高中数学选修2-1全称量词与存在量词 例题解析
高中数学选修2-1第一章《常用逻辑用语》1.2.2全称量词与存在量词
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
从形式看，全称命题的否定是特称命题。
含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论 全称命题 p : x M,p(x) 它的否定 p : x M,p(x)
例1写出下列全称命题的否定： 1）p:所有能被3整除的整数都是奇数； 2）p:每一个四边形的四个顶点公圆； 2 3）p:对任意x Z，x 的个位数字不等于3。
读作“任意x属于M，有P(x)成立”。
例1 判断下列全称命题的真假： 1）所有的素数都是奇数；
2）x R, x 1 1;
2
3）对每一个无理数x，x 也是无理数.
2
• 要判断一个全称命题为真，必须对在给定集 合的每一个元素x，使命题p(x)为真；但要判 断一个全称命题为假时，只要在给定的集合 中找到一个元素x，使命题p(x)为假。
2
1 0
x M,p(x) x M,p(x)
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
从形式看,特称命题的否定都变成了全称命题. 含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论
特称命题
它的否定
p : x M,p(x)
2
p:
x M,p(x)
例1 写 出下列特 称命题 的否定： 1）p:x R,x +2x+3 0；
2）p:有的三角形是等边三角形；
3）p:有一个素数含有三个正因子。
含有一个量词的命题的否定
1 全称命题p： x∈M，p(x) 它的否定 p ： x∈M， p(x) 2 特称命题p： x∈M，p(x) 它的否定 p ： x∈M， p(x)
全称命题的否定是特称命题, 特称命题的否定是全称命题.
例2写出下列命题的否定，并判断真假： 1）p:任意两个等边三角形都是相似的；
高中数学选修2-1常用逻辑用语1.4 全称量词与存在量词
1. 构造一个特称命题, 使 “{x|ax2} 为空集” 是真命题.
解: 特称命题为 ∃a0R, 使 {x|ax2} 为空集.
即存在一个 a00 , 使 {x|ax2} 为空集.
2. 将下列全称命题改为特称命题, 并使命题为假: (1) ∀xR, |sinx|≤1; (2) ∀mR, 直线 mx+y-30 不经过定点 P(0, 3).
1. 构造一个全称命题, 使 |x|>0 是假命题. 解: 当 x0 时, |x|>0 不成立.
只要限制范围内有 x0 的即可. 如: ∀xR, |x|>0.
∀x≥0, |x|>0. ∀x≤0, |x|>0. ∀x(-1, 1), |x|>0. ……
2. 判断下列全称命题的真假:
(1) ∀xR, |sinx|<1;
(2) ∀mR, 直线 mx+y-30 经过定点 P(0, 3).
解:
(1)
当 x k
+
2
,
kZ 时,
|sinx|1,
∴ 全称命题 “∀xR, |sinx|<1” 是假命题.
(2) 将点 P(0, 3) 代入直线的方程 mx+y-30 得
0+3-30, ∴ m 为任意实数时, x0, y3 都是方程的解,
解: (1) ¬p: ∀xR, x2+2x+2>0. (2) ¬p: 所有的三角形都不是等边三角形. (3) ¬p: 所有素数都不含三个正因数.
例5. 写出下列命题的否定, 并判断它们的真假: (1) p: 任意两个等边三角形都是相似的; (2) q: ∃x0R, x02+2x0+20. 解: (1) ¬p: 存在两个等边三角形, 它们不相似. ¬p是假命题.
数学北师大版高中选修2-1全称量词与存在量词
真 假 假 真 假 假
1.全称命题与特称命题的含义及其一般表示形式分 别是什么？
含 全称命题
义
一般表示形式
含有全称量词的
命题
含有存在量词的
x∈M,p(x)
x0∈M,p(x0)
特称命题
命题
2.如何判断全称命题与特称命题的真假？
真命题
假命题
x∈M, p(x)
"
对任意x∈M,都有p(x)存在x0∈M使得,p(x0) 不成立 成立 存在x0∈M,使得p(x0) 对任意x∈M,p(x) 成立 不成立
(2)线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的 全称命题（真） 距离相等；
(3)负数的平方是正数；
(4)梯形的对角线相等； (5)有些实数是无限不循环小数； (6)有些三角形不是等腰三角形； (7)有些菱形是正方形； （9）任何一个实数都有相反数.
全称命题（真）
全称命题（假）
特称命题（真）
特称命题（真）
x0∈M,
p(x0)
作业：
P14习题：1（并判断真假）
共同进步！
特称命题（真）
全称命题（真）
（8）某些三角形的三内角都小于60°； 特称命题（假）
例2 判断下列命题的真假. 2＞x； （ 1） x ∈ R ， x （2）x∈R，sinx＝cosxtanx； （3） x∈Q，x2－8＝0； （4）x∈R，x2＋x＋1＞0； （5）x∈R，sinx－cosx=2； （6） a，b∈R， a b 2 ab
思考：下列命题是全称命题吗？其真假如何？ （1）所有的素数是奇数；
假
真
（2 ）
x∈R，x2＋1≥1；
（3）对每一个无理数x，x2也是无理数；
§1.3_简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(人教A版选修2-1)
p
6
或
)
q
为真命题，p
若当若 当 若 当若 当若 当 若当pppppppppppp或真或 真或 真或 真或真或 真qqqqqqqqqqqq为假为 假为 假为 假为假为 假真时真 时真 时真 时真时真 时命，命 ，命 ，命 ，命，命 ，题c题c题c题c题c题c的的的,的的的,,,p,,取pp取取ppp取取取且且且值且且且值值值值值q范qq范范qqq范范范为为为围为为为围围围围围假假假是假假假是是是是是命命命命命命000题0<00题题<<题题题<<<c,cc≤,,ccc≤≤,,,≤≤≤则则则12则则则121212；1212；；p；；；ppp,pp,,q,,,qqqqq中中中中中中必必必必必必有有有有有有一一一一一一真真真真真真一一一一一一假假假假假假......
第三讲 简单的逻辑联结词、
全称量词与存在量词
临沂一中高三数学组
知识网络
命题及 其关系
常 充分条件
用
必要条件
逻
充要条件
辑
用
简单的逻
语
辑联结词
量词
命题
四种命题
四种命 题的相 互关系
原命题：若p则q
互否
否命题：若p则q
互逆
互为逆否 等价关系
互逆
逆命题：若q则p
互否
逆命题：若q则p
充分条件
p ⇒q
必要条件
③③∵∴∵∴ppaa和aa和>≤>≤11q12q12或中或中a有a有≥≥且且88仅仅或有或有一一12a12a<≤个<≤个aa1正<1是<88确真，，命，题∴∴，a≥a≤812或或12a<≥a≤8 1.或12<a<8
人教版A版高中数学选修2-1课后习题解答
高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]高中数学选修2-1 课后习题答案第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系练习（ P4）1、例:(1)若x2x 2 0,则 x 1;(2) 若x 1,则x2x 20 .2、（1）真；（2）假；（3）真；（4）真.3、（1）若一个三角形是等腰三角形，则这个三角形两边上的中线相等. 这是真命题 .（2）若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y 轴对称 . 这是真命题 .（3）若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行. 这是假命题 .练习（ P6）1、逆命题：若一个整数能被 5 整除，则这个整数的末位数字是0. 这是假命题 .否命题：若一个整数的末位数字不是0，则这个整数不能被 5 整除 . 这是假命题 .逆否命题：若一个整数不能被 5 整除，则这个整数的末位数字不是0. 这是真命题 .2、逆命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等. 这是真命题 .否命题：若一个三角形有两条边不相等，这个三角形有两个角也不相等. 这是真命题 .逆否命题：若一个三角形有两个角不相等，则这个三角形有两条边也不相等.这是真命题 .3、逆命题：图象关于原点对称的函数是奇函数. 这是真命题 .否命题：不是奇函数的函数的图象不关于原点对称. 这是真命题 .逆否命题：图象不关于原点对称的函数不是奇函数. 这是真命题 .练习（ P8）证明：证明：命题的逆否命题是：若 a b 1，则 a2b22a 4b 3a2b22a 4b 3 (a b) (a b) 2 (a b )2b当 a b 1时原式 a b 2 2 b 3 a b 10所以，原命题的逆否命题是真命题，从而原命题也是真命题.习题 1.1 A组（P8）1、（1）是；（2）是；（3）不是；（4）不是.2、（1）逆命题：若两个整数 a 与b的和a b 是偶数，则 a,b 都是偶数 . 这是假命题 .否命题：若两个整数a,b 不都是偶数，则 a b 不是偶数 . 这是假命题 .逆否命题：若两个整数 a 与b的和a b 不是偶数，则a, b 不都是偶数 . 这是真命题 .高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ] （ 2）逆命题：若方程x2x m 0 有实数根，则 m 0 . 这是假命题 .否命题：若 m 0 ，则方程 x2x m 0 没有实数根 . 这是假命题 .逆否命题：若方程x2x m 0 没有实数根，则m 0 . 这是真命题 .3、（1）命题可以改写成：若一个点在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离相等 .逆命题：若一个点到线段的两个端点的距离相等，则这个点在线段的垂直平分线上.这是真命题 .否命题：若一个点到不在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离不相等 .这是真命题.逆否命题：若一个点到线段的两个端点的距离不相等，则这个点不在线段的垂直平分线上 .这是真命题.（ 2）命题可以改写成：若一个四边形是矩形，则四边形的对角线相等.逆命题：若四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形. 这是假命题 .否命题：若一个四边形不是矩形，则四边形的对角线不相等. 这是假命题 .逆否命题：若四边形的对角线不相等，则这个四边形不是矩形. 这是真命题 .4、证明：如果一个三角形的两边所对的角相等，根据等腰三角形的判定定理，这个三角形是等腰三角形，且这两条边是等腰三角形，也就是说这两条边相等. 这就证明了原命题的逆否命题，表明原命题的逆否命题为真命题. 所以，原命题也是真命题.习题 1.1 B组（P8）证明：要证的命题可以改写成“若p ，则 q ”的形式：若圆的两条弦不是直径，则它们不能互相平分 .此命题的逆否命题是：若圆的两条相交弦互相平分，则这两条相交弦是圆的两条直径.可以先证明此逆否命题：设AB,CD 是O 的两条互相平分的相交弦，交点是E，若 E和圆心 O 重合，则 AB,CD 是经过圆心 O 的弦， AB,CD 是两条直径 . 若 E 和圆心O 不重合，连结AO, BO ,CO 和DO，则OE是等腰AOB，COD的底边上中线，所以，OE AB OE CD.，AB 和 CD 都经过点 E ，且与 OE 垂直，这是不可能的 . 所以， E 和 O 必然重合 . 即 AB 和 CD 是圆的两条直径 .原命题的逆否命题得证，由互为逆否命题的相同真假性，知原命题是真命题.1.2充分条件与必要条件练习（ P10）1、（1）；（2）；（3）；（4）.2、（1）. 3（1）.4、（1）真；（2）真；（3）假；（4）真 .练习（ P12）1、（1）原命题和它的逆命题都是真命题，p 是 q 的充要条件；（2）原命题和它的逆命题都是真命题，p 是 q 的充要条件；（3）原命题是假命题，逆命题是真命题，p 是 q 的必要条件 .2、（1） p 是 q 的必要条件；（2）p是q的充分条件；（ 3） p 是 q 的充要条件；（4）p是q的充要条件.习题 1.2 A组（P12）1、略 .2、（ 1）假；（2）真；（3）真.3、（1）充分条件，或充分不必要条件；（2）充要条件；（3）既不是充分条件，也不是必要条件；（4）充分条件，或充分不必要条件.4、充要条件是 a2b2r 2 .习题 1.2 B组（P13）1、（1）充分条件；（2）必要条件；（3）充要条件.2、证明：（ 1）充分性：如果 a2b2c2ab ac bc ，那么 a2b2c2ab ac bc0 .所以 (a b)2(a c)2(b c)20所以， a b 0 ， a c 0 ， b c0 .即 a b c ，所以，ABC 是等边三角形 .（ 2）必要性：如果ABC 是等边三角形，那么 a b c所以 (a b)2 (a c)2 (b c)2 0所以 a2 b2 c2 ab ac bc 0所以 a2 b2 c2 ab ac bc1.3简单的逻辑联结词练习（ P18）1、（1）真；（2）假.2、（1）真；（2）假.3、（1） 2 2 5 ，真命题；（2）3不是方程x290 的根，假命题；（3） ( 1)21，真命题 .习题 1.3 A组（P18）1、（1） 4 {2,3} 或 2 {2,3} ，真命题；（2）4{2,3} 且 2 {2,3} ，假命题；（3）2 是偶数或 3 不是素数，真命题；（4）2是偶数且3不是素数，假命题.2、（1）真命题；（2）真命题；（3）假命题.3、（1） 2 不是有理数，真命题；（2）5是15的约数，真命题；（3） 2 3 ，假命题；（4）8715 ，真命题；（5）空集不是任何集合的真子集，真命题.习题 1.3 B组（P18）（1）真命题 . 因为 p 为真命题， q 为真命题，所以 p q 为真命题；（2）真命题 . 因为 p 为真命题， q 为真命题，所以 p q 为真命题；（3）假命题 . 因为 p 为假命题， q 为假命题，所以 p q 为假命题；（4）假命题 . 因为 p 为假命题， q 为假命题，所以 p q 为假命题 .1.4全称量词与存在量词练习（ P23）1、（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题.2、（1）真命题；（2）真命题；（3）真命题.练习（ P26）1、（1）n0Z, n0Q ；（2）存在一个素数，它不是奇数；（ 3）存在一个指数函数，它不是单调函数.2、（1）所有三角形都不是直角三角形；（2）每个梯形都不是等腰梯形；（3）所有实数的绝对值都是正数.习题 1.4 A组（P26）1、（1）真命题；（2）真命题；（3）真命题；（4）假命题.2、（1）真命题；（2）真命题；（3）真命题.3、（1）x0N , x03x02；（2）存在一个可以被 5 整除的整数，末位数字不是0；（3）x R, x2x 1 0 ；（4）所有四边形的对角线不互相垂直.习题 1.4 B组（P27）（ 1）假命题 . 存在一条直线，它在y 轴上没有截距；（ 2）假命题 . 存在一个二次函数，它的图象与x轴不相交；（ 3）假命题 . 每个三角形的内角和不小于 180 ；（ 4）真命题 . 每个四边形都有外接圆 .第一章复习参考题 A 组（ P30）1、原命题可以写为：若一个三角形是等边三角形，则此三角形的三个内角相等.逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则此三角形是等边三角形. 是真命题；否命题：若一个三角形不是等边三角形，则此三角形的三个内角不全相等. 是真命题；逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，则此三角形不是等边三角形. 