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北师大新版九年级数学上册教案带教学反思

北师大新版九年级数学上册教案带教学反思一、内容概览本章节是北师大新版九年级数学上册的一部分内容，围绕核心数学主题进行展开，涉及重要的数学概念和应用技能的培养。

教学计划结合教学目标以及学生的实际认知发展水平和学习需求精心设计，目的是提高学生解决实际问题的能力。

这一章的主题包括了代数、几何、概率与统计等关键数学领域的内容。

每个小节都将包含新的知识点和关键技能，并围绕这些知识点展开一系列的学习活动。

代数部分将涵盖二次方程、不等式及其求解技巧等。

几何部分将探讨复杂的几何图形及其性质，包括三角形、四边形、圆的性质等。

概率与统计也将是本章节的重要部分，包括数据的收集、整理和分析方法，以及概率的基本概念和计算方法等。

本章节还将注重数学知识的实际应用，通过解决一系列实际问题来加强学生对数学知识的理解和应用能力的提升。

在现实生活中运用数学知识解决实际问题，以及如何利用数学模型预测未来的趋势等。

这种实践导向的教学方式将极大地提高学生解决问题的能力。

每一课都会根据新课标的要求进行设计，保证知识深度、难度的递进关系处理得当，有助于提高学生综合分析问题解决问题的能力。

通过这个过程，学生可以深化对数学的理解和认识，进而对更高层次的数学学习产生积极的影响。

对于这一阶段的教学过程，教师会进行详细的反思和总结，以便更好地调整教学策略和方案。

1. 介绍北师大新版九年级数学上册的教学目标和重要性。

北师大新版九年级数学上册的教学目标是全面提升学生的数学素养和综合能力。

该教材紧扣国家课程标准，遵循学生的认知规律，注重知识与能力、过程与方法、情感态度与价值观的有机结合。

主要教学目标包括：知识与能力：使学生掌握初中数学的基本概念、原理和方法，包括代数、几何、概率统计等领域的基础知识。

注重培养学生的计算能力、推理能力、空间想象能力和数据处理能力等。

过程与方法：引导学生通过探究、合作、实践等多种方式学习，培养学生的自主学习能力、创新意识和实践能力。

2017年九年级数学上册(北师大版)全册教案及反思

第一章特殊平行四边形1.掌握菱形、矩形、正方形的概念,以及它们之间的关系.2.理解菱形、矩形、正方形的性质定理与判定定理,并能证明其他相关结论.3.掌握直角三角形的性质定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.1.经历探索菱形、矩形、正方形的概念、性质与判定的猜想与证明的过程,丰富数学活动经验,进一步发展合情推理和演绎推理的能力.2.理解菱形、矩形、正方形的概念,了解它们与平行四边形之间的关系,进一步体会从一般到特殊的思考问题的方法,提高发现问题和解决问题的能力.3.在参与观察、试验、猜想、证明等数学活动中,有意识地渗透试验论证、逆向思维的思想,提高学生的能力.1.积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲.2.经历图形的分类、性质探讨的过程,掌握图形与几何的基础知识和基本技能.通过“猜想——总结——证明——应用”的数学活动提升科学素养.3.提高自主探究的能力和增强与他人合作交流的意识、方法.四边形是人们日常生活中应用较为广泛的一种几何图形,尤其是平行四边形、菱形、矩形、正方形等特殊四边形的用处更多.因此,四边形既是几何中的基本图形,也是“空间与图形”领域中主要研究对象之一.本章是在已经学过的多边形、平行线、三角形、平行四边形的基础上对菱形、矩形、正方形的有关性质与常用的判定方法的证明与扩充.它们的探索方法也都与平行四边形的性质和判定的探索方法一脉相承.本章的学习有助于深化对平行四边形的理解,以及对识图、画图等操作技能的掌握,丰富学生的数学活动经验和体验,促进其良好数学观的形成.本章主要渗透归纳、类比、转化等数学思想,注重通过引导探索过程来渗透与展现证明的思路.此外还要注意引导学生探索证明的不同思路与方法,并进行适当的比较和讨论,提高分析、寻求证明思路的能力.【重点】菱形、矩形、正方形的定义、性质与判定.【难点】平行四边形与菱形、矩形、正方形之间的联系与区别.本章教学时间约需8课时,具体分配如下:1 菱形的性质与判定理解菱形的概念,了解它与平行四边形之间的关系.1.经历菱形的性质定理与判定定理的探索过程,进一步发展合情推理能力.2.能够用综合法证明菱形的性质定理与判定定理,进一步发展演绎推理能力.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学现象.【重点】1.菱形的概念和性质.2.探索菱形的判定方法【难点】菱形的概念和性质在生活中的应用.第课时探索并掌握菱形的概念和菱形所具有的特殊性质,会进行简单的推理和运算.在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生合情推理的能力,进一步让学生养成用数学知识说理的习惯,并要求学生能熟练地按规范的推理格式书写.从学生已有的知识出发,通过欣赏、观察、动手操作等活动让学生感受身边的数学图形的和谐美与对称美,激发他们学习数学的兴趣,树立学好数学的信心,体会学习数学的快乐.培养学生主动探究、自主学习和合作交流的意识.【重点】菱形的概念和性质.【难点】菱形性质的灵活应用.【教师准备】1.教师在课前布置学生复习平行四边形的性质,搜集菱形的相关图片.2.多媒体课件.3.教师准备菱形纸片,上课前发给学生上课时使用.【学生准备】复习平行四边形的性质导入一:请同学们观察投影图片中的四边形并回答下列问题:(1)投影图片中有平行四边形吗?(2)这些平行四边形具有哪些特征?其中哪个特征不是平行四边形的性质?【师生活动】复习平行四边形的定义及性质.导入二:1.提问:什么是平行四边形?学生回顾交流.2.平行四边形的相邻两边可能相等吗?请同学们讨论一下在我们生活中是否有相邻两边相等的平行四边形形状的图案?一、情景交流结合上面的观察,你能举出和上述图形具有相同特征的实物图形吗?具有这一特征的平行四边形是什么四边形?【学生活动】通过讨论,以小组为单位分别说出生活中具有邻边相等特征的平行四边形形状的实物.【教师活动】投影图片展示一些生活中的具有邻边相等特征的平行四边形形状的实物.二、学生活动,归纳概念思路一请口答下列问题.(1)上述图形都是平行四边形吗?(2)上述图形都有一组邻边相等吗?(3)如果平行四边形有一组邻边相等,那么另一组邻边也相等吗?小组合作交流,类比平行四边形的定义尝试给出菱形的定义.【老师点评】(1)是平行四边形;(2)都有一组邻边相等.【课件展示】像这样,有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.思路二【师】同学们,在观察上面图片之后,你能从中发现熟悉的图形吗?你能找出它们的共同特征吗?请同学们观察,图中的平行四边形与黑板上所画的▱ABCD 相比较,还有不同点吗?【生】投影图片中的平行四边形不仅对边相等,而且任意两条邻边也相等.【师】同学们观察得很仔细,像这样,有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.三、共同探究【想一想】(1)菱形是特殊的平行四边形,它具有一般平行四边形的所有性质.你能列举一些这样的性质吗?【生】菱形的对边平行且相等,对角相等,对角线互相平分.(2)同学们,你认为菱形还具有哪些特殊的性质?请你与同伴交流.【学生活动】分小组讨论菱形的性质,组长组织组员讨论,让尽可能多的组员发言,并汇总结果.【教师活动】教师巡视,并参与到学生的讨论中,启发学生类比平行四边形从图形的边、角和对角线三个方面探讨菱形的性质.对学生的结论,教师要及时作出评价,积极引导,激励学生.【做一做】请同学们用菱形纸片折一折,回答下列问题:(1)菱形是轴对称图形吗?如果是,它有几条对称轴?对称轴之间有什么位置关系?(2)菱形中有哪些相等的线段?【学生活动】分小组折纸探索答案.组长组织,并汇总结果.【教师活动】教师巡视并参与学生活动,引导学生怎样折纸才能得到正确的结论.学生研讨完毕,教师要展示汇总学生的折纸方法以及相应的结论,以便于后面的教学.【师生结论】(1)菱形是轴对称图形,有两条对称轴,且是菱形的两条对角线所在的直线,两条对称轴互相垂直.(2)菱形的四条边相等.【验证提升】证明菱形性质【师】通过折纸活动,同学们已经对菱形的性质有了初步的理解,下面我们要对菱形的性质进行严谨的逻辑证明.【教师活动】如图所示,在菱形ABCD中,已知AB＝AD,对角线AC与BD相交于点O.求证:(1)AB＝BC＝CD＝AD;(2)AC⊥BD.【师生共析】(1)菱形不仅对边相等,而且邻边相等,这样就可以证明菱形的四条边都相等了.(2)因为菱形是平行四边形,所以点O是对角线AC与BD的中点.又因为在图形中可以得到相关的等腰三角形,所以就可以利用“三线合一”来证明结论了.【学生活动】写出证明过程,进行组内交流对比,优化证明方法,掌握相关定理.指名学生在黑板上演示证明过程.证明:(1)∵菱形ABCD是平行四边形,∴AB＝CD,AD＝BC(平行四边形的对边相等).∵AB＝AD,∴AB＝BC＝CD＝AD.(2)∵AB＝AD,∴ΔABD是等腰三角形.∵四边形ABCD是菱形,∴OB＝OD(菱形的对角线互相平分).在等腰三角形ABD中,∵OB＝OD,∴AO⊥BD,即AC⊥BD.【教师活动】展示学生的证明过程,进行恰当的点评和鼓励,优化学生的证明方法,规范学生的书写格式,提高学生的逻辑证明能力.【教师活动】请你根据上面的证明,归纳出菱形的性质.【学生活动】小组交流,共同总结.【教师活动】多媒体课件展示定理:菱形的四条边相等.定理:菱形的对角线互相垂直.最后强调“菱形的四条边相等”“菱形的对角线互相垂直”,让学生形成牢固记忆,留下深刻印象.四、展示交流【教师活动】例题讲解.(教材例1)如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O, ∠BAD ＝60°,BD＝6,求菱形的边长AB和对角线AC的长.〔解析〕因为菱形的邻边相等,一个内角是60°,这样就可以得到等边三角形ABD,由BD＝6知菱形的边长也是6.菱形的对角线互相垂直,可以得到直角三角形AOB.菱形的对角线互相平分,可以得到OB＝3,根据勾股定理就可以求出OA的长度,再一次根据菱形的对角线互相平分,即AC＝2OA,求出AC.解:∵四边形ABCD是菱形,∴AB＝AD(菱形的四条边相等),AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直),OB＝OD＝BD＝³6＝3(菱形的对角线互相平分).在等腰三角形ABD中,∵∠BAD＝60°,∴ΔABD是等边三角形.∴AB＝BD＝6.在RtΔAOB中,由勾股定理,得:OA2＋OB2＝AB2,∴OA＝＝3,∴AC＝2OA＝6.[知识拓展] (1)菱形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质;(2)菱形的定义既可以看做菱形的性质,也可以看做菱形的判定方法.1.菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2.菱形的性质:(1)菱形是轴对称图形,对称轴是两条对角线所在的直线;(2)菱形的四条边都相等;(3)菱形的对角线互相垂直平分.3.菱形具有平行四边形的所有性质,应用菱形的性质可以进行计算和推理.1.如图所示,在菱形ABCD中,AB＝5,∠BCD＝120°,则对角线AC的长是( )A.20B.15C.10D.5解析:因为四边形ABCD是菱形,所以AB＝CB,CD∥BA,所以∠ABC＝180°-∠BCD＝180°-120°＝60°,所以ΔABC是等边三角形,所以AC＝AB＝5.故选D.2.如图所示,菱形ABCD的周长为8 cm.∠BAD＝60°,则AC＝cm.解析:因为菱形ABCD的周长为8 cm,所以AB＝AD＝2 cm.又因为∠BAD＝60°,所以ΔABD是等边三角形,所以BD＝AB＝2 cm,所以OB＝BD＝1 cm,所以OA＝(cm),所以AC＝2 cm.故填2.3.如图所示,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB＝CD＝BC,则四边形ABCD是菱形吗?为什么?解:四边形ABCD是菱形.理由:∵AB∥CD,AB＝CD,∴四边形ABCD是平行四边形.又∵CD＝BC,∴平行四边形ABCD是菱形.4.如图所示,四边形ABCD是菱形,F是AB上一点,DF交AC于点E.求证∠AFD ＝∠CBE.证明:∵四边形ABCD是菱形,∴CB＝CD,CA平分∠BCD.∴∠BCE＝∠DCE.又∵CE＝CE,∴ΔBCE≌ΔDCE(SAS).∴∠CBE＝∠CDE.在菱形ABCD中,∵AB∥CD,∴∠AFD＝∠CDE.∴∠AFD＝∠CBE.第1课时菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形菱形的性质:菱形的四条边相等菱形的对角线互相垂直例1一、教材作业【必做题】教材第4页随堂练习.【选做题】教材第4页习题1.1的1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.在菱形ABCD中,AB＝5 cm,则此菱形的周长为 ( )A.5 cmB.15 cmC.20 cmD.25 cm2.菱形的周长为8 cm,高为1 cm,则菱形两邻角的度数比为( )A.3∶1B.4∶1C.5∶1D.6∶13.如图所示,在菱形ABCD中,两条对角线的长分别为AC＝6,BD＝8,则此菱形的边长为 ( )A.5B.6C.8D.104.如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC交BD于点O,AB＝8,E是CD的中点,则OE的长等于.5.如图所示,已知菱形ABCD,其顶点A,B在数轴上对应的数分别为-4和1,则BC ＝.6.如图所示,在菱形ABCD中,E,F分别是CB,CD上的点,且BE＝DF.求证∠AEF＝∠AFE.【能力提升】7.如图所示,两个全等菱形的边长均为1 cm,一只蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA 的顺序沿菱形的边循环运动,行走2015 cm后停下,则这只蚂蚁停在点.8.已知菱形ABCD的边长为6,且∠A＝60°,如果点P是菱形内一点,且PB＝PD ＝2,那么AP的长为.9.如图所示,在菱形ABCD中,∠A＝60°,AB＝4,O为对角线BD的中点,过O点作OE⊥AB,垂足为E.(1)求∠ABD的度数;(2)求线段BE的长.【拓展探究】10.