第2章2 Z域分析

10. 序列乘积（复卷积定理） 序列乘积（复卷积定理） 若
w(n) = x(n) y(n)
W(z) = Z[w(n)] = Z[x(n) y(n)] = 1 z 1 = ∫cX (v)Y v v dv 2πj
n=∞
x(n) y(n)zn ∑
∞
RxRy <| z |< Rx+ Ry+
李建勋--- ljx088@ 21
Rx-<|z|<∞
jIm[z]
X (z) = ∑x(n)zn
n=0
∞
Rx <Z变换收敛域包括 变换收敛域包括|z|=∞是因果序列的特征。 是因果序列的特征。 变换收敛域包括 是因果序列的特征
李建勋--- ljx088@ 5
（3） 左边序列 左边序列是指在 ） 左边序列: 左边序列是指在n≤n2时x(n)有值 有值
Ｒ-<|z|<R+
y(n) = x(n) h(n)
Y(z) = Z[ y(n)] = X (z)H(z) max[Rx , Rh ] <| z |< min[Rx+ , Rh+ ]
李建勋--- ljx088@ 16
3. 序列的移位
Z[x(n m)] = zm X (z)
Rx <| z |< Rx+
1.1 序列的 Z 变 换 1. Z变换的定义 变换的定义 一个离散序列x(n)的Z变换定义为 的 变换定义为 一个离散序列
X (z) = x(n)zn ∑
∞
n=∞
Z[x(n)] = X (z)
z是一个复变量，它所在的复平面称为Z平面。 是一个复变量，它所在的复平面称为 平面 平面。 是一个复变量
| z |>| b |
jIm[z]
所以
z Y(z) = X (z)H(z) = z b
| z |> b
y(n) = b u(n)
n
a b o Re[z]
李建勋--- ljx088@
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4. 初值定理 对于因果序列x(n)，有 ， 对于因果序列
lim X (z) = x(0)
z→∞
x(n) n1 ≤ n ≤ n2 h(n) = 其他n 0
其Z变换为 变换为
X (z) = ∑x(n)zn
n=n1
n2
n1 < 0, n2 ≤ 0时
其收敛情况
0 ≤| z |< ∞ 0 <| z |< ∞ 0 <| z |≤ ∞
n1 < 0, n2 > 0时 n1 ≥ 0, n2 > 0时
有时将开域(0, 称为 有限Z平面 称为“ 平面” 有时将开域 ∞)称为“有限 平面”。
lim x(n) = lim[(z 1) X (z)]
n→∞ z→ 1
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6. 乘以指数序列（Z域尺度变换） 乘以指数序列（ 域尺度变换 域尺度变换）
Z[an x(n)] = X (a1z)
7. X(z)的微分 的微分
| a | Rx <| z |<| a | Rx+
dX (z) Z[nx(n)] = z dz
8. 复序列的共轭
Rx <| z |< Rx+
Z[x*(n)] = X *(z*)
Rx <| z |< Rx+
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李建勋--- ljx088@
9. 翻褶序列
1 Z[x(n)] = X ( ) z
1 1 <| z |< Rx+ Rx1
例：
x(n) = {2,3,1, 1,3,2}
X (z) = ∑x(n)zn
n=0 ∞
级数形式对应不同序列 在工程中，人们对右序列感兴趣 在工程中， 单边Z变换的定义： 单边 变换的定义： 变换的定义
本书中均用双边Ｚ变换对信号进行分析和变换。 本书中均用双边Ｚ变换对信号进行分析和变换。
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Re[z]
6
（4） 双边序列： ） 双边序列： 一个双边序列可看作一个右边序列和一个左边序列之和
X (z) =
n=∞
x(n)zn = ∑x(n)zn + ∑x(n)zn ∑
n=0 n=∞
∞
∞
1
收敛域为|z|>Rx-; 收敛域为
收敛域为|z|<RX+ 收敛域为
如果R 则存在公共收敛区域： 如果 x-<Rx+，则存在公共收敛区域：Rx-<|z|<Rx+
o jIm[z]
|a|
a
整个收敛域应该在极点所在的圆内。 整个收敛域应该在极点所在的圆内。
Re[z]
结论：右边序列的Z变换如果有 个有限极点｛ 变换如果有N个有限极点 结论：右边序列的 变换如果有 个有限极点｛z1,z2,…,zN｝， 那么收敛域一定在模最大的极点所在的圆外
李建勋--- ljx088@ 9
X (z) =
∞
1 X1(z) = ∑an zn = 1 az1 n=0 az X2 (z) = ∑a z = 1 az n=∞
