《多项式的因式分解》PPT课件湘教版(2020年最新)
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八年级数学下册1.1《多项式的因式分解》课件湘教版
思考2
对于高次多项式，是否有一些通用的因式分解方法或者技巧？例如，对于 $x^n - a^n$ 形式的多项式，是否有一种通用的因式分解方法？
思考3
在实际问题中，多项式因式分解有哪些应用？例如，在解方程、求函数的极值等方面，多 项式因式分解可以起到怎样的作用？
05
课堂互动环节设计
小组讨论：分享解题心得和技巧
八年级数学下册1.1多项式的 因式分解课件湘教版
目
CONTENCT
录
• 课程介绍与目标 • 多项式基本概念与性质 • 因式分解方法论述 • 典型例题解析与讨论 • 课堂互动环节设计 • 课后作业与拓展延伸
01
课程介绍与目标
本节课程背景
多项式是数学中的重要概念，因式分解是解决多项 式问题的基本方法。
应用举例
$x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$，这里使用了平方差公式；$x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$，这里使用了完全平方公式。
分组分解法原理及应用举例
原理
将多项式按照某种规则分成几组，然 后分别对每一组进行因式分解，最后 将各组的结果相乘。
应用举例
$xy + x + y + 1 = (xy + x) + (y + 1) = x(y + 1) + (y + 1) = (y + 1)(x + 1)$， 在这个例子中，首先将多项式按照 $x$ 和 $y$ 的系数进行分组，然后对每一组 分别提取公因式。
学生提问
举一反三
鼓励学生提出在多项式因式分解过程 中遇到的问题或困惑，可以是概念性 的、方法性的或具体题目上的。
对于高次多项式，是否有一些通用的因式分解方法或者技巧？例如，对于 $x^n - a^n$ 形式的多项式，是否有一种通用的因式分解方法？
思考3
在实际问题中，多项式因式分解有哪些应用？例如，在解方程、求函数的极值等方面，多 项式因式分解可以起到怎样的作用？
05
课堂互动环节设计
小组讨论：分享解题心得和技巧
八年级数学下册1.1多项式的 因式分解课件湘教版
目
CONTENCT
录
• 课程介绍与目标 • 多项式基本概念与性质 • 因式分解方法论述 • 典型例题解析与讨论 • 课堂互动环节设计 • 课后作业与拓展延伸
01
课程介绍与目标
本节课程背景
多项式是数学中的重要概念，因式分解是解决多项 式问题的基本方法。
应用举例
$x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$，这里使用了平方差公式；$x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$，这里使用了完全平方公式。
分组分解法原理及应用举例
原理
将多项式按照某种规则分成几组，然 后分别对每一组进行因式分解，最后 将各组的结果相乘。
应用举例
$xy + x + y + 1 = (xy + x) + (y + 1) = x(y + 1) + (y + 1) = (y + 1)(x + 1)$， 在这个例子中，首先将多项式按照 $x$ 和 $y$ 的系数进行分组，然后对每一组 分别提取公因式。
学生提问
举一反三
鼓励学生提出在多项式因式分解过程 中遇到的问题或困惑，可以是概念性 的、方法性的或具体题目上的。
新湘教版七年级数学下册课件3.1多项式的因式分解
（ 2） ( a
2
2
a a a ( a 1)
2
是 不是 是 不是
（ 4）
1 （ 5） x 1 x ( x ) x 3 2
2
x 3x 1 x( x 3) 1
不是
不是
（ 6）
18a bc 3a b6ac
整式乘法
1、计算下列各式:
3x2 - 3x (1)3x(x-1)=________
每一个大于1 的正整数都能表示成若干个素（质）数的乘积的形式。 例如：
12 进而很容易把分数 30约分：分子与分母同除以6，得
2×3=6
12 2 30 5
同样地，每一个多项式可以表示成若干个最基本的多 项式的乘积的形式，从而为许多问题的解决架起了桥 梁。例如，以后我们要学习分式的约分，解一元二次 方程等，常常需要把多项式进行因式分解。
例题分析
例1下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分 解，哪些不是，为什么？ 2 2 2 (1)a 2ab b (a b)
(2)m 2 m 4 (m 3)(m 2) 2 解： (1)是，因为从左边到右边是把多项式a2+2ab+b2 表示成多项式a+b与a-b的积的形式。 (2)不是，因为(m+3)(m-2)+2不是几个多项式乘积 的形式。
九年制义务教育课程标准实验教科书（湘教版）
七年级 下册
3.1 多项式的因式分解
万里长城是由砖砌成的，不少房子也是用砖砌成的，因此，
“砖”是基本建筑块之一.
