2019-2020学年河南省郑州市桐柏一中九年级(上)第一次月考数学试卷(解析版)

2019-2020学年河南省郑州市桐柏一中九年级（上）
第一次月考数学试卷
一.选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．中华人民共和国第11届民族传统运动会在郑州举行，到木球比赛场馆服务大学生志愿者中，有3名来自河南工业大学，有5名来自郑州大学，现从这8名志愿者中随机抽取1人，这名志愿者来自河南工业大学的概率是（ ） A ．1
4
B ．1
5
C ．1
8
D ．3
8
2．下列命题中，是真命题的是（ ） A ．对角线相等的菱形是正方形 B ．对角线互相垂直的四边形是菱形 C ．对角线相等且互相垂直的四边形是矩形
D ．有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
3．如图，在△ABC 中，M ，N 分别是边AB ，AC 的中点，则△AMN 的面积与四边形MBCN 的面积比为（ ）
A ．1
2
B ．1
3
C ．1
4
D ．2
3
4．如果关于x 的一元二次方程kx 2−√2k +1x +1＝0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ） A ．k ＜1
2
B ．k ＜12
且k ≠0 C ．−1
2≤k ＜12
D ．−1
2≤k ＜1
2且k ≠0
5．如图，顺次连接四边形ABCD 各边中点得四边形EFGH ，要使四边形EFGH 为矩形，应添加的条件是（ ）
A ．A
B ∥DC
B ．A
C ＝BD
C ．AC ⊥BD
D ．AB ＝DC
6．在平面直角坐标系中，点P （m ，n ）是线段AB 上一点，以原点O 为位似中心把△AOB 放大到原来的两倍，则点P 的对应点的坐标为（ ） A ．（2m ，2n ）
B ．（2m ，2n ）或（﹣2m ，﹣2n ）
C ．（1
2
m ，1
2n ）
D ．（12
m ，1
2
n ）或（−1
2m ，−12
n ）
7．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝9，∠BAD 的平分线交BC 于E ，交DC 的延长线于F ，BG ⊥AE 于G ，BG =4√2，则△EFC 的周长为（ ）
A ．11
B ．10
C ．9
D ．8
8．宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房，如果有游客居住宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为x 元时宾馆当天的利润为10890元，则有（ ） A ．（180+x ﹣20）（50−x
10
）＝10890 B ．x （50−
x−180
10
）﹣50×20＝10890 C ．（x ﹣20）（50−x−180
10）＝10890
D ．（x +180）（50−x
10）﹣50×20＝10890
9．如图，△ABC 是等腰三角形，AB ＝AC ＝3，BC ＝1． 点D 在AB 边上，点E 在CB 的延长线上，已知AD ＝1，BE ＝1，连接ED 并延长交AC 于点F ，则线段AF 的长为（ ）
A ．2
5
B ．3
5
C ．4
5
D ．1
10．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2AB ，点M 、N 分别在边AD 、BC 上，连接BM 、DN ．若四边形MBND 是菱形，则
AM MD
等于（ ）
A ．3
8
B ．2
3
C ．3
5
D ．4
5
二．填空题（共5小题）
11．在一个不透明的袋子中，有2个白球和2个红球，它们只有颜色上的区别，从袋子中随机地摸出一个球记下颜色放回．再随机地摸出一个球．则两次都摸到白球的概率为 ．
12．已知线段AB ＝20cm ，点C 是线段AB 的黄金分割点，则AC 的长为 ． 13．如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 与CD 的中点B '重合．若AB ＝2，BC ＝3，则△FCB '与△B 'DG 的面积比为 ．
14．如图，把一个矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA 、OC 分别落在x 轴、y 轴上，连接OB ，将纸片OABC 沿OB 折叠，使点A 落在A ′的位置上．若OB =√5，BC OC
