专题三函数的值域的求法

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函数值域的常见求法8大题型(解析版)

函数值域的求法8大题型命题趋势函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。

在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。

满分技巧一、求函数值域的常见方法1.直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；2.逐层法：求f 1(f 2⋯f n (x ))型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的值域；3.配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“y =ax x +bx +c (a ≠0)”或“y =a [f (x )]2+bf (x )+c (a ≠0)”的函数均可用配方法求值域；4.换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有(1)y =ax +b cx +d或y =cx +dax +b 的结构，可用“cx +d =t ”换元；(2)y =ax +b ±cx +d (a ,b ,c ,d 均为常数，a ≠0,c ≠0)，可用“cx +d =t ”换元；(3)y =bx ±a 2-x 2型的函数，可用“x =a cos θ(θ∈[0,π])”或“x =a sin θθ∈-π2,π2”换元；5.分离常数法：形如y =ax +b cx +d (ac ≠0)的函数，应用分离常数法求值域，即y =ax +b cx +d=ac +bc -adc 2x +d c ，然后求值域；6.基本不等式法：形如y =ax +bx(ab >0)的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用a +b ≥2ab 求函数的值域(或最值)时，应满足三个条件：①a >0,b >0；②a +b (或ab )为定值；③取等号的条件为a =b ，三个条件缺一不可；7.函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域(或最值)(1)形如y =ax +b -cx +d (ac <0)的函数可用函数单调性求值域；(2)形如y =ax +bx的函数，当ab >0时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解；公众号：高中数学最新试题当ab <0时，y =ax +bx在(-∞,0)和(0,+∞)上为单调函数，可直接利用单调性求解。

三角函数专题：三角函数最值(值域)的5种常见考法(解析版)

三角函数专题：三角函数最值（值域）的5种常见考法1、形如sin y a x = (或cos y a x =)型可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a 正负的讨论 2、形如sin()y a x b ωϕ=++ (或cos()y a x b ωϕ=++型（1）先由定义域求得x ωϕ+的范围（2）求得sin()x ωϕ+ (或cos()x ωϕ+)的范围，最后求得最值 3、形如sin cos y a x b x =+型引入辅助角转化为22)y a b x ϕ=++，其中tan baϕ=，再利用三角函数的单调性求最值。

4、形如2sin sin (0)y a x b x c a =++≠或2cos cos (0)y a x b x c a =++≠型，可利用换元思想，设sin y x =或cos y x =，转化为二次函数2y at bt c =++求最值，t 的范围需要根据定义域来确定． 5、形如sin cos (sin cos )y x x x x =⋅±±型利用sin cos x x ±和sin cos x x ⋅的关系，通过换元法转换成二次函数求值域 6、分式型三角函数值域（1）分离常数法：通过分离常数法进行变形，再结合三角函数有界性求值域；（2）判别式法题型一借助辅助角公式求值域【例1】该函数sin 3y x x =的最大值是（） A ．1 B 6 C ．2 D ．2- 【答案】C【解析】因为πsin 32sin 3y x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，又[]πsin 1,13x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以函数sin 3y x x =的最大值是2.故选：C.【变式1-1】已知()()sin 3cos 0f x A x x A =->的最大值是2，则()3sin 3cos g x x A x +在π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦中的最大值是（）A ．32B ．3C 326+ D ．23【答案】C【解析】根据辅助角公式可得：()2223sin 3=333f x A x x A x x A A ⎫=+⎪⎪++⎭()2=3A x ϕ+-，其中3tan ϕ=. 由()f x 的最大值为2()2320A A +>,解得1A =.∴()1333cos 23sin 2g x x x x x ⎫=+=⎪⎪⎭π233x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.∵π3π,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴π7π13π,31212x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦. ∴当π7π312x +=，即π4x =时，()g x 取得最大值. 故()max ππ343g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭231326232⎫+==⎪⎪⎝⎭故选:C.【变式1-2】已知函数()()3cos sin 3cos 0,2f x x x x x π⎫⎡⎤=∈⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则函数()f x 的值域为（） A ．33⎡⎢⎣⎦ B ．3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】B【解析】()23sin cos 3x x f x x =+)133sin 21cos 22x x =+sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以3sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的值域为3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：B【变式1-3】函数2()sin 3cos f x x x x =在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是（）A ．1B ．2C ．32D ．3 【答案】C【解析】因为2()sin 3cos f x x x x =，所以1cos 231()2sin(2)226x f x x x π-==+-，42ππx ≤≤，52366x πππ∴≤-≤，1sin 2126x π⎛⎫∴≤-≤ ⎪⎝⎭，∴13()122max f x =+=．故选：C ．【变式1-4】己知函数()3sin 4cos ,R f x x x x =+∈，则()()12f x f x -的最小值是_________. 【答案】10-【解析】由题意可得()()343sin 4cos 5sin cos 5sin 55f x x x x x x ϕ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，其中4sin 5ϕ=，3cos 5ϕ=，且0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．因为12,R x x ∈,所以min max ()5,()5f x f x =-=.所以()()12f x f x -的最小值是min max ()()10f x f x -=-.题型二借助二次函数求值域【例2】求函数22sin 2sin 1y x x =-++的值域.【答案】3[3,]2-【解析】y =−2sin 2x +2sinx +1=−2(sinx −12)2+32，−1≤sinx ≤1，根据二次函数性质知，当1sin 2x =时，max 32y =；当sin 1x =-时，min 3y =-，故值域为3[3,]2-.【变式2-1】函数2cos sin 1y x x =+-的值域为（）A ．11[,]44-B ．1[0,]4C ．1[2,]4-D ．1[1,]4- 【答案】C【解析】函数222cos sin 11sin sin 1sin sin y x x x x x x =+-=-+-=-+，设sin t x =，11t -≤≤，则()2f t t t =-+，由二次函数的图像及性质可知2124t t -≤-+≤，所以cos 2sin 1y x x =+-的值域为1[2,]4-，故选：C.【变式2-2】函数2tan 4tan 1y x x =+-的值域为____________【答案】[)5,-+∞【解析】因为2tan 4tan 1y x x =+-令tan t x =，则t R ∈所以()()224125f t t t t =+-=+-，所以()[)5,f t ∈-+∞，故函数的值域为[)5,-+∞【变式2-3】函数()193sin cos 2R 24y x x x =+-∈的最小值是（） A ．14B ．12 C ．234- D ．414-【答案】C【解析】22197313sin cos 2sin 3sin sin 24422y x x x x x ⎛⎫=+-=-+-=--+ ⎪⎝⎭，令sin x t =，则11t -≤≤．因为23122t ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭在[]1,1-上单增，所以当1t =-时，2min31231224y ⎛⎫=---+=- ⎪⎝⎭．故选：C ．题型三借助换元法求值域【例】已知函数()，则（）A ．()f x 的最大值为3，最小值为1 B ．()f x 的最大值为3，最小值为-1 C ．()f x 的最大值为32，最小值为34D ．()f x 的最大值为32，最小值为32 【答案】C【解析】因为函数()sin cos 2sin cos 2f x x x x x =+++，设sin cos 24x x x t π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，2,2t ⎡∈-⎣，则22sin cos 1x x t =-，所以2213124y t t t ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，2,2t ⎡∈-⎣，当12t =-时，()min 34f t =；当2t =时，()max 32f t =故选：C【变式3-1】函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的值域为________．【答案】[－1,1]【解析】设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，即sin x cos x ＝1－t 22，且－1≤t ≤ 2. ∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1. 当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－1时，y min ＝－1. ∴函数的值域为[－1,1]．【变式3-2】函数()sin cos sin 2f x x x x =++的最大值为（） A ．1 B ．12 C ．12 D ．3 【答案】C【解析】()sin cos sin 2sin cos 2sin cos f x x x x x x x x =++=++，令sin cos 24t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以[2,2]t ∈-，则22(sin cos )12sin cos t x x x x =+=+，所以22sin cos 1x x t =-，所以原函数可化为21y t t =+-，[2,2]t ∈，对称轴为12t =-，所以当2t 时，21y t t =+-取得最大值，所以函数的最大值为222121=，即()sin cos sin 2f x x x x =++的最大值为12C【变式3-3】函数f (x )=sinxcosx +√2sin (x −π4)的值域为________．【答案】[−12−√2,1]【解析】由于f (x )=sinxcosx +√2sin (x −π4)=sinxcosx +sinx −cosx ，令sinx −cosx =t ，则sinxcosx =1−t 22，于是函数化为y =1−t 22+t =−12(t −1)2+1，而t =sinx −cosx =√2sin (x −π4)∈[−√2,√2] ，所以当1t =时，函数取最大值1，当t =−√2时，函数取最小值−12−√2，故值域为[−12−√2,1].题型四分式型三角函数的值域【例4】函数cos 12cos 1x y x +=-的值域是（）A ．][(),04,∞∞-⋃+B ．][(),02,∞∞-⋃+ C ．[]0,4 D ．[]0,2 【答案】B【解析】令11cos ,1,,122x t t ⎡⎫⎛⎤=∈-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，13(21)11322212122211t t y t t t -++===+⋅---，可得[)(]213,00,1t -∈-⋃，[)11,1,213t ⎛⎤∈-∞-⋃+∞ ⎥-⎝⎦，3113,,22122t ⎛⎤⎡⎫⋅∈-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢-⎝⎦⎣⎭，故(][),02,y ∈-∞⋃+∞.故选：B.【变式4-1】函数sin 3sin 2x y x +=+的值域为___________. 【答案】4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】解：sin 31sin 2sin 21x y x x +==+++，因为1sin 1x -≤≤，所以1sin 23x ≤+≤，所以1113sin 2x ≤≤+，所以411+23sin 2x ≤≤+，所以sin 3sin 2x y x +=+的值域是4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【变式4-2】函数sin cos ()1sin cos =++x xf x x x的值域为_____________．【答案】212111,2⎡⎫⎛-----⎪ ⎢⎪⎣⎭⎝⎦【解析】令sin cos 24t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，[2,1)(1,2]t ∈---，则212sin cos t x x =+，即21sin cos 2t x x -=，所以2112()12t t f t t --==+，又因为[2,1)(1,2]t ∈---，所以()212111,2f t ⎫⎛---∈--⎪ ⎪ ⎣⎭⎝⎦，即函数sin cos ()1sin cos =++x xf x x x 的值域为212111,2⎡⎫⎛-----⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦．【变式4-3】当04x π<<时，函数221sin ()cos sin sin xf x x x x-=⋅-的最小值是________.【答案】4【解析】22cos ()sin cos sin xf x x x x=-21tan tan x x =-，当04x π<<时，tan (0,1)x ∈，所以21110tan tan 244<-≤-=x x ，()4f x ∴≥，即221sin ()cos sin sin xf x x x x-=⋅-的最小值为4.含绝对值的三角函数值域A ．[－1,0] B ．[0,1] C ．[－1,1] D ．[－2,0] 【答案】D【解析】当0sin 1x ≤≤ 时，sin sin 0y x x =-= ，所以，当1sin 0x -≤<，2sin y x =，又22sin 0x -≤< ，所以函数的值域为[]2,0-，故选：D.【变式5-1】函数()2sin 3cos f x x x =+的值域是（）A ．[]2,5B ．[]3,5C ．13⎡⎤⎣⎦D ．13⎡⎣【答案】C【解析】()sin()2cos()2sin 3cos 2sin 3cos f x x x x x x x +=+++=-+-=+πππ，∴()f x 为周期函数，其中一个周期为T π=，故只需考虑()f x 在[0,]π上的值域即可，当[0,]2x π∈时，()2sin 3cos 13)f x x x x =+=+α，其中cos 13α，sin 13α=, ∴max ()()132f x f =-παmin ()()22f x f ==π，当[,]2x ππ∈时，()2sin 3cos 13)f x x x x =-=+β，其中，cos 13β=sin 13=β， ∴max ()()132f x f =-πβmin ()()22f x f ==π，∴()f x 的值域为13].故选：C【变式5-2】设函数2()|sin |2cos 1f x x x =+-，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的最小值是______．【答案】0【解析】∵2()|sin |2cos 1f x x x =+-|sin |cos 2x x =+为偶函数，∴只需求函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最小值，此时2()sin cos22sin sin 1f x x x x x =+=-++，令[]sin 0,1t x =∈，则221y t t =-++，函数的对称轴为[]10,14t =∈，∴当1t =时，min 2110y =-++=.【变式5-3】若不等式sin tan tan sin 0x x x x k -++-≤在3,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则k 的取值范围是______. 【答案】[)2,∞+ 【解析】∵ ()sin 1cos sin tan sin sin cos cos x x xx x x x x++=+=，3,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴ sin 0,1cos 0,cos 0x x x >+><，∴ tan sin 0x x +<，∴sin tan tan sin sin tan tan sin 2tan x x x x x x x x x -++=---=-， ∵ 不等式sin tan tan sin 0x x x x k -++-≤在3,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立 ∴ 2tan k x ≥-，3,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()max 2tan 2k x ≥-=. 故k 的取值范围是[)2,∞+.。

