电路分析第五章 电容元件与电感元件
电路分析第5章
《电路分析简明教程》
1、线性性质
§ 5-1
例 若f (t )= sinωt 的定义域在[0，∞），求其象函数。
解 根据欧拉公式
f (t) sin t e jt e jt
2j 根据拉氏变换的线性性质，得
《电路分析简明教程》
2、延迟性质 若
§5-1
则 例 试求延迟的阶跃函数f(t)=ε( t - t 0) 的象函数。 解 根据延迟性质和单位阶跃函数的象函数,得
（
s
K2 - p2
）
式中
《电路分析简明教程》
§5-2 复频域中的电路定律与电路模型
分析电阻电路的两类约束、定理乃至技巧都适用
于动态电路的复频域分析法（运算法）。
一、KVL、KCL的复频域形式
1、对任一节点 ΣI（s）=0
2、对任一回路 ΣU（s）=0
二、元件伏安关系（VAR)的复频域形式及电路模型
(2) 绘出电路的复频域模型。注意不要遗漏附加电 源，且要特别注意附加电源的方向。
(3) 根据电路两类约束的复频域形式，对复频域模型 列写电路方程，求出响应的象函数。这里可以采用第一、 第二章中分析电阻电路的各种方法。
(4) 用部分分式展开法和查阅拉氏变换表，将以求的 的象函数进行拉氏逆变换，求出待求的时域响应。
（s
K11 - p1）2
（ K2 s - p2
）
对于单根，待定系数仍采用
公式计算。
而待定系数K11和K12，可以用下面方法求得。 将式两边都乘以(s-p1)2，则K11被单独分离出来，即
K11 （ [ s - p1）2F(s)] S=P1
《电路分析简明教程》
又因为
d ds
[（s
电路分析基础教案(第5章) 2
§5-2 电容的VCR 例题：电路如图所示，电压源电压为三角波形， 求电容电流i（t）。
0 0.5 1 1.5 -100 解：在关联参考方向时，i=C（du/dt）， 在0≤t≤0.25ms期间， i=1×10-6×[(100-0)/(0.25×10-3-0)=0.4A；
35
i(t) + C= u(t) 1 μ F -
100
u/V t/ms
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
§5-2 电容的VCR u/V
100 0 -100
t/ms 0.5 1 1.5
在0.25≤t≤0.75ms期间， i=1×10-6×[(-100-100)/(0.75×10-30.25×10-3)] =-0.4A；
36
§5-2 电容的VCR
100 0 -100
0.4
u/V
§5-1 电容元件
3、电容元件特点 线性电容有如下特点： （1）双向性 库伏特性是以原点对称，如图所示，因此与 端钮接法无关。 斜率为C q/C C u/V
0
18
§5-1 电容元件 （2）动态性 若电容两端的电压是直流电压U，则极板上的 电荷是稳定的，没有电流，即：I=0。
电容相当于断 路（开路），所 以电容有隔断直 流作用。
8
第五章 电容元件与电感元件 电阻电路在任意时刻t的响应只与同一时刻的 激励有关，与过去的激励无关。 因此，电阻电路是“无记忆”，或是说“即 时的”。 与电阻电路不同，动态电路在任意时刻t的响 应与激励的全部过去历史有关。 因此，动态电路是“有记忆”的。
9
第五章 电容元件与电感元件
本章主要内容： 动态元件的定义； 动态元件的VCR； 动态电路的等效电路； 动态电路的记忆、状态等概念。
第五章 电容元件与电感元件.
1 2
Li2
1 ψ2 2L
结论
(1) 元件方程是同一类型；
(2) 若把 u-i，q- ，C-L互换,可由电容元件
的方程得到电感元件的方程；
(3) C 和 L称为对偶元件, 、q等称为对偶
元素。
电容器和电感器的模型
电容器模型（按照近似程度分） 0 级模型：不考虑损耗和产生的磁场。 I 级模型：考虑损耗不考虑产生的磁场。 II级模型：考虑损耗和产生的磁场。
i
i dq
dt
+
+ dq =Cduc
uc
C
–
–
i C duc dt
uc(
t
)
1 C
t
i
t
dt
uc
(
t
0
)
1 C
t
t 0
i
t
dt
例 5-1 5-2
2. 线性电容的充、放电过程
u,i i u
o
ωt
i ii i
+ u
+u
u
u
- -++
(1) u>0，du/dt>0，则i>0，q , 正向充电(电流流向正极板)；
1 2
Li 2 (t 2)
1 2
Li 2 (t1)
wL( t2 ) wL( t1 )
wL ( t 2 ) wL ( t1 )元件充电，吸收能量
wL ( t 2 ) wL ( t1 )元件放电，释放能量
五、电感电流不能跃变（连续性）
电感 L 储存的磁场能量
wL
电工学 电容,电感元件
4 2
iS/A
2
W / J
4 6 （b）
8
t/s
由题意知L=2H,故电感上的储能为:
16
t0 0 2 4t 0 t 2 1 2 2 w(t ) li 4t 64t 256 2 2t 8 9 9 9 0 t 8
2
4
6
8
（
e ）
