标准规范复变函数与积分变换考查(071A卷评分标准及参考答案)

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复变函数与积分变换试卷(答案)

复变函数与积分变换试卷(答案)

一、填空题(每题3分,共30分)1. 设i z -=,则=)arg(z 2π-;2.i z -=1的指数式为i e 42π-;3. 设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段,则=⎰c zdz i__ ; 4.函数iay x z f +=2)(在复平面内处处解析,那么实常=a ___2__;5. 幂级数∑∞=02n n n z 的收敛半径=R 21;6. 函数)1(1)(z z z f -=在圆环10<<z 内的洛朗展开式为...1132+++++z z z z ; 7. 积分=⎰=dz z z 1||tan __0______;8. i z -=是函数222)1()(+=z z z f 2 级极点; 9、221)(2++=s s s F 的拉普拉斯逆变换是t e e e t t i t i cos 2)1()1(---+-+或 ; 10.单位脉冲函数)3(-t δ的傅氏变换=-⎰+∞∞--dt e t t j ωδ)3(jw e 3-; 二、(本题12分)1、求21的所有值 解:1221Ln e =……………………………………………………………………..2分=)]21(arg 1[ln 2πk i e ++ (2,1,0±±=k )…………………………… .…….2分 =)22sin()22cos(ππk i k + (2,1,0±±=k )……………………2分2、解方程0cos =z 解:02cos =+=-iziz e e z …………………………………………………1分 即0=+-iz iz e e ,即12-=iz e设iy x z +=,则有)1(1122-⨯=-=+-xi y e所以 ππn x e y 22,12+==- (...2,1,0±±=n ) ……………….. 3分 所以有:ππn x y +==2,0 (...2,1,0±±=n ) 即ππn z +=2 (...2,1,0±±=n ) …………………2分三、. 将函数22)(ze zf z-=在圆环10<<z 内展开为洛朗级数。

复变函数与积分变换考查(071A卷评分标准及参考答案)

复变函数与积分变换考查(071A卷评分标准及参考答案)

广东技术师范学院2008—2009学年度第 ( 1)学期期末考查试卷《复变函数与积分变换》(A )卷评分标准及参考答案一、填空题(每空2分,共20分) 1、复数i 31+的主幅角为3π。

2、复数i +3与复数i 32+乘积的主幅角为 23a r c t a n31a r c t a n +。

3、复数i 31+-的三角表示为:)32sin 32(cos 2ππ+4、函数122+z z的解析区域为:i z ±≠。

5、=+)31(i e πe -6、自原点到i +1的直线上,积分⎰+=i iydz 10i --17、级数∑∞=+-121])[(n nn i 的收敛性为 发散。

8、幂级数∑∞=13n n n z 的收敛半径为319、函数)1(sin 2ze z z-的全部奇点为∞=,2,0i k z π(答对一个给1分)。

10、函数1+z e z在1-=z 处的留数为 1-e二、计算或证明(每小题10分,共80分)1、证明函数iy x z f +=2)(处处不解析证明:因为y v x u ==,2(3分);1,0,0,2=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂y v x v y u x x u (3分);当21=x 时,C —R 条件满足,函数只在直线21=x 可导(3分);于是)(z f 在复平面处处不解析。

(2分) 2、证明 1s i n s i n 22=+z z证明:)(21s i n iz iz e e i z --=(2分);)(21cos iz iz e e z -+=(2分);)2(41)2(41cos sin 222222+++-+-=+--z i z i z i z i e e e e z z (4分)=1(2 分); 3、计算积分dz e iz ⎰+20)2(解:函数2+z ze 的一个原函数为z e z 2+(4分);原式=izz e 20|)2(+(4分)=)142-+i ei(2分)。

