矩阵论练习和习题
矩阵论习题
1、检验下列集合对于指明的数域和指定的运算，是否构成线性空间：1)集合：数域F 上的所有5次多项式；数域：F ；运算：多项式的加法和数乘．2)集合：n 阶实矩阵的全体；数域：实数域R ；运算：矩阵的加法及数乘．3)集合：数域F 上的n 阶对称矩阵的全体；数域：F ；运算：矩阵的加法及数乘．4)集合：全体整数；数域：实数域R ；运算：数的加法及乘法．5)集合：],[b a 上的全体连续函数；数域：实数域R ；运算：函数的加法及数乘．6)集合：数域F 上的齐次线性方程组0=Ax 的所有解向量；数域：F ；运算：数组向量的加法及数乘．7)集合：},0{R b a b b a V ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=；数域：实数域R ；运算：矩阵的加法及数乘． 8)集合：},1{R b a b b a V ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=；数域：实数域R ；运算：矩阵的加法及数乘． 解 1) 不是，对加法不封闭，(或对数乘不封闭，F ∉0)；2) 是；3) 是；4) 不是，对数乘运算(即通常数的乘法)不封闭；5) 是；6) 是；7) 是；8) 不是，无零元素．2、设V 是数域F 上的线性空间，n εεε,,,21 是V 的一组基．证明：1) 对于数域F 中任意非零的数k ，向量组n k k k εεε,,,21 是V 的一组基；2) n n εεε,,2,21 是V 的一组基．3) 对于F 中任何一组全不为零的数n k k k ,,,21 ，向量组n n k k k εεε,,,2211 是V 的一组基．证 1) 设存在F 中数n k k k ,,,21 ，使得02211=+++n n k k k k k k εεε ，则由n εεε,,,21 线性无关，有021====k k k k k k n ，因0≠k ，所以021====n k k k ，所以n k k k εεε,,,21 线性无关，又它们共有n 个，所以是V 的一组基．2)因为A n n n ),,,(),,2,(2121εεεεεε =，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n A 21，因为0!≠=n A ，所以A 为可逆矩阵，又因n εεε,,,21 为一组基，所以n n εεε,,2,21 也为一组基．3) 显然向量组n εεε,,,21 与n n k k k εεε,,,2211 能相互线性表示，也即这两个向量组等价，又因n εεε,,,21 线性无关，所以n n k k k εεε,,,2211 也线性无关，从而为V 的一组基．3、求出下列线性空间的维数和一组基．1) 数域F 上所有n 阶上三角矩阵的集合V 对于通常的矩阵加法与数乘所成的数域F 上的线性空间．2) 数域F 上所有n 阶对角矩阵的集合V 对于通常的矩阵加法与数乘所成的数域F 上的线性空间．3) 复数域C 上所有3元行向量的集合．},,),,{(321321C a a a a a a V ∈=对于通常的数组向量加法与数乘所成的实数域R 上的线性空间．4) 集合},0{R b a b b a V ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 对于通常的矩阵加法与数乘所成的实数域R 上的线性空间．解 1) 维数为2)1(+n n ，一组基为n j i n i E ij ≤≤=;,2,1, ．(ij E 为元素ij a 为1，其他元素都为0的n 阶矩阵)．2) 维数为n ，一组基为n i E ii ,,2,1, =．3) 维数为6，一组基为(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(,0,0),(0,,0),(0,0,)i i i4) 维数为2，一组基为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110,0001．4、已知线性空间3R 的两组基 1231231001110,1,0;'0,'1,'1,001001εεεεεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭求3R 中向量Ta a a ),,(321=α分别在两组基下的坐标．解 因为332211εεεαa a a ++=，所以α在基321,,εεε下的坐标为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321a a a ．又因为123123111(',',')(,,)011001εεεεεε⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，所以α在基123',','εεε下的坐标为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-332213211100110111a a a a a a a a ． 5、下述各题中线性空间V 的子集1V 是否构成V 的子空间：(各题中的F 均为数域)． 1)3112312,{(,,)0};V F V a a a a a ==+= 2)32112312,{(,,)};V R V a a a a a ===3)1],[V x R V =是所有常数项为0的实系数多项式的集合；4);][,][315x F V x F V ==5)122,V FV ⨯=是V 中所有2阶可逆矩阵的集合； 6)122,V FV ⨯=是V 中所有右上角元素为0的矩阵的集合； 7)122,V F V ⨯=是V 中所有右上角元素为1的矩阵的集合； 8)1,V R V n=是V 中所有第一个分量大于第二个分量的向量所成的集合．解 1) 是；因为对任意的1321321),,(),,,(V b b b a a a ∈，对任意的F k ∈， 1332211321321),,(),,(),,(V b a b a b a b b b a a a ∈+++=+1321321),,(),,(V ka ka ka a a a k ∈=．2) 不是；对任意的1321321),,(),,,(V b b b a a a ∈，因为),,,(),,(),,(332211321321b a b a b a b b b a a a +++=+且221a a =，221b b =，但22211)(b a b a +≠+，所以和1V ∉．3) 是；4) 是；5) 不是；若22,⨯∈F B A 均可逆，但B A +未必可逆．6) 是；7) 不是；若1V A ∈，对F k ∈≠1，有kA 右上角元素为1≠k ，故1V kA ∉．8) 不是；如1),2,1(V ∈-- ，对R k k ∈<,0，有k k 2-<-，(1,2,)k --= 1(,2,)k k V --∉ ．6、设V 是实系数n 元齐次线性方程组0=Ax 的所有解向量的集合．证明：1)V 是线性空间n R 的一个子空间(该线性空间称为齐次线性方程组0=Ax 的解空间)；2)0=Ax 的任一基础解系都是V 的一组基．证 1) 记{0},n V x R Ax =∈=则任意的V y x ∈,，有()000A x y Ax Ay +=+=+=，对任意的k R ∈，有0)(==kAx kx A ，所以V kx y x ∈+,，V 是nR 的一个子空间．2) 任取0=Ax 的一组基础解系12,,,r ηηη ，则12,,,r ηηη 线性无关，且0=Ax 的任一个解都能由12,,,r ηηη 线性表示，所以12,,,r ηηη 为V 的一组基，r V =dim ．7、求齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-03020421431432x x x x x x x x x的解空间的维数和一组基．解 将系数矩阵使用初等行变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000011102101301121011110 ，同解方程组⎩⎨⎧=+-=++002432431x x x x x x 解空间的维数为2=-r n ，令),(43x x 分别为)1,0(),0,1(，得一组基础解系T T )1,0,1,2(,)0,1,1,1(21--=-=ηη，即为解空间的一组基．(答案不唯一)8、求4R 中由向量⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1215,8120,3011,21024321αααα 生成的子空间的维数和一组基．解 因为),,,(4321ααααL 的维数等于向量组4321,,,αααα的秩，4321,,,αααα的一个极大无关组就是),,,(4321ααααL 的一组基．又因为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--00000000121021011832210112105012，故维数为2，21,αα为一组基(不唯一)． 9、证明：在线性空间V 中，两个向量组生成相同子空间的充分必要条件是这两个向量组等价．证 设12,,...,s ααα及12,,...,t βββ是线性空间V 的两个向量组，如果12121(,,...,)(,,...,)s t L L V αααβββ==，此时，若视1V 由12,,...,s ααα生成，则12,,...,t βββ作为1V 中的向量必可由12,,...,s ααα线性表示；若视1V 由12,,...,t βββ生成，则12,,...,s ααα又可由12,,...,t βββ线性表示．于是12,,...,s ααα与12,,...,t βββ等价．反之，若12,,...,s ααα与12,,...,t βββ等价，由于12(,,...,)s L ααα中的向量都可由12,,...,s ααα线性表示，而12,,...,s ααα又可由12,,...,t βββ线性表示，于是12(,,...,)s L ααα中的向量都可由12,,...,t βββ线性表示，即1212(,,...,)(,,...,)s t L L αααβββ⊆．同理可证，1212(,,...,)(,,...,)t s L L βββααα⊆，所以1212(,,...,)(,,...,)s t L L αααβββ=．10、证明：如果n 维线性空间V 的两个子空间1V ，2V 的维数之和大于n ，则12V V 中必有非零向量．证 由维数公式121212dim()dim()dim()dim()V V V V V V +=++ ，由已知，有12dim()0V V > ，故12V V 中必有非零向量．11、证明：线性空间V 的任一子空间1V 都是数乘变换*k 的不变子空间．证 对任意的1V α∈，因1*()k k V αα=∈，有1V 为*k 的不变子空间．12、设线性空间V 的子空间1V ，2V 都是线性变换σ的不变子空间，试证12V V 及12V V +也是σ的不变子空间．证 对任意的12V V α∈ ，则1()V σα∈，2()V σα∈，有12()V V σα∈ ；对任意的12V V α∈+，有12ααα=+，12,V V αα∈∈，则11()V σα∈，22()V σα∈，有1212()()()V V σασασα=+∈+．13、设321,,εεε是线性空间V 的一组基，线性变换σ使132231)(,)(,)(εεσεεσεεσ===，求σ的所有特征根及全部特征向量．解 σ在321,,εεε下对应的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A ，易求得A 的也即σ的特征根为1,121=-=λλ(2重)，当11-=λ时，解0)(=--X A E ，得一个基础解系1(1,0,1)T ξ=-，所以σ对应特征根11-=λ的全部特征向量为11231113(,,)(),k k εεεξεε=-其中1k 为任意的非零数．当12=λ时，解0)(=-X A E ，得一个基础解系23(0,0,1),(1,0,1),T T ξξ==所以σ对应特征根12=λ的全部特征向量为212323123323313(,,)(,,)()k k k k εεεξεεεξεεε+=++，其中32,k k 是不同时为0的任意数．14、 判明下述规则τσ,是否成为各自线性空间V 的变换：1)F 为数域，22⨯=F V ，对于任意的V A ∈，若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=c a A c b a A )(,0)(τσ； 2)3][x R V =，对于任意的V x a x a a x f ∈++=2210)(，则)()]([),()]([x xf x f x f dx d x f ==τσ； 3)2R V =，对于任意的V ∈α，若T b a ),(=α，则T T ib ia b a ),()(,)1,1()(=++=ατασ．解 此题主要看τσ,的像是否属于V ，易知1)2)3)中的σ都是V 的变换，τ都不是．15、设线性空间3F 上的变换τσ,为：对3321),,(F a a a T ∈=α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21332121210)(,)(a a a a a a a a a a ατασ，试求σττσ,+．解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+323212))((a a a a a ατσ；⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=3213210))((a a a a a a αστ．16、判断下面变换中哪些是线性变换，哪些不是．1) 在3R 上，定义σ：对⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0)(,213321a a R a a a ασα；2) 在3F 上，定义σ：对⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=332213321)(,a a a a F a a a ασα； 3) 在4F 上，定义σ：对⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=∈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=443322144321)(,a a a a a a a F a a a a ασα； 4) 在线性空间V 上，定义σ：V ∈=ααασ,)(0，其中0α为V 中一个固定的向量．5) 在n n R⨯上，合同变换σ：n n T R A AP P A ⨯∈=,)(σ，其中P 为一个固定的n 阶实可逆矩阵；6) 在][x F 上，定义变换σ：][)(),()]([x F x f x xf x f ∈=σ．解 1)是；2)不是；3)是；4)当00=α时是，当00≠α时不是；5)是；6)是．17、对于线性空间上的线性变换的乘法不具备交换律，但是对某些特定的线性变换τσ,，有τσστ=，此时称τσ,是可换的，今设P 是线性空间n n F ⨯中的一个确定矩阵，定义n n F ⨯的变换τσ,如下：对于n n F ⨯中的任意矩阵A ，AP A PA A ==)(,)(τσ，试证：1)τσ,都是线性变换． 2) τσ,是可换的．证 对任意的n n F B A ⨯∈,，任意的F k ∈，因为)()()()(B A PB PA B A P B A σσσ+=+=+=+)()()(A k kPA kA P kA σσ===所以σ是线性变换，同理可证τ也是线性变换．又n n F A A P PA AP P AP A ⨯∈====),()()()()(τσσστ，所以τσ,都是线性变换．18、设22⨯∈R V ，σ是V 上线性变换，对于任意的V M ∈，若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a M ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=d c c b a b M )(σ． 1) 证明σ是可逆线性变换； 2) 求出1-σ，即对上面的矩阵M ，求出)(1M -σ．