标准规范复变函数与积分变换考查(071A卷评分标准及参考答案)
复变函数与积分变换试卷(答案)
一、填空题(每题3分，共30分)1. 设i z -=,则=)arg(z 2π-；2.i z -=1的指数式为i e 42π-；3. 设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段，则=⎰c zdz i__ ； 4.函数iay x z f +=2)(在复平面内处处解析，那么实常=a ___2__；5. 幂级数∑∞=02n n n z 的收敛半径=R 21；6. 函数)1(1)(z z z f -=在圆环10<<z 内的洛朗展开式为...1132+++++z z z z ； 7. 积分=⎰=dz z z 1||tan __0______；8. i z -=是函数222)1()(+=z z z f 2 级极点； 9、221)(2++=s s s F 的拉普拉斯逆变换是t e e e t t i t i cos 2)1()1(---+-+或 ； 10.单位脉冲函数)3(-t δ的傅氏变换=-⎰+∞∞--dt e t t j ωδ)3(jw e 3-； 二、（本题12分）1、求21的所有值 解：1221Ln e =……………………………………………………………………..2分=)]21(arg 1[ln 2πk i e ++ （2,1,0±±=k ）…………………………… .…….2分 =)22sin()22cos(ππk i k + （2,1,0±±=k ）……………………2分2、解方程0cos =z 解：02cos =+=-iziz e e z …………………………………………………1分 即0=+-iz iz e e ，即12-=iz e设iy x z +=，则有)1(1122-⨯=-=+-xi y e所以 ππn x e y 22,12+==- (...2,1,0±±=n ) ……………….. 3分 所以有：ππn x y +==2,0 (...2,1,0±±=n ) 即ππn z +=2 (...2,1,0±±=n ) …………………2分三、. 将函数22)(ze zf z-=在圆环10<<z 内展开为洛朗级数。
复变函数与积分变换考查(071A卷评分标准及参考答案)
广东技术师范学院2008—2009学年度第 ( 1)学期期末考查试卷《复变函数与积分变换》（A ）卷评分标准及参考答案一、填空题(每空2分，共20分) 1、复数i 31+的主幅角为3π。
2、复数i +3与复数i 32+乘积的主幅角为 23a r c t a n31a r c t a n +。
3、复数i 31+-的三角表示为：)32sin 32(cos 2ππ+4、函数122+z z的解析区域为：i z ±≠。
5、=+)31(i e πe -6、自原点到i +1的直线上，积分⎰+=i iydz 10i --17、级数∑∞=+-121])[(n nn i 的收敛性为 发散。
8、幂级数∑∞=13n n n z 的收敛半径为319、函数)1(sin 2ze z z-的全部奇点为∞=,2,0i k z π（答对一个给1分）。
10、函数1+z e z在1-=z 处的留数为 1-e二、计算或证明（每小题10分，共80分）1、证明函数iy x z f +=2)(处处不解析证明：因为y v x u ==,2（3分）；1,0,0,2=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂y v x v y u x x u （3分）；当21=x 时，C —R 条件满足，函数只在直线21=x 可导（3分）；于是)(z f 在复平面处处不解析。
（2分） 2、证明 1s i n s i n 22=+z z证明：)(21s i n iz iz e e i z --=（2分）；)(21cos iz iz e e z -+=（2分）；)2(41)2(41cos sin 222222+++-+-=+--z i z i z i z i e e e e z z （4分）=1（2 分）； 3、计算积分dz e iz ⎰+20)2(解：函数2+z ze 的一个原函数为z e z 2+（4分）；原式=izz e 20|)2(+（4分）=)142-+i ei（2分）。
2019-2020-1复变函数与积分变换A卷答案
2019 至 2020 学年复变函数与积分变换第一学期试卷（A 卷）
标准答案及评分标准
一、判断题（2 分×4=8 分）
1.×
2.×
3.×
二、选择题（2 分×5=10 分）
1.B
2.D
3.C
三、填空题（2 分×5=10 分）
1. 1 + 1 i 22
2.∞ 3.一阶极点（或简单极点）
4.√ 4.B
对(1)两边求 y 的积分，可得 v= 6x dy x = 6xy x (3)
再对(3)两边同时求 x 的偏导，对比(2)可得， x =0, x C
从而 v= 6xy C ， f z = 3y2 3x2 i 6xy C
由于 f (0) 2i ，故 C=-2，
f z = 3y2 3x2 i 6xy 2 3z2 2i
4. 3t 2
5.C
5. f (t)e jtdt
四、计算题（8 分×4=32 分）
1.（8 分）解：方程即为 z3 1 i=
2
cos
