非线性中立型泛函微分方程解的渐近稳定性
非线性微分方程和稳定性
第六章 非线性微分方程和稳定性在19世纪中叶,通过刘维尔的工作,人们已经知道绝大多数的微分方程不能用初等积分方法求解.这个结果对于微分方程理论的发展产生了极大影响,使微分方程的研究发生了一个转折.既然初等积分法有着不可克服的局限性,那么是否可以不求微分方程的解,而是从微分方程本身来推断其解的性质呢?定性理论和稳定性理论正是在这种背景下发展起来的.前者由法国数学家庞加莱(Poincar é,1854-1912)在19世纪80年代所创立，后者由俄国数学家李雅普罗夫(Liapunov,1857-1918)在同年代所创立.它们共同的特点就是在不求出方程的解的情况下,直接根据微分方程本身的结构和特点,来研究其解的性质.由于这种方法的有效性,近一百多年以来它们已经成为常微分方程发展的主流.本章对定性理论和稳定性理论的一些基本概念和基本方法作一简单介绍.§6.1 引言考虑微分方程(,)d f t dt=xx (6.1)其中函数(,)f t x 对n D R ∈⊆x 和t ∈(-∞,+∞)连续，对x 满足局部李普希兹条件. 设方程(5.1)对初值(t 0,x 1)存在唯一解01(,,)x t t x ϕ=，而其它解记作00(,,)x x t t x =.现在的问题是：当01x x -很小时，差0001(,,)(,,)x t t x t t x ϕ-的变化是否也很小?本章向量1(,...,)Tn x x =x 的范数取1221()nii x ==∑x .如果所考虑的解的存在区间是有限闭区间，那么这是解对初值的连续依赖性，第2章的定理2.7已有结论.现在要考虑的是解的存在区间是无穷区间，那么解对初值不一定有连续依赖性(见下面的例3)，这就产生了李雅普诺夫意义下的稳定性概念.如果对于任意给定的0ε>和00t ≥都存在0(,)0t δδε=>，使得只要0x 满足01δ-<x x就有0001(,,)(,,)t t t t ϕε-<x x x对一切t ≥t 0成立，则称(6.1)的解01(,,)t t x ϕ=x 是稳定的.否则是不稳定的.假设01(,,)t t ϕ=x x 是稳定的，而且存在11(0)δδδ<≤，使得只要0x 满足011δ-<x x就有0001lim((,,)(,,))0t t t t t ϕ→∞-=x x x则称(6.1)的解01(,,)t t ϕ=x x 是渐近稳定的.为了简化讨论，通常把解01(,,)t t ϕ=x x 的稳定性化成零解的稳定性问题.下面记00()(,,)t t t =x x x ,01()(,,)t t t ϕϕ=x 作如下变量代换.令()()y t t ϕ=-x (6.2) 则d dt y =()()(,())(,())d t d t f t t f t t dt dtϕϕ-=-x x (,())(,())(,)df t t f t t F t ϕϕ=+-=y y于是在变换(6.2)下，将方程(6.1)化成(,)d F t dt=yy (6.3)其中(,)(,())(,())F t f t t f t t ϕϕ=+-y y .这样关于(6.1)的解()t ϕ=x 的稳定性问题就化为(6.3)的零解y =O 的稳定性问题了.因此，我们可以在下文中只考虑(6.1)的零解x =O 的稳定性，即假设(,)f t O O ≡，并有如下定义:定义6.1 若对任意0ε>和00t ≥，存在0(,)t δδε=，使当0δ<x 时有 00(,,)t t ε<x x (6.4)对所有的0t t ≥成立，则称(6.1)的零解是稳定的.反之是不稳定的. 定义6.2 若(6.1)的零解是稳定的，且存在δ1>0, 使当01δ<x 时有00lim (,,)0t t t →∞=x x则称(6.1)的零解是渐近稳定的.例1 考察系统⎪⎩⎪⎨⎧-==x dtdyydt dx的零解的稳定性.解 对于一切0t ≥，方程组满足初始条件0(0)x x =,22000(0)(0)y y x y =+≠的解为 0000()cos sin ()sin cos x t x t y ty t x t y t=+⎧⎨=-+⎩ 对任一0ε>，取δε=，则当12220()x y δ+<时，有112222220000122200[()()][(cos sin )(sin cos )]()x t y t x t y t x t y t x y δε+=++-+=+<=故该系统的零解是稳定的.然而，由于112222220lim[()()]()0t x t y t x y →∞+=+≠所以该系统的零解不是渐近稳定的.例2 考察系统dxx dtdy y dt⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 的零解的稳定性.解 在0t ≥上，取初值为00(0,,)x y 的解为：00()()ttx t x e y t y e--⎧=⎨=-⎩ 其中22000x y +≠对任一0ε>，取δε=，则当12220()x y δ+<时，有1122222222122200[()()]()()(0)t t x t y t x ey ex y t δε--+=+≤+<=≥故该系的零解是稳定的. 