2018年必修四 圆与方程 章末检测
最新-2018高中数学 第一章章末综合检测 必修4 精品
(时间：120分钟；满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上) 1．角α，β的终边关于x 轴对称，若α＝30°，则β＝________.解析：画出图形可知β与－α的终边相同，故β＝－30°＋k ·360°(k ∈Z)． 答案：－30°＋k ·360°(k ∈Z)2．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2则扇形的圆心角的弧度数是________．解析：设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝6，12lr ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2，∴α＝4或α＝1.答案：1或43．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，其中π2＜θ＜π，则tan θ的值为________． 解析：∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴(m －3m ＋5)2＋(4－2m m ＋5)2＝1，解得m ＝0，或m ＝8.又π2＜θ＜π，∴sin θ＞0.当m ＝0时，sin θ＝－35，不符合题意；当m ＝8时，sin θ＝513，cos θ＝－1213.∴tan θ＝－512.答案：－5124．已知P (－3，m )为角α的终边上的一点，且sin α＝1313，则m 的值为________． 解析：r ＝|OP |＝3＋m 2，∴sin α＝y r＝m3＋m2＝1313，解得m ＝±12.∵sin α＝1313＞0，∴m ＞0，∴m ＝12.答案：125．已知tan(3π－α)＝2，则α－3π＋π－α－α－π＋α的值为________．解析：∵tan(3π－α)＝2，∴tan α＝－2，∴原式＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝－tan α－1－tan α＋1＝2－12＋1＝13. 答案：136．已知cos31°＝m ，则sin239°tan149°的值为________．解析：∵cos31°＝m ，∴sin31°＝1－m 2，∵sin239°tan149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝(－cos31°)·(－tan31°)＝1－m 2.答案：1－m 27．函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图象中相邻两支截直线y ＝14所得的线段长为π4，则f (π4)的值是________．解析：由题意知T ＝π4，所以ω＝4，所以f (x )＝tan4x ，所以f (π4)＝tan π＝0.答案：08．函数f (x )＝(13)|cos x |在[－π，π]上的单调递减区间为________．解析：只需求出y ＝|cos x |在[－π，π]上的单调递增区间．答案：[－π2，0]和[π2，π]9．(2018年高考湖北卷改编)函数f (x )＝3sin(x 2－π4)，x ∈R 的最小正周期为________．解析：因为T ＝2π|ω|，ω＝12，所以T ＝2π12＝4π.答案：4π10．(2018年高考重庆卷改编)下列函数中，周期为π，且在[π4，π2]上为减函数的是________(填序号)．①y ＝sin(2x ＋π2)； ②y ＝cos(2x ＋π2)；③y ＝sin(x ＋π2); ④y ＝cos(x ＋π2)．解析：因为函数的周期为π，所以排除③④，又因为y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin2x 在[π4，π2]上为增函数，所以②不符合，只有函数y ＝sin(2x ＋π2)的周期为π，且在[π4，π2]上为减函数． 答案：①11．(2018年高考四川卷改编)将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式为________．解析：y ＝sin xy ＝sin(x －π10)――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变y ＝sin(12x －π10)． 答案：y ＝sin(12x －π10)12．设ω＞0，函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是________．解析：由函数的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，得43π是此函数周期的整数倍．又ω＞0，∴2πω·k ＝43π(k ∈Z)，∴ω＝32k (k ∈Z)，∴ωmin ＝32.答案：3213．设函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象的最大值是3，对称轴方程是x ＝π6，要使图象的解析式为y ＝3sin(2x ＋π6)，还应给出一个条件是________．解析：当T ＝π时，ω＝2，y ＝3sin(2x ＋φ)，当x ＝π6时，y ＝3sin(2×π6＋φ)＝3，φ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，则φ＝k π＋π6，k ∈Z.∵|φ|＜π＋π2，∴φ＝π＋π6.答案：T ＝π14．已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数(0＜θ＜π)，其图象与直线y ＝2的交点的横坐标为x 1、x 2，若|x 1－x 2|的最小值为π，则ω＝________，θ＝________.解析：由已知T ＝π，∴ω＝2，θ＝k π＋π2(k ∈Z)．答案：2 π2二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知角x 的终边过点P (1，3)．(1)求sin(π－x )－sin(π2＋x )的值；(2)写出角x 的集合S .解：(1)∵角x 的终边过点P (1，3)，∴可设x ＝1，y ＝3，则r ＝2，∴sin x ＝32，cos x＝12，∴sin(π－x )－sin(π2＋x )＝sin x －cos x ＝3－12. (2)由(1)知sin x ＝32，∴x ＝2k π＋π3， ∴S ＝{x |x ＝2k π＋π3，k ∈Z}．16．(本小题满分14分)已知α是第三象限角，且f (α)＝α－π23π2＋απ－α－α－π－π－α.(1)化简f (α)；(2)若cos(α－3π2)＝15，求f (α)的值．解：(1)f (α)＝－cos α·sin α－tan α－tan α·sin α＝－cos α.(2)∵cos(α－3π2)＝cos(－3·π2＋α)＝－sin α＝15，∴sin α＝－15，cos α＝－1－－152＝－265，∴f (α)＝265.17．(本小题满分14分)已知f (x )＝sin(2x ＋π6)＋32，x ∈R.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；(2)函数f (x )的图象可以由函数y ＝sin2x (x ∈R)的图象经过怎样的变换得到？解：(1)函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z) 得到k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z)，所求单调增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z)．(2)变换如下：y ＝sin2xy ＝sin[2(x ＋)]y ＝sin(2x ＋π6)＋3218．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝1＋2sin(2x －π4)，(1)求函数f (x )的最小正周期和最大值；(2)画出函数y ＝f (x )在区间[－π2，π2]上的图象．解：(1)函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，当sin(2x －π4)＝1时，f (x )取得最大值1＋ 2.(2)由(1)知：x －3π8 －π8 π8 3π85π8 y 1 1－2 1 1＋21故函数y ＝f (x )在区间[－2，2]上的图象如图所示．19．(本小题满分16分)(2018年杭州高一检测)函数f 1(x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的一段图象过点(0,1)，如图所示．(1)求函数f 1(x )的表达式；(2)将函数y ＝f 1(x )的图象向右平移π4个单位，得到函数y ＝f 2(x )的图象，求y ＝f 2(x )的最大值，并求出此时自变量x 的取值．解：(1)由图知，T ＝π，于是ω＝2πT ＝2.将y ＝A sin2x 的图象向左平移π12，得y ＝A sin(2x＋φ) 的图象，于是φ＝2·π12＝π6.将(0,1)代入y ＝A sin(2x ＋π6)，得A ＝2.故f 1(x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)依题意，f 2(x )＝2sin[2(x －π4)＋π6]＝－2cos(2x ＋π6)，当2x ＋π6＝2k π＋π，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z) 时，y max ＝2.此时x 的取值为{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z}．20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，且ω＞0,0＜φ＜π2)的部分图象如图所示．(1)求A ，ω，φ的值；(2)若方程f (x )＝a 在(0，5π3)上有两个不同的实根，试求a 的取值范围．解：(1) 由图象易知A ＝1，函数f (x )的周期为T ＝4×(7π6－2π3)＝2π，∴ω＝1，∵π－2π3＝π3，∴ 此函数的图象是由y ＝sin x 的图象沿x 轴向左平移π3个单位长度得到的，故φ＝π3.(2)由(1)知函数解析式为f (x )＝sin(x ＋π3)．∴方程f (x )＝a 在(0，5π3)上有两个不同的实根等价于y ＝f (x )，x ∈(0，53π)与y ＝a 有两个交点．当x ＝0时，f (x )＝32，∴ a ∈(32，1)时，y ＝a 与y ＝f (x )有两个交点； 当x ＝53π时，f (x )＝0，∴a ∈(－1,0)时，y ＝a 与y ＝f (x )也有两个交点，故所求a ∈(32，1)∪(－1,0)．。
高中数学 第四章 圆与方程章末综合检测(含解析)新人教
【优化方案】2013-2014学年高中数学 第四章 圆与方程章末综合检测（含解析）新人教A 版必修2(时间：100分钟；满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示一个圆，则m 的范围是( )A ．m <12B ．m <2C ．m ≤12D ．m ≤2 解析：选A.由(－1)2＋12－4m >0得m <12.故选A. 2．圆x 2＋y 2－8x ＋6y ＋16＝0与圆x 2＋y 2＝64的位置关系是( )A ．相交B ．相离C ．内切D ．外切解析：选C.圆x 2＋y 2－8x ＋6y ＋16＝0可化为(x －4)2＋(y ＋3)2＝9.圆心距为42＋(－3)2＝5，由于8－3＝5，故两圆内切．3．若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3解析：选B.化圆为标准形式为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，圆心为(－1,2)．∵直线过圆心， ∴3×(－1)＋2＋a ＝0，∴a ＝1.4．直线x －2y －3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E ，F 两点，则△EOF (O 是原点)的面积为( )A.32B.34C ．2 5D .655解析：选D.该圆的圆心为A (2，－3)，半径r ＝3，圆心到直线的距离d ＝|2＋6－3|1＋4＝5，弦长为2r 2－d 2＝29－5＝4，又原点到直线的距离为|0－0－3|1＋4＝35， 所以S ＝12×4×35＝655. 5．以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝3B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝3C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝9解析：选C.由题意知，圆的半径r ＝|3×2＋(－4)×(－1)＋5|32＋(－4)2＝3，故所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9.6．与圆(x －2)2＋y 2＝1外切，且与y 轴相切的动圆圆心P 的轨迹方程为( )A ．y 2＝6x －3B ．y 2＝2x －3C ．x 2＝6y －3D ．x 2－4x －2y ＋3＝0解析：选A.设P (x ，y )，则(x －2)2＋y 2－1＝x ，移项平方得y 2＝6x －3.7．设实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，那么y x的最大值是( ) A.12 B.33C.32D. 3 解析：选D.如图所示，设过原点的直线方程为y ＝kx ，则与圆有交点的直线中，k max ＝3，∴y x的最大值为 3.故选D.8．设点P (a ，b ，c )关于原点的对称点为P ′，则|PP ′|＝( )A.a 2＋b 2＋c 2 B ．2a 2＋b 2＋c 2C ．|a ＋b ＋c |D ．2|a ＋b ＋c |解析：选 B.P (a ，b ，c )关于原点的对称点P ′(－a ，－b ，－c )，则|PP ′|＝(2a )2＋(2b )2＋(2c )2＝2a 2＋b 2＋c 2，故选B.9．圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)关于直线y ＝x －1对称，则( )A ．D ＋E ＝2B ．D －E ＝－1C ．D －E ＝－2 D ．D ＋E ＝1解析：选C.圆的对称轴是圆的直径所在的直线，这是圆的性质，也是题中的隐含条件，所以圆心⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2在直线y ＝x －1上，所以－E 2＝－D 2－1，D －E ＝－2，故选C. 10．与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －2)2＝2B ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝2C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2D ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝2解析：选A.设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.如图，当已知圆与所求圆圆心连接垂直于已知直线时，半径最小，此时2r ＋32等于已知圆圆心到已知直线的距离， 即|6＋6－2|2＝2r ＋32， 解得：r ＝2，则⎩⎨⎧ b －6a －6＝1，|a ＋b －2|2＝2，解得：a ＝2，b ＝2.∴所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.二、填空题(本大题共5小题，请把正确的答案填在题中的横线上)11．直线l ：y ＝k (x ＋3)与圆O ：x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，|AB |＝22，则实数k ＝________.解析：由已知可求出圆心O 到直线l 的距离d ＝2，即|3k |1＋k 2＝2，解得k ＝±147. 答案：±14712．点P 为圆x 2＋y 2＝1上的动点，则点P 到直线3x －4y －10＝0的距离的最小值为________． 解析：点P 到直线3x －4y －10＝0距离的最小值为圆心到直线的距离减半径．d min ＝1032＋42－1＝105－1＝1. 答案：113．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A 、B 两点，则线段AB 的中垂线方程为________．解析：AB 的中垂线即为圆C 1、圆C 2的连心线C 1C 2.又C 1(3,0)，C 2(0,3)，所以C 1C 2的方程为x ＋y －3＝0.答案：x ＋y －3＝014．已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆心C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________．解析：由题意，设所求的直线方程为x ＋y ＋m ＝0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知：(|a －1|2)2＋2＝(a －1)2，解得a ＝3或－1， 又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a ＝3，故圆心坐标为(3,0)， 因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以有3＋0＋m ＝0，即m ＝－3，故所求的直线方程为x ＋y －3＝0.答案：x ＋y －3＝0.15．若圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝R 2上有且仅有两个点到直线4x ＋3y ＝11的距离等于1，则半径R 的取值范围是________．解析：圆心到直线的距离为2，又圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝R 2上有且仅有两个点到直线4x ＋3y ＝11的距离等于1，结合图形(图略)可知，半径R 的取值范围是1<R <3.答案：(1,3)三、解答题(本大题共5小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．过点P (－1,2)作圆x 2＋y 2－2x ＋4y －15＝0的切线，求切线方程．解：因为(－1)2＋22－2×(－1)＋4×2－15＝0，所以P (－1,2)在圆上，所以该圆过点P 的切线有且只有一条．因为圆的方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝20，所以圆心坐标为C (1，－2)，所以k pc ＝2＋2－1－1＝－2，所以k 切＝12，所以切线方程为x －2y ＋5＝0. 17．已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P (2,2)，过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点．(1)当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程；(2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程．解：(1)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9的圆心为C (1,0)，因直线l 过点P 、C ，所以直线l 的斜率为2，直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.(2)当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC ，直线l 的方程为y －2＝－12(x －2)， 即x ＋2y －6＝0.18．如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝|AD |＝3，|AA 1|＝2，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 的中点，求M 、N 两点间的距离．解：如图，分别以AB 、AD 、AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． 由题意可知C (3,3,0)，D (0,3,0)，∵|DD 1|＝|CC 1|＝2，∴C 1(3,3,2)，D 1(0,3,2)．∵N 为CD 1的中点，∴N ⎝⎛⎭⎫32，3，1. M 是A 1C 1的三等分点且靠近点A 1，∴M (1,1,2)．由两点间距离公式，得|MN |＝ ⎝⎛⎭⎫32－12＋(3－1)2＋(1－2)2＝212.19．已知两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0. (1)试判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在的直线方程；(3)求公共弦的长度．解：(1)将两圆方程配方化为标准方程， C 1：(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝10.则圆C 1的圆心为(1，－5)，半径r 1＝52； 圆C 2的圆心为(－1，－1)，半径r 2＝10.又|C 1C 2|＝25，r 1＋r 2＝52＋10，r 1－r 2＝52－10.∴r 1－r 2<|C 1C 2|<r 1＋r 2，∴两圆相交．(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x －2y ＋4＝0.(3)法一：两方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0 ①x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0 ② 两式相减得x ＝2y －4③，把③代入②得y 2－2y ＝0，∴y 1＝0，y 2＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－4y 1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝0y 2＝2， 所以交点坐标为(－4,0)和(0,2)．∴两圆的公共弦长为(－4－0)2＋(0－2)2＝2 5.法二：两方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0 ①x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0 ②， 两式相减得x －2y ＋4＝0，即两圆相交弦所在直线的方程；由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，其圆心为C 1(1，－5)，半径r 1＝5 2.圆心C 1到直线x －2y ＋4＝0的距离d ＝|1－2×(－5)＋4|1＋(－2)2＝35，设公共弦长为2l ，由勾股定理r 2＝d 2＋l 2，得50＝45＋l 2，解得l ＝5，所以公共弦长2l ＝2 5.20．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，是否存在斜率为1的直线l ，使以l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：圆C 化成标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝32.假设存在以AB 为直径的圆M ，圆心M 的坐标为(a ，b )，由于CM ⊥l ，∴k CM ·k l ＝－1，∴k CM ＝b ＋2a －1＝－1， 即a ＋b ＋1＝0，得b ＝－a －1.①直线l 的方程为y －b ＝x －a ，即x －y ＋b －a ＝0，|CM |＝|b －a ＋3|2. ∵以AB 为直径的圆M 过原点，∴|MA |＝|MB |＝|OM |，|MB |2＝|CB |2－|CM |2＝9－(b －a ＋3)22，|OM |2＝a 2＋b 2，∴9－(b －a ＋3)22＝a 2＋b 2.②把①代入②得2a 2－a －3＝0.∴a ＝32或a ＝－1.当a ＝32时，b ＝－52，此时直线l 的方程为x －y －4＝0；当a ＝－1时，b ＝0，此时直线l 的方程为x －y ＋1＝0.故这样的直线l 是存在的，方程为x －y －4＝0或x －y ＋1＝0.。
21-22版：章末检测试卷(四)(步步高)
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3.平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是
√A.2x＋y＋5＝0 或 2x＋y－5＝0
C.2x－y＋5＝0 或 2x－y－5＝0
B.2x＋y＋ 5＝0 或 2x＋y－ 5＝0 D.2x－y＋ 5＝0 或 2x－y－ 5＝0
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12.已知直线 3x－y－4＝0 与圆 x2＋(y－2)2＝25 交于 A,B 两点,P 为圆上异于 A,B 的动
点,则△ABP 的面积的最大值为
A.8
B.16
√C.32
D.64
解析 设与直线 3x－y－4＝0 平行的直线 l 的方程为 3x－y＋c＝0.
当直线l与圆相切时,由圆心到直线距离等于半径,得c＝12或c＝－8.