3 4
isin
3 4
根据 3 次方根公式可得：
1
z (1 i)3
2
3
1 3
cos
4
2k 3
3 isin 4
2k 3
, k 0,1,2
1
1 s
4
因此我们有
y(t) =L1 Y (s) 1 1 et 1 e4t
4 3 12
所以方程有 3 个根，对应于 k=0,1,2 分别为
z
6
2
cos
4
i
sin
4
,
6
2
cos
11 12
复变函数与积分变换习题册(含答案)
第1章 复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为 。
2、k 为任意整数，则34+k 的值为 。
3、复数i i (1)-的指数形式为 。
4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划 ） 1、2121z z z z +=+ （ ）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （ ）3、()()i i i 125432+=++ （ ） 三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（ ）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（ ） （A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（ ）。
(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。
复变函数试题及标准答案
二．判断题（每题3分，共30分） 1．n z z z f =)(在0=z 解读。
【 】2．)(z f 在0z 点可微，则)(z f 在0z 解读。
【 】 3．z e z f =)(是周期函数。
【 】4． 每一个幂函数在它的收敛圆周上处处收敛。
【 】 5． 设级数∑∞=0n n c 收敛，而||0∑∞=n n c 发散，则∑∞=0n n n z c 的收敛半径为1。
【 】6． 1tan()z能在圆环域)0(||0+∞<<<<R R z 展开成洛朗级数。
【 】 7． n 为大于1的正整数, Ln Ln n z n z =成立。
【 】 8．如果函数)(z f =ω在0z 解读，那末映射)(z f =ω在0z 具有保角性。
【 】9．如果u 是D 内的调和函数,则yu i x u f ∂∂-∂∂=是D 内的解读函数。
【 】10．212233||||221112|2(1)1z z z z dz dz i i z z z z ππ======--⎰⎰。
【 】 三．（8分）y e v px sin =为调和函数，求p 的值，并求出解读函数iv u z f +=)(。
四．（8分） 求())2)(1(--=z z zz f 在圆环域21<<z 和+∞<-<21z 内的洛朗展开式。
五．（8分）计算积分dx x x x ⎰∞+∞-++54cos 22。
六．（8分）设⎰-++=Cd zz f ξξξξ173)(2，其中C 为圆周3||=z 的正向，求(1)f i '+。
七．（8分）求将带形区域})Im(0|{a z z <<映射成单位圆的共形映射。
复变函数与积分变换(A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5) 一.填空(各3分)1.3ln 2i k e +-π；2. 三级极点 ；3. 23z ；4. 0 ；5. 0 ；6.e1 ；7.322)1(26+-s s ；8. 0；9. 0 ；10. )]2()2()2(1)2(1[21++-+++-ωπδωπδωωj j 。
《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案详解(可打印修改)
给出 C-R 条件 6 分，正确求导给 2 分，结果正确 2 分。
（2）．计算
C
(z
ez 1)2
z
dz
其中
C
是正向圆周：
解：本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算， 仅给出用前者计算过程
因为函数
f
(z)
(z
ez 1)2
z
在复平面内只有两个奇点
z1
0, z 2
1，分别以
z15
（3）．
dz
z 3 (1 z 2 )2 (2 z 4 )3
解：设 f (z) 在有限复平面内所有奇点均在： z 3 内，由留数定理
z15
dz 2i Re s[ f (z), ]
z 3 (1 z 2 )2 (2 z 4 )3
-----（5 分）
2i Re s[ f (1) 1 ] z z2
f (1) 1
( 1 )15 z
1
z z 2 (1 1 )2 (2 (1 )4 )3 z 2
z2
z
----（8 分）
1 f( )
1
1
有唯一的孤立奇点z 0,
z z 2 z(1 z 2 )2 (2z 4 1)3
lim lim Re s[ f
1 ()
1
,0]
1 zf ( )
1
1
1
z z2
z 0
（4） z 2,3,4L ，为f (z)的三级极点；
：
f
(z)
z(z2
1)(z 2)3 (z (sin z)3
3)2
的奇点为z
k, k