三角函数求值域专题

三角函数求值域专题求三角函数值域及最值的常用方法：(1)一次函数型：或利用为：y asinx bcosx a2b2sin(x ),利用函数的有界性或单调性求解；化为一个角的同名三角函数形式，(1)：y 2sin(3x —) 5，y sin xcosx12(2)y 4sin x 3cosx(3) _____________________________________ .函数在区间上的最小值为_1.(4 )函数且的值域是—(,1] [1,)(2)二次函数型：化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、换元及图像法求解;二倍角公式的应用：女口. ( 1) y sin x cos2x3(2)函数的最大值等于3.4(3) _____________________________ .当时，函数的最小值为_4 •(4).已知k v—4,则函数y = cos2x + k(cos x-1)的最小值是 1 •(5).若，则的最大值与最小值之和为2— _ •(3) 借助直线的斜率的关系用数形结合求解；a sin x b型如f(x) 型。

此类型最值问题可考虑如下几种解法：ccos x d①转化为asinx bcosx c再利用辅助角公式求其最值；②利用万能公式求解；③采用数形结合法(转化为斜率问题)求最值。

例1 ：求函数y sinx的值域。

cosx 2结合图形可知，此函数的值域是［』3,』3］。

33例2.求函数的最小值.解法一：原式可化为，得，即，故，解得或(舍)，所以的最小值为. 解法二：表示的是点与连线的斜率，其中点 B 在左半圆上，由图像知，当 AB 与半圆相切时，最小, 此时，所以的最小值为.(4) 换元法•识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为解法2：将函数ycosx sinx_变形为 2y cosx sin x2y ，二 sin( x )2y 1 y 2|sin(x )| 理 1V 1 y2(2y)y2，解得：彳，故值域是3]解法 3:利用万能公式求解: 由万能公式sin x -1 2t cosx 口;，代入1 t 2sinx得到cosx 22t2厂沪则有3yt2t0知：当t0,则y满足条件；当0，由24 12y 0 ,乜，故所求函数的值域是3解法4：利用重要不等式求解：由万能公式sinx -12t T ， cosx.代入t 2sinx得到cosx 20,2t1 3t 20时，则y 0,满足条件；当t 0时,2 1" t 3t——,如果t >3t)2 ([)(3t)2 ~1 (：3t)2 2、于，此时即有如果t2、( ；)( 3t)彳，此时有0 y 于。

高考求函数值域及最值得方法及例题_训练题

一．观察法:通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域.例1:求函数)+=的值域.y-3x32(点拨：根据算术平方根的性质，先求出)-的值域.32(x解：由算术平方根的性质，知)2(x-≥3。

∴函数的值域为)3-≥0，故3+)2(x3,3[+∞ .点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。

（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法:当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域.例2:求函数y=(x+1)/(x+2)的值域.点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数, 故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。

（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法:当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域. 例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域.点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。

此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

配方法是数学的一种重要的思想方法。

练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})四.判别式法:若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

高中数学必修一专题三函数的定义域和值域(含详解)

