直线与圆的位置关系,切线及三角形内切圆

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人教版初中九年级上册数学课件《直线和圆的位置关系》圆(第3课时切线长定理和三角形的内切圆)

A．60° C．30°或 120°
B．120° D．60°或 120°
11
9．【四川泸州中考】如图，等腰△ABC 的内切圆⊙O 与 AB、BC、CA 分别相切于点 D、E、F，且 AB＝AC＝5，BC＝6，则 DE 的长是( D )
A．31010 C．355
B．3
10 5
D．655
12
10．如图，矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝3，连接 AC，⊙P 和⊙Q 分别是△ABC 和△ADC 的内切圆，则 PQ 的长是( B )
15
13．如图，在△ABC 中，内切圆 I 和边 BC、CA、AB 分别相切于点 D、E、F，若∠A＝70°，则∠FDE 的度数为____5_5__°___.
16
14．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、 AB分别相切于点D、E、F，且AB＝9cm，BC ＝14cm，CA＝13cm，求AF、BD、CE的长．
第二十四章圆
直线和圆的位置关系
第3课时切线长定理和三角形的内切圆
以练助学
名师点睛
知识点1 切线长和切线长定理经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．核心提示：(1)从圆外任意一点都可以引圆的两条切线，过圆上一点只能引圆的一条切
2
线．(2)切线长定理主要用于证明线段相等、角
知识点2 三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心，这个三角形叫做这个圆的外切三角形．【典例】如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是点A、B，直线EF也是⊙O的切线，切点为点Q，分别交PA、PB于点F、E.已知PA＝12cm，求△PEF的周长．

九年级数学(BS)下3.6 第2课时切线的判定及三角形的内切圆

内心：三角形内切圆的圆心
B
合作探究例3 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm， BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长.
想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？解: 设AF=xcm，则AE=xcm. ∴CE=CD=AC-AE=9-x(cm)， BF=BD=AB-AF=13-x(cm). 由 BD+CD=BC，可得 (13-x)+(9-x)=14，解得 x=4. ∴ AF=4(cm)，BD=9(cm)，CE=5(cm). E O A F
C
N
O
M
B
D
⊙O就是所求的圆.
概念学习
1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.
3.三角形的内心到三角形的三边的距离相等. 4.三角形的内心就是三角形的三个内角角平分线的交点. D A
F
O ┐ E
B
C
⊙O是△ABC的内切圆，点 O是△ABC的内心，△ABC 是⊙O的外切三角形.
l
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离
等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
d
r
l
O
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
A
l
典例精析
例1 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB， CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线. 分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可. 证明：连接OC(如图). ∵ OA＝OB,CA＝CB, ∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线. ∴ AB⊥OC. ∵ OC是⊙O的半径, ∴ AB是⊙O的切线.

14第十四讲：直线与圆的位置关系、三角形内切圆

第十四讲直线与圆的位置关系、三角形的内切圆知识点一、直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体如下：（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.（2）相切：直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线.这个公共点叫做切点.（3）相离：直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么：直线l与⊙O相交⇔d<r；直线l与⊙O相切⇔d=r；直线l与⊙O相离⇔d>r.知识点二、切线的判定和性质（1）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的判定方法有三种：①直线与圆有唯一公共点；②直线到圆心的距离等于该圆的半径；③切线的判定定理．常见解题方法：①有交点，连半径，证垂直②无交点，作垂直，证半径（2）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

如右图中,OD垂直于切线.知识点三、切线长定理（1）切线长：切线上一点到切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.（2）切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.如图中：圆外一点P与圆O相切与D，E两点，所以有PD=PE，可以通过连接OP来证明.CABD知识点四、三角形的内切圆（1）定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.（2）性质：1、三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，它到三边的距离相等.2、连接内心和三角形的顶点平分三角形的这个内角.题型一、直线与圆的位置关系例1、若⊙O 半径是2，点A 在直线l 上，且OA=2，则直线l 与⊙O 的位置关系是（） A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．相切或相交例2、已知同一平面内有⊙O 和点A 与点B ，如果O 的半径为3cm ，线段OA ＝5cm ，线段OB ＝3cm ，那么直线AB 与⊙O 的位置关系为（） A ．相离 B ．相交 C ．相切 D ．相交或相切例3、如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=8cm ，BC=6cm.若要以B 为圆心，r 为半径画圆B ，请根据下列条件,求半径r 的值或取值范围：（1）直线AC 与圆B 相离；（2）直线AC 与圆B 相切；（3）直线AC 与圆B 相交.BCA知识点二、切线的判定例1、如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ：（1）求证：BC 是△ADC 的外接圆的切线；（2）△BDC 的外接圆的切线是哪一条？为什么？（3）若AC=5，BC=12，以C 为圆心作圆C ，使圆C 与AB 相切，则圆C 的半径是多少？例2、如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，∠CAD ＝∠ABC,判断直线AD 与⊙O 的位置关系,并说明理由.例3、如图，已知：O 为∠BAC 平分线上一点，OD ⊥AB 于D ，以O 为圆心，OD 为半径作⊙O. 求证：⊙O 与AC 相切。