0,1,2,3,L
，
（1） z k,k 0,1,2,3,L 。。 sinz。 3 0。。。。。。
复变函数与积分变换课程试卷及答案
同济大学课程考核试卷（A 卷） 2006—2007学年第一学期命题教师签名：朱经浩 审核教师签名：方小春 课号：： 课名：复变函数 考试考查：考查此卷选为：期中考试( )、期终考试(∨ )、重考( )试卷年级 专业学号 姓名 任课教师（注意：本试卷共 7 大题， 2 大张，满分100分．考试时间为 100 分钟。
要求写出解题过程，否则不予计分）一. 填空题（每小题5分）1 如果 i z =2，则=z arg （ ）或 （ ）2 Ln )(i - 的主值是（ ）3 设,)(iv u z f += 在复平面解析， 并满足1≡u ，则=x v （ ） 4=⎰=dz e z z1||sin （ ）5 设n 为正整数，=⎰=dz ze z n z1||（ ）6 =⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,cos Re 2z z e s z （ ）7 0=z 是4cos )()(z zz e z f z -=的（ ）级极点。
8 11+-=z z w 把（ ）映为单位圆周{}1=w 。
9 设2()1f x x x =++，则(())L f x =（ ）10设1()1F s s =+，则1(())L F s -=（ ）。
二. （10分）设函数iv u z f +=)(在区域{}ππ<<-z z D arg :解析，并设函数)()(ze f z F =在区域{}Im z ππ-<<内恒等于一个常数。
证明：在{}ππ<<-z z D arg :内，)(z f 恒等于某个常数。
三. （6分）计算()22314z dz z z =-⎰四. （8分）用围道积分方法计算2cos 610xdx x x +∞-∞-+⎰ 。
五．（6分）设ze zz z f 131)(+=，求()∞),(Re z f s 。
六．（10分）求把角域3arg 3ππ<<-z 映射为单位圆{}1<w 的一个共形映照。
七． ．（10分）利用Laplace 变换求常微分方程t e y dt dydty d 42234=+-满足1)0(=y ，0)0('=y 的特解。
《复变函数》考试试卷B及答案(评分标准)
《复变函数》考试试卷(B)专业： 考试日期： 时间120分钟 总分100分 闭卷2分，计10分） 1、设z=3-3i 则argz=( )。
A.4πB. 4π-C. 3π-D.3π2、在全平面不解析的函数是 ( C )。
A.xyi y x z f 2)(22+-=B.f(z)=sinzC.f(z)=LnzD.f(z)= z e 3、z=0 为f(z)=zzsin 的( )。
A.可去奇点 B.一阶极点 C.本性奇点 D.二阶极点 4、级数nn z n∑∞=021的收敛半经为( )。
A.0 B.1 C.2 D.∞5、函数⎰=-=-21)1(sin z dz z z（ ）。
A.cos1 B.sin1 C.2πicos1 D. 2πisin1 (每空2分，计18分)1、设复数z=-i ,则z 的 三角形式为2、从z 1=0到z 2=1-i 的直线段的参数方程是3、f(z)=zsinz 的导数为4、方程表示的曲线是21=+z5、设z=6)1(i +，则z ＝6、积分⎰==21002)(sin (z z dz z e z7、函数z=11sin -z 的奇点为 8、设f(z)=zz z 212-+,则f(z)在z=0的留数Res[f(z),0]= 9、dz i z i z ⎰=--1221= 三、求下列积分(20分)1、⎰izdz ze 0 2、dz z e z z⎰=-22)1( 3、⎰=++22))(9(z dz i z z z4、dx x x x ⎰+∞∞-++)4)(9(22四、计算题(每题5分,计15分) 1、求31i +的值2、求Ln(-2-2i)的值3、设5335)(--=z z z f ,求)(z f 的导数)('z f .五、级数(每题6分，计12分)(1)、将函数f(z)=)2)(1(1--z z 在0<|z-2|<1内展开为洛朗级数;(2)、求f(z)=z231- 在z=2处的泰勒级数,并指出收敛范围六、(12分)设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=在全复平面解析,求 d c b a .,,的值.七、(13分)（1）讨论函数z z f =)(的可导性与解析性.(2)验证u=122+-y x 是平面上的调和函数,并求解析函数f(z)=u+vi,使 f(0)=i.《复变函数》考试试卷(B)评分标准专业： 考试日期： 时间120分钟 总分100分 闭卷2分，计10分） 1、设z=3-3i 则argz=( B )。
复变函数与积分变换试题和答案
复变函数与积分变换试题（一）一、填空（3分×10）1．)31ln(i --的模.幅角。
2．-8i 的三个单根分别为： . . 。
3．Ln z 在 的区域内连续。
4．z z f =)(的解极域为：。
5．xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f。