显然,当 c＝12 时,直线 l 与圆的切点到直线 3x－y－4＝0 的距离(两条平行线间的距 离)最大且为 h＝|12－2－4|＝8, 又可得弦|AB|＝8,所以△ABP 的面积的最大值为 S＝12×8h＝32.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
9.圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0关于直线x－y＝1对称的圆的方程为x2＋y2＝1,则实数a的
值为
A.0
பைடு நூலகம்
B.1
C.±2
2018年新人教A版高中数学必修4全册同步检测含答案解析
2018年新人教A版高中数学必修四全册同步检测目录第1章1.1-1.1.1任意角第1章1.1-1.1.2弧度制第1章1.2-1.2.1任意角的三角函数第1章1.2-1.2.2同角三角函数的基本关系第1章1.3第1课时诱导公式二、三、四第1章1.3第2课时诱导公式五、六第1章1.4-1.4.1正弦函数、余弦函数的图象第1章1.4-1.4.2第1课时正、余弦函数的周期性与奇偶性第1章1.4-1.4.2第2课时正、余弦函数的单调性与最值第1章1.4-1.4.3正切函数的性质与图象第1章1.5函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象第1章1.6三角函数模型的简单应用第1章章末复习课第1章单元评估验收(一)第2章2.1平面向量的实际背景及基本概念第2章2.2-2.2.2向量减法运算及其几何意义第2章2.2-2.2.3向量数乘运算及其几何意义第2章2.3-2.3.1平面向量基本定理第2章2.3-2.3.3平面向量的坐标运算第2章2.3-2.3.4平面向量共线的坐标表示第2章2.4-2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义第2章2.4-2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角第2章2.5平面向量应用举例第2章章末复习课第2章单元评估验收(二)第3章3.1-3.1.1两角差的余弦公式第3章3.1-3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式第3章3.1-3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式第3章3.2简单的三角恒等变换第3章章末复习课第3章单元评估验收(三)模块综合评价第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.1.1 任意角A级基础巩固一、选择题1．已知A＝{第二象限角}，B＝{钝角}，C＝{大于90°的角}，那么A、B、C关系是()A．B＝A∩C B．B∪C＝CC．A C D．A＝B＝C解析：钝角大于90°，小于180°，故B C，选项B正确．答案：B2．若角α的终边经过点M(0，－3)，则角α()A．是第三象限角B．是第四象限角C．既是第三象限角，又是第四象限角D．不是任何象限的角解析：因为点M(0，－3)在y轴负半轴上，所以角α的终边不在任何象限．答案：D3．若α是第四象限角，则－α一定在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：因为α是第四象限角，所以k·360°－90°＜α＜k·360°，k∈Z.所以－k·360°＜－α＜－k·360°＋90°，k∈Z，由此可知－α是第一象限角．答案：A4．终边与坐标轴重合的角α的集合是()A．{α|α＝k·360°，k∈Z}B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}C．{α|α＝k·180°，k∈Z}D．{α|α＝k·90°，k∈Z}解析：终边在坐标轴上的角为90°或90°的倍数角，所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}．答案：D5．下面说法正确的个数为()(1)第二象限角大于第一象限角；(2)三角形的内角是第一象限角或第二象限角；(3)钝角是第二象限角．A．0 B．1 C．2 D．3解析：第二象限角如120°比第一象限角390°要小，故(1)错；三角形的内角可能为直角，直角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故(2)错；(3)中钝角是第二象限角是对的．所以正确的只有1个．答案：B二、填空题6．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是________．解析：顺时针方向旋转3周转了－(3×360°)＝－1 080°.又50°＋(－1 080°)＝－1 030°，故所得的角为－1 030°.答案：－1 030°7．若α为锐角，则角－α＋k·360°(k∈Z)是第________象限角．解析：α为锐角，则角α是第一象限角，所以角－α是第四象限角，又因为角－α＋k·360°(k∈Z)与－α的终边相同，所以角－α＋k·360°(k∈Z)是第四象限角．答案：四8．在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为________．解析：根据终边相同角定义知，与－60°终边相同角可表示为β＝－60°＋k·360°(k∈Z)，当k＝1时β＝300°与－60°终边相同，终边在其反向延长线上且在0°～360°范围内角为120°.答案：120°，300°三、解答题9.如图所示，写出阴影部分(包括边界)的角的集合，并指出－950°12′是否是该集合中的角．解：题图阴影部分(包括边界)的角的范围是k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z，所求集合为{α|k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z}，因为－950°12′＝－3×360°＋129°48′，所以－950°12′不是该集合中的角．10．已知角β的终边在直线3x－y＝0上．(1)写出角β的集合S；(2)写出S中适合不等式－360°＜β＜720°的元素．解：(1)因为角β的终边在直线3x－y＝0上，且直线3x－y＝0的倾斜角为60°，所以角β的集合S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}．(2)在S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}中，取k＝－2，得β＝－300°，取k＝－1，得β＝－120°，取k＝0，得β＝60°，取k＝1，得β＝240°，取k＝2，得β＝420°，取k＝3，得β＝600°.所以S中适合不等式－360°＜β＜720°的元素分别是－300°，－120°，60°，240°，420°，600°.B级能力提升1．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B等于()A．{－36°，54°} B．{－126°，144°}C．{－126°，－36°，54°，144°} D．{－126°，54°}解析：令k＝－1，0，1，2，则A，B的公共元素有－126°，－36°，54°，144°.答案：C2．如图，终边落在OA的位置上的角的集合是________；终边落在OB的位置上，且在－360°～360°内的角的集合是________．解析：终边落在OA的位置上的角的集合是{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB的位置上的角的集合是{α|α＝315°＋k·360°，k∈Z}(或{α|α＝－45°＋k·360°，k∈Z})，取k＝0，1，得α＝315°，－45°，所求的集合是{－45°，315°}．答案：{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}{－45°，315°}3．已知角α的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题：(1)集合M有几类终边不相同的角？(2)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？(3)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式．解：(1)集合M的角可以分成四类，即终边分别与－150°，－60°，30°，120°的终边相同的角．(2)令－360°<30°＋k·90°<360°，则－133<k<113，又因为k∈Z，所以k＝－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，所以集合M中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330，－240°，－150，－60°，30°，120°，210°，300.(3)集合M中的第二象限角与120°角的终边相同，所以β＝120°＋k·360°，k∈Z.第一章 三角函数 1.1 任意角和弧度制1.1.2 弧度制A 级 基础巩固一、选择题1．下列说法中，错误的是( ) A ．半圆所对的圆心角是π rad B ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度解析：根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A 、B 、C 均正确，D 错误． 答案：D2．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( ) A.143π B ．－143π C.718π D ．－718π解析：显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了73周，转过的弧度为－73×2π＝－143π. 答案：B3．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( ) A.403π B.203πC.2003π D.4003π 解析：240°＝240180π＝43π，所以弧长l ＝|α|·r ＝43π×10＝403π.答案：A4．把－11π4表示成θ＋2k π(k ∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( )A ．－3π4B ．－π4C.π4D.3π4解析：令－11π4＝θ＋2k π(k ∈Z)，则θ＝－11π4－2k π(k ∈Z)．取k ≤0的值，k ＝－1时，θ＝－3π4，|θ|＝3π4；k ＝－2时，θ＝5π4，|θ|＝5π4>3π4；k ＝0时，θ＝－11π4，|θ|＝11π4>3π4.答案：A5．一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) A.π2 B.π3 C. 3D. 2解析：设圆内接正方形的边长为a ，则该圆的直径为2a ， 所以弧长等于a 的圆弧所对的圆心角为α＝l r ＝a22a ＝ 2.答案：D二、填空题6．π12 rad ＝________度，________ rad ＝－300°. 解析：π12＝180°12＝15°；－300°＝－300×π180＝－5π3.答案：15 －5π37．已知扇形的圆心角为60°，半径为3，则扇形的面积是________． 解析：因为60°＝π3 rad则扇形的面积S ＝12×π3×32＝32π.答案：32π8．(1)1°的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为________米； (2)1 rad 的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为______米． 解析：(1)因为|α|＝1°＝π180，l ＝1，所以r ＝l|α|＝1π180＝180π.(2)因为l ＝1，|α|＝1，所以r ＝l|α|＝1. 答案：(1)180π (2)1三、解答题 9．已知α＝2 000°.(1)把α写成2k π＋β [k ∈Z ，β∈[0，2π)]的形式； (2)求θ，使得θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π)．解：(1)α＝2 000°＝5×360°＋200°＝10π＋109π. (2)θ与α的终边相同，故θ＝2k π＋109π，k ∈Z ， 又θ∈(4π，6π)，所以k ＝2时，θ＝4π＋109π＝46π9.10．用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合．解：(1)如题图①，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12， 所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪2k π－π6＜θ＜2k π＋5π12，k ∈Z .(2)如题图②，因为30°＝π6，210°＝7π6，这两个角的终边所在的直线相同，因此终边在直线AB 上的角为α＝k π＋π6，k ∈Z ，又终边在y 轴上的角为β＝k π＋π2，k ∈Z ，从而终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪k π＋π6＜θ＜k π＋π2，k ∈Z .B 级 能力提升1．集合⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中角的终边所在的范围(阴影部分)是( )解析：当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π4≤α≤2m π＋π2，m ∈Z ；当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，2m π＋5π4≤α≤2m π＋3π2，m ∈Z ，所以选C.答案：C2．钟表的时间经过了一小时，则时针转过了________rad.解析：钟表的时针是按顺时针的方向旋转的，经过12小时，时针转过－2π rad ，所以经过一小时，时针转过－π6rad.答案：－π63．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.求α(∠AOB )所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .解：由⊙O 的半径r ＝10＝AB ，知△AOB 是等边三角形， 所以α＝∠AOB ＝60°＝π3.所以弧长l ＝a ·r ＝π3×10＝10π3，所以S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3，又S △AOB ＝12·AB ·53＝12×10×53＝5032，所以S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32.第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数A 级 基础巩固一、选择题1．已知角α终边经过P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则cos α等于( )A.12B.32C.33 D ．±12解析：由三角函数定义可知，角α的终边与单位圆交点的横坐标为角α的余弦值，故cos α＝32. 答案：B2．如果MP 和OM 分别是角α＝7π8的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是( )A ．MP ＜OM ＜0B ．OM ＞0＞MPC ．OM ＜MP ＜0D ．MP ＞0＞OM解析：因为78π是第二象限角，所以sin 78π＞0，cos 78π＜0，所以MP ＞0，OM ＜0， 所以MP ＞0＞OM . 答案：D3．若α＝2π3，则α的终边与单位圆的交点P 的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32C.⎝⎛⎭⎪⎫－32，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32解析：设P (x ，y )，因为角α＝2π3在第二象限，所以x ＝－12，y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝32，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.答案：B4．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β＜0，则此三角形必为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上三种情况都可能解析：因为sin αcos β＜0，α，β∈(0，π)，所以sin α＞0，cos β＜0，所以β为钝角．答案：B5．函数y ＝11＋sin x的定义域为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠3π2＋2k π，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋2k π，k ∈ZC.{}x |x ≠2k π，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－3π2＋2k π，k ∈Z解析：因为1＋sin x ≠0，所以sin x ≠－1.又sin 3π2＝－1，所以x ≠3π2＋2k π，k ∈Z.答案：A 二、填空题6．(2016·四川卷)sin 750°＝________．解析：sin 750°＝sin(30°＋2×360°)＝sin 30°＝12.答案：127．sin 1 485°的值为________．解析：sin 1 485°＝sin(4×360°＋45°)＝sin 45°＝22.答案：228．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是MP ，OM ，AT ，则它们从大到小的顺序为____________．解析：作图如下，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，所以θ >π4，根据三角函数线的定义可知AT >MP >OM .答案：AT >MP >OM 三、解答题9．求下列各式的值：(1)sin(－1 320°)cos(1 110°)＋cos(－1 020°)sin 750°； (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233π＋tan 17π4.解：(1)原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝32×32＋12×12＝1.(2)原式＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋（－4）×2π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2×2π＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.10．已知P (－2，y )是角α终边上一点，且sin α＝－55，求cos α与tan α的值．解：因为点P 到原点的距离为r ＝4＋y 2， 所以sin α＝y 4＋y 2＝－55，所以y 2＋4＝5y 2，所以y 2＝1.又易知y <0，所以y ＝－1，所以r ＝5， 所以cos α＝－25＝－255，tan α＝－1－2＝12.B 级 能力提升1．若α是第三象限角，则|sin α|sin α－cos α|cos α|＝( )A ．0B ．1C ．2D ．－2解析：因为α是第三象限角，所以sin α<0，cos α<0， 所以|sin α|sin α－cos α|cos α|＝－1－(－1)＝0. 答案：A2．已知角α的终边过点(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos α＝________． 解析：因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos θ<0， 所以点(－3cos θ，4cos θ)到原点的距离r ＝5|cos θ|＝－5cos θ， 所以cos α＝－3cos θ－5cos θ＝35.答案：353．利用三角函数线，写出满足|cos α|＞|sin α|的角α的集合． 解：如图，作出单位圆．所以角α满足的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪k π－π4＜α＜k π＋π4，k ∈Z .第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系A 级 基础巩固一、选择题1．化简1－sin 2160°的结果是( ) A ．cos 160° B ．－cos 160° C ．±cos 160° D ．±|cos 160°| 解析：1－sin 2160°＝cos 2160°＝|cos 160°|＝－cos 160°. 答案：B2．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＝35，则tan α＝( )A.34 B ．－34 C.43 D ．－43解析：由sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π得cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34.答案：B3．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则三角形是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形解析：将sin α＋cos α＝23两边平方，得1＋2sin αcos α＝49，即2sin α·cos α＝－59.又α是三角形的内角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以α为钝角．答案：A4．若sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5，则m 的值为( )A ．0B ．8C ．0或8D ．3<m <9解析：由sin 2θ＋cos 2θ＝1得⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1，解得m ＝0或8. 答案：C5．已知sin αcos α＝18，且π＜α＜5π4，则cos α－sin α的值为( )A.32B ．－32C.34 D ．－34解析：(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，因为π＜α＜54π，所以cos α＜sin α，所以cos α－sin α＜0， 所以cos α－sin α＝－34＝－32. 答案：B 二、填空题6．在△ABC 中，若cos(A ＋B )>0，sin C ＝13，则tan C 等于________．解析：在△ABC 中，因为cos(A ＋B )>0， 所以0<A ＋B <π2，又C ＝π－(A ＋B )，所以角C 是钝角，所以cos C ＝－ 1－sin 2C ＝－223，所以tan C ＝sin C cos C ＝13－223＝－24.答案：－247．若4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝10，则tan α的值为________．解析：因为4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝10，所以4sin α－2cos α＝50cos α＋30sin α， 所以26sin α＝－52cos α，即sin α＝－2cos α. 所以tan α＝－2. 答案：－28．已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15，则sin x －cos x ＝________．解析：由sin x ＋cos x ＝15，平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，即2sin x cos x ＝－2425，所以(sin x －cos x )2＝1－2sin x ·cos x ＝4925，又因为－π2<x <0，所以sin x <0，cos x >0，sin x －cos x <0，所以sin x －cos x ＝－75.答案：－75三、解答题9．已知tan α＝23，求下列各式的值；(1)1sin αcos α； (2)sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2α.解：(1)1sin αcos α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝tan 2α＋1tan α＝136.(2)sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2 a ＝ sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－2tan α＋4tan 2α＋1＝49－43＋449＋1＝2813.10．化简：tan α·1sin2α－1(α是第二象限角)． 解：tan α·1sin2α－1＝tan α·1－sin2αsin2α＝tan α·cos2αsin2α＝sin αcos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos αsin α. 因为α为第二象限角， 所以sin α＞0，cos α＜0， 所以原式＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1.B 级 能力提升1．已知α是锐角，且tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根，则sin α＝( ) A.45 B.35 C.25 D.15解析：因为方程4x 2＋x －3＝0的根为x ＝34或x ＝－1，又因为tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根且α为锐角， 所以tan α＝34，所以sin α＝34cos α，即cos α＝43sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1， 所以sin 2α＋169sin 2α＝1， 所以sin 2α＝925(α为锐角)，所以sin α＝35.答案：B 2．使1－cos α1＋cos α＝cos α－1sin α成立的α的范围是__________．解析：1－cos α1＋cos α＝（1－cos α）2sin 2α＝1－cos α|sin α|＝cos α－1sin α，所以sin α<0，故2k π－π<α<2k π，k ∈Z. 答案：{α|2k π－π<α<2k π，k ∈Z}3．求证：sin α(1＋tan α)＋cos α·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan α＝1sin α＋1cos α. 证明：左边＝sin α·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin αcos α＋cos α·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos αsin α ＝sin α＋sin2αcos α＋cos α＋cos2αsin α＝sin2α＋cos2αsin α＋sin2α＋cos2αcos α＝1sin α＋1cos α＝右边．即原等式成立．第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 第1课时 诱导公式二、三、四A 级 基础巩固一、选择题1．sin 7π6的值是( )A ．－12B ．－2C ．2 D.12解析：sin 7π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π6＝－sin π6＝－12.答案：A2．sin 600°＋tan(－300°)的值是( ) A ．－32 B.32 C ．