第1章-1.2.1+1.2.2-1基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
第一章1.2-1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
1．几个常用函数的导数
原函数 导函数 f(x)＝c f′(x)＝0 f(x)＝x f′(x)＝1 f(x)＝x2 f′(x)＝2x
f(x)＝1x
1 f′(x)＝_2__x__
f(x)＝ x f′(x)＝_－__x1_2__
2．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
y＝c y＝xn(n∈Q) y＝sin x y＝cos x y＝ax(a＞0，a≠1) y＝ex
2．遇到含有根式的函数求导数一般先化为幂函数的 形式再求导．
程为 y－1＝－xln 2，即 xln 2＋y－1＝0. 答案：xln 2＋y－1＝0.
5．曲线 y＝13x3 在 x＝1 处切线的倾斜角为________． 解析：由 y＝13x3 得 y′＝x2，y′|x＝1＝1，所以切线的倾 斜角 α 满足 tan α＝1，因为 0≤α＜π，所以 α＝π4. 答案：π4
＝－13. 1
(2)因为 f(x)＝ln x(x>0)， 所以 f′(x)＝1x， 所以 f′(x0)＝x10＝x120，所以 x0＝1. 答案：(1)－13 (2)1
类型 3 求切线方程(互动探究)
[典例 3] 已知曲线 y＝1x，求曲线在点 P(1，1)处的 切线方程．
1
1
解：y＝x，y′＝－x2.显然 P(1，1)是曲线上的点，
即质点在 t＝π3时的速度为12. (2)因为 v(t)＝cos t， 所以加速度 a(t)＝v′(t)＝(cos t)′＝－sin t.
归纳升华 1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间 的导数． 2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的步骤 是：(1)求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函 数，求相应的导数值．
数学：1.2.2《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》课件(新人教A版选修2—2)
'
2x 3
'
3
'
3x 2.
所以,函数 y x 2x 3的导数是 y 3x 2.
' 2
2
例3
日常生活中的饮用水 经过 净化的 . 随着水 , 所需净化费 .已知将 1吨水净 x % 时所需费
通常是
纯净度的提高 用不断增加 化到纯净度为 用 单位 : 元 为 cx 5284 100 x
可以看作函数
和u
0 . 05 x 1 的复合函数
y y u
' x
.由复合函数求导法则有
'
e
0 . 05 x 1
u '
0 .0 5 x 1
0 . 05 e
u
0 . 05 e
.
3 函数
y sin π x φ 可以看作函数 .
'
f x f 3. g x
'
'
x g x f x g x g x 2 g x
0 .
例2
根据基本初等函 的导数公式 数
3
和导数运算法则求函数 y x 2x , 3 的导数.
解 x
因为y x 2x 3
一般地 , 对于两个函数 变量 u , y 可以表示成
y f u 和 u g x , 如果通过 x 的函数 , 那么称这个函数为函 fun
数 y f u 和 u g x 的 复合函数 ( composite ction ), 记作 y f g x .
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）基本初等函数的导数公式表x y x y xy x y y x y cos )6(log )5(ln )4(1)3(5)2()1(125======、求下列函数的导数例 例处的切线方程。
在、求函数2cos 2π==x x y（二）导数的四则运算法则：（2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）例3、根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（1）323y x x =-+（2）y = （3）sin ln y x x x =⋅⋅；（4）4x x y =； （5）1ln 1ln x y x -=+． （6）2(251)x y x x e =-+⋅；三．课堂练习1、求下列函数的导数：)1()3( )sin ()2( cos )1(1)1(2322+=-=+-=x f y x b ax y xx x y ω 2、已知曲线C ：y ＝3 x 4－2 x 3－9 x 2＋4，求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程；3、处的导数。
在求3332=++=x x x y 4、处的切线方程。
，在点求曲线)20(1P e y x += ______________________1216______________)42()04(4522处的切线方程为垂直，则过点的切线与直线上的点，若过点是曲线、的坐标为，则于处的切线恰好平行，若曲线上一点，、，上两点、曲线P x y P x y P P AB P B A x x y +-==-= 7、曲线3()2f x x x =+-在0P 点处的切线平行于直线41y x =-，则0P 点的坐标为 ．8、已知抛物线2y x bx c =++上的点（1，2）处的切线与直线2y x =-平行，求b ，c 的值。
高中数学第一章导数及其应用1.2.1_2几个常用函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)课件新
1. 能根据定义求函数 y＝c(c 为常数)，y＝x，y＝x2，y＝1x， y＝ x的导数.
2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导 数.
自主学习 基础认识
|新知预习|
1．几个常用函数的导数
函数 导数 函数
导数
f(x)＝c f′(x)＝0 f(x)＝x f′(x)＝1
f(x)＝x2 f′(x)＝2x f(x)＝1x f′(x)＝－x12
3．函数 f(x)＝sinx，则 f′(6π)＝________.
解析：f′(x)＝cosx，所以 f′(6π)＝1. 答案：1
【解析】 (1)因为 y＝sinx，所以 y′＝cosx，
曲线在点 Pπ6，12处的切线斜率是
y′|x＝π6＝cosπ6＝
3 2.
所以过点
P
且与切线垂直的直线的斜率为－
2， 3
故所求的直线方程为 y－12＝－ 23x－π6，
即 2x＋ 3y－ 23－π3＝0.
(2)因为 y′＝(x2)′＝2x， 设切点为 M(x0，y0)， 则 y′|x＝x0＝2x0， 又因为直线 PQ 的斜率为 k＝42－ ＋11＝1，而切线平行于直线 PQ，
切线方程为 y－14＝－x＋12， 即 4x＋4y＋1＝0.