6．=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s。
7．指数函数的映照特点是： 。
8．幂函数的映照特点是：。
9．若)(ωF =F [f (t )].则)(t f = F )][(1ω-f。
10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件.则L [f (t )]=。
二、(10分)已知222121),(y x y x v +-=.求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数.且f (0)=0。
三、（10分）应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×2） 1．⎰=-2||)1(z z z dz2．⎰-c i z z3)(cos C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。
五、（10分）求函数)(1)(i z z z f -=在以下各圆环内的罗朗展式。
1．1||0<-<i z 2．+∞<-<||1i z六、证明以下命题：（5分×2）（1）)(0t t -δ与o iwt e -构成一对傅氏变换对。
（2）)(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i七、（10分）应用拉氏变换求方程组⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。
八、（10分）就书中内容.函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案（一）一、1． 22942ln π+ .ππk arctg 22ln 32+-2.3-i 2i 3-i3. Z 不取原点和负实轴4. 空集5. 2z 6． 0 7.将常形域映为角形域8. 角形域映为角形域9.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(2110. ⎰∞+-0)(dt e t f st二、解：∵y ux x v ∂∂-=-=∂∂ xuy y v ∂∂==∂∂∴c xy u += （5分）c xy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0 （3分）∴222222)2(2)(2)(z i xyi y x i y x i xy z f -=+--=--=（2分）三、解：原式=（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π 01=z 12=z（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π 33=z ∞=4z2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分）z z z s⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（=0∴原式=（2分） 23126⨯⨯i π=i 63π-四、1．解：原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221 （3分） z 1=0z 2=1]11[2+-=i π=0（2分）2．解：原式iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-==1ich π-五、1．解：nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分）（分）（分）（11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=（2分）2．解：⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i （2分） 六、1．解：∵00)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰（3分） ∴结论成立 （2）解：∵1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰ti t i e dw e（2分）∴)(2w πδ与1构成傅氏对∴)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i（2分）七、解：∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX（3分）S （2）-（1）：∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s （3分）∴cht e e t Y tt -=--=-121211)( 八、解：①定义；②C-R 充要条件Th ； ③v 为u 的共扼函数 10分复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的（ ）条件。
复变函数与积分变换试题及答案1.
