高三【解析版】泰州市2013届高三上学期期末考试数学试题
江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编AqqPPH
江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编导数及其应用1、（南通市2013届高三期末）曲线2(1)1()e (0)e 2x f f x f x x '=-+在点(1，f (1))处的切线方程为 ▲ ．答案：1e 2y x =-． 2、（苏州市2013届高三期末）过坐标原点作函数ln y x =图像的切线，则切线斜率为 ． 答案：1e3、（泰州市2013届高三期末）曲线y=2lnx 在点（e,2）处的切线与y 轴交点的坐标为 (0,0)4、（扬州市2013届高三期末）已知函数xmx x f -=ln )(（R m ∈）在区间],1[e 上取得最小值4，则=m ▲ ． e 3-5、（常州市2013届高三期末）第八届中国花博会将于2013年9月在常州举办，展览园指挥中心所用地块的形状是大小一定的矩形ABCD ，BC a =，CD b =．a ，b 为常数且满足b a <.组委会决定从该矩形地块中划出一个直角三角形地块AEF 建游客休息区（点E ，F 分别在线段AB ，AD 上），且该直角三角形AEF 的周长为（2l b >），如图．设AE x =，△AEF 的面积为S ．（1）求S 关于x 的函数关系式；（2）试确定点E 的位置，使得直角三角形地 块AEF 的面积S 最大，并求出S 的最大值． 解：（1）设AF y =，则22x y x y l +++=，整理，得222()l lxy l x -=-．………3分 2(2)4(12)l l x S lx x xy --==，](0,x b ∈． …………………………………4分（2）()()]22'222422222,(0,4224l x lx l l S x l x l x b x l x l ⎛⎫⎛⎫-+-+=⋅=-⋅-∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∴当222b l -≤时，'0S >，S 在](0,b 递增，故当x b =时，()()max 24bl b l S b l -=-； 当222b l ->时，在220,2x l ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭上，'0S >，S 递增，在22,2x l b ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭上，'0S <，S 递减，故当222x l -=时，2max 3224S l -=.6、（连云港市2013届高三期末）（连云港市2013届高三期末）某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度,拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案,该方案要求同时具备下列三个条件：①报销的医疗费用y (万元)随医疗总费用x (万元)增加而增加；②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；③报销的医疗费用不得超过8万元.(1)请你分析该单位能否采用函数模型y ＝0.05(x 2+4x +8)作为报销方案；(2)若该单位决定采用函数模型y ＝x -2ln x +a (a 为常数)作为报销方案，请你确定整数a 的值．(参考数据：ln2≈0.69，ln10≈2.3)【解】(1)函数y =0.05(x 2+4x +8)在[2,10]上是增函数，满足条件①， ……………2分 当x =10时,y 有最大值7.4万元,小于8万元,满足条件③. ………………………4分但当x =3时,y =2920<32,即y ≥x2不恒成立,不满足条件②,故该函数模型不符合该单位报销方案. ………………………6分(2)对于函数模型y =x -2ln x +a ，设f (x )= x -2ln x +a ，则f ´(x )=1-2x =x －2x≥0.所以f (x )在[2，10]上是增函数，满足条件①，由条件②，得x -2ln x +a ≥x 2，即a ≥2ln x -x2在x ∈[2，10]上恒成立，令g (x )=2ln x -x 2，则g ´(x )=2x －12=4－x2x，由g ´(x )>0得x <4，∴g (x )在(0，4)上增函数，在(4，10)上是减函数.∴a ≥g (4)=2ln4-2=4ln2-2. ………………10分 由条件③，得f (10)=10-2ln10+a ≤8，解得a ≤2ln10-2. ……………………12分 另一方面，由x -2ln x +a ≤x ，得a ≤2ln x 在x ∈[2，10]上恒成立, ∴a ≤2ln2,综上所述，a 的取值范围为[4ln2-2，2ln2]，所以满足条件的整数a 的值为1. ……………14分7、（南京市、盐城市2013届高三期末）对于定义在区间D 上的函数()f x , 若任给0x D ∈, 均有0()f x D ∈, 则称函数()f x 在区间D 上封闭.试判断()1f x x =-在区间[2,1]-上是否封闭, 并说明理由； 若函数3()1x ag x x +=+在区间[3,10]上封闭, 求实数a 的取值范围； 若函数3()3h x x x =-在区间[,](,)a b a b Z ∈上封闭, 求,a b 的值.解: (1)()1f x x =-在区间[2,1]-上单调递增,所以()f x 的值域为[-3,0]………2分 而[-1,0][2,1]⊄-,所以()f x 在区间[2,1]-上不是封闭的……………… 4分 (2)因为33()311x a a g x x x +-==+++, ①当3a =时,函数()g x 的值域为{}3[3,10]⊆,适合题意……………5分 ②当3a >时,函数()g x 在区间[3,10]上单调递减,故它的值域为309[,]114a a++,由309[,]114a a ++[3,10]⊆,得303119104aa +⎧≥⎪⎪⎨+⎪≤⎪⎩,解得331a ≤≤,故331a <≤……………………7分 ③当3a <时,在区间[3,10]上有33()3311x a a g x x x +-==+<++,显然不合题意 …………………8分 综上所述, 实数a 的取值范围是331a ≤≤……………………………9分(3)因为3()3h x x x =-,所以2()333(1)(1)h x x x x '=-=+-, 所以()h x 在(,1)-∞-上单调递减,在(1,1)-上递增,在(1,)+∞上递增.①当1a b <≤-时,()h x 在区间[,]a b 上递增,所以()()h a ah b b ≥⎧⎨≤⎩,此时无解………10分②当111a b ≤--<≤且时,因max ()(1)2h x h b =-=>,矛盾,不合题意…………11分 ③当11a b ≤->且时,因为(1)2,(1)2h h -==-都在函数的值域内,故22a b ≤-⎧⎨≥⎩,又33()3()3a h a a a b h b b b ⎧≤=-⎨≥=-⎩,解得202202a a b b -≤≤≥⎧⎨≤≤≤⎩或或,从而22a b =-⎧⎨=⎩ ………12分 ④当11a b -≤<≤时,()h x 在区间[,]a b 上递减,()()h b ah a b≥⎧⎨≤⎩ (*),而,a b Z ∈,经检验,均不合(*)式……………………………13分⑤当111a b -<≤≥且时,因min ()(1)2h x h a ==-<,矛盾,不合题意…………14分 ⑥当1b a >≥时,()h x 在区间[,]a b 上递增,所以()()h a ah b b≥⎧⎨≤⎩,此时无解 ……………15分综上所述,所求整数,a b 的值为2,2a b =-=…………………16分8、（南通市2013届高三期末）某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，()ABCD AB AD >为长方形薄板，沿AC 折叠后，AB '交DC 于点P ．当△ADP 的面积最大时最节能，凹多边形ACB PD '的面积最大时制冷效果最好． （1）设AB =x 米，用x 表示图中DP 的长度，并写出x 的取值范围； （2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？ （3）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？ABCD（第17题）B 'P解：（1）由题意，AB x =，2BC x =-．因2x x >-，故12x <<． …………2分设DP y =，则PC x y =-．因△ADP ≌△CB P '，故PA PC x y ==-．由 222PA AD DP =+，得 2221()(2)2(1)x y x y y x -=-+⇒=-，12x <<．……5分（2）记△ADP 的面积为1S ，则11(1)(2)S x x=-- ………………………………………………………………6分23()222x x=-+≤-，当且仅当2x =∈(1，2)时，S 1取得最大值．……………………………………8分 故当薄板长为2米，宽为22-米时，节能效果最好． ……………………9分 （3）记△ADP 的面积为2S ，则221114(2)(1)(2)3()22S x x x x x x=-+--=-+，12x <<．…………………………10分于是，33222142(2)022x S x x x x-+'=--==⇒=．……………………………11分 关于x 的函数2S 在3(1,2)上递增，在3(2,2)上递减．所以当32x =时，2S 取得最大值． …………………………13分故当薄板长为32米，宽为322-米时，制冷效果最好． ………………………14分9、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x （1） 求函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线方程；（2） 求函数)(x f 单调区间；（3） 若存在]1,1[,21-∈x x ，使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数），求实数a 的取值范围. ⑴因为函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =->≠+，所以()ln 2ln x f x a a x a '=-+，(0)0f '=，…………………………………………2分 又因为(0)1f =，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =． …………4分 ⑵由⑴，()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++．因为当0,1a a >≠时，总有()f x '在R 上是增函数， ………………………………8分 又(0)0f '=，所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+，故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+．………………………………………………10分 ⑶因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12()()e 1f x f x --≥成立，而当[1,1]x ∈-时，12max min ()()()()f x f x f x f x --≤，所以只要max min ()()e 1f x f x --≥即可．……………………………………………12分 又因为x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：x(,0)-∞0 (0,)∞+ ()f x '-+()f x减函数极小值增函数所以()f x 在[1,0]-上是减函数，在[0,1]上是增函数，所以当[1,1]x ∈-时，()f x 的最小值()()min 01f x f ==，()f x 的最大值()max f x 为()1f -和()1f 中的最大值．因为11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a aa--=--=--+++， 令1()2ln (0)g a a a a a =-->，因为22121()1(1)0g a a a a '=-=->+，所以1()2ln g a a a a=--在()0,a ∈+∞上是增函数．而(1)0g =，故当1a >时，()0g a >，即(1)(1)f f >-；当01a <<时，()0g a <，即(1)(1)f f <-．………………………………………14分所以，当1a >时，(1)(0)e 1f f --≥，即ln e 1a a --≥，函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数，解得e a ≥；当01a <<时，(1)(0)e 1f f ---≥，即1ln e 1a a +-≥，函数1ln y a a=+在(0,1)a ∈上是减函数，解得10ea <≤．综上可知，所求a 的取值范围为1(0,][e,)ea ∈∞+U ．………………………………16分10、（泰州市2013届高三期末）已知函数f(x)=(x-a)2()x b -,a,b 为常数， （1）若a b ≠,求证：函数f(x)存在极大值和极小值（2）设（1）中 f(x) 取得极大值、极小值时自变量的分别为12,x x ，令点A 11(,()x f x )，B 22(,()x f x ),如果直线AB 的斜率为12-，求函数f(x)和/()f x 的公共递减区间的长度 （3）若/()()f x mf x ≥对于一切x R ∈ 恒成立，求实数m,a,b 满足的条件解：（1）[])2(3)()(/b a x b x x f +--= …………………………………………………1分b a ≠Θ32b a b +≠∴0)(,=∴x f 有两不等 b 和32ba + ∴f （x ）存在极大值和极小值 ……………………………….……………………………4分（2）①若a =b ，f （x ）不存在减区间②若a >b 时由（1）知x 1=b ，x 2=32ba + ∴A （b ,0）B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+9)(2,322b a b a 21329)(22-=-+-∴b b a b a ∴)(3)(22b a b a -=- 23=-∴b a○3当a <b 时 x 1=32ba +,x 2=b 。
江苏省泰州市2014～2015学年度第一学期期末考试高三数学试卷
江苏省泰州市2014～2015学年度第一学期期末考试高三数学试题一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1.已知{}1,3,4A =，{}3,4,5B =，则A B = ▲ ．2.函数()sin(3)6f x x π=+的最小正周期为 ▲ ．3.复数z 满足i z 34i =+（i 是虚数单位），则z = ▲ ．4.函数()f x =的定义域为 ▲ ．5.执行如右图所示的流程图，则输出的n 为 ▲ ．6.若数据2,,2,2x 的方差为0，则x = ▲ ．7.袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为 ▲ ．8.等比数列{}n a 中，16320a a +=，3451a a a =，则数列的前6项和为 ▲ ．9.已知函数22sin ,0()cos(),0x x x f x x x x α⎧+≥=⎨-++<⎩是奇函数，则sin α= ▲ ．10.双曲线12222=-by a x 的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e = ▲ ．11.若αβ、是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为 ▲ ．（写出所有真命题的序号） ①若直线m α⊥，则在平面β内，一定不存在与直线m 平行的直线． ②若直线m α⊥，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m 垂直． ③若直线m α⊂，则在平面β内，不一定存在与直线m 垂直的直线． ④若直线m α⊂，则在平面β内，一定存在与直线m 垂直的直线． 12.已知实数,,a b c 满足222a b c +=，0c ≠，则2ba c-的取值范围为 ▲ ． 13.在梯形A B C D 中，2A B D C =，6BC =，P 为梯形A B C D 所在平面上一点，且满足4AP BP DP ++=0，DA CB DA DP ⋅=⋅，Q 为边AD 上的一个动点，则PQ 的最小值为 ▲ ．14.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22274a b c ++=则ABC ∆面积的最大值为 ▲ ．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15.（本题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边经过点(3,4)P ． （１）求sin()4πα+的值；（２）若P 关于x 轴的对称点为Q ，求OP OQ ⋅的值．16.（本题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，,AC BD 相交于点O ，//EF AB ，2AB EF =，平面BCF ⊥平面ABCD ，BF CF =，点G 为BC 的中点． （1）求证：直线//OG 平面EFCD ； （2）求证：直线AC ⊥平面ODE ．17.（本题满分14分）如图，我市有一个健身公园，由一个直径为2km 的半圆和一个以PQ 为斜边的等腰直角三角形PRQ ∆构成，其中O 为PQ 的中点．现准备在公园里建设一条四边形健康跑道ABCD ，按实际需要，四边形ABCD 的两个顶点C D 、分别在线段QR PR 、上，另外两个顶点A B 、在半圆上， ////AB CD PQ ，且AB CD 、间的距离为1km ．设四边形ABCD 的周长为c km ． （1）若C D 、分别为QR PR 、的中点，求AB 长； （2）求周长c 的最大值．18.（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，离心率为2的椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于,P Q 两点，直线,PA QA 分别与y 轴交于,M N 两点．若直线PQ斜率为2时，PQ = （1）求椭圆C 的标准方程；（2）试问以MN 为直径的圆是否过定点？若存在，求出定点坐标； 若不存在，说明理由．19.（本题满分16分）数列}{n a ，}{n b ，}{n c 满足：12n n n b a a +=-，1222n n n c a a ++=+-，*n N ∈． （1）若数列}{n a 是等差数列，求证：数列}{n b 是等差数列；（2）若数列}{n b ，}{n c 都是等差数列，求证：数列}{n a 从第二项起为等差数列；（3）若数列}{n b 是等差数列，试判断当130b a +=时，数列}{n a 是否成等差数列？证明你的结论．20.（本题满分16分） 已知函数1()ln f x x x=-，()g x ax b =+． (1)若函数()()()h x f x g x =-在(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； (2) 若直线()g x ax b =+是函数1()ln f x x x=-图象的切线，求a b +的最小值； (3)当0b =时，若()f x 与()g x 的图象有两个交点1122(,),(,)A x y B x y ，求证：12x x 22e >． （取e 为2.8，取ln 2为0.7为1.4）附加题21.（［选做题］请考生在A 、B 、C 、D 四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分． A ．（本小题满分10分，几何证明选讲）如图，EA 与圆O 相切于点A ，D 是EA 的中点，过点D 引O 的割线，与圆O 相交于点,B C ，连结EC ． 求证：DEB DCE ∠=∠．B ．（本小题满分10分，矩阵与变换） 已知矩阵1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1201B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵1AB -对应的变换把直线l 变为直线:20l x y '+-=，求直线l 的方程．C ．（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲） 己知在平面直角坐标系xOy 中，圆O 的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）．以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为(sin cos )1ρθθ-=，直线l 与圆M 相交于,A B 两点，求弦长AB 的值．D ．（本小题满分10分，不等式选讲） 已知正实数,,a b c 满足3a b c ++=，求证：2223b c aa b c ++≥．［必做题］第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（(本小题满分10分)如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中，2DA DC ==，1DD '=，A C ''与B D ''相交于点O '，点P 在线段BD 上（点P 与点B 不重合）．(1)若异面直线O P '与BC '所成角的余弦值为55，求DP 的长度;(2)若2DP =，求平面PA C ''与平面DC B '所成角的正弦值．23.（(本小题满分10分)记ri C 为从i 个不同的元素中取出r 个元素的所有组合的个数．随机变量ξ表示满足212ri C i ≤的二元数组(,)r i 中的r ，其中}{2,3,4,5,6,7,8,9i ∈，求E ξ．2013～2014学年度第一学期期末考试高三数学参考答案一、填空题1．{}3,4； 2．23π； 3．43i -； 4．[2,)+∞； 5．4； 6．2； 7．13； 8．214-； 9．1-； 10．53；11．②④； 12．[,]33- ； 13； 14．5. 二、解答题15. 解：（１）∵角α的终边经过点(3,4)P ，∴43sin ,cos 55αα==，∴43sin()sin coscos sin44455πππααα+=+==．……………７分 （２）∵(3,4)P 关于x 轴的对称点为Q ，∴(3,4)Q -．∴(3,4),(3,4)OP OQ ==-，∴334(4)7OP OQ ⋅=⨯+⨯-=-． ……………１４分 16. 证明（1）∵四边形ABCD 是菱形，ACBD O =，∴点O 是BD 的中点，∵点G 为BC 的中点 ∴//OG CD ， ………………3分 又∵OG ⊄平面EFCD ，CD ⊂平面EFCD ，∴直线//OG 平面EFCD ．………７分（２）∵ BF CF =，点G 为BC 的中点, ∴FG BC ⊥, ∵平面BCF ⊥平面ABCD ，平面BCF 平面ABCD BC =， FG ⊂平面BCF ，FG BC ⊥ ∴FG ⊥平面ABCD ， ………………9分∵AC ⊂平面ABCD ∴FG AC ⊥, ∵1//,2OG AB OG AB =，1//,2EF AB EF AB =，∴//,OG EF OG EF =， ∴四边形EFGO 为平行四边形, ∴//FG EO ， ………………11分 ∵FG AC ⊥，//FG EO ，∴AC EO ⊥， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC DO ⊥， ∵AC EO ⊥，AC DO ⊥，EODO O =，EO DO 、在平面ODE 内，∴AC ⊥平面ODE ． ………………1４分 17. （１）解：连结RO 并延长分别交AB CD 、于M N 、，连结OB ， ∵C D 、分别为QR PR 、的中点，2PQ =，∴112CD PQ ==，12NO =．∵1MN =，∴12MO =．在Rt BMO ∆中，1BO =，∴2BM ==，∴2AB BM == ……………6分 （２） 解法１ 设BOM θ∠=，02πθ<<．在Rt BMO ∆中，1BO =，∴sin BM θ=，cos OM θ=．∵1MN =，∴1cos CN RN ON OM θ==-==，∴BC AD ==，∴2(sin cos c AB CD BC AD θθ=+++=+……………１０分≤=（当12πθ=或512π时取等号）∴当12πθ=或512πθ=时，周长c 的最大值为km ． ………………１４分 解法２ 以O 为原点，PQ 为y 轴建立平面直角坐标系． 设(,)B m n ，,0m n >，221m n +=，(1,)C m m -，∴2AB n =，2CD m =，BC AD ==∴2(c AB CD BC AD m n =+++=++ ……………１０分≤=（当4m =4n =或4m =，4n =时取等号）∴当m =，n =或m =，n =时，周长c 的最大值为km ． ……………１４分18. 解：（1）设00(,)2P x x ，∵直线PQ 时，PQ =2200)3x x +=，∴202x =…………３分∴22211a b+=，∵2c e a ===，∴224,2a b ==．∴椭圆C 的标准方程为22142x y +=． ………………６分 （２）以MN为直径的圆过定点(F ．设00(,)P x y ，则00(,)Q x y --，且2200142x y +=，即220024x y +=， ∵(2,0)A -，∴直线PA 方程为：00(2)2y y x x =++ ，∴002(0,)2y M x + ， 直线QA 方程为：00(2)2y y x x =+- ，∴002(0,)2y N x -， ………………９分 以MN 为直径的圆为000022(0)(0)()()022y y x x y y x x --+--=+- 即222000220044044x y y x y y x x +-+=--， ………………12分∵220042x y -=-，∴22220x x y y y ++-=， 令0y =，2220x y +-=，解得x =∴以MN为直径的圆过定点(F ． ………………16分19．证明：（１）设数列}{n a 的公差为d ， ∵12n n n b a a +=-，∴1121121(2)(2)()2()2n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a d d d +++++++-=---=---=-=-， ∴数列}{n b 是公差为d -的等差数列． ………………４分 （２）当2n ≥时，1122n n n c a a -+=+-，∵12n n n b a a +=-，∴112n n n b c a -+=+，∴1112n n n b ca +++=+， ∴111112222n n n n n n n nn n b c b c b b c c a a +-+++++---=-=+，∵数列}{n b ，}{n c 都是等差数列，∴1122n n n nb bc c ++--+为常数， ∴数列}{n a 从第二项起为等差数列． ………………１０分 （３）数列}{n a 成等差数列． 解法１ 设数列}{n b 的公差为d '， ∵12n n n b a a +=-，∴11222n n n n n n b a a ++=-，∴1111222n n n n n n b a a ----=-，…，2112222b a a =-， ∴11111122222n n n n n n b b b a a -+-++++=-， 设211212222n n n n n T b b b b --=+++，∴21112222n n n n n T b b b +-=+++，两式相减得：21112(222)2n n n n n T b d b -+'-=+++-，即11124(21)2n n n n T b d b -+'=---+，∴11111124(21)222n n n n n b d b a a -+++'---+=-，∴1111111112224(21)22242()n n n n n n n a a b d b a b d b d +-+++'''=++--=+---，∴1111224()2n n n a b d a b d ++'+-'=--， ………………１２分令2n =，得111132133224224()22a b d a b d a b d b ''+-+-'=--=-，∵130b a +=，∴1113322402a b d b a '+-=+=，∴112240a b d '+-=， ∴1()n n a b d +'=--，∴211()()n n n n a a b d b d d +++'''-=--+-=-，∴数列}{n a （2n ≥）是公差为d '-的等差数列， ………………１４分 ∵12n n n b a a +=-，令1n =，1232a a a -=-，即12320a a a -+=，∴数列}{n a 是公差为d '-的等差数列． ………………１６分 解法2 ∵12n n n b a a +=-，130b a +=，令1n =，1232a a a -=-，即12320a a a -+=， ………………１２分 ∴1122n n n b a a +++=-，2232n n n b a a +++=-，∴12122132(2)2(2)n n n n n n n n n b b b a a a a a a +++++++--=-----， ∵数列}{n b 是等差数列，∴1220n n n b b b ++--=，∴1221322(2)n n n n n n a a a a a a +++++--=--， ………………１４分 ∵12320a a a -+=，∴1220n n n a a a ++--=，∴数列}{n a 是等差数列． ………………１６分20. 解：（1）()()()h x f x g x =-1ln x ax b x =---,则211()h x a x x'=+-， ∵()()()h x f x g x =-在(0,)+∞上单调递增，∴对0x ∀>，都有211()0h x a x x'=+-≥，即对0x ∀>，都有211a x x ≤+，∵2110x x+>，∴0a ≤，故实数a 的取值范围是(,0]-∞． ………………4分 (2) 设切点0001(,ln )x x x -，则切线方程为002000111(ln )()()y x x x x x x --=+-， 即00220000011111()()(ln )y x x x x x x x x =+-++-，亦即02000112()(ln 1)y x x x x x =++--， 令10t x =>，由题意得202000112,ln 1ln 21a t t b x t t x x x =+=+=--=---，……７分令2()ln 1a b t t t t ϕ+==-+--，则1(21)(1)()21t t t t t tϕ+-'=-+-=，当(0,1)t ∈时 ，()0t ϕ'<，()t ϕ在(0,1)上单调递减；当(1,)t ∈+∞时，()0t ϕ'>，()t ϕ在(1,)+∞上单调递增，∴()(1)1a b t ϕϕ+=≥=-，故a b +的最小值为1-． ………………１０分 （3）由题意知1111ln x ax x -=，2221ln x ax x -=， 两式相加得12121212ln ()x x x x a x x x x +-=+，两式相减得21221112ln ()x x xa x x x x x --=-， 即212112ln1x x a x x x x +=-，∴21211212122112ln 1ln ()()xx x x x x x x x x x x x x +-=++-，即1212212122112()ln ln x x x x x x x x x x x x ++-=-， …………１２分 不妨令120x x <<，记211x t x =>，令2(1)()ln (1)1t F t t t t -=->+，则2(1)()0(1)t F t t t -'=>+， ∴2(1)()ln 1t F t t t -=-+在(1,)+∞上单调递增，则2(1)()ln (1)01t F t t F t -=->=+， ∴2(1)ln 1t t t ->+，则2211122()ln x x x x x x ->+，∴1212212122112()ln ln 2x x x x x x x x x x x x ++-=>-，又1212121212122()ln ln ln 2ln x x x x x x x x x x +-<==∴2>，即1>， 令2()ln G x x x =-，则0x >时，212()0G x x x '=+>，∴()G x 在(0,)+∞上单调递增，又1ln 210.8512=+≈<，∴1G =>>，即2122x x e >． ………………１６分 附加题参考答案21.A ．证明：∵EA 与O 相切于点A ．由切割线定理：2DA DB DC =⋅．∵D 是EA 的中点，∴DA DE =．∴2DE DB DC =⋅ ． ………………５分 ∴DE DB DC DE=．∵EDB CDE ∠=∠ ∴EDB CDE ∆∆∴DEB DCE ∠=∠……１０分 21.B .解：∵1201B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，∴11201B --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， ∴1101212020102AB ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, ………………５分 设直线l 上任意一点(,)x y 在矩阵1AB -对应的变换下为点(,)x y ''1202x x y y '-⎤⎤⎡⎤⎡⎡=⎥⎥⎢⎥⎢⎢'⎣⎦⎣⎣⎦⎦，∴22x x y y y '=-⎧⎨'=⎩．代入l '，:(2)(2)20l x y y '-+-=，化简后得：:2l x =． ………………１０分21.C .解：圆O ：224x y +=，直线l ：10x y -+=， ………………5分 圆心O 到直线l的距离2d ==，弦长AB == 21.D . 证明：∵正实数,,a b c 满足3a b c ++=，∴3a b c =++≥1abc ≤， ………………5分∴2223b c a a b c ++≥=≥． ………………１０分 22. 解：（1）以,,DA DC DD '为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -， 设(,,0)P t t ，(0,0,0)D ,(2,0,1)A '，(2,2,0)B ，(0,2,1)C '，(1,1,1)O '∴(1,1,1)O P t t '=---，(2,0,1)BC '=-设异面直线O P '与BC '所成角为θ，则cos 2(O P BC O P BC θ''⋅===''⋅，化简得：2212040t t -+=,解得：23t =或27t =， DP =或DP = ………………5分 （2）∵2DP =，∴33(,,0)22P ， (0,2,1)DC '=,(2,2,0)DB =，13(,,1)22PA '=-,31(,,1)22PC '=-， 设平面DC B '的一个法向量为1111(,,)n x y z =，∴1100n DC n DB ⎧'⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴111120220y z x y +=⎧⎨+=⎩，即11112z y x y =-⎧⎨=-⎩，取11y =-，1(1,1,2)n =-， 设平面PA C ''的一个法向量为2222(,,)n x y z =，∴2200n PA n PC ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，∴2222221302231022x y z x y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩，即2222z y x y =⎧⎨=⎩，取21y =，2(1,1,1)n =， 设平面PA C ''与平面DC B '所成角为ϕ，∴1212cos 36n n n n ϕ⋅===⋅， ∴sin 3ϕ=． ………………１０分 23.解：∵ 212r i C i ≤， 当2i ≥时， 02112i i iC C i ==≤，11212i i i C C i i -==≤，222(1)122i i i i i C C i --==≤，23552C ≤， ∴当25,*i i N ≤≤∈时，212ri C i ≤的解为0,1,,r i =． ………………４分 当610,*i i N ≤≤∈， 112r r i i i C C r +-≥⇔≤， 由32(1)(2)162i i i i C i --=≤3,4,5i ⇔=可知： 当0,1,2,2,1,r i i i =--时，212r i C i ≤成立， 当3,,3r i =-时，321r i i C C i ≥≥（等号不同时成立），即21r i C i >． ………………8分∴311177(012)(345678)9101616244824E ξ=++⨯++++++⨯+⨯+⨯=． ………………１０分。