2019-2020-1复变函数与积分变换A卷答案

2019-2020-1复变函数与积分变换A卷答案
河南科技大学
2019 至 2020 学年复变函数与积分变换第一学期试卷(A 卷)
标准答案及评分标准
一、判断题(2 分×4=8 分)
1.×
2.×
3.×
二、选择题(2 分×5=10 分)
1.B
2.D
3.C
三、填空题(2 分×5=10 分)
1. 1 + 1 i 22
2.∞ 3.一阶极点(或简单极点)
4.√ 4.B
对(1)两边求 y 的积分,可得 v= 6x dy x = 6xy x (3)
再对(3)两边同时求 x 的偏导,对比(2)可得, x =0, x C
从而 v= 6xy C , f z = 3y2 3x2 i 6xy C
由于 f (0) 2i ,故 C=-2,
f z = 3y2 3x2 i 6xy 2 3z2 2i
4. 3t 2
5.C
5. f (t)e jtdt
四、计算题(8 分×4=32 分)
1.(8 分)解:方程即为 z3 1 i=
2
cos
3 4
isin
3 4
根据 3 次方根公式可得:
1
z (1 i)3
2
3
1 3
cos
4
2k 3
3 isin 4
2k 3
, k 0,1,2
1
1 s
4
因此我们有
y(t) =L1 Y (s) 1 1 et 1 e4t
4 3 12
所以方程有 3 个根,对应于 k=0,1,2 分别为
z
6
2
cos
4
i
sin
4
,
6
2
cos
11 12

复变函数与积分变换习题册(含答案)

复变函数与积分变换习题册(含答案)

第1章 复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为 。

2、k 为任意整数,则34+k 的值为 。

3、复数i i (1)-的指数形式为 。

4、设b a ,为实数,当=a , b= 时,).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题(正确的划√,错误的划 ) 1、2121z z z z +=+ ( )2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= ( )3、()()i i i 125432+=++ ( ) 三、选择题1.当ii z -+=11时,5075100z z z ++的值等于( ) (A )i (B )i - (C )1 (D )1-2.复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是( )(A ))]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i (B ))]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i (C ))]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i (D ))]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3.使得22z z =成立的复数z 是( )(A )不存在的 (B )唯一的 (C )纯虚数 (D )实数 4.若θi re i i=+--2)1(3,则( ) (A )πθ-==3arctan ,5r (B )πθ-==3arctan ,210r (C )3arctan ,210-==πθr (D )3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限,则z arg 等于( )。

(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11,求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时,等式()i iy i x +=+-++13531成立?3、求复数ii-+23的辐角。

复变函数试题及标准答案

复变函数试题及标准答案

二.判断题(每题3分,共30分) 1.n z z z f =)(在0=z 解读。

【 】2.)(z f 在0z 点可微,则)(z f 在0z 解读。

【 】 3.z e z f =)(是周期函数。

【 】4. 每一个幂函数在它的收敛圆周上处处收敛。

【 】 5. 设级数∑∞=0n n c 收敛,而||0∑∞=n n c 发散,则∑∞=0n n n z c 的收敛半径为1。

【 】6. 1tan()z能在圆环域)0(||0+∞<<<<R R z 展开成洛朗级数。

【 】 7. n 为大于1的正整数, Ln Ln n z n z =成立。

【 】 8.如果函数)(z f =ω在0z 解读,那末映射)(z f =ω在0z 具有保角性。

【 】9.如果u 是D 内的调和函数,则yu i x u f ∂∂-∂∂=是D 内的解读函数。

【 】10.212233||||221112|2(1)1z z z z dz dz i i z z z z ππ======--⎰⎰。

【 】 三.(8分)y e v px sin =为调和函数,求p 的值,并求出解读函数iv u z f +=)(。

四.(8分) 求())2)(1(--=z z zz f 在圆环域21<<z 和+∞<-<21z 内的洛朗展开式。

五.(8分)计算积分dx x x x ⎰∞+∞-++54cos 22。

六.(8分)设⎰-++=Cd zz f ξξξξ173)(2,其中C 为圆周3||=z 的正向,求(1)f i '+。

七.(8分)求将带形区域})Im(0|{a z z <<映射成单位圆的共形映射。

复变函数与积分变换(A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5) 一.填空(各3分)1.3ln 2i k e +-π;2. 三级极点 ;3. 23z ;4. 0 ;5. 0 ;6.e1 ;7.322)1(26+-s s ;8. 0;9. 0 ;10. )]2()2()2(1)2(1[21++-+++-ωπδωπδωωj j 。

《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案详解(可打印修改)

《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案详解(可打印修改)

