条件概率的深化__积事件的概率_贝叶斯公式

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条件概率全概率公式贝叶斯公式

条件概率全概率公式贝叶斯公式条件概率、全概率公式和贝叶斯公式是概率论中重要的概念和公式，它们在统计学、机器学习、人工智能等领域有着广泛的应用。

本文将分别介绍条件概率、全概率公式和贝叶斯公式，并且通过实际例子来说明它们的应用。

一、条件概率条件概率是指在已知事件B发生的前提下，事件A发生的概率。

用数学符号表示为P(A|B)，读作“A在B条件下的概率”。

条件概率的计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

条件概率的计算可以通过实际样本数据来估计。

例如，某个电商平台根据用户的购买记录，统计出用户A购买商品B的概率为0.3，即P(B|A) = 0.3。

这意味着在已知用户A购买商品B的前提下，用户A购买商品B的概率为0.3。

二、全概率公式全概率公式是指当事件A可由多个互斥事件B1、B2、B3...Bn组成时，可以通过对这些事件的概率进行求和来计算事件A的概率。

全概率公式可以表述为：P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + P(A|B3)P(B3) + ... + P(A|Bn)P(Bn)其中，B1、B2、B3...Bn是互斥事件，且它们的并集为样本空间。

举个例子，假设某地有三家运营商A、B、C，分别占据市场份额的30%、40%和30%，且它们的服务质量存在差异。

现在要计算某用户在这三家运营商中选择运营商A的概率。

根据用户的反馈数据，用户选择运营商A的概率分别为0.2、0.3和0.4。

根据全概率公式，可以计算出用户选择运营商A的概率为：P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + P(A|B3)P(B3) = 0.2*0.3 + 0.3*0.4 + 0.4*0.3 = 0.34即用户选择运营商A的概率为0.34。

三、贝叶斯公式贝叶斯公式是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率可以通过条件概率和全概率公式来计算。

条件概率乘法公式全概率公式贝叶斯公式

n), 则 P ( A) P ( A B1 ) P ( B1 ) P ( A B2 ) P ( B2Bn )
称为全概率公式.
B2
A
B1
Bn1 Bn
B3
证因为
A AS A( B1 B2 Bn )
B2
A
B1
Bn1 Bn
那么, 全概率公式和贝叶斯公式变为
P ( A) P ( A B ) P ( B ) P ( A B ) P ( B ),
P( A B )P(B ) P ( AB ) . P ( B A) P ( A) P ( A B ) P ( B ) P ( A B ) P ( B )
例5
某电子设备制造厂所用的元件是由三家
打破”.以B表示事件“透镜落下三次而未打破 ” .
因为B A1 A2 A3 , 故有 P ( B ) P ( A1 A2 A3 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A2 A1 ) P ( A1 ) 7 1 9 1 1 1 2 10 10
P ( B1 ) 0.3,
P ( B2 ) 0.5,
P ( B3 ) 0.2,
P ( A B1 ) 0.02, P ( A B2 ) 0.01, P ( A B3 ) 0.01, 故 P ( A) P ( A B1 ) P ( B1 ) P ( A B2 ) P ( B2 ) P ( A B3 ) P ( B3 )
例4 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打破的概率为1/2, 若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率为7/10, 若前两次落下未打破, 第三次落下打破的概率为9/10. 试求透镜落下三次而未打破的概率.（积事件概率）解以Ai ( i 1,2,3,4)表示事件“透镜第 i次落下

概率论全概率公式和贝叶斯公式

概率论全概率公式和贝叶斯公式概率论是数学的一门分支，主要研究以概率为基础的随机现象和数学模型，以及这些模型的性质和应用。

全概率公式和贝叶斯公式是概率论中两个重要的基本定理，本文将深入探讨这两个公式的概念、原理和应用。

一、全概率公式（Law of Total Probability）全概率公式是概率论中一个非常基本且有用的公式，它给出了一个事件的概率如何通过其他相关事件的概率来进行计算。

假设有一组互斥和完备的事件{B₁，B₂，B₃，...，Bₙ}，即这些事件是两两不重叠且一起构成了样本空间Ω，那么对于任意一个事件A，其概率可以表示为：P(A)=P(B₁)P(A，B₁)+P(B₂)P(A，B₂)+P(B₃)P(A，B₃)+...+P(Bₙ)P(A，Bₙ)其中，P(A)表示事件A的概率，P(B₁)、P(B₂)、P(B₃)、..、P(Bₙ)表示事件{B₁，B₂，B₃，...，Bₙ}的概率，P(A，B₁)、P(A，B₂)、P(A，B₃)、..、P(A，Bₙ)表示在事件{B₁，B₂，B₃，...，Bₙ}发生的条件下，事件A发生的概率。

全概率公式实际上是根据概率的加法规则推导出来的，它将事件A的概率分解为在不同条件下的概率。

通过求解这些条件概率，可以更加准确地计算事件A的概率。

全概率公式的应用非常广泛，例如在实际生活中，我们可能会遇到一些情况，我们对一些事件的概率不清楚，但是我们对一些互斥且完备的事件的概率有一些了解，利用全概率公式，我们可以通过这些已知的概率来推导出我们所关心的事件的概率。

二、贝叶斯公式（Bayes' theorem）贝叶斯公式是概率论中一个非常重要的公式，它描述了在已知事件B发生后，事件A发生的概率。

对于两个事件A和B，其中事件B发生的条件下，事件A发生的概率可以表示为：P(A，B)=P(B，A)P(A)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(B，A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率；P(A)表示事件A的概率；P(B)表示事件B的概率。

全概率公式和贝叶斯公式

全概率公式和贝叶斯公式全概率公式（Law of Total Probability）和贝叶斯公式（Bayes' theorem）是概率论中的两个重要公式，用于计算复杂概率问题的解法。

