08参数估计基础
参数估计
i 1
n
xi 0 0 1 x i n 0 xi e e i 1 ( 0 ) ( 0 )n
n
i 1
n
xi 0
1
ln L( ) n 0 ln n ln ( 0 )
x i ( 0 1)
n 1 n 1 ˆ X i 1 X i 2 k E X i 1 X i 2 E ( 2 ) E k i 1 i 1
2k ( n 1) 2 2
1 k 2( n 1)
19
20
7、如果已知总体X的均值 , 证明总体方差的无偏估计量为
令 E( X ) X
X
(1)
15
E( X 2 )
0
1 x x e dx ( )
1 ( ) 2
x 1e x d x 0
( 2) ( 1) ( ) ( 1) 2 2 ( ) ( ) 2
所以对于已给的置信水平1-α，
的置信区间为
2 S2 n1 1, n2 1 S22 2
S12 12 2 2 F n1 1, n2 1 S 2 2 F
2
1
11
1、 设总体服从几何分布： ( X x ) p(1 p) x 1，x 1， 3 P 2，
X Y 考虑样本函数 T
假设 1 2，求 1 2 的置信区间。
1
2
1 1 sw n1 n2
∴对应于置信水平1- α ， 两个总体均值差 1 2 的置信区间为:
第六章 参数估计
总体均值 在置信度 下的置信区间为： 55000 x z 135000 1 . 96 113440 , 156560 • = 。 n 25 • 即在95%的概率可靠程度下，此次抽样得该地区 企业总经理的年平均收入的置信区间为 （113440，156560）
2
第二节 区间估计
第二节 区间估计
• 点估计的优点是简洁明了，给出了具体的估 计值；缺点是无法提供估计量的精度和概率可靠 程度，这便是区间估计解决的问题。
以下我们从一个实际问题的解决，了解 区间估计的概念。
第二节 区间估计
• 【例6-3】 已知某企业生产的灯管寿命服从 正态分布，现从一大批灯管中随机抽取 n=16只，分别测得寿命（单位：小时）如 下：
• 3510 3450 3480 3460 3520 3496 3490 3460 • 3464 3526 3530 3470 3516 3520 3494 3470
• 在概率可靠程度1-α=95%下，求这批灯管平 均寿命 的区间估计。
第二节 区间估计
• 该例是总体服从正态分布，总体方差未知 ，小样本的情况。 • 此时，可算得总体均值点估计量 x ，样本 标准差s， x t ~ t (n 1) • 对 x 进行标准化，即 ，对于概 s n 率可靠程度 1 ，有： • P t t 2 (n 1) 1 (6.1)
2
n
16
• 即在概率可靠程度95%下，此次抽样得该批灯管 平均寿命的区间估计为（3476.8, 3503.2）小时 之间。
第二节 区间估计
• 一 、区间估计的概念
从例6-3可看出，区间估计就是总体参数θ落 在区间估计量 (ˆ ,ˆ ) 内的概率为1-α，即 ˆ ˆ 1 。称区间 (ˆ ,ˆ ) 为总体参数 P 1 2 θ的置信度为 1 的置信区间。
第四讲参数估计PPT课件
均数 的均 数
4.99
5.00
均数标准差
0.2212 0.1580
5.00 0.0920
n
0.2236 0.1581 0.0913
由表1可见，从同一总体中随机抽取样本含 量n=10的若干样本，各样本算得的样本均 数并不等于相应的总体均数，且各样本均 数也不完全相同。这种由于随机抽样而造 成的来自同一总体的样本均数之间及样本 均数与相应的总体均数之间的差异，称之 为均数的抽样误差。
总体均数可信区间的计算
Hale Waihona Puke 总体均数可信区间的计算 需考虑： （1）总体标准差 是否已知， （2）样本含量n的大小 通常有两类方法： （1）t分布法
（2）u分布法
1. 单一总体均数的可信区间 (1) 未 知 ： 按 t 分 布 。
双 侧 1 可 信 区 间 则 为 ：
X t 2 , S X < X t 2 , S X ( X t S 2 , X , X t 2 , S X )
由于样本均数与相应的总体均数之间存在着 差异，由数理统计推理可知：从正态总体中 随机抽取样本含量为n的样本，每抽取一个 样本可计算一个样本均数，重复100次抽样可 得到100个样本均数。
这些样本均数服从均数为
，方差为
2 x
的正态分布.其中 x 为样本均数的总
体标准差，计算公式为： / n X
2. 两总体均数之差的可信区间: 从相 等，但 不等的两个正态总体 N(1, 2)和 N(2, 2)进行随机抽样。则两总体均数之差
( 1 2 )的双侧1 可信区间为
(X 1X2)t/2,SX1X2
( n 1 1 ) ( n 2 1 ) n 1 n 2 2
S X1X 2
统计学参数估计
统计学参数估计参数估计是统计学中的一个重要概念，它是指在推断统计问题中，通过样本数据对总体参数进行估计的过程。
这一过程是通过样本数据来推断总体参数的未知值，从而进行总体的描述和推断。
在统计学中，参数是指总体的其中一种特征的度量，比如总体均值、总体方差等。