是真命题 .2、略 .3、（ 1）假；（2）假；（3）假；（4）假.4、（1）真；（2）真；（3）假；（4）真；（5）真.5、（1）n N ,n2 0 ；（2）P { P P 在圆 x2 y2 r 2上}， OP r (O 为圆心)；（3）( x, y) {( x, y) x, y是整数 } ， 2x 4y 3 ；（ 4）x0 { x x 是无理数}， x03 { q q 是有理数} .6、（1） 3 2 ，真命题；（2） 5 4 ，假命题；（ 3）x0 R, x0 0 ，真命题；（4）存在一个正方形，它不是平行四边形，假命题.第一章复习参考题 B 组（ P31）1、（1） p q；（2） ( p) ( q) ，或( p q) .2、（1）Rt ABC ， C 90，A, B, C 的对边分别是 a, b, c ，则 c2 a2 b2；（2）ABC ，A, B, C 的对边分别是a b c a, b, c ，则.sin A sin B sin C第二章 圆锥曲线与方程2.1曲线与方程练习（ P37）1、是 . 容易求出等腰三角形 ABC 的边 BC 上的中线 AO 所在直线的方程是 x 0 .2、 a 32 , b 18 .25 253、解：设点 A, M 的坐标分别为 (t,0) ， ( x, y) .（1）当 t 2 时，直线 CA 斜率 k CA2 0 22 t2 t1 t 2所以， k CB2kCA由直线的点斜式方程，得直线 CB 的方程为 y2 t 2 ( x 2) .2令 x 0 ，得 y 4 t ，即点 B 的坐标为 (0,4 t) .由于点 M 是线段 AB 的中点，由中点坐标公式得xt, y 4 t .t4 t ，22由 x得 t 2x ，代入 y2 2得 y42x，即 x y 20 ⋯⋯①2（ 2）当 t 2 时，可得点 A, B 的坐标分别为 (2,0) ， (0,2)此时点 M 的坐标为 (1,1) ，它仍然适合方程①由（ 1）（ 2）可知，方程①是点 M 的轨迹方程，它表示一条直线.习题 2.1 A组（ P37）1、解：点 A(1, 2) 、 C (3,10) 在方程 x 2xy 2 y 1 0 表示的曲线上；点 B(2, 3) 不在此曲线上2、解：当 c 0 时，轨迹方程为 xc 1；当 c 0 时，轨迹为整个坐标平面 .23、以两定点所在直线为 x 轴，线段 AB 垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系，得点 M 的轨迹方程为 x 2y 24.4、解法一：设圆 x 2 y 2 6x 5 0 的圆心为 C ，则点 C 的坐标是 (3,0) .由题意，得 CMAB ，则有 k CM k AB1 .高中数学选修 2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]所以，yy 1 (x 3, x0)x 3x化简得 x 2y 2 3x 0 (x 3, x 0)当 x 3 时， y0 ，点 (3,0) 适合题意；当 x 0 时， y0 ，点 (0,0) 不合题意 .解方程组x 2 y 2 3x 0， 得 x5, y2 5x 2y 26x 5 033所以，点 M 的轨迹方程是 x2y 2 3x0 ，5x 3.OCM 是直角三角形，3解法二：注意到利用勾股定理，得 x 2 y 2 ( x 3)2 y 2 9 ，即 x 2 y 2 3x0 . 其他同解法一 .习题 2.1 B 组（ P37）1、解：由题意，设经过点P 的直线 l 的方程为 xy 1 .a b因为直线 l 经过点 P(3,4) ，所以34 1 因此， ab 4a 3ba b由已知点 M 的坐标为 (a,b) ，所以点 M 的轨迹方程为 xy4x 3y 0 .2、解：如图，设动圆圆心 M 的坐标为 (x, y) .y由于动圆截直线 3x y 0 和 3x y 0 所得弦分别为BAB ， CD ，所以， AB8 ， CD4 .过点M 分别CMF E作直线 3xy 0 和 3x y 0 的垂线，垂足分别为 E ，DF ，则 AE4， CF 2 . A3x y3x yME， MF10 .10Ox连接 MA ， MC ，因为 MAMC ，（第 2题）22CF 22 则有， AE MEMF所以， 16 (3 x y)24 (3 x y) 2 ，化简得， xy 10 .10 10因此，动圆圆心的轨迹方程是xy 10 .高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]2.2椭圆练习（ P42）1、 14. 提示：根据椭圆的定义，PF1 PF2 20 ，因为 PF1 6 ，所以 PF22、（1）x2y2 1；（2） y2 x2 1；（3） x2 y2 1，或 y2 x2 16 16 36 16 36 163、解：由已知， a 5 ， b 4 ，所以c a2 b2 3.（1）AF1 B 的周长 AF1 AF2 BF1 BF2.由椭圆的定义，得 AF1 AF2 2a ， BF1 BF2 2a .所以，AF1B 的周长4a20 .（2）如果 AB 不垂直于x轴，AF1B的周长不变化 .这是因为①②两式仍然成立，AF1B 的周长20，这是定值.4、解：设点 M 的坐标为 ( x, y) ，由已知，得直线 AM 的斜率y(x 1) ；kAMx 1直线 BM 的斜率y(x 1) ；kBMx 1由题意，得kAM2 ，所以y 2 y (x 1, y 0) k BM x 1 x 1化简，得 x 3 ( y 0)因此，点 M 的轨迹是直线 x 3 ，并去掉点 ( 3,0) .练习（ P48）yB2 1、以点B2（或B1）为圆心，以线段OA2 （或 OA1）为半径画圆，圆与 x 轴的两个交点分别为 F1 , F2. A 1 F1O点 F1 , F2就是椭圆的两个焦点.B 1 这是因为，在 Rt B2OF2中， OB2 b ， B2 F2 OA2 a ，（第 1题）所以， OF2 c . 同样有 OF1 c .2、（1）焦点坐标为( 8,0) ， (8,0) ；14 .1.F2A2x（ 2）焦点坐标为 (0,2) ， (0, 2) .3、（1）x 2 y 21；（ 2） y2x 2 1 .36 3225 164、（1）x 2y21（ 2） x2y21 ，或 y 2x 2 1. 94100 64100645、（1）椭圆 9x2y236 的离心率是22 ，椭圆 x 2y 2 1 的离心率是 1 ，316 12 2因为221，所以，椭圆x 2y 2 1 更圆，椭圆 9x 2y 2 36 更扁；3216 12（2）椭圆 x29 y236 的离心率是22 ，椭圆 x 2y 2 1 的离心率是10 ，36105 因为2210，所以，椭圆x 2y 2 1 更圆，椭圆 x 2 9 y 2 36更扁 .356106、（1） (3, 8) ； （2） (0,2) ； （3） ( 48 , 70) .7、82 . 5 3737 7习题 2.2 A组（ P49）1、解：由点 M (x, y) 满足的关系式x 2 ( y 3)2 x 2 ( y 3) 2 10 以及椭圆的定义得，点 M 的轨迹是以 F 1(0, 3) ， F 2 (0,3) 为焦点，长轴长为 10 的椭圆 .它的方程是y 2x 2 1.25 162、（1）x 2y 21； （ 2）y 2x 21 ；（3） x2y 21 ，或 y 2x 21.36 3225 9494049403、（1）不等式 2 x 2 ， 4 y 4 表示的区域的公共部分；（2）不等式 25 x2 5 ， 10 y10表示的区域的公共部分 .图略 .334、（1）长轴长 2a8，短轴长 2b 4 ，离心率 e 3 ，2焦点坐标分别是 ( 2 3,0) ， (2 3,0) ，顶点坐标分别为 ( 4,0) ， (4,0) ， (0, 2) ， (0,2) ；（2）长轴长 2a18 ，短轴长 2b6 ，离心率 e2 2 ，3焦点坐标分别是 (0, 6 2) ， (0,6 2) ，顶点坐标分别为 (0, 9) ，(0,9) ， ( 3,0) ， (3,0) .5、（1）x2y2 1 ；（2） x2 y2 1，或 y2 x2 1 ；8 5 9 81 9（3） x2 y2 1，或 y 2 x2 1 .25 9 25 96、解：由已知，椭圆的焦距F1F2 2.因为PF1F2的面积等于1，所以，1F1F2 y P 1，解得y P1. 2代入椭圆的方程，得x2 1 1 ，解得 x 15 .P5 4 215 l所以，点 P 的坐标是1) ，共有 4 个 .( ,2 QA 7、解：如图，连接 QA . 由已知，得 QA QP . O所以， QO QA QO QP OP r .又因为点 A 在圆内，所以OA OP（第 7题）根据椭圆的定义，点 Q 的轨迹是以 O, A 为焦点，r为长轴长的椭圆 .8、解：设这组平行线的方程为y 3 x m .2把 y 3 x2 y21 ，得 9x2 6mx 2 18 0.x m 代入椭圆方程92m2 4这个方程根的判别式36m2 36(2m2 18)（ 1）由0 ，得 3 2 m 3 2 .当这组直线在 y 轴上的截距的取值范围是( 3 2,3 2) 时，直线与椭圆相交. （ 2）设直线与椭圆相交得到线段AB ，并设线段 AB 的中点为 M (x, y) .则 x x1 x2 m .2 3因为点 M 在直线 y 3 x m 上，与 x m联立，消去 m ，得3x 2y 0 .2 3这说明点 M 的轨迹是这条直线被椭圆截下的弦（不包括端点），这些弦的中点在一条直线上 .高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]x2y29、3.5252 2.87521.10、地球到太阳的最大距离为 1.5288 108 km，最下距离为 1.4712108 km. 习题 2.2 B 组（ P50）1、解：设点 M 的坐标为 ( x, y) ，点 P 的坐标为( x0, y0)，则 x x0，y 3y0 . 所以 x0 x ，y0 2 y ⋯⋯① .2 3因为点 P(x0 , y0 ) 在圆上，所以 x02 y02 4 ⋯⋯②.将①代入②，得点 M 的轨迹方程为 x2 4 y2 4，即 x2 y2 19 4 9所以，点 M 的轨迹是一个椭圆与例 2 相比可见，椭圆也可以看作是由圆沿某个方向压缩或拉伸得到.2、解法一：设动圆圆心为P( x, y) ，半径为 R ，两已知圆的圆心分别为 O1, O2.分别将两已知圆的方程x 2 y2 6x 5 0 ， x2 y2 6x 91 0配方，得(x 3)2 y 2 4 ， ( x 3)2 y2 100当 P 与O1： ( x 3)2 y2 4 外切时，有O1P R 2 ⋯⋯①当P 与O2：( x 3)2y2100内切时，有O2P 10 R⋯⋯②①②两式的两边分别相加，得 O1P O2 P 12即， ( x 3)2 y2 (x 3) 2 y2 12 ⋯⋯③化简方程③ .先移项，再两边分别平方，并整理，得 2 (x 3)2 y2 12 x ⋯⋯④将④两边分别平方，并整理，得3x2 4 y2 108 0 ⋯⋯⑤将常数项移至方程的右边，两边分别除以108，得x2y2 1 ⋯⋯⑥36 27由方程⑥可知，动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴和短轴长分别为12，6 3 . 解法二：同解法一，得方程( x 3)2 y2 ( x 3)2 y2 12 ⋯⋯①由方程①可知，动圆圆心P(x, y) 到点O1( 3,0)和点O2(3,0) 距离的和是常数12，第11页共38页。
2018-2019版高中数学北师大版选修2-1文档：第一章 §3
§3全称量词与存在量词3.1全称量词与全称命题3.2存在量词与特称命题学习目标 1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词.2.了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性.知识点一全称量词和全称命题短语“所有”、“每一个”、“任何”、“任意一条”、“一切”等都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词，含有全称量词的命题，叫作全称命题.知识点二存在量词与特称命题短语“有些”、“至少有一个”、“有一个”、“存在”等都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词，含有存在量词的命题叫作特称命题.【预习评价】(1)在全称命题和特称命题中，量词是否可以省略？(2)全称命题中的“x，M与p(x)”表达的含义分别是什么？提示(1)在特称命题中，量词不可以省略；在有些全称命题中，量词可以省略.(2)元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围.p(x)表示集合M的所有元素满足的性质.题型一全称量词与全称命题【例1】试判断下列全称命题的真假：(1)任意实数x，使x2＋2>0；(2)所有自然数x，使x4≥1；(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.解(1)由于任意实数x，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“对于任意实数x，x2＋2>0”是真命题.(2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“所有自然数x，x4≥1”是假命题.(3)由于任意角α，sin2α＋cos2α＝1成立.所以命题“对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1”是真命题.规律方法判断全称命题为真时，要看命题是否对给定集合中的所有元素成立.判断全称命题为假时，可以用反例进行否定.【训练1】试判断下列全称命题的真假：(1)任意x∈R，x2＋1≥2；(2)任何一条直线都有斜率；(3)每个指数函数都是单调函数.解(1)由于任意x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋1≥1，所以“任意x∈R，x2＋1≥2”是假命题.(2)当直线的倾斜角为π2时，斜率不存在，所以“任何一条直线都有斜率”是假命题.(3)无论底数a>1还是0<a<1，指数函数都是单调函数，所以“每个指数函数都是单调函数”是真命题.题型二存在量词与特称命题【例2】判断下列特称命题的真假：(1)存在x0∈Z，使得x30<1；(2)存在一个四边形不是平行四边形；(3)有一个实数α，tan α无意义；(4)存在x0∈R，使得cos x0＝π2.解(1)∵－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，∴“存在x0∈Z，使得x30<1”是真命题.(2)真命题，如梯形.(3)真命题，当α＝π2时，tan α无意义.(4)∵当x ∈R 时，cos x ∈[－1，1]，而π2>1， ∴不存在x 0∈R ，使cos x 0＝π2，∴“存在x ∈R ，使得cos x 0＝π2”是假命题.规律方法 判定特称命题真假的方法——代入法：在给定的集合中找到一个元素x ，使命题p (x )为真，否则命题为假. 【训练2】 试判断下列特称命题的真假：(1)存在x 0∈Q ，x 20＝3；(2)存在x 0，y 0为正实数，使x 20＋y 20＝0；(3)存在x 0∈R ，tan x 0＝1； (4)存在x 0∈R ，lg x 0＝0.解 (1)由于使x 20＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以命题“存在x 0∈Q ，x 20＝3”为假命题.(2)因为x 0>0，y 0>0，所以x 20＋y 20>0，所以“存在x 0，y 0为正实数，使x 20＋y 20＝0”为假命题.(3)当x 0＝π4时，tan π4＝1，所以“存在x 0∈R ，tan x 0＝1”为真命题. (4)当x 0＝1时，lg 1＝0，所以“存在x 0∈R ，lg x 0＝0”为真命题.【探究1】 若命题p ：存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a <0为真命题，求实数a 的取值范围.解 方法一 由ax 20＋2x 0＋a <0，得a (x 20＋1)<－2x 0，当x 0＝0时，a ＜0；∵x 20＋1>0，∴a <－2x 0x 20＋1＝－2x 0＋1x0， 当x 0>0时，x 0＋1x 0≥2，∴－2x 0＋1x≥－1，当x 0<0时，x 0＋1x 0≤－2，∴－2x 0＋1x≤1， ∴－2x 0＋1x的最大值为1. 