信息论基础——随机过程的信息度量和渐近等分性
信息论基础-中国科学技术大学
熵（Entropy）
定义
一个离散随机变量
的熵
定义为 熵的量纲根据对数 的底来定义
对数取2为底，对应的熵的单位是比特(bit)； 取e为底（自然对数），熵的单位为奈特(nat)； 取10为底（常用对数），熵的单位为哈特(hart)
各单位间的换算：
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解：“e”的自信息量 “d”的自信息量 “y”的自信息量
15
中国科学技术大学 刘斌
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
《信息论基础》
自信息量的性质
自信息量是非负的 确定事件的信息量为 零 自信息量是概率的单 调递减函数 I(x)基于随机变量X 的特定取值x，不能 作为整个随机变量X 的信息测度。
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《信息论基础》
26
链式法则
定理 对于服从联合分布为p(x,y)的一对离 散随机变量(X,Y)，
推论 对于服从联合分布为p(x,y,z)的三个 随机变量(X,Y,Z)，
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《信息论基础》
链式法则的文氏图表示
H(X|Y)
H(Y)
H(X)
H(Y|X)
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自信息量单位的转换
对数的换底公式
一般情况下，我们在课程中使用2为底的对 数，信息量的单位是比特。
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自信息量的例子
例
英文字母中“e”出现的概率为0.105，“d” 出现的概率为0.035，“y”出现的概率为 0.012。分别计算它们的自信息量。
信息论与随机过程
DY DZ 2 ，求 {X (t),t 0} 旳均值函数 mX (t) 和协
方差函数 BX (s,t) 。
解：由数学期望旳性质，有
EX (t) E[Y cos(t) Z sin(t)] cos(t)EY sin(t)EZ 0
2．按过程旳概率构造分类
概率 构造 分类
独立随机过程 独立增量随机过程 马尔可夫过程 平稳随机过程
首页
第二节 随机过程旳分布及其数字特征
一、随机过程旳分布函数
一维 设{ X (t) ，t T }是一个随机过程，
分布 对于固定的t1 T ， X (t1) 是一个随机变量，
函数 其分布函数为
首页
F (t1；x1 ) P{X (t1 ) x1} ，t1 T
称为随机过程 X (t) 的均值函数
或称为数学期望
阐明 m(t) 是 X (t) 的所有样本函数在时刻 t 的函数值的平均
它表示随机过程 X (t) 在时刻 t 的摆动中心
首页
2．方差函数
随机过程{ X (t) ，t T }的二阶中心矩
D(t) D[ X (t)] E[(X (t) m(t))2 ]
X (t1) 和 X (t2 ) 的二阶原点混合矩
R(t1,t2 ) E[X (t1)X (t2 )]
称为随机过程 X (t) 的自相关函数，
简称有关函数
注 当 m(t) 0 时，有
R(t1,t2 ) = B(t1, t2 )
首页
6．相互关函数
设 X (t) 和Y (t) 是两个随机过程 对任意t1, t2 T 则
称 F (t1；x1 ) 为随机过程 X (t) 的一维分布函数。
随机过程知识点汇总
随机过程知识点汇总随机过程是指一组随机变量{X(t)}，其中t属于某个集合T，每个随机变量X(t)都与一个时刻t相关联。
２．随机过程的分类随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程。
离散时间随机过程是指在离散的时间点上取值的随机过程，例如随机游走。
连续时间随机过程是指在连续的时间区间上取值的随机过程，例如XXX运动。
３．随机过程的数字特征随机过程的数字特征包括均值函数和自相关函数。
均值函数E[X(t)]描述了随机过程在不同时刻的平均取值。
自相关函数R(t1,t2)描述了随机过程在不同时刻的相关程度。
４．平稳随机过程平稳随机过程是指其均值函数和自相关函数都不随时间变化而变化的随机过程。
弱平稳随机过程的自相关函数只与时间差有关，而不依赖于具体的时间点。
强平稳随机过程的概率分布在时间上是不变的。
５．高斯随机过程高斯随机过程是指其任意有限个随机变量的线性组合都服从正态分布的随机过程。
高斯随机过程的均值函数和自相关函数可以唯一确定该过程。
６．马尔可夫随机过程马尔可夫随机过程是指其在给定当前状态下，未来状态的条件概率分布只依赖于当前状态，而与过去状态无关的随机过程。
马尔可夫性质可以用转移概率矩阵描述，并且可以用马尔可夫链来建模。
７．泊松过程泊松过程是指在一个时间段内随机事件发生的次数服从泊松分布的随机过程。
泊松过程的重要性质是独立增量和平稳增量。
８．随机过程的应用随机过程在金融学、信号处理、通信工程、控制理论等领域有广泛的应用。
例如，布朗运动被广泛应用于金融学中的期权定价，马尔可夫链被应用于自然语言处理中的语言模型。
t)|^2]协方差函数BZs,t)E[(ZsmZs))(ZtmZt))]，其中Zs和Zt是Z在时刻s和t的取值。
复随机过程是由实部和虚部构成的随机过程，其均值和方差函数分别由实部和虚部的均值和方差函数计算得到。
协方差函数和相关函数也可以类似地计算得到。
复随机过程在通信系统中有广泛的应用，例如调制解调、信道编解码等。
