22.2 一元二次方程根与系数的关系
22.2一元二次方程的解法(7)根与系数关系1
(1) x 4 x 3 0;
2
(2)3x 4 x 0;
2
【解】
【解】
2
4 4 1 3
28 0
4 4 3 0 16 0
2
∴方程有实数根。
∴方程有实数根。
【解】
设方程两根分别为 x1 , x2 , 由根与系数的关系，可得
(2)2x2 3x 5 0
(1) x1 x2 _____, -3 x1x2 _____, -5 3 5 (2) x1 x2 _____, 2 x1x2 _____, 2
课堂练习
（课本P35练习）不解方程，判断方程
§22.2一元二次方程的解法（7）
——根与系数的关系
南溪桂溪中学
邓永清
知识回顾
1.一元二次方程的解法有哪几种？ （1）直接开平方法； （2）因式分解法； （3）配方法； （4）公式法。
2、一元二次方程的求根公式？
b b 4ac x 2a
2
根与系数关系探索
方程
x 2 3x 4 0
文字叙述
根与系数 关系解读
韦达 定理
一元二次方程两根之和等于一次 项系数 除以二次项系数的相反数，两根之积等于常 数项除以二次项系数。 前面根与系数关系是当a=1时的特殊情况。两 个结论是互通的，可以识记任意一个。
例题1
不解方程，求出方程的两 （课本P34例题） 根之和与两根之积：
(1) x2 3x 5 0;
x2 2 x 3 0
x2 5x 4 0
x1
1 3 4
x2
22.2.4_一元二次方程根与系数的关系
2 3
, x1 · 2=-3 x
2 3 3
=
x1 x 2 x x2 1
=
=
2 9
(2)∵ (x1＋x2)2＝ x12+x22 ＋2x1x2 ∴x12+x22
＝(x1＋x2 -2x x )2
4 2 2 1 2 ＝(- 3 ) -2×(-3)＝6 9
已知x1,x2是方程3x2+px+q=0的两个根， 分别根据下列条件求出p和q的值: (1) x1 = 1, x2 =2 (3) x1 = 7
2
返回
1、下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？
1.x
2
3x 1 0
2
2.3x
2
2x 2
2
3.2 x
3x 0
2
4.4 x
1 2x
的一个根是 1，
2、已知方程 3x 19 x m 0 求它的另一个根和m的值。
3、设 x1 、 x2是方程 根与系数的 关系，求下列各式的值：
解得k1=0 , k2=4
经检验， k2=4不合题意，舍去。 ∴ k=0
韦达是法国十六世纪最有影响的数 学家之一。第一个引进系统的代数符号， 并对方程论做了改进。 他生于法国的普瓦图。年青时学习 法律当过律师，后从事政治活动，当过 议会的议员，在对西班牙的战争中曾为 政府破译敌军的密码。韦达还致力于数 学研究，第一个有意识地和系统地使用 字母来表示已知数、未知数及其乘幂， 带来了代数学理论研究的重大进步。韦 达讨论了方程根的各种有理变换，发现 了方程根与系数之间的关系（所以人们 把叙述一元二次方程根与系数关系的结 论称为“韦达定理”）。 韦达在欧洲被尊称为“代数学之 韦达（1540－1603） 父”。
一元二次方程的根与系数的关系课件华东师大版九年级数学上册
九年级上
学习目标
1. 理解一元二次方程根与系数的关系；
重点
2. 了解一元二次方程根与系数的关系的简单应用.
难点
新课引入
1. 求出一元二次方程 x2 + 3x - 4 = 0 的两根 x1 和 x2，并计算 x1 + x2 和 x1·x2 的值． 2. 观察它们与方程的系数有什么关系？
这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：
两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等
于常数项与二次项系数的比．
注意：满足上述关系的前提条件 b2 - 4ac ≥ 0.
针对训练
1. 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 x1，x2 的和 与积：
(1) x2 - 6x - 15 = 0； (2) 3x2 + 7x - 9 = 0；(3) 5x - 1 = 4x2.
(1) am2 + bm + c = 0；(2) an2 + bn + c = 0；(3) m + n = - ；
(4) an2 + bm + c = 0；(5) am2 + bn＋c＝0；(6) mn = .
3. 已知关于 x 的一元二次方程 x2 - (2m - 2)x + m2 - 2m = 0 的两实数根为 x1，x2，且 x12+x22 = 10，求 m 的值. 解：由题意可知 Δ = ( 2m - 2 )2 - 4(m²- 2m) = 4 > 0， ∴无论 m 取任何值，方程有两个不相等的实数根. ∵x1 + x2 = 2m - 2， x1x2 = m²- 2m， ∴x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 10， ∴(2m - 2)2 - 2(m2 - 2m) = 10， ∴m2 - 2m - 3 = 0， ∴m = -1或 m = 3.
22.2.4.1一元二次方程的根与系数的关系
∵ △= K2-4k-8
即( x 1+ x 2
当k=4时， △=-8＜0
∴k=4(舍去）
2(k+2）=4
K2-2k-8=0
当k=-2时，△=4＞0
∴ k=-2
∴ k=4 或k=－2
6.已知关于x的方程x2+(2m-1)x+m2=0有两
2
2
14 12
＝
求与方程的根有关的代数式的值时,
一般先将所求的代数式化成含两根之和, 两根之积的形式,再整体代入.
4.已知方程 的两个实数根 x 2 kx k 2 0 2 是 x1, x2 且 x12 x2 4 ， 求k的值.