|素养提升|
1．基本初等函数的导数公式可分为四类 第一类为幂函数，y′＝(xα)′＝αxα－1(注意幂指数 α 可推广到全体 非零实数)； 第二类为三角函数，可记为正弦函数的导数为余弦函数，余弦函 数的导数为正弦函数的相反数； 第三类为指数函数，y′＝(ax)′＝axlna，当 a＝e 时，y＝ex 的导 数是指数函数的导数的一个特例； 第四类为对数函数，y′＝(logax)′＝xl1na，也可写为(logax)′＝ 1x·logae，当 a＝e 时，y＝lnx 的导数是对数函数的导数的一个特例．
第一章 导数及其应用1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则三
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(三)明目标、知重点1．了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．2．能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数)．1．概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．2．复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y x′＝y u′·u x′.即y对x的导数是y对u的导数与u对x的导数的乘积．探究点一复合函数的定义思考1 观察函数y＝2x cos x及y＝ln(x＋2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？答y＝2x cos x是由u＝2x及v＝cos x相乘得到的；而y＝ln(x＋2)是由u＝x＋2与y＝ln u(x>－2)经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数．所以它们称为复合函数．思考2 对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？答复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程．在分析时可以从外向里出发，先根据最外层的主体函数结构找出y＝f(u)；再根据内层的主体函数结构找出函数u＝g(x)，函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成函数y＝f(g(x))．思考3 在复合函数中，内层函数的值域A与外层函数的定义域B有何关系？答A⊆B.小结要特别注意两个函数的积与复合函数的区别，对于复合函数，要掌握引入中间变量，将其分拆成几个基本初等函数的方法．例1 指出下列函数是怎样复合而成的：(1)y＝(3＋5x)2；(2)y＝log3(x2－2x＋5)；(3)y＝cos 3x.解(1)y＝(3＋5x)2是由函数y＝u2，u＝3＋5x复合而成的；(2)y ＝log 3(x 2－2x ＋5)是由函数y ＝log 3u ，u ＝x 2－2x ＋5复合而成的；(3)y ＝cos 3x 是由函数y ＝cos u ，u ＝3x 复合而成的．小结 分析函数的复合过程主要是设出中间变量u ，分别找出y 和u 的函数关系，u 和x 的函数关系．跟踪训练1 指出下列函数由哪些函数复合而成：(1)y ＝ln x ；(2)y ＝e sin x ；(3)y ＝cos (3x ＋1)．解 (1)y ＝ln u ，u ＝x ；(2)y ＝e u ，u ＝sin x ；(3)y ＝cos u ，u ＝3x ＋1.探究点二 复合函数的导数思考 如何求复合函数的导数？答 对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解——求导——回代”，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将中间变量换成自变量．注意不要漏掉第(3)步回代的过程．例2 求下列函数的导数：(1)y ＝(2x －1)4；(2)y ＝11－2x ； (3)y ＝sin(－2x ＋π3)；(4)y ＝102x ＋3. 解 (1)原函数可看作y ＝u 4，u ＝2x －1的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 4)′·(2x －1)′＝4u 3·2＝8(2x －1)3.(2)y ＝11－2x ＝(1－2x )－12可看作y ＝u －12，u ＝1－2x 的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(－12)u －32·(－2)＝(1－2x )－32＝1(1－2x )1－2x； (3)原函数可看作y ＝sin u ，u ＝－2x ＋π3的复合函数， 则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·(－2)＝－2cos(－2x ＋π3) ＝－2cos(2x －π3)． (4)原函数可看作y ＝10u ，u ＝2x ＋3的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝102x ＋3·ln 10·2＝(ln 100)102x ＋3.反思与感悟 分析复合函数的结构，找准中间变量是求导的关键，要善于把一部分量、式子暂时看作一个整体，并且它们必须是一些常见的基本函数．复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．跟踪训练2 求下列函数的导数．(1)y ＝(2x ＋3)3；(2)y ＝e －0.05x ＋1；(3)y ＝sin(πx ＋φ)．解 (1)函数y ＝(2x ＋3)2可以看成函数y ＝u 2，u ＝2x ＋3的复合函数．∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′·(2x ＋3)′＝2u ·2＝4(2x ＋3)＝8x ＋12.(2)函数y ＝e －0.05x ＋1可以看成函数y ＝e u 和函数u ＝－0.05x ＋1的复合函数．∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(e u )′·(－0.05x ＋1)′＝－0.05e u ＝－0.05 e －0.05x ＋1.(3)函数y ＝sin(πx ＋φ)可以看成函数y ＝sin u ，u ＝πx ＋φ的复合函数．∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(sin u )′·(πx ＋φ)′＝cos u ·π＝π cos(πx ＋φ)．探究点三 导数的应用例3 求曲线y ＝e2x ＋1在点(－12，1)处的切线方程． 解 ∵y ′＝e2x ＋1·(2x ＋1)′＝2e 2x ＋1， ∴y ′|12x ＝2，∴曲线y ＝e 2x ＋1在点(－12，1)处的切线方程为 y －1＝2(x ＋12)，即2x －y ＋2＝0.反思与感悟 求曲线切线的关键是正确求复合函数的导数，要注意“在某点处的切线”与“过某点的切线”两种不同的说法．跟踪训练3 曲线y ＝esin x 在(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为2，求直线l 的方程．解 设u ＝sin x ，则y ′＝(esin x )′＝(e u )′(sin x )′. ＝cos x e sin x .y ′|x ＝0＝1.则切线方程为y －1＝x －0，即x －y ＋1＝0.若直线l 与切线平行可设直线l 的方程为x －y ＋c ＝0.两平行线间的距离d ＝|c －1|2＝2⇒c ＝3或c ＝－1. 故直线l 的方程为x －y ＋3＝0或x －y －1＝0.1．函数y ＝(3x －2)2的导数为( )A ．2(3x －2)B ．6xC ．6x (3x －2)D ．6(3x －2) 答案 D解析 y ′＝2(3x －2)·(3x －2)′＝6(3x －2)．2．若函数y ＝sin 2x ，则y ′等于( )A ．sin 2xB ．2sin xC ．sin x cos xD ．cos 2x 答案 A解析 y ′＝2sin x ·(sin x )′＝2sin x ·cos x ＝sin 2x .3．若y ＝f (x 2)，则y ′等于( )A ．2xf ′(x 2)B ．2xf ′(x )C ．4x 2f (x )D ．f ′(x 2) 答案 A解析 设x 2＝u ，则y ′＝f ′(u )·u x ′＝f ′(x 2)·(x 2)′＝2xf ′(x 2)．4．设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________.答案 2解析 由题意知y ′|x ＝0＝a e ax |x ＝0＝a ＝2.呈重点、现规律]求简单复合函数f (ax ＋b )的导数求简单复合函数的导数，实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式，然后再分别对y ＝f (u )与u ＝ax ＋b 分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式是关键.一、基础过关1．下列函数不是复合函数的是( )A ．y ＝－x 3－1x ＋1B ．y ＝cos(x ＋π4) C ．y ＝1ln xD ．y ＝(2x ＋3)4 答案 A解析 A 中的函数是一个多项式函数，B 中的函数可看作函数u ＝x ＋π4，y ＝cos u 的复合函数，C 中的函数可看作函数u ＝ln x ，y ＝1u的复合函数，D 中的函数可看作函数u ＝2x ＋3，y ＝u 4的复合函数，故选A.2．函数y ＝1(3x －1)2的导数是( ) A.6(3x －1)3 B.6(3x －1)2 C ．－6(3x －1)3 D ．－6(3x －1)2 答案 C 解析 y ′＝1(3x －1)2]′＝－2(3x －1)3·(3x －1)′＝－6(3x －1)3，故选C. 3．若f (x )＝log 3(x －1)，则f ′(2)＝________.答案 1ln 3解析 f ′(x )＝log 3(x －1)]′＝1(x －1)ln 3， ∴f ′(2)＝1ln 3. 4．函数y ＝x 2cos 2x 的导数为( )A ．