重庆高考解析几何专题训练

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重庆市高考数学提分专练：第10题平面解析几何(选择题)(I)卷

重庆市高考数学提分专练：第 10 题平面解析几何（选择题）（I）卷姓名:________班级:________成绩:________一、真题演练 (共 8 题；共 40 分)1. （5 分）已知直角三角形的三边长都是整数且其面积与周长在数值上相等，那么这样的直角三角形有（）A.0B.1C.2D.32. （5 分） (2018 高二上·阳高期末) 已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F（，0），直线与其相交于 M、N 两点，MN 中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（）A.B.C.D.3. （5 分） (2016 高二上·黄骅期中) 已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C：=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B 分别为 C 的左，右顶点．P 为 C 上一点，且 PF⊥x 轴，过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E．若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为（）A.B.C.第1页共9页D. 4. （5 分） (2017 高一上·武邑月考) 直线，则的取值范围是（） A. B. C.与圆相交于两点，若D.5. （5 分） (2016 高二上·辽宁期中) 双曲线 C：垂直，则双曲线 C 的离心率为（）A.=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线 x+2y+1=0B. C. D.6. （5 分） (2016 高二上·蕲春期中) 已知两点 M（1，），N（﹣4，﹣ ），给出下列曲线方程： ①4x+2y﹣1=0； ②x2+y2=3； ③ +y2=1； ④ ﹣y2=1．在曲线上存在点 P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（）第2页共9页A . ①③ B . ②④ C . ①②③ D . ②③④7. （5 分）如图，长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB=2，AD=AA1= ．设长方体的截面四边形 ABC1D1 的内切圆为 O，圆 O 的正视图是椭圆 O'，则椭圆 O'的离心率等于（）A.B.C.D. 8. （5 分） (2018 高二上·杭锦后旗月考) 双曲线的渐近线方程是（）A.B.C.D.二、模拟实训 (共 12 题；共 60 分)9. （5 分） (2020 高二上·吉林期末) 如图，在三棱锥第3页共9页中，，，两两垂直，且，为中点，则等于（）A.3B.2C.1D.010. （5 分）双曲线变化范围是（）的左焦点为 F，点 P 为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线 PF 的斜率的A . (－∞，0)B . (1，+∞)C . (－∞，0)∪(1，+∞)D . (－∞，－1)∪(1，+∞)11. （5 分） (2016 高二上·鹤岗期中) 已知过双曲线 C：=1（a＞0，b＞0）的中心的直线交双曲线于点 A，B，在双曲线 C 上任取与点 A，B 不重合的点 P，记直线 PA，PB，AB 的斜率分别为 k1 ， k2 ， k，若 k1k2＞k 恒成立，则离心率 e 的取值范围为（）A . 1＜e＜B . 1＜e≤C . e＞ D . e≥第4页共9页12. （5 分）如图，已知双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为 F1 ， F2 ， |F1F2|=4，P 是双曲线右支上的一点，F2P 与 y 轴交于点 A，△APF1 的内切圆在边 PF1 上的切点为 Q，若|PQ|=1，则双曲线的离心率是（）A.3 B.2 C. D.13. （5 分）圆 C 的圆心在 y 轴正半轴上，且与 x 轴相切，被双曲线圆 C 的方程为（）A . x2+(y-1)2=1 B . x2+(y- )2=3的渐近线截得的弦长为，则C . x2+(y- )2= D . x2+(y-2)2=4 14. （5 分）设两条直线的方程分别为 x+y+a=0 和 x+y+b=0，已知 a、b 是关于 x 的方程 x2+x+c=0 的两个实根，且 0≤c≤ ，则这两条直线间距离的最大值和最小值分别为（）A. , B. ,第5页共9页C. ,D. , 15. （5 分）若双曲线 A.3 B . -3的离心率是 2，则实数 k= （）C.D.16. （5 分） (2018 高二上·梅河口期末) 设抛物线两点.若，则的方程为（）的焦点为，直线过点且与交于A.或B.或C.或D.或17. （5 分） (2017·湖北模拟) 已知直线 l 过双曲线 Γ：=1（a＞0，b＞0）的一个焦点且与 Γ 的一条渐近线平行，若 l 在 y 轴上的截距为 a，则双曲线的离心率为（）A. B.2C.D.2第6页共9页18.（5 分）(2016 高二下·衡水期中) 已知双曲线与椭圆则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D . y= 19. （5 分） (2018 高一下·雅安期中) 若不等式实数的取值范围是（） A. B. C. D.的焦点重合，它们的离心率之和为，在上恒成立，则20. （5 分） (2019 高三上·郑州期中) 已知双曲线的左右焦点为双曲线右支上的一点，的内切圆圆心为，且圆与轴相切于点，过垂足为，若双曲线的离心率为，则（）为它的中心，为作直线的垂线，A.B.C.D . 与关系不确定第7页共9页一、真题演练 (共 8 题；共 40 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、二、模拟实训 (共 12 题；共 60 分)9-1、 10-1、 11-1、 12-1、 13-1、 14-1、 15-1、参考答案第8页共9页16-1、 17-1、 18-1、 19-1、 20-1、第9页共9页。

第二关以解析几何中与椭圆相关的综合问题为解答题-(解析版)