在本文中，我们将详细介绍这两个公式的含义、推导过程和应用。

一、全概率公式（Law of Total Probability）设A是样本空间S的一个非空子集，B1,B2,...,Bn是样本空间的一个划分，即B1,B2,...,Bn两两互不相交，且它们的并集是整个样本空间S。

则对任何事件A，有如下公式成立：P(A)=P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+…+P(A，Bn)P(Bn)其中，P(A，Bi)是条件概率，表示在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率；P(Bi)是事件Bi的概率。

由概率的加法公式可知，P(A)=P(A∩B1)+P(A∩B2)+…+P(A∩Bn)利用条件概率的定义，P(A，Bi)=P(A∩Bi)/P(Bi)，将其带入上式中，有P(A)=P(A∩B1)/P(B1)P(B1)+P(A∩B2)/P(B2)P(B2)+…+P(A∩Bn)/P(B n)P(Bn)全概率公式的应用非常广泛。

例如，在医学诊断中，假设其中一种疾病的发病率与其中一种基因的突变有关，而该基因的突变状态是未知的。

根据现有的数据，可以计算出在其中一种突变状态下患病的概率。

全概率公式可以用来计算该疾病的总发病率，从而为医学诊断提供帮助。

二、贝叶斯公式（Bayes’ theorem）贝叶斯公式是概率论中的另一个重要公式，是在已知条件下计算事件的条件概率的一种方法。

该公式基于贝叶斯理论，可以通过已知的事实来更新假设的概率。

设A是样本空间S的一个非空子集，B1,B2,...,Bn是样本空间的一个划分。

则根据贝叶斯公式，对任何事件A和事件Bi有如下公式成立：P(Bi，A)=P(A，Bi)P(Bi)/[P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+…+P(A，Bn)P(Bn)]其中，P(Bi，A)是在事件A发生的条件下事件Bi发生的概率，称为后验概率；P(A，Bi)是在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率，称为似然函数；P(Bi)是事件Bi的概率，称为先验概率。

第10讲条件概率 (III) 全概率公式贝叶斯公式

概率论与数理统计主讲：四川大学四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式1§1.5 条件概率四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式3第10讲条件概率(III)全概率公式贝叶斯公式四川大学四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式4四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式5在前面两讲，我们讲了条件概率和乘法公式。

现在来讲全概率公式和贝叶斯公式()()(|)P AB P A P B A =(()0)P A >（一）全概率公式四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式6A ()(|)B P A B1AB 2AB 3AB 4AB 5AB )B1AB2AB 3AB 4AB 5AB四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式11全概率公式的意义事件A 的发生有各种可能的原因B i (i =1,…,n )。

如果A 是由原因B i 引起，则A 发生的概率为()()(|)i i i P AB P B P A B 每一个原因都可能导致A 发生，故A 发生的概率是全部原因引起A 发生的概率的总和，即为全概率公式。

由此可以形象地把全概率公式看成是“由原因推结果”的公式，每个原因对结果的发生有一定的作用，结果发生的可能性与各种原因的作用大小有关，全概率公式就表达了它们之间的关系。

四川大学四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式12在很多实际问题中，P (A )不容易直接求得，但却容易找到S 的一个划分B 1, B 2,…, B n ，且P (B i )和P (A |B i )容易求得，那么就可以用全概率公式求出P (A )。

使用全概率公式的关键是作出S 的一个划分。

何时用全概率公式求A 的概率？四川大学1()()(|)ni i i P A P B P A B ==∑四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式16例2 有12个足球都是新球，每次比赛时取出3个，比赛后又放回去，求第三次比赛时取到的3 个足球都是新球的概率。

条件概率与概率的三个基本公式

球”，则事件 A “第一次取到黑球”，事件 B “第二次取到黑球”．（1）法一已知第一次取到白球，那么袋中剩 4 个球，其中 2 个
白球， 2 个黑球，则已知第一次取到白球的条件下，第二次取到的是黑
球的概率为
P(B |
A)
2
1
．
42
法二由古典概率知 P( A) 3 ， P( AB) P31 P21 3 .
注意 ① P(B) 表示“事件 B 发生”的概率，计算时，是
在整个样本空间上考察事件 B 发生的概率；②而 P(B | A)
为已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率，计算时，实际上仅限于在事件 A 发生的范围内，来考察事件 B 的概率．一般地， P(B | A) P(B) ．
§1.4 条件概率与概率的三个基本公式
条件概率是概率论的基本概念之一，同时又是计算概率的重要工具．概率的三个基本公式（乘法公式、全概率公式
和贝叶斯 (Bayes) 公式）都建立在条件概率的概念之上．本
节重要学习以下内容：一、条件概率
二、乘法公式
三、全概率公式
四、贝叶斯（Bayes）公式
第一章随机事件与概率 1
3 这是因为事件 A 的发生，排除了 bb 发生的可能性，这时样本空间也随之缩小为 A ，而在 A 中事件 B 只含 2 个样本点，故 P(B | A) 2 ．事实上，以上条件概率还可写成
3 P(B | A) 2 2 / 4 P( AB) ． 3 3 / 4 P( A)
公式（1.5）和（1.6）都称为两个事件积的概率的乘法公式．这两个乘法公式还可推广到有限个事件积的概率的情形：
设 A1, A2 , , An 是任意 n 个事件，且 P( A1A2 An ) 0 ，则 P( A1A2 An ) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2 ) . P( An | A1A2 An1)