y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2xB ．y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2xC ．y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2xD ．y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x答案 B解析 y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′＝2x cos 2x ＋x 2·(－2sin 2x )＝2x cos 2x －2x 2sin 2x .5．函数y ＝(2 015－8x )3的导数y ′＝________.答案 －24(2 015－8x )2解析 y ′＝3(2 015－8x )2×(2 015－8x )′＝3(2 015－8x )2×(－8)＝－24(2 015－8x )2.6．曲线y ＝cos(2x ＋π6)在x ＝π6处切线的斜率为______． 答案 －2解析 ∵y ′＝－2sin(2x ＋π6)， ∴切线的斜率k ＝－2sin(2×π6＋π6)＝－2. 7．函数y ＝x (1－ax )2(a >0)，且y ′|x ＝2＝5，则实数a 的值为________．答案 1解析 y ′＝(1－ax )2＋x (1－ax )2]′＝(1－ax )2＋x 2(1－ax )(－a )]＝(1－ax )2－2ax (1－ax )．由y ′|x ＝2＝(1－2a )2－4a (1－2a )＝12a 2－8a ＋1＝5(a >0)，解得a ＝1.二、能力提升8．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2 答案 B解析 设直线y ＝x ＋1切曲线y ＝ln(x ＋a )于点(x 0，y 0)，则y 0＝1＋x 0，y 0＝ln(x 0＋a )， 又y ′＝1x ＋a ，∴y ′|x ＝x 0＝1x 0＋a ＝1， 即x 0＋a ＝1.又y 0＝ln(x 0＋a )，∴y 0＝0，∴x 0＝－1，∴a ＝2.9．曲线y ＝12e x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.92e 2 B ．4e 2C ．2e 2D ．e 2 答案 D解析 ∵y ′＝12e x ·12，∴y ′|x ＝4＝12e 2. ∴曲线在点(4，e 2)处的切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)，切线与坐标轴的交点分别是(0，－e 2)，(2,0)，则切线与坐标轴围成的三角形面积 S ＝12|－e 2||2|＝e 2.10．若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________.答案 1解析 f ′(x )＝2(2x ＋a )·2＝4(2x ＋a )，f ′(2)＝16＋4a ＝20，∴a ＝1.11．已知a >0，f (x )＝ax 2－2x ＋1＋ln(x ＋1)，l 是曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线．求切线l 的方程．解 f (x )＝ax 2－2x ＋1＋ln(x ＋1)，f (0)＝1.∴f ′(x )＝2ax －2＋1x ＋1＝2ax 2＋(2a －2)x －1x ＋1， f ′(0)＝－1，∴切点P 的坐标为(0,1)，l 的斜率为－1，∴切线l 的方程为x ＋y －1＝0.12．有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s (单位：m)关于时间t (单位：s)的函数为s ＝s (t )＝5－25－9t 2.求函数在t ＝715s 时的导数，并解释它的实际意义． 解 函数s ＝5－25－9t 2可以看作函数s ＝5－x 和x ＝25－9t 2的复合函数，其中x 是中间变量．由导数公式表可得s x ′＝－1212x -，x t ′＝－18t . 故由复合函数求导法则得s t ′＝s x ′·x t ′＝(－1212x -)·(－18t )＝9t 25－9t2， 将t ＝715代入s ′(t )，得s ′(715)＝0.875 (m/s)． 它表示当t ＝715s 时，梯子上端下滑的速度为0.875 m/s. 三、探究与拓展13．曲线y ＝e 2x ·cos 3x 在(0,1)处的切线与直线l 的距离为5，求直线l 的方程． 解 y ′＝(e 2x )′·cos 3x ＋e 2x ·(cos 3x )′＝2e 2x ·cos 3x －3e 2x ·sin 3x ，∴y ′|x ＝0＝2.∴经过点(0,1)的切线方程为y －1＝2(x －0)，即y ＝2x ＋1.设适合题意的直线方程为y＝2x＋b，根据题意，得5＝|b－1|5，∴b＝6或－4.∴适合题意的直线方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.。
高中数学第一章几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)课件
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课堂互动探究
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课后课时精练
【跟踪训练 2】 已知点 P(－1,1)，点 Q(2,4)是曲线 y＝x2 上的两点，求 与直线 PQ 平行的曲线 y＝x2 的切线方程．
解 因为 y′＝(x2)′＝2x，设切点为 M(x0，y0)， 则 y′| x＝x0＝2x0. 又因为 PQ 的斜率为 k＝42－ ＋11＝1，而切线平行于 PQ，
3．曲线 y＝cosx 在点 Aπ6， 23处的切线方程为________．
答案 解析
x＋2y－ 3－π6＝0 因为 y′＝(cosx)′＝－sinx，所以 k＝－sinπ6＝－12，所以在点 A
处的切线方程为 y－ 23＝－12x－π6，即 x＋2y－ 3－π6＝0.
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(3)第三类为指数函数，y′＝(ax)′＝ax·ln a，当 a＝e 时，ex 的导数是(ax)′
的一个特例．
(4)
第
四
类
为
对
数
函
数
，
y′
＝
(logax)′
＝
1 x·ln
a
，
也
可
记
为
(logax)′
＝
1x·logae，当 a＝e 时，ln x 的导数也是(logax)′的一个特例．
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随堂达标自测
1．已知函数 f(x)＝5，则 f′(1)等于( ) A．5 B．1 C．0 D．不存在
答案 C 解析 因为 f(x)＝5，所以 f′(x)＝0，所以 f′(1)＝0.
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导数公式及导数的运算法则
导数公式及导数的运算法则一、导数公式1.基本导数公式：(1) 常数函数的导数为0，即d/dx(c) = 0，其中c为常数。
(2) 幂函数的导数为其指数与常数的乘积，即d/dx(x^n) = n*x^(n-1)，其中n为实数。
(3) 自然对数函数的导数为1/x，即d/dx(ln(x)) = 1/x。
(4) 正弦函数的导数为余弦函数，即d/dx(sin(x)) = cos(x)。
(5) 余弦函数的导数为负的正弦函数，即d/dx(cos(x)) = -sin(x)。
2.基本初等函数的导数公式：(1) 常数乘以函数的导数等于函数的导数乘以这个常数，即d/dx(c*f(x)) = c*f'(x)，其中f(x)为可导函数，c为常数。
(2) 函数相加（减）的导数等于函数导数的相加（减），即d/dx(f(x)±g(x)) = f'(x)±g'(x)，其中f(x)和g(x)为可导函数。
(3) 乘积法则：两个函数相乘的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，再加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即d/dx(f(x)*g(x)) = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)。
(4) 商法则：函数的导数等于分子的导数乘以分母减去分子乘以分母的导数再除以分母的平方，即d/dx(f(x)/g(x)) = (f'(x)*g(x) -f(x)*g'(x))/[g(x)]^23.复合函数的导数：(1) 基本链式法则：若y=f(u)和u=g(x)都是可导函数，则y=f(g(x))也是可导函数，且它的导数等于f'(u)*g'(x)，即dy/dx = dy/du *du/dx = f'(u) * g'(x)。
1.反函数的导数：若函数y=f(x)在区间I上具有连续的导数f'(x)，且在区间I上f'(x)≠0，则它的反函数x=g(y)在对应的区间J上也有连续的导数，且g'(y)=1/f'(x)。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
5、若 f ( x) a ,则 f ( x) _______________
'
a ln a(a 0) x x ' e 6、若 f ( x) e ,则 f ( x) _______
x
1 7、若 f ( x) loga x ,则 f ( x) ________________ (a 0, 且a 1) x ln a 1 ' 8、若 f ( x) ln x ,则 f ( x) _____ x
2、求导数的一般步骤： （1）求函数的增量Δy=f(x0+Δx) －f(x0)
y （2）求平均变化率 x
（3）求极限 f ' ( x ) lim
y x 0 x
新课讲解
课题：基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（1）
几个常用函数的导数 1、 函数 y f ( x) c 的导数 y ' 0
'
1
例题选讲
课题：基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（1）