而样本则是从总体中获取的一部分观测值。
参数估计的目标就是基于样本数据来估计总体参数，并给出估计的精确程度，即估计的可信区间或置信区间。
常见的参数估计方法包括点估计和区间估计。
点估计是一种通过单个数值来估计总体参数的方法。
点估计的核心是选择合适的统计量作为估计量，并使用样本数据计算出该统计量的具体值。
常见的点估计方法包括最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是一种寻找参数值，使得样本数据出现的概率最大的方法。
矩估计则是通过样本矩的函数来估计总体矩的方法。
然而，点估计只能提供一个参数的具体值，无法提供该估计值的精确程度。
为了解决这个问题，区间估计被引入。
区间估计是指通过一个区间来估计总体参数的方法。
该区间被称为置信区间或可信区间。
置信区间是在一定置信水平下，总体参数的真值落在该区间内的概率。
置信区间的计算通常涉及到抽样分布、标准误差和分位数等概念。
在实际应用中，参数估计经常用于统计推断、统计检验和决策等环节。
例如，在医学研究中，研究人员可以通过对患者进行抽样调查来估计其中一种药物的有效性和不良反应的发生率。
在市场调研中，市场研究人员可以通过抽取部分样本来估计一些产品的市场份额或宣传效果。
参数估计的准确性和可靠性是统计分析的关键问题。
估计量的方差和偏倚是影响估计准确性的主要因素，通常被称为估计量的精确度和偏倚性。
经典的参数估计要求估计量是无偏且有效的，即估计量的期望值等于真值，并且方差最小。
总之，参数估计是统计学中的一个重要概念，它通过样本数据对总体参数进行估计，并给出估计值的精确程度。
参数估计在统计推断、统计检验和决策等领域具有广泛的应用。
估计量的准确性和可靠性是参数估计的关键问题，通常通过方差和偏倚的分析来评价估计量的性质。
概率论与数理参数估计
概率论与数理参数估计参数估计是概率论与数理统计中的一个重要问题，其目标是根据样本数据推断总体的未知参数。
参数估计分为点估计和区间估计两种方法。
点估计是通过样本计算得到总体未知参数的一个估计值。
常见的点估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是通过观察到的样本数据，选择使得观察到的样本数据出现的概率最大的未知参数值作为估计值。
矩估计是通过样本的矩（均值、方差等统计量），与总体矩进行对应，建立样本矩与总体矩之间的方程组，并求解未知参数。
这两种方法都可以给出参数的点估计值，但是其性质和效果不尽相同。
最大似然估计具有渐近正态性和不变性，但是可能存在偏差较大的问题；矩估计简单且易于计算，但是可能存在方程组无解的情况。
区间估计是给出参数估计结果的一个范围，表示对未知参数值的不确定性。
常见的区间估计方法有置信区间和预测区间。
置信区间是指给定的置信水平下，总体参数的真值落在一些区间内的概率。
置信区间的计算依赖于样本的分布和样本量。
预测区间是对一个新的观察值进行预测的区间，它比置信区间要宽一些，以充分考虑不确定性。
在参数估计过程中，需要注意样本的选取和样本量的确定。
样本是总体的一个子集，必须能够代表总体的特征才能得到准确的估计结果。
样本量的确定是通过统计方法和实际需求来确定的，要保证估计结果的可靠性。
参数估计在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在医学领域中，通过对病人的样本数据进行统计分析，可以推断患者患其中一种疾病的概率，进而进行治疗和预防措施的制定。
在金融领域中，可以通过对股票的历史价格进行统计分析，推断未来股价的变动趋势，从而进行投资决策和风险评估。
在市场调研中，可以通过对消费者的问卷调查数据进行统计分析，推断消费者的偏好和需求，为企业的市场开发和产品设计提供依据。
综上所述，概率论与数理统计中的参数估计是一门重要的学科，通过对样本数据的统计分析，可以推断总体的未知参数，并对不确定性进行评估。
参数估计在实际应用中有着广泛的应用，对于科学研究和决策制定具有重要的意义。
《卫生统计学》考试重点复习资料
②权衡两类错误的危害以确定α的大小。 ③正确理解 P 值的意义，如果 P<α，宜说差异“有统计学意义”。
第八章 方差分析
名词解释
总变异：样本中全部实验单位差异称为总变异。其大小可以用全部观察值的均方（方差）表 示。 组间变异：各处理组样本均数之间的差异，受处理因素的影响，这种变异称为组间变异，其 大小可用组间均方表示。 组内变异： 各处理组内部观察值大小不等，这种变异称为组内变异，可用组内均方表示。 随机区组设计：事先将全部受试对象按自然属性分为若干区组，原则是各区组内的受试对象 的特征相同或相近，且受试对象数与处理因素的水平数相等。然后再将每个区组内的观察对 象随机地分配到各处理组，这种设计叫做随机区组设计。
构成比
某一组成部分的观察单 位数 同一事物各组成部分的 观察单位总数
100 %
③比又称相对比，是 A、B 两个有关指标之比，说明两者的对比水平，常以倍数或百分数表
