最新16梯度法和共轭梯度法基本原理和特点

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共轭梯度法

共轭梯度法

共轭梯度法:共轭梯度法是把共轭性与最速下降法相结合,利用已知点处的梯度构造一组供各方向,并沿这组方向进行搜索,求出目标函数的极小点,根据共轭方向的基本性质,这种方法具有二次终止性。

具体求解方法:首先,任意给定一个初始点(1)
x ,计算出目标函数()f x 在这点的梯度,若
10g =,则停止计算;否则,令(1)(1)1()d f x g =-∇=-,沿方向(1)
d 搜索,得到点(2)x 。

计算在(2)x 处的梯度,若
20g ≠,则利用2g -和(1)d 构造第二个搜索方向(2)d ,再沿
(2)d 搜索;若已知点()k x 的搜索方向()k d ,得到(1)()()k k k k x x d λ+=+,再从(1)k x +出发,沿方向(1)k d +搜索。

结论:由共轭梯度法产生的方向(1)d ,(2)d ,…,()m d 是A 共轭
的,经有限步必达到极小值。

注:初始方向比为(1)d =-(1)()f x ∇。

用共轭梯度法求极值

用共轭梯度法求极值

用共轭梯度法求极值引言在数学和计算机科学中,求解极值问题是一个常见的任务。

极值问题涉及到寻找一个函数的最大值或最小值的点。

为了解决这个问题,有很多不同的优化算法可以使用。

其中一个常用且有效的算法是共轭梯度法。

共轭梯度法简介共轭梯度法是一种迭代算法,用于求解线性方程组和优化问题。

它的主要思想是利用共轭方向的特性来加速收敛过程。

共轭梯度法适用于对称正定的线性方程组和二次型优化问题。

共轭梯度法的原理1.初始化:选择一个合适的初始点和初始搜索方向。

2.迭代计算:通过计算当前点的梯度和搜索方向,更新当前点的位置。

3.终止条件:根据预设的停止准则判断是否达到了极值点。

共轭梯度法的步骤1.初始化:选择一个初始点x0和初始搜索方向d0。

2.迭代计算:–计算当前点的梯度gk。

–计算步长ak。

–更新当前点的位置:xk+1 = xk + ak * dk。

–计算新的搜索方向:dk+1 = -gk+1 + βk * dk。

3.终止条件:根据预设的停止准则判断是否达到了极值点。

共轭梯度法的优点1.收敛速度快:共轭梯度法利用共轭方向的特性,可以在有限的迭代次数内找到极值点。

2.内存占用小:共轭梯度法只需要存储当前点的位置和梯度,不需要存储所有历史信息,因此内存占用较小。

3.对大规模问题有效:共轭梯度法适用于大规模线性方程组和优化问题的求解。

共轭梯度法的应用共轭梯度法在科学计算、机器学习和优化问题中广泛应用。

以下是一些常见的应用场景:1. 图像处理共轭梯度法可以用于图像去噪、图像重建和图像分割等问题的求解。

通过最小化目标函数,可以得到优化后的图像结果。

2. 机器学习共轭梯度法可以用于训练机器学习模型中的参数。

通过最小化损失函数,可以得到最优的模型参数。

3. 优化问题共轭梯度法可以用于求解各种优化问题,如线性规划、非线性规划和整数规划等。

通过最小化或最大化目标函数,可以得到最优解。

共轭梯度法的改进共轭梯度法在实际应用中存在一些问题,如收敛速度慢和对非线性问题的适应性差。

共轭梯度法公式推导

共轭梯度法公式推导

共轭梯度法公式推导一、问题的提出与预备知识。

1. 二次函数的极小化问题。

- 考虑二次函数f(x)=(1)/(2)x^TAx - b^Tx + c,其中A是n× n对称正定矩阵,x,b∈ R^n,c∈ R。

- 对f(x)求梯度∇ f(x)=Ax - b。

- 求f(x)的极小值点,即求解Ax = b。

2. 共轭方向的概念。

- 设A是对称正定矩阵,若对于非零向量d_1,d_2∈ R^n,满足d_1^TAd_2 = 0,则称d_1和d_2是A - 共轭的(或A - 正交的)。

二、共轭梯度法的基本思想。

1. 迭代格式。

- 共轭梯度法是一种迭代算法,其基本迭代格式为x_k + 1=x_k+α_kd_k,其中x_k是第k次迭代的近似解,α_k是步长,d_k是搜索方向。

2. 确定步长α_k- 为了使f(x_k+1)最小,将x_k + 1=x_k+α_kd_k代入f(x)中,得到f(x_k+α_kd_k)=(1)/(2)(x_k+α_kd_k)^TA(x_k+α_kd_k)-b^T(x_k+α_kd_k)+c。