给出 C-R 条件 6 分,正确求导给 2 分,结果正确 2 分。
(2).计算
C
(z
ez 1)2
z
dz
其中
C
是正向圆周:
解:本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算, 仅给出用前者计算过程
因为函数
f
(z)
(z
ez 1)2
z
在复平面内只有两个奇点
z1
0, z 2
1,分别以
z15
(3).
dz
z 3 (1 z 2 )2 (2 z 4 )3
解:设 f (z) 在有限复平面内所有奇点均在: z 3 内,由留数定理
z15
dz 2i Re s[ f (z), ]
z 3 (1 z 2 )2 (2 z 4 )3
-----(5 分)
2i Re s[ f (1) 1 ] z z2
f (1) 1
( 1 )15 z
1
z z 2 (1 1 )2 (2 (1 )4 )3 z 2
z2
z
----(8 分)
1 f( )
1
1
有唯一的孤立奇点z 0,
z z 2 z(1 z 2 )2 (2z 4 1)3
lim lim Re s[ f
1 ()
1
,0]
1 zf ( )
1
1
1
z z2
z 0
(4) z 2,3,4L ,为f (z)的三级极点;

f
(z)
z(z2
1)(z 2)3 (z (sin z)3
3)2
的奇点为z
k, k
0,1,2,3,L

(1) z k,k 0,1,2,3,L 。。 sinz。 3 0。。。。。。

复变函数与积分变换课程试卷及答案

复变函数与积分变换课程试卷及答案

同济大学课程考核试卷(A 卷) 2006—2007学年第一学期命题教师签名:朱经浩 审核教师签名:方小春 课号:: 课名:复变函数 考试考查:考查此卷选为:期中考试( )、期终考试(∨ )、重考( )试卷年级 专业学号 姓名 任课教师(注意:本试卷共 7 大题, 2 大张,满分100分.考试时间为 100 分钟。

要求写出解题过程,否则不予计分)一. 填空题(每小题5分)1 如果 i z =2,则=z arg ( )或 ( )2 Ln )(i - 的主值是( )3 设,)(iv u z f += 在复平面解析, 并满足1≡u ,则=x v ( ) 4=⎰=dz e z z1||sin ( )5 设n 为正整数,=⎰=dz ze z n z1||( )6 =⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,cos Re 2z z e s z ( )7 0=z 是4cos )()(z zz e z f z -=的( )级极点。

8 11+-=z z w 把( )映为单位圆周{}1=w 。

9 设2()1f x x x =++,则(())L f x =( )10设1()1F s s =+,则1(())L F s -=( )。

二. (10分)设函数iv u z f +=)(在区域{}ππ<<-z z D arg :解析,并设函数)()(ze f z F =在区域{}Im z ππ-<<内恒等于一个常数。

证明:在{}ππ<<-z z D arg :内,)(z f 恒等于某个常数。

三. (6分)计算()22314z dz z z =-⎰四. (8分)用围道积分方法计算2cos 610xdx x x +∞-∞-+⎰ 。

五.(6分)设ze zz z f 131)(+=,求()∞),(Re z f s 。

六.(10分)求把角域3arg 3ππ<<-z 映射为单位圆{}1<w 的一个共形映照。

七. .(10分)利用Laplace 变换求常微分方程t e y dt dydty d 42234=+-满足1)0(=y ,0)0('=y 的特解。

《复变函数》考试试卷B及答案(评分标准)

《复变函数》考试试卷B及答案(评分标准)