又∵存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a <0成立，∴只要a <1，∴a 的取值范围是(－∞，1).方法二 当a ≤0时，显然存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a ＜0成立；当a ＞0时，由题意得⎩⎨⎧a ＞0，Δ＝4－4a 2＞0，解得－1＜a ＜1， 综上，a 的取值范围是(－∞，1).【探究2】 若不等式(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.解 ①当m ＋1＝0即m ＝－1时，2x －6<0不恒成立. ②当m ＋1≠0，则⎩⎨⎧m ＋1<0，Δ<0⇒⎩⎨⎧m <－1，Δ＝[－（m －1）]2－4（m ＋1）·3（m －1）<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <－1，m <－1311或m >1，综上，m <－1311.∴实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1311.【探究3】 已知关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，求实数a 的取值范围.解 关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，解得a ≥74，∴实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞.【探究4】 若命题p ：1－sin 2x ＝sin x －cos x 是真命题，求实数x 的取值范围.解 由1－sin 2x ＝sin x －cos x ，得sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ＝sin x －cos x ，∴（sin x－cos x）2＝sin x－cos x，即|sin x－cos x|＝sin x－cos x，∴sin x≥cos x.结合三角函数图像得2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4(k∈Z)，此即为所求x的取值范围.规律方法应用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型(1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质；所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决.(2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述.解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设.课堂达标1.下列命题中全称命题的个数是()①任意一个自然数都是正整数；②有的等差数列也是等比数列；③三角形的内角和是180°.A.0B.1C.2D.3解析①③是全称命题.答案 C2.下列命题中，不是全称命题的是()A.任何一个实数乘以0都等于0B.自然数都是正整数C.每一个向量都有大小D.一定存在没有最大值的二次函数解析D选项是特称命题.答案 D3.已知命题：“对任意x＞3，x＞a恒成立”为真命题，则实数a的取值范围是________.解析对任意x＞3，x＞a恒成立，即大于3的数恒大于a，所以a≤3.答案(－∞，3]4.已知命题：“存在x0∈[1，2]，使x20＋2x0＋a≥0”为真命题，则a的取值范围是________.解析要使命题为真命题，则22＋2×2＋a≥0，即a≥－8.答案[－8，＋∞)5.判断下列命题的真假.(1)p：任意x∈R，x2－x＋14≥0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：存在x∈R，x2＋2x＋2≤0.解(1)∵任意x∈R，x2－x＋14＝⎝⎛⎭⎪⎫x－122≥0，∴p为真命题.(2)q为真命题.(3)∵任意x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1＞0，∴r为假命题.课堂小结1.判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断.2.要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题.3.要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题.基础过关1.下列命题：①中国公民都有受教育的权利；②每一个中学生都要接受爱国主义教育；③有人既能写小说，也能搞发明创造；④任何一个数除0，都等于0.其中全称命题的个数是()A.1B.2C.3D.4解析命题①②④都是全称命题.答案 C2.下列命题中特称命题的个数是()①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x∈R，总有|sin x|≤1.A.0B.1C.2D.3解析命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称命题；而命题④是全称命题.故有一个特称命题.答案 B3.下列全称命题中真命题的个数为()①负数没有对数；②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；③二次函数f(x)＝x2－ax－1与x轴恒有交点；④任意x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.A.1B.2C.3D.4解析①②③为真命题.答案 C4.给出下列四个命题：①a⊥b⇔a·b＝0；②矩形都不是梯形；③存在x，y∈R，x2＋y2≤1；④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1.其中全称命题是________.解析①②省略了量词“所有的”，④含有量词“任意”.答案①②④5.若任意x∈R，f(x)＝(a2－1)x是单调减函数，则a的取值范围是______________.解析∵f(x)＝(a2－1)x是减函数，∴0<a2－1<1，∴1<a2<2，∴a∈(－2，－1)∪(1，2).答案(－2，－1)∪(1，2)6.已知命题p：“任意x∈[1，2]，x2－a≥0”，命题q：“存在x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”，若命题p、q皆是真命题，求实数a的取值范围.解由p、q皆是真命题，知p为真命题，q也为真命题.若p为真命题，则a≤x2对于x∈[1，2]恒成立，所以a≤1.若q为真命题，则关于x的方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，所以Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2.综上，实数a的取值范围为{a|a≤－2或a＝1}.7.若任意x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图像和x轴恒有公共点，求实数a 的取值范围.解(1)当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒有公共点，所以a∈R.(2)当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图像和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立.又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ′＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.综上所述，当m＝0时，a∈R；当m≠0时，a∈[－1，1].能力提升8.给出以下命题：①任意x∈R，有x4>x2；②存在α∈R，使得sin 3α＝3sin α；③存在a∈R，对任意x∈R，使得x2＋2x＋a<0.其中真命题的个数为()A.0B.1C.2D.3解析①中，当x＝0时，x4＝x2，故为假命题；②中，当α＝kπ(k∈Z)时，sin 3α＝3sin α成立，故为真命题；③中，由于函数f(x)＝x2＋2x＋a的图像开口向上，一定存在x∈R，使x2＋2x＋a≥0，故为假命题.故选B.答案 B9.已知命题p：存在x0∈R，x20＋ax0＋a<0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是()A.[0，4]B.(0，4)C.(－∞，0)∪(4，＋∞)D.(－∞，0]∪[4，＋∞)解析∵p是假命题，∴任意x∈R，x2＋ax＋a≥0恒成立，∴Δ＝a2－4a≤0，∴0≤a≤4.答案 A10.下面四个命题：①任意x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②存在x∈Q，x2＝2；③存在x∈R，x2＋1＝0；④任意x∈R，4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________.解析x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题.∵当且仅当x＝±2时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题.对任意x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题.4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题.∴①②③④均为假命题.答案011.若“任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________.解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数，∴y max ＝tan π4＝1.依题意知，m ≥y max ，即m ≥1.∴m 的最小值为1. 答案 112.已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，并求出m 的取值范围；(2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f (x 0)>0成立，求实数m 的取值范围. 解 (1)不等式m ＋f (x )>0可化为m >－f (x )， 即m >－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m >－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m >－4即可.故存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，此时m >－4.m 的取值范围是(－4，＋∞).(2)不等式m －f (x 0)>0可化为m >f (x 0)，若存在一个实数x 0，使不等式m >f (x 0)成立，只需m >f (x )min .∵f (x )＝(x －1)2＋4，∴f (x )min ＝4，∴m >4. ∴所求实数m 的取值范围是(4，＋∞).13.(选做题)已知函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1，1]上任意的x ，都有f (x )≤0.求实数p 的取值范围.解 在[－1，1]上的所有实数x ，都有f (x )≤0恒成立.又由二次函数的图像特征可知，⎩⎨⎧f （－1）≤0，f （1）≤0，即⎩⎨⎧4＋2（p －2）－2p 2－p ＋1≤0，4－2（p －2）－2p 2－p ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧p ≥1或p ≤－12，p ≥32或p ≤－3，∴p ≥32或p ≤－3.∴p 的取值范围是(－∞，－3]∪[32，＋∞).。
人教版数学高二理科选修2-1第一章全称量词与存在量词
1.4全称量词与存在量词[教材研读]1．预习教材P21和P22思考，回答以下问题(1)命题的语句中的限定短语有什么特点？(2)命题中限定短语的出现对命题真假的判断可以用什么方法？2．预习教材P24探究：对三个命题的否定在形式上有什么特点？[知识梳理]1．全称量词与全称命题2.存在量词与特称命题3．全称命题与特称命题的否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)的否定綈p：∃x0∈M，綈p(x0)；全称命题的否定是特称命题．(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)的否定綈p：∀x∈M，綈p(x)；特称命题的否定是全称命题．[反思诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．在全称命题和特称命题中，量词都可以省略．()2．“有的等差数列也是等比数列”是特称命题．()3．“三角形内角和是180°”是全称命题．()[答案] 1.× 2.√ 3.√题型一全称命题与特称命题思考：全称命题和特称命题中是否一定含有全称量词和特称量词？提示：命题“正方形是特殊的菱形”，该命题中没有全称量词，即全称命题不一定含有全称量词．判断下列语句是全称命题，还是特称命题．(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的向量方向不定；(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；(4)矩形的对角线不相等；(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．[思路导引]找命题中的量词及其命题的含义．[解](1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题．(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题．(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．(4)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称命题．(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．判定命题是全称命题还是特称命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词．要注意的是有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．[跟踪训练]用全称量词或存在量词表示下列语句(1)不等式x2＋x＋1>0恒成立；(2)当x为有理数时，13x2＋12x＋1也是有理数；(3)等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ对有些角α，β成立；(4)方程3x－2y＝10有整数解．[解](1)对任意实数x，不等式x2＋x＋1>0成立．(2)对任意有理数x，13x2＋12x＋1是有理数．(3)存在角α，β，使sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(4)存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立．题型二全称命题与特称命题的否定思考：全称命题和特称命题的否定有什么特点？