如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC＝6,BD＝8,点E,F分别是边AB,BC的中点,点P在AC上运动,在运动过程中,存在PE＋PF的最小值,则这个最小值是( )A.3B.4C.5D.611.如图所示,在菱形ABCD中,F是BC上任意一点,连接AF交对角线BD于点E,连接EC.(1)求证AE＝EC;(2)当∠ABC＝60°,∠CEF＝60°时,点F在线段BC上的什么位置?说明理由. 【答案与解析】1.C(解析:因为菱形ABCD的四条边相等,所以菱形的周长为5³4＝20(cm).故选C.)2.C(解析:如图所示,因为菱形的周长为8 cm,所以AD＝2 cm.因为高DE＝1 cm,所以DE＝AD,所以∠A＝30°,所以∠ADC＝180°-30°＝150°,所以菱形两邻角的度数比为5∶1.故选C.)3.A (解析:因为四边形ABCD是菱形,所以OA＝AC＝3,OB＝BD＝4,∠AOB＝90°,所以AB＝＝5.故选A.)4.4(解析:因为四边形ABCD是菱形,所以O是AC的中点,且AD＝AB＝8.又因为E是CD的中点,所以OE是ΔACD的中位线,所以OE＝AD＝AB＝4.故填4.)5.5 (解析:因为点A,B在数轴上对应的数为-4和1,所以AB＝1-(-4)＝5.因为四边形ABCD是菱形,所以BC＝AB＝5.故填5.)6.证明:在菱形ABCD中,有AB＝AD,∠B＝∠D.在ΔABE和ΔADF中,,∴ΔABE≌ΔADF.∴AE＝AF.∴∠AEF＝∠AFE.7.G(解析:因为两个全等菱形的边长均为1 cm,所以蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA的顺序走一圈的路程为8³1＝8(cm),2015÷8＝251(cm)……7(cm),所以当蚂蚁走完第251圈后再走7 cm正好到达G点.)8.2或49.解:(1)在菱形ABCD中,AB＝AD,∠A＝60°,∴ΔABD为等边三角形.∴∠ABD＝60°.(2)由(1)可知BD＝AB＝4.又∵O为BD的中点,∴OB＝2.又∵OE⊥AB,∠ABD ＝60°,∴∠BOE＝30°.∴BE＝1.10.C11.证明:(1)如图所示,连接AC,∵BD是菱形ABCD的对角线,∴BD垂直平分AC,∴AE＝EC.(2)点F是线段BC的中点.理由如下.∵四边形ABCD是菱形,∴AB＝CB.又∵∠ABC＝60°,∴ΔABC是等边三角形,∴∠BAC＝60°.∵AE＝EC,∴∠EAC＝∠ACE.∵∠CEF＝60°,∴∠EAC＝30°.∴AF是ΔABC中∠BAC的平分线,∴BF ＝CF,∴点F是线段BC的中点.本课时的主要教学内容为菱形的定义和性质.学生已经学习了平行四边形的性质,这是本课时知识的基础.关于菱形的定义和性质,就是在平行四边形的基础上,进一步强化条件得到的.本课时授课思路为“创设情境——猜想归纳——逻辑证明——知识运用”.课堂上的折纸活动,可以让学生直观感知图形的特点,还可以激发学生学习的兴趣和积极性.教师应该留给学生充分的独立思考时间,不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考,掩盖了其他学生的疑问.教师要引导学生积极思考,抓住表面现象中的本质.在性质的证明和应用过程中,教师要鼓励学生大胆探索新颖独特的证明思路和证明方法,提倡证明方法的多样性,并引导学生在与其他同学的交流中进行证明方法的比较,优化证明方法,有利于提高学生的逻辑思维水平.随堂练习(教材第4页)解:根据菱形的对角线互相垂直,可知ΔAOB是直角三角形,由勾股定理可求出OB＝3 cm,再根据菱形的对角线互相平分可得BD＝2OB＝6 cm.习题1.1(教材第4页)1.证明:在菱形ABCD中,AB＝BC,BC∥AD,∴∠B＋∠BAD＝180°,∵∠BAD＝2∠B,∴∠B＝60°,又∵BA＝BC,∴ΔABC是等边三角形.2.解:∵四边形ABCD 是菱形,∴AD＝DC＝CB＝BA,AC⊥BD,AO＝AC＝³8＝4,DO＝BD＝³6＝3,在RtΔAOD中,由勾股定理,得AD＝＝5. ∴菱形ABCD的周长为4AD＝4³5＝20.3.证明:在菱形ABCD中,AD＝AB,AC⊥BD,∴AC平分∠DAB,同理,CA平分∠DCB,BD 平分∠ABC和∠ADC.4.解:共有4个等腰三角形,分别为ΔBAD,ΔBCD,ΔADC,ΔABC.共有4个直角三角形,分别为ΔAOB,ΔAOD,ΔCOD,ΔBOC.(1)在折纸过程中,教师要与学生探讨折纸的方法,明确折叠过程中的对应点及相应的对称轴,便于学生正确迅速地找出菱形中的对称关系.掌握数学知识离不开“实践——认识——再实践——认识”这个重要的学习方法,通过说理论证可以使学生充分理解菱形的性质,在这个过程中,教师要充分关注学生使用几何语言的规范性和严谨性.(2)类比方法是数学中重要的方法,所以本课时类比以前学过的平行四边形的有关概念、性质,让学生通过自主学习,共同探究,很自然地突破了重难点.(3)本课时重难点、易错点的掌握要通过不同形式的练习加以巩固,让学生积极参与,培养合作意识,激发学习兴趣,同时教师随时注意学生们出现的问题,及时引导和反馈,使学生在快乐中掌握知识.(2014²莆田中考)如图所示,菱形ABCD的边长为4,∠BAD＝120°.点E是AB的中点,点F是AC上的一动点,则EF＋BF的最小值是.〔解析〕如图所示,连接DE,EC,DF,则BF＝DF.∵四边形ABCD为菱形,∠BAD＝120°,∴∠ABC＝60°.∴ΔABC为等边三角形.∵E是AB的中点,∴CE⊥AB,∴CE⊥CD.在RtΔBEC中,∠ABC＝60°,BC＝4,∴BE＝BC＝2,CE＝＝2.在RtΔECD中,CE＝2,DC＝4,∴ED＝2.根据两点之间线段最短,可知EF＋DF的最小值为2.∴EF＋BF的最小值为2.故填2.第课时1.理解菱形的定义,掌握菱形的判定方法;会用这些判定方法进行有关的论证和计算.2.在菱形的判定方法的探索与综合应用中,培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力.尝试从不同角度寻求菱形的判定方法,并能有效地解决问题,尝试比较不同判定方法之间的差异,并获得判定四边形是菱形的经验.启发引导学生理解探索结论和证明结论的过程,掌握合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系,培养学生合作交流的能力,以及独立思考的良好习惯.【重点】探索证明菱形的两个判定方法,掌握证明的基本要求和方法.【难点】明确推理证明的条件和结论能用数学语言正确表达.【教师准备】木条和橡皮筋【学生准备】复习上课时的相关知识.导入一:人们戴的帽子的形状千奇百怪,有一段时间,电视上经常看到大学生戴的菱形帽,它是受到外国博士帽的启发.在日本,到第二次世界大战为止,戴菱形帽一直是年轻人的梦想,戴上它显得有知识有学问.这是由于菱形的特殊因素能给人一种舒服的感觉.那么,我们怎样判断一个四边形是否是菱形呢?导入二:什么样的四边形是平行四边形?它有哪些判定方法?教师提示:判定方法应该从三个方面分析:边:两组对边分别平行的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.角:两组对角分别相等的四边形是平行四边形.对角线:对角线互相平分的四边形是平行四边形.那么,菱形的判定有什么方法呢?[设计意图]通过类比的方法引导学生发现判定菱形的方法.一、由菱形的定义判定【学生活动】明确菱形的定义既是菱形的性质,又可作为菱形的第一种判定方法,即有一组邻边相等的平行四边形是菱形.【思考】除了运用菱形的定义,类比平行四边形的性质定理和判定定理,你能找出判定菱形的其他方法吗?二、菱形的判定(1)思路一已知:在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC⊥BD.求证▱ABCD是菱形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA＝OC.∵AC⊥BD,∴BD所在的直线是线段AC的垂直平分线.∴BA＝BC.∴▱ABCD是菱形(菱形的定义).【思考】从上述证明过程中,你得出什么结论?定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.思路二【学生活动】用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.(1)转动木条,这个四边形总有什么特征?你能证明你发现的结论吗?猜想:四边形的对角线互相平分.(2)继续转动木条,观察什么时候橡皮筋围成的四边形变成菱形?猜想:当木条互相垂直时,平行四边形的一组邻边相等,此时四边形为菱形.(3)你能证明你的猜想吗?猜想:如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直,那么这个平行四边形是菱形.已知:在▱ABCD中,对角线AC,BD互相垂直.求证▱ABCD是菱形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分).又∵AC⊥BD,∴BD所在的直线是线段AC的垂直平分线,∴AB＝BC,∴▱ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.三、菱形的判定(2)思路一学生先画两条等长的线段AB,AD,然后分别以B,D为圆心,AB长为半径画弧,得到两弧的交点C,连接BC,CD,就得到了一个四边形,猜一猜,这是什么四边形?请你画一画.通过探究,容易得到:四条边相等的四边形是菱形.证明上述结论.[设计意图]采用观察、操作、交流、演绎的手法来突破难点,通过严谨的推理和证明培养学生的几何思维.思路二问题我们如何画一个菱形呢?通常先画两条等长的线段AB,AD,然后分别以B,D 为圆心,AB长为半径画弧,得到两弧交点C,连接BC,CD即可.【学生活动】(1)观察画图的过程,你能说明得到的四边形为什么是菱形吗?学生思考后,展开讨论寻找原因.原因:这个四边形的四条边相等,根据菱形定义即可判定.(2)你能得出什么结论?学生得出从一般的四边形直接判定菱形的方法:四条边相等的四边形是菱形.[设计意图]通过教师画图演示,让学生从直观操作的角度去发现问题,使探究的问题形象化、具体化,培养学生的形象思维能力.利用平行四边形的判定和菱形的定义判定该四边形是菱形,进一步提高学生的抽象思维能力.本活动进一步体现了试验几何和论证几何的有机结合.猜想:四条边相等的四边形是菱形.如图所示,在四边形ABCD,已知AB＝BC＝CD＝DA.求证四边形ABCD是菱形.证明:∵AB＝CD,BC＝AD,∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).又∵AB＝BC,∴平行四边形ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).[设计意图]由菱形的定义得出从一般的四边形直接判定菱形的方法:四条边相等的四边形是菱形,并激发学生探究的欲望.[知识拓展] 四条边相等的四边形是菱形.在▱ABCD中,已知对角线AC与BD相交于点O,AB＝,OA＝2,OB＝1.求证▱ABCD是菱形.证明:在ΔAOB中,∵AB＝,OA＝2,OB＝1,∴AB2＝AO2＋OB2.∴ΔAOB是直角三角形,即∠AOB是直角.∴AC⊥BD.∴▱ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).[知识拓展] (1)菱形的判断可以从两个基本图形(四边形或平行四边形)考虑,进行证明.(2)菱形的性质定理和菱形的判定定理是互逆定理.1.下列命题正确的是( )A.对角线互相平分的四边形是菱形B.对角线互相平分且相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形答案:D2.用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是( )A.等腰梯形B.正方形C.长方形D.菱形答案:D3.如图所示,在ΔABC中,AD⊥BC于D,点D,E,F分别是BC,AB,AC的中点.求证四边形AEDF是菱形.解析:首先判定四边形AEDF是平行四边形,然后连接EF证明EF⊥AD,利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形来判定.证明:∵点D,E,F分别是BC,AB,AC的中点,∴DE∥AC,DF∥AB,∴四边形AEDF是平行四边形.连接EF,如图所示,∵点E,F分别是AB和AC的中点,∴EF∥BC.又∵AD⊥BC,∴AD⊥EF,∴平行四边形AEDF是菱形.第2课时1.根据菱形的定义进行判定2.定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形3.定理:四条边相等的四边形是菱形例1例2一、教材作业【必做题】教材第7页随堂练习.【选做题】教材第7页习题1.2的1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.下列说法正确的是( )A.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形B.四条边都相等的四边形是菱形C.一组邻边相等的四边形是菱形D.对角线相等的四边形是菱形2.已知▱ABCD的对角线相交于点O,分别添加下列条件:①AC⊥BD;②AB＝BC;③AC平分∠BAD;④AO＝DO.使得▱ABCD是菱形的条件有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3.如图所示,如果要使▱ABCD成为一个菱形,需要添加一个条件,那么你添加的条件是.4.如图所示,点E,F,G,H分别是四边形ABCD中AD,BD,BC,CA的中点,当四边形ABCD的边满足条件: 时,四边形EFGH是菱形.【能力提升】5.如图所示,在ΔABC中,CD平分∠ACB交AB于点D,DE∥AC交BC于点E,DF∥BC 交AC于点F.求证四边形DECF是菱形.6.如图所示,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O作直线EF ⊥BD,分别交AD,BC于点E,F,求证四边形BEDF是菱形.【拓展探究】7.如图所示,分别以ΔABC的三边为边在BC的同侧作等边三角形ABD,等边三角形BCE,等边三角形ACF,请回答下列问题:(1)四边形ADEF是什么四边形?(2)当ΔABC满足什么条件时,四边形ADEF为菱形?(3)当ΔABC满足什么条件时,以A,D,E,F为顶点的四边形不存在?【答案与解析】1.B2.C3.AB＝AD(答案不唯一)4.AB＝CD。