压轴解答题第二关以解析几何中与椭圆相关的综合问题【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系．类型一中点问题典例1已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率13e =，焦距为2．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点()0,2Q 作斜率为()0k k ≠的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，若x 轴上的一点E 满足AE BE =，试求出点E 的横坐标的取值范围．【来源】河南省温县第一高级中学2021-2022学年高三上学期1月月考文科数学试题【答案】(1)22198x y ；(2)220,12⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦. 【解析】（1）由已知可求得a 、c 的值，可求得b 的值，由此可得出椭圆C 的标准方程；（2）设点设()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，求出线段AB 的中点G 的坐标，由题意可知EG AB ⊥，可得1EG k k=-，可得出m 关于k 的表达式，分0k <、0k >两种情况讨论，结合基本不等式可求得m 的取值范围.(1)解：由已知得1322c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以，1c =，3a =，2228b a c =-=，因此，椭圆C 的方程为22198x y .(2)解：根据题意可知直线l 的方程为2y kx =+，设()11,A x y 、()22,B x y ，线段AB 的中点为()00,G x y ，设点(),0E m ，使得AE BE =，则EG AB ⊥．联立222198y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()228936360k x kx ++-=，()()22223614498288940k k k ∆=++=+>，由韦达定理可得1223698k x x k +=-+，所以，021898k x k -=+，00216298y kx k =+=+，因为EG AB ⊥，所以，1EGk k =-，即221601981898k k k m k -+=---+，则2228989k m k k k--==++，当0k >时，89298122k k +≥⨯=22k =20m ≤<；当0k <时，()()8889929122k k k k k k⎡⎤+=--+≤--⋅-⎢⎥--⎣⎦ 当且仅当22k =20m <≤综上所述，点E 的横坐标的取值范围为220,12⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.【举一反三】已知椭圆C ：()222210y x a b a b+=>>的焦距与椭圆2213x y +=的焦距相等，且C 经过抛物线()212y x =- （1）求C 的方程；（2）若直线y kx m =+与C 相交于A ，B 两点，且A ，B 关于直线l ：10x ty ++=对称，O 为C 的对称中心，且AOB 10k 的值．【答案】（1）22142y x +=；（2）3k = 【解析】（1）由题意：()212y x =-(2，焦距为22故22222112a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得：24a =，22b =，所以C 的方程为：22142y x +=；（2）因为直线y kx m =+与C 相交于A ，B 两点，且A ，B 关于直线l ：10x ty ++=对称，故直线l 垂直AB ，所以k t =，联立22142y kx my x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()2222240k x kmx m +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，AB的中点为()00,P x y ，则()228240k m∆=+->，022km xk =-+，00222my kx m k =+=+，因为()00,P x y 在直线l ：10x ky ++=上，所以2221022km km k k -++=++，即2m k k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以22480k k ⎛⎫∆=-> ⎪⎝⎭，即：22k >，()()()2222222212122k k AB k k k k +-∆=+=++，O 到直线AB 的距离()222211m d k k k ==++，()2241102AOBk SAB d -===，解得：23k =，3k =类型二垂直问题典例2 已知椭圆1C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为22，1C 的长轴是圆2C ：222x y +=的直径.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆1C 的左焦点F 作两条相互垂直的直线1l ，2l ，其中1l 交椭圆1C 于P ，Q 两点，2l 交圆2C 于M ，N 两点，求四边形PMQN 面积的最小值.【来源】广东省肇庆市2021届高三二模数学试题【答案】（1）2212x y +=；（2）2.【解析】（1）由222a =，得2a =由2c e a ==，得1c =，所以1b =.所以椭圆的方程为2212x y +=.（2）由（1）可得()1,0F -.①当过点F 的直线1l 的斜率不存在时，22MN =2PQ =这时11222222PMQN S MN PQ ==⨯=. ②当过点F 的直线1l 的斜率为0时，2MN =，22PQ =，这时112222222PMQN S MN PQ ==⨯⨯=③当过点F 的直线1l 的斜率存在且不为0时，设直线1l 的方程为1x my =-，()11,P x y ，()22,Q x y .由22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得()222210m y my +--=. 12222m y y m +=+，12212y y m -=+. 所以())222212121222211142m m y m y y y y m PQ +=+-=++-=+.直线2l 的方程为0mx y m ++=，坐标原点O 到2l 的距离21d mm =+所以2222222211m m MN m m +=-=++22211122221222PMQN m S MN PQ m m +===-++由222m +>，得2122122m->+，即(2,22PMQN S ∈. 综上所述，四边形PMQN 的面积的最小值为2.【举一反三】已知椭圆222:1(1)x C y a a+=>，离心率6e ．直线:1l x my =+与x 轴交于点A ，与椭圆C 相交于,E F 两点．自点,E F 分别向直线3x =作垂线，垂足分别为11,E F ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程及焦点坐标；（Ⅱ）记1AEE ，11AE F ，1AFF 的面积分别为1S ，2S ，3S ，试证明1322S S S 为定值．【答案】（Ⅰ）椭圆C 的方程为2213x y +=，焦点坐标为(2,0)±；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】（Ⅰ）由题意可知1b =，又63c e a ==，即22123a a -=．解得23a =．即3a =．所以222c a b =-=．所以椭圆C 的方程为2213x y +=，焦点坐标为(2,0)±．（Ⅱ）由221330x my x y =+⎧⎨+-=⎩得22(3)220m y my ++-=，显然m R ∈．设()11,E x y ，()22,F x y ，则12122222,33m y y y y m m --+==++，()113,E y ，()123,F y ，因为13112211(3)(3)22S S x y x y =-⋅-12121(2)(2)4my my y y =--21212121[42()]4m y y m y y y y =-++ 22221222(42)4333m m m m m m ---=-⋅+⋅+++2223(2)(3)m m +=+，又因为22221212121[2]()42S y y y y y y =⨯-=+-()22224833m m m =+++()222248243m m m ++=+()22212243m m +=+．所以22213222223(2)1(3)12(2)4(3)m S S m m S m ++==++．类型三面积问题典例3如图，已知椭圆221:12x y Γ+=和抛物线22:3x y Γ=，斜率为正的直线l 与y 轴及椭圆1Γ依次交于P 、A 、B 三点，且线段AB 的中点C 在抛物线2Γ上．(1)求点P 的纵坐标的取值范围；(2)设D 是抛物线2Γ上一点，且位于椭圆1Γ的左上方，求点D 的横坐标的取值范围，使得PCD 的面积存在最大值．【来源】浙江省2022届高三水球高考命题研究组方向性测试Ⅴ数学试题【答案】(1)3,22⎛⎫⎪⎝⎭；(2)323,2⎛-- ⎝⎭. 【解析】（1）设直线l 的方程为()0,0y kx b k b =+>>，则()0,P b ，将直线l 的方程与椭圆的方程联立，可求得点C 的坐标，将点C 的坐标代入抛物线的方程，可得出()223214k b k +=，结合0∆>可得出2k 的取值范围，进而可求得b 的取值范围，即可得解；（2）设点()23,3D t t ，计算得出PCD 的面积239142416t S t k k ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭，令1u k =，记()()32424f u u t u t =-+--，则60u <()f u '，分析可知函数()f u 在6⎛ ⎝⎭内有唯一的极值点，且为极大值点，结合已知条件可得出关于t 的不等式组，解出t 的取值范围，即可得出点D 的横坐标的取值范围.(1)解：由题意可设直线l 的方程为()0,0y kx b k b =+>>，则()0,P b ，联立2222y kx b x y =+⎧⎨+=⎩可得()222214220k x kbx b +++-=， ()()()2222221682118210k b k b k b ∆=-+-=+->，可得2221b k <+，① 设点()11,A x y 、()22,B x y ，由韦达定理可得122421kb x x k +=-+，21222221b x x k -=+，设点()00,C x y ，则12022221x x kb x k +==-+，00221by kx b k =+=+，将点C 的坐标代入抛物线2Γ的方程得224630k b k --=，则()223214k b k+=，代入①可得()22249212116k k k +<+，可得42161890k k -->，解得232k >，因此()222321333,24242k b k k +⎛⎫==+∈ ⎪⎝⎭. 因此，点P 的纵坐标的取值范围是3,02⎛⎫⎪⎝⎭.(2)解：设点()23,3D t t，则点D 到直线l 的距离为22223311tk t bd k k -+==++，221kb k PC +=PCD 的面积()22331221kb t tk b S PC d k --=⋅=+，② 将()223214k b k +=代入②得239142416t S t k k ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭，令1u k =，记()()32424f u u t u t =-+--，则60u <()22342f u u t '=-+-，因为()f u '在6⎛ ⎝⎭上单调递减，所以，函数()f u 在6⎛ ⎝⎭内有唯一的极值点，且为极大值点，所以，()2204206440f t f t ⎧=->⎪⎨=-<⎪⎭'⎝⎩'，可得2112t <<，③ 因为点D 在椭圆1Γ的左上方，则2409182t t t <⎧⎨+>⎩，④ 由③④可得21t -<<D 的横坐标的取值范围是323,⎛- ⎝⎭. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．【举一反三】已知椭圆C ：22221(x y a b a b+=>>0)的右焦点F 与右准线l ：x ＝4的距离为2．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线():0m y kx t t =+≠与椭圆C 相交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与直线m 及x 轴和y 轴分别相交于点D ，E ，G ，直线GF 与右准线l 相交于点H ．记AEGF ，ADGH 的面积分别为S 1，S 2，求12S S 的值．【来源】江苏省苏州中学等四校2021-2022学年高三下学期期初联合检测数学试题【答案】(1)22184x y +=；(2)12 【解析】（1）根据已知条件求得,,a b c ，由此求得椭圆C 的方程.（2）结合根与系数关系求得D 点坐标，进而求得,,E G H 点坐标，利用“中点”求得面积比.(1)依题意2222242a c a c ca b c ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得22,2a b c ===，所以椭圆方程为22184x y +=. (2)右焦点()2,0F .直线():0m y kx t t =+≠，由于线段AB 的垂直平分线与,x y 轴都相交，所以0k ≠，由22184y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并化简得()222124280k x ktx t +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则()1212122242,21212kt tx x y y k x x t k k -+=+=++=++，所以222,1212ktt D k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭.线段AB 的垂直平分线的方程为22121212t kt y x k k k ⎛⎫-=-⋅+ ⎪++⎝⎭，令0y =，解得22,01212E kt kt x E k k --⎛⎫=⇒ ⎪++⎝⎭，令0x =，解得220,1212G t t y G k k --⎛⎫=⇒ ⎪++⎝⎭. 所以,D G 关于E 点对称，所以DE EG =，所以ADEAEGSS=.直线GF 的方程为()20120220tk y x --+-=--，令4x =，解得224,1212H t t y H k k ⎛⎫=⇒ ⎪++⎝⎭，所以,G H 关于F 对称，所以GF FH =，所以AGFAFHSS=.结合图象可知：1212S S =.【点睛】本题求四边形AEGF 和四边形ADGH 的面积比，常规的方法是借助弦长公式和点到直线距离来求面积，但本题用这个方法很难.在解题的过程中，求出,,,,D E G F H 的坐标后，要注意观察坐标间的对称性，结合对称性来求面积比，将问题求解大大简化.类型四范围与定值问题典例4已知椭圆C ：()2222 1x y a b c a b +=>>2()2,1P ．(1)求C 的方程；(2)若A ，B 是C 上两点，直线AB 与曲线222x y +=相切，求AB 的取值范围．【来源】重庆市2022届高三下学期开学考试数学试题【答案】(1)22163x y +=；(2)22,3⎡⎤⎣⎦ 【解析】（1）根据已知条件求得,,a b c ，由此求得椭圆C 的方程.（2）对直线AB 的斜率分成不存在，0k =，0k ≠三种情况进行分类讨论，结合弦长公式、基本不等式求得AB 的取值范围.(1)依题意22222224116,3c aa b c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⇒===⎨⎪=+⎪⎪⎩所以椭圆C 的方程为22163x y +=.(2)圆222x y +=的圆心为()0,0，半径2r =当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为2x 2x = 2222163x y x y ⎧=⎪⇒=⎨+=⎪⎩2222163x y x y ⎧=-⎪⇒=⎨+=⎪⎩ 所以22AB =当直线AB 的斜率为0时，直线AB 的方程为2y 2y =-2222163y x x y ⎧=⎪⇒=⎨+=⎪⎩2222163y x x y ⎧=-⎪⇒=⎨+=⎪⎩ 所以22AB =当直线AB 的斜率0k ≠时，设直线AB 的方程为,0y kx b kx y b =+-+=，由于直线AB 和圆222x y +=()2222211b b k k =++.22163y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并化简得()222124260k x kbx b +++-=， ()()222222164122648248k b k b k b ∆=-+-=+- ()22248248213280k k k =+-⨯+=+>.设()()1122,,,A x y B x y 则2121222426,1212kb b x x x x k k --+=⋅=++，所以()2222212122242614141212kb b AB k x x x x k k k --⎛⎫=++-=+-⋅ ⎪++⎝⎭()2422224242232845112222144144112k k k k k k k k k k ++++++++++2212122144k k=+>++另一方面，由于22221144448k k k k +⋅+≥=，当且仅当222114,2k k k ==时等号成立. 所以2211212131844k k++=++，即223AB ≤. 综上所述，AB 的取值范围是22,3⎡⎤⎣⎦.【举一反三】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为(2,0)F ，过点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆内一点P （0，t ），斜率为k 的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，设直线OM ，ON （O 为坐标原点）的斜率分别为k 1，k 2，若对任意k ，存在实数λ，使得12k k k λ+=，求实数λ的取值范围．【来源】江苏省扬州大学附中2021届高三下学期2月检测数学试题【答案】（1）22142x y +=；（2）[2,)+∞．【解析】（1）椭圆2222:1(0) x y C a b a b+=>>的右焦点为(2,0)F ，则2c =∵过点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，22221c y a b ∴+=，解得2b y a =±，222b a∴=，即2b a =，∴2222a b c a =+=+，解得2a =，∴椭圆的方程为22142x y +=，（2）设直线l 的方程为y kx t =+．由221? 42x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消元可得()222214240k x ktx t +++-=，设()()1122,,,M x y N x y ，则122421kt x x k -+=+，21222421t x x k -=+，而121212*********y y kx t kx tk k k t x x x x x x ⎛⎫+++=+=+=++ ⎪⎝⎭1222124422242x x kt kk t k t x x t t +--=+⋅=+⋅=--，由12k k k λ+=，242kk t λ-=-，因为此等式对任意的k 都成立，所以242t λ-=-，即242t λ=-．由题意得点(0,)P t 在椭圆内，故202t ≤<，即4022λ≤-<，解得2λ≥，故实数λ的取值范围为[2,)+∞．典例5 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点与短轴的两个端点组成的三角形是等腰直角三角形，点(10,1)P 是椭圆C 上一点． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设(,)R s t 是椭圆C 上的一动点，由原点O 向22()()4x s y t -+-=引两条切线，分别交椭圆C 于点P ，Q ，若直线,OP OQ 的斜率均存在，并分别记为12,k k ，求证：12k k ⋅为定值．【来源】云南省昭通市2022届高三期末数学（理）试题【答案】(1)22:1126x y C +=；(2)证明见解析【解析】（1）由椭圆的性质得出b c =，再将(10,1)P 代入椭圆方程，结合222a b c =+得出椭圆C 的标准方程；（2）设直线1:OP y x k =，直线2:OQ y k x =，根据距离公式得出12,k k 是方程()2224240s k stk t --+-=的两根，由韦达定理结合点(,)R s t 在椭圆上，得出12k k ⋅为定值．(1)解：由已知有222222,(10)11,,b c b a b c =⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩解得22212,6,6,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ ∴椭圆C 的方程为22:1126x y C +=.(2)证明：设直线1:OP y x k =，直线2:OQ y k x = 又直线OP 为圆R 12121k s t k -=+，化简可得()222114240s k stk t --+-=，同理可得()222224240s k stk t --+-=，∴12,k k 是方程()2224240s k stk t --+-=的两根，由()240,0s -≠∆>，可知212244t k k s -⋅=-，又(,)R s t 在椭圆上，即22162t s =-，∴22122212412442s t k k s s --⋅===---，∴12k k ⋅为定值12-．【举一反三】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过两点33,M ⎭，242N ⎝⎭. (1)求椭圆C 的方程：(2)A 、B 分别为椭圆C 的左、右顶点，点P 为圆224x y +=上的动点（P 不在坐标轴上），P A 与PB 分别与椭圆C 交E 、F 两点，直线EF 交x 轴于H 点，请问点P 的横坐标与点H 的横坐标之积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由.【来源】江西省景德镇市2022届高三第二次质检数学（理）试题【答案】(1)22143x y +=(2)点P 的横坐标与点H 的横坐标之积为定值，定值为4 【解析】（1）将两点代入椭圆方程解方程求出,a b 的值，确定椭圆方程（2）设P A 与PB 直线与椭圆联立，求出E 、F 两点的坐标表达式，写出直线EF 方程，求出与x 轴的交点H 点的坐标，联立两条直线求出P 点的坐标，计算乘积判断是否为定值(1)将,M N 点坐标代入椭圆方程得：222233141421216a b a b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ，解得：2234a b =⎧=⎪⎨⎪⎩ ，所以椭圆方程为22143x y +=(2)根据圆方程为224x y +=可知，AB 为圆的直径，点P 在圆上，所以PA PB ⊥，设直线PA 方程为：()2,0y k x k =+≠，联立()222143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 得：()2222341616120k x k x k +++-=，所以221612234A E E k x x x k -⋅=-=+，所以228634E k x k -+=+，代入直线得：21234E k y k =+；同理设直线PB 方程为：()12y x k =--，联立()2212143y x k x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：2222416163120x x k k k ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，则22221612161224343B F F k k x x x k k--⋅===++，所以228643F k x k -=+，21243Fk y k =+，所以2337E F EFE F y y k k x x k --==- ，直线EF 的方程为：222212338634734k k k y x k k k ⎛⎫--+-=- ⎪++⎝⎭，令0y =得：()()()()222222222234661278666343334333433H k k k k k k x k k k k k k -++-++=-⋅+==+-+-+-，联立直线PA ，PB ()()212y k x y x k =+⎧⎪⎨=--⎪⎩得：22221P k x k -=+，所以222222664133P H k k x x k k -+⋅=⋅=+-，所以点P 的横坐标与点H 的横坐标之积为定值，定值为4【精选名校模拟】1．已知椭圆2222C :1(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，直线1:22l y x =-+与椭圆C 有且仅有一个公共点A ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程及A 点坐标；（Ⅱ）设直线l 与x 轴交于点B ．过点B 的直线与C 交于E ，F 两点，记点A 在x 轴上的投影为G ，T 为BG 的中点，直线AE ，AF 与x 轴分别交于M ，N 两点．试探究||||TM TN ⋅是否为定值?若为定值，求出此定值；否则，请说明理由．【来源】湖南省长沙市第一中学、广东省深圳实验学校2021届高三下学期联考数学试题【答案】（1）2231,1,432x y A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；（2）||||TM TN ⋅为定值94 【解析】（1）设椭圆C 的半焦距为c ，则12c a =，则224a c =，22223b a c c =-=，所以椭圆C 的方程为：2222143x y c c+=，将椭圆C 的方程与直线l 的方程联立得：222430x x c -+-=, 所以244(43)0c ∆=-⨯-=，解得：21c =，所以24a =，23b =，故椭圆C 的方程为22143x y +=，此时将21c =代入222430x x c -+-=得：2210x x -+=，所以1x =，此时32y =。

解析几何经典练习题(含答案)

解析几何经典练习题(含答案)题目一：已知平面直角坐标系中两点A（-3，4）和B（5，-2），求直线AB的斜率和方程。

解答：直线AB的斜率可以使用斜率公式计算：斜率 = (y2 - y1) / (x2 - x1)其中，A的坐标为(x1, y1) = (-3, 4)，B的坐标为(x2, y2) = (5, -2)。

斜率 = (-2 - 4) / (5 - (-3)) = -6 / 8 = -3/4直线AB的方程可以使用点斜式来表示：y - y1 = m(x - x1)其中，m为斜率，(x1, y1)为直线上的任意一点。

将斜率和点A的坐标代入得到方程：y - 4 = (-3/4)(x + 3)化简得到直线AB的方程为：4y - 16 = -3x - 9整理得到标准形式方程：3x + 4y = 7答案：直线AB的斜率为 -3/4，方程为 3x + 4y = 7。

题目二：已知直线L的斜率为2，经过点A（3，-1），求直线L的方程。

解答：直线L的方程可以使用点斜式来表示：y - y1 = m(x - x1)其中，m为斜率，(x1, y1)为直线上的任意一点。

将斜率和点A的坐标代入得到方程：y - (-1) = 2(x - 3)化简得到直线L的方程为：y + 1 = 2x - 6整理得到标准形式方程：2x - y = 7答案：直线L的方程为 2x - y = 7。

题目三：已知直线L的方程为 3x + y = 5，求直线L的斜率和经过点A （2，-1）的方程。

解答：直线L的斜率可以从方程的标准形式中直接读取：3x + y = 5将方程转化成斜截式形式：y = -3x + 5可以看出直线L的斜率为-3。

经过点A（2，-1）的直线方程可以使用点斜式来表示：y - y1 = m(x - x1)其中，m为斜率，(x1, y1)为直线上的任意一点。

将斜率和点A的坐标代入得到方程：y - (-1) = -3(x - 2)化简得到通过点A的直线方程为：y + 1 = -3x + 6整理得到标准形式方程：3x + y = 5答案：直线L的斜率为-3，经过点A（2，-1）的方程为 3x + y = 5。

