直线与平面垂直(1)预学案
直线与平面垂直的判定(导学案)
直线与平面垂直的判定（一）学习目标1.理解直线与平面垂直的定义；2.掌握直线与平面垂直的判定定理及其简单应用；3. 学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。
学习过程一．课前准备温故知新，引入课题1．空间两条直线有哪几种位置关系？2．经过一点和一条直线垂直的直线有几条？3．空间一条直线与一个平面有哪几种位置关系？二．新课导学探究一：直线与平面垂直的概念思考：问题：如图10-2，将三角板直立起来，并且让它的一条直角边BC 落在桌面上，观察AB 边与桌面的位置关系呈什么状态？绕着AB 边转动三角板，转动的过程中，把BC生活中有很多直线与平面垂直的实例，我们经常说面的竿及它在地面的影子．问题1：①竿所在直线和地面影子所在直线是什么位置关系?②竿所在直线和地面内任意一条直线是什么位置关系? 探究结果:直线与平面垂直的定义和画法：问题2：一条直线与平面垂直时，这条直线与平面内的直线有什么样的位置关系？反思：①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？②如果一条直线与一个平面不垂直,那么这条直线是否与这个平面内的任何直线都不垂直?③如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？ 探究二：直线与平面垂直的判定定理问题1：你如何证明直线和平面垂直呢？根据直线和平面垂直的概念，只需证明该直线和平面内的______一条直线都垂直即可问题2：要证明直线与平面垂直，有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？准备一个三角形纸片，三个顶点分别记作A ，B ，C ．如图，过△ABC 的顶点A 折叠纸片，得到折痕AD ，将折叠后的纸片打开竖起放置在桌面上．（使BD 、DC 边与桌面接触）问题3：①如何翻折才能使折痕AD 与桌面所在的平面α垂直？②由折痕AD BC ⊥，翻折之后垂直关系，即AD CD ⊥，AD BD ⊥发生变化吗？由此你能得到什么结论？直线与平面垂直的判定定理______________________________________________ 符号表示___________________________________【练一练】如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两条边； ②梯形的两条边； ③圆的两条直径；④正六边形的两条边．试问这条直线是否与平面垂直，并对你的判断说明理由. 例1：已知：b a //，α⊥a ．求证：α⊥b ．图1D CAB图2DBACAA 'BB 'C 'DD '直线与平面垂直的判定定理，体现的教学思想方法是____________________本例可以作为直线和平面垂直的又一个判定定理．这样，判定一条直线与已知平面垂直，可以用这条直线垂直于平面内两条相交直线来证明，也可以用这条直线的平行直线垂直于平面来证明．例2：正方体////ABCD A B C D -中，求证://AC BDD B ⊥.练一练1. 如图，空间中直线l 和三角形的两边AC ,BC 同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB 的位置关系是（ ）A .平行B .垂直C .相交D .不确定////ABCD A B C D -中，底面四边2.如图，直四棱柱形ABCD 满足什么条件时, ///A CB D ⊥？要证明直线和平面垂直,关键是在平面内找出两条相交直线与已知直线垂直 探究3：直线与平面所成的角新知3：如图10-6，直线PA 和平面α相交但不垂直，PA 叫做___________，PA 和平面的交点A 叫___________；PO α⊥，AO 叫做斜线PA 在平面___________.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的直线和平面所成的角.例2 如图10-8，在正方体中，求直线AB '和平面 A B CD ''所成的角.三．总结提升四．课后作业1. 直线l和平面α内两条直线都垂直，则l与平面α的位置关系是（）.A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.都有可能2. 已知直线,a b和平面α，下列错误的是（）.A.aa bbαα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭B.//a bbaαα⎫⇒⊥⎬⊥⎭C.a bbα⊥⎫⇒⎬⊥⎭a∥α或aα⊂ D.//abαα⎫⇒⎬⊂⎭a∥b3. ,a b是异面直线,那么经过b的所有平面（）.A.只有一个平面与α平行B.有无数个平面与α平行C.只有一个平面与α垂直D.有无数个平面与α垂直4. 两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线的位置关系是________________.5. 若平面α∥平面β,直线a⊥α,则a与β_____.C。
2.3.1直线与平面垂直的判定学案
2、在三棱锥 V-ABC 中，VA=VC，AB=BC，求证：VB ⊥ AC
3、如图，在长方体 AC1 中，AB= 3 ，BC=1，BB1=1， （1）BC1 与平面 ABB1A1 所成角的大小； （2）BD 与平面 BCC1B1 所成角的大小。 A1
D1 பைடு நூலகம்1
C1
D A B
C
课后延伸拓展： 课后延伸拓展：
D
C
例 2、如图，正方体 AC1 中，求： （1）A1D 与平面 ABCD 所成角的大小； （3）BC 与平面 A1B1CD 所成角的大小。
B
D1 A1 B1
C1
D A B
C
1
连南民族高级中学“学案导学”课堂教学活页学案 执笔人:李水尧 审阅人:姚尹赞 时间：09年12月10日
探究： 。 探究：完成课本的“探究” 达标练习 1、点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，O 是对角线 AC 与 BD 的交点，且 PA=PC，PB=PD. 求证：PO⊥平面
1、如图，已知 AB⊥平面 BCD，BC⊥CD 求证：AC⊥CD A
D B C
2、在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，
（1）BD1 与平面 BB1C1C 所成角的大小； （2）A1B 和平面 A1B1CD 所成的角 （3）直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角 （4）若 E、F 分别为 AA1、AB 的中点，求 EF 与平面 AA1C1C 所成角的大小。
2
连南民族高级中学“学案导学”课堂教学活页学案 执笔人:李水尧 审阅人:姚尹赞 时间：09年12月10日
§2.3.1 直线与平面垂直的判定
学习目标： 学习目标：
1.借助对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义。 2.通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直判定的定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题， 进一步培养学生的空间观念。 3.让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
2.3.3 直线与平面垂直的性质学案
2.3.3 直线与平面垂直的性质(学案) 高一备课组一、堂前回顾：直线与平面垂直的判定定理是什么？二、学习新知：1、注意观察右面两个图，在长方体ABCD－A ’B ’C ’D ”中，棱AA ’、BB ’、CC ’、DD ’都与平面ABCD 垂直，它们之间具有什么什么关系？2、右图中，已知直线a ，b 和平面α，如果a ⊥α，b ⊥α那么直线a ，b 是否平行呢？直线与平面垂直的性质定理：在上述第2个问题中，假定b 与a 不平行，且b ∩α＝O ，b ’是经过点O 与直线a 平行的直线，直线b 与b ’确定平面β，设α∩β＝c ，因为a ⊥α，b ⊥α，所以a ⊥c ，b ⊥c ，又因为b ’∥a ，所以b ’⊥c ，这样在平面β内，经过直线c 上同一点O 就有两条直线b ，b ’与c 垂直，显然不可能，因此b ∥a 。
一般地，我们得到直线与平面垂直的性质定理定理 垂直于同一平面的两条直线平行。
,a αb αa b ^^O判定两条直线平行的方法很多，直线与平面垂直的定理告诉我们，可以由两条直线与一个平面垂直判定两条直线平行。
直线与平面垂直的性质定理揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系。
3、直线与平面垂直的性质的应用例4、设直线a，b分别在正方体ABCD－A’B’C’D”中两个不同的平面内，欲使a∥b，则a，b应满足什么条件？分析：结合两直线平行的判定定理，考虑a，b满足的条件。
解：a，b满足下面条件中的任何一个，都能使a∥b，（1）a，b同垂直于正方体一个面；（2）a，b分别在正方体两个相对的面内且共面；（3）a，b平行于同一条棱；（4）如图，E，F，G，H分别为B’C’，CC’，AA’，AD的中点，EF所在的直线为a，GH所在直线为b，等等。
评述：此题能充分考察学生对所学知识的应用，达到巩固知识的目的。
思考：你还能找出其他一些条件吗？练习：P73并说明理由或举出反例1：2：作业：P787、8。
2.3.3直线与平面2.3.4平面与平面垂直的性质(1)学案(含解析)新人教A版必修2
2．3.3 & 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质第一课时 直线与平面、平面与平面垂直的性质[提出问题]世界上的高楼大厦太多了：中国上海中心大厦632米，天津高银117大厦621米，位于深圳的平安国际金融大厦600米(如右图)．问题1：上海中心大厦外墙的每列玻璃形成的直线与地面有何位置关系？提示：垂直．问题2：每列玻璃形成的直线是什么位置关系？ 提示：平行． [导入新知]直线与平面垂直的性质定理(1)文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． (2)图形语言：(3)符号语言：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b .(4)作用：①线面垂直⇒线线平行； ②作平行线． [化解疑难]对于线面垂直的性质定理的理解(1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法．(2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据．[提出问题]教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直．问题1：在黑板上任意画一条线与地面垂直吗？ 提示：不一定，也可能平行、相交(不垂直)． 问题2：怎样画才能保证所画直线与地面垂直？ 提示：只要保证所画的线与两面的交线垂直即可． [导入新知]平面与平面垂直的性质定理 (1)文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． (2)图形语言：(3)符号语言：⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝l a ⊂αa ⊥l⇒a ⊥β.(4)作用：①面面垂直⇒线面垂直； ②作面的垂线． [化解疑难]对面面垂直的性质定理的理解 (1)定理成立的条件有三个： ①两个平面互相垂直； ②直线在其中一个平面内； ③直线与两平面的交线垂直．(2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直． (3)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直.[例1] 如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．求证：平面BCE ⊥平面CDE .[解] 证明：取CE 的中点G ，连接FG ，BG ，AF .∵F 为CD 的中点，∴GF ∥DE ， 且GF ＝12DE .∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴AB ∥DE .则GF ∥AB . 又∵AB ＝12DE ，∴GF ＝AB .则四边形GFAB 为平行四边形．于是AF ∥BG . ∵△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点， ∴AF ⊥CD .∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF .又∵CD ∩DE ＝D ，CD ，DE ⊂平面CDE ，∴AF ⊥平面CDE . ∵BG ∥AF ，∴BG ⊥平面CDE .∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE . [类题通法]1．此类问题是证明两个平面垂直比较难的问题，证明时要综合题目中的条件，利用条件和已知定理来证，或从结论出发逆推分析．2．若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行， 可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．[活学活用]如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PB ⊥平面ABCD .