知识回顾
在正整数集合中，像2、3、5、7、11、13、17、…… 这些大于1的数，它的因数只有1和它本身，称这样的 正整数为素数或质数。每一个大于1的正整数都能表示 成若干个质数的乘积的形式。 同样地，在系数为有理数（或系数为实数）的多项 式组成的集合中，也有一些多项式跟素数(质数)一样使 得：每一个多项式可以表示成若干个这种多项式的乘积 的形式，从而为许多问题的解决架起了桥梁。
2
2
a a a ( a 1)
2
是 不是 是 不是
（ 4）
1 （ 5） x 1 x ( x ) x 3 2
2
x 3x 1 x( x 3) 1
不是
不是
（ 6）
18a bc 3a b6ac
整式乘法
1、计算下列各式:
3x2 - 3x (1)3x(x-1)=________
每一个大于1 的正整数都能表示成若干个素（质）数的乘积的形式。 例如：
12 进而很容易把分数 30约分：分子与分母同除以6，得
2×3=6
12 2 30 5
同样地，每一个多项式可以表示成若干个最基本的多 项式的乘积的形式，从而为许多问题的解决架起了桥 梁。例如，以后我们要学习分式的约分，解一元二次 方程等，常常需要把多项式进行因式分解。
例题分析
例1下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分 解，哪些不是，为什么？ 2 2 2 (1)a 2ab b (a b)
(2)m 2 m 4 (m 3)(m 2) 2 解： (1)是，因为从左边到右边是把多项式a2+2ab+b2 表示成多项式a+b与a-b的积的形式。 (2)不是，因为(m+3)(m-2)+2不是几个多项式乘积 的形式。
九年制义务教育课程标准实验教科书（湘教版）
七年级 下册
3.1 多项式的因式分解
万里长城是由砖砌成的，不少房子也是用砖砌成的，因此，
“砖”是基本建筑块之一.
知识回顾
在正整数集合中，像2、3、5、7、11、13、17、…… 这些大于1的数，它的因数只有1和它本身，称这样的 正整数为素数或质数。每一个大于1的正整数都能表示 成若干个质数的乘积的形式。 同样地，在系数为有理数（或系数为实数）的多项 式组成的集合中，也有一些多项式跟素数(质数)一样使 得：每一个多项式可以表示成若干个这种多项式的乘积 的形式，从而为许多问题的解决架起了桥梁。
湘教版七年级下册数学：31多项式的因式分解共19页
45、自己的饭量自己知道。——苏联
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
湘教版七年级下册数学：31多项式的 因式分解
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
湘教版七年级下册数学：31多项式的 因式分解
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
七年级数学下册 3.1 多项式的因式分解课件 (新版)湘教版
第六页，共27页。
【思路点拨】先观察式子的右边是否为几个整式的积的形式, 再利用整式的乘法进行( jìnxíng)验证. 【自主解答】选B.选项A,C中式子的右边不是几个整式乘积的 形式,故不是因式分解. 选项B,D符合式子的右边是几个整式乘积的形式,但(x+2)(x+3) =x2+5x+6≠x2-5x+6,所以选项D错误.用整式的乘法验证得(x2)(x-3)=x2-5x+6,故选项B中的变形是因式分解.
第十四页，共27页。
3.(2013·河北中考)下列等式从左到右的变形,属于因式分解的 是( ) A.a(x-y)=ax-ay B.x2+2x+1=x(x+2)+1 C.(x+1)(x+3)=x2+4x+3 D.x3-x=x(x+1)(x-1) 【解析】选D.根据因式分解的定义“把一个多项式化为几个整 式的积的形式”可直接排除(páichú)选项A,B,C;选项D可以先 提取公因式,再利用平方差公式:x3-x=x(x2-1)=x(x+1)(x-1).