－12＋ 3 D.12＋ 3 解析：原式＝sin(360°＋240°)＋tan(－360°＋60°)＝－sin 60°＋tan 60°＝32. 答案：B3．已知sin(π＋α)＝35，α为第三象限角，则cos(π－α)＝( )A.35 B ．－35 C.45 D ．－45解析：因为sin (π＋α)＝35，所以sin α＝－35.因为α为第三象限角，所以cos α＝－45.所以cos (π－α)＝－cos α＝45.答案：C4．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β∈R ，若f (2 017)＝5，则f (2 018)等于( )A ．4B ．3C ．－5D ．5解析：因为f (2 017)＝a sin (2 017π＋α)＋b cos (2 017π＋β)＝－a sin α－b cos β＝5，所以f (2 018)＝a sin (2 018π＋α)＋b cos (2 018π＋β)＝a sin α＋b cos β＝－5.答案：C5．设tan(5π＋α)＝m ，则sin （α＋3π）＋cos （π＋α）sin （－α）－cos （π＋α）的值等于( )A.m ＋1m －1B.m －1m ＋1 C ．－1D ．1解析：因为tan(5π＋α)＝tan[4π＋(π＋α)]＝ tan(π＋α)＝tan α，所以tan α＝m ；所以原式＝sin （π＋α）－cos α－sin α＋cos α＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1. 答案：A 二、填空题6．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝________．解析：因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝－13.答案：－137．已知sin(π＋α)＝45，且α是第四象限角，则cos(α－2π)＝________．解析：由sin(π＋α)＝－sin α，得sin α＝－45.故cos(α－2π)＝cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝35.答案：358．化简sin 2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值是________． 解析：原式＝(－sin α)2－(－cos α)·cos α＋1＝ sin 2α＋cos 2α＋1＝2. 答案：2 三、解答题9．计算下列各式的值：(1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5；(2)sin 420°cos 330°＋sin(－690°)cos(－660°)．解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π5＋cos 4π5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π5＋cos3π5＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos π5＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π5＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 2π5＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－2π5＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π5－cos π5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π5－cos2π5＝0. (2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)·cos(－2×360°＋60°)＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60°＝ 32×32＋12×12＝1. 10．已知sin(α＋π)＝45，且sin αcos α<0，求2sin （α－π）＋3tan （3π－α）4cos （α－3π）的值．解：因为sin(α＋π)＝45，所以sin α＝－45，又因为sin αcos α<0， 所以cos α>0，cos α＝ 1－sin 2α＝35，所以tan α＝－43.所以原式＝－2sin α－3tan α－4cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－434×35＝－73.B 级 能力提升1．下列三角函数：①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π6；③sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π3；④cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π6；⑤sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π3，上述中的n ∈Z.其中与sin π3的值相同的是( )A ．①②B ．①③④C ．②③⑤D ．①③⑤解析：①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋43π＝⎩⎨⎧sin π3（n 为奇数），－sin π3（n 为偶数）；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π6＝cos π6＝sin π3；③sin ⎝⎛⎭⎪⎫2n π＋π3＝sin π3；④cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π6＝cos 5π6＝－sin π3；⑤sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π3＝sin π3.答案：C2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx （x <0），f （x －1）－1（x >0），则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝________．解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π＝sin π6＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56－1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16－2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－2＝－52， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝12－52＝－2. 答案：－23．已知α是第二象限角，且tan α＝－2. (1)求cos 4α－sin 4α的值；(2)设角k π＋α(k ∈Z)的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于点P ，求点P 的坐标． 解：(1)原式＝(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－（－2）21＋（－2）2＝－35.(2)由tan α＝－2得sin α＝－2cos α， 代入sin 2α＋cos 2α＝1得cos 2α＝15，因为α是第二象限，所以cos α<0， 所以cos α＝－55，sin α＝tan αcos α＝255. 当k 为偶数时，P 的坐标⎩⎨⎧x ＝cos （k π＋α）＝cos α＝－55，y ＝sin （k π＋α）＝sin α＝255，即P ⎝⎛⎭⎪⎫－55，255. 当k 为奇数时，P 的坐标⎩⎨⎧x ＝cos （k π＋α）＝cos （π＋α）＝－cos α＝55，y ＝sin （k π＋α）＝sin （π＋α）＝－sin α＝－255， 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫55，－255. 综上，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－55，255或⎝ ⎛⎭⎪⎫55，－255.第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 第2课时 诱导公式五、六A 级 基础巩固一、选择题1．sin 95°＋cos 175°的值为( ) A ．sin 5° B ．cos 5° C ．0D ．2sin 5°解析：原式＝cos 5°－cos 5°＝0. 答案：C2．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ<0，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ>0，则θ是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：由于sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ>0.所以角θ的终边落在第二象限．答案：B3．如果角θ的终边经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＋cos(π－θ)＋tan(2π－θ)＝( ) A ．－43B.43C.34D ．－34解析：易知sin θ＝45，cos θ＝－35，tan θ＝－43.原式＝cos θ－cos θ－tan θ＝43.答案：B4．若角A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( ) A ．cos(A ＋B )＝cos C B ．sin(A ＋B )＝－sin C C ．cos A ＋C2＝sin BD ．sin B ＋C 2＝cos A2解析：因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋B ＝π－C ，A ＋C 2＝π－B 2，B ＋C 2＝π－A2，所以cos(A ＋B )＝cos (π－C )＝－cos C ， sin(A ＋B )＝sin (π－C )＝sin C ，cos A ＋C 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 2＝sin B2，sin B ＋C 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 2＝cos A 2.答案：D5．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝( ) A ．－223 B ．－13C.13D.223解析：因为π6－α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13答案：C 二、填空题6．若cos α＝15，且α是第四象限角，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝________．解析：因为cos α＝15，且α是第四象限角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝－265.所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α＝265.答案：2657．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝1010，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝________． 解析：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝1010，所以cos α＝1010.又因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－cos α，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－1010.答案：－10108．sin 21°＋sin 22°＋sin 245°＋sin 288°＋sin 289°＝________．解析：原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋sin 245°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝1＋1＋12＝52.答案：52三、解答题9．化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos （π＋α）＋sin （π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin （π＋α）.解：因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α，cos (π＋α)＝－cos α，sin (π－α)＝sin α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α，sin (π＋α)＝－sin α， 所以原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α·（－sin α）－sin α＝－sin α＋sin α＝0.10．已知cos α＝－45，且α为第三象限角．(1)求sin α的值；(2)求f (α)＝tan （π－α）·sin （π－α）·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos （π＋α）的值．解：(1)因为cos α＝－45，且α为第三象限角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝－35.(2)f (α)＝－tan α·sin α·cos α－cos α＝tan αsin α＝sin αcos α·sin α＝－35－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－920. B 级 能力提升1．已知f (x )＝sin x ，下列式子成立的是( ) A ．f (x ＋π)＝sin xB ．f (2π－x )＝sin xC ．f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos xD ．f (π－x )＝－f (x )解析：f (x ＋π)＝sin(x ＋π)＝－sin x ；f (2π－x )＝sin(2π－x )＝sin(－x )＝－sin x ；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－cos x ；f (π－x )＝sin(π－x )＝sin x ＝f (x )．答案：C2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13，且－π<α<－π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝ ________．解析：因为－π<α<－π2，所以－7π12<5π12＋α<－π12.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13>0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－223， 由⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝π2， 得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－223.答案：－2233．设tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π＝a .求证：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫157π＋α＋3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－137πsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫207π－α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋227π＝a ＋3a ＋1.证明：左边＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫87π＋α＋3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π－3πsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋ 87π－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π＋3tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋87π＋1.将tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π＝a 代入得，左边＝a ＋3a ＋1＝右边，所以等式成立．第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象A 级 基础巩固一、选择题1．点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－m 在函数y ＝sin x 的图象上，则m 等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．2 解析：由题意－m ＝sin π2，所以－m ＝1，所以m ＝－1.答案：C2．在同一坐标系中函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象( ) A ．重合B ．形状相同，位置不同C ．形状不同，位置相同D ．形状不同，位置不同 解析：解析式相同，定义域不同． 答案：B3．函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2的简图是( )解析：可以用特殊点来验证：x ＝0时，y ＝－sin 0＝0，排除A 、C.当x ＝3π2时，y＝－sin 3π2＝1，排除B.答案：D4．函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0，2π]的图象与直线y ＝2交点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：由函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0，2π]的图象(如图所示)，可知其与直线y ＝2只有1个交点．答案：B5．不等式cos x ＜0，x ∈[0，2π]的解集为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π2 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π 解析：由y ＝cos x 的图象知，在[0，2π]内使cos x ＜0的x 的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2.答案：A 二、填空题6．用“五点法”画出y ＝2sin x 在[0，2π]内的图象时，应取的五个点为________________．解析：可结合函数y ＝sin x 的五个关键点寻找，即把相应的五个关键点的纵坐标变为原来的2倍即可．答案：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－2，(2π，0) 7．若sin x ＝2m ＋1且x ∈R ，则m 的取值范围是________． 解析：因为－1≤sin x ≤1，sin x ＝2m ＋1， 所以－1≤2m ＋1≤1，解得－1≤m ≤0. 答案：[－1，0] 8．函数y ＝log 12sin x 的定义域是______________． 解析：由log 12sin x ≥0知0<sin x ≤1，由正弦函数图象知2k π<x <2k π＋π，k ∈Z.答案：{x |2k π<x <2k π＋π，k ∈Z} 三、解答题9．用“五点法”作函数y ＝－2cos x ＋3(0≤x ≤2π)的简图． 解：列表：10．判断方程sin x ＝x10的根的个数．解：当x ＝3π时，y ＝x 10＝3π10<1；。
圆与方程章末综合测评4
圆与方程（时间120分钟，满分150分）、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在空间直角坐标系中，点 A （— 3,4,0）与点B （2，— 1,6）的距离是（ ） A . 2^43 B . 2/21D.V 86=V 4— 2 2+ 3— 3 2 = 2=『1一 r 2|，所以两圆的位置关系为内切,【答案】 D4.（优质试题 葫芦岛高一检测）过点（2,1）的直线中，被圆 截得的最长弦所在的直线方程为（）|AB|=<— -3— 2 2+ 4+1 2+ 0 — 62=786.【答案】 D2.当圆x 2+y 2 + 2x +ky + k 2= 0的面积最大时，圆心坐标是（ ）A . (0，— 1)B . (— 1,0)C . (1，—1) D . (— 1,1)【解析】k3k 23k 2圆的标准方程得：（X + 1）2 + y + 2 2= 1— 4，当半径的平方1— 4取最大值为1时，圆的面积最大.k = 0，即圆心为（—1,0）.【答案】 B3.0 01： X 2 + y 2—4x — 6y + 12 = 0 与圆 O 2： x 2 + y 2— 8x — 6y + 16 = 0 的位置关系是（）A .相交B .相离C .内含D .内切【解析】 把圆 O 1： X 2+ y 2 — 4x — 6y + 12= 0 与圆 O 2： x 2+ y 2 — 8x —6y + 16= 0 分别化为标准式为(X — 2)2+ (y — 3)2= 1 和(X — 4)2+ (y — 3)2= 9,两圆心间的距离 d 【解析】 由空间直角坐标系中两点间距离公式得：C . 9故选 D.X 2 + y 2 — 2x + 4y = 0A . 3x — y — 5 = 0B . 3x + y — 7 = 0C . x + 3y — 5 = 0D . X — 3y + 1= 0则 k AB = 1, AB 的方程为 y + 1 = x — 2, 即 x — y — 3= 0,故选 D. 【答案】 D7.圆心在x 轴上，半径为1,且过点(2,1)的圆的方程是()(x —2)2 + y 2= 1 (x + 2)2+ y 2= 1(x — 1)2+ (y — 3)2= 1 x 2+ (y — 2)2= 1【解析】 设圆心坐标为(a,0),则由题意可知(a — 2)2 + (1 — 0)2= 1,解得a =2.故所求圆的方程是(x — 2)2+ y 2= 1.【答案】 A8 (优质试题 泰安高一检测)圆X 2 + y 2 — 4x — 4y — 10 = 0上的点到直线x +y -【解析】 依题意知所求直线通过圆心(1,— 2),由直线的两点式方程，得1+1x 一 1~ -，即 3x — y — 5 = 0,故选A.【答案】5.已知点M(a , b)在圆O ： X 2+ y 2= 1夕卜，则直线ax + by = 1与圆O 的位置关 A .相切 B .相交 C .相离D .不确定【解析】 1由题意知点在圆外'则a 2+ b 2>•I ,圆心到直线的距离0=存〒 < 1,故直线与圆相交.【答案】 B6.若P(2,— 1)为圆C : (x — 1)2 + y = 25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是()A . 2x -y -5 = 0B . 2x + y — 3 = 0C . x +y —1=0D . X —y —3 = 0 【解析】 圆心C(1,0),0——1k PC=1 — 2=— 1,C .A. (1,1,1) C . (1,1,轴14= 0的最大距离与最小距离的差是() A . 36 B . 18 C . 6^2D .驱【解析】 圆X 2 + y 2— 4x — 4y — 10= 0的圆心为(2,2)，半径为3/2,圆心到直 线X + y — 14= 0的距离为|2+着14|= 5述＞3/2,圆上的点到直线的最大距离与最 小距离的差是2R =级佗.【答案】 C9.过点 P( — 2,4)作圆 O : (X — 2)2+ (y — 1)2= 25 的切线 I ，直线 m ： ax — 3y = 0 与直线l 平行，则直线l 与m 的距离为( )8C-812D.石4—13【解析】 P 为圆上一点，则有k op k l = — 1,而k op = — 2 — 2 = — 4,• a = 4 , m ： 4x — 3y = 0, l : 4x — 3y + 20= O ；」与 m 的距离为A /42+ — 3 2 = 4.【答案】 A10. —个几何体的三视图如图几何体的四个顶点在空间直角坐标系 1所示，正视图和侧视图都是等边三角形，该Oxyz 中的坐标分别是(0,0,0), (2,0,0),(0,2,0),贝U 第五个顶点的坐标可能是 (1,1, V 2)(2,2, V 3)()【解析】由三视图知，该几何体为正四棱锥，正四棱锥的顶点在底面的射影是底面正方形的中心，高为{3,贝U第五个顶点的坐标为（1,1, {3）.故选C.【答案】 C11.已知圆C1：(X+ 2)2+ (y—2)2= 2,圆C2与圆C1关于直线x —y—1= 0对称,则圆C2的方程为( )(X+ 3)2+ (y—3)2= 2(X—1)2+ (y+ 1)2= 2(X —2)2+ (y+ 2)2= 2(X—3)2+ (y+ 3)2= 2【解析】设点(一2,2)关于直线X—y — 1 = 0的对称点为Q(m, n)，则n— 2——X 1 = —1,m+ 2解得m= 3, n= —3,所以圆C2的圆心坐标为(3,—3), m—2 n+2——1 = 02 2 ' 0,所以圆C2的方程为（X—3）2+ （y+ 3）2= 2,故选【答案】 D图2[2V7, 8][273, 8]【解析】SZ AB = ^ABI •= |AB|,C.D.15= 0,12.（优质试题台州高二检测）已知圆O:若圆O的切线I交圆C于A, B两点,7X2+ y2— 4 = 0,圆C: x2+y2+ 2x—则^ OAB面积的取值范围是( )C.[2羽，2715][273, 2715]a0A设C到AB的距离为d,则|AB|= 2^/42- d2，又d€ [1,3],7< 42-孑W 15,所以 Sg AB = AB|€ [2护，2養]. 【答案】 A、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线A(1,2,3), B(5,6,— 7),则线段AB 中点D 的坐标为设D(X , y , z)，由中点坐标公式可得 X =1^= 3, y = 2^= 4, z所以 D(3,4,— 2).14.以原点0为圆心且截直线3x +4y + 15= 0所得弦长为8的圆的方程是【解析】 原点0到直线的距离d ^=== 3,设圆的半径为r ，二r 2 = 32 + 42 = 25, •圆的方程是 X 2+ y 2 = 25.【答案】 X 2+ y 2= 2515.(优质试题 重庆高考)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点 P 处的切线方程为【解析】•••以原点O 为圆心的圆过点P(1,2), •••圆的方程为X 2 + y 2= 5.••• k op =2,.••切线的斜率即 X + 2y — 5= 0.【答案】 X + 2y — 5 = 016. 若X , y € R ，且x=J 1— y 2，则X ^!的取值范围是【解析】13.