信息论基础第二章PPT
8
则用转移概率矩阵表示为 0.25 0.75 p 0.6 0.4
也可用状态转移图表示为
0.75
0.25
0
1
0.4
0.6
9
其n长序列的联合分布为：
Pr { X n x n } Pr {( X 1 X 2 X n ( x1 x2 xn )} ( x1 )i 1 Pr ( X i 1 xi 1 | X i xi )
Pr {( X1 , X 2 , X n ) ( x1 , x2 xn )}
( x1, x2 xn ) n , n 1, 2
p( x1 , x2 xn )
唯一决定
4
无记忆信源
当 X1, X 2 X n 为相互独立的随机变量， 且服从相同的分布：
Pr ( X i x) p( x)
P(0 | 00) 0.8, P (1|11) 0.8, P (1| 00) P (0 |11) 0.2 P(0 | 01) P(0 |10) P (1| 01) P (1|10) 0.5
用转移概率矩阵表示为
11
0 0.8 0.2 0 0 0 0.5 0.5 P 0.5 0.5 0 0 0 0.2 0.8 0
1 k
1 k
Pr {( X t1 , X t2 , , X tm ) ( x1 , x2 ,, xm )} Pr {( X t1 k , X t2 k , , X tm k ) ( x1 , x2 xm )}
14
如果一个马氏过程是平稳的，则
Pr {X m xm | X m1 xm1 , X m2 xm2 ,, X1 x1} Pr {X m xm | X m1 xm1} Pr {X 2 xm | X1 xm1}
信息论基础-中国科学技术大学
熵（Entropy）
定义
一个离散随机变量
的熵
定义为 熵的量纲根据对数 的底来定义
对数取2为底，对应的熵的单位是比特(bit)； 取e为底（自然对数），熵的单位为奈特(nat)； 取10为底（常用对数），熵的单位为哈特(hart)
各单位间的换算：
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例 布袋中装有手感觉完全一样的球，但颜色和数量不同， 问下面三种情况下随意拿出一个球的不确定程度的大小。 （1）99个红球和1个白球（2）50个红球和50个白球 （3）红球、白球、黑球、黄球各25个
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自信息量需满足的条件
自信息量是事件发生概率的函数 自信息量函数必须满足以下条件：
解：“e”的自信息量 “d”的自信息量 “y”的自信息量
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《信息论基础》
自信息量的性质
自信息量是非负的 确定事件的信息量为 零 自信息量是概率的单 调递减函数 I(x)基于随机变量X 的特定取值x，不能 作为整个随机变量X 的信息测度。
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第二章
熵、相对熵和互信息
离散随机变量： 字母表（取值空间）： 概率密度函数：
注意：大写字母X代表随机变量，小写字母x代 表随机变量的一个取值（事件，消息，符号）。
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自信息量的物理含义
自信息量表示事件发生后，事件给予观察者的 信息量。 自信息量的大小取决于事件发生的概率。事件 发生的可能性越大，它所包含的信息量就越小。 反之，事件发生的概率越小，它能给与观察者 的信息量就越大。
(完整word版)信息论基础理论及应用
信息论形成的背景与基础人们对于信息的认识和利用，可以追溯到古代的通讯实践可以说是传递信息的原始方式。
随着社会生产的发展，科学技术的进步，人们对传递信息的要求急剧增加。
到了20世纪20年代，如何提高传递信息的能力和可靠性已成为普遍重视的课题。
美国科学家N.奈奎斯特、德国K.屈普夫米勒、前苏联A.H.科尔莫戈罗夫和英国R.A.赛希尔等人，从不同角度研究信息，为建立信息论做出了很大贡献。
信息论是在人们长期的通信工程实践中，由通信技术和概率论、随机过程和数理统计相结合而逐步发展起来的一门学科。
信息论的奠基人是美国伟大的数学家、贝尔实验室杰出的科学家 C.E.香农(被称为是“信息论之父”)，他在1948年发表了著名的论文《通信的数学理论》，1949年发表《噪声中的通信》，为信息论奠定了理论基础。
20世纪70年代以后，随着数学计算机的广泛应用和社会信息化的迅速发展，信息论正逐渐突破香农狭义信息论的范围，发展为一门不仅研究语法信息，而且研究语义信息和语用信息的科学。
近半个世纪以来，以通信理论为核心的经典信息论，正以信息技术为物化手段，向高精尖方向迅猛发展，并以神奇般的力量把人类社会推入了信息时代。
信息是关于事物的运动状态和规律，而信息论的产生与发展过程，就是立足于这个基本性质。
随着信息理论的迅猛发展和信息概念的不断深化，信息论所涉及的内容早已超越了狭义的通信工程范畴，进入了信息科学领域。
信息论定义及概述信息论是运用概率论与数理统计的方法研究信息、信息熵、通信系统、数据传输、密码学、数据压缩等问题的应用数学学科。
核心问题是信息传输的有效性和可靠性以及两者间的关系。
它主要是研究通讯和控制系统中普遍存在着信息传递的共同规律以及研究最佳解决信息的获限、度量、变换、储存和传递等问题的基础理论。
基于这一理论产生了数据压缩技术、纠错技术等各种应用技术，这些技术提高了数据传输和存储的效率。
信息论将信息的传递作为一种统计现象来考虑，给出了估算通信信道容量的方法。
信息与计算科学专业课程简介