又因为1122222222lim[()()]lim()0t t t t x t y t x ey e --→∞→∞+=+=可见该系统的零解是渐近稳定的.例3 考察系统dxx dtdy y dt⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 的零解的稳定性.解 方程组以00(0,,)x y 为初值的解为00()()ttx t x e y t y e ⎧=⎨=⎩(0)t ≥ 其中2200x y +≠. 111222222222220[()()]()()t t t x t y t x e y e x y e +=+=+由于函数e t 随t 的递增而无限地增大. 因此,对于任意0ε>，不管12220()x y +取得怎样小，只要t 取得适当大时，就不能保证1222[()()]x t y t +小于预先给定的正数ε，所以该系统的零解是不稳的.例4 考虑常系数线性微分方程组dxAx dt= (6.5)其中n x R ∈,A 是n ×n 阵.证明，若A 的所有特征根都具严格负实部，则(6.3)的零解是渐近稳定的.证明 不失一般性，我们取初始时刻00t =,设Φ(t )是(6.5)的标准基本解矩阵，由第3章内容知满足0(0)x x =的解()x t 可写成0()()x t t x =Φ (6.6)由A 的所有特征根都具负实部知lim ()0t t →∞Φ= (6.7)于是知存在t 1>0，使t >t 1时()1t Φ<.从而对任意0ε>，取0δε=则当00x δ<时，由(6.6)有00()()x t t x x ε≤Φ≤<, 1t t >(6.8)当t ∈[0,t 1]时, 由解对初值的连续相依性, 对上述0ε>，存在δ1 >0，当01x δ<时()x t O ε-<, 1[0,]t t ∈取01min{,}δδδ=，综合上面讨论知，当0x δ<时有()x t ε<, [0,]t ∈+∞即0x =是稳定的.由(6.7)知对任意0x 有0lim ()0t t x →∞Φ=，故0x =是渐近稳定的.。
分数阶非线性中立型方程的渐近稳定性
基金项 目：国家 自然科学基金天元专项 基金 资助项 目（ １ １ ３ ２ ６ １ １ ５ ） ； 高等 学校博士学科点 专项科研 基金资助项 目（ ２ ０ １ ３ ３ ４ ０ １ １ ２ ０ ０ １ ３ ） ； 安徽省教 育 厅 自然科学研究项 目（ Ｋ Ｊ ２ ０ １ ３ Ａ０ ３ ２ ） ； 安徽大学青 年骨 干教师项 目（ ０ ２ ３ ０ ３ ３ ０ １ ０ ２ ６ ４ ） ； 博士科研启动项 目（ ０ ２ ３ ０ ３ ３ １ ９ ０ １ ８ １ ） 作者简 介：刘松 （ １ ９ ８ １ 一） ， 男， 副教授 ， 主要研究 方向为泛 函微分方程 ， ｌ ｉ ｕ ｓ ｏ ｎ ｇ ＠ａ ｈ ｕ ． ｅ ｄ ｕ ． ｃ ｎ
分 数 阶导数 的拉普 拉斯 变换 分别 为 ：
一
ｌ
１ 分 数 阶导 数 和 Ｍｉ ｔ ｔ ａ ｇ － Ｌ ｅ ｆ ｆ ｌ ｅ ｒ函数
在 本节 ， 笔 者 将 回 顾分 数 阶 微 积 分 的基 本 概 念
收 稿 日期 ：２ ０ １ ４ — １ ０ — １ ７
Ｌ ｛ Ｃ ｏ Ｄ ｑ ｘ （ ｔ ） ） ： ＝ ＝ ｓ ｘ（ ｓ ） 一∑ ｓ ｋ ｘ ㈨（ ｏ ） ； （ ６ ）
和 Ｍｉ ｔ ｔ ａ ｇ － Ｌ ｅ ｆ ｆ ｌ ｅ ｒ函数 的性 质 。 Ｒｉ ｅ ｍａ ｎ ｎ － Ｌ ｉ ｏ ｕ ｖ ｉ ｌ ｌ ｅ积分定 义 为
Ｄ － ｑ ｘ （ ｔ ） 一 南Ｊ （ ｔ － ｓ ）
一
，
（ １ ）
１＜ ：ｑ≤ ７ ２ 。
Ｃ ａ ｐ ｕ ｔ ｏ和 Ｒ ｉ ｅ ｍａ ｎ ｎ － Ｌ ｉ ｏ ｕ ｖ ｉ ｌ ｌ ｅ 导 数分 别定 义 为 ：
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ｔｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ｄ ｅ ａ ｌ ｓ ｗｉ ｔ ｈ ａ ｓ ｙ ｍｐ ｔ ｏ ｔ ｉ ｃ ａ １ ｓ ｔ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ ｆ ｒ ａ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｎ ｏ ｎ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｎ ｅ ｕ ｔ ｒ ａ ｌ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｕ ｎ ｄ ｅ ｒ Ｃａ ｐ ｕ ｔ ｏ ａ ｎ ｄ Ｒｉ ｅ ｍａ ｎ ｎ － Ｌｉ —
中立型非线性随机变时滞微分方程的稳定性
∞）× 一兄组 成的 Ｂ ａ ｎ ａ ｃ ｈ空间 ， 并且 对固定 的 ∈
Ⅱ （ ｓ ） 一 肛 （ ｓ ） ］ ｌ ｄ ｓ ＋ ｌ ｅ ｊ ｌ ￡ ・ ｃ （ ｓ ） ｌ ｄ ｓ ＋