专题三函数的定义域和值域一．选择题（共12小题）1．函数的定义域是（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1）∪（1，+∞） C．[﹣1，+∞）D．[﹣1，1）∪（1，+∞）2．已知函数f（x）=的定义域为（1，2），则函数f（x2）的定义域是（）A．（1，2） B．（1，4） C．R D．（﹣，﹣1）∪（1，）3．已知函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（）A．a＞B．﹣12＜a≤0 C．﹣12＜a＜0 D．a≤4．集合A={x|0≤x≤4}，B={y|0≤y≤2}，下列不能表示从A到B的函数的是（）A．B．f：x→y=2﹣x C．D．5．下列图形中，不能表示以x为自变量的函数图象的是（）A．B．C．D．6．下列函数与函数y=x相等的是（）A．B．C．D．7．如图所示，可表示函数图象的是（）A．①B．②③④C．①③④D．②8．下列四组函数，表示同一函数的是（）A．，g（x）=xB．C．D．f（x）=|x+1|，g（x）=9．已知函数f（x）=，x∈{1，2，3}．则函数f（x）的值域是（）A．B．（﹣∞，0]C．[1，+∞）D．R10．若函数y=的值域为[0，+∞），则a的取值范围是（）A．（3，+∞）B．[3，+∞）C．（﹣∞，0]∪[3，+∞）D．（﹣∞，0）∪[3，+∞）11．二次函数f（x）=x2﹣4x+1（x∈[3，5]）的值域为（）A．[﹣2，6]B．[﹣3，+∞）C．[﹣3，6]D．[﹣3，﹣2]12．若函数的定义域、值域都是[2，2b]，则（）A．b=2 B．b∈[1，2]C．b∈（1，2）D．b=1或b=2二．填空题（共4小题）13．函数f（x）=的定义域为，值域为．14．函数的定义域是．15．函数y=的定义域为R，则k的取值范围．16．函数的值域为．三．解答题（共6小题）17．求下列函数的定义域：（1）；（2）．18．已知函数f（x）=（1）求f（1）+f（2）+f（3）+f（）+f（）的值；（2）求f（x）的值域．19．已知函数y=的定义域为R，求实数m的取值范围．20．当x＞0时，求函数的值域．21．已知函数，（1）求函数的定义域；（2）求的值．22．求函数f（x）=x2+|x﹣2|，x∈[0，4]的值域．专题三（2）函数的概念参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．函数的定义域是（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1）∪（1，+∞） C．[﹣1，+∞）D．[﹣1，1）∪（1，+∞）【分析】由根式内部的代数式大于等于0，且分式的分母不为0联立不等式组求解．【解答】解：由，解得x≥﹣1且x≠1．∴函数的定义域是[﹣1，1）∪（1，+∞）．故选：D．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．2．已知函数f（x）=的定义域为（1，2），则函数f（x2）的定义域是（）A．（1，2） B．（1，4） C．R D．（﹣，﹣1）∪（1，）【分析】由已知函数的定义域可得1＜x2＜2，求解不等式组得答案．【解答】解：∵数f（x）=的定义域为（1，2），∴由1＜x2＜2，得﹣＜x＜﹣1或1＜x＜．即函数f（x2）的定义域是（﹣，﹣1）∪（1，）．故选：D．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题．3．已知函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（）A．a＞B．﹣12＜a≤0 C．﹣12＜a＜0 D．a≤【分析】由函数f（x）=的定义域是R，表示函数的分母恒不为零，即方程ax2+ax﹣3=0无解，根据一元二次方程根的个数与判断式△的关系，我们易得数a的取值范围．【解答】解：由a=0或可得﹣12＜a≤0，故选：B．【点评】求函数的定义域时要注意：（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）对于（4）题要注意：①对在同一对应法则f 下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．4．集合A={x|0≤x≤4}，B={y|0≤y≤2}，下列不能表示从A到B的函数的是（）A．B．f：x→y=2﹣x C．D．【分析】根据函数的定义分别进行判断即可．【解答】解：C的对应法则是f：x→y=x，可得f（4）=∉B，不满足映射的定义，故C的对应法则不能构成映射．故C的对应f中不能构成A到B的映射．故选：C．【点评】本题给出集合A、B，要求我们找出从A到B的映射的个数，着重考查了映射的定义及其判断的知识，属于基础题．5．下列图形中，不能表示以x为自变量的函数图象的是（）A．B．C．D．【分析】利用函数定义，根据x取值的任意性，以及y的唯一性分别进行判断．【解答】解：B中，当x＞0时，y有两个值和x对应，不满足函数y的唯一性，A，C，D满足函数的定义，故选：B．【点评】本题主要考查函数的定义的应用，根据函数的定义和性质是解决本题的关键．6．下列函数与函数y=x相等的是（）A．B．C．D．【分析】已知函数的定义域是R，分别判断四个函数的定义域和对应关系是否和已知函数一致即可．【解答】解：A．函数的定义域为{x|x≥0}，两个函数的定义域不同．B．函数的定义域为R，y=|x|，对应关系不一致．C．函数的定义域为R，两个函数的定义域和对应关系相同，是同一函数．D．函数的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不同．故选：C．【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准是判断函数的定义域和对应关系是否一致，否则不是同一函数．7．如图所示，可表示函数图象的是（）A．①B．②③④C．①③④D．②【分析】利用函数的定义分别对四个图象进行判断．【解答】解：由函数的定义可知，对定义域内的任何一个变化x，在有唯一的一个变量y与x对应．则由定义可知①③④，满足函数定义．但②不满足，因为②图象中，当x＞0时，一个x对应着两个y，所以不满足函数取值的唯一性．所以不能表示为函数图象的是②．故选：C．【点评】本题主要考查了函数的定义以及函数的应用．要求了解，对于一对一，多对一是函数关系，一对多不是函数关系．8．下列四组函数，表示同一函数的是（）A．，g（x）=xB．C．D．f（x）=|x+1|，g（x）=【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数．【解答】解：对于A，f（x）==|x|，与g（x）=x的对应关系不同，∴不是同一函数；对于B，f（x）=（x≥2或x≤﹣2），与g（x）==（x≥2）的定义域不同，∴不是同一函数；对于C，f（x）=x（x∈R），与g（x）==x（x≠0）的定义域不同，∴不是同一对于D，f（x）=|x+1|=，与g（x）=的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．故选：D．【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题目．9．已知函数f（x）=，x∈{1，2，3}．则函数f（x）的值域是（）A．B．（﹣∞，0]C．[1，+∞）D．R【分析】直接由已知函数解析式求得函数值得答案．【解答】解：f（x）=，x∈{1，2，3}，当x=1时，f（1）=1；当x=2时，f（2）=；当x=3时，f（3）=．∴函数f（x）的值域是．故选：A．【点评】本题考查函数值域的求法，是基础的计算题．10．若函数y=的值域为[0，+∞），则a的取值范围是（）A．（3，+∞）B．[3，+∞）C．（﹣∞，0]∪[3，+∞）D．（﹣∞，0）∪[3，+∞）【分析】由题意：函数y是一个复合函数，值域为[0，+∞），则函数f（x）=ax2+2ax+3的值域要包括0．即最小值要小于等于0．【解答】解：由题意：函数y=是一个复合函数，要使值域为[0，+∞），则函数f（x）=ax2+2ax+3的值域要包括0，即最小值要小于等于0．则有：⇒解得：a≥3所以a的取值范围是[3，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了复合函数的值域的求法，通过值域来求参数的问题．属于基11．二次函数f（x）=x2﹣4x+1（x∈[3，5]）的值域为（）A．[﹣2，6]B．[﹣3，+∞）C．[﹣3，6]D．[﹣3，﹣2]【分析】利用二次函数的单调性即可求解值域．【解答】解：函数f（x）=x2﹣4x+1，其对称轴x=2，开口向上，∵x∈[3，5]，∴函数f（x）在[3，5]单调递增，当x=3时，f（x）取得最小值为﹣2．当x=5时，f（x）取得最小值为6∴二次函数f（x）=x2﹣4x+1（x∈[3，5]）的值域为[﹣2，6]．故选：A．【点评】本题考查二次函数的单调性求解最值问题，属于函数函数性质应用题，较容易．12．若函数的定义域、值域都是[2，2b]，则（）A．b=2 B．b∈[1，2]C．b∈（1，2）D．b=1或b=2【分析】根据二次函数的性质建立关系解得b的值．【解答】解：函数其对称轴x=2，∴函数f（x）在定义域[2，2b]是递增函数，且2b＞2，即b＞1．那么：f（2b）=2b即2b=﹣4b+4解得：b=2故选：A．【点评】本题考查了定义域、值域的关系，利用二次函数的性质，属于基础题．二．填空题（共4小题）13．函数f（x）=的定义域为[﹣3，1] ，值域为[0，2] ．【分析】根据函数的定义域和值域的定义进行求解即可．【解答】解：要使函数有意义，则3﹣2x﹣x2≥0，即x2+2x﹣3≤0，解得﹣3≤x≤1，故函数的定义域为[﹣3，1]，设t=3﹣2x﹣x2，则t=3﹣2x﹣x2=﹣（x+1）2+4，则0≤t≤4，即0≤≤2，即函数的值域为[0，2]，故答案为：[﹣3，1]，[0，2]【点评】本题主要考查函数定义域和值域的求解，利用换元法结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．14．函数的定义域是[﹣3，1] ．【分析】根据使函数的解析式有意义的原则，结合偶次根式的被开方数必须不小于0，我们可以构造关于自变量x的不等式组，解不等式组，可得答案．【解答】解：要使函数的解析式有意义自变量x须满足解得﹣3≤x≤1即函数的定义域是[﹣3，1]故答案为：[﹣3，1]【点评】本题考查的知识点是函数的定义域及其求法，其中列出满足条件的不等式组，是解答本题的关键．15．函数y=的定义域为R，则k的取值范围[0，2] ．【分析】把函数y=的定义域为R转化为kx2﹣4kx+6≥0对任意x∈R恒成立．然后对k分类求解得答案．【解答】解：要使函数y=的定义域为R，则kx2﹣4kx+6≥0对任意x∈R恒成立．当k=0时，不等式化为6≥0恒成立；当k≠0时，则，解得0＜k≤2．综上，k的取值范围是[0，2]．故答案为：[0，2]．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查数学转化思想方法，是中档题．16．函数的值域为．【分析】令（t≥0），得x=﹣t2+1，把原函数转化为关于t的一元二次函数求解．【解答】解：令（t≥0），得x=﹣t2+1，∴原函数化为y=．∴数的值域为：．故答案为：．【点评】本题考查函数值域的求法，训练了利用换元法求函数的值域，是中档题．三．解答题（共6小题）17．求下列函数的定义域：（1）；（2）．【分析】（1）由二次根式的意义可知：（2）由二次根式和分式的意义可知：，分别解不等式组可得答案．【解答】解：（1）由二次根式的意义可知：，∴定义域为[﹣8，3]．（2）由二次根式和分式的意义可知：∴定义域为{﹣1}．故答案为：（1）定义域为[﹣8，3]，（2）定义域为{﹣1}．【点评】本题为函数定义域的求解，使式子有意义，化为不等式组是解决问题的关键，属基础题．18．已知函数f（x）=（1）求f（1）+f（2）+f（3）+f（）+f（）的值；（2）求f（x）的值域．【分析】（1）直接根据函数解析式求函数值即可．（2）根据x2的范围可得1+x2的范围，再求其倒数的范围，即为所求．【解答】解：（1）原式=++=．（2）∵1+x2≥1，∴≤1，即f（x）的值域为（0，1]．【点评】本题考查了函数的值与函数的值域的求法，可怜虫推理能力与计算能力，属于中档题．19．已知函数y=的定义域为R，求实数m的取值范围．【分析】根据题意，一元二次不等式x2+6mx+m+8≥0恒成立；△≤0，求解集即可．【解答】解：函数y=的定义域为R，∴x2+6mx+m+8≥0恒成立；∴△=36m2﹣4（m+8）≤0，整理得9m2﹣m﹣8≤0，解得﹣≤m≤1，∴实数m的取值范围是﹣≤m≤1．【点评】本题考查了一元二次不等式恒成立的应用问题，是基础题．20．当x＞0时，求函数的值域．【分析】利用分离常数法，结合基本不等式即可求解值域；【解答】解：∵x＞0，x+1＞0∴函数===2（当且仅当x=时取等号）故得原式函数的值域为[，+∞）．【点评】本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．21．已知函数，（1）求函数的定义域；（2）求的值．【分析】（1）根据分式及偶次根式成立的条件可得，，解不等式可求函数的定义域（2）直接把x=﹣3，x=代入到函数解析式中可求【解答】解：（1）由题意可得，解不等式可得，{x|x≥﹣3且x≠﹣2}故函数的定义域，{x|x≥﹣3且x≠﹣2}（2）f（﹣3）=﹣1，f（）=【点评】本题主要考查了函数的定义域的求解，函数值的求解，属于基础试题22．求函数f（x）=x2+|x﹣2|，x∈[0，4]的值域．【分析】去掉绝对值，得到两段函数，并对每段函数配方即可求出该段的函数f （x）的范围，对两段上求得的f（x）求并集即可求得f（x）的值域．【解答】解：f（x）=；∴当x∈[0，2]时，当x∈（2，4]时，f（x）∈（4，18]综上，即函数f（x）的值域为．【点评】考查求函绝对值函数的值域的求法，以及配方法求二次函数的值域．。

三角函数值域的几种求法

当a 0时，f ( x) max a h, f ( x) min a h 当a 0时，f ( x) max a h, f ( x) min a h
口答下列函数的最大值和最小值。
(1) y 2sin x
（2）y 3 2 cos( 2 x ) 3
例4、已知函数 f x 2 cos2x sin 2 x 4 cos x
(1)求 f 的值 3
(2) f x 的最大值和最小值
例4、已知函数 (1)求的值 (2)求 f x的最大值和最小值
f 3
f x 2 cos2x sin 2 x 4 cos x
像可直观地求出函数的值域，从而减少运算量．
巩固练习： 1、函数 f ( x) sin 2x 2 sin x 的最大值为：2 1
2
2、函数 y sin 3、当
7 x , 6 6
2
x cos x 1的值域是：
1 2, 4
2 y 3 cos x 2 sin x 的最时，函数
（3）y 1 sin x 2
[-2,2]
[1,5]
[0,
2 2
]
(4) y a cos x b （a 0)
当a>0,[-a+b,a+b] 当a<0,[a+b,-a+b]
题型二、二弦合一型 y= a sin x b cos x c = 型的最值问题 a 2 b 2 sin x c
2
2 3 sin x cos x 2 cos x 1
3 1 4 cos x( sin x cos x) 1 2 2

函数专题：函数值域的6种常用求法-【题型分类归纳】

函数专题：函数值域的6种常用求法一、函数的最大（小）值1、最大值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作y max＝f(x0)．2、最小值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作y min＝f(x0)．3、几何意义：函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点，它们不一定只有一个．二、求函数值域的6种常用求法1、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)．（1）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则y max＝f(b)，y min＝f(a)．（2）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则y max＝f(a)，y min＝f(b)．（3）若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．2、图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合．（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域．（2）()f x的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下(或靠上)的部分为该()f x函数的图象，从而利用图象求得函数的值域．3、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围.4、换元法：换元法是将函数解析式中关于x 的部分表达式视为一个整体，并用新元t 代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)．（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围．（2）换元的作用有两个：①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的．②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理 5、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，形如+=+ax b y cx d或2++=+ax bx e y cx d （a ，c 至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法以+=+ax by cx d为例，解题步骤如下：第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成=++a ey c cx d的形式，第二步，求出函数=+e y cx d 在定义域范围内的值域，进而求出+=+ax by cx d的值域。

高中数学必修一专题：求函数的定义域与值域的常用方法

函数的定义域与值域的常用方法（一）求函数的解析式1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y＝f（x），不能把它写成f（x，y）＝0；2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形；3、求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。

（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；（3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之；（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。