- 对α_k求导并令其为0,可得α_k=((r_k)^Td_k)/((d_k)^TAd_k),其中r_k = b - Ax_k=∇ f(x_k)。

三、搜索方向d_k的确定。

1. 初始搜索方向。

- 取d_0=-r_0,其中r_0 = b - Ax_0,x_0是初始近似解。

2. 后续搜索方向。

- 对于k≥1,d_k=-r_k+β_k - 1d_k - 1,其中β_k-1=frac{(r_k)^TAd_k - 1}{(d_k - 1)^TAd_k - 1}。

- 下面推导β_k - 1的表达式:- 因为d_k - 1和d_k是A - 共轭的,所以d_k - 1^TAd_k = 0。

- 将d_k=-r_k+β_k - 1d_k - 1代入d_k - 1^TAd_k = 0,得到d_k - 1^TAd_k=-d_k - 1^TAr_k+β_k - 1d_k - 1^TAd_k - 1=0。

(整理)16梯度法和共轭梯度法基本原理和特点.

(整理)16梯度法和共轭梯度法基本原理和特点.

16梯度法和共轭梯度法基本原理和特点?梯度法又称最速下降法,基本原理是在迭代点附近采用使目标函数值下降最快的负梯度方向作为搜索方向,求目标函数的极小值,特点;迭代计算简单,只需求一阶偏导数,所占的存储单元少,对初始点的要求不高,在接近极小点位置时收敛速度很慢,共轭的特点为在梯度法靠近极值点收敛速度放慢时,它可以构造共轭方向使其收敛速度加快,迭代计算比较简单,效果好,在每一步迭代过程中都要构造共轭的、方向,比较繁琐。

17迭代终止准则有哪三种?1)当设计变量在相邻两点之间的移动距离充分小时,可用相邻两点的矢量差的模作为终止的判据,2)当相邻两点目标函数值之差达到充分小时,可用两次迭代的目标函数之差作为终止判据。

3)当迭代点逼近极值点时,目标函数在该点的梯度已达到充分小时,可用梯度的模作为终止判据。

18.无约束设计法,1)powell法,它是在下降迭代过运算中只需计算和比较目标函数值的大小,不需计算偏导数的方法,是较好的一种直接搜索算法。

2)梯度法,又称最速下降法,它是采用使目标函数值下降最快的负梯度方向作为搜索方向来求目标函数的极小值。

3)共轭梯度法,又称FR法,是利用目标函数的梯度确定共轭方向,使得计算简便而效果好,只需利用相邻两点的梯度就可以构造一个共轭方向,这种方式产生共轭方向并进行迭代的算法称为共轭梯度法。

4)变尺度法,又称DFP法,为了得到既有快速收敛的性质,又能避免计算二阶导数矩阵及逆矩阵,减少计算工作量。

迭代公式X=X+aS,19有约束设计法?1)复合形法,在可行域中选取k个设计点作为初始复合形的顶点,然后比较复合形个各项目标函数值的大小,其中目标函数值最大的点为坏点,以坏点之外其余各点的中心为映射中心,寻坏点的映射点,以映射点替换坏点,并与原复合型除坏点之外其余各点构成就k 顶点的新的复合型,这样反复迭代直到达到精度找到最优点,2)简约梯度法,用来解决线性约束非线性规划问题。

