【精编】2014-2015年福建省厦门市松柏中学高二(上)数学期中试卷和参考答案(理科)

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2014年福建省厦门市高二上学期数学期中试卷和解析

2013-2014学年福建省厦门市高二（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）△ABC中，若a=1，c=2，B=60°，则△ABC的面积为（）A．B．C．1 D．2．（5分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1﹣a n=2，则a51的值为（）A．49 B．89 C．99 D．1013．（5分）已知x＞0，函数y=+x的最小值是（）A．6 B．5 C．4 D．34．（5分）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=（）A．﹣B．C．﹣D．5．（5分）在等比数列{a n}中，已知a1=，a5=9，则a3=（）A．1 B．3 C．±1 D．±36．（5分）在△ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知，则C=（）A．B．C． D．7．（5分）若不等式f（x）=ax2﹣x﹣c＞0的解集为（﹣2，1），则函数y=f（x）的图象为（）A．B．C．D．8．（5分）正项等比数列{a n}中，S n为其前n项和，若S3=3，S9=39，则S6为（）A．21 B．18 C．15 D．129．（5分）已知函数的定义域R，则实数a的取值范围为（）A．a≤0或a≥4 B．0＜a＜4 C．0≤a≤4 D．a≥410．（5分）若实数x、y满足，则Z=的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[，+∞）C．[﹣2，] D．[﹣4，]二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）（1）不等式的解集是（2）函数的定义域是．12．（4分）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则a2+a10=．13．（4分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n，那么它的通项公式为a n=．14．（4分）已知实数x，y满足，则目标函数z=x2+（y﹣3）2的最小值为．15．（4分）已知两个正数x，y满足x+y=4，则使不等式恒成立的实数m 的范围是．三．解答题（本大题共6小题，共80分）16．（14分）（1）求不等式的解集：﹣x2+4x+5＜0．（2）在△ABC中，已知，b=6，A=30°，求B及S△ABC17．（14分）已知{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=﹣8，b2=a1+a2+a3，求数列{b n}的前n项和公式．18．（12分）若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是，则不等式ax2﹣5x+（a2﹣1）＞0的解集是．19．（12分）已知△ABC的面积S=（b2+c2﹣a2），其中a，b，c分别为角A，B，C所对的边，（1）求角A的大小；（2）若a=2，求bc的最大值．20．（14分）某服装制造商现有300m2的棉布料，900m2的羊毛料，和600m2的丝绸料．做一条大衣需要1m2的棉布料，5m2的羊毛料，1m2的丝绸料．做一条裤子需要1m2的棉布料，2m2的羊毛料，1m2的丝绸料．（1）在此基础上生产这两种服装，列出满足生产条件的数学关系式，并在直角坐标系中画出相应的平面区域．（2）若生产一条大衣的纯收益是120元，生产一条裤子的纯收益是80元，那么应采用哪种生产安排，该服装制造商能获得最大的纯收益；最大收益是多少？21．（14分）数列{a n}的前n项和为S n，若对于任意的正整数n都有S n=2a n﹣3n．（1）设b n=a n+3，求证：数列{b n}是等比数列，并求出{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和．2013-2014学年福建省厦门市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）△ABC中，若a=1，c=2，B=60°，则△ABC的面积为（）A．B．C．1 D．===．【解答】解：S△ABC故选：B．2．（5分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1﹣a n=2，则a51的值为（）A．49 B．89 C．99 D．101【解答】解：∵在数列{a n}中，a1=1，a n+1﹣a n=2，∴数列{a n}是首项为a1=1，公差为a n+1﹣a n=2的等差数列，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴a51=2×51﹣1=101．故选：D．3．（5分）已知x＞0，函数y=+x的最小值是（）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：∵x＞0，函数≥2=4，当且仅当x=，x=2时，等号成立，故函数的最小值是4，故选：C．4．（5分）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：根据正弦定理可得，，解得，又∵b＜a，∴B＜A，故B为锐角，∴，故选：D．5．（5分）在等比数列{a n}中，已知a1=，a5=9，则a3=（）A．1 B．3 C．±1 D．±3【解答】解：∵a1=，a5=9，由等比数列的性质可知，=1∴a3=±1当a3=﹣1时，=﹣9不合题意∴a3=1故选：A．6．（5分）在△ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知，则C=（）A．B．C． D．【解答】解：∵，∴cosC==﹣又∵C为三角形内角∴C=故选：D．7．（5分）若不等式f（x）=ax2﹣x﹣c＞0的解集为（﹣2，1），则函数y=f（x）的图象为（）A．B．C．D．【解答】解：∵不等式f（x）=ax2﹣x﹣c＞0的解集为（﹣2，1），∴a＜0，且﹣2，1是对应方程ax2﹣x﹣c=0的两个根，∴（﹣2，0），（1，0）是对应函数f（x）=ax2﹣x﹣c与x轴的两个交点，∴对应函数y=f（x）的图象为B．故选：B．8．（5分）正项等比数列{a n}中，S n为其前n项和，若S3=3，S9=39，则S6为（）A．21 B．18 C．15 D．12【解答】解：正项等比数列{a n}中，设S6=x，∵S3=3，S9=39，∴（x﹣3）2=3×（39﹣x），解得x=12，或x=﹣9（舍）．故S6为12．故选：D．9．（5分）已知函数的定义域R，则实数a的取值范围为（）A．a≤0或a≥4 B．0＜a＜4 C．0≤a≤4 D．a≥4【解答】解：要使函数的定义域R，则ax2﹣ax+1≥0恒成立，若a=0，则不等式ax2﹣ax+1≥0等价为1≥0恒成立，此时满足条件．若a≠0，要使ax2﹣ax+1≥0恒成立，则，即，解得0＜a≤4，综上0≤a≤4．故选：C．10．（5分）若实数x、y满足，则Z=的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[，+∞）C．[﹣2，] D．[﹣4，]【解答】解：作出不等式组对应的平面区域OBC．因为，所以z的几何意义是区域内任意一点（x，y）与点P（1，﹣2）两点直线的斜率．所以由图象可知当直线经过点P，C时，斜率为正值中的最小值，经过点P，O时，直线斜率为负值中的最大值．由题意知C（4，0），所以k OP=﹣2，，所以的取值范围为或z≤﹣2，即（﹣∞，﹣2]∪[，+∞）．故选：B．二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）（1）不等式的解集是{x|x＞2或x＜0}（2）函数的定义域是{x|x≥1或x＜﹣2} ．【解答】解：（1）若x＜0，则不等式成立．若x＞0，则由得x＞2，综上不等式的解为x＞2或x＜0，∴不等式的解集为{x|x＞2或x＜0}．（2）要使函数有意义，则，即（x﹣1）（x+2）≥0且x+2≠0，解得x≥1或x＜﹣2．故函数的定义域为：{x|x≥1或x＜﹣2}．故答案为：（1）{x|x＞2或x＜0}．（2）{x|x≥1或x＜﹣2}．12．（4分）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则a2+a10=16．【解答】解：∵数列{a n}是等差数列，且a4+a8=16，∴由等差数列的性质，得a2+a10=a4+a8=16．故答案为：16．13．（4分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n，那么它的通项公式为a n=2n．【解答】解：a1=S1=1+1=2，a n=S n﹣S n﹣1=（n2+n）﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]=2n．当n=1时，2n=2=a1，∴a n=2n．故答案为：2n．14．（4分）已知实数x，y满足，则目标函数z=x2+（y﹣3）2的最小值为．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：∵z=x2+（y﹣3）2，∴z的几何意义是动点P（x，y）到定义A（0，3）的距离的平方，由图象可知当点P位于D处时，距离最大，当P为A在直线y=2x﹣1的垂足时，距离最小，由点到直线2x﹣y﹣1=0的距离公式得d=|AP|=，∴z的最小值为d．故答案为：．15．（4分）已知两个正数x，y满足x+y=4，则使不等式恒成立的实数m的范围是．【解答】解：由题意知两个正数x，y满足x+y=4，则==++≥+1=，当=时取等号；∴的最小值是，∵不等式恒成立，∴．故答案为：．三．解答题（本大题共6小题，共80分）16．（14分）（1）求不等式的解集：﹣x2+4x+5＜0（2）在△ABC中，已知，b=6，A=30°，求B及S．△ABC【解答】解：（1）不等式变形得：x2﹣4x﹣5＞0，即（x﹣5）（x+1）＞0，解得：x＞5或x＜﹣1，则不等式的解集为{x|x＞5或x＜﹣1}；（2）∵a=2，b=6，sinA=sin30°=，∴由正弦定理=得：sinB===，∵b＞a，∴B＞A，∴B=60°或120°，=ab=6；当B为60°时，可得C=90°，即三角形为直角三角形，此时S△ABC当B=120°时，可得C=30°，即三角形为等腰三角形，此时S=×6×=3．△ABC17．（14分）已知{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=﹣8，b2=a1+a2+a3，求数列{b n}的前n项和公式．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差d．因为a3=﹣6，a6=0所以解得a1=﹣10，d=2所以a n=﹣10+（n﹣1）•2=2n﹣12（Ⅱ）设等比数列{b n}的公比为q因为b2=a1+a2+a3=﹣24，b1=﹣8，所以﹣8q=﹣24，即q=3，所以{b n}的前n项和公式为18．（12分）若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是，则不等式ax2﹣5x+（a2﹣1）＞0的解集是．【解答】解：∵ax2+5x﹣2＞0的解集是，∴a＜0，且，2是方程ax2+5x﹣2=0的两根韦达定理×2=，解得a=﹣2；则不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0即为﹣2x2﹣5x+3＞0，解得故不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集．故答案为：19．（12分）已知△ABC的面积S=（b2+c2﹣a2），其中a，b，c分别为角A，B，C所对的边，（1）求角A的大小；（2）若a=2，求bc的最大值．【解答】解：（1）∵S=bc•sinA cosA=即b2+c2﹣a2=2bc•cosA∴S=（b2+c2﹣a2）变形得×2bc•cosA=bc•sinA∴tanA=1又0＜A＜π，∴A=．（2）由（1）bc=（b2+c2﹣a2）≥（2bc﹣4）=bc﹣2∴（1﹣）bc≥﹣2∴bc≤4+2∴bc的最大值为4+2．20．（14分）某服装制造商现有300m2的棉布料，900m2的羊毛料，和600m2的丝绸料．做一条大衣需要1m2的棉布料，5m2的羊毛料，1m2的丝绸料．做一条裤子需要1m2的棉布料，2m2的羊毛料，1m2的丝绸料．（1）在此基础上生产这两种服装，列出满足生产条件的数学关系式，并在直角坐标系中画出相应的平面区域．（2）若生产一条大衣的纯收益是120元，生产一条裤子的纯收益是80元，那么应采用哪种生产安排，该服装制造商能获得最大的纯收益；最大收益是多少？【解答】解：（1）生产大衣x条，裤子y条，则根据条件建立不等式组，作出不等式组对应的平面图象如图：（2）设收益为z，则目标函数z=120x+80y，则y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点B时，直线y=的截距最大，此时z也最大，由，解得，即B（100，200），代入目标函数z=120x+80y得z=120×100+80×200=28000（元）．即z的最大值为28000元．21．（14分）数列{a n}的前n项和为S n，若对于任意的正整数n都有S n=2a n﹣3n．（1）设b n=a n+3，求证：数列{b n}是等比数列，并求出{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和．【解答】解：（1）∵S n=2a n﹣3n，对于任意的正整数都成立，=2a n+1﹣3n﹣3，∴S n+1=2a n+1﹣2a n﹣3，即a n+1=2a n+3，两式相减，得a n+1+3=2（a n+3），∴a n+1所以数列{b n}是以2为公比的等比数列，由已知条件得：S1=2a1﹣3，a1=3．∴首项b1=a1+3=6，公比q=2，∴a n=6•2n﹣1﹣3=3•2n﹣3．（2）∵na n=3×n•2n﹣3n∴S n=3（1•2+2•22+3•23+…+n•2n）﹣3（1+2+3+…+n），2S n=3（1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1）﹣6（1+2+3+…+n），∴﹣S n=3（2+22+23+…+2n﹣n•2n+1）+3（1+2+3+…+n）=∴S n=赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

福建省厦大附中2014-2015学年高二上学期期中考试数学(

厦大附中2014-2015学年第一学期期中考试高二数学（理科）试卷题考试时间：120分钟试卷总分150分第I 卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 1．命题“x ∃∈R ，2450x x ++≤”的否定是（）A ．x ∃∈R ，2450x x ++>B ．x ∃∈R ，2450x x ++≤C ．x ∀∈R ，2450x x ++>D ．x ∀∈R ，2450x x ++≤ 2.抛物线y x 82-=的准线方程是 ().A. 321=x B. 2=y C. 321=y D. 2-=y 3. 某雷达测速区规定：凡车速大于或等于80 km/h 的汽车视为“超速”，并将受到处罚．如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有（） A ．20辆 B ．40辆 C ．60辆 D ．80辆4.双曲线22145x y -=的渐近线方程为（） A．4y x =± B．2y x =± C．5y x =± D．5y x =± 5．如图所示，在边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为( )A.43B.83C.23D.136．如果方程22143x y m m +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( )A.34m <<B. 72m >C. 742m <<D. 732m << （第5题）7. 已知抛物线24y x =，以(1,1)为中点作抛物线的弦，则这条弦所在直线的方程为（）A.210x y -+=B.210x y --=C.230x y +-=D.230x y +-=8. 已知动圆C 与圆221:(2)9C x y +-=和圆222:(2)25C x y ++=都外切,则动圆圆心C 的轨迹是 ( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．双曲线的一支 9. M 为抛物线x y 42=上一动点，Ｆ是焦点，P(5,4) 是定点，则当MF MP +取最小值时点M 的横坐标是（）A. 2B. 4C. 6D. 810.已知12F F 、是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两焦点，以线段12F F 、为边作正三角形12MF F ，若1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A. 4+11第II 卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题5小题，每小题4分，共20分。

