04讲

证毕. 证毕.
对于特殊的二元关系的结论: 对于特殊的二元关系的结论: ~ (1)R 上的自反关系, 也是自反关系. (1) 是A 上的自反关系,则 R 也是自反关系.
~ (2)R 上的对称关系, (2) 是A 上的对称关系,则 R = R .
~ (3)R 上的反对称关系, 是对称关系. (3) 是A 上的反对称关系,则 R U R 是对称关系.
的二元关系, 定理2.5.3 设R是A 到B 的二元关系,S 是B 到C的二元关
~ ~ 系 ,则 R o S = S o R .
证明: ( z , x ) ∈ R o S ⇔ ( x , z ) ∈ R o S 证明:
⇔ (∃y )( y ∈ B ∧ ( x , y ) ∈ R ∧ ( y , z ) ∈ S ) ~ ~ ⇔ (∃y )( y ∈ B ∧ ( y , x ) ∈ R ∧ ( z , y ) ∈ S ) ~ ~ ⇔ ( z, x) ∈ S o R
T 注:如果关系R的关系矩阵为 M R ,则 M R 的转置矩阵 M R ~ 就是 R 的关系矩阵.(行列互换) 的关系矩阵.(行列互换) .(行列互换
的关系图中每条有向边的箭头方向颠倒, 如果将R的关系图中每条有向边的箭头方向颠倒,就
~ 的关系图. 得到 R 的关系图.
的二元关系, 定理2.5.2 R 和S 是A 到B 的二元关系,则下列各式成立
系, S = {(a , x ), (b, x ), (b, y ), (b, z )}, 求 R o S 的关系矩阵. 的关系矩阵. 解:
R 的关系矩阵
a b c d 1 1 1 0 0 M R = 2 0 1 0 0 3 0 0 1 0
S 的关系矩阵 x y z
§2.6 关系的闭包运算
对给定的二元关系,适当地加上一些有序对,使其成为 对给定的二元关系,适当地加上一些有序对, 具有某种特性的二元关系,这就是关系的闭包运算. 具有某种特性的二元关系,这就是关系的闭包运算. 上的二元关系, 的自反(对称,传递) 定义2.6.1 R 是A 上的二元关系,R的自反(对称,传递)闭 上的二元关系,且满足: 包 R′ 也是A 上的二元关系,且满足: 是自反的(对称的,传递的) (1) R′ 是自反的(对称的,传递的)
求复合关系 R o S .
R o S = {(a2 , c1 ), (a2 , c2 ), (a1 , c3 ), (a1 , c4 ), (a3 , c4 ), (a2 , b4 )}
2、集合 A = {a1 , a 2 , a 3 , a4 },R和S是A上的二元关系, R = 、 上的二元关系,
§2.5 复合关系与逆关系
由于二元关系是以有序对做为元素的集合, 由于二元关系是以有序对做为元素的集合,所以可以 对其做并, 补等运算.复合则是一种新的运算. 对其做并,交,补等运算.复合则是一种新的运算. 的二元关系, 的二元关系; 定义2.5.1 R 是A 到B 的二元关系,S 是B到C的二元关系;
{(1,1), (1,2), ( 2,3), (4,3)}, S = {(1,1), ( 2,1), ( 2,4), ( 3,3)}, T = {( 2,1), (1,2),
( 3,4), (4,4)}, 利用关系矩阵求 R o S , S o T , ( R o S ) o T , R o ( S o T ).
解:
R1 = {(0,1), (1,2), ( 2,3), (0,0), ( 2,1)}; R2 = {( 2,0), ( 3,1)}; R1 o R2 = {(1,0), ( 2,1)};
R2 o R1 = {( 2,1), ( 2,0), ( 3,2)};
( R1 o R2 ) o R1 = {(1,1), (1,0), ( 2,2)}; 即 ( R1 o R2 ) o R1 = R1 o ( R2 o R1 ) R1 o ( R2 o R1 ) = {(1,1), (1,0), ( 2,2)}.
~ R 逆关系.记作 R或R C . 逆关系. 或
关系“ 的逆关系是“ 例:集合I 上,关系“≤ ”的逆关系是≥ “
”.
集合 X = {1,2,3,4} 到 Y = {a , b, c } 上的关系 R = {(1, a ),
~ C ( 2, b ), ( 3, c )}, 其逆关系为 R( R ) = {(a ,1), (b,2), (c ,3)}
64748 4m 4 R o R o R( R 3 ),L , R o R o L o R( R m ), R i o R j = R i + j .