信息与计算科学专业课程简介课程代码：3112001131.课程名称：解析几何 Analytic Geometry总学时： 64 周学时： 4学分： 3 开课学期：一修读对象：必修预修课程：无内容简介：《解析几何》是学科基础课程，是所有数学专业及应用数学专业的主要的基础课。
它是用代数的方法来研究几何图形性质的一门学科。
《解析几何》包括向量与坐标，轨迹与方程，平面与空间直线，柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面，二次曲线的一般理论与二次曲面的一般理论等。
选用教材：吕林根，许子道，《解析几何》(第四版)，高等教育出版社，2006年。
参考书目：周建伟，《解析几何》，高等教育出版社，2005年。
课程代码：311200214、311200314、311200616、3112007152.课程名称：数学分析Ⅰ-Ⅳ Mathematical AnalysisⅠ-Ⅳ总学时：334 周学时：4，4，6，5学分： 18 开课学期：一，二，三，四修读对象：必修预修课程：无内容简介：《数学分析》是学科基础课程，是所有数学专业及应用数学专业第一基础课。
它提供了利用函数性质分析和解决实际问题的方法, 培养学生严谨的抽象思维能力，为学习其他学科奠定基础。
主要内容有：实数、函数、极限论，函数的连续性。
一元函数微分学，微分学基本定理。
一元微分学应用，实数完备性基本定理，闭区间上连续函数性质的证明，不定积分，定积分及应用，非正常积分。
数项级数，函数列与函数项级数，幂级数，付里叶级数，多元函数的极限与连续，多元函数微分学。
隐函数定理及其应用，重积分，含参量非正常积分，曲线积分与曲面积分。
选用教材：华东师范大学数学系，《数学分析》（第三版）（上、下册），高等教育出版社，2001年。
参考书目：① 陈纪修，《数学分析》(第二版)，高等教育出版社2004年。
② 刘玉琏，傅沛仁，《数学分析讲义》（第三版），高等教育出版社，1992年。
课程代码：311200416、3112005153.课程名称：高等代数Ⅰ-Ⅱ Advanced AlgebraⅠ-Ⅱ总学时：198 周学时：6，5学分： 11 开课学期：二，三修读对象：必修预修课程：无内容简介：《高等代数》是学科基础课程。
第一章信息论基础介绍
信号滤波 预测理论
调制 理论
香农 信息论
噪声 理论
统计检测 估计理论
虽然维纳和香农等人都是运用概 率和统计数学的方法研究准确或近似 再现消息的问题，都是通信系统的最 优化问题。但他们之间有一个重要的
区别。
发送
接收
维纳研究的重点是在接收端。研究 消息在传输过程中受到干扰时，在接收 端如何把消息从干扰中提取出来，并建 立了最佳过滤理论（维纳滤波器）、统 计检测与估计理论、噪声理论等。
• 编码目的——提高系统对某一方面的要求 优化系统某一方面的性能指标
课程介绍(续)
• 通信系统主要性能指标——有效性
可靠性
安全性 • 编码分类——
信源编码——提高通信系统的有效性 信道编码——提高通信系统的可靠性
保密编码——保证通信系统的安全性
• 研究——信息的度量(信源熵)、信道容量、信息 率失真函数（香农三定理）、密码学
虚假
不定
6 按照信息的传递方向 前馈 反馈
7 按照信息的生成领域 宇宙
自然 社会 思维
8 按照信息的应用部门
工 农 军 政 科 文 经 市 管 业 业 事 治 技 化 济 场 理
9 按照信息的来源
语 声 图 象 文 字 数 据 计 算
10 按照信息载体的性质
电 磁 语 声 图 象 文 字 光 学 生 物
1
香农信息论
无失真信源 编码定理
信 源 熵
香农信息论
信 道 编 码 密 码 信 源 编 码
1.4 编码理论的发展
1.4.1 无失真信源编码
• 1948年，香农发表“通信的数学理论”，标志着信息论的正 式诞生 • C.E.Shannon, A Mathematical Theory of communication, • Bell System Tech.J, vol.27, PP 379-423, July 1948 • 在前人工作基础上，用概率统计方法研究通信系统 • 揭示：通信系统传递的对象——信息 • 提出：信息熵、信息量 • 指出：通信系统的中心问题—— 噪声背景下如何有效、可靠地传递信息 实现的主要方法——编码 • 提出了无失真信源编码定理、信道编码定理
信息论基础理论与应用第三版(傅祖芸) 第1章 绪论
1928年，哈特莱(R．V．L Hartley) 在《信息传输》一文中提出：发信者所发出的信
息，就是他在通信符号表中选择符号的具体方式， 主张用所选择的自由度来度量信息。 局限性： ➢ 只考虑选择符号的方式，不涉及到信息的价值和具 体内容。 ➢ 没有考虑各种可能选择方法的统计特性。
信源编码器的主要指标
是它的编码效率。一般来说，效率越高，编译码 器的代价也将越大。
信源译码器
把信道译码器的输出变换成信宿所需的消息形式，
相当于信源编码器的逆过程。
19
信道编码器与译码器
信道编码 主要作用是提高信息传送的可靠性。
信道编码器的作用 在信源编码器输出的代码组上有目的地增加一些监督 码元,使之具有检错或纠错的能力。
an p(an )
样本空间 概率测度
先验概率p(xi)：
选择符号xi作为消息的概率。 11
例：气象预报
甲 X 晴 阴 大雨 小雨
p(x)
1/ 2,1/
4,
1/ 8,
1/8
乙
Y p(y)
晴 阴 1/4,1/4,
大雨 小雨
1/4, 1/4
“甲地晴”比“乙地晴”的不确定性小。
某一事物状态出现的概率越小，其不确定性越大。 某一事物状态出现的概率接近于1,即预料中肯定会 出现的事件，那它的不确定性就接近于零。