福建省厦门一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科)

福建省厦门一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x+yi的共轭复数为（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i2．（5分）已知条件p：x2+x﹣2＞0，条件q：x＞a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围可以是（）A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣1 D．a≤﹣33．（5分）在同一直角坐标系中，函数f（x）=x a（x≥0），g（x）=log a x的图象可能是（）A．B．C．D．4．（5分）执行框图，若输出结果为3，则可输入的实数x值的个数为（）A．1B．2C．3D．45．（5分）已知等比数列{a n}中，a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣13，+∞）D．（﹣∞，﹣13，+∞）6．（5分）有一几何体的三视图如下，则该几何体体积为（）A．4+B．4+C．4+D．4+π7．（5分）如图，四边形OABC的对角线OB与AC相交于点P，已知，且，则实数λ的值为．（）A．B．C．D．8．（5分）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，P为双曲线C上一点，且点P在第一象限，且，则△PF1F2内切圆半径为（）A．3B．C．2D．9．（5分）定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈时，f（x）=若x∈时，f（x）≥t2﹣2t﹣4恒成立，则实数t的取值范围是（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f n（x）=a n x3+b n x2+c n x，满足=q（q＞1，q为常数），n∈N*，给出下列说法；①函数f n（x）可以为奇函数；②若函数f1（x）在R上单调递增，则对于任意正整数n，函数f n（x）都在R上单调递增；③若x0是函数f n（x）的极值点，则x0也是函数f n+1（x）的极值点；④若b12＞3a1c1，则对于任意正整数n函数f n（x）在R上一定有极值．以上说法中所有正确的序号是（）A．①②③④B．②③C．②③④D．②④二、填空题：本大题5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．11．（4分）二项式展开式中第三项的系数为．12．（4分）设向量=（sinθ+cosθ，1），=（5，1）垂直，且θ∈（0，π），则tanθ等于．13．（4分）若在区间上等可能的任取一实数a，则使得函数f（x）=x3﹣3x﹣a有三个相异的零点的概率为．14．（4分）设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），在（﹣∞，0）上恒有2f（x）+xf′（x）＞x2成立，则不等式（x+2015）2f（x+2015）﹣4f（﹣2）＞0的解集为．15．（4分）已知（2x+1）n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n中令x=0，就可以求出常数项，即1=a0．请你根据其中蕴含的解题方法研究下列问题；若e x=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+…+a n x n+…，且n≥2，n∈N，则a1+=．【选做题】（从（1）（2）（3）题中任选两题作答，并在答题卷上标明所选题号）．16．（4分）设矩阵，若曲线C：x2+4xy+2y2=1在矩阵M的作用下变换成曲线C'：x2﹣2y2=1，则矩阵M n=．（n∈N*）17．（4分）已知在平面直角坐标系xOy中，圆M的方程为（x﹣4）2+y2=1，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，且与直角坐标系取相同的单位长度，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin （θ+）=，过直线l上的任意点P作圆M的切线，则切线长的取值范围为．18．已知函数f（x）=2，若关于x的不等式f（x）≤|m﹣2|恒成立，则实数m的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（10分）己知函数f（x）=sinxcosx+sin2x+（x∈R）（1）当x∈时，求函数f（x）的最小值和最大值；（2）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=，f（C）=2，若向量=（1，a）与向量=（2，b）共线，求a，b的值．20．（12分）如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F为的中点．（1）求证：AF⊥平面CDE；（2）求异面直线CB与AE所成角的大小；‚求平面ACD和平面BCE所成锐二面角的大小．21．（12分）甲、乙、丙三人进行乒乓球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；（Ⅱ）用X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的分布列和数学期望．22．（12分）已知函数的图象如图所示．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）已知f′（x）是函数f（x）的导函数．•若数列{a n}的通项，求其前n项和S n；‚若在其定义域内为增函数，求实数k的取值范围．23．（12分）已知点F是抛物线Γ：x2=2py（p＞0）的焦点，抛物线上点M（x0，1）到F的距离为2．（Ⅰ）求抛物线方程；（Ⅱ）设直线AB：y=x+b与曲线Γ相交于A，B两点，若AB的中垂线与y轴的交点为（0，4），求b的值．（Ⅲ）抛物线Γ上是否存在异于点A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线．若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．24．（14分）设函数f（x）=（x﹣1）e x﹣ax2（其中a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a=1时，求由直线x=0、x=1、曲线y=f（x）及线段y=0（0≤x≤1）所围成的封闭区域的面积；（3）当时，求函数f（x）在上的最大值．福建省厦门一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x+yi的共轭复数为（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：由已知得出x=（1+i）（1﹣yi），由复数相等的概念求出x，y确定出x+yi，再得出共轭复数解答：解：由已知，x=（1+i）（1﹣yi），计算x=1+y+（1﹣y）i根据复数相等的概念，解得，x+yi=2+i，其共轭复数为2﹣i．故选D．点评：本题考查复数的基本运算，复数相等、共轭复数的概念．属于基础题．2．（5分）已知条件p：x2+x﹣2＞0，条件q：x＞a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围可以是（）A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣1 D．a≤﹣3考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：先化简不等式，再根据q是p的充分不必要条件，即可求得．解答：解：∵条件p：x2+x﹣2＞0，∴条件q：x＜﹣2或x＞1∵q是p的充分不必要条件∴a≥1故选A．点评：本题主要考查一元二次不等式的解法及必要条件、充分条件和充要条件的定义，是一道基础题．3．（5分）在同一直角坐标系中，函数f（x）=x a（x≥0），g（x）=log a x的图象可能是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：结合对数函数和幂函数的图象和性质，分当0＜a＜1时和当a＞1时两种情况，讨论函数f （x）=x a（x≥0），g（x）=log a x的图象，比照后可得答案．解答：解：当0＜a＜1时，函数f（x）=x a（x≥0），g（x）=log a x的图象为：此时答案D满足要求，当a＞1时，函数f（x）=x a（x≥0），g（x）=log a x的图象为：无满足要求的答案，综上：故选D点评：本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握对数函数和幂函数的图象和性质，是解答的关键．4．（5分）执行框图，若输出结果为3，则可输入的实数x值的个数为（）A．1B．2C．3D．4考点：程序框图．专题：计算题；概率与统计．分析：根据题中程序框图的含义，得到分段函数y=，由此解关于x的方程f（x）=3，即可得到可输入的实数x值的个数．解答：解：根据题意，该框图的含义是当x≤2时，得到函数y=x2﹣1；当x＞2时，得到函数y=log2x．因此，若输出结果为3时，①若x≤2，得x2﹣1=3，解之得x=±2②当x＞2时，得y=log2x=3，得x=8因此，可输入的实数x值可能是2，﹣2或8，共3个数故选：C点评：本题给出程序框图，求输出值为3时可能输入x的值，着重考查了分段函数和程序框图的理解等知识，属于基础题．5．（5分）已知等比数列{a n}中，a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣13，+∞）D．（﹣∞，﹣13，+∞）考点：等比数列的前n项和．分析：首先由等比数列的通项入手表示出S3（即q的代数式），然后根据q的正负性进行分类，最后利用均值不等式求出S3的范围．解答：解：∵等比数列{a n}中，a2=1∴∴当公比q＞0时，；当公比q＜0时，．∴S3∈（﹣∞，﹣13，+∞）．故选D．点评：本题考查等比数列前n项和的意义、等比数列的通项公式及均值不等式的应用．6．（5分）有一几何体的三视图如下，则该几何体体积为（）A．4+B．4+C．4+D．4+π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知：该几何体是如图所示的几何体，据此可求出体积．解答：解：由三视图可知：该几何体是如图所示的几何体，∴V=π×12×2++2×2×1=4+．故选A．点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．7．（5分）如图，四边形OABC的对角线OB与AC相交于点P，已知，且，则实数λ的值为．（）A．B．C．D．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：首先，，，然后，根据共线的条件，建立等式，求解相应的值．解答：解：∵，∴，设，∴μ，∴，∵，∴，∴λ=．故选：A．点评：本题重点考查了平面向量基本定理、平面向量的加法和减法运算等知识，属于中档题．解题关键是准确应用共线的条件进行处理．8．（5分）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，P为双曲线C上一点，且点P在第一象限，且，则△PF1F2内切圆半径为（）A．3B．C．2D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的定义，结合，可得|PF1|=8，|PF2|=6，从而PF1⊥PF2，利用圆的切线的性质，即可得出结论．解答：解：由题意，|PF1|﹣|PF2|=2，∵，∴|PF1|=8，|PF2|=6，∵|F1F2|=10，∴PF1⊥PF2，设△PF1F2内切圆半径为r，则|PF1|﹣r+|PF2|﹣r=|F1F2|，∴r=2．故选：C．点评：本题考查双曲线的定义，考查圆的切线的性质，确定PF1⊥PF2是关键．9．（5分）定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈时，f（x）=若x∈时，f（x）≥t2﹣2t﹣4恒成立，则实数t的取值范围是（）A．B．C．D．考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：先确定当x∈时，f（x）的最小值为﹣，利用函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），可得x∈时，f（x）的最小值为﹣1，从而可得﹣1≥t2﹣2t﹣4，即可得出结论．解答：解：当x∈﹣，01，2﹣，00，22，44，64，6﹣1，6﹣1，6x2f（x），+∞）．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：首先，将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后，根据圆心到直线距离、半径、切线长之间的关系进行距离转化，从而求解问题．解答：解：∵直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=，∴ρsinθcos+ρcosθsin=，∴y+x﹣1=0，∴直线l的直角坐标方程为：y+x﹣1=0，当圆心到直线距离d最短时，此时切线长最短，则d=，此时切线长为=，故答案为：∪（）2+（）2（）2+（）2∪﹣，﹣，考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．专题：应用题；概率与统计．分析：（I）令A1表示第2局结果为甲获胜，A2表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负，A表示第4局甲当裁判，分析其可能情况，每局比赛的结果相互独立且互斥，利用独立事件、互斥事件的概率求解即可．（II）X的所有可能值为0，1，2．分别求出X取每一个值的概率，列出分布列后求出期望值即可．解答：解：（I）令A1表示第2局结果为甲获胜．A2表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负．A表示第4局甲当裁判．则A=A1•A2，P（A）=P（A1•A2）=P（A1）P（A2）=；（Ⅱ）X的所有可能值为0，1，2．令A3表示第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜．B1表示第1局结果为乙获胜，B2表示第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜，B3表示第3局乙参加比赛时，结果为乙负，则P（X=0）=P（B1B2）=P（B1）P（B2）P（）=．P（X=2）=P（B3）=P（）P（B3）=．P（X=1）=1﹣P（X=0）﹣P（X=2）=．故X的分布列为X 0 1 2P从而EX=0×+1×+2×=．点评：本题考查互斥、独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望等知识，同时考查利用概率知识解决问题的能力．22．（12分）已知函数的图象如图所示．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）已知f′（x）是函数f（x）的导函数．•若数列{a n}的通项，求其前n项和S n；‚若在其定义域内为增函数，求实数k的取值范围．1，+∞）．点评：本题主要考查综合考查函数解析式的求解以及数列求和的计算，利用裂项法以及参数分类法是解决本题的关键．23．（12分）已知点F是抛物线Γ：x2=2py（p＞0）的焦点，抛物线上点M（x0，1）到F的距离为2．（Ⅰ）求抛物线方程；（Ⅱ）设直线AB：y=x+b与曲线Γ相交于A，B两点，若AB的中垂线与y轴的交点为（0，4），求b的值．（Ⅲ）抛物线Γ上是否存在异于点A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线．若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由已知条件利用抛物线定义知：1+=2，由此能求出抛物线方程．（Ⅱ）由，得x2﹣4x﹣4b=0，△=16﹣16b＞0，x1+x2=4，由此求出AB的中垂线为y=﹣x+4﹣b，从而能求出b=0．（Ⅲ）由（Ⅱ）知A（0，0），B（4，4），假设抛物线L上存在异于点A、B的点满足题意，令圆的圆心为N（a，b），则，由此能求出存在点C，且坐标为（﹣2，1）．解答：解：（Ⅰ）∵F是抛物线Γ：x2=2py（y＞0）的焦点，∴F（），∵点M（x0，1）到F的距离为2，∴依抛物线定义知：1+=2，解得p=2，∴抛物线为x2=4y﹣﹣﹣﹣（3分）（Ⅱ）由，得x2﹣4x﹣4b=0，∴△=16﹣16b＞0，x1+x2=4，∴AB的中点为（2，2+b），∴AB的中垂线为=﹣1，即y=﹣x+4﹣b，依题意可知（0，4）在垂线上，∴4=0+4﹣b，解得b=0．（7分）（Ⅲ）由（Ⅱ）知A（0，0），B（4，4），假设抛物线L上存在异于点A、B的点满足题意，令圆的圆心为N（a，b），则由，得，整理，得，解得，（10分）∵抛物线L在点C处的切线斜率k=，（t≠0），（11分）又该切线与NC垂直，∴，整理，得，∴，整理，得t3﹣2t2﹣8t=0，∵t≠0，t≠4，∴t=﹣2．故存在点C，且坐标为（﹣2，1）．（13分）点评：本题考查抛物线方程的求法，考查实数的求法，考查满足条件的点是否存在判断与求法，解题时要认真审题，注意中点坐标公式的合理运用．24．（14分）设函数f（x）=（x﹣1）e x﹣ax2（其中a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a=1时，求由直线x=0、x=1、曲线y=f（x）及线段y=0（0≤x≤1）所围成的封闭区域的面积；（3）当时，求函数f（x）在上的最大值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：（1）求出f′（x）=x（e x﹣2a），分类讨论列出表格得出单调性，（2）根据前面的结论得出；区域面积S=∫dx=|=e﹣，（3）根据f（x）在（0，ln2a）单调递减，在（ln2a，a0，a0，1x﹣（x﹣1）e x﹣（x﹣2）e x0，a0，a时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，ln2a）单调递减，在（ln2a，a0，a，x0x0，1，x0x0，10，a hslx3y3h上的最大值为：（a﹣1）e a﹣a3，点评：本综合考查了函数的导数的运用，难度较大，多次求导判断最值，单调性，必需思路清晰，目的性强．。