复变函数与积分变换试题与答案一、填空题：（每题3分）1.i 31--的三角表达形式： ； 指数表达形式： ； 几何表达形式： . 2．=-i 2)3( ；3. 设Max =M {}C z z f ∈|)(|,L 为曲线C 的长度，则≤⎰z z f C d )( . 4．级数21n z z z +++++L L 的和函数的解析域是 。
5. 分式线性函数、指数函数、幂函数的映照特点各是 。
二、 判断正确与错误（画对错号，每题3分）1．因为|sin |1z ≤，所以在复平面上sin z 有界。
（ ） 2、若函数()z f 在0z 处解析，则)()(z f n 也在0z 解析。
（ ） 3．如果u (x ,y )，v (x ,y )的偏导数存在，那么f (z )=u +iv 可导。
（ ） 4．在z o 处可导的函数，一定可以在z o 的邻域内展开成罗朗级数。
（ ）5. 解析函数构成的保形映照具有保圆性 （ ）三、解答题（每题8分）1．设22()i f z xy x y =+，则()f z 在何处可导？何处解析？2．已知f （z ）的虚部为222121),(y x y x v +-=，求解析函数0)0()(=+=f iv u z f 且.3.求积分 ,C I zdz =⎰ C 为沿单位圆(||1)z =的逆时针一周的曲线。
4.求sin d (1)Czz z z -⎰Ñ，其中C 为||2z =。
5.求e d cos zCz z ⎰Ñ，其中C 为||2z =。
6．把函数)2)(1(12-+z z 在2||1<<z 内展开成罗朗级数。
7．指出 6sin )(z z z z f -= 在有限复平面上的孤立奇点及类型，并求奇点处的留数。
8.求将单位圆 | z | < 1内保形映照到单位圆 | w | < 1内， 且满足0)21(=f ，2)21(arg π='f 的分式线性映照。
复变函数及积分变换试卷及答案
«复变函数与积分变换»期末试题〔A〕一．填空题〔每题3分，共计15分〕1．231i-的幅角是〔〕；2.)1(iLn+-的主值是〔〕；3.211)(zzf+=，=)0()5(f〔〕；4．0=z是4sinzzz-的〔〕极点；5．zzf1)(=，=∞]),([Re zf s〔〕；二．选择题〔每题3分，共计15分〕1．解析函数),(),()(yxivyxuzf+=的导函数为〔〕；〔A〕yxiuuzf+=')(；〔B〕yxiuuzf-=')(；〔C〕yxivuzf+=')(；〔D〕xyivuzf+=')(.2．C是正向圆周3=z，如果函数=)(zf〔〕，那么0d)(=⎰C zzf．〔A〕23-z；〔B〕2)1(3--zz；〔C〕2)2()1(3--zz；〔D〕2)2(3-z. 3．如果级数∑∞=1nnnzc在2=z点收敛，那么级数在〔A 〕2-=z 点条件收敛 ； 〔B 〕i z 2=点绝对收敛；〔C 〕i z+=1点绝对收敛； 〔D 〕i z 21+=点一定发散．４．以下结论正确的选项是( )〔A 〕如果函数)(z f 在0z 点可导，那么)(z f 在0z 点一定解析； (B)如果)(z f 在C 所围成的区域解析，那么0)(=⎰Cdz z f〔C 〕如果0)(=⎰Cdz z f ，那么函数)(z f 在C 所围成的区域一定解析；〔D 〕函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域均为调和函数．5．以下结论不正确的选项是〔 〕．(A) 的可去奇点；为z1sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞(C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞三．按要求完成以下各题〔每题10分，共计40分〕〔1〕设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a〔2〕．计算⎰-Czz z z e d )1(2其中C 是正向圆周：2=z ；〔3〕计算⎰=++3342215d )2()1(z z z z z〔4〕函数3232)(sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩大复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.四、〔此题14分〕将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域展开成罗朗级数； 〔1〕110<-<z ，〔2〕10<<z ，〔3〕∞<<z 1五．〔此题10分〕用Laplace 变换求解常微分方程定解问题⎩⎨⎧='==+'-''-1)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x六、〔此题6分〕求)()(0>=-ββtet f 的傅立叶变换，并由此证明：te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos«复变函数与积分变换»期末试题〔A 〕答案及评分标准一．填空题〔每题3分，共计15分〕1．