信道编码的主要方法 增大码率或频带,即增大所需的信道容量。这恰与信源 编码相反。
7
信息的表达层次
狭义而言，通信中对信息的表达分三个层次：信号、 消息、信息。 信号：信息的物理表达，是一个物理量，是一个载 荷信息的实体，可测量、可描述、可传输、可存储、 可显示。 消息 (或符号) ：信息的数学表达，承载了信息， 它是具体物理信号的数学抽象。如语言、文字、语音、 图像等。 信息：更高层次的哲学抽象，是信号与消息的承载 的对象，描述事物运动状态或存在方式的不确定性。
信息论基础ppt课件
于1948年发表的具有里程碑性质的论文 “通讯的数学理论”是世界上首次将通讯 过程建立了数学模型的论文，这篇论文和 1949年发表的另一篇论文一起奠定了现代 信息论的基础。
信息论简介
作为通讯系统的数学理论，香农在1948 年的奠基性文章中提出了通信系统的一 般模型（如下图所示）
解：
(a )
(b )
H(X,Y|Z)H(X|Z)H(Y| X,Z) 因为H(Y| Z, X)0 所以H(X,Y|Z)H(X|Z) 等号成立H(Y| Z, X)=0即Y是X,Z的函数
I(X,Y:Z)I(X:Z)I(Y:Z|X)且 I(Y:Z|X)0 所 以 I(X,Y:Z)I(X:Z) 等 号 成 立 I(Y:Z|X)=0即 给 定 X条 件 下 Y与 Z独 立
I (x) log 1 。 p(x)
1.2 熵、联合熵、条件熵
X 定义 1.2.1 离散随机变量 的熵定义为
H(X)p(x)logp(x) x
e 我们也用 H ( p ) 表示这个熵，有时也称它为概率分布 p 的熵，其中对
数函数以2为底时，熵的单位为比特（bit），若对数以 为底时，则熵的
这种树称满树。
定理 （克莱夫特不等式） 码字字母取值于 进字母集的即时码，其码
字长分别为 l1,l2,lm 时必须满足 Dli 1。
反之，对给定的满足上述不等式i的一组 们为码字长的一个即时码。
(l1,l2,lm)，必存在以他
成立。 注 1 定理的结论对构成即时码的任何可列无穷码长集 l1,l2也
( b ) p ( x 0 ) 1 ,p ( x 1 ) 2 ,p ( Y 0 ) 1 ,p ( Y 1 ) 1
信息论第一章(叶中行)
定理1.3.1
D(p||q) 0，且等号成立的充要条件是，
（ p x）=q(x)对所有的x 成立。
系1.3.2 (熵最大定理)H(X ) log ，其中等号成立的 充要条件是X 服从均匀分布（ p x）= 母集中所包含元素的个数。 1
，其中 表示字
系1.3.2 (熵最大定理)H(X ) log ，其中等号成立的 充要条件是X 服从均匀分布（ p x）= 母集中所包含元素的个数。 1
x
=- （ p x） p( y | x) log p( y | x)
x y
=- p ( x, y ) log p ( y | x)
x y
=-Elogp (Y | X )
定理 1.2.2（链法则） H （X,Y） = H （X）+ H （Y | X）
定理 1.2.2（链法则） H （X,Y） = H （X）+ H （Y | X）
注1： 由于X 和Y的对称性，可知 H （X,Y） = H （Y）+ H （X | Y）=H （Y , X）
注2： 类似于H （Y | X），我们可以定义 H （Y , Z | X）如下： H （Y , Z | X）=- p( x, y, z ) log p( y, z | x)
x y z
第1章 随机变量的信息度量
§1.1 自信息 §1.2 熵、联合熵、条件熵 §1.3 相对熵和互信息 §1.4 信息量的一些基本性质 §1.5 广义熵 习题课
§1.1 自信息
• 信息：通信领域指通信的消息；信号处理 方面指包括了数字、数据、图像、语音等 进行运算和处理所需的条件、内容和结果 • 信源：消息的来源。 • 信源的分类：离散信源和连续信源 • 信源的表示方法：用随机变量X表示一个 离散信源，X的可能取值，即信源可能输 出的不同符号用集合χ表示
随机过程 通俗易懂
随机过程通俗易懂随机过程是现代数学的一个重要分支，它的研究对象是一些具有随机性质的变量序列。
在实际生活中，我们经常遇到许多随机现象，如天气变化、股票价格波动、彩票开奖等等，这些都可以看做是随机过程的例子。
本文将从随机过程的定义、分类和应用方面进行简单介绍。
一、随机过程的定义随机过程是一个含有随机变量的序列，它可以用数学公式表示为X(t)，其中t表示时间，X(t)表示在时间t时随机变量的取值。
随机过程可以用概率统计的方法进行研究，其中最重要的是随机过程的平均值和方差。
一般来说，随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程两种。
二、随机过程的分类1. 离散时间随机过程在离散时间随机过程中，时间是按照一定时间步长间隔离散化的。
典型的离散时间随机过程包括二项分布、泊松分布和马尔可夫链等。
其中，马尔可夫链是最具有代表性的离散时间随机过程，它具有“无记忆性”和“马尔可夫性质”，在概率论的研究、金融市场分析等方面有广泛的应用。
2. 连续时间随机过程在连续时间随机过程中，时间是连续的，可以看成是一个时间轴上的曲线。
典型的连续时间随机过程有布朗运动、随机游走等。
其中，布朗运动是最具有代表性的连续时间随机过程之一，它是自然界中许多现象的基础模型，如气体分子的运动、股票价格的波动等。
在金融市场、信号处理等领域也有广泛的应用。
三、随机过程的应用随机过程在各个领域中都有重要的应用，其中最典型的应用领域包括金融市场、信号处理和通信系统等。
1. 金融市场金融市场中充斥着大量的随机性，如股票价格、汇率等都具有随机行为。
通过研究随机过程，可以为投资者提供更精准的预测和决策依据。