江苏省泰州市2013届高三上学期期末考试数学试题(含答案)
泰州市2012-2013学年度第一学期期末考试高三数学试题一、填空题1. 已知集合{}1,2,3A =，{}1,2,5B =，则A B ⋂=2. 设复数122z i =+，222z i =-，则12z z =3. 若数据12345,,,,x x x x x ，3的平均数是3，则数据12345,,,,x x x x x 的平均数是4. 设双曲线22145xy-=的左、右焦点分别为1F ,2F ,点P 为双曲线上位于第一象限内一点，且12PF F 的面积为6，则点P 的坐标为 5.曲线y=2lnx 在点（e,2）处的切线与y 轴交点的坐标为6.如图，ABCD 是4⨯5的方格纸，向此四边形ABCD 内抛撒一粒豆子，则豆子恰好落在阴影部分内的概率为7.设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(a)>f(b), 则f(-a) f(-b)(填“>”或：“<”)8.在空间中，用a,b,c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列四个命题：（1）若,a b b c ，则a c （2）若,a b b c ⊥⊥，则a c ⊥ (3) 若a γ ，b γ ，则a b （4）若a γ⊥，b γ⊥，则a b 9.右图是一个算法流程图，则输出p=10.已知点P(t,2t)( 0t ≠)是圆C ：221x y +=内一点，直线 tx+2ty=m 圆C 相切，则直线x+y+m=0与圆C 的关系是11.设a R ∈,s: 数列{}2()n a -是递增数列；t:a 1≤,则s 是t 的 条件12.各项均为正数的等比数列{}n a 中，若11a ≥，22a ≤，33a ≥，则4a 的取值范围是13.已知六个点11(,1)A x ，12(,1)B x -,23(,1)A x ,24(,1)B x -,35(,1)A x ,36(,1)B x - (123456x x x x x x <<<<<,615x x π-=)都在函数f(x)=sin(x+3π)的图象C 上，如果这六个点中不同两点的连线的中点仍在曲线C 上，则称此两点为“好点组”，则上述六点中好点组的个数为 （两点不计顺序）14.已知f(x)= 222mx m ++,0,,m m R x R ≠∈∈.若121x x +=，则12()()f x f x 的取值范围是二．解答题15.已知向量a=(cos λθ,cos(10)λθ-),b=(sin(10)λθ-,sin λθ),,R λθ∈ (1)求22a b + 的值 （2）若a b ⊥，求θ（3）20πθ=，求证：a b16.在三棱锥S-ABC 中，SA ⊥平面ABC ，SA=AB=AC=33B C ,点D 是BC 边的中点，点E是线段AD 上一点，且AE=4DE,点M 是线段SD 上一点， （1）求证：BC ⊥AM(2)若AM ⊥平面SBC ，求证：EM 平面ABS17、（14分）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，AB ＝1，BC ＝2，现要将些铁皮剪出一个等腰三角形PMN ，其底边MN ⊥BC 。
2013年江苏高考数学试题及答案解析版1_(word版)
2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。
请把答案填写在答题卡相印位置上。
．6则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 【答案】2 7．现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n （7≤m ，9≤n ）可以任意选取，则n m ， 都取到奇数的概率为 ．63208．如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V ．1：249．抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界) ．若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 ．[—2，12 ]10．设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点，AB AD 21=，BC BE 32=， 若AC AB DE 21λλ+=（21λλ，为实数），则21λλ+的值为 ．1211．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。
当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)( 的解集用区间表示为 ．(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆C 的离心率为 ．3313．在平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数xy 1=（0>x ）图象上一动点，若点A P ，之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所值为 ．1或1014．在正项等比数列}{n a 中，215=a ，376=+a a ，则满足n n a a a a a a 2121>+++的最大正整数n 的值为 ．12二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 已知)sin ,(cos )sin ,(cos ββαα=b a ，＝，παβ<<<0．（1）若2||=-b a ，求证：b a ⊥；（2）设)1,0(=c ，若c b a =+，求βα,的值． 解：（1）a －b ＝(cosα－cosβ，sin α－sin β)，|a －b |2＝(cosα－cosβ)2＋(sin α－sin β)2＝2－2(cosα·cosβ＋sin α·sin β)＝2， 所以，cosα·cosβ＋sin α·sin β＝0，所以，b a ⊥． （2）⎩⎨⎧=+=+②1sin sin ①0cos cos βαβα，①2＋②2得：cos(α－β)＝－12 ．所以，α－β＝π32，α＝π32＋β，带入②得：sin(π32＋β)＋sin β＝23cosβ＋12 sin β＝sin(3π＋β)＝1， 所以，3π＋β＝2π． 所以，α＝65π，β＝6π．16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥ABC S -中，平面⊥SAB 平面SBC ，BC AB ⊥，AB AS =，过A 作SB AF ⊥，垂足为F ，点G E ，分别是棱SC SA ，的中点．求证： （1）平面//EFG 平面ABC ；（2）SA BC ⊥． 证：（1）因为SA ＝AB 且AF ⊥SB ， 所以F 为SB 的中点． 又E ，G 分别为SA ，SC 的中点， 所以，EF ∥AB ，EG ∥AC ．又AB ∩AC ＝A ，AB ⊂面SBC ，AC ⊂面ABC ， 所以，平面//EFG 平面ABC ． （2）因为平面SAB ⊥平面SBC ，平面SAB ∩平面SBC ＝BC ，AF ⊂平面ASB ，AF ⊥SB ．所以，AF ⊥平面SBC ．又BC ⊂平面SBC ， 所以，AF ⊥BC ．又AB ⊥BC ，AF ∩AB ＝A ， 所以，BC ⊥平面SAB ．又SA ⊂平面SAB ， 所以，SA BC ⊥．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ．设圆C 的半径为1，圆心在l 上． （1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线， 求切线的方程；A BSG F E（2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐 标a 的取值范围．解：（1）联立：⎩⎨⎧-=-=421x y x y ，得圆心为：C (3，2)．设切线为：3+=kx y ，d ＝11|233|2==+-+r k k ，得：430-==k or k ．故所求切线为：343+-==x y or y ．（2）设点M (x ，y )，由MO MA 2=，知：22222)3(y x y x +=-+，化简得：4)1(22=++y x ，即：点M 的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D ． 又因为点M 在圆C 上，故圆C 圆D 的关系为相交或相切． 故：1≤|CD |≤3，其中22)32(-+=a a CD ．解之得：0≤a ≤125 ．18．（本小题满分16分）如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径。
泰州市2014届高三上学期期末考试数学试题-Word版含答案
泰州市2013～2014学年度第一学期期末考试高三数学试题(考试时间：120分钟 总分：160分)命题人： 朱占奎 张乃贵 王宏官 范继荣 审题人： 吴卫东 石志群注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．已知集合{}1,6,9A =，{}1,2B =，则AB = ▲ ．2．复数(1i +2)a bi =+（,a b 是实数，i 是虚数单位），则a b +的值为 ▲ ． 3．函数2log (3)y x =-的定义域为 ▲ ．4分层抽样的方法抽取300高中三个学段学生人数分别为1200，1000，800抽取的学生人数为 ▲ ．5．已知一个算法的流程图如右图，则输出的结果S6．在ABC ∆中，2BD DC =，若12AD AB AC λλ=+，7．将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数．8．如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，D 为棱1AA 14AA =，2AB =，则四棱锥1B ACC D -9．以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为 ▲ ．10．设函数()()f x x a x a b =--+（,a b 都是实数）．则下列叙述中，正确的序号是 ▲ ．（请把所有叙述正确的序号都填上） ①对任意实数,a b ，函数()y f x =在R 上是单调函数；②存在实数,a b ，函数()y f x =在R 上不是单调函数； ③对任意实数,a b ，函数()y f x =的图像都是中心对称图形； ④存在实数,a b ，使得函数()y f x =的图像不是中心对称图形． 11．已知在等差数列{}n a 中，若22m n p s t r ++=++，,,,,,m n p s t r ∈N *则22m n p s t r a a a a a a ++=++，仿此类比，可得到等比数列{}n b 中的一个正确命题：若22m n p s t r ++=++，,,,,,m n p s t r ∈N *，则 ▲ ． 12．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2468120a a a a =，且4682682482461111760a a a a a a a a a a a a +++=，则9S 的值为 ▲ ．13．在平面直角坐标系中，()0,0,(1,2)A B 两点绕定点P 顺时针方向旋转θ角后，分别到()4,4,A '(5,2)B '两点，则cos θ的值为 ▲ ．14．已知函数()3f x x a =+与函数()32g x x a =+在区间(,)b c 上都有零点，则2222242a ab ac bc b bc c +++-+的最小值为 ▲ ．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15． （本题满分14分）已知函数()2sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求函数()y f x =的最小正周期及单调递增区间； （2）若06()85f x π-=-，求0()f x 的值.16． （本题满分14分）如图，在四棱锥E ABCD -中，ABD ∆为正三角形，,EB ED CB CD ==.（1）求证：EC BD ⊥；（2）若A B B C ⊥，,M N 分别为线段,AE AB 的中点，求证：平面//DMN 平面BEC .17． （本题满分15分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>和圆O ：222x y a +=，()()121,0,1,0F F -分别是椭圆的左、右两焦点，过1F 且倾斜角为α0,2πα⎛⎫⎛⎤∈ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点，交圆O 于,P Q 两点（如图所示，点A 在x 轴上方）．当4πα=时，弦PQ（1）求圆O 与椭圆C 的方程；（2）若点M 是椭圆C 上一点，求当22,,AF BF AB 成等差数列时，MPQ ∆面积的最大值.18． （本题满分15分）某运输装置如图所示，其中钢结构ABD 是AB BD l ==，3B π∠=的固定装置，AB 上可滑动的点C 使CD 垂直于底面（C 不与,A B 重合），且CD 可伸缩（当CD 伸缩时，装置ABD 随之绕D 在同一平面内旋转），利用该运输装置可以将货物从地面D 处沿D C A →→运送至A 处，货物从D 处至C 处运行速度为v ，从C 处至A 处运行速度为3v ．为了使运送货物的时间t 最短，需在运送前调整运输装置中DCB θ∠=的大小.（1）当θ变化时，试将货物运行的时间t 表示成θ的函数（用含有v 和l 的式子）； （2）当t 最小时，C 点应设计在AB 的什么位置？DC19． （本题满分16分）设函数x ae x x f +=41121)(（其中a 是非零常数，e 是自然对数的底），记1()()n n f x f x -'=（2≥n ，n ∈N *）（1）求使满足对任意实数x ，都有)()(1x f x f n n -=的最小整数n 的值（2≥n ，n ∈N *）； （2）设函数)()()()(54x f x f x f x g n n +⋯++=，若对5≥∀n ，n ∈N *，)(x g y n =都存在极值点n t x =，求证：点))(,(n n n n t g t A （5≥n ，n ∈N *）在一定直线上，并求出该直线方程；（注：若函数)(x f y =在0x x =处取得极值，则称0x 为函数)(x f y =的极值点.） （3）是否存在正整数()4k k ≥和实数0x ，使0)()(010==-x f x f k k 且对于n ∀∈N *，)(x f n 至多有一个极值点，若存在，求出所有满足条件的k 和0x ，若不存在，说明理由．20． （本题满分16分）己知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，数列{}n b 是等比数列． （1）若()1n n n n c a a b +=-（n ∈N *），求证：{}n c 为等比数列；（2）设n n n b a c =（n ∈N *），其中n a 是公差为2的整数项数列，nn b ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1312，若1234516842c c c c c >>>>，且当17n ≥时，{}n c 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式；（3）若数列{}n c 使得⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n n c b a 是等比数列，数列{}nd 的前n 项和为n nn c c a -，且数列{}n d 满足：对任意2n ≥，n ∈N *,或者0n d =恒成立或者存在正常数M ，使M d Mn <<1恒成立，求证：数列{}n c 为等差数列．已知矩阵21n A m ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征根为2λ=，它对应的一个特征向量为12α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． （1）求m 与n 的值； （2）求1A -．C ．（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲）己知在平面直角坐标系xOy 中，圆M的参数方程为2cos 272sin 2x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（θ为参数），以Ox 轴为极轴，O 为极点建立极坐标系，在该极坐标系下，圆N是以点3π⎫⎪⎭为圆心，且过点)2,2(π的圆．（1）求圆M 及圆N 在平面直角坐标系xOy 下的直角坐标方程； （2）求圆M 上任一点P 与圆N 上任一点Q 之间距离的最小值．M［必做题］第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分)己知直线42:-=x y l 与抛物线:C x y 42=相交于,A B 两点，(),0(0T t t >且2t ≠）为x 轴上任意一点，连接,AT BT 并延长与抛物线C 分别相交于11,A B ． （1）设11A B 斜率为k ，求证：k t ⋅为定值； （2）设直线11,AB A B 与x 轴分别交于,M N ，令111234,,,ATM BTM B TN A TN S S S S S S S S ∆∆∆∆====，若1234,,,S S S S 构成等比数列，求t 的值．23．(本小题满分10分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆为直角三角形，2ACB π∠=，顶点1C 在底面ABC ∆内的射影是点B ，且13AC BC BC ===，点T 是平面1ABC 内一点．（1）若T 是1ABC ∆的重心，求直线1A T 与平面1ABC 所成角；（2）是否存在点T ，使1T B T C =且平面11TAC ⊥平面11ACC A ，若存在，求出线段TC 的长度，若不存在，说明理由．MN2013～2014学年度第一学期期末考试高三数学参考答案一、填空题1．{}1； 2．2； 3．{}|3x x >； 4．100； 5．7；6． 29； 7．16； 8． 9．22(5)16x y -+=； 10．①③； 11．()()22m n p s t r b b b b b b =； 12．632； 13．35- ； 14．1-.二、解答题 15.（1）22T ππ==， ………………2分 增区间为31,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦； ………………6分 （2）06()85f x π-=-即03sin(2)5x =-，所以04cos(2)5x =±， ………………10分)0000()2sin(2)sin 2cos 24f x x x x π=+=+=或 ………14分16.（1）取BD 的中点O ，连结EO ，CO ，∵△ABC 为正三角形，且CD=CB∴CO ⊥BD ，E O ⊥BD ………………4分 又0COEO =，∴BD ⊥平面EOC ，∵⊂EC 平面EOC∴BD ⊥EC . ………………7分 （2）∵N 是AB 中点，ABD ∆为正三角形，∴DN ⊥AB ，∵BC ⊥AB ，∴DN //BC ，∵BC ⊂平面BCE DN ⊄平面BCE ，∴BC //平面BCE ， ………………10分 ∵M 为AE 中点，N 为AB 中点，∴MN //BE ，∵MN ⊄平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，∴MN //平面BCE ， ………………12分 ∵MNDN =N ，∴平面MND //平面BCE . ………………14分17.解：（1）取PQ 的中点D ，连OD ，OP由4πα=，1c =，知OD =2221444PQ PQ OQ OD ==+=224,3a b ∴==∴椭圆C 的方程为：22143x y +=，22:4O x y +=， ………………4分 （2）设22,AF s BF t ==，121224,24AF AF a BF BF a +==+==， ………………6分22,,AF BF AB 的长成等差数列，8283t s s t t ∴=+--∴=设00(,)B x y ，由2200220064(1)9143x y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得4(,33B --，………………10分k ∴=:1)PQ y x ∴=+，72PQ ∴=. ………………12分易求得椭圆上一点到直线PQ ，所以MPQ∆的面积的 ………………15分18.解：（1）在BCD ∆中,,3BCD B BD l πθ∠=∠==sin(120)sin l BCθθ︒-∴=，CD = ………………4分sin(120)sin l AC AB BC l θθ︒-∴=-=-，则sin(120)333sin AC CD l l t v v v v θθ︒-=+=-，2()33ππθ<< … ……8分（2）t=(16l v+3cos 6sin l v θθ-=+ ………………10分 令3cos ()sin m θθθ-=，则'213cos ()sin m θθθ-= ………………12分 令'()0m θ=得1cos 3θ=，设01cos 3θ= 02(,)33ππθ∈， 则0(,)3πθθ∈时，'()0m θ<；02(,)3πθθ∈时'()0m θ>1cos 3θ∴=时()m θ有最小值，此时48BC l =. ………………14分答：当BC =时货物运行时间最短. ………………15分19．（1）411()12x f x x ae =+，321()3x f x x ae =+，23()x f x x ae =+，24()2x f x x ae =+，5()2x f x ae =+，6()x f x ae =，'()(6)x n f x ae n =≥，min 7n ∴=. ………………4分（2）()(2)(2)x x x x n g x x ae ae ae ae =+++++⋅⋅⋅+(22)(3)xx n ae =++-⋅ ①………………6分'()2(3)x n g x n ae =+-存在极值点n x t =⇒'()2(3)0n t n n g t n ae =+-= ② '()22(3)2n t n n n n g t t n ae t ⇒=++-= ………………8分n A ⇒在直线2y x =上. ………………9分（3）()0(6)xn f x ae n ==≥无解，5k ⇒≤ ………………10分①当5k =时，004500202()()0120x x ae f x f x x a e x ae ⎧+===⇒⇒=⇒=-⎨+=⎩ 而当2a e=-时，165()0()222x x x f x ae f x ae e -=<⇒=+=-单调减，且5(1)0f = 4()f x ⇒在(,1)-∞上增，(1,)+∞上减，44(1)0()0f f x =⇒≤恒成立.3()f x ⇒单调减，而21133322()2,(1)10,(0)20x f x x e f f e e--=--=->=-< ()3(1,0),0t f t ∃∈-=在(,)t -∞上32()0()f t f x <⇒在(,)t -∞上增，(,)t +∞上减，3121()23t f t t e -=-，又213223211()20,()(1)033t f t t e f t t t t t -=-=∴=-=-<1()f t ∴在R 上单调减综上所述，∴存在5k =，2a e=-满足条件. ………………13分 ②当4k =时，002400300()2()0x x f x x aef x x ae =+==+=，即00x =或2当00x =时4(0)0f a ==（舍）当02x =时2424(2)40f ae a e =+=⇒=-2624()40x x f x e e e-⇒=-=-< 25()24x f x e -⇒=-单调减，且5()0f x =时，2ln 2x =-4()f x ⇒在(,2ln 2)-∞-上增，(2ln 2,)-+∞上减，而4(2)0f =2ln 2m ⇒∃<-使得在(,)m -∞上，4()0f x <，在(,2)m 上4()0f x >，在(2,)+∞上，4()0f x <3()f x ⇒在(,)m -∞上减，在(,2)m 上增，在(2,)+∞上减（舍） ∴4k ≠综上①②所述：存在5k =，2a e=-满足条件. ………………16分20.（1）证明：1()n n n n c b a a +=-，设{}n a 公差为d 且0d ≠，{}n b 公比为q ，⇒112111()()n n n n n n n n n nc b a a b q c b a a b ++++++-===-=常数，{}n c ∴为等比数列………3分 （2）由题意得：12n n c c +>对1,2,3,4n =恒成立且1+>n n c c 对17n ∀≥恒成立，…5分)2(1312t n b a c nn n n +⋅⎪⎭⎫⎝⎛==n t t n t n nn 282414)2(13122)22(13121-<⇒+⎪⎭⎫⎝⎛>++⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒+对4,3,2,1=n 恒成立744-<⇒t ………… ……7分)22(1312)2(13121++⎪⎭⎫ ⎝⎛>+⎪⎭⎫ ⎝⎛+t n t n n n n t 224->⇒对17n ≥恒成立10t ⇒>- ………… ……9分 44107t ∴-<<-而9,8,7t Z t ∈⇒=--- 27n a n ⇒=-或28n a n =-或29n a n =-. ………… ……10分（3）证明：设22112211,nn nn n n n n n a b A q b A q A q a c c A q ⎛⎫==⇒=⋅ ⎪⎝⎭不妨设A A A =12，n nn c Aq a q q q ⋅=⇒=1211n n n n n i i n Aq c c d Aq c =-⇒==-∑ ()1111(1)(2)nn n n i i i i d d d A q q n --==⇒=-=-≥∑∑，即1)1(--=n n qq A d (2)n ≥. ………… ……13分若1=q ，满足)2(0≥=n d n ， 若1>q ，则对任给正数M ，则n 取(log ,)(1)qMA q +∞-内的正整数时，M d n >，与M d Mn <<1矛盾. 若10<<q ，则对任给正数T =1M，则n 取))1((log ∞+-q A Tq内的正整数时T d n <=1M ，与M d Mn <<1矛盾. 1=∴q ，n n Ac a =∴而n a 是等差数列，设公差为d '，111()n n n n d c c a a A A++'∴-=-=为定值，n c ∴为等差数列. ………… ……16分 B 211121222n A m αλαλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⇒==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦2220242n n m m ⎧+==⎧⇒⇒⎨⎨+==⎩⎩ ……5分 （2）设1a b A c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⇒20102101a b E c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦1212200201211a a b b a c c b d d ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪=⎪⎪=∴⇒⎨⎨+=⎪⎪=-⎪⎪+==⎪⎪⎩⎩即110211A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦. ………………10分 21.C .解：（1）⊙M：227(()42x y -+-=，)3π对应直角坐系下的点为3)2, (2,)2π对应直角坐系下的点为(0,2)，∴⊙N：223(()122x y -+-=.……5分 （2）PQ =MN -3=431-=. ………………10分22.解：（1）2244y x y x=-⎧⇒⎨=⎩(4,4)A ，(1,2)B -，设A 12(,)4m m ，B 12(,)4n n ，122444(4)(4)44AT A T mk k m t m tm m m t m mt t =⇒=⇒-=-⇒-=--- 21(,)4t m t A t ⇒=-⇒-，同理：21(,2)B t t 22344.4t k kt t tt ⇒==⇒=-定值…5分 （2）A 1B 1：2242(),0(,0),(2,0)2t y t x t y N M t -=-=令得而1212122A B S y S S S y ==⇒=，1222441122488A A t t TN y S t t t S S S TM y t -⋅==⋅=⇒=⋅- 1223311(2)222444B A tt TN y S t t t S S S TM y t -⋅==⋅=⇒=⋅- 1234,,,S S S S 构成的等比数列，∴21t =而0t >⇒1t =. ………………10分23.解：如图以CB 、CA 分别为x ，y 轴，过C 作直线Cz //BC 1，以Cz 为z 轴)3,0,3(),0,3,0(),0,0,0(),0,0,3(1C A C B ∴)3,0,6()3,0,6(111B CB CC CB ⇒=+=111(3,3,3)(3,3,3)CA CC CA A =+=⇒（1）T 是△ABC 1重心1(2,1,1)(1,2,2)T TA ⇒⇒=设面ABC 1的法向量为1111(,,),(3,3,0)n x y z AB ==-1111111133003330x y z x y z x y -==⎧⎧⇒⇒⇒⎨⎨-+==⎩⎩取法向量)0,1,1(1=n11112cos ,,24TA n TA n π∴<>==⇒<>= 设TA 1与面ABC 1所成角为11,24TA n ππαα⇒=-<>=. ………………5分（2）T 在面ABC 1内，()133,3,3CT CB BT CB mBC nBA n n m =+=++=-，即)3,3,33(m n n T -.由1TB TC =得222222(33)(3)(3)(33)(3)(33)241n n m n n m m n -++=+++-⇒-+=-①设面CAA 1C 1法向量为22221(,,),(0,3,0),(3,0,3)n x y z CA CC ===22230330y x z =⎧⇒⇒⎨+=⎩取)1,0,1(2-=n 设面TA 1C 1法向量为3333111(,,),(0,3,0),(3,3,33)n x y z C A CT n n m ===--33303(33)0y nx m z =⎧⇒⇒⎨-+-=⎩取),0,1(3n m n -=，由平面11TAC ⊥平面11ACC A 得10)1(21,cos 2232+=⇒=+-⋅-->=<n m nm n m n n ②由①②解得23,21==m n ,∴存在点T ⎪⎭⎫⎝⎛29,23,23，TC =2. ………10分。
江苏省泰州中学2013届高三上学期摸底考试数学试题(含解析)
江苏省泰州中学2013-2014学年度第一学期高三数学考试试题 2013.8.31一、填空题 (请将答案填写在答题纸相应的位置)1．设集合A ={1，2，3}，B ={2，4，6}，则A ∩B =____▲______． 2．已知i 是虚数单位，若=b +i (a ,b)，则ab 的值为____▲______．3．某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为____▲______．4．设函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （a ）＞f （b ），则f （﹣a ）____▲_____f （﹣b ）（用“＞”或“＜”填空）．5．在平面直角坐标系x O y 中，已知=（3，﹣1），=（0，2）．若•=0，=λ，则实数λ的值为____▲______．6．如右图，该程序运行后输出的结果为____▲______．7．由命题“存在x ∈R ，使x 2+2x +m ≤0”是假命题，求得m 的取值范围是（a ，+∞），则实数a 的值是____▲______． 8．函数f (x )=2s in ()，x ∈[﹣π，0]的单调递减区间单间为____▲______．9．在集合{x |x =}中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cos x =的概率是____▲______．10．设中心在原点的双曲线与椭圆+y 2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是____▲______．11．已知点A （1，1）和点B （﹣1，﹣3）在曲线C ：y =ax 3+bx 2+d （a ，b ，d 为常数上，若曲线在点A 和点B 处的切线互相平行，则a 3+b 2+d =____▲______． 12．（5分）给出下列命题：（1）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； （3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m ，那么另一条直线也与直线m 垂直；（4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，所有真命题的序号为____▲______． 13．已知函数f （x ）=，当t ∈[0，1]时，f （f （t ））∈[0，1]，则实数t 的取值范围是____▲______．14．已知函数f （x ）=||x ﹣1|﹣1|，若关于x 的方程f （x ）=m （m ∈R ）恰有四个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2x 3x 4的取值范围是____▲______．二、解答题(本大题共6小题，共90分．请在答题纸．．．指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15.在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知.3tan )(222bc A a c b =-+（1）求角A ； （2）若a =2，求△ABC 面积S 的最大值.BA DCFE16．如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，BE ＝BC ，F 为CE 上的一点，且BF ⊥平面ACE ． （1）求证：AE ⊥BE ；（2）求证：AE ∥平面BFD ．17.有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定.大桥上的车距()d m 与车速(/)v km h 和车长()l m 的关系满足：l l kv d 212+=（k 为正的常数），假定车身长为4m ，当车速为60(/)km h 时，车距为2.66个车身长. (1) 写出车距d 关于车速v 的函数关系式;(2) 应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？18．给定圆P :222x y x +=及抛物线S :24y x =,过圆心P 作直线,此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为A B C D 、、、,如果线段AB BC CD 、、的长按此顺序构成一个等差数列,求直线的方程.19.已知以a 为首项的数列{}n a 满足：13,3,2, 3.n n n n na a a a a +->⎧=⎨≤⎩(1)若0＜n a ≤6，求证：0＜1n a +≤6;(2)若a ，k ∈N *，求使n k n a a +=对任意正整数n 都成立的k 与a ；20．已知(),P x y 为函数1ln y x =+图象上一点，O 为坐标原点，记直线OP 的斜率()k f x =．（1）若函数()f x 在区间1,3m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()0m >上存在极值，求实数m 的取值范围； （2）当 1x ≥时，不等式()1tf x x ≥+恒成立，求实数的取值范围； （3）求证：()*1ln[(1)]2ni i i n n N =⋅+>-∈∑．xyoAB CDP江苏省泰州中学2014届高三数学摸底考试教师讲评参考一、填空题1．设集合A={1，2，3}，B={2，4，6}，则A∩B={2}．考点：交集及其运算．专题：阅读型．分析：直接运用交集概念求得结果．解答：解：由集合A={1，2，3}，B={2，4，6}，所以A∩B={1，2，3}∩{2，4，6}={2}．故答案为{2}．点评：本题考查了交集及其运算，是会考题型，是基础题．2．已知i是虚数单位，若=b+i(a,b)，则ab的值为﹣3．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把给出的等式的左边利用复数的除法运算化简，然后利用复数相等的条件求出a，b的值，则答案可求．