高等数学第四章不定积分教案

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《高等数学》第四章不定积分(电子讲稿)

140 第四章不定积分

一般来说，在数学中一种运算的出现都伴随着它的逆运算.在第二章中，我们学习了导数与微分，导数与微分运算是否有逆运算？即已知函数()f x 的导数或微分，能否求出()f x ？这是我们这一章要讨论的问题.

第一节不定积分的概念与性质

一、原函数与不定积分的概念

如果在区间I 上，可导函数()F x 的导数为()f x ，即对任意x I ∈，都有

()()F x f x '= 或 d ()()d F x f x x =，

则称()F x 为()f x 在区间I 上的原函数.

例如，因为,x R ∀∈(sin )cos

x x '=，所以sin x 是cos x 的一个原函数；(1,1)x ∀∈-

，(arcsin )x '=arcsin x

(1,1)-内的一个原函数.

由此可见，微分学的逆问题是：已知导函数()F x '，求原函数()F x .

事实上，研究原函数需要解决下面两个问题：

(1)满足何种条件的函数存在原函数？(2)如果原函数存在，它是否唯一？

关于第一个问题，我们用原函数存在定理回答.

(原函数存在定理）如果函数()f x 在区间I 上连续，则()f x 在区间I 上一定有原

函数，即存在区间I 上的可导函数()F x ，使得对任一x ∈I ，有()()F x f x '=.

将在第五章给出此定理的证明.这个定理简单地说就是：连续函数一定有原函数. 关于第二个问题的答案是如果原函数存在则不唯一.

设()F x 是函数()f x 的一个原函数，即()()F x f x '=,则[()]()F x C f x '+=，其中C 是任意常数.这就是说，原函数存在的话，则有无穷多个.

第4章不定积分

一元函数积分学是一元函数微积分学的另一重要组成部分，包括不定积分，定积分和定积分的应用•不定积分的概念是由研究导数问题的逆问题而引入的，定积分的概念则是由研究微小量的无限累加问题而引入•这是一元函数积分学的两个基本问题，它们似乎互不相干，却可以通过微积分基本公式密切地联系起来.本章介绍不定积分的基本概念、性质及求不定积分的基本方法.

§ 1不定积分的概念

一、原函数的概念

已知一个函数，求它的导数或微分，是微分学所研究的最基本的问题•在许多实际应

用中，还会碰到它的逆问题•例如，从微分学知道，若已知曲线方程为y二f (x)，则可求出该曲线在任一点(x, f(x))处切线的斜率f(X).现假设知道某一曲线上在任一点处切线斜率为2x，且曲线经过原点，则如何求出此曲线方程？又如，若作变速直线运动的质点的位置函数为s =s(t)，则质点在任一时刻的瞬时速度为s (t).现若知道从静止状态开始

作变速直线运动的质点在时刻t的瞬时速度为at，则如何求出它的位置函数s = s(t) ?以

上两个例子，研究对象虽属于不同范畴，但本质上都是已知某一函数的导数，要求该函数表达式的问题.

为了解决这类问题，我们引入原函数的概念.

定义1设f (x)是定义在区间I (有限或无穷)上的已知函数，如果存在函数F(x), 使得对区间I上任一点x，恒有

F (x)二f (x)或dF (x)二f (x)dx ,

则称F(x)是f (x)在区间I上的一个原函数.