提示：全称命题和特称命题的否定分别是特称命题和全称命题．(1)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则綈p为()A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n(2)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是()A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n<x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n<x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n<x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n<x2[思路导引]明确命题是全称命题还是特称命题，把全称量词和特称量词互换，再把结论否定．[解析](1)因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，綈p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”，故选C.(2)由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n<x2”．[答案](1)C(2)D(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．[跟踪训练]判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出这些命题的否定．(1)有一个奇数不能被3整除；(2)∀x∈Z，x2与3的和不等于0；(3)有些三角形的三个内角都为60°；(4)每个三角形至少有两个锐角；(5)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．[解](1)是特称命题，否定为：每一个奇数都能被3整除．(2)是全称命题，否定为：∃x0∈Z，x20与3的和等于0.(3)是特称命题，否定为：任意一个三角形的三个内角不都为60°.(4)是全称命题，否定为：存在一个三角形至多有一个锐角．(5)是全称命题，省略了全称量词“任意”，即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”，否定为：存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线．题型三 利用全称命题与特称命题求参数思考：如何用命题的真假求参数？.提示：转化为集合的关系或转化为求最值问题．若命题“∀x ∈[－1，＋∞)，x 2－2ax ＋2≥a ”是真命题，求实数a 的取值范围．[思路导引] 令f (x )＝x 2－2ax ＋2，求最值或参变分离法．[解] 解法一：由题意，∀x ∈[－1，＋∞)，令f (x )＝x 2－2ax ＋2≥a 恒成立，所以f (x )＝(x －a )2＋2－a 2≥a 可转化为∀x ∈[－1，＋∞)，f (x )min ≥a 恒成立，而∀x ∈[－1，＋∞)，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2，a ≥－1，(1＋a )2＋2－a 2，a <－1. 由f (x )的最小值f (x )min ≥a ，知a ∈[－3,1]．解法二：x 2－2ax ＋2≥a ，即x 2－2ax ＋2－a ≥0，令f (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，所以全称命题转化为∀x ∈[－1，＋∞)，f (x )≥0恒成立，所以Δ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4a 2－4(2－a )>0，a <－1，f (－1)≥0，即－2≤a ≤1或－3≤a <－2.所以－3≤a ≤1.综上，所求实数a 的取值范围是[－3,1]．利用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型(1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决．(2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表达．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．[跟踪训练]已知p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，q：“∃x0∈R，使x20＋2ax0＋2－a＝0”．若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．[解]p为真时，x2－a≥0，即a≤x2.∵x∈[1,2]时，上式恒成立，而x2∈[1,4]，∴a≤1.q为真时：Δ＝(2a)2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2.∵p且q为真命题，∴p，q均为真命题．∴a＝1或a≤－2.即实数a的取值范围是(－∞，－2]∪{1}．课堂归纳小结1.判断全称命题的关键：一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词．2．判定全称命题的真假的方法：定义法：对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真；代入法：在给定的集合内找出一个x0，使p(x0)为假，则全称命题为假．3．判定特称命题真假的方法：代入法，在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真，否则命题为假.1．下列全称命题为真命题的是()A．所有的质数是奇数B ．∀x ∈R ，x 2＋1≥1C ．对每一个无理数x ，x 2也是无理数D ．所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5[解析] A 、C 、D 可用举反例法判断为假．[答案] B2．已知命题p ：∀x >0，x ＋1x ≥2，则綈p 为( )A ．∀x >0，x ＋1x <2B ．∀x ≤0，x ＋1x <2C ．∃x ≤0，x ＋1x <2D ．∃x >0，x ＋1x <2[答案] D3．下列说法不正确的是( )A ．“若p 且q ”为假，则p ，q 至少有一个是假命题B ．命题“∃x ∈R ，x 2－x －1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x －1≥0”C ．“φ＝π2”是“y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充要条件D ．当α<0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减[解析] 选项A 、B 、D 很容易判断为真命题，只有C 选项，若φ＝3π2时，y ＝sin(2x ＋φ)也是偶函数，所以C 选项是假命题．[答案]C4．命题p：∃x0∈R，x20＋2x0＋5<0是__________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是__________命题(填“真”或“假”)，它的否定为綈p：__________.[解析]很显然命题p是特称命题，又∵Δ＝22－4×5<0，∴x2＋2x＋5>0恒成立，所以命题p是假命题，它的否定綈p：∀x∈R，x2＋2x＋5≥0.[答案]特称命题假∀x∈R，x2＋2x＋5≥05．由命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求得实数m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a＝__________.[解析]∵“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，∴x2＋2x＋m>0恒成立，即Δ＝4－4m<0，∴m>1.又∵m∈(a，＋∞)，∴a＝1.[答案]1。
高中数学选修2-1-全称量词与存在量词
全称量词与存在量词知识集结知识元全称量词与全称命题知识讲解1．全称量词和全称命题【全称量词】：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．符号：∀应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法1．全称量词与存在量词（1）全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示．（2）存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．【全称命题】含有全称量词的命题．“对xM，有p（x）成立”简记成“xM，p（x）”．同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，现列表如下命题全称命题xM，p（x）特称命题xM，p（x）表述方法①所有的xM，使p（x）成立①存在xM，使p（x）成立②对一切xM，使p（x）成立②至少有一个xM，使p（x）成立③对每一个xM，使p（x）成立③对有些xM，使p（x）成立④任给一个xM，使p（x）成立④对某个xM，使p（x）成立⑤若xM，则p（x）成立⑤有一个xM，使p（x）成立解题方法点拨：该部分内容是《课程标准》新增加的内容，要求我们会判断含有一个量词的全称命题和一个量词的特称命题的真假；正确理解含有一个量词的全称命题的否定是特称命题和含有一个量词的特称命题的否定是全称命题，并能利用数学符号加以表示．应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法．命题方向：该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．例题精讲全称量词与全称命题例1.存在x>0，3x（x-a）<2，则a的取值范围为（）A．（-3，+∞）B．（-2，+∞）C．（-1，+∞）D．（0，+∞）例2.已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列命题错误的是（）A．∃x0∈R，f（x0）=0B．函数f（x）的图象是中心对称图形C．若x0是函数f（x）的极大值点，则f（x）在（x0，+∞）上是增函数D．函数f（x）可能是R上的增函数例3.若a、b不全为0，必须且只需（）A．ab≠0B．a、b中至多有一个不为0C．a、b中只有一个为0D．a、b中至少有一个不为0存在量词与特称命题知识讲解1．存在量词和特称命题【存在量词】：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词．符号：∃特称命题：含有存在量词的命题．符号：“∃”．存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．【特称命题】含有存在量词的命题．“∃x 0∈M ，有p （x 0）成立”简记成“∃x 0∈M ，p （x 0）”．“存在一个”，“至少有一个”叫做存在量词．命题全称命题x ∈M ，p （x ）特称命题x 0∈M ，p （x 0）表述方法①所有的x ∈M ，使p （x ）成立①存在∃x 0∈M ，使p （x 0）成立②对一切x ∈M ，使p （x ）成立②至少有一个x 0∈M ，使p （x 0）成立③对每一个x ∈M ，使p （x ）成立③某些x ∈M ，使p （x ）成立④对任给一个x ∈M ，使p （x ）成立④存在某一个x 0∈M ，使p （x 0）成立⑤若x ∈M ，则p （x ）成立⑤有一个x 0∈M ，使p （x 0）成立解题方法点拨：由于全称量词的否定是存在量词，而存在量词的否定又是全称量词；因此，全称命题的否定一定是特称命题；特称命题的否定一定是全称命题．命题的“否定”与一个命题的“否命题”是两个不同的概念，对命题的否定是否定命题所作的判断，而否命题是对“若p 则q ”形式的命题而言，既要否定条件，也要否定结论．常见词语的否定如下表所示：词语是一定是都是大于小于词语的否定不是一定不是不都是小于或等于大于或等于词语且必有一个至少有n个至多有一个所有x成立词语的否定或一个也没有至多有n﹣1个至少有两个存在一个x不成立命题方向：本考点通常与全称命题的否定，多以小题出现在填空题，选择题中．例题精讲存在量词与特称命题例1.已知函数．f（x）=ax2+2x-e x，若对∀m，n∈（0，+∞），m>n，都有成立，则a的取值范围是（）A．B．（-∞，1]C．D．（-∞，e]例2.已知命题“∃x0∈[-1，1]，-x02+3x0+a>0”为真命题，则实数a的取值范围是（）A．（-，+∞）B．（4，+∞）C．（-2，4）D．（-2，+∞）例3.函数f（x）满足f'（x）=f（x）+，x∈[，+∞），f（1）=-e，若存在a∈[-2，1]，使得f （2-）≤a3-3a-2-e成立，则m的取值范围是（）A．[，1]B．[，+∞）C．[1，+∞）D．[，]当堂练习单选题练习1.下列命题中是真命题的是（）A．∃x0∈R，B．∀x∈R，lg（x2+1）≥0C．若x2>x，则x>0”的逆命题D．若x<y，则x2<y2”的逆否命题练习2.下列“非p”形式的命题中，假命题是（）A．不是有理数B．π≠3.14C．方程2x2+3x+21=0没有实根D．等腰三角形不可能有120°的角练习3.下列四个命题：p1：任意x∈R，2x>0；p2：存在x∈R，x2+x+1<0，p3：任意x∈R，sin x<2x；p4：存在x∈R，cos x>x2+x+1。
数学选修2-1全称量词与存在量词练习题
