分)(2014·北京卷)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图象如图所示．(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值；(2)在f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．解：(1)f (x )的最小正周期为π，x 0＝7π6，y 0＝3.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，0.于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.20．(本小题满分12分)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．解：(1)因为x ＝π8是函数y ＝f (x )的图象的对称轴，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝±1. 所以π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z.因为－π<φ<0，所以φ＝－3π4.(2)由(1)知φ＝－3π4，因此y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4. 由题意得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2，k ∈Z.所以k π＋π8≤x ≤k π＋58π，k ∈Z ，所以函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z.21．(本小题满分12分)(2015·湖北卷)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．解：(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝ ⎭⎪⎫2x －π6. (2)由(1)知 f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，因此g (x )＝5sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ，令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z ，即y ＝g (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，0，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0. 22．(本小题满分12分)2016年的元旦，N 市从0时到24时的气温变化曲线近似地满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ，ω>0，|φ|≤π)．从天气台得知：N 市在2016年的第一天的气温为1到9度，其中最高气温只出现在下午14时，最低气温只出现在凌晨2时．(1) 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的表达式．(2)若元旦当天M 市的气温变化曲线也近似地满足函数y 1＝A 1sin(ω1x ＋φ1)＋b 1，且气温变化也为1到9度，只不过最高气温和最低气温出现的时间都比N 市迟了4个小时．①求早上7时，N 市与M 市的两地温差；②若同一时刻两地的温差不超过2度，我们称之为温度相近，求2016年元旦当日，N 市与M 市温度相近的时长．解：由已知可得：b ＝5，A ＝4，T ＝24⇒ω＝π12. 又最低气温出现在凌晨2时，则有2ω＋φ＝2k π－π2，又|φ|≤π⇒φ＝－23π. 则所求的函数表达式为y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12x －23π＋5. (2)由已知得M 市的气温变化曲线近似地满足函数y 1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12x －π＋5， y －y 1＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12x －23π－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12x －π ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12x －23π＋sin π12x ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12x －13π. ①当x ＝7时，y －y 1＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12·7－13π＝2 2.②由|y －y 1|≤2⇒－2≤4sin≤2⇒2≤x ≤6或14≤x ≤18. 则2016年元旦当日，N 市与M 市温度相近的时长为8小时．。

苏教版高中数学必修4模块综合测评

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作模块综合测评(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1.sin 330°＝________.【解析】 sin 330°＝sin(330°－360°)＝sin(－30°)＝－12. 【答案】－122.已知角α的终边经过点P (4，－3)，则2sin α＋cos α的值等于________．【解析】据三角函数的定义，可知|OP |＝5，∴sin α＝－35，cos α＝45，∴2sin α＋cos α＝－65＋45＝－25.【答案】－253.化简：cos 4－sin 22＋2＝________. 【解析】原式＝2cos 22－1＋1＋cos 22 ＝3cos 22 ＝－3cos 2 【答案】－3cos 24.⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12＝________.【解析】原式＝cos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝32. 【答案】 325.已知a ＝(2，1)，a ＋b ＝(1，k )，若a ⊥b ，则k ＝________. 【解析】 ∵a ＝(2，1)，a ＋b ＝(1，k ) ∴b ＝(－1，k －1)又a ⊥b ，∴a·b ＝－2＋(k －1)＝0， ∴k ＝3. 【答案】 36.过点A (－2，1)，且平行于向量a ＝(3，1)的直线方程为________. 【解析】直线斜率为k ＝13，故直线方程为y －1＝13(x ＋2)，即x －3y ＋5＝0.【答案】 x －3y ＋5＝07.函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤π6的值域为________.【解析】 ∵0≤x ≤π6，∴π3≤2x ＋π3≤2π3 ∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，18.如图1，在△ABC 中，E ，F 分别是边AC ，BC 的中点，D 是EF 的中点，设AC →＝a ，BC →＝b ，则AD →＝________.(用a ，b 表示)图1【解析】 ED →＝12EF →＝1212AB →＝14(CB →－CA →)＝14(－b ＋a ).AE →＝12AC →＝12a ，AD →＝AE →＋ED →＝12a ＋14(－b ＋a )＝34a －14b . 【答案】 34a －14b9.若b ＝(1，1)，且a·b ＝2，(a －b )2＝3，则|a |＝________. 【解析】由(a －b )2＝3，得a 2－2a·b ＋b 2＝3，则a 2－2×2＋2＝3，故a 2＝5，|a |＝ 5. 【答案】510.函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的单调递减区间是________.【解析】由π2＋2k π＜2x －π6＜3π2＋2k π，k ∈Z 得 π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z . 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋k π，5π6＋k π，k ∈Z 11.平面向量a ＝(x ，－3)，b ＝(－2，1)，c ＝(1，y )，若a ⊥(b －c )，b ∥(a ＋c )，则b 与c 的夹角为________.【导学号：48582154】【解析】由题意知，b －c ＝(－3，1－y )， a ＋c ＝(x ＋1，y －3).依题意，得⎩⎨⎧ －3x －3(1－y )＝0，x ＋1＋2(y －3)＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2.∴c ＝(1，2)，∴b·c ＝0，∴b ⊥c . 【答案】 90°12.已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________.【解析】依题f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，∴f (x )图象关于直线x ＝π6＋π32对称，即关于直线x ＝π4对称，且π3－π6＜T ＝2πω，∴π4·ω＋π3＝3π2＋2k π，k ∈Z ，且0＜ω＜12，∴ω＝143.【答案】 14313.如图2，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________.图2【解析】分别延长OA ，OB 至OA ′，OB ′，连接CA ′，CB ′构成如图的平行四边形：注意到|OA →|＝|OB →|＝1，设|OA ′|＝λ， |OB ′|＝μ.则∠BOC ＝∠OCA ′＝90°，于是μ＝|OB ′|＝|A ′C |＝|OC |tan 30°＝2，λ＝|OA ′|＝|OC |cos 30°＝4，故λ＋μ＝6.【答案】 614.已知θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，sin θ＋cos θ＝22sin θcos θ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝________. 【解析】 ∵sin θ＋cos θ＝22sin θcos θ， ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2sin 2θ，∴sin 2θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.又θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴θ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2θ＝θ＋π4， ∴θ＝π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝12.【答案】 12二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)已知tan α＝12，求1＋2sin (π－α)cos (－2π－α)sin 2(－α)－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α的值.【解】原式＝1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)2(sin α－cos α)(sin α＋cos α) ＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1，又∵tan α＝12，∴原式＝12＋112－1＝－3.16.(本小题满分14分)设e 1，e 2是正交单位向量，如果OA →＝2e 1＋m e 2，OB →＝n e 1－e 2，OC →＝5e 1－e 2，若A ，B ，C 三点在一条直线上，且m ＝2n ，求m ，n 的值.【解】以O 为原点，e 1，e 2的方向分别为x ，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy ，则OA →＝(2，m )，OB →＝(n ，－1)，OC →＝(5，－1)，所以AC →＝(3，－1－m )，BC →＝(5－n ，0)，又因为A ，B ，C 三点在一条直线上，所以AC →∥BC →，所以3×0－(－1－m )·(5－n )＝0，与m ＝2n 构成方程组⎩⎨⎧mn －5m ＋n －5＝0，m ＝2n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－12或⎩⎨⎧m ＝10，n ＝5.17.(本小题满分14分)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0，1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值. 【解】 (1)证明：由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0，1)，所以⎩⎨⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，由此得，cos α＝cos(π－β)，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6.18.(本小题满分16分)已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，记y ＝f (x ).(1)求证：tan(α＋β)＝2tan α. (2)求f (x )的解析式.【解】 (1)证明：由sin(2α＋β)＝3sin β，得sin [](α＋β)＋α＝3sin [](α＋β)－α，即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α， ∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α. ∴tan(α＋β)＝2tan α. (2)由(1)得tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan α，即x ＋y1－xy＝2x ，∴y ＝x 1＋2x 2，即f (x )＝x1＋2x 2. 19.(本小题满分16分)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π x π3 5π6 A sin(ωx ＋φ)5－5(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象.若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值.【解】 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π x π12 π3 7π12 5π6 1312π A sin(ωx ＋φ)5－5且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则g (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6.因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ，令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z . 由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z . 由θ＞0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.20.(本小题满分16分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π2)的部分图象如图3所示.图3(1)求f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍，再将所得函数图象向右平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递增区间；(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，5π12时，求函数y ＝fx ＋π12－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的最值. 【导学号：48582155】【解】 (1)由图得34T ＝116π－π3＝96π＝32π， ∴T ＝2π，∴ω＝2πT ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＝0，得A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋φ＝0，∴116π＋φ＝2k π，φ＝2k π－116π. ∵0＜φ＜π2，∴当k ＝1时，φ＝π6.又由f (0)＝2，得：A sin φ＝2，A ＝4， ∴f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.(2)将f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变得到y ＝4sin2x ＋π6，再将图象向右平移π6个单位得到g (x )＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )得： k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴g (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ).(3)y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6－2×4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π6 ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos π4＋cos x sin π4－42cos x ＝22sin x ＋22cos x －42cos x ＝22sin x －22cos x ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，512π，x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34π，π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，∴函数的最小值为－4，最大值为2.。

【金版学案】2016-2017苏教版高中数学必修4检测：第1章1.3-1.3.1三角函数的周期性 Word版含解析

第1章三角函数1.3 三角函数的图象和性质1.3.1 三角函数的周期性A 级基础巩固一、选择题1．(2014·陕西卷)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期是( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π 答案：B2．下列函数中，周期为π的函数是( )A ．y ＝2sin xB ．y ＝cos xC ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 解析：根据公式T ＝2π|ω|可知函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的最小正周期是T ＝2π|－2|＝π. 答案：D3．f (x )是以2π为周期的奇函数，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2的值为( )A ．1B ．－1 C.π2 D ．－π2解析：因为f (x )是以2π为周期的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1. 答案：B4．函数y ＝4tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的最小正周期是____________．答案：π35．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的最小正周期为________．解析：由于y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，所以函数的最小正周期T ＝2π2＝π. 答案：π 6．若函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝________．解析：因为T ＝2π|ω|＝2π ω＝π，所以ω＝2. 答案：27．设f (x )是定义在R 上的以4为周期的奇函数，且f (1)＝－1，则f (2 015)＝________．解析：因为f (x )是在R 上以4为周期的奇函数．所以f (2 015)＝f (504×4－1)＝f (－1)＝－f (1)．又f (1)＝－1，故f (2 015)＝－f (1)＝1.答案：18．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 4＋π3(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是________．解析：由于y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 4＋π3(k >0)的最小正周期T ＝8πk . 依题意，得8πk≤2，所以k ≥4π. 由k ∈N *，知k 的最小值为13.答案：139．若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)的最小正周期为π5，则ω＝______．解析：因为2πω＝π5，所以ω＝10. 答案：10 10．求下列函数的最小正周期：(1)f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－16x ； (2)f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫mx ＋π6(m ≠0)．解：(1)T ＝2π⎪⎪⎪⎪⎪⎪－16＝12π，即函数f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－16x 的最小正周期为12π. (2)T ＝2π|m |，即函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫mx ＋π6(m ≠0)的最小正周期为2π|m |. B 级能力提升11．设函数f (x )是周期为2T 的函数，若f (x )定义域为R ，且其图象关于直线x ＝T 对称，那么f (x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数解析：因为f (x )的图象关于x ＝T 对称，所以f (T －x )＝f (T ＋x )．①又f (x )的周期为2T ，所以f (T ＋x )＝f (T ＋x －2T )＝f (x －T )．②由①②有f (T －x )＝f (x －T )．令x －T ＝t ，则f (－t )＝f (t )对一切t ∈R 都成立，所以f (x )是偶函数．答案：B12．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)的值为________．解析：因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0.又f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (6)＝f (2)．由f (2)＝－f (0)＝0，得f (6)＝0.答案：013．已知f (n )＝cos n π4，n ∈N *，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (100)＝________．解析：因为f (n )＝cos n π4的周期T ＝8.且f (1)＋f (2)＋…＋f (8)＝0，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (100)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝sin π4＋cos π2＋cos 3π4＋cos π＝－1. 答案：－114．若函数f (x )的定义域为R ，对一切实数x ，都有f (5＋x )＝f (5－x)，f(7＋x)＝f(7－x)，试判断f(x)是否是周期函数，若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由．解：因为f(5＋x)＝f(5－x)，f(7＋x)＝f(7－x)，所以f(10－x)＝f(x)，f(14－x)＝f(x)．所以f(14－x)＝f(10－x)．令t＝10－x，则f(4＋t)＝f(t)，所以f(x)是周期函数，4是它的一个周期．15．若单摆中小球相对静止位置的位移x(cm)随时间t(s)的变化而周期性变化，如图所示，请回答下列问题：(1)单摆运动的周期是多少？(2)从点O算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从点A算起呢？(3)当t＝11 s时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？解：(1)从图象可以看出，单摆运动的周期是0.4 s.(2)若从点O算起，到曲线上的点D表示完成了一次往复运动；若从点A算起，到曲线上的点E表示完成了一次往复运动．(3)11＝0.2＋0.4×27，所以小球经过11 s相对于静止位置的位移是0 cm.。