解答：解：由，得．所以b=3，a=﹣1．则ab=（﹣1）×3=﹣3．故答案为﹣3．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题．3．某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为0.032．考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：先计算数据的平均数后，再根据方差的公式计算．解答：解：数据9.7，9.9，10.1，10.2，10.1的平均数==10，方差=（0.09+0.01+0.01+0.04+0.01）=0.032．故答案为：0.032．点评：本题考查方差的定义．一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．4．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（a）＞f（b），则f（﹣a）＜f（﹣b）（用“＞”或“＜”填空）．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据奇函数的性质f（﹣x）=﹣f（x）求解．解答：解：根据奇函数的性质，f（﹣a）=﹣f（a），f（﹣b）=﹣f（b）；∵f（a）＞f（b），∴﹣f（a）＜﹣f（b），即f（﹣a）＜f（﹣b）．故答案是＜点评：本题考查函数的奇偶性．5．在平面直角坐标系x O y中，已知=（3，﹣1），=（0，2）．若•=0，=λ，则实数λ的值为2．考点：平面向量数量积的运算；平行向量与共线向量．专题：计算题；平面向量及应用．分析：根据向量、的坐标，得到=（﹣3，3），设=（m，n）可得•=﹣3m+3n=0．而=（m﹣3，n+1）=λ，得到m﹣3=0且n+1=2λ，两式联解即可得到实数λ的值．解答：解：∵=（3，﹣1），=（0，2）∴=﹣=（﹣3，3）设=（m，n），可得•=﹣3m+3n=0…①又∵=（m﹣3，n+1），=λ，∴m﹣3=0且n+1=2λ…②将①②联解，可得m=﹣3，n=﹣3，λ=2故答案为：2点评：本题给出向量、的坐标，再•=0且=λ的情况下求实数λ的值．着重考查了向量的平行与垂直、平面向量数量积的运算性质等知识，属于基础题．6．如图，该程序运行后输出的结果为16．考点：循环结构．专题：阅读型．分析：根据流程图，先进行判定条件，满足条件则运行循环体，一直执行到不满足条件即跳出循环体，求出此时的b即可．解答：解：第一次运行得：b=2，a=2，满足a≤3，则继续运行第二次运行得：b=4，a=3，满足a≤3，则继续运行第三次运行得：b=16，a=2，不满足a≤3，则停止运行输出b=16故答案为：16点评：本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．7．由命题“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，求得m的取值范围是（a，+∞），则实数a的值是1．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：由题意知“任意x∈R，使x2+2x+m＞0”是真命题，由二次函数的性质得△＜0，求出m的范围，结合题意求出a的值．解答：解：∵“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，∴“任意x∈R，使x2+2x+m＞0”是真命题，∴△=4﹣4m＜0，解得m＞1，故a的值是1．故答案为：1．点评：本题考查了二次函数恒成立问题，即根据二次函数图象开口方向和判别式的符号，列出等价条件求出对应的参数的范围．8．函数f(x)=2s in()，x∈[﹣π，0]的单调递减区间单间为．考点：正弦函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由x∈[﹣π，0]⇒z=x﹣∈[﹣，﹣]，利用正弦函数y=s inz在[﹣，﹣]上单调递增，即可求得答案．解答：解：∵x∈[﹣π，0]∴x﹣∈[﹣，﹣]，令z=x﹣，则z∈[﹣，﹣]，∵正弦函数y=s inz在[﹣，﹣]上单调递增，∴由﹣≤x﹣≤﹣得：﹣≤x≤0．∴函数f（x）=2s in（x﹣）在x∈[﹣π，0]的单调递增区间为[﹣，0]．故答案为[﹣，0]．点评：本题考查正弦函数的单调性，考查整体代入思想的应用，属于中档题．9．在集合中任取一个元素，所取元素恰好满足方程的概率是．考点：等可能事件的概率；空集的定义、性质及运算．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是古典概型，由集合中共有10个元素，然后我们分析各个元素，求出满足条件的基本事件个数，代入古典概型公式，即可得到结论．解答：解：∵集合中共有10个元素而当n=2和n=10时，故满足条件的基本事件个数为2故所取元素恰好满足方程的概率P==故答案为：点评：古典概型要求所有结果出现的可能性都相等，强调所有结果中每一结果出现的概率都相同．弄清一次试验的意义以及每个基本事件的含义是解决问题的前提，正确把握各个事件的相互关系是解决问题的关键．解决问题的步骤是：计算满足条件的基本事件个数，及基本事件的总个数，然后代入古典概型计算公式进行求解．10．设中心在原点的双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是2x2﹣2y2=1．考点：双曲线的标准方程；椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：欲求双曲线方程，只需求出双曲线中的a，b的值即可，根据双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点，求出椭圆中的c值，也即双曲线中的c值，再求出椭圆中的离心率，因为椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以可得双曲线中离心率，据此求出a值，再利用a，b，c之间的关系式，就可得到双曲线的方程．解答：解：椭圆+y2=1中c=1∵中心在原点的双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点∴双曲线中c=1，∵椭圆+y2=1的离心率为=，椭圆与双曲线的离心率互为倒数．∴双曲线的离心率为，∴双曲线中a=，b2=c2﹣a2=，b=∴双曲线的方程为2x2﹣2y2=1故答案为2x2﹣2y2=1．点评：本题主要考查了椭圆，双曲线的标准方程以及性质的应用．11．已知点A（1，1）和点B（﹣1，﹣3）在曲线C：y=ax3+bx2+d（a，b，d为常数上，若曲线在点A和点B处的切线互相平行，则a3+b2+d=7．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：曲线在点A和点B处的切线互相平行得，f′（1）=f′（﹣1），再结合点在曲线上则点的坐标适合方程建立方程组，解方程求出a、b、d值即可．解答：解：设f（x）═ax3+bx2+d，∵f′（x）=3ax2+2bx，∴f′（1）=3a+2b，f′（﹣1）=3a﹣2b．根据题意得3a+2b=3a﹣2b，∴b=0．又点A（1，1）和点B（﹣1，﹣3）在曲线C上，∴解得：a3+b2+d=7．故答案为：7．点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是一道中档题．12．给出下列命题：（1）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；（3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直；（4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，所有真命题的序号为（1）、（3）、（4）．考点：命题的真假判断与应用．专题：证明题．分析：根据面面垂直的判定定理，可判断（1）；根据平面与平面平行的判定定理，可判断（2）；根据空间直线夹角的定义，可判断（3），根据面面垂直的性质定理及反证法，可判断（4）解答：解：由面面垂直的判定定理可得若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，故（1）正确；如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，但两条直线平行时，得不到平面平行，故（2）错误；根据空间直线夹角的定义，可得两条平行直线与第三条直线的夹角相等，故若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直，即（3）正确；根据面面垂直的性质定理，若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直，故（4）正确故真命题有（1）、（3）、（4）三个故答案为：（1）、（3）、（4）点评：本题以命题的真假判断为载体考查了空间直线与平面的位置关系，熟练掌握空间线面关系的判定定理，性质定理及几何特征是解答的关键．13．已知函数当t∈[0，1]时，f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值范围是．考点：函数与方程的综合运用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：通过t的范围，求出f（t）的表达式，判断f（t）的范围，然后代入已知函数，通过函数的值域求出t的范围即可．解答：解：因为t∈[0，1]，所以f（t）=3t∈[1，3]，又函数，所以f （f （t ）=，因为f （f （t ））∈[0，1]， 所以解得：，又t ∈[0，1]，所以实数t 的取值范围．故答案为：．点评： 本题考查函数一方程的综合应用，指数与对数不等式的解法，函数的定义域与函数的值域，函数值的求法，考查计算能力．14．已知函数f （x ）=||x ﹣1|﹣1|，若关于x 的方程f （x ）=m （m ∈R ）恰有四个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2x 3x 4的取值范围是 （﹣3，0） ． 考点： 根的存在性及根的个数判断． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 画出函数f （x ）=||x ﹣1|﹣1|的图象，可得方程f （x ）=m （m ∈R ）恰有四个互不相等的实数根是地，m 的取值范围，进而求出方程的四个根，进而根据m 的范围和二次函数的图象和性质，可得x 1x 2x 3x 4的取值范围． 解答： 解：函数f （x ）=||x ﹣1|﹣1|的图象如下图所示：由图可知，若f （x ）=m 的四个互不相等的实数根，则m ∈（0，1） 且x 1，x 2，x 3，x 4分别为：x 1=m ，x 2=2﹣m ，x 3=m +2，x 4=﹣m ，∴x 1x 2x 3x 4=（m 2）2﹣4•m 2=（m 2﹣2）2﹣4∈（﹣3，0） 故答案为：（﹣3，0） 点评： 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中画出函数的图象，引入数形结合思想是解答本题的关键二、解答题(本大题共6小题，共90分．请在答题纸．．．指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15.（本小题满分14分）在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知.3tan )(222bc A a c b =-+（1）求角A ； （2）若a =2，求△ABC 面积S 的最大值.15.解：（1）由已知得23sin 23cos sin 2222AA A bc a c b ⇒=⋅-+ ……4分 又在锐角△ABC 中，所以A =60° ……7分BADCFE（第16题）（2）因为a =2，A =60°所以bc A bc S bc c b 43sin 21,422==+=+ ……8分 而424222≤⇒≥+⇒≥+bc bc bc bc c b ……10分 又344343sin 21=⨯≤==bc A bc S ……14分所以△ABC 面积S 的最大值等于316．（本小题满分14分）如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，BE＝BC ，F 为CE 上的一点，且BF ⊥平面ACE ． （1）求证：AE ⊥BE ；（2）求证：AE ∥平面BFD ．16．（1）证明：∵平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE =AB ，AD ⊥AB ，∴AD ⊥平面ABE ，AD ⊥AE ． ∵AD ∥BC ，则BC ⊥AE ． ………………………3分 又BF ⊥平面ACE ，则BF ⊥AE ． ∵BC ∩BF =B ，∴AE ⊥平面BCE ，∴AE ⊥BE ． ………………………7分（2）设AC ∩BD =G ，连接FG ，易知G 是AC 的中点，∵BF ⊥平面ACE ，则BF ⊥CE ．而BC=BE ，∴F 是EC 中点． …………………10分 在△ACE 中，FG ∥AE ，∵AE ⊄平面BFD ，FG ⊂平面BFD ，∴ AE ∥平面BFD ． ………………………14分17.（本题满分14分）有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定.大桥上的车距()d m 与车速(/)v km h 和车长()l m 的关系满足：l l kv d 212+=（k 为正的常数），假定车身长为4m ，当车速为60(/)km h 时，车距为2.66个车身长.(3) 写出车距d 关于车速v 的函数关系式;(4) 应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？17．⑴因为当60v =时，l d 66.2=，所以0006.06016.2602166.222==-=l ll k ，∴20.00242d v =+ . …………6分⑵设每小时通过的车辆为Q ，则10004=+v Q d ．即Q 21000100060.002460.0024v v v v==++ ∵660.00240.00240.24v v v v +⨯=≥2，∴1000125000.243Q =≤，当且仅当60.0024v v =，即50v =时，Q 取最大值125003 (13x)yoAB P G BA DCFE分答：当()50v =km /h 时，大桥每小时通过的车辆最多．…………14分18．（本小题满分16分）给定圆P :222x y x +=及抛物线S :24y x =, 过圆心P 作直线,此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次 记为A B C D 、、、,如果线段AB BC CD 、、的长按此顺序构成一 个等差数列,求直线的方程.18．解：圆P 的方程为()2211x y -+=,则其直径长2B C =,圆心为()1,0P ,设的方程为1ky x =-,即1x ky =+,代入抛物线方程得:244y ky =+,设()()1122,, ,A x y D x y ，有121244y y k y y +=⎧⎨=-⎩,则222121212()()416(1)y y y y y y k -=+-=+.故222222212121212||()()()()4y y AD y y x x y y -=-+-=-+22221212()[1()]16(1)4y y y y k +=-+=+,因此2||4(1)AD k =+. …… 8分据等差，2BC AB CD AD BC =+=-,所以36AD BC ==，即()2416k +=,22k =±，………14分 即：方程为220x y --=或220x y +-=. ………16分19.(本小题满分16分)已知以a 为首项的数列{}n a 满足：13,3,2, 3.n n n n na a a a a +->⎧=⎨≤⎩(1)若0＜n a ≤6，求证：0＜1n a +≤6;(2)若a ，k ∈N ﹡，求使n k n a a +=对任意正整数n 都成立的k 与a ；19．（1）当]3,0(∈n a 时，则∈=+n n a a 21]6,0(，当]6,3(∈n a 时，则]3,0(31∈-=+n n a a , 故]6,0(1∈+n a ，所以当60≤<n a 时，总有601≤<+n a ． …………8分 （2）①当1=a 时，1,4,2432===a a a ，故满足题意的∈=t t k ,3N *． 同理可得，当2=a 或4时，满足题意的∈=t t k ,3N *． 当3=a 或6时，满足题意的∈=t t k ,2N *．②当5=a 时，1,4,2432===a a a ，故满足题意的k 不存在． ③当7≥a 时，由（1）知，满足题意的k 不存在．综上得：当421，，a =时，满足题意的∈=t t k ,3N *； 当63，a =时，满足题意的∈=t t k ,2N *．…………16分 20．（本小题满分16分）已知(),P x y 为函数1ln y x =+图象上一点，O 为坐标原点，记直线OP 的斜率()k f x =．xyo ABCDP（1）若函数()f x 在区间1,3m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()0m >上存在极值，求实数m 的取值范围； （2）当 1x ≥时，不等式()1tf x x ≥+恒成立，求实数的取值范围； （3）求证：()*1ln[(1)]2ni i i n n N =⋅+>-∈∑．解：（1）由题意()1ln x k f x x +==，0x >,所以()21ln ln x x f x x x '+⎛⎫'==- ⎪⎝⎭…………………2分当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，故()f x 在1x =处取得极大值． 因为函数()f x 在区间1,3m m ⎛⎫+⎪⎝⎭（其中0m >）上存在极值， 所以01113m m <<⎧⎪⎨+>⎪⎩，得213m <<．即实数m 的取值范围是213⎛⎫⎪⎝⎭，． ……………4分 （2）由()1t f x x ≥+得()()11ln x x t x ++≤，令()()()11ln x x g x x++=，则()2ln x xg x x-'=． ……………………………………………………6分 令()ln h x x x =-，则()111=x h x x x-'=-， 因为1,x ≥所以()0h x '≥,故()h x 在[)1+∞，上单调递增．……………………8分 所以()()110h x h ≥=>,从而()0g x '>()g x 在[)1+∞，上单调递增, ()()12g x g ≥=所以实数的取值范围是(],2-∞． …………………………………………10分 （3）由(2) 知()21f x x ≥+恒成立, 即1ln 2122ln 11111x x x x x x x x+-≥⇔≥=->-+++ ……………………12分 令()1,x n n =+则()()2ln[1]11n n n n +>-+，……………………14分所以()2ln 12112⨯>-⨯， ()2ln 23123⨯>-⨯，……,()()2ln 111n n n n +>-+．将以上n 个式子相加得：()1111ln[(i 1)]212231ni i n n n =⎡⎤+>-++⋅⋅⋅+⎢⎥⨯⨯+⎣⎦∑ 12121n n n ⎛⎫=-->- ⎪+⎝⎭，故()*1ln[(i 1)]2ni i n n N =+>-∈∑． …………………………………16分江苏省泰州中学2013-2014学年度第一学期高三数学考试试题参考答案 2013.8.31一、填空题1．设集合A ={1，2，3}，B ={2，4，6}，则A ∩B = {2} ． 2．已知i 是虚数单位，若=b +i (a ,b)，则ab 的值为 ﹣3 ．3．某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为 0.032 ．4．设函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （a ）＞f （b ），则f （﹣a ） ＜ f （﹣b ）（用“＞”或“＜”填空）．5．在平面直角坐标系x O y 中，已知=（3，﹣1），=（0，2）．若•=0，=λ，则实数λ的值为 2 ．6．如图，该程序运行后输出的结果为 16 ．7．由命题“存在x ∈R ，使x 2+2x +m ≤0”是假命题，求得m 的取值范围是（a ，+∞），则实数a 的值是 1 ．8．函数f (x )=2s in ()，x ∈[﹣π，0]的单调递减区间单间为 ．9．在集合{x |x =}中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cos x =的概率是 ．设中心在原点的双曲线与椭圆+y 2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是 2x 2﹣2y 2=1 ．11．已知点A （1，1）和点B （﹣1，﹣3）在曲线C ：y =ax 3+bx 2+d （a ，b ，d 为常数上，若曲线在点A 和点B 处的切线互相平行，则a 3+b 2+d = 7 ． 12．（5分）给出下列命题：（1）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； （3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m ，那么另一条直线也与直线m 垂直；（4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，所有真命题的序号为 （1）、（3）、（4） ． 13．已知函数f （x ）=，当t ∈[0，1]时，f （f （t ））∈[0，1]，则实数t 取值范围是 ．14．已知函数f （x ）=||x ﹣1|﹣1|，若关于x 的方程f （x ）=m （m ∈R ）恰有四个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2x 3x 4的取值范围是 （﹣3，0） ．二、解答题15. （本小题满分14分）在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知.3tan )(222bc A a c b =-+（1）求角A ； （2）若a =2，求△ABC 面积S 的最大值.解：（1）由已知得23sin 23cos sin 2222A A A bc a c b ⇒=⋅-+ ……4分又在锐角△ABC 中，所以A =60° ……7分 （2）因为a =2，A =60°所以bc A bc S bc c b 43sin 21,422==+=+ ……8分 而424222≤⇒≥+⇒≥+bc bc bc bc c b ……10分又344343sin 21=⨯≤==bc A bc S ，所以△ABC 面积S 的最大值等于3。
江苏省泰州市2014届高三上学期期末考试数学试卷(WORD版,有答案)
泰州市2013～2014学年度第一学期期末考试高三数学试题(考试时间：120分钟 总分：160分)注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．已知集合{}1,6,9A =，{}1,2B =，则A B = ▲ ．2．复数(1i +2)a bi =+（,a b 是实数，i 是虚数单位），则a b +的值为 ▲ ． 3．函数2log (3)y x =-的定义域为 ▲ ．4．为了解某地区的中小学生视力情况，从该地区的中小学生中用 分层抽样的方法抽取300位学生进行调查，该地区小学，初中， 高中三个学段学生人数分别为1200，1000，800，则从初中 抽取的学生人数为 ▲ ．5．已知一个算法的流程图如右图，则输出的结果S 的值是 ▲ ．6．在ABC ∆中，2BD DC = ，若12AD AB AC λλ=+，则12λλ的值为 ▲ ． 7．将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数．则点数相同的概率是 ▲ ． 8．如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，D 为棱1AA 的中点．若14AA =，2AB =，则四棱锥1B ACC D -的体积为 ▲ ．9．以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为 ▲ ． 10．设函数()()f x x a x a b =--+（,a b 都是实数）．则下列叙述中，正确的序号是 ▲ ．（请把所有叙述正确的序号都填上） ①对任意实数,a b ，函数()y f x =在R 上是单调函数； ②存在实数,a b ，函数()y f x =在R 上不是单调函数；第5题开始 是 输出S 否 n ←1，S ←0n ≤3S ←2S +1 n ←n +1结束DCBA 1B 1C 1A第8题③对任意实数,a b ，函数()y f x =的图像都是中心对称图形； ④存在实数,a b ，使得函数()y f x =的图像不是中心对称图形． 11．已知在等差数列{}n a 中，若22m n p s t r ++=++，,,,,,m n p s t r ∈N *则22m n p s t r a a a a a a ++=++，仿此类比，可得到等比数列{}n b 中的一个正确命题：若22m n p s t r ++=++，,,,,,m n p s t r ∈N *，则 ▲ ．12．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2468120a a a a =，且4682682482461111760a a a a a a a a a a a a +++=，则9S 的值为 ▲ ． 13．在平面直角坐标系中，()0,0,(1,2)A B 两点绕定点P 顺时针方向旋转θ角后，分别到()4,4,A '(5,2)B '两点，则cos θ的值为 ▲ ．14．已知函数()3f x x a =+与函数()32g x x a =+在区间(,)b c 上都有零点，则2222242a ab ac bc b bc c+++-+的最小值为 ▲ ． 二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15． （本题满分14分）已知函数()2sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求函数()y f x =的最小正周期及单调递增区间； （2）若06()85f x π-=-，求0()f x 的值.16． （本题满分14分）如图，在四棱锥E ABCD -中，ABD ∆为正三角形，,EB ED CB CD ==.（1）求证：EC BD ⊥；（2）若A B B C ⊥，,M N 分别为线段,AE AB 的中点，求证：平面//DMN 平面BEC .N MABDCE17． （本题满分15分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>和圆O ：222x y a +=，()()121,0,1,0F F -分别是椭圆的左、右两焦点，过1F 且倾斜角为α0,2πα⎛⎫⎛⎤∈ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点，交圆O 于,P Q 两点（如图所示，点A 在x 轴上方）．当4πα=时，弦PQ 的长为14．（1）求圆O 与椭圆C 的方程；（2）若点M 是椭圆C 上一点，求当22,,AF BF AB 成等差数列时，MPQ ∆面积的最大值.18． （本题满分15分）某运输装置如图所示，其中钢结构ABD 是AB BD l ==，3B π∠=的固定装置，AB 上可滑动的点C 使CD 垂直于底面（C 不与,A B 重合），且CD 可伸缩（当CD 伸缩时，装置ABD 随之绕D 在同一平面内旋转），利用该运输装置可以将货物从地面D 处沿D C A →→运送至A 处，货物从D 处至C 处运行速度为v ，从C 处至A 处运行速度为3v ．为了使运送货物的时间t 最短，需在运送前调整运输装置中DCB θ∠=的大小.（1）当θ变化时，试将货物运行的时间t 表示成θ的函数（用含有v 和l 的式子）； （2）当t 最小时，C 点应设计在AB 的什么位置？19． （本题满分16分）设函数x ae x x f +=41121)(（其中a 是非零常数，e 是自然对数的底），记1()()n n f x f x -'=（2≥n ，n ∈N *）（1）求使满足对任意实数x ，都有)()(1x f x f n n -=的最小整数n 的值（2≥n ，n ∈N *）； （2）设函数)()()()(54x f x f x f x g n n +⋯++=，若对5≥∀n ，n ∈N *，)(x g y n =都存在极值点n t x =，求证：点))(,(n n n n t g t A （5≥n ，n ∈N *）在一定直线上，并求出该直线方程； （注：若函数)(x f y =在0x x =处取得极值，则称0x 为函数)(x f y =的极值点.）DCy xP AQBF 1O F 2（3）是否存在正整数()4k k ≥和实数0x ，使0)()(010==-x f x f k k 且对于n ∀∈N *，)(x f n 至多有一个极值点，若存在，求出所有满足条件的k 和0x ，若不存在，说明理由．20． （本题满分16分）己知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，数列{}n b 是等比数列． （1）若()1n n n n c a a b +=-（n ∈N *），求证：{}n c 为等比数列；（2）设n n n b a c =（n ∈N *），其中n a 是公差为2的整数项数列，nn b ⎪⎭⎫⎝⎛=1312，若1234516842c c c c c >>>>，且当17n ≥时，{}n c 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式；（3）若数列{}n c 使得⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n n c b a 是等比数列，数列{}nd 的前n 项和为n nn c c a -，且数列{}n d 满足：对任意2n ≥，n ∈N *,或者0n d =恒成立或者存在正常数M ，使M d Mn <<1恒成立，求证：数列{}n c 为等差数列．2013～2014学年度第一学期期末考试高三数学试题(附加题)21．［选做题］请考生在A 、B 、C 、D 四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分． A ．（本小题满分10分，几何证明选讲）如图，AB 是O 的一条直径，,C D 是O 上不同于,A B 的两点，过B 作O 的切线与AD 的延长线相交于点M ，AD 与BC 相交于N 点，BN BM =． （1）求证：NBD DBM ∠=∠； （2）求证：AM 是BAC ∠的角平分线． B ．（本小题满分10分，矩阵与变换）CNMBOADM已知矩阵21n A m ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征根为2λ=，它对应的一个特征向量为12α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ． （1）求m 与n 的值； （2）求1A -． C ．（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲）己知在平面直角坐标系xOy 中，圆M 的参数方程为532cos 272sin 2x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（θ为参数），以Ox 轴为极轴，O 为极点建立极坐标系，在该极坐标系下，圆N 是以点3,3π⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，且过点)2,2(π的圆．（1）求圆M 及圆N 在平面直角坐标系xOy 下的直角坐标方程； （2）求圆M 上任一点P 与圆N 上任一点Q 之间距离的最小值．D ．（本小题满分10分，不等式选讲）已知：1a b c ++=，,,0a b c >． (1)求证：127abc ≤； (2)求证：2223a b c abc ++≥．［必做题］第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)己知直线42:-=x y l 与抛物线:C x y 42=相交于,A B 两点，(),0(0T t t >且2t ≠）为x 轴上任意一点，连接,AT BT 并延长与抛物线C 分别相交于11,A B ． （1）设11A B 斜率为k ，求证：k t ⋅为定值； （2）设直线11,AB A B 与x 轴分别交于,M N ，令111234,,,ATM BTM B TN ATN S S S S S S S S ∆∆∆∆====， MNA 1B 1ACBTC 1若1234,,,S S S S 构成等比数列，求t 的值．23．(本小题满分10分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆为直角三角形，2ACB π∠=，顶点1C 在底面ABC ∆内的射影是点B ，且13AC BC BC ===，点T 是平面1ABC 内一点． （1）若T 是1ABC ∆的重心，求直线1AT 与平面1ABC 所成角； （2）是否存在点T ，使1T B T C=且平面11TAC ⊥平面11ACC A ，若存在，求出线段TC 的长度，若不存在，说明理由．2013～2014学年度第一学期期末考试高三数学参考答案一、填空题1．{}1； 2．2； 3．{}|3x x >； 4．100； 5．7；6． 29； 7．16； 8．23； 9．22(5)16x y -+=； 10．①③； 11．()()22m n p s t r b b b b b b =； 12．632； 13．35- ； 14．1-.二、解答题 15.（1）22T ππ==， ………………2分 增区间为31,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦； ………………6分（2）06()85f x π-=-即03sin(2)5x =-，所以04cos(2)5x =±， ………………10分 ()00002()2sin(2)2sin 2cos 245f x x x x π=+=+=或725-. ………14分16.（1）取BD 的中点O ，连结EO ，CO ，∵△ABC 为正三角形，且CD=CB∴CO ⊥BD ，E O ⊥BD ………………4分MDE又0CO EO = ，∴BD ⊥平面EOC ，∵⊂EC 平面EOC ∴BD ⊥EC . ………………7分 （2）∵N 是AB 中点，ABD ∆为正三角形，∴DN ⊥AB ，∵BC ⊥AB ，∴DN //BC ，∵BC ⊂平面BCE DN ⊄平面BCE ，∴BC //平面BCE ， ………………10分 ∵M 为AE 中点，N 为AB 中点，∴MN //BE ，∵MN ⊄平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，∴MN //平面BCE ， ………………12分 ∵MN DN =N ，∴平面MND //平面BCE . ………………14分17.解：（1）取PQ 的中点D ，连OD ，OP由4πα=，1c =，知22OD =2221444PQ PQ OQ OD =∴=+=224,3a b ∴==∴椭圆C 的方程为：22143x y +=，22:4O x y += ， ………………4分 （2）设22,AF s BF t ==，121224,24AF AF a BF BF a +==+==， ………………6分22,,AF BF AB 的长成等差数列，8283t s s t t ∴=+--∴=设00(,)B x y ，由2200220064(1)9143x y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得415(,)33B --， ………………10分 15k ∴=，:15(1)PQ y x ∴=+，72PQ ∴=. ………………12分 易求得椭圆上一点到直线PQ 的距离的最大值是37154+，所以MPQ ∆的面积的最大值是21771516+. ………………15分B QOF 1 F 2x A P Dyl18.解：（1）在BCD ∆中,,3BCD B BD l πθ∠=∠==sin(120)sin l BC θθ︒-∴=，32sin lCD θ= ………………4分sin(120)sin l AC AB BC l θθ︒-∴=-=-，则sin(120)3333sin 2sin AC CD l l lt v v v v v θθθ︒-=+=-+，2()33ππθ<< … ……8分 （2）t =3cos 3(1)6sin 2sin l l v v θθθ-+33cos 66sin l l v v θθ-=+⋅………………10分 令3cos ()sin m θθθ-=，则'213cos ()sin m θθθ-= ………………12分令'()0m θ=得1cos 3θ=，设01cos 3θ= 02(,)33ππθ∈，则0(,)3πθθ∈时，'()0m θ<；02(,)3πθθ∈时'()0m θ> 1cos 3θ∴=时()m θ有最小值22，此时648BC l +=. ………………14分 答：当648BC l +=时货物运行时间最短. ………………15分19．