231i -的幅角是〔 2,1,0,23±±=+-k k ππ〕；2.)1(i Ln +-的主值是〔 i 432ln 21π+ 〕； 3.211)(z z f +=，=)0()5(f 〔 0 〕，4．0=z 是4sin z zz -的〔 一级 〕极点；5． zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s 〔-1 〕； 二．选择题〔每题4分，共24分〕1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为〔B 〕；〔A 〕 y x iu u z f +=')(； 〔B 〕y x iu u z f -=')(；〔C 〕y x iv u z f +=')(； 〔D 〕x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f 〔 D 〕，那么0d )(=⎰Cz z f ．〔A 〕23-z ； 〔B 〕2)1(3--z z ； 〔C 〕2)2()1(3--z z ； 〔D 〕2)2(3-z . 3．如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛，那么级数在〔C 〕〔A 〕2-=z 点条件收敛 ； 〔B 〕i z 2=点绝对收敛；〔C 〕i z+=1点绝对收敛； 〔D 〕i z 21+=点一定发散．４．以下结论正确的选项是( B )〔A 〕如果函数)(z f 在0z 点可导，那么)(z f 在0z 点一定解析； (B)如果)(z f 在C 所围成的区域解析，那么0)(=⎰Cdz z f〔C 〕如果0)(=⎰Cdz z f ，那么函数)(z f 在C 所围成的区域一定解析；〔D 〕函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域均为调和函数．5．以下结论不正确的选项是〔 D 〕．的可去奇点；为、zA 1sin )(∞的本性奇点；为、z B sin )(∞.sin )(的孤立奇点为、zC 11∞的孤立奇点；为、z D sin )(1∞ 三．按要求完成以下各题〔每题10分，共40分〕〔1〕．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂xv y u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
复变函数与积分变换单元测试及考试答案
得分/总分A.B.3.00/3.00C.D.得分/总分•A.3.00/3.00•B.•C.•D.正确答案：A你选对了3单选(3分)得分/总分•A.•B.3.00/3.00•C.•D.正确答案：B你选对了4单选(3分)得分/总分•A.•B.•C.3.00/3.00•D.正确答案：C你选对了解析函数单元测验返回本次得分为：12.00/12.00, 本次测试的提交时间为：2020-03-08, 如果你认为本次测试成绩不理想，你可以选择再做一次。
1单选(3分)得分/总分•A.3.00/3.00•B.•C.•D.正确答案：A你选对了解析： A、复变函数在一点解析要求函数在该点可导，并且在该点的领域内处处可导。
因此，函数在一点解析能推出函数在该点可导，但是函数在一点可导不能推出在该点解析。
B、复变函数在一点解析要求函数在该点可导，并且在该点的领域内处处可导。
因此，函数在一点解析能推出函数在该点可导，但是函数在一点可导不能推出在该点解析。
C、复变函数在一点解析要求函数在该点可导，并且在该点的领域内处处可导。
因此，函数在一点解析能推出函数在该点可导，但是函数在一点可导不能推出在该点解析。
D、复变函数在一点解析要求函数在该点可导，并且在该点的领域内处处可导。
因此，函数在一点解析能推出函数在该点可导，但是函数在一点可导不能推出在该点解析。
2单选(3分)得分/总分•A.•B.3.00/3.00•C.•D.正确答案：B你选对了解析： B、利用“复变函数中的对数表达式'计算。
其中包含两项：（1）实部为复变数的模取对数；（2）虚部为复变数的辐角。
3单选(3分)得分/总分•A.3.00/3.00•B.•C.•D.正确答案：A你选对了解析： A、利用”乘幂的代数运算式“计算。
4单选(3分)得分/总分•A.3.00/3.00•B.•C.•D.正确答案：A你选对了解析： A、利用”复变函数的指数函数形式“计算。
复变函数积分单元测试返回本次得分为：9.00/12.00, 本次测试的提交时间为：2020-04-12, 如果你认为本次测试成绩不理想，你可以选择再做一次。
复变函数与积分变换练习册参考答案
分析：显然原方程可化简为一个典型的二项方程。
⎛ 1+ z ⎞ 解：由直接验证可知原方程的根 z ≠ 1 。所以原方程可改写为 ⎜ ⎟ = 1。 ⎝ 1− z ⎠
令
5
ω=
1+ z ， ……………(1) 1− z
2π i 5
则 ω = 1 ， ……………………(2)
5
方程(2)的根为 ω = 1, e
(5) lim
z →1