示，其公式为：相对比=甲指标 / 乙指标（或 100%）
甲乙两个指标可以是绝对数、相对数或平均数等。
应用相对数时应注意哪些问题？
答：应用相对数时应注意的问题有：
相对数：是两个有联系的指标之比，是分类变量常用的描述性统计指标，常用相对数有率、
构成比、比等。
标准化法：是常用于内部构成不同的两个或多个率比较的一种方法。标准化法的基本思想就
是指定一个统一“标准”（标准人口构成比或标准人口数），按指定“标准”计算调整率，使
之具备可比性以后再比较，以消除由于内部构成不同对总率比较带来的影响。
料间的相对水平。 3) 报告比较结果时必须说明所选用的“标准”和理由。 4) 两样本标准化率是样本值，存在抽样误差。当样本含量较小时，还应作假设检验。
参数估计方法
参数估计方法参数估计是统计学中的一个重要概念，它是指根据样本数据推断总体参数的过程。
在实际应用中，我们往往需要利用已知数据来估计总体的各种参数，比如均值、方差、比例等。
参数估计方法有很多种，其中最常用的包括最大似然估计和贝叶斯估计。
本文将对这两种参数估计方法进行详细介绍，并分析它们的优缺点。
最大似然估计是一种常用的参数估计方法，它是建立在似然函数的基础上的。
似然函数是关于总体参数的函数，它衡量了在给定参数下观察到样本数据的概率。
最大似然估计的思想是寻找一个参数值，使得观察到的样本数据出现的概率最大。
换句话说，就是要找到一个参数值，使得观察到的样本数据出现的可能性最大化。
最大似然估计的优点是计算简单，且在大样本情况下具有较好的渐近性质。
但是，最大似然估计也有一些局限性，比如对于小样本情况下可能会出现估计不准确的问题。
另一种常用的参数估计方法是贝叶斯估计。
贝叶斯估计是建立在贝叶斯定理的基础上的，它将参数看作是一个随机变量，而不是一个固定但未知的常数。
在贝叶斯估计中，我们需要先假设参数的先验分布，然后根据观察到的样本数据，利用贝叶斯定理来计算参数的后验分布。
贝叶斯估计的优点是能够充分利用先验信息，尤其在小样本情况下具有较好的稳定性。
但是，贝叶斯估计也存在一些问题，比如对于先验分布的选择比较敏感，且计算复杂度较高。
在实际应用中，我们需要根据具体的问题和数据特点来选择合适的参数估计方法。
对于大样本情况，最大似然估计可能是一个不错的选择，因为它具有较好的渐近性质。
而对于小样本情况，贝叶斯估计可能更适合，因为它能够充分利用先验信息，提高估计的稳定性。
当然，除了最大似然估计和贝叶斯估计之外，还有很多其他的参数估计方法，比如矩估计、区间估计等，每种方法都有其特点和适用范围。
总之，参数估计是统计学中的一个重要概念，它涉及到如何根据已知数据来推断总体的各种参数。
最大似然估计和贝叶斯估计是两种常用的参数估计方法，它们各有优缺点，适用于不同的情况。
参数估计的一般步骤
参数估计的一般步骤参数估计是统计学中的一种方法，用于根据样本数据估计总体参数的取值。
它在各个领域都有广泛的应用，例如经济学、医学、社会学等。
本文将介绍参数估计的一般步骤，帮助读者了解如何进行参数估计。
一、确定参数类型在进行参数估计之前，首先需要确定要估计的参数类型。
参数可以是总体均值、总体比例、总体方差等，根据具体问题来确定。
二、选择抽样方法接下来，需要选择合适的抽样方法来获取样本数据。
常用的抽样方法有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样等。
选择合适的抽样方法可以保证样本的代表性，从而提高参数估计的准确性。
三、收集样本数据在进行参数估计之前，需要收集样本数据。
收集样本数据时要注意数据的准确性和完整性，避免数据采集过程中的偏差。
四、计算点估计量得到样本数据后，可以计算点估计量来估计总体参数的取值。
点估计量是根据样本数据计算得出的一个具体数值，用来估计总体参数的未知值。
常见的点估计量有样本均值、样本比例等。
五、构建置信区间除了点估计量，还可以构建置信区间来估计总体参数的取值范围。
置信区间是一个区间估计，表示总体参数的真值有一定的概率落在该区间内。
置信区间的计算方法与具体的参数类型有关，可以利用统计学中的分布理论或抽样分布来计算。
六、进行假设检验除了估计总体参数的取值，参数估计还可以用于假设检验。
假设检验是根据样本数据来判断总体参数是否符合某个特定的假设。
在假设检验中，需要先提出原假设和备择假设，然后计算检验统计量，最后根据统计显著性水平来判断是否拒绝原假设。
七、解释结果需要对参数估计的结果进行解释和说明。
解释结果时要清楚、简洁，避免使用过于专业的术语，以便读者能够理解和接受。
参数估计是统计学中重要的内容之一，它可以帮助我们从有限的样本数据中推断总体的特征。
通过合理选择抽样方法、收集准确的样本数据，并运用适当的统计方法，我们可以得到准确可靠的参数估计结果，为实际问题的决策提供科学依据。
第08章--对数极大似然估计
( yt
1
2 xt 2 2
3wt
)2
T t 1
log
( yt
1
2 xt
3wt
1 2
log(
2
)
这里， 是原则正态分布旳密度函数。
16