（1）411()12x f x x ae =+，321()3x f x x ae =+，23()x f x x ae =+，24()2x f x x ae =+，5()2x f x ae =+，6()x f x ae =，'()(6)x n f x ae n =≥，min 7n ∴=. ………………4分（2）()(2)(2)x x x x n g x x ae ae ae ae =+++++⋅⋅⋅+(22)(3)xx n ae =++-⋅ ①………………6分'()2(3)x n g x n ae =+-存在极值点n x t =⇒'()2(3)0n t n n g t n ae =+-= ② '()22(3)2n t n n n n g t t n ae t ⇒=++-= ………………8分n A ⇒在直线2y x =上. ………………9分（3）()0(6)xn f x ae n ==≥无解，5k ⇒≤ ………………10分①当5k =时，004500202()()0120x x ae f x f x x a e x ae ⎧+===⇒⇒=⇒=-⎨+=⎩ 而当2a e=-时，165()0()222x x x f x ae f x ae e -=<⇒=+=-单调减，且5(1)0f = 4()f x ⇒在(,1)-∞上增，(1,)+∞上减，44(1)0()0f f x =⇒≤ 恒成立.3()f x ⇒单调减，而21133322()2,(1)10,(0)20x f x x e f f e e--=--=->=-< ()3(1,0),0t f t ∃∈-=在(,)t -∞上32()0()f t f x <⇒在(,)t -∞上增，(,)t +∞上减，3121()23t f t t e -=-，又213223211()20,()(1)033t f t t e f t t t t t -=-=∴=-=-<1()f t ∴在R 上单调减综上所述，∴存在5k =，2a e=-满足条件. ………………13分 ②当4k =时，002400300()2()0x xf x x ae f x x ae =+==+=，即00x =或2当00x =时4(0)0f a ==（舍） 当02x =时2424(2)40f ae a e =+=⇒=-2624()40x x f x e e e-⇒=-=-< 25()24x f x e -⇒=-单调减，且5()0f x =时，2ln 2x =- 4()f x ⇒在(,2ln 2)-∞-上增，(2ln 2,)-+∞上减，而4(2)0f =2ln 2m ⇒∃<-使得在(,)m -∞上，4()0f x <，在(,2)m 上4()0f x >，在(2,)+∞上，4()0f x <3()f x ⇒在(,)m -∞上减，在(,2)m 上增，在(2,)+∞上减（舍）∴4k ≠综上①②所述：存在5k =，2a e=-满足条件. ………………16分20.（1）证明：1()n n n n c b a a +=-，设{}n a 公差为d 且0d ≠，{}n b 公比为q ，⇒112111()()n n n n n n n n n nc b a a b q c b a a b ++++++-===-=常数，{}n c ∴为等比数列………3分（2）由题意得：12n n c c +>对1,2,3,4n =恒成立且1+>n n c c 对17n ∀≥恒成立，…5分)2(1312t n b a c nn n n +⋅⎪⎭⎫⎝⎛==n t t n t n nn 282414)2(13122)22(13121-<⇒+⎪⎭⎫⎝⎛>++⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒+对4,3,2,1=n 恒成立744-<⇒t ………… ……7分 )22(1312)2(13121++⎪⎭⎫ ⎝⎛>+⎪⎭⎫ ⎝⎛+t n t n n nn t 224->⇒对17n ≥恒成立10t ⇒>- ………… ……9分44107t ∴-<<-而9,8,7t Z t ∈⇒=--- 27n a n ⇒=-或28n a n =-或29n a n =-. ………… ……10分（3）证明：设22112211,nn nn n n n n n a b A q b A q A q a c c A q ⎛⎫==⇒=⋅ ⎪⎝⎭不妨设A A A =12，n nn c Aq a q q q ⋅=⇒=1211n nn n n i i n Aq c c d Aq c =-⇒==-∑()1111(1)(2)nn n n i i i i d d d A q q n --==⇒=-=-≥∑∑，即1)1(--=n n qq A d (2)n ≥. ………… ……13分若1=q ，满足)2(0≥=n d n ， 若1>q ，则对任给正数M ，则n 取(log ,)(1)qMA q +∞-内的正整数时，M d n >，与M d Mn <<1矛盾. 若10<<q ，则对任给正数T =1M ，则n 取))1((log ∞+-q A Tq内的正整数时T d n <=1M ，与M d Mn <<1矛盾. 1=∴q ，n n Ac a =∴而n a 是等差数列，设公差为d '，111()n n n n d c c a a A A++'∴-=-=为定值，n c ∴为等差数列. ………… ……16分 附加题参考答案21.A ．证明：（1）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =90°而BN =BM ⇒△BNM 为等腰三角形⇒BD 为∠NBM 的角平分线⇒∠DBC =∠DBM. ………………5分 （2）BM 是⊙O 的切线，DBM DAB CBD CAD DAB DAC DBC DBM ∠=∠⎫⎪∠=∠⇒∠=∠⎬⎪∠=∠⎭⇒AM 是∠CAB 的角平分线. ………………10分21.B .解：（1）由题意得：211121222n A m αλαλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⇒==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 2220242n n m m ⎧+==⎧⇒⇒⎨⎨+==⎩⎩ ……5分 （2）设1a b A c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⇒20102101a b E c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦1212200201211a a b b a c c b d d ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪=⎪⎪=∴⇒⎨⎨+=⎪⎪=-⎪⎪+==⎪⎪⎩⎩即110211A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦. ………………10分 21.C .解：（1）⊙M ：22537()()422x y -+-=，(3,)3π对应直角坐系下的点为33(,)22,(2,)2π对应直角坐系下的点为(0,2)，∴⊙N ：2233()()122x y -+-=.……5分（2）PQ =MN -3=431-=. ………………10分21.D .证明：（1）33a b c abc ++≥⋅，而1a b c ++=127abc ⇒≤，当且仅当13a b c ===时取“=”. ………………5分 （2）柯西不等式222211()33a b c a b c ++≥++=，由（1）知313abc ≤2223a b c abc ∴++≥，当且仅当a b c ==时取“=”. ………………10分22.解：（1）2244y x y x=-⎧⇒⎨=⎩(4,4)A ，(1,2)B -，设A 12(,)4m m ，B 12(,)4n n ，122444(4)(4)44AT A T m k k m t m tm m m t m mt t =⇒=⇒-=-⇒-=--- 21(,)4t m t A t ⇒=-⇒-，同理：21(,2)B t t 22344.4t k kt t tt ⇒==⇒=-定值…5分 （2）A 1B 1：2242(),0(,0),(2,0)2t y t x t y N M t -=-=令得而1212122A B S y S S S y ==⇒=，1222441122488A A t t TN y S t t t S S S TM y t -⋅==⋅=⇒=⋅- 1223311(2)222444B A tt TN y S t t t S S S TM y t -⋅==⋅=⇒=⋅- 1234,,,S S S S 构成的等比数列，∴21t =而0t >⇒1t =. ………………10分23.解：如图以CB 、CA 分别为x ，y 轴，过C 作直线Cz //BC 1，以Cz 为z 轴)3,0,3(),0,3,0(),0,0,0(),0,0,3(1C A C B ∴)3,0,6()3,0,6(111B CB CC CB ⇒=+= 111(3,3,3)(3,3,3)CA CC CA A =+=⇒（1）T 是△ABC 1重心1(2,1,1)(1,2,2)T TA ⇒⇒=设面ABC 1的法向量为1111(,,),(3,3,0)n x y z AB ==-1111111133003330x y z x y z x y -==⎧⎧⇒⇒⇒⎨⎨-+==⎩⎩取法向量)0,1,1(1=n 111132cos ,,2432TA n TA n π∴<>==⇒<>=⋅设TA 1与面ABC 1所成角为11,24TA n ππαα⇒=-<>= . ………………5分（2）T 在面ABC 1内，()133,3,3CT CB BT CB mBC nBA n n m =+=++=-，x y zA 1B 1ACBTC 1即)3,3,33(m n n T -.由1TB TC =得222222(33)(3)(3)(33)(3)(33)241n n m n n m m n -++=+++-⇒-+=-①设面CAA 1C 1法向量为22221(,,),(0,3,0),(3,0,3)n x y z CA CC ===22230330y x z =⎧⇒⇒⎨+=⎩取)1,0,1(2-=n 设面TA 1C 1法向量为3333111(,,),(0,3,0),(3,3,33)n x y z C A CT n n m ===--33303(33)0y nx m z =⎧⇒⇒⎨-+-=⎩取),0,1(3n m n -=，由平面11TAC ⊥平面11ACC A 得10)1(21,cos 2232+=⇒=+-⋅-->=<n m nm n m n n ②由①②解得23,21==m n ,∴存在点T ⎪⎭⎫⎝⎛29,23,23，TC =3112. ………10分。
2013年全国普通高等学校招生统一考试数学(江苏卷带解析)答案解析
2013年全国普通高等学校招生统一考试（江苏卷）数学答案解析1、【答案】【解析】∵函数的周期为，∴函数的最小正周期.2、【答案】5【解析】∵，∴.3、【答案】【解析】依题意，，，∴双曲线的两条渐近线的方程为.4、【答案】8【解析】因为集合中有3个元素，其子集有个.5、【答案】3【解析】输入，，执行，后；输入，，执行，后；输出.6、【答案】2【解析】由表中数据知，乙运动员成绩稳定，平均成绩，方差.7、【答案】【解析】∵，，且、，基本事件的总数是种，、都取到奇数的事件有种，由古典概型公式，、都取到奇数的概率为. 【考点定位】考查奇数、偶数的定义，古典概型.注意古典概型与几何概型的区别.容易题.8、【答案】【解析】依题意，，三棱锥的高为三棱柱的高的. ∴.【考点定位】三棱柱与三棱锥的体积，三角形中位线定理，相似三角形的面积比等于相似比的平方.空间想象能力.中等题.9、【答案】【解析】∵，∴，，而当时，即切点为，切线方程为，即，切线与两坐标轴围成的三角形区域为如图，令，由图知，当斜率为的直线经过，取得最大值，即；当斜率为的直线经过，取得最大值，即. 故的取值范围是.【考点定位】.导数的集合意义，不等式表示的平面区域，线性规划求目标函数的取值范围. 中等题.10、【答案】【解析】依题意，，∴，∴，，故.【考点定位】平面向量的加法、减法法则.分析、计算能力.中等题.11、【答案】【解析】∵当时，，令，，∴，又是定义在上的奇函数，∴，∴，即时，. 要，则或或，解得或，∴不等式的解集用区间为.【考点定位】分段函数，函数的奇偶性，一元二次不等式的解法. 考查计算能力.中等题.12、【答案】【解析】依题意，作于，则，又，解得，而椭圆准线的方程为，，设直线与轴交于，则点到直线的距离，∵，∴，整理的，两边平方，，∴，又，解得.【考点定位】椭圆的性质、点到直线的距离公式，考查分析转化能力、计算能力.中等题.13、【答案】【解析】依题意，定点在直线上，直线与曲线的交点，，由两点间的距离公式得这两点间的距离为，∴满足条件.设，则设，∵，∴，，即，解得，而，∴.故满足条件的实数的所有值为，【考点定位】考查函数与的图象性质，两点间的距离公式，考查不等式的性质、二次函数的最值. 较难题.14、【答案】12【解析】∵正项等比数列中，，.∴，，∴，解得或（舍去），∴，∴，∴，.∴当，即，取，不成立；取，成立；…取，成立；取，成立；取，不成立；故满足的最大正整数的值为12.【考点定位】等比数列的性质，考查分析转化能力、计算能力.较难题.15、【答案】（1）见解析（2），.【解析】由题意，，即，又因为，∴，即，∴.（2），∴，由此得，由，得，又，故，代入得，而，∴，.【考点定位】本小题主要考查平面向量的加法、减法、数量积、三角函数的基本关系、有道公式等基础只晒，考查运算求解能力和推理论证能力.16、【答案】见解析【解析】[证明]（1）∵，，垂足为，∴是的中点，又因为是的中点，∴∥，∵平面，平面，∴∥平面；同理∥平面. 又，∴平面∥平面.（2）∵平面平面，且交线为，又平面，，∴平面，∵平面，∴，又因为，，、平面，∴平面，∵平面，∴.【考点定位】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.17、【答案】（1）或（2）【解析】（1）由题意，圆心是直线和的交点，解得点，于是切线的斜率必存在，设过的圆的切线方程为，由题意，，解得或，故所求切线方程为或.（2）∵圆心在直线上，∴圆的方程为，设，∵，∴，化简整理得，∴点在以为圆心，2为半径的圆上，由题意，在圆上，∴圆与圆有公共点，则，即，由得，由，得，所以点的横坐标的取值范围是.【考点定位】本小题主要考查直线与圆的方程，考查直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系，等基础知识，考查运用数形结合、待定系数法等数学思想方法分析解决问题的能力.18、【答案】（1）m （2）（3）（单位：m/min）【解析】（1）在中，∵，，∴，，从而.由正弦定理，得，所以索道的长为1040（m）.（2）假设乙出发分钟后，甲、乙两游客距离为，此时，甲行走了m，乙距离处m，由余弦定理得，∵，即，故当(min)时，甲、乙两游客距离最短.（3）由正弦定理，，得（m），乙从出发时，甲走了（m），还需要走（m）才能到达，设乙步行的速度为m/min，由题意，，解得，∴为使两游客在处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在（单位：m/min）范围内.【考点定位】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、二次函数的最值以及三角函数的基本关系、两角和的正弦等基础知识，考查数学阅读能力和分析解决实际问题的能力.19、【答案】见解析【解析】[证明]（1）由题设，，由，得，又，，成等比数列，∴，即，化简得，∵，∴.因此对于所有的，从而对于所有的，.（2）设数列的公差为，则，即，，代入的表达式，整理得，对于所有的有，令，，，则对于所有的有，在上式中取，∴，从而有，由②③得，代入①得，从而，即，，，若，则由得，与题设矛盾，∴，又，∴. 【考点定位】本小题主要考查等差、等比数列的定义、通项、求和等基础知识，考查分析转化以及推理论证能力.20、【答案】（1）（2）当或时，的零点个数为1；当时，的零点个数为2.【解析】（1）∵，考虑到函数的定义域为，故，进而解得，即在上是单调减函数. 同理，在上是单调增函数.由于在是单调减函数，故，从而，即. 令，得，当时，；当时，，又在上有最小值，所以，即，综上所述，.（2）当时，必是单调增函数；当时，令，解得，即，∵在上是单调函数，类似（1）有，即，综合上述两种情况，有.①当时，由以及，得存在唯一的零点；②当时，由于，，且函数在上的图象不间断，∴在是单调增函数，∴在上存在零点. 另外，当时，，则在上是单调增函数，只有一个零点.③当时，令，解得.当时，；当时，. ∴是的最大值点，且最大值为.1)当，即时，有一个零点.2)当，即时，有两个零点. 实际上，对于，由于，，且函数在上的图象不间断，∴在上存在零点.另外，当时，，故在上是单调增函数，∴在上有一个零点.下面需要考虑在上的情况，先证，为此，我们要证明：当时，，设，则，再设，则.当时，，∴在上是单调增函数，故当时，，从而在上是单调增函数，进而当时，，即当时，.当，即时，，又，且函数在的图象不间断，∴在上存在零点.又当时，，故在是单调减函数，所以，在上只有一个零点.综上所述，当或时，的零点个数为1；当时，的零点个数为2.【考点定位】本小题主要考查导数的运算及用导数研究函数的性质，考查函数、方程及不等式的相互转化，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题及推理论证能力.21、【答案】见解析【解析】[证明]连结，∵和分别与圆相切于、，∴，又，∴，∴，而，∴.【考点定位】本小题主要考查圆的切线性质、相似三角形判定与性质，考查推理论证能力.22、【答案】【解析】设矩阵的逆矩阵为，则，即，∴，，，，从而，的逆矩阵为，∴.【考点定位】本小题主要考查逆矩阵、矩阵的乘法，考查运算求解能力.23、【答案】.【解析】因为直线的参数方程为，（为参数），由，得代入得到直线的普通方程为.同理得曲线的普通方程为.联立方程组，解得公共点的坐标为，.【考点定位】本小题主要考查参数方程与普通方程的互化以及直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查转化问题的能力.24、【答案】见解析【解析】[证明]∵，∴，，，从而，即.【考点定位】本小题主要考查利用比较法证明不等式，考查推理论证能力.25、【答案】（1）（2）【解析】（1）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，∴，，∵，∴异面直线与所成角的余弦值为.（2）设平面的法向量为，因为，，∴，即，取，得，，∴，取平面的一个法向量为，设平面与平面所成的二面角的大小为，由，得，故平面与平面所成二面角的正弦值.【考点定位】本小题主要考查异面直线、二面角、空间向量等基础知识以及基本运算，考查运用空间向量解决问题的能力.26、【答案】（1）2 （2）1008【解析】（1）由数列的定义，得，，，，，，，，，，，∴，，，，，，，，，，∴，，，，，∴集合中元素的个数为5.（2）先证：，事实上，①当时，，，原等式成立；②当时成立，即，则时，，综合①②可得，于是，，由上式可知是的倍数，而，∴是的倍数，又不是的倍数，而，∴不是的倍数，故当时，集合中元素的个数为，于是，当时，集合中元素的个数为，又，故集合中元素的个数为.【考点定位】本小题主要考查集合、数列的概念和运算、计数原理等基础知识，考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力.。
(完整版)2013年高考江苏数学试题及答案(word解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． （1）【2014年江苏，1，5分】函数3sin(2)4y x π=-的最小正周期为_______．【答案】π【解析】函数π3sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期2ππ2T ==．（2）【2014年江苏，2，5分】设2(2i)z =-(i 为虚数单位)，则复数z 的模为_______． 【答案】5【解析】()222i 44i i 3i 54z =--+-====．（3）【2014年江苏，3，5分】双曲线221169x y -=的两条渐近线的方程为_______．【答案】34y x =±【解析】由题意可知所求双曲线的渐近线方程为34y x =±．（4）【2014年江苏，4，5分】集合{}1,0,1-共有 _______个子集． 【答案】8【解析】由于集合{}1,0,1-有3个元素，故其子集个数为328=．（5）【2014年江苏，5，5分】右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是_______． 【答案】3【解析】第一次循环后：82a n ←←，；第二次循环后：263a n ←←，；由于2620>，跳出循环，输出3n =．（6）【的那位运动员成绩的方差为 ．【答案】2【解析】由题中数据可得=90x 甲，=90x 乙．()()()()()22222287909190909089909015394s -+-+-⎡⎤=⎣+-+-⎦=甲，()()()()()22222289909090919088909015292s -+-+-⎡⎤=⎣+-+-⎦=乙，由22>s s 甲乙，可知乙运动员成绩稳定．故应填2．（7）【2014年江苏，7，5分】现有某类病毒记作m n X Y ，其中正整数,(7,9)m n m n ≤≤可以任意选取，则,m n 都取到奇数的概率为________．【答案】2063【解析】由题意知m 的可能取值为1，2，3，…，7；n 的可能取值为1，2，3，…，9．由于是任取m ，n ：若1m =时，n 可取1，2，3，…，9，共9种情况；同理m 取2，3，…，7时，n 也各有9种情况，故m ，n 的取值情况共有7963⨯=种．若m ，n 都取奇数，则m 的取值为1，3，5，7，n 的取值为1，3，5，7，9，因此满足条件的情形有4×5=20种．故所求概率为2063．（8）【2014年江苏，8，5分】如图，在三棱柱111A B C ABC -中，,,D E F 分别是1,,AB AC AA 的中点，设三棱锥F ADE -的体积为1V ，三棱柱111A B C ABC -的体积为2V ，则12:V V =_______． 【答案】1:24【解析】由题意可知点F 到面ABC 的距离与点1A 到面ABC 的距离之比为1:2，1:4ADE ABC S S =V V :．因此12131:242AED ABCAF S AF S V V ∆∆=⋅=⋅:． （9）【2014年江苏，9，5分】抛物线2y x =在1x =处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界)．若点(,)P x y 是区域D 内的任意一点，则2x y +的取值范围是________．【答案】12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】由题意可知抛物线2y x =在1x =处的切线方程为21y x =-．该切线与两坐标轴围成的区域如图中阴影部分所示：当直线20x y +=平移到过点1,02A ⎛⎫⎪⎝⎭时，2x y +取得最大值12．当直线20x y +=平移到过点1(0)B -，时，2x y +取得最小值2-． 因此所求的2x y +的取值范围为12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．（10）【2014年江苏，10，5分】设,D E 分别是ABC ∆的边,AB BC 上的点，12AD AB =，23BE BC =，若12DE AB AC λλ=+u u u r u u u r(12,λλ为实数)，则12λλ+的值为________． 【答案】12【解析】由题意作图如图．∵在ABC ∆中，1223DE DB BE AB BC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 12()23AB AC AB =+-u u u r u u u r u u u r121263AB AC AB AC λλ=-+=+u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴116λ=-，223λ=．故1212λλ+=．（11）【2014年江苏，11，5分】已知()f x 是定义在R 上的奇函数．当0x >时，2()4f x x x =-，则不等式()f x x >的解集用区间表示为________． 【答案】5,0)5()(∞U －,＋【解析】∵函数()f x 为奇函数，且0x >时，()24f x x x =-，则()22400040f x x x x x x x x =⎧->⎪=⎨⎪--<⎩∴原不等式等价于204x x x x >⎧⎨->⎩或204x x x x <⎧⎨-->⎩，由此可解得5x >或50x -<<． （12）【2014年江苏，12，5分】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为22221(0,0)x y a b a b+=>>，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ．若21d =，则椭圆的离心率为________．【解析】设椭圆C 的半焦距为c ，由题意可设直线BF 的方程为=1x yc b+，即0bx cy bc +-=．于是可知1bc d a ==，22222a a c b d c c c c -=-==．∵21d =，∴2b c =，即2ab =．∴()22246a a c c -=．∴42610e e +-=．∴213e =．∴e（13）【2014年江苏，13，5分】平面直角坐标系xOy 中，设定点(,)A a a ，P 是函数1(0)y x x=>图像上一动点，若点,P A 之间最短距离为a 的所有值为________．【答案】1-【解析】设P 点的坐标为1,x x ⎛⎫⎪⎝⎭，则222222111()=2=2x a a x a x a x x A x P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=．令12t x x =+≥，则()()2222222222PA t at a t a a t =-+-=-+-≥．结合题意可知(1)当2a ≤，2t =时，2PA 取得最小 值．此时()22228a a -+-=，解得1a =-，3a =(舍去)．(2)当2a >，t a =时，2PA 取得最小值．此时228a -=，解得a =a =(舍去)．故满足条件的实数a 1-．（14）【2014年江苏，14，5分】在正项等比数列{}n a 中，512a =，673a a +=．则满足123123......n n a a a a a a a a ++++>的最大正整数n 的值为_______． 【答案】12【解析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，则由()26753a a a q q +=+=可得2q =，于是62n n a -=，则1251(12)13221232n n n a a a --=-+=-++⋯．∵512a =，2q =，∴61a =， 111210261a a a a a ==⋯==．∴12111a a a ⋯=．当n 取12时，7612121211121213222a a a a a a a a ++⋯+=->⋯==成立；当n 取13时，86713121312111213121322132·22a a a a a a a a a a ++⋯+=-⋯===<．当13n >时，随着n 增大12n a a a ++⋯+将恒小于12n a a a ⋯．因此所求n 的最大值为12．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（15）【2014年江苏，15，14分】已知()cos sin a αα=，r ，()cos sin b ββ=，r，0βαπ<<<．（1）若a b -=r r a b ⊥r r；（2）设()01c ,=r ，若a b c +=r r r ，求α，β的值．解：（1）解法一：由||a b -=r r 22||()2a b a b -=-=r r r r ，即2222a a b b -⋅+=r r r r ．又2222||||1a b a b ====r r r u u r ，所以222a b -⋅=，0a b ⋅=r r ，故a b ⊥r r ． 解法二：(cos cos ,sin sin )a b αβαβ-=--r r ，由||a b -=r r22||()2a b a b -=-=r r r r ， 即：22(cos cos )(sin sin )2αβαβ-+-=，化简，得：2(cos cos sin sin )0αβαβ+-=， cos cos sin sin 0a b αβαβ⋅=+-=r r ，所以a b ⊥r r ． （2）(cos cos ,sin sin )a b αβαβ+=++r r ，可得：cos cos 0(1)sin sin 1(2)αβαβ+=⎧⎨+=⎩L L L L解法一：AS AB =．过A 作AF SB ⊥，垂足为F ，点E ，G 分别是侧棱SA ，SC 的中点．求证：（1）平面EFG //平面ABC ； （2）BC SA ⊥． 解：（1）因为AS AB =，AF SB ⊥于F ，所以F 是SB 的中点．又E 是SA 的中点，所以//EF AB ．因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以//EF 平面ABC ．同理可证//EG 平面ABC ．又EF EG E =I ，所以平面//EFG 平面ABC ．（2）因为平面SAB ⊥平面SBC 于SB ，又AF ⊂平面SAB ，AF SB ⊥，所以AF ⊥平面SBC ．因为BC ⊂平面SBC ，所以AF BC ⊥．又因为AB BC⊥，AF AB A =I ，AF AB ⊂、平面SAB ，所以BC ⊥平面SAB ．又因为SA ⊂平面SAB ，所以BC SA ⊥．（17）【2014年江苏，17，14分】如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()03A ,，直线24l y x =-：．设圆的半径为1，圆心在l 上．（1）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． 解：（1）由题设，圆心C 是直线24y x =-和1y x =-的交点，解得点2(3)C ,，于是切线的斜率必存在．设过3(0)A ,的圆C 的切线方程为3y kx =+1=，解得0k =或34-， 故所求切线方程为3y =或34120x y +-=．（2）因为圆心在直线24y x =-上，所以圆C 的方程为()()22221x a y a -+--⎤⎣⎦=⎡．设点()M x y ，， 因为2MA MO =22230x y y ++-=，即()2214x y ++=， 所以点M 在以1(0)D -，为圆心，2为半径的圆上．由题意，点()M x y ，在圆C 上，所以圆C 与圆D 有 公共点，则2121CD -≤≤+，即13≤．由251280a a -+≥，得R a ∈；由25120a a -≤，得0125a ≤≤．所以点C 的横坐标a 的取值范围为120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （18）【2014年江苏，18，16分】如图，游客从某旅游景区的景点处下山至C 处有两种路径． 一种是从沿A 直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到 C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m/min ．在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C ．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量，12cos 13A =，3cos 5C =．（1）求索道AB 的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C 处相互等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？．解：（1）在ABC ∆中，因为3os 1c 12A =，cos 35C =，所以sin 513A =，sin 45C =．从而()()sin sin sin sin cos cos sin 531246313513565B AC A C A C A C π=-+=+=+⨯⨯⨯==⎡⎤⎣⎦． 由正弦定理sin sin AB ACC B=，得12604sin 104063sin 565AC AB C B =⨯=⨯=．所以索道AB 的长为1040 m ． （2）假设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了()10050 m t +，乙距离A 处130m t ，所以由余弦定理得()()()()2222121005013021301005020037705013d t t t t t t =++-⨯⨯+⨯=-+， 因10430001t ≤≤，即08t ≤≤，故当3537t =(min)时，甲、乙两游客距离最短． （3）由正弦定理sin sin BC ACA B=，得12605sin 500m 63sin 1365AC BC A B =⨯=⨯=． 乙从B 出发时，甲已走了()50281550⨯++=(m)，还需走710 m 才能到达C ．设乙步行的速度为v m/min ，由题意得5007103350v -≤-≤，解得12506254314v ≤≤，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在1250625,4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦(单位：m/min)范围内． （19）【2014年江苏，19，16分】设{}n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列()0d ≠，n S 是其前n 项和．记2n n nSb n c=+，N n *∈，其中c 为实数．（1）若0c =，且1b ，2b ，4b 成等比数列，证明：()2N nk k S n S k,n *=∈；（2）若{}n b 是等差数列，证明：0c =． 解：由题设，(1)2n n n S na d -=+． （1）由0c =，得12n n S n b a d n -==+．又因为124b b b ，，成等比数列，所以1224b b b =，即23=22d a a a d ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得220d ad -=．因为0d ≠，所以2d a =．因此，对于所有的*N m ∈，有2m S m a =．从而对于所有的k ，*N n ∈，有()2222nk k S nk a n k a n S ===． （2）设数列{}n b 的公差是1d ，则()111n b b n d =+-，即()1121nb n nS n cd =+-+，*N n ∈，代入n S 的表达式，整理 得，对于所有的*N n ∈，有()111321111122d d n b d a d n cd n c d b ⎛⎫⎛⎫-+--++ ⎪ =⎪⎭⎭-⎝⎝．令112A d d =-，1112B d d b a =--+，()11D c d b =-，则对于所有的*N n ∈，有321An Bn cd n D ++=．(*)在(*)式中分别取1234n =,,,，得1111842279364164A B cd A B cd A B cd A B cd ++=++=++=++， 从而有11173019502150A B cd A B cd A B cd ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩①②③，由②，③得0A =，15cd B =-，代入方程①，得0B =，从而10cd =．即1102d d -=，11102b d a d -+=-=0，10cd =．若d 1=0，则由1102d d -=，得0d =，与题设矛盾，所以10d ≠．又因为10cd =，所以0c =．（20）【2014年江苏，20，16分】设函数()ln f x x ax =-，()x g x e ax =-，其中a 为实数． （1）若()f x 在()1,+∞上是单调减函数，且()g x 在()1,+∞上有最小值，求a 的范围； （2）若()g x 在()1,-+∞上是单调增函数，试求()f x 的零点个数，并证明你的结论． 解：（1）令f ′(x )=()110axf x a x x-'=-=<，考虑到()f x 的定义域为(0)+∞，，故0a >，进而解得1x a ->，即()f x 在1()a -+∞，上是单调减函数．同理，()f x 在1(0)a -，上是单调增函数．由于()f x 在(1)+∞，上是单调减函数，故1()(1)a -∞∞⊆++，，，从而11a -≤，即1a ≥．令()0x g x e a '=-=，得ln x a =．当ln x a <时，()0g x '<；当ln x a >时，()0g x '>．又()g x 在(1)+∞，上有最小值，所以ln 1a >，即a e >．综上，有()a e ∈+∞，．（2）当0a ≤时，()g x 必为单调增函数；当0a >时，令()0x g x e a '=->，解得x a e <，即ln x a >．