高考数学压轴专题重庆备战高考《平面解析几何》专项训练答案

【高中数学】《平面解析几何》知识点汇总一、选择题1．已知平面向量,,a b c r r r满足()()2,21a b a b a c b c ==⋅=-⋅-=r r r r r r r r ，则b c -r r 的最小值为（）A ．2B ．2C ．2-D ．12【答案】A 【解析】【分析】根据题意，易知a r 与b r的夹角为60︒，设(=1a r ，()20b =，r ，(),c x y =r ，由()()21a c b c -⋅-=r r r r ，可得221202x y x +-+=，所以原问题等价于，圆221202x y x +-+=上一动点与点()20，之间距离的最小值，利用圆心和点()20，的距离与半径的差，即可求出结果. 【详解】因为2a b a b ==⋅=r r r r ，所以a r 与b r 的夹角为60︒，设(=1a r ，()20b =，r ，(),c x y =r，因为()()21a c b c -⋅-=r r r r ，所以221202x y x +-+=，又b c -=r r所以原问题等价于，圆221202x y x +-+=上一动点与点()20，之间距离的最小值，又圆221202x y x +-+=的圆心坐标为1⎛ ⎝⎭，所以点()20，与圆221202x y x +-+=上一动点距离的最小值为22=. 故选：A. 【点睛】本题考查向量的模的最值的求法，考查向量的数量积的坐标表示，考查学生的转换思想和运算能力，属于中档题．2．设抛物线E ：26y x =的弦AB 过焦点F ，||3||AF BF =，过A ，B 分别作E 的准线的垂线，垂足分别是A '，B '，则四边形AA B B ''的面积等于( ) A．B．C．D．【答案】C 【解析】【分析】由抛物线的方程可得焦点坐标及准线方程，设直线AB 的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长AB ，由抛物线的性质可得梯形的上下底之和求出，求出A ，B 的纵坐标之差的绝对值，代入梯形的面积公式即可求出梯形的面积．【详解】解：由抛物线的方程可得焦点3(2F ，0)，准线方程：32x =-，由题意可得直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为：32x my =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线与抛物线的方程：2326x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理可得：2690y my --=，所以126y y m +=，129y y =-，21212()363x x m y y m +=++=+，因为||3||AF BF =，所以3AF FB =uu u r uu r，即13(2x -，123)3(2y x -=-，2)y ，可得：123y y =-，所以可得：2222639y m y -=⎧⎨-=-⎩即213m =，由抛物线的性质可得： 21233166668223AA BB AB x x m ''+==+++=+=+=g ，12||y y -===由题意可知，四边形AA B B ''为直角梯形，所以1211()||822AA B B S AA BB y y ''''=+-=gg g ，故选：C ．【点睛】本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的相交弦长，梯形的面积公式，属于中档题．3．已知抛物线C ：212y x =的焦点为F ，A 为C 上一点且在第一象限，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的准线于B ，D 两点，且A ，F ，B 三点共线，则AF =（）A ．16B ．10C ．12D ．8【答案】C 【解析】【分析】根据题意可知AD BD ⊥，利用抛物线的定义，可得30ABD ∠=︒，所以||||2612AF BF ==⨯=．【详解】解：因为A ，F ，B 三点共线，所以AB 为圆F 的直径，AD BD ⊥．由抛物线定义知1||||||2AD AF AB ==，所以30ABD ∠=︒．因为F 到准线的距离为6，所以||||2612AF BF ==⨯=．故选：C ．【点睛】本题考查抛物线的性质，抛物线的定义，考查转化思想，属于中档题．4．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322():16C x y x y =+恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程()223221)60(x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( ) A ．①③ B ．②④ C ．①②③ D ．②③④【答案】B 【解析】【分析】利用基本不等式得224x y +≤，可判断②；224x y +=和()3222216x y x y +=联立解得222x y ==可判断①③；由图可判断④.【详解】()2223222216162x y xyx y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，解得224x y +≤（当且仅当222x y ==时取等号），则②正确；将224x y +=和()3222216x y x y +=联立，解得222x y ==，即圆224x y +=与曲线C 相切于点2,2，(2,2-，(2,2，2,2-，则①和③都错误；由0xy <，得④正确. 故选：B. 【点睛】本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.5．已知1F 、2F 分别为双曲线22146x y -=的左、右焦点，M 为双曲线右支上一点且满足120MF MF ⋅=u u u u v u u u u v，若直线2MF 与双曲线的另一个交点为N ，则1MF N ∆的面积为（）A ．12B ．122C ．24D ．242【答案】C 【解析】【分析】设1MF m =，2MF n =，根据双曲线的定义和12MF MF ⊥，可求出6m =，2n =，再设2NF t =，则14NF t =+根据勾股定理求出6t =即可求出三角形的面积. 【详解】解：设1MF m =，2MF n =，∵1F 、2F 分别为双曲线22146x y -=的左、右焦点，∴24m n a -==，122210F F c ==.∵120MF MF ⋅=u u u u v u u u u v， ∴12MF MF ⊥，∴222440m n c +==， ∴()2222m n m n mn -=+-，即2401624mn =-=， ∴12mn =，解得6m =，2n =，设2NF t =，则124NF a t t =+=+，在1Rt NMF ∆中可得()()222426t t +=++，解得6t =， ∴628MN =+=， ∴1MF N ∆的面积111862422S MN MF =⋅=⨯⨯=. 故选C ．本题考查了双曲线的定义和向量的数量积和三角形的面积，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．6．已知抛物线24y x =上有三点,,A B C ，,,AB BC CA 的斜率分别为3，6，2-，则ABC ∆的重心坐标为（）A ．14,19⎛⎫⎪⎝⎭B ．14,09⎛⎫⎪⎝⎭C ．14,027⎛⎫⎪⎝⎭D ．14,127⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，进而用坐标表示斜率即可解得各点的纵坐标，进一步可求横坐标，利用重心坐标公式即可得解. 【详解】设()()()112233,,,,,,A x y B x y C x y 则1212221212124344AB y y y y k y y x x y y --====-+-，得1243y y +=，同理234263y y +==，31422y y +==--，三式相加得1230y y y ++=，故与前三式联立，得211231241,2,,3349y y y y x =-==-==，22214y x ==，233449y x ==，则12314327x x x ++=.故所求重心的坐标为14,027⎛⎫⎪⎝⎭，故选C. 【点睛】本题主要考查了解析几何中常用的数学方法，集合问题坐标化，进而转化为代数运算，对学生的能力有一定的要求，属于中档题.7．已知点P 是椭圆22221(0,0)x y a b xy a b+=>>≠上的动点，1(,0)F c -、2(,0)F c 为椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点，若M 是12F pF ∠的角平分线上的一点，且F 1M ⊥MP ，则|OM|的取值范围是( ) A ．(0,)c B ．(0,)aC ．(,)b aD ．(,)c a【答案】A 【解析】【详解】解：如图，延长PF 2，F 1M ，交与N 点，∵PM 是∠F 1PF 2平分线，且F 1M ⊥MP ， ∴|PN|=|PF 1|，M 为F 1F 2中点，连接OM ，∵O 为F 1F 2中点，M 为F 1F 2中点 ∴|OM|=|F 2N|=||PN|﹣|PF 2||=||PF 1|﹣|PF 2|| ∵在椭圆中，设P 点坐标为（x 0，y 0）则|PF 1|=a+ex 0，|PF 2|=a ﹣ex 0，∴||PF 1|﹣|PF 2||=|a+ex 0+a ﹣ex 0|=|2ex 0|=|ex 0| ∵P 点在椭圆上，∴|x 0|∈（0，a]，又∵当|x 0|=a 时，F 1M ⊥MP 不成立，∴|x 0|∈（0，a ） ∴|OM|∈（0，c ）．故选A ．8．已知,A B 两点均在焦点为F 的抛物线()220y px p =>上，若4AF BF +=，线段AB 的中点到直线2px =的距离为1，则p 的值为（） A ．1 B ．1或3C ．2D ．2或6【答案】B 【解析】4AF BF +=1212442422p px x x x p x p ⇒+++=⇒+=-⇒=-中因为线段AB 的中点到直线2px =的距离为1，所以121132px p p -=∴-=⇒=中或，选B. 点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若00(,)P x y 为抛物线22(0)y px p =>上一点，由定义易得02pPF x =+；若过焦点的弦AB AB 的端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则弦长为1212,AB x x p x x =+++可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．9．已知抛物线2:6C x y =的焦点为F 直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，若AB 中点的纵坐标为5，则||||AF BF +=（） A ．8 B ．11 C ．13 D ．16【答案】C 【解析】【分析】设点A 、B 的坐标，利用线段AB 中点纵坐标公式和抛物线的定义，求得12y y +的值，即可得结果；【详解】抛物线2:6C x y =中p ＝3，设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由抛物线定义可得：|AF |+|BF |＝y 1+ y 2+p ＝y 1+ y 2+3，又线段AB 中点M 的横坐标为122y y +=5， ∴12y y +＝10， ∴|AF |+|BF |＝13；故选：C . 【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用及中点坐标公式，是中档题．10．如图，设椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为椭圆在第二象限上的点，直线BO 交椭圆E 于点C ，若直线BF 平分线段AC 于M ，则椭圆E 的离心率是（） A ．12B ．23C ．13D ．14【答案】C 【解析】如图，设AC 中点为M ，连接OM ，则OM 为△ABC 的中位线，于是△OFM ∽△AFB ，且OF OM 1FAAB2==，即c c a -=12可得e=c a =13．故答案为13．点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.11．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于（）． A ．2 B ．22C ．4D ．42【答案】C 【解析】试题分析：设双曲线的焦距为2c ，双曲线的渐进线方程为，由条件可知，，又，解得，故答案选C ．考点：双曲线的方程与几何性质12．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，点()00,P x y 是直线40bx ay a -+=上任意一点，若圆()()22001x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（）．A ．(]1,2B ．(]1,4C ．[)2,+∞D ．[)4,+∞ 【答案】B 【解析】【分析】先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线bx ay 2a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离d ，根据圆()()2200x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，可得d 1≥，解得即可．【详解】由题意，双曲线2222x y C :1(a 0,b 0)a b-=>>的一条渐近线方程为b y x a =，即bx ay 0-=，∵()00P x ,y 是直线bx ay 4a 0-+=上任意一点，则直线bx ay 4a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离4a d c==， ∵圆()()2200x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则d 1≥， ∴41a c ≥，即4ce a=≤，又1e > 故e 的取值范围为(]1,4，故选：B ．【点睛】本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线C 的右支没有公共点得出d 1≥是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．13．设P 为椭圆C ：22x y 173+=上一动点，1F ，2F 分别为左、右焦点，延长1FP 至点Q ，使得2PQ PF =，则动点Q 的轨迹方程为( )A ．22(x 2)y 28-+=B ．22(x 2)y 7++=C ．22(x 2)y 28++=D ．22(x 2)y 7-+= 【答案】C 【解析】【分析】推导出12PF PF 2a +==2PQ PF =，从而11PFPQ FQ +==Q 的轨迹为圆，由此能求出动点Q 的轨迹方程．【详解】P Q 为椭圆C ：22x y 173+=上一动点，1F ，2F 分别为左、右焦点，延长1FP 至点Q ，使得2PQ PF =，12PF PF 2a ∴+==2PQ PF =，11PF PQ FQ ∴+==， Q ∴的轨迹是以()1F 2,0-为圆心，为半径的圆， ∴动点Q 的轨迹方程为22(x 2)y 28++=．故选：C ．【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查椭圆的定义、圆的标准方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．14．已知双曲线2219x y m-=的一个焦点在直线x ＋y ＝5上，则双曲线的渐近线方程为( )A ．34y x =? B ．43y x =±C ．3y x =±D ．4y x =±【答案】B 【解析】根据题意,双曲线的方程为2219x y m-=，则其焦点在x 轴上，直线5x y +=与x 轴交点的坐标为()5,0，则双曲线的焦点坐标为()5,0，则有925m +=，解可得，16m =，则双曲线的方程为：221916x y -=，其渐近线方程为：43y x =±，故选B.15．双曲线定位法是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位.通过船（待定点）接收到三个发射台的电磁波的时间差计算出距离差，两个距离差即可形成两条位置双曲线，两者相交便可确定船位.我们来看一种简单的“特殊”状况；如图所示，已知三个发射台分别为A ，B ，C 且刚好三点共线，已知34AB =海里，20AC =海里，现以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴建系.现根据船P 接收到C 点与A 点发出的电磁波的时间差计算出距离差，得知船P 在双曲线()222713664x y --=的左支上，根据船P 接收到A 台和B 台电磁波的时间差，计算出船P 到B 发射台的距离比到A 发射台的距离远30海里，则点P 的坐标（单位：海里）为（）A ．9011,77⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭B ．135322,77⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭C ．3217,3⎛⎫±⎪⎝⎭D ．(45,162±【答案】B 【解析】【分析】设由船P 到B 台和到A 台的距离差确定的双曲线方程为()22221x y x a a b-=≥，根据双曲线的定义得出15a =，再得出由船P 到B 台和到A 台的距离差所确定的双曲线为()2211522564x y x -=>，与双曲线()222713664x y --=联立，即可得出点P 坐标. 【详解】设由船P 到B 台和到A 台的距离差确定的双曲线方程为()22221x y x a a b-=≥由于船P 到B 台和到A 台的距离差为30海里，故15a =，又=17c ，故8b =故由船P 到B 台和到A 台的距离差所确定的双曲线为()2211522564x y x -=>联立()()()222227121366411522564x y x x y x ⎧--=<⎪⎪⎨⎪-=>⎪⎩，解得135322,7P ⎛ ⎝⎭ 故选：B 【点睛】本题主要考查了双曲线的应用，属于中档题.16．已知双曲线()2222100x y C a b a b-=：＞，＞的一条渐近线与圆22(23)4x y +-=相交于A ，B 两点，若|AB |＝2，则C 的离心率为（）A BC ．2D ．4【答案】C 【解析】【分析】求出双曲线的渐近线方程，圆的圆心与半径，利用距离公式得到a 、b 关系式，然后求解离心率即可．【详解】由题意可知不妨设双曲线的一条渐近线方程为：bx +ay ＝0，圆22(4x y +-=的圆心为(0,，半径为2，由题意及|AB |＝2，可得22212+=，222123a ab =+，即b 2＝3a 2，可得c 2﹣a 2＝3a 2，即224c a = 所以e ca==2．故选：C ．【点睛】本题主要考查求双曲线离心率的问题，此类问题的解题关键是建立,,a b c 的方程或不等关系，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.17．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交椭圆于P ，B 两点（点P 在第一象限），过椭圆的左顶点和上顶点的直线1l 与直线l 交于A 点，且满足AP BP <u u u v u u u v ，设O 为坐标原点，若(,)OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v ，29λμ=，则该椭圆的离心率为（）A ．35B ．1213C ．35或1213D ．45【答案】A 【解析】分析：根据向量共线定理及29λμ=，AP BP <u u uv u u u v ，可推出λ，μ的值，再根据过点F 作与x 轴垂直的直线l 交椭圆于P ，B 两点（点P 在第一象限），可推出P ，B 两点的坐标，然后求出过椭圆的左顶点和上顶点的直线1l 的方程，即可求得A 点的坐标，从而可得a ，b ，c 三者关系，进而可得椭圆的离心率.详解：∵A 、P 、B 三点共线，(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v∴1λμ+= 又∵29λμ=∴1323λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2313λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∵AP BP <u u u v u u u v ∴2313λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∵过点F 作与x 轴垂直的直线l 交椭圆于P ，B 两点（点P 在第一象限）∴2(,)b P c a，2(,)b B c a -∵过椭圆的左顶点和上顶点的直线1l 与直线l 交于A 点 ∴直线1l 的方程为为1x y a b+=- ∴()(,)a c bA c a+ ∵2133OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r∴222()1()33b a c b b a a a+=⋅+⋅-，即2b a c =+. ∴22224()2a c a ac c -=++，即223520a c ac --=. ∴25230e e +-= ∵(0,1)e ∈∴35e =故选A.点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．18．已知椭圆2221(1)x y a a+=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 是椭圆在第一象限上的一个动点，圆C 与1F A 的延长线，12F F 的延长线以及线段2AF 都相切，且()3,0M 为其中一个切点．则椭圆的离心率为（） A ．3 B ．22C ．2 D ．6 【答案】B 【解析】【分析】设圆C 与1F A 的延长线相切于点N ，与2AF 相切于点T ，由切线长相等和椭圆的定义，解方程得出3a =，求出c ，进而可得离心率. 【详解】设圆C 与1F A 的延长线相切于点N ，与2AF 相切于点T ，由切线长相等，得AN AT =，11F N F M =，22F T F M =，1(,0)F c -，2(,0)F c ，由椭圆的定义可得，122AF AF a +=，()111223+22+F N F M c AF AN a AF AN a AN AT TF ==+==-+=+-222(3)a F M a c =-=--，则26a =，即3a =，又1b =，所以2222c a b =-=，因此椭圆的离心率为22c e a ==. 故选：B.【点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，熟记椭圆的定义，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.19．已知直线1:(1)(1)20l a x a y -++-=和2:(1)210l a x y +++=互相垂直，则a 的值为（） A ．-1 B ．0C ．1D ．2【答案】A 【解析】分析：对a 分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．详解：1a =-时，方程分别化为：10210x y +=+=，，此时两条直线相互垂直，因此1a =-满足题意．1a ≠-时，由于两条直线相互垂直，可得：11()112a a a -+-⨯-=-+，解得1a =-，舍去．综上可得：1a =-. 故选A ．点睛：本题考查了两条直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题20．已知椭圆22:195x y C +=左右焦点分别为12F F 、，直线):2l y x =+与椭圆C 交于A B 、两点（A 点在x 轴上方），若满足11AF F B λ=u u u v u u u v，则λ的值等于（） A．B ．3C ．2D【答案】C 【解析】由条件可知，直线l 过椭圆的左焦点()12,0F -.由)222195y x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得232108630x x ++=，解得34x =-或218x =-．设1122(,),(,)A x y B x y ，由A 点在x 轴上方可得12321,48x x =-=-． ∵11AF F B λ=u u u v u u u v，∴1122(2,)(2,)x y x y λ---=+, ∴122(2)x x λ--=+． ∴3212()(2)48λ---=-+，解得2λ=．选C。