《复变函数》考试试卷(B)专业: 考试日期: 时间120分钟 总分100分 闭卷2分,计10分) 1、设z=3-3i 则argz=( )。

A.4πB. 4π-C. 3π-D.3π2、在全平面不解析的函数是 ( C )。

A.xyi y x z f 2)(22+-=B.f(z)=sinzC.f(z)=LnzD.f(z)= z e 3、z=0 为f(z)=zzsin 的( )。

A.可去奇点 B.一阶极点 C.本性奇点 D.二阶极点 4、级数nn z n∑∞=021的收敛半经为( )。

A.0 B.1 C.2 D.∞5、函数⎰=-=-21)1(sin z dz z z( )。

A.cos1 B.sin1 C.2πicos1 D. 2πisin1 (每空2分,计18分)1、设复数z=-i ,则z 的 三角形式为2、从z 1=0到z 2=1-i 的直线段的参数方程是3、f(z)=zsinz 的导数为4、方程表示的曲线是21=+z5、设z=6)1(i +,则z =6、积分⎰==21002)(sin (z z dz z e z7、函数z=11sin -z 的奇点为 8、设f(z)=zz z 212-+,则f(z)在z=0的留数Res[f(z),0]= 9、dz i z i z ⎰=--1221= 三、求下列积分(20分)1、⎰izdz ze 0 2、dz z e z z⎰=-22)1( 3、⎰=++22))(9(z dz i z z z4、dx x x x ⎰+∞∞-++)4)(9(22四、计算题(每题5分,计15分) 1、求31i +的值2、求Ln(-2-2i)的值3、设5335)(--=z z z f ,求)(z f 的导数)('z f .五、级数(每题6分,计12分)(1)、将函数f(z)=)2)(1(1--z z 在0<|z-2|<1内展开为洛朗级数;(2)、求f(z)=z231- 在z=2处的泰勒级数,并指出收敛范围六、(12分)设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=在全复平面解析,求 d c b a .,,的值.七、(13分)(1)讨论函数z z f =)(的可导性与解析性.(2)验证u=122+-y x 是平面上的调和函数,并求解析函数f(z)=u+vi,使 f(0)=i.《复变函数》考试试卷(B)评分标准专业: 考试日期: 时间120分钟 总分100分 闭卷2分,计10分) 1、设z=3-3i 则argz=( B )。

复变函数与积分变换试题和答案

复变函数与积分变换试题和答案

复变函数与积分变换试题(一)一、填空(3分×10)1.)31ln(i --的模.幅角。

2.-8i 的三个单根分别为: . . 。

3.Ln z 在 的区域内连续。

4.z z f =)(的解极域为:。

5.xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f。

6.=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s。

7.指数函数的映照特点是: 。

8.幂函数的映照特点是:。

9.若)(ωF =F [f (t )].则)(t f = F )][(1ω-f。

10.若f (t )满足拉氏积分存在条件.则L [f (t )]=。

二、(10分)已知222121),(y x y x v +-=.求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数.且f (0)=0。

三、(10分)应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分(5分×2) 1.⎰=-2||)1(z z z dz2.⎰-c i z z3)(cos C :绕点i 一周正向任意简单闭曲线。

五、(10分)求函数)(1)(i z z z f -=在以下各圆环内的罗朗展式。

1.1||0<-<i z 2.+∞<-<||1i z六、证明以下命题:(5分×2)(1))(0t t -δ与o iwt e -构成一对傅氏变换对。

(2))(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i七、(10分)应用拉氏变换求方程组⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。

八、(10分)就书中内容.函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。

复变函数与积分变换试题答案(一)一、1. 22942ln π+ .ππk arctg 22ln 32+-2.3-i 2i 3-i3. Z 不取原点和负实轴4. 空集5. 2z 6. 0 7.将常形域映为角形域8. 角形域映为角形域9.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(2110. ⎰∞+-0)(dt e t f st二、解:∵y ux x v ∂∂-=-=∂∂ xuy y v ∂∂==∂∂∴c xy u += (5分)c xy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0 (3分)∴222222)2(2)(2)(z i xyi y x i y x i xy z f -=+--=--=(2分)三、解:原式=(2分)⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π 01=z 12=z(2分)⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π 33=z ∞=4z2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分)z z z s⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分)(=0∴原式=(2分) 23126⨯⨯i π=i 63π-四、1.解:原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221 (3分) z 1=0z 2=1]11[2+-=i π=0(2分)2.解:原式iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=)(cos i i cos π-==1ich π-五、1.解:nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分)(分)(分)(11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=(2分)2.解:⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分)(分)((1分)nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i (2分) 六、1.解:∵00)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰(3分) ∴结论成立 (2)解:∵1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰ti t i e dw e(2分)∴)(2w πδ与1构成傅氏对∴)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i(2分)七、解:∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX(3分)S (2)-(1):∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s (3分)∴cht e e t Y tt -=--=-121211)( 八、解:①定义;②C-R 充要条件Th ; ③v 为u 的共扼函数 10分复变函数与积分变换试题(二)一、填空(3分×10)1.函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的( )条件。

复变函数与积分变换试题及答案1.

复变函数与积分变换试题及答案1.