九年级数学上册教案(北师大版)

九年级数学上册教案（北师大版）一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握九年级数学上册的基本概念、公式、定理，提高学生的数学运算能力和解决问题的能力。

2. 过程与方法：通过自主学习、合作探究、实践操作等活动，培养学生独立思考、创新能力和团队协作精神。

3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养积极的学习态度，提高学生的自主学习能力。

二、教学内容1. 第一章：实数与方程1.1 实数的概念与性质1.2 一元一次方程1.3 不等式与不等式组2. 第二章：多边形的计算2.1 三角形的面积计算2.2 四边形的面积计算2.3 多边形的面积计算3. 第三章：数据的整理与分析3.1 数据的收集与整理3.2 数据的描述与分析3.3 数据的处理与展示4. 第四章：函数的初步认识4.1 函数的概念与性质4.2 一次函数的图象与性质4.3 二次函数的图象与性质5. 第五章：几何图形的证明5.1 平行线的性质与判定5.2 三角形的性质与判定5.3 四边形的性质与判定三、教学方法1. 启发式教学：通过问题引导，激发学生的思考，培养学生的创新能力和解决问题的能力。

2. 合作学习：组织学生进行小组讨论、探究，培养学生的团队协作精神和沟通能力。

3. 实践操作：引导学生动手操作，提高学生的实践能力和数学运算能力。

4. 信息技术辅助教学：利用多媒体课件、网络资源等，丰富教学手段，提高教学效果。

四、教学评价1. 过程性评价：关注学生在学习过程中的表现，如态度、参与度、合作能力等。

2. 终结性评价：通过考试、测验等方式，检测学生对知识与技能的掌握程度。

3. 自我评价：鼓励学生进行自我反思，提高学生的自主学习能力。

五、教学资源1. 教材：九年级数学上册（北师大版）2. 教辅资料：习题集、解析、教学课件等。

3. 网络资源：相关数学教学网站、视频、论坛等。

4. 教学仪器：黑板、粉笔、多媒体设备等。

六、教学计划1. 第六章：概率初步6.1 随机事件与概率6.2 排列组合6.3 概率的计算与应用2. 第七章：初中数学综合应用7.1 数学与生活7.2 数学与科学7.3 数学与社会科学3. 第八章：数学阅读与写作8.1 数学阅读8.2 数学写作8.3 数学语言表达4. 第九章：数学思想方法9.1 化归思想9.2 数形结合思想9.3 分类讨论思想5. 第十章：总复习10.1 复习要点与方法10.2 中考数学考试大纲解析10.3 模拟测试与真题演练七、教学策略1. 第六章：概率初步运用实例引入概率的概念，通过实践活动让学生体验概率的计算过程，培养学生的实际应用能力。

北师大版九年级数学上册(全册)单元教材分析

北师大版九年级数学上册（全册）单元教材分析第一章特殊平行四边形本章的内容包括：菱形的性质与判定；矩形的性质与判定；正方形的性质与判定。

本章在学习了平行四边形的基础上研究特殊的平行四边形。

通过平行四边形角、边的特殊化，研究菱形、矩形和正方形等特殊的平行四边形，认识这些图形的联系与区别，明确它们的内涵与外延。

探索并证明平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质定理和判定定理，进一步明确命题及其逆命题的关系，不断发展学生的合情推理和演绎推理能力．菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的性质定理和判定定理的研究方法，与平行四边形性质定理和判定定理的研究方法一脉相承。

特殊平行四边形一章在中考中出题的频率较高，主要考查菱形、矩形、正方形的定义、性质和判定，以及利用性质和判定进行相关计算和证明，各种题型均有涉及．近几年，中考中又出现了以特殊平行四边形为背景的开放题、应用题、阅读理解题、学科间综合题、动点问题、折叠问题等热点题型。

第二章一元二次方程本章的主要内容包括：一元二次方程及其有关概念，一元二次方程的解法(配方法、公式法、因式分解法)，一元二次方程根与系数的关系，运用一元二次方程分析和解决实际问题。

其中解一元二次方程的基本思路和具体解法是本章的重点内容。

方程是科学研究中重要的数学思想方法，也是后续内容学习的基础和工具，本章是对一元一次方程知识的延续和深化，同时为二次函数的学习做好准备．联系一元一次方程和函数的基本知识，继续探索实际问题中的数量关系及其变化规律，让学生进一步体会“方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型”。

本章是中考考查的重点内容，主要考查一元二次方程的解及其解法、一元二次方程根与系数的关系、建立一元二次方程模型解决实际问题。

第三章概率的进一步认识本章的主要内容包括：用树状图或表格求概率、用频率来估计概率。

七年级已经认识了许多随机事件，理论地研究了一些简单的随机事件发生的可能性。

本章是上述内容的延伸，介绍了两种计算简单事件概率的方法——画树状图法和列表法，以及利用试验频率和理论概率之间的关系，揭示统计推断的一些理论依据，加强概率和统计的联系，加深对概率的理解。