【真题】15年福建省厦门市松柏中学高三(上)数学期中试卷含答案(理科)

2014-2015学年福建省厦门市松柏中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）在复平面内，复数z=对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第在象限D．第四象限2．（3分）已知条件p：x≤1，条件q：＜1，则q是￢p成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件3．（3分）=（）A．1 B．2 C．3 D．44．（3分）等差数列{a n}前17项和S17=51，则a5﹣a7+a9﹣a11+a13=（）A．3 B．6 C．17 D．515．（3分）若△ABC的周长等于20，面积是10，A=60°，则BC边的长是（）A．5 B．6 C．7 D．86．（3分）设=（，sina），=（cosa，）且∥，则锐角a为（）A．30°B．60°C．45°D．75°7．（3分）设，是平面直角坐标系的x轴、y轴正方向上的单位向量，且=4+2，=3 +4，则△ABC的面积等于（）A．B．5 C．10 D．158．（3分）已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d在区间[﹣1，2]上是减函数，那么b+c （）A．有最大值 B．有最大值﹣C．有最小值 D．有最小值﹣9．（3分）若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈（﹣1，1]时f（x）=|x|，则函数f（x）的图象与函数y=log2|x|的图象的交点的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．多于410．（3分）已知f（x）=2+x2cos（+x）在[﹣a，a]（a＞0）上的最大值与最小值分别为M、m，则M+m的值为（）A．0 B．2 C．4 D．与a的值有关二、填空题：本大题5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．11．（4分）设||=1，||=2，且，的夹角为120°；则|2+|等于．12．（4分）设函数为奇函数，则k=．13．（4分）已知向量，实数m，n满足，则（m﹣3）2+n2的最大值为．14．（4分）已知函数f（x）=sin2x，g（x）=cos（2x+），直线x=t（t∈[0，]）与函数f（x），g（x）的图象分别相交于M，N两点，则|MN|的最大值是．15．（4分）现有下列命题：①命题“∃x∈R，x2+x+1=0”的否定是“∃x∈R，x2+x+1≠0”；②若A={x|x＞0}，B={x|x≤﹣1}，则A∩（∁R B）=A；③函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0）是偶函数的充要条件是；④若非零向量满足，则的夹角为60°．其中正确命题的序号有．（写出所有你认为真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（13分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足sinA+cosA=2（1）求A的大小；（2）a=2，c=b，求△ABC的面积．17．（13分）已知：等差数列{a n}中，a4=14，前10项和S10=185．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）将{a n}中的第2项，第4项，…，第2n项按原来的顺序排成一个新数列，求此数列的前n项和G n．18．（13分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象的一部分如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当时，求函数y=f（x）+f（x+2）的最大值与最小值及相应的x值．19．（13分）已知函数f（x）=ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≤0恒成立，式确定实数k的取值范围．20．（14分）某企业在第一年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价格比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%，若第n年初M的价值为a n（1）求a3a7；（2）求第n年初M的价值的表达式a n；（3）求数列a n的前n项和S n．21．（14分）已知函数f（x）=ax3+3x2﹣6ax﹣11，g（x）=3x2+6x+12，和直线m：y=kx+9．又f′（﹣1）=0．（1）求a的值；（2）是否存在k的值，使直线m既是曲线y=f（x）的切线，又是y=g（x）的切线；如果存在，求出k的值；如果不存在，说明理由．（3）如果对于所有x≥﹣2的x，都有f（x）≤kx+9≤g（x）成立，求k的取值范围．2014-2015学年福建省厦门市松柏中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）在复平面内，复数z=对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第在象限D．第四象限【解答】解：Z=，故选D．2．（3分）已知条件p：x≤1，条件q：＜1，则q是￢p成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【解答】解：∵p：x≤1，¬p：x＞1，q：＜1⇒x＜0，或x＞1，故q是¬p成立的必要不充分条件，故选：B．3．（3分）=（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵∫02（3x2+k）dx=（x3+kx）|02=23+2k．由题意得：23+2k=10，∴k=1．故选：A．4．（3分）等差数列{a n}前17项和S17=51，则a5﹣a7+a9﹣a11+a13=（）A．3 B．6 C．17 D．51【解答】解：∵S17===51∴a1+8d=3∴a5﹣a7+a9﹣a11+a13=a1+4d﹣a1﹣6d+a1+8d﹣a1﹣10d+a1+12d=a1+8d=故选：A．5．（3分）若△ABC的周长等于20，面积是10，A=60°，则BC边的长是（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：依题意及面积公式S=bcsinA，得10=bcsin60°，得bc=40．又周长为20，故a+b+c=20，b+c=20﹣a，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣2bccos60°=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc，故a2=（20﹣a）2﹣120，解得a=7．故选：C．6．（3分）设=（，sina），=（cosa，）且∥，则锐角a为（）A．30°B．60°C．45°D．75°【解答】解：=（，sina），=（cosa，）且∥，∴sinacosa==，∴sin2a=1，∵a是锐角，所以2a=90°，∴a=45°．故选：C．7．（3分）设，是平面直角坐标系的x轴、y轴正方向上的单位向量，且=4+2，=3 +4，则△ABC的面积等于（）A．B．5 C．10 D．15【解答】解：根据题意，得；=（4，2），=（3，4），∴=﹣=（﹣1，2），∴=42+22=20，=32+42=25，=（﹣1）2+22=5；∴=+△ABC是直角三角形，它的面积为S=××2=5．故选：B．8．（3分）已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d在区间[﹣1，2]上是减函数，那么b+c （）A．有最大值 B．有最大值﹣C．有最小值 D．有最小值﹣【解答】解：由f（x）在[﹣1，2]上是减函数，知f′（x）=3x2+2bx+c≤0，x∈[﹣1，2]，则⇒15+2b+2c≤0⇒b+c≤﹣．故选：B．9．（3分）若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈（﹣1，1]时f（x）=|x|，则函数f（x）的图象与函数y=log2|x|的图象的交点的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．多于4【解答】解：由题意作出函数f（x）的图象与函数y=log2|x|的图象，则由图象可得，有2个交点，故选：A．10．（3分）已知f（x）=2+x2cos（+x）在[﹣a，a]（a＞0）上的最大值与最小值分别为M、m，则M+m的值为（）A．0 B．2 C．4 D．与a的值有关【解答】解：∵∴f（x）﹣2=﹣x2sinx，令g（x）=﹣x2sinx，则g（﹣x）=﹣g（x）所以g（x）为奇函数，图象关于原点（0，0）对称，从而f（x）的图象关于（0，2）对称所以M+m=4故选：C．二、填空题：本大题5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．11．（4分）设||=1，||=2，且，的夹角为120°；则|2+|等于2．【解答】解：∵||=1，||=2，且，的夹角为120°，∴==﹣1．∴|2+|====2．故答案为：2．12．（4分）设函数为奇函数，则k=﹣2．【解答】解：∵函数∴f（﹣x）=﹣f（x）∴∴（k+2）（tanx）=0∴k=﹣2故答案为：﹣213．（4分）已知向量，实数m，n满足，则（m﹣3）2+n2的最大值为16．【解答】解：∵∴（m+n，m﹣n）=∴m+n=，m﹣n=m=sin（），n=∴（m﹣3）2+n2=m2+n2﹣6m+9=10﹣6sin（）∵sin∈[﹣1，1]∴∴（m﹣3）2+n2的最大值为16故答案为1614．（4分）已知函数f（x）=sin2x，g（x）=cos（2x+），直线x=t（t∈[0，]）与函数f（x），g（x）的图象分别相交于M，N两点，则|MN|的最大值是．【解答】解：∵t∈[0，]，∴|MN|=|sin2t﹣cos（2t+）|=|sin2t﹣cos2t+sin2t|=|sin2t﹣cos2t|=|sin（2t﹣）|．故答案为：．15．（4分）现有下列命题：①命题“∃x∈R，x2+x+1=0”的否定是“∃x∈R，x2+x+1≠0”；②若A={x|x＞0}，B={x|x≤﹣1}，则A∩（∁R B）=A；③函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0）是偶函数的充要条件是；④若非零向量满足，则的夹角为60°．其中正确命题的序号有②③．（写出所有你认为真命题的序号）【解答】解：①特称命题的否是全称命题，所以命题“∃x∈R，x2+x+1=0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1≠0”；所以①错误．②∁R B={x|x＞﹣1}，所以A∩（∁R B）={x|x＞0}=A，正确．③函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0）是偶函数，则；正确．④若，则以为边长的三角形为正三角形，则的夹角为120°，所以④错误．故答案为：②③．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（13分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足sinA+cosA=2（1）求A的大小；（2）a=2，c=b，求△ABC的面积．【解答】解：（1）sinA+cosA=2即有=1，则sin（A）=1，即有A，k为整数，由于A为三角形的内角，则k=0，A=；（2）由余弦定理，a2=b2+c2﹣2bccosA，即有4=b2+c2﹣bc，又c=b，解得，b=2，c=2，则△ABC的面积为S===．17．（13分）已知：等差数列{a n}中，a4=14，前10项和S10=185．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）将{a n}中的第2项，第4项，…，第2n项按原来的顺序排成一个新数列，求此数列的前n项和G n．【解答】解：（Ⅰ）由∴，…（3分）由a n=5+（n﹣1）•3∴a n=3n+2…（6分）（Ⅱ）设新数列为{b n}，由已知，b n=3•2n+2…（9分）∴G n=3（21+22+23+…+2n）+2n=6（2n﹣1）+2n．∴G n=3•2n+1+2n﹣6，（n∈N*）…（12分）18．（13分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象的一部分如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当时，求函数y=f（x）+f（x+2）的最大值与最小值及相应的x值．【解答】解：（1）由图象知A=2，T=8．∴T==8．∴ω=．图象过点（﹣1，0），则2sin（﹣+φ）=0，∵|φ|＜，∴φ=，于是有f（x）=2sin（x+）．（2）y=f（x）+f（x+2）=2sin（x+）+2sin（x++）=2sin（x+）+2cos（x+）=2sin（x+）=2cos x．∵x∈[﹣6，﹣]，∴﹣π≤x≤﹣．当x=﹣，即x=﹣时，y max=；当x=﹣π，即x=﹣4时，y min=﹣2．19．（13分）已知函数f（x）=ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≤0恒成立，式确定实数k的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1，∴f′（x）=﹣k，（x＞1），∴当k≤0时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增；当k＞0时，令﹣k＞0，则1＜x＜1+，∴函数f（x）在区间（1，1+）上单调递增；令﹣k＜0，则x＞1+，∴函数f（x）在区间（1+，+∞）上单调递减．综上，当k≤0时，函数f（x）单调递增区间为（1，+∞）；当k＞0时，函数f（x）单调递增区间为（1，1+），单调递减区间为（1+，+∞）．（2）由（1）知：当k＞0时，函数f（x）的最大值为：f（1+）=ln=﹣lnk．∵f（x）≤0恒成立，∴﹣lnk＜0，∴k＞1．20．（14分）某企业在第一年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价格比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%，若第n年初M的价值为a n（1）求a3a7；（2）求第n年初M的价值的表达式a n；（3）求数列a n的前n项和S n．【解答】解：（1）当n≤6时，数列{a n}是首项为120，公差为﹣10的等差数列．∴a3=120﹣10（3﹣1）=100，当n≥6时，数列{a n}是以a6为首项，公比为的等比数列，∴a7==，∴a3a7=100×=5250．（2）当n≤6时，数列{a n}是首项为120，公差为﹣10的等差数列．a n=120﹣10（n﹣1）=130﹣10n．当n≥6时，数列{a n}是以a6为首项，公比为的等比数列，又a6=70，∴．∴第n年初，M的价值a n的表达式为：．（3）由等差及等比数列的求和公式得：当1≤n≤6时，S n=130n﹣10（1+2+3+…+n）=130n﹣10×=125n﹣5n2．当n≥7时，S n=S6+（a7+a8+…+a n）=570+70×=780﹣210×．∴S n=．21．（14分）已知函数f（x）=ax3+3x2﹣6ax﹣11，g（x）=3x2+6x+12，和直线m：y=kx+9．又f′（﹣1）=0．（1）求a的值；（2）是否存在k的值，使直线m既是曲线y=f（x）的切线，又是y=g（x）的切线；如果存在，求出k的值；如果不存在，说明理由．（3）如果对于所有x≥﹣2的x，都有f（x）≤kx+9≤g（x）成立，求k的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=3ax2+6x﹣6a，因为f′（﹣1）=0所以a=﹣2.2；（2）因为直线m恒过点（0，9）．先求直线m是y=f（x）的切线．设切点为（x0，3x02+6x0+12），∵g′（x0）=6x0+6．∴切线方程为y﹣（3x02+6x0+12）=（6x0+6）（x﹣x0），将点（0，9）代入得x0=±1．当x0=﹣1时，切线方程为y=9，当x0=1时，切线方程为y=12x+9．由f′（x）=0得﹣6x2+6x+12=0，即有x=﹣1，x=2当x=﹣1时，y=f（x）的切线y=﹣18，当x=2时，y=f（x）的切线方程为y=9∴y=9是公切线，又由f′（x）=12得﹣6x2+6x+12=12∴x=0或x=1，当x=0时y=f（x）的切线为y=12x﹣11，当x=1时y=f（x）的切线为y=12x﹣10，∴y=12x+9，不是公切线，综上所述k=0时y=9是两曲线的公切线；（7分）（3）．（1）kx+9≤g（x）得kx≤3x2+6x+3，当x=0，不等式恒成立，k∈R．当﹣2≤x＜0时，不等式为，而≤﹣3•2+6=0∴k≥0当x＞0时，不等式为，∵∴k≤12∴当x≥﹣2时，kx+9≤g（x）恒成立，则0≤k≤12；（10分）（2）由f（x）≤kx+9得kx+9≥﹣2x3+3x2+12x﹣11当x=0时，9≥﹣11恒成立，k∈R，当﹣2≤x＜0时有设=，当﹣2≤x＜0时为增函数，也为增函数∴h（x）≥h（﹣2）=8∴要使f（x）≤kx+9在﹣2≤x＜0上恒成立，则k≤8（12分）由上述过程只要考虑0≤k≤8，则当x＞0时f′（x）=﹣6x2+16x+12=﹣6（x+1）（x﹣2）∴在x∈（0，2]时f′（x）＞0，在（2，+∞）时∴f（x）在x=2时有极大值即f（x）在（0，+∞）上的最大值，又f（2）=9，即f（x）≤9而当x＞0，k≥0时，∴f（x）≤kx+9一定成立，综上所述0≤k≤8．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x=，令()u g x=，若()y f u=为增，()u g x=为增，则[()]y f g x=为增；若()y f u=为减，()u g x=为减，则[()]y f g x=为增；若()y f u=为增，()u g x=为减，则[()]y f g x=为减；若()y f u=为减，()u g x=为增，则[()]y f g x=为减．（2）打“√”函数()(0)af x x ax=+>的图象与性质()f x分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x=的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x I∈，都有()f x M≤；（2）存在x I∈，使得()f x M=．那么，我们称M是函数()f x的最大值，记作yxomax ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