条件概率的深化积事件的概率贝叶斯公式

条件概率的深化积事件的概率、全概率公式、贝叶斯公式山东省莱芜市第一中学刘志1.积事件的概率公式由条件概率定义P（B｜A）=P（AB）/P（A），P（A）＞0,两边同乘以P（A）可得P（AB）=P（A）P（B｜A），由此可得定理1（积事件的概率）设P（A）＞0，则有P（AB）=P（A）P（B｜A）易知，若P（B）＞0，则有P（AB）=P（B）P（A｜B）乘法定理也可推广到三个事件的情况，例如，设A，B，C为三个事件，且P （AB）＞0，则有P（ABC）=P（C｜AB）P（AB）=P（C｜AB）P（B｜A）P（A）一般地，设n个事件为A1，A2，…，A n，若P（A1A2…A n-1)＞0,则有P（A1A2…A n）=P（A1）P（A2｜A1）P（A3｜A1A2）…P（A n｜A1A2…A n-1）.事实上，由A1⊃A1A2⊃…⊃A1A2…A n-1，有P（A1）≥P（A1A2）≥…≥P（A1A2…A n-1）＞0故公式右边的条件概率每一个都有意义，由条件概率定义可知P （A 1）P （A 2｜A 1）P （A 3｜A 1A 2）…P （A n ｜A 1A 2…A n -1)=P (A 1))()()()()()(1212121321121-⋅⋅⋅n n A A A P A A A P A A P A A A P A P A A P =P (A 1A 2…A n )例1. 一批彩电，共100台，其中有10台次品，采用不放回抽样依次抽取3次，每次抽一台，求第3次才抽到合格品的概率.解设A i (i =1,2,3)为第i 次抽到合格品的事件，则有)(321A A A P =)()()(21312A A A P A A P A P =10/100·9/99·90/98≈.例2. 设盒中有m 只红球，n 只白球，每次从盒中任取一只球，看后放回，再放入k 只与所取颜色相同的球.若在盒中连取四次，试求第一次，第二次取到红球，第三次，第四次取到白球的概率.解设R i (i =1,2,3,4)表示第i 次取到红球的事件，i R (i =1,2,3,4)表示第i 次取到白球的事件.则有.32)()()()()(32142131214321kn m kn k n m n k n m k m n m m R R R R P R R R P R R P R P R R R R P +++⋅++⋅+++⋅+== 2.全概率公式定义，样本空间的划分：设Ω为样本空间，A 1，A 2，…，A n 为Ω的一组事件，若满足1°A i A j =?, i ≠j ,i ,j =1,2,…,n ， 2° ni i A 1= =Ω，则称A 1，A 2，…，A n 为样本空间Ω的一个划分. 例如：A ，A 就是Ω的一个划分.若A 1，A 2，…，A n 是Ω的一个划分，则对每次试验，事件A 1，A 2，…，A n 中必有且只有一个发生.定理2（全概率公式）设B 为样本空间Ω中的任一事件，A 1，A 2，…，A n为Ω的一个划分，且P （A i )＞0 (i =1,2,…,n )，则有()P B =[]12()n P B A A A =12()n P BA BA BA =12()()()n P BA P BA P BA +++=P（A 1）P （B ｜A 1）+P （A 2）P （B ｜A 2）+…+P （A n )P (B ｜A n )=.)()(1∑=ni i i A B P A P即：()P B =.)()(1∑=ni i i A B P A P 称上述公式为全概率公式.全概率公式表明，在许多实际问题中事件B 的概率不易直接求得，如果容易找到Ω的一个划分A 1，…，A n ，且P （A i ）和P （B |A i ）为已知，或容易求得，就可以求出P （B ）.例3、（导学案第42页变式3） 1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱随机取出一球,问(1)从1号箱中取出的是红球的条件下,从2号箱取出红球的概率是多少 (2)从2号箱取出红球的概率是多少分析：从2号箱取出红球,有两种互斥的情况:一是当从1号箱取出红球时,二是当从1号箱取出白球时.解记事件A ：最后从2号箱中取出的是红球；事件B ：从1号箱中取出的是红球.(2)()[()]()()P A P A B B P AB P AB ==+()(|)()(|)P B P A B P B P A B =+ 24113933=⨯+⨯811127927=+=例4. 从5张彩票中仅有2张中奖彩票，问摸奖先后对结果有影响吗解：记“第i 个人抽中奖券”为事件i A 显然12()5P A = 而22112121()[()]()()P A P A A A P A A P A A ==+2121121121()()()(|)()(|)P A A P A A P A P A A P A P A A =+=+2132825454205=⨯+⨯==3312121212()[()]P A P A A A A A A A A A =+++312312312312()()()()P A A A P A A A P A A A P A A A =+++121312121312()(|)(|)()(|)(|)P A P A A P A A A P A P A A P A A A =+121312121312()(|)(|)()(|)(|)P A P A A P A A A P A P A A P A A A ++21231321322661224205454354354360605++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=== 同理可求4()P A 25=、5()P A 25=例5. 某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品数最多不超过4件，且具有如下的概率：一批产品中的次品数 0 1 2 3 4.941813)|()1(,=++=B A P概率现进行抽样检验，从每批中随机取出10件来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格，求一批产品通过检验的概率.解以A i 表示一批产品中有i 件次品，i =0,1,2,3,4,B 表示通过检验，则由题意得P （A 0）=， P (B ｜A 0)=1, P (A 1)=，P (B ｜A 1)= 101001099C C =, P (A 2)=， P (B ｜A 2)= 101001098C C =,P (A 3)=， P (B ｜A 3)= 101001097C C =, P (A 4)=， P (B ｜A 4)= 101001096C C =.由全概率公式，得P （B ）=)()(4i i i A B P A P ∑==×1+×+×+×+×≈.3. 贝叶斯公式.定理3. (贝叶斯（Bayes ）公式) 设样本空间为Ω，B 为Ω中的事件，A 1，A 2，…，A n 为Ω的一个划分，且P （B ）＞0，P （A i )＞0,i =1,2,…,n ，则有 P （A i ｜B ) =∑==nj jji i i A P A B P A B P A P B P B A P 1)()()()()()(，i =1,2,…,n.称上式为贝叶斯（Bayes)公式，也称为逆概率公式.例6. 某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，产量依次占全厂的45%，35%，20%，且各车间的次品率分别为4%，2%，5%，现从一批产品中检查出1个次品，问该次品由哪个车间生产的可能性最大解设A1，A2，A3表示产品来自甲、乙、丙三个车间，B表示产品为“次品”的事件，易知A1，A2，A3是样本空间Ω的一个划分，且有P（A1）=，P(A2)=，P(A3)=，P(B｜A1)=，P(B｜A2)=，P(B｜A3)=.由全概率公式得P（B）=P（A1）P（B｜A1）+P（A2）P（B｜A2）+P（A3）P（B｜A3）=×+×+×=.由贝叶斯公式得P（A1｜B）=×/=，P(A2｜B)=×/=，P(A3｜B)=×/=所以，该次品由甲车间生产的可能性最大.例7. 由以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下效果：被诊断者有癌症，试验反应为阳性的概率为；被诊断者没有癌症，试验反应为阴性的概率为现对自然人群进行普查，设被试验的人群中患有癌症的概率为，求：已知试验反应为阳性，该被诊断者确有癌症的概率.解设A表示“患有癌症”，A表示“没有癌症”，B表示“试验反应为阳性”，则由条件得P（A）=, P(A)=，P(B｜A)=,P(B｜A）=由此 P （B ｜A ）==所以P （A ｜B ）=)()()()()()(A B P A P A B P A P A B P A P +=.这就是说，根据以往的数据分析可以得到，患有癌症的被诊断者，试验反应为阳性的概率为95%，没有患癌症的被诊断者，试验反应为阴性的概率为95%，都叫做先验概率.而在得到试验结果反应为阳性，该被诊断者确有癌症重新加以修正的概率叫做后验概率.此项试验也表明，用它作为普查，正确性诊断只有%（即1000人具有阳性反应的人中大约只有87人的确患有癌症），由此可看出，若把P （B ｜A ）和P （A ｜B ）搞混淆就会造成误诊的不良后果.概率乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式称为条件概率的三个重要公式.它们在解决某些复杂事件的概率问题中起到十分重要的作用.练习1. 从5张彩票中仅有1张中奖彩票，问摸奖先后对结果有影响吗解：记“第i 个人抽中奖券”为事件i A 显然11()5P A = 而22112121()[()]()()P A P A A A P A A P A A ==+2121121121()()()(|)()(|)P A A P A A P A P A A P A P A A =+=+141105545=⨯+⨯=3312121212()[()]P A P A A A A A A A A A =+++123123123123()()()()P A A A P A A A P A A A P A A A =+++312121312000()()(|)(|)P A A A P A P A A P A A A =+++=43115435=⨯⨯= 4()P A 4123123123123123123123123[()]P A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A =+++++++ 4123412341234123()()()()P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A =+++4123412341234123()()()()P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ++++41230000000()P A A A A =+++++++1213124123()(|)(|)(|)P A P A A P A A A P A A A A =4321154325=⨯⨯⨯= 同理可求5()P A 15= 练习2. 袋中有n 个球，其中n -1个红球，1个白球.n 个人依次从袋中各取一球，每人取一球后不再放回袋中，求第i （i =1,2,…,n ）人取到白球的概率.解设A i 表示“第i 人取到白球”（i=1,2,…,n )的事件，显然P （A 1）=1/n.由21A A ⊃，故A 2=1A A 2，于是P （A 2）=P （1A A 2）=P （1A P （A 2｜1A ）=111-⋅-n n n =1/n. 类似有P （A 3）=P （1A 2A A 3）=P （1A ）P （2A ｜1A ）P （A 3｜1A 2A ） =n n 1-.12--n n .21-n =1/n. P (A n ) =P (1A 2A ...1-n A A n )=n n 1-.12--n n .. (2)1·1=1/n 因此，第i 个人（i =1,2,…,n )取到白球的概率与i 无关，都是1/n .练习3. （导学案第65页16题，2010安徽理15题）甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1、A2和A3表示由甲罐中取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐中取出的球是红球的事件．则P （B ）=9/22解答：解：由题意A1，A2，A3是两两互斥的事件，且123A A A =Ω 所以123123()[()]()()()P B P B A A A P BA P BA P BA ==++112233()(|)()(|)()(|)P A P B A P A P B A P A P B A =++5524349 =⨯+⨯+⨯= 10111011101122。