同时，也可以设计更好的金融衍生品，如期权、期货等，来降低市场风险。
2. 信号处理信号处理中的信号通常具有多变的随机性质，如噪声、失真等。
随机过程可以用来建立信号模型，在信号处理中具有广泛的应用，如图像处理、语音识别等。
3. 通信系统通信系统中的信息传输受到了许多随机因素的干扰，如噪声、多径效应等。
信息论知识点总结
信息论知识点总结信息论是一门研究信息传递和处理的科学，主要涉及信息量度、信息特性、信息传输速率、信道容量、干扰对信息传输的影响等方面的知识。
以下是信息论的一些重要知识点：1. 信息量度：信息量是对信息的度量，用于衡量信息的多少。
信息的大小与随机事件的概率有关，熵是衡量随机变量分布的混乱程度，即随机分布各事件发生的信息量的期望值。
2. 信道容量：信道容量是描述信道传输信息能力的指标，表示信道在每秒内所能传输的最大信息量。
对于有噪声的信道，需要通过编码技术来达到信道容量。
3. 条件熵：条件熵是在给定某个条件下的熵，用于衡量在已知某个条件的情况下，随机变量的不确定性。
4. 相对熵（KL散度）：相对熵是衡量两个概率分布之间的差异，也称为KL 散度。
如果两个分布相同，相对熵为0。
5. 信息传输速率：信息传输速率是指单位时间内传输的信息量，是评价通信系统性能的重要参数。
6. 干扰对信息传输的影响：在信息传输过程中，各种干扰因素会对信息传输产生影响，如噪声、失真、衰减等。
为了提高信息传输的可靠性和有效性，需要采取抗干扰措施。
7. 信息压缩：信息压缩是减少数据存储空间和提高数据传输效率的一种技术。
常见的压缩算法有Huffman编码、LZ77、LZ78等。
8. 纠错编码：纠错编码是一种用于检测和纠正错误的技术，广泛应用于通信和存储领域。
常见的纠错编码有奇偶校验、CRC等。
9. 加密编码：加密编码是一种保护信息安全的技术，通过对数据进行加密处理，防止未经授权的访问和泄露。
常见的加密编码有AES、RSA等。
以上是信息论的一些重要知识点，希望对您有所帮助。
信息论论文——精选推荐
信息论及其应用摘要信息论是在人们长期的通信工程实践中，由通信技术和概率论、随机过程和数理统计相结合而逐步发展起来的一门应用数学学科，能够运用概率论和数理统计的方法来研究信息、信息熵、通信系统、数据传输、密码学、数据压缩等问题。
本文主要介绍信息论的一些基本知识以及它在数据压缩、密码学、统计及信号处理中的应用。
关键字：信息论三大定律应用一信息论的产生及发展信息论是20世纪40年代由当代伟大的数学家、美国贝尔实验室杰出的科学家香农提出的，他在1948年发表了著名的论文《通信的数学理论》，为信息论奠定了理论基础。
信息论有狭义和广义之分。
狭义信息论即香农早期的研究成果，它以编码理论为中心，主要研究信息系统模型、信息的度量、信息容量、编码理论及噪声理论等。
广义信息论又称信息科学，是以信息为主要研究对象，以信息及其运动规律为主要研究内容，以信息科学方法论为主要研究方法，以扩展人的信息器官的功能为主要研究目标的一门新兴的横向科学。
它把各种事物都看作是一个信息流动的系统，通过对信息流程的分析和处理，达到对事物复杂运动规律认识的一种科学方法。
它的特点是撇开对象的具体运动形态，把它作为一个信息流通过程加以分析。
信息论与编码研究的是整个通信的最基本的问题，可以说信息论是我们专业的大纲，从香农1948年发表《通信中的数学原理》到现在60余年的时间，信息论对整个行业的发展有着不可替代的指导意义。
信息论中最著名的是香农的四大定理（国内一般称三大定理），第一定理信源编码定理，是解决通信中信源的压缩问题，也是后来图像和视频压缩的基本定理；第二定理信道编码定理，是解决通信中数据能够在特定信道中传输的最大值的问题，即最大数据速率小于信道容量，容量问题是通信中研究最活跃的问题之一；第三定理有损信源编码定理解决了在允许一定失真的情况下的信源编码问题，比如jpeg图像编码，mp3音频编码，都是有损的编码，其都是在香农第三定理的界之下得出的；第四定理信源信道分离定理，解决了信源编码和信道编码能够分开来解决的问题，所以现在做信源编码的可以是一部分人，做信道编码的可以是另一部分人。
《信息论基础》课程教学大纲
《信息论基础》课程教学大纲一、《信息论基础》课程说明（一）课程代码：14131054（二）课程英文名称：informationtheory（三）开学对象：信息管理与信息系统专业（四）课程性质：信息论是20世纪40年代后期从长期通讯实践中总结出来的一门学科，是研究信息的有效处理和可靠传输的一般规律的科学。
本课程是信息管理与信息系统本科的专业课。
它应用近代数理统计方法研究信息传输、存贮和处理，并在长期通信工程实践中不断发展。
因而它是一门新兴科学，亦称为通信的数学理论。
建立在通信理论的数学知识基础之上的信息论在数据压缩、调制解调器、广播、电视、卫星通信，计算机存储，因特网通讯，密码学等方面有着广泛的用途。
要使学生领会信息论的基本思想，具备解决实际问题的能力。
从而学习信息论基础，是将信息论渗透到并应用于更广泛的各种科学技术领域的必经之路，也有助于进一步发展和深化信息概念与信息理论。
先修课程为概率论与数理统计（五）教学目的：本课程就是信息管理与信息系统本科生的专业课，使用概率论与随机过程等数学方法研究信息的测度、信道容量以及信源与信道编码等理论问题；主要目的就是使学生介绍shannon信息论的基本内容，掌控其中的基本公式和基本运算，培育利用信息论的基本原理分析和化解实际问题的能力，为进一步自学通信和信息以及其他有关领域的高深技术打下较好的理论基础。