《直线和圆的位置关系》教学设计

《直线和圆的位置关系》教学设计【课标分析】理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系：了解切线的概念。

【教材分析】这部分内容包括直线和圆的三种关系，探索圆的切线的性质，探索圆的切线的判定方法，以及作三角形内切圆的方法。

探索并证明切线长定理，并运用切线长定理进行有关的论证和计算。

本节课主要研究直线和圆的三种位置关系。

【学生分析】首先让学生感受生活中反映直线与圆位置关系的现象，然后让学生动手操作，在这一过程中引导学生归纳出直线与圆的几种位置关系，进一步归纳出直线与圆的不同位置关系中d与r的大小关系，然后对d=r的情形特别关注，这就是圆和直线的相切关系，从而讨论得出切线的性质，再通过旋转实验的办法探索切线的判定条件。

在此基础上能做出三角形的内切圆。

在教学中主要让学生探索归纳，当遇到困难时教师给予适当指导，这样可以充分发挥学生的主观能动性，还能增进同学们的友谊，培养学生的合作能力。

【教学过程】教学流程教师活动设计设计目的学生活动设计二次备课一、导入新课（2分钟）我们在前面学过点和圆的位置关系，请大家回忆它们的位置关系有哪些?(1)点在圆外d＞r；(2)点在圆上d= r；(3)点在圆内d＜r。

直线与圆的位置关系有哪些情况呢？本节课我们类比着来学习。

（板书课题:《直线和圆的位置关系》）复习引入为本节课的学习打好基础学生思考并回答问题让学生举出生活中的实例，有助于学生对于三种位置关系的理解。

位置关系转化为数量关系。

从自己的生活体验中举出满足条件的实例。

类比点和圆的位置归纳直线和圆的公共点的个数有三种情况：两个，一个，没有直线和圆有三种位置关系，如下图：它们分别是相交、相切、相离．(1)当直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．(2)当直线和圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线．这个唯一的公共点叫做切点.(3) 当直线与圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．议一议：你能举出生活中直线与圆相交、相切、相离的实例吗?举例：如（1）把一只筷子放在碗上，把碗看作圆，筷子看作直线，这时直线与圆相交；（2）自行车的轮胎在地面上滚动，车轮为圆，地平线为直线，这时直线与圆相切；（3）杂技团中骑自行车走钢丝中的自行车车轮为圆，地平线为直线，这时直线与圆相离．等等。

直线和圆的位置关系知识全解

《直线与圆的位置关系》知识全解课标要求了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线.知识结构在本小节主要研究直线和圆的不同位置关系以及切线的判定和性质，切线长定理等，其中切线的判定和性质是本节的重点内容.其中直线与圆的位置关系与前一节点与圆的位置关系有类似的地方，还是要抓住“数量”与“位置”之间的对应关系.本节先介绍切线的判定，再学习切线的性质，掌握切线的判定方法是一个基础知识点，我们往往是先判定一条直线是圆的切线，然后再利用圆的切线的性质得出新的结论.切线长定理也是圆中一个重要的定理，它是进行证明或计算的一个重要依据，在切线长定理的基础上，学习三角形的内切圆，引出三角形的内心，内心与外心的性质要避免概念的混淆.内容解析直线与圆的位置关系：相切、相交、相离，位置关系决定圆心到直线的距离；反过来，圆心到直线的距离也决定直线与圆的位置关系.同样具备一种等价关系：相交⇔d＜r；相切⇔d=r；相离⇔d＞r.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.这个定理的题设是：（1）经过半径外端；（2）垂直于这条半径.这两个条件缺一不可，证明“垂直”是判定切线的一个重要途径.切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径.运用切线的判定定理与性质定理时，往往需要添加辅助线.有以下几种情况：（1）当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常常是连接圆心和切点，得到半径，则半径垂直于切线.（2）当要证明某直线是圆的切线时，如果已知直线过圆上一点，则作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径；如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径.一般地，判定切线有三种方法：（1）和圆有一个公共点的直线是圆的切线；（2）和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.切线的性质有三个：（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于半径；（3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心且垂直于切线的直线；（5）过切点垂直于切线的直线必过圆心.切线长定理的证明用到圆的轴对称性，这个定理为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，它也是本节的一个重点内容.重点难点重点：直线与圆的关系，切线的判定与性质，切线长定理.难点：切线的判定与性质的运用.教法导引本节内容较多，要循序渐进，多举例，多练习.学法建议对各个知识点要梳理清楚，有条理地把握，通过对比区别易混淆的知识，加强练习.。