福建省厦门第二中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．不等式x 2≥ 2 x的解集是( ) A．{x|x≥2} B．{x|x≤2} C．{x|0≤x≤2} D．{x|x≤0或x≥2} 2．的一个通项公式为（） A. B. C. D． 3．，则∠B等于（） A． B． C．或D．或 4．某体育馆第一排有个座位，第二排有个座位，第三排有个座位，依次类推，则第十五排有（）个座位。

A． B． C． D． 5．不等式表示的平面区域在直线的（）Ａ．左上方Ｂ．左下方Ｃ．右下方Ｄ．右上方6．a、b、c∈R，a>b，则下列不等式成立的是 ( ) A．b2 C．> D．a|c|>b|c| 7．在ABC中，若，则A． B． C． D． 8．不等式的解集为，（）A． B． C． D 9．7+13=20，则9+10+11=……… （） A．B．C．D．18 10．已知正数，则的最小值为（） A．6 B．5 C． D． 11．已知等比数列的公比为, 前项的和是, 则前项的和为 ( ) A． B． C． D．A．B．．＜0的解集是 14．△ABC中，若则△ABC的形状是_________。

15．数列 1, 2, 3, 4, 5, …, n, 的前n项之和等于． 16．观察右边的三角数阵，该数阵第行的所有数字之和为＿＿＿＿＿＿＿．．－x2＋x<40)，即x＝10时取等号. ∴当污水处理池的长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D BC B C CD A A C B A。

【精编】2014-2015年福建省厦门外国语学校高二(上)数学期中试卷和参考答案(理科)

2014-2015学年福建省厦门外国语学校高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．（5分）命题∀x∈R，x2﹣x≥0的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣x≥0 B．∃x∈R，x2﹣x≥0 C．∀x∈R，x2﹣x＜0 D．∃x ∈R，x2﹣x＜02．（5分）下列有关命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．命题“在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆否命题为真命题C．命题“在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2＞c2，则C为锐角”为真命题D．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题3．（5分）设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1的直线ℓ与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，则|AB|的长为（）A．B．1 C．D．4．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n．则“a1＞0”是“S3＞S2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足c=2acosB，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形6．（5分）若实数x，y满足，则x2+y2的最小值是（）A．B．5 C．D．7．（5分）设等比数列{a n}的首项a1和公比q都是正数，且q≠1，则下列判断正确的是（）A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8＜a4+a5C．a1+a8=a4+a5D．a1+a8与a4+a5的大小关系不能确定8．（5分）关于曲线C：+=1，下列四个命题中，所有真命题的组合是（）①曲线C上的横、纵坐标的取值范围分别是﹣5≤x≤5，﹣4≤y≤4；②曲线C关于x轴、y轴都是对称的，还关于原点对称；③设P，Q是曲线C上的任意两点，则|PQ|≤10恒成立；④设M（﹣3，0），N（3，0），P是曲线C上任意的点，则|PM|+|PN|≤10恒成立．A．①②③④B．①②③C．①②④D．①②9．（5分）过椭圆=1（a＞b＞0）的右顶点A作斜率为﹣1的直线与椭圆的另一个交点为M，与y轴的交点为B，若|AM|=|MB|则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）=ax2+bx﹣2，（a＞0，b∈R）的一个零点在区间（1，2）内，则a﹣b的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）B．（﹣4，+∞）C．（﹣∞，2）D．（﹣2，+∞）二、填空题：本大题6小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡相应位置．11．（4分）请给出使得不等式x＞0成立的一个必要不充分条件：．12．（4分）设直线nx+（n+1）y=（n∈N*）与两坐标轴围成的三角形的面积为S n，则S1+S2+…+S2014的值为．13．（4分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b=1，c=，B=，则S△ABC=．14．（4分）已知点A的坐标为（0，2），点B是椭圆x2+6y2=6上的动点，则|AB|的最大值为．15．（4分）两个正数a，b满足2a﹣3ab+4b=0，则a+b的最小值为．16．（4分）已知函数y=f（x）满足f（3x）=3f（x），当1＜x＜3时，f（x）=1﹣|x﹣2|，那么x∈[1，3n]，n∈N*时，函数y=f（x）的图象与x轴所围成的图形面积为．三、解答题（共6小题，共76分）17．（12分）已知等差数列{a n}中，a2=﹣20，a1+a9=﹣28．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足a n=log2b n，设T n=b1b2…b n，且T n=1，求n的值．18．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．（12分）在△ABC中，tanA=，tanB=．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若AB边的长为，求BC边的长．20．（12分）一动圆恒过点A（﹣，0）且恒与定圆B：（x﹣）2+y2=12相切．（1）求动圆圆心C（2）的轨迹M（3）的方程；（2）过点p（0，2）的直线l与轨迹M交于不同的两点E、F，求•的取值范围．21．（14分）如图，公园有一块边长为4的等边△ABC的边角地，现修成草坪，途中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．（1）设AD=x，ED=y，求用x表示y的函数关系式；（2）如果DE是灌溉水管，为了节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里；（3）如果DE是参观线路，希望它最长，DE的位置又应在哪里？22．（14分）已知函数f（x）=x2﹣4，设曲线y=f（x）在点（x n，f（x n））处的切，0）（n∈N*），其中x1为正实数．线与x轴的交点为（x n+1；（Ⅰ）用x n表示x n+1（Ⅱ）若x1=4，记a n=lg，证明数列{a n}成等比数列，并求数列{x n}的通项公式；（Ⅲ）若x1=4，b n=x n﹣2，T n是数列{b n}的前n项和，证明T n＜3．2014-2015学年福建省厦门外国语学校高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．（5分）命题∀x∈R，x2﹣x≥0的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣x≥0 B．∃x∈R，x2﹣x≥0 C．∀x∈R，x2﹣x＜0 D．∃x ∈R，x2﹣x＜0【解答】解：命题∀x∈R，x2﹣x≥0的否定是∃x∈R，x2﹣x＜0．故选：D．2．（5分）下列有关命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．命题“在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆否命题为真命题C．命题“在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2＞c2，则C为锐角”为真命题D．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题【解答】解：A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，正确；B．在△ABC中，若sinA＞sinB⇔＞0⇔A＞B，因此原命题正确，则其逆否命题为真命题，正确；C．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2＞c2，则＞0，C∈（0，π），∴C为锐角，为真命题．D．若命题p∧q为假命题，则p、q至少有一个为假命题，因此不正确．故选：D．3．（5分）设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1的直线ℓ与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，则|AB|的长为（）A．B．1 C．D．【解答】解：∵|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，∴|AF2|+|BF2|=2|AB|，∵|AF2|+|AB|+|BF2|=4a=4∴3|AB|=4∴|AB|=故选：C．4．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n．则“a1＞0”是“S3＞S2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：当公比q=1时，由a1＞0可得s3=3a1＞2a1=s2，即S3＞S2成立．当q≠1时，由于=q2+q+1＞1+q=，再由a1＞0可得＞，即S3＞S2成立．故“a1＞0”是“S3＞S2”的充分条件．当公比q=1时，由S3＞S2成立，可得a1＞0．当q≠1时，由S3＞S2成立可得＞，再由＞，可得a1＞0．故“a1＞0”是“S3＞S2”的必要条件．综上可得，“a1＞0”是“S3＞S2”的充要条件，故选：C．5．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足c=2acosB，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【解答】解：∵c=2acosB，∴c=2a•，∴a2=b2，∴a=b，∴△ABC的形状是等腰三角形．故选：A．6．（5分）若实数x，y满足，则x2+y2的最小值是（）A．B．5 C．D．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：设z=x2+y2，则z的几何意义是区域到原点距离，由图象可知当直线x+y﹣3=0与圆相切时，此时距离最短，，自原点向直线x+y﹣3=0作垂线，得距离d==，∴z=x2+y2的最小值是，故选：D．