（六）教学内容：掌握熵与互信息的概念，性质与计算；掌握离散信源熵的计算；掌握离散信源编码定理与huffman编码方法；掌握特殊离散无记忆信道与高斯信道容量的计算；掌握信道编码定理；理解r（d）函数与有失真的信源编码定理.（七）学时数、学分数及学时数具体分配学时数：36分数：2学时数具体内容分配：教学内容第一章绪论第二章信源和信息熵第三章信道与信道容量第四章率为杂讯函数第五章编码定理合计210481236合计210481236讲授实验/课堂教学（八）教学方式：使用多媒体教学方式（九）考核方式和成绩记载说明考试方式将融合平时作业、平时考核(40%)、期末考试(60%)的各个环节。
信息论基础
信息论研究的目的
研究这样一个概括性很强的通信系统，其目的就是 要找到信息传输过程的共同规律高信息传输的可靠性、 有效性、保密性、认证性，使达到信息传输系统最优 化。 可靠性：就是要使信源发出的消息经过信道传输以 后，尽可能准确地、不失真地再现在接收端。 有效性：就是经济效果好，即用尽可能短的时间和 尽可能少的设备来传送一定数量的信息。
信息论研究的对象、目的和内容
信源 消息
编码器 信号
信道
译码器 信号+干扰 消息
信宿
噪声源
通信系统模型图
信息论研究的对象、目的和内容
信息论研究的对象:正是这种统一的通信系统模型,人们通过系统 中消息的传输和处理来研究信息传输和处理的共同规律. 这个模型主要分成下列五个部分: 1、信息源（简称信源） 顾名思义，信源是产生消息和消息序列的源。它可以是人， 生物，机器或其他事物。它是事物各种运动状态或存在状态的集 合。 如前所述，“母亲的身体状况”，“各种气象状态”等客观存在 是信源。人的大脑思维活动也是一种信源。信源的输出是消息， 消息是具体的，但它不是信息本身。消息携带着信息，消息是信 息的表达者。
信息论基础
刘昌红
第一章 绪论
1、信息的概念 2、信息论研究的对象、目的和内容 3、信息论发展简史与信息科学
信息的概念
1、信息论的定义：信息论是人们在长期通信工程的实践中， 由通信技术与概率论、随机过程和数理统计相结合而逐步发 展起来的一门科学。 2、信息论的奠基人：是美国科学家香农 (C.E.Shannon)，他 在1948年发表了著名的论文《通信的数学理论》，为信息论 奠定了理论基础。 3、香农信息的定义：信息是事物运动状态或存在方式的不 确定性的描述,这就是香农信息的定义。 4、信息、情报、知识、消息及信号间的区别与联系。
信息论基础
信息论研究的内容
信息论研究的内容一般有以下三种理解： 1、狭义信息论：也称经典信息论。它主要研究信息 的测度、信道容量以及信源和信道编码理论等问题。 这部分内容是信息论的基础理论，又称香农基本理论。 2、一般信息论：主要也是研究信息传输和处理问题。 除了香农理论以外，还包括噪声理论、信号滤波和预 测、统计检测与估计理论、调制理论、信息处理理论 以及保密理论等。 后一部分内容是以美国科学家维纳(N.Wiener)为代表， 其中最有贡献的是维纳和苏联科学家柯尔莫哥洛夫 (A.KOnMOropoB)。
信息论研究的对象、目的和内容
信源
编码器
消息
信号
信道
译码器
信号+干扰
消息
信宿
噪声源
通信系统模型图
信息论研究的对象、目的和内容
信息论研究的对象:正是这种统一的通信系统模型,人们通过系统 中消息的传输和处理来研究信息传输和处理的共同规律. 这个模型主要分成下列五个部分: 1、信息源（简称信源）
顾名思义，信源是产生消息和消息序列的源。它可以是人， 生物，机器或其他事物。它是事物各种运动状态或存在状态的集 合。 如前所述，“母亲的身体状况”，“各种气象状态”等客观存在 是信源。人的大脑思维活动也是一种信源。信源的输出是消息， 消息是具体的，但它不是信息本身。消息携带着信息，消息是信 息的表达者。
信息论基础
刘昌红
第一章 绪论
1、信息的概念 2、信息论研究的对象、目的和内容 3、信息论发展简史与信息科学
信息的概念
1、信息论的定义：信息论是人们在长期通信工程的实践中， 由通信技术与概率论、随机过程和数理统计相结合而逐步发 展起来的一门科学。 2、信息论的奠基人：是美国科学家香农 (C.E.Shannon)，他 在1948年发表了著名的论文《通信的数学理论》，为信息论 奠定了理论基础。 3、香农信息的定义：信息是事物运动状态或存在方式的不 确定性的描述,这就是香农信息的定义。 4、信息、情报、知识、消息及信号间的区别与联系。
信息论
摘要:信息是自从人类出现以来就存在于这个世界上了，天地万物，飞禽走兽，以及人类的生存方式都离不开信息的产生和传播。
人类每时每刻都在不停的接受信息，传播信息，以及利用信息。
而信息理论的提出却远远落后于信息的出现，它是在近代才被提出来而形成一套完整的理论体系。
信息论是信息科学的主要理论基础之一，它是在长期通信工程实践和理论基础上发展起来的。
是应用概率论、随机过程和数理统计和近代代数等方法，来研究信息的存储、传输和处理中一般规律的学科。
信息论的主要基本理论包括：信息的定义和度量；各类离散信源和连续信源的信息熵；有记忆、无记忆离散和连续信道的信道容量；无失真信源编码定理。
它的主要目的是提高通信系统的可靠性、有效性和安全性，以便达到系统的最优化。
编码理论与信息论紧密关联，它以信息论基本原理为理论依据，研究编码和译码的理论知识和实现方法。
关键字：信息信息论主要基本理论信息度量编码信息论是运用概率论与数理统计的方法研究信息、信息熵、通信系统、数据传输、密码学、数据压缩等问题的应用数学科学，是将信息的传递作为一种统计现象，同时它也给出了估算通信信道容量的方法。
它从诞生到今天，已经五十多年的历史了，是29世纪40年代后期从长期通讯实践中经过抽象、概括、提高而逐步总结出来的，现在已经成为一门独立的理论科学。
本书系统地介绍了香农信息论的基本内容及其应用，即信息的度量、信道容量以及信源和信道编码理论等问题。