第6章第24讲直线与圆的位置关系

切线长定理是在圆中证明线段相等和角相等的重要依据之一，常与等腰三角形和直角三角形相结合考查几何的计算与证明．
切线的判定方法： 1．经过半径的________并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 2．到圆心的距离________半径的直线是圆的切线．
连结 OC，∵F︵C＝B︵C，∴∠FAC＝∠BAC，∵OA＝OC，∴ ∠OAC＝∠OCA，∴∠FAC＝∠OCA，∴OC∥AF，∵CD⊥AF， ∴OC⊥CD，∴CD 是⊙O 的切线 (2)连结 BC，∵AB 为直径，∴ ∠ACB＝90°，∵A︵F＝F︵C＝C︵B，∴∠BOC＝13×180°＝60°，∴
三角形的内切圆
C
与三角形三边都相切的圆叫做三角形的________，圆心叫做三角形的 ________，是三角形________的交点．三角形的内心到三边的距离 ________．
2．如图，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC， BC分别交于E，F，则( C )
A．EF＞AE＋BF B．EF＜AE＋BF C．EF＝AE＋BF D．EF≤AE＋BF
(2)如果AB＝12，BC＝8，求圆心O到BC的距离．
已知圆的切线，一般连结圆心和切点构造切线与半径垂直或直角三角形，运用直角三角形的性质进行有关证明和计算.
切线的判定
1．(2014·毕节)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以 AC为直径作⊙O交AB于点D，连结CD. (1)求证：∠A＝∠BCD； (2)若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线 DM与⊙O相切？并说明理由．
( C)
A．20°
B．25°
C．40°
D．50°
3．(2012·金华、丽水)如图，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O于点C，连结BD. (1)求证：BD平分∠ABH；

考点20 与圆有关的位置关系及计算(精讲)(解析版)

考点20.与圆有关的位置关系及计算（精讲）【命题趋势】与圆相关的位置关系也是各地中考数学中的必考考点之一，主要内容包括点、直线与圆的位置关系、切线的性质和判定、三角形的内切圆和外接圆三块，在解答题中想必还会考查切线的性质和判定，和直角三角形结合的求线段长的问题和三角函数结合的求角度的问题等知识点综合，考查形式多样，多以动点、动图的形式给出，难度较大。

关键是掌握基础知识、基本方法，力争拿到全分。

【知识清单】1：点、直线与圆的位置关系类（☆☆）1）点和圆的位置关系：已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则：图1图2(1)d<r⇔点在⊙O内，如图1；(2)d=r⇔点在⊙O上，如图2；(3)d>r⇔点在⊙O外，如图3．解题技巧：掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系。

2）直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下：图1图2图3(1)d>r⇔相离，如图1；(2)d=r⇔相切，如图2；(3)d<r⇔相交，如图3。

2：切线的性质与判定（☆☆☆）1）切线的性质：（1）切线与圆只有一个公共点；（2）切线到圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于经过切点的半径。

解题技巧：利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题。

2）切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）；（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线（数量关系法）；（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（判定定理法）。

切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径。

3）切线长定理定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

2.5直线与圆的位置关系内切圆课件

A
2 1
I
3
B
4 5
D
E
C
练习：
1、如图，已知 ABC内心为O,且 BOC=110, 40°. 则 A=
2、已知三角形ABC的外心为O，且∠BOC=110°则 55或125 ∠A=____ __度。 3、三角形ABC中， ∠A= 50°,I是三角形的内心， 115° O是三角形的外心，则∠ BIC=______ ∠ BOC=________ 100°
思考:我们所学的平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形中，哪些四边形一定有内切圆？
(菱形，正方形一定有内切圆)
2.5 直线与圆的位置关系（3）
例1
典型例题
如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D
E、F，∠B＝60°，∠C＝70°，
求∠EDF的度数．拓展：∠A与∠EDF有什么关系？
变式：若G点是圆上任意点（不与E,F重合）求∠EGF度数变式：连接BO,CO,求∠BOC度数变式：（1）若∠A=80 °,则∠BOC= （2）若∠BOC=100 °，则∠A= 度。度。
试探讨∠BOC与∠A之间存在怎样的数量关系？请说明理由．
变式：如图，从⊙O外一点P作⊙O的两条切线，分别切⊙O于A，B，在AB 上任取一点C 作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E
连结OD，OE，若∠P=400，则∠DOE=_____; 若∠P=n° ,则∠DOE=_______ 连结OA，OB，若∠P=400，则∠AOB=_____; D P C E
D
C
三角形内切圆的圆心叫三角形的内心
①三角形的内心是三角形角平分线的交点 ②三角形的内心到三边的距离相等 ③三角形的内心一定在三角形的内部
三角形内心的性质

