两条直线的位置关系(夹角)
【数学课件】两条直线的位置关系---夹角
k3 1 1 k3
因为L1、L2、L3所围成的三角形 是等腰三角形，所以θ1=θ2
∴tanθ2=tanθ1= －3
k3 1 3 1 k3
解得 k3 =2 y=2 [ x－（－2）]
即2x－y+4 = 0
∴L3的方程是：2x－y+4 = 0
小 结：
1、L1到L2的角和L1与L2的夹角的定义； “到角有序，夹角无序”
或θ=π-（α1－α2）=π+（α2－α1）
∴tanθ=tan（α2－α1）或tanθ=tan π+（α2－α1） =tan（α2－α1）
tan tan2 tan1 k2 k1 1 tan2 tan1 1 k1k2
直线L1到L2的角公式：
tan k2 k1
2、求下列两条直线的夹角： ⑴y=3x－1，y=－1/3 ·x+4 （900）
⑵x－y=5；y=4，
（450）
⑶y=2x+1 ; x=2
(π/2-arctan2)
注意！！
求两条直线的到角和夹角的步骤：
1、看两直线的斜率是否都存在； 2、若都存在，看两直线是否垂直； 3、若两直线斜率都存在且不垂直
用公式求。
L1 L1
L2
是哪一条 呢？
A
一、直线L1到L2的角：
直线L1按逆时针方向旋转到与L2重合时所转的角，
叫做L1 到 L2的角。 图中θ1是L1到L2的角， θ2是L2到L1的角。
1 2
到角的范围：
0,
注 意
到角具有方向性！
θ2 θ1
L2 L1
做一做：
如图：德州市在城市建设中，需过A地修一 条道路L1与原有的高速公路L2连接，且与高速公 路成45度的角。由于设计者疏忽，在图纸上没有 标出L1，你能否在图纸上将L1标出，以使工程能 正常进行？
两条直线的 夹角
设l1 到l2 的角是θ1， l2到 l1的角是θ2，
则θ1与θ2不一定相同，它们的关系是：
θ1+θ2= π其中θ1，θ2∈（0， π）
直线l1的斜率存在而直线l2的斜率不存在
y l2 l1
y l1
l2
1
1
2
o
x
1
2 o
1 x
1
2
1
1
2
1
求“两条直线的夹角 ”
l2
l1
l1
l2
设直线 l1：y = k1 x +b 1 、l2： y = k2 x +b2 ，
的夹角为α， l1 到l2 的角是θ1， l2到 l1的角
是θ2 若 若
1+k1 1+k1
k2= k2≠
0时， 0时，
2
1
2
tg1
k2 1
k1 k2k1
l2
:
y
x
1 5 0 l2 : 2x 3y 1 0
(3) l1 : x 5 0
l2 : 2x 4y 3 0
(4) l1 : 2 y 3 0
l2 : x 3y 2 0
例2、已知锐角△ABC的三边所在的 直线方程为：lAB:y=x+6; lBC:y=0; lCA:7x+4y-35=0,求△ABC 的三个内角。
1 ( 1) 1
8 11
26
tg 2
km k2 1 km k2
(
1 2
)
直线与直线的夹角
角度计算
通过测量直线与直线的夹 角，可以计算其他角度， 如三角形中的角度、多边 形的内角和等。
空间几何
在三维空间中，直线与直 线的夹角是确定物体位置 和方向的重要参数，如方 向向量、法向量等。
建筑学中的夹角
建筑设计
建筑师在设计中会考虑到结构稳 定性、美观性和功能性，而直线 与直线的夹角是影响这些因素的
垂直线的夹角
总结词
垂直线之间的夹角为90度。
详细描述
当两条直线垂直时，它们之间的夹角为90度。这是因为垂直线与水平线垂直，形成直角，所以它们的 夹角为90度。
特殊角度的直线夹角
总结词
当两条直线之间的夹角为45度或135度时，它们是特殊角度的直线夹角。
详细描述
当两条直线之间的夹角为45度或135度时，它们形成特殊的直线夹角。这些角 度在几何学中具有特殊性质，常常用于解决几何问题或构造特殊的图形。
利用几何定理计算夹角
总结词
几何定理提供了一种直观的方式来计算直线与直线的夹角。这种方法通常适用于二维平 面上的直线。
详细描述
我们可以使用几何定理中的“角平分线定理”来计算夹角。这个定理告诉我们，如果一 条线段被两条直线所平分，那么这两条直线与线段所形成的角是相等的。通过这个定理
，我们可以找到两条直线的夹角。
夹角的范围
直线与直线的夹角范围是$0^{circ}$ 到$180^{circ}$，不包括$0^{circ}$ 和$180^{circ}$。