1 1

例如，当(-1,1)时，因为(arcsin x)：一-------- ，所以arcsinx是在区间

第四章不定积分教案

第四章不定积分

§4-1 不定积分的概念与性质

一、原函数与不定积分

1．定义1 如果对任一I x ∈，都有

)()(x f x F =' 或 dx x f x dF )()(= 则称)(x F 为)(x f 在区间I 上的原函数。

例如：x x cos )(sin ='，即x sin 是x cos 的原函数。

11)1l n ([x

x x

+='++，即)1ln(2x x ++是

11x

+的原函数。

2．原函数存在定理：如果函数)(x f 在区间I 上连续，则)(x f 在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数)(x F ，使得对任一I x ∈，有)()(x f x F ='。注1：如果)(x f 有一个原函数，则)(x f 就有无穷多个原函数。

设)(x F 是)(x f 的原函数，则)(])([x f C x F ='+，即C x F +)(也为)(x f 的原函数，其中C 为任意常数。

注2：如果)(x F 与)(x G 都为)(x f 在区间I 上的原函数，则)(x F 与)(x G 之差为常数，即 C x G x F =-)()( （C 为常数）

注3：如果)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数，则C x F +)(（C 为任意常数）可表达

)(x f 的任意一个原函数。

3．定义2 在区间I 上，)(x f 的带有任意常数项的原函数，成为)(x f 在区间I 上的不定积分，记为

⎰dx x f )(。

如果)(x F 为)(x f 的一个原函数，则

C x F dx x f +=⎰)()(，

高职高等数学教案第四章不定积分

第四章不定积分

§4-1 不定积分的概念与性质

一、不定积分的概念

1.原函数定义

定义1：如果在区间I 上，可导函数()F x 的导数为()f x ，即对任一x

I ，都有

()

()F x f x 或()()dF x f x dx ，则称()F x 为()f x 在区间I 上的一个原函数。

例：(sin )cos x x ，则sin x 是cos x 的一个原函数；

(sin 1)(sin )(sin 3)cos 2

x x

x x ，则都是cos x 的原函数。

2.原函数性质

定理1：如果()f x 在区间I 上连续，则在该区间原函数一定存在。定理2：如果()F x 是()f x 的一个原函数，则()

F x C 是()f x 的全体原函数，且任一原函数与

()F x 只差一个常数。

例：验证

2211cos 2,sin 2,cos 233x x x 都是sin 2x 的原函数证：2

211(cos 2)sin 233(sin 2)sin 2(cos 2)sin 2x x x x x

，则三个函数都是sin 2x 的原函数

3.不定积分定义

定义2：()f x 的全体原函数称为()f x 的不定积分，记作()f x dx ，其中称为积分号，()

f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x 称为积分变量。说明：如果()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数

，则()

F x C 就是()f x 的不定积分，即

()()f x dx

F x C

例1：求

23x dx

解：因为3

2()3x x ，所以3x 是23x 的一个原函数

教案4-不定积分

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第四章不定积分

§ 不定积分概念

微分学的基本问题是：已知一个函数，求它的导数。但是，在科学技术领域中往往还会遇到与此相反的问题：已知一个函数的导数，求原来的函数，由此产生了积分学。

“积分”是“微分”的逆运算。

一、原函数

1、

原函数定义

我们在讨论导数的概念时，解决了这样一个问题：已知某物体作直线运动时，路程随时间t 变化的规律为()s s t =，那么，在任意时刻t 物体运动的速度为()()v t s t '=。现在提出相反的问题：

例1 已知某物体运动的速度随时间t 变化的规律为()v v t =，要求该物体运动的路程

随时间

变化的规律()s s t =。显然，这个问题就是在关系式()()v t s t '=中，当()v t 为已知时，

要求()s t 的问题。

例2 已知曲线()y f x =上任意点(,)x y 处的切线的斜率为2x ，要求此曲线方程，这

个问题

就是要根据关系式2y x '=，求出曲线()y f x =。

从数学的角度来说，这类问题是在关系式()()F x f x '=中，当函数()f x 已知时，求出函数()F x 。由此引出原函数的概念。

定义 : 设)(x f 是定义在某区间I 内的已知函数，如果存在一个函数)(x F ，对于每一

点x I ∈，都有：

()()F x f x '= 或 dx x f x dF ⋅=)()(

则称函数)(x F 为已知函数)(x f 在区间I 内的一个原函数。

四、高职不定积分教案

第四章不定积分

一、基本要求：

1、理解原函数与不定积分的概念；

2、掌握不定积分的性质和了解不定积分的几何意义。

二、授课内容：

§4-1 原函数与不定积分

一、原函数

定义1 如果对任一I x ∈，都有

)()(x f x F =' 或 dx x f x dF )()(= 则称)(x F 为)(x f 在区间I 上的原函数。例如：x x cos )(sin ='，即x sin 是x cos 的原函数。