因为()g x 在()1-+∞，上是单调增函数，类似（1）有ln 1a ≤-，即10a e -<≤．结合上述两种情况，有1a e -≤． ①当0a =时，由()10f =以及()10f x x'=>，得()f x 存在唯一的零点； ②当0a <时，由于()()10a a a f e a ae a e =-=-<，()10f a =->，且函数()f x 在[1]a e ，上的图象不间断， 所以()f x 在(1)a e ，上存在零点．另外，当0x >时，()10f x a x'=->，故()f x 在(0)+∞，上是单调增 函数，所以f (x )只有一个零点．③当10a e -<≤时，令()10f x a x'=-=，解得1x a -=．当10x a -<<时，()0f x '>，当1x a ->时，()0f x '<，所以，1x a -=是()f x 的最大值点，且最大值为()1ln 1f a a -=--．当ln 10a --=，即1a e -=时，()f x 有一个零点x e =．当ln 10a -->，即10a e -<<时，()f x 有两个零点．实际上，对于10a e -<<，由于()1110f e ae --=--<，()10f a ->，且函数()f x 在11[]e a --，上的图象不间断，所以()f x 在11()e a --，上存在零点．另外，当1()0x a -∈，时， ()10a xf x =->'，故()f x 在1(0)a -，上是单调增函数，所以()f x 在1(0)a -，上只有一个零点．下面考虑()f x 在1()a -+∞，上的情况．先证()()1210a a f e a a e ---=-<．为此，我们要证明：当x e >时，2x e x >．设()2x h x e x =-，则()2x h x e x '=-，再设()()2x l x h x e x ='=-，则()2x l x e '=-．当1x >时，()220x l x e e '=->->，所以()()l x h x ='在(1)+∞，上是单调增函数．故当2x >时，()()22240x h x e x h e '=->'=->，从而()h x 在(2)+∞，上是单调增函数，进而当x e >时，()()220x e h x e x h e e e =->=->．即当x e >时，2x e x >．当10a e -<<，即1a e ->时，()()111210a a a f e a ae a a e -----=-=-<，又()10f a ->，且函数()f x 在11[]a a e --，上的图象不间断，所以()f x 在11()a a e --，上存在零点．又当1x a ->时，()0f x a '=-<，故()f x 在(a -1，+∞)上是单调减函数，所以f (x )在(a -1，+∞)上只有一个零点．综合①，②，③，当0a ≤或1a e -=时，()f x 的零点个数为1，当10a e -<<时，()f x 的零点个数为2．数学Ⅱ【选做】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答 的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （21-A ）【2014年江苏，21-A ，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D C AC 、，经过圆心O ，且2BC OC =．求证：2AC AD =．解：连结OD ．因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，所以90ADO ACB ∠=∠=︒．又因为A A ∠=∠，所以Rt Rt ADO ACB ∆∆∽．所以BC ACOD AD=． 又22BC OC OD ==，故2AC AD =． （21-B ）【2014年江苏，21-B ，10分】（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵1012,0206-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B ，求矩阵1-A B ． 解：设矩阵A 的逆矩阵为 a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则 1 00 2-⎡⎤⎢⎥⎣⎦ a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1 00 1⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即 2 2a b c d --⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1 00 1⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故100a b c =-==，，，12d =，从而A 的逆矩阵为1 1 010 2--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦=A ，所以1 1 010 2--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣=⎦A B 1 20 6⎡⎤⎢⎥⎣⎦= 1 20 3--⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （21-C ）【2014年江苏，21-C ，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为12x t y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为22tan 2tan x y θθ⎧=⎨=⎩（θ为参数）．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．解：因为直线l 的参数方程为12x t y t =+⎧⎨=⎩(t 为参数)，由1x t =+得1t x =-，代入2y t =，得到直线l 的普通方程为220x y --=．同理得到曲线C 的普通方程为22y x =．联立2212y x y x =(-)⎧⎨=⎩,解得公共点的坐标为(2)2，，1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭． （21-D ）【2014年江苏，21-D ，10分】（选修4-4：不等式选讲）已知0a b ≥>，求证：332222a b ab a b -≥-． 解：()()()()()()()()332222222222222a b ab a b a a b b a b a b a b a b a b a b ---=-+-=-+=-++．因为0a b ≥>，所以0a b -≥，0a b +>，20a b +>，从而()()()20a b a b a b -++≥，即332222a b ab a b -≥-． 【必做】第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题卡的指定区域内．．．．．．．．．．．． （22）【2014年江苏，22，10分】如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，点D 是BC 的中点．（1）求异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值；（2）求平面1ADC 与平面1ABA 所成二面角的正弦值． 解：（1）以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()000A ，，，()200B ，，，()020C ，，()110D ，，，14(0)0A ，，，14(0)2C ，，，所以1(20)4A B =-u u u r ，，，1(11)4C D =--u u u u r，，．因为111111cos ,A B C D A B C D A B C D⋅===u u u r u u u u ru u u r u u u u r u u u r u u u u r ，所以异面直线1A B 与1C D． （2）设平面1ADC 的法向量为1()n x y z =r ，，，因为(1)10AD =u u u r ，，，10()24AC =u u u u r ，，，所以10n AD ⋅=u u r u u u r，110n AC ⋅=u u r u u u u r ，即0x y +=且20y z +=，取1z =，得2x =，2y =-，所以，12()21n =-u u r，，是平面1ADC 的一个法向量．取平面1AA B 的一个法向量为2(010)n =u u r，，，设平面1ADC 与平面 1ABA 所成二面角的大小为θ．由12122||||s 3co θ⋅===n n n n，得sin θ=．因此，平面1ADC 与平面1ABA．（1）求11中元素个数； （2）求集合2000P 中元素个数．解：（1）由数列{}n a 的定义得123456789101223334444a a a a a a a a a a ==-=-====-=-=-=-，，，，，，，，，，，115a =，1234567891011113036226105S S S S S S S S S S S ∴==-=-=====-=-=-=-，，，，，，，，，，，从而11445566111102S a S a S a S a S a ==⨯===-，，，，，所以集合11P 中元素的个数为5． （2）先证：()()*2121()i i S i i i +=-+∈N ．①当1i =时，()3213i i S S +==-，()213i i -+=-，故原等式成立； ②假设i m =时成立，即()()2121m m S m m +=-+，则1i m =+时，()()()()()()()()22222(113)21222143253123m m m m S S m m m m m m m m m +++=++-+=-+--=-++=-++．综合①②可得()()2121i i S i i +=-+．于是()()()()()()()2(221121)212121211i i i i S S i i i i i i +++=++=-+++=++． 由上可知()21i i S +是21i +的倍数，而()21(211221)i i j a i j i ++=+=⋯+，，，，所以()()(212)121i i i i j S S j i +++=++是 ()211)2(21i i j a j i ++=⋯+，，，的倍数．又()()()()121121i i S i i ++=++不是22i +的倍数，而()()()12122i i j a i +++=-+()1222j i =⋯+，，，，所以()()()()()()()()1211212221122i i j i i S S j i i i j i +++++=-+=++-+不是()()121i i j a +++ 122()2j i =⋯+，，，的倍数，故当()21l i i =+时，集合l P 中元素的个数为()21321i i ++⋯+-=，于是，当()()21121l i i j j i =++≤≤+时，集合l P 中元素的个数为2i j +． 又()200031231147=⨯⨯++，故集合2000P 中元素的个数为231471008+=．。
江苏省泰州市2013届高三上学期期末考试数学(附答案) (31)
泰州2012～2013学年度第一学期期末考试高三数学试题(考试时间： 120分钟 总分160分)注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效． 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1．已知集合A ={}3,2,1，B ={}5,2,1，则A ∩B = ▲ . 2．设复数z 1=2+2i,z 2=2-2i,则21z z = ▲ . 3．若数据3,,,,,54321x x x x x 的平均数为3，则数据54321,,,,x x x x x 的平均数为 ▲ .4．设双曲线15422=-y x 的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上位于第一象限内的一点，且△PF 1F 2的面积为6，则点P 的坐标为▲ . 5．曲线y =2ln x 在点(e,2)处的切线（e 是自然对数的底）与y 轴交点坐标为 ▲ .6．如图，ABCD 是一个4×5的方格纸，向此四边形ABCD 内抛撒一粒豆子，则豆子恰好落在阴影部分内的概率为 ▲ . 7．设函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且),()(b f a f >则)(a f - ▲)(b f -（用""""<>或填空）.8． 在空间中，用a b c ,, 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列四个命题：①若//a b ，//b c ，则//a c ； ②若a b ⊥，b c ⊥，则a c ⊥； ③若//a γ，//b γ，则//a b ； ④若a γ⊥，b γ⊥，则//a b ；其中真命题的序号为 ▲ . 9. 右图是一个算法流程图，则输出的P = ▲ .10. 已知点P (t ,2t )(t ≠0)是圆C ：x 2+y 2=1内一点，直线tx +2ty =m 与圆C 相切，则直线x +y +m =0与圆C 的位置关系是 ▲ .11. 设a ∈R ，s ：数列{()2a n -}是递增的数列；t ：≤a 1.则s 是t 的 ▲ 条件.（填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”中的一个）.12.各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 1≥1，a 2≤2，a 3≥3，则a 4的取值范围是 ▲ .（第6题图）ABCD结束P ← 0 n ← P ←1(1)P n n ++n ← n ＋1 输出P NYn=6（第9题图） 开始13. 已知六个点A 1(x 1,1),B 1(x 2,-1),A 2(x 3,1),B 2(x 4,-1),A 3(x 5,1),B 3(x 6,-1)（x 1＜x 2＜x 3＜x 4＜x 5 ＜x 6，x 6－x 1=5π)都在函数f (x )=sin(x +3π)的图象C 上.如果这六点中不同的两点的连线的中点仍在曲线C 上，则称此两点为“好点组”，则上述六点中好点组的个数为 ▲ .（两点不计顺序）14. 已知f (x )=2mx +m 2+2,m ≠0,m ∈R ,x ∈R .若｜x 1｜+｜x 2｜=1，则)()(21x f x f 的取值范围是▲ .二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）15. （本题满分14分）已知向量a =（cos λθ,cos(10-λ)θ），b =(sin(10-λ)θ,sin λθ),λ、θ∈R .（1）求2a +2b 的值；（2）若a ⊥b，求θ；（3）若θ=20π，求证：a ∥b.16. （本题满分14分） 在三棱锥S-ABC 中，SA ⊥平面ABC ，SA =AB =AC =33BC ，点D 是BC 边的中点，点E 是线段AD 上一点，且AE =4DE ，点M 是线段SD 上一点. (1)求证：BC ⊥AM ；(2)若AM ⊥平面SBC ，求证EM ∥平面ABS .17. （本题满分14分）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，AB =1，BC =2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN ，其底边MN ⊥BC . （1）设∠MOD =30°，求三角形铁皮PMN 的面积； （2）求剪下的铁皮三角形PMN 面积的最大值.18. （本题满分16分）直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：12222=+by a x （a >b >0）的左、右顶点分别是A 1，A 2，上、下顶点为B 2，B 1，点P （a 53，m ）（m ＞0）是椭圆C 上一点，PO ⊥A 2B 2，直线PO 分别交A 1B 1、A 2B 2于点M 、N . （1）求椭圆离心率； （2）若MN =7214，求椭圆C 的方程； （3）在（2）的条件下，设R 点是椭圆C 上位于第一象限内的点，F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点，RQ 平分∠F 1RF 2且与y 轴交于点Q ，求点Q 纵坐标的取值范围.19. （本题满分16分）已知数列a n =n -16，b n =(-1)n ｜n -15｜，其中n ∈N *. （1）求满足a n +1=｜b n ｜的所有正整数n 的集合； （2）若n ≠16，求数列nna b 的最大值和最小值； （3）记数列{a n b n }的前n 项和为S n ，求所有满足S 2m =S 2n （m ＜n ）的有序整数对（m ,n ）.R xyF 1 F 2QO20. （本题满分16分）已知函数f (x )=(x -a )(x -b )2，a ,b 是常数. (1)若a ≠b ，求证：函数f (x )存在极大值和极小值；(2)设（1）中f (x )取得极大值、极小值时自变量的值分别为x 1、x 2，令点A (x 1, f (x 1)),B (x 2,f (x 2)).如果直线AB 的斜率为-21，求函数f (x )和f ′ (x )的公共递减区间的长度 ； (3)若f (x )≥mxf ′ (x )对于一切x ∈R 恒成立，求实数m ,a ,b 满足的条件.2012～2013学年度第一学期期末考试高三数学试题(附加题)21.［选做题］请考生在A 、B 、C 、D 四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分。
2013-2014泰州高三数学期末试题(含答案)
2013～2014学年度第一学期期末考试高三数学试题(考试时间：120分钟 总分：160分)命题人：朱占奎 张乃贵 王宏官 范继荣 审题人：吴卫东 石志群1．已知集合A ={}9,6,1，B ={}2,1，则A ∩B = {1} . 2．复数bi a i +=+2)1((b a ,是实数，i 是虚数单位)，则b a +的值为 2 . 3．函数2lg(6)y x x =-++的定义域为 (-2,3) . 4．为了解某地区的中小学生视力状况，从该地区的中小学生中用分层抽样的方法抽取300位学生进行调 查，该地区小学，初中，高中三个学段学生人数分 别为1200，1000，800，则从初中抽取的学生人数 为 100 .5．已知一个算法的流程图如右图，则输出的结果S 的 值是 7 .6．在ABC ∆中，DC BD 2=，若21λλ+=AB AD ，则12λλ-的值为 13-. 7．将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数．则点数相同的概率是 16. 8．如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，D 为棱1AA 的中点． 若41=AA ，2=AB ，则四棱锥D ACC B 1-的体积 为3. 9．以双曲线116922=-y x 的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近 线相切的圆的方程为 22(5)16x y -+= . 10．设函数b a x a x x f +--=)()((b a ,都是实数)．则下列叙述中，正确的序号是① ③ .(请把所有叙述正确的序号都填上) ①对任意实数b a ,，函数)(x f y =在R 上是单调函数；第8题A1A②存在实数b a ,，函数)(x f y =在R 上不是单调函数； ③对任意实数b a ,，函数)(x f y =的图象都是中心对称图形； ④存在实数b a ,，使得函数)(x f y =的图象都不是中心对称图形． 11．已知在等差数列{}n a 中，若r t s p n m ++=++22，*∈N r t s p n m ,,,,,则r t s p n m a a a a a a ++=++22，仿此类比，可得到等比数列{}n b 中的一个正确命题：若r t s p n m ++=++22，*∈N r t s p n m ,,,,,，则 22m n p s t r b b b b b b = .12．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1208642=a a a a ，且+++842862864111a a a a a a a a a6071642=a a a ，则9S 的值为 632.13．在平面直角坐标系中，)2,1(),0,0(B A 两点绕定点P 顺时针方向旋转θ角后，分别到 )2,5(),4,4(B A ''两点，则θcos 的值为35. 14．已知函数a x x f +=3)(与函数a x x g 23)(+=在区间),(c b 上都有零点，则2222422cbc b bc ac ab a +-+++的最小值为 -1 . 15．(本题满分14分)已知函数)42sin(2)(π+=x x f ．(1)求函数)(x f y =的最小正周期及单调递增区间； (2)若56)8(0-=-πx f ，求)(0x f 的值． (1)3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，(2)55-16．(本题满分14分)如图，在四棱锥ABCD E -中， ABD ∆为正三角形，CD CB ED EB ==,． (1)求证：BD EC ⊥；(2)若BC AB ⊥，N M ,分别为线段AB AE ,的中点， 求证：平面DMN ∥平面BEC ．17．(本题满分15分)已知椭圆(1:2222>>=+b a by a x C 和圆222:a y x O =+，)0,1(),0,1(21F F -右两焦点，过1F 且倾斜角为])2,0((παα∈的动直线l交椭圆C 于B A ,两点，交圆O 于Q P ,两点(点A 在轴上方)．当4πα=时，弦PQ 的长为14．(1)求圆O 和椭圆C 的方程；(2)若点M 是椭圆C 上一点，求当AB BF AF ,,22成等差数列时，MPQ ∆面积的最大值．(1)22143x y +=,224x y +=18．(本题满分15分)某运输装置如图所示，其中钢结构ABD 是l BD AB ==，3π=∠B 的固定装置，AB 上可滑动的点C 使CD 垂直与底面(C 不B A ,与重合)，且CD 可伸缩(当CD 伸缩时，装置ABD 随之绕D 在同一平面内旋转)，利用该运输装置可以将货物从地面D 处沿A C D →→运送至A 处，货物从D 处至C 处运行速度为v ，从C 处至A 处运行速度为CABθv 3．为了使运送货物的时间t 最短，需在运送前调整运输装置中θ=∠DCB 的大小．(1)当θ变化时，试将货物运行的时间t 表示成θ 的函数(用含有v 和l 的式子)；(2)当t 最小时，C 点应设计在AB 的什么位置？(1)1cos )66sin t θθ⎡⎤-=-+⎢⎥⎣⎦(2)48BC l =19．(本题满分16分)设函数x ae x x f +=41121)((其中a 是非零常数，e 是自然对数的底)，记)()(1x f x f n n -'=(2≥n ，*∈N n )(1)求使满足对任意实数x ，都有)()(1x f x f n n -=的最小整数n 的值(2≥n ，*∈N n )； (2)设函数)(...)()()(54x f x f x f x g n n +++=，若对5≥∀n ，*∈N n ，)(x g y n =都存在极值点n t x =，求证：点))(,(n n n n t g t A (5≥n ，*∈N n )在一定直线上，并求出该直线方程；(注：若函数)(x f y =在0x x =处取得极值，则称0x 为函数)(x f y =的极值点．) (3)是否存在正整数)4(≥k k 和实数0x ，使0)()(010==-x f x f k k 且对于*∈∀N n ，)(x f n 至多有一个极值点，若存在，求出所有满足条件的k 和0x ，若不存在，说明理由．20．(本题满分16分)已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，数列{}n b 是等比数列． (1)若n n n n b a a c )(1-=+(*∈N n )，求证：{}n c 为等比数列；(2)设n n n b a c =(*∈N n )，其中n a 是公差为2的整数项数列，nn b )1312(=，若 1234516842c c c c c >>>>，且当17≥n 时，{}n c 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式；(3)若数列{}n c 使得⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n n c b a 是等比数列，数列{}n d 的前n 项和为nnn c c a -，且数列{}n d 满足：对任意2≥n ，*∈N n ，或者0=n d 恒成立或者存在正常数M ，使M d Mn <<1恒成立，求证：数列{}n c 为等差数列．2013～2014学年度第一学期期末考试高三数学试题(附加题)21.［选做题］请考生在A 、B 、C 、D 四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分。
【解析版】江苏省泰州市2013届高三上学期期末考试数学试题
2012-2013学年江苏省泰州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题4分，共56分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（4分）已知集合A={1，2，3}，B={1，2，5}，则A∩B={1}．考点：交集及其运算．专题：阅读型．分析：把两个集合的公共元素写在花括号内即可．解答：解：由A={1，2，﹣3}，B={1，﹣4，5}，则A∩B={1，2，﹣3}∩{1，﹣4，5}={1}．故答案为{1}．点评：本题考查了交集及其运算，考查了交集概念，是基础的概念题．2．（4分）设复数z1=2+2i，z2=2﹣2i，则=i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把复数代入表达式，复数的分母、分子同乘分母的共轭复数，化简复数即可．解答：解：因为复数z1=2+2i，z2=2﹣2i，所以=====i．故答案为：i．点评：本题考查复数代数形式的混合运算，复数的分母实数化，是解题的关键，是基础题．3．（4分）若数据x1，x2，x3，x4，x5，3的平均数为3，则数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为3．考点：众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：根据平均数的性质知，要求x1，x2，x3，x4，x5的平均数，只要把数x1、x2、x3、x4、x5的和表示出即可．解答：解：∵x1，x2，x3，x4，x5，3的平均数为3，∴数x1+x2+x3+x4+x5+3=6×3∴x1，x2，x3，x4，x5的平均数=（x1+x2+x3+x4+x5）÷5=（6×3﹣3）÷5=3．故答案为：3．点评：本题考查的是样本平均数的求法．解决本题的关键是用一组数据的平均数表示另一组数据的平均数．4．（4分）设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上位于第一象限内的一点，且△PF1F2的面积为6，则点P的坐标为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由双曲线方程，算出焦点F1、F2的坐标，从而得到|F1F2|=6．根据△PF1F2的面积为6，算出点P的纵坐标为2，代入双曲线方程即可算出点P的横坐标，从而得到点P的坐标．解答：解：∵双曲线的方程是，∴a2=4且b2=5，可得c==3由此可得双曲线焦点分别为F1（﹣3，0），F2（3，0）设双曲线上位于第一象限内的一点P坐标为（m，n），可得△PF1F2的面积S=|F1F2|•n=6，即×6×n=6，解得n=2将P（m，2）代入双曲线方程，得，解之得m=．∴点P的坐标为故答案为点评：本题给出双曲线上一点与焦点构成面积为6的三角形，求该点的坐标，着重考查了三角形面积公式、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．5．（4分）曲线y=2lnx在点（e，2）处的切线（e是自然对数的底）与y轴交点坐标为（0，0）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出曲线方程的导函数，把切点横坐标代入导函数中表示出的导函数值即为切线的斜率，由切点坐标和斜率表示出切线方程，把x=0代入切线方程中即可求出y轴交点坐标．解答：解：对y=2lnx求导得：y′=，∵切点坐标为（e，2），所以切线的斜率k=，则切线方程为：y﹣2=（x﹣e），把x=0代入切线方程得：y=0，所以切线与y轴交点坐标为（0，0）．故答案为：（0，0）．点评：本题的解题思想是把切点的横坐标代入曲线方程的导函数中求出切线的斜率，进而写出切线方程．6．（4分）如图，ABCD是一个4×5的方格纸，向此四边形ABCD内抛撒一粒豆子，则豆子恰好落在阴影部分内的概率为0.2．考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：试验发生包含的事件对应的图形是一个大长方形，若设小正方形的边长是1，则长方形的面积是20，满足条件的事件是正方形面积是4，根据面积之比做出概率．解答：解：由题意知本题是一个几何概型，设每一个小正方形的边长为1试验发生包含的事件对应的图形是一个长方形，面积为5×4=20阴影部分是边长为2的正方形，面积是4，∴落在图中阴影部分中的概率是=0.2故答案为：0.2点评：本题考查几何概型，解题的关键是求出两个图形的面积，根据概率等于面积之比得到结果，本题是一个基础题．7．（4分）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（a）＞f（b），则f（﹣a）＜f（﹣b）（用“＞”或“＜”填空）．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据奇函数的性质f（﹣x）=﹣f（x）求解．解答：解：根据奇函数的性质，f（﹣a）=﹣f（a），f（﹣b）=﹣f（b）；∵f（a）＞f（b），∴﹣f（a）＜﹣f（b），即f（﹣a）＜f（﹣b）．故答案是＜点评：本题考查函数的奇偶性．8．（4分）在空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b；其中真命题的序号为①④．考点：命题的真假判断与应用；平面的基本性质及推论．专题：阅读型．分析：①有平行线公理判断即可；②中正方体从同一点出发的三条线进行判断；③可以翻译为：平行于同一平面的两直线平行，错误，还有相交、异面两种情况；④由线面垂直的性质定理可得；解答：解：①因为空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c，满足平行线公理，所以①正确；②中正方体从同一点出发的三条线，也错误；③可以翻译为：平行于同一平面的两直线平行，错误，还有相交、异面两种情况；④可以翻译为：垂直于同一平面的两直线平行，由线面垂直的性质定理，正确；故答案为：①④．点评：与立体几何有关的命题真假判断，要多结合空间图形．本题考查空间两条直线的位置关系以及判定方法，线面平行的判定，解决时要紧紧抓住空间两条直线的位置关系的三种情况，牢固掌握线面平行、垂直的判定及性质定理．9．（4分）如图是一个算法流程图，则输出的P=．考点：程序框图．专题：计算题；概率与统计．分析：由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序，可知当n＜6时，用P+的值代替P得到新的P值，并且用n+1代替n值得到新的n值，直到n=6时输出最后算出的P值，由此即可得到本题答案．解答：解：根据题中的程序框图可得：当n＜6时，用P+的值代替P，并且用n+1代替n 值；直到当n=6时，输出最后算出的P值．因此可列出如下表格：依此表格，可得输出的P=++++=1﹣=故答案为：点评：本题给出程序框图，求最后输出的P值，属于基础题．解题的关键是先根据已知条件判断程序的功能，构造出相应的数学模型再求解，从而使问题得以解决．10．（4分）已知点P（t，2t）（t≠0）是圆C：x2+y2=1内一点，直线tx+2ty=m与圆C相切，则直线x+y+m=0与圆C的位置关系是相交．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：由圆的方程找出圆心坐标与半径，因为M为圆内一点，所以M到圆心的距离小于圆的半径，利用两点间的距离公式表示出一个不等式，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，根据求出的不等式即可得到d大于半径r，得到直线与圆的位置关系是相离．解答：解：由圆的方程得到圆心坐标为（0，0），半径r=1，由P为圆内一点得到：＜1，则圆心到已知直线tx+2ty=m的距离d==1，可得|m|=＜1，圆心到已知直线x+y+m=0的距离＜1=r，所以直线x+y+m=0与圆的位置关系为：相交．故答案为：相交．点评：此题考查小时掌握点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系的判断方法，灵活运用两点间的距离公式及点到直线的距离公式化简求值，是一道综合题．11．（4分）设a∈R，s：数列{（n﹣a）2}是递增的数列；t：a≤1，则s是t的必要不充分条件．（填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”中的一个）．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：在a∈R的前提下，看由数列{（n﹣a）2}是递增的数列能否推出a≤1，再看由a≤1能否推出数列{（n﹣a）2}是递增的数列．解答：解：若数列{（n﹣a）2}是递增的数列，则（n+1﹣a）2﹣（n﹣a）2=（n+1）2﹣2a（n+1）+a2﹣n2+2an﹣a2=n2+2n+1﹣2an﹣2a+a2﹣n2+2an﹣a2=2n+1﹣2a＞0，即a＜n+，因为n的最小值是1，所以当n取最小值时都有a＜，则a≤1不成立．又由（n+1﹣a）2﹣（n﹣a）2=（n+1）2﹣2a（n+1）+a2﹣n2+2an﹣a2=n2+2n+1﹣2an﹣2a+a2﹣n2+2an﹣a2=2n+1﹣2a．因为n是大于等于1的自然数，所以当a≤1时，2n+1﹣2a，即数列{（n﹣a）2}中，从第二项起，每一项与它前一项的差都大于0，数列是递增的数列．所以，s是t的必要不充分条件．故答案为必要不充分．点评：本题考查了必要条件、充分条件与充要条件．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．此题是基础题．12．（4分）各项均为正数的等比数列{a n}中，若a1≥1，a2≤2，a3≥3，则a4的取值范围是．考点：简单线性规划；等比数列；等比数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：根据题中的不等式组，联想到运用线性规划的知识解决问题．因此，将所得的不等式的两边都取常用对数，得到关于lga1和lgq的一次不等式组，换元：令lga1=x，lgq=y，lga4=t，得到关于x、y的二次一次不等式组，再利用直线平移法进行观察，即可得到a4的取值范围．解答：解：设等比数列的公比为q，根据题意得：，∴各不式的两边取常用对数，得令lga1=x，lgq=y，lga4=t将不等式组化为：，作出以上不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部其中A（0，lg2），B（2lg2﹣lg3，lg3﹣lg2），C（0，lg3）将直线l：t=x+3y进行平移，可得当l经过点A时，t=3lg2取得最大值；当l经过点B时，t=﹣lg2+2lg3取得最小值∴t=lga4∈[﹣lg2+2lg3，3lg2]，即lga4∈[lg，lg8]由此可得a4的取值范围是故答案为：点评：本题给出等比数列，在已知a1≥1，a2≤2，a3≥3的情况下求a4的取值范围．着重考查了等比数列的通项公式、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．13．（4分）已知六个点A1（x1，1），B1（x2，﹣1），A2（x3，1），B2（x4，﹣1），A3（x5，1），B3（x6，﹣1）（x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6，x6﹣x1=5π）都在函数f（x）=sin（x+）的图象C上．如果这六点中不同的两点的连线的中点仍在曲线C上，则称此两点为“好点组”，则上述六点中好点组的个数为11．（两点不计顺序）考点：正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：题干错误：x6﹣x1=5π，应该是：x6 ﹣x1=5π，请给修改，谢谢．