例4-4 图所示电路,t<0时开关K闭合，电路已达到稳态。 t=0时刻，打开开关K, 球初始值il(0+), Uc(0+), i(0+), ic(0+), UL(0+)的值。
㈣电容的单位
在国际单位制中，电容C的单位为法拉 （F），但因法拉这个单位太大，所以 通常采用微法（μF）或皮法（pF）作 为电容的单位，其换算关系为
1F 10 F，
6
1F 10 pF
6
㈤电容的伏安关系 设电容上流过电流与其两端电压为关联参 考方向，如图所示，则根据电流的定义有
dq(t ) i(t ) dt
所以
1 1 uc (1) uc (0) ic (t )dt C 0
1 1 V 0 5tdt 1.25 2 0
10 0 -10
iC/A
t/s
1
2
3
4
5
（b）
1 4 uc (4) uc (0) ic (t )dt C 0
1 2 1 4 5tdt (10)dt 2 0 2 0
u(t ) u(t )
(4-4)
等式两边分别为电容电压在t时刻左右极限值.上 式说明在 t 和 t 时刻电压值是相等的。在动态 电路分析中常用这一结论，并称之为“换路理 论”。
电容与电感的作用分析与探究
电感与电容的分析与探究在对电感与电容的电路分析之前，我们有必要先了解以下基本的概念：电流i：指在单位时间里面，流过A，B两点的’正电荷数’。
（即电流就是为了衡量电荷流通的速度）电压u：单位正电荷从A到B，电场力对单位正电荷所做的’功’。
功率P: 单位时间里的功【单位时间里，在A，B两点会流过一些正电荷数，即电流i；这些正电荷做的功就是功率。
这也就是P=iu的原因】(功率是为了衡量做功的快慢)。
功（能量）W：在一定时间里的功率总和。
为了便于理解，上述单位时间可以理解为1s，单位电荷可以理解为1个电荷，一定时间可以理解为多秒。
电阻R：我们平时所说的电导就是指电阻的倒数；伏安关系：u=iR。
电容C: 有的电容会随着电压等因素的变化而电容的大小发生变，而我们通常说的线性电容指的是电容的大小不随别的因素而变化；我们分析的都是线性电容。
单位：F(法拉)表示。
常用单位有μF(微法) 及pF(皮法)，分别表示为10-6F及10-12F。
电压关系：1. 电容的电压除与电流有关外，还与初始时刻的u(0)有关。
2. 当电路从一个状态转到另一个状态时，电容的电压不会产生跃变。
而电容开始的储能会在电路工作的起初时被消耗掉。
电流关系：只有当电容上的电压变化时，电容上才会有电流产生，这也是为什么在直流时电容被认为是开路的原因：直流电压无变化，i=0。
它是不会让直流信号通过它自己的。
极板上的电荷：同电压一样，极板上的电荷也是由开始时的电荷再加上随着时间的改变极板上增加的电荷。
电容吸收的能量：在t1,t2时间里电容吸收的能量。
指在任意时刻电容上的能量。
⎰⎰⎰⎰+=+==∞-∞-t t t id c u id c id c id c t u 0001)0(111)(ξξξξdt du c dt dq i ==)]()([21)()()()(),(1222)()(2121212121t u t u c udu c d d du c u d i u d p t t W t u t u t t t t t t c -=====⎰⎰⎰⎰ξξξξξξξξ)(21)(2t cu t W c =电容的一些等效关系：1. 一般来讲，两个导体之间只要电位不相等，他们之间就会存在电容。
电路分析基础 李瀚荪版 配套课件 第五章.
例3：通过4F电容的电流i，波形如图，试求电
容 电 压 uC ， 并 分 别 作 出 t≥0 ， t=0 ， t=-0.5s ， t=2/3s时的等效电路。
i/A 3
-1
0
t/s
-2
例 4 ： 电 路 如 图 ， 已 知 uC(t)=cos(2t)V ， C=1F ， R=1Ω，受控源电压u(t)=2iC(t)，求uR(t)和is(t)。
t t0
表明：
it
C
du dt
①某一时刻电容的电流i取决于该时刻电容电压u 的变化率，而与该时刻电压u的大小无关。电 容是动态元件；
②当u为常数(直流)时，i=0。直流电路中，电容 相当于开路，故电容有隔直流的作用；
it
=
C
du dt
③实际电路中通过电容的电流i(t)为有限值，则 du/dt为有限值，电容电压uc(t)是时间的连续 函数，即
电容元件 电感元件 电容与电感的对偶性 电容电感元件的串联与并联
电容元件
（实际）电容器
在外电源作用下，正负电极上分别带上等量异号 电荷，撤去电源，电极上的电荷仍可长久地聚集 下去，是一种储存电能的部件。
金属极板
电介质
金属极板
电容元件
储存电能的二端元件。任意时刻t，其电荷q(t)与端 电压u(t)之间的关系能用q-u平面上的曲线描述， 则称为电容元件，简称电容。
q
f u q = 库伏特性
O
u
线性时不变电容元件
任何时刻，电容元件极板上的电荷q与电压u成
正比，q~u特性曲线是通过原点的一条直线，且
不随时间变化。
电路分析基础(张永瑞)第5章
d [ A cos(t )] A sin(t ) dt Re[ jAe j（t ）] Re[ jAe jt ] d jt Re ( Ae ) dt
