等差等比数列的证明例举
等差等比数列的证明例举
等差等比数列的证明
在数列的解答题中，有时第一问会要求证明某个数列是等差等比数列，既考察了学生证明数列的能力，同时也为后面的问题做好铺垫。 一、基础知识：
1、如何判断一个数列是等差（或等比）数列 （1）定义法（递推公式）：1n n a a d +-=（等差），
1
n n
a q a +=（等比） （2）通项公式：n a kn m =+（等差），()0n n a k q q =⋅≠（等比） （3）前n 项和：2n S An Bn =+（等差），n n S kq k =-（等比）
（4）等差（等比）中项：数列从第二项开始，每一项均为前后两项的等差（等比）中项 2、如何证明一个数列是等差等比数列： （1）通常利用定义法，寻找到公差（公比）
（2）也可利用等差等比中项来进行证明，即n N *
∀∈，均有：
122n n n a a a ++=+ （等差） 212n n n a a a ++=⋅ （等比）
二、典型例题：
例1：已知数列{}n a 的首项1133,,521
n
n n a a a n N a *+=
=∈+． 求证：数列11n a ⎧⎫
-⎨
⎬⎩⎭
为等比数列 思路一：构造法，按照所给的形式对已知递推公式进行构造，观察发现所证的数列存在
1
n
a 这样的倒数，所以考虑递推公式两边同取倒数：113121
213n n
n n n n
a a a a a a +++=
⇒=+ 即
1121
33n n a a +=+
，在考虑构造“1-”：112111111333n n n a a a +⎛⎫-=+-=- ⎪⎝⎭
即数列11n a ⎧⎫-⎨
等差数列、等比数列的证明及数列求和(DOC)
等差数列、等比数列的证明
例1．已知数列{}n a 满足11a =，()13232n n a a n n -=+-≥， （Ⅰ）求证：数列{}n a n +是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式。
例2．已知数列{}n a 满足12a =，112n
n n
a a a +=
+，
（Ⅰ）求证：数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式。
例3．已知数列{}n a ，n S 是它的前n 项和，且()*
142n n S a n N +=+∈，11a =
（Ⅰ）设()
*
12n n n b a a n N +=-∈，求证：数列{}n b 是等比数列；
（Ⅱ）设2
n
n n a c =
，求证：数列{}n c 是等差数列； （Ⅲ）求数列{}n a 的通项公式。
练习1．已知数列{}n a 满足15a =，()
*
123n n n a a n N +=+∈， （Ⅰ）求证：数列{}
3n
n a -是等比数列；
（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式。
2．已知数列{}n a 满足11a =，()1222n n n a a n -=+≥， （Ⅰ）求证：数列2n n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式。
3．数列{}n a 的前n 项和n S ，且()13
1
-=n n a S ,（1）证明数列{}n a 等比数列；
（2）求通项公式.
4.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，数列{}n n S a +是公差为2的等差数列. （1）证明{}2-n a 是等比数列；（2）求通项公式.