(1)若AC ＝6，BD ＝8，PB ＝3，求三棱锥A PBC 的体积； (2)若点E 是DP 的中点，证明：BD ⊥平面ACE . 解：(1)∵四边形ABCD 为菱形， ∴BD 与AC 相互垂直平分，∴底面ABCD 的面积S 菱形ABCD ＝12×6×8＝24，∴S △ABC ＝12S 菱形ABCD ＝12.又PB ⊥平面ABCD ，且PB ＝3，∴三棱锥A PBC 的体积V A PBC ＝V P ABC ＝13×PB ×S △ABC ＝12.(2)证明：如图，设BD 与AC 相交于点O ，连接OE ，∵O 为BD 的中点，E 是DP 的中点，∴OE ∥PB . 又PB ⊥平面ABCD ，∴OE ⊥平面ABCD . ∵BD ⊂平面ABCD ，∴OE ⊥BD ， 由(1)知AC ⊥BD ，又AC ∩OE ＝O ， ∴BD ⊥平面ACE .[例2] 如图所示，P 是四边形ABCD 所在平面外的一点，四边形ABCD 是∠DAB ＝60°，且边长为a 的菱形．侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD .(1)若G 为AD 边的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； (2)求证：AD ⊥PB .[解] 证明：(1)连接PG ，由题知△PAD 为正三角形，G 是AD 的中点，则PG ⊥AD . 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，PG ⊂平面PAD ，∴PG ⊥平面ABCD . ∵BG ⊂平面ABCD ， ∴PG ⊥BG .又∵四边形ABCD 是菱形， 且∠DAB ＝60°， ∴△ABD 是正三角形． 则BG ⊥AD .又∵AD ∩PG ＝G ，且AD ，PG ⊂平面PAD ， ∴BG ⊥平面PAD .(2)由(1)可知BG ⊥AD ，PG ⊥AD .又∵BG ，PG 为平面PBG 内两条相交直线， ∴AD ⊥平面PBG .∵PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB.[类题通法]证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．[活学活用]如图，菱形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在平面互相垂直，AB＝2AD＝2CD＝4，∠ABE＝60°，∠BAD＝∠CDA＝90°，点H是线段EF 的中点．(1)求证：平面AHC⊥平面BCE；(2)求此几何体的体积．解：(1)证明：连接AE，在菱形ABEF中，因为∠ABE＝60°，所以△AEF是等边三角形．又因为H是线段EF的中点，所以AH⊥EF，所以AH⊥AB.因为平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD＝AB，所以AH⊥平面ABCD，所以AH⊥BC.在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2CD＝4，∠BAD＝∠CDA＝90°，得到AC＝BC＝22，从而AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.又AH∩AC＝A，所以BC⊥平面AHC.又BC⊂平面BCE，所以平面AHC⊥平面BCE.(2)连接FC，因为V＝V EACB＋V FADC＋V CAEF，又易得S△ACB＝4，S△ADC＝2，S△AEF＝43，所以V＝V EACB＋V FADC＋V CAEF＝13(23×4＋23×2＋2×43)＝2033.[例3] 已知：如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．[解] 证明：(1)在平面ABC内任取一点D，作DF⊥AC于点F，作DG⊥AB于点G.∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC.∵PA⊂平面PAC，∴DF⊥PA.同理可证，DG⊥PA.∵DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC.(2)连接BE并延长交PC于点H.∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH.又∵AE是平面PBC的垂线，∴PC⊥AE.∵BH∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE，∴PC⊥AB.又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC.∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．[类题通法]线线、线面、面面垂直关系的综合应用主要体现了转化思想．证明线面垂直常转化为线线垂直，证明面面垂直常转化为线面垂直．[活学活用]如图，在三棱锥PABC中，E，F分别为AC，BC的中点．(1)求证：EF∥平面PAB；(2)若平面PAC⊥平面ABC，且PA＝PC，∠ABC＝90°，求证：平面PEF⊥平面PBC.证明：(1)∵E，F分别为AC，BC的中点，∴EF∥AB.又EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB.(2)∵PA＝PC，E为AC的中点，∴PE⊥AC.又∵平面PAC⊥平面ABC，∴PE⊥平面ABC，∴PE⊥BC.又∵F为BC的中点，∴EF∥AB.∵∠ABC＝90°，∴BC⊥EF.∵EF∩PE＝E，∴BC⊥平面PEF.又∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PEF.5.垂直性质定理应用的误区[典例] 已知两个平面垂直，有下列命题：①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题的个数是( )A．3 B．2C．1 D．0[解析] 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，对于①AD1⊂平面AA1D1D，BD⊂平面ABCD，AD1与BD是异面直线，所成角为60°，①错误；②正确．对于③，AD1⊂平面AA1D1D，AD1不垂直于平面ABCD；对于④，过平面AA1D1D内点D1作D1C.∵AD⊥平面D1DCC1，D1C⊂平面D1DCC1，∴AD⊥D1C.但D1C不垂直于平面ABCD，④错误．[答案] C[易错防范]对于④，很容易认为是正确的，其实与面面垂直的性质定理是不同的，“一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直”与“过一个平面内任意一点作交线的垂线，此垂线与另一个平面垂直”是不同的，关键是过点作的直线不一定在已知平面内．[成功破障]如果直线l，m与平面α，β，γ之间满足：l＝β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么( )A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ答案：A[随堂即时演练]1．下列命题中错误的是( )A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β答案：D2．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是( )A．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥βB．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥αC．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βD．若α⊥β，n⊥β，m⊥n，则m⊥α答案：B3．若a，b表示直线(不重合)，α表示平面，有下列说法：①a⊥α，b∥α⇒a⊥b；②a ⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b.其中正确的是________(填序号)．答案：①④4．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是________．答案：平行5.如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝2，CE＝EF＝1，求证：CF⊥平面BDE.证明：如图，设AC∩BD＝G，连接EG，FG.由AB＝2易知CG＝1，则EF＝CG＝CE.又EF∥CG，所以四边形CEFG为菱形，所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.又平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF，所以BD⊥CF.又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE.[课时达标检测]一、选择题1．若l，m，n表示不重合的直线，α表示平面，则下列说法中正确的个数为( )①l∥m，m∥n，l⊥α⇒n⊥α；②l∥m，m⊥α，n⊥α⇒l∥n；③m⊥α，n⊂α⇒m⊥n.A．1 B．2C．3 D．0答案：C2．如果直线a与平面α不垂直，那么平面α内与直线a垂直的直线有( )A．0条B．1条C．无数条D．任意条答案：C3．(浙江高考)设l是直线，α，β是两个不同的平面( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β答案：B4．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β答案：D5.如图，线段AB的两端在直二面角αlβ的两个面内，并与这两个面都成30°角，则异面直线AB与l所成的角是( )A．30° B．45°C．60° D．75°答案：B二、填空题6.如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB，则直线a与直线l的位置关系是________．答案：平行7.如图，四面体PABC中，PA＝PB＝13，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝________.答案：78.如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.其中正确的有______(把所有正确的序号都填上)．答案：①④三、解答题9.如图，三棱锥PABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.证明：∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC.又BC ⊂平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB.又BC⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC.10.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明：(1)在四棱锥PABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.- 11 -。
直线与平面垂直的导学案
直线与平面垂直的判定学案【教学目标】知识与技能1、掌握直线与平面垂直的定义及判定定理.2、使学生掌握判定直线与平面垂直的方法.过程与方法培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳概括结论情感、态度与价值观在体验数学美的过程中激发学生学习兴趣，从而培养学生勤于思考、勤于动手的良好品质.培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知.重点：直线与平面垂直的定义及判定定理.难点：直线与平面垂直的定义及判定定理和线面角的求法.一创设情景直观感知请同学们想一下旗杆与地面、大桥桥柱与水面是什么位置关系？二探究新知探究一直线与平面垂直的定义思考：当太阳的角度发生变化时，旗杆与它的影子的位置关系会发生变化吗？总结：如何定义直线与平面垂直？________________________________________________________________探究二思考：除定义外，有没有比较方便可行的方法来判断一条直线与一个平面垂直呢？活动：请同学们合作完成课本的学生活动折纸实验总结：直线与平面垂直的判定定理：探究三阅读课本第指出下图所体现的知识三尝试应用如图,在三棱锥V-ABC中,VA＝VC,AB＝BC, K是AC的中点.求证：AC⊥平面VKB．四典例示范例1 如图，已知a∥b、a⊥α.求证：b⊥α.例2、如图，正方体ABCD-中，求（1）直线AB和平面所成的角。
（2）直线AB和平面所成的角。
AVBCKa bA BCDA BCD五 达标检测（你一定可以做的很好！相信自己！）1在下图的长方体中，请列举与平面ABCD 垂直的直线。
并说明这些直线有怎样的位置关系？2 如图，圆O 所在一平面为 ａ，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点, 且PA ⊥平面a 求证：B C ⊥平面PAC3.如图：正方体ABCD-ABCD 中，求:（1）AC 与面ABCD 所成的角（2）AC 与面BBDD 所成的角（3）AC 与面BBCC 所成的角 （4）AC 与面ABCD 所成的角六 课堂小结请同学们锻炼一下自己的概括能力吧！B A ′C ′D ′B A C D P A B C OA B C DA BCD。