3)罚函数法,是把一个有约束的问题转化为一系列无约束的问题求解,逐渐逼近最优值。

最优化共轭梯度法

最优化共轭梯度法

最优化共轭梯度法最优化共轭梯度法(Conjugate Gradient Method)是一种迭代求解线性方程组或优化问题的方法。

它的特点是对于二次正定函数,可以在有限次迭代内精确地求出最优解。

在非二次函数的优化问题中,共轭梯度法表现出了较好的收敛性和全局能力。

共轭梯度法的核心思想是通过选择适当的方向,使得每一次方向的梯度互相“共轭”,从而加快收敛速度。

当目标函数为二次函数时,共轭梯度法能够在有限次迭代中得到精确解;而对于非二次函数的优化问题,共轭梯度法通过先验条件选择合适的方向,最大程度地减小目标函数值。

共轭梯度法的基本步骤如下:1.初始化参数:设置初始点的位置和方向,对于非二次函数,通常选取梯度方向作为方向。

2. 计算步长:通过线方法(如Armijo准则、Wolfe准则等)定位到目标函数上降速度最快的点,并计算目标函数在该点的梯度。

3.更新方向:利用“共轭”梯度法,根据先验条件计算新的方向。

4.判断终止条件:判断目标函数值是否满足设定的终止条件,若满足则停止迭代,否则返回步骤2对于二次函数,最优化共轭梯度法表现出了优良的性能。

当目标函数是非二次函数时,共轭梯度法的表现会有所下降,但仍然比一般的梯度下降法更具有优势。

因此,共轭梯度法常被用于求解大规模线性方程组、信号处理、数字滤波、机器学习等领域。

最优化共轭梯度法的优点在于:收敛速度较快,全局能力较强,不需要存储海量信息。

然而,该方法也存在一些缺点。

首先,共轭梯度法对目标函数的性质有一定的要求,例如目标函数必须是光滑的,并且梯度向量必须是有效的。

其次,共轭梯度法对初始点的选择较为敏感,不同的初始点可能导致不同的解。

总结来说,最优化共轭梯度法是一种高效的优化算法,可以加快目标函数收敛速度,尤其适用于解决二次函数优化问题。

在非二次函数的优化问题中,共轭梯度法以其较好的收敛性和全局能力在实际应用中发挥着重要作用。

梯度下降法、牛顿迭代法、共轭梯度法

梯度下降法、牛顿迭代法、共轭梯度法

梯度下降法、牛顿迭代法、共轭梯度法(参见:神经网络->PGM-ANN-2009-C09性能优化)优化的目的是求出目标函数的最大值点或者最小值点,这里讨论的是迭代的方法梯度下降法首先,给定一个初始猜测值 ,然后按照等式k k k k ΡαΧ+=X +1 (1)或kk k k k P =X -X =∆X +α)(1 (2)逐步修改猜测。

这里向量 kP 代表一个搜索方向,一个大于零的纯量kα 为学习速度,它确定了学习步长。

当用 k k k k ΡαΧ+=X +1 进行最优点迭代时,函数应该在每次迭代时都减小,即)()(1k k F F X <X +考虑(3)的)(X F 在k X 的一阶泰勒级数展开:kTk k k k k g F F F ∆X +X ≈∆X +X =X +)()()(1(4)其中,Tk g 为在旧猜测值k X 处的梯度kF g k X =X X ∇≡)( (5) 要使)()(1k k F F X <X +只需要(4)中右端第二项小于0,即<P =∆X k T kk k T k g g α (6)选择较小的正数k α。

这就隐含0<k Tk P g 。

满足0<k Tk P g 的任意向量成为一个下降方向。

如果沿着此方向取足够小步长,函数一定递减。

并且,最速下降的情况发生在k T k P g 最小的时候,容易知道,当k k -g P =时k Tk P g 最小,此时,方向向量与梯度方向相反。

在(1)式中,令k k -g P =,则有k k k k g αΧ-=X +1 (7)对于式(7)中学习速率k α的选取通常有两种方法:一种是选择固定的学习速率k α,另一种方法是使基于学习速率k α的性能指数或目标函数)(1k +X F 在每次迭代中最小化,即沿着梯度反方向实现最小化:k k k k g X X α-=+1。