已知 【解析】【答案】 (3,4,— 2)由点斜式可得切线方程为 y —2二-2(x -1),x ^/1—y 2? X 2+y 2二1(x >0),此方程表示半圆，如图，设 P(x , y)是半圆上的 v + 2点，则加表示过点P(X , y), Q( — 1,— 2)两点直线的斜率.设切线 QA 的斜率为y + 2= k(x + 1).从而由±2+1= 1，解得 k = 4•又 k BQ = 3, •所求3范围是4, 3 .三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤)17. (本小题满分10分)求经过两点A( — 1,4), B(3,2)且圆心在y 轴上的圆的方程.【解】 法一：•••圆心在y 轴上， 设圆的标准方程是X 2+ (y — b)2= r 2. •••该圆经过A 、B 两点,—1 2+ 4— b 2= r 2, …32+ 2— b 2= r 2, 所以圆的方程是X 2+ (y — 1)2= 10. 法二：线段AB 的中点为(1,3),•••弦AB 的垂直平分线方程为y — 3 = 2(x — 1), 即 y =2x + 1.y = 2x + 1, 由y 得(0,1)为所求圆的圆心.x = 0,由两点间距离公式得圆半径r 为V 0+ 1 2+ 1— 4 2= V i0,k ,则它的方程为【答案】4, 3b = 1,r 2= 10.k AB= 3—^1 2,•••所求圆的方程为X 2+ (y — 1)2= 10.18. (本小题满分12分)如图3所示，BC = 4,原点0是BC 的中点，点A 的 坐标是爭，2, 0，点D 在平面yOz 上,且/ BDC = 90° /DCB = 30°求AD 的 长度./ DCB = 30°|CD| = 2yj3, z =羽，2 — y = 3,••• D(0,—1,问.• |AD= V ¥ 2+ 2+ 1 2+ (-19. (本小题满分 12 分)已知圆 C :(X — 1)2 + (y — 2)2= 25,直线 I : (2m + 1)x + (m + 1)y — 7m — 4= 0(m € R).(1) 证明：不论m 为何值时，直线和圆恒相交于两点； (2) 求直线I 被圆C 截得的弦长最小时的方程.【解】 ⑴证明：由(2m +1)x +(m + 1)y — 7m —4 = 0, 得(2x + y — 7)m + x + y — 4= 0.2x + y — 7= 0, x = 3,解得x + y — 4 = 0,y = 1,•••直线 I 恒过定点 A(3,1).又••• (3 — 1)2 + (1 — 2)2= 5V 25,••• (3,1)在圆C 的内部，故直线I 与圆C 恒有两个公共点.⑵当直线I 被圆C 截得的弦长最小时，有I 丄AC ,由k AC = y — 1 = 2(x — 3), 即卩 2x —y — 5 = 0.••• |BD|= 2, 二 y =— 1,又;A 爭, y , z), 在 RtABDC 中,【解】 由题意得B(0,—20.(本小题满分12分)点A(0,2)是圆X2+ y2= 16内的定点，B, C是这个圆上的两个动点，若BA丄CA,求BC中点M的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线.【解】设点M(x, y)，因为M是弦BC的中点，故OM丄BC.1 又•••/ BAC = 90° ••• |MA|= 2|BC|= |MB|.V |MBf2= |OB|2— OMf2,•••|OB|2=|MOf +|MAf，即42= (/ + 丫2)+ [(x—0)2+ (y—2)2]，化简为x2+ y2—2y —6= 0,即X2+ (y—1)2= 7.•••所求轨迹为以(0,1)为圆心，以(7为半径的圆.21.(本小题满分12分)如图4所示，平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于E 点，定点A，(1)求以线段AC为直径的圆E的方程；⑵若B点的坐标为(一2,—2),求直线BC截圆E所得的弦长.【解】(1)AC的中点E(0,2)即为圆心，半径r = 2AC| =討42+ -2 2= ^/5, 所以圆E的方程为X2+ (y —2)2= 5.1 ——2 3⑵直线BC的斜率k= 2——2= 4,3其方程为y— 1 = 4(x—2)，即3x—4y — 2 = 0.| —8 —2|点E至U直线BC的距离为d= = 2,所以BC截圆E所得的弦长为52^5 — 22= 2.22.(本小题满分12分)如图5,已知圆C: X2+ y2+10x+ 10y= 0,点A(0,6).(1)求圆心在直线y= x上，经过点A,且与圆C相外切的圆N的方程；1(2)若过点A的直线m与圆C交于P, Q两点，且圆弧PQ恰为圆C周长的4,求直线m的方程.图5【解】⑴由x + y2+10x+ 10y= 0,化为标准方程：(x + 5)2+ (y + 5)2= 50. 所以圆C的圆心坐标为C(—5,—5), 又圆N的圆心在直线y= x上,所以当两圆外切时，切点为0,设圆N的圆心坐标为(a, a), 则有7 a —0 2+ a—62 =^ a —02+ a —02,解得a = 3, 所以圆N的圆心坐标为(3,3)，半径r = 3迄，故圆N的方程为(x —3)2+ (y—3)2= 18.1⑵因为圆弧PQ恰为圆C周长的4,所以CP丄CQ.所以点C到直线m的距离为5.当直线m的斜率不存在时，点C到y轴的距离为5,直线m即为y轴，所以此时直线m的方程为x= 0.当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y= kx+ 6,即kx—y+ 6= 0.所以弋泊却=5,解得k=55.48所以此时直线m的方程为y+ 6= 0,即48x —55y+ 330= 0,故所求直线m的方程为x= 0或48x—55y + 330= 0.。
2018版高中数学(人教A版)必修4同步练习题：必考部分 第3章 章末综合测评3
章末综合测评(三) 三角恒等变换(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知cos(α＋β)＋cos(α－β)＝13，则cos αcos β的值为( )A ．12B ．13C ．14D ．16【解析】 由题意得：cos αcos β－sin αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝2cos αcos β＝13，所以cos αcos β＝16.【答案】 D2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·sin ⎝⎛⎭⎫π6－x 的图象的一条对称轴方程是( ) A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝πD ．x ＝3π2【解析】 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫x －π6－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎣⎡⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x ，故x ＝π是函数y ＝cos x 的一条对称轴．【答案】 C3．若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝( )【导学号：00680080】A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 ∵cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π5－π2＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π5， ∴原式＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan α＋tan π5tan α－tan π5.又∵tan α＝2tan π5，∴原式＝2tan π5＋tanπ52tan π5－tanπ5＝3.【答案】 C 4.2cos 10°－sin 20°cos 20°的值为( )A ． 3B ．62C ．1D ．12【解析】 原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°cos 20°＝2(cos 30°cos 20°＋sin 30°sin 20°)－sin 20°cos 20°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.【答案】 A5．cos 4π8－sin 4π8等于( )A ．0B ．22 C ．1D ．－22【解析】 原式＝⎝⎛⎭⎫cos 2π8－sin 2π8⎝⎛⎭⎫cos 2π8＋sin 2π8 ＝cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22.【答案】 B6．已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点⎝⎛⎭⎫π12，0，则φ的值可以是( ) 【导学号：70512045】A ．－π6B ．π6C ．－π12D ．π12【解析】 由题得tan ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ＝0， 即tan ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝0，。
2018年必修四 圆与方程 章末检测
第四章 圆与方程 章末检测一、选择题1．方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形是( )A ．以(a ，b )为圆心的圆B ．以(－a ，－b )为圆心的圆C ．点(a ，b )D ．点(－a ，－b ) 答案 D解析 由题意配方得(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0，所以方程表示点(－a ，－b )． 2．点P (m,3)与圆(x －2)2＋(y －1)2＝2的位置关系为( )A ．点在圆外B ．点在圆内C ．点在圆上D ．与m 的值有关答案 A解析 圆心坐标O (2,1)，|OP |＝(m －2)2＋(3－1)2＝(m －2)2＋4≥4＝2.圆的半径为2，由于|OP |＞2，所以点P 在圆外．3．空间直角坐标系中，点A (－3,4,0)和B (x ，－1,6)的距离为86，则x 的值为 ( ) A ．2B ．－8C ．2或－8D ．8或－2答案 C解析 由距离公式得(x ＋3)2＋(－5)2＋62＝86，解得x ＝2或－8.4．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．(－∞，－3] B ．[1，＋∞)C ．[－3，1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案 C解析 利用直线和圆的位置关系求解． 由题意知，圆心为(a,0)，半径r ＝ 2.若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离小于或等于半径， 即|a －0＋1|2≤2，∴|a ＋1|≤2.∴－3≤a ≤1，故选C.5．设A 、B 是直线3x ＋4y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＋4y ＝0的两个交点，则线段AB 的垂直平分线的方程是( )A ．4x －3y －2＝0B ．4x －3y －6＝0C ．3x ＋4y ＋6＝0D ．3x ＋4y ＋8＝0答案 B解析 此题实际上是求过圆心(0，－2)且与直线3x ＋4y ＋2＝0垂直的直线方程，即y ＋2＝43x ， 整理，得4x －3y －6＝0.6．圆x 2＋y 2－4x ＝0过点P (1，3)的切线方程为( )A ．x ＋3y －2＝0B ．x ＋3y －4＝0C ．x －3y ＋4＝0D ．x －3y ＋2＝0 答案 D解析 先由半径与切线的垂直关系求得切线斜率为33， 则过(1，3)的切线方程为x －3y ＋2＝0.7．对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是( )A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心答案 C解析 利用圆心到直线的距离与半径的大小比较求解． ∵x 2＋y 2＝2的圆心(0,0)到直线y ＝kx ＋1的距离 d ＝|0－0＋1|1＋k 2＝11＋k 2≤1，又∵r ＝2，∴0<d <r .∴直线与圆相交但直线不过圆心．8．已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2)，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A ．5B ．10C.252D.254答案 D解析 因为点A (1,2)在圆x 2＋y 2＝5上，故过点A 的圆的切线方程为x ＋2y ＝5，令x ＝0得y ＝52.令y ＝0得x ＝5，故S △＝12×52×5＝254.9．将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为( )A ．－3或7B ．－2或8C ．0或10D ．1或11答案 A解析 由题意知：直线2x －y ＋λ＝0平移后方程为2(x ＋1)－y ＋λ＝0.直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，因而有|2×(－1＋1)－2＋λ|5＝5，得λ＝－3或7.10．已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( )A ．l 与C 相交B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能答案 A解析 将点P 的坐标代入圆的方程，判断确定． 将点P (3,0)的坐标代入圆的方程，得 32＋02－4×3＝9－12＝－3<0， ∴点P (3,0)在圆内．∴过点P 的直线l 定与圆C 相交．11．若直线mx ＋2ny －4＝0(m 、n ∈R ，n ≠m )始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0的周长，则mn 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0，－1)C ．(－∞，1)D ．(－∞，－1)答案 C解析 圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0可化为(x －2)2＋(y －1)2＝9，直线mx ＋2ny －4＝0始终平分圆周，即直线过圆心(2,1)，所以2m ＋2n －4＝0，即m ＋n ＝2，mn ＝m (2－m )＝－m 2＋2m ＝－(m －1)2＋1≤1，当m ＝1时等号成立，此时n ＝1，与“m ≠n ”矛盾，所以mn ＜1.12．过点P (－2,4)作圆O ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m ：ax －3y ＝0与直线l 平行，则直线l 与m 的距离为( )A ．4B ．2C.85D.125答案 A解析 ∵点P 在圆上，∴切线l 的斜率k ＝－1k OP ＝43. ∴直线l 的方程为y －4＝43(x ＋2)，即4x －3y ＋20＝0.又直线m 与l 平行，∴直线m 的方程为4x －3y ＝0. 故两平行直线的距离为d ＝|0－20|42＋(－3)2＝4.二、填空题13．与直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程为________． 答案 2x ＋3y ＋8＝0解析 ∵所求直线平行于直线2x ＋3y －6＝0，∴设所求直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0， 由|2－3＋c |22＋32＝|2－3－6|22＋32，∴c ＝8，或c ＝－6(舍去)，∴所求直线方程为2x ＋3y ＋8＝0.14．过点P (－2,0)作直线l 交圆x 2＋y 2＝1于A 、B 两点，则|P A |·|PB |＝________. 答案 3解析 过P 作圆的切线PC ，切点为C ，在Rt △POC 中，易求|PC |2＝3，由切割线定理，|P A |·|PB |＝|PC |2＝3.15．若垂直于直线2x ＋y ＝0，且与圆x 2＋y 2＝5相切的切线方程为ax ＋2y ＋c ＝0，则ac 的值为________． 答案 ±5解析 已知直线斜率k 1＝－2，直线ax ＋2y ＋c ＝0的斜率为－a 2.∵两直线垂直，∴(－2)·(－a 2)＝－1，得a ＝－1.圆心到切线的距离为5，即|c |5＝5，∴c＝±5，故ac ＝±5.16．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________． 答案 43解析 可转化为圆C 的圆心到直线y ＝kx －2的距离不大于2. 圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4,0)． 由题意知(4,0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2， 即|4k －2|k 2＋1≤2.整理，得3k 2－4k ≤0.解得0≤k ≤43.故k 的最大值是43.三、解答题17．自点A (－3,3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在的直线与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0相切，求光线l 所在直线的方程． 解如图所示，已知圆C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0关于x 轴对称的圆为C 1：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1，其圆心C 1的坐标为(2，－2)，半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C 1相切．设l 的方程为y －3＝k (x ＋3)， 即kx －y ＋3＋3k ＝0. 则|5k ＋5|1＋k 2＝1，即12k 2＋25k ＋12＝0. ∴k 1＝－43，k 2＝－34.则l 的方程为4x ＋3y ＋3＝0或3x ＋4y －3＝0.18．已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0与直线x ＋2y －3＝0相交于P ，Q 两点，O 为原点，若OP ⊥OQ ，求实数m 的值．解 设P ，Q 两点坐标为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，由OP ⊥OQ 可得x 1x 2＋y 1y 2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0，x ＋2y －3＝0， 可得5y 2－20y ＋12＋m ＝0.① 所以y 1y 2＝12＋m 5，y 1＋y 2＝4.又x 1x 2＝(3－2y 1)(3－2y 2) ＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2 ＝9－24＋45(12＋m )，所以x 1x 2＋y 1y 2＝9－24＋45(12＋m )＋12＋m 5＝0，解得m ＝3.将m ＝3代入方程①，可得 Δ＝202－4×5×15＝100>0， 可知m ＝3满足题意， 即3为所求m 的值．19．已知圆x 2＋y 2－6mx －2(m －1)y ＋10m 2－2m －24＝0(m ∈R )． (1)求证：不论m 为何值，圆心在同一直线l 上； (2)与l 平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；(3)求证：任何一条平行于l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等． (1)证明 配方得：(x －3m )2＋(y －m+1)2＝25， 设圆心为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3m y ＝m －1，消去m 得 x －3y －3＝0，则圆心恒在直线l ：x －3y －3＝0上．(2)解 设与l 平行的直线是l 1：x －3y ＋b ＝0， 则圆心到直线l 1的距离为 d ＝|3m －3(m －1)＋b |10＝|3＋b |10.∵圆的半径为r ＝5，∴当d <r ，即－510－3<b <510－3时，直线与圆相交； 当d ＝r ，即b ＝±510－3时，直线与圆相切；当d >r ，即b <－510－3或b >510－3时，直线与圆相离． (3)证明 对于任一条平行于l 且与圆相交的直线l 1：x －3y ＋b ＝0， 由于圆心到直线l 1的距离d ＝|3＋b |10，弦长＝2r 2－d 2且r 和d 均为常量．∴任何一条平行于l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等．20．如图，已知圆O ：x 2＋y 2＝1和定点A (2,1)，由圆O 外一点P (a ，b )向圆O 引切线PQ ，切点为Q ， 且有|PQ |＝|P A |. (1)求a 、b 间关系； (2)求|PQ |的最小值；(3)以P 为圆心作圆，使它与圆O 有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程．解 (1)连接OQ 、OP ，则△OQP 为直角三角形，又|PQ |＝|P A |，所以|OP |2＝|OQ |2＋|PQ |2＝1＋|P A |2，所以a 2＋b 2＝1＋(a －2)2＋(b －1)2，故2a ＋b －3＝0. (2)方法一 由(1)知，P 在直线l ：2x ＋y －3＝0上， 所以|PQ |min ＝|P A |min ，|P A |min 为A 到直线l 的距离， 所以|PQ |min ＝|2×2＋1－3|22＋12＝255.方法二 由|PQ |2＝|OP |2－1＝a 2＋b 2－1＝a 2＋9－12a ＋4a 2－1＝5a 2－12a ＋8＝5(a －1.2)2＋0.8，得|PQ |min ＝255. (3)以P 为圆心的圆与圆O 有公共点，半径最小时为与圆O 相切的情形，而这些半径的最小值为圆O 到直线l 的距离减去圆O 的半径，圆心P 为过原点且与l 垂直的直线l ′与l 的交点P 0，所以r ＝322＋12－1＝355－1，又l ′：x －2y ＝0，联立l ：2x ＋y －3＝0得P 0(65，35)．所以所求圆的方程为(x －65)2＋(y －35)2＝(355－1)2.。
2018版高中数学人教A版 必修4第3章 章末综合测评 含解
章末综合测评(三) 三角恒等变换(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知cos(α＋β)＋cos(α－β)＝13，则cos αcos β的值为( )A ．12B ．13C ．14D ．16【解析】 由题意得：cos αcos β－sin αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝2cos αcos β＝13，所以cos αcos β＝16.【答案】 D2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·sin ⎝⎛⎭⎫π6－x 的图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝πD ．x ＝3π2【解析】 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫x －π6－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎣⎡⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x ，故x ＝π是函数y ＝cos x 的一条对称轴．【答案】 C3．若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝( )【导学号：00680080】A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 ∵cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π5－π2＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π5， ∴原式＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan α＋tan π5tan α－tan π5.又∵tan α＝2tan π5，∴原式＝2tan π5＋tanπ52tan π5－tanπ5＝3.【答案】 C 4.2cos 10°－sin 20°cos 20°的值为( )A ． 3B ．62C ．1D ．12【解析】 原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°cos 20°＝2(cos 30°cos 20°＋sin 30°sin 20°)－sin 20°cos 20°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.【答案】 A5．cos 4π8－sin 4π8等于( )A ．0B ．22 C ．1D ．－22【解析】 原式＝⎝⎛⎭⎫cos 2π8－sin 2π8⎝⎛⎭⎫cos 2π8＋sin 2π8 ＝cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22.【答案】 B6．已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点⎝⎛⎭⎫π12，0，则φ的值可以是( ) 【导学号：70512045】A ．－π6B ．π6C ．－π12D ．π12【解析】 由题得tan ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ＝0， 即tan ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝0，π6＋φ＝k π，k ∈Z ， φ＝k π－π6，k ∈Z ，当k ＝0时，φ＝－π6，故选A ．【答案】 A7．若θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin θ－cos θ＝22，则cos 2θ等于( ) A ．32B ．－32C ．±32D ．±12【解析】 由sin θ－cos θ＝22两边平方得，sin 2θ＝12， 又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin θ>cos θ， 所以π4<θ<π2，所以π2<2θ<π，因此，cos 2θ＝－32，故选B ． 【答案】 B8．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝45，则sin 2x 的值为( ) A ．1925B ．725C ．1425D ．－725【解析】 sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－2×⎝⎛⎭⎫452＝－725. 【答案】 D9．已知cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝35，x ∈(0，π)，则sin x 的值为( ) A ．－43－310B ．43－310C ．12D ．32【解析】 由cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝35，且0＜x ＜π， 得π6＜x ＋π6＜π2， 所以sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝45， 所以sin x ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6cos π6－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6sin π6 ＝45×32－35×12＝43－310. 【答案】 B10．