三个数的均值定理资料
高中数学均值定理四个公式
高中数学均值定理四个公式
高中数学均值定理的四个公式包括：
1. 当a > 0，b > 0时，a+b ≥ 2√ab（当且仅当a=b时取等号）。
2. ab ≤ [(a+b)/2]^2（当且仅当a=b时取等号）。
3. 当a > 0，b > 0时，a+b+c ≥ 3√(abc)（当且仅当a=b=c时取等号）。
4. abc ≤ ((a+b+c)/3)^3=k^3/27（当且仅当a=b=c时取等号）。
这些公式都是均值定理的重要内容，用于解决不等式问题。如需更多信息，建议请教数学老师或查阅相关资料。
三个数的均值定理讲课讲稿
热身训练
1.(1)若正数x、y满足x+2y＝1.求
1 x
1 y
的最小值；
32 2
(2)若x、y∈R+，且2x+8y-xy＝0.求x+y的最小值.
18
2 .已 x 1 ,知 y 2 ,且 x y 1,求 5 D (x 1 )y ( 2 ) 的 .最 大 值
36
自主学习教8材 --9页的内容 解决下列问题
思考：下列解法正确吗？
求 函 数 y2x23,(x0)的 最 小 值 . x
解: y 2 x 2 3 2 x 2 1 2 3 32 x 212 3 34
x xx
xx
ymin33 4
达标检测
1.函数
y3x12(x0) 的最小值是 x2
(
C
)
A.6
B. 6 6 C.9
D.12
2.函数
y4x2
16 (x2 1)2
探究一 三个正数的均值不等式 问 题 1： 由 a2b2 2a b推 广 到 三 个 数 怎又 样如 证 等 号 成 立 的 条 ？件 是 什 么
和的立方公式：(x y ) 3 x 3 3 x 2 y 3 x 2 y 3
立方和公式：x 3 y 3 (x y )x 2 ( x y y 2 )
推广
对于 n 个正数 a1, a2 , a3, an，它们的算术
均值定理
b a b a 又Q + ≥ 2 ⋅ = 2 a b a b
1 1 1 1 ∴2 + ≥ 4 ⇔ + ≥ 2 a b a b 当且仅当a = b = 1时，等号成立。
A:x的正负不确定。
B:sinx取 不 到 1。
C: x + 2取不到1。
2
2 ab 2 1 1 + 2 ab ∴ + + 2 ab ≥ a b ab
2
ab称为正数a、b的几何平均数．
3、 均 值 定 理 推 广 形 式 ：
a +b a+b 2 如果a , b ∈ R ，则 ≥ ≥ ab ≥ 1 1 2 2 + a b
+ 2 2
当且仅当a=b时，等号成立。
a +b 称为a、b的平方平均数 2 2 称为a、b的调和平均数 1 1 + a b
2 2
4、均值定理的应用：
设x、y都为正数，则有
⑴若xwk.baidu.com+ y = （和为定值），则当x = y时，积xy取得最大值 s
s ． 4
2 p． p
2
⑵若xy = （积为定值），则当x = y时，和x + y取得最小值 p
注意：在应用的时候，必须注意 “一正二定三等”三个条件同时成立。
b a 1 1 1 1 Q 2 + = ( a + b) + = 2 + + a b a b a b
(精品)三个正数的算数-几何平均不等式
22
4
4
当且仅当 x =x y时等号成立,
22
又x2y=4,所以当x=2,y=1时,x+y取最小值3.
例 1、 已 知 x， y， z∈ R+， 求 证 ： （ x+y+z） 3≥27xyz。
证 明 ： 因 为 xyz3xyz， 所 以 3
（x+y+z）3 27
xyz，
即 （ x+y+z） 327xyz
4(
x 2
x 1x22
2
)3
4
构造三个数相 加等于定值.
3
27
当 2 x1x,x3 2时 ,ymax24.7
( 2 ) 当 0 < x < 1 时 , 求 函 数 y = x ( 1 - x 2 ) 的 最 大 值 .
解: 0x1, 1x2 0,
由yx(1x2),得
y2 x2(1x2)2
构造三个 数相加等 于定值.