7．（5分）设等比数列{a n}的首项a1和公比q都是正数，且q≠1，则下列判断正确的是（）A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8＜a4+a5C．a1+a8=a4+a5D．a1+a8与a4+a5的大小关系不能确定【解答】解：a1+a8﹣（a4+a5）==．因为a1＞0，q＞0，所以若q＞1，则q﹣1＞0，q3﹣1＞0，所以，此时a1+a8＞a4+a5．若0＜q＜1，则q﹣1＜0，q3﹣1＜0，所以a1+a8＞a4+a5．综上：恒有a1+a8＞a4+a5．故选：A．8．（5分）关于曲线C：+=1，下列四个命题中，所有真命题的组合是（）①曲线C上的横、纵坐标的取值范围分别是﹣5≤x≤5，﹣4≤y≤4；②曲线C关于x轴、y轴都是对称的，还关于原点对称；③设P，Q是曲线C上的任意两点，则|PQ|≤10恒成立；④设M（﹣3，0），N（3，0），P是曲线C上任意的点，则|PM|+|PN|≤10恒成立．A．①②③④B．①②③C．①②④D．①②【解答】解：曲线C：+=1，①∵≤1，，解得﹣5≤x≤5，﹣4≤y≤4，曲线C上的横、纵坐标的取值范围分别是﹣5≤x≤5，﹣4≤y≤4，因此正确；②把x，y分别换成﹣x，﹣y，方程不变，因此曲线C关于x轴、y轴都是对称的，还关于原点对称；③设P，Q是曲线C上的任意两点，取P（﹣5，0），Q（5，0），则|PQ|≤10恒成立，正确；④根据对称性只要取P（x，y）是线段=1（x∈[0，5]，y∈[0，4]）上的任意一点，求出其最大值即可．由图可知当且仅当P取（5，0）时，|PM|+|PN|取得最大值10，因此可得：|PM|+|PN|≤10恒成立．综上可得：①②③④都正确．故选：A．9．（5分）过椭圆=1（a＞b＞0）的右顶点A作斜率为﹣1的直线与椭圆的另一个交点为M，与y轴的交点为B，若|AM|=|MB|则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意：右顶点A（a，0），直线l的方程为：y=﹣x+a，∴B（0．a），又∵AM=MB，∴M（，），又∵M在椭圆上，∴+=1，整理得：a2=3b2=3（a2﹣c2），∴2a2=3c2，∴e=，故选：C．10．（5分）已知函数f（x）=ax2+bx﹣2，（a＞0，b∈R）的一个零点在区间（1，2）内，则a﹣b的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）B．（﹣4，+∞）C．（﹣∞，2）D．（﹣2，+∞）【解答】解：设f（x）=ax2+bx﹣2，由题意得，f（1）•f（2）＜0，∴（a+b﹣2）（4a+2b﹣2）＜0．且a＞0．即，（不合题意舍去）视a，b为变量，作出可行域如图设z=a﹣b∴b=a﹣z，得到一簇斜率为1，截距为﹣z的平行线∴当直线b=a﹣z过（0，2）时截距最大，z最小，即a=0，b=2，又a＞0，所以z=a﹣b没有最小值，当过直线于x轴交点时，截距最小，z最大，∴a=2，b=0∴a﹣b的最大值为：2﹣0=2，无最小值，∴a﹣b的取值范围为：（﹣∞，2）；故选：C．二、填空题：本大题6小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡相应位置．11．（4分）请给出使得不等式x＞0成立的一个必要不充分条件：x＞﹣2．【解答】解：若x＞﹣2，得不到x＞0；而x＞0，能得到x＞﹣2；∴x＞﹣2是x＞0的一个必要不充分条件．故答案为：x＞﹣2．12．（4分）设直线nx+（n+1）y=（n∈N*）与两坐标轴围成的三角形的面积为S n，则S1+S2+…+S2014的值为．【解答】解：∵直线nx+（n+1）y=，∴y=﹣x+，∴直线与两坐标轴的交点为（0，），（，0），∴S n=••=﹣；∴S 1+S2+S3+…+S2014=1﹣+﹣+…+﹣=．故答案为：．13．（4分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b=1，c=，B=，则S△ABC=或．【解答】解：在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b=1，c=，B=，由正弦定理可得：sinC===，∵b＜c，∴B＜C，∴C=或．当C=时，A=，三角形的面积为：=当C=时，A=，三角形的面积为：sinA=×=．故答案为：或14．（4分）已知点A的坐标为（0，2），点B是椭圆x2+6y2=6上的动点，则|AB|的最大值为．【解答】解：化椭圆x2+6y2=6为标准方程可得，由椭圆的参数方程可得x=cosθ，y=sinθ，∴|AB|2=（cosθ﹣0）2+（sinθ﹣2）2=6cos2θ+sin2θ﹣4sinθ+4=6（1﹣sin2θ）+sin2θ﹣4sinθ+4=﹣5sin2θ﹣4sinθ+10，令sinθ=t，则t∈[﹣1，1]，∴|AB|2=﹣5t2﹣4t+10的图象为开口向下的抛物线，对称轴为t=，∴|AB|2=﹣5t2﹣4t+10在t∈[﹣1，]单调递增，在t∈[，1]单调递减，∴当t=时，|AB|2取最大值，此时|AB|取最大值故答案为：15．（4分）两个正数a，b满足2a﹣3ab+4b=0，则a+b的最小值为．【解答】解：∵两个正数a，b满足2a﹣3ab+4b=0，∴．∴a+b===，当且仅当a=b=时取等号．∴a+b的最小值为．故答案为：．16．（4分）已知函数y=f（x）满足f（3x）=3f（x），当1＜x＜3时，f（x）=1﹣|x﹣2|，那么x∈[1，3n]，n∈N*时，函数y=f（x）的图象与x轴所围成的图形面积为．【解答】解：∵函数y=f（x）满足f（3x）=3f（x），又∵当x∈[1，3]时，函数y=f（x）的图象与x轴所围成的图形面积S1==1，∴当x∈[31，32]时，函数y=f（x）的图象与x轴所围成的图形面积S2==9，当x∈[32，33]时，函数y=f（x）的图象与x轴所围成的图形面积S3==81，…当x∈[3n﹣1，3n]时，函数y=f（x）的图象与x轴所围成的图形面积S n﹣==32n﹣21此时函数y=f（x）的图象与x轴所围成的图形面积S=S1+S2+S3+…+S n=﹣1故答案为：三、解答题（共6小题，共76分）17．（12分）已知等差数列{a n}中，a2=﹣20，a1+a9=﹣28．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足a n=log2b n，设T n=b1b2…b n，且T n=1，求n的值．【解答】解：（I）设数列{a n}的公差为d，则，解得．∴a n=﹣22+2（n﹣1）=2n﹣24．（II）∵，∴．∴T n=b1•b2•…•b n=22（1+2+…+n）﹣24n=2n（n+1）﹣24n，令n（n+1）﹣24n=0，解得n=23．∴当n=23时，T n=1．18．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x 满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，p：{x|1＜x＜3}，q：{x|2＜x≤3}，又p∧q为真，所以p真且q真，由得2＜x＜3，所以实数x的取值范围为（2，3）（2）因为￢p是￢q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，又p：{x|a＜x＜3a}（a＞0），q：{x|2＜x≤3}，所以解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是（1，2]19．（12分）在△ABC中，tanA=，tanB=．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若AB边的长为，求BC边的长．【解答】解：（Ⅰ）∵C=π﹣（A+B），∴tanC=﹣tan（A+B）=﹣，又∵0＜C＜π，∴C=（Ⅱ）由且A∈（0，），得sinA=．∵，∴BC=AB•．20．（12分）一动圆恒过点A（﹣，0）且恒与定圆B：（x﹣）2+y2=12相切．（1）求动圆圆心C（2）的轨迹M（3）的方程；（2）过点p（0，2）的直线l与轨迹M交于不同的两点E、F，求•的取值范围．【解答】解：（1）定圆B：（x﹣）2+y2=12的圆心为B（，0），依题意动圆与定圆相内切，∴|MB|+|MA|=2＞2，…（3分）∴点M的轨迹是以AB、A为焦点，2为长轴上的椭圆，∵a=，c=，∴b2=1．∴点M的轨迹方程为．…（5分）（2）解：设l的方程为x=k（y﹣2）代入，消去x得：（k2+3）y2﹣4k2y+4k2﹣3=0，由△＞0得16k4﹣（4k2﹣3）（k2+3）＞0，∴0≤k2＜1，…（7分）设E（x1，y1），F（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=，又=（x1，y1﹣2），=（x2，y2﹣2），∴•=x1x2+（y1﹣2）（y2﹣2）=k（y1﹣2）•k （y2﹣2）+（y1﹣2）（y2﹣2），=（1+k2）（﹣2×+4）=9（1﹣），…（10分）∵0≤k2＜1，∴3≤k2+3＜4，∴•∈[3，）．…（12分）21．（14分）如图，公园有一块边长为4的等边△ABC的边角地，现修成草坪，途中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．（1）设AD=x，ED=y，求用x表示y的函数关系式；（2）如果DE是灌溉水管，为了节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里；（3）如果DE是参观线路，希望它最长，DE的位置又应在哪里？【解答】解：（1）在△ADE中，y2=x2+AE2﹣2x•AE•cos60°，∴y2=x2+AE2﹣x•AE，①又S=S△ABC=4=x•AE•sin60°，△ADE∴x•AE=16．②②代入①得y2=x2+﹣2（y＞0），∴y=（1≤x≤16）；（2）如果DE是水管y=≥，当且仅当x=4时“=”成立，故DE∥BC，且DE=2．如果DE是参观线路，记f（x）=x2+，可知函数在[1，4]上递减，在[4，16]上递增，故f（x）max=f（1）=f（2）=257．∴y max=．即DE为AB中线或AC中线时，DE最长．22．（14分）已知函数f（x）=x2﹣4，设曲线y=f（x）在点（x n，f（x n））处的切线与x轴的交点为（x n，0）（n∈N*），其中x1为正实数．+1；（Ⅰ）用x n表示x n+1（Ⅱ）若x1=4，记a n=lg，证明数列{a n}成等比数列，并求数列{x n}的通项公式；（Ⅲ）若x1=4，b n=x n﹣2，T n是数列{b n}的前n项和，证明T n＜3．【解答】解：（Ⅰ）由题可得f′（x）=2x．所以曲线y=f（x）在点（x n，f（x n））处的切线方程是：y﹣f（x n）=f′（x n）（x﹣x n）．即y﹣（x n2﹣4）=2x n（x﹣x n）．令y=0，得﹣（x n2﹣4）=2x n（x n﹣x n）．+1即x n2+4=2x n x n+1．显然x n≠0，∴．（Ⅱ）由，知，同理，故．=2a n．所以，数列{a n}成等比数列．从而，即a n+1故．即．从而所以（Ⅲ）由（Ⅱ）知，∴∴当n=1时，显然T 1=b 1=2＜3．当n ＞1时，∴T n =b 1+b 2+…+b n==．综上，T n ＜3（n ∈N*）．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。

