2019-2020年人教A版高中数学必修一 1-2-1函数的概念教案

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2019-2020学年人教A版数学必修一课件：1.2.1 函数的概念

求函数的定义域
求下列函数的定义域：
(1)y＝（xx＋＋11）2解】 (1)要使函数式有意义，自变量 x 的取值必须满足 x＋1≠0， 1－x≥0，解得 x≤1，且 x≠－1，即函数的定义域为{x|x≤1，且 x≠－1}． (2)要使函数式有意义，自变量 x 的取值必须满足3|x－|－x5≥≠00，，解得 x≤3，且 x≠－5，即函数的定义域为{x|x≤3，且 x≠－5}．
不能看作是从 A 到 B 的函数关系的是( )
A．f：x→y＝18x
B．f：x→y＝14x
C．f：x→y＝12x
D．f：x→y＝x
【解析】 (1)观察图象可知，A，B，C 中任取一个 x 的值，y 有可能有多个值与之对应，所以不是函数图象．D 中图象是函数图象． (2)①错误．若函数的值域只含有一个元素，则定义域不一定只含有一个元素； ②正确．因为 f(x)＝5，这个数值不随 x 的变化而变化，所以 f(π) ＝5； ③错误．函数就是两个数集之间的对应关系．
1．已知函数 f(x)＝ x－1，且 f(a)＝3，则 a＝________．解析：因为 f(x)＝ x－1，所以 f(a)＝ a－1. 又因为 f(a)＝3，所以 a－1＝3，a＝16. 故填 16. 答案：16
2．求下列函数的值域： ①y＝2x＋1；②y＝x2－4x＋6，x∈[1，5)； ③y＝3xx＋－11；④y＝x＋ x.
②f(x)＝
xx，g(x)＝
x； x
③f(x)＝ x＋1· 1－x，g(x)＝ 1－x2；
④f(x)＝（x＋3）2，g(x)＝x＋3.
其中表示相等函数的是________(填上所有正确的序号)．
【解析】 (1)①错误．函数 f(x)＝x0 的定义域为{x|x≠0}，函数 g(x)＝1 的定义域是 R，不是同一个函数； ②正确．y＝f(x)，x∈R 与 y＝f(x＋1)，x∈R 两函数定义域相同，对应关系可能相同，所以可能是相等函数；③正确．两个函数定义域相同，对应关系完全一致，是相等函数．所以正确的个数有 2 个． (2)①定义域不同，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为 R. 不相等．

高中数学 1.2.1函数的概念教案新人教A版必修1

1.2.1 函数的概念（第一课时）课型：新授课教学目标：（1）通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的三要素；（3）能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。

教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。

教学难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。

教学过程：一、问题链接：1．讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？2．回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量。

表示方法有：解析法、列表法、图象法.二、合作探究展示：探究一：函数的概念：思考1：（课本P 15）给出三个实例：A ．一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h （米）与时间t （秒）的变化规律是21305h t t =-。

B ．近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况。

（见课本P 15图）C ．国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。

“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表。

（见课本P 16表）讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着怎样的对应关系？三个实例有什么共同点？归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为：对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都与唯一确定的y 和它对应，记作：:f A B →函数的定义：设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：(),y f x x A =∈其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）。

高中数学人教版必修1 1.2.1函数的概念教案(系列二)

1.2.1 函数的概念课前预习·预习案【学习目标】1．通过实例,体会函数是描绘变量之间对应关系的重要数学模型.2．体会对应关系在刻画函数概念中的作用.3．了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域.4．理解函数的三要素及函数符号的深刻含义.5．会求一些简单函数的定义域和值域.6．能够正确使用区间表示数集.【学习重点】1．体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，正确理解函数的概念。

2．理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。

【学习难点】符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示【自主学习】1．函数的概念(1)前提：A,B是非空的.(2)对应：集合A中的一个数,在集合B中都有的数和它对应.(3)结论：f:A称为的一个函数.(4)表示：.(5)相关概念：①自变量；②定义域：的取值范围A;③函数值：与的值相对应的；④值域：函数值的集合；⑤函数的三要素：定义域、对应关系和.2．函数相等由于函数的值域是由和决定的,所以,如果两个函数的相同,并且完全一致,就称这两个函数相等.3．区间的有关概念根据提示完成下表( 为实数，且).4．无穷大的概念(1)实数集R用区间表示为.“ ”读作，“ ”读作，“ ”读作.(2)无穷区间的几种表示：【预习评价】1．下列式子中不能表示函数的是A. B.C. D.2．函数的值域为A. B. C. D.R3．已知,,则 .4．集合用区间可表示为 .5．与函为相同函数的是(填序号).①；②；③.知识拓展·探究案【合作探究】1．函数的概念根据给出的两个对应,回答下面的问题：①,这里②,这里(1)判断当取某一值时,是否都有唯一的值与其对应？(2)根据函数的概念,判断这两个对应是否为的函数？并说明理由. 2．构成函数的要素若将函数的定义域改为,所得的函数与函数相同吗？3．区间的概念观察集合的区间表示法如,思考下面的问题：区间是不是一个集合？区间与区间之间可不可以用集合的运算符号连接？4．函数的值域根据函数的概念“当A,B是非空数集时，对应f:A称为从集合A到集合B的函数”，探究下面的问题：(1)给定一个函数，函数的值域是函数值的集合吗？(2)集合B与函数的值域存在怎样的关系？【教师点拨】1．对函数相等的三点说明(1当两函数的定义域和值域分别相同时,若对应关系不同,两函数不相等。