2.(2016·哈尔滨高二检测)已知实数a,b,c,d满足 a>b>c>d,求证: 1 1 1 9 .
ab bc cd ad
【证明】因为a>b>c>d,所以a-b>0,b-c>0,
c-d>0,a-d>0,所以(a 1bb 1cc 1d)ad
= (a1bb1c[(ac-1bd))+(b-c)+(c-d)]
均值定理
设a ＞2b ＞0，则29()(2)
a b b a b -+-的最小值是 12 ． 若,a b 是正常数，a b ≠，,(0,)x y ∈+∞，则222()a b a b x y x y
++≥+，当且仅当a b x y =时上式 取等号. 利用以上结论，可以得到函数29()12f x x x =
+-（1(0,)2
x ∈）的最小值为 25 ． 已知a ＞0，b ＞0，a+b=2，则y=14a b +的最小值是92
设,x y 为实数，若2241,x y xy ++=则2x y +的最大值是 ．
。5
已知25≥x ，则4
254)(2-+-=x x x x f 有 （ ） A 最大值45 B 最小值4
5 C 最大值1 D 最小值1.
已知θ为锐角，求θθsin cos 2=y 的最大值。9
32max =y 。
二、例题（以下2题均为求最值）
1．x>0 , x x 32+
2． x>0 , x x 43+ ○
拆
3．)3
1,0(∈x , )31(2x x -的最值
4．)3
1,0(∈x , 2)31(x x -的最值
5．x>0 , y>0 x+2y=5
则 xy 最值 ， xy 2最值 ，
x 2 + y 2最值 6．x>1, y=的值域为1
2
-x x
7.
x>-1, y=()()的值域为125+++x x x 8. y=
1
322+-x x x 的值域为 9. x>0 , y>0 ,122
2
=+y x ,求21y x +最大值。
10．x ≥0 ,求
45++x x 的最值。
11． x+2y=1 ,求M=2x +2y 的最值。
三维均值定理
三维均值定理
均值定理，又称基本不等式。主要内容为在正实数范围内，若干数的几何平均数不超过他们的算术平均数，且当这些数全部相等时，算术平均数与几何平均数相等。均值定理是高中数学学习中的一个非常重要的知识点，在函数求最值问题中有十分频繁的应用。
三个数均值定理：（a+b+c）/3大于等于三次根号abc，条件abc 均是正数。
调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数.就是
1/[(1/a+1/b)/2]=<√(ab)=<(a+b)/2=<√[a^2+b^2)/2]
(a>0,b>0)
证明:
1)几何平均数=<算术平均数<-->√(ab)=<(a+b)/2.......(*)
a>0,b>0--->√a-√b是任意实数
--->(√a-√b)^2>=0
--->a+b-2√(ab)>=0
--->a+b>=2√(ab)
--->√(ab)=<(a+b)/2
均值定理解集
均值定理解集
（原创实用版）
目录
1.均值定理的概述
2.均值定理的理解
3.均值定理的应用
正文
【均值定理的概述】
均值定理是数学中一种重要的定理，主要用于解决数学中的平均值问题。均值定理指出，对于任意一组数据，其算术平均值一定大于等于几何平均值。均值定理在实际生活和数学研究中都有着广泛的应用。
【均值定理的理解】
均值定理的数学表达式为：对于任意一组非负实数 x1, x2,..., xn，其算术平均值（也就是所有数的和除以数的个数）大于等于几何平均值（也就是所有数的乘积的 n 次方根）。数学表达式可以写成：(x1 + x2 +...+ xn) / n >= (x1 * x2 *...* xn)^(1/n)。
这个定理的含义是，如果我们有一组数据，那么这组数据的平均值一定大于等于这组数据的几何平均值。这个定理在实际生活中的应用非常广泛，比如在计算投资回报率时，我们通常会使用几何平均值来计算，这是因为几何平均值能够更好地反映投资的真实情况。
【均值定理的应用】
均值定理在实际生活中的应用非常广泛，下面我们通过一个例子来说明均值定理的应用。
假设我们有一组数据：2, 4, 6, 8, 10。这组数据的算术平均值是（2+4+6+8+10）/ 5 = 6，几何平均值是 (2*4*6*8*10)^(1/5) = 4.89。
可以看出，这组数据的算术平均值大于几何平均值，符合均值定理。
如果我们将这组数据中的每一个数都乘以 2，得到新的数据：4, 8, 12, 16, 20。这组数据的算术平均值是（4+8+12+16+20）/ 5 = 12，几何平均
数学：均值定理
质疑
探究 解决
均值不等式——解决问题时：一正二定三相等 方法：转化、凑、函数
谢谢聆听
敬请批评指正
法一(均值定理） 法二(二次函数）
凑函项数思想 数形结合
凑系数
质疑探究 质疑 不等
检测探巩究固三
不等
法一(均值定理）
函数思想
法二(二次函数）
数形结合
单调性
均值定理
Байду номын сангаас一正
1
2 三相等
3 等号取不到时
二定
——利用函数单调性
强化练习
课堂小结
学习过程 知识内容 思想方法
转化思想 函数思想 分类讨论
数形结合 ……
→求最大（小）值
知识梳理 内容分析
重要不等式：
当a, b R时，a2 b2 2ab，
均值不等式：
当a 0,b 0时，a b ab， 2
一正
二定
三相等
变 形
a b 2 a定b ab （ a定 b )2
2
积定，和最小 和定，积最大
前置作业 答题分析
前置作业 答题分析
考 点解读
考纲要求
理解
均值定理，会用基本 不等式 a2 b2 2ab(a, b R)
a b 2 ab(a,b R )
解决一些简单的问题.