211)1l n ([x

x x

+='++，即)1ln(2x x ++是

11x

+的原函数。

原函数存在定理：如果函数)(x f 在区间I 上连续，则)(x f 在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数)(x F ，使得对任一I x ∈，有)()(x f x F ='。

注1：如果)(x f 有一个原函数，则)(x f 就有无穷多个原函数。

设)(x F 是)(x f 的原函数，则)(])([x f C x F ='+，即C x F +)(也为)(x f 的原

函数，其中C 为任意常数。

注2：如果)(x F 与)(x G 都为)(x f 在区间I 上的原函数，则)(x F 与)(x G 之差为常数，即

C x G x F =-)()( （C 为常数）

注3：如果)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数，则C x F +)(（C 为任意常数）可表达)(x f 的任意一个原函数。

二、不定积分

定义2 在区间I 上，)(x f 的带有任意常数项的原函数，成为)(x f 在区间I 上的不定积分，记为⎰dx x f )(。

不定积分的优秀教学设计

引言

不定积分是高等数学中的重要概念之一，作为微积分的基础知识，不定积分的学习对学生的数学素养和解决实际问题的能力起着至关重要的作用。然而，在教学过程中，不定积分的抽象性和复杂性常常会给学生带来困扰。为了提高不定积分的教学效果，本文将介绍一种优秀的不定积分教学设计，帮助学生更好地理解和掌握这一概念。

一、教学目标

1. 让学生了解不定积分的基本概念和性质；

2. 培养学生运用不定积分解决实际问题的能力；

3. 提高学生的数学思维能力和逻辑推理能力。

二、教学内容

1. 不定积分的定义和性质；

2. 基本不定积分法和常见的不定积分公式；

3. 利用不定积分解决实际问题的应用。

三、教学步骤

1. 导入环节

通过一个生活中的例子引出不定积分的概念，例如汽车行驶的速度问题。让学生思考在已知汽车的速度函数的情况下，如何求出汽车行驶的路程。

2. 知识讲解

介绍不定积分的定义和基本性质，引导学生理解不定积分的本质是求取一个函数的原函数。讲解基本不定积分法和常见的不定积分公式，如导数与不定积分的关系、幂函数、三角函数等的不定积分公式。

3. 案例分析

选取一些具有实际意义的问题，如速度与加速度之间的关系、曲线下的面积计算等，通过具体的案例分析，引导学生运用不定积分解决实际问题。让学生参与思考和讨论，锻炼他们的数学思维能力和逻辑推理能力。

4. 练习与巩固

布置一定数量的练习题目，既涵盖了基本的不定积分计算，又包含了一些应用题。让学生通过练习提升他们的计算能力和综合运用能力。

5. 总结与拓展

对本节课的内容进行总结，重点回顾不定积分的基本概念和性质。同时，引导学生在不定积分的基础上，拓展更深层次的数学知识，如定积分、微分方程等，培养学生对数学的兴趣和探索精神。

高等数学第四章《不定积分》

第四章不定积分一、基本内容

（一）主要定义

【定义4.1】若在()f x 的定义区间M 上均满足()()F x f x '=，则称函数()F x 是

()f x 在M 上的一个原函数.

【定义4.2】 ()f x 的原函数的一般表达式()F x C +称为 ()f x 的不定积分，记成

()().f x dx F x C =+⎰

（二）性质与定理

【定理4.1】设()f x 在(,)a b 上连续，则必存在原函数. 性质以下均假设()f x 和()g x 在所讨论的区间上连续，则 1、 (())()f x dx f x '=⎰, ()()d f x dx f x dx =

⎰.