证 1)取V 的一组基1112212210010000,,,00001001E E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000)(,1100)(,0011)(,0010)(22211211E E E E σσσσ，所以σ在基22211211,,,E E E E 下的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1100010000110010A ，因为01≠-=A ，所以A 可逆，故σ可逆．2)对V M ∈，有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-c d c a a b M )(1σ． 1、设V 是实数域R 上的n 维线性空间，12,,,n εεε 是V 的一组基，对于V 中向量n n x x x εεεα+++= 2211，n n y y y εεεβ+++= 2211，定义内积为n n y nx y x y x +++= 22112),(βα，证明V 在此内积下构成一个内积空间．证 设R k V z z z n n ∈∈+++=,2211εεεγ ，则有n n x ny x y x y +++== 22112),(),(αββα；111222(,)()2()()n n n x y z x y z nx y z αβγ+=++++++11221122(2)(2)n n n n x y x y nx y x z x z nx z =+++++++(,)(,)αβαγ=+； 1122(,)2(,)n n k kx y kx y nkx y k αβαβ=+++= ．当0=α时，0),(=αα；当0≠α时，至少有一个00≠i x ，从而0),(200>=i x i αα，因此，该实数是V 上的内积，V 构成一个内积空间．2、设V 是实数域R 上的n 维线性空间，n εεε,,21 是V 的一组基，A 是一个n 阶正定实对称矩阵．定义V 的内积如下：对于V 中向量βα,，如果它们在基12,,,n εεε 下的坐标分别为y x ,，则 Ay x T =),(βα，证明V 是一个内积空间．证 设V ∈γ，在基12,,,n εεε 下的坐标为z ，R k ∈，则有),()(),(αββα=====Ax y x A y Ay x Ay x T T T T T T ；),(),()(),(γαβαγβα+=+=+=+Az x Ay x z y A x T T T ；),()(),(βαβαk Ay kx Ay kx k T T ===；因为A 为n 阶正定实对称矩阵，所以Ax x T =),(αα为正定二次型．0≠α时，0),(>αα；0=α时，0),(=αα，所以V 是一个内积空间．3、在实内积空间4R (内积为实向量的普通内积)中，已知⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1111,1111,0011321βββ， 试求出与321,,βββ都正交的单位向量．解 设T x x x x ),,,(4321=α满足,3,2,1,0),(==i i βα有 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=--+=+0004321432121x x x x x x x x x x ，可取T )1,1,1,1(--=α，故单位向量为 T ⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,21,21,21或T⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,21,21,21． 4、设内积空间3C 中向量βα,的内积为 αββαH =),(判断下述向量βα,是否正交：1)T T i i i i )2,1,1(,),,1(-+=--=βα；2)TT i i i i i )3,1,,1(,)2,,1(-=+-=βα． 解 1)01)2,1,1(),(=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=i i i i βα，故正交．2)04721)3,,1(),(≠+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=i i i i i i βα，故不正交． 5、设12,,,n ααα 是n 维内积空间V 的一组基，如果V 中向量β使.,2,1,0),(n i i ==αβ证明 0=β．证 令n n x x x αααβ+++= 2211，有0),(),(),(11===∑∑==n i i i n i i i x x αβαβββ，由内积定义，有0=β．6、设V 是实数域R 上的内积空间，321,,εεε是V 的一组标准正交基．证明)22(31),22(31),22(31321332123211εεεηεεεηεεεη--=+-=-+=也是V 的一组标准正交基．证⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=323231323132313232),,(),,(321321εεεηηη，记矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=323231323132313232A ，因为,E A A T =所以A 为正交矩阵，又因为321,,εεε为标准正交基，所以321,,ηηη也是标准正交基．7、设54321,,,,εεεεε是5维内积空间V 的一组标准正交基．32132125112,,εεεαεεαεεα++=-=+=．求子空间),,(321αααL 的一组标准正交基．解 设0332211=++αααk k k ，则0)()2(51332321321=+++-+++εεεεk k k k k k k ，因为5321,,,εεεε线性无关，则0321===k k k ，所以321,,ααα线性无关，所以他们是),,(321αααL 的一组基．将321,,ααα正交化，单位化，即得),,(321αααL 的一组标准正交基．记)0,0,1,1,2(),0,0,0,1,1(),1,0,0,0,1(321=-==x x x ，则正交化，11x y =；⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=21,0,0,1,21),(),(1111222y y y y x x y ；()1,0,1,1,1),(),(),(),(13222231111333-=-=--=y x y y y y x y y y y x x y ；单位化)1,0,0,0,1(222211==y z ； )1,0,0,2,1(663622--==y z ； )1,0,1,1,1(213-=z 所以标准正交基)(21),2(66),(22532135212511εεεεγεεεγεεγ-++=--=+=． 8、已知线性空间4][x R 对于内积⎰-=11)()())(),((dx x g x f x g x f构成一个内积空间．从基32,,,1x x x 出发，经正交单位化求一组标准正交基．解 因为32),(,0)1,(,211)1,1(1121111=====⋅=⎰⎰⎰---dx x x x xdx x dx ， 52),(,32)1,(,0),(2222===x x x x x ，…… 正交化，令11=β；x x x =⋅-=1)1,1()1,(2β； 31),(),(1)1,1()1,(22223-=⋅-⋅-=x x x x x x x x β；x x 5334-=β；再单位化x x x x x x 41434145;4104103;26),(;22)1,1(34232211-=-=====ηηβηβη9、对于实数域R 上的线性空间n m R ⨯，规定内积如下：对于nm R ⨯中任意元素][],[ij ij b B a A ==，则=),(B A 迹∑∑===n i mj ji ji Tb a A B 11)(．证明nm R⨯对此内积构成欧氏空间．证 ∑∑∑∑=======n i mj m j ni ji ji ji jiA B a b b aB A 1111),(),(；对任意的R k ∈，nm ij Ra C ⨯∈=][，有=+),(C B A 迹=+))((A C B T 迹()T T B A C A +=迹)(A B T +迹()TC A =(,)A B (,)A C +；=),(B kA 迹=))((kA B T 迹)(A kB T =k 迹)(A B T =),(B A k ；0),(112≥=∑∑==n i mj ji a A A ，当且仅当0=ji a (即0=A )时，0),(=A A ，所以n m R ⨯对此内积构成欧氏空间．10、设欧氏空间4R (内积为普通实数组向量的点积)的一组基为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1111,0111,0011,00014321αααα，求在这组基下的度量矩阵A ．解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==4321332122211111)),((j i A αα． 11、在线性空间4R 上定义一种内积成为欧氏空间．已知在基T T T T e e e e )1,0,0,0(,)0,1,0,0(,)0,0,1,0(,)0,0,0,1(4321====下的度量矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=3101121001211012A ． 1) 求在基T T T T )1,1,0,1(,)1,2,1,0(,)0,0,2,1(,)0,0,1,1(4321==-=-=αααα下的度量矩阵B ．2) 求实数a ，使向量T a )1,2,,1(-=α与向量T )0,2,1,1(-=β正交． 解 1) 因为由基4321,,,e e e e 到基4321,,,αααα的过渡矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-2100110010113112;11001200012110111P P ， 设向量α在4321,,,e e e e 下的坐标为x ，则α在4321,,,αααα下的坐标为x P 1-，如果在基4321,,,αααα下的度量矩阵为B ，则Ax x x BP x P T T ==--11)(),(αα，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----===--79119130010631032,)(11AP P B A BP P T T 2)βα,在4321,,,e e e e 下的坐标分别为T a )1,2,,1(-和T)0,2,1,1(-，所以0)0,2,1,1()1,2,,1(),(=--=T A a βα时，有310=a ． 12、设321,,εεε是欧氏空间V 的一组基，内积在这组基下的度量矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=612121211A已知V 的子空间1V 的一组基为112αεε=+，2123αεεε=+-．1) 证明21,αα是1V 的一组正交基； 2) 求1V 的正交补⊥1V 的一组基． 证 1) 因为12111213212223(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)ααεεεεεεεεεεεε=+-++-112(1)2(1)0=--+-+--=，故21,αα正交，所以21,αα是1V 的一组正交基．2) 只需再找到V 中向量3α使321,,ααα为V 的一组正交基，则3α即为⊥1V 的一组基． 方法一：设3322113εεεαx x x ++=，利用正交条件⎩⎨⎧==0),(0),(3231αααα 即 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0)1,1,1(0)0,1,1(321321x x x A x x x A 可得一解为2,2,7321-===x x x ，即得3213227εεεα-+=．方法二：先将21,αα扩充为V 的一组基123,,ααξ，为此只需123,,αατ的坐标线性无关．例如取31ξε=即可．再将123,,ααξ正交化．因21,αα已是正交组，正交化过程只需从第三个向量做起．令(3)(3)311223k k αααξ=++，算出(3)(3)3132121122(,)(,)20,(,)(,)5k k ξαξααααα=-==-=，即得3213525257εεεα-+=．13、设4维欧氏空间V 在基4321,,,εεεε下的度量矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=1100162102100101A ， 已知V 中向量323312211,,εεαεεαεεα-=+=+=，V 的子空间1123(,,)V L ααα=．1) 试求1V 的一组标准正交基； 2) 设有1V 的线性变换σ，使11266()(1)33σααα=+-，21266()(1)(2)63σααα=-++-，3136()22σααα=+请判明σ是不是1V 的正交变换或对称变换？解 1) 显然321,,ααα线性相关，其极大无关组21,αα即为1V 的一组基，将21,αα正交化、单位化便可得1V 的一组标准正交基．正交化得21211,ααβαβ+-==；再单位化得11212233,233γαγαα==-+． 又解 如取31,αα为1V 的一组标准正交基，因为31,αα已是正交基，只需单位化，便得1V 的一组标准正交基3332111133,22αααηαααη====2) 由题设条件知B ),(),(2121αααασ=，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----+=36236661361B 由1)的结果知P ),(),(2121ααγγ=，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=3303322P 设对1V 的标准正交基21,γγ有C ),(),(2121γγγγσ=则应有⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----+⎥⎦⎤⎢⎣⎡==-211133033223623666136130221BP P C因为C 是对称矩阵但不是正交矩阵，所以σ是对称变换但不是正交变换．14、设A ，B 都是H -矩阵，证明AB 也是H -矩阵的充要条件是BA AB =．证 必要性：BA A B AB AB H H H ===)()(；充分性：AB BA A B AB H H H ===)(，所以AB 为H -矩阵．15、若矩阵A 满足,A A H -=则称A 为一个反厄密特矩阵．试证：任一n 阶矩阵可表示为一个厄密特矩阵与一个反厄密特矩阵之和．证 设C B A +=，且C C B B H H -==,，则C B C B A HH H -=+=，所以)(21),(21H H A A C A A B -=+=为所求． 16、判断下列各矩阵在所指明的数域上能否相似对角化？若能，求出一个相似因子P ，并给出相应的对角矩阵Λ．1),163053064⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=A 实数域 2),201335212⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=A 复数域3),013211233⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=A 实数域 4),1211⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=B 复数域5)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=624232426B ，实数域解 1) )2()1(163530642+-=-+--=-λλλλλλA E ，特征根11=λ(二重)，22-=λ．当11=λ时，解0)(1=-X A E λ，有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000000021063063063，秩为1，故基础解系中有213=-=-r n 个线性无关特征向量，因0)(1=-X A E λ的同解方程组为0221=+x x ，3x 为任意实数．