三个数的均值定理资料PPT18页
时间反复无常，鼓着翅膀飞逝
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
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均值定理
均值定理又叫基本不等式，是高中数学学习中的一个非常重要的知 识点，在日后的函数求最值问题中有十分频繁的应用，一定要熟练掌 握 均值定理（Mean value theorem）： 已知x，y∈R+，x+y=S，x· y=P (1)如果P是定值，那么当且仅当x=y时，S有最小值； (2)如果S是定值，那么当且仅当x=y时，P有最大值。 或 当a、b∈R+，a+b=k（定值）时，a+b≥2√ab (定值）当且仅当 a=b时取等号。 （3）设X1，X2，X3，……，Xn为大于0的数。 则X1+X2+X3+……+Xn≥n乘n次根号下X1乘X2乘X3乘……乘Xn （一定要熟练掌握） 当a、b、c∈R+， a + b + c = k（定值）时， a+b+c≥3*(3)√(abc) 即abc≤((a+b+c)/3)^3=k^3/27 (定值） 当且仅当a=b=c时取等号。 例题：1。求x+y-1的最小值。 分析：此题运用了均值定理。∵x+y≥2√xy。 ∴x+y-1≥2√xy -1
2 均值定理特点 编辑本段 一正：各部分为正数 二定：不等号左或右是定值 三相等：等号能够取得
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均值定理六个公式
均值定理六个公式
均值定理六个公式是：（a-b）²=a²+b²-2ab≥0，a²+b²≥2ab，a+b≥2√ab，（a+b）/2≥√ab，a2+b2>=2ab，a+b>=2。
均值定理又称基本不等式，主要内容为在正实数范围内，若干数的几何平均数不超过他们的算术平均数，且当这些数全部相等时，算术平均数与几何平均数相等。调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为“调几算方”。
均值定理公式
均值定理，又称基本不等式。主要内容为在正实数范围内，若干数的几何平均数不超过他们的算术平均数，且当这些数全部相等时，算术平均数与几何平均数相等。
均值定理（Mean value theorem）：
已知x，y∈R+，x+y=S，x·y=P
(1)如果P是定值，那么当且仅当x=y时，S有最小值；
(2)如果S是定值，那么当且仅当x=y时，P有最大值。
或
当a、b∈R+，a+b=k（定值）时，a+b≥2√ab (定值）当且仅当a=b时取等号。
（3）设X1，X2，X3，……，Xn为大于0的数。
则X1+X2+X3+……+Xn≥n乘n次根号下X1乘X2乘X3乘……乘Xn
（一定要熟练掌握）
当a、b、c∈R+，a + b + c = k（定值）时，a+b+c≥3*(3)√(abc)
即abc≤((a+b+c)/3)^3=k^3/27 (定值）当且仅当a=b=c时取等号。
例题：1。求x+y-1的最小值。
分析：此题运用了均值定理。∵x+y≥2√xy。∴x+y-1≥2√xy -1
均值定理特点：
一正：各部分为正数
二定：不等号左或右是定值
三相等：等号能够取得
平均值定理公式
平均值定理公式
均值定理，又称基本不等式。主要内容为在正实数范围内，若干数的几何平均数不超过他们的算术平均数，且当这些数全部相等时，算术平均数与几何平均数相等。
均值定理是高中数学学习中的一个非常重要的知识点，在函数求最值问题中有十分频繁的应用。
定义
均值定理：对于任意两个正实数a、b，都有
当且仅当a=b时，等号成立。
注：运用均值不等式求最值条件
①a >0 , b>0;
②a和b的乘积ab是一个定值（正数）；
③等号成立条件。
相关重要不等式：
①(a+b)2 >= 0
②a2+b2 >= 2ab;
③|a| - |b| <= |a+-b| <= |a| + |b|.