（二）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；（三）求函数的值域1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示；2、在函数f：A→B中，集合B未必就是该函数的值域，若记该函数的值域为C，则C是B的子集；若C ＝B，那么该函数作为映射我们称为“满射”；3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；4、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述；5、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集；6、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结；（四）求函数的最值1、设函数y＝f（x）定义域为A，则当x∈A时总有f（x）≤f（x o）＝M，则称当x＝x o时f（x）取最大值M；当x∈A时总有f（x）≥f（x1）＝N，则称当x＝x1时f（x）取最小值N；2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题；3、闭区间的连续函数必有最值。

专题-高中函数值域的求法讲义与练习+

专题求函数值域的常用方法及值域的应用三、值域的概念和常见函数的值域 .................................................................................................... - 1 - 四、求函数值域（最值）的常用方法 ................................................................................................. - 1 -4.1.直接法 .................................................................................................................................. - 1 - 4.2配方法................................................................................................................................. - 2 - 4.3换元法................................................................................................................................. - 3 - 4.4基本不等式法 ...................................................................................................................... - 4 - 4.5函数的单调性（导数）法..................................................................................................... - 5 - 4.6数形结合法.......................................................................................................................... - 7 - 4.7函数的有界性法................................................................................................................... - 9 - 4.8分离常数法.......................................................................................................................... - 9 - 4.8 三角函数中的值域问题 ....................................................................................................... - 11 - 五、高考真题汇编 ........................................................................................................................... - 12 -三、值域的概念和常见函数的值域1、定义：函数值y 的取值围叫做函数的值域（或函数值的集合）。