=1
2
，
求点A ′的坐标为 ．
15．如图，在等边△ABC中，AB＝15，点D为直线BC上一点，BD：DC＝1：4，点E、F 分别是边AB、直线AC上的点，将△AEF沿直线EF折叠，使点A的对应点D处．则AF 的长为．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．已知关于x的方程x2+mx+m﹣2＝0．
（1）若此方程的一个根为1，求m的值；
（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
17．（9分）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A（﹣1，2）、B（2，1）、C（4，5）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，并求出△A2B2C2的面积．
18．（9分）如图，E为正方形ABCD的边AB延长线上一点，DE交AC于点F，交BC于点G，H为GE的中点，求证：FB⊥BH．
19．（9分）小明和小亮用下面两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏（红色和蓝色在一起能配成紫色），同时随机转动这两个转盘，若配成紫色，则小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？请列表格画树状图说明理由．
20．（9分）已知在△ABC中，D是边AC上的一点，∠CBD的角平分线交AC于点E，且AE＝AB，求证：AE2＝AD•AC．
21．如图，要利用一面墙（墙长为55m），用100m的围栏建羊圈，基本结构为三个大小相同的矩形．
（1）如果围成的总面积为400m2，求羊圈的边长AB，BC各为多少？
（2）保持羊圈的基本结构，羊圈总面积是否可以达到800m2？请说明理由．
22．如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标
杆CD 后退2米到点G 处，在G 处测得建筑物顶端A 和标杆顶端C 在同一条直线上；从标杆FE 后退4米到点H 处，在H 处测得建筑物顶端A 和标杆顶端E 在同一条直线上，求建筑物的高．
23．（11分）如图，在△ABC 中，点N 为AC 边的任意一点，D 为线段AB 上一点，若∠MPN 的顶点P 为线段CD 上任一点，其两边分别与边BC ，AC 交于点M 、N ，且∠MPN +∠ACB ＝180°．
（1）如图1，若AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，且D 为AB 的中点时，则PM PN
= ，请
证明你的结论；
（2）如图2，若BC ＝m ，AC ＝n ，∠ACB ＝90°，且D 为AB 的中点时，则PM PN = ；
（3）如图3，若
BD AB
=k ，BC ＝m ，AC ＝n ，请直接写出
PM PN
的值．（用k ，m ，n 表示）
2019-2020学年河南省郑州市桐柏一中九年级（上）第一次月考
数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．中华人民共和国第11届民族传统运动会在郑州举行，到木球比赛场馆服务大学生志愿者中，有3名来自河南工业大学，有5名来自郑州大学，现从这8名志愿者中随机抽取1人，这名志愿者来自河南工业大学的概率是（ ） A ．1
4
B ．1
5
C ．1
8
D ．3
8
【解答】解：共有3+5＝8人，河南工业大学有3名志愿者， 故随机抽取1人，恰为河南工业大学学生的概率为3
8，
故选：D ．
2．下列命题中，是真命题的是（ ） A ．对角线相等的菱形是正方形 B ．对角线互相垂直的四边形是菱形 C ．对角线相等且互相垂直的四边形是矩形
D ．有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
【解答】解：A 、对角线相等的菱形是正方形，正确，本选项符合题意． B 、对角线互相垂直的四边形是菱形，错误谢谢不符合题意．
C 、对角线相等且互相垂直的四边形是矩形，错误，本选项不符合题意．
D 、有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形，错误，本选项不符合题意， 故选：A ．