直线与圆的位置关系(复习)

直线与圆的位置关系（复习）张家坡镇中学杨艳霞王增成宋光智学习目标：1、掌握直线和圆的位置关系，并会判定直线和圆的位置关系；2、会运用切线的判定定理、性质定理、切线长定理进行计算和证明，理解三角形的内心；3、经历探究的过程，感受数形结合、类比、化归、分类讨论等数学思想在数学问题中的重要作用；通过题目变式练习，培养发散思维能力和综合运用能力。

学习重难点：重点：切线的判定定理、性质定理难点：灵活运用相关定理进行计算和证明学习过程：一、情景引入整体感知 1.欣赏视频：海上日出看完视频后你能回想起直线和圆有哪几种位置关系？ 2.3.(一）直线与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系的方法：①_________________；②_________________ （二）切线的判定与性质 1.切线的判定：①________________________________________是圆的切线；②________________________________________________是圆的切线；③判定定理：经过半径的_______并且________这条半径的直线是圆的切线。

2.切线的性质：①圆的切线_______________________________________________； ②圆的切线_______________________________________________； ③性质定理：圆的切线__________过_______的半径。

3.定理的应用： 4.证明切线的两种思路：①已知公共点，连 __；证_________；②不知公共点，作 __；证_________。

（三）切线长定理与三角形的内切圆： 1.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长__，这一点和圆心的连线 __ _两条切线的夹角。

2.定理的应用：3.三角形的内切圆：与三角形各边都_______的圆叫三角形的内切圆；它的圆心是三角形的_____心；三角形的内心是_______的交点，到_______的距离相等。

九年级直线与圆的位置关系

【例题解析】1. 已知⊙O 的半径为5，圆心O 到直线l 的距离为3，则反映直线l 与⊙O 的位置关系的图形是（）A ．B ．C ．D ．2．已知⊙O 的半径为2，直线l 上有一点P 满足PO=2，则直线l 与⊙O 的位置关系是（） A ．相切 B ．相离 C ．相离或相切 D ．相切或相交第3题第4题第5题3. 如图，已知线段OA 交⊙O 于点B ，且OB=AB ，点P 是⊙O 上的一个动点，那么∠OAP 的最大值（）A ．30° B．45° C．60° D．90°4. 如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连接BC ，若∠ABC=120°，OC=3，则BC 的长为（）A.33B.6C.23D.365. 如图，AB 是⊙0的弦，BC 与⊙0相切于点B ，连接OA 、OB ．若∠ABC=70°，则∠A 等于（）A ．15°B ．20° C．30° D．70° 6.如图，AB 是⊙O 的直径，弦AC 与AB 成300的角，AC=CD 。

（1）求证：CD 是⊙O 的切线（2）若OA=2，求AC 的长。

【对应练习】1. 在△ABC 中，已知∠C=90°，BC=3，AC=4，则它的内切圆半径是（） A ．23 B ．1 C ．2 D ．32 2. 如图，在△ABC 中，已知∠C=90°，BC=5，AC=12，则它的内切圆周长是（） A ．5π B．4π C．2π D．π第1题第2题3、如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，点A ，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠ACB=70°．求∠P 的度数．4.如图，在△ABC 中，AB=AC ，内切圆O 与边BC 、AC 、AB 分别切与点D 、E 、F 。