A.-5
B.2
C.25
D.-25
【解析(jiě xī)】选C.因为(x+3)(x+n)=x2+nx+3x+3n=x2+(n+3)x+3n,所
以-m=n+3,3n=-15,所以m=2,n=-5,所以nm=(-5)2=25.
第二十二页，共27页。
4.一个多项式因式分解的结果是(b3+2)(2-b3),那么(nà me)这个多项
第九ห้องสมุดไป่ตู้，共27页。
【自主解答( jiědá)】由题意得x2+ax+b=(x+1)(x-2), 因(x+1)(x-2)=x2-x-2. 所以x2+ax+b=x2-x-2, 所以a=-1,b=-2.
【思路点拨】先观察式子的右边是否为几个整式的积的形式, 再利用整式的乘法进行( jìnxíng)验证. 【自主解答】选B.选项A,C中式子的右边不是几个整式乘积的 形式,故不是因式分解. 选项B,D符合式子的右边是几个整式乘积的形式,但(x+2)(x+3) =x2+5x+6≠x2-5x+6,所以选项D错误.用整式的乘法验证得(x2)(x-3)=x2-5x+6,故选项B中的变形是因式分解.
第十四页，共27页。
3.(2013·河北中考)下列等式从左到右的变形,属于因式分解的 是( ) A.a(x-y)=ax-ay B.x2+2x+1=x(x+2)+1 C.(x+1)(x+3)=x2+4x+3 D.x3-x=x(x+1)(x-1) 【解析】选D.根据因式分解的定义“把一个多项式化为几个整 式的积的形式”可直接排除(páichú)选项A,B,C;选项D可以先 提取公因式,再利用平方差公式:x3-x=x(x2-1)=x(x+1)(x-1).
A.-5
B.2
C.25
D.-25
【解析(jiě xī)】选C.因为(x+3)(x+n)=x2+nx+3x+3n=x2+(n+3)x+3n,所
以-m=n+3,3n=-15,所以m=2,n=-5,所以nm=(-5)2=25.
第二十二页，共27页。
4.一个多项式因式分解的结果是(b3+2)(2-b3),那么(nà me)这个多项
第九ห้องสมุดไป่ตู้，共27页。
【自主解答( jiědá)】由题意得x2+ax+b=(x+1)(x-2), 因(x+1)(x-2)=x2-x-2. 所以x2+ax+b=x2-x-2, 所以a=-1,b=-2.
湘教版七年级数学下册 第3章 因式分解 3.1 多项式的因式分解(课件)
3.检验下列因式分解是否正确.
（1）-2a2+4a=-2a(a+2);
因为-2a(a+2) = -2a2-4a≠ -2a2+4a ，不正确
（2）x3+x2+x=x(x2+x) ;
因为x(x2+x) = x3+x2 ≠ x3+x2+x ，不正确
（3）m2+3m+2=(m+1) (m+2).
因为(m+1) (m+2) = m2+3m+2 ，正确
因为x ( x +y ) = x2+xy，正确
（2）a2-5a+6=(a-2) (a-3) ;
因为(a-2) (a-3)=a2-5a+6 ，正确
（3）2m2-n2=(2m-n) (2m+n) .
因为(2m-n) (2m+n) =4m2-n2≠2m2-n2 ，不正确
巩固练习
1.求4，6，14的最大公因数.
课堂小结
f=gh x2-1=(x+1)·(x-1)
一般地，对于两个多项式f与g，如果有多项式h使得 f=gh，那么我们把g叫做f的一个因式.此时，h也是f的一个 因式.
一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的 形式，称为把这个多项式因式分解.
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
是.因为从左边到右边是把多项式a2+2ab + b2表示成了多项 式a+b与a+b的积的形式.
(2) m2+m-4=( m +3 ) ( m-2 )+2.
不是.因为( m +3 ) ( m-2 )+2不是几个多项式乘积的形式.