「重庆市双江中学高二解析几何例题(椭圆)」

直线与椭圆例题１,若直线y =x +t 与椭圆1422=+y x 相交于A 、Ｂ两点,当ｔ变化时，求｜ＡＢ|的最大值．[解析]：以y ＝ x+t 代入1422=+y x ，并整理得0448522=-++t tx x ①因为直线与椭圆相交，则△=0)44(206422>--t t，所以52<t ,即55<<-t ，设A （11,y x ），B （22,y x )，则A(t x x +11,）,B （t x x +22,）,且21,x x 是方程①的两根.由韦达定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=+5)1(45822121t x x t x x ，所以，弦长|ＡB|２=221)(x x -＋221)(y y -=2221)(x x - =2［221)(x x +214x x ⋅-] =２[2)58(t -5)1(442-⋅-t ] 得 |AB ｜=25254t -⋅所以当ｔ=0时,|AB|取最大值为1054． 2,已知椭圆的中心在原点O ，焦点在坐标轴上，直线ｙ = x +1与该椭圆相交于P 和Q ,且ＯP ⊥OQ ，｜PQ |=210，求椭圆的方程． [解析]：设所求椭圆的方程为12222=+by a x ,依题意，点P （11,y x )、Ｑ(22,y x )的坐标满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==+112222x y b y a x 解之并整理得0)1(2)(222222=-+++b a x a x b a 或0)1(2)(222222=-+-+a b y b y b a 所以222212b a a x x +-=+,222221)1(b a b a x x +-= ①222212b a b y y +=+,222221)1(b a a b y y +-= ② 由OP ⊥ＯQ 02121=+⇒y y x x 22222b a b a =+⇒③又由｜PQ |=2102212212)()(y y x x PQ -+-=⇒=2521221212214)(4)(y y y y x x x x -++-+⇒=2521221212214)(4)(y y y y x x x x -++-+⇒＝25④ 由①②③④可得：048324=+-b b 32222==⇒b b 或23222==⇒a a 或故所求椭圆方程为123222=+y x ,或OPQ xy122322=+y x 3,设F 1、F 2是椭圆14522=+y x 的左右焦点。

重庆市高考数学真题分类汇编专题10：平面解析几何(基础题)C卷

重庆市高考数学真题分类汇编专题10：平面解析几何（基础题）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二上·巴彦期中) 在平面直角坐标系中，双曲线中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，则它的离心率为（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高二上·佳木斯期末) 双曲线的左右焦点分别为，，且恰为抛物线的焦点，设双曲线与该抛物线的一个焦点为，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（）.A .B .C .D .3. （2分） (2017高二下·姚安期中) 已知抛物线x2=2y的焦点与椭圆 =1的一个焦点重合，则m=（）A .B .C . ﹣D . ﹣4. （2分） (2020高二上·林芝期末) 已知双曲线的焦距为，则的离心率为（）A .B .C .D .5. （2分）(2018·河北模拟) 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，且焦点在圆上，则该双曲线的标准方程为（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高二上·黑龙江期末) 设、为焦点在轴且具有公共焦点、的标准椭圆和标准双曲线的离心率，为坐标原点，是两曲线的一个公共点，且满足2 = ,则的值为（）A . 2B .C .D . 17. （2分）若双曲线(a>0.b>0)的渐近线与抛物线y=x2+2有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A . [3，+∞）B . （3，+∞）C . （1，3]D . （1，3）8. （2分） (2018高二上·巴彦期中) 已知双曲线的方程为，则下列关于双曲线说法正确的是（）A . 虚轴长为B . 焦距为C . 离心率为D . 渐近线方程为9. （2分） (2018高二上·集宁月考) 椭圆的离心率为（）A .B .C .D .10. （2分）(2017·辽宁模拟) 设函数，若曲线上存在（x0 ， y0），使得f（f（y0））=y0成立，则实数m的取值范围为（）A . [0，e2﹣e+1]B . [0，e2+e﹣1]C . [0，e2+e+1]D . [0，e2﹣e﹣1]11. （2分） (2016高二上·包头期中) F是双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的右焦点．过点F向C的﹣条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若3 = ，则C的心离心率是（）A .B . 2C .D .12. （2分） (2018高二上·合肥期末) 已知椭圆和点、，若椭圆的某弦的中点在线段上，且此弦所在直线的斜率为，则的取值范围为（）A .B .C .D .二、填空题 (共8题；共9分)13. （1分） (2016高二上·包头期中) 若命题p：曲线 =1为双曲线，命题q：函数f（x）=（4﹣a）x在R上是增函数，且p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是________．14. （1分）(2018·普陀模拟) 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），椭圆的参数方程为（为参数），则直线与椭圆的公共点坐标为________.15. （2分）(2018高三上·重庆期末) 当正实数变化时，斜率不为0的定直线始终与圆相切，则直线的方程为________。

重庆市高考数学07-11年解析几何解答题答案

１一、解答题1. （本题12分）解：（Ⅰ）设C 的标准方程为22221(00)x y a b a b-=>>，，则由题意c c e a ===，因此21a b ===，，C 的标准方程为1422=-y x ．C 的渐近线方程为x y 21±=，即 02=-y x 和02=+y x ．（Ⅱ）解法一：如答（20）图，由题意点()E E E x y ，在直线44:111=+y y x x l 和44:222=+y y x x l 上，因此有4411=+E E y y x x ，4422=+E E y y x x ，故点M 、N 均在直线44=+yy x x E E 上，因此直线MN 的方程为44=+y y x x E E ．设G 、H 分别是直线MN 与渐近线02=-y x 及02=+y x 的交点，由方程组4420E E x x y y x y +=⎧⎨-=⎩，及4420,E E x x y y x y +=⎧⎨+=⎩，解得EE H E E G y x y y x y 22,22--=+=．设MN 与x 轴的交点为Q ，则在直线44=+y y x x E E 中，令0=y 得EQ x x 4=（易知)0≠E x ．注意到4422=-E E y x ，得222||14114||||||22||22|||4|E OGH G H E E E E E E E E x S OQ y y x x y x y x x y =⋅⋅-=⋅+=⋅=+--△．解法二：设()E E E x y ，，由方程组２11224444x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩，，解得2112122112214()E Ey y x x x y x y x y x y x y --==--，因12x x ≠，则直线MN 的斜率EE y xx x y y k 41212-=--=．故直线MN 的方程为)(411x x y x y y EE--=-，注意到4411=+E E y y x x ，因此直线MN 的方程为44=+y y x x E E ．下同解法一．2. （本题12分）解：（Ⅰ）设C的标准方程为22221(0)x ya b a b-=>，，则由题意c =c e a ==，因此21a b ===，，C 的标准方程为1422=-y x．C 的渐近线方程为x y 21±=，即02=-y x 和02=+y x ．（Ⅱ）解法一：如答（21）图，由题意点()E E E x y ，在直线44:111=+y y x x l 和44:222=+y y x x l 上，因此有4411=+E E y y x x ，4422=+E E y y x x ，故点M 、N 均在直线44=+yy x x E E 上，因此直线MN 的方程为44=+y y x x E E ．设G 、H 分别是直线MN 与渐近线02=-y x 及02=+y x 的交点，３由方程组4420E E x x y y x y +=⎧⎨-=⎩，及4420,E E x x y y x y +=⎧⎨+=⎩，解得44,,2222,.22G H E EE EGHE E E E x x x y x y y y x y x y ⎧⎧==⎪⎪+-⎪⎪⎨⎨-⎪⎪==⎪⎪+-⎩⎩故44222222E E E E E E E EOG OH x y x y x y x y =-+-+-22124E Ex y =-．因为点E 在双曲线1422=-y x 上，有2244E E x y -=，所以OG OH =221234E Ex y =-．解法二：设()E E E x y ，，由方程组11224444x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩，，解得2112122112214()E Ey y x x x y x y x y x y x y --==--，，因12x x ≠，则直线MN 的斜率EE y xx x y y k 41212-=--=．故直线MN 的方程为)(411x x y x y y EE--=-，注意到4411=+E E y y x x ，因此直线MN 的方程为44=+y y x x E E ．下同解法一．3. 解：（I ）设椭圆方程为22221x ya b+=．因焦点为(30)F ，，故半焦距3c =．答（22）图４又右准线l 的方程为2a x c=，从而由已知221236a a c==，，因此6a =，b ==故所求椭圆方程为2213627x y +=．（II ）记椭圆的右顶点为A ，并设i i AFP α∠=（i =1，2，3），不失一般性，假设1203απ<≤，且2123ααπ=+，3143ααπ=+．又设点i P 在l 上的射影为i Q ，因椭圆的离心率12c e a ==，从而有2cos i i i i i a FP PQ e c FP e c α⎛⎫==-- ⎪⎝⎭1(9cos )2i i FP α=- (123)i =，，．解得1211cos 92i i FP α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(123)i =，，．因此11112311121243cos cos cos 9233FP FP FP ααα⎡⎤⎛ππ⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，而11124cos cos cos 33αααππ⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111111cos cos cos 022ααααα=--+=，故12311123FP FP FP ++=为定值．4. （本小题12分）（I ）解：设抛物线的标准方程为22y px =，则28p =，从而4p =．题（22）图５因此焦点02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，的坐标为(20)，，又准线方程的一般式为2p x =-．从而所求准线的方程为2x =-．（II ）解法一：如答21图作AC l ⊥，BD l ⊥，垂足分别为C D ，，则由抛物线的定义知FA AC =，FB BD =．记A B ，的横坐标分别为A x ，B x ，则cos 222A p p p FA AC x FA α==+=++ cos 4FA α=+，解得41cos FA α=-．类似地有4cos FB FB α=-，解得41cos FB α=+．记直线m 与AB 的交点为E ，则1()22FA FB FE FA AE FA FA FB +=-=-=-21444cos 21cos 1cos sin αααα⎛⎫=-= ⎪-+⎝⎭．所以24cos sin FE FP αα==．故222442sin cos 2(1cos 2)8sin sin FP FP ααααα-=-==·．解法二：设()A A A x y ，，()B B B x y ，，直线AB 的斜率为tan k α=，则直线方程为(2)y k x =-．将此式代入28y x =得22224(2)40k x k x k -++=，故224(2)A B k x x k++=．记直线m 与AB 的交点为()E E E x y ，，则222(2)2A B E x x k x k +--=，4(2)E Ey k x k =-=，故直线m 的方程为224124k y x k k k ⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭，令0y =，得点P 的横坐标22244p k x k +=+，故2224(1)4sin P Ek FP x x k α+=-==．６从而222442sin cos 2(1cos 2)8sin sin FP FP ααααα-=-== 为定值．5. （本小题12分）解：（Ⅰ）由题设条件知焦点在y 轴上，故可设椭圆方程为22221(0)x y a b b a+=>>．设c =y =2a c =e =ca =，解得2a =，c =1b =，椭圆的方程为2214y x +=．又易知C ，D 两点是椭圆2214y x +=的焦点，所以||||24MC MD a +==，从而22||||||||242MC MD MC MD +⎛⎫== ⎪⎝⎭≤，当且仅当||||MC MD =，即点M 的坐标为(10)±，时上式取等号，||||MC MD 的最大值为4．（Ⅱ）如答（20）图，设()M M M x y ，，()B B B x y ，，()Q Q Q x y ，．因为(0)M N x ，，OM ON OQ +=，故2Q M x x =，Q M y y =．2222(2)4Q QM Mx y x y +=+=．① 因为0QA BA = ，(1)(1)Q Q B B x y x y ---- ，，=(11)0Q B Q B x x y y --+=)(，所以1Q BQ B B Q x x y y x x +=+-．②记P 点的坐标为()P P x y ，，因为P 是BQ 的中点，所以2P Q B x x x =+，2P Q B y y y =+．又因为221BB x y +=，结合①，②得７22221(()())4P P Q B Q B x y x x y y +=+++ 22221(2())4Q B Q B Q B Q B x x y y x x y y =+++++ 1(52(1))4Q B x x =++- 34P x =+．故动点P 的轨迹方程为22112x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．6. （本小题12分）解：（Ⅰ）由题意知，双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线的方程2222100x y a b a b -=>>（，）．设c =5x =25a c =，由e =c a =解得1a c ==，从而2b =，双曲线的方程为2214y x -=．（Ⅱ）如图，设点D的坐标为），则点A D ，是双曲线的焦点，22MA MD a -==．所以22MA MB MB MD BD +=+++≥．因为B是圆21xy +=2（上的点，圆的圆心为C（0，半径为1，故BD CD ≥，从而2MA MB BD ++≥．当点M B ，在线段CD 上时上式取等号，MA MB +．因为直线CD的方程为y x =-M 点在双曲线右支上，故0x >．由方程组2244x y y x ⎧-=⎪⎨=-+⎪⎩，解得x y ==M点的坐标为⎝⎭．８7. （本小题12分）解：（Ⅰ）由椭圆的定义，点P 的轨迹是以M N ，为焦点，长轴长26a =的椭圆．因此半焦距2c =，长半轴3a =，从而短半轴b 所以椭圆的方程为22195x y +=．（Ⅱ）由21cos PM PN MPN⋅=-，得cos 2PM PN MPN PM PN ⋅=⋅-． ①因为cos 1MPN ≠，P 不为椭圆长轴顶点，故P M N ，，构成三角形，在PMN △中，4MN =，由余弦定理有2222cos MN PM PN PM PN MPN =+-⋅．②将①代入②，得22242(2)PM PN PM PN =+-⋅-．所以2()12PMPN -=，即PM PN -=故点P 在以M N ，为焦点，实轴长为2213x y -=上．由（Ⅰ）知，点P 的坐标又满足22195x y +=，所以由方程组2222594533x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，．解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即P 点坐标为⎝⎭，⎝⎭，⎛ ⎝⎭或⎛ ⎝⎭．8. （本小题12分）解：（Ⅰ）由双曲线的定义，点P 的轨迹是以M N ，为焦点，实轴长22a =的双曲线．因此半焦距2c =，实半轴1a =，从而虚半轴b =所以双曲线的方程为2213y x -=．答（21）图９（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）及答（21）图，易知1PN ≥，因22PM PN =，①知PM PN >，故P 为双曲线右支上的点，所以2PM PN =+．②将②代入①，得2220PN PN --=，解得PN =，所以PN =．因为双曲线的离心率2ce a==，直线12l x =：是双曲线的右准线，故2PNe d==，所以12d PN =，因此22441PM PM PN PN d PN PN====解法二：设()P x y ，．因1PN ≥知222PM PN PN PN =>≥，故P 在双曲线右支上，所以1x ≥．由双曲线方程有2233y x =-．因此21PM x ====+，PN ==从而由22PM PN =得2212(441)x x x +=-+，即281010x x -+=．所以x =（舍去x =）．１０有21PM x =+=，12d x =-=．故1PM d==9. 解：（1）由22c a e a c ===解得2222,2a c b a c ===-=，故椭圆的标准方程为221.42x y += （2）如下图，设1122(,),(,),(,)P x y M x y N x y ，则由2OP OM ON =+，得112212121212(,)(,)2(,)(2,2),2,2.x y x y x y x x y y x x x y y y =+=++=+=+即因为点M ，N 在椭圆2224xy +=上，所以2222112224,24x y x y +=+=，故222222121212122(44)2(44)xy x x x x y y y y +=+++++2222112212121212(2)4(2)4(2)204(2).x y x y x x y y x x y y =+++++=++设,OM ON k k 分别为直线,OM ON 的斜率，由题设条件知１１班级 _______________________ 姓名_____________ 考场号__________ 考号_________--------------------------------------------密--------------------封-------------------线---------------------------------------- 12121,2OM ON y y k k x x ⋅==-因此121220,x x y y += 所以22220.x y +=所以P 点是椭圆221+=上的点，该椭圆的右焦点为F ，离心率:e l x ==直线是该椭圆的右准线，故根据椭圆的第二定义，存在定点F ，使得|PF |与P 点到直线l 的距离之比为定值.。