由题意可得，只要研究函数y=sinx在[0，6π]上的情况即可．画出函数y=sinx在[0，6π]上的图象，数形结合可得结论．解答：解：由于对称关系不因平移而改变，∴y=sinx与f（x）=sin（x+）对称关系没有变．根据函数的周期性，只要研究函数y=sinx在[0，6π]上的情况即可．画出函数y=sinx在[0，6π]上的图象，如图所示：可得A1（，0）、B1（，0）、A2（，0）、B2（，0）、A3（，0）、B3（，0）．由函数y=sinx的图象性质可得，“好点租”有：A1B1，B1A2，A2B2，B2B2，B2A3，A3B3，A1A3，B1B3，A1B2，A2B3，B1A3，共11个，故答案为11．点评：本题主要考查新定义“好点组”，正弦函数的图象的对称性的应用，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．14．（4分）已知f（x）=2mx+m2+2，m≠0，m∈R，x∈R．若|x1|+|x2|=1，则的取值范围是．考点：函数与方程的综合运用．专题：函数的性质及应用．分析：（i）法一：目标函数法：①分类讨论去绝对值找x1，x2的关系．②将化为一个变量的函数g（x2）．（ii）法二：数形结合：①“数”难时，要考虑“形”．②C：|x1|+|x2|=1为正方形．③“分式”联想到斜率．解答：解：解法一：先考虑0≤x1≤1，0≤x2≤1的情形，则x1+x2=1===当m＞0，令函数g（x）=，x∈[0，1]，由单调性可得：g（1）≤g（x）≤g（0）．其中，，当m＜0，同理．x1、x2在其他范围同理．综上可得．解法二：==，∴为点P与点Q （x2，x1）连线的斜率．P点在直线上．由图可得直线PQ斜率的范围，即的范围．点评：熟练掌握分类讨论、数形结合的思想方法、函数的单调性、直线的斜率公式及意义是解题的关键．二、解答题：（本大题共12小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知向量=（cosλθ，cos（10﹣λ）θ），=（sin（10﹣λ）θ，sinλθ），λ、θ∈R．（1）求+的值；（2）若⊥，求θ；（3）若θ=，求证：∥．考点：平面向量数量积的运算；向量的模；平行向量与共线向量．专题：综合题；平面向量及应用．分析：（1）由向量的数量积的坐标表示可求||，||，代入即可求解（2）由⊥，利用向量数量积的性质的坐标表示可得cosλθ•sin（10﹣λ）θ+cos（10﹣λ）θ•sinλθ=0，整理可求θ（3）要证明∥，根据向量平行的坐标表示，只要证明cosλθ•sinλθ﹣cos（10﹣λ）θ•sin[（10﹣λ）θ]=0即可解答：解：（1）∵||=，||=（算1个得1分）||2+||2=2，…（4分）（2）∵⊥，∴cosλθ•sin（10﹣λ）θ+cos（10﹣λ）θ•sinλθ=0∴sin（（10﹣λ）θ+λθ）=0，∴sin10θ=0…（7分）∴10θ=kπ，k∈Z，∴θ=，k∈Z…（9分）（3）∵θ=，cosλθ•sinλθ﹣cos（10﹣λ）θ•sin[（10﹣λ）θ]=cos•sin﹣cos（﹣）•sin（﹣）=cos•sin﹣sin•cos=0，∴∥…..…..（14分）点评：本题主要考查了向量的数量积的性质的坐标表示及向量平行的坐标表示，属于基础试题16．（14分）在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，SA=AB=AC=BC，点D是BC边的中点，点E是线段AD上一点，且AE=4DE，点M是线段SD上一点．（1）求证：BC⊥AM；（2）若AM⊥平面SBC，求证EM∥平面ABS．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：对（1），通过证明线面垂直⇒线线垂直即可；对（2），将空间几何问题转化为平面几何问题，在△SAD中利用M、E分线段SD、AD成等比例，证明ME与SA平行，再由线线平行⇒线面平行．解答：证明：（1）∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∵SA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴SA⊥BC，SA∩AD=A，∴BC⊥平面SAD∵AM⊂平面SAD，∴BC⊥AM．（2）∵AM⊥面SAB，⇒AM⊥SD，∵SA=AB=AC=BC，可设BC=3，SA=在△ABC中，cos∠A==﹣，∴∠A=∴AD=．在Rt△SAD中，=2==，∴SM=4MD，∵AE=4ED，∴ME∥SA，ME⊄平面ABS，SA⊂平面ABS．∴EM∥平面ABS．点评：本题考查直线与平面平行、垂直的判定．利用平面几何知识证明线线平行是本题证明（II）的关键；另：将空间几何问题转化为平面几何问题是解决问题的常用方法．17．（14分）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=1，BC=2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN，其底边MN⊥BC．（1）设∠MOD=30°，求三角形铁皮PMN的面积；（2）求剪下的铁皮三角形PMN面积的最大值．考点：两角和与差的正弦函数．专题：应用题；三角函数的图像与性质．分析：（1）设MN交AD交于Q点由∠MOD=30°，利用锐角三角函数可求MQ，OQ，进而可求MN，AQ，代入S△PMN=MN•AQ可求（2）设∠MOQ=θ，由θ∈[0，]，结合锐角三角函数的定义可求MQ=sinθ，OQ=cosθ，代入三角形的面积公式S△PMN=MN•AQ=（1+sinθ）（1+cosθ）展开利用换元法，转化为二次函数的最值求解解答：解：（1）设MN交AD交于Q点∵∠MOD=30°，∴MQ=，OQ=（算出一个得2分）S△PMN=MN•AQ=××（1+）=…（6分）（2）设∠MOQ=θ，∴θ∈[0，]，MQ=sinθ，OQ=cosθ∴S△PMN=MN•AQ=（1+sinθ）（1+cosθ）=（1+sinθcosθ+sinθ+cosθ）…．（11分）令sinθ+cosθ=t∈[1，]，∴S△PMN=（t+1+）θ=，当t=，∴S△PMN的最大值为．…..…（14分）点评：本题主要考查了三角函数的定义的应用及利用三角函数求解函数的最值，换元法的应用是求解的关键18．（16分）直角坐标系xoy中，已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A1，A2，上、下顶点为B2，B1，点P（，m）（m＞0）是椭圆C上一点，PO⊥A2B2，直线PO分别交A1B1、A2B2于点M、N．（1）求椭圆离心率；（2）若MN=，求椭圆C的方程；（3）在（2）的条件下，设R点是椭圆C上位于第一象限内的点，F1、F2是椭圆C的左、右焦点，RQ平分∠F1RF2且与y轴交于点Q，求点Q纵坐标的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据点P在椭圆上可把P点坐标用a，b表示出来，由PO⊥A2B2，可得•K OP=﹣1，由此可得a，b的关系式，连同a2=b2+c2可求得e值；（2）由MN=可得关于a，b的一方程，再根据（1）中离心率值即可求得a，b值，从而求得椭圆方程；（3）设R（x0，y0），Q（0，t），由题意得cos∠F1RQ=cos∠F2RQ，利用向量夹角公式可表示成关于y0与t的式子，根据y0的范围即可求得t的范围；解答：解：（1）因为点P在椭圆上，所以在方程中令x=，得m=b，故P（，），∵PO⊥A2B2，∴•K OP=﹣1，即﹣×=﹣1，∴4b2=3a2=4（a2﹣c2），∴a2=4c2，∴e=①，故椭圆的离心率为；（2）MN==，∴②联立①②解得，a2=4，b2=3，∴椭圆C的方程为：．（3）由（2）可得F1（﹣1，0），F2（1，0），设∠F1RQ=α，∠F2RQ=β，则cosα=cosβ，∴=．设R（x0，y0），Q（0，t），则化简得：t=﹣y0，∵0＜y0＜，t∈（﹣，0）．故点Q纵坐标的取值范围为：（﹣，0）．点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系以及椭圆标准方程的求解，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，属难题．19．（4分）已知数列a n=n﹣16，b n=（﹣1）n|n﹣15|，其中n∈N*．（1）求满足a n+1=|b n|的所有正整数n的集合；（2）若n≠16，求数列的最大值和最小值；（3）记数列{a n b n}的前n项和为S n，求所有满足S2m=S2n（m＜n）的有序整数对（m，n）．考点：数列的求和；数列的函数特性．专题：计算题；分类讨论；等差数列与等比数列．分析：（1）由a n+1=|b n|，把已知通项代入可得关于n的方程，根据绝对值的意义，从而可求符合条件的n（2）由已知=，结合式子的特点，考虑讨论n与16的大小关系及n的奇偶性分别对已知式子进行化简求解最值（3）结合b n=（﹣1）n|n﹣15|，需要考虑n与15的大小对已知式子去绝对值，然后讨论n的奇偶性代入可求满足条件的m，n解答：解：（1）∵a n+1=|b n|，∴n﹣15=|n﹣15|，∴当n≥15时，a n+1=|b n|恒成立，当n＜15时，n﹣15=﹣（n﹣15），∴n=15n的集合{n|n≥15，n∈N*}…．…．…．（4分）（2）∵=（i）当n＞16时，n取偶数==1+当n=18时（）max=无最小值n取奇数时=﹣1﹣n=17时（）min=﹣2无最大值…（8分）（ii）当n＜16时，=当n为偶数时==﹣1﹣n=14时（）max=﹣（）min=﹣当n奇数==1+，n=1，（）max=1﹣=，n=15，（）min=0 …（11分）综上，最大值为（n=18）最小值﹣2（n=17）…．…..…．（12分）（3）n≤15时，b n=（﹣1）n﹣1（n﹣15），a2k﹣1b2k﹣1+a2k b2k=2 （16﹣2k）≥0，n＞15时，b n=（﹣1）n（n﹣15），a2k﹣1b2k﹣1+a2k b2k=2 （2k﹣16）＞0，其中a15b15+a16b16=0∴S16=S14m=7，n=8…．（16分）点评：本题主要考查了数列的和的求解，求解中要注意对所出现式子的化简，体现了分类讨论思想的应用20．（6分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）2，a，b是常数．（1）若a≠b，求证：函数f（x）存在极大值和极小值；（2）设（1）中f（x）取得极大值、极小值时自变量的值分别为x1、x2，令点A（x1，f（x1）），B （x2，f（x2））．如果直线AB的斜率为﹣，求函数f（x）和f′（x）的公共递减区间的长度；（3）若f（x）≥mxf′（x）对于一切x∈R恒成立，求实数m，a，b满足的条件．考点：函数在某点取得极值的条件；函数恒成立问题．专题：导数的综合应用．分析：（1）由于f′（x）=（x﹣b）[3x﹣（2a+b）]，可得一元二次方程f′（x）=0有两不等实数根，可得f（x）存在极大值和极小值．（2）分a=b、a＞b、a＜b三种情况，求得f（x）的减区间，再求出f′（x）减区间，可得f （x）与′的公共减区间，从而求得公共减区间的长度．（3）由条件可得，（x﹣b）{（1﹣3m）x2+[m（2a+b）﹣（a+b）]x+ab}≥0恒成立，可得m=，故（x﹣b）[（a+2b）x﹣3ab]≤0恒成立．再利用二次函数的性质求得实数m，a，b满足的条件．解答：解：（1）由于f′（x）=（x﹣b）[3x﹣（2a+b）]，…（1分）∵a≠b，∴，∴一元二次方程f′（x）=0有两不等实数根b和，∴f（x）存在极大值和极小值．…（4分）（2）①若a=b，f（x）不存在减区间．②若a＞b，由（1）知x1=b，x2=，∴A（b，0），B ，∴，∴（a﹣b）2 =，∴．③当a＜b时，x1=，x2=b，同理可得a﹣b=（舍）．综上a﹣b=…..…．（7分）∴f（x）的减区间为即（b，b+1），f′（x）减区间为，∴公共减区间为（b，b+），故公共减区间的长度为．…（10分）（3）∵f（x）≥mxf′（x），∴（x﹣a）（x﹣b）2 ≥m•x（x﹣b）[3x﹣（2a+b）]，∴（x﹣b）{（1﹣3m）x2+[m（2a+b）﹣（a+b）]x+ab}≥0．若，则左边是一个一次因式，乘以一个恒正（或恒负）的二次三项式，或者是三个一次因式的积，无论哪种情况，总有一个一次因式的指数是奇次的，这个因式的零点左右的符号不同，因此不可能恒非负，不满足条件．∴，…（12分）∴（x﹣b）[（a+2b）x﹣3ab]≤0恒成立．若a+2b=0，则有a=﹣2b，∴a=b=0．若a+2b≠0，则x1=b，，且b=．①当b=0，则由二次函数的性质得a＜0，②当b≠0，则，∴a=b，且b＜0．综上可得，，a=b≤0或a＜0，b=0．…..（16分）点评：本题主要考查函数在某点取得极值的条件，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．21．（6分）如图⊙O的两弦AB，CD所在直线交于圆外一点P．（1）若PC=2，CD=1，点A为PB的中点，求弦AB的长；（2）若PO平分∠BPD，求证：PB=PD．考点：与圆有关的比例线段．分析：（1）利用割线定理即可得出；（2）利用垂径定理、同圆中的弦与弦心距的关系定理、角平分线的性质及全等三角形的判定与性质即可得出．解答：解（1）由割线定理可得：PA•PB=PC•PD，∵点A为PB的中点，∴PA=AB，∴AB•2AB=2×3，解得AB=．（2）作OM⊥CD于M，ON⊥AB于N，∵PO平分∠BPD，∴OM=ON，在同圆中弦心距相等，∴AB=CD，∴点M平分弦CD，点N平分弦AB，∴AN=NB，CM=MD，∴NB=MD．又∵△PON≌△POM，∴PN=PM，∴PN+NB=PM+MD，∴PB=PD．点评：熟练掌握圆的割线定理、垂径定理、同圆中的弦与弦心距的关系定理、角平分线的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．22．（6分）已知变换T 把平面上的点（1，0），（0，）分别变换成点（1，1），（﹣，）．（1）试求变换T对应的矩阵M；（2）求曲线x2﹣y2=1在变换T的作用下所得到的曲线的方程．考点：几种特殊的矩阵变换．专题：计算题．分析：（1）先设出所求矩阵，利用待定系数法建立一个四元一次方程组，解方程组即可；（2）先设P（x，y）是曲线x2﹣y2=1上的任一点，P1（x′，y′）是P（x，y）在矩阵T对应变换作用下新曲线上的对应点，根据矩阵变换求出P与P1的关系，代入已知曲线求出所求曲线即可．解答：解：（1）设矩阵M=依题意得，=→，∴（1，0）变换为（1，1）得：a=1，c=1，（0，）变换为（﹣，）得：b=﹣1，d=1所求矩阵M=…（5分）（2）变换T所对应关系解得…（7分）代入x2﹣y2=1得：x′y′=1，故x2﹣y2=1在变换T的作用下所得到的曲线方程得xy=1 …（10分）点评：本题主要考查来了逆矩阵与投影变换，以及计算能力，属于基础题．23．（6分）已知直线（t为参数）与圆C：（θ为参数）相交于A，B两点，m为常数．（1）当m=0时，求线段AB的长；（2）当圆C上恰有三点到直线的距离为1时，求m的值．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（1）先把参数方程化为普通方程，再利用点到直线的距离公式、弦长|AB|=2即可得出；（2）圆C上恰有三点到直线的距离为1的条件⇔圆心C到直线l的距离=1．解答：解：（1）由直线（t为参数）消去参数化为普通方程l：x+y﹣1=0；当m=0时，圆C：（θ为参数）消去参数θ得到曲线C：x2+y2=4，圆心C（0，0），半径r=2．∴圆心C到直线l的距离为d=，∴|AB|=2=．（2）由（1）可知：x+y﹣1=0，又把圆C的参数方程的参数θ消去可得：x2+（y﹣m）2=4，∴圆心C（0，m），半径r=2．只要圆心C到直线l的距离=1即可满足：圆C上恰有三点到直线的距离为1的条件．由d==1，解得m﹣1=±，∴m=1+或m=1﹣．点评：熟练把参数方程化为普通方程、掌握点到直线的距离公式、弦长|AB|=2及正确把问题等价转化是解题的关键．24．（6分）若a，b，c∈R+，a+2b+3c=6．（1）求abc的最大值；（2）求证≥12．考点：基本不等式．专题：综合题．分析：（1）由已知可得abc=a•2b•3c≤（）3，可求（2）由++=3+++=（++）（a+2b+3c），化简后利用基本不等式可证解答：解：（1）∵a，b，c∈R+，a+2b+3c=6∴abc=a•2b•3c≤（）3=当a=2，b=1，c=时取等号，∴abc的最大值为…．…..（5分）（2）∵++=3+++而（++）（a+2b+3c）≥（++）2=54∴++≥9∴++≥12…（10分）点评：本题主要考查了基本不等式在求解最值及证明中的应用，解题的关键是对基本不等式应用条件的配凑25．（6分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为AD、DC的中点．（1）求直线BC1与平面EFD1所成角的正弦值；（2）设直线BC1上一点P满足平面PAC∥平面EFD1，求PB的长．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；平面与平面平行的判定；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）建立以D点为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴的空间直角坐标系，求出平面D1EF的法向量，和直线BC1的方向向量，代入向量夹角公式，可得直线BC1与平面EFD1所成角的正弦值；（2）设=λ，可求出向量的坐标（含参数λ），进而根据平面PAC∥平面EFD1，可得平面D1EF的法向量也垂直平面PAC，即.=0，进而求出参数值后，代入向量模的计算公式可得答案．解答：解：（1）建立以D点为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z 轴的空间直角坐标系则D1（0，0，2），A（2，0，0），B（2，2，0），E（1，0，0），C1（0，2，2），F（0，1，0）．=（﹣2，0，2），=（1，0，﹣2），=（﹣1，1，0）．设平面D1EF的法向量=（x1，y1，z1），则，即令x1=2，则=（2，2，1）…（3分）∴cos＜，＞==﹣∴直线BC1与平面EFD1所成角的正弦值为…..…..（5分）（2）设=λ=（﹣2λ，0，2λ）则=+=（﹣2λ，2，2λ），.=﹣4λ+4+2λ=0∴λ=2…（8分）∵AP⊄平面EFD1，AP∥平面EFD1，又AC∥EF，EF⊆平面EFD1，∴AC∥平面EFD1又AP∩AC=A，AP，AC⊂平面EFD1，∴平面PAC∥平面EFD1，∴=（﹣4，0，4），=4…．（10分）点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，平面与平面平行的判定，其中建立空间坐标系，将空间线面关系及夹角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．26．（6分）如图A1（x1，y1）（y1＜0）是抛物线y2=mx（m＞0）上的点，作点A1关于x轴的对称点B1，过B1作与抛物线在A1处的切线平行的直线B1A2交抛物线于点A2．（1）若A1（4，﹣4），求点A2的坐标；（2）若△A1A2B1的面积为16，且在A1，B1两点处的切线互相垂直．①求抛物线方程；②作A2关于x轴的对称点B2，过B2作与抛物线在A2处的切线平行的直线B2A3，交抛物线于点A3，…，如此继续下去，得一系列点A4，A5，…，设A n（x n，y n），求满足x n≥10000x1的最小自然数n．考点：抛物线的标准方程；数列的函数特性．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由A1（4，﹣4）在抛物线上代入可求m，设出A2（x2，﹣2x2），对函数y=﹣求导根据导数的几何意义可求x2，即可求解A2．（2）①设A1，B1处切线的斜率分别为K1，K2，容易得出K1•K2=﹣1，代入点的坐标即可得到m与x1 的方程，再设A2，结合已知又可得x2，x1的关系，代入三角形的面积公式中即可可求知x1，m，从而可求抛物线方程②由题意可求x n与x n﹣1的递推关系，结合等比数列的通项公式可求n的最小值解答：解：（1）若A1（4，﹣4）在抛物线上∴16=4m∴m=4，设A2（x2，﹣2x2），y=﹣，y′=﹣，B（4，4）∴=∴x2=36∴A2（36，﹣12）…．…．…（3分）（2）①设A1，B1处切线的斜率分别为K1，K2，K1•K2=﹣1∴（﹣）.=﹣1∴m=4x1 ①设A2（x2，﹣）∴=﹣∴x2=9x1 ②又S=×2（x2﹣x1）=16 ③由①②③知x1=1，m=4∴抛物线方程为y2=4x…..…（6分）②由（2）知=﹣，∴x n=9x n﹣1，∴数列{x n}为等比数列，∴x19n﹣1≥10000x1∴n≥6∴n最小值为6…（10分）点评：本题主要考查了由抛物线的性质求解抛物线的方程，还考查了一定的逻辑推理与运算的能力。
江苏省泰州中学2013届高三上学期摸底考试数学试题(含解析)
江苏省泰州中学2013-2014学年度第一学期高三数学考试试题一、填空题 (请将答案填写在答题纸相应的位置)1．设集合A ={1，2，3}，B ={2，4，6}，则A ∩B =____▲______． 2．已知i 是虚数单位，若=b +i (a ,b)，则ab 的值为____▲______．3．某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为____▲______．4．设函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （a ）＞f （b ），则f （﹣a ）____▲_____f （﹣b ）（用“＞”或“＜”填空）．5．在平面直角坐标系x O y 中，已知=（3，﹣1），=（0，2）．若•=0，=λ，则实数λ的值为____▲______．6．如右图，该程序运行后输出的结果为____▲______．7．由命题“存在x ∈R ，使x 2+2x +m ≤0”是假命题，求得m 的取值范围是（a ，+∞），则实数a 的值是____▲______． 8．函数f (x )=2s in ()，x ∈[﹣π，0]的单调递减区间单间为____▲______．9．在集合{x |x =}中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cos x =的概率是____▲______．10．设中心在原点的双曲线与椭圆+y 2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是____▲______．11．已知点A （1，1）和点B （﹣1，﹣3）在曲线C ：y =ax 3+bx 2+d （a ，b ，d 为常数上，若曲线在点A 和点B 处的切线互相平行，则a 3+b 2+d =____▲______． 12．（5分）给出下列命题：（1）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； （3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m ，那么另一条直线也与直线m 垂直；（4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，所有真命题的序号为____▲______． 13．已知函数f （x ）=，当t ∈[0，1]时，f （f （t ））∈[0，1]，则实数t 的取值范围是____▲______．14．已知函数f （x ）=||x ﹣1|﹣1|，若关于x 的方程f （x ）=m （m ∈R ）恰有四个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2x 3x 4的取值范围是____▲______．二、解答题(本大题共6小题，共90分．请在答题纸．．．指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15.在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知.3tan )(222bc A a c b =-+（1）求角A ； （2）若a =2，求△ABC 面积S 的最大值.BA DCFE16．如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，BE ＝BC ，F 为CE 上的一点，且BF ⊥平面ACE ． （1）求证：AE ⊥BE ；（2）求证：AE ∥平面BFD ．17.有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定.大桥上的车距()d m 与车速(/)v km h 和车长()l m 的关系满足：l l kv d 212+=（k 为正的常数），假定车身长为4m ，当车速为60(/)km h 时，车距为2.66个车身长. (1) 写出车距d 关于车速v 的函数关系式;(2) 应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？18．给定圆P :222x y x +=及抛物线S :24y x =,过圆心P 作直线,此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为A B C D 、、、,如果线段AB BC CD 、、的长按此顺序构成一个等差数列,求直线的方程.19.已知以a 为首项的数列{}n a 满足：13,3,2, 3.n n n n na a a a a +->⎧=⎨≤⎩(1)若0＜n a ≤6，求证：0＜1n a +≤6;(2)若a ，k ∈N *，求使n k n a a +=对任意正整数n 都成立的k 与a ；20．已知(),P x y 为函数1ln y x =+图象上一点，O 为坐标原点，记直线OP 的斜率()k f x =．（1）若函数()f x 在区间1,3m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()0m >上存在极值，求实数m 的取值范围； （2）当 1x ≥时，不等式()1tf x x ≥+恒成立，求实数的取值范围； （3）求证：()*1ln[(1)]2ni i i n n N =⋅+>-∈∑．江苏省泰州中学2014届高三数学摸底考试教师讲评参考xyoAB CDP一、填空题2．已知i是虚数单位，若=b+i(a,b)，则ab的值为﹣3．，得3．某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为4．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（a）＞f（b），则f（﹣a）＜f（﹣b）（用“＞”或“＜”填空）．5．在平面直角坐标系x O y中，已知=（3，﹣1），=（0，2）．若•=0，=λ，则实数λ的值为2．据向量、的坐标，得到），设）可得•==λ，得到=），=﹣），可得•===，、的坐标，再•且=λ的情况下求实数6．如图，该程序运行后输出的结果为16．1．8．函数f(x)=2s in()，x∈[﹣π，0]的单调递减区间单间为．∈，﹣，﹣即可求得答案．∈，﹣]令z=x﹣，则z∈[﹣，﹣]，﹣，﹣]≤﹣得：﹣，﹣9．在集合中任取一个元素，所取元素恰好满足方程的概率是．本题考查的知识点是古典概型，由集合的基本事件个数，代入古典概型公式，解：∵集合时，故满足条件的概率=10．设中心在原点的双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是2x2﹣2y2=1．根据双曲线与椭圆解：椭圆∵中心在原点的双曲线与椭圆，椭圆与双曲线的离心率互为倒数．∴双曲线的离心率为，11．已知点A（1，1）和点B（﹣1，﹣3）在曲线C：y=ax3+bx2+d（a，b，d为常数上，若曲线在点A和点B处的切线互相平行，则a3+b2+d=7．解得：12．给出下列命题：（1）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；（3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直；（4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，所有真命题的序号为（1）、（3）、（4）．13．已知函数当t∈[0，1]时，f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值范围是．，=解得：．故答案为：．14．已知函数f （x ）=||x ﹣1|﹣1|，若关于x 的方程f （x ）=m （m ∈R ）恰有四个互不相等的实数根x 1，．．．字说明、证明过程或演算步骤．)15.（本小题满分14分）在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知.3tan )(222bc A a c b =-+（1）求角A ； （2）若a =2，求△ABC 面积S 的最大值.15.解：（1）由已知得23sin 23cos sin 2222AA A bc a c b ⇒=⋅-+ ……4分 又在锐角△ABC 中，所以A =60° ……7分BADCFE（第16题）（2）因为a =2，A =60°所以bc A bc S bc c b 43sin 21,422==+=+ ……8分 而424222≤⇒≥+⇒≥+bc bc bc bc c b ……10分 又344343sin 21=⨯≤==bc A bc S ……14分所以△ABC 面积S 的最大值等于316．（本小题满分14分）如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，BE＝BC ，F 为CE 上的一点，且BF ⊥平面ACE ． （1）求证：AE ⊥BE ；（2）求证：AE ∥平面BFD ．16．（1）证明：∵平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE =AB ，AD ⊥AB ，∴AD ⊥平面ABE ，AD ⊥AE ． ∵AD ∥BC ，则BC ⊥AE ． ………………………3分 又BF ⊥平面ACE ，则BF ⊥AE ． ∵BC ∩BF =B ，∴AE ⊥平面BCE ，∴AE ⊥BE ． ………………………7分（2）设AC ∩BD =G ，连接FG ，易知G 是AC 的中点，∵BF ⊥平面ACE ，则BF ⊥CE ．而BC=BE ，∴F 是EC 中点． …………………10分 在△ACE 中，FG ∥AE ，∵AE ⊄平面BFD ，FG ⊂平面BFD ，∴ AE ∥平面BFD ． ………………………14分17.（本题满分14分）有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定.大桥上的车距()d m 与车速(/)v km h 和车长()l m 的关系满足：l l kv d 212+=（k 为正的常数），假定车身长为4m ，当车速为60(/)km h 时，车距为2.66个车身长.(3) 写出车距d 关于车速v 的函数关系式;(4) 应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？17．⑴因为当60v =时，l d 66.2=，所以0006.06016.2602166.222==-=l ll k ，∴20.00242d v =+ . …………6分⑵设每小时通过的车辆为Q ，则10004=+v Q d ．即Q 21000100060.002460.0024v v v v==++ ∵60.00240.24v v +=≥，∴1000125000.243Q =≤，当且仅当60.0024v v =，即50v =时，Q 取最大值125003 (13x)yoAB CDP G BA DCFE分答：当()50v =km /h 时，大桥每小时通过的车辆最多．…………14分18．（本小题满分16分）给定圆P :222x y x +=及抛物线S :24y x =, 过圆心P 作直线,此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次 记为A B C D 、、、,如果线段AB BC CD 、、的长按此顺序构成一 个等差数列,求直线的方程.18．解：圆P 的方程为()2211x y -+=,则其直径长2B C =,圆心为()1,0P ,设的方程为1ky x =-,即1x ky =+,代入抛物线方程得:244y ky =+,设()()1122,, ,A x y D x y ，有121244y y k y y +=⎧⎨=-⎩,则222121212()()416(1)y y y y y y k -=+-=+.故222222212121212||()()()()4y y AD y y x x y y -=-+-=-+22221212()[1()]16(1)4y y y y k +=-+=+,因此2||4(1)AD k =+. …… 8分据等差，2BC AB CD AD BC =+=-,所以36AD BC ==，即()2416k +=,k =14分0y --=0y +=. ………16分19.(本小题满分16分)已知以a 为首项的数列{}n a 满足：13,3,2, 3.n n n n na a a a a +->⎧=⎨≤⎩(1)若0＜n a ≤6，求证：0＜1n a +≤6;(2)若a ，k ∈N ﹡，求使n k n a a +=对任意正整数n 都成立的k 与a ；19．（1）当]3,0(∈n a 时，则∈=+n n a a 21]6,0(，当]6,3(∈n a 时，则]3,0(31∈-=+n n a a , 故]6,0(1∈+n a ，所以当60≤<n a 时，总有601≤<+n a ． …………8分 （2）①当1=a 时，1,4,2432===a a a ，故满足题意的∈=t t k ,3N *． 同理可得，当2=a 或4时，满足题意的∈=t t k ,3N *． 当3=a 或6时，满足题意的∈=t t k ,2N *．②当5=a 时，1,4,2432===a a a ，故满足题意的k 不存在． ③当7≥a 时，由（1）知，满足题意的k 不存在．综上得：当421，，a =时，满足题意的∈=t t k ,3N *； 当63，a =时，满足题意的∈=t t k ,2N *．…………16分 20．（本小题满分16分）已知(),P x y 为函数1ln y x =+图象上一点，O 为坐标原点，记直线OP 的斜率()k f x =．xyo ABCDP（1）若函数()f x 在区间1,3m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()0m >上存在极值，求实数m 的取值范围； （2）当 1x ≥时，不等式()1tf x x ≥+恒成立，求实数的取值范围； （3）求证：()*1ln[(1)]2ni i i n n N =⋅+>-∈∑．解：（1）由题意()1ln x k f x x +==，0x >,所以()21ln ln x x f x x x '+⎛⎫'==- ⎪⎝⎭…………………2分当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，故()f x 在1x =处取得极大值． 因为函数()f x 在区间1,3m m ⎛⎫+⎪⎝⎭（其中0m >）上存在极值， 所以01113m m <<⎧⎪⎨+>⎪⎩，得213m <<．即实数m 的取值范围是213⎛⎫⎪⎝⎭，． ……………4分 （2）由()1t f x x ≥+得()()11ln x x t x ++≤，令()()()11ln x x g x x++=，则()2ln x xg x x-'=． ……………………………………………………6分 令()ln h x x x =-，则()111=x h x x x-'=-， 因为1,x ≥所以()0h x '≥,故()h x 在[)1+∞，上单调递增．……………………8分 所以()()110h x h ≥=>,从而()0g x '>()g x 在[)1+∞，上单调递增, ()()12g x g ≥=所以实数的取值范围是(],2-∞． …………………………………………10分 （3）由(2) 知()21f x x ≥+恒成立, 即1ln 2122ln 11111x x x x x x x x+-≥⇔≥=->-+++ ……………………12分 令()1,x n n =+则()()2ln[1]11n n n n +>-+，……………………14分所以()2ln 12112⨯>-⨯， ()2ln 23123⨯>-⨯，……,()()2ln 111n n n n +>-+．将以上n 个式子相加得：()1111ln[(i 1)]212231ni i n n n =⎡⎤+>-++⋅⋅⋅+⎢⎥⨯⨯+⎣⎦∑ 12121n n n ⎛⎫=-->- ⎪+⎝⎭，故()*1ln[(i 1)]2ni i n n N =+>-∈∑． …………………………………16分江苏省泰州中学2013-2014学年度第一学期高三数学考试试题参考答案 2013.8.31一、填空题1．设集合A ={1，2，3}，B ={2，4，6}，则A ∩B = {2} ． 2．已知i 是虚数单位，若=b +i (a ,b)，则ab 的值为 ﹣3 ．3．某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为 0.032 ．4．设函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （a ）＞f （b ），则f （﹣a ） ＜ f （﹣b ）（用“＞”或“＜”填空）．5．在平面直角坐标系x O y 中，已知=（3，﹣1），=（0，2）．若•=0，=λ，则实数λ的值为 2 ．6．如图，该程序运行后输出的结果为 16 ．7．由命题“存在x ∈R ，使x 2+2x +m ≤0”是假命题，求得m 的取值范围是（a ，+∞），则实数a 的值是 1 ．8．函数f (x )=2s in ()，x ∈[﹣π，0]的单调递减区间单间为 ．9．在集合{x |x =}中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cos x =的概率是 ．设中心在原点的双曲线与椭圆+y 2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是 2x 2﹣2y 2=1 ．11．已知点A （1，1）和点B （﹣1，﹣3）在曲线C ：y =ax 3+bx 2+d （a ，b ，d 为常数上，若曲线在点A 和点B 处的切线互相平行，则a 3+b 2+d = 7 ． 12．（5分）给出下列命题：（1）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； （3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m ，那么另一条直线也与直线m 垂直；（4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，所有真命题的序号为 （1）、（3）、（4） ． 13．已知函数f （x ）=，当t ∈[0，1]时，f （f （t ））∈[0，1]，则实数t 取值范围是 ．14．已知函数f （x ）=||x ﹣1|﹣1|，若关于x 的方程f （x ）=m （m ∈R ）恰有四个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2x 3x 4的取值范围是 （﹣3，0） ．二、解答题15. （本小题满分14分）在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知.3tan )(222bc A a c b =-+（1）求角A ； （2）若a =2，求△ABC 面积S 的最大值.解：（1）由已知得23sin 23cos sin 2222A A A bc a c b ⇒=⋅-+ ……4分又在锐角△ABC 中，所以A =60° ……7分 （2）因为a =2，A =60°所以bc A bc S bc c b 43sin 21,422==+=+ ……8分 而424222≤⇒≥+⇒≥+bc bc bc bc c b ……10分又344343sin 21=⨯≤==bc A bc S ，所以△ABC 面积S 的最大值等于3。