１ ＋ 『 ＾ （ ） ｄ ｕ ＋
』 １ ｅ － ｆ ｈ （ ｓ ） （ 』 ： … １ （ ｕ ） ） ｄ Ｍ ５ ｄ ｓ ＋
ｌ ｅ － Ｉ ‘ “ ｊ ［ （ ｓ — ｒ ． （ ｓ ） ） （ １ 一 ｒ （ ｓ ） ） 一
２ 定 理 １的证 明
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３— ０ １一ｌ ｌ ： 修 回 日期 ： ２ ０ １ ３— ０ ７— ０ ８
（ Ⅲ ） ｝ — 兰 ； ＿ ） ｝ ＋ ： 一 （ ） ｄ ＋ Ｓ ｅ － ｆ ‘ ， （ ｓ ） （ Ｊ ＾ ： 一 。 （ “ ） ｄ ） ｄ ｓ ＋
１ 主 要 结果
设｛ 力， Ｆ， Ｐ｝ 为 完 备 的概 率 空 间 ， 具 有 满 足 通 常条 件 的流 ｛ Ｆ ｝ ， ｛ 加（ ｔ ） ， ｔ ＞０｝ ｉ 是 定义 在 此空 间
上 的标准 一 维 Ｗｉ ｅ ｎ ｅ ｒ 过程． 函数 ０ （ ｔ ） ， Ｃ （ ｔ ） ， ｇ （ ｔ ） ∈Ｃ （ Ｒ ， Ｒ） ， ６ （ ｔ ）∈Ｃ 。 （ Ｒ ， Ｒ） ， （ ｔ ）∈Ｃ （ Ｒ ， Ｒ ） 且 ｒ （ ｔ ） ≠１ ， ｒ ： （ ｔ ） ， ｒ （ ｔ ）∈Ｃ（ Ｒ ， Ｒ ） ， 当 一 ∞， 有ｔ —ｒ ， （ ｔ ） 一 ∞， ＝１ ， ２ ， ３ ． Ｇ（・） 是 关 于 的局部 Ｌ ｉ ｐ ｓ ｃ ｈ ｉ ｔ ｚ 连续 的 ， 即存 在一 个常 数 ＞０ ， 只 得到 结论 ：
常微分方程的线性化与稳定性
常微分方程的线性化与稳定性常微分方程是数学中的一个重要分支，它描述了自变量的函数对其导数的依赖关系。
许多实际问题可以通过求解常微分方程来得到数学模型，并从中获得有关系统行为的重要信息。
其中，线性化和稳定性是常微分方程研究中的两个关键概念。
本文将介绍常微分方程的线性化方法，并讨论稳定性的概念及其应用。
一、常微分方程的线性化线性化是一种将非线性常微分方程转化为线性常微分方程的方法，通过线性化，我们可以使得原方程的解与线性化方程的解近似相等，从而简化问题的求解过程。
在实际应用中，常常需要对非线性系统进行线性化，以便更好地研究其稳定性、解的性质等。
线性化的基本思想是利用泰勒展开将非线性函数在某点处进行线性近似。
设考虑的非线性方程为：$$\frac{{d^2y}}{{dt^2}} = f(y, \frac{{dy}}{{dt}})$$在某点$(y_0, \frac{{dy}}{{dt}}_0)$处，对$f(y,\frac{{dy}}{{dt}})$进行二阶泰勒展开得到：$$f(y, \frac{{dy}}{{dt}}) = f(y_0, \frac{{dy}}{{dt}}_0) +\frac{{df}}{{dy}}(y-y_0) +\frac{{df}}{{d\frac{{dy}}{{dt}}}}(\frac{{dy}}{{dt}}-\frac{{dy}}{{dt}}_0)$$其中，$\frac{{df}}{{dy}}(y-y_0)$与$\frac{{df}}{{d\frac{{dy}}{{dt}}}}(\frac{{dy}}{{dt}}-\frac{{dy}}{{dt}}_0)$为一阶的线性项。
将其代入原方程得到线性化方程：$$\frac{{d^2y}}{{dt^2}} = f(y_0, \frac{{dy}}{{dt}}_0) +\frac{{df}}{{dy}}(y-y_0) +\frac{{df}}{{d\frac{{dy}}{{dt}}}}(\frac{{dy}}{{dt}}-\frac{{dy}}{{dt}}_0)$$若将$\Delta y=y-y_0$和$\Delta \frac{{dy}}{{dt}}=\frac{{dy}}{{dt}}-\frac{{dy}}{{dt}}_0$作为新的变量，线性化的方程可以写成更简洁的形式：$$\frac{{d^2\Delta y}}{{dt^2}} = \frac{{df}}{{dy}}\Delta y +\frac{{df}}{{d\frac{{dy}}{{dt}}}}\Delta \frac{{dy}}{{dt}}$$这样，我们就将原非线性问题转化为了线性问题。
非线性微分方程解的稳定性.ppt
四、李雅普诺夫第二方法
讨论如何应用函数来确定非线性微分方程组的稳定性态
问题，为简单起见，我们只考虑非线性自治微分方程组
其中
dx f (x) dt
（7）
x1
x
x2
xn
f1(x1, x2 ,
f
(x)
f2 (x1,
x2 ,
fn (x1, x2 ,
, xn )
xn
)
xn
)
假设f (0) 0 且 f (x) 在某域G : x A ( A为正常数)内连续的偏导 数，因而方程组（7）的由初始条件x(t0 ) x0 所确定的解在原 点的某个邻域内存在且唯一。显然 x 0 是其特解。
时是定负的。
定理3 如果对微分方程组（7）可以找到一个定正函V数(x) ，其通过（7）
的全导数dV 为常负函数或恒等于零，则方程组（7）的零解为稳定
dt