全书共分九章，其中第1章主要介绍了信息的概念，信息论研究的对象、目的和内容，信息论的形成及发展。
第2章详细地介绍了各类离散信源的信息度量、信源熵及其性质。
第3章主要介绍了离散信源输出信息的有效表示问题，即离散信源的无失真编码问题，主要包括离散无记忆信源的等长和变长编码定理，离散平稳信源和马尔可夫信源的编码定理以及典型的变长码的编码方法。
第4章主要介绍了信道的数学模型和分类、信道传输的平均互信息、信道容量的概念及其各种计算方法。
信息论的由来发展
信息论的由来发展科学技术的发展是人类正在进入一个新的时代，这个时代的主要特征之一就是对信息的需求和利用，因此有人称之为信息时代。
而迄今为止，人们对信息都没有确切定义，但是它是一种人人皆知、不言自明的抽象概念。
信息虽无确切定义，但是却有两个明显的特征：广泛性与抽象性，信息时组成客观世界并促进社会发展的最基本的三大要素之一（物质、能量和信息）。
它依附于物质和能量，但又不同于物质和能量。
没有信息就不能更好地利用物质和能量，人类利用信息和知识改造物质，创造新物质，提高能量利用效率，发现新能量形式。
信息也是客观存在的，它是人类认识、改造客观世界的主要动力，是人类认识客观世界的更高层次。
人类社会的生存和发展无时无刻都离不开信息的获取、传递、处理、再生、控制和利用。
信息论正是一门把信息作为研究对象，以揭示信息的本质特征和规律为基础，应用概率论、随机过程和数理统计等方法来研究信息的存储、传输、处理、控制和利用等一般规律的科学。
自从1948年贝尔研究所的香农发表了《通信的数学理论》一文，宣告了信息论作为一门独立的、全新的学科成立。
自此以后，信息理论本身得到不断地发展和深化，尤其是在信息理论的指导下，信息技术也获得飞快发展。
这又使信息的研究冲破了香农狭义信息的范畴，几乎渗透到自然科学与社会科学的所有领域，从而形成了一门具有划时代意义的新兴学科——信息科学。
信息科学是人们在对信息的认识与利用不断扩大的过程中，在信息论、电子学、计算机科学、人工智能、系统工程学、自动化技术等多学科基础上发展起来的一门边缘性新学科。
它的任务主要是研究信息的性质，研究机器、生物和人类关于各种信息的获取、变换、传输、处理、利用和控制的一般规律，设计和研制各种信息机器和控制设备，实现操作自动化，以便尽可能地把人脑从自然力的束缚下解放出来，提高人类认识世界和改造世界的能力。
上表记录了科学家们再信息科学发展中的重要贡献，反映了信息科学的发展历程。
香农在论文《通讯的数学理论》中系统地提出了关于信息的论述，创立了信息论。
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第2章 随机过程的信息度量和渐近等分性
2.3 渐近等分性质
利用AEP可得到弱典型序列的如下性质： 定理2.3.2 0 ，当n足够大时，有 （1） n[ H ( X ) ] p( X n ) 2n[ H ( X ) ] ; 2 （2）(1 )2n[ H ( X ) ] || W( n ) || 2n[ H ( X ) ].
Xn
第2章 随机过程的信息度量和渐近等分性
2.3 渐近等分性质
渐近等分性（AEP）
弱典型序列
弱典型序列的数值实例
第2章 随机过程的信息度量和渐近等分性
2.3 渐近等分性质
第2章 随机过程的信息度量和渐近等分性
2.3 渐近等分性质
第2章 随机过程的信息度量和渐近等分性
2.2-2.3
作业： P42: 3), 4)-(b)
可划分为以下两组：
第2章 随机过程的信息度量和渐近等分性
2.3 渐近等分性质
第一组包含Wε＜MN个序列，其中各个序列都具有几乎相 等的出现概率p，且有
?
实际上,当N充分大时,Wε=2NH ,式中H是X的符号熵。第二 组包含其余的MN-Wε个序列，它们的出现概率之和小于
ε。显然第一组包含的是典型序列,第二组包含的是非典
E log p( X ) H ( X )
由于相互独立随机变量的函数 也是随机变量及弱大数定理
第2章 随机过程的信息度量和渐近等分性
2.3 渐近等分性质
渐近等分性（AEP）
弱典型序列
弱典型序列的数值实例
第2章 随机过程的信息度量和渐近等分性
2.3 渐近等分性质
定义2.3.1 称满足性质 的n长序列为弱典型序列，或 -典型序列. 记所有集为W( n ) . 定义式等价于：
第2章 随机过程的信息度量和渐近等分性
2.5 Shannon-McMillan-Breiman定理
定理2.5.3（强渐近等分性） 设X1， X2…为取值于有限字母集χ的平稳遍历马氏链， 则
1 lim log Pr ( X 1 , X 2 , , X n ) H ( X 2 | X 1 ) n n
p 0时, H 0
第2章 随机过程的信息度量和渐近等分性
2.3 渐近等分性质
渐近等分性（AEP）
弱典型序列
弱典型序列的数值实例
第2章 随机过程的信息度量和渐近等分性
2.3 渐近等分性质
渐近等分性（AEP）
弱典型序列
弱典型序列的数值实例
第2章 随机过程的信息度量和渐近等分性
2.3 渐近等分性质
(1 （2） )2n[ H ( X ) ] || W(n) || 2n[ H ( X ) ].
n[ H ( X ) ]
|| W( n ) || 2 n[ H ( X ) ]
X W( n )
n
2
Pr W( n ) p( X n ) 1
第2章 随机过程的信息度量和渐近等分性
2.3 渐近等分性质
定义2.3.1 称满足性质 的n长序列为弱典型序列，或 -典型序列. 记所有集为W( n ) . 定义式等价于：
Pr W( n ) Pr X n : X n W( n ) 1
1 Pr | log p( X n ) H ( X ) | 1 n
信源符号无需编码.