n n 1
n=∞
x(n)zn =∑an zn + ∑an zn ∑
n=0 n=∞
∞
∞
1
| z |>| a | | z |<1/ | a |
若|a|<1，则存在公共收敛域 若|a|≥1，则无公共收敛域,序列两端都发散
收敛域中没有极点， 收敛域总是用极点限定其边界。 收敛域中没有极点， 收敛域总是用极点限定其边界。
李建勋--- ljx088@ 3
Z平面上收敛域的位置和序列有着密切的关系： 平面上收敛域的位置和序列有着密切的关系： 平面上收敛域的位置和序列有着密切的关系 （1）有限长序列 ）
a1z z 1 X (z) = = = 1 1 a z z a 1 az1
| z |<| a |
整个收敛域应该在极点所在的圆内。 整个收敛域应该在极点所在的圆内。
李建勋--- ljx088@
z 1 = 另外， 只在z=a处有一极点， 处有一极点， 另外，由于函数 处有一极点 1 只在 z a 1 az
2. Z变换的收敛域与零极点 变换的收敛域与零极点 只有当的幂级数收敛时， 变换才有意义 变换才有意义。 只有当的幂级数收敛时，Z变换才有意义。 收敛域：对任意 变换收敛的所有z值的集合 收敛域：对任意x(n)，使其 变换收敛的所有 值的集合。 ，使其Z变换收敛的所有 值的集合。
jIm[z]
一般收敛域用环状域表示， 一般收敛域用环状域表示，即
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jIm[z]
a
对于左边序列，如果序列Z变换有 对于左边序列 ， 如果序列 变换有
Re[z]
o
N个有限极点｛z1, z2, …, zN｝，那么收敛 个有限极点｛ 个有限极点 域一定在模最小的极点所在的圆内
|z|＝| | a
结论：一个左边序列与一个右边序列的Ｚ 结论 ： 一个左边序列与一个右边序列的 Ｚ 变换表达式是 完全一样的。所以，只给出Z变换的闭合表达式不能正确 完全一样的。所以，只给出 变换的闭合表达式不能正确 得到原序列，需要已知收敛域。 得到原序列，需要已知收敛域。
李建勋--- ljx088@ 4
只在n≥n1时有值。 时有值。 （2）右边序列：右边序列是指 ）右边序列：右边序列是指x(n)只在 只在
X (z) = ∑x(n)z = ∑x(n)z +∑x(n)z
n n n=n1 n=n1 n=0
∞
1
∞
n
则右边序列Z变换的收敛域为 则右边序列 变换的收敛域为 因果序列
李建勋--- ljx088@
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矩形序列x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域 变换及其收敛域: 矩形序列 的 变换及其收敛域
X (z) =
n=∞
RN (n)zn = ∑zn ∑
n=0
∞
N1
=1+ z1 + z2 ++ z( N1)
这是一个有限项几何级数之和。 这是一个有限项几何级数之和。因此
Z变换的主要性质 变换的主要性质
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1.3 Z反变换 反变换 已知函数X(z)及其收敛域，求序列的变换称为Z反变换， 及其收敛域，求序列的变换称为 反变换 反变换， 已知函数 及其收敛域 x(n)=Z-1［X(z)］ ］ 若
∞
X (z) =
n=∞
x(n)zn ∑
Rx <| z |< Rx+
jIm[z]
|z|＝Rx＋
则
1 x(n) = 2π j
∫
Rx-<|z|<Rx+
|z|＝Rx－
o
Re[z]
|z|＝Rx＋
P(z) 常用的Z变换是一个有理函数 变换是一个有理函数： 常用的 变换是一个有理函数： Q(z) X(z)的零点：P(z)的根， X(z)的极点：Q(z)的根。 的零点： 的根， 的极点： 的根。 的零点 的根 的极点 的根 X (z) =
李建勋--- ljx088@
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李建勋--- ljx088@
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为实数， 变换及收敛域。 例 x(n)=a|n|, a为实数，求其 变换及收敛域。 为实数 求其Z变换及收敛域
a |n| o ＜a＜1
a |n|
a ＞1
o
n
o
n
这是一个双边序列， 解 这是一个双边序列，其Z变换为 变换为
第二章 时域离散信号和系统的频域分析
Z域分析法 1.连续时间信号与系统： 1.连续时间信号与系统： 信号与系统的频域分析、复频域分析。 傅立叶变换，拉谱拉斯变换 2.离散时间信号与系统： 2.离散时间信号与系统： Z变换，傅立叶变换。