则令0,132==x x 有)0,1,2(1'-=ξ；1,032==x x 有)1,0,0(2'=ξ．当22-=λ，解0)(2=-X A E λ，有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000110011330000011363033063，秩为2，故基础解系中有 1=-r n 个线性无关的特征向量，其同解方程组为⎩⎨⎧=-=+003221x x x x ．令12=x ，则得)1,1,1(3'-=ξ．因A 有3个线性无关的特征向量．令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=110101102P ，则Λ=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-2111AP P ，P 为相似因子． 2),0)1(13321335212323=+=+++=+-+---=-λλλλλλλλA E 特征根1-=λ(三重)．当1-=λ时，解0)(=--X A E ，有010*******=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----X ，因0)(≠--A E ，故秩1)(≥--A E ，所以基础解系有2≤-r n 个线性无关特征向量．故A 不能相似对角化．3) )4)(4(164413211233223+-=-+-=-----=-λλλλλλλλλA E ，因其不能在实数域上分解成一次因式乘积，故A 不能相似于对角形(或A 特征根为复数)．4)0112112=+=+--=-λλλλB E ，i i -==21,λλ． 当i =1λ时，0)(=-X B iE ，有01211=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--X i i ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--00)1(2111211i i i ，同解方程组0)1(2121=+-x i x ，令22=x ，则一个特征向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=211i ξ．当i -=2λ时，0)(=--X B iE ，有01211=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+----X i i ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+----1211i i ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→00)1(211i ，同解方程组0)1(2121=-+x i x ，令22=x ，则得到一个基础解系⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=212i ξ．则一个相似因子为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=2211i i P ，且⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ=-i i BP P 1． 5)0)11()2(444815624232426223=--=-+-=---------=-λλλλλλλλλB E ，2=λ(二重)，11=λ．当21=λ时，()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=-0000002124242124242X B E ，同解方程组022321=++x x x ，秩为1，基础解系中有3-1=2个线性无关特征向量．令),(32x x 分别取)0,1(，)1,0(，得)1,0,1(,)0,1,21(21'-='-=ξξ．当112=λ时，()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-00012010152428242511X B E ，同解方程组 ⎩⎨⎧=-=-0203231x x x x ，秩为2，基础解系中有3-2=1个线性无关特征向量．令13=x ，有 )1,21,1(3'=ξ，得到一个相似因子⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11021011121P ，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-11221BP P 17、对实对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=324262423A ，求正交矩阵Q ，使'Q AQ 为对角矩阵． 解0)2()7(982112324262423223=+-=++-=---=-λλλλλλλλλA E ，得71=λ(二重)， 22-=λ．当71=λ时，()X X A E ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-4242124247，因⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000212424212424，有022321=++x x x ，令),(32x x 分别取)0,2(，)1,0(，有一个基础解系⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101,02121ξξ．当22-=λ时，()05242824252=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--X X A E ，因⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---524282425⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→000120101 ，有⎩⎨⎧=-=-0203231x x x x ，令23=x ，得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2123ξ． 将21,ξξ正交化得 )0,2,1(11'-==ξη， )1,52,54()0,2,1(51)1,0,1(),(),(1111222'--=---=-=ηηηηζξη，单位化得 )0,2,1(511'-=e ，)55,52,54(1512'--=e 将3ξ单位化得 )2,1,2(313'=e ， 令⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=32155503115525232155451Q ，则Q 为正交矩阵，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Λ='=-2771AQ Q AQ Q ．18、求一个酉矩阵U ，把H -矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=22i i A 化为对角形． 解,0)3)(1(341)2(2222=--=+-=--=---=-λλλλλλλλi iA E 解得3,121==λλ．当11=λ时，解0)(=-X A E 有⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→-00111i i i A E ，同解方程组021=+ix x ，令12=x ，得)1,(1'-=i ξ．当32=λ时，解0)3(=-X A E ，有⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→-001113i i i A E 同解方程组021=-ix x ，令12=x ，得.)1,(2'=i ξ再单位化得 ,121,12121⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=i e i e 令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1121i i U ，得 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Λ=31AU U H．19、设V 是3维欧氏空间，321,,εεε是V 的一组标准正交基，线性变换σ使321332123211542)(,452)(,222)(εεεεσεεεεσεεεεσ+--=-+=-+= 求V 的一组标准正交基321,,ηηη，使σ在基321,,ηηη下的矩阵为对角矩阵．解 由题设条件可得σ在标准正交基321,,εεε下的矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=542452222A ，对实对称矩阵A ，可求出正交矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=3235032155455311552552Q ， 使)10,1,1(1diag AQ Q =Λ=-．令123123(,,)(,,)Q ηηηεεε=即得所求之标准正交基11221233123255,5525455,15153122.333ηεεηεεεηεεε=-+=++=+-1、用初等变换把下列λ-矩阵化为Smith 标准形．1) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-λλλλλλ3522232) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++2)1()1(λλλλ解 1)、21[(1)]32232[1,2]3222323[1,2]522352533523λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++-- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22250(103)0(103)33λλλλλλλλλλ⎛⎫+⎛⎫⎪⎪→→ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．2)、3222(1)(1)(1)00020(1)(2)1021λλλλλλλλλλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪→→++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+--⎝⎭⎝⎭⎝⎭22(1)1(1)(1)1(1)λλλλλλλλ+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→+→+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭． 2、求出下列矩阵的不变因子和行列式因子．1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++2)1()1(λλλλ 2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----a b b a b a n λλλ121 ，其中11,-n b b 都是不为0的常数．解 1) 易知32321)1()(),1()(,1)(+=+==λλλλλλλD D D ，所以22331221)1()()()(),1()()()(,1)(+==+===λλλλλλλλλλλD D d D D d d ．2) 易知121()()()1,()()n n n D D D D a λλλλλ-=====- ，所以121()()()1,()()n n n d d d d a λλλλλ-=====- ．3、求下列矩阵的若当标准形．1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---502613803； 2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212044010； 3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---544446235； 4)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----8411362331； 5)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---568236013 ； 6)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--011231221 ； 7)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---496375254 ； 8)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---01121413；9)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000210032104321． 解 1) 先求A E -λ的初等因子，使用初等变换得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+---=-2)1(00010001111613803502613803λλλλλλλλλλA E ，所以初等因子是2)1(),1(++λλ，因而A 的Jordan 标准形为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1111J 或⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---1111 2)1010440440212122E A λλλλλλλ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭221001004(2)00(2)0122002λλλλλλ-⎛⎫⎛⎫⎪⎪--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭所以行列式因子3321)2()(,2)(,1)(-=-==λλλλλD D D ； 不变因子2321)2()(,2)(,1)(-=-==λλλλλd d d ； 初等因子组2)2(,2--λλ；Jordan 标准形为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2122或⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2212． 3) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛321[若当块次序可有不同]； 4) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11111； 5) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+i i 221；6) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1112；7) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0101； 8) 将A 写成分块形式⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21A A A ， 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0112,141321A A ．先分别求出21,A A 的初等因子 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-21)1(11413λλλλA E ，初等因子为2)1(-λ． ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-22)1(1112λλλλA E ，初等因子为2)1(-λ． 