条件概率、全概率、贝叶斯公式

杨鑫的数学课堂条件概率、全概率、贝叶斯公式、p(A|B)=P(A∩B)P(B)⇒p(A∩B)=p(A|B)×p(B)⇒p(A∩B)=P(B|A)×P(A)(1)p(A|B)=P(A∩B)P(B)=p(B|A)×P(A)p(B)(2)先举个例子，小张从家到公司上班总共有三条路可以直达（如下图），但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于路的远近不同，选择每条路的概率如下：p(L1)=0.5,p(L2)=0.3,p(L3)=0.2(3)每天上述三条路不拥堵的概率分别为：p(C1)=0.2,p(C2)=0.4,p(C3)=0.7(4)其实不迟到就是对应着不拥堵，设事件Ｃ为到公司不迟到，事件Li为选择第i 条路，则：p(C)=p(L1)×p(C|L1)+p(L2)×p(C|L)+p(L3)×p(C|L3) p(C)=p(L1)×p(C1)+p(L2)×p(C2)+p(L3)×p(C3)p(C)=0.5×0.2+0.3×0.4+0.2×0.7=0.36(5)全概率计算公式p(C)=p(L1)p(C|L1)······p(L n)p(C|L n)=n∑i=1p(L i)p(C|L i)(6)三、贝叶斯公式仍旧借用上述的例子，但是问题发生了改变，问题修改为：到达公司未迟到选择第１条路的概率是多少？0.5这个概率表示的是，选择第一条路的时候并没有靠考虑是不是迟到，只是因为距离公司近才知道选择它的概率，而现在我们是知道未迟到这个结果，是在这个基础上问你选择第一条路的概率，所以并不是直接就可以得出的。