当两条直线垂直时，夹角为 $90^{circ}$；当两条直线平行或重合 时，夹角为$0^{circ}$或$180^{circ}$。
夹角的计算方法
计算直线与直线的夹角需要使 用三角函数和斜率的概念。
两条直线的夹角
两条直线的夹角直线是几何中最基础的概念之一，而直线之间的夹角则是我们常常会遇到的几何问题之一。
夹角的概念指的是两条直线在交汇处形成的角度，这个角度可以用来描述直线之间的关系和相对位置。
在本文中，我们将讨论两条直线的夹角以及它在几何学中的应用。
一、夹角的定义夹角是由两条直线在交汇处形成的角度，通常用字母α、β等来表示。
夹角的度量通常以角度的单位来表示，即使用度（°）来度量。
夹角的度量范围一般是0°到180°之间，若夹角大于180°则称之为反向夹角。
二、夹角的分类夹角可以根据角度的大小和两条直线的相对位置进行分类。
1.锐角：夹角的度数小于90°，两条直线在交汇处形成一个尖角。
2.直角：夹角的度数等于90°，两条直线在交汇处形成一个相互垂直的角。
3.钝角：夹角的度数大于90°，两条直线在交汇处形成一个较为开阔的角。
4.平角：夹角的度数等于180°，两条直线在交汇处形成一条直线。
三、夹角的计算方法在计算夹角时，我们可以利用几何学中的一些定理与公式来求解。
1.利用三角函数：当两条直线已知斜率时，可以通过求解斜率的差值并使用反三角函数计算夹角的度数。
2.利用向量：当两条直线已知方向向量时，可以利用向量的点积公式求解夹角的余弦值，然后通过反余弦函数计算夹角的度数。
3.利用坐标：当两条直线已知方程时，可以通过求解两条直线的斜率并使用斜率差值的反切函数计算夹角的度数。
四、夹角的应用夹角是几何学中一个非常重要的概念，它在很多领域都有广泛的应用。
1.几何推理：夹角可以用来推导和证明很多几何定理，例如余角定理、同位角定理、内错角定理等。
2.图像处理：在计算机视觉领域，夹角可以用来描述图像中两个线段的相对位置和方向关系，用于目标检测、图像匹配等应用。
3.工程测量：夹角在工程测量中起着重要的作用，可以用来测量建筑物的方向、查勘地形的坡度等。
4.物体运动：夹角可以用来描述物体的运动轨迹和方向，例如在物理学中用来描述质点的运动轨迹、在航空航天领域用来描述飞机的航向等。
两直线夹角
角. 当直线l1⊥l2时，直线l1和l2的夹角是
2
探究2
L1与L2的夹角
⑴L1与L2的夹角的取值范围
0,
2
⑵到角以 方向 定义，夹角以 大小 定义。
y
L2
L1
o
x
图一
考考你
L2
L1
时针所在直线L1 到分针所在直线L2的角是多少度？ 它们的夹角呢?
问题3
y L2
L1到L2的角的公式
案例探究
1.求直线l1
:
y
2x
3与l2
:
y
x
3 2
的夹角.
变1.求直线l1 : y 2x 3到l2 : x 1 0的角.
变2.求过点P(2,1)且与直线 l1 : y 2x 3
的夹角是 的直线方程
4
变3.求过点P(2,1)且与直线 l1 : y x 3
y
L1
L1
L2
o
1
图一
2
x
2
1
o 图二
x
①
能用1与
的关系表示吗？
2
② 能由k1和k 2表示 ?
③ 求正切
问题3
y L2
L1到L2的角的公式
y
L1
L1
L2
o
1
图一
2
x
2
1
o 图二
x
2 1
(1 2 )
tan tan(2 1)
注意：这一概念中l1、l2是有顺序的.
探究1
11.3两条直线的位置关系(2)
5.直线l过点M(0,-2)且与直线l1:x+y-3=0和x2y+4=0分别交于点P、Q，若M恰为线段PQ的 中点，求直线l的方程. 解 设点P(m,n),由中点公式,得Q(-2m,-4-2n)， m 2n 2 0 又点P、Q分别在l1、l2上,列方程组, 2(2m) (4 2n) 2 0 解m=6,n=-3, x 6 y 12 0为所求. 6. 已知三角形ABC的顶点A(3,-1),AB边的中线 所在的直线方程为6x+10y-59=0,∠B的平分线 所在直线的方程为x-4y+10=0,求BC边所在直 线的方程. 2 x 9 y 65 0
(3) l1:x-y +1 =0, l2:x+4=0
已知两条直线的方程分别为: l1: a1x + b1y +c1=0 l2: a2x + b2y + c2=0 求这两条直线的夹角.
