直线与圆的位置关系,切线及三角形内切圆

直线与圆的位置关系，切线及三角形内切圆

直线与圆的位置关系，切线及三角形内切圆

学习目标］

1.直线为,OO的半径为r，圆心到直线的距离为d。

(1)直线与OO 相离无公共点；

(2)直线与OO 相切，唯一公共点；

(3)直线与OO 相交，两公共点。

注意：①由直线与圆的位置关系数量关系反之，数量关系位置关系；②直线与圆的位置关系，d , r数量关系，公共点个数三

者互相转化。

2. 重要公式：

在Rt△ ABC中，/ C= 90°,CD是AB边上的高，则:

即：AC- BC= AB・CD (是求斜边上高的常用方法)

3.切线的判定方法

①定义法(不常用) ，即：唯一公共点；

②数量关系推理法，

③判定定理：垂直于过切点的半径的直线是圆的切线。

4.切线的性质：

①与判定均为互逆定理； ②其中性质定理及推论要熟练掌握。 实际上①垂直于切线；②经过切点；③经过圆心；任意 知道两个就能推出第三个。

5. 作图：作和已知三角形各边都相切的圆。

关键找内心， （各内角平分线交点）和半径。

6. 与三角形各边都相切的圆叫三角形内切圆， 这个三角形 叫圆的外

切三角形。

与多边形各边都相切的圆叫多边形的内切圆，多边形叫

圆的外切多边形。

三边的距离。

三角形的外接圆，圆心是三边中垂线交点，半径是圆心

到三个顶点的距离。

典型例题】

例1.已知半径为3的O0上一点P 和圆外一点Q ,如果

0Q = 5, PQ = 4，贝y PQ 和圆的位置关系是（

B. 相切 D. 位置不

解：••• 0P=3, PQ = 4, OQ = 5 ,

7. 三角形的内切圆、 圆心是角平分线交点，

半径是圆心到

A. 相交 C. 相离

•••△ OPQI直角三角形，且/ OPQ= 90°, ••• PQ! OR

即圆心O 到PQ 的距离等于圆的半径。

••• PQ和圆的位置关系相切，故选B。

点拨：在没有明确知道圆心到直线的距离和半径的关系

时，通过已有的知识进行推证。本题也可以通过切线的判定定理求解，即通过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

例2.在^ ABC中，/ C= 90° / B= 30° O 为AB 上一点，

AO = m , O0的半径，问m在什么范围内取值时，AC与圆:

1 )相离;(2)相切;(3)相交。

点悟：要判定直线与圆的位置关系，只要比较圆心到直

线的距离与半径的大小。

解：如图所示，过O 作OD! AC 垂足为D ，

(1 )当，即，也即时，贝y AC与OO相离;

(2)当，即，也即时，AC与O0相切;

(3)当，即，也即时，AC与O0相交。

例3.已知：在^ ABC中, AD为/ BAC的平分线，以C为

圆心，CD 为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE 于点M，且/ B=Z CAE FE : FD = 4 : 3。

求证：AF = DF ;

证明：••• AD平分/ BAC

BAD=Z DAC

B=Z CAE •••/ BADW B=Z DAC^Z CAE

ADE=Z BAD+Z B,

•Z ADE=Z DAE

••• EA=ED ••• DE是半圆C的直径，• Z DFE= 90°••• AF=DF

例4.已知OO 中，AB是直径，过B点作OO的切线，连结CO，若AD// OC交OO于D，求证：CD是OO的切线。

点悟：要证CD是OO的切线，须证CD垂直于过切点

D 的半径，由此想到连结OD 。

证明：连结OD 。

••• AD// OC

•••/ COB^ZA及/ COD=Z ODA ••• OA= OD ,.Z ODA=Z OAD •••/ COB^Z COD •••CO为公用边，OD = OB

COB^A COD 即Z B=Z ODC

••• BC是切线，AB是直径，•••Z B= 90°,Z ODC= 90°,

••• CD是OO的切线。

点拨：辅助线OD 构造于“切线的判定定理”与“全等三角

形”两个基本图形, 先用切线的性质定理，后用判定定理。

例5. 如图所示，△ ABC为等腰三角形，O是底边BC的中

点，OO与腰AB相切于点D。

求证：AC与OO相切。

点悟：显然AC与OO的公共点没有确定，故用“ d=r”

证之。而AB与OO切于D点，可连结OD，贝y ODIAR

证明：连结OD、OA。过O作OE1 AC垂足为E。

••• ABAC, O为BC的中点，•••Z BAO=Z CAO

又••• AB切OO 于D 点，

••• ODL AB,又OEl AC

••• AC与OO 相切。

点拨：此题用了切线的性质定理，同时又用了切线的判

定方法“ d= r”。

例6.已知OO的半径OAL OB点P在OB的延长线上，

连结AP交OO于D，过D作OO的切线CE交OP于C, 求证：PC = CD。

点悟：要证PC = CD，可证它们所对的角等，即证/P

=Z CDP又OAL OB故可利用同角（或等角）的余角相等

证题。

证明：连结OD ，则ODL CE。

• / EDA^Z ODA= 90°

••• OA L OB

•Z A+Z P= 90°

又•••OA=OD,

•Z ODA=Z A,Z P=Z EDA

EDA=Z CDP

•Z P=Z CDP ••• PCCD

点拨：在证题时有切线可连结切点的半径利用切线