所以A 的初等因子为2)1(-λ，2)1(-λ．故Jordan 标准形为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1111119) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111111． 4、求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=130901025017A 的Jordan 标准形，并求变换矩阵P ．解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→-2)2)(3(11λλλA E ，因此A ～⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2123， 即⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-21231J AP P ，PJ AP =，令),,(321x x x P =，可得 32322112,2,3x x Ax x Ax x Ax +===2321)2(,0)2(,0)3(x x A E x A E x A E -=-=-=-由齐次线性方程组0)3(=-x A E ，可求得Tx )0,1,0(1=； 由齐次线性方程组0)2(=-x A E ，可求得Tx )3,0,5(2=；把2x 代入2)2(x x A E -=-，可求得T x )1,0,2(3=．所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=130001250P ．5、已知3阶矩阵A 具有3重特征根1，是否可以说A 的若当标准形一定为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11111J ，如果不一定，请说出此时A 的若当形有几种可能？都是什么样子？解 不一定；题设条件确定了A 的特征多项式为3)1()(-=λλψ．也就是说，A 的初等因子之积应为3)1(-λ．此时，初等因子组尚有如下一些可能：ⅰ)3)1(-λ；ⅱ)2)1(),1(--λλ；ⅲ))1(),1(),1(---λλλ．因此，相应的若当形也有三种可能，即ⅰ)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11111；ⅱ)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111；ⅲ)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111． 6、求下列矩阵1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=221041040A ；2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-311111002；3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----211212112；4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--011212213；5)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----444174147的最小多项式． 解 1) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++→-2)2(21λλλA E ，故最小多项式为23)2()(+=λλd ．2),311111002⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-λλλλA E 其行列式因子为,1)(1=λD ),2()(2-=λλD .)2(3111)2()(33-=----=λλλλλD 不变因子为.)2()(,2)(,1)(2321-=-==λλλλλd d d 故Jordan 标准形为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2122，最小多项式2)2()(-=λλϕ． 3) ,211212112⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+--=-λλλλA E 因),1()(,1)(21-==λλλD DA E D -=λλ)(3,)1(3-=λ故()22211)(,1)(,1)(-=-==λλλλλd d d ，故⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1211J ，最小多项式2)1()(-=λλϕ．4) )2()1(2--λλ； 5) )12)(3(--λλ．7、方阵A 满足0=kA (k 为正整数)，试说明A 的最小多项式取何种形式？ 解)0()(k l l ≤≤=λλϕ．8、设方阵A 满足E A =2，能否说)1)(1()(-+=λλλϕ一定是A 的最小多项式？如果已知1和-1都是A 的特征根，情况又怎样呢？解 提示：12-λ是A 的致零多项式，故最小多项式有三种可能：)1)(1(,1,1-+-+λλλλ．当1与-1均为A 的特征根时，最小多项式就是12-λ．9、已知方阵A 的特征多项式为)1()1()(2-+=λλλϕ，A 的最小多项式为1)(23+--=λλλλϕ．请给出A 的一个若当形，并简要说明原因．解 特征多项式为4次多项式，故知A 为4阶矩阵，A 的特征根为11-=λ(二重)，12=λ(二重)．由最小多项式)1()1()(2-+=λλλϕ可知A 的若当形J 中有两个若当小块为)1(,11121-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=J J ．因为J 的主对角线上应是A 的全部特征根，所以J 中还有另一个若当小块)1(3-=J ．于是，A 的一个若当形为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11111J ． 1、求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=110101011A的QR 分解．解 记),,(321ααα=A ，用施密特正交化方法得11βα=；212121122ββααα=-+=-+；312312*********βββαααα=++=++，单位化得T )0,22,22(2222111===αβε； T)36,66,66(3666362122-=+-==ααβε； T )33,33,33(2363632332133--=++==αααβε． 记26326663036302B ⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，123263263263(,,)26363033Q εεε⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==-- ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，则有Q AB =， 1222226602620033R B -⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，便有QR A =． 2、求出下列矩阵的一种满秩分解1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211012A ；2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=300212112A ；3) 111111111111i i A i i --⎛⎫⎪--⎪= ⎪- ⎪--⎝⎭解 1) 显然，A 是一个列满秩矩阵，故它的一种满秩分解为AE A =，即23⨯=A B ，22⨯=E C ，BC A =．2) 在用行，列初等变换化A 为标准形过程中，顺便求出相应的初等变换21,P P ．具体过程为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+1000100011110000113000011121000100011003000102120011120)]1(12[()]13[E E A,00011002121211110003131010001001010100002111100001103000111121)]31(2[)]1(13[)]1(12[)]21(1[]3,2[31⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→+-+PP E r所以A 的秩为2，行列变换矩阵分别为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=010100212121,1110313100121P P ． 求21,P P 的逆，,010100112,1300310011211⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--P P取11-P 的前两列为B ，取12-P 的前两行为C ，则得到A 的一种满秩分解⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==100112303101BC A ．3) 记),,,,(4321A A A A A =易知),(21A A 为一个极大无关组，,0213A A A -=,0214iA A A +=令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==i C A A B 1100001,11111111),(21，则BC A =． 3、求下列矩阵(相应于互异特征根)的谱分解：1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2543A ；2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0220；3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1111111111111111； 解 1) 求出A 的特征根)2)(7(2543+-=----=-λλλλλA E ，得,71=λ 22-=λ．计算对角化相似因子P 及1-P ，使⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ=-271AP P ． 解0)7(=-X A E ，有基础解系，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111ξ，解0)2(=--X A E ，有基础解系，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=542ξ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==-114591,5141),(121P P ξξ． 令)91,91(),94,95(,54,112121-==⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Q Q P P ，则,95959494,94959495222111⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==Q P A Q P A得谱分解式 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=+=95959494294959495727212211A A A A A λλ． 2) 4222+=-=-λλλλA E ，得互异特征根i i 2,221-==λλ，令i i 2)(,2)(21+=-=λλϕλλϕ，,212221)2(41)()(,212221)2(41)()(22221111⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--==⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+==i i iE A i A A i i iE A i A A λϕϕλϕϕ则⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+=212221221222122211i i i i i i A A A λλ． 3)0=-A E λ得,21-=λ22=λ(3重)．令2)(,2)()(1221+=-=+=-=λλλλϕλλλλϕ，,3111131111311113)2(41)()(,111111111111111141)2(41)()(22221111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=+==⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=--==E A A A E A A A λϕϕλϕϕ则2122A A A +-=．4、求下列正规矩阵的谱分解式．1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0110A ；2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=242422221A ；3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A ． 解 1) 求出A 的特征根i i -==21,λλ，求酉矩阵U 使得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ=-i i AU U 1 解0)(=-X A iE ，得T i ),1(1=ξ，解0)(=--X A iE ，得Ti ),1(2-=ξ， 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=i i U 1121， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==-i i U U H 11211． 令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1121),1(211211i i i i A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1121),1(211212i i i i A ， 则21iA iA A -=．2) 求A 的特征根得71-=λ，22=λ(2重)求相似因子P ，使得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-2271AP P ．解0)7(=--X A E ，得T )2,2,1(1--=ξ，解0)2(=-X A E ，得T T )1,0,2(,)0,1,2(32=-=ξξ，令,102012221⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=P 可算得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-542452221911P ，令,44244222191)2,2,1(912211⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=--⋅⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=A ,54245222891542452911001222⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A 则2127A A A +-=．3),0)1()1()1()(01011022=+-=---=---=-λλλλλλλλλλA E 得11=λ(2重)，12-=λ．