的。如果有定正函V数(x) ，其通过（7）的全导数dV 为定负的，则方 dt
程组（7）的零解为渐近稳定的。
定理4 （零解稳定判别定理） 对系统
dx F (x), x Rn dt
• 3.线性问题是非线性问题的基础,在一定条件 • 下，非线性问题在局部可以转化为线性问题 • 来讨论。非线性问题的大范围分析仍然是一 • 个难题。
19世纪末20世纪初
Poincare(法国) 创立微分方程定性理论 Liapunov(俄国) 创立微分方程稳定性理论
Logistic方程 Logistic方程
的。
五、结论
本文简述了非线性系统，根据非线性稳定性定理对方 程解的稳定性作了分析，非线性系统主要采用李雅普诺夫 第二方法进行稳定性判断。李雅普诺夫第一方法是将非线 性方程线性化，然后根据线性化后的方程的稳定性就可以 知道原非线性方程在定点邻域内的稳定性。李雅普诺夫第 二方法是构造李雅普诺夫函数不求解方程，用类似能量函 数直接做出判断。
非线性微分方程解的稳定性
非线性微分方程解的稳定性非线性微分方程解的稳定性是数学物理等多个学科面对微分方程解时所要考虑的重要问题。
一、非线性微分方程解的稳定性1. 含有稳定性的概念非线性微分方程求解的稳定性是指改变求解方法或迭代步长时，得到的求解结果的差异是限定的范围，从而确定所使用的解法或迭代过程的可靠性。
2. 非线性微分方程求解的稳定性判断求解非线性微分方程的稳定性主要判断其所使用的解法的收敛性以及使用的迭代步长的可靠性。
二、影响非线性微分方程解稳定性的因素1. 微分方程本身特征由于求解非线性微分方程的过程是多参数的复杂迭代运算，它本身的复杂性也影响了求解的稳定性。
如方程的阶数较高、参数较多等，它们会加大求解过程的难度，影响对结果的准确性及稳定性。
2. 求解方法的限制由于当下的求解方法还不能充分支撑求解非线性微分方程解过程，因而会造成求解结果的不稳定性。
3. 天气因素除了方程本身及求解方法等原因之外，天气因素也会直接影响非线性微分方程求解的稳定性，对天气变化的相关参数实时的监测和分析，及时调整迭代过程的参数设置，也是影响求解稳定性的一个重要因素。
三、维持非线性微分方程解稳定性1. 加强数值分析求解非线性微分方程时可以使用更加先进、准确的数值分析技术，分析问题的不确定性等，进行参数预估，从而可以稳定微分方程求解的结果。
2. 针对性修改求解方法多种求解方法可以在一定程度上修正或调节求解结果的不稳定性，以及减轻重要的误差，从而避免非线性微分方程求解的稳定性出现明显的变化。
3. 建立状态变化分析模型根据各参数的变化和影响，建立状态变化分析模型，可以更好地把握系统的运行情况变化，从而保证非线性微分方程解的稳定性。
四、总结微分方程求解的稳定性是指求解结果随参数变化或求解方法变化的差异，其稳定性的确定及提高是面对此类问题必须认真考虑的，应通过加强数值分析，针对性修改求解方法，建立状态变化分析模型等多种方法，以确保非线性微分方程求解的稳定性及准确性。
第六章 非线性微分方程和稳定性
第六章 非线性微分方程和稳定性研究对象二阶驻定方程组（自治系统）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==),(),(y x Y dtdy y x X dtdx1 基本概念 1）稳定性 考虑方程组),(x f xt dtd = （6.1） 其中 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x x x21x ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=dtdxdt dx dt dx dt d n 21x ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=),,,;(),,,;(),,,;()(21212211n n n n x x x t f x x x t f x x x t f x f 。
总假设),(x f t 在D I ⨯上连续，且关于x 满足局部李普希兹条件，R I ⊂，区域nR D ⊂,00=),(t f ，∑==ni ix12x 。
如果对任意给定的0>ε，存在0)(>εδ（一般ε与0t 有关），使得当任一0x 满足δ≤0x 时，方程组（6.1）满足初始条件00)(x x =t 的解)(t x ，均有εx <)(t 对一切0t t ≥成立，则称方程组（6.1）的零解0=x 为稳定的。
如果方程组（6.1）的零解0=x 稳定，且存在这样的00>δ，使当00δ<x 时，满足初始条件00)(x x =t 的解)(t x 均有0=+∞→)(lim t t x ，则称零解0=x 为渐近稳定的。
如果0=x 渐近稳定，且存在域0D ，当且仅当00D ∈∀x 时满足初始条件00)(x x =t 的解均有0=+∞→)(lim t t x ，则称域0D 为（渐近）稳定域或吸引域；如果稳定域为全空间，即+∞=0δ，则称零解0=x 为全局渐近稳定的或简称全局稳定的。
当零解0=x 不是稳定时，称它为不稳定的。