数学选修2-1全称量词与存在量词练习题学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 命题“：∃x0∈R,x02+x0+1<0∘的否定为（）A.∃x0∈R,x02+x0+1≥0B.∃x0∈R,x02+x0+1≤0C.∀x∈R,x2+x+1≥0D.∀x∈R,x2+x+1<0<0”是假命题，则实数a的取值范围为() 2. 已知命题“∃x∈R，x2+(a−2)x+14A.(−∞,1)B.[1, 3]C.(−∞, 1]∪[3, +∞)D.(1, 3)3. 命题“∀x∈R，x3−3x>0”的否定为( )A.∀x∈R，x3−3x≤0B.∀x∈R，x3−3x<0C.∃x0∈R，x03−3x0≤0D.∃x0∈R，x03−3x0>04. 下列四个命题：p1：任意x∈R，2x>0；p2：存在x∈R，x2+x+1<0；p3：任意x∈R，sin x<2x；p4：存在x∈R，cos x>x2+x+1.其中的真命题是( )A.p1,p2B.p2,p3C.p3,p4D.p1,p45. 已知命题p：∀x∈R，x+|x|≥0，则¬p为（）A.∃x0∈R，x0+|x0|≤0B.∃x0∈R，x0+|x0|<0C.∀x∈R，x+|x|≤0D.∀x∈R，x+|x|<06. 若∃x∈[0, 3]，使得不等式x2−2x+a≥0成立，则实数a的取值范围是（）A.−3≤a≤0B.a≥0C.a≥1D.a≥−37. 下列命题为特称命题的是（）A.奇函数的图象关于原点对称B.正四棱柱都是平行六面体C.棱锥仅有一个底面D.存在大于等于3的实数x，使x2−2x−3≥0A.[37, +∞)B.[13, +∞)C.[12, +∞)D.(−∞, 13]9. 命题“∃x∈[1, 2]，x2+ln x−a≤0”为假命题，则a的取值范围为（）A.(−∞, 1)B.(−∞, 0)C.(−∞, ln2+2]D.(−∞, ln2+4)10. 设集合A={(x, y)|x−y≥1, ax+y>4, x−ay≤2}，则（）A.对任意实数a，(2, 1)∈AB.对任意实数a，(2, 1)∉AC.当且仅当a<0时，(2, 1)∉A时，(2, 1)∉AD.当且仅当a≤3211. 命题“∃x0>0,x02−4x0+1<0”的否定是________.12. 若命题“∃x0∈R使得x02+mx0+2m+5≤0”为假命题，则实数m的取值范围是________．13. 若“命题∃x0∈R，使得k>x02+1成立”是假命题，则实数k的取值范围是________．)<a，若p是真命题，则实数a的取值范围为14. 命题p:∃x0∈[0, π]，使sin(x0+π3________−√3，+∞)．215. 全称命题与特称命题(1)含有________量词的命题叫全称命题．(2)含有________量词的命题叫特称命题．16. 命题“∀x∈(0, +∞)，x2−2x−m≥0“为真命题，则实数m的最大值为________．17. 命题“存在实数x，y，使得x+y>1”是________．（填全称命题或特称命题），用符号表示________．,2],x2−mx+1≤0”是假命题，则实数m的取值范围为________．18. 已知“∃x∈[1219. 若对任意的x∈[1e,e]，不等式2x ln x+x2−mx+3≥0成立，则实数m的最小值为________．20. 已知命题“∃x∈R，mx2−mx+1≤0”是假命题，则实数m的取值范围是________．21. 已知函数f(x)=x2+2(1+k)x+3+k(k∈R).(1)若对∀x∈R，f(x)>0，求k的取值范围；(2)若∃k∈[−1,0],f(x)≤3，求x的取值范围．22. 已知命题p：“至少存在一个实数x0∈[1, 2]，使不等式x2+2ax+2−a>0成立”为真，试求参数a的取值范围．23. 已知p:∀x∈R，2x>m(x2+1)，q:∃x0∈R，x02+2x0−m−1=0，且p∧q为真，求实数m的取值范围.24. 已知数列{a n}首项为2，且对任意n∈N∗，都有1a1a2+1a2a3+...+1a n a n+1=na1a n+1，数列{a n}的前10项和为110．(1)求证：数列{a n}为等差数列；(2)若存在n∈N∗，使得a n≤(n+1)λ成立，求实数λ的最小值．25. 已知p：函数f(x)=x2−(2a+4)x+6在(1,+∞)上是增函数，q:∀x∈R,x2+ ax+2a−3>0，若p∧(¬q)是真命题，求实数a的取值范围.参考答案与试题解析数学选修2-1全称量词与存在量词练习题一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】C【考点】命题的否定全称量词与存在量词【解析】本题考查命题的否定，存在量词与全称量词，根据存在量词的否定是全称量词及命题否定的定义即可解答本题.【解答】解：因为存在量词的否定是全称量词，根据命题否定的定义可得：命题“∃x0∈R，x02+x0+1<0”的否定为“∀x∈R，x2+x+1≥0”.故选C.2.【答案】B【考点】全称命题与特称命题【解析】根据特称命题是假命题进行转化即可．【解答】<0”是假命题，解：若命题“∃x∈R，x2+(a−2)x+14≥0”是真命题，则命题“∀x∈R，x2+(a−2)x+14≤0，即判别式Δ=(a−2)2−4×14解得1≤a≤3.故选B.3.【答案】C【考点】全称命题与特称命题【解析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，x3−3x>0"的否定是：∃x0∈R，x03−3x0≤0．4.【答案】 D【考点】全称命题与特称命题 【解析】根据指数函数的性质，二次函数以及三角函数的性质分别判断选项即可得解 【解答】解：p 1：任意x ∈R ，2x >0，由指数函数的性质得命题p 1是真命题；p 2：存在x ∈R ，x 2+x +1<0，由x 2+x +1=(x +12)2+34>34，得命题p 2是假命题；p 3：任意x ∈R ，sin x <2x ，由x =−3π2时，sin x >2x ，得命题p 3是假命题；p 4：存在x ∈R ，cos x >x 2+x +1.例如：x =−12，满足不等式，命题p 4是真命题． 则命题p 1,p 4是真命题.故选D ． 5.【答案】 B【考点】全称命题的否定 【解析】根据全称命题否定的方法，结合已知中原命题，可得答案． 【解答】解：∵ 命题p ：∀x ∈R ，x +|x|≥0为全称量词命题， 其否定为特称量词命题，∴ ¬p 为∃x 0∈R ，x 0+|x 0|<0. 故选B . 6.【答案】 D【考点】全称命题与特称命题 全称量词与存在量词【解析】由题意可得，(x 2−2x)max ≥−a ，然后根据二次函数的性质即可求解． 【解答】∵ ∃x ∈[0, 3]，使得不等式x 2−2x +a ≥0成立， ∴ ∃x ∈[0, 3]，x 2−2x ≥−a ， ∴ (x 2−2x)max ≥−a ，根据二次函数的性质可知，当x ∈[0, 3]时，(x 2−2x)max ＝3， 则−a ≤3即a ≥−3． 7.全称量词与存在量词全称命题与特称命题【解析】根据全称特称命题的定义进行判断即可．【解答】A，B，C中命题都省略了全称量词“所有”，所以A，B，C都是全称命题；D中命题含有存在量词“存在”，所以D是特称命题，8.【答案】C【考点】全称量词与存在量词全称命题与特称命题【解析】根据特称命题的否定是全称命题结合命题的真假关系进行判断求解，再利用补集思想得答案．【解答】∵命题p:∃x∈[1, 9]，使x2−ax+36≤0，的否定￢p:∀x∈[1, 9]，x2−ax+36> 0，即x2+36>ax，即a<x+36x，设f(x)＝x+36x ，则f(x)＝x+36x≥2√x⋅36x=12，当且仅当x=36x，即x＝6时，取等号，∴a<12，∵p是真命题，∴￢p是假命题；故a的取值范围是a≥12．9.【答案】A【考点】全称量词与存在量词全称命题与特称命题【解析】根据命题“∃x∈[1, 2]，x2+ln x−a≤0”为假命题，得命题的否定为“∀x∈[1, 2]，x2+ln x−a>0”为真命题；即当x∈[1, 2]，x2+ln x>a恒成立；只需a<(x2+ln x)min，求出y＝x2+ln x的最小值即可．【解答】∵命题“∃x∈[1, 2]，x2+ln x−a≤0”为假命题；∴当x∈[1, 2]时，x2+ln x>a恒成立，只需a<(x2+ln x)min，又函数y＝x2+ln x在[1, 2]上单调递增，所以当x＝1时，y min＝1，∴a<1．D【考点】全称量词与存在量词【解析】利用a的取值，反例判断(2, 1)∈A是否成立即可．【解答】解：当a=−1时，集合A={(x, y)|x−y≥1, ax+y>4, x−ay≤2}={(x, y)|x−y≥1, −x+y>4, x+y≤2}，显然(2, 1)不满足，−x+y>4，x+y≤2，所以A，C不正确；当a=4，集合A={(x, y)|x−y≥1, ax+y>4, x−ay≤2}={(x, y)|x−y≥1, 4x+y>4, x−4y≤2}，显然(2, 1)在可行域内，满足不等式，所以B不正确.故选：D．二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】∀x>0，x2−4x+1≥0【考点】特称命题的否定【解析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：∵特称命题的否定是全称命题，∴命题“∃x0>0，x02−4x0+1<0”的否定是：“∀x>0，x2−4x+1≥0”，故答案为：∀x>0，x2−4x+1≥0．12.【答案】(−2, 10)【考点】全称量词与存在量词全称命题与特称命题【解析】先写出原命题的否定，再根据原命题为假，其否定一定为真，利用不等式对应的是二次函数，结合二次函数的图象与性质建立不等关系，即可求出实数m的取值范围．【解答】命题“∃x0∈R，使得x02+mx0+2m+5≤0”的否定为：“∀x0∈R，都有x02+mx0+2m+5>0”，由于命题“∃x0∈R，使得x02+mx0+2m+5≤0”为假命题，则其否定为：“∀x0∈R，都有x02+mx0+2m+5>0”，为真命题，∴△＝m2−4(2m+5)<0，解得−2<m<10．则实数m的取值范围是(−2, 10)，13.【答案】(−∞, 1]【考点】全称量词与存在量词【解析】先把原命题转化为等价的真命题，再结合最值解决恒成立问题即可．【解答】“命题∃x0∈R，使得k>x02+1成立”是假命题等价于“对∀x∈R，都有k≤x2+1恒成立”是真命题，只需k≤(x2+1)min，又∵x2+1≥1，∴x2+1的最小值为1，∴k≤1，14.【答案】（【考点】全称量词与存在量词全称命题与特称命题【解析】根据特称命题的性质和不等式性质进行求解即可．【解答】若0≤x≤π，则π3≤x+π3≤4π3，所以−√32≤sin(x+π3)≤1；而命题p:∃x0∈[0, π]，使sin(x0+π3)<a，为p为真命题，所以a>−√32．15.【答案】(1)全称(2)存在【考点】全称命题与特称命题【解析】此题暂无解析【解答】略16.【答案】−1【考点】全称量词与存在量词全称命题与特称命题【解析】问题等价于“∀x∈(0, +∞)，m≤x2−2x”恒成立，求出f(x)＝x2−2x在x∈(0, +∞)上的最小值即可．【解答】等价于“∀x∈(0, +∞)，m≤x2−2x”恒成立，设f(x)＝x2−2x，x∈(0, +∞)，所以f(x)≥f(1)＝−1，所以m≤−1，即实数m的最大值为−1．故答案为：−1．17.【答案】特称命题,∃x，y∈R，x+y>1．【考点】全称命题与特称命题全称量词与存在量词【解析】直接利用特称命题转化为符号语言即可．【解答】命题“存在实数x，y，使得x+y>1”是特称命题，用符号表示为：“∃x，y∈R，x+y>1”，18.【答案】m<2【考点】全称量词与存在量词全称命题与特称命题【解析】根据特称命题的性质进行求解即可．【解答】∵ “∃x∈[12,2],x2−mx+1≤0”是假命题，∴对任意的x∈[12, 2]，x2−mx+1>0恒成立，∴m<x+1x ，对任意的x∈[12, 2]恒成立，∵x+1x ≥2√x⋅1x=2，当且仅当x=1x即x＝1时等号成立，∴m<2，19.【答案】4【考点】全称命题与特称命题全称量词与存在量词【解析】不等式化为m≥2ln x+x+3x ，设f(x)＝2ln x+x+3x，x∈[1e, e]，利用导数求出f(x)的最小值，即可得出实数m的取值范围和m的最小值．解：则f′(x)=2x +1−3x2=x2+2x−3x2，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝−3（不合题意，舍去），①所以x∈[1e, 1), f′(x)<0, f(x)单调递减，②x∈(1, e]时，f′(x)>0，f(x)单调递增，③所以x＝1时，f(x)取得最小值为f(x)min＝f(1)＝0+1+3＝4，④所以实数m的取值范围是m≥4，即m的最小值为4．故答案为：4．20.【答案】[0, 4)【考点】全称命题与特称命题命题的真假判断与应用全称量词与存在量词【解析】直接利用特称命题和全称命题的转换和二次函数的性质的应用求出结果．【解答】命题“∃x∈R，mx2−mx+1≤0”是假命题，则命题∀x∈R，mx2−mx+1>0恒成立为真命题．所以①当m=0时，1≥0，恒成立，②{m>0b2−4ac<0，即{m>0m2−4m<0，解得m∈(0, 4)，故m的范围为[0, 4)．三、解答题（本题共计 5 小题，每题 10 分，共计50分）21.【答案】解：(1)由题意知函数f(x)=x2+2(1+k)x+3+k(k∈R)，因为x2的系数大于0，所以函数图象开口向上，又f(x)>0恒成立，所以Δ=4(1+k)2−4(3+k)<0，解得：−2<k<1.(2)设g(k)=x2+2(1+k)x+3+k=k(2x+1)+(x2+2x+3)，存在实数k∈[−1,0]，使f(x)≤3成立，可得- (2x+1)+(x2+2x+3)≤3或0(2x+1)+(x2+2x+3)≤3，即为−1≤x≤1或−2≤x≤0，可得x的取值范围是[−2,1].【考点】全称量词与存在量词函数恒成立问题一元二次不等式的解法【解析】此题暂无解析解：(1)由题意知函数f(x)=x 2+2(1+k)x +3+k(k ∈R)， 因为x 2的系数大于0，所以函数图象开口向上， 又f(x)>0恒成立，所以Δ=4(1+k)2−4(3+k)<0， 解得：−2<k <1.(2)设g (k )=x 2+2(1+k )x +3+k =k (2x +1)+(x 2+2x +3)，存在实数k ∈[−1,0]，使f (x )≤3成立，可得- (2x +1)+(x 2+2x +3)≤3或0(2x +1)+(x 2+2x +3)≤3， 即为−1≤x ≤1或−2≤x ≤0，可得x 的取值范围是[−2,1]. 22.【答案】参数a 的取值范围为(−3, +∞) 【考点】全称量词与存在量词 全称命题与特称命题【解析】根据特称命题的性质进行求解即可． 【解答】法一：由题意知：x 2+2ax +2−a >0在[1, 2]上有解，令f(x)＝x 2+2ax +2−a ，则只需f(1)>0或f(2)>0，即1+2a +2−a >0或4+4a +2−a >0．整理得a >−3或a >−2．即a >−3．故参数a 的取值范围为(−3, +∞)．法二：￢p:∀x ∈[1, 2]，x 2+2ax +2−a >0无解， 令f(x)＝x 2+2ax +2−a ， 则{f(1)≤0,f(2)≤0, 即{1+2a +2−a ≤0,4+4a +2−a ≤0. 解得a ≤−3．故命题p 中，a >−3．即参数a 的取值范围为(−3, +∞)．故答案为：参数a 的取值范围为(−3, +∞)． 23.【答案】解：不等式2x >m(x 2+1)， 等价为mx 2−2x +m <0.若m =0，则−2x <0，即x >0，不满足条件． 若m ≠0，要使不等式恒成立，则 {m <0,Δ=4−4m 2<0, 即{m <0,m 2>1,解得m <−1， 即p ：m <−1；若∃x 0∈R ，x 02+2x 0−m −1=0，则Δ=4+4(m +1)≥0，解得m ≥−2，即q ：m ≥−2. 若p ∧q 为真， 则p 与q 同时为真， 则{m <−1,m ≥−2,所以m 的取值范围为{m|−2≤m <−1}． 【考点】逻辑联结词“或”“且”“非” 全称量词与存在量词【解析】左侧图片未给出解析． 【解答】解：不等式2x >m(x 2+1)， 等价为mx 2−2x +m <0.若m =0，则−2x <0，即x >0，不满足条件． 若m ≠0，要使不等式恒成立，则 {m <0,Δ=4−4m 2<0, 即{m <0,m 2>1,解得m <−1， 即p ：m <−1；若∃x 0∈R ，x 02+2x 0−m −1=0，则Δ=4+4(m +1)≥0，解得m ≥−2， 即q ：m ≥−2. 若p ∧q 为真， 则p 与q 同时为真， 则{m <−1,m ≥−2,所以m 的取值范围为{m|−2≤m <−1}． 24. 【答案】(1)证明：∵ 对任意n ∈N ∗，都有1a 1a 2+1a 2a 3+...+1a n a n+1=na1a n+1，∴ 当n ≥2时，1a 1a 2+1a 2a 3+...+1a n−1a n=n−1a 1a n，可得：1an a n+1=na1a n+1−n−1a1a n，又a 1=2，∴ 2=na n −(n −1)a n+1， 可得2=(n +1)a n+1−na n+2，∴ 2na n+1=na n +na n+2，即2a n+1=a n +a n+2，n ∈N ∗， 当n =2时，代入已知条件得1a1a 2+1a2a 3=2a1a 3，即2a 2=a 1+a 3．∴ 2a n+1=a n +a n+2，n ∈N ∗， ∴ 数列{a n }为等差数列．(2)解：设{a n }的前n 项和为S n ，又数列{a n }的前10项和为110，则易得d =2， ∴ a n =a 1+(n −1)d =2n ．∵ 存在n ∈N ∗，使得a n ≤(n +1)λ成立， ∴ λ≥2n n+1，令c n =2nn+1，则c n+1c n=2(n+1)n+22n n+1=n 2+2n+1n 2+2n>1，∴ (c n )min =c 1=1． ∴ λ≥1．∴ λ的最小值为1. 【考点】全称量词与存在量词 数列递推式等差数列的前n 项和 等差数列的通项公式 【解析】（1）由对任意n ∈N ∗，都有1a1a 2+1a2a 3+...+1an a n+1=na1a n+1，可得当n ≥2时，1a1a 2+1a 2a 3+...+1a n−1a n=n−1a 1a n，相减化简可得2=(n +1)a n+1−na n+2，即可证明．（2）设{a n }的前n 项和为S n ，则d =2，可得a n =2n ．由于存在n ∈N ∗，使得a n ≤(n +1)λ成立，可得λ≥2nn+1，再利用数列的单调性即可得出． 【解答】(1)证明：∵ 对任意n ∈N ∗，都有1a 1a 2+1a 2a 3+...+1a n a n+1=n a 1a n+1，∴ 当n ≥2时，1a 1a 2+1a 2a 3+...+1an−1a n=n−1a1a n，可得：1a n a n+1=n a 1a n+1−n−1a 1a n，又a 1=2，∴ 2=na n −(n −1)a n+1， 可得2=(n +1)a n+1−na n+2，∴ 2na n+1=na n +na n+2，即2a n+1=a n +a n+2，n ∈N ∗， 当n =2时，代入已知条件得1a1a 2+1a2a 3=2a1a 3，即2a 2=a 1+a 3．∴ 2a n+1=a n +a n+2，n ∈N ∗， ∴ 数列{a n }为等差数列．(2)解：设{a n }的前n 项和为S n ，又数列{a n }的前10项和为110，则易得d =2， ∴ a n =a 1+(n −1)d =2n ．∵ 存在n ∈N ∗，使得a n ≤(n +1)λ成立， ∴ λ≥2nn+1， 令c n =2nn+1，则c n+1c n=2(n+1)n+22n n+1=n 2+2n+1n 2+2n>1，∴ (c n )min =c 1=1． ∴ λ≥1．∴ λ的最小值为1.25.【答案】解：由已知得，f(x)开口向上，对称轴为x=a+2，当p真时，a+2≤1,解得，a≤−1；q真时，Δ=a2−4(2a−3)=a2−8a+12<0，解得，2<a<6则¬q为真时a≥6或a≤2，∵ p∧(−q)为真，∴ p与¬q都为真，∴ a≤−1，即a∈(−∞,−1].【考点】全称量词与存在量词逻辑联结词“或”“且”“非”二次函数的性质一元二次不等式的解法【解析】此题暂无解析【解答】解：由已知得，f(x)开口向上，对称轴为x=a+2，当p真时，a+2≤1,解得，a≤−1；q真时，Δ=a2−4(2a−3)=a2−8a+12<0，解得，2<a<6则¬q为真时a≥6或a≤2，∵ p∧(−q)为真，∴ p与¬q都为真，∴ a≤−1，即a∈(−∞,−1].。