高中数学模块综合检测(B)(含解析)苏教版必修4

模块综合检测(B)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．已知sin α＝35，则cos 2α的值为________．2．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,2)，若(a －c )⊥b ，则k ＝________. 3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x ，－4)，若a ∥b ，则a ·b ＝________.4．设cos(α＋π)＝32(π<α<3π2)，那么sin(2π－α)的值为________．5．已知α为第二象限的角，sin α＝35，则tan 2α＝________.6．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α的值为________．7．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin(α＋π4)＝________.8．若向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )互相垂直，其中x ∈R ，则|a －b |＝________.9．把函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的图象向右平移π3个单位可以得到函数g (x )的图象，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________. 10．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(cos θ，sin θ)，θ∈[－π2，π2]，则|a ＋b |的取值范围是________．11．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是________．12．设ω>0，若函数f (x )＝2sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上单调递增，则ω的取值范围是________．13．已知cos 2θ＝23，则sin 4θ＋cos 4θ的值为________．14.如图，正六边形ABCDEF 中，有下列四个命题： ①AC →＋AF →＝2BC →； ②AD →＝2AB →＋2AF →； ③AC →·AD →＝AD →·AB →； ④(AD →·AF →)EF →＝AD →(AF →·EF →)．其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号) 二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知0<x <π2，化简：lg(cos x ·tan x ＋1－2sin 2x 2)＋lg[2cos(x －π4)]－lg(1＋sin 2x )．16．(14分)已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．17．(14分)如图，以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于P ，Q 两点，已知点P 点的坐标为(－35，45)．(1)求sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α的值；(2)若OP →·OQ →＝0，求sin(α＋β)．18．(16分)已知a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋32.(1)求f (x )的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；(2)当0≤x ≤π2时，求函数f (x )的值域．19．(16分)已知函数f (x )＝A sin(3x ＋φ)(A >0，x ∈(－∞，＋∞)，0<φ<π)在x ＝π12时取得最大值4.(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的解析式；(3)若f (23α＋π12)＝125，求sin α.20．(16分)已知a ＝(cos ωx ，sin ωx )，b ＝(2cos ωx ＋sin ωx ，cos ωx )，x ∈R ，ω>0，记f (x )＝a ·b ，且该函数的最小正周期是π4.(1)求ω的值；(2)求函数f (x )的最大值，并且求使f (x )取得最大值的x 的集合．模块综合检测(B)1.725解析 cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×(35)2＝725.2．0解析 ∵a －c ＝(3,1)－(k,2)＝(3－k ，－1)， (a －c )⊥b ，b ＝(1,3)，∴(3－k )×1－3＝0，∴k ＝0. 3．－10解析 ∵a ∥b ，∴1×(－4)－2x ＝0，x ＝－2. ∴a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，∴a ·b ＝(1,2)·(－2，－4)＝－10. 4.12 解析 ∵cos(α＋π)＝－cos α＝32， ∴cos α＝－32， ∵π<α<3π2，∴α＝7π6，∴sin(2π－α)＝－sin α＝－sin 76π＝12.5．－247解析由于α为第二象限的角，且sin α＝35，∴cos α＝－45.∴tan α＝－34，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×－341－－342＝－321－916＝－247.6．－47解析 tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)] ＝tan α＋β＋tan α－β1－tan α＋βtan α－β＝3＋51－3×5＝－47. 7．－7210解析 ∵cos α＝－45，α是第三象限角．∴sin α＝－35，∴sin(α＋π4)＝22(sin α＋cos α)＝－7210.8．2或10解析 ∵a ·b ＝2x ＋3－x 2＝0. ∴x 1＝－1或x 2＝3. a －b ＝(－2x －2,2x )．当x ＝－1时，a －b ＝(0，－2)，|a －b |＝2；当x ＝3时，a －b ＝(－8,6)，则|a －b |＝10. 9．1解析 f (x )＝sin(－2x ＋π3)向右平移π3个单位后，图象对应函数解析式为f (x －π3)＝sin[－2(x －π3)＋π3]＝sin(－2x ＋π)＝sin 2x .∴g (x )＝sin 2x ，g (π4)＝sin π2＝1.10．[2，2]解析 |a ＋b |＝1＋cos θ2＋sin θ2＝2＋2cos θ.∵θ∈[－π2，π2]，∴cos θ∈[0,1]．∴|a ＋b |∈[2，2]． 11.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π 解析 Δ＝|a |2－4a·b ＝|a |2－4|a||b |cos 〈a ，b 〉＝4|b |2－8|b |2cos 〈a ，b 〉≥0.∴cos 〈a ，b 〉≤12，〈a ，b 〉∈[0，π]．∴π3≤〈a ，b 〉≤π.12.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 解析令－π2≤ωx ≤π2，－π2ω≤x ≤π2ω，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω是函数关于原点对称的递增区间中范围最大的，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω，则 ⎩⎪⎨⎪⎧π4≤π2ω－π3－π2ω⇒0<ω≥32.13.1118解析 sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－12sin 22θ＝1－12(1－cos 22θ)＝1118.14．①②④解析在正六边形ABCDEF 中，AC →＋AF →＝AC →＋CD →＝AD →＝2BC →，①正确；设正六边形的中心为O ，则2AB →＋2AF →＝2(AB →＋AF →)＝2AO →＝AD →，②正确；易知向量AC →和AB →在AD →上的投影不相等，即AC →·AD →|AD →|≠AB →·AD →|AD →|.∴AC →·AD →≠AD →·AB →，③不正确；∵AD →＝－2EF →，∴(AD →·AF →)EF →＝AD →(AF →·EF →) ⇔(AD →·AF →)EF →＝－2EF →(AF →·EF →) ⇔AD →·AF →＝－2AF →·EF → ⇔AF →·(AD →＋2EF →)＝0. ∵AD →＋2EF →＝AD →－AD →＝0， ∴AF →·(AD →＋2EF →)＝0成立．从而④正确．15．解 0<x <π2，∴原式＝lg(cos x ·sin xcos x＋cos x )＋lg(cos x ＋sin x )－lg(1＋sin 2x )＝lg(sin x ＋cos x )＋lg(cos x ＋sin x )－lg(1＋sin 2x )＝lg(sin x ＋cos x )2－lg(1＋sin 2x ) ＝lg(1＋sin 2x )－lg(1＋sin 2x )＝0. 16．解 (1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a |＝|b |知，sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，所以1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5.从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝－22. 又由0<θ<π知，π4<2θ＋π4<9π4，所以2θ＋π4＝5π4，或2θ＋π4＝7π4.因此θ＝π2，或θ＝3π4.17．解 (1)由三角函数定义得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos αsin α＋cos αsin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2·(－35)2＝1825.(2)∵OP →·OQ →＝0，∴α－β＝π2，∴β＝α－π2，∴sin β＝sin(α－π2)＝－cos α＝35，cos β＝cos(α－π2)＝sin α＝45.∴sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝45×45＋(－35)×35＝725. 18．解 (1)f (x )＝sin x cos x －3cos 2x ＋32＝12sin 2x －32(cos 2x ＋1)＋32＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin(2x －π3)．所以f (x )的最小正周期为π.令sin(2x －π3)＝0，得2x －π3＝k π，∴x ＝k π2＋π6，k ∈Z .故所求对称中心的坐标为(k π2＋π6，0)，(k ∈Z )．(2)∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3.∴－32≤sin(2x －π3)≤1，即f (x )的值域为[－32，1]． 19．解 (1)∵f (x )＝A sin(3x ＋φ)，∴T ＝2π3，即f (x )的最小正周期为2π3.(2)∵当x ＝π12时，f (x )有最大值4，∴A ＝4.∴4＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×π12＋φ，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1. 即π4＋φ＝2k π＋π2，得φ＝2k π＋π4(k ∈Z )． ∵0<φ<π，∴φ＝π4.∴f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. (3)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23α＋π12＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫23α＋π12＋π4＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝4cos 2α. 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23α＋π12＝125，得4cos 2α＝125，∴cos 2α＝35，∴sin 2α＝12(1－cos 2α)＝15，∴sin α＝±55. 20．解 (1)f (x )＝a ·b＝cos ωx ·(2cos ωx ＋sin ωx )＋sin ωx ·cos ωx＝2cos 2ωx ＋2sin ωx ·cos ωx ＝ 2·1＋cos 2ωx 2＋sin 2ωx＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1＝2sin(2ωx ＋π4)＋1.∴f (x )＝2sin(2ωx ＋π4)＋1，其中x ∈R ，ω>0.∵函数f (x )的最小正周期是π4，可得2π2ω＝π4，∴ω＝4.(2)由(1)知，f (x )＝2sin(8x ＋π4)＋1.当8x ＋π4＝π2＋2k π，即x ＝π32＋k π4(k ∈Z )时，sin(8x ＋π4)取得最大值1，∴函数f (x )的最大值是1＋2，此时x 的集合为{x |x ＝π32＋k π4，k ∈Z }．。

【金版学案】2021学年高中数学 2．3.1平面向量大体定理检测试题苏教版必修4(1)

2.3 向量的坐标表示2．3.1 平面向量大体定理情景：“神舟”十号宇宙飞船在升空的某一时刻，速度能够分解成竖直向上和水平向前的两个分速度．在力的分解的平行四边形法那么中，咱们看到一个力能够分解为两个不共线方向的力的和．试探：平面内任一贯量是不是能够用两个不共线的向量来表示呢？基础巩固1．e1，e2是平面内的一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组基底的是( )A ．e1和e1＋e2B ．e1－2e2和e2－2e1C ．e1－2e2和4e2－2e1D ．e1＋e2和e1－e2答案：C2．下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．其中正确的说法是________(填序号)．答案：②③3．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λ1a ＋λ2b(λ1，λ2∈R)，假设c 与b 共线，那么λ1＝________.答案：04．假设3x ＋4y ＝a 且2x －3y ＝b ，其中a ，b 为已知向量，那么x ＋y ＝________(用a ，b 表示)．答案：517a ＋117b 能力升级5．向量OA →，OB →，OC →的终点A 、B 、C 在一条直线上，且AC →＝－3CB →，设OA →＝p ，OB →＝q ，OC →＝r ，那么以劣等式成立的是( )A ．r ＝－12p ＋32qB ．r ＝－p ＋2qC ．r ＝32p －12q D ．r ＝－q ＋2q 解析：由AC →＝－3CB →，得OC →－OA →＝－3(OB →－OC →)，2OC →＝－OA →＋3OB →，OC →＝－12OA →＋32OB →，即r ＝－12p ＋32q. 答案：A6．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么AO →＝________AD →.解析：由D 为BC 边中点可得：OD →＝12(OB →＋OC →)，又2OA →＋OB →＋OC →＝0，因此2OA →＋2OD →＝0，故AO →＝OD →，从而AO →＝12AD →. 答案：127．在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，假设AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，那么λ＝________. 解析：CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，故λ＝23. 答案：238．已知△ABC 和点M 知足MA →＋MB →＋MC →＝0.假设存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，那么m ＝________.解析：依题意可知M 为△ABC 的重心，连接AM 并延长交BC 于D ，那么AM →＝23AD →.① 因为AD 为中线，因此AB →＋AC →＝2AD →＝mAM →，即2AD →＝mAM →.②联立①②解得m ＝3.答案：39．用向量证明三角形的三条边的中线共点．证明：设AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条中线．设AC →＝a ，BC →＝b ，AG →＝23AD →，则AB →＝a －b ，AD →＝a －12b ， BE →＝－12a ＋b ，设AD 与BE 交于点G1，并设AG1→＝λAD →，BG1→＝μBE →，则AG1→＝λa －λ2b ，BG1→＝－μ2a ＋μb ，又因为AG1→＝AB →＋BG1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－μ2a ＋(μ－1)b. 因此⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝1－μ2，－λ2＝μ－1，解得λ＝μ＝23，即AG1→＝23AD →. 再设AD 与CF 交于点G2，同理可得AG2→＝23AD →，故G1点与G2点重合，即AD 、BE 、CF 相交于一点．因此三角形的三条边的中线共点．10．如右以下图，在△ABC 中，M 是边AB 的中点，E 是CM 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，MH ∥AF.求证：BH →＝HF →＝FC →.证明：设BH →＝a ，BM →＝b.则BA →＝2b ，MH →＝a －b ，AF →＝2MH →＝2a －2b ，BF →＝AF →＋BA →＝2a －2b ＋2b ＝2a.因此HF →＝BF →－BH →＝a.因此BH →＝HF →，同理可证：HF →＝FC →.因此结论成立．11．如图，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为60°，OA →与OC →，OB →与OC →的夹角都为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，假设OC →＝λOA →＋μOB →，求λ＋μ的值．解析：过C 别离作CN ∥OA ，交射线OB 于N ，作CM ∥OB ，交射线OA 于M ，那么OC →＝OM →＋ON →＝λOA →＋μOB →.因此OM →＝λOA →，ON →＝μOB →.由已知，|OA →|＝|OB →|＝1，在平行四边形OMCN 中，∠MOC ＝∠NOC ＝∠NCO ＝30°，因此△NOC 为等腰三角形．因此ON ＝NC ＝OM ，因此平行四边形OMCN 为菱形．连接MN 交OC 于H ，那么OC ⊥MN ，且H 为OC 中点．在Rt △OHM 中，cos ∠HOM ＝OH OM ＝12OC OM，即cos 30°＝3OM ＝32，解得OM ＝2，因此ON ＝2，因此λ＝|OM →||OA →|＝2， μ＝|ON →||OB →|＝2，故λ＋μ＝4. 12．在一个平面内有不共线的三个定点O 、A 、B ，动点P 关于点A 的对称点为Q ，Q 关于点B 的对称点为R.已知OA →＝a ，OB →＝b ，用a 、b 表示PR →.解析：如右图所示．方式一由题意知A 为PQ 的中点，B 为QR 的中点，∴P R ∥AB 且PR ＝2AB ，∴PR →＝2·AB →＝2(OB →－OA →)＝2(b －a)．方式二 PR →＝OR →－OP →，在△OQR 中，B 为QR 中点，∴2OB →＝OR →＋OQ →，∴OR →＝2OB →－OQ →.同理有2OA →＝OP →＋OQ →，∴OP →＝2OA →－OQ →.则PR →＝2OB →－OQ →－(2OA →－OQ →)＝2b －OQ →－2a ＋OQ →＝2b －2a.。