2022秋北师广东九年级数学上册典中点第二章综合素质评价

第二章综合素质评价一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是()A．3(x＋1)2＝2(x＋1) B．1x2＋1x－2＝0C．ax2＋bx＋c＝0 D．x2－2x＝x2－12．用配方法解方程x2＋4x＋1＝0时，配方结果正确的是() A．(x＋2)2＝3 B．(x－2)2＝3 C．(x＋2)2＝5 D．(x＋4)2＝153．根据下面表格中的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0，a，b，c为常数)的一个根x的取值范围是()A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.264．某水果种植基地的“1号葡萄”2019年的产量为800吨，2021年的产量为968吨．设这种葡萄产量的年平均增长率为x，则可列方程为()A．800(1－x)2＝968 B．800(1＋x)2＝968C．968(1－x)2＝800 D．968(1＋x)2＝8005．某个三角形的两边的长分别为4和7，第三边的长是方程x2－8x＋12＝0的根，则这个三角形的周长是()A．6 B．13 C．17 D．13或17 6．若一元二次方程x2－8x＋3＝0的两个实数根分别是a，b，则关于x的一次函数y＝abx－a－b的图象一定不经过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．某超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克．经市场调查发现，若每千克涨价1元，日销售量减少20千克，现该超市要保证销售这种水果每天可盈利6 000元，每千克应涨价()A．15元或20元B．10元或15元C．10元D．5元或10元8．若关于x的方程m(x＋h)2＋k＝0(m，h，k均为常数，m≠0)的解是x1＝－3，x2＝2，则方程m(x＋h－3)2＋k＝0的解是()A ．x 1＝－6，x 2＝－1B ．x 1＝0，x 2＝5C ．x 1＝－3，x 2＝5D ．x 1＝－6，x 2＝29．已知关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x >2（x －2），3x －x ＋12≤12a 有且只有4个整数解，且关于x 的一元二次方程(a －2)x 2＋2x ＋1＝0有实数根，则所有满足条件的整数a 的和为( )A ．3B ．5C ．9D ．1010．如果关于x 的方程x 2＋k 2－16＝0和x 2－3k ＋12＝0有相同的实数根，那么k 的值是( )A ．－7B ．－7或4C ．7D ．411．如果方程(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x ＋k 4＝0的三个根可以作为一个三角形的三边的长，那么实数k 的取值范围是( )A ．k ≤4B ．3<k <4C ．3≤k <4D ．3<k ≤412．我国古代数学家赵爽(公元3～4世纪)在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程(正根)的几何解法．以方程x 2＋2x －35＝0，即x (x ＋2)＝35为例说明，记载的方法如下：构造如图1所示的图形，大正方形的面积是(x ＋x ＋2)2，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35＋22，据此易得x ＝5．下列方程中，图2是其几何解法的是( )A ．x 2＋3x －10＝0B ．x 2＋2x －8＝0C ．x 2－4x －5＝0D ．x 2＋5x －6＝0二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 13．已知 3x 2－2x ＝5，则9－6x 2＋4x ＝________．14．已知关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 是实数，且a ≠0)，若a －b ＋c ＝0，则方程必有一根是________________．15．如图，点A 在原点的左侧，点B 在原点的右侧，且点A 对应的数是2x－1，点B 对应的数是x 2＋x ，已知AB ＝5，则x 的值为________．16．若数a 使关于x 的一元二次方程x 2－2x －6＋a ＝0有两个不相等的实数解，且使关于y 的分式方程a y －1＋31－y＝2的解为非负整数，则满足条件的a 的值为________．17．已知关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0和x 2＋cx ＋d ＝0有一个公共解是x ＝2，且a ≠c ，b ≠d ，b ≠0，d ≠0．下列结论：①c －a b －d 有唯一对应的值12；②a 2＋c 24≤b ＋d ；③x ＝12是一元二次方程(b ＋d )x 2＋(a ＋c )x ＋2＝0的一个解．其中正确结论的序号是________．18．设一元二次方程x 2－2 023x ＋1＝0的两个根分别为a ，b ，记S 1＝11＋a＋11＋b ，S 2＝11＋a 2＋11＋b 2，S 3＝11＋a 3＋11＋b 3，…，S 10＝11＋a 10＋11＋b 10，则S 1＋S 2＋S 3＋…＋S 10＝________．三、解答题(一)：本大题共2小题，每小题8分，共16分． 19．解方程：(1)x 2－7x ＝8(x －7)； (2)(x ＋8)(x ＋1)＝－12．20．用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米．(1)求y关于x的函数关系式；(2)当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．21．某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．经市场调查发现，每千克特产每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．若该特产专卖店销售这种特产想要平均每天获利2 240元，且销售量尽可能大，则每千克特产应定价为多少元？(1)解法1：设每千克特产降价x元，由题意可列方程为______________________；解法2：设每千克特产定价为x元，由题意可列方程为____________________．(2)请你选择(1)中的一种解法，写出完整的解答过程．22．已知x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根，若满足|x1－x2|＝1，则此方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义．解决下列问题：(1)通过计算，判断方程x2－4x－5＝0是否是“差根方程”；(2)已知关于x的方程x2＋2ax＝0是“差根方程”，求a的值；(3)若关于x的方程ax2＋bx＋1＝0(a，b是常数，a>0)是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式．23．已知点P(14，1)，一次函数y＝－x＋a的图象与x轴，y轴分别交于点A，B．若△ABP的面积为18，求a的值．24．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝16 cm ，BC ＝6 cm ．动点P 从点A 出发，以3 cm/s 的速度向点B 运动，到点B 时停止运动．(1)若动点Q 同时从点C 出发，以2 cm/s 的速度向点D 运动，当点P 停止运动时，点Q 也停止运动，连接PQ ，当运动时间为多少秒时，PQ ＝10 cm ? (2)连接PC ，PD ．①以PC ，PD 为边作平行四边形PDEC ，对角线PE ，CD 的长度能否相等？若能相等，说明点P 的位置；若不能相等，说明理由；②设PC ＝a ，PD ＝b ，当a ，b 满足16a ＝a 2＋60，12b 2＝8b －30时，求PCPD ＋PDPC 的值．答案一、1．A 2．A 3．C 4．B 5．C 6．B 7．D 8．B 9．A 10．D 11．D 12．A二、13．－1 14．x ＝－1 15．1－172 16．1或517．①③18．10 点拨：∵一元二次方程x 2－2 023x ＋1＝0的两个根分别为a ，b ，∴ab ＝1，∴S 1＝11＋a ＋11＋b ＝2＋a ＋b 1＋a ＋b ＋ab ＝2＋a ＋b 1＋a ＋b ＋1＝1，S 2＝11＋a 2＋11＋b 2＝2＋a 2＋b 21＋a 2＋b 2＋a 2b 2＝2＋a 2＋b 21＋a 2＋b 2＋1＝1，S 3＝11＋a 3＋11＋b 3＝2＋a 3＋b 31＋a 3＋b 3＋a 3b 3＝2＋a 3＋b 31＋a 3＋b 3＋1＝1，…，S 10＝11＋a 10＋11＋b 10＝2＋a 10＋b 101＋a 10＋b 10＋a 10b 10＝2＋a 10＋b 101＋a 10＋b 10＋1＝1，∴S 1＋S 2＋S 3＋…＋S 10＝10．三、19．解：(1)原方程可变形为x 2－7x ＝8x －56．x 2－15x ＋56＝0．(x －7)(x －8)＝0． x －7＝0或x －8＝0，∴x 1＝7，x 2＝8． (2)原方程可化为x 2＋9x ＋20＝0，即(x ＋4)(x ＋5)＝0． x ＋4＝0或x ＋5＝0． ∴x 1＝－4，x 2＝－5．20．解：(1)依题意得y ＝x (32÷2－x )＝－x 2＋16x ．(2)由(1)知，y ＝－x 2＋16x ．当y ＝60时，－x 2＋16x ＝60，即(x －6)(x －10)＝0．解得 x 1＝6，x 2＝10，即当x 为6或10时，围成的养鸡场的面积为60平方米． (3)不能围成面积为70平方米的养鸡场．理由如下：由(1)知，y ＝－x 2＋16x ．当y ＝70时，－x 2＋16x ＝70，即x 2－16x ＋70＝0．因为Δ＝(－16)2－4×1×70＝－24＜0，所以该方程无解．即不能围成面积为70平方米的养鸡场．四、21．解：(1)(60－40－x )(100＋10x )＝2 240；(x －40)[100＋10(60－x )]＝2 240(2)选解法1：设每千克特产降价x 元，由题意可列方程为(60－40－x )(100＋10x )＝2 240，解得x 1＝4，x 2＝6．因为要让销售量尽可能大，所以x ＝6，60－6＝54(元)，即每千克特产应定价为54元．(答案不唯一)22．解：(1)设x 3，x 4是一元二次方程x 2－4x －5＝0的两个实数根，∴x 3＋x 4＝4，x 3x 4＝－5．∴|x 3－x 4|＝（x 3 ＋x 4）2－4x 3 x 4 ＝42－4×（－5）＝6． ∴方程x 2－4x －5＝0不是“差根方程”． (2) x 2＋2ax ＝0，因式分解得，x (x ＋2a )＝0，解得x ＝0或x ＝－2a ．∵关于x 的方程x 2＋2ax ＝0是“差根方程”，即|0－(－2a )|＝|2a |＝1， ∴2a ＝±1，即a ＝±12．(3)设x 5，x 6是一元二次方程ax 2＋bx ＋1＝0( a ，b 是常数，a >0)的两个实数根，∴x 5＋x 6＝－b a ，x 5x 6＝1a ．∵关于x 的方程ax 2＋bx ＋1＝0( a ，b 是常数，a >0)是“差根方程”， ∴|x 5－x 6|＝1，∴|x 5－x 6|＝（x 5 ＋x 6）2－4x 5 x 6 ＝1，即(－b a )2－4·1a ＝1，∴b 2＝a 2＋4a ．五、23．解：当a ＝0时，△ABP 不存在，所以a ≠0；当点P (14，1)恰好在一次函数y ＝－x ＋a 的图象上，即a ＝15时，△ABP 不存在，所以a ≠15．过点P 作x 轴的垂线，垂足为M (14，0)．①当点A 在线段OM 上(不含点O )，即0<a ≤14时，S △PAB ＝S 梯形PMOB －S △PMA －S △BOA ，即12×14(1＋a )－12(14－a )×1－12a 2＝18，解得a 1＝3，a 2＝12．②当点A 在点M 右侧，且点P 在直线y ＝－x ＋a 上方，即14<a <15时，S △PAB ＝S 梯形PMOB ＋S △PMA －S △AOB ，即12×14(1＋a )＋12(a －14)×1－12a 2＝18，解得a 1＝3(舍去)，a 2＝12(舍去)．③当点A 在点M 右侧，且点P 在直线y ＝－x ＋a 下方，即a >15时，S △PAB ＝S △BOA －S 梯形PMOB －S △PMA ，即12a 2－12×14(1＋a )－12(a －14)×1＝18，解得a 1＝15＋3412，a 2＝15－3412(舍去)．④当点A 在点O 左侧，即a <0时，连接BM ，S △PAB ＝S △PMA ＋S △BMA －S △PMB ，即12(14－a )×1＋12(14－a )×(0－a )－12×1×14＝18，解得a 1＝15－3412， a 2＝15＋3412 (舍去)．综上所述，满足题意的a 的值是3或12或15－3412或15＋3412．24．解：(1)过点Q 作QF ⊥AB 于点F ，易证四边形BCQF 为矩形，∴CQ ＝BF ，QF ＝BC ＝6 cm ．晨鸟教育Earlybird 设运动时间为t s ，由题意得AP ＝3t cm ，BF ＝CQ ＝2t cm ，∴PF ＝AB －AP －BF ＝(16－5t ) cm ．在Rt △PQF 中，PF 2＋QF 2＝PQ 2，即(16－5t )2＋62＝102，解得t 1＝85，t 2＝245．易知0≤t ≤163，∴当运动时间为85s 或245s 时，PQ ＝10 cm ．(2)①能相等．∵四边形PDEC 是平行四边形，PE ＝CD ，∴四边形PDEC 是矩形，∴∠DPC ＝90°．∴DP 2＋PC 2＝CD 2．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠B ＝90°，AD ＝BC ＝6 cm ，CD ＝AB ＝16 cm ．∴DP 2＝AD 2＋AP 2，PC 2＝BP 2＋BC 2．设AP ＝x cm ，则BP ＝(16－x ) cm ，则62＋x 2＋(16－x )2＋62＝162，解得x 1＝8＋2 ，x 2＝8－2 ．∴对角线PE ，CD 的长度相等时，点P 距点A (8＋2)cm 或(8－2)cm ．②由16a ＝a 2＋60得a 2－16a ＋60＝0，由12b 2＝8b －30得b 2－16b ＋60＝0．当a ＝b ，即PC ＝PD 时，PC PD ＋PD PC ＝2；当a ≠b ，即PC ≠PD 时，可将a ，b 看成方程x 2－16x ＋60＝0的两个根，∴a ＋b ＝16，ab ＝60，∴PC PD ＋PD PC ＝a b ＋b a ＝a 2＋b 2ab ＝（a ＋b ）2－2ab ab ＝162－2×6060＝3415．综上所述，PC PD ＋PD PC 的值为2或3415．。