3．如图，在△ABC 中，M ，N 分别是边AB ，AC 的中点，则△AMN 的面积与四边形MBCN 的面积比为（ ）
A ．1
2
B ．1
3
C ．1
4
D ．2
3
【解答】解：∵M ，N 分别是边AB ，AC 的中点， ∴MN 是△ABC 的中位线， ∴MN ∥BC ，且MN =12
BC ， ∴△AMN ∽△ABC ， ∴
S △AMN S △ABC
=（
MN BC
）2=1
4，
∴△AMN 的面积与四边形MBCN 的面积比为1：3． 故选：B ．
4．如果关于x 的一元二次方程kx 2−√2k +1x +1＝0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ） A ．k ＜12
B ．k ＜12
且k ≠0 C ．−1
2≤k ＜12
D ．−1
2≤k ＜1
2且k ≠0
【解答】解：由题意知：2k +1≥0，k ≠0，△＝2k +1﹣4k ＞0， ∴−12
≤k ＜12
，且k ≠0． 故选：D ．
5．如图，顺次连接四边形ABCD 各边中点得四边形EFGH ，要使四边形EFGH 为矩形，应添加的条件是（ ）
A ．A
B ∥DC
B ．A
C ＝BD
C ．AC ⊥BD
D ．AB ＝DC
【解答】解：依题意得，四边形EFGH 是由四边形ABCD 各边中点连接而成， 连接AC 、BD ，故EF ∥AC ∥HG ，EH ∥BD ∥FG ， 所以四边形EFGH 是平行四边形， 要使四边形EFGH 为矩形，
根据矩形的判定（有一个角为直角的平行四边形是矩形）
故当AC ⊥BD 时，∠EFG ＝∠EHG ＝90度．四边形EFGH 为矩形．
故选：C ．
6．在平面直角坐标系中，点P （m ，n ）是线段AB 上一点，以原点O 为位似中心把△AOB 放大到原来的两倍，则点P 的对应点的坐标为（ ） A ．（2m ，2n ）
B ．（2m ，2n ）或（﹣2m ，﹣2n ）
C ．（1
2
m ，1
2n ）
D ．（12
m ，1
2
n ）或（−1
2m ，−12
n ）
【解答】解：点P （m ，n ）是线段AB 上一点，以原点O 为位似中心把△AOB 放大到原来的两倍，
则点P 的对应点的坐标为（m ×2，n ×2）或（m ×（﹣2），n ×（﹣2）），即（2m ，2n ）或（﹣2m ，﹣2n ）， 故选：B ．
7．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝9，∠BAD 的平分线交BC 于E ，交DC 的延长线于F ，BG ⊥AE 于G ，BG =4√2，则△EFC 的周长为（ ）
A ．11
B ．10
C ．9
D ．8
【解答】解：∵在▱ABCD 中，AB ＝CD ＝6，AD ＝BC ＝9，∠BAD 的平分线交BC 于点E ， ∴∠BAF ＝∠DAF ， ∵AB ∥DF ，AD ∥BC ，
∴∠BAF ＝∠F ＝∠DAF ，∠BAE ＝∠AEB ， ∴AB ＝BE ＝6，AD ＝DF ＝9，
∴△ADF 是等腰三角形，△ABE 是等腰三角形， ∵AD ∥BC ，
∴△EFC是等腰三角形，且CF＝CE，
∴EC＝FC＝DF﹣DC＝9﹣6＝3，CE
BE =
1
2
，
在△ABG中，BG⊥AE，AB＝6，BG＝4√2，
∴AG=√AB2−BG2=2，
∴AE＝2AG＝4，
∴△ABE的周长等于16，
又∵△CEF∽△BEA，相似比为1：2，
∴△CEF的周长为8．
故选：D．
8．宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房，如果有游客居住宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为x元时宾馆当天的利润为10890元，则有（）
A．（180+x﹣20）（50−x
10）＝10890
B．x（50−x−180
10）﹣50×20＝10890
C．（x﹣20）（50−x−180
10）＝10890
D．（x+180）（50−x
10）﹣50×20＝10890
【解答】解：设房价定为x元，
根据题意，得（x﹣20）（50−x−180
10）＝10890．
故选：C．
9．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝3，BC＝1．点D在AB边上，点E在CB的延长线上，已知AD＝1，BE＝1，连接ED并延长交AC于点F，则线段AF的长为（）