（1）求证：BF=CE(2)若∠C=300，CE=23，求AC5、已知：如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若∠CAB=120°，AB=2，求BC的值．知识点三、求概率的方法：（一）用列举法求概率（列表法、画树形图法）当试验包含两步时,列表法比较方便,当然,此时也可以用树形图法,当试验在三步或三步以上时,用树形图法方便.１．一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的5个红球和3个黄球，从中随机摸出一个，则摸到黄球的概率是( )买该种地板砖__________块．3．据统计，英文著作中字母Ｅ使用的频率大约在0.105附近，而字母Ｊ使用的频率大约为0.001，那么一篇幅约300000字母的英文文章，大约有字母E和J各多少个?4. 小明和小亮用如下的同一个转盘进行“配紫色”游戏．游戏规则如下：连续转动两次转盘，如果两次转盘转出的颜色相同或配成紫色（若其中一次转盘转出蓝色，另一次转出红色，则可配成紫色），则小明得1分，否则小亮得1分．你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由；若不公平，请你修改规则使游戏对双方公平．4题图六、本课小结1、圆的切线的性质2、树状图求概率七、课堂小测1．如图，AB为⊙O直径，BD切⊙O于B点，弦AC的延长线与BD交于D•点，•若AB=10，AC=8，则DC长为________．2．如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 为⊙O 的切线，A 、B 为切点，弦AB 与PO 交于C ，⊙O 半径为1，PO=2，则PA_______，PB=________，PC=_______AC=______，BC=______∠AOB=________．3．如图，PA 、PB 分别切圆O 于A 、B ，并与圆O 的切线，分别相交于C 、D ，•已知PA=7cm ，则△PCD 的周长等于_________．4. 袋中放着型号、大小相同的红、白、黑三种颜色的衣服各一件，小明随意从袋中取出一件衣服，则取出白色衣服的概率是．5. 在等边三角形、正方形、等腰梯形、正五边形、矩形、正六边形中，任取其中一个图形，恰好既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率为__________.6．一个袋子中装有6个球，其中4个黑球2个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．搅匀后，在看不到球的条件下，随机从这个袋子中摸出一个球为白球的概率是．7、随机掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则这个骰子向上的一面点数是奇数的概率为．八、作业布置1．下列说法正确的是（）A ．与圆有公共点的直线是圆的切线．BA CPO B A C DPO。

直线与圆的位置关系及切线的判定与性质(知识解读+真题演练+课后巩固)(原卷版)

第05讲直线与圆的位置关系及切线的判定与性质1. 了解直线与圆的三种位置关系；2. 了解圆的切线的概念；3. 掌握直线与圆位置关系的性质。

知识点1 直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点；知识点2 切线的性质与判定定理1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端∴MN 是⊙O 的切线2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

知识点3 切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB =；PO 平分BPA ∠知识点4 三角形的内切圆和内心1、三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