人教版高中数学必修1第1章1.2.1 函数的概念教案

1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念教学目标分析：知识目标：理解函数的概念，能用集合与对应的语言刻画函数，了解构成函数的三要素。

过程与方法：1、通过丰富实例，建立函数概念的背景，体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。

2、体会对应关系在刻画函数概念中的作用。

情感目标：通过从实际问题中抽象概括函数概念的活动，培养学生的抽象思维能力。

重难点分析：重点：体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，正确理解函数的概念。

难点：函数概念及符号的理解。

互动探究：一、课堂探究： 1、复习引人探究一、初中学习的函数概念是什么？设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有惟一的值与它对应，则称x 是自变量，y 是x 的函数；其中自变量x 的取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y 的值叫做函数的值域。

探究二、（1）1y =是函数吗？（2）y x =与2x y x=是同一个函数吗？显然，仅用初中函数的概念很难回答这些问题。

因此，需要从新的高度认识函数。

请同学们学习教材第15页引例1，做出高度h 的函数图像，并尝试用集合语言描述两个变量之间的依赖关系？引例1、（炮弹发射）一枚炮弹发射后，经过26s 落到地面击中目标。

炮弹的射高为845m ，且炮弹距地面的高度h （单位：m ）随时间t （单位：s ）变化的规律是：25130t t h -=（*）。

炮弹飞行时间t 的变化范围是数集A = {t |0 ≤ t ≤ 26}，炮弹距地面的高度h 的变化范围是数集B = {h | 0 ≤ h ≤ 845}。

从问题的实际意义可知，对于数集A 中的任意一个时间t ，按照对应关系（*），在数集B 中都有惟一的高度h 和它对应。

引例2、（南极臭氧空洞）近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题，如图的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979 ~ 2001年的变化情况：根据可图中的曲线可知，时间t 的变化范围是数集A = {t | 1979 ≤ t ≤ 2001}，臭氧层空洞面积S 的变化范围是数集B = {S |0 ≤ S ≤26}。

高中数学人教A版必修1《1.2.1函数的概念》教学案4

必修一函数的概念➢教学重点：函数的概念，函数的三要素.➢教学难点：函数概念及符号y=f(x)的理解.➢教学方法:诱思教学法➢教学用具：多媒体➢教学过程：【教学过程】设计环节设计意图师生活动一、创设问题情境，引出课题以实际问题为背景，以学生熟悉的情境入手激活学生的原有知识，形成学生的“再创造”欲望，让学生在熟悉的环境中发现新知识，使新知识和原知识形成联系，同时也体现了数学的应用价值。

通过问题2这两个用已有概念不太教师提出问题1：我们在初中学习过函数的概念，它是如何定义的呢？在初中已经学过哪些函数？（在学生回答的基础上出示投影）我们已经学习了一些具体的函数，那么为什么还要学习函数呢？先请同学们思考下面的两个问题：问题2：由上述定义你能判断“y=1”是否表示一个函数？函数y=x与函数xxy2表示同一个函数知识目标——通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型；用集合与对应的思想理解函数的概念；理解函数的三要素及函数符号的深刻含义；会求一些简单函数的定义域及值域。

能力目标——培养学生观察、类比、推理的能力；培养学生分析、判断、抽象、归纳概括的逻辑思维能力；培养学生联系、对应、转化的辩证思想；强化“形”与“数”结合并相互转化的数学思想。

情感目标——渗透数学思想和文化，激发学生观察、分析、探求的兴趣和热情；强化学生参与意识，培养学生严谨的学习态度，获得积极的情感体验；体会在探究过程中由特殊到一般、从具体到抽象、运动变化、相互联系、相互制约、相互转化的辩证唯物主义观点；感受数学的简洁美、对称美、数与形的和谐统一美；树立“数学源于实践，又服务于实践”的数学应用意识。

