用二分法求方程的近似解PPT课件
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用二分法求方程的近似解史传奇课件
计算过程
01
迭代法是通过不断迭代来逼近方程的解，而二分法是通过不断
缩小解的范围来逼近方程的解。
适用范围
02
迭代法适用于解的区间已知的情况，而二分法适用于解的区间
未知的情况。
收敛速度
03
在某些情况下，迭代法的收敛速度可能比二分法更快。
与直接法的比 较
计算过程
直接法是通过对方程进行变换或近似来直接求解，而二分法是通 过不断缩小解的范围来逼近方程的解。
在数值积分中的应用
确定积分的上下限
利用二分法找到被积函数在积分区间内的零 点，将积分区间划分为更小的子区间。
计算子区间的积分
在每个子区间内，使用被积函数的零点作为分点， 将积分转化为若干个矩形区域的面积之和。
近似解的获取
当子区间的数量足够多时，这些矩形区域的 面积之和可以作为被积函数的近似值。
THANKS
精度和稳定性
在某些情况下，牛顿法的精度和稳定性可能比二分法更高，但需要更 精确的初始猜测值。
06
二分法的应用实例
求一元方程的根
01
定义域限制
使用二分法求解一元方程时，需 要确保方程在定义域内只有一个解。
03
迭代过程
通过不断将初始区间一分为二， 并判断解所在的子区间，逐步缩
小解的搜索范围。
02
初始区间选择
用二分法求方程的近似解很实用PPT通用课件
4.判断是否达到精确度 ：即若 a b ，则得到零点
近似值 a（或 b）；否则重复2～4.
尝试:借助计算器或计算机用二分法求方程 2x+3x=7的近似解（精确度0.1）.
先确定零点的范围；再用二分法去求方程的近似解
列表
x
0
1 23 45 6
7
8
f x 2x 3x 7
-6 -2 3 10 21 40 75 142
（？，？） …
中点函数 近似值
-0.084
0.512 0.215 0.066 -0.009
区间长度
1 0.5 0.25 0.125 0.0625
思考:
通过这种方法,是否可以得到任 意精确度的近似值? （如精确度 为0.01）
精确度为0.01,即零点值与近 似值的差的绝对值要小于或等于 0.01
求函数f x ln x 2x 6在区间2，3零点的近似值.(精确度为0.01)
思考：区间（a,b）上零点是否是唯一的？
思考二：
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图 象是连续不断的一条曲线，那么当 f(a)·f(b)>0时，函数y=f(x)在区间 （a，b）内一定没有零点吗？
小练习：
上节回忆
函数 f (x) x3 x 1在下列哪个区间内
有零点?
(C )
A.(1,0) B.Leabharlann Baidu1,2) C.(0,1) D.(2,3)
近似值 a（或 b）；否则重复2～4.
尝试:借助计算器或计算机用二分法求方程 2x+3x=7的近似解（精确度0.1）.
先确定零点的范围；再用二分法去求方程的近似解
列表
x
0
1 23 45 6
7
8
f x 2x 3x 7
-6 -2 3 10 21 40 75 142
（？，？） …
中点函数 近似值
-0.084
0.512 0.215 0.066 -0.009
区间长度
1 0.5 0.25 0.125 0.0625
思考:
通过这种方法,是否可以得到任 意精确度的近似值? （如精确度 为0.01）
精确度为0.01,即零点值与近 似值的差的绝对值要小于或等于 0.01
求函数f x ln x 2x 6在区间2，3零点的近似值.(精确度为0.01)
思考：区间（a,b）上零点是否是唯一的？
思考二：
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图 象是连续不断的一条曲线，那么当 f(a)·f(b)>0时，函数y=f(x)在区间 （a，b）内一定没有零点吗？
小练习：
上节回忆
函数 f (x) x3 x 1在下列哪个区间内
有零点?
(C )
A.(1,0) B.Leabharlann Baidu1,2) C.(0,1) D.(2,3)
4.5.2 用二分法求方程的近似解课件ppt
2
答案 CD
解析 y=
)
1 2
1
2≥0,故不能用二分法求零点的近似值.y=|x|≥0,
x
+4x+8=
(x+4)
2
2
故不能用二分法求零点的近似值.易知选项A,B有零点,且可用二分法求零
点的近似值.故选CD.