等差等比数列性质以及证明
等差等比数列性质以及证明
知识点：
1．等差数列的性质 ⑴(),m n
m n a a a a m n d d m n
-=+-=
- ⑵在等差数列中，若p q m n +=+，则p q m n a a a a +=+，若2m p q =+，则2m p q a a a =+ ⑶若{}{},n n a b 均为等差数列，且公差分别为12,d d ，则数列{}{}{},,n n n n pa a q a b +±也为等差数列，且公差分别为1112,,pd d d d ±．
⑷在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即2,,n n m n m a a a ++，．．．．，为等差数列，公差为md ．
⑸等差数列的前n 项和也构成一个等差数列，即n S ，232,n n n n S S S S --，．．．为等差数列，公差为2n d ．
⑹若等差数列的项数为2n ，则有1
,
n
n S a S S nd S a +-==奇偶奇偶
． ⑺等差数列的项数为奇数n ，则n n S S S a S S =+=-奇偶中间项奇偶且，1
1
S n S n +=-奇偶
． ⑻{}n a 为等差数列，()2121n n S n a -=-．
⑼通项公式是n a An B =+ ()0A ≠是一次函数的形式；前n 项和公式()20n S An Bn A =+≠是不含常数项的二次函数的形式．（注当0d =时，1n S na =，1n a a =）
（10）若10a >，0d <，n S 有最大值，可由不等式组1
0n n a a +⎧⎨⎩≥≤来确定n ．
证明或判断等差(等比)数列的四种方法
证明或判断等差(等比)数列的四种方法
判断等差数列的四种方法：
公差相等法：如果一个数列中任意两项之间的差值相等，则该数列为等差数列。
通项公式法：如果一个数列的通项公式是an=a1+(n-1)d，则该数列为等差数列。
前后项差值法：如果一个数列中任意两项之间的差值相等，则该数列为等差数列。
证明法：对于一个数列，如果它满足an+1 - an = d，则可以通过归纳法证明该数列是等差数列。
判断等比数列的四种方法：
公比相等法：如果一个数列中任意两项之间的比值相等，则该数列为等比数列。
通项公式法：如果一个数列的通项公式是an=a1*r^(n-1)，则该数列为等比数列。
前后项比值法：如果一个数列中任意两项之间的比值相等，则该数列为等比数列。
证明法：对于一个数列，如果它满足an+1 / an = r，则可以通过归纳法证明该数列是等比数列。
以上是判断等差数列和等比数列的四种常见方法，它们都比较简单易行，可以帮助我们快速判断一个数列是否为等差数列或等比数列。同时，在具体应用中，我们还可以根据题目要求选择合适的方法，从而更好地解决问题。
等差数列与等比数列的证明方法
n > 2 ”否则n 1时a o 无意义，等比中一样有:
a
n > 2时，有L q （常数 0）;② a
n 1
例1.设数列印㈡?丄，a n 丄中的每一项都不为0
等差数列与等比数列的证明方法
证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种： 定义法、等差或等比中项法、数学归纳法、 反证法。 一、 定义法
10.证明数列是等差数列的充要条件的方法： a n 1 a n
d （常数）
％是等差数列
a 2n 2 a 2n d （常数） a 2n 是等差数列
a
3n 3 a 3n d （常数）
20.证明数列是等差数列的充分条件的方法： a n a n 1 d （n 2）
a n 1 a n
a n a n 1 （n
a 3n 是等差数列 為是等差数列
2） a n 是等差数列
3°.证明数列是等比数列的充要条件的方法: a
n 1
a n 4°.证明数列是等比数列的充要条件的方法: q （q 0且为常数，a 1 0
） q （n>2, q 为常数且工0） a n 为等比数列
a n 为等比数列
注意事项：用定义法时常米用的两个式子 a n a n 1 d 和a n 1 a n d 有差别，前者必须加上
N 时，有也L
a n
q （常数0）.
证明：先证必要性
当d =0时，显然命题成立 当d 丰0时，
再证充分性:
②—①得:
例2.设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，试证｛a n ｝为等差数列的充要条件是
S n
证：
）右｛a n ｝为等差数列，则
证明：为等差数列的充分必要条件是：对任何 n N ，都有 a
n a
n 1
n
等差数列的证明
＝－＝－＝1.又b1＝＝－.
∴数列{bn}是以－为首项，以1为公差的等差数列．
(2)解 由(1)知，bn＝n－，则an＝1＋＝1＋，设函数f(x)＝1＋，
易知f(x)在区间和内为减函数．
∴当n＝3时，an取得最小值－1；当n＝4时，an取得最大值3.
(3)解 若λan＋≥λ对n≥2的整数恒成立，即＋3n＋1≥λ对n≥2的整数恒成立．
整理得λ≤，令cn＝
cn＋1－cn＝－＝.
例：已知数列{an}中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1(n≥2且n∈N*)．(1)求a2，a3的值．
(2)是否存在实数λ，使得数列{}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
(1)∵a1＝5，∴a2＝2a1＋22－1＝13，a3＝2a2＋23－1＝33.
(2)假设存在实数λ，使得数列{}为等差数列．
设ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn＝，由{bn}为等差数列，则有2b2＝b1＋b3.
∴2×＝＋.
∴＝＋，解得λ＝－1.
事实上，bn＋1－bn＝－＝[(an＋1－2an)＋1]＝[(2n＋1－1)＋1]＝1.