北师大版九年级数学上册说课稿：4.1成比例线段

北师大版九年级数学上册说课稿：4.1 成比例线段一. 教材分析北师大版九年级数学上册的“4.1 成比例线段”一节，是在学生已经掌握了比例的性质，以及线段的基本知识的基础上进行的一节内容。

这一节主要向学生介绍成比例线段的定义及其性质，以及如何通过成比例线段来解决一些实际问题。

教材通过生活中的实例，引出成比例线段的定义，接着通过大量的练习，让学生加深对成比例线段的理解。

在这一节的内容中，学生需要掌握成比例线段的定义，以及如何判断两条线段是否成比例，同时，还需要学会如何通过成比例线段来解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于比例的性质和线段的知识有一定的了解。

但是，对于成比例线段的定义及其应用，可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，我将会以学生已有的知识为基础，引导学生逐步理解成比例线段的定义，并通过大量的练习，让学生掌握成比例线段的性质和应用。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：理解成比例线段的定义，掌握成比例线段的性质，能够判断两条线段是否成比例，并能够运用成比例线段来解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生体验到数学在生活中的应用。

四. 说教学重难点1.教学重点：成比例线段的定义及其性质。

2.教学难点：如何判断两条线段是否成比例，以及如何运用成比例线段来解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等，引导学生主动探究，积极参与。

2.教学手段：利用多媒体课件，为学生提供丰富的学习资源，提高教学效果。

六. 说教学过程1.导入：通过生活中的实例，引出成比例线段的定义。

2.新课导入：讲解成比例线段的性质，让学生通过观察、操作、思考，理解并掌握成比例线段的性质。

3.练习巩固：布置一些相关的练习题，让学生通过练习，加深对成比例线段的理解。

北师九年级上数学资源与评价

第一章证明（二）单元总览1.1你能证明它们吗（1）目标导航1.了解作为证明基础的几条公理的内容；掌握证明的基本步骤和书写格式.2.能够用综合法证明等腰三角形的有关性质（等边对等角，三线合一）.基础过关1.边边边公理的内容是.2.边角边公理的内容是.3.角边角公理的内容是.4.全等三角形的相等，相等.5.角角边推论的内容是.6.三角形ABC中，如果AB=AC，则.7.等腰三角形的、、互相重合.8.等边三角形的各边都，各角都是.能力提升9.下列说法中，正确的是（）A.两边及一角对应相等的两个三角形全等B.有一边对应相等的两个等腰三角形全等C.两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D.两边对应相等的两个三角形全等10.若等腰△ABC 的顶角为∠A ，底角为∠B =α，则α的取值范围是（）A. α＜45°B. α＜90°C.0°＜α＜90°D.90°＜α＜180°11.△ABC 中， AB =AC ， CD 是△ABC 的角平分线，延长BA 到E 使DE =DC ，连结EC ，若 ∠E =51°，则∠B 等于（）A.68°B.52°C.51°D.78° 12.等腰三角形的顶角是n °，那么它的一腰上的高与底边的夹角等于（）A.290 n -B.90－2 nC.2n D.90°－n °13.等腰三角形的两边分别是7 cm 和3 cm ，则周长为_________.14.等腰三角形的一边长为23，周长为43+7，则此等腰三角形的腰长为_________. 15.如图，∆ABC 中，AB=AC, ∠BAD=︒30 ,AE=AD,则∠EDC= .EDCBA15题图 16题图16.如图，在△ABC 中，∠A =20°，D 在AB 上，AD =DC ，∠ACD ∶∠BCD =2∶3，求：∠ABC 的度数.17.已知：如图∆ABD 、∆ACE 都是等边三角形，求证：BE=DC.EDCBA18.如图，在∆ABC 中，AB=AC,点D 在AC 上，且BD=BC=AD,求∠ADB 的度数.DCBA聚沙成塔已知：如图，D 是等腰ABC 底边BC 上一点，它到两腰AB 、AC 的距离分别为DE 、DF.当D 点在什么位置时，DE=DF ？并加以证明.1.1你能证明它们吗（2）目标导航1.能够用综合法证明等腰三角形的有关性质.2.了解并能证明等腰三角形的判定定理.3.结合实例体会反证法的含义. 基础过关1.一个等腰三角形有一角是70°，则其余两角分别为_________.2.一个等腰三角形的两边长为5和8，则此三角形的周长为_________.3.等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是________________，这个逆命题是_________命题.4.在△ABC 中，AB=AC ，∠A=︒36，BD 是的角平分线，图中等腰三角形有（）A.1个B.2个C.3个D.4个5.在下列三角形中，若AB=AC ，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（） A.（1）（2）（3） B.（1）（2）（4） C.（2）（3）（4） D.（1）（3）（4）BAC BAC B AC B AP EDCBA(1) (2) （3）（4） 7题图能力提升6.三角形三边分别为a 、b 、c ，且a 2－bc =a (b －c )，则这个三角形（按边分类）一定是_________三角形.7.如图，在△ABC 中，BC=5cm,BP 、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且PD//AB ，PE//AC ，则△PDE 的周长是 .8.等腰△ABC 中，AC =2BC ，周长为60，则BC 的长为（）A.15B.12C.15或12D.以上都不正确 9.已知：如图，AB =AC ，DE ∥AC ，求证：△DBE 是等腰三角形.10.如图，△ABC 中，AB =AC ，∠1=∠2，求证：AD 平分∠BAC.11.用反证法证明：△ABC 中至少有两个角是锐角.12.如图，小明欲测量河宽，选择河流北岸的一棵树（点A ）为目标，然后在这棵树得正南岸（点B ）插一小旗作标志，从B 点沿南偏东︒60方向走一段距离到C 处，使∠ACB 为︒30，这时小明测得BC 的长度，认为河宽AB=BC ，他说得对吗？为什么？60︒CBA13.如图，在ABC Rt ∆中，∠CAB=︒90，AD ⊥BC 于D ，∠ACB 的平分线交AD 于E ，交AB 于F.求证：△AEF 为等腰三角形.F EDCBA14.如图，在△ABC 中，AB=AC,P 是BC 上一点，PE ⊥AB, PF ⊥AC,垂足为E 、F,BD 是等腰三角形腰AC 上的高， ⑴求证：BD=PE ＋PF.⑵当点P 在BC 边的延长线上时，而其它条件不变，又有什么样的结论呢？请用文字加以说明本题的结论.FEPC A D聚沙成塔如图所示，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB=110。

北师大版九年级数学上册说课稿：2.1认识一元二次方程

北师大版九年级数学上册说课稿：2.1 认识一元二次方程一. 教材分析《认识一元二次方程》是人教版九年级数学上册第二单元的第一课时，也是初中数学的重要内容之一。

本节课的内容主要包括一元二次方程的定义、性质、解法以及应用。

通过本节课的学习，使学生能够了解一元二次方程在实际问题中的应用，培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数基础，掌握了方程、不等式等基本概念。

但在解决实际问题时，还需要进一步引导学生将实际问题转化为数学问题，利用一元二次方程来解决问题。

因此，在教学过程中，要关注学生的学习需求，引导学生积极参与，提高学生的学习兴趣。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：理解一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的解法，能够应用一元二次方程解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流，培养学生探究问题的能力，提高学生的抽象思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学在生活中的应用。

四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程的定义、性质和解法。

2.教学难点：一元二次方程的解法，特别是因式分解法和求根公式的应用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等，引导学生主动探究，培养学生的抽象思维能力。

2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学手段，结合数学软件和网络资源，提高课堂教学的效果。

六. 说教学过程1.导入新课：通过生活中的实际问题，引导学生发现一元二次方程，激发学生的学习兴趣。

2.自主学习：让学生自主探究一元二次方程的定义和性质，培养学生独立解决问题的能力。

3.合作交流：分组讨论一元二次方程的解法，分享解题心得，提高学生的团队合作精神。

4.教师讲解：针对学生探究过程中遇到的问题，进行讲解和指导，突破教学难点。

5.巩固练习：设计具有针对性的练习题，让学生及时巩固所学知识。

2024年北师大版九年级上册数学教学计划(2篇)

2024年北师大版九年级上册数学教学计划一、教学目标：1. 熟悉并掌握九年级上册数学基本概念、基本知识和基本技能；2. 培养学生的数学思维能力、分析问题和解决问题的能力；3. 培养学生的逻辑思维能力和推理能力；4. 提高学生的数学应用能力和数学建模能力；5. 发展学生的团队合作能力和创新精神。