4．(题型2)某方程有一无理根在区间D＝(1，3)内，若用二分法求此
根的近似值，将D等分________次后，所得近似值可精确到0.1.
∴f(1)f(2)<0.
又函数f(x)=-x3-3x+5的定义域为R,
故f(x)的一个零点的近似值所在的初始区间为(1,2).
3.(多选题)下列函数中,有零点但不能用二分法求零点的近似值的是(
A.y= +1
- + 1, ≥ 0,
B.y=
+ 1, < 0
1 2
C.y= x +4x+8
2
D.y=|x|
①若f(c)=0(此时x0=c),则c就是函数的零点;
②若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a,c)),则令b=c;
③若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c,b)),则令a=c.
(4)判断是否达到精确度ε:若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复步
数学必修一用二分法求方程的近似解课件
点？
提示：不能．看一个函数能否用二分法求其零点的依据是函数 图象在零点附近是连续不断的，且在该零点左右函数值异号．
人教A版必修一· 新课标· 数学
2．二分法的步骤 给定精确度ε，用二分法求f(x)零点近似值的步骤如下： (1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε； (2)求区间(a，b)的中点c；
价格在500～1000元之间．选手开始报价：1000元，主持人回答：高
了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元， 高了；850元，低了；851元，恭喜你，你猜中了．表面上看猜价格具
有很大的碰运气的成分，实际中，游戏报价过程体现了“逼近”的数
学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？
人教A版必修一· 新课标· 数学
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类型一 【例1】
二分法的概念 下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求 )
图中函数零点的是(
思路分析：由题目可获取以下主要信息： ①题中给出了函数的图象； ②二分法的概念．
解答本题可结合二分法的概念，判断是否具备使用二分法的条
解：设f(x)＝2x3＋3x－3，经计算f(0)·f(1)<0， ∴f(x)在(0,1)内存在零点． 即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)内有解，列表如下：
(a， b) (0,1) (0.5,1) (0.5,0.75) (0.625,0.75) a＋ b 2 0.5 0.75 0.625 0.6875 |a－ b| 1 0.5 0.25 0.125
高中数学人教A版 必修第一册 用二分法求方程的近似解 课件
2－3x，并用计算器得到下表：
x
1.00
1.25
1.375
1.50wk.baidu.com
f(x)
1.079 4
0.191 8
－0.360 4
－0.998 9
由表中的数据，求方程 ln(2x＋6)＋2＝3x 的一个近似解(精确度为 0.1)．
【答案】因为 f(1.25)·f(1.375)<0，故根据二分法的思想，知函数 f(x)的零点在区
2.75
f(2.75)>0
（2.5，2.75）
f(2.5)<0，f(2.75)>0
2.625
f(2.625)>0
（2.5，2.625）
f(2.5)<0,f(2.625)>0 2.562 5
f(2.562 5)>0
f(2.5)<0
（2.5，2.562 5）
2.531 25
f(2.531 25)<0
f(2.562 5)>0
所以0 ∈（1.25，1.5）．同理可得，0 ∈（1.375，1.5），0 ∈（ 1.375 ，
1.4375 ）．由于｜ 1.375 － 1.4375 ｜＝0.0625＜0.1，
所以，原方程的近似解可取为1.375 ．
变式：用二分法求方程 ln(2x＋6)＋2＝3x 的根的近似值时，令 f(x)＝ln(2x＋6)＋
x
1.00
1.25
1.375
1.50wk.baidu.com
f(x)
1.079 4
0.191 8
－0.360 4
－0.998 9
由表中的数据，求方程 ln(2x＋6)＋2＝3x 的一个近似解(精确度为 0.1)．
【答案】因为 f(1.25)·f(1.375)<0，故根据二分法的思想，知函数 f(x)的零点在区
2.75
f(2.75)>0
（2.5，2.75）
f(2.5)<0，f(2.75)>0
2.625
f(2.625)>0
（2.5，2.625）
f(2.5)<0,f(2.625)>0 2.562 5
f(2.562 5)>0
f(2.5)<0
（2.5，2.562 5）
2.531 25
f(2.531 25)<0
f(2.562 5)>0
所以0 ∈（1.25，1.5）．同理可得，0 ∈（1.375，1.5），0 ∈（ 1.375 ，
1.4375 ）．由于｜ 1.375 － 1.4375 ｜＝0.0625＜0.1，
所以，原方程的近似解可取为1.375 ．
变式：用二分法求方程 ln(2x＋6)＋2＝3x 的根的近似值时，令 f(x)＝ln(2x＋6)＋
4.5.2 用二分法求方程的近似解-(新教材人教版必修第一册)(30张PPT)
课堂检测 基础达标 1．用二分法求如图所示函数 f(x)的零点时，不可能求出的零点
是( )
A．x1
B．x2
C．x3
D．x4
C 解析：观察图象可知，点 x3 的附近两旁的函数值都为负值，
所以点 x3 不能用二分法求出．故选 C.