2、三角形的内心三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。

注意：内切圆及有关计算。

（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。

（2）△ABC 中，∠C=90°，AC=b ，BC=a ，AB=c ，则内切圆的半径r=2c b a -+ 。

（3）S △ABC =)(21c b a r ++，其中a ，b ，c 是边长，r 是内切圆的半径。

（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。

如图，BC 切⊙O 于点B ，AB 为弦，∠ABC 叫弦切角，∠ABC=∠D 。

C【题型1 直线与圆的位置关系的判定】【典例1】（2023•滨江区二模）已知⊙O 的直径为4，圆心O 到直线l 的距离为2，则直线l 与⊙O （）A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定【变式1-1】（2022秋•江汉区校级期末）已知⊙O 半径为4cm ，若直线上一点P 与圆心O 距离为4cm ，那么直线与圆的位置关系是（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定【变式1-2】（2022秋•洪山区校级期末）圆的半径是6.5cm ，如果圆心与直线上某一点的距离是6.5cm ，那么该直线和圆的位置关系是（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．相交或相切P BAO B O A D【变式1-3】（2022秋•江夏区校级期末）已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为4，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（）A．0B．1C．2D．无法确定【题型2利用切线的性质求有关的角度/边长的运算】【典例2】（2023•西湖区校级二模）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O 上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为2，则BD 的长为（）A．2B．4C．D．【变式2-1】（2023•西湖区校级二模）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O 上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为2，则BD 的长为（）A．2B．4C．D．【变式2-2】（2023•九龙坡区模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C＝30°，OA＝2，则BD的长为（）A．2B．2C．3D．3【变式2-3】（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，在△ABC中，∠A＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，，则线段AB的长是（）A．B．C．3D．6【典例3】（2023•鹿城区校级模拟）如图，在△ABC中，D是AC上一点，以AD为直径的半圆O恰好切CB于点B．连接BD，若∠CBD＝21°，则∠C 的度数为（）A．42°B．45°C．46°D．48°【变式3-1】（2023•重庆）如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD＝50°，则∠BAC的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°【变式3-2】（2023•浙江二模）如图，AC与⊙O相切于点A，B为⊙O上一点，BC经过圆心O，若∠B＝25°，则∠C的大小等于（）A．20°B．40°C．25°D．50°【变式3-3】（2023•泰安三模）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠E＝40°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠CDB等于（）A．25°B．30°C．35°D．40°【题型3切线的判定】【典例4】（2023•东莞市校级模拟）如图，∠AOB＝60°，以OB为半径的⊙O 交OA于点C，且OC＝CA，求证：AB是⊙O的切线．【变式4-1】（新疆期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°以AB为直径的⊙O与BC相交于点E．在AC上取一点D，使得DE＝AD．求证：DE是⊙O的切线．【变式4-2】（昭通期末）如图，AD，BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD＝2AD ＝8，点C是BD的延长线上的一点，CD＝2，求证：AC是⊙O的切线．【变式4-3】（大名县期末）如图，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，∠BAF的平分线AE交⊙O于点E，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D，延长DE、AB相交于点C．求证：CD是⊙O的切线．【题型4 切线的性质与判定的综合运用】【典例5】（2023•牧野区校级三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O 的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）已知AE＝4cm，CD＝6cm，求⊙O的半径．【变式5-1】（2023•广西）如图，PO平分∠APD，P A与⊙O相切于点A，延长AO交PD于点C，过点O作OB⊥PD，垂足为B．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为4，OC＝5，求P A的长．【变式5-2】（2023•金寨县校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD＝CB，AC，BD相交于点E，过点C作CF∥BD，CF与AB的延长线相交于点F，连接AD．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝6，求AD的长．【变式5-3】（2023•德庆县二模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在边AC上，以点O为圆心，OC为半径的圆交边AC于点D，交边AB于点E，且BC＝BE．（1）求证：AB是⊙O的切线．（2）若AE＝24，BE＝15，求⊙O的半径．【题型5 利用切线长定理的性质求线段长度或周长】【典例6】（2022秋•金东区期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE为⊙O的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是（）A．7B．8C．9D．16【变式6-1】（2022秋•凤台县期末）如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（）A．12cm B．7cmC．6cm D．随直线MN的变化而变化【变式6-2】（2022秋•林州市期中）如图，P A，PB分别切⊙O于点A，B，CD 切⊙O于点E，且分别交P A，PB于点C，D，若P A＝6，则△PCD的周长为（）A．5B．7C．12D．10【变式6-3】2022秋•潮州期末）如图，P为⊙O外一点，P A、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交P A、PB于点C、D，若P A＝8，则△PCD 的周长为（）A．8B．12C．16D．20【题型6 三角形的内切圆与内心】【典例7-1】（2023•炎陵县模拟）如图，已知圆O是△ABC的内切圆，且∠A ＝70°，则∠BOC的度数是（）A．140°B．135°C．125°D．110°【典例7-2】（2023•泗阳县一模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是“今有直角三角形，勾（短直角边）长为八步，股（长直角边）长为十五步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径长是（）A．3步B．5步C．6步D．8步【变式7-1】（2023•娄底一模）如图，△ABC的内切圆圆O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，若∠DEF＝53°，则∠A的度数是（）A．36°B．53°C．74°D．128°【变式7-2】（2022秋•丰宁县校级期末）如图，△ABC，AC＝3，BC＝4，∠C ＝90°，⊙O为△ABC的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，则⊙O的面积为（）（结果保留π）A．πB．2πC．3πD．4π【变式7-3】（2022秋•南开区校级期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠A＝90°，BC＝10，CA＝8，则⊙O的半径是（）A．1B．C．2D．21．（2023•眉山）如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连结CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（）A．25°B．35°C．40°D．45°2．（2023•重庆）如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD＝50°，则∠BAC的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°3．（2022•河池）如图，AB是⊙O的直径，P A与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长线交P A于点P，则∠P的度数是（）A．25°B．35°C．40°D．50°4．（2023•滨州）如图，P A，PB分别与⊙O相切于A，B两点，且∠APB＝56°，若点C是⊙O上异于点A，B的一点，则∠ACB的大小为．5．（2023•岳阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时，r的值为．6．（2023•浙江）如图，点A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，点D在上．已知∠A＝50°，则∠D的度数是．7．（2023•金华）如图，点A在第一象限内，⊙A与x轴相切于点B，与y轴相交于点C，D，连结AB，过点A作AH⊥CD于点H．（1）求证：四边形ABOH为矩形．（2）已知⊙A的半径为4，OB＝，求弦CD的长．8．（2022•宁夏）如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）求证：AB＝AM；（3）若ME＝1，∠F＝30°，求BF的长．9．（2022•郴州）如图，在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径的⊙O与线段BC 交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P．（1）求证：直线PE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为6，∠P＝30°，求CE的长．1．（2022秋•江夏区校级期末）已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为4，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（）A．0B．1C．2D．无法确定2．（2022秋•广阳区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A 为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（）A．点B在⊙A内B．直线BC与⊙A相离C．点C在⊙A上D．直线BC与⊙A相切3．（2023•绿园区校级模拟）将一个含有30°的直角三角板按如图所示的位置摆放，一个顶点O与⊙O的圆心重合，一条直角边AB与⊙O相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，使点O′落在⊙O上，边A′B交线段AO于点C．则∠OCB为（）A．60°B．65°C．85°D．90°4．（2023•船营区一模）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，若AC＝PC，则∠P的度数是（）A．15°B．20°C．30°D．45°5．（2023•越秀区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC ＝8，则△ABC的内切圆的半径r是（）A．2B．3C．4D．无法判断6．（2022秋•聊城期末）如图，△ABC中，∠A＝80°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为（）A．100°B．160°C．80°D．130°7．（2023•婺城区模拟）如图，△ABC是一张周长为18cm的三角形纸片，BC ＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（）A．13cm B．8cmC．6.5cm D．随直线MN的变化而变化8．（2022秋•南沙区校级期末）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝8，CD＝15，则四边形ABCD的周长为．9．（2022•南安市一模）如图，P A、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，若∠APB＝60°，PO＝2，则⊙O的半径等于．10．（2022秋•越秀区校级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为AC延长线上一点，且∠CDE＝∠BAC．求证：DE是⊙O的切线．11．（2022秋•魏都区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC边于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．求证：EF是⊙O的切线．12．（2022•东明县一模）已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E，在AC上取一点D，使得DE＝AD，（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）当BC＝10，AD＝4时，求⊙O的半径．13．（2023•零陵区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E在AC边上，BE平分∠ABC，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AD＝2，AE＝4，求⊙O的半径长．14．（2023•新抚区模拟）如图，AC为⊙O的直径，CB是⊙O的切线，CB＞AC，D为AB的中点，E在BC上，CE＜BE，连接DE，DE＝BC．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）若CE＝2，EB＝8，求⊙O的半径．。