教学流程：知识结构：“函数”的由来“函数”一词最初是由德国的数学家莱布尼茨在17世纪首先采用的，当时莱布尼茨用“函数”这一词来表示变量x 的幂，即x 2，x 3，….接下来莱布尼茨又将“函数”这一词用来表示曲线上的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等等所有与曲线上的点有关的变量.就这样“函数”这词逐渐盛行.在中国，古时候的人将“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思，清代数学家、天文学家、翻译家和教育家，近代科学的先驱者李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数.”中国的古代人还用“天、地、人、物”4个字来表示4个不同的未知数或变量，显然，在李善兰的这个定义中的含义就是“凡是公式中含有变量x ，则该式子叫做x 的函数.”这样，在中国“函数”是指公式里含有变量的意思.瑞士数学家雅克·柏努意给出了和莱布尼茨相同的函数定义.1718年，雅克·柏努意的弟弟约翰·柏努意给出了函数了如下的函数定义：由任一变数和常数的任意形式所构成的量叫做这一变数的函数.换句话说，由x和常量所构成的任一式子都可称之为关于x的函数.1775年，欧拉把函数定义为：“如果某些变量：以某一种方式依赖于另一些变量.即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数.”由此可以看到，由莱布尼兹到欧拉所引入的函数概念，都还是和解析表达式、曲线表达式等概念纠缠在一起.首屈一指的法国数学家柯西引入了新的函数定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其它变数的值也可随之而确定时，则将最初的变数称之为‘自变数’，其它各变数则称为‘函数’”.在柯西的定义中，首先出现了“自变量”一词.1834年，俄国数学家罗巴契夫斯基进一步提出函数的定义：“x的函数是这样的一个数，它对于每一个x都有确定的值，并且随着x一起变化.函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法.函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的”.这个定义指出了对应关系。

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1.2.1函数的概念一、教学目标：知识与技能认识和理解函数的概念,认识和理解它们的三要素.具有一定的把函数应用于实际的能力.过程与方法通过背景的给出,通过经历、体验和实践探索过程的展现,通过数学思想方法的渗透,让学生体会过程的重要,并在过程中学习知识,同时领会一定的数学思想和方法.情感、态度与价值观教育的根本目的是育人.通过对本模块内容的教学,使学生在学习和运用知识的过程中提高对数学学习的兴趣,并在初中函数的学习基础上,对数学有更深刻的感受,提高说理、批判和质疑精神,形成锲而不舍追求真理的科学态度和习惯,树立良好的情感态度和价值观.二．重点难点重点：理解函数的概念．难点：函数的概念理解的深化．三、教学方法问题引导自主探究合作交流四、教学过程（1）情景导入北京时间2013年6月11日17时38分,万众瞩目的“神舟”十号飞船胜利发射升空,15天后圆满完成各项任务并顺利返回.在“神舟”十号飞行期间,我们时刻关注“神舟”十号离我们的距离y 随时间是如何变化的,本节课就对这种变量关系进行定量描述和研究.（2）探究新知；1.函数的有关概念：设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数，记作)(x f y =， x ∈A ，其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(（⊆B ）叫做函数y=f(x)的值域.值域是集合B 的子集。

函数符号)(x f y =表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f .(1)函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应 B A f →:这里 A, B 为非空的数集.（2）A ：定义域；{}A x x f ∈|)(：值域，其中{}A x x f ∈|)( ⊆ B ；f ：对应法则， x ∈A ，y ∈B（3）函数符号：)(x f y = ↔y 是 x 的函数，简记 )(x f1. 对函数概念的理解例1 判断下列对应或式子能否确定y 是x 的函数：（1）x →x2，x ≠0，x ∈R ；（2）x →y ，这里y 2=x ，x ∈N ，y ∈R ;(3)221x y +=; (4)()f x =(5){|x x ∈学生}→{|y y ∈学校} 【思路分析】从函数的定义出发,进行判断.【解析】【点评】判断函数的标准可以简记成：两个非空数集A 、B ，一个对应关系f ，A 中任一对B 中唯一.理解函数的定义，应该注意:①函数是非空数集到非空数集上的一种对应.②符号“f :A →B ”表示A 到B 的一个函数，它有三个要素；定义域、值域、对应关系，三者缺一不可.③集合A 中数的任意性，集合B 中数的惟一性.④f 表示对应关系，在不同的函数中，f 的具体含义不一样.⑤f (x )是一个符号，绝对不能理解为f 与x 的乘积.跟踪训练11. 下列各图中，可表示函数y ＝f （x ）的图象的只可能是（）【答案】D【解析】根据函数的定义可知，对于任意一个自变量x ，只有一个函数值y 和它对应，故D正确。