微专题3 三角中的最值、范围问题

微专题3 三角中的最值、范围问题高考定位以三角函数、三角形为背景的最值及范围问题是高考的热点，常用的方法主要有：函数的性质(如有界性、单调性)、基本不等式、数形结合等.1.(2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]上是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4 B.π2 C.3π4 D.π答案 A解析法一 f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，且函数y ＝cos x 在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x ＋π4≤π，得－π4≤x ≤3π4. 因为f (x )在[－a ，a ]上是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥－π4，a ≤3π4，解得a ≤π4，所以0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4，故选A. 法二因为f (x )＝cos x －sin x ，所以f ′(x )＝－sin x －cos x ，则由题意，知f ′(x )＝－sin x －cos x ≤0在[－a ，a ]上恒成立，即sin x ＋cos x ≥0，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥0在[－a ，a ]上恒成立，结合函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象可知有⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，解得a ≤π4，所以0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4，故选A.2.(2022·全国甲卷)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3在区间(0，π)上恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，136 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，196 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤136，83 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤136，196 答案 C解析由题意可得ω>0，故由x ∈(0，π)，得ωx ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，πω＋π3. 根据函数f (x )在区间(0，π)上恰有三个极值点，知5π2<πω＋π3≤7π2，得136<ω≤196.根据函数f (x )在区间(0，π)上恰有两个零点，知2π<πω＋π3≤3π，得53<ω≤83.综上，ω的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤136，83.3.(2018·北京卷)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且∠C 为钝角，则∠B ＝________；ca 的取值范围是________. 答案 60° (2，＋∞)解析 △ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝34(a 2＋c 2－b 2)＝34×2ac cos B ，所以tan B ＝3，因为0°<∠B <90°，所以∠B ＝60°.因为∠C 为钝角，所以0°<∠A <30°，所以0<tan A <33，所以c a ＝sin C sin A ＝sin （120°－A ）sin A ＝sin 120°cos A －cos 120°sin A sin A ＝32tan A ＋12>2，故ca 的取值范围为(2，＋∞).4.(2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A1＋sin A＝sin 2B 1＋cos 2B. (1)若C ＝2π3，求B ；(2)求a 2＋b 2c 2的最小值. 解 (1)因为cos A 1＋sin A ＝sin 2B1＋cos 2B，所以cos A 1＋sin A ＝2sin B cos B 1＋2cos 2B －1，所以cos A 1＋sin A＝sin B cos B ，所以cos A cos B ＝sin B ＋sin A sin B ，所以cos(A ＋B )＝sin B ，所以sin B ＝－cos C ＝－cos 2π3＝12.因为B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，所以B ＝π6. (2)由(1)得cos(A ＋B )＝sin B ，所以sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－（A ＋B ）＝sin B ，且0<A ＋B <π2，所以0<B <π2，0<π2－(A ＋B )<π2，所以π2－(A ＋B )＝B ，解得A ＝π2－2B ，由正弦定理得a 2＋b 2c 2＝sin 2A ＋sin 2Bsin 2C ＝sin 2A ＋sin 2B 1－cos 2C ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2B ＋sin 2B 1－sin 2B＝cos 22B ＋sin 2B cos 2B ＝（2cos 2B －1）2＋1－cos 2B cos 2B＝4cos 4B －5cos 2B ＋2cos 2B ＝4cos 2B ＋2cos 2B －5 ≥24cos 2B ·2cos 2B －5＝42－5，当且仅当cos 2B ＝22时取等号，所以a 2＋b 2c 2的最小值为42－5.热点一三角函数式的最值或范围求三角函数式的最值或范围问题，首先把函数式化为一个角的同名三角函数形式，接着利用三角函数的有界性或单调性求解.例1 (2022·宁波调研)已知函数f (x )＝2sin x cos x －23cos 2x ＋ 3. (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值.解 (1)因为f (x )＝2sin x cos x －23cos 2x ＋3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π3＝2sin π6＝1.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，所以，当2x －π3＝π2，即x ＝5π12时，f (x )取到最大值2；当2x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取到最小值－ 3.易错提醒求三角函数式的最值范围问题要注意： (1)把三角函数式正确地化简成单一函数形式；(2)根据所给自变量的范围正确地确定ωx ＋φ的范围，从而根据三角函数的单调性求范围.训练1 (2022·潍坊质检)在①函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，②函数y ＝f (x )的图象关于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，③函数y ＝f (x )的图象经过点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－1，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答.问题：已知函数f (x )＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且________，判断函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时的x 值；若不存在，说明理由. 解 f (x )＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ ＝sin(ωx ＋φ)，由已知函数f (x )的周期T ＝2πω＝π，得ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ).若选①，则有2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝k π－π6(k ∈Z ). 又因为|φ|<π2，所以φ＝－π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2时，则2x －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，所以当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，函数f (x )取得最大值，最大值为1.若选②，则有2×π6＋φ＝k π(k ∈Z )，解得φ＝k π－π3(k ∈Z ).又因为|φ|<π2，所以φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2时，则2x －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，所以当2x －π3＝π2，即x ＝5π12时，函数f (x )取得最大值，最大值为1.若选③，则有2×2π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，解得φ＝2k π－11π6(k ∈Z ).又因为|φ|<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2时，则2x ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，7π6，显然，函数f (x )在该区间上没有最大值. 热点二与三角函数性质有关的参数范围与三角函数性质有关的参数问题，主要分为三类，其共同的解法是将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的ωx ＋φ看作一个整体，结合正弦函数的图象与性质进行求解. 考向1 由最值(或值域)求参数的范围例2 若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4(ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，则ω的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，72 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，72 答案 B解析因为ω>0，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，ωx －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，ωπ2－π4.又因为函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4(ω>0)在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，所以π2≤ωπ2－π4≤5π4，解得32≤ω≤3.故选B.考向2 由单调性求参数的范围例3 已知f (x )＝sin(2x －φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上是增函数，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，7π8上有最小值，那么φ的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π4 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π3 答案 B解析由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，得2x －φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－φ，2π3－φ，又由0<φ<π2，且f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上是增函数，可得2π3－φ≤π2，所以π6≤φ<π2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，7π8时，2x －φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－φ，7π4－φ，由f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，7π8上有最小值，可得7π4－φ>3π2，则φ<π4.综上，π6≤φ<π4.故选B.考向3 由函数的零点求参数的范围例4 已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ω2x ，sin ωx ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ω2x ，12，其中ω>0，若函数f (x )＝a·b －12在区间(π，2π)上没有零点，则ω的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，58 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤58，1 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，58 答案 D解析 f (x )＝sin 2ω2x ＋12sin ωx －12 ＝1－cos ωx 2＋12sin ωx －12＝12(sin ωx －cos ωx )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4.由函数f (x )在区间(π，2π)上没有零点，知其最小正周期T ≥2π，即2πω≥2π，所以ω≤1. 当x ∈(π，2π)时，ωx －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ－π4，2ωπ－π4，所以⎩⎪⎨⎪⎧ωπ－π4≥k π，2ωπ－π4≤（k ＋1）π(k ∈Z )，解得k ＋14≤ω≤k 2＋58(k ∈Z ). 因为0<ω≤1，当k ＝0时，14≤ω≤58，当k ＝－1时，0<ω≤18，所以ω∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，58.故选D.规律方法由三角函数的性质求解参数，首先将解析式化简，利用对称性、奇偶性或单调性得到含有参数的表达式，进而求出参数的值或范围.训练2 (1)(2022·广州调研)若函数f (x )＝12cos ωx －32sin ωx (ω>0)在[0，π]内的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则ω的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，43 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，43 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 D.(0，1](2)(2022·石家庄质检)将函数f (x )＝sin 4x ＋cos 4x 的图象向左平移π8个单位长度后，得到g (x )的图象，若函数y ＝g (ωx )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递减，则正数ω的最大值为( ) A.12 B.1 C.32D.23答案 (1)A (2)A解析 (1)f (x )＝12cos ωx －32sin ωx ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，当x ∈[0，π]时，π3≤ωx ＋π3≤ωπ＋π3.又f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，所以π≤ωπ＋π3≤5π3，解得23≤ω≤43，故ω的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，43.(2)依题意，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos 2x 22＝1＋cos 22x 2＝3＋cos 4x4，其图象向左平移π8个单位长度得到g (x )＝34＋14cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＝34＋14cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π2＝34－14sin 4x 的图象，故g (ωx )＝34－14sin(4ωx ).令－π2＋2k π≤4ωx ≤π2＋2k π，k ∈Z ，由于ω>0，得－π8＋k π2ω≤x ≤π8＋k π2ω，k ∈Z .由于函数g (ωx )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递减，故⎩⎪⎨⎪⎧－π8＋k π2ω≤－π12，π8＋k π2ω≥π4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω≤32－6k ，ω≤12＋2k ，k ∈Z ，所以当k ＝0时，ω＝12为正数ω的最大值. 热点三三角形中有关量的最值或范围三角形中的最值、范围问题的解题策略(1)定基本量：根据题意画出图形，找出三角形中的边、角，利用正弦、余弦定理求出相关的边、角，并选择边、角作为基本量，确定基本量的范围.(2)构建函数：根据正弦、余弦定理或三角恒等变换，将所求范围的变量表示成函数形式.(3)求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求函数的最值.例5 (2022·滨州二模)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知6cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A ＋cos A ＝5.(1)求A 的大小；(2)若a ＝2，求b 2＋c 2的取值范围. 解 (1)由已知得6sin 2A ＋cos A ＝5，整理得6cos 2A －cos A －1＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－13.又A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos A ＝12，即A ＝π3.(2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 及a ＝2，A ＝π3得4＝b 2＋c 2－bc ，即b 2＋c 2＝4＋bc ，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝232＝433，即b ＝433sin B ，c ＝433sin C ，又C ＝2π3－B ，所以bc ＝163sin B sin C ＝163sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B＝833sin B ·cos B ＋83sin 2B ＝433sin 2B －43cos 2B ＋43＝83sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋43，又由⎩⎪⎨⎪⎧0<B <π2，0<23π－B <π2，解得π6<B <π2，所以π6<2B －π6<56π，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，所以bc ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤83，4，所以b 2＋c 2＝4＋bc ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤203，8.易错提醒求解三角形中的最值、范围问题的注意点(1)涉及求范围的问题，一定要搞清楚变量的范围，若已知边的范围，求角的范围可以利用余弦定理进行转化.(2)注意题目中的隐含条件，如A ＋B ＋C ＝π，0<A <π，|b －c |<a <b ＋c ，三角形中大边对大角等.训练3 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知S ＝34(b 2＋c 2－a 2)，a ＝4. (1)求角A 的大小.(2)求△ABC 周长的取值范围.解 (1)由S ＝34(b 2＋c 2－a 2)，得12bc sin A ＝34(b 2＋c 2－a 2)＝34×2bc cos A ，整理得tan A ＝3，因为A ∈(0，π), 所以A ＝π3.(2)设△ABC 的周长为L ，因为a ＝4，A ＝π3，由余弦定理得：42＝b 2＋c 2－2bc cos π3，即42＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－3⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＝14(b ＋c )2，所以b ＋c ≤8，又b ＋c >a ＝4，所以L ＝a ＋b ＋c ∈(8，12].一、基本技能练1.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象关于直线x ＝π3对称，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0，则ω的最小值为( ) A.2 B.4 C.6 D.8答案 A解析函数f (x )的周期T ≤4⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，则2πω≤π，解得ω≥2，故ω的最小值为2.2.将函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π3个单位长度，得到的函数为奇函数，则|φ|的最小值为( ) A.π12 B.π6 C.π3 D.5π6答案 B解析将函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π3个单位长度，得到图象的函数解析式为y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＋φ，此函数为奇函数，所以－2π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，解得φ＝7π6＋k π(k ∈Z )，则当k ＝－1时，|φ|取得最小值π6.3.(2022·海南模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin A ＋2c sin C ＝2b sin C cos A ，则角A 的最大值为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.2π3 答案 A解析因为a sin A ＋2c sin C ＝2b sin C cos A ，由正弦定理可得，a 2＋2c 2＝2bc cos A ，① 由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，② ①＋②得2a 2＝b 2－c 2，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝b 2＋c 2－12（b 2－c 2）2bc ＝b 2＋3c 24bc ≥23bc 4bc ＝32(当且仅当b ＝3c 时取等号)，所以角A 的最大值为π6.4.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a －c b ＝cos Ccos B ，b ＝4，则△ABC 的面积的最大值为( ) A.4 3 B.2 3 C.2 D.3答案 A解析 ∵在△ABC 中，2a －c b ＝cos Ccos B ， ∴(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理，得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，整理得sin(B ＋C )＝2sin A cos B ， ∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0. ∴cos B ＝12，即B ＝π3，由余弦定理可得16＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac ， ∴ac ≤16，当且仅当a ＝c 时取等号， ∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝34ac ≤4 3. 即△ABC 的面积的最大值为4 3.5.(2022·湘潭三模)若函数f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6在(0，α)上恰有2个零点，则α的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，4π3 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤5π6，4π3 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π3，8π3 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤5π3，8π3 答案 B解析由题意，函数f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，因为0<x <α，所以π3<2x ＋π3<2α＋π3，又由f (x )在(0，α)上恰有2个零点，所以2π<2α＋π3≤3π，解得5π6<α≤4π3，所以α的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤5π6，4π3.故选B.6.已知函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω＞0)的最小正周期为π，且对x ∈R ，f (x )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3恒成立，若函数y ＝f (x )在[0，a ]上单调递减，则a 的最大值是( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6答案 B解析因为函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的最小正周期为π，所以ω＝2ππ＝2，又对x ∈R ，都有f (x )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以函数f (x )在x ＝π3时取得最小值，则2π3＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ，即φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，所以f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令2k π≤2x ＋π3≤π＋2k π，k ∈Z ，解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，则函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递减，故a 的最大值是π3，故选B.7.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是________.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞解析 x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，因为ω>0，－π3ω≤ωx ≤π4ω，由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥32，故ω取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.8.已知函数f (x )＝cos ωx ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)在[0，π]上恰有一个最大值点和两个零点，则ω的取值范围是________. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，136解析函数f (x )＝cos ωx ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，由x ∈[0，π]，得ωx ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，ωπ＋π3. 又f (x )在[0，π]上恰有一个最大值点和两个零点，则2π≤ωπ＋π3<52π，解得53≤ω<136.9.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的角平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________. 答案 9解析因为∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，所以∠ABD ＝∠CBD ＝60°，由三角形的面积公式可得12ac sin 120°＝12a ×1·sin 60°＋12c ·1·sin 60°，化简得ac ＝a ＋c ，又a >0，c >0，所以1a ＋1c ＝1，则4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c ≥5＋2c a ·4ac ＝9，当且仅当c ＝2a 时取等号，故4a ＋c 的最小值为9.10.已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A ≠π2，c ＋b cos A －a cos B ＝2a cos A ，则ba ＝________；内角B 的取值范围是________. 答案 22⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4 解析由c ＋b cos A －a cos B ＝2a cos A 结合正弦定理得sin C ＋sin B cos A －sin A cos B ＝2sin A cos A ，即sin(A ＋B )＋sin B cos A －sin A cos B ＝2sin A cos A ，化简得2sin B cos A ＝2sin A cos A . 因为A ≠π2，所以cos A ≠0，则2sin B ＝2sin A ，所以b a ＝sin B sin A ＝22，则由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2b 2＋c 2－b 222bc ＝b 2＋c 222bc ≥2bc 22bc ＝22，当且仅当b ＝c 时等号成立，解得0＜B ≤π4.11.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A ，且B 为钝角. (1)证明：B －A ＝π2；(2)求sin A ＋sin C 的取值范围. (1)证明由a ＝b tan A 及正弦定理，得sin A cos A ＝a b ＝sin A sin B ，所以sin B ＝cos A ，即sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A .又B 为钝角，因此π2＋A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，故B ＝π2＋A ，即B －A ＝π2.(2)解由(1)知，C ＝π－(A ＋B )＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π2＝π2－2A >0，所以A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，于是sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2A ＝sin A ＋cos 2A ＝－2sin 2A ＋sin A ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98.因为0<A <π4，所以0<sin A <22，因此22<－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98≤98.由此可知sin A ＋sin C 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤22，98.12.已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，b ＝(－sin x ，3sin x )，f (x )＝a ·b . (1)求函数f (x )的最小正周期及f (x )的最大值；(2)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，a ＝23，求△ABC 面积的最大值并说明此时△ABC 的形状. 解 (1)由已知得a ＝(－sin x ，cos x )，又b ＝(－sin x ，3sin x )，则f (x )＝a ·b ＝sin 2x ＋3sin x cos x＝12(1－cos 2x )＋32sin 2x＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，当2x －π6＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝π3＋k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值32. (2)在锐角△ABC 中，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＋12＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12，所以A ＝π3.因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以12＝b 2＋c 2－bc ，所以b 2＋c 2＝bc ＋12≥2bc ，所以bc ≤12(当且仅当b ＝c ＝23时等号成立)，此时△ABC 为等边三角形， S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤3 3.所以当△ABC 为等边三角形时面积取最大值3 3. 二、创新拓展练13.设锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝2A ，则b 的取值范围为( ) A.(2，3) B.(1，3) C.(2，2) D.(0，2)答案 A 解析 ∵B ＝2A ，∴sin B ＝sin 2A ＝2sin A cos A .∵a ＝1，∴b ＝2a cos A ＝2cos A . 又△ABC 为锐角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<2A <π2，0<A <π2，0<π－3A <π2，∴π6<A <π4， ∴22<cos A <32，即2<2cos A <3，故选A.14.(多选)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，已知f (x )在[0，2π]上有且仅有3个极小值点，则( )A.f (x )在(0，2π)上有且仅有5个零点B.f (x )在(0，2π)上有且仅有2个极大值点C.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6上单调递减D.ω的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫73，103答案 CD解析因为x ∈[0，2π]，所以ωx ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2πω＋π3. 设t ＝ωx ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2πω＋π3，画出y ＝cos t 的图象如图所示.由图象可知，若f (x )在[0，2π]上有且仅有3个极小值点，则5π≤ 2πω＋π3<7π，解得73≤ω<103，故D 正确；故f (x )在(0，2π)上可能有5，6或7个零点，故A 错误；f (x )在(0，2π)上可能有2或3个极大值点，故B 错误；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6时，ωx ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π6ω＋π3. 因为73≤ω<103，所以13π18≤π6ω＋π3<8π9，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6上单调递减，故C 正确. 15.(多选)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝6，记S 为△ABC 的面积，则下列说法正确的是( )A.若C ＝π3，则S 有最大值93B.若A ＝π6，a ＝23，则S 有最小值33C.若a ＝2b ，则cos C 有最小值0D.若a ＋b ＝10，则sin C 有最大值2425答案 ABD解析对于选项A ，对角C 由余弦定理得36＝c 2＝a 2＋b 2－ab ≥2ab －ab ＝ab ，因此，S ＝12ab sin C ＝34ab ≤93，当且仅当a ＝b ＝6时取等号，故A 正确；对于选项B ，对角A 用余弦定理得12＝a 2＝c 2＋b 2－3bc ＝36＋b 2－63b ，解得b ＝23或b ＝43，因此，S ＝12bc sin A ＝32b ≥33，当且仅当b ＝23时取等号，故B 正确.对于选项C ，若a ＝2b ，由三边关系可得a －b ＝b <c ＝6<a ＋b ＝3b ⇒2<b <6，此时，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝5b 2－364b 2＝54－9b 2∈(－1，1)，故C 错误.对于选项D ，若a ＋b ＝10，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝（a ＋b ）2－c 2－2ab 2ab＝32ab －1，又ab ≤（a ＋b ）24＝25，当且仅当a ＝b ＝5时取等号，∴cos C ＝32ab －1≥725⇒sin C ＝1－cos 2 C ≤2425，故D 正确，故选ABD. 16.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2c ＝a (b 2＋c 2－a 2).(1)若A ＝π3，求B 的大小；(2)若a ≠c ，求c －3b a 的最小值.解 (1)因为b 2c ＝a (b 2＋c 2－a 2)，所以由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a .因为A ＝π3，所以b 2a ＝12，即a ＝b ，所以B ＝A ＝π3.(2)由(1)及正弦定理得cos A ＝sin B 2sin A ，即sin B ＝2sin A cos A ＝sin 2A ，所以B ＝2A 或B ＋2A ＝π.当B ＋2A ＝π时，A ＝C ，与a ≠c 矛盾，故舍去，所以B ＝2A .c －3b a ＝sin C －3sin B sin A＝sin （A ＋B ）－3sin B sin A＝sin A cos B ＋cos A sin B －3sin B sin A＝cos B ＋（cos A －3）sin 2A sin A＝cos 2A ＋2(cos A －3)·cos A ＝4cos 2 A －6cos A －1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A －342－134. 因为C ＝π－A －B ＝π－3A >0，即A <π3，所以cos A >12，所以当cos A ＝34时，c －3b a 有最小值－134.。