圆(二)-----圆周角、直线与圆的位置、切线

圆（二）-----圆周角、直线与圆的位置、切线一、知识点1、圆周角定理2、不在同一直线上的点确定一个圆。

通过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心为三角形的，这个三角形叫圆的内接三角形．只要三角形确定，那么它的外心和外接圆半径也随之确定了．3、理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系。

4、圆的切线的判定方法。

5作三角形内切圆的方法：做三角形三条，交点就是内切圆的圆心，也叫做三角形的。

二、例题讲解1、如图，已知圆心角∠AOB=100°，求圆周角∠ACB、∠ADB的度数？2、如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O 于D，求BC、AD和BD的长．3、如图所示，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4cm．（1）求证：AC⊥OD；（2）求OD的长；（3）若2sinA－1=0，求⊙O的直径．4、下面四个命题中真命题的个数是（）①经过三点一定可以做圆；②任意一个三角形一定有一个外接圆，而且只有一个外接圆；③任意一个圆一定有一个内接三角形，而且只有一个内接三角形；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．A．4个B．3个C．2个D．1个5、在△ABC中，BC=24cm，外心O到BC的距离为6cm，求△ABC的外接圆半径．6、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何位置关系？（1）r=2cm；（2）r=2．4cm（3）r=3cm．7、如图，已知⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O的切线BC，连结CO．若AD∥OC交⊙O 于D．求证：CD是⊙O的切线．三、课内练习（一）、填空题1．经过平面上一点可以画个圆；经过平面上两点A 、B 可以作个圆，这些圆的圆心在．2．经过平面上不在同一直线上的三点可以作个圆．3．锐角三角形的外心在；直角三角形的外心在；钝角三角形的外心在．4．如图4，AB 是⊙O 的直径，∠AOD 是圆心角，∠BCD 是圆周角．若∠BCD=25°，则∠AOD=．5．如图5，⊙O 直径MN ⊥AB 于P ，∠BMN=30°，则∠AON=．6．如图6，AB 是⊙O 的直径，⌒BC =⌒BD ，∠A=25°，则∠BOD= ．7．当直线和圆有惟一公共点时，直线和圆的位置关系是，圆心到直线的距离d 与圆的半径r 之间的关系为．8．⊙O 是△ABC 的内切圆，∠ACB=900，∠BOC=1050，BC=20cm ，则AC= 9．已知圆的直径为13cm ，圆心到直线ι的距离为6cm ，那么直线ι和这个圆的公共点的个数是．10．圆的一条弦与直径相交成300角，且分直径长1cm 和5cm 两段，则这条弦的弦心距为_______ ，弦长_______ 。