二、教学内容和学时安排：本学期的数学教学内容主要包括：整式的加减、乘除、多项式的乘法和整式的因式分解、线性方程组、带分数的四则运算、比例线段及其应用、抛物线、平面图形等。

具体的学时安排如下：1. 整式的加减、乘除（4课时）a. 整式的概念与运算；b. 整式的加法与减法；c. 整式的乘法与除法；d. 整式的混合运算。

2. 多项式的乘法和整式的因式分解（6课时）a. 多项式的乘法；b. 整式的因式分解；c. 应用题。

3. 线性方程组（8课时）a. 线性方程组的概念；b. 解线性方程组的方法；c. 初等变换与线性方程组的关系；d. 应用题。

4. 带分数的四则运算（4课时）a. 带分数的概念与运算；b. 带分数的加减法；c. 带分数的乘法和除法；d. 带分数的混合运算。

5. 比例线段及其应用（4课时）a. 比例线段的概念与性质；b. 比例线段的应用及解题方法。

6. 抛物线（6课时）a. 抛物线的基本性质；b. 抛物线的方程及图像；c. 抛物线的应用。

7. 平面图形（8课时）a. 直角三角形、等腰三角形及其性质；b. 正方形、矩形、菱形及其性质；c. 平行四边形、梯形及其性质；d. 圆及其性质；e. 平面图形的面积和周长。

三、教学重点和难点：1. 整式的加减、乘除；2. 多项式的乘法和整式的因式分解；3. 线性方程组；4. 抛物线的方程及图像。

四、教学方法：本学期的数学教学以探究性学习为主，注重培养学生的数学思想和解决问题的能力。

教师可以采用讲授、示范、练习、讨论、实验和课堂展示等多种教学方法，结合教材中的例题和实际生活中的问题进行教学，激发学生的学习兴趣和动力。

数学北师大版九年级上册教学资源

评测练习1.如图1，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的一个条件是.2.能够判断一个四边形是矩形的条件是（）图1 A.对角线相等B.对角线垂直C.对角线互相平分且相等D.对角线垂直且相等3.下列能使平行四边形ABCD是矩形的条件是（）A. AB=CDB.AC⊥BDC. ∠ABC=90°D.AD=BC4.已知：如图2，M为平行四边形ABCD边AD的中点，且MB=MC，求证：四边形ABCD是矩形.图2效果分析本节课从学生熟悉的生活中的平行四边形图片出发，引导学生找出常见的平行四边形有哪些，然后引导学生尝试着对这些图形进行分类，从而比较直观地展现出四边形、平行四边形、特殊的平行四边形之间的关系。

之后，通过独立思考与小组活动，引导学生尝试用自己的语言根据矩形相对于一般平行四边形的特殊之处描述矩形的定义，充分调动学生的学习积极性，激发学生的学习兴趣，让学生在操作过程中探究出矩形的特殊性，从而从多角度得出矩形的定义，使复杂问题简单化。

练习和作业的设置在考虑落实知识点的基础上，也充分考虑到知识的应用性、层次性和开放性，正确处理好传授知识与培养能力的关系，把学好基础知识、培养能力和学生数学思维的发展结合起来，为学生的发展创造了更广阔的思维空间；通过学生代表讲解可以培养学生的语言表达能力，引导学生分享自己的解题经验。

在整节课的设计中，突出了学生自主探索的过程，定义的探究是通过学生的观察、操作、交流等过程展开的，在活动中让学生顺理成章地发现结论，突出了知识的形成过程，矩形判定定理是通过严格的逻辑推理证明的，在过程中让学生较自然的获取知识，训练思维和培养自主学习的习惯。

另外，我创造性地使用教材，引导学生发现如果把判定定理作为矩形定义，那么定义本身就成了判定，旨在开拓学生思维，培养学生自信心与自主学习能力。

初中数学课堂教学评价表听课人王彬评价项目评价指标符合程度A B C D教学目标10分①符合“课程标准”的规定和学生的实际情况，目标明确，要求具体、切合实际。

北师大版九年级数学第一学期学生学习评价检测试卷

E 图2ABGP北师大版九年级数学第一学期学生学习评价检测试卷第一章证明（二）班级姓名学号评价等级一、选择题1．如图1，某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃.那么最省事的办法是带（）去配. （A ） ① （B ） ② （C ） ③ （D ） ①和②2．如图2，P 在AB 上，AE =AG ，BE =BG ，则图中全等三角形的对数有（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）43．直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（）（A ）形状相同（B ）周长相等（C ）面积相等（D ）全等4．等腰三角形一腰上的高等于这腰的一半，则这个等腰三角形的顶角等于（）（A ）30° （B ）60° （C ）30°或150° （D ）60°或120° 5．△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C =1：2：3，最小边BC =4cm ，最长边AB 的长是（）（A ）5cm（B ）6cm （C ）5cm（D ）8cm6．如图3，P 是∠BAC 的平分线AP 上一点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，下列结论中不正确的是（）（A ）PE PF = （B ）AE AF = （C ）△APE ≌△APF （D ）AP PE PF =+7．一个三角形的两边长为4和5，要使三角形为直角三角形，则第三边的长为（）（A ）3 （B ）41 （C ）3或31 （D ）3或418．如图4，已知MB =ND ，∠MBA =∠NDC ，下列哪个条件不能判定△ABM ≌△CDN （）（A ）∠M =∠N （B ）AB =CD （C ）AM =CN （D ）AM ∥CN 9．下列命题中真命题是（）（A ）两边分别对应相等且有一角为30º的两个等腰三角形全等APCB EF 图3图4（B ）两边和其中一边的对角分别对应相等的两个三角形全等（C ）两个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等（D ）两角和一边分别对应相等的两个三角形全等10．有一块边长为24米的正方形绿地，如图5所示，在绿地旁边B 处有健身器材，由于居住在A 处的居民践踏了绿地，小明想在A 处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍？”请你计算后帮小明在标牌的“▇” 填上适当的数字是（）. （A ）23米（B ）24米（C ）25米（D ）26米二、填空题11．等腰三角形的一个底角是50°,则其顶角为 .12.在△ABC 中,已知∠A =80°,则∠B 、∠C 的角平分线相交所成的钝角为 . 13.边长为2cm 的等边三角形的面积为 cm214.如图6, △ABC 中, ∠C =90°,AB 的垂直平分线DE 交BC 于D ,若∠CAD =20°,则 ∠B = .15．如图7，有一腰长为5cm ，底边长为4cm 的等腰三角形纸片，沿着底边上的中线将纸片剪开，得到两个全等的直角三角形纸片，用这两个直角三角形纸片拼成的平面图形中有 ____ 个不同的四边形．三、解答题16．如图8，△ABC ，AB ＝AC ，点Ｍ、Ｎ分别在BC 所在直线上，且AM ＝AN 。

新版九上资源与评价数学答案

.数学《资源与评价》九上答案第一章特殊平行四边形1.1菱形的性质（1）1.52.283.54.355.606.257.338.D9.B 10.C 11.D 12.B 13.B 14.B 15.(1)32(2)2和32 16.18度 17.CE=CF ，理由略 18.（1）略（2）100度 19.略 20.略聚沙成塔21.（1）略（2）120度（3）略（延长GB 到I ，使BI=DG ，连接CI ，证△CDG ≌△CBI ）1.1菱形的判定（2）1.D2.D3.D4.C5.C6.B7.C8.菱形9.③ 10.3 11.略 12.（1）略（2）四边形AECF 是菱形，证明略 13.（1）有错误，原因是对角线互相垂直平分的四边形是菱形，当互相垂直平分时，才是菱形。

小明只说明EF 是AC 的垂直平分线，没有说明AC 是EF 的垂直平分线。

（2）略 14.t=3 聚沙成塔15.（1）略（2）略（证明△AOF ≌△COE ）（3）可能是菱形，AC 绕点O 顺时针旋转45°时，四边形BEDF 为菱形 1.1菱形的性质与判定（3）1.242.93.10cm4.菱形的每一条对角线都平分它的一组对角5.2.56.AD=BC7.1:2,168.()13-n （n 为正整数） 9.12- 10.π-32 11.B 12.9.6cm 13.（1）略（2）略（可以证明四边形AEDF 是菱形） 14.略 15.(1)略 (2) 当EB ⊥CD 时，∠EFD=∠BCD 。

理由略 16.（1）略（2）38 17.（1）菱形（2）成立，理由略聚沙成塔18.（1）略（2）61.2矩形的性质（4）1.52.153.354.105.90°,45°6.30，107.(am-ab)8.B9.B 10.D 11.B 12.C 13.D 14.B 15.C 16.D 17.略 18.略（可以连接AN ，DN ） 19.略 20.（1）3 （2）39 聚沙成塔21.略1.2矩形的判定（5）1.B2.C3.B4.605.矩形6.矩形7.四边形ABCD 是矩形，理由略8.（1）略（2）24cm 29.是矩形，理由略 10.略 11.略 12.（1）略（2）12，n 224（或323-n ）（3）27 13.（1）略（2）213（3）点O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形，理由略聚沙成塔14.（1）略（2）矩形，理由略1.2矩形的性质与判定（6） 1.C2.C3.B4.B5.B6.1287.4.88.AD=AB9.（1）略（2）12 10.略 11.略 12.略 13.矩形，理由略聚沙成塔14.图（2）的探究结论为2PA +2PC =2PB +2PD ，图（3）的探究结论为2PA +2PC =2PB +2PD 。