假设某正弦电流为
i (t ) I m cos(t i )
根据欧拉公式
e j cos j sin
可以把复指数函数Im e j(ωt+θi)展开成
I me j (t i ) I m cos(t i ) jIm sin(t i )
i(t ) Re[I me
第五章 正弦电路的稳态分析
解 由图可知，i(t)的振幅为 100A， 即
i(t ) 100cos(10 t i ) A
3
当t=0 时，电流为 50A，用t=0 代入上式，得
i (0) 100cos i 50
故
cos i 0.5
第五章 正弦电路的稳态分析
由于i(t)的正最大值发生在时间起点之后，初相角为负值，即
同理，可得正弦电压的有效值
1 U U m 0.707 m U 2
必须指出，交流测量仪表指示的电流、电压读数一般都是 有效值。 引入有效值以后，正弦电流和电压的表达式也可写成
i(t ) I m cos(t i ) 2 I cos(t i ) u(t ) Um cos(t u ) 2U cos(t u )
示。
第五章 正弦电路的稳态分析
5.1.2 相位差
假设两个正弦电压分别为
u1 (t ) U1m cos(t 1 ) u2 (t ) U 2 m cos(t 2 )
南京邮电大学电路分析基础_第5章1
4 .电容是储能元件
电压电流参考方向关联时，电容吸收功率 p(t) u(t)i(t) u(t)C du dt
p 可正可负。当 p > 0 时，电容吸收 功率（吞），储存电场能量增加；当p
< 0时，电容发出功率（吐），电容放 出存储的能量。
任意时刻t得到的总能量为
t
t
wC (t)
p( )d
i +
uS/mV + 10
uS -
Lu -
0
-10
(a)
1 2 3t (b)
解： 当0<t1s时，u(t)=10mV，
i(t) 1
t
u( )d
L
i(0) 2102
t
10
2
d
0
2t
A
2t
A
0
当 t 1s 时 i(1) 2A
当1s<t2s时，u(t)=-10mV
i(t)
，
i(1)
2. 电感是惯性元件
di
u 有限时，电流变化率 dt 必然有限； 电流只能连续变化而不能跳变。
3.电感是记忆元件
i(t) 1
t
u( )d
L
电感电流i有“记忆”电压全部历史
的作用。取决于电压(, t )的值。
i(t) 1
t
u( )d
L
1
t0 u()d 1
t
u( )d
L
L t0
上式也可以理解为什么电容电压不 能轻易跃变，因为电压的跃变要伴随 储能的跃变，在电流有界的情况下， 是不可能造成电场能发生跃变和电容 电压发生跃变的。
例1 C =4F，其上电压如图(b)，试求
电路分析基础5电容与电感
例1：电压源的波形为三角波，求电容电流和电压波形。
du ( t ) du ( t ) c u ( t ) u ( t ) i C C c dt dt
若取 t0 0 ，则
专业基础课
电路分析基础
教师：张 荣
第二篇 动态电路的时域分析
前面学习的是电阻电路的分析方法。电阻 电路用代数方程描述，电路在任意时刻的 响应只与同一时刻的激励有关，而与过去 的激励无关，这也称为无记忆或即时的。 许多实际电路不可避免的要包含电容和电 感元件，其电压电流关系涉及对电流、电 压的微分或积分，因而称动态元件。
+ u(t) _
1、0→0.25ms时
+ uc_ (t) C=1uF i(t)
du ( t ) 100 3 5 10 4 10 dt 0 . 25
100
u/V
0. 5 0.75
0.25
du ( t ) 6 5 i C 1 10 4 10 0 . 4 A dt
du ( t ) p ( t ) u ( t ) i ( t ) Cu ( t ) dt
瞬时功率可正可负，当 p(t)>0时，说明电 容是在吸收能量，处于充电状态；当 p(t) <0 时，说明电容是在提供能量，处于放电状态。 对上式从－∞到 t 进行积分，即得 t 时刻电容 的储能为： t u (t)
1t u ( t ) u ( 0 ) i ( ) d 0 C 1t u ( 0 ) 2 d 0 t t 20
电路基础原理电容与电感的等效电路
电路基础原理电容与电感的等效电路电路理论是电子技术的基础，深入了解电路的基本原理对于电子工程师来说至关重要。
在电路中，电容和电感是两种非常重要的电子元件。
了解它们的性质以及等效电路可以帮助我们更好地设计和分析电路。
一、电容的基本原理和等效电路电容器是电路中常见的元件之一。
它由两个导体板和中间的绝缘介质组成。
当电容器两端加电压时，正极板上聚集的电荷会导致负极板上也聚集一定的电荷，这种电势差形成了电场，电场的强度与所加电压成正比。
电容器的电容量由其结构、介质性质和两个导体板之间的距离决定。
在电容的基本等效电路中，我们可以使用电压源和电容器之间串联一个电容的一个简化模型。
在直流电路中，电容可以看作是一个开路，相当于没有导电路径，而在交流电路中，电容器的等效电路是一个纯电容元件，并且具有导电阻抗的特性。
二、电感的基本原理和等效电路电感是另一种重要的电子元件，它是由导线或线圈组成的。