解：由根与系数的关系得 x1+x2=-k， x1x2=k+2 又 K2x 1 2+ x 2 2 = 4 )2 -2x
2 ＋ x2 = k+1 2 x2 = 3k 解这方程组，得 x2 =－3 k =－ 2
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2.
例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它
的另一个根及k的值。
解法二： 设方程的另一个根为x2. 把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0 解这方程，得 k= - 2 由根与系数的关系，得2 x2＝3k 即2 x2＝－6 ∴ x2 ＝－3 答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2.
1 2
x1+x2=2
3 =0 x1+x2= 2
x1x2=-1 1 x1x2= 4 x1x2=0
4 x1x2= 3
(3) 2x2 - 6x =0 (4) 3x2 =4
x1+x2=3 x1+x2=0
22.2.4一元二次方程的根与系数的关系
b x1 x2 ,
三、例题分析
根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方 程两根 x1 , x2 的和与积.
(1) x 2 6x 15 0;
解：a 1, b 6, c 15
b 6 x1 x2 6, a 1 c 15 x1 x2 15. a 1
b 5 5 x1 x2 , a 4 4 c 1 x1 x2 . a 4
三、例题分析
注意： （1）要先把一元二次方程化成一般形式； （2）不要漏除二次项；
b （3）要注意 的负号. a
四、巩固练习
1.教科书第42页练习. 2.补充练习：判断下列各方程后面两个数是不是 它的两个根.
三、例题分析
(2)3x 2 7 x 9 0;
解：a 3, b 7, c 9
(3)5x 1 4x 2 .
解： 2 5x 1 0; 4x
a 4, b 5, c 1
b 7 x1 x2 , a 3 c 9 x1 x2 3. a 3
第二十五章 概率初步
22.2.2降次—— 解一元二次方程
22.2.4一元二次方程的根与系数的关系
案例作者：浙江省温州市第二十中学 董连武 课件制作者： 河北省藁城市增村中学 王志敏
一、复习引入
1.请写出一元二次方程的一般形式和求根公式. 2.解方程.
x1 2, x2 4 1 2 (2)2x 3x 1 0. x1 1, x2 2
(1) x 2 6 x 8 0;
二、探索分析
请仔细观察和思考两根和、两根积与系数的关系.
对于所有的一元二次方程的两个根都有这样的规 律吗？ 根据求根公式可知，方程的两根为
华东师大版九年级数学上册《22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 根的判别式》公开课教案_3
一元二次方程根与系数的关系55号教学目标：（一）知识与技能：掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。
（二）过程与方法：经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想。
（三）情感态度：通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神。
教学重点：根与系数关系及运用教学难点：定理的发现及运用。
教学过程：一、 创设情境，激发探究欲望我们知道生活中许多事物存在着一定的规律，有人发现并验证后就得到伟大的定理。
那么一元二次方程中是否也存在什么规律呢？探究规律 先填空，再找规律：思考：观察表中1x +2x 与1x .2x 的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？ 二、 得出定理并证明（韦达定理）若一元二次方程a 2x +bx+c=0（a ≠0）的两根为1x 、2x ，则1x +2x = -b a 1x . 2x =ca特殊的：若一元二次方程2x +px+q=0的两根为1x 、2x ，则1x +2x =-p 1x . 2x =q证明此处略（师生合作完成） 三、 运用定理解决问题练习：不解方程说出下列方程的两根的和与两根的积各是多少？⑴ X 2－3X+1=0 ⑵ 3X 2－2X=2 ⑶ 2X 2+3X=0 ⑷ 3X 2=1 1.已知方程x 2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的另一个根及k的值.2.方程2x 2-3x+1=0的两根记作x 1,x 2，不解方程，求：进一步巩固根与系数的关系，体会“整体代入”思想在解题中的运用，可起到简便运算的作用。
3.（2013•荆州）已知：关于x 的方程kx 2－(3k －1)x +2(k －1)=0（1）求证：无论k 为何实数，方程总有实数根； （2）若此方程有两个实数根x 1，x 2, 且│x 1－x 2│=2,求k 的值. 四、 课堂小结：让学生谈谈本节课的收获与体会：知识？方法？思想？等，教师可适当引导和点拨。
22.2.5一元二次方程根与系数的关系
b b 4ac 2 4a 4ac 2 4a
2 2
c a
这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。
如果一元二次方程 ax bx c 0(a 0)
2
的两个根分别是
b x1 x2 a
x1
、 x2 ，那么：
c x1 x2 a
• 口答下列方程的两根之和与两根之积。
2
解：设方程 3x 2 19 x m 0 的另一个根为 x1 19 所以：x 16 有： x1 1 1 3 3 16 m 由 1 3 3 得：m=16 16 答：方程的另一个根是 ，m=16
3
练习： （1）若关于x的方程2x2＋5x＋n＝0的一个
根是－2，求它的另一个根及n的值。
（4）若一根为1,则abc0 ;
（5）若一根为1,则abc0;
（6）若a、c异号,方程一定有两个实数根.