江苏省泰州二中2013届高三第一次测试数学试题(附答案) (1)
泰州二中2013届高三第一次测试数学试题必做题部分（满分160分)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
1、若}1log |{},822|{2>∈=≤≤∈=x R x B Z x A x，则B A ⋂=__________。
2、设0)1)((:;1|34:|≤---≤-a x a x q x p ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_______________。
3、已知复数11z i =-，21z i =+,那么21z z =_________。
4、若角α的终边落在射线)0(≥-=x x y 上，则ααααcos cos 1sin 1sin 22-+-=____________。
212=a ，5、在数列}{n a 中，若11=a ，)(112*21N n a a a n n n ∈+=++，则该数列的通项为 。
6、甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表（单位:环）如果甲、乙两人中只有1人入选，则入选的最佳人选应是 。
7、在闭区间 [－1，1]上任取两个实数，则它们的和不大于1的概率是 。
8、已知对称中心为原点的双曲线2122=-y x 与椭圆有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的标准方程为___________________。
9、阅读下列程序:Read S ←1For I from 1 to 5 step 2 S ←S+I Print S End for End输出的结果是 。
10、给出下列四个命题，其中不正确命题的序号是 。
甲 10 8 9 9 9 乙1010799①若Z k k ∈=-=,2,cos cos πβαβα则；②函数)32cos(2π+=x y 的图象关于x=12π对称；③函数))(cos(sin R x x y ∈=为偶函数，④函数||sin x y =是周期函数，且周期为2π。
11、若函数52++=x mx y 在[2,)-+∞上是增函数，则m 的取值范围是____________。
江苏省泰州二中2013届高三第一次测试数学试题(附答案)
泰州二中2013届高三第一次测试数学试题必做题部分（满分160分)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
1、若}1log |{},822|{2>∈=≤≤∈=x R x B Z x A x，则B A ⋂=__________。
2、设0)1)((:;1|34:|≤---≤-a x a x q x p ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_______________。
3、已知复数11z i =-，21z i =+,那么21z z =_________。
4、若角α的终边落在射线)0(≥-=x x y 上，则ααααcos cos 1sin 1sin 22-+-=____________。
212=a ，5、在数列}{n a 中，若11=a ，)(112*21N n a a a n n n ∈+=++，则该数列的通项为 。
6、甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表（单位:环）如果甲、乙两人中只有1人入选，则入选的最佳人选应是 。
7、在闭区间 [－1，1]上任取两个实数，则它们的和不大于1的概率是 。
8、已知对称中心为原点的双曲线2122=-y x 与椭圆有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的标准方程为___________________。
9、阅读下列程序:Read S ←1For I from 1 to 5 step 2 S ←S+I Print S End for End输出的结果是 。
10、给出下列四个命题，其中不正确命题的序号是 。
甲 10 8 9 9 9 乙1010799①若Z k k ∈=-=,2,cos cos πβαβα则；②函数)32cos(2π+=x y 的图象关于x=12π对称；③函数))(cos(sin R x x y ∈=为偶函数，④函数||sin x y =是周期函数，且周期为2π。
11、若函数52++=x mx y 在[2,)-+∞上是增函数，则m 的取值范围是____________。
2013届江苏省泰州中学高三上学期期中考试数学试题
江苏省泰州中学2012—2013学年度高三年级上学期期中考试数学试题（2012.11.5）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.已知集合},1{},2,0{2a B A ==，若}4,2,1,0{=B A ，则实数a=2. 若4sin ,tan 05θθ=->，则cos θ= . 3. 写出命题：“,sin x R x x ∀∈<”的否定：4. 幂函数f(x)＝x α(α为常数)的图象经过，则f(x)的解析式是 ． 5. 若a+a -1=3，则2121--a a 的值为6.函数()f x =的定义域为A ，若2A ∉，则a 的取值范围为 ．7. 已知f(x)是偶函数，它在[0，＋∞)上是 增函数，若f(lgx)＜f(1)，则x 的取值范围 是 ．8. 设数列{}n a 是首相大于零的等比数列,则“21a a <”是“数列{}n a 是递增数列”的_____条件．9. 若向量(,2),(3,2)a x x b x ==-，且,a b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是 510. 已知函数)(log 221a ax x y +-=在区间]2,(-∞上是增函数，则实数a 的取值范围是 . 11. 给出下列命题： ①存在实数x ，使得3cos sin π=+x x ；②函数x y 2sin =的图象向右平移4π个单位，得到)42sin(π+=x y 的图象；③函数)2732sin(π-=x y 是偶函数； ④已知βα,是锐角三角形ABC 的两个内角，则βαcos sin >。
其中正确的命题的个数为12. 已知点O 为△ABC 的外心，且4AC =，2AB =，则AO BC ⋅的值等于 ． 13. 数列{}n a 中,()()111,()211n n n na a a n N n na *+==∈++，则数列{}n a 的前2012项的和 为 .14. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()12f =，()1f x '<，则不等式()221f x x <+的解集为_ .二、解答：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. （本小题满分14分）已知命题p ：指数函数f (x )＝(2a －6)x 在R 上单调递减，命题q ：关于x 的方程 x 2－3ax ＋2a 2＋1＝0的两个实根均大于3.若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．16. （本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，且2224)S b c a =+-（1）求角A ； （2）求值：00cos(80)[110)]A A ---17. （本小题满分14分）设函数22111()log ()2122x f x x x x -=<->+或. (1)证明:()f x 是奇函数; (2)求()f x 的单调区间; (3)写出函数221()log 23x g x x +=+图象的一个对称中心.18. （本小题满分16分）某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x （0＜x ＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x ，年销售量也相应增加.已知年利润=（每辆车的出厂价－每辆车的投入成本）×年销售量. （1）若年销售量增加的比例为0.4x ，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？（2）年销售量关于x 的函数为)352(32402++-=x x y ，则当x 为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？19. （本小题满分16分）已知函数x a x x f ln )(2+=(a 为实常数).(1)若2-=a ，求证：函数)(x f 在(1，+．∞)上是增函数； (2)求函数)(x f 在[1，e]上的最小值及相应的x 值；(3)若存在],1[e x ∈，使得x a x f )2()(+≤成立，求实数a 的取值范围.20. （本小题满分16分）设数列{}n a 、{}n b 满足14a =，252a =，12n n n a b a ++=，12n n n n na b b a b +=+． （1）证明：2n a >，02n b <<（*n N ∈）； （2）设32log 2n n n a c a +=-，求数列{}n c 的通项公式； （3）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，数列{}n n a b 的前n 项和为{}n P ，求证：83n n n S T P +<+．()2n ≥江苏省泰州中学2013届高三期中考试数学参考答案与评分标准1．2± 2.35- 3. ,sinx R x x∃∈≥ 4.12()f x x= 5.1±6. 1<a<37.1(,10)108. 充要；9.114(,)(,0)(,)333-∞--+∞10.2)+ 11. 3个12. 613.2012201314.()(),11,-∞-+∞15. 解：若p真，则f(x)＝(2a－6)x在R上单调递减，∴0<2a－6<1，∴3<a<72，若q真，令f(x)＝x2－3ax＋2a2＋1，则应满足⎩⎨⎧Δ＝(－3a)2－4(2a2＋1)≥0－－3a2>3f(3)＝9－9a＋2a2＋1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a≥2或a≤－2a>2a<2或a>52，故a>52，又由题意应有p真q假或p假q真．…………………………6分①若p真q假，则⎩⎨⎧3<a<72a≤52，a无解．②若p假q真，则⎩⎨⎧a≤3或a≥72a>52，∴52<a≤3或a≥72.………………………………………………6分故a的取值范围是{a|52<a≤3或a≥72}．…………………14分16.(1)014sin cos ,tan 0,602bc A bc A A A A π⋅=∴=<<∴=………6分（2）原式=000cos110cos 20(1tan 50)cos 20cos 60cos50o=0002cos 20(sin 20)1sin 40-==-……………………14分 17.(1)4分(2)单调增区间有11(,),(,)22-∞-+∞……………6分(3)(1,0)-……………4分 18. 解：（1）由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×（1+x ）； 出厂价为13×（1+0.7x ）；年销售量为5000×（1+0.4x ）， ……2分 因此本年度的利润为[13(10.7)10(1)]5000(10.4)y x x x =⨯+-⨯+⨯⨯+(30.9)5000(10.4)x x =-⨯⨯+即：21800150015000(01),y x x x =-++<< …………………………6分 由2180015001500015000x x -++>， 得506x << ………8分 （2）本年度的利润为)55.48.49.0(3240)352(3240)9.03()(232++-⨯=++-⨯⨯-=x x x x x x x f则),3)(59(972)5.46.97.2(3240)(2'--=+-⨯=x x x x x f ……10分由,395,0)('===x x x f 或解得当)(,0)()95,0('x f x f x >∈时，是增函数；当)(,0)()1,95('x f x f x <∈时，是减函数.∴当95=x 时，20000)95()(=f x f 取极大值万元， ……12分因为()f x 在（0，1）上只有一个极大值，所以它是最大值， ……14分所以当95=x 时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元． ……16分19. （1）当2-=a 时，x x x f ln 2)(2-=，当),1(+∞∈x ，0)1(2)(2>-='xx x f ，故函数)(x f 在),1(+∞上是增函数．…………………………………………………4分（2）)0(2)(2>+='x xax x f ，当],1[e x ∈，]2,2[222e a a a x ++∈+．若2-≥a ，)(x f '在],1[e 上非负（仅当2-=a ，x=1时，0)(='x f ），故函数)(x f 在],1[e 上是增函数，此时=min )]([x f 1)1(=f ． ………………………………………………6分若222-<<-a e ，当2a x -=时， 0)(='x f ；当21ax -<≤时，0)(<'x f ，此时)(x f 是减函数； 当e x a ≤<-2时，0)(>'xf ，此时)(x f 是增函数．故=min )]([x f )2(af - 2)2ln(2aa a --=． 若22e a -≤，)(x f '在],1[e 上非正（仅当2e 2-=a ，x=e 时，0)(='x f ），故函数)(x f 在],1[e 上是减函数，此时==)()]([min e f x f 2e a +．……………………………………8分综上可知，当2-≥a 时，)(x f 的最小值为1，相应的x 值为1；当222-<<-a e 时，)(x f的最小值为2)2ln(2aa a --，相应的x 值为2a -；当22e a -≤时，)(x f 的最小值为2e a +，相应的x 值为e ．……………………………………………………………………10分 （3）不等式x a x f )2()(+≤， 可化为x x x x a 2)ln (2-≥-．∵],1[e x ∈, ∴x x ≤≤1ln 且等号不能同时取，所以x x <ln ，即0ln >-x x ，因而xx xx a ln 22--≥（],1[e x ∈）………………………………………………12分令x x xx x g ln 2)(2--=（],1[e x ∈），又2)ln ()ln 22)(1()(x x x x x x g --+-='，…………………14分当],1[e x ∈时，1ln ,01≤≥-x x ，0ln 22>-+x x ，从而0)(≥'x g （仅当x=1时取等号），所以)(x g 在],1[e 上为增函数，故)(x g 的最小值为1)1(-=g ，所以a 的取值范围是),1[+∞-． ………………………16分20. （1）12n n n a b a ++=，12n nn n na b b a b +=+两式相乘得11n n n n a b a b ++=，{}n n a b ∴为常数列，114n n a b a b ∴==；（2分）4n n b a ∴=114()22n n na a a +∴=+>；02n b ∴<<； （若2n a =，则12n a +=，从而可得{}n a 为常数列与14a =矛盾）；……………4分（2）32log 2n n n a c a +=-， 211333311222222log log log 2log 21222222n n nn n n n n n n n na a a a a c c a a a a a +++++⎛⎫⎛⎫+++∴===== ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭+- 又因为11c =， {}n c ∴为等比数列， 12n n c -∴=…………………8分 （3）由12n n c -=可以知道，1111222231242212313131n n n n n a ----+⎛⎫==+=+ ⎪---⎝⎭， 令12431n n d -=-，数列{}n d 的前n 项和为n D ，很显然只要证明83n D ≤()2n ≥， 222314n n -≥∴+≥．因为12431n n d -=-()()()222122224414313131n n n n d ----==≤+--， ∴n d ()()222243131n n --=+-22122111444n n n d d d ---⎛⎫⎛⎫≤≤≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以n D =123()n d d d d ++++2212111[1]444n d d -⎛⎫⎛⎫≤+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22211124218218221134334314n n n ---⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎝⎭≤+=+-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-所以823n S n <+．……………14分 又4,2n n n a b b =<，故4,2n n P n n =<且T ， 所以888224333n n n S T n n n P +<++=+=+()2n ≥．…………………16分。
江苏省泰州市2013届高三数学学情诊断测试
江苏省泰州中学2012-2013学年度第一学期学情诊断一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 命题“012,2>++∈∀x x R x ”的否定是 ．2．“x >1”是“x 2>x ”成立的_______条件．（可选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”）3．集合M ＝{x |y ＝x －1}，N ＝{y |y ＝x －1}，则M ∩N ＝_______． 4．已知角α的终边经过点(),6P x -，且3tan 5α=-，则x 的值为 ． 5．在ABC ∆中，若2cos sin =-A A ，则A tan =_______．6．已知1sin cos 2αα=+，则⎪⎭⎫⎝⎛+4sin 2cos παα的值为 ． 7．函数x x y 2cos 2sin 3+-=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,6ππx 的值域为 . 8．函数()f x 在定义域R 内可导，若()(2)f x f x =-，且当(,1)x ∈-∞时，(1)'()0x f x -<，设1(0),(),(3)2a fb fc f ===，则,,a b c 从小到大排列的顺序为 . 9．定义在R 上的函数()x f 满足()()()()⎩⎨⎧>---≤-=0,210,8log 2x x f x f x x x f ，则()3f 的值为 ．10．已知直线x ＝a (0＜a ＜π2)与函数f (x )＝sin x 和函数g (x )＝cos x 的图象分别交于M ，N 两点，若MN ＝15，则线段MN 的中点纵坐标为 ．11．已知函数f (x )＝|x 2－6|，若a ＜b ＜0，且f (a )＝f (b )，则a 2b 的最小值是 . 12．已知函数f (x )＝(ax 2＋x )－x ln x 在[1,＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．13．已知函数()3111,0,,36221,,1.12x x f x x x x ⎧⎡⎤-+∈⎪⎢⎥⎣⎦⎪=⎨⎛⎤⎪∈ ⎥⎪+⎝⎦⎩函数()sin 226g x a x a π=-+，其中0a >．若存在[]12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围是 ．14．设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有()(4)f x f x =+，且当[2,0]x ∈-时，1()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(2,6]-内关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>恰有三个不同的实数根，则a 的取值范围为 ．二、解答题：本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分14分）已知集合A ＝{x |(x －2)(x －3a －1)＜0}，函数y ＝lg 2a －xx －a 2＋1的定义域为集合B .（Ⅰ）若A ＝B ，求实数a 值；（Ⅱ）是否存在实数a 的值使φ=⋂B A ，若存在则求出实数a 的值，若不存在说明理由.16.（本小题满分14分）已知函数()316f x x x =+-. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(2,6)-处的切线的方程；（Ⅱ）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程； （Ⅲ）如果曲线()y f x =的某一切与直线134y x =-+垂直，求切点坐标.17.（本小题满分14分）已知向量2(3sin ,1),(cos ,cos ).444x x x m n == （Ⅰ）若1m n ⋅=,求2cos()3x π-的值； （Ⅱ）记()f x m n =⋅，在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=，求函数()f A 的取值范围．18.（本小题满分16分）因发生意外交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中．为了治污，根据环保部门的建议，现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂．已知每投放a （1≤a ≤4，且a ∈R ）个单位的药剂，它在水中释放的浓度y （克/升）随着时间x （天）变化的函数关系式近似为y ＝a ·f （x ），其中f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧168－x －10≤x ≤4，5－12x 4＜x ≤10.若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效治污的作用． （Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？（Ⅱ）若第一次只能投放2个单位的药剂，6天后可再投放a 个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求a 的最小值．19.（本小题满分16分）设t ＞0，已知函数f (x )＝x 2(x －t )的图象与x 轴交于A 、B 两点． （Ⅰ）求函数f (x )的单调区间；（Ⅱ）设函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率为k ，当x 0∈(0，1]时，k ≥－12恒成立，求t 的最大值；（Ⅲ）有一条平行于x 轴的直线l 恰好．．与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的交点C ，D ，若四边形ABCD 为菱形，求t 的值．20.（本小题满分16分）已知函数x a x g b x x x f ln )(,)(23=++-=． （Ⅰ）若)(x f 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈1,21x 上的最大值为83，求实数b 的值；（Ⅱ）若对任意[]e x ,1∈，都有x a x x g )2()(2++-≥恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设()()⎩⎨⎧≥<=1,1,)(x x g x x f x F ，对任意给定的正实数a ，曲线)(x F y =上是否存在两点Q P ,，使得POQ ∆是以（O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．江苏省泰州中学2012-2013学年度第一学期学情诊断 数 学 试 卷 答 案 2012.10.8一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 命题“012,2>++∈∀x x R x ”的否定是 ． 【答案】012,2≤++∈∃x x R x2．“x >1”是“x 2>x ”成立的_______条件．（可选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”） 【答案】充分不必要3．集合M ＝{x |y ＝x －1}，N ＝{y |y ＝x －1}，则M ∩N ＝_______． 【答案】[)+∞,14．已知角α的终边经过点(),6P x -，且3tan 5α=-，则x 的值为 ． 【答案】105．在ABC ∆中，若2cos sin =-A A ，则A tan =_______．【答案】1- 6．已知1sin cos 2αα=+，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+4sin 2cos παα的值为 ． 【答案】22-7．函数x x y 2cos 2sin 3+-=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,6ππx 的值域为 . 【答案】[]1,2--8．函数()f x 在定义域R 内可导，若()(2)f x f x =-，且当(,1)x ∈-∞时，(1)'()0x f x -<，设1(0),(),(3)2a fb fc f ===，则,,a b c 从小到大排列的顺序为 . 【答案】c a b <<.9．定义在R 上的函数()x f 满足()()()()⎩⎨⎧>---≤-=0,210,8log 2x x f x f x x x f ，则()3f 的值为 ． 【答案】3-10．已知直线x ＝a (0＜a ＜π2)与函数f (x )＝sin x 和函数g (x )＝cos x 的图象分别交于M ，N 两点，若MN ＝15，则线段MN 的中点纵坐标为 ．【答案】71011．已知函数f (x )＝|x 2－6|，若a ＜b ＜0，且f (a )＝f (b )，则a 2b 的最小值是 . 【答案】－1612．已知函数f (x )＝(ax 2＋x )－x ln x 在[1,＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】[12e,＋∞)13．已知函数()3111,0,,36221,,1.12x x f x x x x ⎧⎡⎤-+∈⎪⎢⎥⎣⎦⎪=⎨⎛⎤⎪∈ ⎥⎪+⎝⎦⎩函数()sin 226g x a x a π=-+，其中0a >．若存在[]12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有()(4)f x f x =+，且当[2,0]x ∈-时，1()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(2,6]-内关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>恰有三个不同的实数根，则a 的取值范围为 ． 【答案】3(4,2)二、解答题：本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分14分）已知集合A ＝{x |(x －2)(x －3a －1)＜0}，函数y ＝lg 2a －xx －a 2＋1的定义域为集合B .（Ⅰ）若A ＝B ，求实数a 值；（Ⅱ）是否存在实数a 的值使φ=⋂B A ，若存在则求出实数a 的值，若不存在说明理由. 解：（Ⅰ）由于函数的定义域是非空数集，故1≠a .（1）当131≠>a a 且时，()13,2+=a A ，()1,22+=a a B ，由B A =可得：⎩⎨⎧+=+=113222a a a ，方程组无解； 2分 （2）当31=a 时，φ=A ，B A =不可能； 4分 （3）当31<a 时，()2,13+=a A ，()1,22+=a a B ，由B A =可得：⎩⎨⎧+==+122132a a a ，1-=a . 6分 （Ⅱ）（1）当131≠>a a 且时，()13,2+=a A ，()1,22+=a a B ，由φ=⋂B A 可得：212132≤+≤+a a a 或，又131≠>a a 且，则a 的值不存在； 8分（2）当31=a 时，φ=A ，则φ=⋂B A ，适合题意； 10分（3）当31<a 时，()2,13+=a A ，()1,22+=a a B ，由φ=⋂B A 可得：131222+≤+≤a a a 或，又31<a ，则310<≤a . 12分∴当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈31,0a 时，φ=⋂B A . 14分16.（本小题满分14分）已知函数()316f x x x =+-.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(2,6)-处的切线的方程；（Ⅱ）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程； （Ⅲ）如果曲线()y f x =的某一切与直线134y x =-+垂直，求切点坐标. 解：（Ⅰ）13320x y --= 4分 （Ⅱ）013=-y x 9分 （Ⅲ）()()18,1,14,1--- 14分 17.（本小题满分14分）已知向量2(3sin ,1),(cos ,cos ).444x x xm n == （Ⅰ）若1m n ⋅=,求2cos()3x π-的值； （Ⅱ）记()f x m n =⋅，在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=，求函数()f A 的取值范围．解：（Ⅰ）m n ⋅=23sin cos cos 444x x x +＝311sin cos 22222x x ++＝1sin()262x π++2分 ∵1m n ⋅=，∴1sin()262x π+= ，2cos()12sin ()326x x ππ+=-+＝12，∴21cos()cos()332x x ππ-=-+=-. 6分 （Ⅱ）∵(2)cos cos a c B b C -=， 由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=， ∴2sin sin cos sin cos AcosB C B B C -=，∴2sin cos sin()A B B C =+， ∵A B C π++=∴sin()sin B C A +=，且sin 0A ≠，∴1cos ,23B B π==，10分 ∴203A π<<∴1,sin()16262226A A ππππ<+<<+< 又∵()f x m n =⋅=1sin()262x π++，∴()f A =1sin()262A π++ ，故函数()f A 的取值范围是（1,32）. 14分 18.（本小题满分16分）因发生意外交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中．为了治污，根据环保部门的建议，现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂．已知每投放a （1≤a ≤4，且a ∈R ）个单位的药剂，它在水中释放的浓度y （克/升）随着时间x （天）变化的函数关系式近似为y ＝a ·f （x ），其中f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧168－x －10≤x ≤4，5－12x 4＜x ≤10.若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效治污的作用．（Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？（Ⅱ）若第一次只能投放2个单位的药剂，6天后可再投放a 个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求a 的最小值． 解：（Ⅰ）因为a ＝4，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧648－x－40≤x ≤4，20－2x 4＜x ≤10. 2分则当0≤x ≤4时，由648－x －4≥4，解得x ≥0，所以此时0≤x ≤4. 4分当4＜x ≤10时，由20－2x ≥4，解得x ≤8，所以此时4＜x ≤8. 6分综合，得0≤x ≤8，若一次投放4个单位的制剂，则有效治污时间可达8天． 8分 （Ⅱ）当6≤x ≤10时，y ＝2×(5－12x )＋a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤168－x －6－1 10分＝10－x ＋16a 14－x －a ＝(14－x )＋16a14－x－a －4，因为14－x ∈[4,8]，而1≤a ≤4，所以4a ∈[4,8]，故当且仅当14－x ＝4a 时，y 有最小值为8a －a －4. 14分令8a －a －4≥4，解得24－162≤a ≤4，所以a 的最小值为24－16 2. . 16分19.（本小题满分16分）设t ＞0，已知函数f (x )＝x 2(x －t )的图象与x 轴交于A 、B 两点． （Ⅰ）求函数f (x )的单调区间；（Ⅱ）设函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率为k ，当x 0∈(0，1]时，k ≥－12恒成立，求t 的最大值；（Ⅲ）有一条平行于x 轴的直线l 恰好．．与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的交点C ，D ，若四边形ABCD 为菱形，求t 的值．解：（Ⅰ）f ′(x )＝3x 2－2tx ＝x (3x －2t )＞0，因为t ＞0，所以当x ＞2t 3或x ＜0时，f ′(x )＞0，所以(－∞，0)和(2t3，＋∞)为函数f (x )的单调增区间；当0＜x ＜2t 3时，f ′(x )＜0，所以(0，2t3)为函数f (x )的单调减区间． 4分（Ⅱ）因为k ＝3x 02－2tx 0≥－12恒成立，所以2t ≤3x 0＋12x 0恒成立， 6分因为x 0∈（0，1]，所以3x 0＋12x 0≥23x 0×12x 0＝6，即3x 0＋12x 0≥6，当且仅当x 0＝66时取等号．所以2t ≤6，即t 的最大值为62． 8分（Ⅲ）由（Ⅰ）可得，函数f (x )在x ＝0处取得极大值0，在x ＝2t 3处取得极小值－4t327．因为平行于x 轴的直线l 恰好．．与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的交点， 所以直线l 的方程为y ＝－4t327． 10分令f (x )＝－4t 327，所以x 2(x －t )＝－4t 327，解得x ＝2t 3或x ＝－t 3．所以C （2t 3，－4t 327），D （－t 3，－4t327）． 12分因为A （0，0），B （t ，0）．易知四边形ABCD 为平行四边形．AD ＝(－t3)2＋(－4t 327)2，且AD ＝AB ＝t ，所以(－t3)2＋(－4t 327)2＝t ，解得：t ＝3482． 16分20.（本小题满分16分）已知函数x a x g b x x x f ln )(,)(23=++-=． （Ⅰ）若)(x f 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈1,21x 上的最大值为83，求实数b 的值；（Ⅱ）若对任意[]e x ,1∈，都有x a x x g )2()(2++-≥恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设()()⎩⎨⎧≥<=1,1,)(x x g x x f x F ，对任意给定的正实数a ，曲线)(x F y =上是否存在两点Q P ,，使得POQ ∆是以（O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．解：（Ⅰ）由()32f x x x b =-++，得()()23232f x x x x x '=-+=--， 令()0f x '=，得0x =或23． 2分 列表如下：由13()28f b -=+，24()327f b =+，∴12()()23f f ->，即最大值为133()288f b -=+=，∴0b =． 4分（Ⅱ）由()()22g x x a x ≥-++，得()2ln 2x x a x x -≤-．[]1,,ln 1x e x x ∈∴≤≤，且等号不能同时取，∴ln ,ln 0x x x x <->即，∴22ln x xa x x-≤-恒成立，即2min 2()ln x x a x x -≤-． 6分令()[]()22,1,ln x xt x x e x x -=-，求导得，()()()()212ln ln x x x t x x x -+-'=-， 当[]1,x e ∈时，10,ln 1,2ln 0x x x x -≥≤+->，从而()0t x '≥，∴()t x 在[]1,e 上为增函数，∴()()min 11t x t ==-，∴1a ≤-． 8分 （Ⅲ）由条件，()32,1ln ,1x x x F x a x x ⎧-+<=⎨≥⎩，假设曲线()y F x =上存在两点,P Q 满足题意，则,P Q 只能在y 轴两侧， 不妨设()()(),0P t F t t >，则()32,Q t t t -+，且1t ≠．POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，∴0OP OQ ⋅=，∴()()2320t f t t t -++=()*，是否存在,P Q 等价于方程()*在0t >且1t ≠时是否有解． 10分 ①若01t <<时，方程()*为()()232320t t t t t -+-++=，化简得4210t t -+=，此方程无解； 12分 ②若1t >时，()*方程为()232ln 0t a t t t -+⋅+=，即()11ln t t a=+， 设()()()1ln 1h t t t t =+>，则()1ln 1h t t t'=++，显然，当1t >时，()0h t '>，即()h t 在()1,+∞上为增函数，∴()h t 的值域为()()1,h +∞，即()0,+∞，∴当0a >时，方程()*总有解．∴对任意给定的正实数a ，曲线()y F x = 上总存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上． 16分。