直线与圆的位置关系圆的切线教材分析及教学建议.doc

《直线与圆的位置关系+圆的切线》教材分析及教学建议北京市顺义区杨镇第二中学教师张臣一、学习目标1. 知识与技能：直线与圆的位置关系。

了解直线和圆相交、相切、相离的概念。

能够根据这三种关系写出圆心到直线的距离与半径之间的数量关系；反过来能够由圆心到直线的距离与半径之间的数量关系，判定直线和圆的位置关系。

了解反证法的整体思路。

了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，并能运用这些知识进行论证、计算和简单作图。

会过圆上一点画圆的切线。

了解切线长的概念和切线长定理。

会根据切线长的知识解决简单的问题；能利用直线与圆的位置关系解决简单问题。

能解决与切线有关的问题。

了解三角形的内心、内切圆、圆的外切三角形的概念。

直线与圆的位置关系。

2. 过程与方法：探索直线与圆相交、相切、相离的概念。

探索切线与过切点半径之间的位置关系。

3•情感态度价值观：积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲。

体验成功的快乐，锻炼克服困难的意志，建立自信心。

二、学习重点：掌握切线的判定定理和性质定理，切线长定理。

三、学习难点：添加适当的辅助线解决简单的数学问题。

四、教学关键：正确理解切线的判定定理和性质定理五、中考考点：切线的判定定理和性质定理，切线长定理。

六、课时计划：4课时七、教学建议：1. 关于教学目标。

开展单元备课活动。

对这一单元进行整体设计，根据具体内容落实《数学课程标准（2011年版）》中所提的教学目标。

特别要关注过程与方法目标的落实。

既要使学生经历探究的过程，也要避免时间的浪费。

提高课堂效率是提高教学质量的重要保障，希望各位教师重视提高课堂效率，努力实现让学生学会、让学生学好。

2. 关于教学内容的选择。

教师要从课本上选取例题，中考试题是以课本上的例题为参考进行设计的，因此必须重视课本上的典型例题。

另外，从中考模拟试题中选择部分习题作为补充例题，增强教学的针对性。

课前要考虑好学生课堂练习的内容，这些内容主要是学生独立完成，学生自主学习有利于他们积累直接经验。

直线与圆位置关系

C 直线和圆的位置关系一、常考考点：直线和圆的位置关系是《圆》这一章的教学重点，也是各地命题考查的热点。

主要考点有：利用圆心到直线的距离判定直线与圆的位置关系；切线的性质；切线的判定；三角形的内切圆。

近三年济南市的试题对这部分的考察，以强调基础、突出能力为主，利用切线定理，以动点、动线、动圆为载体综合考察学生的探究能力。

二、例题例1. （2011山东济宁，）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，BC =4cm ，以点C 为圆心，以3cm 长为半径作圆，则⊙C 与AB 的位置关系是．【分析】求出点C 到AB 的距离，与半径3cm 比较大小即可得出AB 与⊙C 的位置关系。

解：作C D ⊥AB.则C D=2c m ﹤3cm,故AB 与⊙C 相交。

【总结】利用d 与r 的数量关系判断直线和圆的位置关系时，一定要作圆心到直线的垂线段。

求出垂线段的长度。

例2（2010 四川泸州）如图,已知⊙O 是边长为2的等边△ABC 的内切圆,则⊙O 的面积为__________.【分析】求出内切圆半径即可求出面积【答案】3π 【总结】一般三角形内切圆半径不作要求，但特殊殊三角形（如直角三角形，等边三角形）内切圆半径可利用面积法或三角函数可以求出，应让学生了解。

例3.（2010山东济南）如图，AB 是⊙O 的切线，A 为切点，AC 是⊙O 的弦，过O 作OH ⊥AC 于点H ．若OH =2，AB =12，BO =13．求：（1）⊙O 的半径；（2）AC 的值．【分析】（1）可利用切线的性质结合勾股定理求得；（2）利用勾股定理、垂径定理求得解①∵AB 是⊙O 的切线，A 为切点，∴OA ⊥AB ，在Rt △AOB 中，AO =²²AB OB -=²12²13-=5，∴⊙O 的半径为5 ②∵OH ⊥AC ∴在Rt △AOH 中AH =²²OH AO -=²2²5-=21 又∵OH ⊥AC ，∴AC =2AH =221【总结】由切线找直角三角三角形，再利用勾股定理，三角函数是解决此类题的关键。