部编湘教版七年级数学下册优质课件 3.1 多项式的因式分解 (2)
第3章 因式分解
3.1 多项式的因式分解
湘教版 七年级下册
新课导入
（1）21 等于 3 乘哪个整数？
21＝3×7
（2）x2－1等于x+1乘哪个多项式？
x2 1 x 1 x 1
对于整数21 与 3，有整数 7 使得21＝3×7，我们把3叫做21的一个因数．同理，7 也是21的一个因数．
对于多项式 x 2 1与 x ， 1有多项式x－1使得
同样地，每一个多项式可以表示成若干个最基本的多项式的乘积的形式，从而为
许多问题的解决架起了桥梁．例如，以后要学习的分式的约分，解一元二次方程等，
常需要把多项式进行因式分解.
注意：
1.因式分解必须在整式范围内进 行，否则不属于因式分解；
2.利用整式的乘法可以验证因式 分解是否正确.
课堂小结
通过这节课的学习活动，你有什么收获？
（６） a2 4 3a (a 2)(a 2) 3a （ No）
3.5) x 2 2x 15 B. x 2 2x 15 (x 3)( x 5) （1）从左到右看，A式是___整__式__乘_,B法式是______因__式__分. 解 （（23） ）因整____式式____分乘____解法__是是把把一几个个多整项式式的化积成展几开个成整一式个的多乘项积式的. 形式.
x2 1 x 1 x 1，我们把x+1叫做x2－1的一个因式，同理，x－1
也是 x2－1 的一个因式．
推进新课
一般地，对于两个多项 式f ① 与 g，如果有多项式 h 使得 f = gh ，那么我们把 g 叫做 f 的一个因式，此时，h 也是 f 的一个因 式．
① 在现代数学文献中，把单项式看成是只有一项的多项式．
课后作业
3.1 多项式的因式分解
湘教版 七年级下册
新课导入
（1）21 等于 3 乘哪个整数？
21＝3×7
（2）x2－1等于x+1乘哪个多项式？
x2 1 x 1 x 1
对于整数21 与 3，有整数 7 使得21＝3×7，我们把3叫做21的一个因数．同理，7 也是21的一个因数．
对于多项式 x 2 1与 x ， 1有多项式x－1使得
同样地，每一个多项式可以表示成若干个最基本的多项式的乘积的形式，从而为
许多问题的解决架起了桥梁．例如，以后要学习的分式的约分，解一元二次方程等，
常需要把多项式进行因式分解.
注意：
1.因式分解必须在整式范围内进 行，否则不属于因式分解；
2.利用整式的乘法可以验证因式 分解是否正确.
课堂小结
通过这节课的学习活动，你有什么收获？
（６） a2 4 3a (a 2)(a 2) 3a （ No）
3.5) x 2 2x 15 B. x 2 2x 15 (x 3)( x 5) （1）从左到右看，A式是___整__式__乘_,B法式是______因__式__分. 解 （（23） ）因整____式式____分乘____解法__是是把把一几个个多整项式式的化积成展几开个成整一式个的多乘项积式的. 形式.