综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列{}为首项为2、公差为1的等差数列．
例：(2010·广东湛师附中第六次月考)在数列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)．
等差数列与等比数列的证明方法
等差数列与等比数列的证明方法
证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、数学归纳法、反证法。
一、 定义法
01.证明数列是等差数列的充要条件的方法：
{}1()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列
{}2222()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列 {}3333()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列
02.证明数列是等差数列的充分条件的方法：
{}1(2)n n n a a a d n --=≥⇒是等差数列 {}11(2)n n n n n a n a a a a +--=-≥⇒是等差数列
03.证明数列是等比数列的充要条件的方法：
{}1
(00)n n n
a q q a a +=≠≠⇔1且为常数，a 为等比数列 04.证明数列是等比数列的充要条件的方法：
1
n
n a q a -=（n>2，q 为常数且≠0）{}n a ⇒为等比数列 注意事项：用定义法时常采用的两个式子1n n a a d --=和1n n a a d +-=有差别，前者必须加上“2n ≥”，否则1n =时0a 无意义，等比中一样有：2n ≥时，有
1
n
n a q a -==（常数0≠）；②
n *∈N 时，有1
n n
a q a +==（常数0≠）．
例1. 设数列12,,,,
n a a a 中的每一项都不为0。
证明：{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ，都有
1223
111
111n n n n
a a a a a a a a +++++
=
。 证明：先证必要性
等差等比数列的证明与应用
等差等比数列的证明与应用
教学目标：
1 .充分理解等差数列、等比数列的定义，熟练运用其通项公式及前n项和的公式解决问题;
2 .提炼和感悟证明一个数列是等差数列或等比数列的常用方法并灵活选用.
教学重点：等差数列及等比数列的证明
教学难点：具体方法的灵活使用和总结
教学方法：有效引导，讲练结合，及时总结与反思
课前演练：
1 .数列｛%｝中，q=3,对任意大于1的正整数n,点（疯,向）在直线x—y-石二O
上，则______________
2 1 1
2 .数列｛〃"｝中，q=2,d=1,—=—+——5≥2∕∈N'),则其通项公式为a n%+1a n-X
a n~----------- •
3 .数列｛%｝满足％=1,1og2=Iogz4+1（〃WN"）,问n为何值时＞1025?
4 .已知数列｛。〃｝前n项和为S zt,数列｛S“+1｝是公比为2的等比数列，则数列同｝成等比数列的充要条件是.
例题精选：
1 （2012江苏20题改编）已知各项均为正数的两个数列｛/｝和｛"｝满足：
a n+x=∕z,1+^=,??∈N'.设％=1+2，Λ∈N*,且o∣=4=1,求数列｛凡｝和｛瓦｝的通
A2+⅛2%
项公式.
2 .设各项均为正数的数列｛q｝和｛。｝满足5%,5',5%成等比数列,Ig b11,1ga rt+1,1g b n+1成
等差数列，若q=1,仇=2,α2=3,求明和勿.
3（江苏2015第20题）设4，出，。3，。4是各项为正数且公差为d（d≠°）的等差数列•（1）证明：2例,2小,2%,2.依次成等比数列;
（2）是否存在q,d,使得4,出,，。：，。：依次成等比数列，并说明理由.