故有：p(L1|C)=p(C|L1)×p(L1)p(C)p(L1|C)=p(C|L1)×p(L1)P(L1)×p(C|L1)+P(L2)×p(C|L2)+P(L3)×p(C|L3)p(L1|C)=0.2×0.50.2×0.5+0.3×0.4+0.2×0.7=0.28(7)1。

§1.3 条件概率与贝叶斯公式

A={(男, 男), (男, 女), (女, 男)}，B={(女, 女), (男, 女), (女, 男)}. 显然，P(A)=P(B)=3/4．现在B已经发生，排除了有两个男孩的可能性，相当于样本空间由原来的缩小到现在的 B=B，而事件相应地缩小到={(男, 女)，(女, 男)}，因此 2 2 / 4 P( AB) P( A | B) p( A) 3 3/ 4 P( B)
第一章
§1.3 条件概率与贝叶斯公式
第7页
定理1.3.1 乘法公式若Ｐ(B)>0, 则若Ｐ(A)>0, 则
P(AB) = P(B)· P(A |B)
P(AB) = P(A)· P(B|A)
推广若P(A1 A2… An-1)>0，则 P(A1 A2… An)＝ P(A1 ) P(A2| A1) P(A3| A1 A2) … P(An ｜A1 A2… An-1). 证反复应用两个事件的乘法公式，得到
P ( AB) 0.12 P( A | B) 0.67 , P( B) 0.18
P ( AB) 0.12 P ( B | A) 0.60, P( A) 0.2
第一章
§1.3 条件概率与贝叶斯公式
第6页
课堂练习
(1) 设P(B)＞0，且AB，则下列必然成立的是( (2) ) ① P(A)<P(A|B) ② P(A)≤P(A|B) ③ P(A)>P(A|B) ④ P(A)≥P(A|B) (2) P(A)=0.6, P(AB)=0.84, P(B|A)=0.4, 则 P(B)=( 0.6 ).
解设A={活到20岁}，B={活到25岁}，则 P(A)=0.8, P(B)=0.4. 由于AB，有AB=B，因此P(AB)= P(B)=0.4，于是所求概率为

条件概率、条件概率的性质及应用、全概率公式、贝叶斯公式(学生版)