当电流通过导线或线圈时，会产生一个磁场，这个磁场会导致导线或线圈中的电压发生变化。
电感的大小取决于导线或线圈的长度、截面积以及材料的磁导率。
电感的等效电路也有多种模型。
在直流电路中，电感可以视为一个闭路，几乎没有电流通过。
而在交流电路中，电感器的等效电路是一个纯电感元件，并且具有导电阻抗的特性。
三、电容与电感的等效电路尽管电容和电感是两种不同的电子元件，但在一些特定的电路中，它们可以等效地转化为其他元件。
例如，在谐振电路中，一个电感和一个电容的串联电路可以等效为一个纯电阻。
这种等效电路的基本原理可以根据电容和电感元件的导电阻抗来推导。
四、电容与电感在电路中的应用电容和电感在各种电子电路中都有广泛的应用。
在滤波电路中，电容器可以用来削弱或消除某些频率成分，实现信号的滤波效果。
而电感则常常用于频率选择电路中，通过调整电感的数值可以选择特定的频率。
此外，电容和电感还被广泛应用于供电电路中。
电容可以用作电源滤波器，帮助稳定电源电压；而电感则可以用于抑制高频噪音，保护电路的稳定性。
电路分析期末复习讲义
第一章电路的基本概念和基尔霍夫定律主要内容：1.电路的基本变量i(t),u(t),p(t)电流、电压及其参考方向；电流与电压的关联参考方向（影响功率、元件VCR等表达式）；功率：支路在单位时间内吸收的电能。
2.电路相关名词：支路、节点、回路、网孔3.基尔霍夫电流定律（KCL）：适用于节点、割集（广义节点）。
表述为：对于任意集中参数电路中的任一节点，在任一时刻，流入（或流出）该节点的所有支路电流代数和为零。
4.基尔霍夫电压定律（KVL）：体现在各个回路上。
表述为：对任意集中参数电路中的任一回路，在任一时刻，沿该回路所有支路电压降的代数和为零。
先设回路参考方向，若支路参考极性与回路绕行方向一致取正，相反取负。
再考虑支路电压真实极性与参考极性间的关系。
5.四种电路基本元件（电阻元件、电压源、电流源、受控电源）及其特性例题：第二章电阻电路的等效变换主要内容：1.单口网络（二端网络）的等效电路等效的意思就是对于任何外电路，端口的VCR都相同，所以求等效电路实际上就是求该单口网络的VCR。
（1）电阻串并联的等效，太简单了，不讲（2）多个电压源的串联，多个电流源的并联，电压源与其他元件或支路的并联，电流源与其他元件或支路的串联。
（3）实际电源的两种电路模型以及两者的等效变换（注意方向）2.受控电源的等效变换不含独立源只含受控源和电阻的单口网络可以用一个等效电阻代替，这个等效电阻可能取负值，表示供出能量。
3.T型网络与π型网络的等效变换例题：1.求下图所示电路中开关S断开和闭合时的电流I。
2.求等效电路（不含独立源而含受控源和电阻的单口网络，先列端口VCR，将其化为只含u、i的形式，根据式子得等效电路3.求等效电路课本2-10,2-15,2-20第三章线性电路的一般分析方法主要内容：1.几个概念：树；割集，基本割集；回路，基本回路（会考，送分的）2.电路的独立变量独立变量的概念；需要满足独立性和完备性；独立电流变量：网孔电流（网孔分析法），连支电流；独立电压变量：节点电压（节点分析法），树支电压。
电路分析基础PPT课件
i Cdu1064105 0.4A dt
编辑版ppt
11
解答
从0.75ms到1.25ms期间
du 200 4 105 dt 0.5
i C du dt
106 4 105 0.4 A
编辑版ppt
12
例5-2
设电容与一电流源相接，电流 波形如图(b)中所示，试求电
容电压。设u(0)=0。
编辑版ppt
6
❖ 把两块金属极板用介质隔开就可构成一个简单的电 容器。
❖ 理想介质是不导电的，在外电源作用下，两块极板 上能分别存储等量的异性电荷。
❖ 外电源撤走后，电荷依靠电场力的作用互相吸引， 由于介质绝缘不能中和，极板上的电荷能长久地存 储下去。因此，电容器是一种能存储电荷的器件。
❖ 电容元件定义如下：一个二端元件，如果在任一时
(2)当信号变化很快时，一些实际器件已不能再用电阻模型 来表示，必须考虑到磁场变化及电场变化的现象，在模型 中需要增添电感、电容等动态元件。
❖ 至少包含一个动态元件的电路称为动态电路。
❖ 基尔霍夫定律施加于电路的约束关系只取决于电路的连接 方式，与构成电路的元件性质无关。
编辑版ppt
3
§5-1 电容元件
• 电容元件是一种反映电路及其附近存在电场而可以储存电 能的理想电路元件 。
• 电容效应是广泛存在的，任何两块金属导体，中间用绝 缘材料隔开，就形成一个电容器。工程实际中使用的电容 器虽然种类繁多、外形各不相同，但它们的基本结构是一 致的，都是用具有一定间隙、中间充满介质（如云母、涤 纶薄膜、陶瓷等）的金属极板（或箔、膜）、再从极板上 引出电极构成。这样设计、制造出来的电容器，体积小、 电容效应大，因为电场局限在两个极板之间，不宜受其它 因素影响，因此具有固定的量值。如果忽略这些器件的介 质损耗和漏电流，电容器可以用电容元件作为它们的电路 模型。
电路分析基础第五章
例5-2
如图(a)所示为电容与电流源相接电路，电流