4
【例1】已知 y x （1）求y’; （2）求曲线在点(1，1)处的切线方程。
1 y x 4
'
3 4
1 3 y x 4 4
2
【练习】若抛物线y 4 x 上的点P到直线y 4 x 5 的距离最短，求点P的坐标。
1 4 s t 4t 3 16t 2 4
例题选讲
课题：基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（1）
【例 5】偶函数 f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e 的图象过点 P(0,1)，且在 x＝1 处的切线方程 为 y＝x－2，求 y＝f(x)的解析式．
第一章1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)[学习目标] 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.掌握求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.3.能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导.知识点一 导数运算法则思考 (1)函数g (x )＝c ·f (x )(c 为常数)的导数是什么？(2)若两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的情况下分母不为0)可导吗？反之如何？(3)导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导成立吗？答案 (1)g ′(x )＝cf ′(x ).(2)若两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的情况下分母不为0)必可导.若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.例如，设f (x )＝sin x ＋1x ，g (x )＝cos x －1x，则f (x )，g (x )在x ＝0处均不可导，但它们的和f (x)＋g (x )＝sin x ＋cos x 在x ＝0处可导.(3)导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导仍然成立.两个函数和(差)的导数运算法则可以推广到有限个函数的情况，即[f 1(x )±f 2(x )±f 3(x )±…±f n (x )]′＝f ′1(x )±f ′2(x )±f ′3(x )±…±f ′n (x ).知识点二 复合函数的导数思考 设函数y ＝f (u )，u ＝g (v )，v ＝φ(x )，如何求函数y ＝f (g (φ(x )))的导数？ 答案 y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x .题型一 导数运算法则的应用例1 求下列函数的导数：(1)y ＝15x 5＋23x 3；(2)y ＝lg x －e x ；(3)y ＝1x·cos x ；(4)y ＝x －sin x 2·cos x 2. 解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫15x 5＋23x 3′＝⎝⎛⎭⎫15x 5′＋⎝⎛⎭⎫23x 3′ ＝x 4＋2x 2.(2)y ′＝(lg x －e x )′＝(lg x )′－(e x )′＝1x ln 10－e x . (3)方法一 y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ·cos x ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′cos x ＋1x (cos x )′ ＝12()x -'cos x －1x sin x ＝－1232x -cos x －1xsin x ＝－cos x 2x 3－1x sin x ＝－cos x 2x x －1xsin x ＝－cos x ＋2x sin x 2x x. 方法二 y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ·cos x ′＝⎝⎛⎭⎫cos x x ′＝(cos x )′x －cos x (x )′(x )2＝121sin cos 2x x x x--⋅＝－x sin x ＋cos x2x x ＝－cos x ＋2x sin x 2x x . (4)∵y ＝x －sin x 2·cos x 2＝x －12sin x ， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫x －12sin x ′＝1－12cos x . 反思与感悟 在对较复杂函数求导时，应利用代数或三角恒等变形对已知函数解析式进行化简变形，如：把乘积的形式展开，分式形式变为和或差的形式，根式化为分数指数幂等，化简后再求导，这样可以减少计算量.跟踪训练1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6；(2)y ＝x ·tan x ；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(4)y ＝x －1x ＋1. 解 (1)y ′＝(x 4－3x 2－5x ＋6)′＝(x 4)′－(3x 2)′－(5x )′＋6′＝4x 3－6x －5.(2)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x sin xcos x ′＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′cos 2 x＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2 xcos 2 x＝sin x cos x ＋xcos 2 x .(3)方法一 y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(2x ＋3)(x ＋3)＋x 2＋3x ＋2＝3x 2＋12x ＋11.方法二 ∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′＝3x 2＋12x ＋11.(4)方法一 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′ ＝(x －1)′(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)′(x ＋1)2＝x ＋1－(x －1)(x ＋1)2＝2(x ＋1)2. 方法二 ∵y ＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x ＋1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋1′ ＝－2′(x ＋1)－2(x ＋1)′(x ＋1)2＝2(x ＋1)2. 题型二 复合函数求导法则的应用例2 求下列函数的导数：(1)y ＝(1＋cos 2x )3；(2)y ＝sin 2 1x； (3)y ＝11－2x2；(4)y ＝(2x 2－3)1＋x 2. 解 (1)y ＝(1＋cos 2x )3＝(2cos 2x )3＝8cos 6xy ′＝48cos 5x ·(cos x )′＝48cos 5x ·(－sin x )，＝－48sin x cos 5x .(2)令y ＝u 2，u ＝sin 1x ，再令u ＝sin v ，v ＝1x， ∴y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝(u 2)′·(sin v )′·⎝⎛⎭⎫1x ′ ＝2u ·cos v ·0－1x 2＝2sin 1x ·cos 1x ·－1x 2＝－1x 2·sin 2x. (3)设y ＝12u -，u ＝1－2x 2，则y ′＝12()u -' (1－2x 2)′＝321()2u --·(－4x )＝3221(12)2x --- (－4x ) ＝3222(12)x x --.(4)令y ＝u v ，u ＝2x 2－3，v ＝1＋x 2， 令v ＝w ，w ＝1＋x 2.v ′x ＝v ′w ·w ′x ＝(w )′(1＋x 2)′＝12122x -⋅w＝2x21＋x 2＝x 1＋x 2，∴y ′＝(u v )′＝u ′v ＋u v ′＝(2x 2－3)′·1＋x 2＋(2x 2－3)·x 1＋x 2 ＝4x 1＋x 2＋2x 3－3x1＋x 2＝6x 3＋x 1＋x 2.反思与感悟 求复合函数的导数的步骤跟踪训练2 求下列函数的导数：(1)y ＝(2x ＋1)5；(2)y ＝1(1－3x )4； (3)y ＝31－3x ；(4)y ＝x ·2x －1；(5)y ＝lg(2x 2＋3x ＋1)；(6)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 解 (1)设u ＝2x ＋1，则y ＝u 5，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u 5)′·(2x ＋1)′＝5u 4·2＝10u 4＝10(2x ＋1)4.(2)设u ＝1－3x ，则y ＝u －4，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u －4)′·(1－3x )′＝－4u －5·(－3)＝12u －5＝12(1－3x )－5＝12(1－3x )5. (3)设u ＝1－3x ，则y ＝13u ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝13·23u -·(1－3x )′＝13·13(1－3x )2·(－3)＝－13(1－3x )2. (4)y ′＝x ′·2x －1＋x ·(2x －1)′.设t ＝2x －1，u ＝2x －1，则t ＝12u ，t ′x ＝t ′u ·u ′x ＝12·12u -·(2x －1)′ ＝12×12x －1×2＝12x －1. ∴y ′＝2x －1＋x 2x －1＝3x －12x －1.