解,010********)(1=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⇒=-X X A E λ得,)1,1,1(,)1,0,1(21T T ==ξξ解,010********)(2=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⇒=-X X A E λ得T )1,0,1(3-=ξ，令,2102101021121,1110101111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-PP,210210002102121021101,21021010210210102112111101121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A A 则21A A A -=．5、求矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛002001的奇异值分解． 解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000005A A H，特征根51=λ，02=λ(2重)．故A 的奇异值为0,521==σσ．记∑=)5(，则A 的奇异值矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⨯000005n m S ． 求出A A H分别相应于特征根0,521==λλ的标准正交特征向量为,100,010,001321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=v v v令),(),,(),(2132211V V V v v V v V ===，计算⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑=-2151111AV U ，求2U ： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4221H AA ， 0,521==λλ．对02=λ，解T THu X AA E )51,52()1,2(0)0(1-=⇒-=⇒=-ξ，令⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=51522U ， 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==122151),(21U U U ，得到奇异值分解⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==100010001000005122151HUSV A 6、求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=110011A的奇异值分解．解 ∑=)2(，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000002S ；),(21V V V =，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=2121,212121V V ；),(21U U U =，⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=21001210,2102121U U ； ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==212121210000022102101021021HUSV A ． 7、求下列矩阵A 的M-P 广义逆+A ．1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101201A ，2)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=112001110001A ；3)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1210002i i ；4)10201102132i i -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦解 1) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=+51222261A ；2) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=+11311131222281A ； 3) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=+51052242151i i i A ； 4) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=+i i A 3301745134330241． 1、设nn n n ij Ca A ⨯⨯∈=)(，令12211()n nij Fi j Aa ===∑∑，则F A 为方阵范数，证明：FA 是一种与向量的2-范数2x 相容的方阵范数．称它为方阵A 的Frobenius 范数，简称F-范数．证 即证22x AAx F≤，设n i a a a A in i i i ,,2,1),,,,(21 ==；T n x x x x ),,,(21 =，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x A x A x A x A A A Ax n n 2121，由Cauchy 不等式得22221212222112x A x a x a x a x a x A inj jnj ijnin i i i =≤+++=∑∑== ．所以22222222222221111()()nnnni i i j Fi i i j A x A x A x a x A x=====≤==∑∑∑∑ 从而 22x AAx F≤．2、设V 是n 维(复的或实的)线性空间，n e e e ,,,21 是V 的一组基，则对任意的V x ∈，x 有唯一表示式n n e x e x e x x +++= 2211，规定 2112)(∑==ni i Ex x．证明：E x 是V 中元素的一种范数．证 (ⅰ) 若0≠x ，因n e e e ,,,21 线性无关，故至少有一个坐标00≠i x ，因此，。
矩阵理论习题与答案
矩阵理论习题与答案矩阵理论习题与答案矩阵理论是线性代数中的重要内容之一，它在数学、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用。
为了帮助读者更好地理解和掌握矩阵理论，本文将介绍一些常见的矩阵理论习题，并提供详细的答案解析。
一、基础习题1. 已知矩阵A = [[2, 3], [4, 5]]，求A的转置矩阵。
答案：矩阵的转置是将其行和列互换得到的新矩阵。
所以A的转置矩阵为A^T = [[2, 4], [3, 5]]。
2. 已知矩阵B = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]，求B的逆矩阵。
答案：逆矩阵是指与原矩阵相乘得到单位矩阵的矩阵。
由于B是一个2×3的矩阵，不是方阵，所以不存在逆矩阵。
3. 已知矩阵C = [[1, 2], [3, 4]]，求C的特征值和特征向量。
答案：特征值是矩阵C的特征多项式的根，特征向量是对应于每个特征值的线性方程组的解。
计算特征值和特征向量的步骤如下：首先，计算特征多项式：det(C - λI) = 0，其中I是单位矩阵，λ是特征值。
解特征多项式得到特征值λ1 = 5，λ2 = -1。
然后，将特征值代入线性方程组 (C - λI)x = 0，求解得到特征向量：对于λ1 = 5，解得特征向量v1 = [1, -2]。
对于λ2 = -1，解得特征向量v2 = [1, -1]。
所以C的特征值为λ1 = 5，λ2 = -1，对应的特征向量为v1 = [1, -2]，v2 = [1, -1]。
二、进阶习题1. 已知矩阵D = [[1, 2], [3, 4]]，求D的奇异值分解。
答案：奇异值分解是将矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中一个是正交矩阵，一个是对角矩阵。
计算奇异值分解的步骤如下：首先，计算D的转置矩阵D^T。
然后，计算D和D^T的乘积DD^T，得到一个对称矩阵。
接下来，求解对称矩阵的特征值和特征向量。
将特征值构成对角矩阵Σ，特征向量构成正交矩阵U。
最后，计算D^T和U的乘积D^TU，得到正交矩阵V。
矩阵引论试题及答案
矩阵引论试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 矩阵的元素全部为0的矩阵称为：A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 对角矩阵D. 标量矩阵答案：A2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中线性无关的行（列）的最大数目D. 矩阵的元素个数答案：C3. 矩阵的转置是指：A. 矩阵的行列互换B. 矩阵的行数变为列数C. 矩阵的列数变为行数D. 矩阵的元素不变答案：A4. 两个矩阵相乘的结果称为：A. 矩阵的和B. 矩阵的差C. 矩阵的积D. 矩阵的逆答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果矩阵A的行列式为0，则称矩阵A为________。
答案：奇异矩阵2. 矩阵A的逆矩阵记作________。
答案：A^(-1)3. 矩阵A与矩阵B相乘，记作________。
答案：AB4. 对于任意矩阵A，矩阵A与单位矩阵相乘的结果仍然是________。
答案：A三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述矩阵的行列式是什么？答案：矩阵的行列式是一个标量值，它提供了关于矩阵的一些重要信息，如矩阵是否可逆（行列式非零则可逆）、线性方程组是否有解等。
2. 矩阵的逆矩阵有什么性质？答案：矩阵的逆矩阵具有以下性质：(A^(-1))^(-1) = A，(AB)^(-1) = B^(-1)A^(-1)，以及单位矩阵I的逆矩阵仍然是I。
3. 矩阵的转置矩阵有什么特点？答案：矩阵的转置矩阵具有以下特点：(A^T)^T = A，(AB)^T =B^TA^T，以及矩阵A的转置矩阵的行列式等于矩阵A的行列式。
四、计算题（每题15分，共30分）1. 给定矩阵A = \[\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，计算A的行列式。
答案：\[ \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2 \]2. 给定矩阵B = \[\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5\end{bmatrix}\]，计算B的逆矩阵。
矩阵论习题
1. 假设A,B 都是实正规矩阵, 证明A,B 可同时正交对角化(即存在正交矩阵Q,使得Q TAQ 和Q TBQ 都是对角矩阵)的充分必要条件是A,B 可交换(即AB=BA).2. 证明矩阵AB 和BA 的特征值都相同, 而且非零特征值的代数重数也相同. 并利用这个结论证明: (1) tr(AB)=tr(BA), (2) det(I+xy T )=1+y T x, 其中x,y 都是n 维向量.3. 假设A,B 都是实对称矩阵, 且A 正定, 证明A,B 可同时对角化, 即存在非奇异矩阵C,使得C T AC 和C TBC 都是对角矩阵.4. 证明若矩阵X 满足AX-XB=0, 且矩阵A,B 没有相同的特征值, 则必有X=0.5. 设H=A+iB 是一个正定Hermite 矩阵, 其中A,B 是n 阶实矩阵, 证明矩阵A B B A -⎡⎤⎢⎥⎣⎦是对称正定的.6. 设n 阶矩阵A 满足A 3=I, 试导出A 的Jordan 标准型可能具有的形状.7. 证明矩阵F 范数与向量2范数相容, 即22.FAx Ax≤8. 设v 是n 维非零实向量, E 是n 阶实矩阵, 证明12222(()).FTFTTEv v E E I v vv v v--=+‖‖‖‖9. 设200011,201A π⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦证明2200044sin 011.001A A A ππ⎡⎤⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦10. 设622220,02A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦计算ln .A11. 证明对任意n 阶矩阵A, 有21,sin(2cos(2))2sin cos .2cos A A A A A =-=12. 形如(,)TkN y k I ye =-的矩阵称为Gauss-Jordan 变换, 其中y 是n 维实向量. (1) 假定N(y,k)非奇异, 给出计算其逆的公式. (2) n 维实向量x 满足什么条件才能保证存在n 维实向量y 使得N(y,k)x=e k.13. 证明222x y x y +=+‖‖‖‖‖‖当且仅当x 与y 线性相关, 且0.Tx y ≥14. 设m nA R ⨯∈, 证明m ax ,22m ().ax nmTx Ry RA xx y y A σ∈∈=‖‖‖‖15. 设()m n n A R m ⨯∈≥的奇异值为1n σσ≥⋯≥ , 证明202.m inx n A x x σ≠=‖‖‖‖16. 设S 是实反对称矩阵, 证明I-S 非奇异, 且矩阵(I-S)-1(I+S)是正交矩阵.17. 设rank(A)=r, 证明2.F A r A ≤‖‖‖‖18. 设m n A R ⨯∈的奇异值分解为TA VU =∑, 计算下列矩阵的奇异值分解, 要求用,,U V ∑来表示: (1) (A TA)-1, (2) (A TA)-1A T, (3) A(A TA)-1, (4) A(A TA)-1A T19. 设n n A R ⨯∈的奇异值分解为111,[][],,,,TTn n n Vu v v A U u σσ⎡⎤⎢∑⋯⋯⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦若0,0T A H A⎡⎤=⎢⎥⎣⎦证明矩阵H 的2n 个特征值为i σ±,.i i v u ⎡⎤⎢⎥⎣⎦±。
矩阵练习题及答案
矩阵练习题及答案一、选择题1. 矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换，以下哪个矩阵不是A的转置？A. [a11 a12; a21 a22]B. [a21 a22; a11 a12]C. [a12 a22; a11 a21]D. [a22 a12; a21 a11]2. 矩阵的加法是元素对应相加，以下哪个矩阵不能与矩阵B相加？矩阵A = [1 2; 3 4]矩阵B = [5 6; 7 8]A. [4 3; 2 1]B. [6 7; 8 9]C. [1 2; 3 4]D. [5 6; 3 4]3. 矩阵的数乘是指用一个数乘以矩阵的每个元素，以下哪个矩阵是矩阵A的2倍？矩阵A = [1 2; 3 4]A. [2 4; 6 8]B. [1 0; 3 4]C. [0 2; 3 4]D. [1 2; 6 8]4. 矩阵的乘法满足结合律，以下哪个等式是错误的？A. (A * B) * C = A * (B * C)B. A * (B + C) = A * B + A * CC. (A + B) * C = A * C + B * CD. A * (B - C) ≠ A * B - A * C5. 矩阵的逆是满足AA^-1 = I的矩阵，以下哪个矩阵没有逆矩阵？A. [1 0; 0 1]B. [2 0; 0 2]C. [0 1; 1 0]D. [1 2; 3 4]二、填空题6. 给定矩阵A = [1 2; 3 4]，矩阵B = [5 6; 7 8]，矩阵A和B的乘积AB的元素a31是________。
7. 矩阵的行列式是一个标量，可以表示矩阵的某些性质。
对于矩阵C = [2 1; 1 2]，其行列式det(C)是________。
8. 矩阵的特征值是指满足Av = λv的非零向量v和标量λ。
对于矩阵D = [4 1; 0 3]，其特征值是________。