波形如图(b)所示。求电容电压（设u(0)=0）。
解：已知电容电流求电容电压，可根据下式：
1 t u(t ) u(t 0 ) i()d C t0
t t0
为此，需要给出i(t)的函数式。对所示三角波，
流作用的结果，即电压“记载”了已往电流的全部历 史，所以称电容为记忆元件。当然，电阻则为无记忆 元件。
1 t0 1 t u c ( t ) i c ( )d i c ( )d C C t0 1 t u c ( t 0 ) i c ( )d C t0 所以，只要知道了电容的初始电压和t≥t0时作用于电
如：
R 12
特例：若三个电阻相等(对称)，则有
R12 R1 R31 R3
RΠ = 3RT
外大内小
R 1R 2 R 2 R 3 R 3 R 1 R 12 R3
R2
R23
RT = RΠ/3
R T1 R 12R 31 R 12 R 23 R 31
注意
高，介质会被击穿。而电容被击穿后，介质导电，
也就丧失了电容器的作用。因此，使用中不应超
过其额定工作电压。
第五章 电容元件与电感元件
§5-1 电容元件 §5-2 电容元件的伏安关系
§5-3 电容电压的连续性质和记忆性质
§5-4 电容元件的储能
§5-5 电感元件
§5-6 电感元件的VAR
§5-7 电容与电感的对偶性 状态变量
可分段写为：
等等。分段计算u(t)如下：
电压波形如图(C)所示。
第五章 电容元件与电感元件
电容元件与电感元件
第六章 电容元件与电感元件
§6-1 §6-2 §6-3 §6-4 §6-5 §6-6 §6-7
电容元件 电容元件的伏安关系 电容电压的连续性质和记忆性质 电容元件的储能 电感元件 电感元件的VAR 电容与电感的对偶性 状态变量
§6-2 电容元件的伏安关系
采用关联参考方向如图所示，则有 （1）微分形式
3、电容的记忆性质：电容电压对电流有记忆作用。
1 t uc (t ) ic ( )d C 它表明，在任一时刻t，电容电压uc是此时刻以前
的电流作用的结果，它“记载”了已往的全部历史，
所以称电容为记忆元件。相应地，电阻为无记忆元件。 1 t0 1 t uc (t ) ic ( )d ic ( )d C C t0 1 t uc (t0 ) ic ( )d C t0 只要知道电容的初始电压和t≥0时作用于电容的 电流，就能确定t≥0时的电容电压。
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第六章 电容元件与电感元件
§6-1 §6-2 §6-3 §6-4 §6-5 §6-6 §6-7
电容元件 电容元件的伏安关系 电容电压的连续性质和记忆性质 电容元件的储能 电感元件 电感元件的VAR 电容与电感的对偶性 状态变量
§6-6 电感元件的VCR
对上式从-∞到t进行积分，并设uc(-∞)=0，得
设t0为初始时刻。如果只讨论t≥t0的情况，上式可改写为
1 uc (t ) C
其中，
1 t ic ( )d C t0 ic ( )d 1 t uc (t0 ) ic ( )d C t0 1 t0 uc (t0 )＝ ic ( )d ( ) C －
1 2 WC (t ) Cuc (t ) 2
电容元件与电感元件
第二篇 动态电路的时域分析第五章 电容元件与电感元件● 电容元件 ● 电容的VCR● 电容电压的连续性质与记忆性质 ● 电容的储能 ● 电感元件 ● 电感的VCR● *电容与电感的对偶性 状态变量学 习 目 标本章重点：理解动态元件L 、C 的特性，并能熟练应用于电路分析。
一．动态原件包括电容元件和电感元件。
电压电流关系都涉及对电流、电压的微分或积分。
电路模型中出现动态元件的原因：1）有意接入电容器或电感器，实现某种功能；2）信号变化很快时，实际器件已不能再用电阻模型表示。
二．电阻电路与动态电路1.电阻电路是无记忆性（memoryless ）即时的（instantaneous)；2.动态电路（至少含有一个动态元件的电路 ）在任一时刻的响应与激励的全部过去历史有关。
注:电阻电路和动态电路均服从基尔霍夫定律。
动态电路分析与电阻电路分析的比较电阻电路动态电路组成 独立源,受控源,电阻 电感,电容 (独立源,受控源,电阻)特性 耗能 贮能(电能,磁能) ——贮能状态 电路方程 代数方程微分、积分（一阶、 二阶）VCRi R u =⎰∞-==tc cd i c u dt du ci ) (1 ττ§5.1 电 容 元 件一、电容元件的基本概念电容器是一种能储存电荷的器件电容元件是电容器的理想化模型是一个理想的二端元件。
图形符号如右所示：u q C =电容的SI 单位为法［拉］, 符号为F;1 F=1 C ／V常采用微法（μF ）皮法（pF ）作为其单位。
F pF F F 126101101--==μ§5.2 电 容 的VCR一、电容元件的VCR ——电压表示电流1.当电容上电压与电荷为关联参考方向时，电荷q 与u 关系为：q(t)=Cu(t) C 是电容的电容量，亦即特性曲线的斜率。