人教A版高中数学高二选修2-1试题 1.4.1全称量词与存在量词
第一章 1.4第1课时一、选择题1．下列命题中全称命题的个数为()①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等．A．0B．1C．2D．3[答案] C[解析]①②是全称命题，③是特称命题．2．下列特称命题中真命题的个数是()①∃x∈R，x≤0；②至少有一个角，它既不是锐角，也不是钝角；③∃x∈{x|x是整数}，x2是整数．A．0 B．1C．2 D．3[答案] D[解析]①②③都是真命题．3．下列命题中，是真命题且是全称命题的是()A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0B．菱形的两条对角线相等C．∃x∈R，x2＝xD．对数函数在定义域上是单调函数[答案] D[解析]A中含有全称量词“任意的”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0；故是假命题．B、D在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等，所以B是假命题，C是特称命题，故选D.4．下列命题中，真命题是()A．∃x∈R,2x>1 B．∃x∈R，x2－x＋1≤0C．∀x∈R，lg x>0 D．∀x∈N*，(x－2)2>0[答案] A[解析]对于选项B，x2－x＋1>0，错误；对于选项C，当x＝110时，lg110＝－1<0，错误；对于选项D ，当x ＝2时，(x －2)2＝0，错误．故选A.5．下列命题中，真命题是( )A ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数B ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数D ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数 [答案] A[解析] 显然当m ＝0时，f (x )＝x 2为偶函数，故选A. 6．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是( ) A ．存在一个角α，使得tan(90°－α)＝tan α B ．存在实数x 0，使得sin x 0＝π2C ．对一切α，sin(180°－α)＝sin αD ．sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β [答案] A[解析] ∵α＝45°时，tan(90°－45°)＝tan45°，∴A 为真命题，且为特称命题，故选A.B 中对∀x ∈R ，有sin x ≤1<π2；C 、D 都是全称命题．二、填空题7．(2014·高州四中质量检测)已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋1，若命题“∃x 0>0，f (x 0)<0”为真，则m 的取值范围是________．[答案] (－∞，－2)[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧－m 2>0，m 2－4>0，∴m <－2.8．四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②∃x ∈Q ，x 2＝2；③∃x ∈R ，x 2＋1＝0；④∃x ∈R,4x 2>2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为________．[答案] 0[解析] x 2－3x ＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x >2或x <1时，x 2－3x ＋2>0才成立，∴①为假命题．当且仅当x ＝±2时，x 2＝2，∴不存在x ∈Q ，使得x 2＝2，∴②为假命题， 对∀x ∈R ，x 2＋1≠0，∴③为假命题，4x 2－(2x －1＋3x 2)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0， 即当x ＝1时，4x 2＝2x －1＋3x 2成立， ∴④为假命题． ∴①②③④均为假命题．9．在R 上定义运算⊙：x ⊙y ＝x (1－y )．若对任意x ∈R ，不等式(x －a )⊙(x ＋a )<1恒成立，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－12，32)[解析] 由x ⊙y ＝x (1－y )，得(x －a )⊙(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )＝－(x －a )[x －(1－a )]<1， 整理得x 2－x －a 2＋a ＋1>0恒成立，则Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)＝4a 2－4a －3<0，解得－12<a <32.三、解答题10．判断下列命题是否为全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假． (1)对任意实数α，有sin 2α＋cos 2α＝1； (2)存在一条直线，其斜率不存在；(3)对所有的实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0都有唯一解； (4)存在实数x 0，使得1x 20－x 0＋1＝2.[解析] (1)是全称命题，用符号表示为“∀α∈R ，sin 2x ＋cos 2α＝1”，是真命题． (2)是特称命题，用符号表示为“∃直线l ，l 的斜率不存在”，是真命题．(3)是全称命题，用符号表示为“∀a ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0都有唯一解”，是假命题． (4)是特称命题，用符号表示为“∃x 0∈R ，1x 20－x 0＋1＝2”，是假命题．一、选择题11．(2014·新课标Ⅰ理，9)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1x －2y ≤4的解集记为D .有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2，p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2， p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3，p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1. 其中真命题是( )A ．p 2，p 3B ．p 1，p 4C ．p 1，p 2D ．p 1，p 3[答案] C[解析] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1x －2y ≤4表示的平面区域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －2y ＝4，得交点A (2，－1)， ∵目标函数u ＝x ＋2y 的斜率k ＝－12，－1<－12<4，∴当直线x ＋2y ＝u 过A 时，u 取最小值0. 故选项p 1，p 2正确，所以选C.12．已知a ，b 是两个互相垂直的单位向量，且c·a ＝c·b ＝1，则对任意的正实数t ，|c ＋t a ＋1tb |的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2[答案] A[解析] ∵|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，a ·c ＝b ·c ＝1，∴c ·(a －b )＝0，由a ·c ＝|a |·|c |·cos45°＝22|c |＝1得|c |＝2，∵U ＝(|c ＋t a ＋1t b |)2＝|c |2＋t 2|a |2＋1t 2|b |2＋2t a ·c ＋2t b ·c ＋2a ·b ＝2＋t 2＋1t 2＋2t ＋2t ＝(t ＋1t )2＋2(t ＋1t )，令x ＝t ＋1t ，∵t >0，∴x ≥2，∴U ＝x 2＋2x (x ≥2)，∴当x ＝2时，U 取最小值4，∴选A.13．(2013·唐山高二检测)下列命题中，真命题是( ) A ．∀x ∈R ，x 2≥xB ．命题“若x ＝1，则x 2＝1”的逆命题C ．∃x 0∈R ，x 20≥x 0D．命题“若x≠y，则sin x≠sin y”的逆否命题[答案] C[解析]∵x2－x≥0的解为x≤0或x≥1，∴存在x0∈{x|x≤0或x≥1}，使x20≥x0，故C 为真命题．14．下列命题中的假命题是()A．存在实数α和β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβB．不存在无穷多个α和β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβC．对任意α和β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβD．不存在这样的α和β，使cos(α＋β)≠cosαcosβ－sinαsinβ[答案] B[解析]cos(α＋β)＝cosα·cosβ－sinα·sinβ，显然C、D为真；sinα·sinβ＝0时，A为真；B为假．故选B.二、填空题15．下列特称命题是真命题的序号是________．①有些不相似的三角形面积相等；②存在一实数x0，使x20＋x0＋1<0；③存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大；④有一个实数的倒数是它本身．[答案]①③④[解析]①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②中对任意x∈R，x2＋x＋1＝(x＋12＋34>0，所以不存在实数x0，使x20＋x0＋1<0，故②为假2)命题；③中当实数a大于0时，结论成立，为真命题；④中如1的倒数是它本身，为真命题，故选①③④.16．下列语句：①能被7整除的数都是奇数；②|x－1|<2；③存在实数a使方程x2－ax ＋1＝0成立；④等腰梯形对角线相等且不互相平分．其中是全称命题且为真命题的序号是________．[答案]④[解析]①是全称命题，但为假命题，②不是命题，③是特称命题．三、解答题17．判断下列命题的真假：(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，a x>0；(2)∃T 0∈R ，使|sin(x ＋T 0)|＝|sin x |； (3)∃x 0∈R ，x 20＋1<0.[解析] 命题(1)为全称命题，根据指数函数的性质可知，该命题为真命题． 命题(2)是特称命题，存在T 0＝π，使|sin(x ＋T 0)|＝|sin x |，故该命题为真命题． 命题(3)是特称命题，因为对任意的x ∈R ，都有x 2＋1>0，故该命题为假命题． 18．若x ∈[－2,2]，不等式x 2＋ax ＋3≥a 恒成立，求a 的取值范围．[解析] 设f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，则问题转化为当x ∈[－2,2]时，[f (x )]min ≥0即可． ①当－a 2<－2，即a >4时，f (x )在[－2,2]上单调递增，f (x )min ＝f (－2)＝7－3a ≥0，解得a ≤73，又a >4，所以a 不存在．②当－2≤－a2≤2，即－4≤a ≤4时，f (x )min ＝f (－a 2)＝12－4a －a24≥0，解得－6≤a ≤2.又－4≤a ≤4，所以－4≤a ≤2.③当－a2>2，即a <－4时，f (x )在[－2,2]上单调递减，f (x )min ＝f (2)＝7＋a ≥0，解得a ≥－7，又a <－4，所以－7≤a <4.综上所述，a 的取值范围是{a |－7≤a ≤2}．。
1.4 全称量词与存在量词(人教A版选修2-1)
小 结：
判断全称命题"x M ,p(x)"是真命题的方法：
——需要对集合M中每个元素x,证明p(x)成立.
判断全称命题"x M ,p(x)"是假命题的方法：
——只需在集合M中找到一个元素x0,使得 p(x0)不成立即可（举反例）.
存在有理数x，使x2－2＝0; 有一个同学没有去上体育课.
p
的否定：
p
五法：
1.全称量词、全称命题的定义及记法. 2.判断全称命题真假性的方法. 3.存在量词、特称命题的定义及记法. 4.判断特称命题真假性的方法. 5.含有一个量词的命题的否定方法.
一般地，我们有：
“x∈M,p(x)”的否定是 “x∈M,p(x)” “x∈M,p(x)”的否定是“x∈M,p(x)”
例3、写出下列命题的否定：
（1）所有的人都晨练；
（2）x∈R，x2+x+1>0；
（3）平行四边形的对边相等； （4） x∈R，x2-x+1＝0； 解： （1）原命题的否定是： “有的人不晨 练”. （2）原命题的否定是：
（1） x R,3 x x;
x∈R，3x＝x;
（2） x∈R，sinx＝1；
x R, sin x 1;
（3） x∈{-2,-1,0,1,2},|x-2|<2.
x {2, 1,0,1, 2}, x 假． (1)p：对任意的正数 x， x>x－1； (2)q：三角形有且仅有一个外接圆； (3)r：存在一个三角形，它的内角和大于 180° ； (4)s：有些质数是奇数．
小 结：
——只需在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0) 成 立即可 (举例说明).