2019-2020年高中数学 1.2.1函数的概念全册精品教案新人教A版必修1

2019-2020年高中数学 1.2.1函数的概念全册精品教案新人教A版必修1（一）教学目标1．知识与技能（1）理解函数的概念；体会随着数学的发展，函数的概念不断被精炼、深化、丰富.（2）初步了解函数的定义域、值域、对应法则的含义.2．过程与方法（1）回顾初中阶段函数的定义，通过实例深化函数的定义.（2）通过实例感知函数的定义域、值域，对应法则是构成函数的三要素，将抽象的概念通过实例具体化.3．情感、态度与价值观在函数概念深化的过程中，体会数学形成和发展的一般规律；由函数所揭示的因果关系，培养学生的辨证思想.（二）教学重点与难点重点：理解函数的概念；难点：理解函数符号y = f (x)的含义.（三）教学方法回顾旧知，通过分析探究实例，深化函数的概念；体会函数符号的含义. 在自我探索、合作交流中理解函数的概念；尝试自学辅导法.示例3 国际上常用恩格尔系数②反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高，下表中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化. “八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况时间(年) 1991 1992 1993 1994 1995 1996 城镇居民家庭恩格尔系数(%)53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 时间(年) 1997 xx xx xx xx城镇居民家庭恩格尔系数(%)46.4 44.5 41.9 39.2 37.9函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数(function)，记作y = f (x )，x ∈A .其中，x 叫做自变量，x 的取值范围师生共同探究利用集合与对应的语言描述变量之间的因果关系.体会函数新定义的精确性及实质.备选例题例1 函数y = f (x)表示（C ）A．y等于f与x的乘积B．f (x)一定是解析式C．y是x的函数D．对于不同的x，y值也不同例2 下列四种说法中，不正确的是（B ）A．函数值域中每一个数都有定义域中的一个数与之对应B．函数的定义域和值域一定是无限集合C．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D．若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素例3 已知f (x) = x2 + 4x + 5，则f (2) = 2.7 ，f (–1) = 2 .例4 已知f (x) = x2 (x∈R)，表明的“对应关系”是平方，它是R →R 的函数.例5 向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系如右图示，那么水瓶的形状是下图中的（B ）【解析】取水深，注水量V′＞，即水深为一半时，实际注水量大小水瓶总水量的一半，A中V′＜，C、D中V′=，故排除A、C、D..。