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2012-2013学年江苏省泰州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题4分，共56分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（4分）已知集合A={1，2，3}，B={1，2，5}，则A∩B={1}．考点：交集及其运算．专题：阅读型．分析：把两个集合的公共元素写在花括号内即可．解答：解：由A={1，2，﹣3}，B={1，﹣4，5}，则A∩B={1，2，﹣3}∩{1，﹣4，5}={1}．故答案为{1}．点评：本题考查了交集及其运算，考查了交集概念，是基础的概念题．2．（4分）设复数z1=2+2i，z2=2﹣2i，则=i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把复数代入表达式，复数的分母、分子同乘分母的共轭复数，化简复数即可．解答：解：因为复数z1=2+2i，z2=2﹣2i，所以=====i．故答案为：i．点评：本题考查复数代数形式的混合运算，复数的分母实数化，是解题的关键，是基础题．3．（4分）若数据x1，x2，x3，x4，x5，3的平均数为3，则数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为3．考点：众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：根据平均数的性质知，要求x1，x2，x3，x4，x5的平均数，只要把数x1、x2、x3、x4、x5的和表示出即可．解答：解：∵x1，x2，x3，x4，x5，3的平均数为3，∴数x1+x2+x3+x4+x5+3=6×3∴x1，x2，x3，x4，x5的平均数=（x1+x2+x3+x4+x5）÷5=（6×3﹣3）÷5=3．故答案为：3．点评：本题考查的是样本平均数的求法．解决本题的关键是用一组数据的平均数表示另一组数据的平均数．4．（4分）设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上位于第一象限内的一点，且△PF1F2的面积为6，则点P的坐标为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由双曲线方程，算出焦点F1、F2的坐标，从而得到|F1F2|=6．根据△PF1F2的面积为6，算出点P的纵坐标为2，代入双曲线方程即可算出点P的横坐标，从而得到点P的坐标．解答：解：∵双曲线的方程是，∴a2=4且b2=5，可得c==3由此可得双曲线焦点分别为F1（﹣3，0），F2（3，0）设双曲线上位于第一象限内的一点P坐标为（m，n），可得△PF1F2的面积S=|F1F2|•n=6，即×6×n=6，解得n=2将P（m，2）代入双曲线方程，得，解之得m=．∴点P的坐标为故答案为点评：本题给出双曲线上一点与焦点构成面积为6的三角形，求该点的坐标，着重考查了三角形面积公式、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．5．（4分）曲线y=2lnx在点（e，2）处的切线（e是自然对数的底）与y轴交点坐标为（0，0）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出曲线方程的导函数，把切点横坐标代入导函数中表示出的导函数值即为切线的斜率，由切点坐标和斜率表示出切线方程，把x=0代入切线方程中即可求出y轴交点坐标．解答：解：对y=2lnx求导得：y′=，∵切点坐标为（e，2），所以切线的斜率k=，则切线方程为：y﹣2=（x﹣e），把x=0代入切线方程得：y=0，所以切线与y轴交点坐标为（0，0）．故答案为：（0，0）．点评：本题的解题思想是把切点的横坐标代入曲线方程的导函数中求出切线的斜率，进而写出切线方程．6．（4分）如图，ABCD是一个4×5的方格纸，向此四边形ABCD内抛撒一粒豆子，则豆子恰好落在阴影部分内的概率为0.2．考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计分析：试验发生包含的事件对应的图形是一个大长方形，若设小正方形的边长是1，则长方形的面积是20，满足条件的事件是正方形面积是4，根据面积之比做出概率．解答：解：由题意知本题是一个几何概型，设每一个小正方形的边长为1试验发生包含的事件对应的图形是一个长方形，面积为5×4=20阴影部分是边长为2的正方形，面积是4，∴落在图中阴影部分中的概率是=0.2故答案为：0.2点评：本题考查几何概型，解题的关键是求出两个图形的面积，根据概率等于面积之比得到结果，本题是一个基础题．7．（4分）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（a）＞f（b），则f（﹣a）＜f （﹣b）（用“＞”或“＜”填空）．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据奇函数的性质f（﹣x）=﹣f（x）求解．解答：解：根据奇函数的性质，f（﹣a）=﹣f（a），f（﹣b）=﹣f（b）；∵f（a）＞f（b），∴﹣f（a）＜﹣f（b），即f（﹣a）＜f（﹣b）．故答案是＜点评：本题考查函数的奇偶性．8．（4分）在空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b；其中真命题的序号为①④．考点：命题的真假判断与应用；平面的基本性质及推论．专题：阅读型．分析：①有平行线公理判断即可；②中正方体从同一点出发的三条线进行判断；③可以翻译为：平行于同一平面的两直线平行，错误，还有相交、异面两种情况；④由线面垂直的性质定理可得；解答：解：①因为空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c，满足平行线公理，所以①正确；②中正方体从同一点出发的三条线，也错误；③可以翻译为：平行于同一平面的两直线平行，错误，还有相交、异面两种情况；④可以翻译为：垂直于同一平面的两直线平行，由线面垂直的性质定理，正确；故答案为：①④．点评：与立体几何有关的命题真假判断，要多结合空间图形．本题考查空间两条直线的位置关系以及判定方法，线面平行的判定，解决时要紧紧抓住空间两条直线的位置关系的三种情况，牢固掌握线面平行、垂直的判定及性质定理．9．（4分）如图是一个算法流程图，则输出的P=．考点：程序框图．专题：计算题；概率与统计．分析：由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序，可知当n＜6时，用P+的值代替P得到新的P值，并且用n+1代替n值得到新的n值，直到n=6时输出最后算出的P值，由此即可得到本题答案．解答：解：根据题中的程序框图可得：当n＜6时，用P+的值代替P，并且用n+1代替n值；直到当n=6时，输出最后算出的P值．因此可列出如下表格：依此表格，可得输出的P=++++=1﹣=故答案为：点评：本题给出程序框图，求最后输出的P值，属于基础题．解题的关键是先根据已知条件判断程序的功能，构造出相应的数学模型再求解，从而使问题得以解决．10．（4分）已知点P（t，2t）（t≠0）是圆C：x2+y2=1内一点，直线tx+2ty=m与圆C相切，则直线x+y+m=0与圆C的位置关系是相交．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：由圆的方程找出圆心坐标与半径，因为M为圆内一点，所以M到圆心的距离小于圆的半径，利用两点间的距离公式表示出一个不等式，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，根据求出的不等式即可得到d大于半径r，得到直线与圆的位置关系是相离．解答：解：由圆的方程得到圆心坐标为（0，0），半径r=1，由P为圆内一点得到：＜1，则圆心到已知直线tx+2ty=m的距离d==1，可得|m|=＜1，圆心到已知直线x+y+m=0的距离＜1=r，所以直线x+y+m=0与圆的位置关系为：相交．故答案为：相交．点评：此题考查小时掌握点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系的判断方法，灵活运用两点间的距离公式及点到直线的距离公式化简求值，是一道综合题．11．（4分）设a∈R，s：数列{（n﹣a）2}是递增的数列；t：a≤1，则s是t的必要不充分条件．（填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”中的一个）．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：在a∈R的前提下，看由数列{（n﹣a）2}是递增的数列能否推出a≤1，再看由a≤1能否推出数列{（n﹣a）2}是递增的数列．解答：解：若数列{（n﹣a）2}是递增的数列，则（n+1﹣a）2﹣（n﹣a）2=（n+1）2﹣2a（n+1）+a2﹣n2+2an﹣a2=n2+2n+1﹣2an﹣2a+a2﹣n2+2an﹣a2=2n+1﹣2a＞0，即a＜n+，因为n的最小值是1，所以当n取最小值时都有a＜，则a≤1不成立．又由（n+1﹣a）2﹣（n﹣a）2=（n+1）2﹣2a（n+1）+a2﹣n2+2an﹣a2=n2+2n+1﹣2an﹣2a+a2﹣n2+2an﹣a2=2n+1﹣2a．因为n是大于等于1的自然数，所以当a≤1时，2n+1﹣2a，即数列{（n﹣a）2}中，从第二项起，每一项与它前一项的差都大于0，数列是递增的数列．所以，s是t的必要不充分条件．故答案为必要不充分．点评：本题考查了必要条件、充分条件与充要条件．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．此题是基础题．12．（4分）各项均为正数的等比数列{a n}中，若a1≥1，a2≤2，a3≥3，则a4的取值范围是．考点：简单线性规划；等比数列；等比数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：根据题中的不等式组，联想到运用线性规划的知识解决问题．因此，将所得的不等式的两边都取常用对数，得到关于lga1和lgq的一次不等式组，换元：令lga1=x，lgq=y，lga4=t，得到关于x、y的二次一次不等式组，再利用直线平移法进行观察，即可得到a4的取值范围．解答：解：设等比数列的公比为q，根据题意得：，∴各不式的两边取常用对数，得令lga1=x，lgq=y，lga4=t将不等式组化为：，作出以上不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部其中A（0，lg2），B（2lg2﹣lg3，lg3﹣lg2），C（0，lg3）将直线l：t=x+3y进行平移，可得当l经过点A时，t=3lg2取得最大值；当l经过点B时，t=﹣lg2+2lg3取得最小值∴t=lga4∈[﹣lg2+2lg3，3lg2]，即lga4∈[lg，lg8]由此可得a4的取值范围是故答案为：点评：本题给出等比数列，在已知a1≥1，a2≤2，a3≥3的情况下求a4的取值范围．着重考查了等比数列的通项公式、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．13．（4分）已知六个点A1（x1，1），B1（x2，﹣1），A2（x3，1），B2（x4，﹣1），A3（x5，1），B3（x6，﹣1）（x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6，x6﹣x1=5π）都在函数f（x）=sin（x+）的图象C上．如果这六点中不同的两点的连线的中点仍在曲线C上，则称此两点为“好点组”，则上述六点中好点组的个数为11．（两点不计顺序）考点：正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：题干错误：x6﹣x1=5π，应该是：x6 ﹣x1=5π，请给修改，谢谢．由题意可得，只要研究函数y=sinx在[0，6π]上的情况即可．画出函数y=sinx在[0，6π]上的图象，数形结合可得结论．解答：解：由于对称关系不因平移而改变，∴y=sinx与f（x）=sin（x+）对称关系没有变．根据函数的周期性，只要研究函数y=sinx在[0，6π]上的情况即可．画出函数y=sinx在[0，6π]上的图象，如图所示：可得A1（，0）、B1（，0）、A2（，0）、B2（，0）、A3（，0）、B3（，0）．由函数y=sinx的图象性质可得，“好点租”有：A1B1，B1A2，A2B2，B2B2，B2A3，A3B3，A1A3，B1B3，A1B2，A2B3，B1A3，共11个，故答案为11．点评：本题主要考查新定义“好点组”，正弦函数的图象的对称性的应用，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．14．（4分）已知f（x）=2mx+m2+2，m≠0，m∈R，x∈R．若|x1|+|x2|=1，则的取值范围是．考点：函数与方程的综合运用．专题：函数的性质及应用．分析：（i）法一：目标函数法：①分类讨论去绝对值找x1，x2的关系．②将化为一个变量的函数g（x2）．（ii）法二：数形结合：①“数”难时，要考虑“形”．②C：|x1|+|x2|=1为正方形．③“分式”联想到斜率．解答：解：解法一：先考虑0≤x1≤1，0≤x2≤1的情形，则x1+x2=1===当m＞0，令函数g（x）=，x∈[0，1]，由单调性可得：g（1）≤g（x）≤g（0）．其中，，当m＜0，同理．x1、x2在其他范围同理．综上可得．解法二：==，∴为点P与点Q（x2，x1）连线的斜率．P点在直线上．由图可得直线PQ斜率的范围，即的范围．点评：熟练掌握分类讨论、数形结合的思想方法、函数的单调性、直线的斜率公式及意义是解题的关键．二、解答题：（本大题共12小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知向量=（cosλθ，cos（10﹣λ）θ），=（sin（10﹣λ）θ，sinλθ），λ、θ∈R．（1）求+的值；（2）若⊥，求θ；（3）若θ=，求证：∥．考点：平面向量数量积的运算；向量的模；平行向量与共线向量．专题：综合题；平面向量及应用．分析：（1）由向量的数量积的坐标表示可求||，||，代入即可求解（2）由⊥，利用向量数量积的性质的坐标表示可得cosλθ•sin（10﹣λ）θ+cos（10﹣λ）θ•sinλθ=0，整理可求θ（3）要证明∥，根据向量平行的坐标表示，只要证明cosλθ•sinλθ﹣cos（10﹣λ）θ•sin[（10﹣λ）θ]=0即可解答：解：（1）∵||=，||=（算1个得1分）||2+||2=2，…（4分）（2）∵⊥，∴cosλθ•sin（10﹣λ）θ+cos（10﹣λ）θ•sinλθ=0∴sin（（10﹣λ）θ+λθ）=0，∴sin10θ=0…（7分）∴10θ=kπ，k∈Z，∴θ=，k∈Z…（9分）（3）∵θ=，cosλθ•sinλθ﹣cos（10﹣λ）θ•sin[（10﹣λ）θ]=cos•sin﹣cos（﹣）•sin（﹣）=cos•sin﹣sin•cos=0，∴∥…..…..（14分）点评：本题主要考查了向量的数量积的性质的坐标表示及向量平行的坐标表示，属于基础试题16．（14分）在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，SA=AB=AC=BC，点D是BC边的中点，点E是线段AD上一点，且AE=4DE，点M是线段SD上一点．（1）求证：BC⊥AM；（2）若AM⊥平面SBC，求证EM∥平面ABS．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：对（1），通过证明线面垂直⇒线线垂直即可；对（2），将空间几何问题转化为平面几何问题，在△SAD中利用M、E分线段SD、AD成等比例，证明ME与SA平行，再由线线平行⇒线面平行．解答：证明：（1）∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∵SA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴SA⊥BC，SA∩AD=A，∴BC⊥平面SAD∵AM⊂平面SAD，∴BC⊥AM．（2）∵AM⊥面SAB，⇒AM⊥SD，∵SA=AB=AC=BC，可设BC=3，SA=在△ABC中，cos∠A==﹣，∴∠A=∴AD=．在Rt△SAD中，=2==，∴SM=4MD，∵AE=4ED，∴ME∥SA，ME⊄平面ABS，SA⊂平面ABS．∴EM∥平面ABS．点评：本题考查直线与平面平行、垂直的判定．利用平面几何知识证明线线平行是本题证明（II）的关键；另：将空间几何问题转化为平面几何问题是解决问题的常用方法．17．（14分）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=1，BC=2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN，其底边MN⊥BC．（1）设∠MOD=30°，求三角形铁皮PMN的面积；（2）求剪下的铁皮三角形PMN面积的最大值．考点：两角和与差的正弦函数．专题：应用题；三角函数的图像与性质．分析：（1）设MN交AD交于Q点由∠MOD=30°，利用锐角三角函数可求MQ，OQ，进而可求MN，AQ，代入S△PMN=MN•AQ可求（2）设∠MOQ=θ，由θ∈[0，]，结合锐角三角函数的定义可求MQ=sinθ，OQ=cosθ，代入三角形的面积公式S△PMN=MN•AQ=（1+sinθ）（1+cosθ）展开利用换元法，转化为二次函数的最值求解解答：解：（1）设MN交AD交于Q点∵∠MOD=30°，∴MQ=，OQ=（算出一个得2分）S△PMN=MN•AQ=××（1+）=…（6分）（2）设∠MOQ=θ，∴θ∈[0，]，MQ=sinθ，OQ=cosθ∴S△PMN=MN•AQ=（1+sinθ）（1+cosθ）=（1+sinθcosθ+sinθ+cosθ）…．（11分）令sinθ+cosθ=t∈[1，]，∴S△PMN=（t+1+）θ=，当t=，∴S△PMN的最大值为．…..…（14分）点评：本题主要考查了三角函数的定义的应用及利用三角函数求解函数的最值，换元法的应用是求解的关键18．（16分）直角坐标系xoy中，已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A1，A2，上、下顶点为B2，B1，点P（，m）（m＞0）是椭圆C上一点，PO⊥A2B2，直线PO分别交A1B1、A2B2于点M、N．（1）求椭圆离心率；（2）若MN=，求椭圆C的方程；（3）在（2）的条件下，设R点是椭圆C上位于第一象限内的点，F1、F2是椭圆C的左、右焦点，RQ平分∠F1RF2且与y轴交于点Q，求点Q纵坐标的取值范围．直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．考点：圆锥曲线的定义、性质与方程．专题：分（1）根据点P在椭圆上可把P点坐标用a，b表示出来，由PO⊥A2B2，可得•K OP=析：﹣1，由此可得a，b的关系式，连同a2=b2+c2可求得e值；（2）由MN=可得关于a，b的一方程，再根据（1）中离心率值即可求得a，b值，从而求得椭圆方程；（3）设R（x0，y0），Q（0，t），由题意得cos∠F1RQ=cos∠F2RQ，利用向量夹角公式可表示成关于y0与t的式子，根据y0的范围即可求得t的范围；解解：（1）因为点P在椭圆上，所以在方程中令x=，得m=b，故P（，），答：∵PO⊥A2B2，∴•K OP=﹣1，即﹣×=﹣1，∴4b2=3a2=4（a2﹣c2），∴a2=4c2，∴e=①，故椭圆的离心率为；（2）MN==，∴②联立①②解得，a 2=4，b 2=3， ∴椭圆C 的方程为：．（3）由（2）可得F 1（﹣1，0），F 2（1，0）， 设∠F 1RQ=α，∠F 2RQ=β，则cos α=cos β， ∴=．设R （x 0，y 0），Q （0，t ）， 则化简得：t=﹣y 0， ∵0＜y 0＜，t ∈（﹣，0）．故点Q 纵坐标的取值范围为：（﹣，0）．点评： 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系以及椭圆标准方程的求解，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，属难题．19．（4分）已知数列a n =n ﹣16，b n =（﹣1）n|n ﹣15|，其中n ∈N *． （1）求满足a n+1=|b n |的所有正整数n 的集合； （2）若n ≠16，求数列的最大值和最小值；（3）记数列{a n b n }的前n 项和为S n ，求所有满足S 2m =S 2n （m ＜n ）的有序整数对（m ，n ）．考点： 数列的求和；数列的函数特性． 专题： 计算题；分类讨论；等差数列与等比数列． 分析： （1）由a n+1=|b n |，把已知通项代入可得关于n 的方程，根据绝对值的意义，从而可求符合条件的n（2）由已知=，结合式子的特点，考虑讨论n 与16的大小关系及n 的奇偶性分别对已知式子进行化简求解最值（3）结合b n=（﹣1）n|n﹣15|，需要考虑n与15的大小对已知式子去绝对值，然后讨论n的奇偶性代入可求满足条件的m，n解答：解：（1）∵a n+1=|b n|，∴n﹣15=|n﹣15|，∴当n≥15时，a n+1=|b n|恒成立，当n＜15时，n﹣15=﹣（n﹣15），∴n=15n的集合{n|n≥15，n∈N*}…．…．…．（4分）（2）∵=（i）当n＞16时，n取偶数==1+当n=18时（）max=无最小值n取奇数时=﹣1﹣n=17时（）min=﹣2无最大值…（8分）（ii）当n＜16时，=当n为偶数时==﹣1﹣n=14时（）max=﹣（）min=﹣当n奇数==1+，n=1，（）max=1﹣=，n=15，（）min=0 …（11分）综上，最大值为（n=18）最小值﹣2（n=17）…．…..…．（12分）（3）n≤15时，b n=（﹣1）n﹣1（n﹣15），a2k﹣1b2k﹣1+a2k b2k=2 （16﹣2k）≥0，n＞15时，b n=（﹣1）n（n﹣15），a2k﹣1b2k﹣1+a2k b2k=2 （2k﹣16）＞0，其中a15b15+a16b16=0∴S16=S14m=7，n=8…．（16分）点评：本题主要考查了数列的和的求解，求解中要注意对所出现式子的化简，体现了分类讨论思想的应用20．（6分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）2，a，b是常数．（1）若a≠b，求证：函数f（x）存在极大值和极小值；（2）设（1）中f（x）取得极大值、极小值时自变量的值分别为x1、x2，令点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））．如果直线AB的斜率为﹣，求函数f（x）和f′（x）的公共递减区间的长度；（3）若f（x）≥mxf′（x）对于一切x∈R恒成立，求实数m，a，b满足的条件．考点：函数在某点取得极值的条件；函数恒成立问题．专题：导数的综合应用．分析：（1）由于f′（x）=（x﹣b）[3x﹣（2a+b）]，可得一元二次方程f′（x）=0有两不等实数根，可得f（x）存在极大值和极小值．（2）分a=b、a＞b、a＜b三种情况，求得f（x）的减区间，再求出f′（x）减区间，可得f（x）与′的公共减区间，从而求得公共减区间的长度．（3）由条件可得，（x﹣b）{（1﹣3m）x2+[m（2a+b）﹣（a+b）]x+ab}≥0恒成立，可得m=，故（x﹣b）[（a+2b）x﹣3ab]≤0恒成立．再利用二次函数的性质求得实数m，a，b满足的条件．解答：解：（1）由于f′（x）=（x﹣b）[3x﹣（2a+b）]，…（1分）∵a≠b，∴，∴一元二次方程f′（x）=0有两不等实数根b和，∴f（x）存在极大值和极小值．…（4分）（2）①若a=b，f（x）不存在减区间．②若a＞b，由（1）知x1=b，x2=，∴A（b，0），B ，∴，∴（a﹣b）2 =，∴．③当a＜b时，x1=，x2=b，同理可得a﹣b=（舍）．综上a﹣b=…..…．（7分）∴f（x）的减区间为即（b，b+1），f′（x）减区间为，∴公共减区间为（b，b+），故公共减区间的长度为．…（10分）（3）∵f（x）≥mxf′（x），∴（x﹣a）（x﹣b）2 ≥m•x（x﹣b）[3x﹣（2a+b）]，∴（x﹣b）{（1﹣3m）x2+[m（2a+b）﹣（a+b）]x+ab}≥0．若，则左边是一个一次因式，乘以一个恒正（或恒负）的二次三项式，或者是三个一次因式的积，无论哪种情况，总有一个一次因式的指数是奇次的，这个因式的零点左右的符号不同，因此不可能恒非负，不满足条件．∴，…（12分）∴（x﹣b）[（a+2b）x﹣3ab]≤0恒成立．若a+2b=0，则有a=﹣2b，∴a=b=0．若a+2b≠0，则x1=b，，且b=．①当b=0，则由二次函数的性质得a＜0，②当b≠0，则，∴a=b，且b＜0．综上可得，，a=b≤0或a＜0，b=0．…..（16分）点评：本题主要考查函数在某点取得极值的条件，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．21．（6分）如图⊙O的两弦AB，CD所在直线交于圆外一点P．（1）若PC=2，CD=1，点A为PB的中点，求弦AB的长；（2）若PO平分∠BPD，求证：PB=PD．考点：与圆有关的比例线段．分析：（1）利用割线定理即可得出；（2）利用垂径定理、同圆中的弦与弦心距的关系定理、角平分线的性质及全等三角形的判定与性质即可得出．解答：解（1）由割线定理可得：PA•PB=PC•PD，∵点A为PB的中点，∴PA=AB，∴AB•2AB=2×3，解得AB=．（2）作OM⊥CD于M，ON⊥AB于N，∵PO平分∠BPD，∴OM=ON，在同圆中弦心距相等，∴AB=CD，∴点M平分弦CD，点N平分弦AB，∴AN=NB，CM=MD，∴NB=MD．又∵△PON≌△POM，∴PN=PM，∴PN+NB=PM+MD，∴PB=PD．点评：熟练掌握圆的割线定理、垂径定理、同圆中的弦与弦心距的关系定理、角平分线的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．22．（6分）已知变换T 把平面上的点（1，0），（0，）分别变换成点（1，1），（﹣，）．（1）试求变换T对应的矩阵M；（2）求曲线x2﹣y2=1在变换T的作用下所得到的曲线的方程．考点：几种特殊的矩阵变换．专题：计算题．分析：（1）先设出所求矩阵，利用待定系数法建立一个四元一次方程组，解方程组即可；（2）先设P（x，y）是曲线x2﹣y2=1上的任一点，P1（x′，y′）是P（x，y）在矩阵T对应变换作用下新曲线上的对应点，根据矩阵变换求出P与P1的关系，代入已知曲线求出所求曲线即可．解答：解：（1）设矩阵M=依题意得，=→，∴（1，0）变换为（1，1）得：a=1，c=1，（0，）变换为（﹣，）得：b=﹣1，d=1所求矩阵M=…（5分）（2）变换T所对应关系解得…（7分）代入x2﹣y2=1得：x′y′=1，故x2﹣y2=1在变换T的作用下所得到的曲线方程得xy=1 …（10分）点评：本题主要考查来了逆矩阵与投影变换，以及计算能力，属于基础题．23．（6分）已知直线（t为参数）与圆C：（θ为参数）相交于A，B两点，m为常数．（1）当m=0时，求线段AB的长；（2）当圆C上恰有三点到直线的距离为1时，求m的值．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（1）先把参数方程化为普通方程，再利用点到直线的距离公式、弦长|AB|=2即可得出；（2）圆C上恰有三点到直线的距离为1的条件⇔圆心C到直线l的距离=1．解答：解：（1）由直线（t为参数）消去参数化为普通方程l：x+y﹣1=0；当m=0时，圆C：（θ为参数）消去参数θ得到曲线C：x2+y2=4，圆心C（0，0），半径r=2．∴圆心C到直线l的距离为d=，∴|AB|=2=．（2）由（1）可知：x+y﹣1=0，又把圆C的参数方程的参数θ消去可得：x2+（y﹣m）2=4，∴圆心C（0，m），半径r=2．只要圆心C到直线l的距离=1即可满足：圆C上恰有三点到直线的距离为1的条件．由d==1，解得m﹣1=±，∴m=1+或m=1﹣．点评：熟练把参数方程化为普通方程、掌握点到直线的距离公式、弦长|AB|=2及正确把问题等价转化是解题的关键．24．（6分）若a，b，c∈R+，a+2b+3c=6．（1）求abc的最大值；（2）求证≥12．考点：基本不等式．专题：综合题．分析：（1）由已知可得abc=a•2b•3c≤（）3，可求（2）由++=3+++=（++）（a+2b+3c），化简后利用基本不等式可证解答：解：（1）∵a，b，c∈R+，a+2b+3c=6∴abc=a•2b•3c≤（）3=当a=2，b=1，c=时取等号，∴abc的最大值为…．…..（5分）（2）∵++=3+++而（++）（a+2b+3c）≥（++）2=54∴++≥9∴++≥12…（10分）点评：本题主要考查了基本不等式在求解最值及证明中的应用，解题的关键是对基本不等式应用条件的配凑25．（6分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为AD、DC的中点．（1）求直线BC1与平面EFD1所成角的正弦值；（2）设直线BC1上一点P满足平面PAC∥平面EFD1，求PB的长．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；平面与平面平行的判定；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）建立以D点为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴的空间直角坐标系，求出平面D1EF的法向量，和直线BC1的方向向量，代入向量夹角公式，可得直线BC1与平面EFD1所成角的正弦值；（2）设=λ，可求出向量的坐标（含参数λ），进而根据平面PAC∥平面EFD1，可得平面D1EF的法向量也垂直平面PAC，即.=0，进而求出参数值后，代入向量模的计算公式可得答案．解答：解：（1）建立以D点为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴的空间直角坐标系则D1（0，0，2），A（2，0，0），B（2，2，0），E（1，0，0），C1（0，2，2），F（0，1，0）．=（﹣2，0，2），=（1，0，﹣2），=（﹣1，1，0）．设平面D1EF的法向量=（x1，y1，z1），则，即令x1=2，则=（2，2，1）…（3分）∴cos＜，＞==﹣∴直线BC1与平面EFD1所成角的正弦值为…..…..（5分）（2）设=λ=（﹣2λ，0，2λ）则=+=（﹣2λ，2，2λ），.=﹣4λ+4+2λ=0∴λ=2…（8分）∵AP⊄平面EFD1，AP∥平面EFD1，又AC∥EF，EF⊆平面EFD1，∴AC∥平面EFD1又AP∩AC=A，AP，AC⊂平面EFD1，∴平面PAC∥平面EFD1，∴=（﹣4，0，4），=4…．（10分）点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，平面与平面平行的判定，其中建立空间坐标系，将空间线面关系及夹角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．26．（6分）如图A1（x1，y1）（y1＜0）是抛物线y2=mx（m＞0）上的点，作点A1关于x 轴的对称点B1，过B1作与抛物线在A1处的切线平行的直线B1A2交抛物线于点A2．（1）若A1（4，﹣4），求点A2的坐标；（2）若△A1A2B1的面积为16，且在A1，B1两点处的切线互相垂直．①求抛物线方程；②作A2关于x轴的对称点B2，过B2作与抛物线在A2处的切线平行的直线B2A3，交抛物线于点A3，…，如此继续下去，得一系列点A4，A5，…，设A n（x n，y n），求满足x n≥10000x1的最小自然数n．考点：抛物线的标准方程；数列的函数特性．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由A1（4，﹣4）在抛物线上代入可求m，设出A2（x2，﹣2x2），对函数y=﹣求导根据导数的几何意义可求x2，即可求解A2．（2）①设A1，B1处切线的斜率分别为K1，K2，容易得出K1•K2=﹣1，代入点的坐标即可得到m与x1 的方程，再设A2，结合已知又可得x2，x1的关系，代入三角形的面积公式中即可可求知x1，m，从而可求抛物线方程②由题意可求x n与x n﹣1的递推关系，结合等比数列的通项公式可求n的最小值解答：解：（1）若A1（4，﹣4）在抛物线上∴16=4m∴m=4，设A2（x2，﹣2x2），y=﹣，y′=﹣，B（4，4）∴=∴x2=36∴A2（36，﹣12）…．…．…（3分）（2）①设A1，B1处切线的斜率分别为K1，K2，K1•K2=﹣1∴（﹣）.=﹣1∴m=4x1 ①设A2（x2，﹣）∴=﹣∴x2=9x1 ②又S=×2（x2﹣x1）=16 ③由①②③知x1=1，m=4∴抛物线方程为y2=4x…..…（6分）②由（2）知=﹣，∴x n=9x n﹣1，∴数列{x n}为等比数列，∴x19n﹣1≥10000x1∴n≥6∴n最小值为6…（10分）点评：本题主要考查了由抛物线的性质求解抛物线的方程，还考查了一定的逻辑推理与运算的能力。