解:由l1 ,l2的方程,可构造l1 ,l2的法向量: n1=(a1, b1)和n2=(a2, b2), 于是l1 ,l2的方向向量是: d1=(b1, -a1)和d2=(b2, -a2)
例4.光线沿直线l1：2x+y-2=0照射到直线l2： x+2y+2=0上后反射，求反射线l3所在直线的 方程.
2 x 11y 26 0
练习.在y轴的正半轴上给定两点A(0，a)，B(0， b)，点A在点B上方，试在x轴正半轴上求一 点C，使∠ACB取到最大值.
C ab
11.3(3)两条直线的位置关系
(2)l1与l2 的法向量坐标n1=(2m,3),n2=(1,-1),由 夹角公式 |2m-3| 2 cos45o=--------=--, 2 求得m=0
高中解析几何知识点
解析几何学问点一、基本内容（一）直线的方程1、 直线的方程确定直线方程须要有两个相互独立的条件，而其中一个必不行少的条件是直线必需经过一已知点．确定直线方程的形式许多，但必需留意各种形式的直线方程的适用范围．2、两条直线的位置关系两条直线的夹角，当两直线的斜率k 1，k 2都存在且k 1·k 2≠外留意到角公式与夹角公式的区分．(2)推断两直线是否平行，或垂直时，若两直线的斜率都存在，可用斜率的关系来推断．但若直线斜率不存在，则必需用一般式的平行垂直条件来推断．（二）圆的方程(1)圆的方程1、 驾驭圆的标准方程及一般方程，并能娴熟地相互转化，一般地说，具有三个条件(独立的)才能确定一个圆方程．在求圆方程时，若条件与圆心有关，则一般用标准型较易，若已知圆上三点，则用一般式便利，留意运用圆的几何性质，去简化运算，有时利用圆系方程也可使解题过程简化．2、 圆的标准方程为(x －a )2+(y －b )2＝r 2；一般方程x 2+y 2+Dx+Ey +F =0,圆心坐标(,)22D E --，半径为22142D E F +-。
3、 在圆(x －a )2+(y －b )2＝r 2，若满意a 2+b 2=r 2条件时，能使圆过原点；满意a=0，r ＞0条件时，能使圆心在y 轴上；满意b r =时，能使圆与x 轴相切；满意2a b r -=条件时，能使圆与x －y ＝0相切；满意|a |=|b |=r 条件时，圆与两坐标轴相切．4、 若圆以A (x 1，y 1)B (x 2，y 2)为直径，则利用圆周上任一点P (x ，y )，1PA PBk k =-求出圆方程(x －x 1)(x －x 2)+(y －y 1)(y －y 2)＝0 (2) 直线与圆的位置关系①在解决的问题时，肯定要联系圆的几何性质，利用有关图形的几何特征，尽可能简化运算，探讨直线与圆的位置关系时，一般不用△＞0，△=0，△＜0，而用圆心到直线距离d ＜r ，d=r ，d ＞r ，分别确定相关交相切，相离的位置关系．涉及到圆的切线时，要考虑过切点与切线垂直的半径，计算交弦长时，要用半径、弦心距、半弦构成直角三角形，当然，不失一般性弦长式(三)曲线与方程(1)求曲线方程的五个步骤：(1)建立适当的直角坐标系，用(x ，y )表示曲线上随意一点M 的坐标；建标(2)写出适合条件P 的点M 的集合P ={M |P (M )}； 设点(3)用坐标表示条件P (M )，列出方程f (x ，y )=0 列式(4)化方程f (x ，y )=0为最简方程 化简(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是这条曲线上的点．除个别状况外，化简过程都是同解变形过程，步骤(5)可以不写，也可以省略步骤(2)，干脆列出曲线方程．（2）求曲线方程主要有四种方法：(1)条件直译法：假如点运动的规律就是一些几何量的等量关系，这些条件简洁、明确，易于表达，我们可以把这些关系直译成含“x ，y ”(或ρ，θ)的等式，我们称此为“直译法”．(2)代入法(或利用相关点法)：有时动点所满意的几何条件不易求出，但它随另一动点的运动而运动，称之为相关点．假如相关点满意的条件简明、明确，就可以用动点坐标把相关的点的坐标表示出来，再用条件直译法把相关点的轨迹表示出来，就得到原动点的轨迹．(3)几何法：利用平面几何或解析几何的学问分析图形性质，发觉动点运动规律．(4)参数法：有时很难干脆找出动点的横纵坐标之间关系．假如借助中间参量(参数)，使x ，y 之间的关系建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，这便可得动点的轨迹方程．（四）圆锥曲线（1）椭圆(1)椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．