的二元关系, 定义2.5.2 R 是A 到B 的二元关系,若将R 中的每一个有 序对内的元素顺序互换, 序对内的元素顺序互换,所得到的B 到A 的二元关系称为
R 和S 的复合记作 R o S , 它是一个A 到C 的二元关系;当 的二元关系;
( a , b ) ∈ R , 且 ( b , c ) ∈ S时 , ( a , c ) ∈ R o S .
例: A = {a1 , a 2 , a 3 }, B = {b1 , b2 , b3 , b4 }, C = {c1 , c 2 , c 3 }, R是 A
当(bi , c j ) ∈ S 当(bi , c j ) ∈ S
L L L y1 p y2 p ymp
L x1m L x2 m L L x nm
ym 2 L
z11 z 21 MR o MS = z n1
m
L z1 p z 22 L z 2 p L L z n 2 L z np z12
例3 设 R1是 R2 集合 X = {0,1,2,3} 上的关系R1 = {( i , j ) j = i + 1
1 或 j = i }, R2 = {( i , j ) i = j + 2}, 求 R1 o R2 , R2 o R1 , ( R1 o R2 ) o R1 , 2
R1 o ( R2 o R1 ).
R1 o R2 = R2 o R1
由此可见,二元关系的复合产生了一个新的二元关系, 由此可见,二元关系的复合产生了一个新的二元关系, 所以复合是一种运算.而且,关系的复合不满足交换律, 所以复合是一种运算.而且,关系的复合不满足交换律, 满足结合律. 满足结合律. 二元关系的幂 本身组成的复合关系, 二元关系的幂:以R本身组成的复合关系, R o R( R 2 ),
a 1 b 1 MS = c 0 0 d 0 0 1 1 0 0 0 0
Ro S
的关系矩阵 M Ro S
1 1 1 = 1 1 1 0 0 0
上的二元关系, 例2 A = {1,2,3,4}, R , S , T 是 A 上的二元关系,其中 R =
R o S = {(a1 , c1 ), (a1 , c2 ), (a 2 , c3 ), (a3 , c3 )}
方法二利用二元关系的图判断: 方法二利用二元关系的图判断:
R
A a1 a2 a3
B b1 b2 b3 b4
S
C c1 c2 c3
两条相连的有向边, 两条相连的有向边,其第一 条有向边的始点和第二条有向 边的终点组成的有序对, 边的终点组成的有序对,就是 的元素. 复合关系 R o S 的元素.
1 其中 x ij = 0
x11 x 21 MR = x n1 x12 x 22 L xn2
当(a i , b j ) ∈ R
1 , yij = 当(a i , b j ) ∈ R 0
y11 y 21 MS = y m1 y12 y22 L
{(a1 , a1 ), (a1 , a 2 ), (a 3 , a 3 ), (a 3 , a4 )}, S = {(a1 , a 2 ), (a 2 , a 2 ), (a1 , a 3 ), (a4 , a4 )}.
求复合关系 R o {(a1 , a 2 ), (a1 , a 3 ), (a 3 , a4 )} S o R = {(a1 , a 3 ), (a1 , a4 )} R 2 = {(a1 , a1 ), (a1 , a 2 ), (a 3 , a 3 ), (a 3 , a4 )} S 2 = {(a1 , a 2 ), (a 2 , a 2 ), (a4 , a4 )}
到B的二元关系 , S是B到C的二元关系 , 且
R = {(a1 , b1 ), (a 2 , b2 ), (a 3 , b2 ), (a 3 , b4 )} S = {(b1 , c1 ), (b1 , c2 ), (b2 , c3 ), (b3 , c2 )}
的复合: 则R和S 的复合:方法一利用定义观察得
习题
1、集合 A = {a1 , a 2 , a 3 }, B = {b1 , b2 , b3 , b4 , }, C = {c1 , c2 , c3 , c4 }; R是 、 A到B的二元关系, R = {(a1 , b2 ), (a1 , b3 ), (a 2 , b1 ), (a 2 , b4 ), (a 3 , b3 )}; 的二元关系, S是B到C的二元关系, S = {(b1 , c1 ), (b1 , c2 ), (b2 , c3 ), (b3 , c4 ), (b4 , c4 )}. 的二元关系,
~ (4)R 上的传递关系, 也是传递关系. (4) 是A 上的传递关系,则 R 也是传递关系. ~ ( a , b ) ∈ R ⇒ ( b, a ) ∈ R ~ ( b, c ) ∈ R ⇒ ( c , b ) ∈ R ~ ⇒ R 是传递关系 由传递可 ⇓ ~ (a , c ) ∈ R ⇒ (c , a ) ∈ R
~ ~ (1) R = R ~ ~ ( 2) R U S = R U S ~ ~ ( 3) R I S = R I S