注意:1、对于较小的学习速度最速下降轨迹的路径总是与轮廓线正交,这是因为梯度与轮廓线总是正交的。

第9讲梯度法和共轭梯度法

第9讲梯度法和共轭梯度法

{ x( ) }
k
A−a 收敛于 x , 则目标函数值的序列 f ( x( k ) ) 以不大于 A+ a
{
}
2
的收敛比线性的收敛于 f ( x ) . 若令 r = A / a ,则
A − a r −1 = < 1. A + a r +1
i =1 k
生成的子空间。 x 是由 d (1) , d ( 2 ) ,⋯ , d ( k ) 生成的子空间。特别地 , k = n时, ( n +1)是 当 f ( x )在 R n 上的唯一极小点。 上的唯一极小点。
推论
在上述定理条件下, 在上述定理条件下,必 有
∇f ( x ( k +1) )T d ( i ) = 0 , i = 1 , 2 ,⋯ , k 。
( 2) 设已求得点 x ( k +1) , ∇f ( x ( k +1) ) ≠ 0 , g k +1 = ∇f ( x ( k +1) ) , 若 令 则下一个搜索方向 d ( k +1)按如下方式确定 : 令 d ( k + 1) = − g k + 1 + β k d ( k ) (1)
如何确定 β k?
证明
设存在实数 α 1 , α 2 ,⋯ , α k ,使得
i =1
∑ αid = 0,
i
k
上式两边同时左乘d jT A ,则有
i =1 k
∑ αid
k
jT
Ad i = 0 ,
共轭的向量, 因为 d 1 , d 2 ,⋯ , d 是 k 个 A 共轭的向量,所以上式 可化简为

共轭梯度法beamforming_理论说明

共轭梯度法beamforming_理论说明

共轭梯度法beamforming 理论说明1. 引言1.1 概述共轭梯度法(Conjugate Gradient Method)是一种常用的优化算法,广泛应用于解决线性方程组和最优化问题。

Beamforming是一种利用信号处理技术来实现指向性传输和接收的方法,在通信、雷达等领域有着广泛的应用。

本篇长文将探讨共轭梯度法在Beamforming中的理论应用。

1.2 文章结构本文将按照以下结构进行论述:首先介绍共轭梯度法的原理和基本思想,包括线性方程求解的问题、共轭梯度法的基本思想以及迭代过程与收敛性分析;然后,将详细阐述Beamforming的基本概念,包括信号传输和接收的需求、Beamforming技术在通信中的应用以及技术实现原理和方法;接着,我们将探究共轭梯度法在Beamforming中的具体应用,涵盖了优化问题表述、目标函数定义及优化过程说明以及基于共轭梯度法的Beamforming实例分析与结果讨论;最后总结主要研究发现并展望取得成果和应用前景,并提出后续研究工作的建议。

1.3 目的本文的目标是通过理论说明共轭梯度法在Beamforming中的应用,以深入探讨这一优化算法在指向性传输和接收技术中的实际效果。

通过对共轭梯度法及其在Beamforming中的应用进行分析,旨在提供有关该算法与通信技术结合方面的研究参考,为相关领域的学者和工程师提供新思路和解决问题的方法。