2.当u 、i 为关联方向时,据电流强度定义有：dt du C dt dCu dt dq t i ===)(非关联时:表明：在某一时刻电容的电流取决于该时刻电容电压的变化率。
电路分析第五章 电容元件与电感元件
u=L di dt
WL
=
1 2
Li
2
5.7、电容与电感的对偶性
电感和电容的串并联
电感的串联
n
Leq
Lk
k 1
电感的并联
1
n1
Leq
k 1 Lk
电容的串联 电容的并联
1 n 1
Ceq
k 1 Ck
n
Ceq
Ck
k 1
习题课
5-12
习题1 已知u(0)=4V，则该电容t≥0时的VCR为
C a
2Ω电阻的功率：P2 2V2 /2Ω 2W
习题3 答案（续1）
5-18
解
电感储存能量：WL
1 2
Li2
1 2H2A2
2
4J
电容储存能量：WC
1 Cu 2 2
1 1F4V2
2
8J
电路总共储存能量为4J+8J=12J。该项能量 是电源接入时，由电源提供的。在电源持续作用 下，这能量始终储存在电路内，其值不变，故PL 和PC均为零。
功率平衡。
消耗功率 6W+2W+4W=12W
习题课
5-20
习题4 已知uc(t)=2cos(2t)V、C=1F、R=1Ω， 受控源电压u(t)=2ic(t)，求uR(t)、is(t)。
R
iS
+ ic + uR- +
u-c C
2ic
-
答案
P1 2A2 1 4W P2 2V 2 /2 2W
习题4 答案
2dt 0.25V
4 1
例题 (续)
（4） t ≥ 0时的等效电路
u1(t)+-
李瀚荪《电路分析基础》笔记和典型题(含考研真题)详解(电容元件与电感元件)
图 5-3 具有初始电压 U0 的电容及其在 t≥t0 时的等效电路
四、电容的储能
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1.瞬时功率
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（1）定义
瞬时功率是指每一瞬间的功率，可由该元件两端电压 M 和流过的电流 i 的乘积来计算，
即
（2）功率波形图 功率波形图是把同一瞬间的电压和电流相乘，然后逐点绘出功率随时间变化的曲线所得 的图形。 ①功率为正时，电容吸收功率； ②功率为负时，电容放出功率。 2.电容储能 （1）储能公式 电容 C 在某一时刻 t 的储能只不该时刻 t 的电压有关，即
u 和 i 波形相同，但最大值、最小值并丌同时发生。
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5-2 考虑漏电现象，电容器可以用一个电容 C 不漏电阻 R 并联的电路作为模型。若某 电容器的模型中 C=0.1μF，R=150kΩ，外施电压如图 5-1 所示，试绘出电容器电流的波形。
（2）注意事项 ①电容的储能本质使电容电压具有记忆性质； ②电容电流在有界的条件下储能丌能跃变使电容电压具有连续性质。
五、电感元件 1.概念 （1）定义 电感元件是指在任意时刻，电流 i（t）同它的磁链 （t）乊间的关系可以用 i－ 平
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七、电容不电感的对偶性 状态变量 1．对偶性. （1）对偶性含义 对偶性是指如果把电容 VCR 式中的 i 换以 u，u 换以 i，C 换以 L 就可得到电感的 VCR 式；反乊亦然。 （2）对偶性推论 根据对偶性，可知电感电流具有连续性质和记忆性质，即若电感电压 u（t）在[tq，tb] 内为有界的，则对任何时刻 t，ta＜t＜tb
电阻、电感、电容元件串联的交流电路
目录
• 电阻元件 • 电感元件 • 电容元件 • 电阻、电感、电容元件串联的交流电路分
析 • 实际应用
பைடு நூலகம்1
电阻元件
定义与特性
定义
电阻元件是一种用于限制电流的元件 ，其特性是当电流通过时会产生电压 降。
特性
电阻元件的阻值大小取决于其材料、长 度和横截面积，通常用欧姆（Ω）作为 单位。
滤波器设计方法
常用的滤波器设计方法包括巴特 沃斯法、切比雪夫法等，通过选 择合适的元件值和电路结构实现 所需的频率特性。
调谐电路设计
调谐电路种类
调谐电路应用
调谐电路包括LC振荡器、RC振荡器和 变压器反馈式振荡器等，用于产生特 定频率的交流信号。
调谐电路广泛应用于无线通信、广播 电视、测量仪器等领域，用于产生本 机振荡信号或选择特定频率的信号。
电容元件
电容元件在串联电路中主要承担无 功功率的发出，其功率计算公式为 $P = I^2Xc$。
05
实际应用
滤波器设计
滤波器种类
根据不同的频率范围和应用需求， 可设计低通滤波器、高通滤波器、 带通滤波器和带阻滤波器等。
滤波器性能指标
滤波器的性能指标包括插入损耗、 通带带宽、阻带抑制等，用于衡 量滤波器的性能优劣。
并联
当多个电阻元件并联在交流电路中时， 总电阻的倒数等于各个电阻倒数之和， 电压处处相等。
02
电感元件
定义与特性
定义
电感元件是一种储能元件，其特性是能够存储磁场能量。