数学(均值定理)
∵x∈[1,2]
∴y=x/(x^2-2x+3 )
=1/(x+3/x-2)
根据均值定理
x+3/x≥2√(x*3/x)=2√3
∴当x=3/x,x²=3,x=√3时，
分母t=x+3/x-2取得最小值2√3-2
又x∈[1,√3],t=x+3/x-2递减
x∈[√3,2],t=x+3/x-2递增
x=1时，t=2;x=2时，t=3/2
∴t=x+3/x-2的最大值为2
∴2(√3-1)≤t≤2
∴y=1/t∈[1/2,(√3+1)/4]
即函数值域为[1/2,(√3+1)/4]
∵x∈[1,2]
∴y=x/(x^2-2x+3 )
=1/(x+3/x-2)
根据均值定理
x+3/x≥2√(x*3/x)=2√3
∴当x=3/x,x²=3,x=√3时，
分母t=x+3/x-2取得最小值2√3-2
又x∈[1,√3],t=x+3/x-2递减
x∈[√3,2],t=x+3/x-2递增
x=1时，t=2;x=2时，t=3/2
∴t=x+3/x-2的最大值为2
∴2(√3-1)≤t≤2
∴y=1/t∈[1/2,(√3+1)/4]
即函数值域为[1/2,(√3+1)/4]
追问：
答案上写的是[2/3,(√3+1)/4], 2/3是怎么来的？谢谢！追答：
很明显是答案错了，
当x=1时，y=1/(1-2+3)=1/2,ymin=1/2
x=2时，y=2/(4-4+3)=2/3 这不是最大值，也不是最小值
三个数的均值定理优秀课件
热身训练
1.源自文库1)若正数x、y满足x+2y＝1.求
1 x
1 y
的最小值；
32 2
(2)若x、y∈R+，且2x+8y-xy＝0.求x+y的最小值.
18
2 .已 x 1 ,知 y 2 ,且 x y 1,求 5 D (x 1 )y ( 2 ) 的 .最 大 值
36
自主学习教8材 --9页的内容 解决下列问题
三个数的均值定理优秀课件
复习回顾
1．如果 a，b∈R，那么 a2＋b2 ≥ 2ab(当且仅当 a＝b 时取
“＝”号)． 2．若 a，b 都为 正 数，那么a＋b ≥ ab(当且仅当 a ＝ b 时，
2
等号成立)，称上述不等式为 基本
a＋b
不等式，其中 2
称
为 a，b 的算术平均数， ab 称为 a，b 的几何平均数．
推广
对于 n 个正数 a1, a2 , a3, an，它们的算术
平均值不小于它们的几何平均值，
即 a1 a2 a3 n
an ≥ n a1a2a3
an
(当且仅当 a1 a2 a3 an 时取等号.)
探究二 三个正数的均值不等式的应用
设 x, y , z 都是正数，则有
⑴若 xyz S （定值），
则当 x y z 时， x y z 有最__小___值_3_3__S_.
均值定理的公式
均值定理的公式
均值定理的公式是a+b≥2√ab，均值定理，又称基本不等式，均值定理是高中数学学习中的一个非常重要的知识点，在函数求最值问题中有十分频繁的应用。
均值定理四个公式：a>0b>0时，a+b≥2√ab，ab≤[(a+b)/2]²。a+b+c≥3*√(abc)，abc≤((a+b+c)/3)^3=k^3/27(定值）等。
均值定理，又称基本不等式。主要内容为在正实数范围内，若干数的几何平均数不超过他们的算术平均数，且当这些数全部相等时，算术平均数与几何平均数相等。均值定理是高中数学学习中的一个非常重要的知识点，在函数求最值问题中有十分频繁的应用。
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变式 (1)当0 x 1 时, 求函数y x 2 (1 x)的最大值 .
(2)当0 x 1时, 求函数y x(1 x 2 )的最大值 .