2014-2015年福建省厦门外国语学校高二上学期数学期中试卷带答案(文科)

2014-2015学年福建省厦门外国语学校高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=3，b=4，C=120°，则△ABC的面积是（）A．3 B．C．6 D．2．（5分）若a、b、c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．ac＞bc B．＞0 C．（a﹣b）c2≥0 D．＜3．（5分）不等式﹣x2﹣5x+6≥0的解集为（）A．{x|x≥6或x≤﹣1}B．{x|﹣1≤x≤6}C．{x|﹣6≤x≤1}D．{x|x≤﹣6或x≥1}4．（5分）a＞0，b＞0，A是a，b的等差中项，G是a，b的正的等比中项，A，G大小关系是（）A．A≥G B．A≤GC．A=G D．A，G大小不能确定5．（5分）在△ABC中，a=3，A=30°，B=15°，则c=（）A．1 B．C．D．6．（5分）已知等差数列{a n}中，a6=5，则数列{a n}的前11项和S11等于（）A．22 B．33 C．44 D．557．（5分）原点和点（1，1）在直线x+y﹣a=0两侧，则a的取值范围是（）A．0≤a≤2 B．0＜a＜2 C．a=0或a=2 D．a＜0或a＞28．（5分）已知等比数列{a n}中，a1+a2+a3=40，a4+a5+a6=20，则前9项之和等于（）A．50 B．70 C．80 D．909．（5分）已知△ABC满足c=2acosB，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形10．（5分）下列命题正确的是（）A．B．对任意的实数x，都有x3≥x2﹣x+1恒成立．C．的最小值为2D．y=2x（2﹣x），（x≥2）的最大值为211．（5分）若A为不等式组表示的平面区域，则当a从1连续变化到2，动直线x+y=a扫过A中那部分区域的面积为（）A．2 B．1 C．D．12．（5分）将正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵．根据这个排列规则，数阵中第20行从左至右的第4个数是（）A．580 B．577 C．576 D．574二、填空题：本大题4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．13．（4分）记等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q=2，则=．14．（4分）函数y=x+（x＞1）的最小值是．15．（4分）数列{a n}的通项公式a n=ncos，其前n项和为S n，则S2013=．16．（4分）某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全部奖金的一半多一万元，第二名得余下的一半多一万元，以名次类推都得到余下的一半多一万元，到第十名恰好分完，则此单位共拿出万元资金进行奖励．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知等比数列{a n}的公比为正数，且a1=2，a3=a2+4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n•b n}的前n项和S n．18．（12分）已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且a=2．（1）若b=2，角A=30°，求角B的值；（2）若△ABC的面积S=3，，求b，c的值．△ABC19．（12分）某小型餐馆一天中要购买A，B两种蔬菜，A，B蔬菜每公斤的单价分别为2元和3 元．根据需要，A蔬菜至少要买6公斤，B蔬菜至少要买4公斤，而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过60元．（1）写出一天中A蔬菜购买的公斤数x和B蔬菜购买的公斤数y之间的满足的不等式组；并在给定的坐标系中画出不等式组表示的平面区域（用阴影表示），（2）如果这两种蔬菜加工后全部卖出，A，B两种蔬菜加工后每公斤的利润分别为2元和1元，餐馆如何采购这两种蔬菜使得利润最大，利润最大为多少元？20．（12分）已知关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+b＜0（1）若不等式的解集是{x|1＜x＜5}，求a+b的值；（2）若a≠0，b=1，求此不等式的解集．21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=9n﹣n2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（n∈N+），数列{b n}的前n项和为T n，若对任意的n∈N+，均有T n＞，求m的取值范围．22．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bsinA=﹣acosB．（1）确定角B的大小；（2）若∠ABC的角平分线BD交线段AC于D，且BD=1，设BC=x，BA=y．（ⅰ）试确定x与y的关系式；（ⅱ）记△BCD和△ABD的面积分别为S1、S2，问当x取何值时，+的值最小，最小值是多少？2014-2015学年福建省厦门外国语学校高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=3，b=4，C=120°，则△ABC的面积是（）A．3 B．C．6 D．【解答】解：∵a=3，b=4，C=120°，∴S=absinC=×3×4×=3．△ABC故选：B．2．（5分）若a、b、c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．ac＞bc B．＞0 C．（a﹣b）c2≥0 D．＜【解答】解：A．当c=0时，ac＞bc不成立；B．当c=0时，=0，故＞0不成立；C．∵a＞b，∴a﹣b＞0，又c2≥0，∴（a﹣b）c2≥0，成立．D．当a，b异号时，a＞b⇔⇔＜⇔＞，故D不成立综上可知：只有C成立．故选：C．3．（5分）不等式﹣x2﹣5x+6≥0的解集为（）A．{x|x≥6或x≤﹣1}B．{x|﹣1≤x≤6}C．{x|﹣6≤x≤1}D．{x|x≤﹣6或x≥1}【解答】解：﹣x2﹣5x+6≥0即x2+5x﹣6≤0，方程x2+5x﹣6=0的两根为1，﹣6，又y=x2+5x﹣6的图象开口向上，∴x2+5x﹣6≤0的解集为{x|﹣6≤x≤1}，故选：C．4．（5分）a＞0，b＞0，A是a，b的等差中项，G是a，b的正的等比中项，A，G大小关系是（）A．A≥G B．A≤GC．A=G D．A，G大小不能确定【解答】解：∵a＞0，b＞0，且A是a，b的等差中项，G是a，b的正的等比中项，∴，G=．由基本不等式可得：．故选：A．5．（5分）在△ABC中，a=3，A=30°，B=15°，则c=（）A．1 B．C．D．【解答】解：因为在△ABC中，a=3，A=30°，B=15°，所以C=135°，由正弦定理，∴c===．故选：C．6．（5分）已知等差数列{a n}中，a6=5，则数列{a n}的前11项和S11等于（）A．22 B．33 C．44 D．55【解答】解：由等差数列的求和公式可得：S11===11a6=11×5=55故选：D．7．（5分）原点和点（1，1）在直线x+y﹣a=0两侧，则a的取值范围是（）A．0≤a≤2 B．0＜a＜2 C．a=0或a=2 D．a＜0或a＞2【解答】解：∵原点和点（1，1）在直线x+y﹣a=0两侧，∴（0+0﹣a）（1+1﹣a）＜0，即a（a﹣2）＜0，解得0＜a＜2，故选：B．8．（5分）已知等比数列{a n}中，a1+a2+a3=40，a4+a5+a6=20，则前9项之和等于（）A．50 B．70 C．80 D．90【解答】解：设a7+a8+a9=x，由题意知202=40x，解得x=10．∴S9=40+20+10=70．故选：B．9．（5分）已知△ABC满足c=2acosB，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【解答】解：在△ABC中，∵c=2acosB，∴由正弦定理==2R得：2RsinC=2•2RsinAcosB，∴sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，整理得：sin（A﹣B）=0，又A、B分别为△ABC的内角，∴A=B，∴△ABC的形状是等腰三角形，故选：A．10．（5分）下列命题正确的是（）A．B．对任意的实数x，都有x3≥x2﹣x+1恒成立．C．的最小值为2D．y=2x（2﹣x），（x≥2）的最大值为2【解答】解：因为⇔⇔⇔⇔70＜42，显然不成立，所以A错；因为x3﹣（x2﹣x+1）=（x3﹣1）﹣（x2﹣x）=（x﹣1）（x2+x+1）﹣x（x﹣1）=（x ﹣1）（x2+1），所以对任意的实数x，x3﹣（x2﹣x+1）≥0不恒成立，只有x≥1，才恒成立，故B错；因为≥当且仅当x=0时y取最小值2，所以C正确；因为y=2x（2﹣x）=﹣2（x﹣1）2+2，当x≥2时，函数为减函数，x=2，y取最大值0，所以D错．故选：C．11．（5分）若A为不等式组表示的平面区域，则当a从1连续变化到2，动直线x+y=a扫过A中那部分区域的面积为（）A．2 B．1 C．D．【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图：当a从1连续变化到2，动直线x+y=a扫过A中那部分区域对应的不等式为1≤x+y≤2，对应的平面区域如图阴影部分，由，解得，即A（），∵C（0，1），B（0，2），∴三角形ABC的面积为，故选：D．12．（5分）将正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵．根据这个排列规则，数阵中第20行从左至右的第4个数是（）A．580 B．577 C．576 D．574【解答】解：设各行的首项组成数列{a n}，则a2﹣a1=3，a3﹣a2=6，…，a n﹣a n﹣1=3（n﹣1）叠加可得：a n﹣a1=3+6+…+3（n﹣1）=，∴a n=+1，∴a20==571∴数阵中第20行从左至右的第4个数是571+9=580，故选：A．二、填空题：本大题4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．13．（4分）记等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q=2，则=．【解答】解：由题意可得===故答案为：14．（4分）函数y=x+（x＞1）的最小值是5．【解答】解：∵x＞1，∴x﹣1＞0．∴函数y=x+=（x﹣1）++1=5，当且仅当x﹣1=2，即x=3时取等号．故答案为：5．15．（4分）数列{a n}的通项公式a n=ncos，其前n项和为S n，则S2013=1006．【解答】解：∵==0，=﹣（4n+2），=0，=4n+4．∴a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=2，于是=1006．故答案为1006．16．（4分）某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全部奖金的一半多一万元，第二名得余下的一半多一万元，以名次类推都得到余下的一半多一万元，到第十名恰好分完，则此单位共拿出2046万元资金进行奖励．【解答】解：设第十名到第一名得到的奖金分别是a1，a2，…，a10，则a n=S n+1∴a1=2，a n﹣a n﹣1=a n∴a n=2a n﹣1则每人所得奖金数组成一个以2为首项，公比为2的等比数列，所以S10==2046故答案为2046．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知等比数列{a n}的公比为正数，且a1=2，a3=a2+4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n•b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设数列{a n}的公比为q，且q＞0．由a1=2，a3=a2+4得2q2=2q+4，化为q2﹣q﹣2=0，又q＞0，解得q=2．∴数列{a n}的通项公式．（2）∵{b n}是首项为1，公差为2的等差数列．∴b n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．∴a n•b n=（2n﹣1）×2n．∴…+（2n﹣3）×2n﹣1+（2n﹣1）×2n，∴+（2n﹣3）×2n+（2n﹣1）×2n+1．两式相减可得：﹣（2n﹣1）×2n+1==（3﹣2n）×2n+1﹣6，∴．18．（12分）已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且a=2．（1）若b=2，角A=30°，求角B的值；=3，，求b，c的值．（2）若△ABC的面积S△ABC【解答】解：（1）根据正弦定理得，sinB=═．…（4分）∵b＞a，∴B＞A=30°，∴B=60°或120°．…（6分）（2）∵＞0，且0＜B＜π，∴sinB=…（8分）=acsinB=3，∵S△ABC∴，∴c=5．…（10分）∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得…（12分）19．（12分）某小型餐馆一天中要购买A，B两种蔬菜，A，B蔬菜每公斤的单价分别为2元和3 元．根据需要，A蔬菜至少要买6公斤，B蔬菜至少要买4公斤，而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过60元．（1）写出一天中A蔬菜购买的公斤数x和B蔬菜购买的公斤数y之间的满足的不等式组；并在给定的坐标系中画出不等式组表示的平面区域（用阴影表示），（2）如果这两种蔬菜加工后全部卖出，A，B两种蔬菜加工后每公斤的利润分别为2元和1元，餐馆如何采购这两种蔬菜使得利润最大，利润最大为多少元？【解答】解：（1）依题意，A蔬菜购买的公斤数x和B蔬菜购买的公斤数y之间的满足的不等式组如下：…（3分）画出的平面区域如图．…（6分）（2）设餐馆加工这两种蔬菜利润为z元，则目标函数为z=2x+y…（7分）∵y=﹣2x+z∴z表示过可行域内点斜率为﹣2的一组平行线在y轴上的截距．联立解得即B（24，4）…（9分）∴当直线过点B（24，4）时，在y轴上的截距最大，即z max=2×24+4=52…（11分）答：餐馆应购买A蔬菜24公斤，B蔬菜4公斤，加工后利润最大为52元．…（12分）20．（12分）已知关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+b＜0（1）若不等式的解集是{x|1＜x＜5}，求a+b的值；（2）若a≠0，b=1，求此不等式的解集．【解答】解：（1）∵不等式的解集是{x|1＜x＜5}，∴a＞0，且1和5是方程ax2﹣（a+1）x+b=0的两根，∴，解得，∴．（2）若a≠0，b=1，此不等式为ax2﹣（a+1）x+1＜0，∴（ax﹣1）（x﹣1）＜0，∴，①若，此不等式解集为，②若，此不等式解集为∅，③若，此不等式解集为，④若，此不等式解集为．21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=9n﹣n2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（n∈N+），数列{b n}的前n项和为T n，若对任意的n∈N+，均有T n＞，求m的取值范围．【解答】解：（1）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=9n﹣n2﹣（﹣n2+11n﹣10）=﹣2n+10…（5分）又a 1=S1=8，适合上式…（6分）所以a n=10﹣2n（n∈N*）…（7分）（2）因为b n==（﹣）…（10分）所以T n=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）…（12分）又因为对任意的n∈N*，T n＞恒成立，所以（T n）min＞…（13分）因为当n=1时，（T n）min=，所以＞…（14分）解之得1＜m＜2 …（16分）22．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bsinA=﹣acosB．（1）确定角B的大小；（2）若∠ABC的角平分线BD交线段AC于D，且BD=1，设BC=x，BA=y．（ⅰ）试确定x与y的关系式；（ⅱ）记△BCD和△ABD的面积分别为S1、S2，问当x取何值时，+的值最小，最小值是多少？【解答】解：（1）∵在△ABC中，根据正弦定理得，∴bsinA=asinB．又∵由已知得，∴sinB=﹣cosB，可得，∵在△ABC中，0＜B＜π，∴；（2）（ⅰ）∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD=．=S△BCD+S△ABD，BD=1、BC=x且BA=y．∵S△ABC∴=x•sin+xy•sin，即，化简得xy=x+y，即为所求x与y的关系式；（ⅱ）由（i）可得：在△BCD中，S1=×1×x×=x，∴S12=x2，可得=．同理可得=．∴+=）=×=×=×=．又∵x＞0，y＞0．∴当且仅当x=y时等号成立．由此可得即xy≥4．∴，可得，整理得．因此，+=×≥×又∵当x=y时，△ABC为等腰三角形，∴此时∠A=∠C=∴在△BCD中，∠BDC=，∠C=，∴BC=2BD=2，可得x=2综上所述，当x=2时，+的值最小为．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +b-a45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°E-aaBE挖掘图形特征：x-a a-a运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．DE2.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．ABFEDCF。

厦门高二上数学期中试卷(文)及答案

绝密★启用前-厦门高二年级上学期期中考试数学试题（文科）命题时间：2014-11-03注意事项：1. 本试题共分三大题，全卷共150分。

考试时间为120分钟。

2．第I 卷必须使用2B 铅笔填涂答题卡相应题目的答案标号，修改时，要用橡皮擦干净。

3. 第II 卷必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写在答题纸的指定位置，在草稿纸和本卷上答题无效。

作图时，可用2B 铅笔，要求字体工整、笔迹清晰。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题(本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求.)1．若,,a b c R ∈，a b >，则下列不等式成立的是（）A ．b a 11<B ．22a b > C ．1122+>+c b c a D ．||||a c b c > 2．在ABC ∆中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于（） A ．1:2:3 B ．32 C ．3:2:1 D ．233．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于（） A ．13 B ．35 C ．49 D ． 634．在ABC ∆中，2a =，22b =45B =，则角A 等于（）A ．30B ．30或150C ．60 D.60或1205.公差不为0的等差数列{}n a 中，236,,a a a 依次成等比数列，则公比等于（）A.21 B.31C.2D.3 6．已知点()3,1和()4,6-在直线320x y a -+=的两侧，则a 的取值范围是（）A ．7a <-或24a > B.7a =或24 C ．724a -<<D.247a -<<7.已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（） A ．21 B ．20 C ．19 D ．188.关于x 的不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<的解集为{|}x x R ∈，则a 的取值范围为（） A. (,2]-∞ B. (,2)-∞ C. (2,2]- D. (2,2)-9.已知9,,,121a a 四个数成等差数列，9,,,,1321b b b 五个数成等比数列，则)(122a a b -等于A. 8B.－8C. 8±D.89（） 10．如图，B C D ,,三点在地面同一直线上，DC =100米，从D C ,两点测得A 点仰角分别是60°，30°，则A 点离地面的高度AB 等于（） A ．3 B ．1003 C ．50米 D ．100米11.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、，若cos cos a A b B ⋅=,则ABC ∆的形状为（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形12．在一个数列中，如果∀n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12.的值是（） A. 2047 B. 128 C. 64 D. 28第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13.已知三角形的三边长分别为5,7,8，则该三角形最大角与最小角之和为．14.已知,x y 满足约束条件,1,1.y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值为．15.已知第一象限的点()P a b ，在直线210x y +－＝上，则11a b+的最小值为． 16．把数列{}12+n 依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，……循环分为：(3)，(5,7)，(9,11,13)， (15,17,19,21)，(23)，(25,27)，(29,31,33)，(35,37,39,41),…… 则第60个括号内各数之和为__________.三、解答题:本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知不等式2320ax x -+>，（1）若2a =-，求上述不等式的解集；（2）不等式2320ax x -+>的解集为{|1}x x x b <>或，求a b ,的值.18.(本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是 c b a ,,,且2=a , 4cos 5B = ．（1）若3b =, 求sin A 的值.（2）若△ABC 的面积3ABC S ∆=，求,b c 的值.19.(本小题满分12分)设数列{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且13a +，23a ，34a +构成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）令231log 12nn b a n +==，，，，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．(本题满分12分)如图，在ABC ∆中，BC 边上的中线AD 长为3，且10cos 8B =，1cos 4ADC ∠=-．（1）求sin BAD ∠的值；（2）求AC 边的长．A21 （本小题满分12分）某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？22. (本小题满分14分)已知数列{}n a 的前n 项和为S n ,且211122n S n n =+;数列{b }n 满足： 2120n n n b b b ++-+=(n *∈N )，且311b =，129153b b b +++=。