2．已知 f(x)＝x2＋6x＋c 有零点，但不能用二分法求出，则 c 的
(1,2) 解析：∵f(1)·f(2)<0，∴f(x)在(1,2)内必有零点．
4．用二分法求方程 x3－2x－5＝0 在区间[2,3]内的实根，取区间
中点为 x0＝52，那么下一个有根的区间是________． (2,2.5) 解析：设 f(x)＝x3－2x－5，f(2)＝－1<0，f(3)＝16>0，f(2.5)
B 解析：用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符 号相反的区间，故选项 A 错误；二分法是一种程序化的运算，可以 在计算机上完成，故选项 C 错误；求函数的零点的方法还有方程法、 函数图象法等，故选项 D 错误．故选 B.
运用二分法求函数的零点应具备的条件 (1)函数图象在零点附近连续不断． (2)在该零点左右函数值异号． 只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数的零点．
(4)判断是否达到精确度 ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值 a(或 b)；否则重复步骤(2)～(4)．
高中数学 3.1.2《用二分法求方程的近似解》课件 新人教A版必修1
第二十一页，共24页。
【正解】 令f(x)＝x2－5， 因为f(2.2)＝－0.16<0，f(2.4)＝0.76>0， 所以f(2.2)·f(2.4)<0， 说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0， 取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3， f(2.3)＝0.29， 因为f(2.2)·f(2.3)<0，所以x0∈(2.2,2.3)， 再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25， f(2.25)＝0.062 5， 因为f(2.2)·f(2.25)<0，所以x0∈(2.2,2.25)， 由于|2.25－2.2|＝0.05<0.1， 所以原方程的近似正解可取为2.25.
列表如下：
第十三页，共24页。
区间
中点函数近似 中点值
值
(1,1.5)
1.25
－0.3
(1.25,1.5) 1.375 (1.25,1.375) 1.312 5
0.22 －0.05
(1.312
1.343 75
0.08
由于5,|11..33473755)－1.312 5|＝0.0312 5<0.1，
③在二分法的第四步，由|a－b|<ε，便可判断零点近似值．
第十一页，共24页。
2.若本例中的“精确度0.1”改为“精确到0.1”，其它条件不变，则
方程的近似解是什么？
【正解】 令f(x)＝x2－5， 因为f(2.2)＝－0.16<0，f(2.4)＝0.76>0， 所以f(2.2)·f(2.4)<0， 说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0， 取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3， f(2.3)＝0.29， 因为f(2.2)·f(2.3)<0，所以x0∈(2.2,2.3)， 再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25， f(2.25)＝0.062 5， 因为f(2.2)·f(2.25)<0，所以x0∈(2.2,2.25)， 由于|2.25－2.2|＝0.05<0.1， 所以原方程的近似正解可取为2.25.
列表如下：
第十三页，共24页。
区间
中点函数近似 中点值
值
(1,1.5)
1.25
－0.3
(1.25,1.5) 1.375 (1.25,1.375) 1.312 5
0.22 －0.05
(1.312
1.343 75
0.08
由于5,|11..33473755)－1.312 5|＝0.0312 5<0.1，
③在二分法的第四步，由|a－b|<ε，便可判断零点近似值．
第十一页，共24页。
2.若本例中的“精确度0.1”改为“精确到0.1”，其它条件不变，则
方程的近似解是什么？
用二分法求方程的近似解 赵存宇 PPT
作业布置
3. 拓展作业： 除了本节课探究得到的各种方案，还有哪些求 方程近似解的方法呢？搜集资料并整理成小论文.