A ．2
5
B ．3
5
C ．4
5
D ．1
【解答】解：取CF 的中点G ，连接BG ，如图所示： ∵BC ＝1，BE ＝1， ∴点B 为EC 的中点， ∴BG 是△CEF 的中位线， ∴BG ∥EF ， ∴
AF AG
=
AD AB
=1
3
，
∴AF =13
AG ， ∴FG ＝CG ＝2AF ，
∴AC ＝AF +FG +CG ＝5AF ＝3， ∴AF =35
； 故选：B ．
10．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2AB ，点M 、N 分别在边AD 、BC 上，连接BM 、DN ．若四边形MBND 是菱形，则
AM MD
等于（ ）
A ．3
8
B ．2
3
C ．3
5
D ．4
5
【解答】解：∵四边形MBND 是菱形， ∴MD ＝MB ．
∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A ＝90°．
设AB ＝x ，AM ＝y ，则MB ＝2x ﹣y ，（x 、y 均为正数）． 在Rt △ABM 中，AB 2+AM 2＝BM 2，即x 2+y 2＝（2x ﹣y ）2， 解得x =4
3
y ，
∴MD ＝MB ＝2x ﹣y =5
3y ， ∴
AM MD
=
y
5y 3
=3
5
．
故选：C ．
二．填空题（共5小题）
11．在一个不透明的袋子中，有2个白球和2个红球，它们只有颜色上的区别，从袋子中随机地摸出一个球记下颜色放回．再随机地摸出一个球．则两次都摸到白球的概率为 14
．
【解答】解：
共有16种结果，两次都摸到白球的有4种结果，则概率是416
=1
4
．
故答案是：1
4．
12．已知线段AB ＝20cm ，点C 是线段AB 的黄金分割点，则AC 的长为 （10√5−10）或（30﹣10√5）cm ．
【解答】解：∵点C 是线段AB 的黄金分割点， ∴AC =
√5−1
2
×AB ＝（10√5−10）cm ．
或AC ＝20﹣（10√5−10）＝（30﹣10√5）cm ． 故答案为：（10√5−10）或（30﹣10√5）．
13．如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 与CD 的中点B '重合．若AB ＝2，BC ＝3，则△FCB '与△B 'DG 的面积比为 16：9 ．
【解答】解：设BF ＝x ，则CF ＝3﹣x ，B 'F ＝x ， ∵点B ′为CD 的中点， ∴B ′C ＝1，
在Rt △B ′CF 中，B 'F 2＝B ′C 2+CF 2，即x 2＝1+（3﹣x ）2， 解得：x =53，即可得CF ＝3−53=4
3．
∵∠DB ′G +∠DGB '＝90°，∠DB ′G +∠CB ′F ＝90°， ∴∠DGB ′＝∠CB ′F ， ∴Rt △DB ′G ∽Rt △CFB ′，
根据面积比等于相似比的平方可得：S △FCB′
S △B′DG
=（
FC
B′D ）2＝（4
3
1
）2=16
9． 故答案为：16：9．
14．如图，把一个矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA 、OC 分别落在x 轴、y 轴上，连接OB ，将纸片OABC 沿OB 折叠，使点A 落在A ′的位置上．若OB =√5，BC OC
=1
2
，
求点A ′的坐标为 （−3
5，4
5） ．
【解答】解：∵OB =√5，BC OC
=1
2
∴BC ＝1，OC ＝2
设OC与A′B交于点F，作A′E⊥OC于点E ∵纸片OABC沿OB折叠
∴OA＝OA′，∠BAO＝∠BA′O＝90°
∵BC∥A′E
∴∠CBF＝∠F A′E
∵∠AOE＝∠F A′O
∴∠A′OE＝∠CBF
∴△BCF≌△OA′F
∴OA′＝BC＝1，设A′F＝x
∴OF＝2﹣x
∴x2+1＝（2﹣x）2，
解得x=3 4
∴A′F=3
4，OF=
5
4
∵A′E＝A′F×OA′÷OF=3 5
∴OE=4 5
∴点A’的坐标为（−3
5，
4
5）．
故答案为：（−3
5，
4
5）．
15．如图，在等边△ABC中，AB＝15，点D为直线BC上一点，BD：DC＝1：4，点E、F 分别是边AB、直线AC上的点，将△AEF沿直线EF折叠，使点A的对应点D处．则AF