lt
( ,
)
log
yt
1
2 xt
3wt
1 2
log(
2)
将这一例子旳对数极大似然函数过程写成下面旳赋值语
句：
Series res=y-c(1)-c(2)*x-c(3)*w
15
下面考虑2个变量旳例子：
yt 1 2 xt 3wt ut ut ~ N (0, 2 )
这里，y, x, w 是观察序列，而 ={1, 2, 3, 2}是模型旳参数。
有T个观察值旳样本旳对数似然函数能够写成：
log
L(
,
2)
T 2
log(2
)
1 2
T t 1( y ; ψ) 0 , i =1, 2, …, n （8.1.2）
i
由上式可解得 n1 向量 旳极大似然估计值 ψˆ，而式(8.1.2)
也被称为似然函数。
6
因为 L(y ; ) 与 ln[L(y ; ))] 在同一点处取极值，所
以也能够由
ln L( y ; ψ) 0 , i =1, 2, …, n （8.1.3）
而对数极大似然措施使得寻找这些极大似然估计变 得轻易了。只需创建一种对数似然对象，把上面旳赋值 语句输入到logL旳阐明窗口，然后让EViews来估计这个 模型。
20
在输入赋值语句时，只需对上面旳文本做两处微小旳 改动就能够了。首先，把每行开头旳关键字series删掉（因 为似然阐明暗含了假定序列是目前旳）。第二，必须在阐 明中加入额外旳一行（关键字@logL为包括似然贡献旳序 列命名）。
参数估计
~ N (0,1)
ˆ Z 2 p
ˆ (1 p ˆ) p n
27
总体比例的置信区间：例子
1986年对悉尼995 名青少年的随机调 查发现，有21.7% 的人每天都抽烟。 试估计悉尼青少年 中每天都抽烟的青 少年比例的90%的 置信区间。
ˆ 5, n(1 p ˆ) 5 解：显然有 np 因此可以用正态分布进行估计。 Ｚ/2=1.645
L U
P( ˆ ˆ ) 1
L U
ˆ , ˆ )就称为未知总体参数的置信区间。 成立，则该区间 (
L U
21
二、总体均 值的区间估 计 σ2已知？
是
2
是 总体正态？
否
n≥30？ 否 是 否
x Z
n
x t
s
2
n
x Z 2
n
增大n; 非参数 方法等。
实际中总体方差总是未知的， 因而这是应用最多的公式。在 大样本时t值可以用z值来近似。
n 1)s
2
2
~ n 1)
2
总体方差在置信水平1-α下的置信区间为：
n 1)s 2 2 2 n 1)
2
n 1)s 2 1 2 n 1)
2
29
•总体方差的区间估计：例子
检验一批电子元件，共抽取了10件检验，电子元 件使用寿命的样本方差为8175.56，试在95%的 置信概率下对该批产品使用寿命的方差和标准差 进行区间估计。 解：电子元件的使用寿命可看作服从正态分布，根 据正态总体方差置信区间的公式，可得该批电子 元件使用寿命的方差的置信区间为：
(n 1)
19
5.3 区间估计
统计学参数估计
统计学参数估计统计学参数估计是统计学中一种重要的方法，它通过观察样本数据来估计总体参数的值。
参数是描述总体特征的数值，例如总体均值、总体比例等。
参数估计的目的是根据样本信息对总体参数进行推断，从而得到总体特征的近似值。
参数估计的过程通常分为点估计和区间估计两种方法。
点估计是指根据样本数据求出总体参数的一个数值估计量，例如样本均值、样本比例等。
点估计的基本思想是用样本统计量作为总体参数的估计值，它是参数的无偏估计量时，表示点估计是一个良好的估计。
区间估计是指根据样本数据求出一个区间，这个区间包含总体参数的真值的概率较高，通常用置信区间表示。
区间估计的基本思想是总体参数位于一个区间中的可能性，而不是一个确定的值。
置信区间的构造依赖于样本统计量的分布以及总体参数的估计量的抽样分布。
点估计和区间估计的方法有很多，其中最常用的是最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是指根据已知样本观测值，选择使样本观测值出现的概率最大的总体参数作为估计值。
最大似然估计的基本思想是找到一个参数值，使得已观测到的样本结果出现的概率尽可能大。
矩估计是指根据样本矩的观测值，选择使样本矩的偏差与总体矩的偏差最小的总体参数作为估计值。
矩估计的基本思想是利用样本矩估计总体矩，从而近似估计总体参数。
参数估计在实际应用中具有广泛的应用价值。
例如，在医学研究中，需要对患者的疾病概率进行估计，以帮助医生做出正确的诊断和治疗决策。
在经济学研究中，需要对经济指标（如GDP、通胀率等）进行估计，以帮助政府制定宏观经济政策。
在市场调研中，需要对消费者行为进行估计，以帮助企业确定产品定价和市场策略。
然而，参数估计也存在一些局限性。
首先，参数估计的结果仅仅是对总体参数的估计，并不是总体参数的确切值。
其次，参数估计的结果受到样本容量的影响，样本容量越大，估计结果越可靠。
另外，参数估计还需要满足一些假设条件，如总体分布的形式、样本的独立性等，如果这些假设条件不满足，估计结果可能会失效。
《概率论与数理统计》课件第七章 参数估计
03
若存在, 是否惟一?