判断特称命题"x0 M ,p(x0 )"是假命题的方法：
高中数学人教版选修2-1课后训练1-4-1、2 全称量词 存在量词 Word版含解析
课后课时精练一、选择题．给出下列命题：①存在实数>，使>；②全等的三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一个实数，使关于的方程－＋＝的根为负数．其中特称命题的个数是( )．．．．解析：只有②是全称命题．答案：．“存在集合，使∅”，对这个命题，下面说法中正确的是( )．全称命题、真命题．全称命题、假命题．特称命题、真命题．特称命题、假命题解析：当≠∅时，∅，是特称命题，且为真命题．答案：．下列命题中是全称命题并且是真命题的是( )．每个二次函数的图象都开口向上．对任意非正数，若≤＋，则≤．存在一条直线与两个相交平面都垂直．存在一个实数使不等式－＋<成立解析：、是特称命题，是假命题．答案：．特称命题“存在实数使＋<”可写成( )．若∈，则＋<．∀∈，＋<．∃∈，＋<．以上都不正确解析：特称命题“存在一个∈，使()成立”简记为“∃∈，使()成立”．答案：．下列命题中假命题的个数为( )①∀∈－> ②∀∈*，(－)>③∃∈，> ④∃∈，＝⑤∃∈，＋＋＝．．．．解析：本题考查全称命题和特称命题的真假判断．①中命题是全称命题，易知－>恒成立，故是真命题；②中命题是全称命题，当＝时，(－)＝，故是假命题；③中命题是特称命题，当＝时，＝，故是真命题；④中命题是特称命题，依据正切函数定义，可知是真命题．⑤(＋)＋≥>成立，可知为假命题．答案：．若对于∀∈，≥＋恒成立，则实数的取值范围是( )．<－．≤－．>－．≥－解析：对于∀∈，≥＋恒成立，即≤－恒成立．令()＝－，∈，则(－)＝()．当≥时，()＝－＝(－)－≥－，故≤－.。
2020-2021人教版高一数学《全称量词与存在量词》知识梳理与例题详解
第一章集合与逻辑用语1.5 全称量词与存在量词【学习目标】1.理解全称量词与存在量词的含义2.能用数学符号表示含有量词的命题，并能判断命题的真假3.能正确使用量词对全称量词命题与存在量词命题进行否定【知识网络详解】知识点一：全称量词与全称量词命题、存在量词与存在量词命题1.全称量词与全称量词命题2.存在量词与存在量词命题知识点二：命题的否定1.命题否定的含义（1）定义：将一个命题的否定替换为原来结论的反面，条件不变，得到一个新的命题，这个命题就是原来命题的否定。
如原来的命题为p：若s，则t，则它原命题的否定若⌝，则:。
sp⌝t（2）性质：一个命题与它的否定只能是一真一假。
2.全称量词命题与存在量词命题的否定【考向详析】题型一：全称量词命题与存在量词命题的辨析例1.用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题，并判断真假：(1)实数都能写成小数形式． (2)有的有理数没有倒数． (3)不论m 取什么实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实根． (4)存在一个实数x ，使x 2＋x ＋4≤0.例2.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题:(1)负数没有对数; (2)至少有一个整数,它既能被2整除,又能被5整除;(3)∀x ∈{x|x 是无理数},2x 是无理数; (4) y y x |{∈∃是无理数}，2x 是无理数.【练习】1.量词符号“∀，∃”表示下列命题： (1)有的实数不能写成小数形式：________； (2)凸n 边形的外角和等于2π：________． 题型二：全称量词命题与存在量词命题真假的判断 例1.判断下列命题的真假1.所有的素数都是奇数；2.;11||,≥+∈∀x R x3.有一个实数x ，使;0322=++x x4.平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线。
【练习】1.下列命题是真命题的为( )A ．∀x ∈R ，－x 2－1＜0B ．∀n ∈Z ，∃m ∈Z ，nm ＝mC ．所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径D ．存在实数x ，使得1x 2－2x ＋3 ＝342.设语句()x x x q -=-11:。
高中数学人教A版选修2-1 (1.4)全称命题与特称命题
练习：写出下列命题的否定,并判断其真假： （1）一切分数都是有理数; （2）有些三角形是锐角三角形; （3）∃x∈R, x²+x=x+2; （4）∀x∈R, 2x+4≥0. （5）∀x∈R, x²>0; （6）∃x∈R, x²=1; （7）∃x∈R, 是方程x²-3x+2=0的根.
一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定, 有下面的结论： 全称命题 它的否定 一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定,有下
写出下列命题的否定: (1)有些实数的绝对值是正数; (2)有些平行四边形是菱形; (3) ∃x0∈R, x0²+1<0. (4)所有能被3整除的整数都是奇数; (5)对任意x∈Z, x²的个位数字不等于3.
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?
例题
例3 写出下列特称命题的否定，并判断其真假： （1）p：∃x0∈R, x0²+2x0+2≤0; （2）p：有的三角形是等边三角形; （3）p：有一个素数含三个正因数. （4）q：至少有一个实数x,使x³+1=0 （5）r：任意两个等边三角形都是相似的; （6）s：∃x0∈R, x0²+2x0+2=0.
些”、“有一个”、“对某个”、“有的”在逻 辑中通常叫做存在量词。 表示： 用符号“∃”表示,
2.特称命题及表示：
定义: 含有存在量词的命题,叫做特称命题. 表示：特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”可用
符号简记为∃x∈M,p(x). 读作:“存在一个x属于M,使p(x)成立”.
例如: 命题 (1)有的平行四边形是菱形;
关系(3: )在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量x的 取值进行限定,使(3)变成了可以判断真假的语句;
2017-2018学年高二数学北师大版选修2-1教师用书：第1
§3全称量词与存在量词3.1 全称量词与全称命题3.2 存在量词与特称命题3.3 全称命题与特称命题的否定1.理解全称量词和存在量词的意义.(重点)2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.(难点)3.能判断含一个量词的命题的真假.(易混点)教材整理1 全称量词与全称命题阅读教材P11上半部分，完成下列问题.“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词，含有全称量词的命题，叫作全称命题.下列命题是全称命题的个数是( )①任何实数都有平方根；②所有素数都是奇数；③有的等差数列是等比数列；④三角形的内角和是180°.A.0B.1C.2D.3【解析】①②④是全称命题，故选D.【答案】 D教材整理2 存在量词与特称命题阅读教材P11下半部分～P12上半部分，完成下列问题.“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词，含有存在量词的命题，叫作特称命题.“有些长方形是正方形”含有的量词是________，该量词是________量词(填“全称”或“存在”)【解析】 含的量词是有些，为存在量词. 【答案】 有些 存在教材整理3 全称命题与特称命题的否定 阅读教材P 12下半部分～P 13，完成下列问题.全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题.命题“对任意一个实数x ，都有x ＋1≥0”的否定为________. 【解析】 此命题为全称命题，其否定为特称命题. 【答案】 存在一个实数x 0，使x 0＋1＜0成立预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________①对任意实数x ，都有x 2＋1＞0； ②存在一个自然数小于1； ③菱形的对角线相等；④至少有一个实数x ，使sin x ＋cos x ＝53.【自主解答】 ①全称命题.由x 2≥0，知x 2＋1＞0，所以①是真命题. ②特称命题.由于0∈N ，且0＜1，所以②是真命题.③全称命题.由于有一个角为60°的菱形对角线不相等，所以③是假命题.④特称命题.由于sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2＜53，所以④是假命题.1.判断一个命题是全称命题还是特称命题，关键是看命题中含有的量词是全称量词还是存在量词.需要注意的是有些全称命题的全称量词可以省略不写.2.要判断全称命题“对任意x ∈M ，p (x )成立”是真命题，需要对集合M 中每个元素x ，证明p (x )成立.但要判断该命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个x ＝x 0，使p (x 0)不成立即可.要判断特称命题“存在x ∈M ，使p (x )成立”是真命题，只要在集合M 中能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立，否则，这一命题就是假命题.(1)对任意实数x ，都有x 3＞x 2； (2)至少有一个二次函数没有零点. 【精彩点拨】【自主解答】 (1)命题的否定为：存在一个实数x 0，有x 30≤x 20. (2)命题的否定：所有二次函数都有零点.1.弄清是全称命题还是特称命题，是正确写出含有一个量词的命题否定的前提.2.全(特)称命题的否定是将其全称量词(存在量词)改为存在量词(全称量词)，并把判断词否定.1.写出下列命题的否定： (1)所有的菱形都是平行四边形； (2)存在x ∈R ，使x 2＋2x ＋3≤0.【解】 (1)至少存在一个菱形不是平行四边形. (2)对任意x ∈R ，都有x 2＋2x ＋3＞0.a 的取值范围.【导学号：32550009】【精彩点拨】【自主解答】命题p的否定：对任意x∈R，x2＋2ax＋a＞0.由p假，知p的否定真.∴Δ＝4a2－4a＜0.解得0＜a＜1.即a的取值范围为(0,1).1.若函数f(x)存在最大值与最小值，则对任意x∈A，f(x)≥M⇔f(x)min≥M；存在x∈A，f(x)≥M⇔f(x)max≥M.2.当已知的命题是假命题时，可先求出其否定，利用其否定为真命题求解.2.将例3中的“命题p是假命题”改为“命题p是真命题”，如何求a的取值范围.【解】由p真，得Δ＝4a2－4a≥0，解得a≥1或a≤0.即a的取值范围为(－∞，0]∪探究1【提示】常用量词的否定如下表：【提示】 在写命题的否定时，要注意原命题中是否有省略的量词，要理解原命题的本质，例如“矩形有一个外接圆”的本质应为“所有矩形都有一个外接圆”，因此，它的否定应为“存在矩形没有外接圆”.即无量词的全称命题要先补上量词再否定.探究3 在综合问题中，会经常遇到这样两类问题： (1)由“恒成立”求字母参数的取值范围； (2)探索“是否存在”的探究题.以上问题与全称命题和特称命题有什么关系？【提示】 究其实质，也就是分别为全称命题和特称命题，应按全称命题和特称命题的真假进行讨论.已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )＞0对于任意x ∈R 恒成立？并说明理由； (2)若存在实数x ，使不等式m －f (x )＞0成立，求实数m 的取值范围.【精彩点拨】 分离变量(1)m ＞－f (x )，(2)m ＞f (x )，再利用函数和不等式求解. 【自主解答】 (1)不等式m ＋f (x )＞0可化为m ＞－f (x )，即m ＞－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m ＞－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m ＞－4即可.故存在实数m 使不等式m ＋f (x )＞0对于任意x ∈R 恒成立，此时m ＞－4.(2)不等式m －f (x )＞0可化为m ＞f (x ).若存在实数x 使不等式m ＞f (x )成立，只需m ＞f (x )min . 又f (x )＝(x －1)2＋4，∴f (x )min ＝4，∴m ＞4. 故所求实数m 的取值范围是(4，＋∞).3.已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋ax－2，若对任意x ∈1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词.( )(2)全称命题一定含有全称量词，特称命题一定含有存在量词.( )(3)全称命题的否定是特称命题.( )【答案】(1)×(2)×(3)√2.已知命题p：∃x0∈N，x30＜x20；命题q：∀a∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f(x)＝log a(x －1)的图像过点(2,0)，则( )A.p假q真B.p真q假C.p假q假D.p真q真【解析】由x30＜x20，得x20(x0－1)＜0，解得x0＜0或0＜x0＜1，在这个范围内没有自然数，∴命题p为假命题；∵对任意的a∈(0,1)∪(1，＋∞)，均有f(2)＝log a1＝0，∴命题q为真命题.【答案】 A3.命题：“对任意k＞0，方程x2＋x－k＝0有实根”的否定是( )A.存在k≤0，使方程x2＋x－k＝0无实根B.对任意k≤0，方程x2＋x－k＝0无实根C.存在k＞0，使方程x2＋x－k＝0无实根D.存在k＞0，使方程x2＋x－k＝0有实根【解析】将“任意”改为“存在”，并把“方程x2＋x－k＝0有实根”否定，故选C.【答案】 C4.命题“所有x∈R，f(x)＝(a2－1)x是单调减函数”恒成立，则a的取值范围是________.【导学号：32550010】【解析】由题意知0＜a2－1＜1，∴1＜a2＜2，即1＜a＜2或－2＜a＜－1.【答案】(1，2)∪(－2，－1)5.(1)若命题“对于任意实数x，不等式sin x＋cos x＞m恒成立”是真命题，求实数m 的取值范围；(2)若命题“存在实数x，使不等式sin x＋cos x＞m有解”是真命题，求实数m的取值范围.【解】(1)令y＝sin x＋cos x，x∈R，∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥－2，又∵任意x ∈R ，sin x ＋cos x ＞m 恒成立， ∴只要m ＜－2即可.∴所求m 的取值范围是(－∞，－2). (2)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，∴y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈. 又∵存在x ∈R ，使sin x ＋cos x ＞m 有解，∴只要m ＜2即可，∴所求m 的取值范围是(－∞，2).我还有这些不足：(1)________________________________________________ (2)________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)________________________________________________ (2)________________________________________________。
高中数学选修2-1全称量词与存在量词 例题解析