高考数学：证明等差等比数列的解法
高考数学：证明等差等比数列的解法
我们在数列部分常碰到这样的问题：证明某个复杂数列为等差或者等比数列。比如下面这道题：
从求证出发，我们回顾等比数列的定义：从第2项开始，数列的后一项除以前一项等于同一个不为零的常数，则这个数列为等比数列。
这就是我们证明等比数列的主要办法，也称定义法.即只需证明后项/前项为常数即可。
使用定义法的技巧，就是在化简过程中，保持前项不变，然后后项用题中给定的关系式代入。
道理也是显然的，要使得计算结果为常数，必须要出现消项、约分，所以把后项朝前项去靠近，才能最终通过消项、约分得到常数。
根据条件中给定的关系式，代入上式。
结果还真是一个常数，神奇吗？
其实一点也不神奇，只要方法正确，常数是命题者设计好了的，你不用担心。
下面，增加一点难度，看这一道分段形式给出的数列递推式。
请自觉做题3分钟.不要往下看。
分析：首先来理解数列递推式传递的信息.我们用具体的例子来理解它。
通过这种方式，我们对数列有了一些感性的认识。
不管怎样，还是采用定义法来证明。
还是采用前面介绍的技巧：保持前项不变，把后项用题中给定的关系式代入。
注意看，分子项和分母项的脚标相差2，我们根据题目所给递推式，可以分两步来。
咦！结果又是一个常数。
废话，要不是常数，那就是题目出错了。
总结：定义法来真好用，证明等比显奇功。
等差数列与等比数列的证明方法
等差数列与等比数列的证明方法
高考题中，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何 处理这些题目呢？
证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、 数学归纳法、反证法。
一、定义法
10.证明数列是等差数列的充要条件的方法：
a n 1 a n d （常数）a n 是等差数列
a 2n 2 a 2n d （常数） a 2n 是等差数列
a sn 3 a 3n d （常数） a 3n 是等差数列
20
.证明数列是等差数列的充分条件的方法：
a n a n [ d （n 2） 為是等差数列 a n 1 a n a n a n 1（n 2） 寺是等差数列
30.证明数列是等比数列的充要条件的方法： q （q 0且为常数，a 1 0）
a n 为等比数列 a n
40
.证明数列是等比数列的充要条件的方法：
a n a n 1
必须加上“ n > 2”否则n 1时a o 无意义，等比中一样有: （常数0 ）；②门N 时，有也
a n
1
n
。
a
n a
n 1
a
1a
n 1
证明：先证必要性
注意事项：用定义法时常米用的两个式子 a n a n 1 d 和a
1 a
n d 有差别，前者
例1.设数列a i ,a 2, |||,an,|||中的每一项都不为
0。
证明：a n 为等差数列的充分必要条件是：对任何 n
N ，都有
a n
q （n>2, q 为常数且工0） a n 为等比数列
n > 2时，有旦
a n 1
a i a
2
a
2a 3
设｛a n｝为等差数列，公差为d,则
当d =0时，显然命题成立
1 1 ________ 1_
等差数列与等比数列的证明方法
则数列 an 是等差数列；(充要条件)
(2).若 Sn 能表示成 Sn Aqn A ( A，q 均为不等于 0 的常数且 q≠1)的形式，
则数列an是公比不为 1 的等比数列． (充要条件)
an an1
q
（常数 0 ）；② n N 时，有 an1 q （常数 0 ）．
an
例 1. 设数列 a1, a2, , an , 中的每一项都不为 0。
证明：an为等差数列的充分必要条件是：对任何 nN，都有
11 1 n 。
a1a2 a2a3
anan1 a1an1
证明：先证必要性
设{an}为等差数列，公差为 d，则
(充分条件)
a
2 n
an1
an1
（n≥1） {an} 是等比数列，
注:
b ac且(a c 0) 是 a、b、c 等比数列的充分不必要条件
b ac 是 a、b、c 等比数列的必要不充分条件.
b ac且(a c 0) 是 a、b、c 等比数列的充要条件. 任意两数 a、c 不一定有等比中项，除非有 ac＞0，则等比中项一定有两个.