1.一元二次方程的一般形式是什么？
ax bx c 0(a 0)
2
2.一元二次方程的求根公式是什么？
b b 4ac 2 x (b 4ac 0) 2a
2
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？
b 4ac
2
0 两个不相等的实数根 0 两个相等的实数根 0 没有实数根
填写下表：
方程 两个根
两根 之和 两根 之积 a与 b 之间 关系 a与 c 之间 关系
c a
x1 x2 x1 x2
x 2 3x 4 0
4 1 3 x 2 5x 6 0 2
2 x 3x 1 0
2
3
5
3 2
22.2.4一元二次方程的根与系数的关系
解：(1)∵x1 ，x2 是方程 x2－6x＋k＝0 的两个根， ∴x1＋x2＝6，x1x2＝k. ∵ x2x2－x1－x2＝115， 1 2 ∴k2－6＝115 ， 解得 k1＝11，k2＝－11.
当 k1＝11 时， Δ＝36－4k＝36－44＜0， ∴k1＝11 不合题意． 当 k2＝－11 时， Δ＝36－4k＝36＋44＞0， ∴k2＝－11 符合题意． ∴k 的值为－11.
b c － a a 和系数 a， c 的关系是 x1＋x2＝________， 1·2＝________. b， x x
4．仿照课本 P41 例 4，根据一元二次方程的根与系数的 关系，求下列方程两根的和与积： (1)3x2＋2x―3＝0；
2 解：x1＋x2＝－ ，x1x2＝－1. 3
(2)x2＋8x＝20.
探究点二 一元二次方程根与系数的关系的应用 例 2 已知 x1，x2 是关于 x 的一元二次方程 x2－6x＋k＝ 0 的两个实数根，且 x2x2 －x1－x2＝115. 1 2 (1)求 k 的值； (2)求 x2＋x2 ＋8 的值． 1 2
分析： 根据根与系数的关系和已知的 x2x2 －x1－x2＝115， 1 2 列出关于 k 方程，解方程可求 k 的值，根据根与系数的关系 也可求出 x2＋x2 ＋8 的值． 1 2
x1＋x2＝2， 解：(1)由题意，得 x1＋2x2＝3－ 2， x ＝1＋ 2， 1 解得 x2＝1－ 2. ∴a＝x1·2＝(1＋ 2)(1－ 2)＝－1. x (2)方法 1：由题意，得 x2－2x1－1＝0， 1 ∴x3－3x2＋2x1＋x2 1 1 ＝x3－2x2－x1－x2＋3x1＋x2 1 1 1 ＝－x2＋2x1＋1＋x1＋x2－1＝2－1＝1. 1
22.2.5根与系数的关系
温故知新
（二）引入新课： 1．问题：一元二次方程x2-5x+6=0的两个 根是x1= ，x2= ；x1＋x2= ； 恰是
方程一次项系数-5的
x1· 2＝ x
恰是方程的常数项．
其它的一元二次方程的两根也有这样的规律 吗？
试一试 解下列方程，并填写表格：
方
2
程
x
1
x
2
x x x1 x 2
1 2
x1
x2
趁热打铁
x 2 -3x+1 = 0 x 2 +6x+2 = 0 2x 2 +5x-4 = 0
x1 + x 2 x1 • x2
趁热打铁 2．设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两 个根，利用根与系数的关系，求下列 各式的值：
（1）（x1+1）（x2+1）； （2）x12x2+x1x22； x 2 x1 （3） （4）（x1-x2）2． x1 x 2
，
-2 005=O的两个实数根，
A. 2 005
B. 2 003
C. -2005
D. 4010
融会贯通
B
能力训练
2
1．已知 x1 , x2是方程 x 4x 2 0 的两根， 求：
1 1 （1）x1 x2
( （2） x1 x2 )2 （3） x1 x 2
2、已知关于x的方程
x (2k 1)xk 0
x 5 x 6 0
x 3 x 4 0
2
x 2 x 0
2
2 3 -4 1 0 2
5 -3 2
6 -4 0
观察上面的表格，你发现了什么？
_22.2.4(修改)一元二次方程根与系数的关系课件
已知：如果一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 的两个根分别是 x1 、 x2 。
2
b 求证： x1 x2 a
c x1 x2 a
推导:
b b2 4ac b b2 4ac x1 x2 2a 2a
b b2 4ac b b2 4ac 2a
解：设方程的另一个根为x1, 19 16 则x1+1= 3 , ∴ x1= 3 ,
又x1 1=
●
m 3
,
∴ m= 3x1 = 16
x1+x2= - 2 , x1 · 2= 3 x
2 5 2 2
2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。
由根与系数的关系，得 解：
题4. 2 点p(m,n)既在反比例函数y ( x 0) x
图象上, 又在一次函数y
2 解:由已知得, n m
的
x 2
即
2
的图象上,
则以m,n为根的一元二次方程为(二次项系数为1):
{n m 2
{
m· n=－2 m+n=－2
∴所求一元二次方程为:
x 2x 2 0
k 1 2 k 3 ∴( ) 4 1 2 2
解得k1=9,k2= -3
k 3 , 2x1x2=
当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。
2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且 x12+x22=4，求k的值。
解：由方程有两个实数根，得
4(k 1) 2 4k 2 0
即(X1+ X2)2 -2X1X2=4
人教版数学九年级上册22.2.4《根与系数关系》教学设计
人教版数学九年级上册22.2.4《根与系数关系》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册22.2.4《根与系数关系》是二次函数部分的一个重要内容。
这部分内容主要让学生了解一元二次方程的根与系数之间的关系，掌握求解一元二次方程的方法，并能够运用到实际问题中。
教材通过实例和探究活动，引导学生发现根与系数之间的关系，从而达到理解并掌握二次方程的解法。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了二次函数的图像和性质，对二次函数有一定的认识。
但是，对于根与系数之间的关系，他们可能还没有直观的理解。
因此，在教学过程中，需要通过实例和活动，让学生直观地感受到根与系数之间的关系，从而达到理解并掌握二次方程的解法。