条件概率、条件概率的性质及应用、全概率公式、贝叶斯公式目录☆【题型一】条件概率的理解☆【题型二】利用定义求条件概率☆【题型三】缩小样本空间求条件概率☆【题型四】概率的乘法公式☆【题型五】互斥事件的条件概率☆【题型六】全概率公式☆【题型七】多个事件的全概率问题☆【题型八】贝叶斯公式☆【题型一】条件概率的理解1判断下列哪些是条件概率？(1)某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一个不同的项目，已知一名女生获得冠军，求高一的女生获得冠军的概率；(2)掷一个骰子，求掷出的点数为3的概率；(3)在一副扑克的52张(去掉两张王牌后)中任取1张，已知抽到梅花的条件下，再抽到的是梅花5的概率．【变式训练】1.下面几种概率是条件概率的是()A.甲、乙二人投篮命中率分别为0．6,0．7，各投篮一次都投中的概率B.甲、乙二人投篮命中率分别为0．6,0．7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率C.有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率D.小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是25，则小明在一次上学中遇到红灯的概率2.把一枚硬币投掷两次，事件A=“第一次出现正面”，B=“第二次出现正面”，则P(B|A)等于()A.14B.12C.16D.18☆【题型二】利用定义求条件概率1抛掷一颗质地均匀的骰子，样本空间Ω={1,2,3,4,5,6}，事件A={2,3,5},B={1,2,4,5,6}，求P(A)，P(B)，P(AB)，P(A|B)．【变式训练】1.现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．2.现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到语言类节目的概率．3.5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回地取两次，求：(1)第一次取到新球的概率；(2)第二次取到新球的概率；(3)在第一次取到新球的条件下，第二次取到新球的概率．4.设A，B为两个事件，且P(A)>0，若P(AB)=13，P(A)=23，则P(B|A)等于()A.12B.29C.19D.495.一盒中装有5件产品，其中3件一等品，2件二等品，从中不放回地取出产品，每次1件，取两次．已知第二次取得一等品，则第一次取得二等品的概率是()A.12B.13C.14D.236.从1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则P(B|A)等于()A.38B.1340C.1345D.347.已知A与B是两个事件，P(B)=14，P(AB)=18，则P(A|B)等于()A.13B.14C.38D.128.7名同学站成一排，已知甲站在中间，则乙站在末尾的概率是()A.14B.15C.16D.179.甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P (A )=0．2，P (B )=0．18，P (AB )=0．12，则P (A |B )和P (B |A )分别等于()A.13，25B.23，25C.23，35D.12，3510.甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点不相同”，B 为“甲独自去一个景点”，则概率P (A |B )等于()A.49B.29C.12D.1311.小明早上步行从家到学校要经过两个有红绿灯的路口，根据经验，在第一个路口遇到红灯的概率为0．4，在第二个路口遇到红灯的概率为0．5，在两个路口连续遇到红灯的概率是0．2，某天早上小明在第一个路口遇到了红灯，则他在第二个路口也遇到红灯的概率是()A.0．2B.0．3C.0．4D.0．512.分别用集合M ={2,4,5,6,7,8,11,12}中的任意两个元素作分子与分母构成真分数，已知取出的一个元素是12，则取出的另外一个元素与之构成可约分数的概率是．13.设某种动物能活到20岁的概率为0．8，能活到25岁的概率为0．4，现有一只20岁的这种动物，它能活到25岁的概率是．14.已知口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机抽取两次，每次抽取1个．(1)若采取放回的方法连续抽取两次，求两次都取得白球的概率；(2)若采取不放回的方法连续抽取两次，求在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率．15.某社区活动中心打算周末去照看养老院的老人，现有4个志愿者服务小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要帮助的养老院可供选择，每个志愿者小组只去一个养老院，设事件A 为“4个志愿者小组去的养老院各不相同”，事件B 为“小组甲独自去一个养老院”，则P (A |B )等于()A.29B.13C.49D.5916.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0．75，连续两天为优良的概率是0．6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A.0．8B.0．75C.0．6D.0．45☆【题型三】缩小样本空间求条件概率1集合A ={1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A 中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．【变式训练】1.集合A={1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，乙抽到偶数的概率．2.2022年6月3日是我国的传统节日“端午节”．这天小明的妈妈煮了5个粽子，其中两个腊肉馅，三个豆沙馅，小明随机抽取出两个粽子，若已知小明取到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为()A.14B.34C.110D.3103.集合A={1，2，3，4，5，6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．4.5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回地取两次，则在第一次取到新球的条件下，第二次取到新球的概率为．☆【题型四】概率的乘法公式1一个盒子中有6只白球、4只黑球，从中不放回地每次任取1只，连取2次．求：(1)第一次取得白球的概率；(2)第一、第二次都取得白球的概率；(3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率．【变式训练】1.10个考签中有4个难签，2人参加抽签(不放回)，甲先，乙后，求：(1)甲抽到难签的概率；(2)甲、乙都抽到难签的概率；(3)甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率．2.设A，B为两个事件，已知P(A)=23，P(B|A)=12，则P(AB)等于()A.12B.13C.29D.233.某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是()A.110B.15C.45D.9104.已知P(B|A)=13，P(A)=25，则P(AB)等于()A.56B.910C.215D.1155.(多选)设P(A|B)=P(B|A)=12，P(A)=13，则()A.P(AB)=16B.P(AB)=56C.P(B)=13D.P(B)=1126.有一批种子的发芽率为0．9，出芽后的幼苗成活率为0．8．在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是()A.0．72B.0．8C.0．86D.0．97.某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率为215，在下雨天里，刮风的概率为38，则既刮风又下雨的概率为()A.8225B.12C.110D.348.市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是()A.0．665B.0．564C.0．245D.0．2859.设A，B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为310，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为12，则事件A发生的概率为．☆【题型五】互斥事件的条件概率1在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率．【变式训练】1.抛掷两颗质地均匀的骰子各一次．(1)向上的点数之和为7时，其中有一个的点数是2的概率是多少？(2)向上的点数不相同时，向上的点数之和为4或6的概率是多少？2.若B ，C 是互斥事件且P (B |A )=13，P (C |A )=14，则P (B ∪C |A )等于()A.12B.13C.310D.7123.有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取得的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为．☆【题型六】全概率公式1某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0．06，乙厂每箱装120个，废品率为0．05，求：(1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率；(2)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率．【变式训练】1.已知P (BA )=0．4，P (BA )=0．2，则P (B )的值为()A.0．08B.0．8C.0．6D.0．52.某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行新冠疫情防控宣传．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占35，乙班中女生占13．求该社区居民遇到一位进行新冠疫情防控宣传的同学恰好是女生的概率．3.盒中有a个红球，b个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是()A.ba+b+c B.ba+cC.ba+bD.b+ca+b+c4.两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0．04，第二台的废品率为0．07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为()A.0．21B.0．06C.0．94D.0．955.一袋中装有10个盲盒，已知其中3个是玩具盲盒，7个是文具盲盒，甲、乙两个小孩从中先后任取一个盲盒，则乙取到的是玩具盲盒的概率为()A.29B.13C.310D.7106.某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占35，乙班中女生占13．求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率．7.学校举行演讲比赛，共有20名同学参加，学校决定让参赛选手通过抽签决定出场顺序．不过，刘帅同学对抽签的公平性提出了质疑，他的理由是，如果第一个人抽的出场顺序是1号，那么其他人就抽不到1号了，所以每个人抽到1号的概率不一样．刘帅的想法正确吗？特别地，第一个抽签的人抽到1号的概率与第二个抽签的人抽到1号的概率是否相等？为什么？8.把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验成功，则试验成功的概率为()A.0．59B.0．41C.0．48D.0．64☆【题型七】多个事件的全概率问题1某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有如下表所示的数据：元件制造厂次品率提供元件的份额10．020．1520．010．8030．030．05设这三家元件制造厂的元件在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志．在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率．【变式训练】1.有三个箱子，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同，某人从中随机取一箱，再从中任意取出一球，求取得红球的概率．2.甲、乙、丙三人同时对一架飞机进行射击，三人击中的概率分别为0．4,0．5,0．7．飞机被一人击中而击落的概率为0．2，被两人击中而击落的概率为0．6，若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率．3.有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0．3，0．2,0．1,0．4，迟到的概率分别为0．25,0．3,0．1,0，则他迟到的概率为()A.0．65B.0．075C.0．145D.04.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后取出两份，则先取到的一份为女生表的概率为()A.310B.21100C.730D.29905.袋中装有编号为1,2，⋯，N的N个球，先从袋中任取一球，如该球不是1号球就放回袋中，是1号球就不放回，然后再摸一次，则取到2号球的概率为．6.设甲袋有3个白球和4个红球，乙袋有1个白球和2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，求从乙袋中取出的是2个红球的概率．7.假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表所示．品　牌甲乙其他市场占有率50%30%20%优质率95%90%70%在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率．☆【题型八】贝叶斯公式*1小张从家到公司上班总共有三条路可以走(如图)，但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于远近不同，选择每条路的概率分别为P(L1)=0．5，P(L2)=0．3，P(L3)=0．2，每天上述三条路不拥堵的概率分别为P(C1)=0．2，P(C2)=0．4，P(C3)=0．7．假设遇到拥堵会迟到，那么：(1)小张从家到公司不迟到的概率是多少？(2)已知到达公司未迟到，选择道路L1的概率是多少？【变式训练】1.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0．02，客车为0．01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率．2.某试卷中1道选择题有6个答案，其中只有一个是正确的．考生不知道正确答案的概率为14，不知道正确答案而猜对的概率为16．现已知某考生答对了，则他猜对此题的概率为()A.14B.119C.1116D.19243.电报发射台发出“·”和“-”的比例为5∶3，由于干扰，传送“·”时失真的概率为25，传送“-”时失真的概率为13，则接收台收到“·”时发出信号恰是“·”的概率为．4.电报发射台发出“·”“-”的比例为5∶3，由于干扰，传送“·”时失真的概率为25，传送“-”时失真的概率为13，则接受台收到“·”时发出信号恰是“·”的概率为．。