即就是说：如果对某个给定的0>ε，不论0>δ怎样小，总有一个0x 满足δx ≤0，使得由初始条件00)(x x =t 所确定的解)(t x ，至少存在某个01t t >使得εt =)(1x ，则称方程组（6.1）的零解0=x 为不稳定的。
中立型微分方程的正解存在性及非振动解的渐近性
文章 编 号 ： ０ ５ ９ ６ （ ０ ８ Ｏ 一 ０ ７０ １ ０ —１ ４ ２ ０ ）ｌ０ ０— ３ 中 图 法 分 类 号 ： ７ ０１ ５ 文 献标 识 码 ： Ａ
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｔｈｅ ｅ ｉｔ ｎｃ ｎｄ ａ ｙ ｐ ｏ ｉ ｅ ｖ ｏ ｓ ｏ ｏ ｓ ｉ ａ ｏ ｙ ｏ ｕ ｉｎ ｏ ｅ ｔ ａ ｆｅ ｅ ｔａ ｓｒ ｃ ： ｘ ｓｅ ｅ ａ ｓ ｍ ｔ ｔｃ ｂ ｈａ ｉ ｒ ｆ ｎ ｎｏ ｃｌ ｔ ｒ ｓ ｌ ｔｏ ｆ ｎ ｕ ｒ ｌｄｉｆｒ ｎ ｉｌ ｌ ｅ ｕ ｔｏ ｒ ｔ ｄｉｄ ｑ ａ ｉ ｎ ａ ｅ ｓ ｕ ｅ ．Ｓｕ ｆｃｅ ｏ ｉｉ ｎ ｉ ｓ ａ ｌ ｈｅ ｏ ｘ ｓｅ ｃ ｎｄ ａ ｙｍｐ ｏ ｉ ｂ ｈａ ｉ ｒ ｆ ｆ ｉｉｎｔ ｃ ｎｄ ｔｏ ｓ ｅ ｔ ｂ ｉ ｄ ｆ ｒ ｅ ｉｔ ｎ ｅ ａ ｓ ｓ ｔ ｔｃ ｅ ｖ ｏ ｓ ｏ ｎ ｎ ｓ ｉｌｔ ｒ ｏｕｔｏ ｆ ｔ ｓ ｓｅ ．Ａ ｅ ｃ ｉｅ ｉｎ ｆ ｒ ｅ ｅ ｙ ｏ ｏ ｃｌ ｔ ｒ ｏｕｔｏ ｆ ｎ ｕｔａ ｏ ｏ ｃｌ ｏ ｙ ｓ ｌ ｉ ｎ ｏ ｈｅ ｙ ｔ ｍ ａ ｎ ｗ ｒｔ ｒｏ ｏ ｖ ｒ ｎ ｎ ｓ ｉａ ｏ ｙ ｓ ｌ ｉｎ ｏ ｅ ｒ ｌ ｌ
摘 要 ： 究 中立 型微 分 方 程 的 正 解 存 在 性 和非 振 动 解 的 渐 近 性 ， 到 其 正 解 存 在 性 的 １ 充 分 条 件 ， 出 中 立 型 研 得 个 给
微分 方 程 每 一 个 非 正 振 动 解 趋 向 于 零 和 非 振 动 解 下 确 界 趋 向 于 零 （ 上 确 界 趋 向正 无 穷 大 ） 或 的新 判 据 ．
［ （） ｐ ｔｙ（ ｆ ＋ （） ｔ— ｒ ］ ） ＋ ｑ ｔｙ ｔ （） （ 一 ）一 ０
非线性微分方程及稳定性课件
分叉与混沌
分叉
当非线性微分方程的参数发生变化时， 系统的解可能会发生突然变化，这种现 象称为分叉。分叉是描述系统从有序状 态到混沌状态转变的重要概念。
VS
混沌
混沌是非线性微分方程的一种复杂动态行 为，它表现为对初值敏感依赖、不可预测 性和长期行为的复杂性。混沌现象在自然 界和工程领域中广泛存在，对混沌的研究 有助于深入理解复杂系统的行为和演化。
函数和展开方式。
非线性微分方程的应用
04
物理中的应用
01
振荡现象
非线性微分方程可以描述各种物理系统的振荡现象，如 弹簧振荡器、电磁振荡器等。通过求解非线性微分方程 ，可以了解系统的振动规律和稳定性。
03
02
流体动力学
在流体动力学中，非线性微分方程可以描述湍流、波动 等现象。通过求解这些方程，可以研究流体的运动规律 和稳定性。
经济周期分析
非线性微分方程可以用于分析经济周期的波动和稳定性。通过建立相应的模型，可以研究经济周期的规 律和预测未来的发展趋势。
生物中的应用
生态模型
在生态学中，非线性微分方程可以用于描述种群数量的动态变化 。通过建立相应的模型，可以研究生态系统的稳定性和演化规律
。
神经网络
在神经科学中，非线性微分方程可以用于描述神经元的电信号传 递和神经网络的动态行为。通过求解这些方程，可以了解神经网
络的运行机制和稳定性。
生物分子动力学
在生物分子动力学中，非线性微分方程可以用于描述蛋白质折叠 、DNA分子转录等过程的动态变化。通过求解这些方程，可以了
解生物大分子的结构和功能稳定性。
05 非线性微分方程的展望
理论研究的挑战与机遇
要点一
挑战
一类非线性微分方程组解的稳定性判定方法
一类非线性微分方程组解的稳定性判定方法
近些年来，非线性微分方程组作为一类具有普适意义的数学模型，受到了科学家的广泛重视，而稳定性判定则是其中重要的一环。
在这类方程组中，准确地判定其稳定性，不仅有助于推导出精准的解，而且也为解的收敛性提供了极大的参考价值。
另外，也有一些基于Lyapunov函数的稳定性判定方法，包括LaSalle定理和Krasovskii定理。
其中，Lyapunov函数是一种函数，可用来对某些非线性系统进行稳定性判断，并代表系统在某种意义上的能量。
由Lyapunov函数可以推导得到两个定理，一是根据其最优性得出的LaSalle定理，其提出的主要思想就是，通过观察Lyapunov函数的最优值性质，来实现稳定性结论的证明；二是依赖于该函数变形得到的Krasovskii定理，其证明稳定性的基础是系统一般解在一定阈值以下时变化范围是有限的。
综上所述，看来，近年来在稳定性判定领域有了许多新的发展，为非线性微分方程组的解提供了多种有效的稳定性判定方法，从而有助于解的收敛性与求解的准确性，将对整个运筹学的研究事业产生积极的影响。
微分方程稳定性理论简介
任期5年的国家来说， 0.2.