复变函数与积分变换试题与答案一、填空题:(每题3分)1.i 31--的三角表达形式: ; 指数表达形式: ; 几何表达形式: . 2.=-i 2)3( ;3. 设Max =M {}C z z f ∈|)(|,L 为曲线C 的长度,则≤⎰z z f C d )( . 4.级数21n z z z +++++L L 的和函数的解析域是 。

5. 分式线性函数、指数函数、幂函数的映照特点各是 。

二、 判断正确与错误(画对错号,每题3分)1.因为|sin |1z ≤,所以在复平面上sin z 有界。

( ) 2、若函数()z f 在0z 处解析,则)()(z f n 也在0z 解析。

( ) 3.如果u (x ,y ),v (x ,y )的偏导数存在,那么f (z )=u +iv 可导。

( ) 4.在z o 处可导的函数,一定可以在z o 的邻域内展开成罗朗级数。

( )5. 解析函数构成的保形映照具有保圆性 ( )三、解答题(每题8分)1.设22()i f z xy x y =+,则()f z 在何处可导?何处解析?2.已知f (z )的虚部为222121),(y x y x v +-=,求解析函数0)0()(=+=f iv u z f 且.3.求积分 ,C I zdz =⎰ C 为沿单位圆(||1)z =的逆时针一周的曲线。

4.求sin d (1)Czz z z -⎰Ñ,其中C 为||2z =。

5.求e d cos zCz z ⎰Ñ,其中C 为||2z =。

6.把函数)2)(1(12-+z z 在2||1<<z 内展开成罗朗级数。

7.指出 6sin )(z z z z f -= 在有限复平面上的孤立奇点及类型,并求奇点处的留数。

8.求将单位圆 | z | < 1内保形映照到单位圆 | w | < 1内, 且满足0)21(=f ,2)21(arg π='f 的分式线性映照。

复变函数及积分变换试卷及答案

复变函数及积分变换试卷及答案

«复变函数与积分变换»期末试题〔A〕一.填空题〔每题3分,共计15分〕1.231i-的幅角是〔〕;2.)1(iLn+-的主值是〔〕;3.211)(zzf+=,=)0()5(f〔〕;4.0=z是4sinzzz-的〔〕极点;5.zzf1)(=,=∞]),([Re zf s〔〕;二.选择题〔每题3分,共计15分〕1.解析函数),(),()(yxivyxuzf+=的导函数为〔〕;〔A〕yxiuuzf+=')(;〔B〕yxiuuzf-=')(;〔C〕yxivuzf+=')(;〔D〕xyivuzf+=')(.2.C是正向圆周3=z,如果函数=)(zf〔〕,那么0d)(=⎰C zzf.〔A〕23-z;〔B〕2)1(3--zz;〔C〕2)2()1(3--zz;〔D〕2)2(3-z. 3.如果级数∑∞=1nnnzc在2=z点收敛,那么级数在〔A 〕2-=z 点条件收敛 ; 〔B 〕i z 2=点绝对收敛;〔C 〕i z+=1点绝对收敛; 〔D 〕i z 21+=点一定发散.4.以下结论正确的选项是( )〔A 〕如果函数)(z f 在0z 点可导,那么)(z f 在0z 点一定解析; (B)如果)(z f 在C 所围成的区域解析,那么0)(=⎰Cdz z f〔C 〕如果0)(=⎰Cdz z f ,那么函数)(z f 在C 所围成的区域一定解析;〔D 〕函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域均为调和函数.5.以下结论不正确的选项是〔 〕.(A) 的可去奇点;为z1sin ∞(B) 的本性奇点;为z sin ∞(C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞三.按要求完成以下各题〔每题10分,共计40分〕〔1〕设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数,求.,,,d c b a〔2〕.计算⎰-Czz z z e d )1(2其中C 是正向圆周:2=z ;〔3〕计算⎰=++3342215d )2()1(z z z z z〔4〕函数3232)(sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩大复平面上有什么类型的奇点?,如果有极点,请指出它的级.四、〔此题14分〕将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域展开成罗朗级数; 〔1〕110<-<z ,〔2〕10<<z ,〔3〕∞<<z 1五.〔此题10分〕用Laplace 变换求解常微分方程定解问题⎩⎨⎧='==+'-''-1)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x六、〔此题6分〕求)()(0>=-ββtet f 的傅立叶变换,并由此证明:te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos«复变函数与积分变换»期末试题〔A 〕答案及评分标准一.填空题〔每题3分,共计15分〕1.231i -的幅角是〔 2,1,0,23±±=+-k k ππ〕;2.)1(i Ln +-的主值是〔 i 432ln 21π+ 〕; 3.211)(z z f +=,=)0()5(f 〔 0 〕,4.0=z 是4sin z zz -的〔 一级 〕极点;5. zz f 1)(=,=∞]),([Re z f s 〔-1 〕; 二.选择题〔每题4分,共24分〕1.解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为〔B 〕;〔A 〕 y x iu u z f +=')(; 〔B 〕y x iu u z f -=')(;〔C 〕y x iv u z f +=')(; 〔D 〕x y iv u z f +=')(.2.C 是正向圆周3=z ,如果函数=)(z f 〔 D 〕,那么0d )(=⎰Cz z f .〔A 〕23-z ; 〔B 〕2)1(3--z z ; 〔C 〕2)2()1(3--z z ; 〔D 〕2)2(3-z . 3.如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛,那么级数在〔C 〕〔A 〕2-=z 点条件收敛 ; 〔B 〕i z 2=点绝对收敛;〔C 〕i z+=1点绝对收敛; 〔D 〕i z 21+=点一定发散.4.以下结论正确的选项是( B )〔A 〕如果函数)(z f 在0z 点可导,那么)(z f 在0z 点一定解析; (B)如果)(z f 在C 所围成的区域解析,那么0)(=⎰Cdz z f〔C 〕如果0)(=⎰Cdz z f ,那么函数)(z f 在C 所围成的区域一定解析;〔D 〕函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域均为调和函数.5.以下结论不正确的选项是〔 D 〕.的可去奇点;为、zA 1sin )(∞的本性奇点;为、z B sin )(∞.sin )(的孤立奇点为、zC 11∞的孤立奇点;为、z D sin )(1∞ 三.按要求完成以下各题〔每题10分,共40分〕〔1〕.设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数,求.,,,d c b a解:因为)(z f 解析,由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂xv y u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ,,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分,正确求导给2分,结果正确2分。