9. 矩阵的迹是主对角线上元素的和。
对于矩阵E = [1 0; 0 -1]，其迹tr(E)是________。
矩阵论考试试题含答案
矩阵论试题一、(10分)设函数矩阵 求：()⎰tdt t A 0与(()⎰20t dt t A )'。
解：()⎰t dt t A 0=()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎰⎰⎰⎰tttt tdt tdt dt t dtt 000sin cos cos sin =⎪⎪⎭⎫⎝⎛---t t t t cos 1sin sin cos 1 二、(15分)在3R 中线性变换σ将基变为基 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0111β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1102β，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2303β(1)求σ在基321,,ααα下的矩阵表示A ；(2)求向量()T 3,2,1=ξ及()ξσ在基321,,ααα下的坐标； (3)求向量()()ξσξ及T 3,2,1=在基321,,βββ下的坐标。
解：(1)不难求得：因此σ在321,,ααα下矩阵表示为(2)设()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=321321,,k k k αααξ，即解之得：9,4,10321-=-==k k k 所以ξ在321,,ααα下坐标为()T 9,4,10--。
()ξσ在321,,ααα下坐标可得(3)ξ在基321,,βββ下坐标为()ξσ在基321,,βββ下坐标为三、(20分)设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=301010200A ，求At e 。
解：容易算得由于()λm 是2次多项式，且2,121==λλ，故()λg 是1次多项式，设由于()t e f λλ=，且()()11λλg f =，()()22λλg f =，故于是解得：⎩⎨⎧-=-=tt tt ee a e e a 21202 从而：四、(15分)求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000110101A 的奇异值分解。
解：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==211110101A A B T的特征值是0,1,3321===λλλ对应的特征向量依次为于是可得 2=rankA ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑1003 计算： ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=-0021212121111AV U 构造 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1002U ，则 ()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==100021210212121U U V 则A 的奇异值分解为： 五、(15分)求矩阵的满秩分解： 解： 可求得：于是有 BC A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30202101121101或 ()H H H H B AC B C A 1-+=六、(10分)求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=201034011A 的Jordan 标准形。
矩阵练习题及答案
矩阵练习题及答案矩阵练习题及答案矩阵是线性代数中的重要概念，也是许多数学问题的基础。
通过练习矩阵题目，我们可以加深对矩阵的理解，提高解决问题的能力。
下面，我将为大家提供一些矩阵练习题及其答案，希望对大家的学习有所帮助。
一、基础练习题1. 计算以下矩阵的和：A = [2 4][1 3]B = [3 1][2 2]答案：A + B = [5 5][3 5]2. 计算以下矩阵的乘积：A = [2 3][4 1]B = [1 2][3 2]答案：A * B = [11 10][7 10]3. 计算以下矩阵的转置：A = [1 2 3][4 5 6]答案：A^T = [1 4][2 5][3 6]二、进阶练习题1. 已知矩阵 A = [2 1][3 4]求矩阵 A 的逆矩阵。
答案：A 的逆矩阵为 A^-1 = [4/5 -1/5] [-3/5 2/5]2. 已知矩阵 A = [1 2][3 4]求矩阵 A 的特征值和特征向量。
答案：A 的特征值为λ1 = 5，λ2 = -1对应的特征向量为 v1 = [1][1]v2 = [-2][1]3. 已知矩阵 A = [2 1][3 4]求矩阵 A 的奇异值分解。
答案：A 的奇异值分解为A = U * Σ * V^T其中，U = [-0.576 -0.817][-0.817 0.576]Σ = [5.464 0][0 0.365]V^T = [-0.404 -0.914][0.914 -0.404]三、实际应用题1. 一家工厂生产 A、B、C 三种产品，其销售量分别为 x1、x2、x3。
已知每天销售的总量为 100 个，且销售收入满足以下关系：2x1 + 3x2 + 4x3 = 3003x1 + 2x2 + 5x3 = 3204x1 + 3x2 + 6x3 = 380求解方程组，得到每种产品的销售量。
答案：解方程组得到 x1 = 30，x2 = 20，x3 = 50。
矩阵论试题
矩阵论试题一、选择题1.设A是n阶方阵，若|A|=0，则A（）。
A. 一定是可逆矩阵B. 一定是不可逆矩阵C. 可能是可逆矩阵，也可能是不可逆矩阵D. 以上说法均不正确答案：B2.若矩阵A与B相似，则A与B具有（）。
A. 相同的特征值B. 相同的特征向量C. 相同的秩D. 相同的行列式答案：A、D（相似矩阵具有相同的特征值和行列式，但特征向量不一定相同，秩也一定相同，但此题只问具有什么，故A、D为正确答案）3.下列矩阵中，属于正交矩阵的是（）。
A. 单位矩阵B. 对角矩阵C. 上三角矩阵D. 任意方阵答案：A（单位矩阵是正交矩阵的一种特殊情况）二、填空题1.设矩阵A=(1324)，则A的行列式|A|=______。
答案：-2（根据行列式的定义和计算方法，有|A|=1×4-2×3=-2）2.若矩阵A与B满足AB=BA，则称A与B为______。
答案：可交换矩阵（或称为可交换的）3.设n阶方阵A的伴随矩阵为A，则|A|=______。
答案：|A|(n-1)）三、计算题1.设矩阵A=(2113)，求A的逆矩阵A^(-1)。
解答：首先求|A|，有|A|=2×3-1×1=5≠0，所以A可逆。
然后利用逆矩阵的公式A^(-1)=(1/|A|)×A*，其中A*是A的伴随矩阵。
A的伴随矩阵A=(3−1−12)（伴随矩阵的元素是A的每个元素的代数余子式构成的矩阵的转置）。
所以A^(-1)=(1/5)×A=(3/5−1/5−1/52/5)。
2.设矩阵A=147258369，求A的秩R(A)。
解答：对矩阵A进行初等行变换，将其化为行最简形。
通过初等行变换，可以得到A的行最简形为1002−303−60。
所以R(A)=2（非零行的个数）。
四、证明题1.证明：若矩阵A为n阶方阵，且|A|=0，则A不可逆。
证明：根据可逆矩阵的定义，若矩阵A可逆，则存在n阶方阵B，使得AB=BA=E（E为单位矩阵）。
戴华《矩阵论》习题答案
第一章第一章第6题实数域R 上的全体n 阶对称（反对称）矩阵，对矩阵的加法和数量乘法。
解：实数域R 上的全体n 阶矩阵，对矩阵的加法和数量乘法构成R 上的线性空间n n R ⨯,记 {}{}A A R A A W A A R A A V T n n T n n -=∈==∈=⨯⨯,/;,/ 以为，对任意的,,,,B B A A V B A T T ==∈则(),B A B A T+=+即V B A ∈+,所以V 对加法运算是封闭的；对任意的A A R k V A T =∈∈,,,则(),,V kA kA kA T∈=即所以V 对数乘运算封闭；所以，V 是n n R ⨯的一个线性子空间，故V 构成实数域R 上的一个线性空间。
同理可证，W 也是一个线性空间。
P41第一章第8题(参考P10例题 1.2.5) 证明：存在1k ,2k ,3k ,4k 使得112233440k k k k αααα+++=即11111k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦+21101k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦+31110k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦+41011k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=0 解12341231341240000k k k k k k k k k k k k k +++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩ 得12340k k k k ====所以1α，2α，3α，4α线性无关P42第1章第12题解：因为A=x 1α1+x 2α2+x33α+x 4α4即x 1+x 2+x 3+x 4=1x 1+x 2+x 3=2x 1+x 3+x 4=-2x 1+x 2+x 4=0⇒x 1=-2x2=3x 3=1 x 4=-1所以A 的坐标为[x 1,x 2,x 3,x 4]T=[-2,3,1,-1]TP42第一章第13题 答案 f(x)=3+1-n 2x ( 泰勒展开))(f x '=2(n-1)2-n x(x)f ''=2(n-1)(n-2)3-n x ……)1(f -n (x)=2(n-1)! )(f n (x)=0f(1)=5 )1(f '=2(n-1) (1)f ''=2(n-1)(n-2) …… )1(f -n (1)=2(n-1)!f(x)=f(1)+ )1(f '(x-1)+!21(1)f ''2)1(-x +……+)!1(1-n )1(f -n (1)1)1(--n x =5+2(n-1)(n-2)+!2)2)(1(2--n n 2)1(-x +……+)!1()1(2--n n ！1)1(--n x=5+211-n C (x-1)+221-n C 2)1(-x +……+211--n n C 1)1(--n x 取f(x)=3+1-n 2x在基1, (x-1), 2)1(-x , ……,1)1(--n x 下的坐标为（5 , 211-n C , 221-n C ,…… , 211--n n C T ) 教材P42习题14：求基T )0,0,0,1(1=α，T )0,0,1,0(2=α，T )0,1,0,0(3=α，T)1,0,0,0(4=α，到基T )1,1,1,2(1-=β，T )0,1,3,0(2=β，T )1,2,3,5(3=β，T )3,1,6,6(4=β的过度矩阵，确定向量Tx x x x ),,,(4321=ξ在基1β，2β，3β，4β，下的坐标，并求一非零向量，使它在这两组基下的坐标相同。
(完整版)矩阵练习(带答案详解)
6.设A二、判断题(每小题 2分，共12分)kk k1.设A 、B 均为n 阶方阵，则 (AB) A B (k 为正整数)。
..........................(x )2•设 A,B,C 为 n 阶方阵，若 ABC I ，则 C 1 B 1A 1。
........................... ( x ) 3. 设A 、B 为n 阶方阵，若 AB 不可逆，贝U A, B 都不可逆。
................. (x ) 4. 设A 、B 为n 阶方阵，且AB 0,其中A 0,则B 0。
............................ ( x ) 5•设 A 、B 、C 都是 n 阶矩阵，且 AB I ,CA I ，贝U B C 。
...................................... ( V )、填空题:1.若A , B 为同阶方阵，则 (A B)(A B) A 2 B 2的 充分必要条件2. 3. 4. 5.AB BA 。
若n 阶方阵A , B , C 满足ABC 设A = B 都是n 阶可逆矩阵，若 为n 阶单位矩阵,B ,则CAB 。
2B7.设矩阵-1,B, A T 为A 的转置, 1则 A T B =28. A 3B 为秩等于2 的三阶方阵，贝U AB 的秩等于_26. 若A是n阶对角矩阵，B为n阶矩阵，且AB AC，贝U B也是n阶对角矩阵。
••• ( x )7. 两个矩阵A与B，如果秩(A)等于秩(B),那么A与B等价。
.................... (x )8. 矩阵A的秩与它的转置矩阵A T的秩相等。
................................. (V )三、选择题(每小题3分,共12分)1. 设A为3 x 4矩阵，若矩阵A的秩为2,则矩阵3A T的秩等于(B )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 42. 假定A、B、C为n阶方阵，关于矩阵乘法，下述哪一个是错误的(C )(A) ABC A(BC) (B) kAB A( kB)(C)AB BA (D) C(A B) CA CB3.已知A、B为n阶方阵，则下列性质不正确的是( A )(A) AB BA (B) (AB)C A(BC)(C) (A B)C AC BC (D) C(A B) CA CB4.设PAQ I ，其中P、Q、A都是n阶方阵，则(D )(A) A 1P 1Q 1(B) A 1Q 1P 1(C) A 1PQ (D) A 1QP5. 设n阶方阵A，如果与所有的n阶方阵B都可以交换，即AB BA，那么A必定是(B )(A)可逆矩阵(B)数量矩阵(C)单位矩阵(D)反对称矩阵6. 两个n阶初等矩阵的乘积为( C )(A)初等矩阵(B)单位矩阵(C)可逆矩阵(D)不可逆矩阵7. 有矩阵A3 2 , B2 3 , C3 3，下列哪一个运算不可行(A )(A) AC (B) BC(C) ABC (D) AB C8.设A与B为矩阵且AC CB ,C为m n的矩阵，则A与B分别是什么矩阵(D )(A) n m m n (B) m n n m(C) n n mm (D) m m n n9. 设A 为n 阶可逆矩阵,则下列不正确的是 (B)2A 可逆(A ) A 0或 B 0(B) 代B 都不可逆13. 若A,B 都是n 阶方阵，且A,B 都可逆，则下述错误的是(14. A, B 为可逆矩阵，则下述不一定可逆的是(B ) A B(D ) BAB(A ) AB B (B ) AB BA(C )AA I(D )A 1 I16.设A,B 都是n 阶方阵，则下列结论正确的是(D )(A) 若A 和B 都是对称矩阵，则 AB 也是对称矩阵 (B) 若 A 0 且 B 0 ,则 AB 0(C) 若AB 是奇异矩阵，则 A 和B 都是奇异矩阵 (D) 若AB 是可逆矩阵，则 A 和B 都是可逆矩阵 17. 若A 与B 均为n 阶非零矩阵，且 AB 0,则(A )(A) A 1可逆 (B)I A 可逆10. A,B 均n 阶为方阵, F 面等式成立的是(A ) AB BA (B ) (A B)T A T B T(C ) (A B) 1A 1B 11(D ) (AB) A1B 111.设A,B 都是n 阶矩阵，且AB 0，则下列一定成立的是((C )代B 中至少有一个不可逆 (D ) A12.设A,B 是两个n 阶可逆方阵，则 AB T1等于T 1 T 1(A) A T B T(B) B T 1 A T 1(C ) B 1 T (A 1)T(D )A T 1(A ) A B 也可逆 (B ) AB 也可逆(C ) B 1也可逆(D )1B 1也可逆(C) 2A 可逆(D)(A) AB (C ) BA 15•设A, B 均为n 阶方阵，下列情况下能推出A 是单位矩阵的是实用标准文档(A) R(A) n(C ) R(A) 0(B ) R(A) n(D) R( B) 0四、解答题:1 1 11 2 31.给定矩阵A2 13 ，B2 2 1求B T A 及A 13443 4 3解：1 23 1 1 14 95B T A2 2 4 2 13 6 12 8 ............................ ..(53 133444 8 6分）1 0 1 解：1100 1 111 0 1 1 1 0 0 1 140 111 1 1 A- — — 2 2 2 5 1 12221 0 1 1 2.求解矩阵方程1 1 0 X 40 1 111 3 32 2 5(5分)1 1 1 1 1 1 3.求解矩阵方程XA B，其中A 02 2 , B 1 1 01 1 02 1 1解：因为 A 6 所以A 可逆（4分）0 10 1 0 0 1 4 34.求解下F 面矩f 阵方程中 卞的矩i 阵 X : 10 0 X 0 0 1 2 0 10 10 1 01 2 0解:0 11 0 01 4 3令A1 0 0 ,B0 0 1 7 C2 0 1，则 A,B 均可逆，且0 010 1 0120 1 01 0 0A 11 0 0 , B 10 0 10 0 10 1 02 1 1所以XA 1 CB 11 3 41 024 2 35.设矩 阵A1 1 0 ，求矩阵 B : ，使其满足矩阵方程 AB A 2B.1 12 3解: ABA 2B 即（A2I ）B A........ 2分21231 4 3而（A 12I ）1 1 0 1 53 .......3分12 11 64.（2 分）1-34-313 5-6••（41 4 3 42 3所以B (A 2I ) 1A 1 5 3 1 1 01 6 4 12 33 8 6=2 9 6 . ....3分2 12 9五、证明题1.若A是反对称阵，证明A是对称阵。