三角函数最值与值域专题

三角函数最值与值域专题三角函数的最值问题是高考的一个重要内容,要求掌握求三角函数最值的常见方法。

类型一：利用1cos 1sin ,≤≤x x 这一有界性求最值。

例1：求函数x x y sin 21sin --=的值域。

解：由x x y sin 21sin --=变形为(1)sin 21y x y +=+，知1y ≠-，则有21sin 1y x y +=+，21|sin |||11y x y +=≤+22221||1(21)(1)1y y y y +⇒≤⇒+≤++203y ⇒-≤≤，则此函数的值域是2[,0]3y ∈-例2,若函数cos y a x b =+的最大值是1，最小值是7-，求a,b 0,1,7430,1,74,3a ab a b a b a a b a b a b >+=-+=-⇒==-<-+=+=-⇒=-=-，练习：1，求函数1cos 3cos xy x-=+的值域 3][1-∞-∞ （，，+）2,函数x y sin =的定义域为[a ，b]，值域为]21,1[-，则b-a 的最大值和最小值之和为bA ．34πB ．π2C ．38π D ．π4类型二：x b x a y cos sin +=型。

此类型通常可以可化为sin cos )y a x b x x ϕ=+=+求其最值（或值域）。

例1：求函数3sin 4cos ,(0,)2y x x x π=+∈的最值。

解：343sin 4cos 5sin(),cos ,sin 55(,),(3,5]2y x x x x y ϕϕϕπϕϕϕ=+=+==+∈+∈2,求函数)3sin()6sin(ππ++-=x x y （R x ∈）的最值。

解法:)12sin(2]4)6sin[(2)6cos()6sin(πππππ+=+-=-+-=x x x x y ，∴函数的最大值为2，最小值为2-。

练习：1,函数y=3sin(x+20°) +5sin(x+80°)的最大值是：（ c ） A 、215B 、216C 、7 D 、82,已知函数x x f 2sin )(=，)62cos()(π+=x x g ，直线x ＝t （t ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π）与函数f (x )、g (x )的图像分别交于M 、N 两点，则|MN |的最类型三：)0(sin sin 2≠++=a c x b x a y 型。

函数的值域(内含答案)

【高中数学专题训练之___】函数的值域一、要点梳理1、值域: 函数值的取值范围叫做函数的值域，函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域.2、常见函数的值域：（1）一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.（2）二次函数()20y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，当0a <时的值域为24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦. （3）反比例函数()0ky k x=≠的值域为{}0y R y ∈≠. （4）指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. （5）对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R. （6）正，余弦函数的值域为[]1,1-，正切函数的值域为R.（7）,(0)ky x x x=+≠在 0k >时的值域为(),,k ⎡-∞+∞⎣，在0k <时的值域为R3、求解函数值域问题常用方法（1）单调性法（2）换元法（3）分离系数法（4）数形结合法（5）判别式法（6）有界法二、习题精练方法一、函数单调性法 1、求函数y =+-25x log31-x （2≤x≤10）的值域解：令y 1=25-x ，2y =log31-x ，则 y 1 ， 2y 在[ 2， 10 ]上都是增函数。

所以y= y 1 +2y 在[ 2 ，10 ]上是增函数。

当x = 2 时，y m in = 32-+log312-=81，当x = 10 时，max y = 52+log39=33。

故所求函数的值域为：[81，33]。

2、求函数y=1+x -1-x 的值域。

解：原函数可化为： y=112-++x x令y 1 =1+x ，2y = 1-x ，显然y 1 ，2y 在[1，+∞）上为无上界的增函数，所以y= y 1 +2y 在[1，+∞）上也为无上界的增函数。

专题研究三角函数的值域与最值(含答案)