证明二： S2k － Sk = (a1 a2 a3 a2k ) － (a1 a2 a3 ak ) = ak1 ak2 ak3 a2k = qk (a1 a2 a3 ak ) = qk Sk 0 同理， S3k － S2k = a2k1 a2k2 a2k3 a3k = q2k Sk 0 ∴ Sk，S2k Sk，S3k S2k 成等比数列。 二、中项法
等差等比数列经典例题以及详细答案
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
等差等比数列综合应用
二. 重点、难点
1. 等差等比数列综合题
2. 数列与其它章节知识综合
3. 数列应用题
【典型例题】
[例1] 一个等比数列共有三项，如果把第二项加上4所得三个数成等差数列，如果再把这个等差数列的第3项加上32所得三个数成等比数列，求原来的三个数。
解：等差数列为d a a d a +-,,
∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=++--=+⋅-2
2
)32)(()4()()(a d a d a a d a d a ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+-=-)
2()(32)()1(1682
22222a d a d a a a d a ∴ 2
23232168a d a a =-++-
0432=-+d a 代入（1）
16)24(3
1
82+-⋅-=-d d
0643232=+-d d 0)8)(83(=--d d ① 8=d 10=a ② 38=d 9
26=a ∴ 此三数为2、16、18或92、910-、9
50
[例2] 等差数列}{n a 中，3931-=a ，76832-=+a a ，}{n b 是等比数列，
)1,0(∈q ，21=b ，}{n b 所有项和为20，求：
（1）求n n b a , （2）解不等式
2211601
b m a a m
m -≤++++
解：（1）∵ 768321-=+d a ∴ 6=d
∴ 3996-=n a n 2011=-q
b 109
=q ∴ 1
)10
9(
2-⋅=n n b 不等式10
9
21601)
(21
21⋅⋅-≤++⇔+m a a m m m
)1(1816)399123936(21
数列—等差、等比的证明
数列—等差、等比的证明
第一篇：数列—等差、等比的证明
等差、等比数列的证明
1．数列{a327
*n}的前n项和为Sn=2n+2
n（n∈N）．
（Ⅰ）证明：数列{an}是等差数列；（Ⅱ）若数列{bn}满足：an=log2bn，证明：数列{bn}是等比数列．
2．已知数列{a*
n}的前n项和为Sn=4an-3(n∈N)，证明：数列{an}是等比数列．3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a1=1，Sn+1=4an+2（n∈N*）．
（Ⅰ）证明：数列⎧⎨an⎫
⎩2n⎬⎭
为等差数列；（Ⅱ）证明：数列{an+1-2an}为等比数列．
4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：
Sn=2a2n+n-4n（n∈N*），证明：数列{an-2n+1}为等比数列．5．（2008北京文20）数列{an}满足：a1=1，a-λ)a*
n+1=(n2+nn，（n∈N）λ是常数．（Ⅰ）当a2=-1时，求λ及a3的值；
（Ⅱ）数列{an}是否可能为等差数列? 若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；
6．设函数f(x)=x2+m，m∈R，定义数列{an}如下：
a1=0，an+1=f(an)（n∈N*）．（Ⅰ）当m=1时，求a2,a3,a4的值；
（Ⅱ）是否存在实数m，使a2,a3,a4构成公差不为0的等差数列? 若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
6．（2008湖北21）已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ，a2
n+1=
an+n-4，bnn=(-1)(an-3n+21)，其中λ为实数，n∈N*．
（Ⅰ）证明：数列{an}不是等比数列；
数列专题4：证明等差等比数列
(1)求a3 , a4 , a5的值； （2）设c n a2 n1 a2 n 1 , n N * , 证明：cn 是等比数列；
4n
（3）设Sk a2 a4 a2 k , k N * , Sk 7 证明： ( n N * ). a 6 k 1 k
（2011湖北文）成等差数列的三个正数的和 等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后 成为等比数列bn 中的b 3 ,b 4 ,b 5. (1)求数列bn 的通项公式； （2）数列bn 的前n项和为Sn , 求证：数列 5 Sn + 是等比数列. 4
（2011江西）（1）已知两个等比数列an , bn , （理（1）)若a=1,求数列an 的通项公式； 满足a1 a (a 0), b1 a1 1, b2 a2 2, b3 a3 3,
3 1 例：数列an 中，a1 , an 2 ( n 2, n N ), 5 an 1 1 数列bn 满足bn = （n N ). an -1