学案2：2.3.3 直线与平面垂直的性质
2.3.3直线与平面垂直的性质课前预习学案一、预习目标：通过对图形的观察，知道直线于平面垂直的性质二、预习内容：1、直线与平面垂直的判定方法有哪些？2、在空间，过一点，有几条直线与已知平面垂直？过一点，有几个平面与已知直线垂直？3、判断题（判断下列命题是否正确）（1）、在平面中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。
（2）、在空间中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。
（3）、垂直于同一平面的两直线互相平行。
（4）、垂直于同一直线的两平面互相平行。
4、若直线和平面如果垂直，则其应具备的性质是什么？三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中课内探究学案一、学习目标：（1）明确直线与平面垂直的性质定理。
（2）利用直线与平面垂直的性质定理解决问题。
学习重点：直线和平面垂直的性质定理和推论的内容和简单应用。
学习难点：直线和平面垂直的性质定理和推论的证明，等价转化思想的渗透。
二、学习过程探究一、直线与平面垂直的性质1、如图，长方体ABCD—A′B′C′D′中，棱A A′、B B′、C C′、D D′所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什么位置关系？2、 已知：a ，b 。
求证：b ∥a （由1让学生自行证明）得直线与平面垂直的性质定理三种语言刻画探究二、定理的应用例1已知变式1：下列命题中错误的是（ ）A 、若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这个平面上的所有直线。
B 、若一个平面通过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。
C 、若一直线垂直于一个平面的一条垂线，则此直线必平行于这个平面D 、若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则也和这条直线垂直。
（四）课堂检测1、课本页：1、2.2、设直线a,b 分别在正方体ABCD—A′B′C′D′中两个不同的平面内,欲使b ∥a ,a 、b 应满足什么条件？课后巩固练习与提高1．若表示直线，表示平面，下列条件中，能使的是（ ）α⊥α⊥βαβα//,,求证⊥⊥ll 71P ,,a b c αa α⊥2．已知与是两条不同的直线，若直线平面，①若直线，则；②若，则；③若，则；④，则。
学案直线与平面垂直平面与平面垂直的性质
2.3.3-2.3.4 直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质学 案一、复习准备：1.直线与平面垂直的定义：定理：如果直线l 与平面α内的 直线都垂直，就说直线l 与平面α ， 记作：2.过空间一点可作一个平面的垂线多少条？答：3..直线与平面垂直的判定定理、推论及作用：α P 定理：一条直线与一个平面的 直线都垂直，该直线与此平面垂直.符号表示：作用：推论：符号表示：作用：4.校门前的路边的一排电杆，这排电杆均与地面垂直，这排电杆所在的直线之间具有什么位置关系？5.如图，已知直线a 、b 和平面α，如果a ⊥α、b ⊥α，那么a 、 b 一定平行吗？(由此归纳出直线与平面垂直的性质定理： )二、讲授新课：1. 教学直线与平面垂直的性质定理：定理： （线面垂直→线线平行） 符号表示： a ⊥α、b ⊥α⇒a ∥b已知; ,求证：分析、尝试用反证法证明之巩固练习： (P 71 练习 T1、2)1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”(1) 垂直于同一条直线的个平面两互相平行. ( )(2) 垂直于同一个平面的两条直线平行. ( )(3) 一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直. ( )2.已知直线a 、b 和平面α，且a ⊥b,a ⊥α,则b 与α的位置关系是2.教学平面与平面垂直的性质定理：思考：黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？ l定理：（面面垂直→线面垂直）已知如图(图自己画) α⊥β，α∩β=CD ，AB ⊂α，AB ⊥CD 于B ，求证AB ⊥β证明：面面垂直的性质定理符号表示：面面垂直的性质定理作用：巩固练习：两个平面互相垂直，下列命题中，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”1、一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线( )2、一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线( )3、一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面( )4、过一个平面内任意点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.( )例1、如图，已知平面,,αβαβ⊥，直线a 满足,a a βα⊥⊄，试判断直线a 与平面α的位置关系.三、归纳小结,课后巩固（1）请归纳一下本节学习了什么性质定理，其内容各是什么？它是如何发现的？有什么作用？用符号如何表示？（2）类比两个性质定理，你发现它们之间有何联系？四、课后阅读：教材P71、72页五、巩固深化、发展思维(课后思考)1、设平面α⊥平面β，点P 在平面α内，过点P 作平面β的垂线a ，直线a 与平面α具有什么位置关系？2、ααββαβα与平面a ，直线a ，⊥a ，⊥，若a 和直线已知平面⊄、 具有什么位置关系？。
直线与平面垂直 优质课学案
1.2.3 空间中的垂直关系第1课时直线与平面垂直【学习目标】1.通过实例了解直线与平面垂直的定义.2.通过探究、归纳掌握直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直.(重、难点)【预习导学】问题：空间中直线和平面有什么位置关系？【课内探究】一、直线与平面垂直的定义探究1：请同学们观察课件上的图片，说出旗杆与地面，孤烟与地面的位置存在怎样的关系？探究2：请把自己的数学书打开立在桌面上，观察书脊与桌面的位置存在怎样的关系？合作探究：直线与平面垂直的定义：定义深化：判断下列语句是否正确：（若不正确请举反例）1.如果一条直线与一个平面垂直，那么它与平面内所有的直线都垂直. （）2.如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那么它与平面垂直. （)二、直线与平面垂直的判定定理探究3：学校广场上放了一根新旗杆，现要检验它是否与地面垂直，你有什么好的办法你？实践活动：请同学们拿出一块三角形的纸片，做如图所示的试验：过△ABC 的顶点A 翻折纸片，得到折痕AD ，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD 、DC 与桌面接触）.(1)折痕AD 与桌面垂直吗？(2)如何翻折才能保证折痕AD 与桌面所在平面肯定垂直？合作探究：直线与平面垂直的判定定理：一旗杆高8m ，在它的顶点处系两条长10m 的绳子，拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点（与旗杆脚不在同一条直线上）。
如果这两点与旗杆脚距6m,那么旗杆就与地面垂直，为什么？DBAC变式练习1：已知：空间四边形ABCD ，AB AC =，DB DC =，E 为BC 的中点.求证：BC AED ⊥平面四、当堂检测：1.垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是( ) A.垂直 B.相交但不垂直 C.平行D.不确定2.如图所示，▱ADEF 的边AF ⊥平面ABCD ，且AF ＝2，CD ＝3，则CE ＝________.3.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是________.(把正确条件的序号都填上).①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边.五、知识小结EDBA六、课后巩固1下列说法中正确的个数是()①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直.A.0B.1C.2D.32.下列说法中错误的个数是()①若直线m∥平面α，直线l⊥m，则l⊥α；②若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α必相交；③过平面α外一点有且只有一条直线和平面α垂直；④过直线a外一点有且只有一个平面和直线a垂直.A.0B.1C.2D.33如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点.证明：PC⊥平面BEF.。
直线与平面垂直的判定导学案
2.3.1直线与平面垂直的判定1、认真研读课本6467p p -的内容，完成课前预习，熟记有关知识概念。
2、对不理解的内容和存在的问题先标注，准备课内小组探究，答疑解惑。
【学习目标】1、掌握并会应用直线与平面垂直的定义，理解直线与平面垂直的判定． 2、了解斜线在平面上的射影与直线和平面所成的角。
【预习案】1、直线与平面垂直的定义3、直线与平面所成的角 作出图： 叫做这个平面的斜线； 叫做斜足。
叫做斜线在这个平面上的射影； 叫做这条直线和这个平面所成的角。
范围 ；90︒时，直线与平面 ；0︒时，直线与平面 。
4、在正方体1111ABCD A BC D -中，如图（1）1,AA ABCD BD ABCD⊥⊂∴平面平面（2）1AA BD ⊥ ，，且11A BD ACC ∴⊥平面【探究案】探究一： 如图，已知//,a b a α⊥ ，求证：b a ⊥ 。
探究二： 如图，在三棱锥V-ABC 中 ，VA ＝VC,AB ＝BC,K 是AC 的中点。
求证：（1）AC ⊥平面VKB （2）VB ⊥AC【练习案】1已知直线,a b 和平面α，下列推理错误的是（ ）A 、a a b b αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭B 、//a b a b αα⊥⎫⇒⊥⎬⎭C 、//a b a a b ααα⊥⎫⇒⊂⎬⊥⎭或 D 、//a a b b αα⎫⇒⊥⎬⊂⎭2、过ABC 所在的平面α外的一点P ，作PO α⊥，垂足是O ，连接,,PA PB PC 。
（1）若,90PA PB PC C ==∠=︒，则点O 是AB 的 点。
（2）若,PA PB PC ==，则点O 是ABC 的 心。
（3）若,,,PA PB PB PC PC PA ⊥⊥⊥则点O 是ABC 的 心。
.2.3.1直线与平面垂直(1)教案 新人教A版必修2
课题：2.2.3.1直线与平面垂直的判定课型：新授课一、教学目标1、知识与技能（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；（2）使学生掌握判定直线和平面垂直的方法；（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。
2、过程与方法（1）通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程；（2）探究判定直线与平面垂直的方法。
3、情态与价值培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。
二、教学重点、难点直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。
三、教学设计（一）创设情景，揭示课题1、教师首先提出问题：在现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，例如：“旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系”，你能举出一些类似的例子吗？然后让学生回忆、思考、讨论、教师对学生的活动给予评价。
2、接着教师指出：一条直线与一个平面垂直的意义是什么？并通过分析旗杆与它在地面上的射影的位置关系引出课题内容。
（二）研探新知1、为使学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知，可再借助长方体模型让学生感知直线与平面的垂直关系。
然后教师引导学生用“平面化”的思想来思考问题：从直线与直线垂直、直线与平面平行等的定义过程得到启发，能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢？并组织学生交流讨论，概括其定义。
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。
如图2.3-1，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
并对画示表示进行说明。
L pα图2-3-12、老师提出问题，让学生思考：（1）问题：虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。