高中数学苏教版必修4模块综合测评含解析

【答案】x－3y＋5＝0
7．函数y＝sin 的值域为________．
【解析】∵0≤x≤ ，∴ ≤2x＋ ≤
∴y＝sin 的值域为 .
【答案】Байду номын сангаас
8.如图1，在△ABC中，E，F分别是边AC，BC的中点，D是EF的中点，设＝a，＝b，则＝________.(用a，b表示)
图1
【解析】＝＝＝ ( － )＝ (－b＋a)．
＝＝ a，＝＋
＝ a＋ (－b＋a)＝ a－ b.
【答案】 a－ b
9．若b＝(1,1)，且a·b＝2，(a－b)2＝3，则|a|＝________.
【解析】由(a－b)2＝3，得a2－2a·b＋b2＝3，
则a2－2×2＋2＝3，故a2＝5，|a|＝ .
【答案】
10．函数f(x)＝sin 的单调递减区间是________．
(2)由(1)得＝2tanα，即＝2x，
所以
由此得，cosα＝cos(π－β)，
由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.
又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sinα＋sinβ＝1，得sinα＝sinβ＝，而α＞β，所以α＝，β＝ .
18．(本小题满分16分)已知sin(2α＋β)＝3sinβ，设tanα＝x，tanβ＝y，记y＝f(x)．
(1)求证：tan(α＋β)＝2tanα.
模块综合测评
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)
1．sin 330°＝________.
【解析】sin 330°＝sin(330°－360°)＝sin(－30°)＝－ .
【答案】－
2．已知角α的终边经过点P(4，－3)，则2sinα＋cosα的值等于________．

高中数学模块综合检测卷苏教版必修4

模块综合检测卷(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．当|a |＝|b |≠0，且a ，b 不共线时，a ＋b 与a －b 的关系是( ) A ．平行 B ．相等 C ．相交但不垂直D ．垂直解析：根据向量的几何意义，作OA →＝a ，OB →＝b ，则在▱CAOB 中，OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b ，因为|a |＝|b |，即OA ＝OB ，所以▱CAOB 是菱形．所以AB ⊥OC ，即BA →⊥OC →.所以(a ＋b )⊥(a －b )．答案：D2．已知角α的终边经过点P (4，－3)，则2sin α＋cos α的值等于( ) A ．－35 B.45 C.25 D ．－25解析：因为α的终边过点P (4，－3)，所以x ＝4，y ＝－3，r ＝|OP |＝5.所以sin α＝y r ＝－35，cos α＝45.所以2sin α＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45＝－25.答案：D3．下列各向量中，与a ＝(3，2)垂直的是( ) A ．(3，－2) B ．(2，3) C ．(－4，6)D ．(－3，2)解析：(3，2)·(－4，6)＝3×(－4)＋2×6＝0. 答案：C4．要得到函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象，只需将函数y ＝3sin 2x 的图象( )A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π8个单位长度D ．向右平移π8个单位长度解析：因为y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π8，所以由y ＝3sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度可得y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象．答案：C5．(2015·广东卷)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝x ＋sin 2x B ．y ＝x 2－cos x C ．y ＝2x＋12xD ．y ＝x 2＋sin x解析：A 为奇函数，B 、C 为偶函数，D 中，y ＝x 2＋sin x 是非奇非偶函数．答案：D6．已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin x ，x ∈R ，则f (x )的最小正周期是( ) A ．π B ．2π C.π2D ．2解析：f (x )＝sin 2x －sin x cos x ＝1－cos 2x 2－12sin 2x ＝12－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以T＝2π2＝π. 答案：A7．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位长度，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0对称解析：由题意得y ＝f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x .显然A ，B ，C 均错误，只有D 正确．答案：D8．若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin θ－cos θ＝22，则cos 2θ等于( )A.32 B ．－32C ．±32D ．±12解析：由sin θ－cos θ＝22，得1－2sin θcos θ＝12，则sin 2θ＝12.即1－2sin θcos θ＝12，所以sin 2θ＝12.因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin θ >cos θ，所以θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.所以2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. 所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－32. 答案：B9．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：由图象知，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，所以2πω＝2，所以ω＝π.由π·14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4. 由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，所以f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z.答案：D10．先令函数y ＝cos x 的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再把图象沿x轴向左平移π4个单位长度，则所得图象对应的函数表达式为( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝－sin 2xC ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4解析：第一步变换后所得函数表达式是y ＝cos 2x ，第二步变换后所得函数表达式是y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 答案：B11．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12＋k π，11π12＋k π(k ∈Z) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π(k ∈Z)解析：由题可得y ＝－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，由π2＋2k π≤2x －π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得5π12＋k π≤x ≤11π12＋k π，k ∈Z ，所以原函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12＋k π，11π12＋k π(k ∈Z)．答案：C12．已知向量a ＝(2cos φ，2sin φ)，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，b ＝(0，－1)，则a 与b 的夹角为( )A ．φ B.π2－φ C.π2＋φ D.3π2－φ 解析：|a |＝（2cos φ）2＋（2sin φ）2＝2， |b |＝1，a ·b ＝－2sin φ，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a ||b |＝－2sin φ2×1＝－sin φ＝sin(－φ)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－φ，则cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－φ，且3π2－φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以θ＝3π2－φ.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中横线上) 13．已知等腰三角形底角的余弦值等于45，则这个三角形顶角的正弦值为________．解析：设此三角形的底角为α，顶角为β，则cos α＝45，sin α＝35，所以sin β＝sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝2×35×45＝2425.答案：242514．(2014·陕西卷)设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________．解析：因为a ∥b ，所以sin 2θ·1－cos 2θ＝0.所以2sin θcos θ－cos 2θ＝0.因为0<θ<π2，所以cos θ >0.所以2sin θ＝cos θ.所以tan θ＝12.答案：1215．在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝23BC →，DF →＝16DC →，则AE →·AF →的值为________．解析：取BA →，BC →为一组基底，则AE →＝BE →－BA →＝23BC →－BA →，AF →＝AB →＋BC →＋CF →＝－BA →＋BC →＋512BA →＝－712BA →＋BC →，所以AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23BC →－BA →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－712BA →＋BC →＝712|BA →|2－2518BA →·BC →＋23|BC →|2＝712×4－2518×2×1×12＋23＝2918.答案：291816．(2015·天津卷)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R.若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．解析：f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z. 又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2，所以ω2＝π4，所以ω＝π2.答案：π2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为θ. (1)若a ∥b ，求a·b ； (2)若a －b 与a 垂直，求θ.解：(1)因为a ∥b ，所以θ＝0°或180°，所以a·b ＝|a ||b |cos θ＝± 2. (2)因为a －b 与a 垂直，所以(a －b )·a ＝0，即|a |2－a·b ＝1－2cos θ＝0. 所以cos θ＝22. 又0°≤θ ≤180°，所以θ＝45°.18．(本小题满分12分)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，cos 2α＝725，求sin α及tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3. 解：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝22(sin α－cos α)＝7210，所以sin α－cos α＝75.①因为cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α－sin α) (cos α＋sin α)＝－75(cos α＋sin α)，所以cos α＋sin α＝－15.②由①②得：sin α＝35，cos α＝－45.所以tan α＝－34.所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝tan α＋31－3tan α＝3－341＋334＝48－25311. 所以sin α＝35，tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝48－25311. 19．(本小题满分12分)如图所示，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．(1)若A ，B 两点的纵坐标分别为45，1213，求cos(β－α)的值；(2)已知点C 是单位圆上的一点，且OC →＝OA →＋OB →，求OA →和OB →的夹角θ. 解：(1)设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，45，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，1213，则x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝1，又x 1>0，所以x 1＝35，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45. x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝1，又x 2<0，所以x 2＝－513.所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－513，1213. 所以sin α＝45，cos α＝35，sin β＝1213，cos β＝－513，所以cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×35＋1213×45＝3365.(2)根据题意知|OA →|＝1，|OB →|＝1，|OC →|＝1，又OC →＝OA →＋OB →，所以四边形CAOB 是平行四边形．又|OA →|＝|OB →|，所以▱CAOB 是菱形．又|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，所以△AOC 是等边三角形．所以∠AOC ＝60°.所以∠AOB ＝120°. 即OA →与OB →的夹角θ为120°.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x ·cos x .(1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求f (x )的值域；(2)用五点法在下图中作出y ＝f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上的简图；(3)说明f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变化得到．解：f (x )＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＝2cosx ⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos π3＋cos x sin π3－3·sin 2x ＋s in x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (1)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以π3≤2x ＋π3≤4π3.所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1. 所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的值域为[－3，2]． (2)由T ＝2π2，得T ＝π，列表：(3)法一：由以下变换可得f (x )的图象：先将y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的12，最后将纵坐标伸长为原来的2倍．法二：由以下变换可得f (x )的图象：先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，再将图象向左平移π6个单位长度，最后将纵坐标伸长为原来的2倍． 21．(本小题满分12分)(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解：(1)若m ⊥n ，则m·n ＝0. 由向量数量积的坐标公式得22sin x －22cos x ＝0，所以tan x ＝1.(2)因为m 与n 的夹角为π3，所以m·n ＝|m |·|n |cos π3，即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝12.又因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4. 所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.22．(本小题满分12分)已知f (x )＝2cos 2ωx2＋3sin ωx ＋a 的图象上相邻两对称轴的距离为π2.(1)若x ∈R，求f (x )的递增区间；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值．解：由f (x )＝2cos 2 ωx 2＋3sin ωx ＋a ＝3sin ωx ＋cos ωx ＋a ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋a ＋1.因为f (x )的图象上相邻对称轴的距离为π2，故T 2＝π2⇒T ＝π⇒ω＝2πT＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1.(1)由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z)，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z)，所以f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z)．(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则π6≤2x ＋π6≤7π6，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1.所以f (x )max ＝2＋a ＋1＝4. 所以a ＝1.。