2019-2020学年高中数学人教A版必修一学案：1.2.1 函数概念

1．2.1函数概念课标要点课标要点学考要求高考要求1.函数的概念b b2.函数的定义域b b3.函数的值b b4.区间a a知识导图学法指导1.结合实例加深对函数概念的理解，要抓住定义中的关键字、词，认清“函数”到底指的是什么，由哪些要素组成．2．本节的重点是理解函数的定义，会求简单函数的定义域，难点是理解函数y＝f(x)的含义，求函数的值域.知识点一函数的概念1．函数的定义设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)．2．函数的定义域与值域函数y＝f(x)中，x叫自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．,对函数概念的3点说明(1)当A ，B为非空实数集时，符号“f ：A→B”表示A到B的一个函数．(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．{x|a<x<b}开区间(a，b){x|a≤x<b}半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a，b]2.实数集R的区间表示实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”；x －2则⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，即x ≥1，且x ≠2. 所以函数的定义域为{x |x ≥1且x ≠2}．故选D. 答案：D3．下列各组函数表示同一函数的是( )x 2－9⎣⎭2例1根据函数的定义判断下列对应关系是否为从集合A到集合B 的函数：(1)A＝{1,2,3}，B＝{7,8,9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8；(2)A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6}，对应关系如图所示；(3)A＝R，B＝{y|y>0}，f：x→y＝|x|；(4)A＝Z，B＝{－1,1}，n为奇数时，f(n)＝－1，n为偶数时，f(n)＝1.【解析】对于集合A中的任意一个值，在集合B中都有唯一的值与之对应，因此(1)(4)中对应关系f是从集合A到集合B的一个函数．(2)集合A中的元素3在集合B中没有对应元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数．(3)A中的元素0在B中没有对应元素，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数.1.从本题(1)可以看出函数f(x)的定义域是非空数集A，但值域不一定是非空数集B，也可以是集合B的子集．2．判断从集合A到集合B的对应是否为函数，一定要以函数的概念为准则，另外也要看A中的元素是否有意义，同时，一定要注意对特殊值的分析．方法归纳(1)判断一个集合A到集合B的对应关系是不是函数关系的方法：①A，B必须都是非空数集；②A中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应．[注意]A中元素无剩余，B中元素允许有剩余．(2)函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”．跟踪训练1(1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有()．1个 C ．2个 D ．3个下列对应是否是函数？，x ∈R ；②x →y ，其中y 2＝x ，x ∈R ，任意性② √ 同时满足任意性与唯一性 ③ × x ＝2时，对应元素y ＝3∉N ，不满足任意性④ ×x ＝1时，在N 中有两个元素与之对应，不满足唯一性(2)①是函数．因为任取一个非零实数x ，都有唯一确定的3x 与之对应，符合函数定义．⎩⎪|x|＋x≠0，⎩⎪x>0，所以x>0且x≠1，所以所求函数的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)．【答案】(1)B(2)见解析(1)依据分式的分母不为0，二次根式的被开方数大于等于0，列不等式组求定义域．(3)要使函数有意义，则⎩⎪⎨2－x >0，x ≠0，解得－32≤x <2，且x ≠0.故定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，0∪(0,2)． (1)分母不为0方法归纳判断函数相等的三个步骤和两个注意点(1)判断函数是否相等的三个步骤在化简解析式时，必须是等价变形；与用哪个字母表示无关．所以函数y＝2xx＋1的值域为{y|y∈R且y≠2}．(3)函数的定义域为{1,2,3}，当x＝1时，y＝12－4×1＋5＝2，当x＝2时，y＝22－4×2＋5＝1，当x＝3时，y＝32－4×3＋5＝2，所以这个函数的值域为{1,2}，(4)因为y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1，x∈R时，(x－2)2＋1≥1，因为x2＋1≥1，所以0<21＋x2≤2.所以y∈(－1,1]．所以所求函数的值域为(－1,1]．(4)y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4.因为－5≤x≤－2，所以－4≤x＋1≤－1.所以1≤(x＋1)2≤16.先分离再求值域配方法求值域[基础巩固](25分钟，60分)D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，－32 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，3－2x >0，2x ＋3≠0，解得－3≤x <32且x ≠－32，故选B.答案：B解析：由区间表示法知：(1)[2，＋∞)；(2)(3,4]；(3)(1,2)∪(2，＋∞)．答案：(1)[2，＋∞)(2)(3,4](3)(1,2)∪(2，＋∞)7．函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________．的图象可知－5≤x≤5，－2≤，B＝{y|y＝x2＋1}，则20<x <a2，定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2.10．求下列各函数的值域： (1)y ＝x ＋1，x ∈{2,3,4,5,6}； (2)y ＝x 2－4x ＋6； (3)y ＝x ＋2x －1.解析：(1)因为当x 分别取2,3,4,5,6时，y ＝x ＋1分别取3,4,5,6,7，答案：－113．(1)已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，求函数f(x－5)的定义域；(2)已知函数f(x－1)的定义域是[0,3]，求函数f(x)的定义域．解析：(1)由－1≤x－5≤5，得4≤x≤10，所以函数f(x－5)的定义域是[4,10]．(2)由0≤x≤3，得－1≤x－1≤2，所以函数f(x)的定义域是[－1,2]．1。