思考：下列解法正确吗？
2
3 求函数y 2 x , ( x 0)的最小值. x
2
解:
3 2 1 2 2 1 2 y 2 x 2 x 33 2 x 33 4 x x x x x
4 2
A.0
B.1
16 C. 27
32 D. 27
归纳延伸
通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数 不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一 些不等式及求函数的最值，但是在应用时，应注意定 理的适用条件。
课后作业
1．教材 10 页 10、11、12、13 提示：11 题条件两边平方解决 2．预习绝对值不等式
注：一正、二定、三等。
理论迁移
例1：已知 a、b、c都是正数，求证： (a b c)3 27abc
1 例2 求函数 y x (1 3 x)在 [0, ]上的最大值. 3
2
例3.将一块边长为a的正方形铁皮,剪去四个角(四 个全等的正方形),作成一个无盖的铁盒,要使其容 积最大,剪去的小正方形的边长为多少?最大容积 是多少? a a 2xx
热身训练
1 1 1.(1)若正数x、y满足x+2y＝1.求 的最小值； x y
3 2 2
(2)若x、y∈R+，且2x+8y-xy＝0.求x+y的最小值.
18
2.已 知x 1, y 2, 且x y 15, 求D ( x 1)( y 2) 的最大值 .
36
自主学习教材 8 - -9页的内容， 解决下列问题
表述:三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
推广
对于 n 个正数 a1 , a2 , a3 , an， 它们的算术 平均值不小于它们的几何平均值，
a1 a2 a3 即 n
an
≥ n a1a2 a3
an
wk.baidu.com
(当且仅当 a1 a2 a3
an 时取等号.)
探究二 三个正数的均值不等式的应用
三个正数的均值不等式
【学习目标】 1．了解三个正数的算术平均值与几何平均值的大小． 2．会用三个正数的均值不等式解决一些简单的问题． 【学法指导】 1．要善于通过由两个正数的均值不等式推广到三个及多个 正数的均值不等式． 2．利用均值不等式解决问题是特别注意等号成立的等价条 件．
复习回顾
1．如果 a，b∈R，那么 a2＋b2 ≥ 2ab(当且仅当 a＝b “＝”号)． a＋b ≥ 正 2． 若 a， b 都为 数， 那么 2 等号成立 )，称上述不等式为 为 a，b 的算术平均数，
问 题2： 三 个 正 数 的 算 术 平 数 均与 几 何 平 均 数 的 大关 小 系 如 何 ？ 怎 样 证 明 ？号 等成 立 的 条 件 是 什 么 ？
问题3：由两个正数、三个正 数推广到多个正数又如 何？
三个正数的算术-几何平均不等式 定理
abc 3 若a, b.c R , 那么 abc , 3 当且仅当a b c时，等号成立。
ab
时取
ab(当且仅当 a ＝ b 时， 称
a＋b 基本 不等式，其中 2
称为 a， b 的几何平均数．
a＋b ≤ 3．当 a>0，b>0 时， 1 1≤ ab≤ 2 ＋ a b
2
a2＋b2 2
调和平均值≤几何平均值≤算术平均值≤平方平均值
4．设 x，y 为正实数
s2 (1)若 x＋y＝s(和 s 为定值)， 则当 x＝y 时， 积 xy 有最 大 值为 4 .
设 x , y , z 都是正数，则有 ⑴若 xyz S （定值） ， 3 小 3 S 则当 x y z 时， x y z 有最_____值_____. 3 p ⑵若 x y z p （定值） ， 大 值 _______. 27 则当 x y z 时， xyz 有最_____
ymin 3 4
3
达标检测
12 1.函数 y 3x 2 ( x 0) 的最小值是 ( C ) x
A.6
2
B.
6 6
C.9
D.12
16 8 2.函数 y 4 x 2 2 的最小值是____________ ( x 1)
3.函数
y x (2 x )(0 x 2 ) 的最大值是（ D ）
(2)若 xy＝p( 积 p 为定值 ) ，则当 x＝y 时，和 x＋ y 有最 小 值 为2 p. 5．利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足： (1)x，y 必须是 正数 ； (2)求积 xy 的最大值时，应看和 x＋y 是否为定值；求和 x ＋y 的最小值时，应看积 xy 是否为 定值 ． (3)等号成立的条件是否满足．利用基本不等式求最值时，一 定要注意三个前提条件，这三个前提条件概括为“一正、二定、 三相等”．
探究一 三个正数的均值不等式
等号成立的条件是什么 ？
问题1：由a 2 b 2 2ab推广到三个数又如何？ 怎样证明？
和的立方公式： (x 立方和公式： x 3
y ) x 3 x y 3 xy y
3 3 2 2
3
y ( x y )( x xy y )
3 2 2