(1)求证：数列bn 是等差数列； （2）求 an 中的最大项与最小项，并说明理由。
例：已知各项全不为零的数列an 的前n项和Sn， n(1 an ) Sn = , n N . 2 (1)求证：数列an 为等差数列。
答题规范 6．数列求解要注意首项的特殊性 试题：(12 分)已知数列{an}满足 a1＝1，a2＝2，an＋2＝ an＋an＋1 ，n∈N+. 2 (1)令 bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列； (2)求{an}的通项公式．
等差数列与等比数列的证明方法
等差数列与等比数列的证明方法
高考题中，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何处理这些题目呢？
证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、数学归纳法、反证法。
一、 定义法
01.证明数列是等差数列的充要条件的方法：
{}1()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列
{}2222()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列 {}3333()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列
02.证明数列是等差数列的充分条件的方法：
{}1(2)n n n a a a d n --=≥⇒是等差数列 {}11(2)n n n n n a n a a a a +--=-≥⇒是等差数列
03.证明数列是等比数列的充要条件的方法：
{}1
(00)n n n
a q q a a +=≠≠⇔1且为常数，a 为等比数列 04.证明数列是等比数列的充要条件的方法：
1
n
n a q a -=（n>2，q 为常数且≠0）{}n a ⇒为等比数列 注意事项：用定义法时常采用的两个式子1n n a a d --=和1n n a a d +-=有差别，前者必须加上“2n ≥”，否则1n =时0a 无意义，等比中一样有：2n ≥时，有1
n
n a q
a -==（常数0≠）；②n *∈N 时，有
1
n n
a q a +==（常数0≠）．
例1. 设数列12,,,,n a a a 中的每一项都不为0。
证明：{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ，都有
1223
4、证明等差或等比数列专题
一、证明等差或等比数列的方法
① n S 与n a 的关系式
②写定义式
④写结论：数列{}是一个以 为首项，以 为公差的等差/等比数列 . 例题1：已知数列{}n a 满足41=a ，()24
41≥-
=-n a a n n ，并记2
1-=n n a b . (1) 求证：数列{}n b 是等差数列. (2) 求数列{}n a 的通项公式.
利用1--=n n n S S a ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪
⎨⎧n a 与1-n a 的关系式 n a 与1+n a 的关系式 1+n a 、n a 与1-n a 的关系式
（递推公式）
化简、整理 )常数，较小角标大角标,n a f a =
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧（1）证等差：前项后项- （2）证等比：前项
后项 ③将化简整理好的递推公式代入定义式中（只代入下角标最大的项中），然后接着往下计算，直到算出一个常数.
（写出来的定义式格式一定要跟题目保持一致）
例题2：已知数列{}n a 满足11=a ，131+=+n n a a ，证明：⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧+21n a 是等比数列,并求{}n a 的通
项公式.
例题3：在数列{}n a 中，21
1=a ，n n a n
n a 21
1+=
+，+∈N n . （1）求证：数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n a n 为等比数列.
（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .
例题4：已知数列{}n a 满足51=a ,52=a ,116-++=n n n a a a ()2≥n . （1）求证：{}n n a a 21++是等比数列. （2）求数列{}n a 的通项公式.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
等差等比数列的证明
在数列的解答题中，有时第一问会要求证明某个数列是等差等比数列，既考察了学生证明数列的能力，同时也为后面的问题做好铺垫。 一、基础知识：
1、如何判断一个数列是等差（或等比）数列 （1）定义法（递推公式）：1n n a a d +-=（等差），
1
n n
a q a +=（等比） （2）通项公式：n a kn m =+（等差），()0n n a k q q =⋅≠（等比）
（3）前n 项和：2n S An Bn =+（等差），n n S kq k =-（等比）