24
对模型和参数的粗略检验 考察第一次 世界大战前夕欧洲的两个国家同盟——法 俄同盟和德奥匈同盟的军备竞赛情况.
两个同盟的经济实力大致相等，且约 为德国的3倍，因为德国的k 0.3，所以这
3. 由于相互敌视或领土争端，每一方 都存在着增加军备的固有潜力.
16
进一步假定前两个因素的影响是线性的，
第3个因素的影响是常数，那么x(t)和y(t)的变
化过程可用微分方程组
x(t) x ky g
Hale Waihona Puke y (t )lx y h
(1)
表示，其中的系数均大于或等于零. k, l是对方
军备刺激程度的度量; , 是己方经济实力制
15
模型的假设和构成 为了方便起见，用
军备表示军事力量的总和，如兵力、装备、 军事预算等. 甲乙双方在时刻t的军备分别 记作x(t)和y(t)，假设它们的变化只取决于 下面3个因素：
1. 由于相互不信任及矛盾的发展，一 方军备越大，另一方军备增加得越快;
2. 由于各方本身经济实力的限制，任 一方军备越大，对军备增长的制约作用越 大;
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军事分析家平可夫: 中日军备竞赛由隐形转向有形 /letter/ 加入日期 2005-5-24 9:02:37 点击次数： 3
防卫厅消息来源声称过去一年以来，航空自卫 队在日本排他经济水域周围监视中国军用飞机的次 数明显增多。它们大半是侦察机。在海上，中国海 军的最新型俄式“现代”导弹驱逐舰的活动也比较 频繁。冷战时代苏联海军太平洋舰队的“现代”级 导弹驱逐舰经常航行在东海海域，目前中国出现的 频率超过了俄罗斯海军。
非线性微分方程及稳定性
定号函数. 若 V (0) 0 且在 x 0 的任意领域内均既有使 V (x) 0 的点, 也有使 V (x) 0 的点, 则称函数 V 在 D
上是变号的.
定理6.1 (稳定性的Liapunov判别法) 设有定义在 D Rn
上的定正(定负)函数 V (x), dV dt
6.4 由线性近似系统判定稳定性
dx f (x), f : D Rn Rn, dt
(6.12)
设 x 0为(6.12)的解, 利用TayLor公式 可将(6.12)化为
dx Ax (x), dt 称系统(6.13)的线性近似系统为
dx Ax, dt
(6.13) (6.14)
定理 (1) 若矩阵A的全部特征值都具有负实部,则系统 (6.12)的零解是渐近稳定的;
可微性定理
如果向量函数
g(t; y)
及
gi yi
(i,
j
1,2,
, n)
在域 G 内连续，那么方程组（6.1）由初始条件 y(t0 ) y0 确定
的解 y (t;t0, y0 ) 作为 t,t0 , y0的函数，在存在范围内是连续可微。
为研究（6.1）的特解 y (t) 邻近的解的性态，通常先利用
用来判定稳定性的这种函数 V (x, y) 称为Liapunov函数,也称为 V
函数.
附注1
若 V (x) 定正(定负),
dV dt (6.2)
常负(常正), 但集合
x
dV dt
(6.2)
0
内除x 0 外不含有系统(6.2)的整条轨线,
则 x 0 是渐近稳定的.
附注2 若 V (x)
非线性微分方程和稳定性
第六章 非线性微分方程和稳定性6-1 对下列方程求出常数特解，并且画出方程经过()0,0x 的积分曲线的走向，从而判断各驻定解的稳定性；然后作变量替换，使非零驻定解对应于新的方程的零解。
1）+∞<<-∞>>+=02,0,0,x B A Bx Ax dtdx 2）()()0,310≥--=x x x x dtdx 解 1）方程可化为 )(x BA Bx dt dx +=，则其常数特解为B A x x -==21,0，即为驻定解。
由于方程为分离变量方程（或迫努利方程），当BA x x -≠≠,0时，分离变量得 Adt dxB A x x =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-11 方程的通解为At Ce BxA x =+ 利用初始条件()⎪⎭⎫ ⎝⎛-≠≠=B A x x x x 000,00，得 00Bx A x C +=，故得原方程满足初始条件的解为()0)(0≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=-t e B x A B At x At（1） 由式（1）和方程右端的表达式，得出当00>x 时，0>dt dx ，)(t x 递增， 又 B e B x A B B x A At →⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+->+-00,时，+∞→)(t x ， 即)1ln(10+=→B x A A t t 时，+∞→)(t x 。
当 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-><+>-<>+<000,0000000 dt dx ,B A x , B x A dt dx ,B A x B x A x 时，有 ()+∞→-→t BA t x )( 所以解（1）的图像如图6-5所示。
图6-5从解的图像可以看出：解01=x 不稳定；解B A x -=2稳定。
利用变换BA x y +=，可将原方程化为 22)()(By Ay BA yB B A y A dt dy +-=-+-= 所以原方程的驻定解BA x -=2对应于方程 2By Ay dtdy +-= 的零解0=y 。