函数y ＝sin x ＋cos x ＋2⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最小值是( ) A ．2－ 2 B ．2＋ 2 C ．3D ．1【解析】 由y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋2，且0≤x ≤π2， 所以π4≤x ＋π4≤34π，所以22≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤1， 所以3≤y ≤2＋2. 【答案】 C11．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－sin 2x 的一个单调递增区间是( ) A ．⎣⎡⎦⎤－π6，π3 B ．⎣⎡⎦⎤π12，7π12 C ．⎣⎡⎦⎤5π12，13π12D ．⎣⎡⎦⎤π3，5π6【解析】 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－sin 2x ＝sin 2x cos π3－cos 2x sin π3－sin 2x＝－12sin 2x －32cos 2x＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的递增区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的递减区间， π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ， ∴π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ， 令k ＝0，得x ∈⎣⎡⎦⎤π12，7π12. 【答案】 B12．已知a ＝(sin α，1－4cos 2α)，b ＝(1,3sin α－2)，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若a ∥b ，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝( )A ．17B ．－17C ．27D ．－27【解析】 因为a ∥b ，所以有sin α(3sin α－2)－(1－4cos 2α)＝0， 即3sin 2 α－2sin α－1＋4cos 2α＝0 ⇒5sin 2 α＋2sin α－3＝0，解得sin α＝35或－1，又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以sin α＝35，cos α＝45，tan α＝34，所以tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝34－11＋34＝－17. 【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上) 13．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈R )的最小正周期为________，最大值为________． 【解析】 因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3， 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的最小正周期为T ＝2π，最大值为2. 【答案】 2π 214．tan ⎝⎛⎭⎫π6－θ＋tan ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＋3tan ⎝⎛⎭⎫π6－θ·tan ⎝⎛⎭⎫π6＋θ的值是________． 【解析】 ∵tan π3＝tan ⎝⎛⎭⎫π6－θ＋π6＋θ＝tan ⎝⎛⎭⎫π6－θ＋tan ⎝⎛⎭⎫π6＋θ1－tan ⎝⎛⎭⎫π6－θtan ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝3，∴3＝tan ⎝⎛⎭⎫π6－θ＋tan ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＋ 3tan ⎝⎛⎭⎫π6－θtan ⎝⎛⎭⎫π6＋θ. 【答案】315．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．【解析】 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝17－(－2)1＋17×(－2)＝3.【答案】 316．已知A ，B ，C 皆为锐角，且tan A ＝1，tan B ＝2，tan C ＝3，则A ＋B ＋C 的值为________． 【解析】 ∵tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝1＋21－2＝－3<0，①又0<A <π2，0<B <π2，∴0<A ＋B <π，②由①②知，π2<A ＋B <π，又tan[(A ＋B )＋C ]＝tan (A ＋B )＋tan C 1－tan (A ＋B )tan C ＝－3＋31－(－3)×3＝0.又∵0<C <π2，∴π2<A ＋B ＋C <32π，∴A ＋B ＋C ＝π. 【答案】 π三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值． 【解】 (1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x － 3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3， 所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为0≤x ≤2π3，所以π3≤x ＋π3≤π.当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－ 3. 18．(本小题满分12分)已知锐角α，β满足tan(α－β)＝sin 2β，求证：tan α＋tan β＝2tan 2β.【证明】 因为tan(α－β)＝sin 2β， tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β，sin 2β＝2sin βcos β＝2sin βcos βsin 2β＋cos 2β＝2tan β1＋tan 2β， 所以tan α－tan β1＋tan αtan β＝2tan β1＋tan 2β，整理得：tan α＝3tan β＋tan 3β1－tan 2β.所以tan α＋tan β＝3tan β＋tan 3β＋tan β－tan 3β1－tan 2β＝2×2tan β1－tan 2β＝2tan 2β.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ·sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性． 【解】 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x ) ＝12sin 2x －32cos 2x －32 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32， 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而 当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减． 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值和最小值． 【解】 (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x2－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＝12⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上是增函数， 且f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝34， 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12. 21.(本小题满分12分)如图1所示，已知α的终边所在直线上的一点P 的坐标为(－3,4)，β的终边在第一象限且与单位圆的交点Q 的纵坐标为210.图1(1)求tan(2α－β)的值；(2)若π2＜α＜π，0＜β＜π2，求α＋β.【解】 (1)由三角函数的定义知tan α＝－43，∴tan 2α＝2×⎝⎛⎭⎫－431－⎝⎛⎭⎫－432＝247.又由三角函数线知sin β＝210. ∵β为第一象限角，∴tan β＝17，∴tan(2α－β)＝247－171＋247×17＝16173.(2)∵cos α＝－35，∵π2＜α＜π，0＜β＜π2，∴π2＜α＋β＜3π2. ∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×7210－35×210＝22.又∵π2＜α＋β＜3π2，∴α＋β＝3π4.22．(本小题满分12分)已知向量a ＝(2cos ωx,1)，b ＝⎝⎛⎭⎫2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4，－1⎝⎛⎭⎫其中14≤ω≤32，函数f (x )＝a ·b ，且f (x )图象的一条对称轴为x ＝5π8. (1)求f ⎝⎛⎭⎫34π的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α2－π8＝23，f ⎝⎛⎭⎫β2－π8＝223，且α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，求cos ()α－β的值． 【解】 (1)∵向量a ＝(2cos ωx,1)，b ＝⎝⎛⎭⎫2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4，－1＝(2(sin ωx ＋cos ωx )，－1)，∴函数f (x )＝a ·b ＝2cos ωx (sin ωx ＋cos ωx )－1＝2sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx －1＝sin 2ωx ＋cos 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4. ∵f (x )图象的一条对称轴为x ＝5π8，∴2ω×5π8＋π4＝π2＋k π(k ∈Z )．又14≤ω≤32，∴ω＝1，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴f ⎝⎛⎭⎫34π＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×34π＋π4＝－2cos π4＝－1.(2)∵f ⎝⎛⎭⎫α2－π8＝23，f ⎝⎛⎭⎫β2－π8＝223， ∴sin α＝13，sin β＝23.∵α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， ∴cos α＝223，cos β＝53，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝210＋29.。
2018版高中数学人教A版必修4同步练习题必考部分第2章章末综合测评2
章末综合测评(二) 平面向量 (时间120分钟,满分150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知点A (0,1),B (3,2),向量AC →＝(－4,－3),则向量BC →＝( ) A.(－7,－4) B.(7,4) C.(－1,4)D.(1,4)【解析】 法一：设C (x ,y ), 则AC →＝(x ,y －1)＝(－4,－3),所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，从而BC →＝(－4,－2)－(3,2)＝(－7,－4).故选A.法二：AB →＝(3,2)－(0,1)＝(3,1),BC →＝AC →－AB →＝(－4,－3)－(3,1)＝(－7,－4). 故选A. 【答案】 A2.设a ＝(1,2),b ＝(1,1),c ＝a ＋k b .若b ⊥c ,则实数k 的值等于( ) A.－32B.－53C.53D.32【解析】 c ＝a ＋k b ＝(1＋k,2＋k ),又b ⊥c ,所以1×(1＋k )＋1×(2＋k )＝0,解得k ＝－32.【答案】 A3.已知菱形ABCD 的边长为a ,∠ABC ＝60°,则BD →·CD →＝( ) A.－32a 2B.－34a 2C.34a 2 D.32a 2 【解析】 由已知条件得BD →·CD →＝BD →·BA →＝3a ·a cos 30°＝32a 2,故选D.【答案】 D4.对任意向量a ,b ,下列关系式中不恒成立．．．．的是( ) A.|a·b |≤|a ||b | B.|a －b |≤||a |－|b || C.(a ＋b )2＝|a ＋b |2D.(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2【解析】 根据a·b ＝|a||b|cos θ,又cos θ≤1,知|a·b|≤|a||b|,A 恒成立.当向量a 和b 方向不相同时,|a －b |>||a|－|b||,B 不恒成立.根据|a ＋b |2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝(a ＋b )2,C 恒成立.根据向量的运算性质得(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2,D 恒成立.【答案】 B5.已知非零向量a ,b 满足|b|＝4|a|,且a ⊥(2a ＋b ),则a 与b 的夹角为( ) A.π3 B.π2 C.2π3D.5π6【解析】 ∵a ⊥(2a ＋b ),∴a ·(2a ＋b )＝0, ∴2|a |2＋a ·b ＝0,即2|a |2＋|a||b|cos 〈a ,b 〉＝0.∵|b|＝4|a|,∴2|a|2＋4|a |2cos 〈a ,b 〉＝0, ∴cos 〈a ,b 〉＝－12,∴〈a ,b 〉＝23π.【答案】 C6.△ABC 是边长为2的等边三角形,已知向量a ,b 满足AB →＝2a ,AC →＝2a ＋b ,则下列结论正确的是( )A.|b |＝1B.a ⊥bC.a ·b ＝1D.(4a ＋b )⊥BC →【解析】 在△ABC 中,由BC →＝AC →－AB →＝2a ＋b －2a ＝b ,得|b |＝2.又|a |＝1,所以a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝－1,所以(4a ＋b )·BC →＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0,所以(4a ＋b )⊥BC →,故选D.【答案】 D7.已知向量a ＝(2,1),a·b ＝10,|a ＋b|＝50,则|b|＝( ) A.0 B.2 C.5D.25【解析】 因为a ＝(2,1),则有|a|＝5,又a·b ＝10, 又由|a ＋b|＝50, 所以|a|2＋2a·b ＋|b|2＝50, 即5＋2×10＋|b|2＝50, 所以|b|＝5. 【答案】 C8.已知AD ,BE 分别为△ABC 的边BC ,AC 上的中线,设AD →＝a ,BE →＝b ,则BC →等于( ) 【导学号：00680065】图1A.43a ＋23bB.23a ＋43bC.23a －43bD.－23a ＋43b【解析】 BC →＝2BD →＝2⎝⎛⎭⎫23BE →＋13AD → ＝43BE →＋23AD →＝23a ＋43b . 【答案】 B9.设非零向量a ,b ,c 满足|a|＝|b|＝|c|,a ＋b ＝c ,则向量a ,b 的夹角为( ) A.150° B.120° C.60°D.30°【解析】 设向量a ,b 夹角为θ, |c|2＝|a ＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos θ,则cos θ＝－12,又θ∈[0°,180°],∴θ＝120°.故选B.【答案】 B10.在矩形ABCD 中,AB ＝3,BC ＝1,E 是CD 上一点,且AE →·AB →＝1,则AE →·AC →的值为( ) A.3 B.2 C.32D.33【解析】 设AE →与AB →的夹角为θ,则AE →与AD →的夹角为π2－θ,又AD →∥BC →,故有AE →与BC →夹角为π2－θ,如图.∵AE →·AB →＝|AE →|·|AB →|·cos θ＝3|AE →|·cos θ＝1, ∴|A E →|·cos θ＝33, ∴AE →·BC →＝|AE →|cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝|AE →|sin θ＝1,∴AE →·AC →＝AE →·(AB →＋BC →)＝AE →·AB →＋AE →·BC →＝1＋1＝2. 【答案】 B11.已知向量OA →＝(2,2),OB →＝(4,1),在x 轴上有一点P ,使AP →·BP →有最小值,则P 点坐标为( )A.(－3,0)B.(3,0)C.(2,0)D.(4,0)【解析】 设P (x,0),则有 AP →·BP →＝(x －2,0－2)·(x －4,0－1) ＝(x －2)(x －4)＋2 ＝x 2－6x ＋10 ＝(x －3)2＋1,当x ＝3时,(AP →·BP →)min ＝1, 此时P 点坐标为(3,0). 【答案】 B12.在△ABC 中,已知向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →·AC →|AB →||AC →|＝12,则△ABC 是( )A.等边三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.三边均不相等的三角形【解析】 ∵非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0,∴∠BAC 的平分线垂直于BC ,∴AB ＝AC.又cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝－12,∴∠BAC ＝60°,∴△ABC 为等边三角形.【答案】 A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把正确答案填在题中横线上) 13.已知向量a ＝(m,4),b ＝(3,－2),且a ∥b ,则m ＝________. 【解析】 ∵a ＝(m,4),b ＝(3,－2),a ∥b , ∴－2m －4×3＝0,∴m ＝－6. 【答案】 －614.已知向量a ＝(2,1),b ＝(1,－2),若m a ＋n b ＝(9,－8)(m ,n ∈R ),则m －n 的值为________. 【解析】 ∵m a ＋n b ＝(2m ＋n ,m －2n ) ＝(9,－8),∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3. 【答案】 －315.已知向量a ＝(1,－1),b ＝(6,－4).若a ⊥(t a ＋b ),则实数t 的值为________. 【解析】 ∵a ＝(1,－1),b ＝(6,－4),∴t a ＋b ＝(t ＋6,－t －4). 又a ⊥(t a ＋b ),则a ·(t a ＋b )＝0,即t ＋6＋t ＋4＝0,解得t ＝－5. 【答案】 －516.在△ABC 中,点M ,N 满足AM →＝2MC →,BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →,则x ＝________;y ＝________.【解析】 ∵AM →＝2MC →,∴AM →＝23AC →.∵BN →＝NC →,∴AN →＝12(AB →＋AC →),∴MN →＝AN →－AM →＝12(AB →＋AC →)－23AC →＝12AB →－16AC →. 又MN →＝xAB →＋yAC →,∴x ＝12,y ＝－16.【答案】 12 －16三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)不共线向量a ,b 的夹角为小于120°的角,且|a|＝1,|b|＝2,已知向量c ＝a ＋2b ,求|c|的取值范围.【解】 |c|2＝|a ＋2b|2＝|a|2＋4a·b ＋4|b|2＝17＋8cos θ(其中θ为a 与b 的夹角). 因为0°<θ<120°, 所以－12<cos θ<1,所以13<|c|<5,所以|c |的取值范围为(13,5).18.(本小题满分12分)设OA →＝(2,－1),OB →＝(3,0),OC →＝(m,3). (1)当m ＝8时,将OC →用OA →和OB →表示;(2)若A ,B ,C 三点能构成三角形,求实数m 应满足的条件. 【解】 (1)m ＝8时,OC →＝(8,3), 设OC →＝λ1OA →＋λ2OB →, ∴(8,3)＝λ1(2,－1)＋λ2(3,0) ＝(2λ1＋3λ2,－λ1),∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ1＋3λ2＝8，－λ1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－3，λ2＝143，∴OC →＝－3OA →＋143OB →.(2)若A ,B ,C 三点能构成三角形, 则有AB →与AC →不共线,又AB →＝OB →－OA →＝(3,0)－(2,－1)＝(1,1), AC →＝OC →－OA →＝(m,3)－(2,－1)＝(m －2,4), 则有1×4－(m －2)×1≠0, ∴m ≠6.19.(本小题满分12分)设i ,j 是平面直角坐标系中x 轴和y 轴正方向上的单位向量,AB →＝4i －2j ,AC →＝7i ＋4j ,AD →＝3i ＋6j ,求四边形ABCD 的面积.【解】 因为AB →·AD →＝(4i －2j )·(3i ＋6j )＝3×4－2×6＝0, 所以AB →⊥AD →.又因为AC →＝7i ＋4j ＝4i －2j ＋3i ＋6j ＝AB →＋AD →,所以四边形ABCD 为平行四边形, 又AB →⊥AD →,所以四边形ABCD 为矩形,所以S 四边形ABCD ＝|AB →|×|AD →|＝16＋4×9＋36＝30. 20.(本小题满分12分)已知a ,b ,c 在同一平面内,且a ＝(1,2). (1)若|c |＝25,且c ∥a ,求c ;(2)若|b |＝52,且(a ＋2b )⊥(2a －b ),求a 与b 的夹角. 【解】 (1)∵c ∥a ,∴设c ＝λa , 则c ＝(λ,2λ). 又|c |＝25,∴λ＝±2, ∴c ＝(2,4)或(－2,－4). (2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b ), ∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0. ∵|a |＝5,|b |＝52,∴a ·b ＝－52, ∴cos θ＝a ·b|a ||b |＝－1,又θ∈[0°,180°],∴θ＝180°.21.(本小题满分12分)已知a ＝(cos α,sin α),b ＝(cos β,sin β),0＜β＜α＜π. (1)若|a －b |＝2,求证：a ⊥b ; (2)设c ＝(0,1),若a ＋b ＝c ,求α,β的值. 【解】 (1)证明：由题意得|a －b |2＝2, 即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1, 所以2－2a ·b ＝2,即a ·b ＝0,故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β,sin α＋sin β)＝(0,1),所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0， ①sin α＋sin β＝1， ②由①得,cos α＝cos(π－β), 由0＜β＜π,得0＜π－β＜π. 又0＜α＜π,故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1,得sin α＝sin β＝12,而α＞β,所以α＝5π6,β＝π6.22.(本小题满分12分)已知⊙O 的直径为10,AB 是⊙O 的一条直径,长为20的线段MN 的中点P 在⊙O 上运动(异于A ,B 两点).(1)求证：AM →·BN →与点P 在⊙O 上的位置无关; (2)当MN →与AB →的夹角θ取何值时,AM →·BN →有最大值？【解】 (1)证明：∵AB 为⊙O 的直径,P 为圆上一点,∴AP ⊥BP ,∴AP →⊥BP →, 即AP →·BP →＝0.∵P 为MN 的中点,且|MN →|＝20, ∴MP →＝PN →,|MP →|＝|PN →|＝10, ∴AM →·BN →＝(AP →＋PM →)·(BP →＋PN →) ＝(AP →－PN →)·(BP →＋PN →)＝AP →·BP →＋AP →·PN →－PN →·BP →－PN →·PN →＝PN →·(AP →－BP →)－100 ＝12MN →·AB →－100, ∴AM →·BN →仅与MN →,AB →的夹角有关,而与点P 在⊙O 上的位置无关. (2)由(1)得,AM →·BN →＝12MN →·AB →－100＝100cos θ－100.∵0≤θ≤π,∴当θ＝0时,AM →·BN →取得最大值0.。
2017_2018学年高中数学第四章圆与方程章末综合测评1含解析新人教A版