特性
电感元件具有阻止电流变化的特性，即当电流发生变化时，会产生感应电动势来阻碍电流的变化。
电感元件在交流电路中的作用
第5章 一阶电路分析
解：先写出电容电流的数学表达式：
1( A) iC (t ) = i S (t ) = 0 0 < t <1 t >1
根据电容的VCR的积分形式，得：
0 ≤ t <1
t ≥1
1 t u C (t ) = u C (0) + ∫ iC (ξ ) dξ = (0.5 + 0.5t )(V ) C 0
uL + uR = 0 u R = Ri L di L uL = L dt 或 i L (0 + ) = I 0 t >0
整理得：
L di L + iL = 0 R dt i L (0 + ) = I 0 t>0
从上式可知，RC是一个与时间有关的量，它的量纲应 该是秒。我们称之为电路的时间常数，用τ来表示。 注意到，当t=5τ时，上式有
u C (5τ ) = U 0 e = 0.0067U 0
与稳态相比很小，认为这时电路达到了新的稳态。
−5
电容的零状态响应也称为电容放电，时间常数越小，放 电越快。见图5-21所示。当放电时间等于时间常数时，电容 两端的电压下降到原来的36.8%。有关时间常数的测定可利 用如下式了来确定。
RC电路的零输入响应。所谓的零输入，就是电路没有 激励。对于图5-18所示电路。有：
uC − u R = 0 u R = Ri du C i = −C dt 及 u C (0 + ) = U 0 t>0
上述方程可化为：
du C RC + uC = 0 dt u C (0 + ) = U 0 t>0
电感的符号如图5-8所示。线性时不变电感的磁链与电流的 关系式如下式：
电路分析基础-动态电路的瞬态分析-时域经典分析法
uc(0+)= uc(0-) =8V
i 12V
-
+
K 2
R3 R1
Us
+ uc
-
5R2
ic
+ uL
-
(a)
在0+等效图中: ③ 由0+等效图有：
4 iL 12V
-
+
i(0+) R1 Us uc(0+)
+
5
ic(0+) 8V
(b) 0+等效图
R2 4 +
uL(0+)
-
iL(0+)=2A
电容元件用uc(0+)电压源代替 电感元件用iL(0+)电流源代替
对于线性电感，设uL, i L取关联参考方向:
iL
自感电压：
+
uL
L 或
–
注：(1) uL的大小取决与 i L的变化率，与 i L的大小无关。
(2) 电感元件是动态元件。 当 i L为常数(直流)时，diL/dt =0 uL=0。 电感在直流电路中相当于短路线。
(3)uL，iL为非关联方向时，uL= –LdiL/dt 。
例：如图(a)零状态电路，K于t=0时刻闭合，作0+图
并求ic(0+)和uL(0+)。
K
ic
R2
C
Us
R1
+ L uL
-
(a)
K ic(0+)
C
Us
R1
R2 L
(b) 0+图
+
uL(0+) -
解: ① t<0时，零状态 →uc(0-)=0 iL(0-)=0 ② 由换路定理有：uc(0+)= uc(0-) =0 iL(0+)= iL(0-) =0
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+
i1/A
+
4F
+
3
u(t)
0.5V
-
-
0
1
2
t/s
i1(t) — i(t)在t≥0时的部分；t≤0的部分已不必再考虑。
5.3、电容电压的连续性与记忆性质
i +
i C du dt
u
–
+ C –
u(t )
1 C
t
id 1 C
1 C
t t0
t0
id
t/s
u 0 1
4
0
1
2 dt
2 4
0 .5 V
u(0)记忆了t=0以前所有电流的充电作用。
例题
(续)
5-8
（2） t ≥ 0时
u t u 0 1 4
t
3dt
0 . 5
0 . 75 t V
0
t≥0时，不能忽略初始电压u(0)， 它反映了t≤0电流对t ≥ 0时u（t）的影响。 （3）
2 V 3 A
4W
流过 2 V 电压源电流为 2 V 电压源功率：
1A 2 A 3 A ， 6 W 消耗 6 W
功率平衡关系：
提供功率 消耗功率
8W+4W=12W 6W+2W+4W=12W
功率平衡。
习题课
习题4 已知uc(t)=2cos(2t)V、C=1F、R=1Ω， 受控源电压u(t)=2ic(t)，求uR(t)、is(t)。
1 2
Cu ( t )
2
1 2
Cu ( )
2
若 u ( ) 0
1 2
Cu ( t )
q (t ) 0
2
2C
从t0到t 电容储能的变化量：W C 从 t 到 t0 电容储能的变化量： C W
1 2
Cu ( t )
2
1 2
Cu ( t 0 )
2
1 2
Cu ( t 0 )
C
0.5F
u/ V
电源波形
解得电流
0 dus 1 i(t ) C dt 1 0 t0 0 t 1s 1 t 2s t 2s
i/A 1 1 -1 2 t /s
5.4、电容的储能
p( t ) u( t )i ( t ) 0 2t 2t 4 0
2H