(5)设u ＝2x 2＋3x ＋1，则y ＝lg u ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ln 10×(2x 2＋3x ＋1)′ ＝4x ＋3(2x 2＋3x ＋1)ln 10. (6)设u ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，v ＝2x ＋π3， 则y ＝u 2，u ＝sin v ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·⎝⎛⎭⎫2x ＋π3′ ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·2 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3. 题型三 导数几何意义的应用例3 (1)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程是 .(2)已知函数f (x )＝k ＋ln x e x(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，则k 的值为 .答案 (1)4x －y －3＝0 (2)1解析 (1)利用求导法则与求导公式可得y ′＝(3ln x ＋1)＋x ×3x＝3ln x ＋4. ∴k 切＝y ′|x ＝1＝4，∴切线方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.(2)由f (x )＝ln x ＋k e x， 得f ′(x )＝1－kx －x ln x x e x，x ∈(0，＋∞). 由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，所以f ′(1)＝0，因此k ＝1.反思与感悟 涉及导数几何意义的问题，可根据导数公式和运算法则，快速求得函数的导数，代入曲线切点处横坐标即可求得曲线在该点处的切线斜率，这样比利用导数定义要快捷得多. 跟踪训练3 (1)若曲线y ＝x 3＋ax 在(0,0)处的切线方程为2x －y ＝0，则实数a 的值为 .(2)若函数f (x )＝e x x在x ＝a 处的导数值与函数值互为相反数，则a 的值为 . 答案 (1)2 (2)12解析 (1)曲线y ＝x 3＋ax 的切线斜率k ＝y ′＝3x 2＋a ，又曲线在坐标原点处的切线方程为2x －y ＝0，∴3×02＋a ＝2，故a ＝2.(2)∵f (x )＝e x x ，∴f (a )＝e a a. 又∵f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫e x x ′＝e x ·x －e x x 2，∴f ′(a )＝e a ·a －e a a 2.由题意知f (a )＋f ′(a )＝0，∴e a a ＋e a ·a －e a a 2＝0，∴2a －1＝0，∴a ＝12.因对复合函数的层次划分不清导致求导时出现错误例4 求函数y ＝sin n x cos nx 的导数.错解 y ′＝(sin n x )′cos nx ＋sin n x (cos nx )′＝n sin n －1x ·cos nx ＋sin n x ·(－sin nx )＝n sin n －1x ·cos nx －sin n x sin nx .错因分析 在第二步中，忽略了对中间变量sin x 和nx 进行求导.正解 y ′＝(sin n x )′cos nx ＋sin n x (cos nx )′＝n sin n －1x ·(sin x )′·cos nx ＋sin n x ·(－sin nx )·(nx )′＝n sin n －1x ·cos x ·cos nx －sin n x ·(sin nx )·n＝n sin n －1x (cos x cos nx －sin x sin nx )＝n sin n －1 x cos [(n ＋1)x ].防范措施 在求解复合函数的导数时，不能机械地套用公式，应理清层次，逐层正确使用求导法则求解.1.已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值为( )A.193B.103C.133D.163答案 B解析 因f ′(x )＝3ax 2＋6x ，且f ′(－1)＝3a －6＝4，解得a ＝103，故选B. 2.函数y ＝12(e x ＋e －x )的导数是( ) A.12(e x －e －x ) B.12(e x ＋e －x ) C.e x －e －x D.e x ＋e －x 答案 A解析 y ′＝⎣⎡⎦⎤12(e x ＋e －x )′＝12(e x －e －x )，故选A. 3.f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1＋x ，则f ′(x )等于( )A.11＋xB.－11＋xC.1(1＋x )2D.－1(1＋x )2答案 D解析 由f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1＋x ＝11x＋1，得f (x )＝1x ＋1， 从而f ′(x )＝－1(1＋x )2，故选D. 4.已知函数f (x )＝a sin x ＋bx 3＋4(a ∈R ，b ∈R )，f ′(x )为f (x )的导函数，则f (2 014)＋f (－2 014)＋f ′(2 015)－f ′(－2 015)的值为 .答案 8解析 f ′(x )＝a cos x ＋3bx 2，∴f ′(－x )＝a cos (－x )＋3b (－x )2＝f ′(x ).∴f ′(x )为偶函数.∴f ′(2 015)－f ′(－2 015)＝0.f (2 014)＋f (－2 014)＝a sin 2 014＋b ·2 0143＋4＋a sin(－2 014)＋b ·(－2 014)3＋4＝8. ∴f (2 014)＋f (－2 014)＋f ′(2 015)－f ′(－2 015)＝8.5.已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝ . 答案 8解析 因y ＝x ＋ln x ，故y ′＝1＋1x，y ′|x ＝1＝2. ∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.∵直线y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴a ≠0(当a ＝0时，曲线变为直线y ＝2x ＋1，与已知直线平行).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1，消去y 得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数.在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式，对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.一、选择题1.曲线y ＝x e x－1在点(1,1)处切线的斜率等于( ) A.2e B.eC.2D.1答案 C 解析 y ′＝e x －1＋x e x －1＝(x ＋1)e x －1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为y ′|x ＝1＝2.2.当函数y ＝x 2＋a 2x(a >0)在x ＝x 0处的导数为0时，那么x 0等于( ) A.aB.±aC.－aD.a 2答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2， 由x 20－a 2＝0得x 0＝±a . 3.设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( ) A.2B.12C.－12D.－2 答案 D解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1， ∴y ′＝－2(x －1)2.∴y ′|x ＝3＝－12. ∴－a ＝2，即a ＝－2.4.已知函数f (x )的导函数f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A.2B.－2C.94D.－94答案 D解析 ∵f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，∴f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x. 令x ＝2，得f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12，即2f ′(2)＝－92，∴f ′(2)＝－94，故选D. 5.已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A.[0，π4) B.[π4，π2) C.(π2，3π4] D.[3π4，π) 答案 D解析 y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1，设t ＝e x ∈(0，＋∞)，则y ′＝－4t t 2＋2t ＋1＝－4t ＋1t＋2，∵t ＋1t ≥2，∴y ′∈[－1,0)，α∈[3π4，π). 6.设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R 且为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在点(0,0)相切，则a ＋b 的值为( )A.－1B.1C.0D.2答案 A解析 由y ＝f (x )过点(0,0)得b ＝－1，∴f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax －1， ∴f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ， 又∵曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在点(0,0)相切，即曲线y ＝f (x )在点(0,0)处切线的斜率为32， ∴f ′(0)＝32，即1＋12＋a ＝32， ∴a ＝0，故a ＋b ＝－1，选A.