2、 ()()f x d x

f x C '=+⎰,

()()df x f x C =

+⎰. 3、 (()())()()f x g x d x f x d x

g x d x

±=±⎰⎰⎰. 4、

()(),kf x dx k f x dx =⎰⎰ 常数0.k ≠

（三）基本积分公式 1、11(1)1x dx x C α

ααα+=

+≠-+⎰

， 2、1

ln ,dx x C x

=+⎰ 3、(0,1)ln x

a a dx C a a a

=+>≠⎰， 4、,x x e dx e C =+⎰ 5、sin cos xdx x C =-+⎰ 6、cos sin xdx x C =+⎰

7、tan ln cos xdx x C =-+⎰ 8、cot ln sin ,xdx x C =+⎰

9、sec ln sec tan xdx x x C =++⎰ 10、csc ln csc cot ,xdx x C =-+⎰

高等数学上册第3版第4章不定积分

由于 f (x) 的不定积分 F(x) + C 是一个函数族，因此它们的图象就是一个曲线族。每一条就称为 f (x)的一条积分曲线。它
们在横坐标相同的点 x0处的切线斜率都是 f (x0 )，即它们在该
x0 处对应的点处的切线都平行。这就是不定积分的几何意义。
y
y = f (x) + C
y = f (x)
六、直接积分法
直接用基本积分公式，或者对被积函数进行适当的恒等变形（代数的或三角的），再利用基本积分公式与运算性质
12 (arctanx) = 1
1+ x2
13 (secx) = sec x tan x
1
1 + x2 dx = arctanx + C sec x tan xdx = sec x + C
14 (- cscx) = cscx cot x cscx cot xdx = -cscx + C
四、不定积分的几何意义
例2
验证
1 x2
dx
=
-
1 x
+
C
是否正确。
解：因为
(-
1 x
+ C)
=
(-
1) + x
(C )
=
1 x2
所以
1 x2
dx
=

高等数学教案ch 4 不定积分.

高等数学教案第四章不定积分

教学目的：第四章不定积分

1、理解原函数概念、不定积分的概念。

2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二）

与分部积分法。

3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。

教学重点：

1、不定积分的概念；

2、不定积分的性质及基本公式；

3、换元积分法与分部积分法。

教学难点：

1、换元积分法；

2、分部积分法；

3、三角函数有理式的积分。

§4. 1 不定积分的概念与性质

一、原函数与不定积分的概念

定义1 如果在区间I上, 可导函数F(x)的导函数为f(x), 即对任一x∈I, 都有

F '(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,

那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数.

例如因为(sin x)'=cos x , 所以sin x 是cos x 的原函数.

又如当x ∈(1, +∞)时,

因为(x)'=1, 所以x是1的原函数. 2x2x

提问:

cos x和1还有其它原函数吗？ 2x

原函数存在定理如果函数f(x)在区间I上连续, 那么在区间I上存在可导函数F(x), 使对任一x ∈I 都有

F '(x)=f(x).

简单地说就是: 连续函数一定有原函数.

两点说明:

第一, 如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x), 那么f(x)就有无限多个原函数,

F(x)+C都是f(x)的原函数, 其中C是任意常数.

第二, f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果Φ(x)和F(x)都是f(x)的原函数, 则Φ(x)-F(x)=C (C为某个常数).