三. 教学目标1.了解一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.掌握求解一元二次方程的方法。
3.能够运用根与系数的关系解决实际问题。
四. 教学重难点1.重难点：根与系数之间的关系。
2.难点：如何引导学生发现并理解根与系数之间的关系。
五. 教学方法1.实例教学：通过具体的实例，让学生直观地感受到根与系数之间的关系。
2.活动教学：通过小组合作、讨论等活动，让学生主动探究根与系数之间的关系。
3.问题驱动：提出问题，引导学生思考，从而达到理解并掌握二次方程的解法。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示实例和活动。
2.实例材料：准备一些具体的实例，用于教学。
3.活动材料：准备一些活动材料，用于小组合作、讨论等活动。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体的一元二次方程实例，引导学生思考如何求解方程的根。
例如，给出方程x^2 - 5x + 6 = 0，让学生尝试求解。
2.呈现（10分钟）呈现教材中的实例，引导学生观察方程的根与系数之间的关系。
通过计算和观察，引导学生发现根与系数之间的关系。
3.操练（10分钟）让学生分组进行活动，每组选择一个一元二次方程，计算其根与系数之间的关系。
然后，各组汇报结果，进行交流和讨论。
一元二次方程的根与系数的关系
学科：数学课题：22.2.4一元二次方程的根与系数的关系课型：新授主备人：审核：使用时间：【学习目标】1、掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数；2、通过根与系数的教学，进一步培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力；3、通过本节课的教学，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。
【重点和难点】1、根与系数的关系及其推导。
2、正确理解根与系数的关系。
3、一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系。
【学习过程】【知识回顾】(1)写出一元二次方程的一般式和求根公式。
(2)求出下列方程的两根，计算两根和与两根积的值，并猜想两根和、两根积与一元二次【探究研讨】1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1=_________ ,x2=_________________X1+x2=_______,x1x2=_______总结：任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于_____________________________________________，两根的积等于____________________。
2、x1、x2是一元二次方程x2+bx+c=0的两根，利用上面的结论可得：X1+x2=_______,x1x2=_______【活动一】不解方程，直接求出一元二次方程两根的和，两根的积（1）x2-6x-15=0 (2)3x2+7x-9=0 (3)5x-1=4x2(4)x 2-3x=15 (5)5x 2-1=4x 2+x (6)2x 2-3x+1=0【活动二】利用一元二次方程的根与系数的关系，求与两根有关的代数式的值 已知：x 1 和x 2 是一元二次方程 2x 2 =3x -1 的两 根，求 2221x x 2111x x + )1)(1(21++x x 221221x x x x +的值【活动三】利用一元二次方程的根与系数的关系，求字母系数的值 已知关于x 的一元二次方程x 2 -（m+1）x +2m-1=0, 当m 为何值时，此方程的两根互为相反数； 当m 为何值时，此方程的两根互为倒数。
22.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
东辛店镇中学人教版初中数学九年级教学案年级： 九年级 学科： 数学 命题人： 王金涛 审核人： 叶书生东 辛 店 中 学 验 标 题（满分： 100分 时间： 10 分钟 成绩： ）必做题：（共9题，每题10分）1、如果关于x 的一元二次方程02=++q px x 的两根分别为1x =3，2x =1，那么p= ，q = 。
2、不解方程，求下列方程两根之和，两根之积。
（1）0372=+-x x ， =+21x x ，=21x x 。
（2）7142==x ，=+21x x ，=21x x 。
（3）0132=-x ，=+21x x ，=21x x 。
（4）062=-y y ，=+21y y ，=21y y 。
（5）0)1(22=-+-m x m x ，=+21x x ，=21x x 。
3、请写出以-1，3为根的一元二次方程 。
4、方程02352=++m x x 的一个根为-5，则另一根为 ，m 为 。
选做题：（共1题，每题20分）（2012·日照）已知1x 、2x 是方程0161422=-+x x 的两实数根，求2112x x x x +的值。
1、（2011〃荆州） 关于x 的方程ax 2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x 1、x 2，且有x 1-x 1x 2+x 2=1-a ，则a 的值是（ ） A ．1 B ．-1 C ．1或-1 D ．22、（2010〃孝感）已知关于x 的方程0)1(222=+-k x k x ，有两个实数根1x ，2x ，（1）求k 的取值范围，（2）若12121-=+x x x x ，求k 的值。
一元二次方程根与系数的关系—知识讲解(提高)