专题研究三角函数的值域与最值题型一 y=Asin(ωx+φ)+B 型的最值问题例1 (2014·天津理)已知函数f (x )＝cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值．【解析】 (1)由已知，有f (x )＝cos x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34 ＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin2x －34(1＋cos2x )＋34 ＝14sin2x －34cos2x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上是增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝14. 所以函数f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.探究1 化为y ＝Asin(ωx ＋φ)＋B 的形式求最值时，特别注意自变量的取值范围对最大值、最小值的影响，可通过比较闭区间端点的取值与最高点、最低点的取值来确定函数的最值．思考题1(1)(2013·新课标全国Ⅰ)设当x ＝θ时，函数f(x)＝sinx －2cosx 取得最大值，则cos θ＝________.【解析】由辅助角公式，得f (x )＝5·(55sin x －255cos x )＝5sin(x －φ)，其中sin φ＝255，cos φ＝55.由x ＝θ时，f (x )取得最大值sin(θ－φ)＝1，∴θ－φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即θ＝φ＋π2＋2k π，∴cos θ＝cos(φ＋π2)＝－sin φ＝－255.(2)求f(x)＝3sinx ＋4cosx ，x ∈[0，π]的值域．【解析】 f (x )＝3sin x ＋4cos x ＝5(35sin x ＋45cos x )＝5sin(x ＋φ)，其中cos φ＝35，sin φ＝45，0<φ<π2. ∵0≤x ≤π，∴φ≤x ＋φ≤π＋φ.∴当x ＋φ＝π2时，f (x )max ＝5；当x ＋φ＝π＋φ时，f (x )min ＝5sin(π＋φ)＝－5sin φ＝－4. ∴f (x )的值域为[－4,5]．(3)设函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＋m (x ∈R )．①化简函数f (x )的表达式，并求函数f (x )的最小正周期；②若x ∈[0，π2]，是否存在实数m ，使函数f (x )的值域恰为[12，72]？若存在，请求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解析】 ①∵f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＋m ＝1＋cos2x ＋3sin2x ＋m ＝2sin(2x ＋π6)＋m ＋1， ∴函数f (x )的最小正周期T ＝π.②假设存在实数m 符合题意．∵x ∈[0，π2]， ∴π6≤2x ＋π6≤7π6，∴sin(2x ＋π6)∈[－12，1]． ∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋m ＋1∈[m,3＋m ]．又∵f (x )∈[12，72]，解得m ＝12，∴存在实数m ＝12，使函数f (x )的值域恰为[12，72]．题型二可化为y=f(sinx)型的值域问题例2 (1)求f(x)＝cos2x ＋asinx 的最小值．【解析】 f (x )＝1－sin 2x ＋a sin x ，令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，∴y ＝－t 2＋at ＋1＝－(t －a 2)2＋1＋a 24.当a >0时，t ＝－1时，y 取最小值，y min ＝－a ；当a ≤0时，t ＝1时，y 取最小值，y min ＝a .(2)求函数y ＝sinx ＋cosx ＋sinxcosx 的值域．【解析】令t ＝sin x ＋cos x ，则有t 2＝1＋2sin x cos x ，即sin x cos x ＝t 2－12.∴y ＝f (t )＝t ＋t 2－12＝12(t ＋1)2－1. 又t ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)， ∴－2≤t ≤ 2.故y ＝f (t )＝12(t ＋1)2－1(－2≤t ≤2)．从而知f (－1)≤y ≤f (2)，即－1≤y ≤2＋12.则函数的值域为[－1，2＋12]．探究2 可化为y ＝f(sinx)型三角函数的最值或值域也可通过换元法转为其他函数的最值或值域．思考题2(1)求函数y ＝sin2x sin x1－cos x的值域．【解析】 ∵y ＝2sin x cos x sin x 1－cos x ＝2cos x (1－cos 2x )1－cos x＝2cos 2x ＋2cos x ＝2(cos x ＋12)2－12，于是当且仅当cos x ＝1时，y max ＝4. 但cos x ≠1，∴y <4.且y min ＝－12，当且仅当cos x ＝－12时取得．故函数值域为[－12，4)．(2)求函数y ＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos2x 的值域．【解析】原函数可化为y ＝6cos 4x －5cos 2x ＋1cos2x ＝(2cos 2x －1)(3cos 2x －1)cos2x .∴y ＝3cos 2x －1，(cos 2x ≠12)． ∴－1≤y ≤2，且y ≠12.题型三数形结合求三角函数的值域例3 (1)求函数f (x )＝2－sin x2＋cos x的值域．(2)已知f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |，求f (x )的值域．【解析】 (1)函数f (x )＝2－sin x2＋cos x，可看作点(2,2)，(－cos x ，sin x )两点连线的斜率．点(－cos x ，sin x )的轨迹为x 2＋y 2＝1.函数值域即为(2,2)与单位圆x 2＋y 2＝1上点连线斜率的范围，由图可知，过(2,2)且与单位圆相切的斜率存在，不妨设为k .∴切线方程为y －2＝k (x －2)，即kx －y －2k ＋2＝0. ∴满足|2－2k |1＋k2＝1，解之得k ＝4±73. ∴函数f (x )的值域为[4－73，4＋73]．(2)f (x )＝⎩⎨⎧sin x (sin x ≤cos x )，cos x (sin x >cos x ).作出图像，由图像知，－1≤y ≤22.探究3 借助一些代数式的几何意义或三角函数的图像可直观地求出函数的值域，从而减少运算量．思考题3求y ＝1＋sin x 3＋cos x的值域．【解析】 1＋sin x3＋cos x 可理解为点P (－cos x ，－sin x )与点C (3,1)连线的斜率，点P (－cos x ，－sin x )在单位圆上，如图所示．故t ＝1＋sin x3＋cos x满足k CA ≤t ≤k CB ，设过点C (3,1)的直线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.由原点到直线的距离不大于半径1，得|1－3k |k 2＋1≤1，解得0≤k ≤34.从而值域为[0，34]．专题总结1．三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的值域.2.求三角函数的值域或最值一般情况下先化简整理，其整理目标为 ①y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 型；②y ＝f (sin x )型． 3．－a 2＋b 2≤a sin x ＋b cos x ≤a 2＋b 2.4．求三角函数的值域或最值应结合函数的图像、周期、单调性． 5．利用导数求三角函数的值域和最值．6．y ＝a sin x ＋b c cos x ＋d型．(1)转化为A sin x ＋B cos x ＝C 型． (2)利用直线的斜率求解．7．求三角函数值域或最值时应注意运用换元法，将复杂函数转化为简单函数．题组快练1．函数y ＝cos(x ＋π6)，x ∈[0，π2]的值域是( )A ．(－32，12] B ．[－12，32]C ．[12，32]D ．[－32，－12] 答案 B解析 x ∈[0，π2]，x ＋π6∈[π6，23π]，∴y ∈[－12，32]．2．如果|x |≤π4，那么函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值是( )A.2－12B ．－2＋12C ．－1 D.1－22答案 D解析 f (x )＝－sin 2x ＋sin x ＋1＝－(sin x －12)2＋54，当sin x ＝－22时，有最小值，y min ＝24－22＝1－22. 3．函数f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)的值域为( )A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D ．[－32，32] 答案 B解析 ∵f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝32sin x －32cos x ＝3sin(x －π6)，∴f (x )的值域为[－3，3]．4．函数y ＝2sin(πx 6－π3)(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3 答案 A解析当0≤x ≤9时，－π3≤πx 6－π3≤7π6，－32≤sin(πx 6－π3)≤1，所以函数的最大值为2，最小值为－3，其和为2－ 3.5．函数y ＝sin x ＋sin|x |的值域是( ) A ．[－1,1] B ．[－2,2] C ．[0,2] D ．[0,1] 答案 B解析当x ＞0时，y ＝2sin x ，y ∈[－2,2]，x ≤0时，y ＝0. 6．函数y ＝12sin(2x ＋π6)＋5sin(π3－2x )的最大值是( )A ．6＋532B ．17C ．13D ．12答案 C解析 y ＝12sin(2x ＋π6)＋5cos[π2－(π3－2x )]＝12sin(2x ＋π6)＋5cos(2x ＋π6)＝13sin(2x ＋π6＋φ)，故选C.7．当0＜x ＜π4时，函数f (x )＝cos 2xcos x sin x －sin 2x 的最小值是( )A.14 B.12 C ．2 D ．4答案 D解析 f (x )＝1－tan 2x ＋tan x＝1－(tan x －12)2＋14，当tan x ＝12时，f (x )的最小值为4，故选D.8．已知f (x )＝sin x ＋1sin x ，x ∈(0，π)．下列结论正确的是( )A ．有最大值无最小值B ．有最小值无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值答案 B解析令t ＝sin x ，t ∈(0,1]，则y ＝1＋1t ，t ∈(0,1]是一个减函数，则f (x )只有最小值而无最大值．另外还可通过y ＝1＋1sin x ，得出sin x ＝1y －1，由sin x ∈(0,1]也可求出，故选B.9．若函数y ＝sin 2x ＋2cos x 在区间[－23π，α]上最小值为－14，则α的取值范围是________．答案 (－2π3，2π3]解析 y ＝2－(cos x －1)2，当x ＝－23π时，y ＝－14，根据函数的对称性x ∈(－2π3，2π3]．10．(2014·新课标全国Ⅱ理)函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．答案 1解析 f (x )＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ＝sin(x ＋φ－φ)＝sin x ，因为x ∈R ，所以f (x )的最大值为1.11．若函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2－2cos 2x －m 在[0，π2]上有零点，则实数m 的取值范围是________．答案 [－1，2]解析 f (x )＝1＋2sin x cos x －2cos 2x －m ＝0有解，x ∈[0，π2]．即sin2x －cos2x ＝m 有解．2sin(2x －π4)＝m 有解．∵x ∈[0，π2]，∴2x －π4∈[－π4，3π4]．∴2sin(2x －π4)∈[－1，2]．12．函数y ＝1sin 2x ＋2cos 2x 的最小值是________．答案 3＋2 2解析 y ＝1sin 2x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x sin 2x ＋2sin 2x ＋2cos 2x cos 2x ＝3＋cos 2x sin 2x ＋2sin 2xcos 2x ≥3＋22，∴y min ＝3＋2 2.13．(2015·湖北武汉调研)已知函数f (x )＝3sin2x ＋2cos 2x ＋m 在区间[0，π2]上的最大值为3，则：(1)m ＝________；(2)对任意a ∈R ，f (x )在[a ，a ＋20π]上的零点个数为________．答案 (1)0 (2)40或41解析 (1)f (x )＝3sin2x ＋2cos 2x ＋m ＝3sin2x ＋1＋cos2x ＋m ＝2sin(2x ＋π6)＋m ＋1，因为0≤x ≤π2，所以π6≤2x ＋π6≤7π6.所以－12≤sin(2x ＋π6)≤1，f (x )max ＝2＋m ＋1＝3＋m ＝3，所以m ＝0.(2)由(1)f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋1，T ＝2π2＝π，在区间[a ，a ＋20π]上有20个周期，故零点个数为40或41. 14．已知函数f (x )＝cos(π3＋x )cos(π3－x )，g (x )＝12sin2x －14.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值的x 的集合．答案 (1)π (2)22 {x |x ＝k π－π8，k ∈Z } 解析 (1)f (x )＝cos(π3＋x )cos(π3－x )＝(12cos x －32sin x )(12cos x ＋32sin x )＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos2x 8－3－3cos2x 8＝12cos2x －14， ∴f (x )的最小正周期为2π2＝π.(2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos2x －12sin2x ＝22cos(2x ＋π4)，当2x ＋π4＝2k π(k ∈Z )时，h (x )取得最大值22.h (x )取得最大值时，对应的x 的集合为{x |x ＝k π－π8，k ∈Z }．15．(2015·江西百强中学月考)设函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x ＋a . (1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)当x ∈[－π6，π3]时，函数f (x )的最大值与最小值的和为32，求实数a 的值．答案 (1)T ＝π，[－π3＋k π，π6＋k π](k ∈Z )(2)a ＝0解析 (1)∵f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x ＋a ＝32sin2x ＋12(1＋cos2x )＋a ＝32sin2x ＋12cos2x ＋a ＋12＝sin(2x ＋π6)＋a ＋12，∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z )．故函数f (x )的单调递增区间为[－π3＋k π，π6＋k π](k ∈Z )．(2)∵－π6≤x ≤π3，∴－π6≤2x ＋π6≤5π6.当2x ＋π6＝－π6时，函数f (x )取最小值，即f (x )min ＝－12＋a ＋12＝a ；当2x ＋π6＝π2时，函数f (x )取最大值，即f (x )max ＝1＋a ＋12＝a ＋32.∴a ＋a ＋32＝32，∴a ＝0.16．(2014·江西)已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)当a ＝2，θ＝π4时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值．答案 (1)最大值为22，最小值为－1 (2)a ＝－1，θ＝－π6解析 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 ＝22(sin x ＋cos x )－2sin x ＝22cos x －22sin x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－x . 因为x ∈[0，π]，所以π4－x ∈⎣⎡⎦⎤－3π4，π4. 故f (x )在[0，π]上的最大值为22，最小值为－1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，f (π)＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ(1－2a sin θ)＝0，2a sin 2θ－sin θ－a ＝1. 由θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2知cos θ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，θ＝－π6.。