条件概率全概公式贝叶斯公式

条件概率全概公式贝叶斯公式1.条件概率条件概率指的是事件A在另一个事件B发生的条件下发生的概率，通常表示为P(A，B)。

条件概率的计算公式为：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)其中P(B)不为0。

条件概率可以看作是在已知发生了B的情况下，事件A发生的概率。

2.全概公式全概公式也称为全概率公式，用于计算一个事件发生的概率。

假设有一组互斥且完备的事件B1,B2,...,Bn，全概公式表示为：P(A)=P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+...+P(A，Bn)P(Bn)其中P(A，Bi)表示在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi发生的概率。

全概公式可以通过将事件A分解成一组互斥且完备的事件的条件概率的和来计算事件A的概率。

贝叶斯公式是一种根据先验概率和条件概率来计算后验概率的公式，对于两个事件A和B，贝叶斯公式表示为：P(A，B)=(P(B，A)P(A))/P(B)贝叶斯公式可以通过先验概率P(A)和条件概率P(B，A)来计算后验概率P(A，B)。

在实际应用中，贝叶斯公式常用于基于已知结果来更新先前猜测或估计的概率。

在机器学习中，条件概率、全概公式和贝叶斯公式被用于分类问题。

通过计算不同类别的条件概率和先验概率，可以使用贝叶斯公式来计算后验概率，进而进行分类。

在数据挖掘中，贝叶斯网络是一种常用的建模工具，通过条件概率和全概公式来描述变量之间的依赖关系。

贝叶斯网络可以用于概率推断、预测和填补缺失数据等任务。

在金融建模中，贝叶斯公式被用于计算风险概率和投资决策。

通过将已知的市场信息和先验概率结合起来，可以使用贝叶斯公式来更新投资决策的风险概率。

总结而言，条件概率、全概公式和贝叶斯公式是概率论中的基本概念和公式，它们在各个领域的实际应用中发挥着重要的作用。

理解和掌握这些概念和公式对于数据分析和决策具有重要的意义。

概率论公式总结

概率论公式总结概率论是数学中重要的分支，研究随机事件发生的概率及其规律。

在实际应用中，概率论经常被用于风险评估、统计分析、决策制定等领域。

本文将总结概率论中一些常用的公式，帮助读者更好地理解和应用概率论的知识。

1. 基本概率公式基本概率公式是概率论的基础，它描述了某个事件发生的概率。

对于某个事件A，其概率可以通过如下公式计算：P(A) = n(A) / n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A所包含的样本点个数，n(S)表示样本空间S中的样本点个数。

2. 互补事件概率公式互补事件是指两个事件中至少有一个发生的情况。

对于事件A的互补事件的概率公式如下：P(A') = 1 - P(A)其中，P(A')表示事件A的互补事件发生的概率。

3. 加法公式加法公式用于计算两个事件中至少有一个发生的概率。

对于两个事件A和B，加法公式可以表示为：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)其中，P(A∪B)表示事件A或事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。

乘法公式用于计算两个事件同时发生的概率。

对于两个事件A和B，乘法公式可以表示为：P(A∩B) = P(A) * P(B|A)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。

5. 独立事件公式当两个事件A和B相互独立时，它们的乘法公式可以简化为：P(A∩B) = P(A) * P(B)这意味着两个独立事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积。

6. 条件概率公式条件概率公式用于计算在某个条件下，另一个事件发生的概率。

对于事件A和事件B，条件概率公式可以表示为：P(B|A) = P(A∩B) / P(A)其中，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。

7. 全概率公式全概率公式用于计算某个条件下的事件发生的总概率。

13条件概率全概公式贝叶斯公式

打破的概率是 7 ,若前两次未打破 , 第三次落下打
破的概率是
9
10 ,试求透镜落下三次未打破的概率 .
10
解设 Ai 透镜第 i 次落下打破,i 1,2,3 ,
B 透镜落下三次未打破 ,则 B A1A2 A3 .
PB PA1A2 A3 PA1 PA2 | A1 PA3 | A1A2
1
1 2
1
7 10
1
9 10
3 200
.
本题也可以先求 PB ,再由 PB 1 PB 求得 PB .
由于 B A1 A1 A2 A1 A2 A3 并 , 且 A1, A1A2 , A1A2 A3 为两两不相容事件, 故有
PB PA1 A1A2 A1A2 A3
PA1 PA1A2 PA1A2 A3
PB1 PA | B1 PBn PA | Bn n
PBi PA | Bi
i 1
n
PA PBi PA | Bi
i 1
全概率公式 .
全概率公式的基本思想是把一个未知的复杂事件分解为若干个已知的简单事件再求解 , 而这些简单事件组成一个互不相容事件组 ,使得某个未知事件 A 与这组互不相容事件中至少一个同时发生 ,故在应用此全概率公式时 ,关键是要找到一个合适的 S 的一个划分.
我们还可以从另一个角度去理解全概率公式.
某一事件A的发生有各种可能的原因，如果A 是由原因Bi (i=1,2,…,n) 所引起，则A发生的概率是
P(ABi)=P(Bi)P(A |Bi)
每一原因都可能导致A发生，故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和，即全概率公式.
由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“ 作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关. 全概率公式表达了它们之间的关系