x2 1 x 1 x 1，我们把x+1叫做x2－1的一个因式，同理，x－1
也是 x2－1 的一个因式．
推进新课
一般地，对于两个多项 式f ① 与 g，如果有多项式 h 使得 f = gh ，那么我们把 g 叫做 f 的一个因式，此时，h 也是 f 的一个因 式．
① 在现代数学文献中，把单项式看成是只有一项的多项式．
课后作业
精选 《多项式的因式分解》完整教学课件PPT
此时，h也是f的一个因式
2-1=1-1
把2-1写成1-1的形式叫做把这个多项式因式分 解
一般地，把一个多项式表示成假设干个多项式 的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解
说一说
可以看出，因式分解与整式乘法其实是两种
互逆的变形
即
因式分解
2-1
1-1
整式乘法
为什么要把一个多项 式因式分解呢？
每一个大于1的正整数都能表示成假设干个素〔质〕 数①的乘积的形式．
多项式的因式分解
01 学习目标 02 情境引入 03 新知探究 04 随堂练习 05 课堂小结
1理解因式分解的意义，知道它与整式乘法在 变形过程中的相反关系
2了解因式分解在解决其他数学问题中的重要 作用，如解方程、简化计算等方面都常用因式分 解
993-99能被100整除吗？
小明是这样想的: 993-99=99×992-99 ×1
因式分解要注意以下几点: 1分解的对象必须是多项式 2分解的结果一定是几个整式的乘积的形式
解 因为m1m2=m23m2， 所以因式分解m23m2=m1m2正确
1、对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两种恒等 变形 2、整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形式， 特征是向着积化和差的形式开展； 3、多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整式乘积 的形式，特征是向着和差化积的形式开展
答：是因式分解
3 检验以下因式分解是否正确
〔1〕 -2a2 4a = -2aa2 ； 解 因为-2aa2= -4a2-4a≠-2a24a ， 所以因式分解-2a24a= -2aa2不正确 〔2〕 3 2 = 2 ；
解 因为2=32≠32， 所以因式分解32=2不正确
〔3〕 m2 3m 2 = m1m2
2-1=1-1
把2-1写成1-1的形式叫做把这个多项式因式分 解
一般地，把一个多项式表示成假设干个多项式 的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解
说一说
可以看出，因式分解与整式乘法其实是两种
互逆的变形
即
因式分解
2-1
1-1
整式乘法
为什么要把一个多项 式因式分解呢？
每一个大于1的正整数都能表示成假设干个素〔质〕 数①的乘积的形式．
多项式的因式分解
01 学习目标 02 情境引入 03 新知探究 04 随堂练习 05 课堂小结
1理解因式分解的意义，知道它与整式乘法在 变形过程中的相反关系
2了解因式分解在解决其他数学问题中的重要 作用，如解方程、简化计算等方面都常用因式分 解
993-99能被100整除吗？
小明是这样想的: 993-99=99×992-99 ×1
因式分解要注意以下几点: 1分解的对象必须是多项式 2分解的结果一定是几个整式的乘积的形式
解 因为m1m2=m23m2， 所以因式分解m23m2=m1m2正确
1、对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两种恒等 变形 2、整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形式， 特征是向着积化和差的形式开展； 3、多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整式乘积 的形式，特征是向着和差化积的形式开展
答：是因式分解
3 检验以下因式分解是否正确
〔1〕 -2a2 4a = -2aa2 ； 解 因为-2aa2= -4a2-4a≠-2a24a ， 所以因式分解-2a24a= -2aa2不正确 〔2〕 3 2 = 2 ；
解 因为2=32≠32， 所以因式分解32=2不正确
〔3〕 m2 3m 2 = m1m2
2022年湘教版数学七年级《多项式的因式分解》精品课件
还有没有更简单的解法呢？
探究新知
如何解下面的二元一次方程？
消元
2x＋3y=﹣1,
①
2x－3y=5.
②
即①－②，得 2x+3y－〔2x－3y〕＝﹣1﹣5，
6y＝﹣6，
解得
y＝﹣1.
把y＝﹣1代入_①__/_②__式，得 2x+3×〔﹣1〕＝﹣1，
解得
x＝1.
因此原方程组的解是
x=1, y=﹣1.
探究新知
x=﹣1,
y=﹣3.
在例4中，如果先消去y应该如何解？会与上述结果一致吗？
2x＋3y=﹣11,
①
6x－5y=9.
②
解：①× 5 ，得
3
10 3
x+5y＝﹣5 3 5
，
③
②＋③，得 解得
2 8 x＝﹣ 2 8 ，
3
3
x＝﹣1.
把x＝﹣1代入①式，得 2×〔﹣1〕+3y＝﹣11，
解得 因此原方程组的解是
2.以下各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪 些不是，为什么？
〔3〕x2-2=(x+1) (x-1)-1;
不是.因为(x+1) (x-1)-1不是几个多项式乘积的形式.
〔4〕4a2-4a+1= (2a-1)2.
是.因为从左边到右边是把多项式4a2-4a+1表示成了多项式 2a-1与2a-1的积的形式.
③－①，得
y＝2，
把y＝2代入③式，得 解得
因此原方程组的解是
2x＋6×2＝2， x＝﹣5.
2
g
10
2262 6
课堂小结
一般地，有
a ba ba 0 ， b 0
相关主题