专题09 解析几何专题(数学文化)(原卷版)2023年新高考数学创新题型微专题

A．
1 59
B．
1 2
C． 29 56
D．
1 57
7．（2022 秋·福建·高二校联考期中）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点 M , N 是锐角 AQB 的一边 QA
上的两点，试在 QB 边上找一点 P ，使得 MPN 最大.”如图，其结论是：点 P 为过 M ， N 两点且和射线 QB
相切的圆与射线 QB 的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系 xOy 中，给定两点
我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘
积，已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的面积为 6
2 ，两个焦点分别为 F1, F2 ，点 P 为椭圆 C 的上顶点．直
线 y kx 与椭圆 C 交于 A，B 两点，若 PA, PB 的斜率之积为 8 ，则椭圆 C 的长轴长为（） 9
R 的纵坐标为（）
A． 3
B．2
C． 2 3
D．4
6．（2022 秋·新疆乌鲁木齐·高二乌市八中校考期中）德国天文学家开普勒发现天体运行轨道是椭圆，已知地
球运行的轨道是一个椭圆，太阳在它的一个焦点上，若轨道近日点到太阳中心的距离和远日点到太阳中心
的距离之比为 28 : 29 ，那么地球运行轨道所在椭圆的离心率是（）
A．3
B．6
C． 2 2
D． 4 2
12．（2022 秋·北京·高二北京工业大学附属中学校考期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形
少数时难入微.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如： x a2 y b2 可以转化为

2023-2024学年重庆市巴南区高中数学人教A版必修二第八章立体几何专项提升-4-含解析

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年重庆市巴南区高中数学人教A 版必修二第八章立体几何专项提升(4)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）1. 一个与球心距离为1的平面截球体所得的圆面面积为，则球的体积为( )A. B. C.D.3π+ π3π+2π6π+2 π6π+ π2. 如图，直角梯形ABCD中，AD ⊥DC ，AD ∥BC ，BC=2CD=2AD=2，若将直角梯形绕BC 边旋转一周，则所得几何体的表面积为（）A. B. C. D. 垂直于同一平面的两条直线平行垂直于同一直线的两条直线平行没有公共点的两条直线平行平行于同一平面的两条直线平行3. 在空间中，下列说法正确的是（）A. B. C. D. ∥ ∥4. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D. 5. 已知m ，n 为两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题为真命题的是（）A. B.C. D.6. 已知正三棱锥P ﹣ABC 的高PO 为h ，点D 为侧棱PC 的中点，PO 与BD 所成角的余弦值为，则正三棱锥P ﹣ABC 的体积为（）A. B. C. D. b ∥α相交 b α b α、相交或平行7. 若a ，b 是异面直线，且a ∥平面α，则b 与α的位置关系是（）A. B. C. D. 248. 如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形，且直观图的面积为2，则该平面图形的面积为（）A. B. C. D.9. 在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为正三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球表面积为（）A. B. C. D.相交异面平行异面或相交10. 若a ，b 是异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是（）A. B. C. D. 充要条件充分不必要条件必要不充分条件不充分也不必要条件11. “直线l 与平面a 内无数条直线都平行”是“直线l 与平面a 平行”的（）A. B. C. D. 12. 在三棱锥中，两两垂直，且，半径为1的球在该三棱锥内部且与面､面､面均相切.若平面与球相切，则三棱锥的外接球被平面所截得的截面面积的最小值为（）A. B. C. D.阅卷人二、填空题（共4题，共20分）得分13. 一个正四面体木块如图所示，点是棱的中点．过点将木块锯开，使截面平行于棱和，若木块的棱长为，则截面面积为14. 已知底面为正三角形的直三棱柱，，则三棱柱的外接球的表面积为 .15. 三条直线两两相交，可确定平面的个数是个16. 某多面体的三视图如图所示，则该多面体外接球的体积为．17. 如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠BAD=90°，AB=AD= CD=1，如图2，将△ABD沿BD折起来，使平面ABD⊥平面BCD，设E为AD的中点，F为AC上一点，O为BD的中点．（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；、（Ⅱ）若三棱锥A﹣BEF的体积为，求二面角A﹣BE﹣F的余弦值的绝对值．18. 如图，在三棱柱， F为AC中点．(1) 求证：平面．(2) 若此三棱柱为正三梭柱，且，求的大小.19. 在四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为菱形，侧面ABE为等边三角形，且侧面ABE⊥底面BCDE，O，F分别为BE，DE的中点．（I）求证：AO⊥CD；（II）求证：平面AOF⊥平面ACE．20. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，在四边形ABCD中，∠ABC= ，AB=4，BC=3，CD= ，AD=2 ，PA=4.(1) 证明：CD⊥平面PAD；(2) 求二面角B-PC-D的余弦值..21. 如图（1），△BCD中，AD是BC边上的高，且∠ACD＝45°，AB＝2AD，E是BD的中点，将△BCD沿AD翻折，使得平面A CD⊥平面ABD，得到的图形如图（2）．(1) 求证：AB⊥CD；(2) 求直线AE与平面BCE所成角的正弦值．答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.(1)(2)19.(1)(2)21.(1)(2)。

【名校】重庆市南开中学高三数学解析几何专练(理)新人教版

重庆市南开中学2010届高三解析几何专练（理）一、选择题：1、若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（） A 、 03=--y x B 、032=-+y x C 、01=-+y xD 、052=--y x2、已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（） A 、13BC 、12D3、设O 为坐标原点，点M （2，1），点N （x ，y ）满足433525,||cos 1x y x y ON MONx -≤-⎧⎪+≤∠⎨⎪≥⎩则的最大值为（） A 、512 B 、5512 C 、55 D 、125 4、设离心率为e 的双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，直线l 过焦点F ，且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左、右两支都相交的充要条件是（） A 、221k e -> B 、221k e -<C 、221e k ->D 、221e k -<5、已知直线)0)(2(>+=k x k y 与抛物线C:x y 82=相交A 、B 两点，F 为C 的焦点。

若FB FA 2=,则k= （）A 、31 B 、32 C 、32 D 、322 6、如图, 直线MN 与双曲线C: 22221x y a b-=的左右两支分别交于M 、N 两点, 与双曲线C 的右准线相交于P 点, F 为右焦点,若||2||FM FN =，又NP P M λ=，则实数λ的值为（）A 、 12B 、 1C 、2D 、 137、已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3FA FB =,则||AF = （） A、 2 C、 38、已知椭圆2221(1)x y a a +=>上一点P ，求P 点到椭圆短轴端点距离的最大值为（）A2B 、2 C、2(2(1a a ⎧≥<<⎩ D、2(2(1a a ⎧≥<<⎩9、设圆C ：223x y +=，直线063:=-+y x l ，点()l y x P ∈00,，使得存在点C Q ∈，使60OPQ ∠=(O 为坐标原点),则0x 的取值范围是（） A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21 B 、[]1,0 C 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡56,0 D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,2110、点P 在双曲线右支上运动，则12PF F ∆的内心轨迹是（）A 、椭圆的一部分B 、抛物线的一部分C 、直线的一部分D 、圆的一部分二、填空题：11、若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a = ． 12、已知点P 是以12,F F 为焦点的椭圆上的点，且212PF F F ⊥，123tan 4PF F ∠=，则椭圆离心率为________。

重庆市高考数学真题分类汇编专题10：平面解析几何(基础题)C卷(模拟)

重庆市高考数学真题分类汇编专题10：平面解析几何（基础题）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知双曲线的离心率2，则该双曲线的实轴长为（）A . 2B . 4C .D .2. （2分） (2019高三上·镇海期中) 已知椭圆和双曲线有相同的焦点，设点P是该椭圆和双曲线的一个公共点，且，若椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最小值为（）A .B .C .D .3. （2分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线和抛物线y=x2+相切，则双曲线的离心率是（）sA .B .C . 2D .4. （2分）已知是双曲线上的不同三点，且连线经过坐标原点，若直线的斜率乘积，则该双曲线的离心率=（）A .B .C .D .5. （2分）已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离是2，则抛物线C2的方程是（）A . =8xB . =xC . =xD . =16x6. （2分）(2018·河北模拟) 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，且焦点在圆上，则该双曲线的标准方程为（）A .B .C .D .7. （2分）(2012·新课标卷理) 等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，则C的实轴长为（）A .B .C . 4D . 88. （2分） (2018高二下·磁县期末) 方程表示双曲线的一个充分不必要条件是A .B .C .D .9. （2分）若双曲线与椭圆（m>b>0 ）的离心率之积大于1，则以a,b,m为边长的三角形一定是（）A . 等腰三角形B . 直角三角形C . 锐角三角形D . 钝角三角形10. （2分） (2015高二下·双流期中) 方程 =﹣1表示的曲线即为函数y=f（x），有如下结论：（）①函数f（x）在R上单调递减；②函数F（x）=4f（x）+3x不存在零点；③函数y=f（x）的值域是R；④若函数g（x）和f（x）的图象关于原点对称，则函数y=g（x）的图象就是方程 =﹣1确定的曲线．其中所有正确的命题序号是（）A . ①②B . ②③C . ①③④D . ①②③11. （2分）(2017·江西模拟) 已知双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，以双曲线C的实轴为直径的圆Ω与双曲线的渐近线在第一象限交于点P，若kFP=﹣，则双曲线C的渐近线方程为（）A . y=±xB . y=±2xC . y=±3xD . y=±4x12. （2分） (2018高二上·阜城月考) 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点，为坐标原点，若的面积为，则双曲线的离心率为（）A .B . 2C .D . 4二、填空题 (共8题；共9分)13. （1分）已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2 ．若C1的渐近线方程为y=±x，则C2的渐近线方程为________ ．14. （1分）椭圆上的点到直线x﹣y+6=0的距离的最小值为________．15. （2分） (2015高一下·沈阳开学考) 直线x﹣y+2 =0上的点P到圆x2+y2=1的切线长最短为________．16. （1分） (2016高二上·江北期中) 已知F1、F2是椭圆 +y2=1的两个焦点，P是该椭圆上的一个动点，则|PF1|•|PF2|的最大值是________．17. （1分） (2017高一下·会宁期中) 在极坐标系中，已知点A（1，），点P是曲线ρsin2θ=4cosθ上任意一点，设点P到直线ρcosθ+1=0的距离为d，则丨PA丨+d的最小值为________．18. （1分） (2017高二上·海淀期中) 设椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点是同一个正三角形的顶点，焦点与椭圆上的点的最短距离为，则这个椭圆的方程为________，离心率为________．19. （1分） (2016高二上·苏州期中) 已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m ＞0），若圆C上存在点P使得∠APB=90°，则m的最大值为________．20. （1分）(2018·郑州模拟) 已知双曲线的右焦点为，过点向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的渐近线方程为________.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共8题；共9分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、。