二阶非线性中立型泛函微分方程解的渐近性与振动性
二阶非线性中立型泛函微分方程解的渐近性与振动性
王其如
【期刊名称】《南都学坛：南阳师专学报》
【年(卷),期】1995(015)003
【摘要】本文研究一类具有变系数的二阶非线性中立型微分方程，讨论了此方程的非振动渐近性态，并给出了方程的所有辱劝的充分判据。
【总页数】3页(P10-12)
【作者】王其如
【作者单位】河南洛阳师专
【正文语种】中文
【中图分类】O175.1
【相关文献】
1.一类二阶非线性中立型泛函微分方程解的振动性 [J], 郭洪霞;王晓静;李泽妤
2.二阶非线性中立型泛函微分方程的振动性和渐近性 [J], 李静;杨军;王春艳
3.二阶非线性中立型泛函微分方程的振动性和渐近性 [J], 侯成敏;何延生;刘仙女
4.一类二阶强迫非线性FDE解的振动性和渐近性 [J], 丁强生;蒋威;朱小进
5.二阶非线性微分方程解的振动性与渐近性 [J], 柴益琴
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泛函微分方程周期解的稳定性及其在神经网络中的应用的开题报告
泛函微分方程周期解的稳定性及其在神经网络中的应用的开题报告1. 研究背景泛函微分方程是研究动态变化过程的重要数学工具，在许多科学领域应用广泛，如控制理论、神经网络、物理学、力学等。
其中，周期解的稳定性是泛函微分方程中的一个重要问题，在实际应用中具有广泛的应用价值和理论研究意义。
2. 研究内容本文将重点研究泛函微分方程周期解的稳定性及其在神经网络中的应用。
具体研究内容包括以下几个方面：（1）泛函微分方程周期解的定义与性质。
（2）周期解的稳定性分析方法，包括线性化稳定性分析、中心流形定理等。
（3）基于周期解稳定性分析的神经网络模型建立与模拟实验。
（4）利用实验数据对模型的参数进行优化，以提高模型的性能。
3. 研究意义本文的研究结果具有重要的理论意义和实际应用价值。
首先，通过对泛函微分方程周期解的稳定性进行深入研究，可以更好地理解周期现象出现的机制，并为相关行业的研究和应用提供重要的理论支持。
其次，通过将周期解的稳定性分析方法应用于神经网络模型，可以提高神经网络的稳定性和性能，从而为神经网络在各个领域的应用提供更加可靠的支撑。
4. 研究方法本文将采用数学分析、计算机模拟实验等多种研究方法，其中包括线性化稳定性分析、中心流形定理、MATLAB等数学工具的使用。
同时，通过对神经网络模型的建立和实验数据的分析，可以进行参数的优化调整，从而提高模型的性能和精度。
5. 研究进度安排第一年：熟悉和掌握泛函微分方程、周期解和稳定性分析的相关概念和方法。
对周期解的稳定性分析方法进行深入研究，并尝试将其应用到神经网络模型中。
第二年：基于周期解稳定性分析方法建立神经网络模型，并开展模拟实验，并收集相应的实验数据进行分析，总结经验和教训。
第三年：以实验数据为基础对神经网络模型进行优化，并对其性能进行评估。
完成论文撰写和汇报。
常微分方程考研讲义第六章非线性微分方程和稳定性
常微分⽅程考研讲义第六章⾮线性微分⽅程和稳定性第六章⾮线性微分⽅程和稳定性[教学⽬标]1. 理解解的稳定性、零解稳定性及零解渐进稳定性的概念。
2. 掌握平⾯初等奇点的分类⽅法。
3. 了解拟线性近似决定微分⽅程组的稳定性及⽤李雅谱若夫第⼆⽅法判别稳定性的⽅法。
4. 了解周期解和极限环的概念。
[教学重难点] 奇点的分类与相应零解的稳定性。
[教学⽅法] 讲授，实践。
[教学内容] 解的稳定性定义，相平⾯、相轨线与相图；平⾯⾃治系统的性质，奇点的分类及相应零解的稳定性；拟线性近似，李雅谱若夫第⼆⽅法判别稳定性，周期解和极限环的概念。
[考核⽬标]1.奇点的分类及相应零解的稳定性。
2.李雅谱若夫第⼆⽅法判别稳定性。
3.会求周期解和极限环。
§1 相平⾯、相轨线与相图把xoy 平⾯称为平⾯⾃治系统==),(),(y x Q y y x P x（6.1）的相平⾯.把(6.1)式的解(),()x x t y y t ==在xoy 平⾯上的轨迹称为(6.1)式的轨线或相轨线. 轨线族在相平⾯上的图象称为(6.1)式的相图.注意：在上述概念中，总是假设(6.1)式中的函数(,),(,)P x y Q x y 在区域)(||,|:|+∞≤<(6.1)式的解(),()x x t y y t ==在相平⾯上的轨线，正是这个解在(,,)t x y 三维空间中的积分曲线在相平⾯上的投影.下⾯讨论⼆阶线性系统+=+=ya x a dtdx y a x a dtdx22211211 (6.2)奇点(0,0)附近轨线的分布:上述系统写成向量形式为⽅程组)0(det d d ≠=A AX Xt它存在线性变换TX X =~，可化成标准型X J X ~d ~d =t由A 的特征根的不同情况，⽅程的奇点可能出现四种类型：结点型，鞍点型，焦点型，中⼼型. 1．结点型如果在某奇点附近的轨线具有如图5-1的分布情形，我们就称这奇点为稳定结点.因此，当µ＜λ＜0时，原点O 是==y tyxt µλd d d dx(6.3) (5.4)式的稳定结点.图 6-1 图 6-2如果在某奇点附近的轨线具有如图5-2的分布情形，我们就称这奇点为不稳定结点.因此，当µ＞λ＞0时，原点O 是(5.4)的不稳定结点.如果在奇点附近的轨线具有如图5-3和图5-4的分布，就称这奇点为临界结点.图 6-3 图 6-4当λ＜0时，轨线在t→＋∞时趋近于原点. 