这里应特殊留意常数大于|F1F2|因为，当平面内的动点与定点F1，F2的距离之和等于|F1F2|时，其动点轨迹就是线段F1F2；当平面内的动点与定点F1,F2的距离之和小于|F1F2|时，其轨迹不存在．（2）椭圆的标准方程之所以称它为标准方程，是因为它的形式最简洁，这与利用对称性建立直角坐标系有关．同时，还应留意理解下列几点，1)标准方程中的两个参数a和b，确定了椭圆的形态和大小，是椭圆的定形条件．2)焦点F1，F2的位置，是椭圆的定位条件，它确定椭圆标准方程的类型．也就是说，知道了焦点位置，其标准方程只有一种形式，不知道焦点位置，其标准方程具有两种类型．3)任何一个椭圆，只需选择适当的坐标系，其方程均可以写成标准形式，当且仅当椭圆的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才具有标准形式．1)范围：焦点在x轴时，椭圆位于直线x＝±a和y＝±b所围成的矩形里．2)对称性：椭圆关于x轴，y轴和原点都是对称的，这时坐标轴为椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆中心．3)顶点：椭圆与对称轴的交点为椭圆的顶点A1(－a，0)A2(a，0)B1(0，b)B2(0，－b)线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴，短轴，长分别为2a，2b．＜1．e越接近于1，则椭圆越扁，反之，e越接近于0，椭圆越接近于圆．5)焦半径：椭圆上任一点到焦点的距离为焦半径．如图所示，当焦点在x轴上时，任一点到左焦点的焦半径为r1＝a+ex0．6)|A1F1|=a-c|A1F1|=a+c10)椭圆的其次定义：平面内的点到定点的距离和它到定直线的距离的比为常数e(e＜1＝的点的轨迹．。
两条直线的夹角
11.3两条直线的夹角(2)教学目标理解直线夹角公式的推导，能正确使用夹角公式求两条直线的夹角.进一步理解运用平行、垂直、夹角等概念求直线方程的一般方法..通过两条直线夹角公式的推导，形成运用数形结合、分类讨论的思想解决问题的能力教学重点理解两条直线夹角公式的推导，会求两条直线的夹角教学难点理解两条直线夹角公式的推导，会求两条直线的夹角教学方法师生互动教学过程设计说明引入1．引例：判断下列各组直线的位置关系，如果相交，则求出交点的坐标（课本p16例1）．（1）01243:1=-+yxl，01127:2=--yxl；（2）01243:1=--yxl，3:2=xl；（3）01243:1=--yxl，0586:2=+-yxl．解：（参考课本p16~17）[说明]复习判断两直线的平行、重合、相交，以及求相交直线的交点坐标的方法.由此引出新的课题.思考并回答下列问题1．（对于上述（1）、（2）这样），当两条直线相交时，用什么“量”来描述两条直线的相对位置呢？教具演示：两条直线相交，使其中一条直线绕定点旋转，让学生观察这两条直线的关系.解答：两条直线的夹角.2．回顾旧知：在初中平面几何中“两直线夹角”的定义是什么？解答：角是有公共端点的两条射线所组成的几何图形（如右图）．[说明]在复习旧知的基础上引人新课.概念分析关于两直线的夹角1、概念形成两条直线的夹角如右图，两条直线相交，一共构成几个角？它们有什么关系？怎样定义两条直线的夹角呢？平面上两条直线1l和2l相交构成四个角，它们是两组互补的对顶角，因为相对而言，锐角比较简单.我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两条直线的夹角.如果两条直线平行或重合，规定它们的夹角为0.因此,两条直线的夹角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π，而两条相交直线夹角的取值范围是（]2,0π.现在我们可以用夹角来描述两直线的相对位置关系，当给出两条直线的方程时，它们的相对位置就确定了，它们的夹角也随之确定，那么，如何根据直线方程求两直线的夹角呢？[说明]①为什么规定锐角或直角为两直线的夹角，说明其合理性；②提出问题，给学生造成认知冲突，激发学生探索欲2、夹角公式的推导分析：直线的方向——方向向量——斜率——倾斜角——夹角之间的关系.由于直线的方向是由直线的方向向量或者斜率决定的，下面我们借助于这两条直线的方向向量来求得两直线的夹角. [说明] 引导学生画图分析，寻找夹角、倾斜角、方向向量之间的关系.通过类比，寻求思路. 