苏教版高中数学必修4模块检测

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）模块检测（苏教版必修4）建议用时实际用时满分实际得分150分钟160分一、填空题（每小题5分，共70分）1.函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为．2．化简：sin 13cos 17sin 17cos 13︒︒+︒︒= ． 3.已知(,3)x =a ，(3,1)=b ，且⊥a b ，则x = .4.已知tan 2α=，则sin 2cos cos sin αααα+-= ．5.若1sin cos 3αα+=，则sin 2α= .6.已知扇形的半径为8 cm ，圆心角为45°，则扇形的面积是 cm 2．7.已知4sin 5θ=，且cos(π)0θ->，则πcos 3θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ = ． 8.要得到2πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，需要将函数y = sin 2x 的图象 .9．若ππ0,022αβ<<<<，且72cos 10α=，tan β=34，则αβ+= ． 10.函数sin y x =的定义域是 .11.已知,a b 满足：3,2,+4===a b a b ，则-a b = .12.设02πθ<≤，已知两个向量1(cos ,sin ),OP θθ=uuu r 2(2sin ,2cos )OP θθ=+-uuu r ，则向量12P P uuu r长度的最大值是 .13.已知四边形ABCD 为平行四边形，(1,2),(0,A B -0),(1,7)C ，则D 点坐标为 . 14.给出下列四个命题： ①函数π2sin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的一条对称轴是5π12x =； ②函数tan y x =的图象关于点π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称； ③正弦函数在第一象限为增函数； ④若12ππsin 2sin 244x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12πx x k -=，其中k ∈Z .以上正确的有 .（请把正确命题的序号填在横线上）二、解答题（共90分）15.（14分）（1）已知1cos 3α=，求cos(2π)sin(π)πsin tan(3π)2αααα-+⎛⎫++ ⎪⎝⎭··的值；（2）已知tan 2α=，求2sin sin cos ααα+的值．16.（14分）已知53cos(),sin 135αββ+=-=，,αβ均为锐角.（1）求cos(2)αβ+的值；（2）求sin α的值．17.（14分）已知(1,2),(3,2)==-a b .（1）当k 为何值时，k +a b 与3-a b 垂直？（2）当k 为何值时，k +a b 与3-a b 平行？平行时它们是同向还是反向？18．（16分）函数π()sin()0,0,2f x A x A ωαω⎛=+>>- ⎝π2α⎫<<⎪⎭的最小正周期是π，且当π6x =时()f x 取得最大值3．（1）求()f x 的解析式及单调增区间．（2）若0[02π)x ∈，，且03()2f x =，求0x ．（3）将函数()f x 的图象向右平移(0)m m >个单位长度后得到函数()y g x =的图象，且()y g x =是偶函数，求m 的最小值．19.（16分）已知(3sin ,cos ),(cos ,x m x x =+=a b cos )m x -+且()f x =g a b .（1）求函数()f x 的解析式；（2）当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值是-4，求此时函数()f x 的最大值，并求出相应的x 的值．20.（16分）某港口的水深y (米)是时间t（024t ≤≤，单位：小时）的函数，下表是每天时间t 与水深y 的关系：t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 10 13 9.9 7 10 13 10.1 7 10 经过长期观测，()y f t =可近似的看成是函数y =sin A t b ω+.（1）根据以上数据，求出()y f t =的解析式.（2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？模块检测（苏教版必修4）答题纸得分：一、填空题1． 2． 3. 4. 5． 6． 7. 8. 9． 10． 11. 12. 13． 14．三、解答题15.16.17.18.19.20.模块检测（苏教版必修4）答案一、填空题1.πv 解析：∵ 函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴ 2ω=，∴ 2π π2T ==．2.12 解析：1sin 13cos 17cos 13sin 17sin 302+==. 3.-1 解析：∵ (,3)x =a ，(3,1)=b ，且⊥a b ，∴ 330x =+=g a b .解得1x =-.4.-4 解析：由tan 2α=，得sin 2cos tan 2224cos sin 1tan 12αααααα+++===----．5.89- 解析：由1sin cos 3αα+=，得112sin cos 9αα+=，∴ 82sin cos 9αα=-，∴ 8sin 29α=-.6.8π 解析：∵ 在扇形中，半径8 cm r =，圆心角α=45°=π4，∴ 弧长π82π(cm)4l =⨯=，∴ 扇形的面积2112π88π(cm )22S lr ==⨯⨯=．7.34310-- 解析：∵ 4sin 5θ=，且cos(π)cos 0θθ-=>-，∴ 3cos 5θ=-．∴ πππ3143343cos cos cos sin sin 333525210θθθ--⎛⎫+==-⨯-⨯= ⎪⎝⎭-.8.向右平移π3个单位解析：将函数sin 2y x =的图象向右平移π3个单位，可得到πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，即2πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象. 9.π4 解析：由条件可得22sin 1cos 10αα=-=，∴ 1tan 7α=．∴ tan tan tan()11tan tan αβαβαβ++==-·.由0παβ<+<，得π4αβ+=. 10.[2π,2ππ],k k k +∈Z 解析：由题意得sin 0x ≥，∴ 2π2ππ,k x k k +∈Z ≤≤，故函数的定义域为[2π,k2ππ],k k +∈Z .11.10 解析：∵ 3,2==a b ，∴ 229,4==a b .又+4=a b ，∴ 22216++=g a b a b ，∴ 23=g a b ，∴ 222210+-==-g a b a b a b ，∴ 10-=a b .12.32 解析：由向量的减法知1221(2sin cos 2cos sin )PP OP OP θθθθ=-=+---，uuu r uuu r uuu r， ∴ 2212(2sin cos )(2cos sin )PP θθθθ=+-+--uuu r2244(sin cos )(sin cos )44(sin cos )(sin cos )θθθθθθθθ=+-+-+-+++108cos θ=-.∵ 02πθ<≤，∴ 1cos 1θ-≤≤，则当cos 1θ=-时，向量12P P uuu r的长度有最大值是32.13.（0,9）解析：设(,)D x y ，则BA CD =uu r uu u r .又(1,2),(1,7)BA CD x y =-=--uu r uu u r ，∴ 11,7 2.x y -=-⎧⎨-=⎩解得0,9.x y =⎧⎨=⎩ ∴ (0,9)D .14.①② 解析：把5π12x =代入函数π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得2y =，为最大值，故①正确．结合函数tan y x =的图象可得点π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数tan y x =的图象的一个对称中心，故②正确．③正弦函数在第一象限为增函数，不正确，如39060>，都是第一象限角，但sin 390sin 60< ．若12ππsin 2sin 244x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有12ππ22π244x k x -=+-，或12ππ22ππ244x k x ⎛⎫-=+-- ⎪⎝⎭，k ∈Z ， ∴ 12πx x k -=或123ππ+4x x k +=，k ∈Z ，故④不正确．二、解答题15.解：（1）cos(2π)sin(π)cos sin πcos tan sin tan(3π)2αααααααα-+=⎛⎫++ ⎪⎝⎭g g g g =cos α=13．（2）因为tan 2α=，所以2sin sin cos ααα+ =222sin sin cos sin cos ααααα++=22tan tan tan 1ααα++=222221++ =65. 16.解：（1）由题意知124sin(),cos 135αββ+==，∴ 5412356cos(2)cos[()]cos()cos sin()sin 13513565αβαββαββαββ+=++=++=-⨯-⨯=--．（2）1245363sin sin[()]sin()cos cos()sin =13513565ααββαββαββ⎛⎫=+=+-+=⨯--⨯ ⎪⎝⎭-．17.解：(1,2)+(3,2)(3,22)k k k k +==-+-a b ，3(1,2)3(3,2)(10,4)---=-a b =. （1）由()(3)k +⊥-a b a b ，得()(3)10(3)4(22)2380,k k k k +-=-+=-=-g a b a b 解得19k =.（2）由()(3)k +-a b a b ∥，得4(3)10(22)k k --=+,解得13k =-.此时1041,(10,4)333k ⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭a b ，所以它们方向相反．18.解：（1）由题意知2π3,πA ω==.∴ 2ω=.∴ ππ3sin 2366f α⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∴ ππ22π62k α⨯+=+()k ∈Z .又ππ22α-<<，∴ π6α=.∴ π()3sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由πππ2π22π262k x k -++≤≤()k ∈Z ，得ππππ36k x k -+≤≤()k ∈Z ，∴()f x 的单调增区间是πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z .（2）∵ 00π3()3sin 262f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即0π1sin 262x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴ 0ππ22π66x k +=+或0π5π22π()66x k k +=+∈Z .∴ 0πx k =或0ππ()3x k k =+∈Z .又0[02πx ∈，），∴ 0π4π0,π,,33x =. （3）由条件可得ππ()3sin 2()3sin 2266g x x m x m ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.又()g x 是偶函数，∴ ()g x 的图象关于y 轴对称，∴ 当0x =时，()g x 取最大值或最小值，即π3sin 2+36m ⎛⎫-=± ⎪⎝⎭，∴ ππππ2π(),()6226k m k k m k -+=+∈=--∈Z Z . 又0m >，∴ m 的最小值是π3.19.解：（1）()(3sin ,cos )(cos ,cos )f x x m x x m x ==+-+g g a b ，即22()3sin cos cos f x x x x m =+-．（2）∵ 223sin 21cos 2π1()sin 22262x x f x m x m +⎛⎫=+-=++- ⎪⎝⎭，又ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， ∴ ππ5π2,666x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，∴ π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴ 211422m -+-=-， ∴ 24m =，∴ max 15()1422f x =+-=-，此时ππ262x +=，π6x =．20.解：（1）由题意知13713710,322b A +-====，周期为12，因此2ππ12,6T ωω===，故π()3sin 10(024)6f t t t =+≤≤.（2）要想船舶安全，必须深度()11.5f t ≥，即π3sin 1011.56t +≥，∴ π1sin 62t ≥，故ππ5π2π2π,666k t k k ++∈Z ≤≤.解得121512,k t k k ++∈Z ≤≤. 又024t ≤≤，当0k =时，15t ≤≤；当1k =时，13t ≤≤17，故船舶安全进出港的时间段为（1：00∼5：00），（13：00∼17：00）．。

苏教版高中数学必修4模块综合检测(b).docx

模块综合检测(B)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．已知sin α＝35，则cos 2α的值为________． 2．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,2)，若(a －c )⊥b ，则k ＝________.3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x ，－4)，若a ∥b ，则a ·b ＝________.4．设cos(α＋π)＝32(π<α<3π2)，那么sin(2π－α)的值为________． 5．已知α为第二象限的角，sin α＝35，则tan 2α＝________. 6．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α的值为________．7．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin(α＋π4)＝________. 8．若向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )互相垂直，其中x ∈R ，则|a －b |＝________.9．把函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的图象向右平移π3个单位可以得到函数g (x )的图象，则g ⎝⎛⎭⎫π4＝________.10．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(cos θ，sin θ)，θ∈[－π2，π2]，则|a ＋b |的取值范围是________． 11．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是________．12．设ω>0，若函数f (x )＝2sin ωx 在⎣⎡⎦⎤－π3，π4上单调递增，则ω的取值范围是________． 13．已知cos 2θ＝23，则sin 4θ＋cos 4θ的值为________． 14.如图，正六边形ABCDEF 中，有下列四个命题：①AC →＋AF →＝2BC →；②AD →＝2AB →＋2AF →；③AC →·AD →＝AD →·AB →；④(AD →·AF →)EF →＝AD →(AF →·EF →)．其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知0<x <π2，化简：lg(cos x ·tan x ＋1－2sin 2x 2)＋lg[2cos(x －π4)]－lg(1＋sin 2x )．16．(14分)已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)．(1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．17．(14分)如图，以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于P ，Q 两点，已知点P 点的坐标为(－35，45)． (1)求sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α的值； (2)若OP →·OQ →＝0，求sin(α＋β)．18．(16分)已知a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋32. (1)求f (x )的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；(2)当0≤x ≤π2时，求函数f (x )的值域．19．(16分)已知函数f (x )＝A sin(3x ＋φ)(A >0，x ∈(－∞，＋∞)，0<φ<π)在x ＝π12时取得最大值4.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )的解析式；(3)若f (23α＋π12)＝125，求sin α.20．(16分)已知a ＝(cos ωx ，sin ωx )，b ＝(2cos ωx ＋sin ωx ，cos ωx )，x ∈R ，ω>0，记f (x )＝a ·b ，且该函数的最小正周期是π4. (1)求ω的值；(2)求函数f (x )的最大值，并且求使f (x )取得最大值的x 的集合．模块综合检测(B)1.725解析 cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×(35)2＝725. 2．0解析 ∵a －c ＝(3,1)－(k,2)＝(3－k ，－1)，(a －c )⊥b ，b ＝(1,3)，∴(3－k )×1－3＝0，∴k ＝0.3．－10解析 ∵a ∥b ，∴1×(－4)－2x ＝0，x ＝－2.∴a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，∴a ·b ＝(1,2)·(－2，－4)＝－10.4.12解析 ∵cos(α＋π)＝－cos α＝32， ∴cos α＝－32， ∵π<α<3π2，∴α＝7π6， ∴sin(2π－α)＝－sin α＝－sin 76π＝12. 5．－247解析由于α为第二象限的角，且sin α＝35， ∴cos α＝－45. ∴tan α＝－34， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×(－34)1－(－34)2 ＝－321－916＝－247. 6．－47解析 tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)]＝tan (α＋β)＋tan (α－β)1－tan (α＋β)tan (α－β)＝3＋51－3×5＝－47. 7．－7210解析 ∵cos α＝－45，α是第三象限角． ∴sin α＝－35， ∴sin(α＋π4)＝22(sin α＋cos α)＝－7210. 8．2或10解析 ∵a ·b ＝2x ＋3－x 2＝0.∴x 1＝－1或x 2＝3.a －b ＝(－2x －2,2x )．当x ＝－1时，a －b ＝(0，－2)，|a －b |＝2；当x ＝3时，a －b ＝(－8,6)，则|a －b |＝10.9．1解析 f (x )＝sin(－2x ＋π3)向右平移π3个单位后，图象对应函数解析式为f (x －π3)＝sin[－2(x －π3)＋π3] ＝sin(－2x ＋π)＝sin 2x .∴g (x )＝sin 2x ，g (π4)＝sin π2＝1. 10．[2，2]解析 |a ＋b |＝(1＋cos θ)2＋(sin θ)2＝2＋2cos θ.∵θ∈[－π2，π2]，∴cos θ∈[0,1]． ∴|a ＋b |∈[2，2]．11.⎣⎡⎦⎤π3，π解析 Δ＝|a |2－4a·b ＝|a |2－4|a||b |cos 〈a ，b 〉＝4|b |2－8|b |2cos 〈a ，b 〉≥0.∴cos 〈a ，b 〉≤12，〈a ，b 〉∈[0，π]．∴π3≤〈a ，b 〉≤π. 12.⎝⎛⎦⎤0，32 解析令－π2≤ωx ≤π2，－π2ω≤x ≤π2ω，则⎣⎡⎦⎤－π2ω，π2ω是函数关于原点对称的递增区间中范围最大的，即⎣⎡⎦⎤－π3，π4⊆⎣⎡⎦⎤－π2ω，π2ω，则 ⎩⎨⎧π4≤π2ω－π3－π2ω⇒0<ω≥32. 13.1118解析 sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－12sin 2 2θ＝1－12(1－cos 2 2θ)＝1118. 14．①②④解析在正六边形ABCDEF 中，AC →＋AF →＝AC →＋CD →＝AD →＝2BC →，①正确；设正六边形的中心为O ，则2AB →＋2AF →＝2(AB →＋AF →)＝2AO →＝AD →，②正确；易知向量AC →和AB →在AD →上的投影不相等，即AC →·AD →|AD →|≠AB →·AD →|AD →|.∴AC →·AD →≠AD →·AB →，③不正确；∵AD →＝－2EF →，∴(AD →·AF →)EF →＝AD →(AF →·EF →)⇔(AD →·AF →)EF →＝－2EF →(AF →·EF →)⇔AD →·AF →＝－2AF →·EF →⇔AF →·(AD →＋2EF →)＝0.∵AD →＋2EF →＝AD →－AD →＝0，∴AF →·(AD →＋2EF →)＝0成立．从而④正确．15．解 0<x <π2， ∴原式＝lg(cos x ·sin x cos x＋cos x )＋lg(cos x ＋sin x ) －lg(1＋sin 2x )＝lg(sin x ＋cos x )＋lg(cos x ＋sin x )－lg(1＋sin 2x )＝lg(sin x ＋cos x )2－lg(1＋sin 2x )＝lg(1＋sin 2x )－lg(1＋sin 2x )＝0.16．解 (1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14. (2)由|a |＝|b |知，sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，所以1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5.从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＝－22. 又由0<θ<π知，π4<2θ＋π4<9π4，所以2θ＋π4＝5π4，或2θ＋π4＝7π4.因此θ＝π2，或θ＝3π4. 17．解 (1)由三角函数定义得cos α＝－35，sin α＝45， ∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos α(sin α＋cos α)sin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2·(－35)2＝1825. (2)∵OP →·OQ →＝0，∴α－β＝π2， ∴β＝α－π2， ∴sin β＝sin(α－π2)＝－cos α＝35， cos β＝cos(α－π2)＝sin α＝45. ∴sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×45＋(－35)×35＝725. 18．解 (1)f (x )＝sin x cos x －3cos 2x ＋32＝12sin 2x －32(cos 2x ＋1)＋32＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin(2x －π3)．所以f (x )的最小正周期为π.令sin(2x －π3)＝0，得2x －π3＝k π， ∴x ＝k π2＋π6，k ∈Z . 故所求对称中心的坐标为(k π2＋π6，0)，(k ∈Z )． (2)∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3. ∴－32≤sin(2x －π3)≤1，即f (x )的值域为[－32，1]． 19．解 (1)∵f (x )＝A sin(3x ＋φ)，∴T ＝2π3，即f (x )的最小正周期为2π3. (2)∵当x ＝π12时，f (x )有最大值4，∴A ＝4. ∴4＝4sin ⎝⎛⎭⎫3×π12＋φ，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1. 即π4＋φ＝2k π＋π2，得φ＝2k π＋π4(k ∈Z )． ∵0<φ<π，∴φ＝π4. ∴f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (3)∵f ⎝⎛⎭⎫23α＋π12＝4sin ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫23α＋π12＋π4 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝4cos 2α. 由f ⎝⎛⎭⎫23α＋π12＝125，得4cos 2α＝125，∴cos 2α＝35， ∴sin 2α＝12(1－cos 2α)＝15， ∴sin α＝±55. 20．解 (1)f (x )＝a ·b＝cos ωx ·(2cos ωx ＋sin ωx )＋sin ωx ·cos ωx＝2cos 2ωx ＋2sin ωx ·cos ωx ＝2·1＋cos 2ωx 2＋sin 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1＝2sin(2ωx ＋π4)＋1.∴f (x )＝2sin(2ωx ＋π4)＋1，其中x ∈R ，ω>0. ∵函数f (x )的最小正周期是π4，可得2π2ω＝π4， ∴ω＝4.(2)由(1)知，f (x )＝2sin(8x ＋π4)＋1. 当8x ＋π4＝π2＋2k π，即x ＝π32＋k π4(k ∈Z )时， sin(8x ＋π4)取得最大值1， ∴函数f (x )的最大值是1＋2，此时x 的集合为{x |x ＝π32＋k π4，k ∈Z }．。