复变函数与积分变换单元测试及考试答案

复变函数与积分变换单元测试及考试答案

得分/总分A.B.3.00/3.00C.D.得分/总分•A.3.00/3.00•B.•C.•D.正确答案:A你选对了3单选(3分)得分/总分•A.•B.3.00/3.00•C.•D.正确答案:B你选对了4单选(3分)得分/总分•A.•B.•C.3.00/3.00•D.正确答案:C你选对了解析函数单元测验返回本次得分为:12.00/12.00, 本次测试的提交时间为:2020-03-08, 如果你认为本次测试成绩不理想,你可以选择再做一次。

1单选(3分)得分/总分•A.3.00/3.00•B.•C.•D.正确答案:A你选对了解析: A、复变函数在一点解析要求函数在该点可导,并且在该点的领域内处处可导。

因此,函数在一点解析能推出函数在该点可导,但是函数在一点可导不能推出在该点解析。

B、复变函数在一点解析要求函数在该点可导,并且在该点的领域内处处可导。

因此,函数在一点解析能推出函数在该点可导,但是函数在一点可导不能推出在该点解析。

C、复变函数在一点解析要求函数在该点可导,并且在该点的领域内处处可导。

因此,函数在一点解析能推出函数在该点可导,但是函数在一点可导不能推出在该点解析。

D、复变函数在一点解析要求函数在该点可导,并且在该点的领域内处处可导。

因此,函数在一点解析能推出函数在该点可导,但是函数在一点可导不能推出在该点解析。

2单选(3分)得分/总分•A.•B.3.00/3.00•C.•D.正确答案:B你选对了解析: B、利用“复变函数中的对数表达式'计算。

其中包含两项:(1)实部为复变数的模取对数;(2)虚部为复变数的辐角。

3单选(3分)得分/总分•A.3.00/3.00•B.•C.•D.正确答案:A你选对了解析: A、利用”乘幂的代数运算式“计算。

4单选(3分)得分/总分•A.3.00/3.00•B.•C.•D.正确答案:A你选对了解析: A、利用”复变函数的指数函数形式“计算。

复变函数积分单元测试返回本次得分为:9.00/12.00, 本次测试的提交时间为:2020-04-12, 如果你认为本次测试成绩不理想,你可以选择再做一次。

复变函数与积分变换练习册参考答案

复变函数与积分变换练习册参考答案
5 5
分析:显然原方程可化简为一个典型的二项方程。
⎛ 1+ z ⎞ 解:由直接验证可知原方程的根 z ≠ 1 。所以原方程可改写为 ⎜ ⎟ = 1。 ⎝ 1− z ⎠