设两条直线的方程分别为1l ：111=++c y b x a （11,b a 不全为零）2l ：0222=++c y b x a （22,b a 不全为零）.设1l 与2l 的夹角为α，1l 与2l 的一方向向量分别为1d 与2d ，其夹角为θ，且1d =),(11a b -,2d =),(22a b -，当]2,0[πθ∈时，则θα=如图甲所示;当],2(ππθ∈时，则θπα-=,如图乙所示.于是得:2222212121212121|||||||||cos |cos b a b a b b a a d d d d +⋅++=⋅⋅==θα.即为直线1l 与2l 的夹角公式.特别地,当且仅当02121=+b b a a 时, 1l 与2l 的夹角为2π,即1l 与2l 垂直.也就是说:1l ⊥2l ⇔1d 垂直2d ⇔1n 垂直2n ⇔02121=+b b a a (其中1n ,2n 分别为1l 与2l 的一个法向量)补角；③小题（2）,注意结合图形,正确取舍课堂练习练习11.3（2）----1,3课堂小结1．本节课研究了两条直线的夹角，推导出两条直线的夹角公式的方法，要理解、体会其中的思想方法；2．会用两条直线垂直的充要条件解决与垂直有关的问题；3．熟练运用夹角公式求两条直线的夹角.注意不垂直的两条相交直线的夹角为锐角；4．进一步讨论了求直线方程的方法：运用待定系数法时，可设直线方程为点法向式、或点斜式方程，而在用点斜式方程时，需要分类讨论.作业1、书面作业：练习11.3（2）----2,4习题11.3 A组----10,11,122、思考题：光线沿直线l1：022=-+yx照射到直线l2：022=++yx上后反射，求反射线所在直线3l的方程.解由)2,2(2222-⎩⎨⎧=++=-+，得反射点的坐标为yxyx.设3l的方程为0)2()2(=++-ybxa（其中),(ban=为一法向量，ba,不同时为零）由反射原理,直线1l与2l的夹角等于2l与3l的夹角，得babababa211252552222-==⇒+⋅+=⋅+或,舍去ba2=(否则与l1重合) ,所以ba112-=,得3l的方程为26112=--yx.3．思考题：在y轴的正半轴上给定两点A（0，a），B（0，b），点A在点B上方，试在x轴正半轴上求一点C，使∠ACB取到最大值. 答：abC=.[说明] ①作业1是课本习题，通过它来反馈知识掌握效果，巩固所学知识，强化基本技能的训练，培养学生良好的学习习惯和品质；②作业2、3设计成思考题，是为了给学有余力的学生留出自由发展的空间，学生可以根据实际情况选用.。
高三数学总复习《两条直线的位置关系、交点坐标与距离公式》
3两 条 平 行 直 线 的 距 离 .
l1:AxByC10与 l2:AxByC20的 距 离 d|C1C2|
A2B2
注意:应用此公式要把两平行直线化为一般形式且使 x,y的系数分别相等.
考点训练
1.(2009·上海)已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与l2:2(k-3)x2y+3=0平行,则k的值是( )
第四十七讲 两条直线的位置关 系、交点坐标与距离公式
走进高考第一关 考点关 回归教材 1.两条直线的位置关系 (1)两条直线平行 两条不重合直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2(b1≠b2),若l1∥l2,则 k1=k2,反之;若k1=k2,则l1∥l2,如果l1,l2的斜率都不存在,那么它 们的倾斜角都是90°,从而它们互相平行.
说明:判断两条直线平行时,要注意,两条直线的斜率,当两条直 线都与x轴垂直时,平行,当两条直线不与x轴垂直时,只要它们 的斜率相等,截距不等就平行.
(2)两条直线垂直
设直线l1:y=k1x+b1,直线l2:y=k2x+b2 若l1⊥l2,则k1k2=-1;反之,若k15k2=-1,则l1⊥l2. 特别地,对于直线l1:x=a,l2:y=b,l1⊥l2.
变式2:过点(-2,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为.
答案:2x+y+1=0
解 析 :直 线 x2y30的 斜 率 为 k1,则 所 求 直 线 的 2
斜 率 为 2,
故 所 求 直 线 方 程 为 y32x2,即 2xy10.
题型二 两条直线的交点 例3求过两直线3x+y-1=0与x+2y-7=0的交点,并且与第一条 直线垂直的直线方程.