2014-2015年福建省厦门二中高二上学期数学期中试卷及参考答案

2014-2015学年福建省厦门二中高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）不等式x2≥2x的解集是（）A．{x|x≥2}B．{x|x≤2}C．{x|0≤x≤2}D．{x|x≤0或x≥2}2．（5分）数列：的一个通项公式为（）A．B．C．D．3．（5分）在△ABC中，a=1，b=，∠A=，则∠B等于（）A．B．或C．或D．4．（5分）某礼堂的座椅第一排有5个座位，第二排有7个座位，第三排有9个座位，依此类推，那么第十五排的座位个数是（）A．27 B．33 C．45 D．515．（5分）不等式x﹣2y+6＞0表示的区域是在直线x﹣2y+6=0的（）A．左上方B．左下方C．右上方D．右下方6．（5分）若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）A．B．a2＞b2C．D．a|c|＞b|c|7．（5分）在△ABC中，若（a+c）（a﹣c）=b（b+c），则∠A=（）A．90°B．60°C．120° D．150°8．（5分）不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，则（）A．a＜0，△＜0 B．a＜0，△≤0 C．a＞0，△≥0 D．a＞0，△≤0 9．（5分）已知{a n}是等差数列，a7+a13=20，则a9+a10+a11=（）A．36 B．30 C．24 D．1810．（5分）已知正数x，y满足x+2y=1，则的最小值为（）A．6 B．5 C．D．11．（5分）已知等比数列{a n}的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为（）A．15 B．17 C．19 D．2112．（5分）已知x、y满足条件则2x+4y的最小值为（）A．6 B．﹣6 C．12 D．﹣12二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．13．（4分）不等式＜0的解集是．14．（4分）在△ABC中，若a=9，b=10，c=12，则△ABC的形状是．15．（4分）数列1，2，3，4，5，…，的前n项之和等于．16．（4分）观察如图的三角数阵，该数阵第20行的所有数字之和为．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）解下列不等式：（1）﹣x2+x＜4；（2）（3x﹣4）x+1＜0．18．（12分）在△ABC中，已知，b=2，C为锐角，△ABC的面积S=，求第三边c．19．（12分）等比数列{a n}中，已知a2=2，a5=16（1）求数列{a n}的通项a n（2）若等差数列{b n}，b1=a5，b8=a2，求数列{b n}前n项和S n，并求S n最大值．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA=acosC 1）求角C大小；（2）求sinA﹣cos（B+）的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．21．（12分）某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图形如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计，试设计污水处理池的长与宽，使总造价最低，并求出最低总造价．22．（14分）若S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列．（1）求等比数列S1，S2，S4的公比；（2）若S2=4，求{a n}的通项公式；（3）设b n=，T n是数列{b n}的前n项和，求使得T n＞对所有n∈N*都成立的最大正整数m．2014-2015学年福建省厦门二中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）不等式x2≥2x的解集是（）A．{x|x≥2}B．{x|x≤2}C．{x|0≤x≤2}D．{x|x≤0或x≥2}【解答】解：∵x2≥2x，∴x2﹣2x≥0．解方程x2﹣2x=0，得x1=0，x2=2，∴不等式x2≥2x的解集是{x|x≤0或x≥2}．故选：D．2．（5分）数列：的一个通项公式为（）A．B．C．D．【解答】解：设c n={1，﹣1，1，﹣1，…}={（﹣1）n+1}，={}，∴{}={c n•b n}={}，故选：B．3．（5分）在△ABC中，a=1，b=，∠A=，则∠B等于（）A．B．或C．或D．【解答】解：已a=1，b=，∠A=，利用正弦定理知：解得：sinB=由于a＜b所以：B=故选：B．4．（5分）某礼堂的座椅第一排有5个座位，第二排有7个座位，第三排有9个座位，依此类推，那么第十五排的座位个数是（）A．27 B．33 C．45 D．51【解答】解：由于第一排有5个座位，第二排有7个座位，第三排有9个座位，∴5，7，9，…构成一个等差数列，第十五排的座位个数是它的第15项，∴第十五排的座位个数是5+（15﹣1）×2=33．故选：B．5．（5分）不等式x﹣2y+6＞0表示的区域是在直线x﹣2y+6=0的（）A．左上方B．左下方C．右上方D．右下方【解答】解：如图，因为（0，0）满足不等式x﹣2y+6＞0，所以不等式表示的区域是直线x﹣2y+6=0的右下方．故选：D．6．（5分）若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）A．B．a2＞b2C．D．a|c|＞b|c|【解答】解：对于A，取a=1，b=﹣1，即知不成立，故错；对于B，取a=1，b=﹣1，即知不成立，故错；对于D，取c=0，即知不成立，故错；对于C，由于c2+1＞0，由不等式基本性质即知成立，故对；故选：C．7．（5分）在△ABC中，若（a+c）（a﹣c）=b（b+c），则∠A=（）A．90°B．60°C．120° D．150°【解答】解：由（a+c）（a﹣c）=b（b+c）变形得：a2﹣c2=b2+bc，即a2=c2+b2+bc根据余弦定理得cosA===﹣，因为A为三角形的内角，所以∠A=120°．故选：C．8．（5分）不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，则（）A．a＜0，△＜0 B．a＜0，△≤0 C．a＞0，△≥0 D．a＞0，△≤0【解答】解：∵不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，∴a＜0，△＜0．故选：A．9．（5分）已知{a n}是等差数列，a7+a13=20，则a9+a10+a11=（）A．36 B．30 C．24 D．18【解答】解：由条件利用等差数列的性质可得a7+a13=20=2a10，∴a10=10，∴a9+a10+a11 =3a10=30，故选：B．10．（5分）已知正数x，y满足x+2y=1，则的最小值为（）A．6 B．5 C．D．【解答】解：∵正数x，y满足x+2y=1，∴=+=1+++2≥3+2=3+2，当且仅当时，等号成立，故选：C．11．（5分）已知等比数列{a n}的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为（）A．15 B．17 C．19 D．21【解答】解：由题意可得，q=2，a1+a2+a3+a4=1由等比数列的通项公式可得，a5+a6+a7+a8=（a1+a2+a3+a4）q4=16所以，S8=1+16=17故选：B．12．（5分）已知x、y满足条件则2x+4y的最小值为（）A．6 B．﹣6 C．12 D．﹣12【解答】解：作出平面区域如下图所示，令z=2x+4y，欲求z的最小值，即求y=在y轴上截距的最小值．可以看出当直线过点（3，﹣3）时，纵截距最小．∴z min=2×3+4×（﹣3）=﹣6．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．13．（4分）不等式＜0的解集是{x|﹣4＜x＜2} ．【解答】解：不等式＜0等价于（x﹣2）（x+4）＜0，解得﹣4＜x＜2，故解集为{x|﹣4＜x＜2}故答案为：{x|﹣4＜x＜2}14．（4分）在△ABC中，若a=9，b=10，c=12，则△ABC的形状是锐角三角形．【解答】解：∵c=12是最大边，∴角C是最大角根据余弦定理，得cosC==＞0∵C∈（0，π），∴角C是锐角，由此可得A、B也是锐角，所以△ABC是锐角三角形故答案为：锐角三角形15．（4分）数列1，2，3，4，5，…，的前n项之和等于+1﹣．【解答】解：由题意可知数列的通项公式为：a n=n+故前n项之和为：（1）+（2）+（3）+…+（n）=（1+2+3+…+n）+（）=+=+1﹣故答案为：+1﹣16．（4分）观察如图的三角数阵，该数阵第20行的所有数字之和为4010．【解答】解：第1行，1个数，首个为1，第2行，2个数，首个为1+1，第3行，3个数，首个为1+1+2，第4行，4个数，首个为1+1+2+3，第5行，5个数，首个为1+1+2+3+4，…归纳得出：第20行，20个数，首个为1+1+2+3+4+5+..+19=191，第20行所有数之和为：=4010，故答案为：4010．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）解下列不等式：（1）﹣x2+x＜4；（2）（3x﹣4）x+1＜0．【解答】解：（1）原不等式可转化为x2﹣x+4＞0，…（2分）由方程x2﹣x+4=0的判别式△＜0知方程x2﹣x+4=0无实数根，…（4分）由二次函数y=x2﹣x+4的图象知﹣x2+x＜4的解集为R．…（6分）（2）原不等式可转化为3x2﹣4x+1＜0，…（8分）即（x﹣1）（3x﹣1）＜0，∴，…（11分）∴不等式的解集为…（12分）18．（12分）在△ABC中，已知，b=2，C为锐角，△ABC的面积S=，求第三边c．【解答】解：根据三角形的面积公式可得，∴∴∵C为锐角∴C=30°由余弦定理可得，c2=a2+b2﹣2abcosC=∴c=219．（12分）等比数列{a n}中，已知a2=2，a5=16（1）求数列{a n}的通项a n（2）若等差数列{b n}，b1=a5，b8=a2，求数列{b n}前n项和S n，并求S n最大值．【解答】解：（1）由a2=2，a5=16，得q=2，解得a1=1，从而a n=2n﹣1．…（6分）（2）由已知得等差数列{b n}，b1=a5 =16，b8=a2=2，设公差为d，则有b8﹣b1=7d，即2﹣16=7d，解得d=﹣2．故数列{b n}前n项和S n =n×16+=17n﹣n2．…（10分）由于二次函数S n 的对称轴为n=，n∈z，且对应的图象开口向下，…（12分）∴当n=8 或9时，S n有最大值为72．…（14分）20．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA=acosC 1）求角C大小；（2）求sinA﹣cos（B+）的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．【解答】解：（1）由正弦定理得sinCsinA=sinAcosC，因为0＜A＜π，所以sinA＞0．从而sinC=cosC，又cosC≠0，所以tanC=1，C=．（2）有（1）知，B=﹣A，于是sinA﹣cos（B+）=sinA+cosA=2sin（A+）．因为0＜A＜，所以＜A+＜，从而当A+=，即A=时2sin（A+）取得最大值2．综上所述sinA﹣cos（B+）的最大值为2，此时A=，B=．21．（12分）某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图形如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计，试设计污水处理池的长与宽，使总造价最低，并求出最低总造价．【解答】解：设污水处理池的宽为x米，则长为米．则总造价f（x）=400×（2x+）+248×2x+80×162=1296x++12960 =1296（x+）+12960≥1296×2×+12960=38880（元），当且仅当x=（x＞0），即x=10时，取等号．∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38880元．22．（14分）若S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列．（1）求等比数列S1，S2，S4的公比；（2）若S2=4，求{a n}的通项公式；（3）设b n=，T n是数列{b n}的前n项和，求使得T n＞对所有n∈N*都成立的最大正整数m．【解答】解：（1）∵数列{a n}为等差数列，∴S1=a1，S2=2a1+d，S4=4a1+6d，∵S1，S2，S4成等比数列，∴∴，∴∵公差为d不等于0，∴d=2a1，∴q=，（2）∵S2=4，∴2a1+d=4，∵d=2a1，∴a1=1，d=2，∴a n=2n﹣1（3）∵∴+…+=∴（T n）min=1使得T n＞对所有n∈N*都成立，等价于1＞，∴m＜20∴m的最大值为19．。

2014-2015学年福建省厦门一中高二上学期数学期中试卷带解析(文科)