有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？（2）师生活动：请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图2.3-2试验：过△ABC 的顶点A 翻折纸片，得到折痕AD ，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD 、DC 与桌面接触），问如何翻折才能保证折痕AD 与桌面所在平面垂直？AB D C图2.3-2（3）归纳结论：引导学生根据直观感知及已有经验（两条相交直线确定一个平面），进行合情推理，获得判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
高中数学第八章直线与平面垂直(第1课时)直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义及判定学案新人教A版
第1课时 直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义及判定问题导学预习教材P146－P150的内容，思考以下问题： 1．异面直线所成的角的定义是什么？ 2．异面直线所成的角的范围是什么？ 3．异面直线垂直的定理是什么？ 4．直线与平面垂直的定义是什么？ 5．直线与平面垂直的判定定理是什么？1．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 分别作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把直线a ′与b ′所成的角叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．(2)垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直．直线a 与直线b 垂直，记作a ⊥b ．(3)范围：设θ为异面直线a 与b 所成的角，则0°<θ≤90°.■[名师点拨] 当两条直线a ，b 相互平行时，规定它们所成的角为0°.所以空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°.注意与异面直线所成的角的范围的区别．2．直线与平面垂直画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形(1)直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形．(2)注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”．3．直线与平面垂直的判定定理判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)异面直线a，b所成角的范围为[0°，90°]．( )(2)如果一条直线与一个平面内无数条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．( )(3)如果一条直线与一个平面内所有直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．( )答案：(1)×(2)×(3)√直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是( )A．平行．垂直C．在平面α内．无法确定答案：D已知直线a∥直线b，b⊥平面α，则( )A．a∥α．a⊂αC．a⊥α．a是α的斜线答案：C在正方体ABCDA1B1C1D1中，AC与BD相交于点O，则直线OB1与A1C1所成角的度数为________．解析：连接AB1，B1C，因为AC∥A1C1，所以∠B1OC(或其补角)是异面直线OB1与A1C1所成的角．又因为AB1＝B1C，O为AC的中点，所以B1O⊥AC，故∠B1OC＝90°，所以OB1与A1C1所成的角的大小为90°.答案：90°异面直线所成的角如图，在正方体ABCDEFGH中，O为侧面ADHE的中心．求：(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角．【解】(1)如图，因为CG∥BF.所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.(2)连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形．所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH为等边三角形，又知O为AH的中点，所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°.1．[变条件]在本例正方体中，若P是平面EFGH的中心，其他条件不变，求OP和CD所成的角．解：连接EG，HF，则P为HF的中点，连接AF，AH，OP∥AF，又CD∥AB，所以∠BAF(或其补角)为异面直线OP与CD所成的角，由于△ABF是等腰直角三角形，所以∠BAF＝45°，故OP与CD所成的角为45°.2．[变条件]在本例正方体中，若M，N分别是BF，CG的中点，且AG和BN所成的角为39.2°，求AM和BN所成的角．∥CG，因为M，N分别是解：连接MG，因为BCGF是正方形，所以BFBF，CG的中点，所以BM═∥NG，所以四边形BNGM是平行四边形，所以BN∥MG，所以∠AGM(或其补角)是异面直线AG和BN所成的角，∠AMG(或其补角)是异面直线AM和BN所成的角，因为AM＝MG，所以∠AGM＝∠MAG＝39.2°，所以∠AMG＝101.6°，所以AM和BN所成的角为78.4°.求异面直线所成的角的步骤(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ<180°，则180°－θ为所求．[提醒] 求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°.如图所示，在三棱锥ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成的角．解：如图所示，取BD的中点G，连接EG，FG.因为E ，F 分别为BC ，AD 的中点，AB ＝CD ， 所以EG ∥CD ，GF ∥AB ， 且EG ＝12CD ，GF ＝12AB .所以∠GFE (或其补角)就是异面直线EF 与AB 所成的角，EG ＝GF . 因为AB ⊥CD ，所以EG ⊥GF . 所以∠EGF ＝90°.所以△EFG 为等腰直角三角形． 所以∠GFE ＝45°，即EF 与AB 所成的角为45°.直线与平面垂直的定义(1)直线l ⊥平面α，直线m ⊂α，则l 与m 不可能( ) A ．平行 ．相交 C ．异面．垂直(2)设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( ) A ．若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥α B ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α C ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m D ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m 【解析】 (1)因为直线l ⊥平面α，所以l 与α相交． 又因为m ⊂α，所以l 与m 相交或异面． 由直线与平面垂直的定义，可知l ⊥m . 故l 与m 不可能平行．(2)对于A ，直线l ⊥m ，m 并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B ，因为l ⊥α，则l 垂直于α内任意一条直线，又l ∥m ，由异面直线所成角的定义知，m 与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m ⊥α，故B 正确；对于C ，也有可能是l ，m 异面；对于D ，l ，m 还可能相交或异面．【答案】 (1)A (2)B对线面垂直定义的理解(1)直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．(2)由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a ⊥α，b ⊂α，则a ⊥b .下列命题中，正确的序号是________．①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；④若平面α内有一条直线与直线l不垂直，则直线l与平面α不垂直．解析：当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；当l 与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确．根据线面垂直的定义，若l⊥α，则l与α内的所有直线都垂直，所以④正确．答案：③④直线与平面垂直的判定如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F.(1)求证：PC⊥平面AEF；(2)设平面AEF交PD于点G，求证：AG⊥PD.【证明】(1)因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC.又AB⊥BC，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，所以AE⊥BC.又AE⊥PB，PB∩BC＝B，所以AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，所以AE⊥PC.又因为PC⊥AF，AE∩AF＝A，所以PC⊥平面AEF.(2)由(1)知PC⊥平面AEF，又AG⊂平面AEF，所以PC⊥AG，同理CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD，所以CD⊥AG，又PC∩CD＝C，所以AG⊥平面PCD，PD⊂平面PCD，所以AG⊥PD.1．[变条件]在本例中，底面ABCD是菱形，H是线段AC上任意一点，其他条件不变，求证：BD⊥FH.证明：因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，又PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥PA ， 因为PA ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面PAC ，又FH ⊂平面PAC ， 所以BD ⊥FH .2．[变条件]若本例中PA ＝AD ，G 是PD 的中点，其他条件不变，求证：PC ⊥平面AFG . 证明：因为PA ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，所以DC ⊥PA ， 又因为ABCD 是矩形，所以DC ⊥AD ，又PA ∩AD ＝A ， 所以DC ⊥平面PAD ，又AG ⊂平面PAD ， 所以AG ⊥DC ，因为PA ＝AD ，G 是PD 的中点， 所以AG ⊥PD ，又DC ∩PD ＝D ， 所以AG ⊥平面PCD ，所以PC ⊥AG ， 又因为PC ⊥AF ，AG ∩AF ＝A ， 所以PC ⊥平面AFG .3．[变条件]本例中的条件“AE ⊥PB 于点E ，AF ⊥PC 于点F ”，改为“E ，F 分别是AB ，PC 的中点，PA ＝AD ”，其他条件不变，求证：EF ⊥平面PCD .证明：取PD 的中点G ，连接AG ，FG . 因为G ，F 分别是PD ，PC 的中点， 所以GF ═∥12CD ，又AE ═∥12CD ，所以GF ═∥AE ， 所以四边形AEFG 是平行四边形，所以AG ∥EF . 因为PA ＝AD ，G 是PD 的中点， 所以AG ⊥PD ，所以EF ⊥PD ， 易知CD ⊥平面PAD ，AG ⊂平面PAD ， 所以CD ⊥AG ，所以EF ⊥CD .因为PD ∩CD ＝D ，所以EF ⊥平面PCD .(1)线线垂直和线面垂直的相互转化(2)证明线面垂直的方法①线面垂直的定义．②线面垂直的判定定理．③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．[提醒] 要证明两条直线垂直(无论它们是异面还是共面)，通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面．如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．(1)求证：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.证明：(1)因为AB为⊙O的直径，所以AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，所以PA⊥BM.又因为PA∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM.又AN⊂平面PAM，所以BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，所以AN⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，所以AN⊥PB.又因为AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，所以PB⊥平面ANQ.又NQ⊂平面ANQ，所以NQ⊥PB.1．若直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系是( )A．a⊥b，且a与b相交B．a⊥b，且a与b不相交C．a⊥bD．a与b不一定垂直解析：选C.过直线b作一个平面β，使得β∩α＝c，则b∥c.因为直线a⊥平面α，c⊂α，所以a⊥c.因为b∥c，所以a⊥b.