的长为213
16
．
【解答】解：设AF ＝x ， ∵△ABC 是等边三角形，
∴BC ＝AC ＝AB ＝15，∠B ＝∠C ＝∠A ＝60°， ∵BD ：DC ＝1：4， ∴BD ＝3，CD ＝12，
由折叠的性质得：AE ＝DE ，AF ＝DF ＝x ，∠EDF ＝∠A ＝60°＝∠B ， ∵∠EDC ＝∠CDF +∠EDF ＝∠BED +∠B ， ∴∠BED ＝∠CDF ， ∴△BDE ∽△CFD ， ∴
BD CF
=
DE DF
=
BE CD
，即
3
15−x
=
DE x
=
BE 12
，
解得：BE =
1215−x ，DE =x
15−x ， ∴AE ＝DE =
x
15−x
， ∵AE +BE ＝AB ＝15， ∴
x 15−x
+
1215−x =15，
解得：x =213
16，即AF =213
16， 故答案为：
21316
．
三．解答题（共8小题，满分75分） 16．已知关于x 的方程x 2+mx +m ﹣2＝0． （1）若此方程的一个根为1，求m 的值；
（2）求证：不论m 取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 【解答】解：（1）根据题意，将x ＝1代入方程x 2+mx +m ﹣2＝0， 得：1+m +m ﹣2＝0， 解得：m =1
2；
（2）∵△＝m2﹣4×1×（m﹣2）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4＞0，
∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
17．（9分）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A（﹣1，2）、B（2，1）、C（4，5）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，并求出△A2B2C2的面积．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1就是所求三角形
（2）如图所示，△A2B2C2就是所求三角形
如图，分别过点A2、C2作y轴的平行线，过点B2作x轴的平行线，交点分别为E、F，∵A（﹣1，2），B（2，1），C（4，5），△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，
∴A2（﹣2，4），B2（4，2），C2（8，10），
=8×10−12×6×2−12×4×8−12×6×10＝28．
∴S△A
2B2C2
18．（9分）如图，E 为正方形ABCD 的边AB 延长线上一点，DE 交AC 于点F ，交BC 于点G ，H 为GE 的中点，求证：FB ⊥BH ．
【解答】证明：如图，∵ABCD 为正方形，
∴DC ＝CB ，∠DCB ＝90°，∠DCF ＝∠BCF ＝45°， 在△DFC 与△BFC 中， {DC =CB
∠DCF =∠BCF CF =CF
， ∴△DFC ≌△BFC （SAS ）， ∴∠1＝∠6， ∵BH 为中线， ∴BH ＝GH ， ∴∠3＝∠4，
∵∠4＝∠5，∠5+∠6＝90°， ∴∠1+∠3＝90°， 即BF ⊥CH ．
19．（9分）小明和小亮用下面两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏（红色和蓝色在一起能配成紫色），同时随机转动这两个转盘，若配成紫色，则小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？请列表格画树状图说明理由．
【解答】解：不公平，
将A 盘中蓝色部分记为蓝a 、蓝b ，B 盘中红色部分记为红1、红2， 画树状图如下：
由树状图可知共有9种等可能结果，其中能配成紫色的有5种结果， ∴小明获胜的概率为5
9
，小亮获胜的概率为4
9
，
∵59
≠4
9
，
∴这个游戏对双方不公平．
20．（9分）已知在△ABC 中，D 是边AC 上的一点，∠CBD 的角平分线交AC 于点E ，且AE ＝AB ，求证：AE 2＝AD •AC ．
【解答】证明：∵BE平分∠CBD，
∴∠DBE＝∠CBE，
∵AE＝AB，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵∠ABE＝∠ABD+∠DBE，∠AEB＝∠C+∠CBE，