一元二次方程根与系数的关系—知识讲解（提高）【学习目标】1. 理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系；2. 能应用一元二次方程的根与系数的关系解决以下问题：已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程.【要点梳理】要点一、一元二次方程的根与系数的关系1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①222121212()2x x x x x x +=+-；②12121211x x x x x x ++=； ③2212121212()x x x x x x x x +=+；④2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=； ⑤22121212()()4x x x x x x -=+-；⑥12()()x k x k ++21212()x x k xx k =+++；⑦12||x x -==⑧22212121222222121212()211()x x x x x x xx x x x x++-+==； ⑨12x x -==⑩22212121212||||(||||)+2||x x x x x x x x +=+=+2121212()22||x x x x x x =+-+．(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数为根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，则 ①当△≥0且120x x >时，两根同号．当△≥0且120x x >，120x x +>时，两根同为正数； 当△≥0且120x x >，120x x +<时，两根同为负数． ②当△＞0且120x x <时，两根异号．当△＞0且120x x <，120x x +>时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且120x x <，120x x +<时，两根异号且负根的绝对值较大．要点诠释：（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根a b +，则必有一根a b -（a ，b 为有理数）．【典型例题】类型一、一元二次方程的根与系数的关系的应用（1）1. 阅读材料：若一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两个实根为x 1、x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=ca． 根据上述材料解决下列问题：已知关于x 的一元二次方程x 2=2（1-m ）x-m 2；有两个实数根：x 1，x 2． （1）求m 的取值范围；（2）设y=x 1+x 2，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值． 【思路点拨】（1）首先将原方程化为一般式，由关于x 的一元二次方程x 2=2（1-m ）x-m 2有两个实数根，则可知△≥0，解不等式即可求得m 的取值范围； （2）由y=x 1+x 2=-ba，代入即可求得：y=2-2m ，根据（1）中m 的取值范围，即可求得最小值． 【答案与解析】【总结升华】此题考查了根与系数的关系，以及判别式的应用．此题比较简单，注意将方程化为一般形式．举一反三：【变式】（杭州校级月考）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+2）x+m2=0的两个实数根．（1）当m=0时，求方程的根；（2）若（x1﹣2）（x2﹣2）=41，求m的值；（3）已知等腰三角形ABC的一边长为9，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．【答案】解：（1）当m=0时，方程即为x2﹣4x=0，解得x1=0，x2=4；（2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+2）x+m2=0的两个实数根，∴x1+x2=2（m+2），x1x2=m2，∴（x1﹣2）（x2﹣2）=x1x2﹣2（x1+x2）+4=m2﹣4（m+2）+4=m2﹣4m﹣4=41，∴m2﹣4m﹣45=0，解得m1=9，m2=﹣5．当m1=9时，方程为x2﹣22x+81=0，△=（﹣22）2﹣4×81=160＞0，符合题意；当m1=﹣5时，方程为x2+6x+25=0，△=62﹣4×25=﹣64＜0，不符合题意；故m的值为9；（3）①当9为底边时，此时方程x2﹣2（m+2）x+m2=0有两个相等的实数根，∴△=4（m+2）2﹣4m2=0，解得：m=﹣1，∴方程变为x2﹣2x+1=0，解得：x1=x2=1，∵1+1＜9，∴不能构成三角形；②当9为腰时，设x1=9，代入方程得：81﹣18（m+2）+m2=0，解得：m=15或3，当m=15时方程变为x2﹣34x+225=0，解得：x=9或25，∵9+9＜25，不能组成三角形；当m=3时方程变为x2﹣10x+9=0，解得：x=1或9，此时三角形的周长为9+9+1=19．2.（肇庆二模）设x 1、x 2是方程2x 2+4x ﹣3=0的两个根，利用根与系数关系，求下列各式的值： （1）（x 1﹣x 2）2；（2）122111x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 【思路点拨】欲求（x 1﹣x 2）2与的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．【答案与解析】解：根据根与系数的关系可得：x 1+x 2=﹣2，x 1•x 2=．（1）（x 1﹣x 2）2=x 12+x 22﹣2x 1x 2=x 12+x 22+2x 1x 2﹣4x 1x 2=（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2==10． （2）122111x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=x 1x 2+1+1+==．【总结升华】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．举一反三：【高清ID 号：388522 关联的位置名称（播放点名称）：根与系数的关系---例3】 【变式】不解方程，求方程22310x x +-=的两个根的（1）平方和；（2）倒数和． 【答案】（1）134； （2）3．类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用（2）3.（灌云县期末）已知关于x 的方程x 2+ax ﹣2=0．（1）求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为2，求a 的值及该方程的另一根．