当b与a相交时为相交垂直，当b与a不相交时为异面垂直．2．在正方体ABCDA1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是( )A．平面DD1C1C．平面A1DB1C．平面A1B1C1D1．平面A1DB解析：选B.因为AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，且A1D∩A1B1＝A1，所以AD1⊥平面A1DB1.3．空间四边形的四边相等，那么它的对角线( )A．相交且垂直．不相交也不垂直C．相交不垂直．不相交但垂直解析：选D.如图，空间四边形ABCD，假设AC与BD相交，则它们共面α，从而四点A，B，C，D都在α内，这与ABCD为空间四边形矛盾，所以AC与BD不相交；取BD的中点O，连接OA与OC，因为AB＝AD＝DC＝BC，所以AO⊥BD，OC⊥BD，从而可知BD⊥平面AOC，故AC⊥BD.4．已知a，b是一对异面直线，而且a平行于△ABC的边AB所在的直线，b平行于边AC 所在的直线，若∠BAC＝120°，则直线a，b所成的角为________．解析：由a∥AB，b∥AC，∠BAC＝120°，知异面直线a，b所成的角为∠BAC的补角，所以直线a，b所成的角为60°.答案：60°[A 基础达标]1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是( )A．α∥β，且m⊂α．m∥n，且n⊥βC．m⊥n，且n⊂β．m⊥n，且n∥β解析：选B.A中，由α∥β，且m⊂α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，B符合题意；C，D 中，m⊂β或m∥β或m与β相交，不符合题意．故选B.2．已知直线a∥b，平面α∥β，a⊥α，则b与β的位置关系是( )A．b⊥β．b∥βC．b⊂β．b⊂β或b∥β解析：选A.因为a⊥α，a∥b，所以b⊥α.又α∥β，所以b⊥β.3．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是( )解析：选D.对于A，易证AB⊥MN，AB⊥NQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于B，易证AB⊥MN，AB⊥NQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于C，易证AB⊥NQ，AB⊥MQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于D，由图可得MN与直线AB相交且不垂直，故直线AB与平面MNQ不垂直．故选D.4.如图，P为△ABC所在平面α外一点，PB⊥α，PC⊥AC，则△ABC的形状为( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：选B.由PB⊥α，AC⊂α得PB⊥AC，又AC⊥PC，PC∩PB＝P，所以AC⊥平面PBC，AC⊥BC.故选B.5．在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是( )A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段解析：选A.如图，由于BD1⊥平面AB1C，故点P一定位于线段B1C上．6.如图，在正方形ABCDA1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是______．解析：连接AD1，则AD1∥BC1.所以∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，连接CD1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AC＝AD1＝CD1，所以∠CAD1＝60°，即AC与BC1所成的角为60°.答案：60°7．如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：(1)与PC垂直的直线有__________________；(2)与AP垂直的直线有__________________．解析：(1)因为PC⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC.所以PC⊥AB，PC⊥AC，PC⊥BC.(2)∠BCA＝90°即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，所以BC⊥平面PAC，因为AP⊂平面PAC，所以BC⊥AP.答案：(1)AB，AC，BC(2)BC8.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a＞0)，PA⊥平面ABCD，且PA＝1，若BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，则a的最小值为________．解析：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥QD.若BC边上存在一点Q，使得QD⊥PQ，PA∩PQ＝P，则有QD⊥平面PAQ，从而QD⊥AQ.在矩形ABCD中，当AD＝a<2时，直线BC与以AD为直径的圆相离，故不存在点Q，使PQ⊥DQ.所以当a≥2时，才存在点Q，使得PQ⊥QD.所以a的最小值为2.答案：29.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．证明：AD⊥C1E.证明：因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC.①又在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥平面ABC，而AD⊂平面ABC，所以AD⊥BB1.②由①②得AD⊥平面BB1C1C.由点E在棱BB1上运动，得C1E⊂平面BB1C1C，所以AD⊥C1E.10．如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA ＝1，且E 为DA 的中点，求异面直线BE 与CD 所成角的余弦值．解：取AC 的中点F ，连接EF ，BF ， 在△ACD 中，E ，F 分别是AD ，AC 的中点，所以EF ∥CD ，所以∠BEF (或其补角)即为所求的异面直线BE 与CD 所成的角． 在Rt △ABC 中，BC ＝2，AB ＝AC ， 所以AB ＝AC ＝1，在Rt △EAB 中，AB ＝1，AE ＝12AD ＝12，所以BE ＝52. 在Rt △AEF 中，AF ＝12AC ＝12，AE ＝12，所以EF ＝22. 在Rt △ABF 中，AB ＝1，AF ＝12，所以BF ＝52.在等腰三角形EBF 中，cos ∠FEB ＝12EF BE ＝2452＝1010，所以异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为1010. [B 能力提升]11．已知异面直线a 与b 所成的角为50°，P 为空间一定点，则过点P 且与a ，b 所成的角都是30°的直线有且仅有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选B.过空间一点P ，作a ′∥a ，b ′∥b .由a ′、b ′两交线确定平面α，a ′与b ′的夹角为50°，则过角的平分线与直线a ′、b ′所在的平面α垂直的平面上，角平分线的两侧各有一条直线与a ′、b ′成30°的角，即与a 、b 成30°的角且过点P 的直线有两条．在a ′、b ′相交另一个130°的角部分内不存在与a ′、b ′成30°角的直线．故应选B. 12．(2018·高考全国卷Ⅱ)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )A.15B.56C.55D.22解析：选C.如图，连接BD 1，交DB 1于O ，取AB 的中点M ，连接DM ，OM ，易知O 为BD 1的中点，所以AD 1∥OM ，则∠MOD 为异面直线AD 1与DB 1所成角．因为在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，AD 1＝AD 2＋DD 21＝2，DM ＝AD 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB 2＝52，DB 1＝AB 2＋AD 2＋DD 21＝5，所以OM ＝12AD 1＝1，OD ＝12DB 1＝52，于是在△DMO 中，由余弦定理，得cos ∠MOD ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫5222×1×52＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55，故选C.13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，E 为DC 边的中点，沿AE 将△ADE 折起，在折起过程中，下列结论正确的有( )①ED ⊥平面ACD ；②CD ⊥平面BED ；③BD ⊥平面ACD ；④AD ⊥平面BED . A ．1个 B ．2个 C．3个D ．4个解析：选A.因为在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，E 为DC 边的中点， 所以在折起过程中，D 点在平面ABCE 上的投影如图．因为DE与AC所成角不能为直角，所以DE不会垂直于平面ACD，故①错误；只有D点投影位于Q2位置时，即平面AED与平面AEB重合时，才有BE⊥CD，此时CD不垂直于平面AECB，故CD与平面BED不垂直，故②错误；BD与AC所成角不能为直角，所以BD不能垂直于平面ACD，故③错误；因为AD⊥ED，并且在折起过程中，有AD⊥BD，所以存在一个位置使AD⊥BE，所以在折起过程中有AD⊥平面BED，故④正确．故选A.14．如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，△BCF为正三角形，G，H分别为BC，EF的中点，EF＝4且EF∥AB，EF⊥FB.(1)求证：GH∥平面EAD；(2)求证：FG⊥平面ABCD.证明：(1)如图，取AD的中点M，连接EM，GM.因为EF∥AB，M，G分别为AD，BC的中点，所以MG∥EF.因为H为EF的中点，EF＝4，AB＝2，所以EH＝AB＝MG，所以四边形EMGH为平行四边形，所以GH∥EM，又因为GH⊄平面EAD，EM⊂平面EAD，所以GH∥平面EAD.(2)因为EF⊥FB，EF∥AB，所以AB⊥FB.在正方形ABCD中，AB⊥BC，所以AB⊥平面FBC.又FG⊂平面FBC，所以AB⊥FG.在正三角形FBC中，FG⊥BC，所以FG⊥平面ABCD.[C 拓展探究]15．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．解：(1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.因为DE⊥A1D，DE⊥CD，所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEQP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰△DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.又DP∩DE＝D，所以A1C⊥平面DEQP.即A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.。
直线与平面垂直的判定导学案正式版
2.3.1直线与平面垂直的判定导学案课前预习学案一、预习目标：借助对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；二、预习内容：问题1：空间一条直线和一个平面有哪几种位置关系？问题2：在日常生活中你见得最多的直线与平面相交的情形是什么？请举例说明．问题3：你能给出直线和平面垂直的定义吗？回忆一下直线与直线垂直是如何定义的？问题4：结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义．(1)阳光下，旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少？(2)随着太阳的移动,影子BC的位置也会移动,而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发生改变?(3)旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线B1C1的位置关系如何?依据是什么直线与直线垂直是的定义________________________________________________________________思考：（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？（2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？(3)如何判定一条直线直线和平面垂直呢？三．提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中课内探究学案一、学习目标：（1）探究出直线与平面垂直的判定定理（2）利用定理解决实际问题学习重点：运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。