北师版数学九年级上册2 应用一元二次方程(2课时)教案与反思牛老师

6 应用一元二次方程满招损，谦受益。

《尚书》怀辰学校陈海峰组长第1课时利用一元二次方程解决几何问题一、基本目标1．会根据几何问题中的数量关系列一元二次方程并求解．2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理．3．经历分析和解决实际问题的过程，体会一元二次方程的数学建模作用．二、重难点目标【教学重点】1．掌握列一元二次方程解决实际问题的一般步骤．2．列一元二次方程解决几何问题．【教学难点】利用一元二次方程解决实际问题．环节1 自学提纲、生成问题【5 min阅读】阅读教材P52～P53的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．列方程解应用题的一般步骤：(1)“审”：读懂题目，审清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的相等关系；(2)“设”：设元，也就是设未知数；(3)“列”：列方程，找出题中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程；(4)“解”：求出所列方程的解；(5)“验”检验方程的解能否保证实际问题有意义；(6)“答”：写出答案．2．解决与几何图形有关的一元二次方程的应用题时，关键是把实际问题数学化，把实际问题中的已知条件与未知条件归结到某一个几何图形中，然后用几何原理来寻找它们之间的关系，从而列出有关的一元二次方程，使问题得以解决．环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图，要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度．(精确到0.1 cm，3≈1.73)【互动探索】(引发学生思考)要设计书本封面的长与宽的比是多少？正中央矩形的长与宽的比是多少？若设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边衬的宽均为7x cm，则中央矩形的长和宽怎样表示？【解答】设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边衬的宽均为7x cm，则中央矩形的长为(27－18x cm，宽为(21－14x) cm.根据等量关系：中央的矩形的面积是封面面积的四分之三，可列方程为(27－18x)(21－14x)＝34×27×21.整理，得16x2－48x＋9＝0.解得x1＝6－334，x2＝6＋334(不合题意，舍去)．9x＝9×6－334≈1.8(cm)7x＝7×6－334≈1.4(cm)故上、下边衬的宽均为1.8 cm，左、右衬的宽均为1.4 cm.【互动总结】(学生总结，老师点评)解本题的关键是找到等量关系，利用面积之间的关系列方程求解，同时要明白x2＝6＋334为什么不符合题意，且本题最后结果应精确到0.1 cm.【例2】某林场计划修一条长750 m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6 m2，上口宽比渠深多2 m，渠底宽比渠深多0.4 m.(1)渠道的上口宽与渠底宽各是少？(2)如果计划每天挖土48 m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？【互动探索】(引发学生思考)(1)怎样用渠表示上口宽和渠底宽，怎样计算梯形面积？(2)渠道的体积怎样计算？【解答】(1)设渠深为x m，则渠底宽为(x＋0.4) m，上口宽为(x＋2) m.依题意，得12(x＋2＋x＋0.4)x＝1.6，整理，得5x2＋6x－8＝0，解得x1错误!＝0.8，x2＝－2(舍去)，∴上口宽为2.8 m，渠底宽为1.2 m.(2)如果计划每天挖土48 m3，需要1.6×75048＝25(天)才能挖完渠道．【互动总结】(学生总结，老师点评)解答本题的关键是掌握梯形面积的计算方法，正确用未知数表示出相关数量．活动2 巩固练习(学生独学)1．从正方形铁片上截去2 cm宽的一条长形，余下的矩形的面积是48 cm2，则原来的正方形铁片的面积是( D )A．8 cm B．64 cmC．8 cm2 D．64 cm22．将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m，另一边减少了3 m，剩余一块面积为20 m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是( A )A．7 m B．8 mC．9 m D．10 m3．如图，要设计一幅宽20 cm 、长30 cm 的图案，其中有两横两竖的彩条(图中阴影部分)，横、竖彩条的宽度比为3∶2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度．(精确到0.1 cm)解：横彩条宽为1.8 cm ，竖彩条宽为1.2 cm.教师点拨：设横彩条的宽度为3x cm ，则竖彩条的宽度为2x cm.根据题意，得(30－4x )(20－6x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1－14×20×30. 4．用一根长40 cm 的铁丝围成一个长方形，要求长方形的面积为75 cm2.(1)求此长方形的宽是多少？(2)能围成一个面积为101 cm2的长方形吗？若能，说明围法；(3)若设围成一个长方形的面积为S (cm2)，长方形的宽为x ( cm)，求S 与x 的函数关系式，并求出当x 为何值时，S 的值最大？最大面积为多少？解：(1)5 cm.(2)不能．理由：设长方形的宽为x cm.若能围成一个面积为101 cm2的长方形，则有x (20－x )＝101，即x 2－20x ＋101＝0.由于Δ＝202－4×101＝－4＜0，方程无解，故不能围成一个面积为101 cm2的长方形．(3)S ＝x (20－x )＝－x 2＋20x .当x ＝10时，S 的值最大，最大面积为100 cm2. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD (围墙MN 最长可利用25 m)，现在已备足可以砌50 m 长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300 m2.【互动探索】怎样用AB 、BC 表示矩形花园的面积，AB 与BC 之间的数量关系是怎样的？BC 还应满足什么条件？【解答】设AB ＝x m ，则BC ＝(50－2x )m.根据题意可得，x (50－2x )＝300.解得x1＝10，x2＝15，当x＝10时，BC＝50－10－10＝30(m)＞25 m，则x1＝10不合题意，舍去．故可以围成AB的长为15米，BC为20米的矩形．【互动总结】(学生总结，老师点评)利用一元二次方程解决实际问题时，要注意检验方程的根是否符合实际问题．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1)“设”，即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；(2)“列”，即根据题中的等量关系列方程；(3)“解”，即求出所列方程的根；(4)“检验”，即验证是否符合题意；(5)“答”，即回答题目中要解决的问题．请完成本课时对应训练！第2课时利用一元二次方程解决营销问题一、基本目标1．会根据具体营销问题中的数量关系列一元二次方程并求解．2．经历分析和解决营销实际问题的过程，进一步体会一元二次方程的数学建模作用．二、重难点目标【教学重点】1．进一步理解并掌握列一元二次方程解决实际问题的一般步骤．2．列一元二次方程解决营销问题．【教学难点】利用一元二次方程解决营销实际问题．环节1 自学提纲、生成问题【5 min阅读】阅读教材P54～P55的内容，完成下面练习．【3 min反馈】营销问题中的数量关系：(1)单件商品利润＝售价－进价.(2)利润率＝利润进价＝售价－进价进价.(3)售价＝进价×(1＋利润率)(4)总利润＝每件商品的利润×商品的销量.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后可得本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．(利息税20%)【互动探索】(引发学生思考)设这种存款方式的年利率为x，第一次到期后获得的利息为多少元？第二次存入本金为多少元？第二次到期后获得的利息为多少元？【解答】设这种存款方式的年利率为x，则第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是(1000＋2000x·80%)元；第二次到期后获得的利息为(1000＋2000x·80%)x·80%元．根据题意，得1000＋2000x·80%＋(1000＋2000x·80%)x·80%＝1320，整理，得1280x2＋800x＋1600x＝320，即8x2＋15x－2＝0，解得x1＝－2(舍去)，x2＝0.125＝12.5%.即所求的年利率是12.5%.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用一元二次方程解决实际问题时，要准确表示出各数量关系，找出等量关系，列出一元二次方程．活动2 巩固练习(学生独学)1．某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．现在要使利润为6125元，每件商品应降价( B )A．3元B．2.5元C．2元D．5元教师点拨：设每件商品应降价x元，则每件的利润为(60－40－x)元，每星期卖出(300＋20x)件．根据题意，得(60－40－x)(300＋20x)＝6125.2．某县为大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造和更新.2016年县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2018年投资7.2亿元人民币，那么每年投资的增长率为( D )A．20%或－220% B．40%C．－220% D．20%教师点拨：设每年投资的增长率为x.根据题意，得5(1＋x)2＝7.2.3．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定为多少元？解：应将销售单价定为56元．教师点拨：设每件降价x元，则每件销售价为(60－x)元，每星期销量为(300＋20x)件．根据题意，得(60－x－40)(300＋20x)＝6080，解得x1＝1，x2＝4.因为在顾客得实惠的前提下进行降价，所以取x＝4.所以定价为60－4＝56(元)．活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】有一批图形计算器，原售价为每台800元，在甲、乙两家公司销售．甲公司用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台每台都为760元．依此类推，即每多买一台则所买各台单价均再减20元，但最低不能低于每台440元；乙公司一律按原售价的75%促销．某单位需购买一批图形计算器：(1)若此单位需购买6台图形计算器，应去哪家公司购买花费较少；(2)若此单位恰好花费7500元，在同一家公司购买了一定数量的图形计算器，请问是在哪家公司购买的，数量是多少？【互动探索】(1)怎样计算在甲、乙两家公司购买的费用？(2)把总价7500代入甲、乙两公司的计算方法，看哪个适合题意，同时还要注意什么问题？【解答】(1)在甲公司购买6台图形计算器需要用6×(800－20×6)＝4080(元)；在乙公司购买需要用75%×800×6＝3600(元)．∵3600元＜4080元，∴应去乙公司购买．(2)设该单位购买了x台，若在甲公司购买则需要花费x(800－20x)元；若在乙公司购买则需要花费75%×800x＝600x(元)．①若该单位是在甲公司花费7500元购买的图形计算器，则有x(800－20x)＝7500，解得x1＝15，x2＝25.当x1＝15时，每台单价为800－20×15＝500(元)＞440元，符合题意；当x2＝25时，每台单价为800－20×25＝300(元)＜440元，不符合题意，舍去．②若该单位是在乙公司花费7500元购买的图形计算器，则有600x＝7500，解得x＝12.5，不符合题意，舍去．即该单位是在甲公司购买的图形计算器，买了15台．【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了利用方程思想解决生活中的数学问题．只要把握住总花费＝单价×数量，这一等量关系，解决此题就会比较容易．注意不要忽视了单价不低于440元这个条件．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)营销问题中的数量关系：(1)单件商品利润＝售价－进价．(2)利润率＝利润进价＝售价－进价进价.(3)售价＝进价×(1＋利润率)．(4)总利润＝每件商品的利润×商品的销量．请完成本课时对应训练！【素材积累】阿达尔切夫说过：“生活如同一根燃烧的火柴，当你四处巡视以确定自己的位置时，它已经燃完了。