空间中直线与直线所成的角(夹角)
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详细描述
当两条重合的直线在空间中相交，它 们之间的夹角是0度。这是因为重合的 直线实际上是同一条直线，所以它们 在任何点处的角度都是相同的。
05
直线与直线所成的角的计算 方法
利用三角函数计算角度
总结词
利用三角函数计算直线与直线所成的角度，需要知道直线的 倾斜角，然后通过三角函数关系计算出两直线之间的夹角。
详细描述
首先，我们需要确定两条直线的倾斜角。然后，使用三角函数 中的正切或余切函数，通过两条直线的斜率来计算它们之间的 夹角。具体地，设两直线的斜率为k1和k2，夹角为θ，则有 tan(θ/2) = |k2 - k1| / (1 + k1 * k2)。
利用向量计算角度
总结词
通过向量的点积和模长来计算直线与 直线所成的角度。首先，我们需要将 直线表示为向量，然后利用点积公式 和向量的模长来计算两向量之间的夹 角。
夹角的几何意义在解 析几何、射影几何等 领域有着广泛的应用。
夹角的大小反映了直 线之间的倾斜程度。
03
直线与直线所成的角的实际 应用
空间几何问题
确定物体位置关系
在空间几何问题中，通过 计算两条直线所成的角， 可以确定物体之间的相对 位置关系。
判断形状和性质
通过分析直线之间的夹角， 可以判断几何形状的性质， 如平行、垂直、相交等。
通过作出的几何图形，利 用量角器或三角板测量夹 角的度数。
利用向量计算
通过向量的点积和模长， 利用向量公式计算夹角的 余弦值，从而得出夹角的 度数。
02
直线与直线所成的角的性质
角度的范围
01
02
03
04
直线与直线所成的角， 其角度范围在0°到180° 之间。
直线与平行线的夹角关系的证明与应用
直线与平行线的夹角关系的证明与应用直线与平行线的夹角关系是几何学中一个重要的概念，它在证明定理和解决实际问题时经常被应用。
本文将探讨直线与平行线夹角关系的证明，并介绍一些应用实例。
证明直线与平行线夹角关系的方法有多种，其中一种常用的方法是基于平行线的定义以及夹角的基本性质。
首先，根据平行线的定义，如果两条直线在平面上内侧的任一点上的角相等，则这两条直线是平行的。
基于这一定义，我们可以得出结论：如果两条直线平行，那么它们与横切这两条直线的任一直线的夹角相等。
而根据夹角的基本性质，我们知道两条直线的夹角等于相邻角的补角。
也就是说，如果两条直线的夹角为θ，则这两条直线与横切这两条直线的任意一条直线的夹角之和为180°。
基于这些性质，我们可以得出结论：如果两条直线平行，那么它们与横切这两条直线的任意一条直线的夹角之和为180°。
这一夹角关系的证明可以用一个简单的实例来说明。
假设有两条平行线L1和L2，以及一条横切这两条平行线的直线L3。
现在我们在L1和L2上选择两个点A和B，并在L3上选择一个点C。
我们可以分别连接线段AC和BC，并标记角ACB为θ。
根据平行线的定义，我们知道L1和L2上的角A和角B相等。
同时，根据夹角的基本性质，我们知道角ACB的补角为180°-θ。
从而，我们可以得到以下等式：角A + 角ACB + 角B = 180°代入角A和角B相等的条件，我们得到：2角A + θ = 180°将等式两边同时减去θ，我们得到：2角A = 180° - θ最后，将等式两边同时除以2，我们得到：角A = (180° - θ)/2这个结果可以应用于实际问题中。
例如，如果我们知道两条平行线与一条横切线的夹角之和为180°，那么我们可以通过计算夹角的一半来确定两条平行线与横切线上的某一角的大小。
除此之外，直线与平行线夹角关系还可以应用于解决其他几何问题，如证明定理、计算角度等。
角度计算公式
角度计算公式
角度是指在两条直线或弧线之间的夹角，是衡量两个位置关系的一种角度度量，最常用的是角度单位`度`（degrees）。
一般计算角度有以下几种方法：
1. 根据两条线段的斜率计算：斜率`K` = `Δy/Δx`，倾斜角度α = arctan K，其中arctanK表示K的反正切，得出的角度α的单位为弧度（rad）。
2.三角形的内角和公式：一个三角形的三个内角国α、β、γ满足内角和公式α+β+γ=180°，因此只要知道两个角度，就可以求出第三个角度。
3. 利用余弦定理和正弦定理：给出三角形的三边a、b、c，通过余弦定理求出角C的余弦值cosC，再由cosC=arccosC求出角C的大小，就是该三角形的第三个角度；另外，利用正弦定理可以得出其他两个角度的值。
4.利用角度的绝对值：把给出的角度的绝对值加起来，得到的和减去360°后，则为角度的大小。
100909两条直线的位置关系——到角夹角
π
2
.
k2 − k1 注 到角公式 tanθ = ： (θ 为l1到l2的角 ) 1+ k2k1 k2 − k1 夹角公式 tanα = | |. 1+ k2k1
3 y l y 例 已知直线 l1 ： = −2 x + 3 ，2 ： = x − 2 ， 1
l2 : y = k2 x + b2 .