矩阵理论典型例题
《矩阵理论》第一二章 典型例题一、 判断题1．A n 为阶实对称矩阵，n R x 对中的列向量， ||x |Ax =定义, ||x||x 则为向量 的范数. ( )2．设A n 为阶Hermite 矩阵，12,,,n λλλ是矩阵A 的特征值，则2221||||nm i i A λ==∑.( )3. 如果m n A C ⨯∈，且0A ≠，()H AA AA --=, 则2||||AA n -=. ( )4. 若设nx R ∈，则212||||||||||x x x ≤≤. ( ) 5. 设m nA R⨯∈的奇异值为12n σσσ≥≥≥，则2221||||ni i A σ==∑. ( ) 6. 设n n A C ⨯∈，且有某种算子范数||||⋅，使得||||1A <，则11||()||1||||E A A -->-,其中E 为n 阶单位矩阵. ( )7. 设2H A E uu =-(其中，E 为n 阶单位矩阵，2||||1n u C u ∈=且)，则2||||m A =( )8. 设n n A C ⨯∈为正规矩阵，则矩阵的谱半径2()||||r A A =. ( )9.设nn CA ⨯∈可逆，nn CB ⨯∈，若对算子范数有1||||||||1A B -⋅<，则B A +可逆.( )10. 设A 为m n ⨯矩阵，P 为m 阶酉矩阵, 则PA 与A 有相同的奇异值. ( ) 11. 设n nA C⨯∈，且A 的所有列和都相等，则()r A A ∞=. ( )12. 如果12(,,,)T n n x x x x C =∈，则1||||min i i nx x ≤≤=是向量范数. ( )13. 设,n n A C ⨯∈则矩阵范数mA ∞与向量的1-范数相容. ( )14、设n nA C⨯∈是不可逆矩阵，则对任一自相容矩阵范数有1I A -≥, 其中I 为单位矩阵. ( )二、 设m nA C⨯∈，,||||||ij i jA a =，证明:(1)||||A 为矩阵范数; (2)||||A 为与向量2-范数相容.三、 试证：如果A 为n 阶正规矩阵，且Ax x λ=和Ay y μ=，其中，λμ≠，那么x 与y正交.四、 (1) 设(1)n n A C n ⨯∈>为严格对角占优矩阵，1122(,,,)nn D diag a a a =，其中(1,2,,)ii a i n =为A 的对角元，E 为n 阶单位矩阵，则存在一个矩阵范数||||⋅使得1()1r E D A --<.(2) 设n nA C⨯∈,ε为任意给定的正数，()r A 为矩阵的谱半径。
矩阵论课后习题答案
第一章 线性空间与线性映射 习题一 (43-45)1、（1）对于V y x ∈∀,，x y x y x y x y y x y x y x y x +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+112211112211；（2）对于V z y x ∈∀,,，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=++))()(1111112221111112112211121112211z y z x y x z y x z y x y x z z y x y x z y x z z y x y x y x z y x ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++))()(1111112221111111122211111221121z y z x y x z y x z y x z y x z y z y x z y x z y z y z y x x z y x ，即)()(z y x z y x ++=++。
（3）对于⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00θ和V x ∈∀，显然x x x x x x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+21121000θ； （4）对于V x ∈∀，令⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2211x x x y ， 则θ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0021221211221121x x x x x x x x x x x y x ，即x y -=。
（5）对于R ∈∀μλ,和V x ∈∀，有x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x )()()]()[(21)()()2(21)()()]1()1([21)1(21)1(2121212212122212121221121212121μλμλμλμλμλμλμλμλμλμλμλλμμμλλμλμλμμμμλλλλμλ+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+（6）对于R ∈∀λ和V y x ∈∀,，有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+211112211112211))(1(21)()()(y x y x y x y x y x y x y x y x λλλλλλ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-++-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+211112211112212211122111122122121121212121))(1(21)()()1(21)1(21)()1(21)1(21)1(21)1(21y x y x y x y x y x y y x y x y x y x y x y y x x y x y y y x x x y x λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ，即y x y x λλλ+=+)(。
矩阵论期末试题及答案
矩阵论期末试题及答案1. 选择题题目1：矩阵的秩是指矩阵中非零行（列）线性无关的最大个数，下面关于矩阵秩的说法中，错误的是：A. 若矩阵A的秩为r，则只能确定 A 中有r个行（列）线性无关。
B. 若矩阵A的秩为r，则只能确定 A 中有r个坐标线性无关。
C. 设A，B为n×m矩阵，若A的秩为r，B的秩为s，则AB的秩至少为max{r,s}。
D. 同一矩阵的行秩与列秩相等。
题目2：对于阶梯形矩阵，以下说法正确的是：A. 阶梯形矩阵的行秩与列秩相等。
B. 阶梯形矩阵的行秩等于主元的个数。
C. 阶梯形矩阵的列秩等于主元的个数。
D. 阶梯形矩阵的行秩与列秩之和等于矩阵的阶数。
题目3：设A为n阶矩阵，下列说法正确的是：A. 若A为可逆矩阵，则A的行秩和列秩都为n。
B. 若A的行秩和列秩都为n，则A为可逆矩阵。
C. 若对于非零向量 x，都有Ax=0，则称矩阵A为零矩阵。
D. 若A为可逆矩阵，则方程Ax=b存在唯一解。
题目4：对于实对称矩阵A，以下说法正确的是：A. A一定有n个线性无关的特征向量。
B. A的所有特征值都是实数。
C. 若A的特征向量构成的特征子空间的维数为n，则称A为满秩矩阵。
D. A一定可以对角化。
2. 计算题题目1：已知矩阵A = [1, 2; 3, 4]，求矩阵A的转置矩阵。
解答：转置矩阵的行与列互换，故矩阵A的转置矩阵为：A^T = [1, 3; 2, 4]题目2：已知矩阵B = [2, 1; -1, 3]，求矩阵B的逆矩阵。
解答：逆矩阵满足BB^(-1) = I，其中I为单位矩阵。
对于矩阵B，可以使用伴随矩阵法求解：B^(-1) = (1/(ad-bc)) * [d, -b; -c, a]其中a、b、c、d分别为矩阵B的元素：B^(-1) = (1/(2*3-(-1)*1)) * [3, -1; 1, 2] = [3/7, -1/7; 1/7, 2/7]题目3：已知矩阵C = [1, 2, 3; 4, 5, 6]，求矩阵C的行列式的值。
研究生矩阵论课后习题答案 全 习题一
2．求下列线性空间的维数与一个基：
（1） Rn×n 中全体对称（反对称、上三角）矩阵构成的实数域 R 上的空间；
（2）第 1 题（4）中的空间；
（3）实数域 R 上由矩阵 A 的全体实系数多项式组成的空间，其中
⎡1 0 0 ⎤
A = ⎢⎢0 ⎢⎣0
ω 0
0 ω2
⎥ ⎥ ⎥⎦
,ω
=
−1 + 2
3i ,ω2 = ω,ω3 = 1
们的和不属于这个集合，因此此集合对向量的加法不封闭. （3）是. 封闭性显然成立.下面证明此集合满足线性空间的八个要求.
任取该集合中的三个元素，设为α = (a,b), β = (c, d ),γ = ( f , g) ,以及任意实
数 k, l ,则有 ① α ⊕ β = (a + c, b + d + ac) = β + α ; ② (α ⊕ β ) ⊕ γ = (a + c,b + d + ac) ⊕ γ
其中 k 为实数， f (x), h(x), d (x) 是实系数多项式.V1 中含有 A 的零多项式，为V1 的
零元素. f ( A) 有负元 − f ( A) ∈V1 .由于矩阵加法与数乘运算满足其它各条，故V1 关
于矩阵加法与数乘运算构成实数域上的线性空间. （2）否.例如以那个已知向量为对角线的任意平行四边形的两个邻边向量，它
i=1 j=i
关，故它们是 Rn×n 中全体上三角矩阵所构成的线性空间的一组基，该线性空间的
维数是 n(n +1) . 2
（2）数 1 是该空间的零元素，于是非零元素 2 是线性无关的，且对于任一正
实数 a ，有 a = 2log2 a = log2 a o 2 ，即 R+中任意元素均可由 2 线性表示，所以 2 是
矩阵论B卷及答案上海交通大学
上海交通大学《矩阵论》 B 卷姓名： 班级： 学号： 一、 单项选择题(每题3分，共15分)（答案AAAAB ）1. 设1()kk A f A k ∞==∑收敛，则A 可以取为A. 0091⎡⎤⎢⎥--⎣⎦ B. 0091⎡⎤⎢⎥-⎣⎦C. 1011⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ D. 100.11⎡⎤⎢⎥⎣⎦注：A 的特征值为0，-1，而1kk x k∞=∑的收敛区间为[1,1)-2. 设M 是n 阶实数矩阵，若M 的n 个盖尔圆彼此分离，则M A. 可以对角化 B. 不能对角化 C. 幂收敛 D. 幂发散 注：由定理M 有n 个不同特征值，故可以对角化3. 设211112121M --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦的，则M 不存在 A. QR 分解 B. 满秩分解 C. 奇异值分解 D. 谱分解 注：M 的秩为2故无QR 分解 4. 设，则A = A.214020031-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B.114010061-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭C.224020031-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭D.204020061-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭注：'()At Ate Ae =，故()'A At t A Ae Aee ====5. 设3阶矩阵A 满足多项式222(4)(3)A E A E O --=, 且其最小多项式m (x )满足条件(1)(3)1m m ==,则A 可以相似于A. 200130002M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B. 20002002M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦C. 20012002M ⎡⎤-⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ D. 200030013M -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦注：B 中矩阵的最小多项式为()22x - 二、填空题(每题3分，共15分) 1． 设220A A -=，则cos 2A ＝ [ E+()2cos11A - ]。
2．已知n nA C ⨯∈,并且()1A ρ<,则矩阵幂级数kk kA ∞=∑=［()2AE A - ］。
矩阵论试题(整理)(完整版)实用资料
矩阵论试题(整理)（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）矩阵论试题（06，12）一.(18分填空：设1.A-B的Jordan标准形为J=2.是否可将A看作线性空间V2中某两个基之间的过渡矩阵（）。
3.是否可将B看作欧式空间V2中某个基的度量矩阵。
（）4.（），其中。
5.若常数k使得kA为收敛矩阵，则k应满足的条件是（）。
6.AB的全体特征值是（）。
7.（）。
8.B的两个不同秩的{1}-逆为。
二.(10分设,对于矩阵的2-范数和F-范数，定义实数，（任意）验证是中的矩阵范数，且与向量的2-范数相容。
三.(15分已知。
1.求；2.用矩阵函数方法求微分方程满足初始条件x(0的解。
四.(10分用Householder变换求矩阵的QR分解。
五.（10分）用Gerschgorin定理隔离矩阵的特征值。
（要求画图表示）六.(15分已知。
1.求A的满秩分解；2.求A+；3.用广义逆矩阵方法判断线性方程组Ax=b是否有解；4.求线性方程组Ax=b的极小范数解，或者极小范数最小二乘解x0。
（要求指出所求的是哪种解）七.(15分已知欧式空间R22的子空间R22中的内积为V中的线性变换为T(X=XP+XT, 任意XV，1.给出子空间V的一个标准正交基；2.验证T是V中的对称变换；3.求V的一个标准正交基，使T在该基下的矩阵为对角矩阵.八.(7分设线性空间V n的线性变换T在基下的矩阵为A，T e表示V n的单位变换，证明：存在x00，使得T(x0=(T e-T(x0的充要条件是为A的特征值.矩阵论试题（07，12）一.(18分填空：1.矩阵的Jordan标准形为J=2.设则3.若A是正交矩阵，则cos(A=4.设，A+是A的Moore-Penrose逆，则(-2A, A+=5.设，则AB+I2I3的全体特征值是（）。
6.设向量空间R2按照某种内积构成欧式空间，它的两组基为和且与的内积为则基的度量矩阵为（）。
矩阵论习题
Amε + mε m−1A = (m +1) A
即 k = m +1时结论成立.故对一切 k > 1 结论成立. 二、提高题：
1、证明:可逆变换是双射.