高中数学模块综合检测苏教版必修4-苏教版高一必修4数学试题

模块综合检测[学生用书P129(单独成册)] (时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知750°<α<800°，那么α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选A ．因为750°<α<800°，所以375°<α2<400°，所以α2是第一象限角．2．已知sin (π＋α)＝13，则cos 2α＝( )A ．79B ．－89C ．－79D ．429解析：选A ．因为sin (π＋α)＝13，所以sin α＝－13，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝79. 3．已知a ＝(1，0)，b ＝(1，1)，且(a ＋λb )⊥a ，则λ＝( ) A ．2 B ．1 C ．0D ．－1解析：选D ．因为a ＋λb ＝(1，0)＋(λ，λ)＝(1＋λ，λ)，所以(a ＋λb )·a ＝(1＋λ，λ)·(1，0)＝1＋λ.由(a ＋λb )⊥a 得1＋λ＝0，得λ＝－1，故选D ．4．已知sin (π＋α)＝－13，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α的值为( )A ．2 2B ．－2 2C ．24D ．±2 2解析：选D ．因为sin (π＋α)＝－13，所以sin α＝13，则cos α＝±223，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos αsin α＝±2 2.故选D ． 5.3－tan 15°1＋3tan 15°的值为( )A ．0B ．1C ．12D ．2解析：选B ．原式＝tan 60°－tan 15°1＋tan 60°·tan 15°＝tan(60°－15°)＝tan 45°＝1.6．函数f (x )＝cos 2x ＋sin 2x ＋2(x ∈R )的值域是( ) A ．[2，3] B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，3 C ．[1，4]D ．[2，4]解析：选A ．因为f (x )＝cos 2x ＋sin 2x ＋2＝3－2sin 2x ＋sin 2x ＝3－sin 2x ，sin x ∈[－1，1]，所以f (x )∈[2，3]．故选A ．7．已知函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，则下列说法正确的是( )A ．f (x )在定义域内是增函数B ．f (x )图象的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π4－π6，0(k ∈Z )C ．f (x )是奇函数D ．f (x )图象的对称轴是x ＝k π2＋π12(k ∈Z ) 解析：选B ．f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3在定义域内不是增函数，不是奇函数，且其图象没有对称轴，因此A ，C ，D 错误．由2x ＋π3＝k π2(k ∈Z )得x ＝k π4－π6(k ∈Z )．因此f (x )图象的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π4－π6，0(k ∈Z )．故选B ．8．如图，在△ABC 中，AD →＝23AC →，BP →＝13BD →，若AP →＝λAB →＋μAC →，则λμ的值为( )A ．－3B ．3C ．2D ．－2解析：选B ．因为AD →＝23AC →，所以BP →＝13BD →＝13(AD →－AB →)＝29AC →－13AB →，所以AP →＝AB →＋BP →＝23AB →＋29AC →，又AP →＝λAB →＋μAC →，所以λ＝23，μ＝29，从而λμ＝3，故选B ．9．如图是由16个边长为1的菱形构成的图形，菱形中的锐角大小为π3，a ＝AB →，b ＝CD →，则a ·b＝( )A ．－5B ．－1C ．－3D ．－6解析：选B ．设菱形中过A 点的两邻边对应的向量分别表示为i ，j ，且i 的方向水平向右，则|i |＝|j |＝1，〈i ，j 〉＝60°，从而i ·j ＝12.因此a ＝i ＋2j ，b ＝－3i ＋2j ，所以a ·b ＝(i ＋2j )·(－3i ＋2j )＝－3i 2－4i ·j ＋4j 2＝－3×12－4×1×1×12＋4×12＝－1，故选B ．10．先将函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1的图象上所有的点向右平移π4个单位，再向上平移1个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．f (x )的周期是π2B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12是奇函数 C ．g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫7π12，0对称D ．g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增解析：选D ．由题意得f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，A 错误；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝cos 2x ＋1为偶函数，B 错误；将f (x )的图象上所有的点向右平移π4个单位，再向上平移1个单位后得到函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2，g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，2对称，C 错误；g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，D正确．11．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)是R 上的偶函数，且图象关于直线x ＝3π4对称，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上是单调函数，则ω等于( )A ．83 B ．23 C ．43或83D ．43解析：选D ．因为f (x )在R 上是偶函数，所以φ＝k π＋π2，k ∈Z ，因为0≤φ≤π.所以φ＝π2，所以f (x )＝cos ωx ，因为f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称，所以3π4ω＝k π，即ω＝43k ，k ∈Z ，又因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上是单调函数，所以23ωπ≤π，ω≤32，所以只有k ＝1时，ω＝43符合题意．12．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1，1)，1|BA →|·BA →＋1|BC →|·BC →＝3|BD →|·BD →，则四边形ABCD 的面积为( )A ． 3B ． 2C ．2D ．33解析：选A ．作CE ⊥BD 于E .由AB →＝DC →＝(1，1)可知四边形ABCD 为平行四边形，且|AB →|＝|DC →|＝2，因为1|BA →|·BA →＋1|BC →|·BC →＝3|BD →|·BD →，所以平行四边形ABCD 的对角线BD 平分∠ABC ，平行四边形ABCD 为菱形，其边长为2，且对角线BD 的长等于边长的3倍，即BD ＝3×2＝6，则CE 2＝(2)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝12，即CE ＝22，所以三角形BCD 的面积为12×6×22＝32，所以四边形ABCD的面积为2×32＝ 3. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知sin α＋cos α＝52，则cos 4α＝________．解析：由sin α＋cos α＝52，得sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝54，所以sin 2α＝14，从而cos 4α＝1－2sin 22α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝78.答案：7814．l 1，l 2是不共线向量，且a ＝－l 1＋3l 2，b ＝4l 1＋2l 2，c ＝－3l 1＋12l 2，若b ，c 为一组基底，则向量a ＝________．解析：设a ＝x b ＋y c ，由题意可知－l 1＋3l 2＝x (4l 1＋2l 2)＋y (－3l 1＋12l 2)，整理得－l 1＋3l 2＝(4x －3y )l 1＋(2x ＋12y )l 2.由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＝－1，2x ＋12y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－118，y ＝727.答案：－118b ＋727c15．设向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，sin α，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，cos α＋23，若a ∥b ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值是________．解析：由a ∥b ，可得12⎝⎛⎭⎪⎫cos α＋23－32sin α＝0，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13.而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3－2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝79.答案：7916．在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1.边DC 上的动点P (包含点D ，C )与CB 延长线上的动点Q (包含点B )满足|DP →|＝|BQ →|，则PA →·PQ →的最小值为________．解析：以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD 所在直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设P (x ，1)，Q (2，y )，由题意知0≤x ≤2，－2≤y ≤0. 因为|DP →|＝|BQ →|，所以|x |＝|y |，所以x ＝－y . 因为PA →＝(－x ，－1)，PQ →＝(2－x ，y －1)，所以PA →·PQ →＝－x (2－x )－(y －1)＝x 2－2x －y ＋1＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，所以当x ＝12时，PA →·PQ →取得最小值为34.答案：34三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知角α的终边经过点P (3，4)． (1)求tan (π－α)的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α·sin(α－2π)·cos (π－α)的值．解：因为角α的终边经过点P (3，4)，所以设x ＝3，y ＝4，则r ＝32＋42＝5，所以sin α＝y r ＝45，cos α＝x r ＝35，tan α＝y x ＝43.(1)tan (π－α)＝－tan α＝－43.(2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α·sin(α－2π)·cos (π－α)＝sin αcos α·sin α·(－cos α) ＝－sin 2α＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－1625. 18．(本小题满分12分)已知a ，b ，c 是同一平面的三个向量，其中a ＝(1，3)． (1)若|c |＝4，且c ∥a ，求c 的坐标；(2)若|b |＝1，且(a ＋b )⊥⎝ ⎛⎭⎪⎫a －52b ，求a 与b 的夹角θ. 解：(1)因为c ∥a ，所以存在实数λ(λ∈R )，使得c ＝λa ＝(λ，3λ)，又|c |＝4，即λ2＋3λ2＝4，解得λ＝±2.所以c ＝(2，23)或c ＝(－2，－23)．(2)因为(a ＋b )⊥⎝ ⎛⎭⎪⎫a －52b ，所以(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a －52b ＝0，即a 2－32a ·b －52b 2＝0，所以4－32×2×1×cos θ－52＝0，所以cos θ＝12，因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3.19．(本小题满分12分)已知角α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，且(4cos α－3sin α)(2cos α－3sin α)＝0.(1)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值； (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α的值．解：因为(4cos α－3sin α)(2cos α－3sin α)＝0，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以4cos α－3sinα＝0，所以tan α＝43，sin α＝45，cos α＝35.(1)tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝43＋11－43＝－7.(2)cos 2α＝2cos 2α－1＝－725，sin 2α＝2sin αcos α＝2425，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝cos π3cos 2α＋sin π3sin 2α＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－725＋32×2425＝243－750.20．(本小题满分12分)已知向量a ＝(cos 2x ，sin 2x )，b ＝(3，1)，函数f (x )＝a ·b ＋m . (1)求f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最小值为5，求m 的值．解：(1)由题意知：f (x )＝(cos 2x ，sin 2x )·(3，1)＋m ＝3cos 2x ＋sin 2x ＋m ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋m ，所以f (x )的最小正周期为T ＝π. (2)由(1)知：f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋m ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3.所以当2x ＋π3＝4π3时，f (x )取得最小值－3＋m .又f (x )的最小值为5，所以－3＋m ＝5，即m ＝5＋ 3.21．(本小题满分12分)已知电流I 与时间t 的关系式为I ＝A sin(ωt ＋φ)．(1)如图是I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象，根据图中数据求I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)如果t 在任意一段1150秒的时间内，电流I ＝A sin(ωt ＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？解：(1)由图可知A ＝300，设t 1＝－1900，t 2＝1180，则周期T ＝2(t 2－t 1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1180＋1900＝175，所以ω＝2πT ＝150π.t ＝－1900时，I ＝0，即sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤150π·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1900＋φ＝0， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π6＝0.而|φ|<π2，所以φ＝π6.故所求的解析式为I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫150πt ＋π6.(2)依题意，周期T ≤1150，即2πω≤1150(ω>0)，所以ω≥300π>942，又ω∈N *，故最小正整数ω＝943.22．(本小题满分12分)已知向量m ＝(cos x ＋sin x ，2cos x )，n ＝(cos x －sin x ，－sin x )． (1)求f (x )＝m ·n 的最小正周期和单调减区间；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π8个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，g (B )＝22，求C 的值．解：(1)f (x )＝cos 2x －sin 2x －2cos x sin x ＝cos 2x －sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4，所以T ＝2π2＝π.由2k π＋π2≤2x ＋3π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )得：2k π－π4≤2x ≤2k π＋3π4(k ∈Z )，k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )，所以f (x )＝m ·n 的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )． (2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π8个单位，所得函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＋3π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x ，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得函数为y ＝2cos x ，即g (x )＝2cos x ，由题设得：2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋3π4＝0，所以A ＝π4.又2cos B ＝22，所以cos B ＝12，B ＝π3. 所以C ＝π－(A ＋B )＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π3＝5π12.。