学习难点：运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。
二、学习过程1、探究判定定理学生活动：（折纸试验）请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验：过三角形的顶点A翻折纸片，得到折痕AD（如图1），将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC 与桌面接触）问题1：（1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？问题2：在你翻折纸片的过程中，纸片的形状发生了变化，这是变的一面，那么不变的一面是什么呢？（可从线与线的关系考虑）如果我们把折痕抽象为直线，把BD、CD抽象为直线，把桌面抽象为平面(如图3)，那么你认为保证直线与平面垂直的条件是什么？思考：现在，你知道两位工人是根据什么原理安装旗杆的吗？为什么要求绳子在地面上两点和旗杆脚不在同一直线上？如果安装完了，请你去检验旗杆与地面是否垂直，你有什么好方法？问题3：如果将图3中的两条相交直线、的位置改变一下，仍保证，（如图4）你认为直线还垂直于平面吗？直线与平面垂直的判定定理（文字，图形和符号三种形式）问题4：（1）与直线与平面垂直的定义相比,你觉得这个判定定理的优越性体现在哪里?（2）你觉得定义与判定定理的共同点是什么?2、直线与平面垂直判定定理的应用如图５，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，请列举与平面ABCD垂直的直线．并说明这些直线有怎样的位置关系？思考：如图６，已知，则吗？请说明理由．练习：如图７，在三棱锥V-ABC中，VA＝VC,AB＝BC,K是AC的中点．求证：AC⊥平面VKB思考：(1)在三棱锥V-ABC中，VA＝VC，AB＝BC，求证：VB⊥AC；(2)在⑴中，若E、F分别是AB、BC 的中点，试判断EF与平面VKB的位置关系；(3)在⑵的条件下，有人说“VB⊥AC， VB⊥EF，∴VB⊥平面ABC”，对吗？3、当堂检测设计P探究：如图2.3-7，直四棱柱A1B1C1D1-ABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直1．课本66棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么条件时，A1C⊥B1D1．2．如图９，PA⊥平面ABC，BC⊥AC，写出图中所有的直角三角形．NM PDCBA3．课本67P 练习2课后练习与提高1．下列关于直线,l m 与平面,αβ的命题中，真命题是 （ ）()A 若l β⊂且αβ⊥，则l α⊥ ()B 若l β⊥且//αβ，则l α⊥ ()C 若l β⊥且αβ⊥，则//l α ()D m αβ=且//l m ，则//l α2．已知直线a 、b 和平面M 、N ，且M a ⊥，那么 （ ）（A ）b ∥M ⇒b ⊥a（B ）b ⊥a ⇒b ∥M（C ）N ⊥M ⇒a ∥N （D ）φ≠⇒⊄N M N a3．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，并且保持1AP BD ⊥，则动点P 的轨迹为 （ ）()A 线段1B C ()B 线段1BC()C 1BB 的中点与1CC 的中点连成的线段 ()D BC 的中点与11B C 的中点连成的线段 4．三条不同的直线，α、β、γ为三个不同的平面①若αγββα则,,⊥⊥∥β②若a c b b a 则,,⊥⊥∥c a c ⊥或.③若b a ,α⊂、βαβ⊥⊥⊥⊂则,,,c a b a c ④若a b a ,,βα⊂⊥∥βα⊥则,b 上面四个命题中真命题的个数是5．如图，PA ⊥矩形ABCD 所在的平面，,M N 分别是,AB PC 的中点， （1）求证：//MN 平面PAD ； （2）求证：MN CD ⊥ （3）若4PDA π∠=，求证：MN ⊥平面PCD参考答案1B2A3A 4②④5略。
直线与平面垂直的判定学案成稿
直线与平面垂直的判定学案学习目标1. 理解直线与平面垂直的定义；2. 掌握直线与平面垂直的判定定理及其应用；3. 理解直线与平面所成的角的概念，会求直线与平面所成的角.【先学自研】一、知识梳理探究1：直线和平面垂直的概念问题：（1）如图，将三角板直立起来，并且让它的一条直角边BC落在桌面上，观察AB边与桌面的位置关系呈什么状态？（2）绕着AB边转动三角板，边AB与BC始终垂直吗？在转动的过程中，把BC看作桌面上不同的直线，你能得出什么结论吗？新知1：（概念）如果直线l与平面α内的直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，记做lα⊥.l叫做垂线，α叫垂面，它们的交点P叫垂足. （如图所示.）反思：⑴如果直线与平面内无数条直线都垂直，那么它和这个平面垂直吗？⑵用定义证明直线和平面垂直好证吗？你感觉难在哪里？探究2：直线与平面垂直的判定定理问题：如图，将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(,BD DC与桌面接触).观察折痕AD与桌面的位置关系.如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直呢？结论：当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在的直线与桌面所在的平面α垂直.如图所示.反思：⑴折痕AD与桌面上的一条直线垂直时，能判断AD垂直于桌面吗?⑵如图，当折痕AD BC⊥时，翻折后ADα⊥,即,AD CD AD BD⊥⊥.由此你能得出什么结CAB论?新知2：（判定定理）文字表述：，则该直线与此平面垂直. 图形表示：符号表示：<小试牛刀>已知：正方体AC1。
求证：AC⊥平面BB1D1D.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1，G为CC1 的中点，O为底面ABCD的中心.求证：（1）BD⊥平面AC1（2）A1O⊥平面GBD. αD1C1B1A1CDA探究3：直线与平面所成的角新知3：(斜线、斜足、射影、斜线和平面所成的角)如图，斜线 ：直线PA 和平面α相交但不垂直，PA 叫做平面的斜线斜足：PA 和平面的交点A 叫斜足；射影：PO α⊥，AO 叫做斜线PA 在平面α上的射影.斜线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条直线和平面所成的角.直线与平面所成的角⎪⎩⎪⎨⎧面内：直线和平面平行或在平直线与平面垂直：斜线与平面所成角：（1）如图，Rt △BMC 中，斜边BM ＝5，它在平面ABC 上的射影AB 长为4，∠MBC ＝60°，求MC 与平面CAB 所成角的正弦值． （2）如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求（1）A 1B 与平面AB 1C 1D 所成的角． （2）A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角．二、课后练习1、如图所示，已知Rt△ABC所在平面外一点S，且SA=SB=SC，点D为斜边AC的中点.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB=BC，求证：BD⊥平面SAC.2、如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，M是圆周上异于A、B的一点，AN⊥PM，垂足为N. 求证：AN⊥平面PBM.3、如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是________.小结：1、直线与平面垂直的判定方法定义定理推论a b\αmn2、直线与平面所成的角 ⎪⎩⎪⎨⎧面内：直线和平面平行或在平直线与平面垂直：斜线与平面所成角：1.如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 中点． (1) 求证：MN ⊥CD ； (2) 若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥面PCD ．2.如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝33，BC ＝3，沿对角线BD 将△BCD 折起，使点C 移到C ′点，且C ′点在平面ABD 上的射影O 恰在AB 上．(1)求证：BC ′⊥平面AC ′D ；(2)求直线AB 与平面BC ′D 所成角的正弦值．3.如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝ 时，CF ⊥平面B 1DF .（选作）P MBC DA N。
学案2：11.4.1 直线与平面垂直
11.4.1 直线与平面垂直学 习 目 标核 心 素 养1.了解直线与平面垂直的定义．(重点)2.理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直．(重点)3.掌握线面垂直的性质定理，并能应用．(重点)4.灵活运用直线与平面垂直的判定定理和性质定理处理空间垂直问题．(难点) 1.通过直线与平面垂直的定义学习，培养直观想象的数学核心素养.2.借助线面垂直的判定定理与性质定理，提升逻辑推理、数学抽象的数学核心素养.知识梳理1．直线与直线垂直如果两条直线相交于一点或经过 相交于一点，并且交角为 ，则称这两条直线互相垂直．2．直线与平面垂直的定义 文字语言图形语言符号语言如果直线l 与平面α内的 直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直，直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面，它们唯一的公共点P 叫做垂足3.直线与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言如果一条直线与平面内 的 都垂直，则这条直线与这个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥a ，l ⊥b ，a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝P ⇒l ⊥α 思考：一条直线与一个平面内两条平行直线垂直，那么这条直线与这个平面是什么位置关系？4．直线与平面垂直的性质定理文字语言 垂直于同一个平面的两条直线符号语言⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒ 图形语言文字语言 两条平行直线中有一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面符号语言⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒ 基础自测1．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的六个面中，与AA 1垂直的平面的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．62．直线l ⊥平面α，直线m ⊂α，则l 与m 不可能( ) A ．平行 B ．相交 C ．异面D ．垂直3．若三条直线OA ，OB ，OC 两两垂直，则直线OA 垂直于( ) A ．平面OAB B ．平面OAC C ．平面OBCD ．平面ABC4．直线n ⊥平面α，n ∥l ，直线m ⊂α，则l ，m 的位置关系是________． 合作探究类型一线面垂直的定义及判定定理的理解【例1】 下列说法中正确的个数是( )①如果直线l 与平面α内的两条相交直线都垂直，则l ⊥α； ②如果直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，则l ⊥α； ③如果直线l 不垂直于α，则α内没有与l 垂直的直线； ④如果直线l 不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l 垂直． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3规律方法1．对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交、平行或直线在平面内．2．判定定理中要注意必须是平面内两相交直线．跟踪训练1．下列说法中错误的个数是()①若直线m∥平面α，直线l⊥m，则l⊥α；②若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α必相交；③过平面α外一点有且只有一条直线和平面α垂直；④过直线a外一点有且只有一个平面和直线a垂直．A．0B．1C．2D．3类型二线面垂直判定定理的应用【例2】如图，P A⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.(1)求证：PC⊥平面AEF；(2)设平面AEF交PD于G，求证：AG⊥PD.[思路探究]P A⊥平面ABCD，ABCD为矩形，AE⊥PB，AF⊥PC⇒直线与平面垂直的判定定理；若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的所有直线．规律方法证线面垂直的方法1．线线垂直证明线面垂直(1)定义法(不常用)；(2)判定定理最常用(有时作辅助线)．2．平行转化法(利用推论)(1)a∥b，a⊥α⇒b⊥α；(2)α∥β，a⊥α⇒a⊥β.跟踪训练2．若本例中，底面ABCD是菱形，H是线段AC上任意一点，其他条件不变，求证：BD⊥FH.3．若本例中P A＝AD，G是PD的中点，其他条件不变，求证：PC⊥平面AFG.