添加标题
1
2
3
4
5
6
对于同一个未知参数,不同的方法得到的估计量可能不同,于是提出问题
应该选用哪一种估计量? 用何标准来评价一个估计量的好坏?
常用标准
(1)无偏性
(3)一致性
(2)有效性
7.2 估计量的评选标准
无偏性
一致性
有效性
一 、无偏性
定义1 设 是未知参数θ的估计量
09
则称 有效.
10
比
11
例4 设 X1, X2, …, Xn 是X 的一个样本,
添加标题
问那个估计量最有效?
添加标题
解 ⑴
添加标题
由于
添加标题
验证
添加标题
都是
添加标题
的无偏估计.
都是总体均值
的无偏估计量.
故
D
C
A
B
因为
所以
更有效.
例5 设总体 X 的概率密度为
关于一致性的两个常用结论
1. 样本 k 阶矩是总体 k 阶矩的一致性估计量.
是 的一致估计量.
由大数定律证明
用切比雪夫不 等式证明
似然函数为
其中
解得参数θ和μ的矩估计量为
2
时
3
令
1
当
6
，故
5
，表明L是μ的严格递增函数，又
4
第二个似然方程求不出θ的估计值，观察
添加标题
所以当
01
添加标题
从而参数θ和μ的最大似然估计值分别为
03
添加标题
时L 取到最大值
02
添加标题
2008年质量工程师中级理论统计综合分析与评价辅导
08年质量工程师中级理论辅导：统计综合分析与评价一、统计综合分析的意义和一般步骤统计综合分析是根据分析研究的目的，在科学的理论指导下，以客观统计资料为依据，结合具体实际情况，对社会经济现象总体进行系统的分析研究，从而认识事物的本质和发展规律的一种统计分析方法。
它一般分五个步骤来进行。
二、统计比较的意义和种类所谓统计比较，是将统计指标所反映的实际规模水平与有关标准进行比较对照，计算出数量上的差别和变化，并在此基础上做出评价与判断。
统计比较可以从不同的角度进行分类，通常分为静态比较和动态比较；相对比较和相差比较；单项比较和综合比较。
三、统计的综合评价1、统计综合评价的意义。
统计综合评价是指利用反映社会经济现象总体的指标体系，结合各种定性材料，构建综合评价模型，求得综合评价值，对被评现象作出明确评定和排序的一种统计分析方法。
2、常用的综合评价的方法有：综合评分法、功效系数法、平均指数法。
3、综合国力的含义和评价的关键08年质量工程师中级理论辅导：抽样估计一、抽样推断的一般概念抽样推断是在根据随机原则从总体中抽取部分实际数据的基础上，运用数理统计方法，对总体某一现象的数量性作出具有一定可靠程度的估计判断。
抽样推断具有这些特点：它是由部分推算整体的一种认识方法；它是建立在随机取样的基础上。
它是运用概率估计的方法；抽样推断的误差可以事先计算并加以控制。
抽样推断的主要内容为：参数估计和假设检验二、抽样的基本概念1、全及总体和样本总体全及总体是我们所要研究的对象，而样本总体则是我们所要观察的对象，两者是有区别而又有联系的不同范畴。
全及总体又称母体，简称总体，它是指所要认识的，具有某种共同性质的许多单位的集合体。
样本总体又称子样，简称样本，是从全及总体中随机抽取出来，代表全及总体的那部分单位的集合体。
样本总体的单位数称为样本容量，通常用小写英文字母n来表示。
随着样本容量的增大，样本对总体的代表性越来越高，并且当样本单位数足够多时，样本平均数愈接近总体平均数。
第 6 章 参数估计(MBA、MPM、MIE)
标准正态分布
标准正态分布 t (df = 13)
t 分布
t (df = 5)
z
t 分布与标准正态分布的比较
x
不同自由度的t 不同自由度的t分布
t
专业硕士学位研究生教育中心/MBA中心
t 分布 (用Excel生成 分布的临界值表 生成t分布的临界值表 用 生成 分布的临界值表)
1. 将分布自由度df的值输入到工作表的A列 将分布自由度df的值输入到工作表的A 2. 将右尾概率α的取值输入到第1行 将右尾概率α的取值输入到第1 3. 在B2单元格输入公式“=TINV(B$1*$A2)”，然后 单元格输入公式“=TINV(B$ )”， 将其向下、 将其向下、向右复制即可得
– 如果样本均值 x =80，则80就是的估计值
专业硕士学位研究生教育中心/MBA中心
参数估计的方法
估 计 方 法
点
估
计
区间估计
矩估计法 顺序统计量法 最大似然法 最小二乘法
专业硕士学位研究生教育中心/MBA中心
点估计(point estimate)
1. 用样本的估计量的某个取值直接作为总体参 数的估计值
专业硕士学位研究生教育中心/MBA中心
估计量与估计值
(estimator & estimated value)
1. 估计量：用于估计总体参数的随机变量
– 如样本均值，样本比例、样本方差等 – 例如: 样本均值就是总体均值 的一个估计量
2. 参数用θ 表示，估计量用 θ 表示 3. 估计值：估计参数时计算出来的统计量的 具体值
专业硕士学位研究生教育中心/MBA中心
置信区间 (confidence interval)