设 l1 到 l2 的角为θ ，、2 的倾斜角分别为 α1、 2 ， l1 l α
l1
α1 α2 α2
l2
θ
α1
(1)
(2)
或 θ = π + (1 2 α 2 由图可知 θ = α2 − α1 或 θ = π − αα+ − α1)
∴ tan θ = tan(α2 − α1) 或 tan θ = tan[π + (α2 − α1)] = tan(α2 − α1)
θ2 θ1
l2 l1
（ 注 （1）角的顶点是两直线的交点； 2）逆时针的旋转方向 ： ）角的顶点是两直线的交点； ） (3)θ1 ， 2 ∈ (0 ， ) θ π (4)θ1 + θ 2 = π .
l1
α1 α2 α2
l2
θ
α1
(1)
(2)
已知直线的方程分别为：
l1 : y = k1x + b1 ，
解： 直线BC的斜率为 − 1 Q
∴ BC 的中垂线 AD 的斜率为 1
y
又 Q AB到AD的角等于AD到C的角
k AD − k AB k AC − k AD ∴ = 1 + k AD k AB 1 + k AC k AD 1 Q k AD = 1, k AB = 4
两条直线的夹角
两条直线的夹角(2)教学目标理解直线夹角公式的推导，能正确使用夹角公式求两条直线的夹角.进一步理解运用平行、垂直、夹角等概念求直线方程的一般方法..通过两条直线夹角公式的推导，形成运用数形结合、分类讨论的思想解决问题的能力教学重点理解两条直线夹角公式的推导，会求两条直线的夹角教学难点理解两条直线夹角公式的推导，会求两条直线的夹角教学方法师生互动教学过程设计说明引入1．引例：判断以下各组直线的位置关系，如果相交，那么求出交点的坐标〔课本p16例1〕．〔1〕01243:1=-+yxl，01127:2=--yxl；〔2〕01243:1=--yxl，3:2=xl；〔3〕01243:1=--yxl，0586:2=+-yxl．解：〔参考课本p16~17〕[说明]复习判断两直线的平行、重合、相交，以及求相交直线的交点坐标的方法.由此引出新的课题.思考并答复以下问题1．〔对于上述〔1〕、〔2〕这样〕，当两条直线相交时，用什么“量〞来描述两条直线的相对位置呢？教具演示：两条直线相交，使其中一条直线绕定点旋转，让学生观察这两条直线的关系.解答：两条直线的夹角.2．回忆旧知：在初中平面几何中“两直线夹角〞的定义是什么？解答：角是有公共端点的两条射线所组成的几何图形〔如右图〕．[说明]在复习旧知的根底上引人新课.概念分析关于两直线的夹角1、概念形成两条直线的夹角如右图，两条直线相交，一共构成几个角？它们有什么关系？怎样定义两条直线的夹角呢？平面上两条直线1l和2l相交构成四个角，它们是两组互补的对顶角，因为相对而言，锐角比较简单.我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两条直线的夹角.如果两条直线平行或重合，规定它们的夹角为0.因此,两条直线的夹角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π，而两条相交直线夹角的取值范围是〔]2,0π.现在我们可以用夹角来描述两直线的相对位置关系，当给出[说明]①为什么规定锐角或直角为两直线的夹角，说明其合理性；②提出问题，给学生造成认知冲突，激发学生探索欲2、夹角公式的推导分析：直线的方向——方向向量——斜率——倾斜角——夹角之间的关系.由于直线的方向是由直线的方向向量或者斜率决定的，下面我们借助于这两条直线的方向向量来求得两直线的夹角. [说明] 引导学生画图分析，寻找夹角、倾斜角、方向向量之间的关系.通过类比，寻求思路. 设两条直线的方程分别为1l ：111=++c y b x a 〔11,b a 不全为零〕2l ：0222=++c y b x a 〔22,b a 不全为零〕.设1l 与2l 的夹角为α，1l 与2l 的一方向向量分别为1d 与2d ，其夹角为θ，且1d =),(11a b -,2d =),(22a b -，当]2,0[πθ∈时，那么θα=如图甲所示;当],2(ππθ∈时，那么θπα-=,如图乙所示. 于是得:2222212121212121|||||||||cos |cos b a b a b b a a d d d d +⋅++=⋅⋅==θα.即为直线1l 与2l 的夹角公式.特别地,当且仅当02121=+b b a a 时, 1l 与2l 的夹角为2π,即1l 与2l 垂直.也就是说:1l ⊥2l ⇔1d 垂直2d ⇔1n 垂直2n ⇔02121=+b b a a (其中1n ,2n 分别为1l 与2l 的一个法向量)而由02121=+b b a a ,易得当0,021≠≠b b 时,有③小题〔2〕,注意结合图形,正确取舍课堂练习练习11.3〔2〕 ----1,3课堂小结1．