全称量词与存在量词例题解析【例1】试判断以下命题的真假：(1)∃x∈R，使x3＜1；(2)∃ x∈Q，使x2=2；(3)∀ x∈N，有x3＞x2；(4)∀ x∈R，有x2+1＞0．值，使【分析】要判定一个存在性命题是真，只要在限定的集合M中，至少能找到一个x=x0 )成立即可，否则，这一存在性命题就是假的．要判定一个全称命题是真，必须对限定集p(x，合M中的每一个x验证p(x)成立；但要判定全称性命题是假，却只要能举出集合M中一个x=x0 )为假即可．使得p(x【解】(1)由于x∈R，因而可取x=-1，满足x3＜1，所以命题“∃x∈R，使x3＜1”是真命题．(2)由于使x2=2成立的数只有±2，而它们都不是有理数，因此，没有任何一个有理数的平方能等于2，所以命题“∃ x∈Q，使x2=2”是假命题．(3)由于x取自然数l时，x2＞x是不成立的，因此，全称命题“∀x∈N，有x3＞x2”是假命题．(4)由于任何一个实数x的平方都是非负的，即x2≥0，因而有x2+1＞0．所以，命题“∀x∈R，有x2+1＞0”是真命题．【例2】判断下列命题是全称命题还是存在性命题：(1)与同一平面所成角相等的两条直线平行；(2)有的三角形三个内角成等差数列；(3)和圆只有一个公共点的直线与圆相切．【解析】(1)全称命题；(2)存在性命题；(3)全称命题．【例3】写出下列命题的否定： (1)菱形的对角线互相垂直； (2)平行直线的斜率相等. 【解析】(1)“菱形的对角线互相垂直”的否定是“有的菱形的对角线彼此不垂直”．(2)“平行直线的斜率相等”的否定是“存在平行的直线，它们的斜率不相等”【例4】命题q：有些三角形是直角三角形．写出它的否定命题.由此可得出一般结论：【解析】这是一个存在性命题，即“∃三角形x，x是直角三角形”．其否定命题是: ⌝q：∀三角形x，x都不是直角三角形．也就是说：“没有一个三角形是直角三角形”，或者说“没有直角三角形”．【点评】存在性命题q：∃x∈A，使p(x)成立．它的否定命题是⌝q：∀x∈A, ⌝p(x)(p(x)不成立)．。
高中数学 1.4 全称量词与存在量词知能演练 理(含解析)新人教A版选修2-1
2013-2014学年高中数学 1.4 全称量词与存在量词知能演练 理（含解析）新人教A 版选修2-11．将a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2改写成全称命题是( )A ．存在a ，b ∈R ，使a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2B ．存在a ＜0，b ＞0，使a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2C ．存在a ＞0，b ＞0，有a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2D ．所有a ，b ∈R ，有a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2解析：选D.根据全称命题的一般形式为“所有x ，有p (x )”．故全称命题是对所有a ，b ∈R ，有a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2.2．下列四个命题中的真命题为( )A ．∀x ∈R ，x 2－1＝0B ．∃x ∈Z,3x －1＝0C ．∀x ∈R ，x 2＋1＞0D ．∃x ∈Z,1＜4x ＜3解析：选C.若x 2－1＝0，则x ±1，A 错误；若3x －1＝0，则x ＝13∉Z ，B 错误；若1＜4x ＜3，则14＜x ＜34，D 错误；x 2＋1≥1＞0恒成立，故选C. 3．下列特称命题是假命题的是( )A ．存在x ∈Q ，使2x －x 3＝0B ．存在x ∈R ，使x 2＋x ＋1＝0C ．有的素数是偶数D ．有的有理数没有倒数解析：选B.对于任意的x ∈R ，x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＞0恒成立． 4．(2012·高考辽宁卷)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则﹁p 是( )A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0解析：选C.命题p 是一个全称命题，其否定为特称命题，﹁p ：∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)＜0，故选C.5．若存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a ＜0，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＜1B ．a ≤1C ．－1＜a ＜1D ．－1＜a ≤1解析：选A.当a ≤0时，显然存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a ＜0.当a ＞0时，需满足Δ＝4－4a 2＞0，得－1＜a ＜1，故0＜a ＜1，综上所述，实数a 的取值范围是a ＜1.6．命题“对任意一个实数x ，x 2＋2x ＋1都不小于零”用“∃”或“∀”符号表示为________．答案：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋1≥07．下列命题，是全称命题的是________；是特称命题的是________．①正方形的四条边相等；②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．解析：①③是全称命题，②④是特称命题．答案：①③ ②④8．(2013·临汾质检)若∀x ∈R ，f (x )＝(a 2－1)x 是单调减函数，则a 的取值范围是__________．解析：依题意有：0<a 2－1<1⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－1>0a 2－1<1⇔⎩⎨⎧a <－1或a >1－2<a <2 ⇔－2<a <－1或1<a < 2.答案：(－2，－1)∪(1，2)9．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并用量词符号“∀”、“∃”表示．(1)两个有理数之间，都有一个无理数；(2)有一个凸n 边形，外角和等于180°；(3)存在一个三棱锥，使得它的每个侧面都是直角三角形．解：(1)全称命题：∀两个有理数之间，都有一个无理数．(2)特称命题：∃一个凸n 边形，它的外角和等于180°.(3)特称命题：∃一个三棱锥，它的每个侧面都是直角三角形．10．若命题“∀x ∈[－1，＋∞)，x 2－2ax ＋2≥a ”是真命题，求实数a 的取值范围．解：x 2－2ax ＋2≥a ，即x 2－2ax ＋2－a ≥0，令f (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，所以全称命题转化为∀x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥0恒成立，所以Δ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4a 2－－a ＞0a ＜－1f －，即－2≤a ≤1或－3≤a ＜－2.所以－3≤a ≤1.综上，所求实数a 的取值范围是[－3,1]．1．对下列命题的否定说法错误的是( )A ．p ：能被2整除的数是偶数；﹁p ：存在一个能被2整除的数不是偶数B ．p ：有些矩形是正方形；﹁p ：所有的矩形都不是正方形C ．p ：有的三角形为正三角形；﹁p 所有的三角形不都是正三角形D ．p ：∃x ∈R ，x 2＋x ＋2≤0；﹁p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋2＞0解析：选C.“有的三角形为正三角形”为特称命题，其否定为全称命题；所有的三角形都不是正三角形，故选项C 错误．2．设命题p ：对一切x ∈R ，都有x 2＋ax ＋2＜0，若﹁p 为真，则实数a 的取值范围是________．解析：﹁p 为真，又﹁p ：∃x ∈R ，x 2＋ax ＋2≥0，而函数f (x )＝x 2＋ax ＋2开口向上，所以a ∈R .答案：a ∈R3．写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p ：不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根；(2)r ：等圆的面积相等，周长相等；(3)s ：对任意角α，都有sin 2α＋cos 2α＝1.解：(1)这一命题可以表述为p ：“对所有的实数m ，方程x 2＋x －m ＝0有实数根”，其否定形式是﹁p ：“存在实数m ，使得x 2＋x －m ＝0没有实数根”．注意到当Δ＝1＋4m ＜0时，即m ＜－14时，一元二次方程没有实数根，所以﹁p 是真命题．(2)这一命题的否定形式是﹁r ：“存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等”，由平面几何知识知﹁r 是一个假命题．(3)这一命题的否定形式是﹁s ：“存在α∈R ，有sin 2α＋cos 2α≠1”．由于命题s是真命题，所以﹁s 是假命题．4．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m 0，使不等式m 0＋f (x )＞0对于任意x ∈R 恒成立，并说明理由．(2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f (x 0)＞0成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)不等式m 0＋f (x )＞0可化为m 0＞－f (x )，即m 0＞－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m 0＞－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m 0＞－4即可．故存在实数m 0使不等式m 0＋f (x )＞0对于任意x ∈R 恒成立，此时需m 0＞－4.(2)不等式m －f (x )＞0可化为m ＞f (x )，若存在一个实数x 0使不等式m ＞f (x 0)成立，只需m ＞f (x 0)min .又f (x 0)＝(x 0－1)2＋4，所以f (x 0)min ＝4，所以m ＞4.所以所求实数m 的取值范围是(4，＋∞)．。
【精编】人教A版高中数学选修2-1课件.10.25全称量词与存在量词课件-精心整理
b
c
a
p,并证明它们的真假.
解:p: a,b,c(0,+∞),三个数 a 1 ,b 1 ,c 1 全小于 2 . bca
假设p 是真命题,则a,b,c(0,+∞), a 1 +b 1 +c 1 <6 bc a
∵a1+b1+c 1=a 1 b1c1≥2 a1 2 b12 c1 6 b c a abc a bc
一、知识学习 全称量词
特1 称量词 含命1有题量的词否的定
二、例题分析 怎样写含有 量词的命题 的否定?
练习巩固
三、课外练习
作业:课本个”在逻辑中通 常叫做全称量词，并用符号“”表示，含 有全称量词的命题，叫做全称命题。
例如，命题： 对任意的 a 、b R ， a2 b2 ≥ 2ab . 符号表示为: a 、b R , a2 b2 ≥ 2ab .
解:每一个平行四边形都不是菱形.
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知识点
全称命题 p: x M , p(x) . 它的否定p: x M ,p(x) .
即“全称肯定”的否定是“特称否定”， 另外“全称否定”的否定是“特称肯定”. 反过来也一样.
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练习:写出下列命题的否定,并判断所写命题的真假. ⑴不论 m 取任何实数,方程 x2 x m 0 都有实根;
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怎样写含有量词的命题的否定? 例 试写出下列命题的否定形式: ⑴每一个素数都是奇数;
解:否定:存在一个素数不是奇数. ⑵菱形是正方形; 解:原命题可改写为:所有菱形都是正方形; ∴这个命题的否定为:存在一个菱形不是正方形. ⑶ x R, x2 1 0 ; 解:否定: x R , x2 1≥0 . ⑷某些平行四边形是菱形.
2020北师大版高中数学选修2-1 教师课件：第一章 全称量词与存在量词
1．指出下列命题是全称命题，还是特称命题，并判断真假． (1)若 a>0，且 a≠1，则对任意实数 x，ax>0. (2)对任意实数 x1，x2，若 x1<x2，则 tan x1<tan x2. (3)存在两个相交平面垂直于同一条直线． (4)存在 T0∈R，|sin(x＋T0)|＝|sin x|.
解法二 x2－x＋1>12⇔x2－x＋12>0，由于 Δ＝1－4×12＝－1<0，所以不等式 x2－x＋1>12 的解集是 R，所以该命题是真命题． (2)当 α＝π4，β＝π2时，cos(α－β)＝cos(π4－π2)＝cos(－π4)＝cosπ4＝ 22，cos α－cos β＝cosπ4 －cosπ2＝ 22－0＝ 22，此时 cos(α－β)＝cos α－cos β，所以该命题是真命题． (3)当 x＝2，y＝4 时，x－y＝－2∉N，所以该命题是假命题． (4)当 x＝0，y＝3 时， 2x＋y＝3，即存在 x，y∈Z，使 2x＋y＝3，所以该命题是真命 题．
2．判断下列命题的真假，并说明理由： (1)对任意 x∈R，都有 x2－x＋1>12成立； (2)存在实数 α，β，使 cos(α－β)＝cos α－cos β 成立； (3)对任意 x，y∈N，都有(x－y)∈N； (4)存在 x，y∈Z，使 2x＋y＝3 成立． 解析：(1)解法一 当 x∈R 时，x2－x＋1＝(x－12)2＋34≥34＞12，所以该命题是真命题．
[解析] (1)命题中含有全称量词“任意的”，故该命题为全称命题．对任意的 x∈R， x2≥0，所以 x2＋2≥2，所以 x2＋2>0，所以该命题是真命题． (2)命题中含有全称量词“任意的”，故该命题为全称命题．因为 0∈N，当 x＝0 时， x4≥1 不成立，所以该命题是假命题． (3)命题中含有存在量词“存在”，故该命题为特称命题．因为－1∈Z，当 x＝－1 时， 能使 x3<1，所以该命题是真命题． (4)命题中含有全称量词“任意的”，故该命题为全称命题．因为对于 x∈R，只有当 x ＝2 或 x＝1 时满足 x2－3x＋2＝0，所以该命题为假命题． (5)命题中含有存在量词“存在”，故该命题为特称命题．因为不存在一个实数 x，使 x2＋1＝0 成立，所以该命题为假命题．
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全称量词与存在量词例题解析
【例1】试判断以下命题的真假：
(1)∃x∈R，使x3＜1；
(2)∃ x∈Q，使x2=2；
(3)∀ x∈N，有x3＞x2；
(4)∀ x∈R，有x2+1＞0．
值，使【分析】要判定一个存在性命题是真，只要在限定的集合M中，至少能找到一个x=x
0 )成立即可，否则，这一存在性命题就是假的．要判定一个全称命题是真，必须对限定集p(x
，合M中的每一个x验证p(x)成立；但要判定全称性命题是假，却只要能举出集合M中一个x=x
0 )为假即可．
使得p(x
【解】(1)由于x∈R，因而可取x=-1，满足x3＜1，
所以命题“∃x∈R，使x3＜1”是真命题．
(2)由于使x2=2成立的数只有±2，而它们都不是有理数，因此，没有任何一个有理数的平方能等于2，所以命题“∃ x∈Q，使x2=2”是假命题．
(3)由于x取自然数l时，x2＞x是不成立的，因此，全称命题“∀x∈N，有x3＞x2”是假命题．
(4)由于任何一个实数x的平方都是非负的，即
x2≥0，因而有x2+1＞0．所以，命题“∀x∈R，有x2+1＞0”是真命题．
【例2】判断下列命题是全称命题还是存在性命题：
(1)与同一平面所成角相等的两条直线平行；
(2)有的三角形三个内角成等差数列；
(3)和圆只有一个公共点的直线与圆相切．
【解析】(1)全称命题；(2)存在性命题；(3)全称命题．
【例3】写出下列命题的否定： (1)菱形的对角线互相垂直； (2)平行直线的斜率相等. 【解析】(1)“菱形的对角线互相垂直”的否定是“有的菱形的对角线彼此不垂直”．
(2)“平行直线的斜率相等”的否定是“存在平行的直线，它们的斜率不相等”
【例4】命题q：有些三角形是直角三角形．写出它的否定命题.由此可得出一般结论：
【解析】这是一个存在性命题，即“∃三角形x，x是直角三角形”．
其否定命题是: ⌝q：∀三角形x，x都不是直角三角形．
也就是说：“没有一个三角形是直角三角形”，或者说“没有直角三角形”．
【点评】存在性命题q：∃x∈A，使p(x)成立．它的否定命题是⌝q：∀x∈A, ⌝p(x)(p(x)不成立)．。