1. 由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为 置信区间 2. 统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正 的总体参数，所以给它取名为置信区间 3. 用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区 间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包 含总体参数的真值
参数估计的一般步骤
参数估计的一般步骤
参数估计是通过从总体中抽取一个样本，利用样本数据对总体未知参数进行估计的过程。
参数估计的一般步骤如下：
1. 确定总体参数：首先需要明确要估计的总体参数，例如总体均值、总体比例、总体方差等。
2. 选择样本：从总体中抽取一个合适的样本。
样本的选择应该具有代表性，能够反映总体的特征。
3. 收集样本数据：对选择的样本进行观测或测量，收集样本数据。
4. 选择估计方法：根据所收集的样本数据和要估计的总体参数，选择合适的估计方法。
常见的估计方法包括点估计和区间估计。
5. 计算估计量：使用所选择的估计方法，根据样本数据计算出估计量。
估计量是用于估计总体参数的统计量。
6. 评估估计量的性质：评估所计算出的估计量的性质，如无偏性、有效性、一致性等。
这些性质可以帮助判断估计量的优劣。
7. 计算置信区间或置信水平：如果进行的是区间估计，根据估计量和置信水平，计算出总体参数的置信区间。
8. 解释估计结果：根据估计量或置信区间，对总体参数进行推断和解释。
同时，需要考虑估计结果的统计显著性和实际意义。
9. 分析误差和不确定性：考虑样本大小、抽样方法等因素对估计结果的影响，分析可能存在的误差和不确定性。
10. 结论和应用：根据参数估计的结果，得出结论并将其应用于实际问题中，例如进行决策、预测或进一步的研究。
需要注意的是，参数估计的具体步骤和方法会根据不同的统计问题和数据类型而有所差异。
在进行参数估计时，应根据实际情况选择合适的方法，并结合统计学原理和专业知识进行分析和解释。
《卫生统计学》考试重点复习资料
《卫生统计学》复习资料08生物技术曾洋and林阳第一章绪论名词解释统计学：是一门通过收集、整理和分析数据来认识社会和自然现象数量特征的方法论科学。
其目的是通过研究随机事件的局部外在数量特征和数量关系, 从而探索事件的总体在规律性，而随机性的数量化，是通过概率表现出来。
总体：总体是根据研究目的确定的同质的观察单位的全体，更确切的说，是同质的所有观察单位某种观察值（变量值）的集合。
总体可分为有限总体和无限总体。
总体中的所有单位都能够标识者为有限总体，反之为无限总体。
样本：从总体中随机抽取部分观察单位，其测量结果的集合称为样本（sample）。
样本应具有代表性。
所谓有代表性的样本，是指用随机抽样方法获得的样本。
抽样：从研究总体中抽取少量有代表性的个体，称为抽样。
概率：概率(probability)又称几率，是度量某一随机事件A发生可能性大小的一个数值，记为P（A），P（A）越大，说明A事件发生的可能性越大。
0﹤P（A）﹤1。
频率：在相同的条件下，独立重复做n次试验，事件A出现了m次，则比值m/n称为随机事件A在n次试验中出现的频率(freqency)。
当试验重复很多次时P（A）= m/n。
变量：表现出个体变异性的任何特征或属性。
随机变量：随机变量（random variable）是指取指不能事先确定的观察结果。
随机变量的具体容虽然是各式各样的，但共同的特点是不能用一个常数来表示，而且，理论上讲，每个变量的取值服从特定的概率分布。
系统误差：系统误差(systematic error)是指由于仪器未校正、测量者感官的某种偏差、医生掌握疗效标准偏高或偏低等原因，使观察值不是分散在真值的两侧，而是有方向性、系统性或周期性地偏离真值。
系统误差可以通过实验设计和完善技术措施来消除或使之减少。
随机误差：随机误差（random error）又称偶然误差，是指排除了系统误差后尚存的误差。
它受多种因素的影响，使观察值不按方向性和系统性而随机的变化。
利用EXCEL进行区间估计
6. 选定E3单元格，输入公式“=ABS(NORMSINV(0.025))”或 “=NORMSINV(E2+(1-E2)/2)”，便可确定Z值，单元格E3中将显示1.959961。
⑦ 在E4单元格中输入公式“=E3*B4”，计算极限误差，其结果显示为0.04887。 ⑧ 在单元格E5中输入“=B3-E4”计算估计下限，在E6单元格中输入“=B3+E4”
这样，总体均值的951 %的2置.08 信5 区 5间 7为1 ： 3.15473
总体均值区间估计 结果如图所示：
置信度越高，下限 值越低，上限值越 高，置信区间越宽； 反之，置信度越低， 置信区间越小。
用Excel计算必要样本单位数