2. 共轭梯度法的原理2.1 线性方程求解的问题在讨论共轭梯度法的原理之前,我们首先来了解一下线性方程求解的问题。

线性方程组是由多个线性等式组成的方程组,如Ax = b,其中A为已知矩阵,x为待求解向量,b为已知向量。

线性方程求解即为找到满足该方程组的解x。

2.2 共轭梯度法的基本思想共轭梯度法是一种用于求解对称正定线性方程组Ax = b的迭代方法。

它基于以下基本思想:通过选择合适的搜索方向,将目标函数在各个搜索方向上取得最小值,并以此逼近实际的最优解。

共轭梯度方法

共轭梯度方法

共轭梯度方法(Conjugate Gradient Method)是求解线性方程组的一种迭代算法。

该方法适用于求解大型稀疏的对称正定线性方程组,可以显著减少计算量和存储空间。

该方法的主要思想是利用共轭方向(Conjugate Directions)的性质,在有限次迭代中求解方程组的解。

共轭梯度方法的基本步骤如下:
选取一个初值$x_0$,并令$r_0=b-Ax_0$,其中$b$ 为方程组的右端向量,$A$ 为系数矩阵。

计算一个共轭方向$p_0=r_0$,即$p_0$ 与$r_0$ 正交,并满足$Ap_0 \neq 0$。

对于$k=0,1,2,\ldots$,执行以下操作:
a. 计算$\alpha_k=\frac{r_k^Tr_k}{p_k^TAp_k}$。

b. 更新解向量$x_{k+1}=x_k+\alpha_kp_k$。

c. 计算残差向量$r_{k+1}=r_k-\alpha_kAp_k$。

d. 计算$\beta_k=\frac{r_{k+1}^Tr_{k+1}}{r_k^Tr_k}$。

e. 更新共轭方向$p_{k+1}=r_{k+1}+\beta_kp_k$,即$p_{k+1}$ 与$p_k$ 具有共轭性。

如果残差向量$r_k$ 较小,则停止迭代,输出解向量$x_k$。

共轭梯度方法具有收敛速度快、存储空间小等优点,但对于非对称和非正定的线性方程组,该方法可能不收敛。

同时,该方法也有一些变体,如预处理共轭梯度法、共轭残差法等,可以更好地解决不同类型的线性方程组求解问题。

共轭梯度法

共轭梯度法

共轭梯度法1. 算法原理求解一个系数矩阵为正定矩阵的线性方程组可通过求泛函)(x f 的极小值点来获得,进而可以利用共轭梯度法来求解。

共轭梯度法中关键的两点是,确定迭代格式)()()1(k k k k d x x α+=+中的搜索方向)(k d 和最佳步长k α。

实际上搜索方向)(k d是关于矩阵A 的共轭向量,在迭代中逐步构造之;步长k α的确定原则是给定迭代点)(k x 和搜索方向)(k d 后,要求选取非负数k α,使得)()()(k k k d x f α+达到最小,即选择0≥k α,满足)(min )()()(0)()(k k k k k d x f d x f kααα+=+≤。

设迭代点)(k x和搜索方向)(k d已经给定,k α可以通过一元函数)()()()(k k d xf g αα+=的极小化)()(min )()(0k k d xf g ααα+=≤来求得,所以最佳步长)()()()(k k k k k Addd r TT=α。

在给定初始向量)0(x 后,由于负梯度方向是函数下降最快的方向,故第1次迭代取搜索方向)0()0()0()0()(Ax b x f r d-=-∇==。

令)0(0)0()1(d x x α+=,其中)0()0()0()0(0Addd r TT=α。

第2次迭代时,从)1(x 出发的搜索方向不再取()1r,而是选取)0(0)1()1(d r d β+=,使得)1(d与()0d 是关于矩阵A 的共轭向量,即要求)1(d 满足()()()0,01=Ad d ,由此可求得参数)0()0()0()1(0-Ad d Ad r TT=β,然后从()1x 出发,沿方向)1(d进行搜索得)1(1)1()2(d x xα+=,其中1α已由上面k α的计算式获得。

一般地,设已经求出)()()1(k k k k d x x α+=+,计算)1()1(++-=k k Ax b r。

共轭梯度法

共轭梯度法

v
i 0
p Api
n
i T i
pi
证明:
任意向量 v (v R ) 可以表示成
v c j Pj
j 0
n 1
用 Pi A
T
(i 1,2,,n-1) 左乘式(1)得
n 1 j 0
PiT Av c j PiT APj ci PiT APi
ci P iT Av P i APi
共轭梯度法
(Fletcher-Reeves)
梯度法的特点 优点 迭代过程简单,编制程序较易,一次迭代的工作量较少,计 算机内存量小。 函数值下降方向明确,对初始点没有严格要求。 缺点 跌代过程中走许多弯路,有些情况下,收敛速度较慢。
d ( k ) -f (x ( k ) ) f (x ( k 1) ) d ( k ) 0
f (x )
(1)
f (x* ) A (x(1) 1d1 ) B A x (1) B 1Ad1 0
=
d (1)
f (x(1) ) 1Ad1 0
x*
1d (1)
d (f (x d f (x
( 0) T (0) T
(1)
) 1Ad(1) )
提供共轭向量系的方法有多种,如共轭梯度法,Powell方法等。
(二)共轭梯度法
Fletcher & Reeves (1964)
构造共轭方向的具体方法
x
(k )
x
( 0)
id(i )
i 0
k 1
(1) 初始搜索方向的确定 选定初始点
x (0) ,下降方向 d (0)

x (0) 处的负梯度方向;