【思路点拨】（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=a 2+8≥8，由此即可证出不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；（2）将x=2代入原方程求出a 值，设方程的另一个根为m ，根据根与系数的关系即可得出2m=﹣2，解之即可得出结论．【答案与解析】解：（1）在方程x 2+ax ﹣2=0中，△=a 2﹣4×1×（﹣2）=a 2+8，∵a 2+8≥8，∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． （2）将x=2代入原方程，4+2a ﹣2=0，解得：a=﹣1．设方程的另一个根为m ， 由根与系数的关系得：2m=﹣2， 解得：m=﹣1．∴a 的值为﹣1，方程的另一根为﹣1．【总结升华】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握“当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根”是解题的关键．4. 求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程25230x x +-=各根的负倒数． 【答案与解析】设方程25230x x +-=的两根分别为x 1、x 2，由一元二次方程根与系数的关系， 得1225x x +=-，1235x x =-．设所求方程为20y py q ++=，它的两根为y 1、y 2， 由一元二次方程根与系数的关系得111y x =-，221y x =-， 从而12121212122111125()335x x p y y x x x x x x -⎛⎫+=-+=---=+=== ⎪⎝⎭-，12121211153q y y x x x x ⎛⎫⎛⎫==--==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故所求作的方程为225033y y +-=，即23250y y +-=． 【总结升华】所求作的方程中的未知数与已知方程中的未知数要用不同的字母加以区别．同时“以两个数为根的一元二次方程是.”可以用这种语言形式记忆“2x -和x +积＝0”，或“减和加积”，此处的一次项系数最容易出现符号上的错误．一元二次方程根与系数的关系—巩固练习（提高）【巩固练习】 一、选择题1. 关于x 的方程2210mx x ++=无实数根，则m 的取值范围为( )． A ．m ≠0 B ．m ＞1 C ．m ＜1且m ≠0 D ．m ＞-12．已知a 、b 、c 是△ABC 的三条边，且方程2222cx bx a bx ax b ++=++有两个相等的实数根，那么这个三角形是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 3．（曲靖一模）已知一元二次方程x 2﹣3x ﹣3=0的两根为α与β，则的值为（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．24．设a ，b 是方程220130x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ）． A ．2010 B ．2011 C ．2012 D ．20135．若ab ≠1，且有25201290a a ++=，及29201250b b ++=，则ab的值是（ ）． A ．95 B ．59 C ．20125- D ．20129-6.（芦溪县模拟）设x 1，x 2是方程2x 2﹣6x+3=0的两根，则x 12+x 22的值是（ ） A ．15 B ．12 C ．6 D ．3二、填空题7．已知关于x 的方程221(3)04x m x m --+=有两个不相等的实数根，那么m 的最大整数值是________． 8．（凉山州）已知实数m ，n 满足3m 2+6m ﹣5=0，3n 2+6n ﹣5=0，且m≠n，则n m m n+= ．9．（濮阳校级自主招生）求一个一元二次方程 ，使它的两根分别是方程x 2﹣7x ﹣1=0各根的倒数．10．在Rt △ABC 中，∠C=900，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程的两根，那么AB 边上的中线长是 .11．已知方程2(k+1)x 2+4kx+3k-2=0 ，（1）当k 为 时，两根互为相反数；（2）当k 为 时，有一根为零，另一根不为零. 12．（仁寿县一模）关于x 的一元二次方程x 2﹣mx+2m ﹣1=0的两个实数根分别是x 1、x 2，且x 12+x 22=7，则m 的值是 ．三、解答题13. 已知关于x 的方程22210x mx m --+=的两根的平方和等于294，求m 的值．14．已知关于x 的方程 kx 2-2 (k +1) x +k -1=0 有两个不相等的实数根，(1) 求k 的取值范围；(2) 是否存在实数k ，使此方程的两个实数根的倒数和等于0 ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.15．（杭州校级期中）如果方程x 2+px+q=0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=﹣p ，x 1•x 2=q ，请根据以上结论，解决下列问题：（1）若p=﹣4，q=3，求方程x 2+px+q=0的两根．（2）已知实数a 、b 满足a 2﹣15a ﹣5=0，b 2﹣15b ﹣5=0，求+的值；（3）已知关于x 的方程x 2+mx+n=0，（n ≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】B ；【解析】当m ＝0时，原方程的解是12x =-；当m ≠0时，由题意知△＝22-4·m ×1＜0，所以m ＞1． 2．【答案】A ；【解析】方程化为(c-b)x 2+2(b-a)x+(a-b)＝0，∴ △＝4(b-a)2-4(c-b)(a-b)＝0 即4(a-b)(a-c)＝0，∴ a ＝b 或a ＝c ，∴ △ABC 为等腰三角形．3．【答案】A ；【解析】解：根据题意得α+β=3，αβ=﹣3，所以===﹣1．故选A ．4.【答案】C ； 【解析】依题意有22013a a +=，1a b +=-，∴222()()201312012a a b a a a b ++=+++=-=．5．【答案】A ；【解析】因为25201290a a ++=及29201250b b ++=，于是有25201290a a ++=及2115()201290bb+•+=，又因为1ab ≠，所以1a b ≠，故a 和1b 可看成方程25201290x x ++=的两根， 再运用根与系数的关系得195a b •=，即95a b =．