本节课研究了两条直线的夹角，推导出两条直线的夹角公式的方法，要理解、体会其中的思想方法；2．会用两条直线垂直的充要条件解决与垂直有关的问题；3．熟练运用夹角公式求两条直线的夹角.注意不垂直的两条相交直线的夹角为锐角；4．进一步讨论了求直线方程的方法：运用待定系数法时，可设直线方程为点法向式、或点斜式方程，而在用点斜式方程时，需要分类讨论.作业1、书面作业：练习11.3〔2〕 ----2,4习题11.3 A组----10,11,122、思考题：光线沿直线l1：022=-+yx照射到直线l2：022=++yx上后反射，求反射线所在直线3l的方程.解由)2,2(2222-⎩⎨⎧=++=-+，得反射点的坐标为yxyx.设3l的方程为0)2()2(=++-ybxa〔其中),(ban=为一法向量，ba,不同时为零〕由反射原理,直线1l与2l的夹角等于2l与3l的夹角，得babababa211252552222-==⇒+⋅+=⋅+或,舍去ba2=(否那么与l1重合) ,所以ba112-=,得3l的方程为26112=--yx.3．思考题：在y轴的正半轴上给定两点A〔0，a〕，B〔0，b〕，点A 在点B上方，试在x轴正半轴上求一点C，使∠ACB取到最大值.答：abC=.[说明] ①作业1是课本习题，通过它来反响知识掌握效果，稳固所学知识，强化根本技能的训练，培养学生良好的学习习惯和品质；②作业2、3设计成思考题，是为了给学有余力的学生留出自由开展的空间，学生可以根据实际情况选用.如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！实用文档.。
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2.当直线l1到直线l2的角是锐角时，是l1与l
的夹角，
2
当直线l1到直线l2的角是钝角时，l1与l2的夹角是 .
3.若l1无斜率，l2的倾斜角为，则l1与l2的夹角为2 .
4.设l1的倾斜角为1，l2的倾斜角为 2，l1到l2的角为， 若2 1，则 2 1，若2 1，则 1 2.
问题：已知两直线 l1,l2的方程，如何求 l1到l2的角？ 1、如果直线方程中有一直线的斜率不存在时： 设l1 : x x1,l2 : y kx b
小结: 求两条直线的到角和夹角的步骤：
1、看两直线的斜率是否都存在； 2、若都存在，看两直线是否垂直；
3、若两直线斜率都存在且不垂直, 用公式求。
例2：求过点P(5,3)且与直线x 3y 3 0
的夹角为 的直线l的方程.
3
思考题：等腰三角形一腰所在直线l1的方程是 x 2 y 2 0, 底边所在直线l2的方程是x y 1 0,点（ 2，0）在另一腰上，求这条腰所在的
2、当两直线的斜率都存在时：
Байду номын сангаас
设：l1 :
若k1k 2 若k1k2
y
1k1,1,x令 则lbt1a,到nl21l的2:角ky1为,tak2n2，x 2
b
k2
则 2 1或 （2 1），
有 tan
tan(2
1 )
tan2 tan1 1 tan2 tan1
k2 k1 1 k2k1
l1到l2的角公式：tan
直线l3方程.
杭 两条直线的位置关系(二)
七
——夹角
y
中
x
杭州o 市第七中学 金忠明
问题1：如何通过直线方程研究平面内 两条直线平行？
问题2：如何通过直线方程研究平面内 两条直线垂直？
定义1：两条直线相交构成两对对顶角， 把直线l1按逆时针方向旋转到与l2重合 时所转的角叫做l1到l2的角.
定义2：两条直线l1与l2相交但不垂直时，
与 仅有一个角是锐角，把其中的锐 角叫做两条直线的夹角.记夹角为.
当问： 直线l1与l1 l2的l2时 夹角，的称取直值线l范1和围l2是 的夹_角 _(_0,是_2_]_2_.__.
辨析：两条相交直线 l1、l2,下列说法是否正确：
1.若直线l1到l2的角为1，l
2到l1的角为
，则
2
1 （0，），2 （0，），且1 2 .
k2 k1 1 k2k1
l1与l2的夹角公式：tan
k2 k1 1 k2k1
例1：已知直线 l1 : x y 5,l2 : x 2 y 3 0
(1)求l1到l2的角， (2)求l2到l1的角，
(3)求l1与l2的夹角.
练习：求下列直线的夹角：
1 1)l1 : y 3x 1,l2 : y 3 x 4 2)l1 : x y 5,l2 : y 4 3)l1 : x 1,l2 : y 2x 3