第四章圆与方程[自我校对]①(x－a)2＋(y－b)2＝r2②x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)③|O1O2|＞r1＋r2④|O1O2|＝r1＋r2⑤|r1－r2|＜|O1O2|＜r1＋r2(教师用书独具)一般地，当已知圆的圆心或半径的几何特征时，设圆的标准方程，并结合圆的几何性质求解；当已知圆上三个点时，设圆的一般方程；当所求圆经过直线与圆、圆与圆的交点时，常利用圆系方程来解答．过两个已知圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．求圆心在直线3x＋4y－1＝0上，且经过两圆x2＋y2－x＋y－2＝0与x2＋y2＝5的交点的圆的方程.【精彩点拨】 解答本题可利用过两圆交点的圆系方程求解，也可求出两交点坐标，再利用待定系数法求解．【规范解答】 法一：设所求圆为x 2＋y 2－x ＋y －2＋λ(x 2＋y 2－5)＝0， 化为一般式，得x 2＋y 2－11＋λx ＋11＋λy －2＋5λ1＋λ＝0. 故圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1＋λ，－1＋λ， 代入直线3x ＋4y －1＝0，得λ＝－32.再把λ代入所设方程，得x 2＋y 2＋2x －2y －11＝0， 故所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x －2y －11＝0.法二：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x ＋y －2＝0，x 2＋y 2＝5，得两圆的交点为A (1，－2)和B (2，－1)． 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.∵A ，B 在圆上，且圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2在直线3x ＋4y －1＝0上，∴⎩⎪⎨⎪⎧5＋D －2E ＋F ＝0，5＋2D －E ＋F ＝0，3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2＋4·⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2－1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－2，F ＝－11.∴所求圆的方程是x 2＋y 2＋2x －2y －11＝0. [再练一题]1．圆心在直线5x －3y ＝8上，且圆与两坐标轴均相切，求此圆的标准方程． 【解】 设所求圆的标准方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2(r ＞0)．因为圆与两坐标轴均相切，故圆心坐标满足x 0－y 0＝0或x 0＋y 0＝0.又圆心在直线5x －3y ＝8上，所以5x 0－3y 0＝8.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝0，5x 0－3y 0＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4，y 0＝4，由⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋y 0＝0，5x 0－3y 0＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－1，所以圆心坐标为(4,4)或(1，－1)，相应的半径为r ＝4或r ＝1，故所求圆的标准方程为(x －4)2＋(y －4)2＝16或(x －1)2＋(y ＋1)2＝1.1.置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程．2．解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它的几何图形的形象直观性来分析问题．已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l 过点P (2,3)且与圆M 交于A ，B 两点，且|AB |＝23，求直线l 的方程．【精彩点拨】 分斜率存在与不存在两种情况：(1)斜率存在⇒设直线l 的方程⇒利用勾股定理⇒求k ⇒直线方程 (2)斜率不存在⇒验证【规范解答】 (1)当直线l 存在斜率时，设直线l 的方程为y －3＝k (x －2)， 即kx －y ＋3－2k ＝0. 示意图如图，作MC ⊥AB 于C .在Rt △MBC 中，|BC |＝12|AB |＝3，|MB |＝2，故|MC |＝|MB |2－|BC |2＝1，由点到直线的距离公式得|k －1＋3－2k |k 2＋1＝1，解得k ＝34.故直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0.(2)当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝2， 且|AB |＝23，所以符合题意．综上所述，直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0或x ＝2.[再练一题]2．已知圆C 与圆x 2＋y 2－2x ＝0相外切，并且与直线x ＋3y ＝0相切于点Q (3，－3)，求圆C 的方程．【解】 设所求圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，圆心C (a ，b )与Q (3，－3)的连线垂直于直线x ＋3y ＝0，且斜率为 3.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －2＋b 2＝r ＋1，|a ＋3b |2＝r ，b ＋3a －3＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝0，r ＝2或⎩⎨⎧a ＝0，b ＝－43，r ＝6.∴所求圆的方程为(x－4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋43)2＝36.1.定义法、消元法、代数法等．2．求轨迹方程的步骤：(1)建系设点；(2)列出动点满足的轨迹条件；(3)把轨迹条件坐标化；(4)化简整理；(5)检验．在检验中要排除不符合要求的点，或者补充上漏掉的部分．如图41，圆O 1与圆O 2的半径都是1，|O 1O 2|＝4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM ，PN ，(M ，N 分别为切点)，使得|PM |＝2|PN |，试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程．图41【精彩点拨】 由△PMO 1与△PNO 2均为直角三角形表示出切线长|PM |与|PN |，建立坐标系后，设出P 点坐标即可由等式|PM |＝2|PN |求出P 点的轨迹方程．【规范解答】 如图，以O 1，O 2所在直线为x 轴，线段|O 1O 2|的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则O 1(－2,0)，O 2(2,0)，设动点P 的坐标为(x ，y )．在Rt △PMO 1中，|PM |2＝|PO 1|2－1， 在Rt △PNO 2中，|PN |2＝|PO 2|2－1.又因为|PM |＝2|PN |，所以|PM |2＝2|PN |2，即 |PO 1|2－1＝2(|PO 2|2－1)，即|PO 1|2＋1＝2|PO 2|2， 所以(x ＋2)2＋y 2＋1＝2[(x －2)2＋y 2]，整理得x 2＋y 2－12x ＋3＝0，即为所求点P 的轨迹方程． [再练一题]3．等腰三角形的顶点是A (4,2)，底边一个端点是B (3,5)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么.【解】 设另一端点C 的坐标为(x ，y ) .依题意，得|AC |＝|AB |. 由两点间距离公式， 得x －2＋y －2＝－2＋－2，整理得(x －4)2＋(y －2)2＝10.这是以点A (4,2)为圆心，以10为半径的圆，如图所示，又因为A 、B 、C 为三角形的三个顶点，所以A 、B 、C 三点不共线．即点B 、C 不能重合且B 、C 不能为圆A 的一直径的两个端点．因为点B 、C 不能重合，所以点C 不能为(3,5)． 又因为点B 、C 不能为一直径的两个端点，所以x ＋32≠4.且y ＋52≠2，即点C 不能为(5，－1)．故端点C 的轨迹方程是(x －4)2＋(y －2)2＝10(除去点(3,5)和(5，－1))．综上，它的轨迹是以点A (4,2)为圆心，10为半径的圆，但除去(3,5)和(5，－1)两点.1.能把抽象的数量关系与直观的几何图形建立起关系，从而使问题在解答过程中更加形象化、直观化，而本章的相关知识整体体现了这种思想，即把几何问题代数化，同时利用代数(方程)的思想反映几何问题．2．(1)形如u ＝y －bx －b的最值问题，可借助于图形分析转化为直线斜率的最值问题； (2)形如t ＝ax ＋by 的最值问题，可借助于图形分析转化为直线斜率的最值问题； (3)形如(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可借助于图形分析转化为动点到定点距离的最值问题．已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1，P (x ，y )为圆C 上任一点． (1)求y －2x －1的最大值与最小值； (2)求x －2y 的最大值与最小值． 【精彩点拨】 利用式子y －2x －1与x －2y 的几何意义求解． 【规范解答】 (1)显然y －2x －1可以看作是点P (x ，y )与点Q (1,2)连线的斜率．令y －2x －1＝k ，如图所示，则其最大、最小值分别是过点Q (1,2)的圆C 的两条切线的斜率．对上式整理得kx －y －k ＋2＝0， ∴|－2k ＋2－k |1＋k2＝1， ∴k ＝3±34.故y －2x －1的最大值是3＋34，最小值是3－34. (2)令u ＝x －2y ，则u 可视为一组平行线，当直线和圆C 有公共点时，u 的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得．依题意，得|－2－u |5＝1，解得u ＝－2±5，故x －2y 的最大值是－2＋5，最小值是－2－ 5. [再练一题]4．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋8x －6y ＋16＝0，求x ＋y 的最小值． 【解】 原方程化为 (x ＋4)2＋(y －3)2＝9， 设x ＋y ＝b ，则y ＝－x ＋b ，可见x ＋y 的最小值就是过圆(x ＋4)2＋(y －3)2＝9上的点作斜率为－1的平行线中，纵截距b 的最小值，此时，直线与圆相切，由点到直线的距离公式得|4－3＋b |2＝3.解得b ＝32－1或b ＝－32－1， 所以x ＋y 的最小值为－32－1.1．圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( ) A ．1 B ．2 C. 2D ．2 2【解析】 圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心坐标为(－1,0)，由y ＝x ＋3得x －y ＋3＝0，则圆心到直线的距离d ＝|－1－0＋3|12＋－2＝ 2.【答案】 C2．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( ) A ．－43B ．－34C. 3D ．2【解析】 由圆的方程x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0得圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得d ＝|1×a ＋4－1|1＋a2＝1，解之得a ＝－43. 【答案】 A3．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离【解析】 法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2ay ＝0，x ＋y ＝0得两交点为(0,0)，(－a ，a )．∵圆M 截直线所得线段长度为22， ∴a 2＋－a2＝2 2.又a >0，∴a ＝2.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心M (0,2)，半径r 1＝2. 又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心N (1,1)，半径r 2＝1， ∴|MN |＝－2＋－2＝ 2.∵r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3,1<|MN |<3，∴两圆相交．法二：∵x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)⇔x 2＋(y －a )2＝a 2(a >0)， ∴M (0，a )，r 1＝a . 依题意，有a2＝a 2－2，解得a ＝2. 以下同法一． 【答案】 B4．已知a ∈R 方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．【解析】 由二元二次方程表示圆的条件可得a 2＝a ＋2，解得a ＝2或－1.当a ＝2时，方程为4x 2＋4y 2＋4x ＋8y ＋10＝0，即x 2＋y 2＋x ＋2y ＋52＝0，配方得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝－54<0，不表示圆；当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，配方得(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5.【答案】 (－2，－4) 55．设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________.【解析】 圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程是C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2， 所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2.|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a 即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2，由勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－a ＋2a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以r ＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π. 【答案】 4π。
2018版高中数学第4章 章末综合测评4含解析
章末综合测评（四）圆与方程（时间120分钟，满分150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在空间直角坐标系中,点A(－3，4，0）与点B （2，－1，6）的距离是( )A．2错误!B．2错误!C．9 D.86【解析】由空间直角坐标系中两点间距离公式得:|AB｜＝错误!＝错误!。
【答案】D2．当圆x2＋y2＋2x＋ky＋k2＝0的面积最大时，圆心坐标是( ）A．（0，－1) B．(－1，0）C．（1，－1) D．(－1,1)【解析】圆的标准方程得：(x＋1)2＋错误!错误!＝1－错误!，当半径的平方1－错误!取最大值为1时，圆的面积最大．∴k＝0，即圆心为(－1，0)．【答案】B3．圆O1：x2＋y2－4x－6y＋12＝0与圆O2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0的位置关系是( )A．相交B．相离C．内含D．内切【解析】把圆O1：x2＋y2－4x－6y＋12＝0与圆O2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0分别化为标准式为(x－2)2＋(y－3）2＝1和(x－4)2＋(y－3)2＝9，两圆心间的距离d＝4－22＋3－32＝2＝｜r1－r2|,所以两圆的位置关系为内切,故选D。
【答案】D4．过点(2，1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最长弦所在的直线方程为（)A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋1＝0【解析】依题意知所求直线通过圆心(1，－2),由直线的两点式方程，得错误!＝错误!，即3x－y－5＝0，故选A。
【答案】A5．已知点M（a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )A．相切B．相交C．相离D．不确定【解析】由题意知点在圆外，则a2＋b2＞1，圆心到直线的距离d＝错误!＜1，故直线与圆相交．【答案】B6．若P(2，－1）为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB 的中点，则直线AB的方程是( ）A．2x－y－5＝0 B．2x＋y－3＝0C．x＋y－1＝0 D．x－y－3＝0【解析】圆心C(1，0)，k PC＝错误!＝－1，则k AB＝1，AB的方程为y＋1＝x－2，即x－y－3＝0,故选D.【答案】D7．圆心在x轴上，半径为1，且过点（2,1）的圆的方程是（)A．（x－2)2＋y2＝1B．（x＋2）2＋y2＝1C．（x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋（y－2）2＝1【解析】设圆心坐标为（a，0），则由题意可知(a－2)2＋（1－0)2＝1，解得a＝2。
2017-2018学年高中数学 第04章 圆与方程章末检测 新人教A版必修2
第四章 圆与方程章末检测一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．点A (0,-2,3)在空间直角坐标系中的位置是 A ．在x 轴上 B ．在xOy 平面内 C ．在yOz 平面内D ．在xOz 平面内2．圆22460x y x y +-+=的圆心坐标是 A ．(2,3) B ．(-2,3) C ．(-2,-3) D ．(2,-3)3．若点(3,)在圆x 2+y 2=16的内部,则a 的取值范围是A ．[0,7)B ．(-∞,7)C ．{7}D ．(7,+∞) 4．已知点P (1,2,3)关于y 轴的对称点为P 1,关于xOz 平面的对称点为P 2,则|P 1P 2|= A ．2 B ．2 C ．2D ．25．直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m 相切，则m 的值为 A ．0或2 B ．2 C ．D ．无解6．当a 为任意实数时,直线(a-1)x-y +a +1=0恒过定点C ,则以C 为圆心,为半径的圆的方程为A ．x 2+y 2-2x +4y =0B ．x 2+y 2+2x +4y =0C ．x 2+y 2+2x-4y =0D ．x 2+y 2-2x-4y =07．过圆x 2+y 2=4外一点M (4,-1)引圆的两条切线,则经过两切点的直线方程是 A ．4x-y-4=0 B ．4x+y-4=0 C ．4x+y+4=0 D ．4x-y+4=08．直线与圆的位置关系为A ．与m 的值有关B ．相离C ．相切D ．相交9．已知圆C 1:()()22111x y ++-=,圆C 2与圆C 1关于直线10x y --=对称,则圆C 2的方程为A ．()()22221x y ++-= B ．()()22221x y -++= C ．()()22221x y +++=D ．()()22221x y -+-=10．若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是 A ．()227313x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ B ．C ．D ．()223112x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭11．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是A ．相交B ．内切C ．外切D ．相离12．设为圆上的动点，是圆的切线，且，则点的轨迹方程为A ．B ．C ．D ．二、填空题：请将答案填在题中横线上．13．如图所示,已知长方体1111ABCD A B C D -中,1||||2,||3AB AA BC ===,M 为AC 1与CA 1的交点,则M 点的坐标为___________.14．圆x 2+y 2﹣2x ﹣2y +1=0上点到直线x +y ﹣4=0的最大距离与最小距离的差为___________. 15．已知圆与直线相交于两点,且满足(为圆心),则实数的值为___________. 16．已知圆C 同时被直线与平分,且与直线相切,则圆C 的方程为___________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知直线，直线,且这两条直线互相垂直.(1)求直线与的交点坐标；(2)已知圆，判断直线与圆有无公共点，有几个公共点.18．已知圆：的圆心在第二象限，半径为，且圆与直线及轴都相切.(1)求；(2)若直线与圆交于两点，求.19．如图，已知正方体的棱长为，为的中点，点在上，且，试求的长．20．在平面直角坐标系xOy中,已知圆C截x轴所得的线段长为2,截y轴所得的线段长为2 ,且点C到直线y=x 的距离为,求圆C的方程.321．设有半径为3千米的圆形村落，A ，B 两人同时从村落中心出发，B 向北直行，A 先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周围界相切的直线前进，后来恰与B 相遇.设A ，B 两人速度一定，其速度比为3：1，问两人在何处相遇？22．在平面直角坐标系xOy 中,已知圆C 1:(x +3)2+(y-1)2=4和圆C 2:(x-4)2+(y-5)2=4.(1)若直线l 过点A (4,0),且被圆C 1截得的弦长为2,求直线l 的方程;(2)设P 为平面上的点,且满足:存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2,它们分别与圆C 1和圆C 2相交,且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P 的坐标.1．【答案】C【解析】∵点A 的横坐标为0,∴点A (0,-2,3)在yOz 平面内. 2．【答案】D【解析】22460x y x y +-+=化为()()222313x y -++=,可知圆心坐标为(2,-3).56．【答案】C【解析】直线方程可化为(x +1)a-(x +y-1)=0,直线过定点,即对任意的实数a ,方程恒成立,故有1010x x y +=⎧⎨+-=⎩,解得12x y =-⎧⎨=⎩,即直线过定点C (-1,2),故所求圆的方程为(x +1)2+(y-2)2=5,即x 2+y 2+2x-4y =0.7．【答案】A【解析】设两切点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则两切线的方程为x 1x+y 1y =4,x 2x+y 2y =4.又点M (4,-1)在两切线上,∴4x 1-y 1=4,4x 2-y 2=4,∴两切点的坐标满足方程4x-y =4,∴经过两切点的直线方程为4x-y-4=0. 8．【答案】D【解析】依题意,直线化为,由27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得31x y =⎧⎨=⎩，即直线过定点,点到圆心的距离,则点在圆内,故直线与圆相交,故选D.9．【答案】B【解析】设点(x ,y )与圆C 1的圆心(-1,1)关于直线10x y --=对称,则111111022y x x y -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪--=⎪⎩,解得,从而可知圆C 2的圆心为(2,-2),又知其半径为1,故所求圆C 2的方程为()()22221x y -++=,选B. 10．【答案】B【解析】依题意设圆心，由圆与直线相切，得4315a -=，解得，故圆的标准方程是，故选B ．212．【答案】B【解析】如图，设，由题意可知，所以点的轨迹为圆，圆心为，半径为．∴点的轨迹方程为．13．【答案】(1,32,1) 【解析】由长方体的几何性质得,M 为AC 1的中点,在所给的空间直角坐标系中,A (0,0,0),C 1(2,3,2),∴中点M 的坐标为(1,32,1). 14．【答案】2【解析】圆,圆心,半径.圆心到直线的距离d ==，所以圆上的点到直线的最大距离与最小距离分别为、,即圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差为2. 15．【答案】或7【解析】圆()222:22C x y -+=,又因为，所以圆心C (2,0)到直线的距离d =，由点到直线的距离公式可得d=，则实数或.17．【解析】(1) 由得，，即，联立两条直线的方程，得到方程组220210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解方程组得，所以交点坐标为.(2)圆的圆心坐标是,半径,圆心到直线的距离,5d d r =∴>,所以直线与圆相离，没有公共点. 18．【解析】(1)由题意，圆的方程为，且，∵圆与直线及轴都相切，∴，345a b+=，∴，∴圆的方程为，化为一般方程为，∴，，.(2)圆心到直线的距离为1d ==，∴. 19．【解析】以为原点，以、、所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系．因为正方体的棱长为， 所以，，，．取中点，则点坐标为,,22a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭．因为为的中点，所以222，，a a a M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为，所以为的四等分点，从而为的中点，故3,,44a a N a ⎛⎫ ⎪⎝⎭．根据空间两点间的距离公式，得MN ==． 20．【解析】设圆心C (a ,b ),圆C 的半径为r .由题知b 2+2=r 2,a 2+3=r 2,∴b 2+2=a 2+3. ∴b 2-a 2=1.又C 点到直线y =x 的距离为,2=,即|a-b|=1, ∴2211a b b a ⎧-=⎨-=⎩, 由2211a b b a -=⎧⎨-=⎩,得01a b =⎧⎨=-⎩, 此时,圆C 的半径r =.由2211a b b a -=-⎧⎨-=⎩,得01a b =⎧⎨=⎩, 此时,圆C 的半径r =.∴圆C 的方程为x 2+(y+1)2=3或x 2+(y-1)2=3.9将①代入0003PQ x y k x +=-又已知PQ 与圆O 相切，直线PQ 在轴上的截距就是两人相遇的位置.设直线153,4b =∴=.∴A ，B 相遇点在离村中心正北千米处.22．【解析】(1)由题意可知直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为y =k (x-4),即kx-y-4k =0,所以圆心C 1(-3,1)到直线l 的距离d=1,=1,化简得24k 2+7k =0,解得k =0或k =724-. 所以直线l 的方程为y =0或y =724-(x-4),即y =0或7x +24y-28=0.。
20172018学年高中数学第四章圆与方程章末检测新人教A版必修2