6．【答案】C ；【解析】解：∵x 1，x 2是方程2x 2﹣6x+3=0的两根，∴x 1+x 2=3，x 1x 2=，∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=32﹣2×=6． 故选：C ．二、填空题 7．【答案】1；【解析】由题意知△＝221[(3)]404m m ---⨯⨯>，所以32m <，因此m 的最大整数值是1． 8．【答案】﹣；【解析】解：∵m≠n 时，则m ，n 是方程3x 2+6x ﹣5=0的两个不相等的根，∴m+n=﹣2，mn=﹣．∴原式====﹣，故答案为：﹣．9．【答案】x 2+7x ﹣1=0；【解析】解：设方程x 2﹣7x ﹣1=0的两根为α、β，则有：α+β=7，α•β=﹣1． ∴==﹣7，=﹣1，∴以、为根的方程为x 2+7x ﹣1=0．故答案为：x 2+7x ﹣1=0．10．【答案】；【解析】因直角三角形两直角边a 、b 是方程的二根，∴有a+b=7①a·b=c+7②，由勾股定理知c 2=a 2+b 2③，联立①②③组成方程组求得c=5， ∴斜边上的中线为斜边的一半，故答案为.11．【答案】（1）k=0；（2）k=.【解析】解：设方程的两根为x 1, x 2，则x 1+x 2=-=-；x 1x 2= .（1）要使方程两根互为相反数，必须两根的和是零， 即x 1+x 2=-=0，∴k=0，当k=0时，△=(4k)2-4×2(k+1)(3k -2)=16>0 ∴当k=0时，方程两根互为相反数.（2）要使方程只有一个根为零，必须二根的积为零，且二根的和不是零， 即x 1x 2==0，解得k=.又当k=时，x 1+x 2=-≠0，当k=时，△=(4k)2-4×2(k+1)(3k -2)=>0，∴k=时，原方程有一根是零，另一根不是零.12.【答案】-1.【解析】解：根据题意得x 1+x 2=m ，x 1x 2=2m ﹣1，∵x 12+x 22=7，∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=7，∴m 2﹣2（2m ﹣1）=7，解得m 1=﹣1，m 2=5，当m=﹣1时，原方程变形为x 2+x ﹣3=0，△=1﹣4×（﹣3）＞0，方程有两个不等实数根；当m=5时，原方程变形为x 2﹣5x+9=0，△=25﹣4×9＜0，方程没有实数根； ∴m 的值为﹣1． 故答案为﹣1．三、解答题13. 【答案与解析】设方程的两根为x 1、x 2，则由根与系数关系，得122m x x +=，12122m x x -=． 由题意，得 2212294x x +=，即2121229()24x x x x +-=，∴ 212292224m m -⎛⎫-=⎪⎝⎭， 整理，得28330m m +-=．解得13m =，211m =-．当m ＝3时，△＝28(21)490m m +-=>；当m ＝-11时，△＝28(21)630m m +-=-<，方程无实数根． ∴ m ＝-11不合题意，应舍去． ∴ m 的值为3．14. 【答案与解析】(1) ∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ=[-2(k ＋1)]2－4k (k -1)>0，且k ≠0，解得k >-13，且k ≠0 .即k 的取值范围是k >-13，且k ≠0 . (2) 假设存在实数k ，使得方程的两个实数根x 1 , x 2的倒数和为0.则x 1 ，x 2不为0，且01121=+x x ，即01≠-kk ，且01)1(2=-+kk k k ，解得k =-1 . 而k =-1 与方程有两个不相等实根的条件k >-13，且k ≠0矛盾， 故使方程的两个实数根的倒数和为0的实数k 不存在 .15.【答案与解析】解：（1）当p=﹣4，q=3，则方程为x 2﹣4x+3=0，解得：x 1=3，x 2=1．（2）∵a 、b 满足a 2﹣15a ﹣5=0，b 2﹣15b ﹣5=0，∴a 、b 是x 2﹣15x ﹣5=0的解， 当a ≠b 时，a+b=15，a ﹣b=﹣5， +====﹣47；当a=b 时，原式=2．（3）设方程x 2+mx+n=0，（n ≠0），的两个根分别是x 1，x 2，则+==﹣，•==，则方程x 2+x+=0的两个根分别是已知方程两根的倒数．。
22.2.5一元二次方程根与系数的关系
练5、不解方程，求一元二次方程
x 2 x 3 0 两个根的①平方
2
和；②倒数和。 练6、已知方程 2 x 4 x 2m 0 的两个根的倒数和等于6，求m的 值
2
2 x , x （3）设 1 2 是方程2 x 4 x 3 0的
两个根，不解方程，求下列各式的 值。 x2 x1 ① ( x1 1)( x2 1) ② x1 x2
一、解下列方程，将得到的解填入下面的表格中。
（1）x2－2x＝0；
（2）x2＋3x－4＝0；
（3）x2－5x＋6＝0
填写下表：
方程 两个根
两根 之和 两根 之积 a与 b 之间 关系
b a
a与 c 之间 关系
c a
x1 x2 x1 x2 x1 x2
4 1 x 2 5x 6 0 2 3
x 2 3x 4 0
3 5
3 2
2
4 6
1 2
3 5
3 2
4
6
1 2
2 x 3x 1 0
2
1 2
1
猜想： 如果一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 的两个根 分别是 x1 、 x2 ，那么，你可以发现什么结论？
已知：如果一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 的两个根分别是 x1 、 x2 .
2
求它的另一个根及 k的值.
2.方程x 3kx 2k 1 0的两根互为倒数 ，
2
求k的值.
作业：P36——10
2
解：① x1 x2 3 ② x1 x2 2
x1 x2 1
1 x1 x2 2
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吴淑珍
回顾 （1）一元二次方程的一般形式是什么
ax2+bx+c=0(a≠0)
（2）一元二次方程的根的判别式是什么
b 4ac
2
（3）一元二次方程的求根公式是什么
b b 4ac 2 x (b 4ac 0) 2a
2
1.
填表，观察、猜想
方程
x2-2x+1=0
x2+3x-10=0
1 2
x px q 0
2
x x p x x q
1 2
x
1
,
x
2
,则 :
如果方程二次项系数不为1呢?