码字总数减少， 所需码长可以减少
第2章 随机过程的信息度量和渐近等分性
2.4 渐近等分性在数据压缩中的应用
记上述编码的误差概率为：Pe Pr X n W( n ) 由弱渐进等分性
(1 )2n[ H ( X ) ] M || W( n) || 2n[ H ( X ) ]
Pr W( n ) Pr X n : X n W( n ) 1
1 Pr | log p( X n ) H ( X ) | 1 n
第2章 随机过程的信息度量和渐近等分性
2.3 渐近等分性质
利用AEP可得到弱典型序列的如下性质： 定理2.3.2 0 ，当n足够大时，有 （1） n[ H ( X ) ] p( X n ) 2n[ H ( X ) ] ; 2
2.2 随机过程的信息度量
W0 pW0 pW1 1 1 1 W pW pW p 0时，W ( , , ) 1 1 2 3 3 3 W2 pW0 pW2 p 0时，W 为任意分布 W0 W1 W2 1
1 p 0时，H 3 H ( p) H ( p); （2） 3
是随机变量长序列的一种重要特性，是编码定理的理论基础，
简称AEP。 当随机变量的序列足够长时,其中一部分序列就显现出一种典型的 性质：这些序列中各个符号的出现频数非常接近于各自的
出现概率，而这些序列的概率则趋近于相等，且它们的 和非常接近于1,这些序列就称为典型序列。
其余的非典型序列的出现概率之和接近于零。序列的
2.5 Shannon-McMillan-Breiman定理
在《通信的数学理论》中，Shannon首先运用典型序列的 思想给出了离散无记忆信源下的可达码率区间；
而后，Shannon又进一步推广到有限状态的遍历Markov信 源； 在该码率的任意 邻域内存在符合 某种条件的编码 器与解码器
第2章 随机过程的信息度量和渐近等分性
渐近等分性指，对于统计独立、有等同分布的随机变量
X1 , X 2 , , X n , ，只要n足够大，联合概率就接近信源熵H ( X )
第2章 随机过程的信息度量和渐近等分性
2.3 渐近等分性质
定理2.3.1 对无记忆信源 X k , k 1有
1 log p ( X n ) n
X 以概率收敛到 H ( X ) . 其中， n ( X1, X 2 , , X n ).
Xi是统计独立， 且服从分布p(x);
视为一个扩展信源
1 1 n n 简证： log p( X ) n log p( X k ) n k 1
p( X n ) p( X1 ) p( X 2 ) p( X n )
第2章 随机过程的信息度量和渐近等分性
2.2 随机过程的信息度量
半可加数列及其性质 平稳信源序列的熵率
冗余度
平稳信源序列的熵率的求解问题
第2章 随机过程的信息度量和渐近等分性
2.2 随机过程的信息度量
例1：一个马尔可夫过程的基本符号为0，1，2，这3个 符号等概率出现，开且具有相同的转移概率。 请画出一 阶马尔可夫过程的状态图，并求稳定状态下的一阶马尔 可夫信源熵和信源剩余度. 解：一阶马尔可夫过程 的状态转移图
|| W( n ) || 2 n[ H ( X ) ]
X W( n )
n
2
n[ H ( X ) ]
Pr W( n ) p( X n ) 1
Xn
|| W( n) || 2n( X )
第2章 随机过程的信息度量和渐近等分性
2.3 渐近等分性质
长度越长，典型序列的总概率越接近于1,它的各个序列的 出现概率越趋于相等。渐近等分性即因此得名。
第2章 随机过程的信息度量和渐近等分性
2.3 渐近等分性质
渐近等分性有许多不同的具体形式，但一般地可以表
述如下： 若X是一个符号表，共有M个不同的符号x1,x2，…,xM , 它们的出现概率分别是p1，p2，…，pM 。对X进行N次 独立的选择,于是得到一个长度为N的符号序列;总共有 MN个长度为N的不同序列。可以证明,对于给定的两个 任意小的数ε＞0和δ＞0，一定可以找到一个正整数 N0(它是X,ε和δ的某种函数)，使所有长度为N≥N0的序列
2.5 Shannon-McMillan-Breiman定理
1953年，McMillan将统计力学中的术语渐近等分性质 （AEP）引入信息论，并且还进一步运用概率论中的遍历 定理推广了Shannon关于典型序列的结果，得出了每一个 有限字符集的平稳遍历过程都满足AEP性质的结论. 一般的教科书通常将之称为Shannon-McMillan定理； 运用Shannon-McMillan定理，平稳遍历过程的可达码率区 问题就可以非常容易地运用AEP性质解决.
弱典型序列集占n长序列Xn总数的比例：
|| W( n ) || 2nH ( X ) n log|| || 2 n (log|| || H ( X )) 0(n ) || ||n 2
弱典பைடு நூலகம்序列只占全体序列的一小部分！
第2章 随机过程的信息度量和渐近等分性
2.4 渐近等分性在数据压缩中的应用
第2章 随机过程的信息度量和渐近等分性
2.4 渐近等分性在数据压缩中的应用
任何一个离散随机序列信源当序列长度n→∝时,信源序列 会产生两极分化： 大概率事件集合 与小概率事件集合 .
由此可见，信源编码只需对信源中少数落入典型大概率事件的集合
的符号进行编码即可；而对大多数属于非典型小概率事件集合中的
信源编码 正定理 当n充分 大时，码 率接近 H(X)！ 误差概率 趋于0.
该编码的码率满足：
1 1 log(1 ) H ( X ) log M H ( X ) n n
误差概率：
Pe Pr X n W( n )
第2章 随机过程的信息度量和渐近等分性
第2章 随机过程的信息度量和渐近等分性
2.2 随机过程的信息度量
例2：一阶马尔可夫信源的状态转移图如下图所示，信源
X 的符号集为 0,1, 2
(1)求平稳后的信源的概率分布； (2)求信源熵 H 解：设状态的平稳分布为
W (W0 ,W1,W2 )