线性方程组的共轭梯度法

线性方程组的共轭梯度法

迭代过程
计算方程组的雅可比矩阵A和右端项b,得到线性方程组Ax=b。 计算初始残差r0=b-Ax0。 进行迭代,对于k=0,1,2,...,max_iter,执行以下步骤
迭代过程
01
1. 计算搜索方向pk=-Ak^T。
02
2. 在搜索方向pk上进行线搜索,找到步长λk,使得 Axk+1=b-λk*r^k最小化。
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定义
线性方程组是由一组线性方程组成的 数学模型,其中包含未知数和已知数。
分类
根据方程的系数矩阵和常数项矩阵, 线性方程组可以分为多种类型,如超 定方程组、欠定方程组和恰定方程组。
线性方程组的求解方法
直接法
通过消元或迭代等方法将方程组化为标准形式,然后 求解。
迭代法
通过不断迭代更新解的近似值,逐步逼近方程的解。
在金融工程中的应用
投资组合优化
共轭梯度法可以用于求解投资组合优化问题 ,以最大化投资收益或最小化风险。
期权定价
在期权定价模型中,共轭梯度法可以用于求解 Black-Scholes方程,以得到期权的合理价格。
风险管理
在风险管理方面,共轭梯度法可以用于求解 风险评估模型中的最优化问题,以评估和管 理金融风险。
解效率。
02
常用的预处理方法包括对角占优预处理、不完全LU
分解预处理等。
03
预处理技术可以消除原始方程组中的病态条件,降低
数值误差的放大效应。
自适应步长调整策略
自适应步长调整策略可以根据上 一步的搜索结果动态调整步长, 提高算法的稳定性和收敛速度。
常见的自适应步长调整策略包括 Armijo线搜索、Goldstein线搜
科学计算

梯度法和共轭梯度法

梯度法和共轭梯度法

极小点,其中Bk{ x Nhomakorabeax k
id (i) ,i
R}
i 1
是由 d (1) , d (2) ,, d (k) 生成的子空间。特别地,当k n时,x(n1)是
f ( x)在Rn上的唯一极小点。
推论 在上述定理条件下,必有 f ( x(k1) )T d (i) 0, i 1, 2,, k。
3、共轭方向法
i
g
i
T 1
(
gi1
gi
)
d (i)T ( gi1 gi )
||
gi1 ||2 d (i)T gi
|| gi1 ||2 || gi ||2
(4)
FR算法步骤:
1. 任取初始点x(1) ,精度要求 ,令k 1。 2. 令g1 f ( x(1) ),若 || g1 || ,停止,x(1)为所求极小点;
上式两边同时左乘d jT A,则有
k
id
jT Ad i
0,
i 1
因为d 1 , d 2 ,, d k 是 k 个 A共轭的向量,所以上式可化简为
j d jT Ad j 0 .
因为d j 0,而 A是正定矩阵,所以d jT Ad j 0,
所以
j 0, j 1, 2,, k。
因此 d1 ,d 2 ,,d k 线性无关。
2. 共轭方向
定义 设 A 是 n n的对称正定矩阵,对于Rn中的两个非零向量 d1 和 d 2, 若有 d1T Ad 2 0,则称d 1和d 2关于A共轭。 设 d1 , d 2 ,,d k 是 Rn 中一组非零向量,如果它们两两关于A 共轭,即 d iT Ad j 0, i j , i , j 1, 2,, k。 则称这组方向是关于A共轭的,也称它们是一组A共轭方向。

16梯度法和共轭梯度法基本原理和特点

16梯度法和共轭梯度法基本原理和特点

16梯度法和共轭梯度法基本原理和特点16梯度法和共轭梯度法基本原理和特点,梯度法又称最速下降法,基本原理是在迭代点附近采用使目标函数值下降最快的负梯度方向作为搜索方向,求目标函数的极小值,特点;迭代计算简单,只需求一阶偏导数,所占的存储单元少,对初始点的要求不高,在接近极小点位置时收敛速度很慢,共轭的特点为在梯度法靠近极值点收敛速度放慢时,它可以构造共轭方向使其收敛速度加快,迭代计算比较简单,效果好,在每一步迭代过程中都要构造共轭的、方向,比较繁琐。

17迭代终止准则有哪三种,1)当设计变量在相邻两点之间的移动距离充分小时,可用相邻两点的矢量差的模作为终止的判据,2)当相邻两点目标函数值之差达到充分小时,可用两次迭代的目标函数之差作为终止判据。

3)当迭代点逼近极值点时,目标函数在该点的梯度已达到充分小时,可用梯度的模作为终止判据。

18.无约束设计法,1)powell法,它是在下降迭代过运算中只需计算和比较目标函数值的大小,不需计算偏导数的方法,是较好的一种直接搜索算法。

2)梯度法,又称最速下降法,它是采用使目标函数值下降最快的负梯度方向作为搜索方向来求目标函数的极小值。

3)共轭梯度法,又称FR法,是利用目标函数的梯度确定共轭方向,使得计算简便而效果好,只需利用相邻两点的梯度就可以构造一个共轭方向,这种方式产生共轭方向并进行迭代的算法称为共轭梯度法。