方 程
2x2-3x-2=0 3x2-4x+1=0
x1,, x2
x1,+ x2
x 1. x 2
1 2， 2 1 1， 3
3 2 4 3
1
1 3
问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律； ①用语言叙述发现的规律； ② ax2+bx+c=0的两根x1,, x2用式子表示你发现的规 律：
1、 x2 - 2x - 1=0 x1+x2=2 x1x2=-1 1 1 3 2 2、 2x - 3x + =0 x1+x2= x 1x 2= 2 4 2
3、 2x2 - 6x =0 4、 3x2 =4 x1+x2=3 x1+x2=0 x1x2=0
4 x 1x 2= 3
一元二次方程根与系数关系的应用 一、验根。
(4)
2 x2 x1 x12 x2 x1 x2 x1 x2
(5)( x1 1)( x2 1) x1 x2 x1 x2 1
x x2 1 1 (6) 2 2 2 2 x1 x2 x1 x2
2 1 2
( x1 x2 ) 2 x1 x2 2 ( x1 x2 )
x1 x 2 = k 3
2
∴(
当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。
2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根， 且x12+x22=4，求k的值。
解：由方程有两个实数根，得
1 2
4(k 1) 2 4k 2 0
即-8k+4≥0
k
由根与系数的关系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2 ∴ X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4
b b2 4ac x2 2a
(b2 4ac 0)
b b2 4ac b b2 4ac x1 x2 2a 2a
b b 2 4ac b b 2 4ac 2b b 2a 2a a
b b 4ac b b2 4ac b b2 4ac x1 x2 2a 2a 4a 2
由X12+x22 =4，得2k2-8k+4＝4 解得k1=0 , k2=4 2、在实数范围内运用韦达定理，必须注意 , 经检验， k2=4不合题意，舍去。 这个前提条件 ,而应用判别式的前提条件是方程必须是 一元二次方程，即二次项系数 ， ∴ k=0
课堂总结
一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方 程两根的和，两根的积与系数的关系：
2 2
2
4ac c b2 （b 2 4ac) b 2 b 2 4ac 2 2 2 4a a 4a 4a
x1 x2 b
a
c x1 x2 a
一元二次方程根与系数的关系
韦 达 定 理
推 论 推 论 2 1
若方程ax 2 bx c 0(a 0)的两根为x1 , x2 , b c 则x1 x2 , x1 x2 a a
2
1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。
解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1 ∵ (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2 由根与系数的关系得x1+x2=
k 1 2 k 3 ) 4 1 2 2 解得k1=9,k2= -3
k 1 , 2
（口答）判定下列各方程后面的两个数是不 是它的两个根。
①
②
③
④ x 8x 11 0(4 5,4 5)
2
√ 2 2x 3x 1 0(3,1) × 5 2 2 3x 5x 2 0( , ) × 3 3
x 6x 7 0(1,7)
2
√
二、已知方程一根，求另一根。
2
根与系数关系
若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个 实数根为x1、x2
b x1+x2= a
c x1x2= a
（１）x12+x22 = （x1+x2）2 - 2x1.x2
x1 x 2 1 1 （２） x1 x 2 x1 x 2
（３）（x1－x2）2 = （x1+x2）2 – ４x1.x2
根与系数关系
若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个 实数根为x1、x2
b x1+x2= a
c x1x2= a
学习主题
探究所得结论的证明
设x1、x2为方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数 根， b 证明：
x1+x2=
a
c x1x2= a
证 明 过 利用求根公式证明：
b b2 4ac x1 2a
x2+5x +4=0
x1,, x2
1,1 2,-5 -1,-4
x1,+ x2
2
x 1. x 2
1
-10 4
-3
-5
问题：你发现两根之和与两根之差与一元二次 方程的系数有什么规律了吗？ ①用语言叙述你发现的规律； ② x2+px+q=0的两根x1,, x2用式子表示你发现 的规律。
根与系数关系
如果关于x的方程 的两根是
特别地： 若方程x 2 px q 0的两根为x1 , x2， 则：x1 x2 p, x1 x2 q
以两个数x1 , x2为根的一元二次 方程（二次项系数为1 ）是 x2 （x1 x2）x x1 x2 0
一元二次方程的 根与系数的关系
16世纪法国最杰出的数学家韦达发现 代数方程的根与系数之间有这种关系， 因此,人们把这个关系称为韦达定理。数学原本只 是韦达的业余爱好，但就是这个业余爱好，使他取 得了伟大的成就。韦达是第一个有意识地和系统地 使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多 改进。是他确定了符号代数的原理与方法，使当时 的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用。 因此，他获得了“代数学之父”之称。
5x -7x+k=0 例1 已知方程 5 x22 +kx-6=0 的一个根是2，求它的另一个根及 k的值。
方法（一） 方法（二 ) 解：设方程的另一个根是x1那么
∵ 2是方程 5 3 ）+2= 又（ — ∴ 5 ∴ 原方程可化为 解得： ∴ k= -7
6 2x1= - —
3. ∴x1 = - —
- —
k 5
5 的根，
3 答：另一个根是 - —，k的值是-7。 5
三、已知方程求某些代数式的取值
例2 不解方程，求方程 2x2+3x-1=0 +5x-7=0 的两个根的
（1）平方和 （2）倒数和
解：设方程的两个根是x1 x2，那么
3 1 x1 x2 , x1 x2 2 2 2 1∵ x1 x2 x12 2 x1 x2 x22 3 1 13 2 2 2 4 1 1 x1 x2 3 1 2 3 x1 x2 x1 x2 2 2
作业：
1.P42 第6题
2.已知关于x的方程 x2+2（m-2） x+m2+4=0 有两个实数根，并且这 两个根的平方和比两根的积大21。 求m的值。
练一练·
1.求下列方程的“两个根之和”与 “两个根之积”： -1,-2 • (1) x2＋x－2＝0； -4,-2 • (2) x2＋4x＝2； 3,-12 • (3) x2－3x－12＝0； • (4) x2＋4x＋10＝1－8x.
(4) x2+12x＋9＝0.
-12,9
练一练·
2.说出下列各方程的两根之和与两根之积：
如果ax 2 bx c 0, a 0的两个根是x1 , x2 b c 那么x1 x2 , x1 x2 a a
如果x 2 px q 0, a 0的两个根是x1 , x2 那么x1 x2 p, x1 x2 q
以两个数x1 , x2为根的一元二次方程（二次项 的系数为 1 ）是 : x 2 （x1 x2）x x1 x2 0