4.可选作业：
利用Excel、程序设计或其他信息技术实现方程 的一种或多种数值解法.
一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点， 进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
问题 5 ： 回顾用二分法求方程近似解的过程， 用你的话说说在此过程中经历了哪些步骤？
用二分法求零点近似值的一般步骤：
用二分法求零点近似值的一般步骤：
用二分法求零点近似值的一般步骤：
用二分法求零点近似值的一般步骤：
求方程的近似解
赵存宇 北京市第wk.baidu.com十中学
问题 3 ： 缩小区间的运算何时终止？如何保 证方程的近似解与精确解的差的绝对值小于 一个常数，比如0.01？
精确度
y
精确度为0.01表示:
近似解与精确解的差的 绝对值小于0.01
O x* x0 x
1. 利用数轴纸、表格纸和网格纸等材料呈现小组的
实施过程和计算结果.
用二分法求零点近似值的一般步骤：
用二分法求零点近似值的一般步骤：
用二分法求零点近似值的一般步骤：
用二分法求零点近似值的一般步骤：
总结回顾
通过本节课的学习，你有哪些收获和体会？
作业布置
1 .书面作业：第 92 页 习题 3.1 A组1、4
利用二分法求方程的近似解【公开课教学PPT课件】
高中数学北师大版必修1第四章 函数应用
1.2利用二分法求方程的近似解
情景导入
1
2
3
【 三次方程的求根公式 】【 四次方程的求根公式】 【 四次以上求根公式 】
卡尔丹公式
费拉里公式
挪威数学家阿贝尔（Abel) 证明得出结论：
四次以上的方程 不存在求根公式！
新知探究
探究1：
求方程 2x3 3x 3 0
次 数
ab 2
f (a b) 2
初始区间
取a
0
取b
1
区间长度： 1
1 0.5
-1.25
0.5
1
0.5
2 0.75
0.09375 0.5
0.75
0.25
求
3 0.625
-0.03671875 0.625
0.75
0.125
解
4 0.6875 -0.287597656 0.6875
0.75
0.0625
一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点
，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
想一想？
概念的形成
精确度 怎么理解？
| b a |
a b x 零点x0
x x0
周而复始怎么办? 精确度上来判断.
小结
二分法适用条件：
1.在区间（a,b）上是连续函数
1.2利用二分法求方程的近似解
情景导入
1
2
3
【 三次方程的求根公式 】【 四次方程的求根公式】 【 四次以上求根公式 】
卡尔丹公式
费拉里公式
挪威数学家阿贝尔（Abel) 证明得出结论：
四次以上的方程 不存在求根公式！
新知探究
探究1：
求方程 2x3 3x 3 0
次 数
ab 2
f (a b) 2
初始区间
取a
0
取b
1
区间长度： 1
1 0.5
-1.25
0.5
1
0.5
2 0.75
0.09375 0.5
0.75
0.25
求
3 0.625
-0.03671875 0.625
0.75
0.125
解
4 0.6875 -0.287597656 0.6875
0.75
0.0625
一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点
，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
想一想？
概念的形成
精确度 怎么理解？
| b a |
a b x 零点x0
x x0
周而复始怎么办? 精确度上来判断.
小结
二分法适用条件：
1.在区间（a,b）上是连续函数
用二分法求方程的近似解_PPT课件
用二分法求函数变号零点的一般步骤:
1.勘根定理,求出初始区间
2.进行计算,确定下一区间 3.循环进行,达到精确要求
动手实践
求方程lnx+2x-6=0的一个实数解，精确到0. 01.