例 某快餐店想在置信度为96%的条件下估计午餐时 间每位顾客的平均支出，根据过去经验，每个顾 客平均支出的标准差不超过5元，要抽取多少样 本才能使其抽样极限误差不超过2元呢? 打开“参数估计.xls”工作簿，选择 “样本容量”工作表，如图所示：
． 当 数 据 输 入 完 例 题 的 调
人 数 ” ， 从
． 在 单 元 格
查单
数元中
据格输
．入
起 输
“ 行
二
将 列 ．
数 据 ， 拖 动 鼠
即 “ 灯 泡 平 均
． 选 择 单 元 格
标耐
将用：
其小
移时 到”，
一
表 ．
作 薄 ， 选 择 “ 均 值
． 打 开 “ 参 数 估 计
”
图所示。
选择单元格D1，在 “插入”菜单中选择 “函数”选
项，打开“粘贴函数” 对话框如图所示。
在“函数分类”列表中选择“统计”，在“函数名”列表中选 择计数函数COUNT。单击“确定”按钮，打开计数函数 对话框如图所示。
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n
若 X ~ N ( µ , σ 2 ) ，则其中任意一个随机样本Xn 的均数 X ~ N ( µ , σ x 2 )
12
正态总体样本均数的分布
样本均数的标准差σ X ，称为样本均数的标 准误(standard error of mean ,SE)，简称均数 标准误 σ X 它反映样本均数之间的离散程度，也反映 样本均数抽样误差的大小。 误差大小 X − µ ，实质是要估计 X 的分布特 征
26
t分布
样本含量n=5 样本含量n=100
t统计量的频数图
27
t分布
结果
小样本时，t统计量和U统计量的分布有明显差别 大样本时，t统计量和U统计量的分布非常接近。
频数图
当样本量较大时，统计量t的频数图与标准正态分布曲 线非常接近 样本含量较小时，t统计量的峰值比标准正态分布的峰 值略小，双侧尾部的值则较标准正态分布略大
13
正态总体样本均数的分布
由于实际σ X 往往未知，需要用样本 S X 来估 计 σ X ，样本均数标准误的估计式为
SX SX = n
注意区别： 和σ S
S X 和σ X
证明：
E( X ) = µ
σX =
σX
n
14
非正态总体样本均数的分布
从总体均数为1的指数分布中抽样，样本大 小分别为4，9，100。每次抽10000个样本 制作频数分布图
28
t分布
X ~ N (µ ,σ 2 ) 英国统计学家W. S. Gosset(1908)设
并给出了统计量t的分布规律，并称统计量t的分 布规律为t分布，自由度为v，记为t(v)分布。
X −µ t= S/ n
ν = n −1
每个自由度v对应一个分布，因此t分布是一簇分 布 t分布仅与总体均数有关，与总体标准差无关
40
中心极限定理及其推论
若样本中的个体个数(即样本含量)为n，总体 率为π，样本率为p，则
样本率的总体均数等于总体率 µ P = π 样本率的总体标准差(即率的标准误)
σP = π (1 − π )
n
由于总体率通常是未知的，因而用样本率p来估计， 故率的标准误的估计值常表示为
SP = P(1 − P) n
10
抽样3
.1
样本含量 n=36
x x
Fraction .05
的平均数 =168.1493 的标准差 =0.9997
6 ≈ = 1.0 36
0 150 160 meana
11
170
180
正态总体样本均数的分布
N ( µ , σ 2 ) 中随机抽取样本 从正态分布的总体
含量为n的样本X1，X2，…，Xn，其样本 均数 X
样本量 n=5 n=100 统计量 u t u t 平均值 0.0149031 0.0319309 0.0033231 0.0034704 P2.5 -1.950067 -2.654214 -1.950886 -1.981183 P97.5 1.969157 2.838163 1.971245 2.000407
29
t分布
三条t分布密度曲线
v=∞ v=5
v=1
30
t分布的图形特征
分布特征
t分布曲线是单峰的 关于t = 0对称 自由度越大，t值越小
t分布与正态分布的关系
自由度v较小时，t分布与标准正态分布相差较大，并 且t分布曲线的尾部面积大于标准正态分布曲线的尾部 面积 当自由度ν → ∞ 时，t分布逼近于标准正态分布。
34
样本率的分布
随机抽样试验，分别在总体率π=0.4，0.5， 0.01的总体中随机抽样，其总体率π和样本 含量n 每种情况分别随机抽10000个样本，每个样 本计算其样本率，把同一种情况的10000个 样本率视为一个新的样本资料作频数图
35
抽样1
n=20，π=0.4 p 的均数为 0.3998 p 的标准差为 0.1083
33
样本率的分布
总体率由样本率估计
例如，设样本的个体数(即样本含量)为n，若x为样本的某指 标阳性个体数，则可用样本阳性率 p = x 估计研究人群的阳 n 性率 (总体阳性率)；