类型三线面垂直性质定理的应用[探究问题]将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)．观察折痕AD与桌面的位置关系．1．折痕AD与桌面一定垂直吗？2．当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？【例3】如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC，求证：MN∥AD1.[思路探究]两直线垂直于同一平面⇒两直线平行．[母题探究]本例中条件不变，求证：M是AB中点．规律方法平行关系与垂直关系之间的相互转化课堂小结1．本节课的重点是理解并掌握直线与平面垂直的定义，明确定义中“任意”两字的重要性；掌握直线与平面垂直的判定定理与性质定理，并能解决有关线面垂直的问题．难点直线与平面垂直关系的判定与证明．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)线面垂直的定义及应用．(2)线面垂直的判定定理及应用．(3)线面垂直的性质定理及应用．3．本节课的易错点是用线面垂直的判定定理时易漏掉两条直线相交这一条件.当堂达标1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行．()(2)垂直于同一平面的两条直线互相平行．()(3)一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．() 2．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．相交或平行3．如图，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是()A．平行B．垂直相交C．垂直但不相交D．相交但不垂直4．如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.参考答案知识梳理1．平移后直角2．任意一条l⊥α3. 两条相交直线思考：[提示]相交或平行或直线在平面内．4．平行a∥b b⊥α基础自测1．【答案】B【解析】正方体ABCDA1B1C1D1的六个面中与AA1垂直的平面是平面ABCD与平面A1B1C1D1. 2．【答案】A【解析】由直线与平面垂直的定义可知，l⊥m，l与m可能相交或异面，但不可能平行．3．【答案】C【解析】∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB⊂平面OBC，OC⊂平面OBC，∴OA⊥平面OBC.4．【答案】l⊥m【解析】由题意可知l⊥α，所以l⊥m.合作探究【例1】【答案】D【解析】由直线和平面垂直的判定定理知①正确；由直线与平面垂直的定义知，②正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条直线垂直，故③不对；④正确．跟踪训练1．【答案】C【解析】①错误．若直线m∥平面α，直线l⊥m，则l与α平行、相交或l在α内都有可能；②错误．若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α平行、相交或l在α内都有可能；③④正确．【例2】[证明](1)因为P A⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以P A⊥BC.又AB⊥BC，P A∩AB＝A，所以BC⊥平面P AB，AE⊂平面P AB，所以AE⊥BC.又AE⊥PB，PB∩BC＝B，所以AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，所以AE⊥PC.又因为PC⊥AF，AE∩AF＝A，所以PC⊥平面AEF.(2)由(1)知PC⊥平面AEF，所以PC⊥AG，同理CD⊥平面P AD，AG⊂平面P AD，所以CD⊥AG，PC∩CD＝C，所以AG⊥平面PCD，PD⊂平面PCD，所以AG⊥PD.跟踪训练2．[证明]因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，又P A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥P A，因为P A⊂平面P AC，AC⊂平面P AC，且P A∩AC＝A，所以BD⊥平面P AC，FH⊂平面P AC，所以BD⊥FH.3．[证明]因为P A⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以DC⊥P A,又因为ABCD是矩形，所以DC⊥AD，又P A∩AD＝A，所以DC⊥平面P AD，又AG⊂平面P AD，所以AG⊥DC，因为P A＝AD，G是PD的中点，所以AG⊥PD，又DC∩PD＝D，所以AG⊥平面PCD，所以PC⊥AG，又因为PC⊥AF，AG∩AF＝A，所以PC⊥平面AFG.类型三线面垂直性质定理的应用[探究问题]1．[提示]不一定．2．[提示]当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直．【例3】[证明]因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D.又因为CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC.又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.[母题探究][证明]连接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC.所以ON 12CD12AB，所以ON∥AM.又因为由本例可知MN∥OA，所以四边形AMNO 为平行四边形，所以ON ＝AM .因为ON ＝12AB ，所以AM ＝12AB ，所以M 是AB 的中点． 当堂达标1．【答案】(1)√ (2)√ (3)√【解析】由线面垂直的定义和性质可知(1)、(2)、(3)均正确． 2．【答案】B【解析】圆柱的母线垂直于圆柱的底面，由线面垂直的性质知B 正确． 3．【答案】C【解析】因为ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC .又MC ⊥平面ABCD ，则BD ⊥MC .因为AC ∩MC ＝C ，所以BD ⊥平面AMC ，又MA ⊂平面AMC ，所以MA ⊥BD .显然直线MA 与直线BD 不共面，因此直线MA 与BD 的位置关系是垂直但不相交． 4．[证明] 如图，连接PE ，EC ，在Rt △P AE 和Rt △CDE 中，P A ＝AB ＝CD ，AE ＝DE ，∴PE ＝CE ，即△PEC 是等腰三角形． 又F 是PC 的中点，∴EF ⊥PC . 又BP ＝AP 2＋AB 2＝22＝BC ， F 是PC 的中点，∴BF ⊥PC . 又BF ∩EF ＝F ，∴PC ⊥平面BEF .。
1直线与平面垂直教学案例
1直线与平面垂直教学案例教学目标：1.知识目标：学生理解直线与平面垂直的定义和性质；2.技能目标：学生能够根据直线与平面的特性判断它们是否垂直；3.情感目标：培养学生对几何关系的兴趣和探索的能力。
教学重点：1.直线与平面垂直的定义；2.直线与平面垂直的性质；3.如何判断直线与平面是否垂直。
教学难点：如何判断直线与平面是否垂直。
教学准备：1.教师准备：黑板、彩色粉笔、几何模型；2.学生准备：几何工具、教科书、笔记。
教学步骤：Step 1 自主探究（10分钟）教师提前准备一些几何模型，如立体图形和平面图形。
学生观察几何模型，思考有哪些直线与平面垂直的关系。
教师引导学生提出自己的猜想和思考，并记录在黑板上。
Step 2 理论导入（10分钟）教师介绍直线与平面垂直的定义：如果一个直线与一个平面相交，且与平面上的所有直线都垂直，则称这条直线与该平面垂直。
Step 3 定理讲解（30分钟）教师介绍直线与平面垂直的性质，并通过几何模型的实例进行证明与解释。
性质1：直线与平面相交于一点，且平面上的任意直线垂直于直线，则该直线与该平面垂直。
性质2：直线与平面相交于一点，且平面上的一条与直线垂直的直线互相垂直，则该直线与该平面垂直。
性质3：直线与平面相交于一点，且平面上的一条与直线垂直的直线平行于平面上的另一条直线，则该直线与该平面垂直。
Step 4 应用练习（30分钟）教师设计一些练习题，让学生应用所学的知识判断直线与平面是否垂直，并解决相关问题。
教师可分别给出平面的方程和直线的方程，让学生通过计算得出结果。
Step 5 综合训练（15分钟）教师分发综合训练题册，要求学生独立完成，并收齐作业。
教师对学生的答案进行批改和讲解，纠正学生可能存在的错误和不足。
Step 6 总结归纳（5分钟）教师对本节课的重点内容进行回顾，并让学生总结直线与平面垂直的判断方法和规律。
Step 7 课堂作业布置一些课堂作业，要求学生巩固所学的知识。
学案2：8．6.2 直线与平面垂直（一）
8．6.2直线与平面垂直（一）[学习目标]1.掌握直线与平面垂直的定义；2.掌握直线与平面垂直的判定定理，并能应用判定定理证明直线和平面垂直．[学习重点] 直线与平面垂直的证明．[学习难点] 对直线与平面垂直定义的理解；对直线与平面所成角定义的理解．|要点整合夯基础|知识点一直线与平面垂直的定义[填一填]1．如果直线l与平面α内的直线都，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作.直线l叫做平面α的，平面α叫做直线l的．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做．2．过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的，的长度叫做这个点到该平面的距离．过一点垂直于已知平面的直线．[答一答]1．如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，l与α垂直吗？2．“任何直线”、“所有直线”、“无数条直线”表达的是同一意思吗？3．若l⊥α，a为平面α内的任一条直线，则l与a是否垂直？知识点二直线与平面垂直的判定定理[填一填]1．文字语言：如果一条直线与一个平面内的垂直，那么该直线与此平面垂直．2．图形语言：如右图所示．符号语言：⇒l⊥α.[答一答]4．如果一条直线和平面内的两条直线垂直，那么这条直线和这个平面垂直吗？为什么？5．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()A．平面OAB B．平面OAC C．平面OBC D．平面ABC知识点三直线与平面所成的角[填一填]1．如图，一条直线l和一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做．2．过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影．3．平面的一条斜线和它在平面上的所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．4．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°.直线与平面所成角θ的取值范围是.[答一答]6．如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角为.|典例讲练破题型 |类型一直线与平面垂直的定义及判定定理[例1]下列说法中正确的个数是()①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于平面α，则平面α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于平面α，则平面α内也可以有无数条直线与l垂直．A．0 B．1C．2 D．3[通法提炼](1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交.(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线.[变式训练1]如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是()A．异面B．平行C．垂直D．不确定类型二直线与平面垂直的证明[例2]如图，P为△ABC所在平面外一点，P A⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求证：(1)BC⊥平面P AB；(2)AE⊥平面PBC；(3)PC⊥平面AEF.[通法提炼]线面垂直的判定定理实质是由线线垂直推证线面垂直，途径是找到一条直线与平面内的两条相交直线垂直.推证线线垂直时注意分析几何图形，寻找隐含条件.[变式训练2]如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱P A垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，P A＝AD.求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD.类型三直线与平面所成的角[例3]在正方体ABCDA1B1C1D1中．(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．[通法提炼]求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤：(1)确定斜线与平面的交点(斜足)；(2)通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角；(3)求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形.