苏教版数学高一必修四练习模块检测

模块检测(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．若cos(2π－α)＝53，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则sin(π－α)＝________.解析 cos(2π－α)＝53＝cos α，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴sin α＝－23，∴sin(π－α)＝sin α＝－23. 答案－23 2．若＝3a ，＝－5a ，且，则四边形ABCD 的形状是________．解析 ∵＝3a ，＝－5a ，∴＝－35∴∥且即ABCD 是梯形．∴四边形为等腰梯形．答案等腰梯形3．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －2a )共线，则λ＝________.解析由t (a ＋λb )＝－(b －2a ) ∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2λt ＝－1 ∴λ＝－12. 答案－124．若函数f (x )＝cos(ωx )·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－ωx (ω＞0)的最小正周期为π，则ω的值为________．解析 f (x )＝cos(ωx )·sin(ωx )＝12sin(2ωx ) T ＝2π2ω＝π，∴ω＝1. 答案 15．已知α∈(0，π)，cos(π＋α)＝35，则sin α＝________. 解析由cos(π＋α)＝－cos α，cos α＝－35，α∈(0，π) ∴sin α＝45. 答案 456．已知sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，则sin α·cos α＝________.解析由已知得：sin α＝－2cos α. 由sin 2α＋cos 2α＝1得cos 2α＋(－2cos α)2＝1 ∴cos 2α＝15，∴sin α·cos α＝－2cos 2α＝－25.答案－257．若一个α角的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a 的值为________．解析由题意知α的终边在第三象限，且sin α·cos α＝34 ∴tan α＝3或33， ∴a ＝－43或－43 3. 答案－43或－43 38．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋n 的最大值为4，最小值为0，最小正周期是π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，若A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2，则函数解析式为________．解析由题设得：A ＝2，n ＝2，ω＝4，又x ＝π3时 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43π＋φ＝±1，且0＜φ＜π2，故φ＝π6. 答案 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋29．非零向量a ＝(sin θ，2)，b ＝(cos θ，1)，若a 与b 共线，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.解析由a ，b 共线，即(sin θ，2)＝λ(cos θ，1) ∴λ＝2.sin θ＝2cos θ，得tan θ＝2 ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝13.答案 1310．设向量a ＝(cos 55°，sin 55°)，b ＝(cos 25°，sin 25°)，若t 是实数，则|a －t b |的最小值为________．解析 |a －t b |＝a 2－2t a ·b ＋t 2b 2＝1＋t 2－2t a ·b又∵a ·b ＝cos 55°cos 25°＋sin 55°sin 25°＝cos 30°＝32 ∴|a －t b |＝1＋t 2－3t ＝⎝⎛⎭⎪⎫t －322＋14∴|a －t b |的最小值为12. 答案 12 11.将函数y ＝sin ωx ，(ω＞0)的图象向左平移π6个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应的函数解析式为________．解析将y ＝sin ωx 向左平移π6个单位，得：y ＝sin ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋ωπ6又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝－1由五点作图得：7ωπ12＋ωπ6＝3π2 ∴ω＝2.∴解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 答案 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π312．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于________．解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πsin α＝35，∴cos α＝－45 ∴tan α＝－34∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝17.答案 17 13．设f (x )＝1＋cos 2x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋sin x ＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为2＋3，则常数a ＝________.解析 f (x )＝2cos 2 x 2cos x ＋sin x ＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝(2＋a 2)·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∵f (x )的最大值为2＋3 ∴a 2＝3，∴a ＝±3. 答案 ±314．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别a 、b 、c ，若＝＝1，那么c ＝________.答案2二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(本小题满分14分)已知0＜x ＜π2，化简：lgcos x ·tan x ＋1－2sin 2x2＋lg ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－lg(1＋sin 2x )．解 ∵0＜x ＜π2，∴原式＝lg(cos x ·sin xcos x ＋cos x )＋lg(cos x ＋sin x )－lg(1＋sin 2x ) ＝lg(sin x ＋cos x )＋lg(cos x ＋sin x )－lg(1＋sin 2x ) ＝lg(sin x ＋cos x )2－lg(1＋sin 2x ) ＝lg(1＋sin 2x )－lg(1＋sin 2x )＝0.16．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2 ωx ，(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值．解 (1)因为f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2 ωx ＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos 2ωx2＝12sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12 ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋12.由于ω＞0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12，所以g (x )＝f (2x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋12.当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2，所以22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤1.因此1≤g (x )≤1＋22.故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值为1. 17．(本小题满分14分)已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，a ＝(sin B ＋cos B ，cos C )，b ＝(sin C ，sin B －cos B )(1)若a ·b ＝0，求角A . (2)若a ·b ＝－15，求tan 2A .解 (1)由已知a ·b ＝0，得(sin B ＋cos B )·sin C ＋cos C ·(sin B －cos B )＝0 化简得：sin(B ＋C )－cos(B ＋C )＝0 即sin A ＋cos A ＝0∴tan A ＝－1，而A ∈(0，π)∴A ＝34π (2)∵a ·b ＝－15，即sin(B ＋C )－cos(B ＋C )＝－15 ∴sin A ＋cos A ＝－15①将①平方得：1＋2sin A ·cos A ＝125 ∴2sin A ·cos A ＝－2425＜0 ∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πsin A －cos A ＝1－2sin A ·cos A ＝75 ∴sin A ＝35 cos A ＝－45 ∴tan A ＝－34∴tan 2A ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－916＝－247. 18．(本小题满分16分)已知向量a ＝(sin α，1)，b ＝(cos α，2)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4(1)若a ∥b ，求tan α的值． (2)若a ·b ＝178，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值．解 (1)∵a ∥b ∴2sin α＝cos α 故tan α＝12. (2)a ·b ＝178，所以sin α·cos α＋2＝178 即sin 2α＝14因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos 2α＝154，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22sin 2α＋22cos 2α＝2＋308.19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝3sin 2 x ＋23sin x cos x ＋5cos 2 x . (1)求函数f (x )的周期和最大值； (2)已知f (α)＝5，求tan α的值．解 (1)f (x )＝3＋3sin 2x ＋2cos 2 x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋4 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋4∴周期T ＝2π2＝π，最大值为6 (2)由f (α)＝5，得： 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＋4＝5∴3sin 2α＋cos 2α＝1 即 23sin αcos α＝2sin 2α ∴sin α＝0或tan α＝ 3 ∴tan α＝0或tan α＝ 3. 20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝4cos 4 x －2cos 2x －1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1712π的值；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求g (x )＝12f (x )＋sin 2x 的最大值和最小值．解 (1)f (x )＝(1＋cos 2x )2－2cos 2x －1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝2cos 2 2xcos 2x ＝2cos 2x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1712π＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－176π＝2cos 56π＝－ 3. (2)g (x )＝cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，54π ∴x ＝π8时，g (x )max ＝2， x ＝π2时，g (x )(min)＝－1.。

高中数学模块综合检测苏教版必修4

(时间：120分钟；满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上)1．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π3＝__________. 解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫－6π＋π3＝cos π3＝12.答案：122．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2θ＜1，则θ所在的象限为__________．解析：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2θ＜1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120，∴sin 2θ＞0，∴2k π＜2θ＜2k π＋π(k ∈Z)， ∴θ表示第一或第三象限的角．答案：第一或第三象限3．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么a ·b 的值为__________．解析：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝4×4×cos120°＝16×(－12)＝－8.答案：－84．已知sin α＋cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为__________．解析：∵sin α＋cos α＝－52，∴1＋2sin αcos α＝54，∴sin αcos α＝18.∴tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝8. 答案：85．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝__________.解析：|5a －b |2＝(5a －b )2＝25a 2＋b 2－10a ·b ＝25×12＋32－10×1×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝49，∴|5a －b |＝7.答案：76．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象如图所示，则y 的表达式为__________．解析：由T 2＝2π3－π6，求出周期T ＝π，ω＝2，然后可求得φ＝π6.答案：y ＝2sin(2x ＋π6)7．若a ⊥b ，c 与a 及c 与b 的夹角均为60°，|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则(a ＋2b －c )2＝__________.解析：由a ⊥b ，得a ·b ＝0，由题意，得a ·c ＝|a ||c |cos60°＝1×3×12＝32，b ·c ＝|b ||c |cos60°＝2×3×12＝3，所以(a ＋2b －c )2＝a 2＋4b 2＋c 2＋4a ·b －4b ·c －2a ·c ＝|a |2＋4|b |2＋|c |2＋4a ·b －4b ·c －2a ·c ＝1＋16＋9－4×3－2×32＝11.答案：118．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x (x ∈R)的单调递增区间是__________．解析：因为(π3－x )＋(π6＋x )＝π2，所以y ＝2sin(π3－x )－sin(π3－x )＝sin(π3－x )＝－sin(x －π3)．由2k π＋π2≤x －π3≤2k π＋32π(k ∈Z)，得2k π＋56π≤x ≤2k π＋116π(k∈Z)，故原函数的单调递增区间是[2k π＋56π，2k π＋116π](k ∈Z)．答案：[2k π＋56π，2k π＋116π](k ∈Z)9．若A ＋B ＝π3，tan A ＋tan B ＝233，则cos A cos B ＝________.解析：由sin A cos A ＋sin B cos B ＝A ＋B cos A cos B ＝sinπ3cos A cos B ＝233，可求得cos A cos B ＝34.答案：3410．已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝__________.答案：－811．已知|p |＝22，|q |＝3，p 、q 的夹角为π4，如图所示，若AB →＝5p ＋2q ，AC →＝p －3q ，D 为BC 的中点，则|AD →|为__________．解析：∵AD →＝12(AC →＋AB →)＝12(5p ＋2q ＋p －3q )＝12(6p －q )， ∴|AD →|＝ |AD ―→|2＝12p －q 2＝ 1236p 2－12p ·q ＋q 2 ＝12 22－12×22×3×cos π4＋32＝152.答案：15212．关于平面向量a ，b ，c ，下列是真命题的是__________． ①若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；②若a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，a ∥b ，则k ＝－3；③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°； ④若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .解析：由a ·b ＝a ·c 得a ·(b －c )＝0，有三种情形：a ＝0或b －c ＝0或a ⊥(b －c )，所以①错误；由a ∥b ，即1－2＝k6得k ＝－3，②正确；因为|a |＝|b |＝|a －b |，所以a ，b 的夹角为60°，从而a 与a ＋b 的夹角为30°，故③错误；若b ＝0，此时a 与c 不一定平行，故④错误．答案：②13．设f (x )是以5为周期的奇函数，且f (－3)＝1，tan α＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos 2α－2的值为__________．解析：由1cos 2α－2＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－2＝8，得 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos 2α－2＝f (8)＝f (5＋3)＝－f (－3)＝－1. 答案：－114．如果a ＝(cos α＋sin α，2010)，b ＝(cos α－sin α，1)，且a ∥b ，那么1cos2α＋tan2α＋1的值是__________．解析：由a ∥b ，得cos α＋sin α＝2010(cos α－sin α)， ∴cos α＋sin αcos α－sin α＝2010.∴1cos2α＋tan2α＝1cos2α＋sin2αcos2α＝1＋sin2αcos2α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αcos 2α－sin 2α＝ α＋cos α2α＋sin αα－sin α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝2010.∴1cos2α＋tan2α＋1＝2010＋1＝2011. 答案：2011二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为120°.求： (1)|a ＋b |及|a －b |；(2)向量a ＋b 与a －b 的夹角．解：(1)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝2×2×cos120°＝－2，所以|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝22＋22＋2×(－2)＝4，所以|a ＋b |＝2，同理可求得|a －b |＝2 3.(2)因为(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝22－22＝0，所以(a ＋b )⊥(a －b )，所以a ＋b 与a －b 的夹角为90°.16．(本小题满分14分)已知a ＝(cos2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，a ·b ＝25，求52sin2α－4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π42cos2α2的值．解：∵a ·b ＝(cos2α，sin α)·(1,2sin α－1)＝cos2α＋sin α·(2sin α－1)＝cos2α＋2sin 2α－sin α＝cos2α＋(1－cos2α)－sin α＝1－sin α＝25，∴sin α＝35.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－45，∴52sin2α－4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42cos2α2＝102sin αcos α－4⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos α－22sin α1＋cos α＝102sin αcos α－22cos α＋22sin α1＋cos α＝102×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋22×351＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝102×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－22×(－4)＋22×3 ＝－242＋82＋62＝－10 2.17．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝2a cos 2x ＋b sin x cos x ，且f (0)＝2，f (π3)＝12＋32. (1)求f (x )的最大值与最小值；(2)若α－β≠k π(k ∈Z)，且f (α)＝f (β)，求tan(α＋β)的值．解：(1)因为f (0)＝2a ＝2，所以a ＝1，因为f (π3)＝12a ＋34b ＝12＋32，所以b ＝2.所以f (x )＝2cos 2x ＋2sin x cos x ＝sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以f (x )的最大值为2＋1，最小值为1－ 2.(2)若f (α)＝f (β)，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2β＋π4，所以2α＋π4＝2k π＋2β＋π4或2α＋π4＝2k π＋π－⎝⎛⎭⎪⎫2β＋π4，即α－β＝k π(舍去)或α＋β＝k π＋π4，k ∈Z ，所以tan(α＋β)＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π4＝1. 18．(本小题满分16分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255.(1)求cos(α－β)；(2)若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，且sin β＝－513，求sin α.解：(1)∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)， ∴a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)．又∵|a －b |＝255，∴α－cos β2＋α－sin β2＝255，∴2－2cos(α－β)＝45，∴cos(α－β)＝35.(2)∵0＜α＜π2，－π2＜β＜0,0＜α－β＜π，sin β＝－513，cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45，cos β＝1213.sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝45×1213＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝3365. 19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x2＋sin x ＋b .(1)当a ＝1时，求函数f (x )的单调增区间；(2)当a ＜0且x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[3,4]，求a ＋b 的值．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2cos 2x 2＋sin x ＋b ＝1＋cos x ＋sin x ＋b ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b ＋1.由2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z)，所以当a ＝1时，f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－34π，2k π＋π4(k ∈Z)． (2)由(1)知f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ＋b ，因为x ∈[0，π]，所以π4≤x ＋π4≤5π4，又因为a ＜0时，x ＋π4＝π2时，f (x )有最小值，所以2a ＋a ＋b ＝3.当x ＋π4＝54π时，f (x )有最大值，所以－a ＋a ＋b ＝4，所以a ＝－2＋1，b ＝4，所以a ＋b ＝5－ 2.20．(本小题满分16分)(2010年高考山东卷)已知函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值．解：(1)因为f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx ，所以f (x )＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos2ωx2＝12sin2ωx ＋12cos2ωx ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋12.由于ω＞0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12，所以g (x )＝f (2x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋12.当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2，所以22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤1. 因此1≤g (x )≤1＋22.故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值为1.。