高考数学压轴专题重庆备战高考《平面解析几何》图文解析

高中数学《平面解析几何》复习知识点一、选择题1．如图，12,F F 是双曲线221:13y C x -=与椭圆2C 的公共焦点，点A 是1C ，2C 在第一象限的公共点，若112F A F F =，则2C 的离心率是（）A ．13B ．15C ．23D ．25【答案】C 【解析】由221:13y C x -=知2c =，1124F A F F == ∵122F A F A -=∴22F A =∵由椭圆得定义知1226a F A F A =+=∴23,3c a e a === 故选C2．已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(2,1)Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（）A ．(1,14)B ．1(,1)4-C ．(1,2)D ．(1,2)-【答案】A【解析】【分析】【详解】试题分析：抛物线24y x =焦点为F （1,0），准线为1x =-，作PQ 垂直于准线，垂足为M 根据抛物线定义：，PQ PF PQ PM +=+，根据三角形两边距离之和大于第三边，直角三角形斜边大于直角边知：PQ PM +的最小值是点Q 到抛物线准线1x =-的距离；所以点P 纵坐标为1，则横坐标为14,即(1,14)，故选A考点：抛物线的定义及几何性质的运用.3．已知抛物线2:6C x y =的焦点为F 直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，若AB 中点的纵坐标为5，则||||AF BF +=（）A ．8B ．11C ．13D ．16 【答案】C【解析】【分析】设点A 、B 的坐标，利用线段AB 中点纵坐标公式和抛物线的定义，求得12y y +的值，即可得结果；【详解】抛物线2:6C x y =中p ＝3，设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由抛物线定义可得：|AF |+|BF |＝y 1+ y 2+p ＝y 1+ y 2+3，又线段AB 中点M 的横坐标为122y y +=5， ∴12y y +＝10，∴|AF |+|BF |＝13；故选：C .【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用及中点坐标公式，是中档题．4．已知直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（） A ．12k > B ．16k <-或12k > C ．62k -<< D ．1162k -<< 【答案】D【解析】【分析】联立21122y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，可解得交点坐标(,)x y ，由于直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限，可得00x y >⎧⎨>⎩，解得即可．【详解】解：联立21122y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得24216121k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， Q 直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限， ∴2402161021k k k k -⎧>⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩，解得：1162k -<<．故选：D ．【点睛】本题考查两直线的交点和分式不等式的解法，以及点所在象限的特征．5．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的两个焦点分别为1F ,2F ，以12F F 为直径的圆交双曲线C 于P ,Q ,M ,N 四点，且四边形PQMN 为正方形，则双曲线C 的离心率为（）A．2BC．2D【答案】D【解析】【分析】设P 、Q 、M 、N分别为第一、二、三、四象限内的点，根据对称性可得出,22P c c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入双曲线C 的方程，即可求出双曲线C 的离心率. 【详解】设双曲线C 的焦距为()20c c >，设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点，由双曲线的对称性可知，点P 、Q 关于y 轴对称，P 、M 关于原点对称，P 、N 关于x 轴对称，由于四边形PQMN 为正方形，则直线PM 的倾斜角为4π，可得,22P c c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入双曲线C 的方程得2222122c c a b-=，即()22222122c c a c a -=-，设该双曲线的离心率为()1e e >，则()2221221e e e -=-，整理得42420e e -+=，解得22e =，因此，双曲线C故选：D.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线上关键点的坐标，考查计算能力，属于中等题.6．设抛物线E ：26y x =的弦AB 过焦点F ，||3||AF BF =，过A ，B 分别作E 的准线的垂线，垂足分别是A '，B '，则四边形AA B B ''的面积等于( )A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】由抛物线的方程可得焦点坐标及准线方程，设直线AB 的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长AB ，由抛物线的性质可得梯形的上下底之和求出，求出A ，B 的纵坐标之差的绝对值，代入梯形的面积公式即可求出梯形的面积．【详解】解：由抛物线的方程可得焦点3(2F ，0)，准线方程：32x =-，由题意可得直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为：32x my =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线与抛物线的方程：2326x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理可得：2690y my --=，所以126y y m +=，129y y =-，21212()363x x m y y m +=++=+，因为||3||AF BF =，所以3AF FB =uu u r uu r ，即13(2x -，123)3(2y x -=-，2)y ，可得：123y y =-，所以可得：2222639y m y -=⎧⎨-=-⎩即213m =，由抛物线的性质可得：21233166668223AA BB AB x x m ''+==+++=+=+=g ，12||y y -===由题意可知，四边形AA B B ''为直角梯形，所以1211()||84316322AA B B S AA BB y y ''''=+-==g g g ，故选：C ．【点睛】本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的相交弦长，梯形的面积公式，属于中档题．7．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322():16C x y x y =+恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程()223221)60(x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( )A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④ 【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式得224x y +≤，可判断②；224x y +=和()3222216x y x y +=联立解得222x y ==可判断①③；由图可判断④.【详解】()2223222216162x y x y x y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，解得224x y +≤（当且仅当222x y ==时取等号），则②正确；将224x y +=和()3222216x y x y +=联立，解得222x y ==，即圆224x y +=与曲线C 相切于点，(，(，，则①和③都错误；由0xy <，得④正确.故选：B.【点睛】本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.8．已知双曲线2222:1(0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线E 上的一点，且212||PF PF =.若直线2PF 与双曲线E 的渐近线交于点M ，且M 为2PF 的中点，则双曲线E 的渐近线方程为( )A ．13y x =± B ．12y x =± C ．2y x =± D ．3y x =±【答案】C【解析】【分析】由双曲线定义得24PF a =，12PF a =，OM 是12PF F △的中位线，可得OM a =，在2OMF △中，利用余弦定理即可建立,a c 关系，从而得到渐近线的斜率.【详解】根据题意，点P 一定在左支上. 由212PF PF =及212PF PF a -=，得12PF a =，24PF a =，再结合M 为2PF 的中点，得122PF MF a ==，又因为OM 是12PF F △的中位线，又OM a =，且1//OM PF ，从而直线1PF 与双曲线的左支只有一个交点.在2OMF △中22224cos 2a c a MOF ac+-∠=.——① 由2tan b MOF a ∠=，得2cos a MOF c∠=. ——② 由①②，解得225c a=，即2b a =，则渐近线方程为2y x =±. 故选：C.【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程，涉及到双曲线的定义、焦点三角形等知识，是一道中档题.9．若双曲线223mx my -=3的一个焦点是()0,2,则m 的值是A ．-1B ．1C ．1020- D．102【答案】A【解析】双曲线223mx my -=3的标准方程为22113x y m m-=, ∵焦点在y 轴上,∴134m m+=,且0m <, ∴ 1.m =-故选A ．10．在矩形ABCD 中，已知3AB =，4=AD ，E 是边BC 上的点，1EC =，EF CD ∥，将平面EFDC 绕EF 旋转90︒后记为平面α，直线AB 绕AE 旋转一周，则旋转过程中直线AB 与平面α相交形成的点的轨迹是（）A ．圆B ．双曲线C ．椭圆D ．抛物线【答案】D【解析】【分析】利用圆锥被平面截的轨迹特点求解【详解】由题将平面EFDC 绕EF 旋转90︒后记为平面α，则平面α⊥平面ABEF ,，又直线AB 绕AE 旋转一周，则AB 直线轨迹为以AE 为轴的圆锥，且轴截面为等腰直角三角形，且面AEF 始终与面EFDC 垂直，即圆锥母线AF ⊥平面EFDC 则则与平面α相交形成的点的轨迹是抛物线故选：D【点睛】本题考查立体轨迹，考查圆锥的几何特征，考查空间想象能力，是难题11．已知P 是双曲线2221(0)8x y a a -=>上一点，12,F F 为左、右焦点，且19PF =，则“4a =”是“217PF =”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】化简得到229PF a =+或292PF a =-，故当4a =时，217PF =或21PF =；当217PF =时，4a =，得到答案.【详解】P 是双曲线2221(0)8x y a a -=>上一点，12,F F 为左、右焦点，且19PF =，则229PF a =+或292PF a =-，当4a =时，217PF =或21PF =；当217PF =时，4a =.故“4a =”是“217PF =”的必要不充分条件.故选：B .【点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力.12．已知椭圆22:195x y C +=左右焦点分别为12F F 、，直线):32l y x =+与椭圆C 交于A B 、两点（A 点在x轴上方），若满足11AF F B λ=u u u v u u u v ，则λ的值等于（） A ．23 B ．3 C ．2 D ．3【答案】C【解析】由条件可知，直线l 过椭圆的左焦点()12,0F -. 由()2232195y x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得232108630x x ++=，解得34x =-或218x =-．设1122(,),(,)A x y B x y ，由A 点在x 轴上方可得12321,48x x =-=-． ∵11AF F Bλ=u u u v u u u v ， ∴1122(2,)(2,)x y x y λ---=+,∴122(2)x x λ--=+．∴3212()(2)48λ---=-+，解得2λ=．选C13．如图，12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（）A ．23y x =±B ．2y x =±C ．3y x =D ．2y x =±【答案】A【解析】【分析】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，利用双曲线的定义求出3x =和a 的值，再利用勾股定理求c ，由b y x a=±得到双曲线的渐近线方程.【详解】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得：3x =，所以12||F F ==c ⇒=因为2521a x a =-=⇒=，所以b =所以双曲线的渐近线方程为b y x a =±=±. 【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.14．若圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >）始终平分圆2C ：()()22112x y +++=的周长，则12m n +的最小值为（） A ．92B ．9C ．6D ．3 【答案】D【解析】【分析】把两圆的方程相减，得到两圆的公共弦所在的直线l 的方程，由题意知圆2C 的圆心在直线l 上，可得()123,213m n m n +=∴+=，再利用基本不等式可求最小值. 【详解】把圆2C ：()()22112x y +++=化为一般式，得22220x y x y +++=，又圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >），两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在的直线l 的方程：()()12150m x n y ++++=. Q 圆1C 始终平分圆2C 的周长，∴圆心()21,1C --在直线l 上，()()12150m n ∴-+-++=，即()123,213m n m n +=∴+=. ()112225*********n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=+⨯=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫+=++ ⎪⎝⎝⎭⎭()115522333⎛≥+=+⨯= ⎝. 当且仅当2322m n n m m n +=⎧⎪⎨=⎪⎩即1m n ==时，等号成立.12m n∴+的最小值为3. 故选：D .【点睛】本题考查两圆的位置关系，考查基本不等式，属于中档题.15．已知1F ，2F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，点A 是双曲线上第二象限内一点，且直线1AF 与双曲线的一条渐近线b y x a=平行，12AF F ∆的周长为9a ，则该双曲线的离心率为（） A ．2BC ．3 D．【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的定义，结合三角形的周长可以求出1AF 和2AF 的表达式，根据线线平行，斜率的关系，结合余弦定理进行求解即可.【详解】由题意知212AF AF a -=，2192AFAF a c +=-，解得21122a c AF -=，1722a c AF -=，直线1AF 与b y x a =平行，则12tan b AF F a ∠=，得12cos a AF Fc ∠=， 222121214cos 22AF c AF a AF F c AF c +-∠==⋅，化简得22280c ac a +-=，即2280e e +-=，解得2e =.故选：A【点睛】本题考查求双曲线的离心率，考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了数学运算能力.16．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交椭圆于P ，B 两点（点P 在第一象限），过椭圆的左顶点和上顶点的直线1l 与直线l 交于A 点，且满足AP BP <u u u v u u u v ，设O 为坐标原点，若(,)OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v ，29λμ=，则该椭圆的离心率为（）A ．35B ．1213C ．35或1213D ．45【答案】A【解析】分析：根据向量共线定理及29λμ=，AP BP <u u u v u u u v ，可推出λ，μ的值，再根据过点F 作与x 轴垂直的直线l 交椭圆于P ，B 两点（点P 在第一象限），可推出P ，B 两点的坐标，然后求出过椭圆的左顶点和上顶点的直线1l 的方程，即可求得A 点的坐标，从而可得a ，b ，c 三者关系，进而可得椭圆的离心率. 详解：∵A 、P 、B 三点共线，(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v∴1λμ+= 又∵29λμ= ∴1323λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2313λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∵AP BP <u u u v u u u v ∴2313λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∵过点F 作与x 轴垂直的直线l 交椭圆于P ，B 两点（点P 在第一象限） ∴2(,)b P c a ，2(,)b B c a - ∵过椭圆的左顶点和上顶点的直线1l 与直线l 交于A 点∴直线1l 的方程为为1x y a b +=- ∴()(,)a c b A c a+ ∵2133OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ∴222()1()33b a c b b a a a+=⋅+⋅-，即2b a c =+. ∴22224()2a c a ac c -=++，即223520a c ac --=.∴25230e e +-=∵(0,1)e ∈∴35e = 故选A. 点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式c e a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．17．已知1F ，2F 分别为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点，点P 是C 右支上一点，若120PF PF ⋅=u u u v u u u u v ，且124cos 5PF F ∠=，则C 的离心率为（） A ．257B ．4C ．5D ．57 【答案】C【解析】【分析】在12PF F △中，求出1PF ，2PF ，然后利用双曲线的定义列式求解．【详解】在12PF F △中，因为120PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，所以1290F PF ∠=o ， 1121248cos 255c PF F F PF F c =⋅∠=⋅=，2121236sin 255c PF F F PF F c =⋅∠=⋅=，则由双曲线的定义可得128622555c c c a PF PF =-=-= 所以离心率5c e a==，故选C. 【点睛】本题考查双曲线的定义和离心率，解题的关键是求出1PF ，2PF ，属于一般题．18．若函数1()ln (0,0)a a f x x a b b b+=-->>的图象在x ＝1处的切线与圆x 2＋y 2＝1相切，则a ＋b 的最大值是( )A ．4B ．2C ．2D ．【答案】D【解析】 ()1ln (0,0)a a f x x a b b b+=-->>，所以()'a f x bx ＝－，则f ′(1)＝－a b 为切线的斜率，切点为(1，－1a b+)，所以切线方程为y ＋1a b +＝－a b(x －1)，整理得ax ＋by ＋1＝0. 因为切线与圆相切，所以22a b +＝1，即a 2＋b 2＝1.由基本不等式得a 2＋b 2＝1≥2ab ，所以(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ＝1＋2ab ≤2，所以a ＋b ≤，即a ＋b 的最大值为. 故选D.点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00(,)P x y 及斜率，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000'()()y y f x x x -=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．19．已知椭圆22198x y +=的一个焦点为F ，直线220,220x y x y -+=--=与椭圆分别相交于点A 、B 、C 、D 四点，则AF BF CF DF +++=（）A ．12B ．642+C ．8D ．6【答案】A【解析】【分析】画出图像，根据对称性得到()()224AF BF CF DF AF AF DF DF a +++=+++=，得到答案.【详解】画出图像，如图所示：直线220,220x y x y -+=--=平行，根据对称性知：()()22412AF BF CF DF AF AF DF DF a +++=+++==. 故选：A .【点睛】本题考查了椭圆的性质，意在考查学生对于椭圆知识的灵活运用.20．如图，O 是坐标原点，过(,0)E p 的直线分别交抛物线22(0)y px p =>于A 、B 两点，直线BO 与过点A 平行于x 轴的直线相交于点M ，过点M 与此抛物线相切的直线与直线x p =相交于点N .则22||ME NE -=（）A ．2pB ．2pC ．22pD ．24p【答案】C【解析】【分析】过E （p ，0）的直线分别交抛物线y 2＝2px （p ＞0）于A 、B 两点，不妨设直线AB 为x ＝p ，分别求出M ，N 的坐标，即可求出答案．【详解】过E （p ，0）的直线分别交抛物线y 2＝2px （p ＞0）于A 、B ，两点为任意的，不妨设直线AB 为x ＝p ，由2y 2px x p ⎧=⎨=⎩，解得y ＝2p ，则A （p 2p ），B （p 2p ），∵直线BM 的方程为y 2x ，直线AM 的方程为y ＝2x ，解得M （﹣p 2p ），∴|ME |2＝（2p ）2+2p 2＝6p 2，设过点M 与此抛物线相切的直线为y＝k （x +p ），由()2y 2=k px x p ⎧=⎪⎨+⎪⎩，消x 整理可得ky 2﹣2py ﹣+2p 2k ＝0， ∴△＝4p 2﹣4k （﹣+2p 2k ）＝0，解得k， ∴过点M 与此抛物线相切的直线为yp＝2（x +p ），由()=2x p x p =⎧⎪⎨+⎪⎩，解得N （p ，2p ）， ∴|NE |2＝4p 2，∴|ME |2﹣|NE |2＝6p 2﹣4p 2＝2p 2，故选C ．【点睛】本题考查了直线和抛物线位置关系，以及直线和直线的交点坐标问题，属于难题．。