二、填空题7.下列各函数的导数：①(x )′＝12x －12；②(a x )′＝a x ln x ；③(sin 2x )′＝cos 2x ；④(x x ＋1)′＝1(x ＋1)2.其中正确的有 . 答案 ①④解析 (x )′＝12()x '＝1212x -，①正确；(a x )′＝a x ln a ，②错误；(sin 2x )′＝cos 2x ·(2x )′＝2cos 2x ，③错误；(xx ＋1)′＝x ′·(x ＋1)－x ·(x ＋1)′(x ＋1)2＝x ＋1－x (x ＋1)2＝1(x ＋1)2，④正确. 8.若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是 . 答案 (－ln 2,2)解析 设P (x 0，y 0)，∵y ＝e －x ，∴y ′＝－e －x ，∴点P 处的切线斜率为k ＝－e －x 0＝－2，∴－x 0＝ln 2，∴x 0＝－ln 2，∴y 0＝e ln 2＝2，∴点P 的坐标为(－ln 2,2).9.曲线y ＝e －5x ＋2在点(0,3)处的切线方程为 .答案 5x ＋y －3＝0解析 因为y ′＝e －5x (－5x )′＝－5e －5x ，所以y ′|x ＝0＝－5，故切线方程为y －3＝－5(x －0)，即5x ＋y －3＝0.10.已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝ . 答案 1解析 由于f ′(0)是一常数，所以f ′(x )＝x 2＋3f ′(0)，令x ＝0，则f ′(0)＝0，∴f ′(1)＝12＋3f ′(0)＝1.三、解答题11.求下列函数的导数：(1)y ＝(2x －1)4；(2)y ＝11－2x； (3)y ＝sin(－2x ＋π3)；(4)y ＝102x ＋3. 解 (1)原函数可看作y ＝u 4，u ＝2x －1的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 4)′·(2x －1)′＝4u 3·2＝8(2x －1)3.(2)y ＝11－2x ＝12(12)x --可看作y ＝12u-，u ＝1－2x 的复合函数， 则y x ′＝y u ′·u x ′＝(－12)32u -·(－2)＝32(12)x --＝1(1－2x )1－2x. (3)原函数可看作y ＝sin u ，u ＝－2x ＋π3的复合函数， 则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·(－2)＝－2cos(－2x ＋π3) ＝－2cos(2x －π3). (4)原函数可看作y ＝10u ，u ＝2x ＋3的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝102x ＋3·ln 10·2＝(ln 100)102x ＋3.12.已知曲线f (x )＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程.解 设切点为(x 0，y 0)，则由导数定义得切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3，∴切线方程为y ＝(3x 20－3)x ＋16，又切点(x 0，y 0)在切线上，∴y 0＝3(x 20－1)x 0＋16，即x 30－3x 0＝3(x 20－1)x 0＋16，解得x 0＝－2，∴切线方程为9x －y ＋16＝0.13.设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.(1)解 由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12，① 又f ′(x )＝a ＋b x2，∴f ′(2)＝74，② 由①②得⎩⎨⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3. 故f (x )＝x －3x . (2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知 曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0). 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0).所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则导数是微积分中一个重要的概念，表示函数在其中一点上的变化率。
在求解导数时，我们可以利用一些基本初等函数的导函数公式以及导数的运算法则来简化计算。
以下是一些常用的基本初等函数的导数公式及导数的运算法则。
一、基本初等函数的导数公式1.常数函数：若f(x)=C，其中C为常数，则f'(x)=0。
2. 幂函数：若f(x) = x^n，其中n为正整数，则f'(x) = nx^(n-1)。
例如，f(x) = x^2，则f'(x) = 2x。
3. 指数函数：若f(x) = a^x，其中a为正常数且a≠1，则f'(x) = a^x ln(a)。
其中ln(x)表示以e为底的对数函数。
例如，f(x) = 2^x，则f'(x) = 2^x ln(2)。
4. 对数函数：若f(x) = logₐx，其中a为正常数且a≠1，则f'(x)= 1 / (x ln(a))。
例如，f(x) = log₂x，则f'(x) = 1 / (x ln(2))。
5. 三角函数：（1）sin(x) 的导函数为 cos(x)；（2）cos(x) 的导函数为 -sin(x)；（3）tan(x) 的导函数为 sec^2(x)，其中 sec(x) 为secant 函数，其值等于 1 / cos(x)；（4）cot(x) 的导函数为 -csc^2(x)，其中 csc(x) 为 cosecant 函数，其值等于 1 / sin(x)；（5）sec(x) 的导函数为 sec(x)tan(x)；（6）csc(x) 的导函数为 -csc(x)cot(x)。
1.和差法则：若f(x)和g(x)都是可导函数，则(f±g)'(x)=f'(x)±g'(x)。
即和差函数的导数等于各个函数的导数之和或差。
例如，若f(x)=x^2，g(x)=x，则(f+g)'(x)=(x^2)'+x'=2x+12. 数乘法则：若f(x) 是可导函数，c 为常数，则(cf)'(x) =cf'(x)。
1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则二
3.
f g
x x
′
f′ x
g
x f x g x2
g′ x
g
x
0
.
如何求函数y=㏑（3x+2）的导数呢？
若设u=我3x们+无2，法则用y=现ln有u的.即方y=法㏑求（函3x数+2） 可以y=看㏑成（是x由+2y）=l的n 导u和数u.=下3x面+，2经我过们“先复合” 得到分的析，这即个y函可数以的通结过构中特间点变.量u表示为自 变量x的函数.
练习 1：指出下列函数的复合关系：
(1)y＝(a＋bxn)m； (2)y＝ln3 ex＋2；
(3)y＝3log2(x2－2x＋3)；(4)y＝sin3(x＋1x)．
解：函数的复合关系分别是：
(1)y＝um，u＝a＋bxn；
(2)y＝lnu，u＝3 v，v＝ex＋2； (3)y＝3 u，u＝log2v，v＝x2－2x＋3；
7.
若 fx loga x,则 f ' x
1 ;
x lna
8.
若 fx lnx,则f ' x
1 .
x
三角函数 指数函数 对数函数
2.导数的运算法则 1. [f(x) ±g(x)] ′=f′(x) ±g(x) ′; 2. [f(x) .g(x)] ′=f′(x) g(x)+ f(x) g(x) ′;
类似的结论是：若奇函数f(x)是可导函数， 则f′(x)是偶函数．
练习 3：
若函数 f(x)是可导函数，求函数 y ＝f(1x)的导数．
[答案] y′＝－x12 f′(1x)
随堂练习
1.函数y＝(3x－4)2的导数是( )
A．4(3x－2)
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
(x 2) (x 1) 2x 3
sin x (sin x)'cos x sin x(cos x)'
(3) y' ( )' cos x
cos2 x
cos2 x sin cos2 x
2
x
1 cos2
x
sec2
x.
例2求下列函数的导数.
(1) y 2sin x cos x 2x2 1 (2) y cos2 x sin 2 x
【教育类精品资料】
基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则
一、基本初等函数的导数公式:
C'0C为常 (数 xn)'n(x)n1(nQ)
(sin x) cos x (cxo)ssixn
(ax)' ax lna,(ex)' ex
(loga
x)'
1 ,(lnx)' xlna
1 x
二、导数的运算法则:(和差积商的导数)
[f(x ) g (x ) ]' f'(x ) g '(x )
函 数 和 （ 差 ） 的 导 数 等 于 它 们 导 数 的 和 （ 差 ） .
（可以推广到求有限个函数的和（差）的导数.）
(轮流求导之和)
[f(x)g(x)]'f'(x)g(x)f(x)g(x)' [gf((xx))]' f'(x)g([xg)(x)f]2(x)g(x)'(g(x)0)
(2 )y f(1 x 2) 2 x x f(1 x 2); 21 x 2 1 x 2
(3) y[f(sin2 x)f(cos2 x)]
1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
情感态度与价值观
经历由实际问题中抽象出导数概 念，使同学们体会到通过导数也能刻
画现实世界中的数量关系的一个有效
数学模型.
教学重难点
重点
理解简单复合函数的复合过程.
难点
函数的积、商的求导法则的推 导及复合函数的结构分析.
知识要点
为了方便，今后我们可以直接使 用下面的初等函数的导数公式表：
基本初等函数的导数公式
f (x)
例8
求函数 y = 2x + 3 的导数.
2
解：函数 y 2 x 3 可以看作函数 y u
2
3
和 u 2x 3 的复合函数.由复合函数求 导法则有
y y u u
' x ' u ' x
2 '
2 x 3
'
4u 8x 12.