4)变尺度法,又称DFP法,为了得到既有快速收敛的性质,又能避免计算二阶导数矩阵及逆矩阵,减少计算工作量。

迭代公式X=X+aS,19有约束设计法,1)复合形法,在可行域中选取k个设计点作为初始复合形的顶点,然后比较复合形个各项目标函数值的大小,其中目标函数值最大的点为坏点,以坏点之外其余各点的中心为映射中心,寻坏点的映射点,以映射点替换坏点,并与原复合型除坏点之外其余各点构成就k 顶点的新的复合型,这样反复迭代直到达到精度找到最优点,2)简约梯度法,用来解决线性约束非线性规划问题。

共轭梯度法矩阵求逆

共轭梯度法矩阵求逆

共轭梯度法矩阵求逆一、引言在科学计算和工程实践中,线性方程组的求解是一个基本而重要的问题。

对于大型稀疏矩阵,直接法如高斯消元法往往因为计算量和存储需求过大而不适用。

迭代方法,如共轭梯度法(Conjugate Gradient Method,简称CG法),成为了这类问题的有力工具。

尽管CG法的主要目标是求解线性方程组Ax=b,但在某些场景下,我们也需要利用它来获取矩阵A的逆或相关信息。

二、共轭梯度法的基本原理CG法是一种基于Krylov子空间的迭代方法,它利用了一组共轭向量来逐步逼近方程组的解。

在每一步迭代中,算法都会产生一个新的搜索方向,这个方向与之前的所有方向都是共轭的。

通过这种方式,CG法能够在最多n步内找到n维线性方程组的精确解(对于非奇异矩阵)。

三、共轭梯度法与矩阵求逆虽然CG法的设计初衷不是为了直接计算矩阵的逆,但我们可以通过一些技巧间接地获取与逆矩阵相关的信息。

例如,当我们需要求解多个以相同矩阵A为系数矩阵、但右侧向量b不同的方程组时,可以考虑先利用CG法求解其中一个方程组,同时记录下迭代过程中产生的共轭向量。

这些向量构成了一个Krylov子空间,该子空间在后续的方程组求解中可以被重复利用,从而避免了重复计算。

然而,直接利用CG法求解多个方程组以获取矩阵逆的所有列向量通常是不高效的。

一个更实用的方法是结合CG法和其他技术,如预处理、并行计算等,来提高计算效率。

四、优化策略在使用CG法求解线性方程组或间接求矩阵逆时,可以采取以下优化策略:1. 预处理:通过引入一个预处理矩阵M来近似原矩阵A的逆或某种谱性质,从而将原方程组转化为更易求解的形式。

预处理可以显著加速CG法的收敛速度。

2. 并行计算:在多核处理器或分布式计算环境中,通过并行化CG法的计算步骤来减少总体计算时间。

这需要对算法进行适当的修改以确保并行化不会引入额外的误差。

3. 截断误差控制:在实际应用中,往往不需要求得方程组的精确解。

共轭梯度函数

共轭梯度函数

共轭梯度法是一种用于求解无约束优化问题的迭代算法。

给定一个初始点x0,该方法通过迭代来寻找最优解。

在每一次迭代中,算法首先计算当前点的负梯度方向,然后沿着这个方向进行线搜索以确定步长。

接着,算法更新当前点并重复这个过程,直到达到某个终止条件。

共轭梯度法的关键在于如何确定搜索方向。

在共轭梯度法中,搜索方向不是简单地取负梯度方向,而是取当前点的负梯度方向和前一次迭代的搜索方向的线性组合。

具体来说,第k+1次的搜索方向pk+1可以表示为:
pk+1=−gk+βkpk
其中,gk是第k次迭代的梯度,pk是第k次迭代的搜索方向,βk是一个标量,称为共轭参数或共轭方向参数。

为了使搜索方向成为共轭的,需要满足βk=gk−1Tpk−1gkTpk。

这样,搜索方向pk+1和pk
是共轭的,即gkTpk+1=0。

通过这种方式,共轭梯度法可以在每一步沿着搜索方向进行线搜索,以确定下一个点。

由于搜索方向是共轭的,算法可以在有限步内收敛到最优解。

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16梯度法和共轭梯度法基本原理和特点
16梯度法和共轭梯度法基本原理和特点?
梯度法又称最速下降法,基本原理是在迭代点附近采用使目标函数值下降最快的负梯度方向作为搜索方向,
求目标函数的极小值,特
点;迭代计算简单,只需求一阶偏导数,所占的存储单
元少,对初始点的要求不
高,在接近极小点位置时收敛速度很慢,共轭的特点为
在梯度法靠近极值点收敛速度放慢时,它可以构造共轭方向使其收敛速度加快,
迭代计算比较简单,效果
好,在每一步迭代过程中都要构造共轭的、方向,比较繁琐。