由于个体差异和偶然性的影响，样本率也存在抽样误 差---由抽样造成样本率与总体率(研究人群的率)的差异 样本率是随机的，但在概率意义下也是有规律的---样 本率的分布。
31
t分布的界值
给定自由度v，t分布曲线的双侧尾部面积 为α时对应的t值，记为并称 tα / 2为t的双侧界 ,v 值 单侧界值 ：一侧尾部面积为α时对应的t值 tα,v 对称性得：单侧曲线下面积=2双侧曲线下 面积 同样的尾部面积，t分布的界值要大于标准 正态分布的界值
32
t分布界值示意图，α表示阴影的面积
7
正态总体样本均数的分布
已知某地高三男生的平均身高为µ = 168.15cm , 标准差为σ = 6.00cm ,将其视为一个总体。 从该总体中随机抽样
样本含量为n 每次抽取10000个样本并计算各自的样本均数 以10000个样本均数作为一个新的样本制作频 数图
8
抽样1
.1
样本含量n=4
x x
Fraction .05
组段 152.9153.5154.1154.7155.3155.9156.5157.1157.7158.3-158.9 频数 9 34 94 191 255 216 116 63 20 2 频率 0.90 3.40 9.40 19.10 25.50 21.60 11.60 6.30 2.00 0.20 累计频率 0.90 4.30 13.70 32.80 58.30 79.90 91.50 97.80 99.80 100.00
表现
样本统计量与总体参数间的差异 样本统计量间的差异
6
抽样分布
样本均数的规律性
随机的 在概率意义下是有规律的---抽样分布 通过大量重复抽样,借助频数表描述 样本均数的变异规律(抽样分布)与个体个个值 变异规律有关
即使只有一个样本资料,也可由样本资料的 个体个个值的变异规律间接得到样本均数 的变异规律
100
24
t分布
X ~ N ( µ , σ ), 标准正态分布与t统计量
2
X −µ U= ∼ N (0,1) σ n
实际研究中σ未知，用样本的标准差S作为 σ的一个近似值(估计值)代替σ，得到变换 后的统计量并记为 X −µ
t= S n
25
t分布
如在正态总体N(168.18,62)中随机抽样，样本量 分别取n =5，n =100，均抽10000个样本，分别计 算t值和U值并作相应t的频数图
x
X
X
样本均数 X 与 个体资料X的集中位置相同， 即样本均数 X 的总体均数与 个体资料X的 总体均数 µ 相同
22
中心极限定理及其应用
若个体资料X服从正态总体 N ( µ , σ 2 ) ，则样 X 也服从正态分布 X ~ N ( µ , σ X 2 ) ； 本均数
U= X −µ X −µ = σX / n
44
在样本含量较小时呈偏态（非指数型） 样本含量较大时接近正态分布 均数 X 始终在总体均数 µ =1附近 均数 X 的标准差 ≈ X 的总体标准差
n
21
中心极限定理及其应用
样本均数 X 总体标准差是个体资料X的总 σ 体标准差的 1/ n ；即理论标准误 σ = n S S = 理论标准误的样本估计值为 n
的平均数 =168.19 的标准差 =2.9670
6 ≈ = 3.0 4
0 150 160 meana
9
170
180
抽样2
.08
样本含量 n=16
.06
x x
的平均数 =168.158 的标准差 =1.4884
Fraction
.04
6 ≈ = 1.5 16
.02
0 160 165 meana 170 175
σX
U ~ N (0,1)
个体资料X服从偏态分布，当样本量n较大 时，样本均数 X 近似服从正态分布
X ~ N (µ ,σ X 2 )
23
例3.3 已知在某地7岁正常发育男孩的身高服 从正态分布N(121,52) 正常发育7岁男孩身高的95%范围为 121 ± 1.96 × 5 ＝(111.2，130.8) 若在该地正常7岁男孩中随机抽一个样本，样 本含量为100，则样本均数的95％范围为 5 121 ± 1.96 =(120.2，121.98)，
42
STATA命令
模拟各种分布 模拟正态分布的样本均数分布 Simumean 样本量 均数 标准差 模拟类似卡方分布的均数分布 Simuchis 样本量 均数 模拟指数分布的均数分布 Simuexp 样本量 均数
43
STATA命令
模拟各种分布 模拟双峰分布的均数分布 Simubpeak 样本量 均数 模拟三角形分布的均数分布 Simutrang 样本量 均数
3
Mean=155.426
Std=0.9664
抽样误差
结果：
各样本均数不一定等于总体均数 样本均数间存在差异 样本均数的分布规律：围绕总体均数上下波动 样本均数的变异：由样本均数的标准差描述。
5
抽样误差
抽样误差Sampling error
由抽样引起的样本统计量与总体参数间的差异
来源:
个体变异 抽样
的平均数 =1.0133 的标准差 =0.5031
≈
x
1 = 0.5 4
的中位数 =0. 9298
0 .051759 meanx 3.79467
18