进一步体会
探求2x+3x=7的近似解,精确到0. 1
例3、借助电子计算器或计算机用二分法求方程
2x 3x 7 的近似解（精确到0.1）
实例体验：
假设，在区间[-1,5]上，f(x)的图像是一条连续 的曲线，且f(-1)>0,f(5)<0即f(-1)f(5)<0，我们 依如下方法可以求得方程f(x)=0的一个解。
取[-1,5]的一个中点2，因为f(2)>0,f(5)<0,即 f(2)f(5)<0,所以在区间[2,5]内有方程的解， 于是再取[2,5]的中点3.5，……y 如果取到某个区间的中点x0, f(x) 恰好使f(x0)=0, 则x0就是 所求的一个解；如果区间 -1 O 1 2 3 4 5 x 中点的函数总不为0，那么， 不断重复上述操作，
利用二分法求方程的近似解
问题1 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房
到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这上一 条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？
方法分析：
算一算：要把故障可能发生的范围缩小到
50～100m左右，即一两根电线杆附近， 要检查多少次？ 7次 定义：每次取中点，将区间一分为二，再经比较， 按需要留下其中一个小区间的方法叫二分法， 也叫对分法，常用于：
1.勘根定理,求出初始区间
2.进行计算,确定下一区间 3.循环进行,达到精确要求
动手实践
求方程lnx+2x-6=0的一个实数解，精确到0. 01.
进一步体会
探求2x+3x=7的近似解,精确到0. 1
例3、借助电子计算器或计算机用二分法求方程
2x 3x 7 的近似解（精确到0.1）
实例体验：
假设，在区间[-1,5]上，f(x)的图像是一条连续 的曲线，且f(-1)>0,f(5)<0即f(-1)f(5)<0，我们 依如下方法可以求得方程f(x)=0的一个解。
取[-1,5]的一个中点2，因为f(2)>0,f(5)<0,即 f(2)f(5)<0,所以在区间[2,5]内有方程的解， 于是再取[2,5]的中点3.5，……y 如果取到某个区间的中点x0, f(x) 恰好使f(x0)=0, 则x0就是 所求的一个解；如果区间 -1 O 1 2 3 4 5 x 中点的函数总不为0，那么， 不断重复上述操作，
利用二分法求方程的近似解
问题1 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房
到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这上一 条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？
方法分析：
算一算：要把故障可能发生的范围缩小到
50～100m左右，即一两根电线杆附近， 要检查多少次？ 7次 定义：每次取中点，将区间一分为二，再经比较， 按需要留下其中一个小区间的方法叫二分法， 也叫对分法，常用于：
利用二分法求方程的近似解ppt课件
0.734375
-0.004768372
0.7421875
0.044219017
0.0078125
区间[0.734375，0.7421875]的区间长度为0.0078125，它小于0.01．而方程的解就在这个区间
内，因此区间内的任意一个数都是满足精确度的近似解，
例如，0.74 就是方程2 3 + 3 − 3 = 0精确度为0.01的一个近似解．
线路发生了故障，这是一条长10 km的线路，如果沿着线路
一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆，
10 km大约有200多根电线杆呢．如何迅速查出故障所在？
故障
故障
要把故障可能发生的范围缩小到50 m左右，即两根电线杆附近，要查多少次？ 8次
02
探索新知
实例分析
我们已经学过一元一次方程、一元二次方程的解法，但是，绝大部分方程没有
选定初始区间
取区间中点
是
初始区间是一个两端点函数值异号的区间；
新区间的一个端点是原区间的中点，另一
中点函数值为0
端点是原区间两端点中的一个，并且新区
否
间两端点的函数值异号．
得到新区间
初始区间选的不同，虽然不影响最终计算
新区间的长度
小于精确度
是
选取区间内的任意一个数
《用二分法求方程的近似解》ppt课件
f(0.5)<0 f(0.75)>0 f(0.625)<0 f(0.6875)>0
1 0.5 0.25 0.125 0.0625
因为 | 0.6875 0.625 | 0.0625 < 0.1 所以,方程的近似解可取为0.625.
y
二分法概念
a
0 b x
数
y f x ,通过不断地把函数 f x 的零点所在的区
§ 3.1.2用二分法 求方程的近似解
思考问题：
请同学们观察下面的两个方程，说一说你会 用什么方法来求解方程.
(1) x 2x 6 0
2
(2) ln x 2 x 6 0
对于方程（1），可以利用一元二次方程的求 根公式求解, 但对于(2)的方程，我们却没有公式 可用来求解.