重庆市一中必修二第二章《解析几何初步》检测卷(含答案解析)

一、选择题1．如图，棱长为4的正四面体ABCD ，M ，N 分别是AB ，CD 上的动点，且3MN =，则MN 中点的轨迹长度为（）A ．23π B ．2πC ．2π D ．π2．设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离等于22a a b + ） A 2B 3C ．2D 53．直线1y kx =+与圆()()22214x y -+-=相交于P 、Q 两点.若22PQ ≥k 的取值范围是（）A ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]1,1-C ．33⎡⎢⎣⎦D ．3,3⎡⎣4．已知两个不相等的实数a ，b 满足以下关系式：2sin cos 02a a πθθ+-=，2sin cos 02b b πθθ+-=，则连接()2,A a a ，()2,B b b 两点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系为（） A ．相交B ．相切C ．相离D ．相切或相交5．圆224x y +=被直线32y x =+截得的劣弧所对的圆心角的大小为（） A ．30B ．60︒C ．90︒D ．120︒6．在同一平面内，已知A 为动点，B ，C 为定点，且3BAC π∠=，2ACB π∠≠，2BC =，P 为BC 中点，过点P 作PQ BC ⊥交AC 所在直线于Q ，则AQ BC ⋅的最大值是（）A ．13B ．33C ．233D ．4337．在我国古代，将四个角都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．在“鳖臑”ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥且AB BD CD ==，若该四面体的体积为43，则该四面体外接球的表面积为（）A ．8πB ．12πC ．14πD ．16π8．正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，E 是1CC 的中点，则点1C 到平面EBD 的距离为（）A ．3 B ．63 C ．5D ．2239．已知平面图形PABCD ，ABCD 为矩形，4AB =，是以P 为顶点的等腰直角三角形，如图所示，将PAD △沿着AD 翻折至P AD '△，当四棱锥P ABCD '-体积的最大值为163，此时四棱锥P ABCD '-外接球的表面积为（）A ．12πB ．16πC ．24πD ．32π10．已知正四棱锥的高为2，底面正方形边长为4，其正视图为如图所示的等腰三角形，正四棱锥表面点M 在正视图上的对应点为腰的中点A ，正四棱锥表面点N 在正视图上对应点为B ，则||MN 的取值范围为（）．A ．[10,19]B ．[11,19]C ．[10,25]D ．[11,25]11．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形.其中3AB =，2AD =，PAD △是以A ∠为直角的等腰直角三角形，若60PAB ∠=︒，则异面直线PC 与AD 所成角的余弦值是（）A 22B ．22C 27D 21112．已知一个正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且这个正三棱锥的所有棱长都为22 ） A ．4π B ．8π C ．12π D ．24π二、填空题13．m R ∈，动直线1:10l x my +-=过定点A ，动直线2:230l mx y m --=过定点B ，若直线1l 与2l 相交于点P （异于点,A B ），则PAB ∆周长的最大值为_________14．已知直线():0l x ay a R +=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的一条对称轴，过点()1,P a -的直线m 与圆C 交于,A B 两点，且AB 4=，则直线m 的斜率为____.15．经过直线20x y -=与圆224240x y x y +-+-=的交点，且过点()1,0的圆的方程为______.16．已知定点()5,2A ，()3,4B ，动点P 在直线40x y --=上，则PA PB +的最小值为______ .17．已知直线0x y a -+=与圆心为C 的圆222440x y x y ++--=相交于,A B 两点，且AC BC ⊥，则实数a 的值为_________．18．已知直线10ax y a ++-=与圆22:280C x y x y b +--+=，(),a b R ∈，交于A ，B 两点，若ABC 的面积的最大值为4，求此时ab =______．19．正方体1111ABCD A BC D -棱长为点1，点E 在边BC 上，且满足2BE EC =，动点P在正方体表面上运动，满足1PE BD ⊥，则动点P 的轨迹的周长为__________． 20．如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是正方形，1AA ⊥平面ABCD ，且2AB BC ==，13AA =，经过顶点A 作一个平面α，使得//α平面11CB D ，若α平面1ABCD l =，α平面112ABB A l =，则异面直线1l 与2l 所成的角的余弦值为___________.21．在三棱锥D ABC -中，AD ⊥平面ABC ，3AC =，17BC =1cos 3BAC ∠=，若三棱锥D ABC -27，则此三棱锥的外接球的表面积为______22．表面积为16π的球与一个正三棱柱各个面都相切，则这个正三棱柱的体积为___________.23．有一个半径为4的球是用橡皮泥制作的,现要将该球所用的橡皮泥重新制作成一个圆柱和一个圆锥,使得圆柱和圆锥有相等的底面半径和相等的高,若它们的高为8,则它们的底面圆的半径是___________．24．在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为矩形，π2DPA ∠=，23AD =2AB =，PA PD =，则四棱锥P ABCD -的外接球的体积为________.三、解答题25．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，3AD =，4BC =，M 为线段AD 上点，且满足2AM MD =，N 为PC 的中点.（Ⅰ）证明：//MN 平面PAB ；（Ⅱ）设三棱锥N BCM -的体积为1V ，四棱锥P ABCD -的体积为2V ，求12V V .26．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，若12AB BB =，AD DC =，试证明：（1）1//AB 平面1BC D ；（2）11AB BC ⊥.27．如图，平行四边形ABCD 中，45DAB ∠=，PD ⊥平面ABCD ，PA BD ⊥，BD PD =，4AB =.（1）求证：平面PBC ⊥平面PBD ；（2）若点,M N 分别是,PA PC 的中点，求三棱锥P MBN -的体积.28．如图，已知长方体1111ABCD A BC D -，2AB =，11AA =，直线BD 与平面1AAB B 所成的角为30°，AE 垂直BD 于E ．（1）若F 为棱11A B 上的动点，试确定F 的位置使得//AE 平面1BC F ，并说明理由；（2）若F 为棱11A B 上的中点；求点A 到平面BDF 的距离；（3）若F 为棱11A B 上的动点（端点1A ，1B 除外），求二面角F BD A --的大小的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】把正四面体放在正方体中，建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式、中点坐标公式以及圆的标准方程进行求解即可. 【详解】把正四面体ABCD 放在正方体AFCE HBGD -中，并建立如图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为a ，因为正四面体ABCD 的棱长为422422a a a +=⇒=因此相应点的坐标为：(0,00),D A B C ，，因为N 是CD 上的动点，所以设点N 的坐标为：(0,,)n n ，设AM mAB =，000(,,)M x y z，因此有000(,x y z m --=-，因此000,x y z ===，设MN 中点为(,,)P x y z，因此有：2(1)222x x n y n y n z n z ⎧=⎪⎧⎪=⎪⎪+⎪⎪=⇒+=⎨⎨⎪⎪-=⎪⎪⎩+=⎪⎪⎩，因为3MN =，3=，化简得：22))1(2)n n -+-=，把(1)代入(2)中得：221((4y z +=，显然 MN 中点的轨迹是圆，半径为12，圆的周长为：122ππ⋅=. 故选：D 【点睛】关键点睛：利用正方体这个模型，结合解析法是解题的关键.2．A解析：A 【分析】依题意求得,,A B C 的坐标，求得直线,BD CD 的方程，联立,BD CD 的方程求得D 点坐标，根据D 到直线BC的距离等于a . 【详解】依题意可知()22,0,,,,b b A a B c C c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()22,AB CD a c a b k k a c a b -==--，()()22,ACBD a c a b k k a c a b -=-=-，所以直线BD ：()()22a c ab y xc a b--=-①，直线CD ：()()22a c ab y xc a b-+=--②， ①-②并化简得()42D b x c a c a =+-.由于D 到直线BC的距离等于a a c =+，直线BC 方程为x c =，所以()42D b x c a a c a =+=--，化简得22,a b a b ==，所以双曲线为等轴双曲线，离心率为故选：A 【点睛】本小题主要考查直线和直线交点坐标的求法，考查直线方程点斜式，考查两条直线垂直斜率的关系，考查双曲线离心率的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.3．B解析：B 【分析】由PQ ≥()2,1到直线1y kx =+的距离d ≤,利用点到直线距离公式，列不等式可得结果. 【详解】若PQ ≥则圆心()2,1到直线1y kx =+的距离d ≤=≤解得[]1,1k ∈-，故选B. 【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系，属于中档题.解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系（求弦长问题需要考虑点到直线距离、半径，弦长的一半之间的等量关系）；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答.4．C解析：C 【分析】由题意可得直线AB 的方程为sin cos 02x y πθθ⋅+⋅-=，由点到直线的距离公式可得圆心()0,0到直线AB 的距离，即可得解. 【详解】因为实数a 满足关系式2sin cos 02a a πθθ+-=，实数b 满足关系式2sin cos 02b b πθθ+-=，且实数a ，b 不相等，所以点()2,A a a ，()2,B b b 为直线sin cos 02x y πθθ⋅+⋅-=上的两点，所以直线AB 的方程为sin cos 02x y πθθ⋅+⋅-=，因为圆心()0,0到直线AB的距离12d π==>，所以直线AB 与圆心在原点的单位圆的位置关系为相离. 故选：C. 【点睛】本题考查了直线方程的应用及直线与圆位置关系的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.5．D解析：D 【分析】根据题意，设直线2y =+与圆224x y +=的的交点为A 、B ，AB 的中点为点M ，分析圆的圆心与半径，求出圆心到直线的距离，即可得AOM ∠的大小，进而分析可得答案．【详解】解：根据题意，设直线2y =+与圆224x y +=的的交点为A 、B ，AB 的中点为点M ，圆224x y +=的圆心为(0,0)，半径2r ，圆心到直线2y =+的距离1d ==，又由60AOM ∠=︒，则120AOB ∠=︒；故圆224x y +=被直线2y +截得的劣弧所对的圆心角的大小为120︒；故选：D ．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，注意利用圆心到直线的距离分析，属于基础题．6．D解析：D 【分析】根据题意建立直角坐标系，结合斜率与倾斜角的关系及两角和的正切公式可找到点A 的轨迹，结合平面向量的数量积即可求解. 【详解】以P 为原点，BC 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系则(1,0),(0,0),(1,0)B P C -,设点(,)A x y ，则31tan ,tan()131131AB ACyyyx k ABC k ABC y x x x π+=∠==∠+==+-+，化简得223433x y ⎛+-= ⎝⎭，所以()232311,1x ⎡⎫⎛∈-⋃-⋃⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦，设点()0,Q m ，则 ()(),2,02AQ BC x m y x ⋅=--⋅=-，故当23x =AQ BC ⋅43故选：D 【点睛】本题主要考查直线的倾斜角与斜率的关系及两角和的正切公式、圆的方程及性质、平面向量的数量积，属于能力提升题.7．B解析：B 【分析】由题意计算2,AB BD CD ===分析该几何体可以扩充为长方体，所以只用求长方体的外接球即可. 【详解】因为AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥且AB BD CD ==， 43A BCD V -=，而114323A BCD V BD CD AB -=⨯⨯⨯=,所以2AB BD CD ===，所以该几何体可以扩充为正方体方体，所以只用求正方体的外接球即可.设外接球的半径为R ，则223R =, 所以外接球的表面积为2412S R ππ== 故选：B 【点睛】多面体的外接球问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有：(1)公式法；(2) 多面体几何性质法；(3)补形法；(4)寻求轴截面圆半径法；(5)确定球心位置法．8．B解析：B 【分析】利用等体积法11C EBD D C EB V V --=，设点1C 到平面EBD 的距离为d ，利用三棱锥的体积公式代入面积即求得d . 【详解】如图，利用等体积法，11C EBD D C EB V V --=，设点1C 到平面EBD 的距离为d ，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，故22,5BD BE ED ===，如图，h ==1122EBDSBD h =⨯⨯=⨯= 又点D 到平面1C EB 的距离，即D 到平面11C CBB 的距离，为CD =2，111212EBC S=⨯⨯=，由11C EBD D C EB V V --=得，111233d =⨯⨯，故d ==. 故选：B. 【点睛】方法点睛：空间中求点到平面的距离的常见方法：（1）定义法：直接作垂线，求垂线段长；（2）等体积法：利用三棱锥换底求体积，结合两个面积和另一个高求未知高，即得距离；（3）向量法：过点的一个斜线段对应的向量a ，平面法向量n ，则a n d n⋅=.9．C解析：C 【分析】分析出当平面P AD '⊥平面ABCD 时，四棱锥P ABCD '-的体积取最大值，求出AD 、P A '的长，然后将四棱锥P ABCD '-补成长方体P AMD QBNC '-，计算出该长方体的体对角线长，即为外接球的直径，进而可求得外接球的表面积. 【详解】取AD 的中点E ，连接P E '，由于P AD '△是以P '为顶点的等腰直角三角形，则P E AD '⊥，设AD x =，则1122P E AD x '==，设二面角P AD B '--的平面角为θ，则四棱锥P ABCD '-的高为1sin 2h x θ=，当90θ=时，max 12h x =，矩形ABCD 的面积为4S AB AD x =⋅=，2111216433233P ABCD V Sh x x x '-=≤⨯⨯==，解得x =将四棱锥P ABCD '-补成长方体P AMD QBNC '-，所以，四棱锥P ABCD '-的外接球直径为2R P N '====，则R =，因此，四棱锥P ABCD '-的外接球的表面积为2424R ππ=. 故选：C.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.10．A解析：A 【分析】由题意画出如图正四棱锥，可得M 点在GK 上运动，N 点在CD 上运动，且四边形KCDG 是等腰梯形，则||MN 的取值范围的最小值就是等腰梯形的高，最大值就是梯形的对角线长，作KH ED ⊥，在直角三角形中求KJ KD 、的长可得答案. 【详解】如图正四棱锥P ECDF -，PO ⊥平面ECDF ，O 是底面中心，G K 、分别是PF PE 、的中点，由题意知，M 点在GK 上运动，N 点在CD 上运动，所以////GK FE DC ，且11222GK FE DC ===，所以四边形KCDG 是梯形，在ECK 与FDG △中，,,EC FD EK FG KEC GFD ==∠=∠，所以ECK ≅FDG △，所以KC GD =，所以四边形KCDG 是等腰梯形，则||MN 的取值范围的最小值就是等腰梯形的高，最大值就是梯形的对角线长，且22PO EC CD ===，，12EO ED ==，作KH ED ⊥于H ，所以//KH PO ，KH ⊥平面ECDF ，112KH PO ==，且H 是EO的中点，12EH EO ==DH =，45EDC ∠=，作KJ CD ⊥于J ，连接HJ ，12CD KGCJ -==，所以3DJ =，由余弦定理得2222cos 9HJ DH DJ DH DJ EDC =+-⋅∠=，所以2221910KJ KH HJ =+=+=，KJ =22211819DK EH HD =+=+=，DK =故选：A. 【点睛】本题考查了正四棱锥的性质及线段的取值范围问题，关键点是画出正四棱锥分析出问题的实质，考查了学生的空间想象力.11．D解析：D 【分析】在图形中找到（并证明）异面直线所成的角，然后在三角形中计算．【详解】因为//AD BC ，所以PCB ∠是异面直线PC 与AD 所成角（或其补角），又PA AD ⊥，所以PA BC ⊥，因为AB BC ⊥，AB PA A ⋂=，,AB PA ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ，所以PB BC ⊥．由已知2PA AD ==，所以PB ==cos 11BC PCB PC ∠===，所以异面直线PC 与AD．故选：D ．【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．12．C解析：C 【分析】将正三棱锥补成一个正方体，计算出正方体的棱长，可得出正方体的体对角线长，即为外接球的直径，进而可求得这个球的表面积. 【详解】设该正三棱锥为A BCD -，将三棱锥A BCD -补成正方体AEBF GCHD -，如下图所示：则正方体AEBF GCHD -的棱长为22222⨯=，该正方体的体对角线长为23 所以，正三棱锥A BCD -的外接球直径为223R =3R 该球的表面积为2412S R ππ==. 故选：C. 【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.二、填空题13．【详解】由条件得直线过定点直线过定点且又直线所以∴当且仅当时等号成立∴即周长的最大值为答案：解析：2+【详解】由条件得直线1l 过定点(1,0)A ，直线2l 过定点，且2AB ==．又直线12l l ⊥，所以222||||4PA PB AB +==,∴PA PB +≤=||||PA PB =时等号成立，∴2PA PB AB ++≤+PAB ∆周长的最大值为2+．答案：2+14．1【分析】由直线是圆的一条对称轴得到直线过圆心求得得到再根据得到点的直线必过圆心利用斜率公式即可求解【详解】由题意圆的圆心坐标半径为因为直线是圆的一条对称轴则直线过圆心即解得此时点又由直线与圆交于两解析：1 【分析】由直线l 是圆C 的一条对称轴，得到直线l 过圆心，求得2a =-，得到(1,2)P --，再根据4AB =，得到点P 的直线必过圆心(2,1)C ，利用斜率公式，即可求解.【详解】由题意，圆22:4210C x y x y +--+=的圆心坐标(2,1)C ，半径为2r，因为直线():0l x ay a R +=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的一条对称轴，则直线l 过圆心(2,1)C ，即210a +⨯=，解得2a =-，此时点(1,2)P --，又由直线m 与圆C 交于,A B 两点，且4AB =，可得过点P 的直线必过圆心(2,1)C ，所以直线m 的斜率为1(2)12(1)k --==--.故答案为：1. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，合理转化是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.15．【分析】根据题意设出过直线和圆的交点的圆系方程代入已知点坐标可求出的值即可确定所求圆的方程【详解】设过已知直线和圆的交点的圆系方程为：∵所求圆过点∴解得所以圆的方程为化简得故答案为：【点睛】本题主要解析：2231240x y x y ++--=【分析】根据题意设出过直线和圆的交点的圆系方程，代入已知点坐标，可求出λ的值，即可确定所求圆的方程. 【详解】设过已知直线和圆的交点的圆系方程为：()2242420x y x y x y λ+-+-+-=∵所求圆过点()1,0 ∴70λ-+= 解得7λ=所以圆的方程为()22424720x y x y x y +-+-+-=，化简得2231240x y x y ++--=.故答案为：2231240x y x y ++--=. 【点睛】本题主要考查求解圆的方程，设出过已知直线和圆的交点的圆系方程是解本题的关键.16．【分析】先判断在直线的同侧作A 关于直线的对称点C 当三点共线时最小【详解】如图所示：在直线的同侧设点关于直线的对称点位则解得即当三点共线时最小故答案为：【点睛】本题主要考查利用点关于直线对称求线段和最解析：32【分析】先判断,A B 在直线40x y --=的同侧，作A 关于直线的对称点C ，当,,B P C 三点共线时，PA PB +最小. 【详解】如图所示：,A B 在直线40x y --=的同侧，设点()5,2A 关于直线40x y --=的对称点位(),C a b ，则5240222115a b b a ++⎧--=⎪⎪⎨-⎪⨯=-⎪-⎩，解得61a b =⎧⎨=⎩即()6,1C ，当,,B P C 三点共线时，PA PB +最小，()min+===PA PBBC故答案为：【点睛】本题主要考查利用点关于直线对称求线段和最小问题，还考查了数形结合的思想，属于中档题.17．0或6【分析】计算得到圆心半径根据得到利用圆心到直线的距离公式解得答案【详解】即圆心半径故圆心到直线的距离为即故或故答案为：或【点睛】本题考查了根据直线和圆的位置关系求参数意在考查学生的计算能力和转解析：0或6 【分析】计算得到圆心()1,2C -，半径3r =，根据AC BC ⊥得到2d =，利用圆心到直线的距离公式解得答案. 【详解】222440x y x y ++--=，即()()22129x y ++-=，圆心()1,2C -，半径3r =.AC BC ⊥，故圆心到直线的距离为2d =2d ==，故6a =或0a =. 故答案为：0或6. 【点睛】本题考查了根据直线和圆的位置关系求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力。