条件概率有关条件概率的三个重要计算公式

第二周条件概率和独立性2.2条件概率有关条件概率的三个重要计算公式上一讲中我们引入了条件概率，有了这一概念，我们对事件的表达就有了更丰富的工具。

下面我们就希望能够有效地计算条件概率，得到我们想要的概率结果。

对于条件概率而言呢，主要有三个计算公式，分别是乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式。

这三个计算公式的应用贯穿概率论的始终，是非常基本和重要的计算工具。

下面我们看第一个乘法公式。

*********************************************************乘法公式（1）设B A ,是两个事件，()0>B P ，则()()()B A P B P AB P |=证明：()()()()()()||P AB P A B P AB P B P A B P B =⇒=（2）设n A A A ,,,21 为n 个事件，且()0121>-n A A A P ，则()()()()()12121312121|||-⋅⋅=n n n A A A A P A A A P A A P A P A A A P 。

证明：数学归纳法，设()()()()111211||-⋅⋅=k k k A A A P A A P A P A A P ，()()()1112112|k k k kP A A P A A A P A A A A ++=⋅ ()()()121112||.k k P A P A A P A A A A +=⋅⋅ 直接验证：()()()()121312121|||n n P A P A A P A A A P A A A A -⋅⋅ ()()()()()()()12312121112121n n P A A A P A A A P A A P A P A P A A P A A A -= ()12.n P A A A =*********************************************************例2.2.1设箱子内有a 个白球，b 个黑球，在其中不放回地连取3次，问前2次取到白球而第3次取到黑球的概率。

条件概率、全概率公式、贝叶斯准则、独立性

条件概率、全概率公式、贝叶斯准则、独⽴性害，选修课报了门⼈⼯智能，康康⼈⼯智能⾥需要的数学。

只有概率论还没了解，但是概率⼜在⼈⼯智能领域⾥占很⼤⽐重，所以最近就⼜开始刷概率。

条件概率条件概率和普通概率啥区别？普通概率问题长这样：你扔两次硬币，两次硬币都扔丢了的概率有多⼤条件概率：你扔两次硬币，第⼀次扔丢了，问两次都扔丢概率有多⼤所以它就是已经确定了最后结果的部分信息，然后在这个基础上对剩下部分的概率进⾏推断。

如果我们忽略上图尴尬的配⾊并假设A=第⼀次扔丢了,B=第⼆次扔丢了，那么中间的A∩B就是所求的。

然后因为现在我们已经知道了第⼀次扔丢了，所以事件A已经发⽣了，结果肯定在A⾥，那么就需要更新A为整个样本空间替换原来的Ω(即蓝⾊框框)。

那现在所求的两次都扔丢的部分就得是P(A∩B)P(A)，这就是条件概率的公式。

P(B|A)=P(A∩B)P(A)P(B|A)意思就是已知A发⽣了，B发⽣的概率，上⾯公式很⾃然，很容易想像。

我们可以把没有条件的概率想象成特殊的条件概率，它的条件就是结果肯定在整个样本空间Ω中，所以P(B|Ω)=P(Ω∩B)P(Ω)=P(B)条件概率公式的变形其实在⼤多数问题⾥，求的不是条件概率，⽽是已知条件概率，让你求P(A∩B)，就⽐如如果天空中5%的概率出现飞机，出现飞机雷达有95%的概率检测出来，然后让你算雷达正确报警(有飞机并检测出来了)的概率。

所以可以把概率公式变下形状P(A∩B)=P(A)P(B|A)同样的，也有P(A∩B)=P(B)P(A|B)这两个公式在全概率公式和贝叶斯准则中都会⽤到全概率公式全概率定理是A1,A2,...,A n是⼀组不相容的事件，并且形成样本空间的⼀个分割，⽽且对于每个i,P(A i)>0，那么对于事件BP(B)=P(A1∩B)+...+P(A n∩B)=P(A1)P(B|A1)+...+P(A n)P(B|A n)展现在图上就是这样，很⾃然，P(B)等于这些不相容事件与B的交集之和。

积事件和条件概率

积事件和条件概率积事件和条件概率数学中积事件和条件概率多用于随机事件的研究、概率的计算和统计的推导。

积事件是指两个或多个事件同时发生的情况，而条件概率是指事件发生的条件的概率。

下面我们从这两个角度深入探讨积事件和条件概率。

一、积事件积事件是指研究两个或多个事件同时发生的情况。

在实际生活中也有很多例子。

比如，参加一个抽奖活动，如果要同时抽中一等奖和二等奖，那么这就是一个积事件。

又比如，打麻将需要从牌堆中同时摸出东、南、西、北四个风牌，这也是一个积事件。

还有一个例子是世界杯足球比赛，如果两个球队同时得分，那么这也是一个积事件。

计算积事件的概率需要运用积事件的定义和乘法原理。

如果两个事件A和B是相互独立的，那么它们同时发生的概率就等于它们单独发生的概率相乘，即P(A∩B)=P(A)×P(B)。

如果两个事件A和B不是相互独立的，那么它们同时发生的概率就需要运用条件概率的知识计算。

二、条件概率条件概率是指在某个事件已经发生的条件下，另一个事件发生的概率。

比如在打骨牌中，已经知道摸出了三个骨牌，想知道第四个骨牌是什么的概率，这就是一个条件概率问题。

计算条件概率需要运用条件概率公式：P(B|A)=P(A∩B)/P(A)，其中P(B|A)表示在A事件发生的情况下B事件发生的概率。

条件概率在实际生活中也有很多应用，比如医学领域的疾病检测、金融领域的风险评估、以及搜索引擎的搜索排序等等。

最后，积事件和条件概率在数学和实际生活中都有非常广泛的应用。

掌握这些知识不仅能够帮助我们更好地理解数学，而且还有助于我们解决实际问题。