高考微专题解三角形之求最值(值域)问题归纳总结

解三角形之求最值（值域）问题一、高考考点： 1.构建三角函数求值域例1.（1）已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，23C π＝，求()cos2cos A A B +-的取值范围．【详解】因所以()3cos2cos =cos2cos 2cos232A A B A A A A π⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭23A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 又0,2333A A ππππ<<∴<+<(203A π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭（2）已知锐角△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3A π＝，求b ca+的取值范围．【详解】由正弦定理得：sin sin sin b c B Ca A ++=, 因为A B C π++=，且3A π=，所以23C B π=-代入上式化简得：23sin sin sin cos 36222sin sin sin sin 6B B B B B b c B a A A A πππ⎛⎫⎛⎫+-++ ⎪ ⎪+⎛⎫⎝⎭⎝⎭====+ ⎪⎝⎭，又ABC ∆所以2363B πππ<+<，则有sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭2b c a +<≤. 例2. （1）已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，=C 2A ，求()cos2cos A A B +-的取值范围．【详解】因为C =2A A+B+C =,B =3A ππ-，，所以()()cos cos2A+cos A B =cos2A+cos +4A =cos2A+4A π--2=2cos 2cos 21A A -++又02A <<（2）在锐角ABC ∆中，已知2A B =，,a b 分别为角,A B 的对边，则ab的取值范围是__________．【解析】锐角ABC ∆中， 2A B =， ()3C A B B ππ∴=-+=-，可得cos 64B B ππ<<<<2sin sin sin22cos 2sin sin sin a R A A B B b R B B B ====∈.例3.（1）已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3B π＝，b=2，求边长a 的取值范围.【详解】，即a 的取值范围为（2）在三角形ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c，且,3A a π==，求2b c -的取值范围.【详解】,3A a π==2sin sin sin 2b c aB C A====，所以22sin ,2sin 2sin(),033b Bc C B B ππ===+<<， 24sin 2sin()3sin 3b c B B B B π-=-+=-∴1cos ))26B B B π=-=-，210,,sin()1366226B B B πππππ<<∴-<-<-<-<，2b c -<， ∴2b c -的取值范围是(.（3）在锐角ABC ∆中，内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ，c ABC ∆的周长的取值范围.【详解】ABC ∆外接圆半径r ，22a r sinA===，∵1r =.∵()2b c r sinB sinC +=+223sinB sin B π⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 6B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∵62B ππ<<，∵2363B πππ<+<，∵6sin B π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，∵(b c +∈， ∵ABC ∆周长的取值范围是(3+.例4.（1）已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3A π=，2b =，且43B ππ≤≤，求边a 的取值范围.【详解】∵2,3b A π==∵43B ππ≤≤，，即a 的取值范围为（2）△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3A π=，2b =，且43B ππ≤≤，求边c 的取值范围.【详解】∵2,3b A π==，由正弦定理有sin sin b cB C=，∵22sin 2sin 311sin sin B C c B B π⎛⎫- ⎪⎝⎭==+=， ∵43B ππ≤≤，∵21c ≤≤，即c的取值范围为1⎡⎤⎣⎦.练习：1．在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b cS 为ABC ∆的面积，求cos S A C +的取值范围.【详解】由正弦定理sin sin b c B C=得114sin 4sin sin sin 22sin 4S bc A A C A C π==⋅⋅=()324S AcosC A C A π⎛⎫∴+=-=-⎪⎝⎭，在ABC ∆得3,82A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 320,44A ππ⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭，3cos 24A π⎫⎛⎫∴-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，(S AcosC ∴+∈. 2．已知,,a b c 分别是锐角ABC ∆的内角A ， B ， C 的对边，且2b =，()24c a a -=-，则sin 2cos A C -的取值范围是________.【解析】由题得222b c a -=，即222a cb +-=，则222cos 2a c b B ac +-==，所以6B π=，32A ππ<<，因为()1sin 2cos sin 2cos sin 2sin 2A C A B A A A A A ⎫-=++=+-⎪⎪⎝⎭，所以0A <<，故sinA 2cosC -的取值范围为⎛ ⎝⎭，故答案为⎛ ⎝⎭. 3．在ABC ∆中，三个内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，a = cos,sin 22A A m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且1=2m n ⋅，则b c +的取值范围为__________．【解析】∵cos ,sin 22A A m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且1=2m n ⋅，∵221sin cos 222A A -=， ∵221cossin cos 222A A A -==-,∵23A π=．在ABC ∆中，由正弦定理得4sin sin sin b c aB C A===， ∵4sin ,4sin b B c C ==，∵4sin 4sin 4sin 4sin 3b c B C B B π⎛⎫+=+=+-⎪⎝⎭ 4sin 3B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∵03B π<<，∵2333B πππ<+<，∴4sin 43B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭．∵b c +的取值范围为(4⎤⎦． 4．已知,,a b c 分别为锐角ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边， 2a =，且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆周长的取值范围为__________．【解析】由已知及正弦定理得()()()a b a b c b c +-=-，整理得222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，又0A π<<，∴3A π=．由正弦定理得sin sin sin 3b c a B C A ===，∴三角形的周长为24sin 26a b c B C B π⎛⎫++==++ ⎪⎝⎭，∵,62B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin 6B π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦．∴ABC ∆周长的取值范围为周长的取值范围为(2⎤+⎦．2.利用不等式求最值：例1. （1）在ABC ∆中，三内角A B C 、、对应的边分别为a b c 、、，且1,6a A π==，求ABC ∆面积最大值．【详解】∵1a =， 6A π=．∵由余弦定理可得： 2222cos a b c bc A =+-.即(22122b c bc bc =+≥=，所以bc ≤（当且仅当1b c ==时等号成立）∵111sin222ABC S bc A =≤=，（当且仅当1b c ==时等号成立），即ABC ∆．（2）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 3A π=，则ABC ∆周长的取值范围为（）．3A π=，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，所以2212b c bc =+-= ()()223b c bc b c +-≥+ ()()223144b c b c -+=+，当且仅当b c =时等号成立．∵()248b c +≤，∵b c +≤ABC ∆ （3）已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若6a b +=且3C π=，则ABC 的周长的取值范围为（）A ．[)9,12B ．()6,12C ．(]6,9D ．()9,12【详解】因为3C π=，所以()2222222cos33c a b ab a b ab a b ab π=+-=+-=+-，由基本不等式可得()()()()2222233944a b a b c a b ab a b ++=+-≥+-==，当且仅当a b =时，等号成立，此时3c ≥，由三角形三边关系可得6c a b <+=，所以36c ≤<，则912a b c ≤++<，所以，ABC 的周长的取值范围为[)9,12.故选：A.例2.已知锐角三角形的边长分别为1，3， a ，则a 的取值范围是__________．【解析】由三角形中三边关系及余弦定理可得a 应满足22222222224130 130310a a a a <<+->+->+->⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得a << ∵实数a的取值范围是(．练习：1.在ABC ∆中，三个内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，a =， 23A π=，则b c +的取值范围为__________．，b c =时等号成立．∵()216b c +≤，又0b c +> ∵4b c +≤，b c +的取值范围为(4⎤⎦． 2．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若60B =， ABC ∆，则b 的取值范围是 _________. 【解析】由112222ABC S acsinB ac ∆==⨯=可得2ac =，再由2222accosB b a c =+-可得212ac 2ac ac 22b ≥-⨯==，当且仅当a c ==“=”,∴b 的取值范围是)+∞4．已知a b c 、、是ABC ∆的三边， ()4,4,6,sin2sin a b A C =∈=，则c 的取值范围为__________．【解析】由sin2sin A C =得2sin cos sin A A C =，由正弦定理得2cos a A c =，即cos 2cA a=，∴222cos 22b c a cA bc a+-==，又4a =，∴2164c b =+，∵46b <<，∴23240c <<，即c << 5．设ABC ∆的内角A B C 、、所对的边a b c 、、成等比数列，则b aa b+的取值范围为__________．【解析】ABC ∆的内角A B C 、、所对的边a b c 、、成等比数列，所以2b ac =,有2b c a=.由余弦定理得2222211cosB 12222a c b a c ac a c ac ac c a +-+-⎛⎫===+-≥ ⎪⎝⎭,所以πB 0,3⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 又222222222222211131cosB ()12222222b a b a a c b a b b a ac b b a a b ⎛⎫+- ⎪⎛⎫+-⎡⎫⎝⎭===+-=+-∈ ⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭，,解得b a a b⎡+∈⎣.故答案为：⎡⎣. 8．已知ABC ∆的周长为6，且,,BC CA AB 成等比数列，则BA BC ⋅的取值范围是______．【解析】因为,,BC CA AB 成等比数列，所以622a c bb +-=≤=，从而02b <≤，所以()()22222263cos 32722b b ac bBA BC ac B b --+-⋅====-++，又()()2222,,4a c b a c b a c ac b -<∴-<+-<，即2390b b +->2b <≤，故2BA BC ≤⋅<. 二、高考真题：1．（2020年全国2卷理）ABC 中，sin2A －sin2B －sin2C=sinBsinC ．（1）求A ；（2）若BC=3，求ABC 周长的最大值.【详解】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈，23A π∴=. （2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=，即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号）， ()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号），ABC ∴周长3L AC AB BC =++≤+ABC ∴周长的最大值为3+2．（2019全国3卷文理）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sinsin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．【详解】(1)根据题意sinsin 2A Ca b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sin sin 2A CB +=．因为0<B π<，02AC π+<<，所以2A C B +=或者2A CB π++=，而根据题意A BC π++=，故2A C B π++=不成立，所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B π=，所以3B π=.(2)因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3B π=，又由A B C π++=得到23A C π+=，故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =，由三角形面积公式有222sin()111sin 3sin sin sin 222sin 4sin ABCC a A Sac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅=⋅=22sin cos cos sin 2123133(sin cos )sin 3tan 38tan C C C C C ππππ-==-=+又因,tan 62C C ππ<<>318tan C <+<故82ABCS <<即ABCS 的取值范围是()82。

(求函数值域专题3)：1.求函数值域(三)——单调性法

（求函数值域专题3）：1.求函数值域（三）——单调性法求函数值域时，如果能够先判断函数的单调性，则会对求解带来很大的帮助，同学们要对函数的单调性比较敏感，在做题前先问问自己，能不能判断所求函数的单调性？有没有什么方法去帮助我们做出判断？今天我们就带着这些方法，来学习单调性法求函数值域。

先看例题：1.求函数|1||4|y x x =-++的值域当4x ≤-时，23y x =--为减函数，所以2(4)35y ≥-⨯--=当41x -≤≤时，5y =当1x ≥时，23y x =+为增函数，所以2(1)35y ≤⨯+=所以，函数的值域为[5,)y ∈+∞2.求函数y x =的值域先看定义域，12x ≤可以将函数看成两个函数的和，即y x y ==与的组合我们发现，两个函数都是单调递增，所以原函数也是单调递增。

所以在(,2]-∞时，原函数最大值为1122y = 所以函数的值域为1(,]2y ∈-∞注意：两个单调递增的函数和为单调递增，但乘积不一定是单调递增的。

3.函数2()4[2,6]f x x x x =-+∈的值域为______（注意到如果用换元的方法，最后自变量的次数会很高，不利于求解）所以，我们考虑将它们看成两个函数的和，分别考虑24y x x y =-=与观察到两个函数在定义域[2,6]x ∈上都是递增的，所以原函数在定义域内也是单调递增的。

所以4(2)()(6)14f f x f -=≤≤=所以函数的值域为[4,14]y ∈-总结：如果我们可以判断函数的单调性，那么求函数值域会变得比较容易，只需要考虑端点值。

注意到，两个递增函数，和也是递增函数。

利用这一性质，可以帮助我们判断一类函数的单调性。

注意函数的定义域，有些函数在R 上可能并不单调，但在某一个特定区间内，可能是单调的，合理的使用这些区间，可以给我们解题提供帮助。

练习：1.求函数1ln ,[,5]y x x x e x=+-∈的值域2.2,[2,5]x x x +∈的值域答案：1.观察到：y x =，在定义域内单调递增ln y x =，在定义域内单调递增 1y x=-，在定义域内单调递增所以原函数在定义域内单调递增，所以111()()(5)5ln 55e f e f x f e -+=≤≤=-+ 所以函数的值域为21245ln 5[,]5e e y e +-+∈2.观察到y =2y x x =-，对称轴为12x =，在定义域内单调递增所以原函数在定义域内单调递增，所以3(2)()(5)22f f x f =≤≤= 所以原函数值域为[3,22]y ∈。

高中数学破题致胜微方法(求函数值域专题3)：4.求函数值域(三)——反表示法含解析

反表示法今天我们来学习反表示法求函数值域.借助方程的思想，把函数看做关于x 的方程,利用方程有解的充要条件求出y 的取值范围，同学们要注意体会方程思想，也要注意反表示法与反函数的区别与联系。

先看例题：1。

求函数11x x e y e -=+ 的值域注意到函数定义域为R ，可以进行如下转化,用y 表示x (1)1x x y e e +=-(1)1x e y y -=--注意y =1时方程不成立,所以y ≠1，可将y —1除到等式右边得：11x y e y+=- 因为0x e >，即101y y+>-,解得：11y -<< 所以函数的值域为(1,1)y ∈-注意：我们不必完全写出反函数，只需要能确定出关于y 的函数的取值范围即可.2.函数2211x y x -=+的值域为______22(1)1y x x +=-2221(1)1yx y x y x y +=--=--注意y=1时方程不成立，所以y ≠1，可将y -1除到等式右边得:2101y x y+=≥- (1)(1)0y y +-≤解得11y -≤<所以函数的值域为[1,1)y ∈-总结：用方程思想求函数值域把函数看做关于x 的方程，利用方程有解的充要条件求出y 的取值范围练习：1.求函数21x y x =+的值域2.求函数313x x y =+的值域答案：1。

反表示函数得：22(2)yx y x y x yx x y +=⇒=-=-整理得：2yx y =- ，注意到原函数定义域为x ≠-1,即12y y≠--，注意到y 取任意值,原式值都不会为—1，所以只需2—y ≠0,即y ≠2 所以原函数值域为(,2)(2,)y ∈-∞+∞2.反表示函数得:33x x y y += 整理得：31x yy =-，对于指数函数()3x f x =恒大于0，只需使得0(1)01yy y y >⇔->- 解得：01y <<所以函数值域为:(0,1)y ∈。