2019高中数学1.2.1 函数的概念学案新人教A版必修1

1.2.1 函数的概念学习目标：1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．(重点、难点)2.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．(重点)3.能够正确使用区间表示数集．(易混点)[自主预习·探新知]1．函数的概念思考(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？[提示](1)这种看法不对．符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．(2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．2．区间及有关概念(1)一般区间的表示设a，b∈R，且a<b，规定如下：(2)思考2(2)“∞”是数吗？如何正确使用“∞”？[提示] (1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．[基础自测]1．思考辨析(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系．( )(2)根据函数的定义，定义域中的任何一个x 可以对应着值域中不同的y .( ) (3)在函数的定义中，集合B 是函数的值域．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× 2．函数y ＝1x ＋1的定义域是( )A ．[－1，＋∞)B ．[－1,0)C ．(－1，＋∞)D ．(－1,0)C [由x ＋1>0得x >－1.所以函数的定义域为(－1，＋∞)．] 3．若f (x )＝11－x2，则f (3)＝________.【导学号：37102085】－18 [f (3)＝11－9＝－18.] 4．集合{x |x ≤－2}用区间可表示为________．(－∞，－2] [{x |x ≤－2}表示小于等于－2的数组成的集合，即用区间表示为(－∞，－2]．][合作探究·攻重难]函数的概念(1)判断下列对应是不是从集合A 到集合B 的函数．①A ＝N ，B ＝N *，对应法则f ：对集合A 中的元素取绝对值与B 中元素对应； ②A ＝{－1,1,2，－2}，B ＝{1,4}，对应法则f ：x →y ＝x 2，x ∈A ，y ∈B ； ③A ＝{－1,1,2，－2}，B ＝{1,2,4}，对应法则f ：x →y ＝x 2，x ∈A ，y ∈B ； ④A ＝{三角形}，B ＝{x |x >0}，对应法则f ：对A 中元素求面积与B 中元素对应． (2)下列各组函数是同一函数的是( ) ①f (x )＝－2x 3与g (x )＝x －2x ； ②f (x )＝x 与g (x )＝x 2； ③f (x )＝x 0与g (x )＝1x0；④f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1. A ．①② B ．①③ C ．③④D ．①④[解](1)①对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数．②对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．③对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数．④集合A不是数集，故不是函数．(2)C[①f(x)＝－2x3＝|x|－2x与y＝x－2x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．②g(x)＝x2＝|x|与f(x)＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．③f(x)＝x0与g(x)＝1x0都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一函数．④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．由上可知是同一函数的是③④.故选C.]A，A“一对多”的不是函数关系[跟踪训练]1．下列四个图象中，不是函数图象的是( )【导学号：37102086】A B C DB[根据函数的定义知：y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于y 轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有B不符合此条件．故选B.]求函数值设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝1x＋2，(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))．(2)求g(f(x))．思路探究：(1)直接把变量的取值代入相应函数解析式，求值即可；(2)把f (x )直接代入g (x )中便可得到g (f (x ))． [解] (1)因为f (x )＝2x 2＋2，所以f (2)＝2×22＋2＝10，f (a ＋3)＝2(a ＋3)2＋2＝2a 2＋12a ＋20.因为g (x )＝1x ＋2，所以g (a )＋g (0)＝1a ＋2＋10＋2＝1a ＋2＋12(a ≠－2)． g (f (2))＝g (10)＝110＋2＝112. (2)g (f (x ))＝1f x ＋2＝12x 2＋2＋2＝12x 2＋4.已知x 的表达式时，只需用a 的值求g a 的值应遵循由里往外的原则[跟踪训练]2．已知f (x )＝x 3＋2x ＋3，求f (1)，f (t )，f (2a －1)和f (f (－1))的值.【导学号：37102087】[解] f (1)＝13＋2×1＋3＝6；f (t )＝t 3＋2t ＋3；f (2a －1)＝(2a －1)3＋2(2a －1)＋3＝8a 3－12a 2＋10a ； f (f (－1))＝f ((－1)3＋2×(－1)＋3)＝f (0)＝3.求函数的定义域 [探究问题]1．已知函数的解析式，求其定义域时，能否可以对其先化简再求定义域？提示：不可以．如f (x )＝x ＋1x 2－1.倘若先化简，则f (x )＝1x －1，从而定义域与原函数不等价． 2．若函数y ＝f (x )的定义域是[0，＋∞)，那么函数y ＝f (x ＋1)的定义域是什么？提示：函数y ＝f (x )的定义域是[0，＋∞)，所以令x ＋1≥0，解得x ≥－1，所以函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[－1，＋∞)．3．若函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[1,2]，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？函数y ＝f (x )的定义域是什么？提示：[1,2]是自变量x 的取值范围．函数y ＝f (x )的定义域是x ＋1的范围[2,3]．求下列函数的定义域 (1)f (x )＝2＋3x －2；(3)f (x )＝3－x ·x －1；(4)f (x )＝x ＋2x ＋1－1－x .思路探究：要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开方数大于等于0即可． [解] (1)当且仅当x －2≠0，即x ≠2时，函数y ＝2＋3x －2有意义，所以这个函数的定义域为{x |x ≠2}．(2)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，2x ＋1≥0，x ＋1≠0，解得x >－1且x ≠1，所以这个函数的定义域为{x |x >－1且x ≠1}．(3)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，x －1≥0，解得1≤x ≤3，所以这个函数的定义域为{x |1≤x ≤3}．(4)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0，解得x ≤1且x ≠－1，即函数定义域为{x |x ≤1且x ≠－1}．若x 是分式，则应考虑使分母不为零若x 是偶次根式，则被开方数大于或等于零若x 是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合若x 是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集若x 是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义[当堂达标·固双基]1．已知函数f (x )＝3x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A.1aB.3aC ．aD ．3aD [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＝3a ，故选D.] 2．下列表示的是y 关于x 的函数的是( )【导学号：37102088】A ．y ＝x 2B ．y 2＝x C ．|y |＝xD ．|y |＝|x |A [结合函数的定义可知A 正确，选A.] 3．下列函数中，与函数y ＝x 相等的是( ) A ．y ＝(x )2B ．y ＝x 2C ．y ＝|x |D ．y ＝3x 3D [函数y ＝x 的定义域为R ；y ＝(x )2的定义域为[0，＋∞)；y ＝x 2＝|x |，对应关系不同；y ＝|x |对应关系不同；y ＝3x 3＝x ，且定义域为R .故选D.]4．将函数y ＝31－1－x的定义域用区间表示为________．(－∞，0)∪(0,1] [由⎩⎨⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0，解得x ≤1且x ≠0，用区间表示为(－∞，0)∪(0,1]．] 5．已知函数f (x )＝x ＋1x，(1)求f (x )的定义域； (2)求f (－1)，f (2)的值； (3)当a ≠－1时，求f (a ＋1)的值.【导学号：37102089】[解] (1)要使函数f (x )有意义，必须使x ≠0， ∴f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)f (－1)＝－1＋1－1＝－2，f (2)＝2＋12＝52.(3)当a ≠－1时，a ＋1≠0， ∴f (a ＋1)＝a ＋1＋1a ＋1.。