17迭代终止准则有哪三种?
1)当设计变量在相邻两点之间的移动距离充分小时,可用相邻两点的矢量差的模作为终止的判据,
2)当相邻两点目标函数值之差达到充分小时,可
用两次迭代的目标函数之
差作为终止判据。

3)当迭代点逼近极值点时,目标函数在该点的梯度已达到充分小时,可用梯度的模作为
终止判据。

18
.无约束设计法,1)powell法,它是在下降迭代过
运算中只需计算和比较目标函数值的大小,不需计算偏导数的方法,是较好的一种直接搜索
算法。

2)梯度法,又称最速下降法,它是采用使目标
函数值下降最快的负梯度方向作为搜索方向来求目标函数的极小值。

3)共轭梯度法,又称FR法,是利用目标函数的
梯度确定共轭方向,使得计算简便而效
果好,只需利用相邻两点的梯度就可以构造一个共轭方向,这种方式产生共轭方
向并进行迭代的算法称为
共轭梯度法。

4)变尺度法,又称DFP法,为了得到既有快速收敛的性质,又能避免计算二阶导数矩阵及逆矩阵,减少计算工作量。

迭代公式X=X+aS,
19有约束设计法?
1)复合形法,在可行域中选取k个设计点作为
初始复合形的顶点,然后比较复合形个各项目标函数值的大小,其中目标函数值最大的点为坏点,以坏
点之外其余各点的中心为映射中心,寻坏点的映射点,以映射点替换坏点,并与原复合型除坏点之
外其余各点构成就k
顶点的新的复合型,这样反复迭代直到达到精度找到最优点,
2)简约梯度法,用来解决线性约束非线性规划问题。

3)罚函数法,是把一个有约束的问
题转化为一系列无约束的问题求解,逐渐逼近最优值。

.
可靠性工程包括的三个方面?
1可靠性设计,包括设计方面的分析,对比评价,必要时也包括可靠性实验,生产制造中的质量控制设计及使用维修规程的设计。

2可靠性分析,主要是失效分析,也包括故障分析
3可靠性数学,
这是数理统计方法在开展
可靠性工作中发展起来的
数学分支。

常用的可靠
度分配方法有那三种?原
则是什么?
1等同分配法,
它是按照系统中各单元的可靠度相等的分配原则进行分配(
2加权分配法,把
各子系统在整体系统中的
重要度以及各子系统的复
杂度作为权重来分配可靠
度(
3最优分配法,全面考虑各种因素的影响,来用优化方法分配可靠度。

25简述故障树分析的步骤?故
障树也叫也叫失效树分析,是分析的有力工具,
1在充分熟悉系统的基础上,建立故障树(
2进行定性分析,识别系统的薄弱环节(
3进行定量分析,对系统的可靠性作出评价,
26与传统设计方法相比,可靠性设计有哪些特点?(
1传统的设计是将安全系数作为衡安
全与否的指标,但安全系数的大小并没有同可靠度直接挂钩,这就有很大的盲目性(
2把设计变量视为确定性的单值变量并过确定性的函数进行计算,而可靠性设计是把设计变量
视为随机变量进行运算(
3可靠性设计中由于应力和强度
都是随机变量,所以判断零件是否可靠安全,就以强度
大于应力的概率大小来表示(
4传统的设计是以零件的安全或失效作为研究
内容,可靠性设计是传统设计的延伸与发展。

27选择优化方法需考虑的因素有哪些?(
1数学模型的类型,如有约束或无约束,是连续的还是离散的,线性还是非线性的等(2数学模型的规模,即约束条件的多少(3模型中的函数的性质,如一阶,二阶等(
4优化算法是否有现成的计算机程序,5了解算法的基本结构,解题的可靠性,计算稳定性等(6程序的界面性,即使用的简易及输入输出解释的清楚
程度等
疏矩阵。

29可靠性和可靠度区别与联系?可靠性是指产品在规定的时
间内,在规定的条件下完成规定功能的能力,可靠度是
指在……功能的概率,显
然,可靠度是对产品可靠性的概率的度量。

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