1Ω 2Ω
+
2A 2V 1F
+
4V
-
-
答案
P1 2 A 1 4W
2
P2 2V
2 / 2
2W
习题3 答案
5-17
解 电路在直流电源长久作用下，电感看作短路，
电容看作开路，如图所示。
1Ω 2Ω
+
2A
+
2V
+
4V
2 A 1Ω 4 W
a i(t)
u(t)
+
-
c u(0)=U0
a +
b
uc(t)
i(t)
+ u1(t) +
-
b
U0
u1(0)=0
-
例题
已知电容C=4F，对所有t、i(t)波形如图所示， 电容电压u(t)与i(t)参考方向关联。
5-7) u(0)； (2) u(t)、t≥0； (3) u(1)和u (－ 0.5)； (4) 作出t≥0时该电容的等效电路。 解 （1）根据已知条件，t≤0时 仅在－1≤t≤0时，i(t)=2A。
di dt
di dt
p 吸 ui L
t
i
W吸
若 i ( ) 0
Li
di d
2
d 1 2L
1 2
i(t )
Li
2 i ( )
1 2
Li ( t )
2
1 2
Li ( )
2
1 2
Li ( t )
(t ) 0
2
5.7、电容与电感的对偶性
1 C
id
D. u 4
C
id
0
答案
习题1 答案
解
5-13
与教案中例题不同，此处u(0)的成因不详， 也无需且不可能追究。其极性已如图中所示， 其值为4V，已成定局。但t≥0时，i、u的参考 方向为非关联的，故应选B项。 t≥0的等效电路如图， i C 代表初始电压源的极性、 - + - + 数值是已知的，与i无关。 4V u1 a C部分的u1和i的参考方向 + 是非关联的。
线性电容的VCR i + u + C
i dq dt C du dt
i 的大小与 u 的变化率成正比， 与 u 的大小无关； 当u 为常数时，du/dt =0 i=0
–
–
(电容在直流电路中相当于开路) 电容有隔直作用
例 1F的电容，若u如图（a），则i如图（b） 5-4
图(a)
2 i/A
图(b)
V
i S iC i R 2 sin 2 t cos 2 t 4 sin 2 t A 2 sin 2 t cos 2 t A 5 cos 2 t 63 . 4
WC ( t ) 1 2
2
p/W
吸收功率
t0 0 t 1s 1 t 2s t 2s
Cu ( t )
2
0 -2 WC/J 1
1
2 t /s 释放功率
t0 0 2 0 t 1s t 2 ( t 2) 1 t 2 s 0 t 2s
0
1
2 t /s
5.5、电感元件
5.5、电感元件
电感 (inductor)元件
I
I , 右旋
0
I
线性时不变电感元件
def
韦安( ~i )特性
L
I
= N 为电感线圈的磁链
L 称为自感系数 符号：H
L 的单位名称：亨
5.6、电感的VCR
线性电感电压、电流关系 由电磁感应定律
（3）电容（元件）VCR形式二
由 u
1 C q
5-5
得 u (t )
1 C
t
i ( )d
②
上式表明：某时刻t的电容电压与从-∞到该时刻所有 电流有关—电容电压的记忆性质（memory property） 更实用的形式： 设初始时刻为t=0 即 u (t ) u (0 )
电容元件与电感元件的比较 电容 C 变量 电压 u 电荷 q
q=Cu du dt WC = 1 2 Cu
2
电感 L 电流 i 磁链
ψ=Li u=L di dt 1 2 WL = Li 2
关系式
i=C
5.7、电容与电感的对偶性
电感和电容的串并联 电感的串联
L eq
k 1
n
Lk
电感的并联
1 L eq 1 C
1 C
t t0
id
u(t0 )
id
(1) 电容元件是一种记忆元件； (2) 当电流 i 为有限值时，电容电压不能跃变。
5.4、电容的储能
电容的储能
p 吸 ui u C du dt
u(t )
WC
t
Cu
du d
2
d
1 2 1
Cu
2 u( )
5.1、电容元件
5.1、电容元件
电容(capacitor)元件
i + u + C
q
+
_
q
q
0 u
–
–
描述电容的两个基本变量: u, q 对于线性电容，有： q =Cu C 称为电容器的电容
def
C
q u
电容 C 的单位：F (法) 常用F，pF等表示 电容 的
额定工作电压
5.2、电容的VCR
k 1 n
n
1 Lk 1 C
k
电容的串联
k 1
eq
电容的并联
C
eq
k 1
n
C
k
习题课
C
5-12
习题1 已知u(0)=4V，则该电容t≥0时的VCR为
a
A. u 4 C. u 4 1 C
i
- u+
id
b
1 C
t 0
t
B. u 4
0
1
t
id
t
0
5.6、电感的VCR
u L di dt
(2) 电感元件是一种记忆元件
i
L
1
t
ud
1 L
0
ud
1 L
t 0
ud
i(0)
L
1
t 0
ud
(3) 当电压u 为有限值时,电感中电流不能跃变 因为电流跃变需要一个无穷大的电压
5.6、电感的VCR
电感的储能
u L
2
1 2
Cu ( t )
2
5.4、电容的储能