047.人教A版数学必修一教案：§1.2.1函数的概念

⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．
⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．
⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．
⑧函数的单调性法．
⑤ 中，．
⑥零（负）指数幂的底数不能为零．
⑦若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．
⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知的定义域为，其复合函数的定义域应由不等式解出．
⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．
（1）y= ( )2; （2）y= ( );
（3）y= ; （4）y=
分析：
构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）
两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
2、举出生活中函数的例子（三个以上），并用集合与对应的语言来描述函数，同时说出函数的定义域、值域和对应关系。
【A组】
1．下列各组函数中，表示同一函数的是（）
A． B．
C． D．
答案：C
2.求下列函数定义域：；
答案：
【B组】
1．已知，则 =-1.
2.已知f(x+1)＝2x －3x＋1，求f(-1)。变：，求f(f(x))
解：略
例2、设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积关于x的函数的解析式，并写出定义域.
分析：由题意知，另一边长为，且边长为正数，所以0＜x＜40.

人教新课标版数学高一-高中数学人教版必修一 1-2-1函数的概念教案

1、2、1、1 函数的概念一、【学习目标】1、理解函数的定义，及定义域、值域等有关概念；能熟练的运用区间符号；2、能利用所学知识求定义域问题；通过作业要会求一般的函数的值域.二、【自学内容和要求及自学过程】1、阅读教材第15、16页的材料<1>、<2>、<3>，回答问题（课程引入）<1>若材料一可以得到结论：时间t的变化范围是数集A={t|0≤t≤26}，h的变化范围是数集B={h|0≤h≤845}；则有对应：f:t→h=130t-5t2,t∈A,h∈B.阅读完材料二、三之后，你能总结出类似的结论吗？<2>你能找出这三个对应有什么共同点吗？结论：<1>i：根据图像可知：时间t的变化范围是数集，空臭氧层空洞面积S的变化范围是数集,则有对应:f:t→S,t∈A,S∈B；ii：根据图标可知时间t 的变化范围是数集，恩格尔系数y的变化范围是数集 .则有对应：f:t→y,t∈A,y∈B；<2>共同特点是：集合A、B都是集，并且对于数集A中的每一个元素x，在对应关系下，在数集B中都有定的元素y与之对应.2、结合上述自学内容，阅读16页函数定义，回答问题（函数的定义）<3>你是怎样理解函数的定义的？你能准确的给出函数的定义吗？通过学习，总结出函数的三要素是什么.结论：<3>一般地,设A、B都是,如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的一个数x，在集合B中都有的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作,x∈A,其中x叫,x的取值范围A叫做函数的 ,函数值的集合叫做函数的；函数的三要素是：、、 .需要注意的是：i ：自变量的取值范围就是使函数有意义的自变量的取值范围；ii ：函数有意义是指:自变量的取值使分母不为0；被开方数为非负数；如果函数有实际意义时，那么还要满足实际取值等.3、阅读教材第17页内容，回答问题（区间） <4>你能理解区间的含义吗？给你一个取值范式吗？我们以后围，你能马上写出它的区间形的学习过程中，写值域和定义域，都是用区间形式的，除非是特殊形式，不能用区间表示，所以要求学生能适应区间书写形式.请同学们记住右边区间的形式.三、【练习与巩固】练习一： <1>说说你对17页例1的理解 <2>仿照完成教材第19页练习1、2.练习二：已知函数f(x)的定义域是［-1,1］,则函数f(2x-1)的定义域是_______；思考：已知a 、b ∈N *,f(a+b)=f(a)f(b),f(1)=2,则我闷试求一下下题：)2006()2007()2()3()1()2(f f f f f f +++ =_________ 四、【作业】1、必做题：24页习题1.1A 组第1题（4）、第3题（4）、第4题；2、选做题：教材第25页习题1.1B 组第1、2题1、2、1、1 函数的概念一、【学习目标】1、理解函数的定义，及定义域、值域等有关概念；能熟练的运用区间符号；2、能利用所学知识求定义域问题；通过作业要会求一般的函数的值域.