专题9.8 解析几何综合练(原卷版)

专题9.8 解析几何综合练一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2023年重庆市普通高中学业水平合格性考试模拟（一）数学试题）已知圆C 的一条直径的两个端点是分别是(1,1)O 和(3,3)A ，则圆的标准方程是（） A ．()222(2)1x y -+-= B ．()222(2)2x y -++= C ．()222(2)2x y -+-=2．（2021秋·高三课时练习）已知圆C 与圆2220x y y +-=关于直线20x y --=对称，则圆C 的方程是（）A ．()2211x y ++= B ．()()22321x y -++= C ．()()22321x y ++-= D ．()()22231x y ++-=3．（2021秋·高三课时练习）直线mx+ny+3=0在y 轴上的截距为-3y -=的斜率的相反数，则（）A ．m =1n =B ．m =1n =-C ．m ，1n =- D ．m ，1n =4．（2023秋·河南平顶山·高三统考期末）已知双曲线C ：2221(0)y x b b-=>，直线l 与C 相交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为()1,2N ，则直线l 的斜率为（） A．1- B ．1 C D ．25．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，A ，B 分别是C 的左顶点和上顶点，F 是C 的左焦点，若tan 2tan FAB FBA ∠=∠，则C 的离心率为（）A ．12 BC 352D6．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考阶段练习）已知抛物线()220y px p =>上一点()()1,0M m m >到其焦点的距离为5，双曲线2221x y a-=的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a的值为（） A ．13B ．14C ．19D ．127．（2021秋·广东深圳·高三深圳中学校考期中）已知双曲线C 的离心率为32，焦点为12,F F ，点A 在C 上，若122F A F A =，则21cos AF F ∠=（）A ．13-B ．14-C ．15-D ．16-8．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知椭圆2214x y +=的左右焦点分别为1F 与2F ，点P 在直线l：40x +上．当12F PF ∠取最大值时，比12PF PF 的值为（）ABC1 D1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．（浙江省新阵地教育联盟2022-2023学年高二下学期第一次联考数学试题）已知圆的方程为22420x y x +-+=，下列结论正确的是（）A ．该圆的面积为4π B．点)在该圆内C ．该圆与圆221x y +=相离D ．直线40x y +-=与该圆相切10．（2021秋·广东深圳·高三深圳中学校考期中）定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线，以下关于共轭双曲线的结论正确的有（）A ．与22221(,0)x y a b a b-=>共轭的双曲线是22221(,0)x y a b b a -=>B ．互为共轭的双曲线渐近线不相同C ．互为共轭的双曲线的离心率为12e e ,，则122e e ≥D ．互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上11．（2023秋·广东·高三华南师大附中校考期末）已知曲线22:1C mx ny +=，则（） A ．若4m n ==，则曲线C 是圆，其半径为2 B ．若0m n >>，则曲线C 是椭圆，其焦点在y 轴上C ．若线C 过点(⎛ ⎝，则C 是双曲线D ．若0mn =，则曲线C 不表示任何图形12．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD 四边所在直线与x 轴的交点分别为()()()()0,0,1,0,2,0,4,0，则正方形ABCD 四边所在直线中过点()0,0的直线的斜率可以是（） A ．2 B ．32C ．34D ．14三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13．（2022秋·高三课时练习）已知实数,a b 满足21a b +=，则直线30ax y b ++=过定点_____.14．（2023春·江西景德镇·高一景德镇一中校考期中）如图，一个光学装置由有公共焦点12,F F 的椭圆C 与双曲线C '构成，一光线从左焦点1F 发出，依次经过C '与C 的反射，又回到点1F .，历时m 秒；若将装置中的C '去掉，则该光线从点1F 发出，经过C 两次反射后又回到点1F 历时n 秒，若C '的离心率为C 的离心率的4倍，则mn=_____________.15．（2023春·贵州遵义·高二遵义市南白中学校考阶段练习）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，直线l 过F 与C 交于A ，B 两点，过点A ，B 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为1A ，1B ，则11A FB ∠的大小为____.16．（2023春·上海徐汇·高三上海市徐汇中学校考期中）已知圆的方程为2212160x y x y +--=，该圆过点()3,4的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为______．四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2022秋·高二课时练习）已知两直线12:240,:4350l x y l x y -+=++= (1)若直线260ax y +-=与12,l l 可组成三角形，求实数a 满足的条件；(2)设(1,2)A --，若直线l 过1l 与2l 的交点P ，且点A 到直线l 的距离等于1，求直线l 的方程.18．（2023·全国·高三对口高考）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点()1,0K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ． (1)证明：点F 在直线BD 上； (2)设89FA FB ⋅=，求BDK 的内切圆M 的方程．19．（2022秋·高三课时练习）已知点N (1，2)，过点N 的直线交双曲线2212y x -=于A ，B 两点，且()12ON OA OB =+． (1)求直线AB 的方程；(2)若过点N 的直线交双曲线于C ，D 两点，且0CD AB ⋅=，那么A ，B ，C ，D 四点是否共圆？为什么？20．（2023春·上海黄浦·高三上海市大同中学校考期中）已知P 是椭圆2222:1x y C a b+=上一个动点，F 是椭圆的左焦点，若PF的最大值和最小值分别为33 (1)求椭圆C 的标准方程；(2)()0,M m 是y 轴正半轴上的一点，求PM 的最大值.21．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:1214600O x y x y ++-+=.设圆2O 与x 轴相切，与圆1O 外切，且圆心2O 在直线6x =-上. (1)求圆2O 的标准方程；(2)设垂直于2OO 的直线l 与圆1O 相交于B ，C两点，且BC =，求直线l 的方程.22．（2021秋·广东深圳·高三深圳中学校考期中）已知椭圆()222210x y C a b a b+=>>：的右焦点是()F ，过点F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若线段AB 中点Q的坐标为67⎫-⎪⎪⎝⎭． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知()0,P b -是椭圆C 的下顶点，如果直线y =kx +1（k ≠0）交椭圆C 于不同的两点M ，N ，且M ，N 都在以P 为圆心的圆上，求k 的值；(3)过点02a D ⎛⎫⎪⎝⎭，作一条非水平直线交椭圆C 于R 、S 两点，若A ，B 为椭圆的左右顶点，记直线AR 、BS 的斜率分别为k 1、k 2，则12k k 是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．。