'
(2) y ' 2e x ;
(3) y ' 10 x 4 6 x;
(4) y ' 3sin x 4cos x;
1 x (5) y sin ; 3 3 1 ' (6) y . 2 x 1
'
u v
y u v x x x
y u v u v lim lim lim lim x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x x
u ' ( x) v ' ( x)
例2
求y= x 3 + sin x的导数. 解：由导数的基本公式得：
y=-2/x3，那么函数y=1/(3x-2)2的导数又
是什么呢?
学习了这节课， 就可以解决这些 问题了！
122基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
y '= (6 x 3 )'- (4 x 2 )' (9 x )'- (6 )' =18x2-8x9.
7
例3 求下列函数的导数．
(1) y = x2 ;（2）y=tanx;(3) y=3x2-x x5 x-9.
4.
若f
(x)
=
cos
x，则f
'(x)
=
- sin
x；
函数的导数公 式，除部分上
5. 若f ( x) = a x，则f '( x) = a x ln a； 一节已经证明
6. 若f ( x) = e x，则f '( x) = e x；
过，其他的只
7. 若f ( x) =
log a
x，则f
'(x) =
1
练习1. 求下列函数的导数．
x2 1
(1) y =
;
x
(2)y=-six n (1-2co 2xs ).
2
4
解：
(1)
(x21)2
=
2x2
- ( x2 x2
1)
=
x2 - 1 x2
= 1-
1 x2 .
法2
x2 1
Q y=
=
x
1
：
x
x
y' = ( x 1 )' ==((xx))''((1x-)1')'=1-x-2=
解：运动物体在t=3时的速度即是函数s(t)在t=3时的导数．
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
(3)y′＝(3x4＋2x3＋5)′＝12x3＋6x2. (4)y′＝(sinx＋tanx)′
sinx ＝(sinx)′＋( )′ cosx (sinx)′cosx－sinx(cosx)′ ＝cosx＋ cos2x cosx·cosx＋sinx·sinx ＝cosx＋ cos2x 1 ＝cosx＋ 2 . cos x
练 1 6
求下列函数的导数：
(1)y＝ x； (2)y＝log3x； (3)y＝3x4＋2x3＋5； (4)y＝sinx＋tanx. 1 6 [解] (1)∵y＝ x＝x6，
1 1 1 5 1 ∴y′＝(x6)′＝6x6－1＝6x－6. 1 (2)y′＝(log3x)′＝xln3.
第一章 导数及其应用
第一章 导数及其应用
例1 求下列函数的导数． (1)y＝tanx； (2)y＝3x2＋x·cosx； x x 2 (3)y＝( x－2) －sin2·cos2.
第一章 导数及其应用
[分析] 求函数的导数主要有直接求导和先变形然后 再求导两种方法，要注意正确区分．
[解] (1)y′＝(tanx)′＝( sinx cosx )′＝
第一章 导数及其应用
[解] (1)y′＝12x3－6x2－18x，y′|x＝1＝－12， 所以曲线过点(1，－4)的切线斜率为－12， 所以所求切线方程为y＋4＝－12(x－1)，即y＝－12x ＋8.
(2)设与曲线C还有其他公共点，于是由
y＝3x4－2x3－9x2＋4， y＝－12x＋8.
第一章 导数及其应用
3．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋ y－1＝0，则 A．f′(x0)>0 C．f′(x0)＝0 答案：B B．f′(x0)<0 D．f′(x0)不存在 ( )
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一、知识点归纳：1、几个常用函数的导数公式的解释：（1）函数()y f x c ==的导数0y '=表示函数y c =图像上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．(2)函数()y f x x ==的导数1y '=表示函数y x =图像上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．(3)函数2()y f x x ==的导数2y x '=表示函数2y x =图像上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．2、常见函数的导数公式：(1) '____C =(C 为常数)；(2)()'________n x =, n ∈N +；(3)(sin )'_______x =； (4)(cos )'_______x =; (5)()'________x e =; (6)()'_________x a =;(7)(ln )'______x =; (8) (log )'a x =3、可导函数的四则运算法则法则1 '[()()]____________.u x v x ±=(口诀：和与差的导数等于导数的和与差).法则2 [()()]____________u x v x '=. (口诀：前导后不导，后导前不导，中间是正号) 法则3 ()[]_______________(()0)()u x v x v x '=≠(口诀：分母平方要记牢，上导下不导，下导上不导，中间是负号)4、复合函数：（1）定义：一般地，对于两个函数y =f (u )和()u g x =，如果通过变量u,y 可以表示成x 的函数，那么这个函数为函数 和 的复合函数，记作（2）复合函数的求导法则复合函数(())y f gx =的导数和函数y =f (u )，()u g x =的导数间的关系式为 ，即y 对x 的导数等于 的乘积。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）一、学习目标：1．记住基本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 二、【定向导学·互动展示·当堂反馈】课 堂元 素 自研自探环节 合作探究环节 展示提升环节 质疑评价环节 总结归纳环节 自 学 指 导 互 动 策 略展 示 方 案 随堂笔记 ︻ 导 学 ︼ 概念认知与 例题导析 （一）基本初等函数的导数公式表 （二）导数的运算法则 导数运算法则 1． 2． 3． （2）推论： （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为，物价（单位：元）与时间（单位：年）有如下函数关系，其中为时的物价．假定某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？（阅读课第15页，并完成上题）函数 导数①同桌之间相互交流自研成果，并用红笔画出错误的地方 ②组长主持，带领组员认真分析重点,步骤是怎样的，并在组内进行小展示力争人人过关. ③小组结合自研成果准备好老师下达的展示任务，做好展示准备. 展示1： 默写常见函数的导数公式；展示2：展示导数的三个运算法则；展示3：完成左侧例1；展示4：根据导数的运算公式及法则，展示右侧对应练习。
根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1） （2）； 要先化简，进行分母有理化，然后再利用公式与法则进行计算。
（3）； 要先结合，然后两次利用积的求导公式来解决。
（4）； （5）； （6）； 作业： 1．课本P 18练习 第1题 第2题前四个。
2．已知曲线C ：y ＝3 x 4－2 x 3－9 x 2＋4，求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程；。
高中数学第一章导数及其应用1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则2
第三十四页，共四十八页。
2.求复合函数的导数的注意点 (1)内、外层函数通常为基本初等函数． (2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量(biànliàng)求层，这是
求复合函数导数时的易错点．
(3)逐层求导结束后对结果进行化简整理，使导数式尽量简洁．
2021/12/9
第三十五页，共四十八页。
跟踪练习 3
1.2.2 基本(jīběn)初等函数的导数公式及导数的
运算法则
2021/12/9
第一页，共四十八页。
情景导入
高铁是目前一种非常受欢迎的交通工
具，既低碳又快捷．设一高铁走过的路程
s(单位：m)关于时间 t(单位：s)的函数为 s
＝f(t)，求它的瞬时速度，就是求 f(t)的导
数．根据导数的定义，就是求当 Δt→0 时，ΔΔyt所趋近的
写出下列函数的导数： (1)y＝lnsixnx，y′＝__x_c_o_xs_xsi－ _n_xs_i_n_x__；
(2)y＝ 1－x x，y′＝__2_1x_－_12_(_1_－__x_)_－_32 __；
(3)y＝sin2x1－2cos24x，y′＝___－__12_c_o_s_x___.
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∴f ′4π＝6cos34π＋π4＝－6.