上节回忆 函数 f ( x) x x 1 在下列哪个区间内 有零点? (C )
用二分法求方程近似解的步骤:
总结提炼
给定精确度 ，用二分法求函数 f ( x) 零点 近似解的步骤如下：
⑴确定区间 [ a, b] , 验证 f (a) f (b) < 0 , 给定精确度 ⑵求区间 ( a, b) 的中点 ⑶计算 f (c) ;
①若 f (c) 0 , 则
；
c
；
c就是函数的零点;
对于在区间 a, b 上连续不断且 f a f b < 0的函
新人教A版高中数学必修一4.5.2《用二分法求方程的近似解》课件
的近似值？这种方法适用于哪些函数？
不断将零点所在区间一分为二，
使得区间的两个端点逐步逼近零点.
理论基础：零点存在定理.
适用条件：某区间上图象连续不断，区间端点函
数值的乘积符号为负.
总结提炼，归纳方法.
问题3：在问题2中，我们用怎样
的方法求函数 f x = lnx + 2x − 6零点
的近似值？这种方法适用于哪些函数？
归纳出二分法的定义：
对于在区间[a，b]上图象连续不断且 f a f (b) < 0
的函数 y = f x ，通过不断地把它的零点所在区间一
分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而
得到零点近似值的方法叫做二分法.
总结提炼，归纳方法.
问题4：根据求函数 f x = lnx + 2x − 6 零点的近
新人教A版 高中数学 必修一
引入问题，探讨方法.
上节课
函数零点
存在定理
函数
单调性
⟹
函数零点个数
⟹
本节课
利用函数研究方程的近似解.
方程实数解的个数
引入问题，探讨方法.
问题1：我们已经知道函数 f x = lnx + 2x − 6在
(2，3) 内存在一个零点，如何求出这个零点？
追问1：你能求出函数 f x = lnx + 2x − 6零点的精
不断将零点所在区间一分为二，
使得区间的两个端点逐步逼近零点.
理论基础：零点存在定理.
适用条件：某区间上图象连续不断，区间端点函
数值的乘积符号为负.
总结提炼，归纳方法.
问题3：在问题2中，我们用怎样
的方法求函数 f x = lnx + 2x − 6零点
的近似值？这种方法适用于哪些函数？
归纳出二分法的定义：
对于在区间[a，b]上图象连续不断且 f a f (b) < 0
的函数 y = f x ，通过不断地把它的零点所在区间一
分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而
得到零点近似值的方法叫做二分法.
总结提炼，归纳方法.
问题4：根据求函数 f x = lnx + 2x − 6 零点的近
新人教A版 高中数学 必修一
引入问题，探讨方法.
上节课
函数零点
存在定理
函数
单调性
⟹
函数零点个数
⟹
本节课
利用函数研究方程的近似解.
方程实数解的个数
引入问题，探讨方法.
问题1：我们已经知道函数 f x = lnx + 2x − 6在
(2，3) 内存在一个零点，如何求出这个零点？
追问1：你能求出函数 f x = lnx + 2x − 6零点的精
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提出问题：
1.能否求解以下几个方程 (1) 2x=4-x (2) x2-2x-1=0(不用公式解) (3) x3+3x-1=0
2.能否求出它们的近似解？
3.什么方法？ y
4
y=4-x 4
y=2x
1
0 12
x
4.能否找到其它的方法，使解更精确？
探究解法
（ 1 ）不解方程，如何求方程 x2-2x-1=0 的一个正的近似解（精确到0.1）? 方法：引出借助函数 f(x)= x2-2x-1 的图 象，能够缩小根所在的区间，并根据 f(2)<0,f(3)>0 ，可得出根所在区间为 y (2,3). y=x2-2x-1 指出：用配方法求得方 程的解，但此法不能运 用于解另外两个方程。
x
-1 0 1 2 3
方法探究
如何求方程 x2-2x-1=0 的一个正的近似解 . （精确到0.1）
2 2
+
-
+
2.5
3 3
f(2)<0，f(3)>0
f(2)<0，f(2.5)>0 f(2.25)<0，f(2.5)>0
2<x1<3
2<x1<2.5 2.25<x1<2.5 2.375<x1<2.5
2.375<x1<2.4375
自行探究
利用计算器，求方程 lgx=3 - x的近似解.（精确到0.1） 解：画出y=lg x及y=3 -x的图象，观察图象得，方程lgx=3 - x 有唯一解，记为x，且这个解在区间（2，3）内。 设 f (x)=lgx+x -3
根所在区间
区间端点函数值符号
中ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ值
中点函数值 符号 f(2.5)<0 f(2.75)>0 f(2.625)>0 f(2.5625)<0
解：令f(x)=x3+3x-1, 有f(0)<0,f(1)>0,则方程的解在 0,1之间。
根所在区间 区间端点函数值符号 中点值 中点函数值符 号 f(0.5)>0 f(0.25)<0 f(0.375)>0 f(0.3125)<0
（ 0， 1） （0，0.5） （0.25，0.5） （0.25，0.375） （0.25，0.3125）
方法分析：
算一算：要把故障可能发生的范围缩小到
50～100m左右，即一两根电线杆附近， 要检查多少次？ 7次 定义：每次取中点，将区间一分为二，再经比较， 按需要留下其中一个小区间的方法叫二分法， 也叫对分法，常用于： 查找线路电线、水管、气管等管道线路故障 实验设计、资料查询； 是方程求根的常用方法！
因为2.5625，2.625精确到0.1的近似值都为2.6，所以原方程的 近似解为x1≈2.6 .