6) 在 P3 中, A 定义如下:
⎧ Aη = (−5, 0,3)
⎪ ⎨
1
Aη2
=
(0, −1, 6)
⎧η = (−1,0,2)
其中
⎪ ⎨
1
η2
=
(0,1,1)
⎪ ⎩
Aη3
=
(−5,
−1, 9)
⎪⎩η3 = (3,−1,0)
求 A 在基 ε1 =(1,0,0), ε 2 =(0,1,0), ε 3 =(0,0,1)下的矩阵;
证 用数学归纳法.
当 k = 2 时, A2B − BA2 = ( A2B − ABA) + ( ABA − BA2 ) = A( AB − BA) + ( AB − BA) A = Aε + ε A = 2 A
结论成立.
假设 k = m 时结论成立,即 AmB − BAm = mAm−1 则当 k = m +1时,有
Aε1 = (x +1) − x = ε0
……
Aε n−1
=
(x
−1)x…[x − (n (n −1)!
−
3)]
−
x(x
−1)…[x − (n (n −1)!
矩阵理论(科学出版社)习题详细解答
习题 一1．（1）因 cos sin sin cos nx nx nx nx ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ cos sin sin cos x x x x ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦= cos(1) sin(1)sin(1) cos(1)n x n x n x n x ++⎡⎤⎢⎥-++⎣⎦，故由归纳法知cos sin sin cos nnx nx A nx nx ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦。
（2）直接计算得4A E =-，故设4(0,1,2,3)n k r r =+=，则4(1)n k r k r A A A A ==-，即只需算出23,A A 即可。
（3）记J=0 1 0 1 1 0 ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则 ， 112211111 () n n n nn n n n n n n n n nii n inni n nna C a C a C a C a C a A aE J Ca Ja C a a -----=-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n∑。
2．设1122 (1,0),0 a A P P a A E λλ-⎡⎤===⎢⎥⎣⎦则由得21112111 1 1 210 0 0 a λλλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦1时,不可能。
而由2112222 0 0 000 0 0 a λλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦1时,知1i λ=±所以所求矩阵为1i P B P -， 其中P 为任意满秩矩阵，而1231 0 1 0 1 0,,0 10 1 0 1B B B -⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦。
注：2A E =-无实解，n A E =的讨论雷同。
3．设A 为已给矩阵，由条件对任意n 阶方阵X 有AX=XA ，即把X 看作2n 个未知数时线性方程AX -XA=0有2n 个线性无关的解，由线性方程组的理论知其系数矩阵为零矩阵，通过直接检验即发现A 为纯量矩阵。
矩阵论(方保镕、周继东、李医民)习题1-3章
6. 解：（1）设 A 的实系数多项式 f A的全体为
f A a0 I a1 A am Am ai R, m正整数
1
显然，它满足两个封闭性和八条公理，故是线性空间. （2）与（3）也都是线性空间.
(ai bi ) ai bi 2
i1
i1
i1
于是可知 L，因此 L 不是 V 的子空间.
18.
解：
Span(
' 1
,
' 2
,
' 3
)
的基为
1'
,
' 2
,
' 3
的一个最大无关组，
' 1
,
' 2
,
' 3
在基1
,
2
,
3
下的坐标依次为
(1, -2, 3) T , (2 , 3 , 2) T , (4, 13, 0 ) T
故 C =(1 , 2 , 3 , 4 ) 1 ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1 0 0 0 1 2 0 5 6
= 0100
0010
1 336 1 1 2 1
0001
1 013
2 056 1 336
= 1 1 2 1 .
1 013
⑵ 显然，向量α在基1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为 X =(1 ,2 ,3,4 ) T ,
7
（2）取
A
1 0
0 0
，B
矩阵论习题一
矩阵论习题一习题一1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间（1）11{()|0}nij n n iii V A a a====∑，对矩阵加法和数乘运算；（2）2{|,}n nT V A A RA A ?=∈=-，对矩阵加法和数乘运算；（3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3,,0R k R k αα?∈∈=；（4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。
2.求线性空间{|}n nT V A R A A ?=∈=的维数和一组基。
3.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ?，证明：U 1=U 2。
4.设111213315A ??= ? ???，讨论向量(2,3,4)T α=是否在R (A )中。
5.讨论线性空间P 4[x ]中向量3211P x x x =+++，32223Px x x =-+，323452P x x x =+++的线性相关性。
6.设m nA R ?∈，证明dim R (A )+dim N (A )=n 。
7.设113021211152A -?? ?=-- ? ?--??，求矩阵A 的列空间R (A )和零空间N (A )。
8.在22R中，已知两组基11000E ??= ，20100E ??= ，30010E ??= ，40001E ?? =10111G ??= ?，21011G ??= ，31101G ??= ，41110G ??=求基{E i }到基{G i }的过渡矩阵，并求矩阵0123??-??在基{G i }下的坐标X 。
9.判别下列集合是否构成子空间。
（1）2221{(,,)|1,,,}W x y z x y z x y z R α==++≤∈；（2）22{|,}n nW A A I A R==∈；（3）3R 中，231231230{(,,)|(}0}tW x x x x x x d ατττ==++=?；（4）411{()|0}m nij m n iji j W A a a=====∑∑。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
向量范数与矩阵范数
向量的p 向量的p范数 矩阵的F范数和P 矩阵的F范数和P范数
矩阵幂级数和矩阵函数
矩阵幂级数的收敛与矩阵函数的意义 矩阵幂级数的求和与矩阵函数的计算 矩阵函数与矩阵多项式
试题的结构
习题选讲
P31， P31，习题一 2，4，10，11 ，17， 23（4），26，29，30 P57， P57，习题二 3，6，11，13， 20 11，13，
JA⇒ mA(λ) 和f(λ) λ f(λ) ⇒mA(λ) 和JA λ mA(λ) ⇒f(λ) 和JA λ
计算问题
A与f(A)在Jordan标准形上的关系 A在 标准形上的关系
A与f(A)的特征值关系 A 的特征值关系 A与f(A)的Jordan标准形 A的 标准形 f(A)的矩阵性质
矩阵的分解
线性空间的数量关系与矩阵
线性变换的数量关系
线性变换的给定方式 线性变换的变换矩阵 空间分解与矩阵分解
准对角矩阵分解与不变子空间的分解 可对角化矩阵的分解与特征子空间的分解 幂等矩阵的空间分解
变换可以对角化的充要条件
JA，mA(λ) ，f(λ) =|λI-A | 之间的关系 λ =|λ
相互的确定性
矩阵论复习（07） 矩阵论复习（07）
要点： 要点：
线性空间的问题 线性变换的数量关系 JA，mA(λ) ，f(λ) =|λI-A | 之间的关系 λ =|λ A与f(A)在Jordan标准形上的关系 A在 标准形幂级数和矩阵函数
线性空间的问题
第2章推荐习题
P58 1，2，3，6，8，9，11， 12， 11， 12， 13，16，19，20 13，16，19，
第2章习题选讲
P58 1，3，6，8，9，11， 13，16， 11， 13，16， 19，20 19，
试题的结构
填空题 25% 计算题60% 计算题60% 证明题 15% 试题样板
各章节的练习和习题
要点： 要点：
第1章习题选讲
线线性空间的表示形式： 线性空间的表示形式： 集集合表示形式：Vn（F）=｛α α满足的性质｝ 集集合表示形式： 满足的性质｝ 向向量生成形式：L{α ···， 向向量生成形式：L{α1，α2，···，αm }
线性空间的表示形式： 线性空间的表示形式：
集合表示形式： 满足的性质｝ 集合表示形式：Vn（F）=｛α α满足的性质｝ 向量生成形式：L{α1，α2，···，αm } 向量生成形式：L{α ···，
子空间类型： 子空间类型：
L{α1，α2，···，αm } L{α ···， W1＋W2 矩阵A 矩阵A∈F m×n，两个子空间 不变子空间
复习与习题
2007 级矩阵论考试信息
• 考试时间：第16周六（12月22日）， 周六（ 考试时间： 16周六 12月22日
晚7.00-9.30 7.00-
• 考试地点：西12楼（详见网上通知） 考试地点： 12楼 详见网上通知） • 答疑时间：第16周三、四、五：下午 答疑时间： 16周三 周三、 • 答疑地点：逸夫科技楼（北）913# 答疑地点：逸夫科技楼（
子线性空间类型： 子线性空间类型：
L L{α1，α2，···，αm } L{α ···， W W1＋W2 矩阵A 矩 矩阵A∈F m×n，两个子空间 不不变子空间
线线性变换的数量关系： 线线性变换的数量关系：
线性变换的表示 线性变换的数量关系 重要的线性变换
第1章习题选讲
P31， P31，习题一 1（3），2，4，9，10，11 ，17，20， ），2 10， 17，20， 23（4），26，29，30 23（ ），26，29，