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பைடு நூலகம்
第十四页，共四十八页。
命题方向1 ⇨导数公式(gōngshì)的应 例 1 求用下列函数的导数： (1)y＝x14；(2)y＝x14；(3)y＝5 x3；(4)y＝(13)x.
2021/12/9
第十五页，共四十八页。
解：(1)y′＝(x14)′＝14x13.(2)y′＝x14′＝(x－4)′＝－4x－5＝－x45.
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(教师用书独具)
已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为 4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A 的纵坐标为________．
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教 学 教 法 分 析 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究 易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标 课 后 知 能 检 测 教 师 备 课 资 源
1.2
导数的计算
1．2.1 几个常用函数的导数 1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数 的运算法则(一)
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【解析】
∵(cos x)′＝－sin x，∴A不正确；
∵(sin x)′＝cos x，∴B不正确； ∵( x)′＝ ，∴D不正确． 2 x
【答案】 C
1
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2．给出下列命题： 1 ①y＝ln 2，则y′＝2； 1 2 ②y＝x2，则y′|x＝3＝－27； ③y＝2x，则y′＝2xln 2； 1 ④y＝log2x，则y′＝xln 2. 其中正确命题的个数为( A．1 B．2 ) C．3 D．4
1 4．在曲线y＝ x2 上求一点P，使得曲线在该点的切线的倾斜 角为135° .
【解】
1 2 －2 设P(x0，y0)，∵y′＝ x2 ′＝(x )′＝－x3.
2 ∴y′|x＝x0＝－x3. 0 2 1 1 3 由题意知－x3＝－1，∴x0＝ 2，代入y＝x2得y0＝ . 0 3 4 3 1 ∴点P的坐标为 2， 3 . 4
【解】 1 ， 3 4 3 x
＝－
1 1 ∴f′(1)＝－ ＝－3. 3 3 1 (2)∵f′(x)＝－sin x，
π ∴f′4＝－sin
π 2 4＝－ 2 .
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数学[新课标· 选修2-2] 导数公式的应用
已知曲线y＝ x，求： (1)曲线上与直线y＝2x－4平行的切线方程； (2)求过点P(0,1)且与曲线相切的切线方程．
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基本初等函数的导数公式记错致误 求函数f(x)＝log3x在(3,1)处的导数．
【错解】
ln 3 ∵f′(x)＝ x ，
ln 3 ∴f′(3)＝ 3 .
【错因分析】 本题因导数公式记忆错误而导致求解错 误．
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把(2)中点“P(0,1)”换成“点P(16,4)”求相应的切线方程．
【解】 设切点为P2(x2， x2)，则切线方程为
1 y － x2 ＝ (x－x2)， 2 x2 ∵切线过P(16,4)， 1 ∴4－ x2＝ (16－x2)． 2 x2 解得x2＝16， 故切线方程为 x－8y＋16＝0.
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●重点、难点 重点：基本初等函数的导数公式及应用． 1 难点：五种常见函数y＝c、y＝x、y＝x 、y＝ x 、y＝ x 的导
2
数公式推导，及基本初等函数的导数公式的应用．
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【提示】 第一步：求Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；
Δy fx＋Δx－fx 第二步：求Δx＝ ； Δx fx＋Δx－fx 第三步：取极限f′(x)＝ lim . Δx Δx→0
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2．如何用定义求函数y＝f(x)＝c的导数？类似地你能求出 1 函数y＝f(x)＝x，y＝f(x)＝x ，y＝f(x)＝ x ，y＝f(x)＝
2
x 的导数
吗？
Δy fx＋Δx－fx c－c 【提示】 ∵Δx＝ ＝ Δx ＝0， Δx Δy ∴y′＝ lim ＝ lim 0＝0. Δx→0 Δx Δx→0 同理可求其他函数的导数．
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几个常用函数的导数
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1．曲线y＝f(x)在点P处的切线只有一条，但过点P求曲线y ＝f(x)的切线时，点P不一定是切点，故应设出切点坐标，并求 切点坐标，有几个切点就有几条切线． 2．解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系：一是切 点坐标满足曲线方程；二是切点坐标满足对应切线的方程；三 是切线的斜率是曲线在此切点处的导数值．
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1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导 数． 2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤 是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求 相应的导数值．
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(教师用书独具)
●三维目标 1．知识与技能：能够用导数的定义求几个常用函数的导 数，掌握基本初等函数的导数公式，会利用它们解决简单的问 题．
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2．过程与方法：掌握利用导数的定义求导数的方法，掌握 运用基本初等函数的导数公式来求导数的方法． 3．情感、态度与价值观：通过利用导数的方法解决实际问 题，体会导数在现实生活中的应用价值，提高数学应用能力．
π ∴f′6＝－sin
π 1 6＝－2. 3 ， 2
π 又切点坐标为 6，
3 1 π ∴切线方程为y－ 2 ＝－2x－6. π 即x＋2y－ 3－6＝0.
π 【答案】 x＋2y－ 3－6＝0
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1 (1)求函数f(x)＝ 在(1,1)处的导数； 3 x (2)求函数f(x)＝cos
π x在 4，
2 处的导数． 2
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1 1 (1)∵f′(x)＝ 3 ′＝(x－ 3 )′＝－ 3 x
(4)y′＝(3x)′＝3xln 3； 1 (5)y′＝(log5x)′＝xln 5.
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1．分清所给函数是幂函数、指数函数还是对数函数，然后 选择相应的模型，代入求解． 1 2．要特别注意“ x 与ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数区别．
【思路探究】 x
对于(1)，由y＝ x对x求导，可得到曲线y＝
的切线的斜率，进而可得相应切点的坐标，易求得切线方
程；对于(2)，设出切点坐标，利用切点在对应切线上，也在曲 线上，进而求得切点坐标和相应切线的斜率．
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【自主解答】 1 x0 ＝ . 2 x0 ∵切线与y＝2x－4平行， 1 ∴ ＝2 ， 2 x0 1 1 ∴x0＝16，∴y0＝4.
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【解析】
对于①，y′＝0，故①错；对于②，∵y′＝－
2 2 x3，∴y′|x＝3＝－27，故②正确；显然③，④正确，故选C.
【答案】 C
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π 3．函数f(x)＝cos x在x＝6处的切线方程是____________． 【解析】 ∵f′(x)＝－sin x，
由导数公式求函数的导数，减少了运算量，对于和导 数有关的斜率、速度等问题，可以先利用公式求出导数， 再结合实际问题进行计算.
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1．下列结论正确的是(
)
A．若y＝cos x，则y′＝sin x B．若y＝sin x，则y′＝－cos x 1 1 C．若y＝x ，则y′＝－x2 x D．若y＝ x，则y′＝ 2
(2)加速度是速度V(t)对t的导数，故先求V(t)，再求导．
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【自主解答】
(1)V(t)＝S′(t)＝cos
π t，∴V3＝cos
π 1 3＝2.
π 1 即质点在t＝3时的速度为2. (2)∵V(t)＝cos t， ∴加速度a(t)＝V′(t)＝(cos t)′＝－sin t.
1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝ 1 课标 x ，y＝ ，y＝ x的导数．(难点) x 解读 2．掌握基本初等函数的导数公式，并
2
能进行简单的应用．(重点、易混点)
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常用函数及基本初等函数的导数公式