5
ω=
1+ z , ……………(1) 1− z
2π i 5
则 ω = 1 , ……………………(2)
5
方程(2)的根为 ω = 1, e
(5) lim
z →1
zz + 2 z − z − 2 3 = 。 2 z2 −1 zz + 2 z − z − 2 ( z + 2)( z − 1) z +2 3 = lim = lim = 。 2 z →1 ( z − 1)( z + 1) z →1 z + 1 2 z −1
提示: lim
z →1
(1 − cos α ) 2 + sin 2 α = 4sin 2
α
2
= 2sin
α
2
;因为当 0 < α < π 时,
sin α > 0 , 1 − cos α > 0 ,则 arg z = arctan
= arctan(tan +i sin
π −α
2
)=
π −α
2 e
π −α i 2
sin α α = arctan(cot ) 1 − cos α 2

6、 ( 2)
=e
2 ln 2 − 2kπ
7、方程 sinh z = i 的解为 三、计算和证明 1、试证函数
1 在复平面上任何点都不解析。 z
利用 C-R 条件,即用解析的充要条件判别,即 u =
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广东技术师范学院
2008—2009学年度第 ( 1)学期期末考查试卷
《复变函数与积分变换》(A )卷
评分标准及参考答案
一、填空题(每空2分,共20分)
1、复数i 31+的主幅角为3
π。

2、复数i +3与复数i 32+乘积的主幅角为 2
3arctan 31arctan +。

3、复数i 31+-的三角表示为:)3
2sin 32(cos 2ππ+ 4、函数1
22+z z 的解析区域为:i z ±≠。

5、=+)31(i e πe -
6、自原点到i +1的直线上,积分⎰
+=i iydz 10i --1 7、级数∑∞=+
-121])[(n n n i 的收敛性为 发散。

8、幂级数∑∞=13n n n z 的收敛半径为3
1
9、函数)
1(sin 2z e z z -的全部奇点为∞=,2,0i k z π(答对一个给1分)。

10、函数1
+z e z
在1-=z 处的留数为 1-e 二、计算或证明(每小题10分,共80分)
1、证明函数iy x z f +=2)(处处不解析
证明:因为y v x u ==,2(3分);1,0,0,2=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂y v x v y u x x u (3分);当21=x 时,C —R 条件满足,函数只在直线2
1=x 可导(3分);于是)(z f 在复平面处处不解析。

(2分) 2、证明 1cos sin 22=+z z
证明:)(21sin iz iz e e i z --=
(2分);)(2
1cos iz iz e e z -+=(2分);)2(41)2(41cos sin 222222+++-+-=+--z i z i z i z i e e e e z z (4分)=1(2 分); 3、计算积分dz e i z ⎰+20)2(
解:函数2+z ze 的一个原函数为z e z 2+(4分);
原式=i z z e 20|)2(+(4分)=)142-+i e i (2分)。

4、在+∞<<z 1上展开函数
)1(12-+z z z 成洛朗级数 解:)1(1112)1(12-+-=-+z z z z z z (2分)=)11(11)11(122z z z z
-+-(2分) =∑∑∞=∞=+0201112n n n n z z
z z (6分) 5.求函数1
2+z z 在有限奇点处的留数 解:1
)(2+=z z z f 有两个有限远奇点:i z i z =-=21,(2 分);且均为一阶极点(2分);)(lim ]),([Re i z z i z f s i z -=--→(2分)=21(2分);同样可求2
1]),([Re =i z f s (2 分)。

6.用留数定理计算积分 dz z z e z z

=--4)2)(1( 解:在4||=z 所围的区域内)
2)(1()(--=z z e z f z
有两个孤立奇点:2,121==z z (2分);且11=z 为一阶极点,22=z 为一阶极点(2分);
e z e z
f s z z -=-=→2lim ]1),([Re 1(1分);221
lim ]2),([Re e z e z f s z
z =-=→(1分);原式=)(22
e e i -π(4分)。

7、求函数⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(t t e t f t α的傅里叶变换 解:⎰+∞∞--=dt e t f F t i ωω)()((3分)=⎰+∞
--0dt e e t i t ωα(3分)ω
αi +=1(4分)
8、计算dz z z z z ⎰=-2)
1(sin 解:在2=z 所围的区域内,)1(sin )(-=
z z z z f 有两个奇点1,021==z z (3分) 且01=z 为可去奇点,1,2=z 为一阶奇点(3分);,0]0),([Re =z f s 1sin sin lim ]1),([Re 1==→z z z f s z (2分);原式=1sin 2i π(2分)。

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