∴∠ABD＝∠C，
∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ABC，
∴AB：AD＝AC：AB，即：AB•AB＝AD•AC，
∵AE＝AB，
∴AE•AE＝AD•AC．
21．如图，要利用一面墙（墙长为55m），用100m的围栏建羊圈，基本结构为三个大小相同的矩形．
（1）如果围成的总面积为400m2，求羊圈的边长AB，BC各为多少？
（2）保持羊圈的基本结构，羊圈总面积是否可以达到800m2？请说明理由．
【解答】解：（1）设AB＝xm，则BC＝（100﹣4x）m，
∵100﹣4x≤55，
∴x≥11.25，
由题意知，x（100﹣4x）＝400，即x2﹣25x+100＝0，
解得：x1＝20，x2＝5（舍），
∴AB＝20m，BC＝100﹣4×20＝20m，
答：羊圈的边长AB长为20m，BC的长为20m；
（2）设羊圈的面积为ym2，
则y＝x（100﹣4x）＝﹣4x2+100x＝﹣4（x−25
2）2+625，
当x=25
2时，y有最大值为625，
所以羊圈总面积不可能达到800m2．
22．如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，求建筑物的高．
【解答】解：∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，
∴AB∥CD∥EF，
∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，
∴CD
AB =
DG
DG+BD
，
EF
AB
=
FH
FH+DF+BD
，
∵CD＝DG＝EF＝2m，DF＝52m，FH＝4m，
∴2
AB =
2
2+BD
，
2 AB =
4
4+52+BD
，
∴2
2+BD =
4
4+52+BD
，
解得BD＝52，
∴21
AB =
2
2+52
，
解得AB＝54．
答：建筑物的高为54米．
23．（11分）如图，在△ABC中，点N为AC边的任意一点，D为线段AB上一点，若∠MPN 的顶点P为线段CD上任一点，其两边分别与边BC，AC交于点M、N，且∠MPN+∠ACB ＝180°．
（1）如图1，若AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，且D 为AB 的中点时，则
PM PN = 1 ，请证
明你的结论； （2）如图2，若BC ＝m ，AC ＝n ，∠ACB ＝90°，且D 为AB 的中点时，则
PM PN = n m ； （3）如图3，若BD AB =k ，BC ＝m ，AC ＝n ，请直接写出PM PN 的值．（用k ，m ，n 表示）
【解答】解：（1）如图1中，作PG ⊥AC 于G ，PH ⊥BC 于H ．
∵AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，且D 为AB 的中点，
∴CD 平分∠ACB ，
∵PG ⊥AC 于G ，PH ⊥BC 于H ，
∴PG ＝PH ，
∵∠PGC ＝∠PHC ＝∠GCH ＝90°，
∴∠GPH ＝∠MPN ＝90°，
∴∠MPH ＝∠NPG ，
∵∠PHM ＝∠PGN ＝90°，
∴△PHM ∽△PGN ，
∴PM PN =PH PG =1，
故答案为1．
（2）如图2中，作PG ⊥AC 于G ，PH ⊥BC 于H ．
∵∠PGC ＝∠PHC ＝∠GCH ＝90°，
∴∠GPH ＝∠MPN ＝90°，
∴∠MPH ＝∠NPG ，
∵∠PHM ＝∠PGN ＝90°，
∴△PHM ∽△PGN ，
∴PM PN =PH PG ，
∵△PHC ∽△ACB ，PG ＝HC ，
∴PM PN =PH PG
=PH HC =AC BC =n m ． 故答案为n m ．
（3）如图3中，作PG ⊥AC 于G ，PH ⊥BC 于H ，DT ⊥AC 于T ，DK ⊥BC 于K ．
易证△PMH ∽△PGN ，
∴PM PN =PH PG ，
∵S △ACD
S △BCD
=12⋅AC⋅DT 12⋅BC⋅DK =AD BD ， ∴DK DT =kn (1−k)m ，
∵DT ∥PG ，DK ∥PH ，
∴
PH DK =CP CD =PG DT ， ∴PH PG =DK DT =kn (1−k)m
，
PM PN =
kn
(1−k)m
．
∴。