1.1.1 集合的含义与表示章末检测时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．空间两点A (3，－2,5)，B (6,0，－1)之间的距离为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 解析：|AB |＝3－62＋－2－02＋5＋12＝49＝7.答案：B2．方程x 2＋y 2－4x ＋4y ＋10－k ＝0表示圆，则k 的取值范围是( ) A ．k ＜2 B ．k ＞2 C ．k ≥2D ．k ≤2解析：若方程表示圆，则(－4)2＋42－4(10－k )＞0， 解得k ＞2. 答案：B3．将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝0解析：因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C. 答案：C4．直线4x －3y －2＝0与圆x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2－12＝0总有两个交点，则a 应满足( ) A ．－3＜a ＜7 B ．－6＜a ＜4 C ．－7＜a ＜3D ．－21＜a ＜19解析：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2－12＝0， 配方得(x －a )2＋(y ＋2)2＝16， 圆心为(a ，－2)，半径r ＝4. 若直线与圆总有两个交点， 则|4a ＋6－2|5＜4，∴|4a ＋4|＜20，∴|a ＋1|＜5.∴－6＜a ＜4. 答案：B5．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( ) A ．1或3 B ．1或5 C ．3或5 D ．1或2解析：当k ＝3时，两直线平行；当k ≠3时，由两直线平行，斜率相等，得3－k 4－k ＝k －3，解得k ＝5. 答案：C6．直线l ：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12与圆C ：x 2＋y 2＝1的位置关系为( )A ．相交或相切B ．相交或相离C ．相切D ．相交解析：解法一 因为直线y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0， 而点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0在圆x 2＋y 2＝1内，所以直线和圆相交．解法二 圆C 的圆心(0,0)到直线y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12k k 2＋1，因为d 2＝14k 2k 2＋1<14<1，所以直线与圆相交． 答案：D7．当点P 在圆x 2＋y 2＝1上运动时，它与定点Q (3,0)连线的中点M 的轨迹方程是( ) A ．(x ＋3)2＋y 2＝4 B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D ．(2x ＋3)2＋4y 2＝1解析：设M (x ，y )，则P (2x －3,2y )． 因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上， 故有(2x －3)2＋4y 2＝1. 答案：C8．已知直线x －2y －3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E ，F 两点，则△EOF (O 是原点)的面积为( )A.32B.34 C ．2 5 D.655解析：该圆的圆心为A (2，－3)，半径长r ＝3，圆心到直线的距离d ＝|2＋6－3|1＋4＝5，弦长为2r 2－d 2＝29－5＝4.因为原点到直线的距离为|0－0－3|1＋4＝35，所以S ＝12×4×35＝655.答案：D9．设A (1,1，－2)，B (3,2,8)，C (0,1,0)，则线段AB 的中点P 到点C 的距离为( )A.132 B.534 C.532 D.532解析：利用中点公式，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3，由两点间距离公式计算知|PC |＝2－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋3－02＝4＋14＋9＝532. 答案：D10．若过定点M (－1,0)且斜率为k 的直线与圆x 2＋4x ＋y 2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是( ) A ．0＜k ＜ 5 B ．－5＜k ＜0 C ．0＜k ＜13D ．0＜k ＜5解析：圆x 2＋4x ＋y 2－5＝0可变形为(x ＋2)2＋y 2＝9，如图所示． 当x ＝0时，y ＝±5，结合图形可得A (0，5)， ∵k AM ＝51＝5， ∴k ∈(0，5)． 答案：A11．动圆x 2＋y 2－(4m ＋2)x －2my ＋4m 2＋4m ＋1＝0的圆心的轨迹方程是( ) A ．2x －y －1＝0 B ．2x －y －1＝0(x ≠1) C ．x －2y －1＝0(x ≠1)D ．x －2y －1＝0解析：圆心为(2m ＋1，m )，r ＝|m |(m ≠0)． 不妨设圆心坐标为(x ，y )，则x ＝2m ＋1，y ＝m ，∴x －2y －1＝0. 又∵m ≠0，∴x ≠1，故选C. 答案：C12．过点P (2,3)向圆x 2＋y 2＝1作两条切线PA 、PB ，则弦AB 所在直线的方程为( ) A ．2x －3y －1＝0 B ．2x ＋3y －1＝0 C ．3x ＋2y －1＝0D ．3x －2y －1＝0解析：圆x 2＋y 2＝1的圆心为坐标原点O ，以OP 为直径的圆的方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝134.显然这两个圆是相交的，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝134，得2x ＋3y －1＝0，这就是弦AB 所在直线的方程． 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13．圆心为点(2，－3)，且被直线2x ＋3y －8＝0截得的弦长为43的圆的标准方程为____________．解析：∵圆心(2，－3)到直线距离d ＝|4－9－8|4＋9＝1313＝13，∴R 2＝d 2＋(23)2＝13＋12＝25， ∴R ＝5.答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝2514．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a <3)相交于点A 、B ，弦AB 的中点为(0,1)，则直线l 的方程为____________．解析：依题意得圆心坐标为(－1,2)，且直线l 与由圆心与点(0,1)确定的直线相互垂直，因此直线l 的斜率等于1，又该直线l 经过点(0, 1)，所以直线的方程是y －1＝x ，即x －y ＋1＝0.答案：x －y ＋1＝015．在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B 的距离相等，则M 的坐标是________．解析：设M (0，y,0)，由1＋y 2＋4＝1＋(－3－y )2＋1，可得y ＝－1，故M (0，－1,0)． 答案：(0，－1,0)16．点P 为圆x 2＋y 2＝1上的动点，则点P 到直线3x －4y －10＝0的距离的最小值为________． 解析：点P 到直线3x －4y －10＝0距离的最小值为圆心到直线的距离减半径．d min ＝1032＋42－1＝105－1＝1. 答案：1三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知圆M ：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－1＝0与圆N ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0相交于A 、B 两点，且这两点平分圆N 的圆周，求圆M 的圆心坐标． 解析：由圆M 和圆N 的方程易知两圆的圆心分别为M (m ，－2)，N (－1，－1)． 两圆方程相减得直线AB 的方程为 2(m ＋1)x －2y －m 2－1＝0. ∵A 、B 两点平分圆N 的圆周，∴AB 为圆N 的直径，直线AB 过点N (－1，－1)． ∴2(m ＋1)×(－1)－2×(－1)－m 2－1＝0. 解得m ＝－1.故圆M 的圆心为M (－1，－2)．18．(本小题满分12分)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P (2,2)，过点P 作直线l 交圆C于A ，B 两点．(1)当直线l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； (2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程．解析：(1)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9的圆心为C (1,0)，因为直线l 过点P ，C ，所以直线l 的斜率为2，直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.(2)当弦AB 被点P 平分时，直线l 垂直于PC ，直线l 的方程为y －2＝－12(x －2)，即x ＋2y－6＝0.19．(本小题满分12分)已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0(m ∈R)． (1)判断直线l 与圆C 的位置关系；(2)设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若直线l 的倾斜角为120°，求弦AB 的长． 解析：(1)直线l 可变形为y －1＝m (x －1)，因此直线l 过定点D (1,1)，又12＋1－12＝1<5，所以点D 在圆C 内，则直线l 与圆C 必相交． (2)由题意知m ≠0，所以直线l 的斜率k ＝m ， 又k ＝tan 120°＝－3，即 m ＝－ 3.此时，圆心C (0,1)到直线l ：3x ＋y －3－1＝0的距离d ＝|－3|32＋12＝32，又圆C 的半径r ＝5， 所以|AB |＝2r 2－d 2＝25－⎝⎛⎭⎪⎫322＝17. 20．(本小题满分12分)已知圆C 的方程为：x 2＋y 2－4mx －2y ＋8m －7＝0，(m ∈R)． (1)试求m 的值，使圆C 的面积最小；(2)求与满足(1)中条件的圆C 相切，且过点(4，－3)的直线方程．解析：配方得圆的方程为(x －2m )2＋(y －1)2＝4(m －1)2＋4.(1)当m ＝1时，圆的半径最小，此时圆的面积最小．(2)当m ＝1时，圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4. 当斜率存在时设所求直线方程为y ＋3＝k (x －4)， 即kx －y －4k －3＝0.由直线与圆相切，所以|2k －1－4k －3|k 2＋1＝2，解得k ＝－34.所以切线方程为y ＋3＝－34(x －4)，即3x ＋4y ＝0.又过(4，－3)点，且与x 轴垂直的直线x ＝4，也与圆相切． 所以所求直线方程为3x ＋4y ＝0及x ＝4.21.(本小题满分13分)如图所示，圆O 1和圆O 2的半径长都等于1，|O 1O 2|＝4.过动点P 分别作圆O 1，圆O 2的切线PM ，PN (M ，N 为切点)，使得|PM |＝2|PN |.试建立平面直角坐标系，并求动点P 的轨迹方程． 解析：以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在的直线为x 轴，O 1O 2的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．则O 1(－2,0)，O 2(2,0)．由已知|PM |＝2|PN |，得|PM |2＝2|PN |2. 因为两圆的半径长均为1， 所以|PO 1|2－1＝2(|PO 2|2－1)．设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1]， 即(x －6)2＋y 2＝33，所以所求动点P 的轨迹方程为(x －6)2＋y 2＝33.22．(本小题满分13分)已知：以点C ⎝⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点． (1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M 、N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程．解析：(1)证明：∵圆C 过原点O ，∴r 2＝OC 2＝t 2＋4t2.设圆C 的方程是(x －t )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t2＋4t2.令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t .∴S △OAB ＝12OA ×OB ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ×|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值．(2)∵OM ＝ON ，CM ＝CN ，∴OC 垂直平分线段MN . ∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12.∴直线OC 的方程是y ＝12x .∴2t ＝12t .解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5， 此时C 点到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5，圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，OC＝5，此时C点到直线y＝－2x＋4的距离d＝95>5，圆C与直线y＝－2x＋4不相交，∴t＝－2不符合题意，舍去．∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.。
2018-2019学年苏教版高中数学必修4章末综合检测03 Word版含解析
章末综合测评(三) 三角恒等变换(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，则cos 2α＝________.【解析】 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，得cos α＝35，所以cos 2α＝2cos 2 α－1＝－725.【答案】 －7252．若sin αsin β＝1，则cos(α－β)＝________.【解析】 ∵sin αsin β＝1，∴sin α＝－1，sin β＝－1或sin α＝1，sin β＝1.由sin 2α＋cos 2α＝1得cos α＝0.∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝0＋1＝1. 【答案】 13．sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°＝________. 【解析】 原式＝－sin 17°cos 47°＋cos 17°sin 47° ＝sin(47°－17°) ＝sin 30° ＝12 【答案】 124．化简：2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α＝________.【解析】 原式＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α. 【答案】 tan 2α5．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，则tan 2α＝________.【解析】 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，∴cos α＝－255，∴tan α＝－12， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43.【答案】 －436．(2016·南通高一检测)化简： cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－7π8－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋7π8＝________.【解析】 原式＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －7π42－1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π42 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －7π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π4＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤22(cos x －sin x )＋22(cos x ＋sin x )＝22cos x . 【答案】 22cos x7．已知sin α2－cos α2＝－55，450°＜α＜540°，则tan α2＝________. 【解析】 已知等式两边平方得sin α＝45，450°＜α＜540°， ∴cos α＝－35，∴tan α2＝1－cos αsin α＝2. 【答案】 28．tan 19°＋tan 41°＋3tan 19°tan 41°的值为________． 【解析】 tan 19°＋tan 41°＝tan 60°(1－tan 19°tan 41°)＝3－3tan 19°tan 41°∴原式＝3－3tan 19°tan 41°＋3tan 19°tan 41°＝ 3. 【答案】39．设a ＝sin 14°＋cos 14°，b ＝sin 16°＋cos 16°，c ＝62，则a ，b ，c 的大小关系是________．【解析】 a ＝2sin 59°，b ＝2sin 61°，c ＝2sin 60°， 所以a ＜c ＜b . 【答案】 a ＜c ＜b10．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象向________平移________个单位．【解析】 y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4＝2cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12故将y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位得到y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象． 【答案】 右 π1211．函数y ＝sin x cos x ＋3cos 2x －32图象的对称轴方程为________． 【解析】 ∵y ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∴由2x ＋π3＝k π＋π2得x ＝k π2＋π12(k ∈Z )． 【答案】 x ＝k π2＋π12，k ∈Z12．(2016·苏州高一检测)已知点P sin 34π，cos 34π落在角θ的终边上，且θ∈0,2π)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3的值为________．【解析】 由题意知，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 34π，cos 34 π在第四象限，且落在角θ的终边上，所以tan θ＝－1，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝tan θ＋tan π31－tan θtan π3＝－1＋31＋3＝2－ 3.【答案】 2－ 313．设α，β∈(0，π)，且sin(α＋β)＝513，tan α2＝12，则cos β的值为________． 【解析】 由tan α2＝12，得sin α＝2tan α21＋tan 2 α2＝11＋14＝45，∵α∈(0，π)，∴cos α＝35，由sin(α＋β)＝513<sin α，α，β∈(0，π)，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos(α＋β)＝－1213. cos β＝cos (α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－1665. 【答案】 －166514．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos x ＋a 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的最大值为2，则常数a 的值为________．【解析】 f (x )＝2sin x cos π6＋cos x ＋a ＝3sin x ＋cos x ＋a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋a ，又－π3≤x ＋π6≤2π3，∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤1，∴a ＋2＝2，则a ＝0.【答案】 0二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知sin α＝cos 2α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin 2α.【解】 ∵sin α＝1－2sin 2α，即2sin 2α＋sin α－1＝0， ∴sin α＝－1或sin α＝12.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝12，α＝π6.∴cos α＝32.∴sin 2α＝2×12×32＝32.16．(本小题满分14分)求1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°1tan 5°－tan 5°的值．【解】 原式＝2cos 210°2sin 20°－2sin 10°·1－tan 25°2tan 5° ＝cos 210°2sin 10°cos 10°－2sin 10°·cos 10°sin 10°＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin (30°－10°)2sin 10°＝32.17．(本小题满分14分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝41313.(1)求cos(α－β)的值；(2)若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，且sin β＝－45，求sin α的值． 【解】 (1)a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)，|a －b |2＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2－2cos(α－β)，∴1613＝2－2cos(α－β)，∴cos(α－β)＝513.(2)由0＜α＜π2，－π2＜β＜0且sin β＝－45， 可知cos β＝35，且0＜α－β＜π， ∵cos(α－β)＝513，∴sin(α－β)＝1213. ∴sin α＝sin(α－β＋β)＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝1213×35＋513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝1665.18．(本小题满分16分)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－277，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝12且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. 求：(1)cosα＋β2；(2)tan(α＋β)．【解】 (1)∵π2＜α＜π，0＜β＜π2， ∴π4＜α－β2＜π，－π4＜α2－β＜π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝217，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝32.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β2 ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－277＋217×12 ＝－2114.(2)又α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴α＋β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，且cos α＋β2＜0，故tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＜0，∴tan α＋β2＝－533.∴tan(α＋β)＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β21－tan 2α＋β2＝5311.19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12. (1)若0＜α＜π2，且sin α＝22，求f (α)的值． (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． 【解】 f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12 ＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)∵0＜α＜π2，sin α＝22，∴α＝π4.从而f (α)＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22sin 3π4＝12.(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得 k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .20．(本小题满分16分)如图1，在直径为1的圆O 中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y ＞x ＞0.图1(1)将十字形的面积表示成θ的函数； (2)求十字形的最大面积． 【解】 (1)设S 为十字形面积，则S ＝2xy －x 2＝2sin θcos θ－cos 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＜θ＜π2. (2)S ＝2sin θcos θ－cos 2θ＝sin 2θ－12cos 2θ－12＝52×⎝ ⎛⎭⎪⎫255sin 2θ－55cos 2θ－12＝52sin(2θ－φ)－12(设φ为锐角且tan φ＝12) 当sin(2θ－φ)＝1，即2θ－φ＝π2时，S 最大． 即当θ＝π4＋φ2时，十字形取得最大面积52－12.。
2017-2018学年高中数学第四章圆与方程阶段质量检测A卷(含解析)新人教A版必修2