zz + 2 z − z − 2 3 = 。 2 z2 −1 zz + 2 z − z − 2 ( z + 2)( z − 1) z +2 3 = lim = lim = 。 2 z →1 ( z − 1)( z + 1) z →1 z + 1 2 z −1
提示： lim
z →1
(1 − cos α ) 2 + sin 2 α = 4sin 2
α
2
= 2sin
α
2
；因为当 0 < α < π 时，
sin α > 0 ， 1 − cos α > 0 ，则 arg z = arctan
= arctan(tan +i sin
π −α
2
)=
π −α
2 e
π −α i 2
sin α α = arctan(cot ) 1 − cos α 2
。
6、 ( 2)
=e
2 ln 2 − 2kπ
7、方程 sinh z = i 的解为 三、计算和证明 1、试证函数
1 在复平面上任何点都不解析。 z
利用 C-R 条件，即用解析的充要条件判别，即 u =
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广东技术师范学院
2008—2009学年度第 ( 1)学期期末考查试卷
《复变函数与积分变换》（A ）卷
评分标准及参考答案
一、填空题(每空2分，共20分)
1、复数i 31+的主幅角为3
π。
2、复数i +3与复数i 32+乘积的主幅角为 2
3arctan 31arctan +。
3、复数i 31+-的三角表示为：)3
2sin 32(cos 2ππ+ 4、函数1
22+z z 的解析区域为：i z ±≠。
5、=+)31(i e πe -
6、自原点到i +1的直线上，积分⎰
+=i iydz 10i --1 7、级数∑∞=+
-121])[(n n n i 的收敛性为 发散。
8、幂级数∑∞=13n n n z 的收敛半径为3
1
9、函数)
1(sin 2z e z z -的全部奇点为∞=,2,0i k z π（答对一个给1分）。
10、函数1
+z e z
在1-=z 处的留数为 1-e 二、计算或证明（每小题10分，共80分）
1、证明函数iy x z f +=2)(处处不解析
证明：因为y v x u ==,2（3分）；1,0,0,2=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂y v x v y u x x u （3分）；当21=x 时，C —R 条件满足，函数只在直线2
1=x 可导（3分）；于是)(z f 在复平面处处不解析。
（2分） 2、证明 1cos sin 22=+z z
证明：)(21sin iz iz e e i z --=
（2分）；)(2
1cos iz iz e e z -+=（2分）；)2(41)2(41cos sin 222222+++-+-=+--z i z i z i z i e e e e z z （4分）=1（2 分）； 3、计算积分dz e i z ⎰+20)2(
解：函数2+z ze 的一个原函数为z e z 2+（4分）；
原式=i z z e 20|)2(+（4分）=)142-+i e i （2分）。
4、在+∞<<z 1上展开函数
)1(12-+z z z 成洛朗级数 解：)1(1112)1(12-+-=-+z z z z z z （2分）=)11(11)11(122z z z z
-+-（2分） =∑∑∞=∞=+0201112n n n n z z
z z （6分） 5．求函数1
2+z z 在有限奇点处的留数 解：1
)(2+=z z z f 有两个有限远奇点：i z i z =-=21,（2 分）；且均为一阶极点（2分）；)(lim ]),([Re i z z i z f s i z -=--→（2分）=21（2分）；同样可求2
1]),([Re =i z f s （2 分）。
6．用留数定理计算积分 dz z z e z z
⎰
=--4)2)(1( 解：在4||=z 所围的区域内)
2)(1()(--=z z e z f z
有两个孤立奇点：2,121==z z （2分）；且11=z 为一阶极点，22=z 为一阶极点（2分）；
e z e z
f s z z -=-=→2lim ]1),([Re 1（1分）；221
lim ]2),([Re e z e z f s z
z =-=→（1分）；原式=)(22
e e i -π（4分）。
7、求函数⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(t t e t f t α的傅里叶变换 解：⎰+∞∞--=dt e t f F t i ωω)()(（3分）=⎰+∞
--0dt e e t i t ωα（3分）ω
αi +=1（4分）
8、计算dz z z z z ⎰=-2)
1(sin 解：在2=z 所围的区域内，)1(sin )(-=
z z z z f 有两个奇点1,021==z z （3分） 且01=z 为可去奇点，1,2=z 为一阶奇点（3分）；,0]0),([Re =z f s 1sin sin lim ]1),([Re 1==→z z z f s z （2分）；原式=1sin 2i π（2分）。