[变式训练3] 如图所示，已知AB 为圆O 的直径，且AB ＝4，点D 为线段AB 上一点，且AD ＝13DB ，点C 为圆O 上一点，且BC ＝3AC .点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，PD ＝DB .(1)求证：CD ⊥平面P AB ；(2)求直线PC 与平面P AB 所成的角．|课堂达标练经典|1．下列表述正确的个数为( )①若直线a ∥平面α，直线a ⊥b ，则b ⊥α； ②若直线a ⊄平面α，b ⊂α，且a ⊥b ，则a ⊥α； ③若直线a 平行于平面α内的两条直线，则a ∥α；④若直线a垂直于平面α内的两条直线，则a⊥α.A．0B．1C．2D．32．如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是()A．平行B．垂直相交C．垂直但不相交D．相交但不垂直3．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为.4．如图所示，P A⊥平面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为.5．如图所示，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，且AB ＝BC＝2，∠CBD＝45°.(1)求证：CD⊥平面ABC；(2)求直线BD与平面ACD所成角的大小．|课堂小结|——本课须掌握的三大问题1．直线和平面垂直的判定方法：(1)利用线面垂直的定义；(2)利用线面垂直的判定定理；(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.2．线线垂直的判定方法：(1)异面直线所成的角是90°；(2)线面垂直，则线线垂直．3．求线面角的常用方法：(1)直接法(一作(或找)二证(或说)三计算)；(2)转移法(找过点与面平行的线或面)；(3)等积法(三棱锥变换顶点，属间接求法)．参考答案|要点整合夯基础| 知识点一直线与平面垂直的定义[填一填] 1．任意一条垂直l⊥α垂面垂足2．垂线段垂线段有且只有一条[答一答]1．提示：不一定．若平面内的无数条直线是平行的，则直线l与平面可能平行，也可能垂直，也可能是相交但不垂直，也可能直线l在平面内．2．提示：“任何直线”与“所有直线”的意义相同，但与“无数条直线”不同，“无数条直线”仅是“任何直线”中的一部分．3．提示：垂直，由直线和平面垂直的定义可知，直线和平面内的所有直线都垂直，这也是证明两条直线垂直的一种方法．知识点二直线与平面垂直的判定定理[填一填]1．两条相交直线2．a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b[答一答]4．提示：无法判断这条直线和这个平面是否垂直．因为当这两条直线相交时，由判定定理可知直线和平面垂直；而当这两条直线相互平行时，直线和平面不一定垂直，直线可能在平面内，也可能与平面平行，还可能与平面斜交．5．【答案】C知识点三直线与平面所成的角[填一填]1．斜线斜足2．垂足O和斜足A3．射影角4．0°≤θ≤90°[答一答]6．【答案】45°【解析】∵BB1⊥平面ABCD，∴∠B1AB是AB1与平面ABCD所成的角．又∠B1AB＝45°，所以AB1与平面ABCD所成的角为45°.|典例讲练破题型 |类型一直线与平面垂直的定义及判定定理[例1][答案]D[解析]由直线和平面垂直的判定定理知①正确；由直线与平面垂直的定义知，②正确；当l与平面α不垂直时，l可能与平面α内的无数条直线垂直，故③不对，④正确．[通法提炼](1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交.(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线. [变式训练1] 【答案】C【解析】因为BA ⊥α，α∩β＝l ，l ⊂α， 所以BA ⊥l ，同理BC ⊥l ， 又BA ∩BC ＝B ，所以l ⊥平面ABC . 因为AC ⊂平面ABC ，所以l ⊥AC . 类型二 直线与平面垂直的证明[例2] 证明：(1)∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴P A ⊥BC .∵∠ABC ＝90°，∴AB ⊥BC . 又AB ∩P A ＝A ，∴BC ⊥平面P AB .(2)∵BC ⊥平面P AB ，AE ⊂平面P AB ，∴BC ⊥AE . ∵PB ⊥AE ，BC ∩PB ＝B ， ∴AE ⊥平面PBC .(3)∵AE ⊥平面PBC ，PC ⊂平面PBC ， ∴AE ⊥PC .∵AF ⊥PC ，AE ∩AF ＝A ，∴PC ⊥平面AEF .[变式训练2] 证明：(1)因为P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以CD ⊥P A .又在矩形ABCD 中，CD ⊥AD ，且AD ∩P A ＝A ， 所以CD ⊥平面P AD ，所以CD ⊥PD . (2)如图，取PD 的中点G ，连接AG ，FG ， 又因为F 是PC 的中点，所以GF 綉12CD ，所以GFAE .所以四边形AEFG 是平行四边形， 所以AG ∥EF .因为P A ＝AD ，G 是PD 的中点， 所以AG ⊥PD ，所以EF ⊥PD ，因为CD ⊥平面P AD ，AG ⊂平面P AD . 所以CD ⊥AG .所以EF ⊥CD .因为PD ∩CD ＝D ，所以EF ⊥平面PCD . 类型三 直线与平面所成的角[例3] 解：(1)∵直线A 1A ⊥平面ABCD ， ∴∠A 1CA 为直线A 1C 与平面ABCD 所成的角， 设A 1A ＝1，则AC ＝2， ∴tan ∠A 1CA ＝22. (2)如图，连接A 1C 1交B 1D 1于O ，在正方形A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1⊥B 1D 1，∵BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，∴BB 1⊥A 1C 1. 又BB 1∩B 1D 1＝B 1，∴A 1C 1⊥平面BDD 1B 1，垂足为O .∴∠A 1BO 为直线A 1B 与平面BDD 1B 1所成的角． 在Rt △A 1BO 中，A 1O ＝12A 1C 1＝12A 1B ，∴∠A 1BO ＝30°.即A 1B 与平面BDD 1B 1所成的角为30°.[变式训练3] 解：解法1：(1)证明：如图，连接CO ，由3AD ＝DB 知，点D 为AO 的中点．又因为AB 为圆O 的直径，所以AC ⊥CB .由3AC ＝BC 知，∠CAB ＝60°，所以△ACO 为等边三角形．故CD ⊥AO .因为点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，所以PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ，所以PD ⊥CD ，由PD ⊂平面P AB ，AO ⊂平面P AB ，且PD ∩AO ＝D ，得CD ⊥平面P AB . (2)由(1)知∠CPD 是直线PC 与平面P AB 所成的角，又△AOC 是边长为2的正三角形，所以CD ＝ 3.在Rt △PCD 中，PD ＝DB ＝3，CD ＝3，所以tan ∠CPD ＝CD PD ＝33，所以∠CPD ＝30°， 即直线PC 与平面P AB 所成的角为30°.解法2：(1)证明：因为AB 为圆O 的直径，所以AC ⊥CB .在Rt △ABC 中，由AB ＝4,3AD ＝DB ，3AC ＝BC ，得DB ＝3，BC ＝23，所以BD BC ＝BC AB ＝32，则△BDC ∽△BCA ，所以∠BCA ＝∠BDC ，即CD ⊥AO .因为点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，所以PD ⊥平面ABC .又CD ⊂平面ABC ，所以PD ⊥CD .由PD ⊂平面P AB ，AO ⊂平面P AB ，且PD ∩AO ＝D ，得CD ⊥平面P AB .(2)由(1)知∠CPD 是直线PC 与平面P AB 所成的角．在Rt △PCD 中，PD ＝BD ＝3，CD ＝BC 2－BD 2＝3，所以tan ∠CPD ＝CD PD ＝33，所以∠CPD ＝30°， 即直线PC 与平面P AB 所成的角为30°.|课堂达标练经典|1．【答案】A【解析】①中b 与平面α还可能平行、斜交或b 在平面α内；②中a 与平面α还可能平行或斜交；③中a 还可能在平面α内；由直线与平面垂直的判定定理知④错．2．【答案】C【解析】连接AC ，因为ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC .又MC ⊥平面ABCD ，则BD ⊥MC .因为AC ∩MC ＝C ，所以BD ⊥平面AMC .又MA ⊂平面AMC ，所以MA ⊥BD .显然直线MA 与直线BD 不共面，因此直线MA 与BD 的位置关系是垂直但不相交．3．【答案】13【解析】连接A 1C 1.∵AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，∴∠AC 1A 1为直线AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角．∵AA 1＝1，AB ＝BC ＝2，∴A 1C 1＝22，AC 1＝3，∴sin ∠AC 1A 1＝AA 1AC 1＝13. 4．【答案】4【解析】∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC .又BC ⊥AC ，P A ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ，∴BC⊥PC，∴直角三角形有△P AB、△P AC、△ABC、△PBC.5．(1)证明：因为BD是底面圆的直径，所以CD⊥BC.又AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，所以AB⊥CD.因为AB∩BC＝B，所以CD⊥平面ABC.(2)解：如图，取AC的中点E，连接BE，DE，由(1)知BE⊥CD，又E是AC的中点，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，所以BE⊥AC，所以BE ⊥平面ACD，所以直线BD与平面ACD所成的角为∠BDE.而BE⊥平面ACD，则BE⊥ED，即△BED为直角三角形．又AB＝BC＝2，∠CBD＝45°，则BD＝22，BE＝2，所以sin∠BDE＝BEBD＝1 2，所以∠BDE＝30°.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
直线与平面垂直(1)
一、预习内容
P31-P33上
二、预习目标
1、掌握直线和平面垂直的定义及判定定理
2、掌握判定直线和平面垂直的方法
3、在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论
三、预习任务
a. 知识梳理与构建的要求
在现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，例如：“旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系”，你能举出一些类似的例子吗？一条直线与一个平面垂直的意义是什么？
如果直线L与平面α内的__________都垂直，我们就说直线L与平面α互相___，记作
______，直线L叫做平面α的_____，平面α叫做直线L的_____。
如图，直线与平面垂直时,
它们唯一公共点P叫做_______。
L
p
α
结论：过一点有_____条直线与已知平面垂直；过一点有______个平面与已知直线垂直。
准备一块三角形的纸片，来做如图试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将
翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），问如何翻折才能保证折痕AD与桌
面所在平面垂直？
A
B D C
归纳结论：获得判定定理：一条直线与一个平面内的________都垂直，则该直线与此平
面垂直。
b. 预习检测题
《突破课堂》P28 1、2、4
c. 预习提高题
1、如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是______
《突破课堂》P29 1、3
四、预习的展示与总结
五、教师精讲点拨典型例题
例1求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． 已知：,//a a b α⊥
求证：b α⊥
例2如图,已知:α∩β＝l , P A ⊥α于Α,PB ⊥β于B , AQ ⊥l 于Q ,求证:BQ ⊥l .
六、课堂巩固检测题
1、一个多面体的直观图、主视图、侧视图、俯视图如下所
示， M 、N 分别为1A B 、11B C 的中点。
求证：MN ⊥平面1A BC
2、《突破课堂》P29 8
七、总结：
1、通过预习我已经掌握________________________________________________
2、需要与同学交流的问题是_____________________________________________
3、需要老师重点讲解的问题是___________________________________________
4、我的建议___________________________________________________________
l Q B A P αβ。