2022秋北师广东版九年级数学上册典中点第五章综合素质评价

第五章综合素质评价一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．1．下列影子不是中心投影的是()A．皮影戏中的影子B．晚上在房间内墙上的手影C．舞厅中霓虹灯下物体的影子D．太阳光下林荫道上的树影2．如图①②③④是一天中四个不同时刻的木杆在地面上的影子，将它们按时间先后顺序排列正确的一项是()A．①②③④B．④③①②C．②③①④D．③①④②3．把一个正六棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是()4．如图是由几个大小相同的小立方块搭成的几何体的俯视图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是()5．在阳光的照射下，一块三角板的投影不会是()A．线段B．与三角板全等的三角形C．变形的三角形D．点6．桌面(中间有一个直径为0.4 m的圆洞)正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为1.2 m，桌面离地面1 m，若灯泡离地面3 m，则地面上圆环形阴影的面积是()A．0.324π m2B．0.288π m2C．1.08π m2D．0.72π m27．如图，白炽灯下有一个乒乓球，当乒乓球越接近灯泡时，它在地面上的影子()A．越大B．越小C．大小不变D．无法确定8．如图，太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一个球上，球在地面上的投影长是10 3，则球的直径是()A．5 3 cm B．15 cm C．10 cm D．8 3 cm9．如图，在一条笔直的小路上有一盏路灯，晚上小雷从点B处径直走向点A 处，小雷在路灯照射下的影长y与行走的路程x之间的函数图象大致是()10．如图，一人在两等高的路灯之间走动，GB为人AB在路灯EF照射下的影子，BH为人AB在路灯CD照射下的影子．当人从点C走向点E时两段影子之和GH的变化趋势是()A．先变长后变短B．先变短后变长C．不变D．先变短后变长，再变短11．如图，在平面直角坐标系中，点P(2，2)是一个光源．木杆两端A，B的坐标分别为(0，1)，(3，1)．则木杆AB在x轴上的投影长为()A．3 B．5 C．6 D．712．如图是一个几何体的三视图，主视图与左视图完全一样，则该几何体的表面积是()A．80－2π B．80＋4π C．80 D．80＋6π二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．13．如图，小明在A时测得某树的影长为2 m，B时测得该树的影长为8 m，若两次日照的光线互相垂直，则该树的高度为________m．14．如图，一块直角三角形木板ABC，∠ACB＝90°，BC＝12 cm，AC＝8 cm，测得BC边的中心投影B1C1的长为24 cm，则A1B1的长为________cm．15．在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离．如图，在一个路口，一辆长为10 m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20 m的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车车尾x m，若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8 m，红灯下沿高于小张的水平视线3.2 m，若小张能看到整个红灯，则x的最小值为______．16．如图，是由一些小立方块所搭几何体的三种视图，若在所搭几何体的基础上(不改变原有小立方块的位置)，继续添加相同的小立方块，使得搭成一个大正方体，至少还需要______个小立方块．17．如图所示是某种型号的正六角螺母毛坯的三视图，则它的表面积为________cm2．18．如图，一根直立于水平地面上的木杆AB在灯光下形成影子AC(AC＞AB)，在木杆绕点A按逆时针方向旋转直至到达地面的过程中，其影子的长度发生变化．已知AE＝5 m，在旋转过程中，木杆影子长度的最大值为5 m，最小值为3 m，且影子长度最大时，木杆与光线垂直，则路灯EF的高度为________．三、解答题(一)：本大题共2小题，每小题8分，共16分．19．如图是一个正三棱柱及其俯视图．(1)作出该正三棱柱的主视图和左视图；(2)若AC＝2，AA′＝3，求左视图的面积．20．一透明的敞口正方体容器装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α(∠CBE＝α，如图1所示)，此时液面刚好过棱CD，并与棱BB′交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，三视图及尺寸如图2所示，当正方体平放(面ABCD在桌面上)时，求此时液体的深度．四、解答题(二)：本大题共2小题，每小题10分，共20分．21．如图所示，有4张除了正面图案不同，其余都相同的图片．(1)以上四张图片所示的立体图形中，主视图是矩形的有________；(填字母序号)(2)将这四张图片背面朝上混匀，从中随机抽出一张后放回，混匀后再随机抽出一张．求两次抽出的图片所示的立体图形的主视图都是矩形的概率．22．为加快新农村建设，某市投入资金建设新型农村社区．如图为农村社区内的两幢楼，它们的高AB＝CD＝30 m，现需了解甲楼对乙楼采光情况的影响．当太阳光线与水平线的夹角为30°时，试求：(1)若两楼间的距离AC＝24 m，则甲楼落在乙楼上的影子有多高；(结果保留根号)(2)若甲楼的影子刚好不影响乙楼，则两楼之间的距离应当有多远？(结果保留根号)五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分．23．在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的4名同学选择了测量学校里的四棵树的高度．在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米(如图1)．小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图2)，测得墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．小丽：发现丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上(如图3)，测得台阶上的水平影长为0.2米，一级台阶高为0.3米，落在地面上的影长为4.4米．小明：测得丁树落在水平地面上的影长为2.4米，落在坡面上的影长为3．2米(如图4)．身高是1.6米的小明站在坡面上，影子也都落在坡面上，小芳测得他的影长为2米．(1)甲树的高度为________米；(2)求出乙树的高度(画出示意图)；(3)丙树的高度为________；(填字母序号)A．6.5米B．5.75米C．6.05米D．7.25米(4)请计算出丁树的高度．24．某兴趣小组开展课外活动．如图，小明从点M出发以1.5米/秒的速度，沿射线MN方向匀速前进，2秒后到达点B，此时他在某一灯光下的影子为MB，继续按原速前进2秒到达点D，此时他在同一灯光下的影子GD 仍落在其身后，并测得GD长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再前进2秒到达点F，图中线段AB，CD，EF表示小明的身高．(1)请在图中画出光源点O的位置，并画出小明到达点F时在这个灯光下的影子FH(不写画法)；(2)求小明到达点F时在这个灯光下的影子FH的长．答案一、1．D 2．B 3．A 4．C 5．D 6．D 7．A 8．B 9．C 10．C11．C12．B 点拨：由三视图可知，该几何体由一个长方体中间挖去一个圆柱后所得，长方体的长，宽，高分别为4，4，3，圆柱的底面圆直径为2，高为3，长方体表面积：4×4×2＋4×3×4＝80，圆柱侧面积：2π×3＝6π，上、下底面圆面积：2×⎝ ⎛⎭⎪⎫222×π＝2π， ∴这个几何体的表面积是80＋6π－2π＝80＋4π．二、13．414．813 点拨：∵∠ACB ＝90°，BC ＝12 cm ，AC ＝8 cm ，∴AB ＝413 cm ．∵△ABC ∽△A 1B 1C 1，B 1C 1＝24 cm ，∴A 1B 1 ∶AB ＝B 1C 1 ∶BC ＝2 ∶1，∴A 1B 1＝813 cm ．15．10 16．54 17．(123＋36) 18．7.5 m三、19．解：(1)作图如下：(2)如图，过点B 作BD ⊥AC 于点D ，∵AC ＝2，∴AD＝1，AB＝AC＝2，∴BD＝3，则左视图的面积为3×3＝33．20．解：由题图可知CQ＝5 dm，BC＝AB＝4 dm，∠QBC＝90°，∴BQ＝CQ2－BC2＝52－42＝3(dm)，∴液体的体积V液＝12×3×4×4＝24(dm3)，∴此时液体的深度是24÷(4×4)＝1.5(dm)．四、21．解：(1)B，D(2)列表如下：由表可知，共有16种等可能的结果，其中两次抽出的图片所示的立体图形的主视图都是矩形的有4种，分别是(B，B)，(B，D)，(D，B)，(D，D)，所以两次抽出的图片所示的立体图形的主视图都是矩形的概率为416＝14．22．解：(1)∵AB＝CD＝30 m，BA⊥AC，CD⊥AC，∴四边形ABDC是矩形．∴BD＝AC＝24 m，∠BDE＝90°．∵∠DBE＝30°，∴设DE＝x m，则BE＝2x m．∴在Rt△BDE中，BD＝BE2－DE2＝（2x）2－x2＝3x(m)．∴3x＝24，解得x＝83，即DE＝83m．∴EC＝CD－DE＝(30－83)m，即甲楼落在乙楼上的影子有(30－83)m高．(2)如图，当太阳光照射到点C时，甲楼的影子刚好不影响乙楼．在Rt △ABC 中，AB ＝30 m ，∠ACB ＝30°，∴BC ＝2AB ＝60 m ．由勾股定理得AC ＝BC 2－AB 2＝602－302＝303(m)．∴若甲楼的影子刚好不影响乙楼，则两楼之间的距离应当有30 3 m 远．五、23．解：(1)5. 1(2)如图1，设AB 为乙树，BC 为乙树落在地面上的影子，CD 为乙树落在墙壁上的影子．AD ，EC 为太阳光线．则BC ＝2.4米，CD ＝1.2米．易得四边形AECD 是平行四边形．∴AE ＝CD ＝1.2米，由题意知，BE BC ＝10.8，即BE 2.4＝10.8，解得BE＝3米，∴AB ＝AE ＋BE ＝4.2米；(3)C(4)如图2：设MN 为丁树，MQ 为丁树落在水平地面上的影子，QP 为丁树落在坡面上的影子，NP ，GQ 为太阳光线．过点Q 作QH ∥MN ，交NP 于点 H ．则MQ ＝2.4米，QP ＝3.2米．易得四边形NGQH 是平行四边形．∴NG ＝QH ．由题意知，GM MQ ＝10.8，即GM 2.4＝10.8，解得GM ＝3米．由题意知，QH QP ＝1.62，即QH 3.2＝1.62，解得QH ＝2．56米，∴NG ＝2.56米，∴MN ＝NG ＋GM ＝5.56米．故丁树的高度为5.56米．24．解：(1)如图，点O和FH为所作；(2)由题意可得MB＝BD＝2×1.5＝3 m，GD＝1.2 m，DF＝1.5×1.5×2＝4.5(m)，设AB＝CD＝EF＝a m，作OK⊥MN于K，如图，∵AB∥OK，∴△MAB∽△MOK，∴ABOK＝MBMK，即aOK＝36＋DK①．∵CD∥OK，∴△GCD∽△GOK，∴CDOK＝GDGK，即aOK＝1.21.2＋DK②．由①②得36＋DK＝1.21.2＋DK，∴DK＝2 m．∴aOK＝36＋2＝38，FK＝DF－DK＝4.5－2＝2.5(m)．∵EF∥OK，∴△HEF∽△HOK，∴aOK＝FHKH，即FHFH＋2.5＝38，∴FH＝1.5 m．答：小明到达点F时在这个灯光下的影子FH的长为1.5 m．。

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九年级(上)教材分析第一章证明（二）一、本章教材的特点、内容：《证明》这一部分内容是新旧教材转换中变化比较大的一部分内容，无论是《标准》对证明的要求上，还是对于“证明”在数学教学中价值的重新定位，以及证明在整个教材中的编排顺序上，都与我们传统《几何》教学中的证明大有不同。

我们老师在接触到这部分内容时往往感到受传统教材的影响较大，难以把握。

我想针对此问题，在本章教材分析之前，首先应该搞清楚两个问题：1、证明在整个教材中的位置？—有利于我们系统全面的了解教材、合理的处理教材。

（我们知道新教材打破了传统的《代数》、《几何》的界限，而是将数学知识分为四大领域）；２、《标准》中是怎样阐述“证明”的具体目标？对“证明”的要求是什么？—便于我们准确的把握“证明”的难易。

《标准》在重新审视传统几何教学目标的基础上对证明重新提出了明确的要求：“能通过观察、试验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据，给出证明或举出反例”，“从几个基本事实出发，证明一些有关三角形、四边形的性质，从中体会证明的必要性，理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式，初步感受公理化思想”。

《标准》同时指出“应注重对证明的理解，而不追求证明的数量和技巧”，这就既保留了传统几何中推理论证的部分要求，有明确防止过分“形式化”的证明。

欧几里的公理体系建立以来,几何与推理证明结下了不解之缘,培养推理证明能力成为几何教学的主要价值体现.而事实上,推理既有合情推理,也有演绎推理,“演绎推理”就是我们平常说的“证明”，是结论已知的必然性推理；“合情推理”是根据已有的知识和经验，在某种情境和过程中推出可能性结论的推理（包括归纳、类比、统计推理等形式）。

任何一个科学结论（包括数学定理、法则、公式等）的发现往往发端于对事物的观察、比较、归纳、类比，即通过合情推理得出猜想，然后再通过演绎推理说明猜想的正确或错误。

所以合情推理的实质是”发现”,因而关注合情推理能力的培养有助于发展学生的创新精神.回想我们经历过的七（下）”平行线的判定与性质”、八（上）”全等三角形的判定与性质”、“等腰三角形性质”、“角平分线、线段垂直平分线性质”等，都是在学生动手实践操作（包括作图、测量、折纸等）的基础上，通过观察归纳猜想得到的，这也就是“合情推理“。

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