【金版学案】高中数学第一章章末知识整合试题苏教版必修4

【金版学案】2014-2015学年高中数学第一章章末知识整合试题苏教版必修4若角θ的终边与函数y ＝－2|x|的图象重合，求θ的各三角函数值．分析：由于y ＝－2|x|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≥0，2x ，x ＜0的图象为三、四象限中的两条射线，故可根据三角函数的定义来求解．解析：∵角θ的终边与函数y ＝－2|x|的图象重合， ∴θ是第三或第四象限的角．若θ为第三象限的角，取终边上一点P(－1，－2)，r ＝|OP|＝5，从而 sin θ＝y r ＝－255，cos θ＝x r ＝－55，tan θ＝yx＝2.若θ在第四象限，可取点P(1，－2)，易得： sin θ＝－255，cos θ＝55，tan θ＝－2.◎规律总结：三角函数的基本概念是本单元内容的基本部分，是研究三角公式、三角函数图象及性质的出发点，尽管大纲对本部分内容难度的要求有所降低，但同学们仍然要注意考试中对基本概念、基本公式、三角函数基本性质的应用和计算、推理能力的考查，解题的关键是对有关概念的正确理解和灵活应用．变式训练1．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx2，－1＜x ＜0，ex －1，x ≥0，若f(1)＋f(a)＝2，则a 的所有可能值为( )A ．1B ．－22 C ．1，－22 D ．1，22解析：此题可运用代入排除法．∵f(1)＋f(a)＝2，f(1)＝e0＝1，∴f(a)＝1，选项中提供的a 的可能值有三个，分别为1，22，－22，因此把这三个数代入f(x)中，值为1的即为所求．f(1)＝e0＝1，f ⎝⎛⎭⎫22＝e 22－1，f ⎝⎛⎭⎫－22＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＝1. ∴a 的所有可能值为1，－22. 答案：C2．在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，则tan α＝________.解析：角α的终边在第二象限或第四象限，tan α＝－34.答案：－34已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x0,2)和(x0＋3π，－2)．(1)求f(x)的解析式；(2)将f(x)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)，然后再将所得的图象向x轴正方向平移π3个单位，得到函数g(x)的图象，写出函数g(x)的解析式，并用五点作图的方法画出g(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象．分析：由题目可以获取以下主要信息：①要求的函数的形式是f(x)＝Asin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2；②图象与y 轴交点是(0,1)．③相邻的一个最大值点和最小值点分别是(x0,2)和(x0＋3π，－2)，其中x0＞0.解答本题可先由已知求出A 、ω、φ，然后再根据图象变换得到函数y ＝g(x)．解析：(1)由f(x)＝Asin(ωx ＋φ)在y 轴上的臷距为1，最大值为2，得1＝2sin φ，所以sin φ＝12，φ＝π6.又因为两相邻的最大值点和最小值点分别为(x0,2)和(x0＋3π，－2)．所以T ＝2[(x0＋3π)－x0]＝6π，所以ω＝2πT ＝13.所以，函数的解析式为f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6.(2)压缩后函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，再平移得g(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6.列表、作图.◎规律总结：三角函数图象是本章的重点内容，它是研究三角函数性质的根据，重点抓住图象的特征及变换与函数解析式中各变量之间的内在联系．主要解决两个方面的问题：一是根据图象写函数解析式，关键要把握图象与函数性质的关系，从而确定出相关的数值．对于y ＝Asin(ωx ＋φ)＋b(A ＞0，ω＞0)的解析式求解问题：ymax ＝M ，ymin ＝m ，则A ＝M －m2，b ＝M ＋m 2.由T ＝2πω求得ω的值；φ的值采取代入特殊点 (顶点或平衡点)坐标法求得．二是关于三角函数图象的平移和伸缩，此类问题关键要搞清在x 轴方向的左右平移或伸缩是对解析中的字母x 而变换．变式训练3．函数y ＝2cos x,0≤x ≤2π的图象和直线y ＝2围成的封闭图形的面积是( ) A ．4 B ．8 C ．2π D ．4π解析：如图，由函数y ＝cos x 的图象的对称性，知：所求封闭图形的面积即为图中矩形OABC 的面积，即S ＝2π×2＝4π.答案：D4．要得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，只要将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移π8个单位B ．向右平移π8个单位C ．向左平移π4个单位D ．向右平移π4个单位解析：y ＝sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4，而y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π8＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8－π2.故选A.答案：A已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象在y 轴上的截距为1，在相邻两最值点(x0,2)和⎝⎛⎭⎫x0＋32，－2(x0＞0)上，f(x)分别取得最大值和最小值． (1)求f(x)的解析式．(2)在区间⎣⎡⎦⎤214，234上是否存在f(x)的对称轴？请说明理由．解析：(1)∵A ＝2，T 2＝⎝⎛⎭⎫x0＋32－x0＝32，∴T ＝3，即2π|ω|＝3，ω＞0，∴ω＝2π3.这时f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2π3x ＋φ.把点(0,1)代入，得2sin φ＝1.而|φ|＜π2，∴φ＝π6，∴f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2π3x ＋π6.(2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤214，234，∴2π3x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤11π3，4π，sin ⎝⎛⎭⎫2π3x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－32，0，故sin ⎝⎛⎭⎫2π3x ＋π6≠±1，即在区间⎣⎡⎦⎤214，234上不存在f(x)的对称轴． ◎规律总结：三角函数的图象和性质密不可分，在解决三角函数的综合问题时，应借助于图象特征，充分利用三角函数的有关性质进行求解．如单调区间、最值、周期性、对称性等问题．变式训练5．求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－32x ＋π4的单调递增区间．解析：方法一令t ＝－32x ＋π4，则y ＝sin t ，因为t 是x 的一次递减函数，故应取y ＝sin t的减区间才符合要求．由已知得2k π＋π2≤t ≤2k π＋3π2，k ∈Z.即2k π＋π2≤－3x 2＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z.∴－4k 3π－56π≤x ≤－4k 3π－16π，k ∈Z.∴y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－32x ＋π4的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－4k 3π－56π，－4k 3π－16π，k ∈Z. 方法二 y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫32x －π4，令u ＝sin ⎝⎛⎭⎫32x －π4，则y ＝－u ，故应取u ＝sin ⎝⎛⎭⎫32x －π4的减区间才符合要求，故有2k π＋π2≤32x －π4≤2k π＋3π2，k ∈Z. ∴4k π3＋π2≤x ≤4k π3＋7π6，k ∈Z ，∴y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫32x －π4的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤4k π3＋π2，4k π3＋7π6，k ∈Z.注：两种形式，结果一致．6．已知函数f(x)＝cos ωx(ω＞0)，其图象关于点M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，求ω.解析：∵f(x)关于⎝⎛⎭⎫3π4，0对称． ∴f ⎝⎛⎭⎫3π4＋x ＝－f ⎝⎛⎭⎫3π4－x ，即f ⎝⎛⎭⎫3π4＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫3π4－x ＝0，令x ＝0得f ⎝⎛⎭⎫3π4＝0.∴cos 3ωπ4＝0.3ω4π＝k π＋π2，k ∈Z.∴ω＝23(2k ＋1)，k ＝0,1,2，…当k ＝0时，ω＝23，f(x)＝cos 23x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调减函数．当k ＝1时，ω＝2，f(x)＝cos 2x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调减函数．当k ≥2时，ω≥103，f(x)在⎝⎛⎦⎤0，π2上不再是单调函数．∴ω＝23或ω＝2.一、数形结合的思想和方法已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2在一个周期内的简图如右图所示，则函数的解析式为________，方程f(x)－lg x ＝0的实根个数为______．解析：根据图中的特殊点，可确定f(x)解析式中的特定系数A 、ω、φ.研究方程f(x)－lg x ＝0的实数根即是研究函数y ＝f(x)与y ＝lg x 图象的交点个数．显然A ＝2.由图象过(0,1)点则f(0)＝1，即sin φ＝12，又|φ|＜π2，则φ＝π6.又⎝⎛⎭⎫11π12，0是图象上的点，则f ⎝⎛⎭⎫11π12＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫11π12ω＋π6＝0，由图象可知，⎝⎛⎭⎫11π12，0是图象在y 轴右侧部分与x 轴的第二个交点．∴11π12ω＋π6＝2π. ∴ω＝2，因此所求函数的解析式为f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.如图，在同一坐标系中作函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6和函数y ＝lg x 的示意图．因为f(x)的最大值为2，令lg x ＝2，得x ＝100，令1112π＋k π＜100(k ∈Z)，得k ≤30(k ∈Z)，而1112π＋31π＞100，所以在区间(0,100]内有31个形如⎣⎡⎦⎤1112π＋k π，1712π＋k π(k ∈Z ，0≤k ≤30)的区间，在每个区间上y ＝f(x)与y ＝lg x 的图象都有2个交点，故这两个函数图象在⎣⎡⎦⎤11π12，100上有2×31＝62个交点，另外在⎝⎛⎭⎫0，1112π上还有1个交点，所以方程f(x)－lg x＝0共有实根63个．答案：f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 63个◎规律总结：自觉应用数形结合思想是处理三角函数有关问题的重要思想方法．本章中的数形结合通常有两种形式：一是利用单位圆解决角的范围或三角不等式问题；二是利用三角函数图象求方程解的个数问题，或已知方程解的个数，求方程中的字母参数的范围问题．变式训练7．已知函数y ＝sin x ＋2|sin x|，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有四个不同的交点，求实数k 的取值范围．解析：y ＝sin x ＋2|sin x|＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈[π，2π].观察图象可知，0<k<1，所以k 的取值范围是(0,1)．二、分类讨论的思想已知－π6≤β＜π4，3sin2α－2sin2β＝2sin α，试求sin2β－12sin α的最小值．分析：本题注意隐含条件对结果的制约作用．解析：∵－π6≤β＜π4，∴－12≤sin β＜22，0≤sin2β＜12，∴0≤2sin2β＜1.∵2sin2β＝3sin2α－2sin α， ∴0≤3sin2α－2sin α＜1，即⎩⎪⎨⎪⎧3sin2α－2sin α≥0，3sin2α－2sin α－1＜0. 解得23≤sin α＜1或－13＜sin α≤0.∴y ＝sin2β－12sin α＝12(3sin2α－2sin α)－12sin α ＝32⎝⎛⎭⎫sin α－122－38. 当sin α∈⎣⎡⎭⎫23，1时，y 是增函数． ∴当sin α＝23时，ymin ＝－13；当sin α∈⎝⎛⎦⎤－13，0时，y 是减函数， ∴当sin α＝0时，ymin ＝0.综上，函数y ＝sin2β－12sin α的最小值为－13.◎规律总结：在三角运算中，有关三角函数所在象限符号的选取、三角函数与二次函数综合问题以及三角函数最值等问题要注意分类讨论．变式训练8．函数f(x)＝1－2a －2acos x －2sin2x 的最小值为g(a)(a ∈R)． (1)求g(a)的值．(2)若g(a)＝12，求a 的值及此时f(x)的最大值．解析：(1)由f(x)＝1－2a －2acos x －2sin2x ＝1－2a －2acos x －2(1－cos2x) ＝2cos2x －2acos x －(2a ＋1) ＝2(cos x －a 2)2－a22－2a －1.①若－1≤a 2≤1，则当cos x ＝a 2时，f(x)min ＝－a22－2a －1；②若a2>1，则当cos x ＝1时，f(x)min ＝1－4a ；③若a2<－1，则当cos x ＝－1时，f(x)min ＝1，因此g(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，a<－2，－a22－2a －1，－2≤a ≤2，1－4a ，a>2.(2)∵g(a)＝12.∴若a>2，则有1－4a ＝12⇒a ＝18，矛盾；若－2≤a ≤2，则有－a22－2a －1＝12⇒a ＝－1或a＝－3(舍)．∴当g(a)＝12时，a ＝－1，此时f(x)＝2⎝⎛⎭⎫cos x ＋12＋12，故当cos x ＝1时，f(x)max ＝5.三、函数与方程的思想是否存在α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α、β的值；若不存在，则请说明理由．分析：本题属探索性问题，应将α、β满足的关系当作条件，从而去求α、β；因条件式较繁琐，故先化简，再求出α与β的一个三角函数值和其范围，进而求角．解析：由条件得⎩⎨⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ②①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2， ∴sin2α＝12.又∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴α＝π4或α＝－π4.将α＝π4代入②，得cos β＝32，又β∈(0，π)， ∴β＝π6，代入①可知符合．将α＝－π4代入②，得cos β＝32，又β∈(0，π)， ∴β＝π6，代入①可知不符合．综上可知，存在α＝π4，β＝π6满足条件．◎规律总结：函数、方程、不等式三者密不可分．在三角中，已知条件等式，求一个三角函数值的问题，常采用方程的思想，把某一三角函数看做未知数，解三角方程．在求角的问题时要注意两点：一是求一个三角函数值，二是求该角的范围．变式训练9．设有函数f(x)＝asin ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3和g(x)＝btan ⎝⎛⎭⎫kx －π3(a ＞0，b ＞0，k ＞0)．若它们的最小周期之和为32π，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝g ⎝⎛⎭⎫π2，f ⎝⎛⎭⎫π4＝－3g ⎝⎛⎭⎫π4＋1.求两函数解析式．分析：欲求两个函数解析式，只需利用两个函数的周期和两个函数对应两个值的关系，用特定系数法求解．解析：由题意2πk ＋πk ＝3π2，得k ＝2.由⎩⎨⎧asin ⎝⎛⎭⎫2×π2＋π3＝btan ⎝⎛⎭⎫2×π2－π3，asin ⎝⎛⎭⎫2×π4＋π3＝－3btan ⎝⎛⎭⎫2×π4－π3＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，a ＝－2b ＋2，得a ＝1，b ＝12. 因此f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，g(x)＝12tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3.四、转化与化归的思想求函数f(x)＝sin xcos x 1＋sin x ＋cos x的最大值和最小值．解析：设sin x ＋cos x ＝t ，则sin xcos x ＝t2－12，t ∈[－2，2]且t ≠－1，则f(x)＝t2－12（1＋t ）＝（t ＋1）t －12（1＋t ）＝t －12，t ∈[－2，2]．解得x ＝2k π＋π4(k ∈Z)时，f(x)的最大值为2－12. 当x ＝2k π－34π(k ∈Z)时，f(x)的最小值为－2＋12. ◎规律总结：在三角函数式中，若同时含有sin α±cos α与sin αcos α，可利用换元的思想，将三角问题转化为代数问题来解决．变式训练10．定义运算a b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a>b ，令f(x)＝(cos2x ＋sin x)54，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，求函数f ⎝⎛⎭⎫x －π2的最大值．解析：设y ＝cos2x ＋sin x ＝－sin2x ＋sin x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫sin x －122＋54， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴0≤sin x ≤1，∴1≤y ≤54，即1≤cos2x ＋sin x ≤54. 根据新定义的运算，可知f(x)＝cos2x ＋sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴f ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－⎣⎡⎦⎤sin （x －π2 ）－122＋54＝－⎝⎛⎭⎫cos x ＋122＋54，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π， ∴函数f ⎝⎛⎭⎫x －π2的最大值为54.。