（4）等差（等比）中项：数列从第二项开始，每一项均为前后两项的等差（等比）中项 2、如何证明一个数列是等差等比数列： （1）通常利用定义法，寻找到公差（公比）
（2）也可利用等差等比中项来进行证明，即n N *
∀∈，均有：
122n n n a a a ++=+ （等差） 212n n n a a a ++=⋅ （等比）
二、典型例题：
例1：已知数列{}n a 的首项1133,,521
n
n n a a a n N a *+=
=∈+． 求证：数列11n a ⎧⎫
-⎨
⎬⎩⎭
为等比数列 思路一：构造法，按照所给的形式对已知递推公式进行构造，观察发现所证的数列存在
1n
a 这样的倒数，所以考虑递推公式两边同取倒数：113121
213n n n n n n
a a a a a a +++=
⇒=+
即
112133n n a a +=+，在考虑构造“1-”：112111
111333n n n a a a +⎛⎫-=+-=- ⎪⎝⎭
即数列11n a ⎧⎫-⎨
⎬⎩⎭
是公比为1
3的等比数列
思路二：代入法：将所证数列视为一个整体，用n b 表示：1
1n n
b a =
-，则只需证明{}n b 是等比数列即可，那么需要关于n b 的条件（首项，递推公式），所以用n b 将n a 表示出来，并代换到n a 的递推公式中，进而可从n b 的递推公式出发，进行证明 解：令11n n b a =
-，则1
1
n n a b =+ ∴ 递推公式变为：113
1131
1113
211
n n n n n b b b b b +++=⇒=+++⋅++
111
3333
n n n n b b b b ++⇒+=+⇒=
{}n b ∴是公比为1
3的等比数列。即数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
为等比数列
小炼有话说：
（1）构造法：在构造的过程中，要寻找所证数列形式的亮点，并以此为突破对递推公式进行变形，如例1中就是抓住所证数列有一个“倒数”的特点，进而对递推公式作取倒数的变换。所以构造法的关键之处在于能够观察到所证数列显著的特点并加以利用
（2）代换法：此方法显得模式化，只需经历“换元→表示→代入→化简”即可，说两点：一是代换1
1n n
b a =
-体现了两个数列{}{},n n a b 的一种对应关系，且这种对应是同序数项的对应（第n 项对应第n 项）；二是经过代换，得到{}n b 的递推公式，而所证n b 是等比数列，那么意味着其递推公式经过化简应当形式非常简单，所以尽管代入之后等式复杂，但坚定地化简下去，通常能够得到一个简单的答案。个人认为，代入法是一个比较“无脑”的方法，只需循规蹈矩按步骤去做即可。
例2：数列{n a }的前n 项和为n S ，213
1(*)22
n n S a n n n N +=-
-+∈（*）
．设n n b a n =+，证明：数列{}n b 是等比数列，并求出{}n a 的通项公式
思路：本题所给等式,n n S a 混合在一起，可考虑将其转变为只含n a 或只含n S 的等式，题目中n n b a n =+倾向于项的关系，故考虑消掉n S ，再进行求解
解：213
122n n S a n n +=-
-+ ① ()()()2
11131112,22
n n S a n n n n N --+=----+≥∈ ②
∴ ①- ②可得：112121n n n n a a n a a n ---=--⇒=--
()()()1112112n n n n a n a n a n a n --∴+=+-⇒+=
+-⎡⎤⎣⎦ 即11
2
n n b b -= {}n b ∴是公比为1
2的等比数列 111b a =+ 令1n = 代入（*）可得：
11131122S a +=--+=- 112a ∴=- 11
2
b ∴=
1
11122n n n b b -⎛⎫
⎛⎫∴=⋅= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭ 12n
n n a b n n ⎛⎫
∴=-=- ⎪⎝⎭
小炼有话说：（1）遇到,n n S a 混合在一起的等式，通常转化为纯n a （项的递推公式）或者纯n S （前n 项和的递推公式），变形的方法如下：
① 消去n S ：向下再写一个关于1n S -的式子（如例2），然后两式相减（注意n 取值范围变化） ② 消去n a ：只需1n n n a S S -=-代换即可（2,n n N ≥∈）
（2）,n n S a 混合在一起的等式可求出1a ，令1n =即可（因为11S a =）
（3）这里体现出n n b a n =+的价值：等差等比数列的通项公式是最好求的：只需一项和公差（公比），构造出等差等比数列也就意味这其通项可求，而通过n n b a n =+也可将n a 的通项公式求出。这里要体会两点：一是回顾依递推求通项时，为什么要构造等差等比数列，在这里给予了一个解释；二是体会解答题中这一问的价值：一个复杂的递推公式，直接求其通项公式是一件困难的事，而在第一问中，恰好是搭了一座桥梁，告诉你如何去进行构造辅助数列，进而求解原数列的通项公式。所以遇到此类问题不要只停留在证明，而可以顺藤摸瓜将通项一并求出来
例3：已知数列{}n a 满足：1116,690,n n n a a a a n N *
--=-+=∈且2n ≥，求证：13n a ⎧⎫
⎨
⎬-⎩⎭
为等差数列 解：设13n n b a =
-，则1
3n n
a b =
+代入11690n n n a a a ---+=可得：