不定积分的概念与基本公式教案

引言：

不定积分是微积分的重要概念之一，是对函数求导运算的逆运算。本教案将介绍不定积分的概念、性质以及基本公式，并提供一些练习题来帮助学生巩固所学知识。

一、不定积分的概念

不定积分是对函数进行求导运算的逆运算，也可以理解为找到一个函数，使得它的导数等于给定的函数。记作∫f(x)dx = F(x) + C，其中

F(x)为不定积分的结果，C为常数。

二、不定积分的性质

1. 线性性质：∫[a*f(x) + b*g(x)]dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx，其中a和b为常数。

2.可积性：如果函数f(x)在区间[a,b]上有不定积分，则在该区间上f(x)一定可积。

3. 反常积分：如果函数f(x)在其中一点x=c处不连续，其中c为[a,b]上的端点，则∫f(x)dx = ∫[a,c]f(x)dx + ∫[c,b]f(x)dx。

三、基本不定积分公式

1.幂函数的不定积分：

(1) ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n≠-1

(2) ∫1/x dx = ln，x， + C。

(3) ∫e^x dx = e^x + C。

(4) ∫a^x dx = (a^x)/(lna) + C，其中a>0且a≠1

2.三角函数的不定积分：

(1) ∫sinx dx = -cosx + C。

(2) ∫cosx dx = sinx + C。

(3) ∫sec^2x dx = tanx + C。

(4) ∫csc^2x dx = -cotx + C。

3.指数函数与三角函数的不定积分：

高等数学教案-不定积分

高等数学教学教案第4章不定积分

授课序号01

授课序号02

授课序号03

授课序号04

1n b x -+

++，都是实数，并且m ≥时，称之为()

Q x ()()()

x b x a x a x b x b α

αβ

+++

-----（）

()

1122

x px q λλ

()

1122

R x S R x S R x S x rx s μμ

++++

++, (*)

高等数学第四单元不定积分

第四单元 4-1 不定积分 换元积分法 不定积分的概念与性质 [教学基本要求] 高等数学理解原函数与不定积分的概念、性质以及积分与导数（微分）的关系。熟记不定积分的基本公式，掌握不定积分的换元积分法和分部积分法。会求简单的有理函数的积分。微积分理解原函数与不定积分的概念、性质以及积分与导数（微分）的关系。熟记不定积分的基本公式，掌握不定积分的换元积分法和分部积分法。 [知识要点] 1．原函数与不定积分的概念若 F ( x )  f ( x ) ，则称 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数. 若 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，则 f ( x ) 的原函数的一般表达式为 F ( x )  C ( C 为任意常数). f ( x ) 的原函数的一般表达式 F ( x )  C 称为 f ( x ) 的不定积分, 记为  f ( x )dx ，即  f ( x )dx  F ( x )  C . 注意 ① 不定积分和原函数是两个不同概念，前者是集合，后者是该集合中的一个元素，因 此 则  f ( x )dx  F ( x ). ② 设 F ( x), G( x ) 均是 f ( x ) 在区间 I 中的原函数， F ( x)  G( x)  C . 2. 基本性质（1） [k1 f ( x )  k2 g ( x )]dx  k1 （2）   f ( x )dx  k  g( x )dx ( k , k 2 1 2 是不为零的常数).   f ( x )dx   f ( x ) 或 d   f ( x)dx   f ( x)dx ；   （3） F ( x )dx  F ( x )  C 或 dF ( x )  F ( x )  C . （ C 是任意常数） 3. 基本积分公式(略) 4. 积分方法 (1) 分项积分法:  [k 1 f ( x )  k2 g( x )]dx  k1  f ( x )dx  k2  g ( x )dx ( k1 , k2 为常数). 分项积分法的依据是不定积分的线性性质，其作用在于将复杂函数的积分转化为简单的函数的积分. （2）第一换元积分法(凑微分法) 若  f (u)dx  F (u)  C , 且  ( x) 连续, 则  f ( ( x )) ( x )dx  F ( ( x ))  C . 基本思路：  f ( ( x)) ( x )dx   f ( ( x ))d ( x ) 令u   ( x )  f ( x )dx  F ( u)  C u   ( x ) F ( ( x ))  C . 常见的 12 种凑微分形式

高等数学第四章 不定积分教案

《高等数学》第四章 不定积分(电子讲稿)

第4章不定积分

第四章不定积分教案

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