【教学效果】：教学目标给出来之后，学生都表现出了极其浓厚的兴趣.二、【自学内容和要求及自学过程】1、阅读教材第15、16页的材料<1>、<2>、<3>，回答问题（课程引入）<1>若材料一可以得到结论：时间t的变化范围是数集A={t|0≤t≤26}，h的变化范围是数集B={h|0≤h≤845}；则有对应：f:t→h=130t-5t2,t∈A,h∈B.阅读完材料二、三之后，你能总结出类似的结论吗？<2>你能找出这三个对应有什么共同点吗？结论：<1>i：根据图像可知：时间t的变化范围是数集A={t|1979≤t≤2001}，空臭氧层空洞面积S的变化范围是数集B={S|0≤S≤26},则有对应:f:t→S,t∈A,S∈B；ii：根据图标可知时间t的变化范围是数集A={t|1991≤t≤2001}，恩格尔系数y的变化范围是数集B={S|37.9≤S≤53.8}.则有对应：f:t→y,t∈A,y∈B；<2>共同特点是：集合A、B都是数集，并且对于数集A中的每一个元素x，在对应关系f:A→B下，在数集B中都有唯一确定的元素y与之对应.【教学效果】：这部分的重点是领学和老师的暗示提示，经过老师的暗示提示之后，学生基本上都能理解其中的含义，都能够完成学习目标.2、结合上述自学内容，阅读16页函数定义，回答问题（函数的定义）<3>你是怎样理解函数的定义的？你能准确的给出函数的定义吗？通过学习，总结出函数的三要素是什么.（引申解释：此处教师要有例子的类比：譬如举一个二次函数的例子，，找出它的定义域、值域、对应法则）结论：<3>一般地,设A、B都是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y=f(x),x ∈A,其中x 叫自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域,函数值的集合{f(x)|x ∈A}叫做函数的值域；函数的三要素是：定义域、对应法则、值域.需要注意的是：i ：自变量的取值范围就是使函数有意义的自变量的取值范围；ii ：函数有意义是指:自变量的取值使分母不为0；被开方数为非负数；如果函数有实际意义时，那么还要满足实际取值等；【教学效果】：学生能够根据具体的函数说出函数的三要素，会知道函数的基本的概念，但是理解，不是一朝一夕的事情，需要学生有耐心的.3、阅读教材第17页内容，回答问题（区间）<4>你能理解区间的含义吗？给你一个取值范围，你能马上写出它的区间形式吗？我们以后的学习过程中，写值域和定义域，都是用区间形式的，除非是特殊形式，不能用区间表示，所以要求学生能适应区间书写形式.请同学们记住右边区间的形式.【教学效果】：通过自学，学生是可以理解区间的含义和接受区间的写法的.值得我们老师们注意的是，以后做题中，凡是能用区间来描述的，一定要用区间.要让同学们熟悉和熟练区间的写法；特别是函数的定义域和值域，若是能用区间，要用区间描述，最起码要写为集合的形式.三、【练习与巩固】练习一： <1>说说你对17页例1的理解 <2>仿照完成教材第19页练习1、2.【教学效果】：只有在函数的定义域内，才能代入自变量.练习二：已知函数f(x)的定义域是［-1,1］,则函数f(2x-1)的定义域是_______；【教学效果】：这类题目是必讲题目，可以把这类题目放到习题课上去讲.思考：已知a 、b ∈N *,f(a+b)=f(a)f(b),f(1)=2,则我闷试求一下下题：)2006()2007()2()3()1()2(f f f f f f +++ =_________ 结论：令a=x,b=1(x ∈N *)，则f(x+1)=f(x)f(1)=2f(x)，即有)(/)1(x f x f +=2(x ∈N *).所以，原式=4012.【教学效果】：这个题目是一个思考题目，只有极少数的同学可以做出来，所以要有针对性，不能要求全体学生都会，注意分层教学.四、【作业】1、必做题：24页习题1.1A组第1题（4）、第3题（4）、第4题；2、选做题：教材第25页习题1.1B组第1、2题五、【小结】今天这节课主要讲的是函数的含义.其中涉及到函数的定义域值域等有关的知识.通过这节课的学习，要知道函数的三要素，理解函数的三要素各自在函数体系中的作用.通过学习，要求学生掌握住函数定义域和值域的求法.六、【教学反思】这节课遗憾之处是对于函数的值域的遗珠.内容多，时间短，只能把值域部分放在了作业上，让学生们自学.感到欣慰的是学生们经过一星期的锻炼，完全接受了老师的上课方式：先学后教，当堂训练.。

2019-2020年人教A版高中数学必修一 1-2-1函数的概念 教案