这时，我们称奇点O为稳定的临界结点；当λ＞0时，轨线的正向远离原点，我们称奇点O为不稳定的临界结点.如果在奇点附近轨线具有如图5-5及图5-6的分布，就称它是退化结点.当λ＜0时，轨线在t→＋∞时趋于奇点，称这奇点为稳定的退化结点；当λ＞0时，轨线在t→＋∞时远离奇点，称这奇点为不稳定的退化结点.图 6-5 图 6-62．鞍点型如果在某奇附近的轨线具有如图5-7或图5-8的分布情形，我们称这奇点为鞍点.因此，当µ，λ异号时，原点O是(5.25)的鞍点.图 6-7 图 6-83．焦点型如果在某奇附近的轨线具有如图5-9的分布情形，我们称原点O 是稳定焦点；⽽当α＞0时，相点沿着轨线远离原点，这时，称原点是不稳定焦点 (见图5-10).图 6-9图 6-104．中⼼型如α＝0，则轨线⽅程成为：C =ρ或 222C y x =+它是以坐标原点为中⼼的圆族.在奇点附近轨线具有这样的分布，称奇点为中⼼.图 6-11 图 6-12综上所述，⽅程组)0(det d d ≠=A AX Xt(6.4)经过线性变换TX X =~，可化成标准型X J X ~d ~d =t(6.5) 由A 的特征根的不同情况，⽅程的奇点可能出现四种类型：结点型，鞍点型，焦点型，中⼼型.当0det ≠A ，根据A 的特征根的不同情况可有如下的类型：同号——结点相异（⾮零）实根实根异号——鞍点临界结点重（⾮零）实根退化结点实部不为零——焦点复根因为A 的特征根完全由A 的系数确定，所以A 的系数可以确定出奇点的类型.§2李雅普诺夫稳定性1、稳定性定义李雅普诺夫稳定性概念如果对于任意给定的0>ε和0t ≥0都存在0),(0>=t εδδ，使得只要0x 满⾜δ<-10x x就有ε?<-),,(),,(1000x x x t t t t对⼀切0t t ≥成⽴，则称微分⽅程),(d d x xt f t= (6.6) 的解),,(10x x t t ?=是稳定的.否则是不稳定的.假设),,(10x x t t ?=是稳定的，⽽且存在)0(11δδδ≤<，使得只要0x 满⾜1δ<-10x x就有0)),,(),,((lim 1000=-∞→x x x t t t t t ?则称(6.6)的解),,(10x x t t ?=是渐近稳定的.注意：微分⽅程(6.6)式中的函数),(x t f 对nR D ?∈x 和(,)t ∈-∞+∞连续，对x 满⾜局部李普希兹条件.⼀般情况下，我们把解),,(10x x t t ?=的稳定性化成零解的稳定性问题进⾏讨论. 这样就有下⾯的关于零解0=x 稳定性的定义:定义1 若对任意0ε>和00t ≥，存在0),(0>=t εδδ，使当δ<0x 时有ε<),,(00x x t t对所有的0t t ≥成⽴，则称(6.6)的零解是稳定的.反之是不稳定的.定义2 若(6.6)的零解是稳定的，且存在10δ>, 使当1δ<0x 时有0),,(lim 00=∞→x x t t t则称(5.1)的零解是渐近稳定的. 2、李雅普诺夫第⼆⽅法定义3（李雅普诺夫函数）若函数R G →:)(x V满⾜V (0)＝0, )(x V 和),,2,1(n i x i=??V都连续，且若存在0)0(0)(<>x V ，则称)(x V 是正(负)定的；既不是常正⼜不是常负的函数称为变号的.定理1（零解稳定判别定理）对系统n R x x F tx∈=),(d d (6.7)若在区域D 上存在李雅普诺夫函数V (x )满⾜(1) 正定；(2)∑=??=ni i iF x Vt1)2.5()(d d x V 常负. 则(6.7)的零解是稳定的.注意：(6.7)式中T n x F x F x F ))(,),(()(1 =在{}K G ≤∈=x R x n |上连续，满⾜局部李普希兹条件，且(0)0F =．引理若V (x )是正定(或负定)的李雅诺夫函数，且对连续有界函数()x t 有0))((lim =∞→t t x V则.0)(lim =∞→t x t定理2（零解渐近稳定判别定理）对系统(5.2)，若在区域D 上存在李雅普诺夫函数V (x )满⾜(1) 正定,(2)(6.7)1d ()d ni i iVtx =?=?∑V F x 负定，则(6.7)的零解渐近稳定.定理3（零解不稳定判别定理）对系统(5.11)若存在李雅普诺夫函数V (x )满⾜（1）∑=??=ni i ix F x Vdtd 1)2.5()(V 正定，（2）V (x )不是常负函数，则系统(6.7)的零解是不稳定的.。
Volterra-Stieltjes型泛函积分方程解的存在性及渐近行为
Volterra-Stieltjes型泛函积分方程解的存在性及渐近行为夏治南
【期刊名称】《数学物理学报》
【年(卷),期】2016(036)001
【摘要】利用非紧性测度理论和Schauder不动点定理,该文研究了无界区间上Volterra-Stieltjes型泛函积分方程解的存在性和渐近行为.作为应用,并给出了一些例子来验证主要结论.
【总页数】14页(P130-143)
【作者】夏治南
【作者单位】浙江工业大学理学院杭州310023
【正文语种】中文
【中图分类】O175.5
【相关文献】
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5.非线性中立型多变时滞积分微分方程解的存在性及渐近稳定性 [J], 黄明辉; 刘君因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。