【金版学案】高中数学第二章章末知识整合试题苏教版必修4

【金版学案】2014-2015学年高中数学第二章章末知识整合试题苏教版必修4e1，e2是不共线的向量，已知向量AB →＝2e1＋ke2，CB →＝e1＋3e2，CD →＝2e1－e2，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值．分析：因为A 、B 、D 三点共线，所以存在λ∈R ，使AB →＝λBD →，可由已知条件表示出BD →，由向量相等得到关于λ、k 的方程组，求得k 值．解析：BD →＝CD →－CB →＝e1－4e2.∵A 、B 、D 三点共线，故存在λ∈R ，使AB →＝λBD →.∴2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)．解得k ＝－8.◎规律总结：向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算，主要是运用它们的运算法则、运算律，解决三点共线、两线段平行、线段相等、求点的坐标等问题，利用向量的相等及向量共线的充要条件是将向量问题实数化的根据，是解决问题的关键．变式训练1．设两个非零向量e1和e2不共线，如果AB →＝e1＋e2，BC →＝2(e1＋4e2)，CD →＝3(e1－e2)，求证：A ，B ，D 三点共线．分析：要证明A ，B ，D 三点共线，只需证AB →∥AD →.证明：∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(e1＋e2)＋2(e1＋4e2)＋3(e1－e2)＝6(e1＋e2)＝6AB →. ∴AB →，AD →为共线向量，又AB →，AD →有公共点A ，故A ，B ，D 三点共线．2．如图所示，OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线所围成的阴影区域内(不含边界)运动，且OP →＝xOA →＋yOB →，则x 的取值范围是________________，当x ＝－12时，y 的取值范围是________．解析：∵OP →＝xOA →＋yOB →，据平面向量基本定理，取OA →的相反向量OA ′→， ∵y 可以变化，∴x 可以取任意负实数，故x ∈(－∞，0)．当x ＝－12时，OA ′→＝－12OA →.过A ′作OB →的平行线交OM →于M ，过M 作OA ′的平行线交OB →于E ，则OE →＝12OB →.同理，过A ′作OB →的平行线交AB →的延长线于F.再过F 作OA →的平行线交OB →的延长线于H ，则OH →＝32OB →，因不包括边界，故y ∈⎝⎛⎭⎫12，32. 答案：(－∞，0) ⎝⎛⎭⎫12，32已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及OP →＝OA →＋tAB →.(1)当t 为何值时，P 在x 轴上？在y 轴上？在第二象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．分析：(1)将OP →的坐标用t 表示出来，然后讨论OP →的横、纵坐标．(2)若能成为平行四边形，则有OA →＝PB →，解出t 的值；若t 无解，则不能构成平行四边形．解析：(1)∵OA →＝(1,2)，AB →＝(3,3)， ∴OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t,2＋3t)．若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，t ＝－23；若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，t ＝－13；若点P 在第二象限，则 ⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＞0.解得－23＜t ＜－13.(2)∵OA →＝(1,2)，PB →＝PO →＋OB →＝(3－3t,3－3t)．若四边形OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →.又⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1， 3－3t ＝2 无解，故四边形OABP 不能成为平行四边形． ◎规律总结：向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示，引入向量的坐标表示，向量的运算完全化为代数运算，达到了数与形的统一，通过向量的坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模，判断共线、平行等问题．变式训练3．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，求向量MN →的坐标．分析：要求MN →的坐标只要求出M 、N 点的坐标即可．为此须设出M 、N 的坐标，然后用已知条件求出．解析：设M 点坐标为(x ，y)，依题意有 CA →＝(1,8)，CB →＝(6,3)，CM →＝(x ＋3，y ＋4)． ∵CM →＝3CA →，∴(x ＋3，y ＋4)＝3 (1,8)，解得x ＝0，y ＝20，即M 的坐标为(0,20)，同理可得N 的坐标为(9,2)， ∴MN →＝(9，－18)．4．在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为AB 的中点，E 为△ACD 的重心，F 为△ABC 的外心，证明EF ⊥CD.证明：建立如图所示的平面直角坐标系．设A(0，b)，B(－a,0)，C(a ，0)，则D ⎝⎛⎭⎫－a 2，b 2，CD →＝⎝⎛⎭⎫－32a ，b 2，易知△ABC 的外心F 在y 轴上．可设F(0，y)，由|AF →|＝|CF →|，可得(y －b)2＝a2＋y2，所以y ＝b2－a22b ，即F ⎝⎛⎭⎫0，b2－a22b . 又由重心坐标公式得E ⎝⎛⎫a 6，b 2，则EF →＝⎝⎛⎭⎫－a 6，－a22b ，所以CD →·EF →＝⎝⎛⎭⎫－32a ×⎝⎛⎭⎫－a 6＋b 2×⎝⎛⎭⎫－a22b ＝0. 所以CD →⊥EF →，即EF ⊥CD.设0＜|a|≤2，且函数f(x)＝cos2x －|a|sin x －|b|的最大值为0，最小值为－4，且a 与b 的夹角为45°，求|a ＋b|.分析：要求|a ＋b|需知道|a|、|b|，故可利用函数的最值确立|a|、|b|的值．解析：f(x)＝1－sin2x －|a|sin x －|b|＝－⎝⎛⎭⎫sin x ＋|a|22＋|a|24－|b|＋1.∵0＜|a|≤2，∴当sin x ＝－|a|2时，14|a|2－|b|＋1＝0；当sin x ＝1时，－|a|－|b|＝－4. 由⎩⎪⎨⎪⎧1 4 |a|2－|b|＋1＝0，－|a|－|b|＝－4⇒⎩⎪⎨⎪⎧|a|＝2，|b|＝2.∴|a ＋b|2＝8＋42，即|a ＋b|＝22＋ 2.◎规律总结：平面向量的数量积是向量的核心内容，通过向量的数量积考查向量的平行、垂直等关系，利用数量积可以计算向量的夹角、长度等．对数量积的正确理解及其性质的灵活应用是解决这类问题的关键．变式训练5．如右图所示，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中：①P1P2→·P1P3→，②P1P2→·P1P4→，③P1P2→·P1P5→，④P1P2→·P1P6→，向量的数量积最大的是________(填序号)．解析：设正六边形边长为a ，则P1P2→·P1P3→＝a ·3a ·cos 30°＝32a2，P1P2→·P1P4→＝a ·2a ·cos60°＝a2，P1P2→·P1P5→＝a ·3a ·cos 90°＝0，P1P2→·P1P6→＝a ·a ·cos 120°＝－12a2，∴数量积最大的是P1P2→·P1P3→.故填①. 答案：①6．如图，在△ABC 中，|AB →|＝3，|AC →|＝1，l 为BC 的垂直平分线且交BC 于点D ，E 为l 上异于点D 的任意一点，F 为线段AD 上的任意一点． (1)求AD →·(AB →－AC →)的值．(2)判断AE →·(AB →－AC →)的值是否为一常数，并说明理由． (3)若AC ⊥BC ，求AF →·(FB →＋FC →)的最大值．解析：( 1)AD →·(AB →－AC →)＝12(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝12(|AB →|2－|AC →|2)＝4.(2)AE →·(AB →－AC →)的值为一常数． AE →·(AB →－AC →)＝(AD →＋DE →)·(AB →－AC →)＝AD →·(AB →－AC →)＋DE →·(AB →－AC →)＝AD →·(AB →－AC →)＝4. (3)当AC ⊥BC 时，BC ＝22，AD ＝3， AF →·(FB →＋FC →)＝AF →·2FD → ＝2(AF →·FD →)＝2|AF →||FD →|cos 0° ＝2|AF →||FD →|.设|AF →|＝x ，则|FD →|＝3－x ，所以AF →·(FB →＋FC →)＝2x(3－x) ＝－2⎝⎛⎭⎫x －322＋32，所以当x ＝32时，AF →·(FB →＋FC →)的最大值为32.如下图所示，以△ABC 的两边AB ，AC 为边向外作正方形ABGF ，ACDE ，M 为BC的中点，求证：AM ⊥EF.分析：要证AM ⊥EF ，只需证明AM →·EF →＝0，将AM →用AB →、AC →表示，EF →用AE →、AF →表示，然后通过向量运算证明．证明：因为M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)，EF →＝AF →－AE →，所以AM →·EF →＝12(AB →＋AC →)·(AF →－AE →)＝12(AB →·AF →＋AC →·AF →－AB →·AE →－AC →·AE →) ＝12(0＋AC →·AF →－AB →·AE →－0) ＝12(AC →·AF →－AB →·AE →) ＝12[|AC →||AB →|cos(90°＋∠BAC)－ |AB →||AC →|cos(90°＋∠BAC)]＝0，所以AM →⊥EF →，即AM ⊥EF.◎规律总结：平面向量的应用主要体现在两个方面：一是在平面几何中的应用，向量的加法运算和全等、平行、数乘向量和相似，距离、夹角和向量的数量积之间有密切联系，因此利用向量方法可以解决平面几何中的相关问题．解决问题的关键是恰当地引入向量，通过向量运算，解释几何性质．二是在物理中的应用，主要解决力、位移、速度等问题．解题的关键在于运用向量的观点将物理问题转化为数学问题，并建立相应的数学模型．变式训练7．如右图，O 为△ABC 的外心，E 为三角形内的一点，满足OE →＝OA →＋OB →＋OC →，求证：AE →⊥BC →.证明：∵BC →＝OC →－OB →，AE →＝OE →－OA →＝(OA →＋OB →＋OC →)－OA →＝OB →＋OC →， ∴AE →·BC →＝(OC →＋OB →)·(OC →－OB →) ＝|OC →|2－|OB →|2.∵O 为外心，∴|OC →|＝|OB →|. 即AE →·BC →＝0，∴AE →⊥BC →.8．一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实际速度．解析：如题图所示，5|x|＝tan 30°，∴|x|＝53≈8.66 (km/h)． 5|y|＝sin 30°，∴|y|＝10 (km/h)．即水速约为8.66 km/h ，船实际速度为10 km/h.在直角坐标平面中，已知点P1(1,2)，P2(2,22)，P3(3,23)，…，Pn(n,2n)，其中n 是正整数，对平面上任意一点A0，记A1为A0关于点P1的对称点，A2为A1关于点P2的对称点，…，An 为An －1关于点Pn 的对称点． (1)求向量A0A2→的坐标；(2)当点A0在曲线C 上移动时，点A2的轨迹是函数y ＝f(x)的图象，其中f(x)是以3为周期的周期函数，且当x ∈(0,3]时，f(x)＝lg x ，求以曲线C 为图象的函数在(1,4]上的解析式．分析：(1)求一点关于另一点的对称点，利用中点坐标公式求之； (2)由图象的平移和周期求出函数的解析式．解析：(1)设点A0(x ，y)，A0关于点P1的对称点A1的坐标为A1(2－x,4－y)， A1关于点P2的对称点A2的坐标为A2(2＋x,4＋y)，所以A0A2→＝(2,4)．(2)方法一 ∵A0A2→＝(2,4)，∴f(x)的图象由曲线C 向右平移2个单位，再向上平称4个单位得到．因此，曲线C 是函数y ＝g(x)的图象，其中g(x)是以3为周期的周期函数，且当x ∈(－2,1]时，g(x)＝lg(x ＋2)－4. 于是，当x ∈(1,4]时，g(x)＝lg(x －1)－4. 方法二设A0(x ，y)，A2(x2，y2)，于是⎩⎪⎨⎪⎧x2－x ＝2，y2－y ＝4.若3＜x2≤6，则0＜x2－3≤3，于是f(x2)＝f(x2－3)＝lg(x2－3)．当1＜x ≤4时，则3＜x2≤6，y ＋4＝lg(x －1)． ∴当x ∈(1,4]时，g(x)＝lg(x －1)－4.◎规律总结：向量作为一种基本工具，在数学解题中有着重要的地位与作用，它的引入大大拓宽了解题的思路与方法，使它在研究其他许多问题时获得了广泛的应用．利用向量知识和向量方法可以非常简捷、规范地处理代数中的数列、函数、方程、不等式等有关问题．变式训练9．已知点A(2,2)，B(4,1)，O 为坐标原点，P 为x 轴上一动点，当AP →·BP →取最小值时，求向量PA →与PB →的夹角的余弦值．解析：设P 点的坐标为(x,0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)， ∴AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x ＋10＝(x －3)2＋1.∴当x ＝3时，AP →·BP →取最小值1，此时PA →＝(2,2)－(3,0)＝(－1,2)，PB →＝(4,1)－(3,0)＝(1,1)． ∴|PA →|＝5，|PB →|＝ 2.∴cos ∠APB ＝PA →·PB →|PA →||PB →|＝1010.10．如右图，在平面斜坐标xOy 中．∠xOy ＝60°，平面上任一点P 关于斜坐标系的坐标是这样定义的：若OP →＝xe1＋ye2(其中e1，e2分别为与x 轴，y 轴同方向的单位向量)，则点P 的斜坐标为(x ，y)．(1)若点P 的斜坐标为(2，－2)，求P 到O 的距离|OP|；(2)求以O 为圆心，以1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程．解析：(1)因点P 的坐标为(2，－2)，故OP →＝2e1－2e2，|OP →|＝2，即|OP|＝2. (2)设圆上动点M 的坐标为(x ，y)，则OM →＝xe1＋ye2，又|OM →|＝1.∴(xe1＋ye2)2＝1. ∴x2＋y2＋2xye1·e2＝1，即x2＋y2＋xy ＝1，故所求方程为x2＋y2＋xy －1＝0.。

【金版学案】高中数学 模块综合检测试题 苏教版必修4

高中数学 模块综合检测(C)(含解析)苏教版必修4(2021年整理)