例题处理
• 求函数 3）内的零点.
在区间（2，
• 列表：
解答方式
f(a) f(b) 负 正 负 正 负 正 负 正 负 正 负 正 负 正 负 正 f(x1 ) -0.084 0.512 0.215 0.066 -0.009 0.029 0.010
2、不断二分解所在的区间
若
（1）若 ，由 由 ， ，则 ，则 ， 则
（2）若
（3）若
对(1)、(2)两种情形再继续二分解所在的区间.
3、根据精确度得出近似解
当 ，且m, n根据精确度得到的近似值均为同
一个值P时，则x1≈P ，即求得近似解。
练习：
求方程x3+3x-1=0的一个近似解。(精确到0.1) 画y=x3+3x-1的图象比较困难， 变形为x3=1-3x，画两个函数的图象如何？
（ 2， 3） （2.5，3） （2.5，2.75） （2.5，2.625）
f(2)<0，f(3)>0 f(2.5)<0，f(3)>0 f(2.5)<0，f(2.75)>0 f(2.5)<0，f(2.625)>0
2.5 2.75 2.625 2.5625
（2.5625，2.625） f(2.5625)<0，f(2.625)>0
f(0)<0，f(1)>0 f(0)<0，f(0.5)>0 f(0.25)<0，f(0.5)>0 f(0.25)<0，f(0.375)>0
0.5 0.25 0.375 0.3125
课堂小结
1.引导学生回顾二分法，明确它是一种求一 元方程近似解的通法。 2.揭示算法定义，了解算法特点。 算法：如果一种计算方法对某一类问（不是 个别问题）都有效，计算可以一步一步地 进行，每一步都能得到惟一的结果，我们 常把这一类问题的求解过程叫做解决这一 类问题的一种算法。
归纳总结
用二分法求方程 f(x)=0（或g(x)=h(x)）近似解的基本步骤: 1、寻找解所在区间
（1）图象法
先画出y= f(x)图象，观察图象与x轴的交点横坐标所处的范围； 或画出y=g(x)和y=h(x)的图象，观察两图象的交点横坐标的 范围。 （2）函数法 把方程均转换为 f(x)=0的形式，再利用函数y=f(x)的有关性质 （如单调性）来判断解所在的区间。
+
2.5 3
3 3
2
2 2
2.25
- +
2.375 2.5
f(2.375)<0，f(2.5)>0
f(2.375)<0，f(2.4375)>0
- +
2.375 2.475
（2）能否简述上述求方程近似解的过程? （3）二分法（bisection method）：象上面这种求方程 近似解的方法称为二分法，它是求一元方程近似解的常用 方法。 定义如下： 对于区间[a,b]上连续不断、且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过 不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的 两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做 二分法（bisection）
请你思考
从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点 发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般 至少需要检查接点的个数为 个。
上海A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M N
O旧金山
问题2 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房
到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这上一 条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？
（a，b) 中点x1 (2 , 3) 2.5 (2.5,3) 2.75 (2.5,2.75) 2.625 (2.5,2.625) 2.5625 (2.5,2.5625) 2.53125 (2.53125,2.5625) 2.546875 (2.53125,2.546875) 2.5390625 (2.53125,2.5390625)