第四章圆与方程（时间120分钟，满分150分）一、选择题（共10小题，每小题6分，共60分） 1 •直线I : y = k 》+1 :与圆C ： x 2+ y 2= 1的位置关系为（ ） A. 相交或相切 B .相交或相离 C.相切 D.相交 答案：D 2 .已知圆x 2 + y 2 + Dx + Ey = 0的圆心在直线 x + y = 1上，贝U D 与E 的关系是（ ） A . D+ E = 2 B . D + E = 1 C. D+ E =- 1 D. D + E =- 2 答案：D 3.若圆C ： x + y - 2( m — 1)x + 2(m- 1)y + 2m — 6m^ 4= 0过坐标原点，则实数 m 的值为 ( ) A . 2 或 1 B .- 2 或—1 C. 2 D. 1 答案：C 4.以正方体 ABCDABCD 的棱AB AD AA 所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系, 且正方体的棱长为一个单位长度，则棱 CC 中点坐标为（ ） . . 2 2 . . 2 2 5. 圆O ： x + y — 2x = 0和圆Q: x + y — 4y = 0的位置关系是( A .相离 C.外切 答案：B6. 自点A —1,4)作圆(x - 2)2+ (y -3)2= 1的切线，则切线长为( )A. 5 B . 3B .相交 D.内切 2 D . 2 A.答案：C1 2,C. 10D. 5 答案：B7. 直线.3x — y + m= 0与圆x 2 + y 2— 2x — 2 = 0相切，则实数 m 等于( ) A. 3或—3 B .— 3或 3 3 C.— 3 3或 3 D.— 3 3或 3 3 答案：C 8 .圆心在x 轴上，半径长为 .2,且过点(一2,1)的圆的方程为( ) 2 2 A. (x + 1) + y = 2 2 2 B. x + (y + 2) = 2 C. (x + 3)2+ y 2 = 2 2 2 2 2 D. (x + 1) + y = 2 或(x + 3) + y = 2 答案：D 9. 已知三点A (1,0) , B(0 , 3) , C (2 , _ 3),则厶ABC 外接圆的圆心到原点的距离为 (D.- 答案：B 10. 若直线x — y = 2被圆(x — a )2+ y 2= 4所截得的弦长为2 2，则实数a 的值为( ) A .— 1 或 3 C.— 2 或 6 答案：D B . 1 或 3 D. 0 或 4 二、填空题(共4小题，每小题 5分，共20分) 11.在如图所示的长方体 ABCDABCD 中，已知 A(a,0, c ) , Q0 , b, 0)，则点B 的坐标 为. 答案：(a , b , c ) 12. _________________________________________________________ (北京高考)直线y = x 被圆x 2 + (y — 2)2= 4截得的弦长为 ______________________________________ 答案：2 2A.3B. ,21 ~T~ .1 ■A L13. 设点A为圆(x—2)2+ (y—2)2= 1上一动点，则A到直线x—y—5= 0的最大距离为答案：522+114. 已知M —2,0) , N2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是答案：x2+ y2= 4(x^ 土2)三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15. (本小题满分10 分)已知两圆C : x+ y —2x —6y—1 = 0 和C2：x + y —10x—12y + 45 =0.(1) 求证：圆C和圆C2相交；(2) 求圆C和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.解：⑴证明：圆C的圆心C(1,3),半径11,圆C2的圆心C2(5,6)，半径「2= 4,两圆圆心距d= | CC2| = 5, r 1 + r2=寸11 + 4,|「1 —「2| = 4 —11 ,—「2|<d<r1+「2,二圆C和C2相交.(2)圆C和圆C的方程左、右分别相减，得4x + 3y —23= 0,•两圆的公共弦所在直线的方程为4x + 3y —23= 0.圆心C2(5,6)到直线4x+ 3y —23= 0的距离|20 + 18—23|d = : = 3,寸16+ 9故公共弦长为2 , 16 —9 = 2 7.16. (本小题满分12分)正方形ABCD^正方形ABEF勺边长都是1,并且平面ABCCL平面ABEF点M在AC上移动，点N在BF上移动.若| CM = | BN = a(0 v a v 2).(1) 求MN的长度；(2) 当a为何值时，MN的长度最短.解：因为平面ABCDL平面ABEF且交线为AB BEL AB所以BE!平面ABCD所以BA BC BE两两垂直.取B为坐标原点，BA BE BC所在直线分别为x轴、y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为|BC = 1 , |CM = a,点M在坐标平面xBz上且在正方形ABCD勺对角线AC上 ,因为点 N 在坐标平面 xBy 上且在正方形 ABEF 的对角线 BF 上，| BN = a ,所以点17.(本小题满分12分)一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米?解：以圆拱顶点为原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.设圆心为C,水面所在弦的端点为 A , B,则由已知可得 A (6 , — 2),设圆的半径长为r ,贝U C (0，— r )，即圆的方程为 x 2+ (y + r )2= r 2•将点A 的坐标代入上 述方程可得r = 10,所以圆的方程为 x 2+ (y + 10)2= 100.当水面下降1米后，可设A (x c , — 3)( xo0)，代入x 2 + (y + 10) 2= 100,解得2x 0= 2 51 , 即当水面下降1米后，水面宽2 51米.18. (本小题满分12分)已知圆M 的方程为x 2 + (y — 2)2= 1，直线I 的方程为x — 2y = 0, 点P 在直线l 上，过P 点作圆M 的切线PA PB 切点为A, B(1) 若/ APB= 60°，试求点 P 的坐标；⑵由⑴得 | MN = ,a 2— 2a + 1a = ~2(满足 0 v a v 2）时,V 》-¥ j+2取得最小值乎, 即MN 的长度最短，最短为(1)由空间两点间的距离公式，得 =.a 2—... 2a + 1,即 卩 MN 的长度为 a 2—. 2a + 1. 当------- 12 ------ *(2) 若点P的坐标为(2,1)，过P作直线与圆M交于C, D两点，当CD= 2时，求直线CD 的方程.2 2 ^4 解：⑴ 设P (2 m m ，由题可知 MP= 2，所以(2 m + ( m- 2) = 4，解得 m= 0或m=R 故 5 ⑵ 由题意易知k 存在，设直线 CD 的方程为y — 1 = k (x — 2)，由题知圆心 M 到直线CD 的 距离为老，所以步=1 —2k — 21，解得k =— 1或k = —1，故所求直线CD 的方程为：x + y —3 2 2 『+ k 7 =0 或 x + 7y — 9= 0. 19. (本小题满分12分)已知以点C 为圆心的圆经过点 A — 1,0)和 氏3,4)，且圆心在直 线x + 3y — 15= 0上•设点P 在圆C 上，求△ PAB 的面积的最大值. 解：•••线段AB 的中点为(1,2)，直线AB 的斜率为1, •••线段AB 的垂直平分线的方程为 y — 2=— (x — 1)，即y = — x + 3. y = — x + 3, x + 3y — 15= 0, 即圆心C 为(一3,6), 则半径 r = — 3+] 2+ 62= 2 10. 又| AB = . :〕+ 1 2 + 42 =4 2, •圆心 C 到 AB 的距离 d = . 2 10 2— 2 . 2 2 = 4 2, •••点P 到AB 的距离的最大值为 d + r = 4 2+ 2 10 , • △ PAB 的面积的最大值为 1x4 2X (4 2+ 2 10) = 16+ 8 5. 2 2 20. (本小题满分12分)已知方程x + y — 2x — 4y + n == 0. (1) 若此方程表示圆，求 m 的取值范围； (2) 若(1)中圆与直线x + 2y — 4= 0相交于 M N 两点，且OML ONO 为坐标原点)，求m 的 值； (3) 在(2)的条件下，求以 MN 为直径的圆的方程. 解：(1) •/ x + y — 2x — 4y + m= 0 , • D =— 2 , E =— 4 , F = m 由 D"+ E 2— 4F = 20— 4m >0 , 可得m ：5.故m 的取值范围为(—g , 5). 了x + 2y — 4 = 0 , (2)联立方程组 2 2 |x + y — 2x — 4y + m= 0 , 2 消去 x 得 5y — 16y + 8 + m= 0.所求点P 的坐标为P (0,0)或 P 5，5. 联立 解得 y = 6,设Mx1 , y1), N(X2 , y2),•/ OML ON ... X 1X 2+ y i y 2= 0, • 5y i y 2- 8( y i + y 2)+16 = 0.⑶设圆心为（a , b ），则 4 y i + y 2 8 _ b =------------------------ =— 5， 2 5,16 ••• y i + 屮=~5, 8 + m yiy2= 丁.半径r = | MN = 2 = •圆的方程为 8 2 i6 5 = ~5 X i + X 2。
高中数学章末检测卷(四)圆与方程新人教A版必修2(2021年整理)
（浙江专用）2018版高中数学章末检测卷（四）圆与方程新人教A版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（浙江专用）2018版高中数学章末检测卷（四）圆与方程新人教A版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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章末检测卷（四)（时间：120分钟满分:150分）一、选择题1。
点A（2a，a－1)在以点C(0,1)为圆心，半径为错误!的圆上，则a的值为（）A.±1 B。
0或1C.－1或错误!D。
－错误!或1解析由题意，得圆的方程为x2＋(y－1）2＝5,将点A的坐标代入圆的方程可得a＝1或a＝－错误!。
答案D2.已知点M（a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( ）A.相切B.相交C。
相离D。
不确定解析由题意知点在圆外，则a2＋b2〉1，圆心到直线的距离d＝错误!〈1,故直线与圆相交.答案B3。
过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为（)A。
错误! B.2 C.错误!D。
2错误!解析直线方程为y＝错误!x，圆的方程化为x2＋(y－2)2＝22，∴r＝2,圆心（0，2）到直线y ＝3x的距离为d＝1，∴半弦长为错误!＝错误!，∴弦长为2错误!。
答案D4。
圆心在x轴上，半径为1，且过点（2，1)的圆的方程是( )A。
(x－2)2＋y2＝1 B.(x＋2)2＋y2＝1C。
(x－1)2＋(y－3)2＝1 D.x2＋(y－2)2＝1解析设圆心坐标为(a，0）,则由题意可知(a－2）2＋(1－0)2＝1，解得a＝2。
高中数学第四章圆与方程单元检测新人教A版必修2(2021年整理)
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A．（2,2，1) B。
错误!C.错误!D.错误!答案：D解析：易知B(2，2,0），B1(2,2,2）,∴E的竖坐标z＝错误!×2＝错误!，∴E的坐标为错误!.8．已知圆C1:x2＋y2－4x－2y＋1＝0，直线l：3x－4y＋m＝0,圆上存在两点到直线l的距离为1，则m的取值范围是( ）A．（－17，－7）B．（3，13)C．(－17，－7)∪（3，13）D．［－17，－7］∪[3,13］答案：C解析:当圆心到直线的距离d满足r－1<d〈r＋1时，圆上存在两个点到直线的距离为1,即满足1<错误!<3。
解得－17〈m〈－7或3〈m〈13.9．若直线过点（0,2），且被圆x2＋y2＝4截得的弦长等于2，则此直线的斜率等于（）A．±错误! B．±错误!C．±错误! D．±错误!答案：B解析：当斜率不存在时，过点（0,2）的直线通过圆x2＋y2＝4的圆心，不合题意．当斜率存在时，直线方程为y－2＝kx，即kx－y＋2＝0。
由已知,可得圆心到直线的距离为错误!，错误!＝3，即1＋k2＝错误!,k＝±错误!.10．圆C：x2＋y2－2x－6y＋9＝0关于直线x－y－1＝0对称的曲线方程为（)A．x2＋y2＋2x＋6y＋9＝0B．x2＋y2－6x－2y＋9＝0C．x2＋y2－8x＋15＝0D．x2＋y2－8x－15＝0答案：C解析：圆（x－1)2＋(y－3)2＝1的圆心为(1，3），r＝1，设圆心关于直线x－y－1＝0的对称点为（x，y），则错误!,解得错误!,∴对称点(4，0）即为对称圆的圆心．又∵圆半径始终不变，∴圆C关于直线x－y－1＝0的对称曲线为(x－4)2＋y2＝1，即x2＋y2－8x＋15＝0。
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第四章圆与方程章末检测一、选择题1．方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形是() A．以(a，b)为圆心的圆B．以(－a，－b)为圆心的圆C．点(a，b) D．点(－a，－b)2．点P(m,3)与圆(x－2)2＋(y－1)2＝2的位置关系为() A．点在圆外B．点在圆内C．点在圆上D．与m的值有关3．空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)和B(x，－1,6)的距离为86，则x的值为() A．2 B．－8C．2或－8 D．8或－24．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是() A．(－∞，－3] B．[1，＋∞)C．[－3，1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)5．设A、B是直线3x＋4y＋2＝0与圆x2＋y2＋4y＝0的两个交点，则线段AB的垂直平分线的方程是() A．4x－3y－2＝0 B．4x－3y－6＝0C．3x＋4y＋6＝0 D．3x＋4y＋8＝06．圆x2＋y2－4x＝0过点P(1，3)的切线方程为() A．x＋3y－2＝0 B．x＋3y－4＝0C．x－3y＋4＝0 D．x－3y＋2＝07．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是() A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心．8．已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2)，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A ．5B ．10C.252D.2549．将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为( )A ．－3或7B ．－2或8C ．0或10D ．1或1110．已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( )A ．l 与C 相交B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能11．若直线mx ＋2ny －4＝0(m 、n ∈R ，n ≠m )始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0的周长，则mn 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0，－1)C ．(－∞，1)D ．(－∞，－1)12．过点P (－2,4)作圆O ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m ：ax －3y ＝0与直线l 平行，则直线l 与m 的距离为( )A ．4B ．2C.85D.125二、填空题13．与直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程为________． 14．过点P (－2,0)作直线l 交圆x 2＋y 2＝1于A 、B 两点，则|P A |·|PB |＝________.15．若垂直于直线2x ＋y ＝0，且与圆x 2＋y 2＝5相切的切线方程为ax ＋2y ＋c ＝0，则ac 的值为________．16．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．三、解答题17．自点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程．18．已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线x＋2y－3＝0相交于P，Q两点，O为原点，若OP⊥OQ，求实数m的值．19．已知圆x2＋y2－6mx－2(m－1)y＋10m2－2m－24＝0(m∈R)．(1)求证：不论m为何值，圆心在同一直线l上；(2)与l平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；(3)求证：任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等．20．如图，已知圆O：x2＋y2＝1和定点A(2,1)，由圆O外一点P(a，b)向圆O引切线PQ，切点为Q，且有|PQ|＝|P A|.(1)求a、b间关系；(2)求|PQ|的最小值；(3)以P为圆心作圆，使它与圆O有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程．第四章圆与方程章末检测一、选择题1．方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形是() A．以(a，b)为圆心的圆B．以(－a，－b)为圆心的圆C．点(a，b) D．点(－a，－b)答案 D解析由题意配方得(x＋a)2＋(y＋b)2＝0，所以方程表示点(－a，－b)．2．点P(m,3)与圆(x－2)2＋(y－1)2＝2的位置关系为() A．点在圆外B．点在圆内C．点在圆上D．与m的值有关答案 A解析圆心坐标O(2,1)，|OP|＝(m－2)2＋(3－1)2＝(m－2)2＋4≥4＝2.圆的半径为2，由于|OP|＞2，所以点P在圆外．3．空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)和B(x，－1,6)的距离为86，则x的值为() A．2 B．－8C．2或－8 D．8或－2答案 C解析由距离公式得(x＋3)2＋(－5)2＋62＝86，解得x＝2或－8.4．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是() A．(－∞，－3] B．[1，＋∞)C．[－3，1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案 C解析利用直线和圆的位置关系求解．由题意知，圆心为(a,0)，半径r ＝ 2.若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离小于或等于半径， 即|a －0＋1|2≤2，∴|a ＋1|≤2.∴－3≤a ≤1，故选C.5．设A 、B 是直线3x ＋4y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＋4y ＝0的两个交点，则线段AB 的垂直平分线的方程是( )A ．4x －3y －2＝0B ．4x －3y －6＝0C ．3x ＋4y ＋6＝0D ．3x ＋4y ＋8＝0答案 B解析 此题实际上是求过圆心(0，－2)且与直线3x ＋4y ＋2＝0垂直的直线方程，即y ＋2＝43x ， 整理，得4x －3y －6＝0.6．圆x 2＋y 2－4x ＝0过点P (1，3)的切线方程为( )A ．x ＋3y －2＝0B ．x ＋3y －4＝0C ．x －3y ＋4＝0D ．x －3y ＋2＝0 答案 D解析 先由半径与切线的垂直关系求得切线斜率为33， 则过(1，3)的切线方程为x －3y ＋2＝0.7．对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是( )A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心答案 C解析 利用圆心到直线的距离与半径的大小比较求解． ∵x 2＋y 2＝2的圆心(0,0)到直线y ＝kx ＋1的距离d ＝|0－0＋1|1＋k 2＝11＋k 2≤1， 又∵r ＝2，∴0<d <r .∴直线与圆相交但直线不过圆心．8．已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2)，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A ．5B ．10C.252D.254答案 D解析 因为点A (1,2)在圆x 2＋y 2＝5上，故过点A 的圆的切线方程为x ＋2y ＝5，令x ＝0得y ＝52.令y ＝0得x ＝5，故S △＝12×52×5＝254.9．将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为( )A ．－3或7B ．－2或8C ．0或10D ．1或11答案 A解析 由题意知：直线2x －y ＋λ＝0平移后方程为2(x ＋1)－y ＋λ＝0.直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，因而有|2×(－1＋1)－2＋λ|5＝5，得λ＝－3或7.10．已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( )A ．l 与C 相交B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能答案 A解析 将点P 的坐标代入圆的方程，判断确定． 将点P (3,0)的坐标代入圆的方程，得 32＋02－4×3＝9－12＝－3<0， ∴点P (3,0)在圆内．∴过点P 的直线l 定与圆C 相交．11．若直线mx ＋2ny －4＝0(m 、n ∈R ，n ≠m )始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0的周长，则mn 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0，－1)C ．(－∞，1)D ．(－∞，－1)答案 C解析 圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0可化为(x －2)2＋(y －1)2＝9，直线mx ＋2ny －4＝0始终平分圆周，即直线过圆心(2,1)，所以2m ＋2n －4＝0，即m ＋n ＝2，mn ＝m (2－m )＝－m 2＋2m ＝－(m －1)2＋1≤1，当m ＝1时等号成立，此时n ＝1，与“m ≠n ”矛盾，所以mn ＜1.12．过点P (－2,4)作圆O ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m ：ax －3y ＝0与直线l 平行，则直线l 与m 的距离为( )A ．4B ．2C.85D.125答案 A解析 ∵点P 在圆上，∴切线l 的斜率k ＝－1k OP ＝43. ∴直线l 的方程为y －4＝43(x ＋2)，即4x －3y ＋20＝0.又直线m 与l 平行， ∴直线m 的方程为4x －3y ＝0. 故两平行直线的距离为d ＝|0－20|42＋(－3)2＝4.二、填空题13．与直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程为________． 答案 2x ＋3y ＋8＝0解析 ∵所求直线平行于直线2x ＋3y －6＝0，∴设所求直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0， 由|2－3＋c |22＋32＝|2－3－6|22＋32，∴c ＝8，或c ＝－6(舍去)，∴所求直线方程为2x ＋3y ＋8＝0.14．过点P (－2,0)作直线l 交圆x 2＋y 2＝1于A 、B 两点，则|P A |·|PB |＝________. 答案 3解析 过P 作圆的切线PC ，切点为C ，在Rt △POC 中，易求|PC |2＝3，由切割线定理，|P A |·|PB |＝|PC |2＝3.15．若垂直于直线2x ＋y ＝0，且与圆x 2＋y 2＝5相切的切线方程为ax ＋2y ＋c ＝0，则ac 的值为________． 答案 ±5解析 已知直线斜率k 1＝－2，直线ax ＋2y ＋c ＝0的斜率为－a 2.∵两直线垂直，∴(－2)·(－a 2)＝－1，得a ＝－1.圆心到切线的距离为5，即|c |5＝5，∴c＝±5，故ac ＝±5.16．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________． 答案 43解析 可转化为圆C 的圆心到直线y ＝kx －2的距离不大于2. 圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4,0)． 由题意知(4,0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2， 即|4k －2|k 2＋1≤2.整理，得3k 2－4k ≤0.解得0≤k ≤43.故k 的最大值是43.三、解答题17．自点A (－3,3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在的直线与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0相切，求光线l 所在直线的方程．解如图所示，已知圆C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0关于x 轴对称的圆为C 1：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1，其圆心C 1的坐标为(2，－2)，半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C 1相切．设l 的方程为y －3＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3＋3k ＝0. 则|5k ＋5|1＋k 2＝1，即12k 2＋25k ＋12＝0.∴k 1＝－43，k 2＝－34. 则l 的方程为4x ＋3y ＋3＝0或3x ＋4y －3＝0.18．已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0与直线x ＋2y －3＝0相交于P ，Q 两点，O 为原点，若OP ⊥OQ ，求实数m 的值．解 设P ，Q 两点坐标为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，由OP ⊥OQ 可得x 1x 2＋y 1y 2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0，x ＋2y －3＝0， 可得5y 2－20y ＋12＋m ＝0.①所以y 1y 2＝12＋m 5，y 1＋y 2＝4. 又x 1x 2＝(3－2y 1)(3－2y 2)＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2＝9－24＋45(12＋m )，所以x 1x 2＋y 1y 2＝9－24＋45(12＋m )＋12＋m 5＝0， 解得m ＝3.将m ＝3代入方程①，可得Δ＝202－4×5×15＝100>0，可知m ＝3满足题意，即3为所求m 的值．19．已知圆x 2＋y 2－6mx －2(m －1)y ＋10m 2－2m －24＝0(m ∈R )．(1)求证：不论m 为何值，圆心在同一直线l 上；(2)与l 平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；(3)求证：任何一条平行于l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等．(1)证明 配方得：(x －3m )2＋(y －m+1)2＝25，设圆心为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3m y ＝m －1，消去m 得 x －3y －3＝0，则圆心恒在直线l ：x －3y －3＝0上．(2)解 设与l 平行的直线是l 1：x －3y ＋b ＝0，则圆心到直线l 1的距离为d ＝|3m －3(m －1)＋b |10＝|3＋b |10. ∵圆的半径为r ＝5，∴当d <r ，即－510－3<b <510－3时，直线与圆相交；当d ＝r ，即b ＝±510－3时，直线与圆相切；当d >r ，即b <－510－3或b >510－3时，直线与圆相离．(3)证明 对于任一条平行于l 且与圆相交的直线l 1：x －3y ＋b ＝0，由于圆心到直线l 1的距离d ＝|3＋b |10， 弦长＝2r 2－d 2且r 和d 均为常量．∴任何一条平行于l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等．20．如图，已知圆O ：x 2＋y 2＝1和定点A (2,1)，由圆O 外一点P (a ，b )向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，且有|PQ |＝|P A |.(1)求a 、b 间关系；(2)求|PQ |的最小值；(3)以P 为圆心作圆，使它与圆O 有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程． 解 (1)连接OQ 、OP ，则△OQP 为直角三角形，又|PQ |＝|P A |，所以|OP |2＝|OQ |2＋|PQ |2＝1＋|P A |2，所以a 2＋b 2＝1＋(a －2)2＋(b －1)2，故2a ＋b －3＝0.(2)方法一 由(1)知，P 在直线l ：2x ＋y －3＝0上，所以|PQ |min ＝|P A |min ，|P A |min 为A 到直线l 的距离，所以|PQ |min ＝|2×2＋1－3|22＋12＝255.方法二 由|PQ |2＝|OP |2－1＝a 2＋b 2－1＝a 2＋9－12a ＋4a 2－1＝5a 2－12a ＋8＝5(a －1.2)2＋0.8，得|PQ |min ＝255. (3)以P 为圆心的圆与圆O 有公共点，半径最小时为与圆O 相切的情形，而这些半径的最小值为圆O 到直线l 的距离减去圆O 的半径，圆心P 为过原点且与l 垂直的直线l ′与l 的交点P 0，所以r ＝322＋12－1＝355－1， 又l ′：x －2y ＝0，联立l ：2x ＋y －3＝0得P 0(65，35)． 所以所求圆的方程为(x －65)2＋(y －35)2＝(355－1)2.。