2014-2015学年福建省厦门一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）设集合M={x|（x+3）（5﹣x）＞0}，N={x|log3x≥1}，则M∩N=（）A．[3，5） B．[1，3]C．（5，+∞）D．（﹣3，3]2．（5分）下列命题中，真命题是（）A．B．常数数列一定是等比数列C．一个命题的逆命题和否命题同真假D．x+≥23．（5分）若a、b为实数，则“ab＜1”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知等比数列{a n}的公比q=2，其前4项和S4=60，则a2等于（）A．8 B．6 C．﹣8 D．﹣65．（5分）等差数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣19，当S n取到最小时，n=（）A．7 B．8 C．9 D．106．（5分）设x＞0，y＞0，xy=4，则s=取最小值时x的值为（）A．1 B．2 C．4 D．87．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若角A、B、C 成等差数列，且a=3，c=1，则b的值为（）A．B．2 C．D．78．（5分）若实数x，y满足不等式组则z=2x+y+1的最小值为（）A．﹣1 B．2 C．5 D．39．（5分）已知三角形△ABC的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是（）A．18 B．21 C．24 D．1510．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=24，则k=（）A．8 B．7 C．6 D．511．（5分）已知P（x，y），A（3，1），B（1，2）在同一直线上，那么2x+4y的最小值是（）A．B．4 C．16 D．2012．（5分）已知f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称．若对任意的x，y∈R，不等式f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，则当x＞3时，x2+y2的取值范围是（）A．（3，7） B．（9，25）C．（13，49）D．（9，49）二、填空题：本大题4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．13．（4分）请写出命题“若a+b=3，则a2+b2≥4”的逆否命题：．14．（4分）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b=1，c=，∠C=，则△ABC的面积是．15．（4分）已知函数f（x）=，则不等式f（x）＞f（1）的解集是．16．（4分）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知不等式ax2+x+c＞0的解集为{x|1＜x＜3}．（Ⅰ）求a，c的值；（Ⅱ）若“ax2+2x+4c＞0”是“x+m＞0”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．18．（12分）已知实数x，y满足约束条件：（Ⅰ）请画出可行域，并求z=的最小值；（Ⅱ）若z=x+ay取最小值的最优解有无穷多个，求实数a的值．19．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和S n，公差d≠0，且a3+S5=42，a1，a4，a 13成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n}的前n项和T n．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinB=bcosA．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC周长的最大值．21．（12分）已知数列{a n}满足．﹣a n}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（1）求证：数列{a n+1（2）记数列{a n}的前n项和S n，求使得S n＞21﹣2n成立的最小整数n．22．（14分）某厂家拟在2014年举行的促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足x=3﹣（k 为常数）．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件，已知2014年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．（1）求k的值，并求年促销费用为9万元时，该厂的年产量为多少万件？（2）将2014年该产品的利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数；（3）该厂家2014年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大值．2014-2015学年福建省厦门一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）设集合M={x|（x+3）（5﹣x）＞0}，N={x|log3x≥1}，则M∩N=（）A．[3，5） B．[1，3]C．（5，+∞）D．（﹣3，3]【解答】解：∵集合M={x|（x+3）（5﹣x）＞0}={x|﹣3＜x＜5}，N={x|log3x≥1}={x|x≥3}，∴M∩N={x|3≤x＜5}=[3，5）．故选：A．2．（5分）下列命题中，真命题是（）A．B．常数数列一定是等比数列C．一个命题的逆命题和否命题同真假D．x+≥2【解答】解：对于A，sin（+α）=﹣cosα，∴A错误；对于B，常数数列不一定是等比数列，如a n=0，∴B错误；对于C，一个命题的逆命题和否命题是互为逆否命题，它们的真假性相同，∴C 正确；对于D，x＞0时，x+≥2，x＜0时，x+=﹣（﹣x+）≤﹣2，∴D错误．故选：C．3．（5分）若a、b为实数，则“ab＜1”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若a、b为实数，ab＜1，令a=﹣1，b=1，ab=﹣1＜1，推不出，若，可得b＞0，∴0＜ab＜1，⇒ab＜1，∴ab＜1”是“必要不充分条件，故选：B．4．（5分）已知等比数列{a n}的公比q=2，其前4项和S4=60，则a2等于（）A．8 B．6 C．﹣8 D．﹣6【解答】解：由题意可得，∴a1=4，a2=8故选：A．5．（5分）等差数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣19，当S n取到最小时，n=（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：∵等差数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣19，故此等差数列为递增数列，令a n≤0，求得n≤9.5，故n的最大值为9，故前9项的和最小，故选：C．6．（5分）设x＞0，y＞0，xy=4，则s=取最小值时x的值为（）A．1 B．2 C．4 D．8【解答】解：∵x＞0，y＞0，xy=4，∴s=≥2=2=4，当且仅当时，等号成立由，xy=4，得x=y=2．则s=取最小值时x的值为2．故选：B．7．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若角A、B、C 成等差数列，且a=3，c=1，则b的值为（）A．B．2 C．D．7【解答】解：∵角A、B、C 成等差数列，∴2B=A+C，又A+B+C=π，∴B=，∵a=3，c=1，cosB=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac•cosB=9+1﹣3=7，则b=．故选：C．8．（5分）若实数x，y满足不等式组则z=2x+y+1的最小值为（）A．﹣1 B．2 C．5 D．3【解答】解：画出可行域，将z=2x+y+1变形为y=﹣2x﹣1+z，画出直线y=﹣2x平移至A（0，1）时，纵截距最小，z最小故z的最小值是z=2×0+1+1=2故选：B．9．（5分）已知三角形△ABC的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是（）A．18 B．21 C．24 D．15【解答】解：不妨设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，设公差为d=2，三个角分别为、A、B、C，则a﹣b=b﹣c=2，a=c+4，b=c+2，∵sinA=，∴A=60°或120°．若A=60°，因为三条边不相等，则必有角大于A，矛盾，故A=120°．cosA====﹣．∴c=3，∴b=c+2=5，a=c+4=7．∴这个三角形的周长=3+5+7=15．故选：D．10．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=24，则k=（）A．8 B．7 C．6 D．5【解答】解：根据题意：S k+2=（k+2）2，S k=k2﹣S k=24转化为：∴S k+2（k+2）2﹣k2=24∴k=5故选：D．11．（5分）已知P（x，y），A（3，1），B（1，2）在同一直线上，那么2x+4y的最小值是（）A．B．4 C．16 D．20【解答】解：∵P（x，y），A（3，1），B（1，2）在同一直线上，=（x﹣3，y），=（﹣2，1）．∴﹣2y﹣（x﹣3）=0，即x+2y=3．∴2x+4y≥==4，当且仅当x=2y=时取等号．∴2x+4y的最小值是．故选：B．12．（5分）已知f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称．若对任意的x，y∈R，不等式f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，则当x＞3时，x2+y2的取值范围是（）A．（3，7） B．（9，25）C．（13，49）D．（9，49）【解答】解：∵函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即函数y=f（x）为奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x）又∵f（x）是定义在R上的增函数且f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立∴（x2﹣6x+21）＜﹣f（y2﹣8y）=f（8y﹣y2 ）恒成立∴x2﹣6x+21＜8y﹣y2∴（x﹣3）2+（y﹣4）2＜4恒成立设M （x，y），则当x＞3时，M表示以（3，4）为圆心2为半径的右半圆内的任意一点，则x2+y2表示在半圆内任取一点与原点的距离的平方由图可知，最短距离为OA=，最大距离OB=OC+BC=5+2=7∴13＜x2+y2＜49故选：C．二、填空题：本大题4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．13．（4分）请写出命题“若a+b=3，则a2+b2≥4”的逆否命题：若a2+b2＜4，则a+b≠3．【解答】解：命题“若a+b=3，则a2+b2≥4”的逆否命题为“若a2+b2＜4，则a+b≠3”．故答案为：若a2+b2＜4，则a+b≠3．14．（4分）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b=1，c=，∠C=，则△ABC的面积是．【解答】解：∵b=1，c=，cosC=﹣，∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，得：3=a2+1+a，即（a+2）（a﹣1）=0，解得：a=1，a=﹣2（舍去），则S=absinC=×1×1×=．△ABC故答案为：15．（4分）已知函数f（x）=，则不等式f（x）＞f（1）的解集是（﹣∞，1）∪（1，+∞）．【解答】解：当x＞1时，由f（x）＞f（1）得：2x＞=2，∵y=2x为增函数，解得：x＞1；综上知，x＞1；当x≤1时，由f（x）＞f（1）得：＞=log24，∵y=2x为增函数，∴x2﹣6x+9＞4，解得：x＞5或x＜1，又x≤1，∴x＜1，综上知，不等式f（x）＞f（1）的解集是（﹣∞，1）∪（1，+∞）．故答案为：（﹣∞，1）∪（1，+∞）．16．（4分）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为10和11．【解答】解：设树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为x则各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和为：S=|1﹣x|×10+|2﹣x|×10+…+|20﹣x|×10若S取最小值，则函数y=（1﹣x）2+（2﹣x）2+…+（20﹣x）2=20x2﹣420x+（12+22+202）也取最小值由二次函数的性质，可得函数y20x2﹣420x+（12+22+202）的对称轴为y=10.5又∵为正整数，故x=10或11故答案为：10或11三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知不等式ax2+x+c＞0的解集为{x|1＜x＜3}．（Ⅰ）求a，c的值；（Ⅱ）若“ax2+2x+4c＞0”是“x+m＞0”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意得，1、3是方程ax2+x+c=0的两根，且a＜0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）解得，；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得a=﹣，c=﹣，所以，ax2+2x+4c＞0即为﹣x2+2x﹣3＞0，解得，2＜x＜6，又x+m＞0 解得x＞﹣m，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∵“ax2+2x+4c＞0”是“x+m＞0”的充分不必要条件，∴{x|2＜x＜6}⊊}x|x＞﹣m}，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∴﹣m≤2，即m≥﹣2，∴m的取值范围是[﹣2，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）18．（12分）已知实数x，y满足约束条件：（Ⅰ）请画出可行域，并求z=的最小值；（Ⅱ）若z=x+ay取最小值的最优解有无穷多个，求实数a的值．【解答】解：（Ⅰ）如图示画出可行域：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∵表示（x，y）与（1，0）连线的斜率，如图示，得，即A（3，4），∴当x=3，y=4时，z取最小值=2．﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）取z=0得直线l：y=﹣x，∵z=x+ay取最小值的最优解有无穷多个，如图示可知：﹣=k BC=2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∴a=﹣．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）19．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和S n，公差d≠0，且a3+S5=42，a1，a4，a13成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}的前n项和S n，公差d≠0，且a 3+S5=42，a1，a4，a13成等比数列，∴，解得a 1=3，d=2，∴a n=3+（n﹣1）×2=2n+1．（2）∵{}是首项为1，公比为3的等比数列，∴=3n﹣1，即b n=（2n+1）•3n﹣1，∴T n=3•30+5•3+7•32+…+（2n+1）•3n﹣1，①3T n=3•3+5•32+7•33+…+（2n+1）•3n，②①﹣②，得：﹣2T n=3+2（3+32+…+3n﹣1）﹣（2n+1）•3n=3+2×﹣（2n+1）•3n=3﹣3+3n﹣（2n+1）•3n=3n﹣（2n+1）•3n，∴T n=n•3n．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinB=bcosA．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC周长的最大值．【解答】解：（1）∵asinB=bcosA．∴，又由正弦定理知：∴可得sinA=，从而可解得tanA=∵0＜A＜π∴A=（2）∵由（1）可得：∴可得b=2sinB，c=2sinC∴△ABC周长L=a+b+c=1+2sinB+2sinC=1+2sin（﹣C）+2sinC=1+cosC+sinC=1+sin（C+φ）=1+sin（C+φ），其中tanφ==，故当sin（C+φ）取最大值1时，△ABC周长取最大值1+．21．（12分）已知数列{a n}满足．（1）求证：数列{a n+1﹣a n}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（2）记数列{a n}的前n项和S n，求使得S n＞21﹣2n成立的最小整数n．【解答】（1）证明：∴a n+2﹣a n+1=2（a n+1﹣a n），a2﹣a1=3∴数列{a n+1﹣a n}是以3为首项，公比为2的等比数列，∴a n+1﹣a n=3•2n﹣1（3分）∴n≥2时，a n﹣a n﹣1=3•2n﹣2，…a3﹣a2=3•2，a2﹣a1=3，以上n﹣1个式子累加得a n﹣a1=3•2n﹣2+3•2n﹣3+…+3•2+3=3（2n﹣1﹣1）∴a n=3•2n﹣1﹣2当n=1时，也满足从而可得（6分）（2）解：由（1）利用分组求和法得S n=（3•20﹣2）+（3•21﹣2）+…（3•2n﹣1﹣2）=3（20+21+…+2n﹣1）﹣2n=﹣2n=3（2n﹣1）﹣2n（9分）S n=3（2n﹣1）﹣2n＞21﹣2n，得3•2n＞24，即2n＞8=23，∴n＞3∴使得S n＞21﹣2n成立的最小整数4．（12分）22．（14分）某厂家拟在2014年举行的促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足x=3﹣（k 为常数）．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件，已知2014年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．（1）求k的值，并求年促销费用为9万元时，该厂的年产量为多少万件？（2）将2014年该产品的利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数；（3）该厂家2014年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大值．【解答】解：（1）由题意，不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件，知m=0时，x=1（万件），∴1=3﹣k，得k=2，从而x=3﹣，当m=9万元时，x=2.8，综上得，k=2，年促销费用为9万元时，该厂的年产量为2.8万件；（2）由（1）知，x=3﹣，又每件产品的销售价格为1.5×元，∴2014年的利润为y=1.5××x﹣（8+16x+m）=4+8x﹣m=28﹣﹣m（m≥0）；（3）由（2）得，y=28﹣﹣m=29﹣[+（m+1）]，∵m≥0时，+（m+1）≥2=8，∴y≤29﹣8=21，当且仅当=m+1，即m=3（万元）时取等号，此时，y max=21（万元）．答：该厂家2012年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大值为21万元．。

2014-2015年福建省厦门六中高二上学期数学期中试卷及参考答案(理科)

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三．解答题（本大题有 6 小题，共 76 分；解答应写出文字说明与演算步骤） 17．（12 分）已知 p：﹣2≤x≤10；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围． 18．（12 分）已知△ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 a=2， cosB= （Ⅰ）若 b=4，求 sinA 的值；（Ⅱ）若△ABC 的面积 S△ABC=4 求 b，c 的值． 19．（12 分）已知等差数列{an}满足 a3=15，a4+a6=22，Sn 为{an}的前 n 项和．（1）求通项公式 an 及 Sn；（2）设{bn﹣an}是首项为 1，公比为 3 的等比数列，求数列{bn}的通项公式及其前 n 项和 Tn． 20．（13 分）某家公司每月生产两种布料 A 和 B，所有原料是三种不同颜色的羊毛，下表给出了生产每匹每种布料所需的羊毛量，以及可供使用的每种颜色的羊毛的总量．已知生产每匹布料 A、B 的利润分别为 120 元、80 元．那么如何安排生产才能够产生最大的利润？最大的利润是多少？羊毛颜色每匹需要/kg 布料 A 红绿黄 4 6 2 布料 B 4 3 6 1400 1800 1800 供应量/kg
C．若 a＞﹣b，则 c﹣a＜c+b 3．（5 分）已知△ABC 中，a=2
A．450 B．1350 C．450 或 1350 D．300 或 1500 4．（5 分）某种细胞每隔 30 分钟分裂 1 次，1 个分裂成 2 个，则 1 个这样的细胞经过 4 小时 30 分钟后，可得到的细胞个数为（ A．512 B．511 C．1024 D．1023 ））

福建省厦门市2014-2015学年高二上学期期末考试数学理试题扫描版含答案

厦门市2014～2015学年（上）高二质量检测数学(理科)参考答案以及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 1—5：ABBDD 6—10： CBCDA二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11. 12. {2x x <或3}x > 13. 3π14. 必要不充分 15. 24 16. 4（或8，12，16，…）三、解答题：本大题共6小题，共76分. 17.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵4cos 5B =，0B π<<，∴3sin 5B ==； ………………2分由正弦定理，sin sin a bA B=，又a = 4，b = 3， ∴34sin 45sin 35a B Ab ⨯===. ……………………………6分（Ⅱ）由面积公式，得1sin 2ABC S ac B ∆=，∴131225ac ⨯=， ……………7分得10c =； …………………………………………………………9分由余弦定理，2222cos 52b a c ac B =+-=， ……………………………11分得b = ……………………………………………12分 18.（本小题满分12分）解：设安排生产甲，乙两种产品分别为x 吨，y 吨，利润为z 万元，那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+.0,0,20054,36049,300103y x y x y x y x ……………6分目标函数为y x z 53+=，………………7分作出二元一次不等式组所表示的平面区域（图阴影所示），即可行域， …………9分直线053=+y x 向右上方平行移动，经过)24,20(M 时，z 取最大值180．……11分答：该厂生产甲，乙两种产品分别为20吨和24吨时，获得最大利润180万元．12分 19.（本小题满分12分）解法一：如图1，以A 为原点，分别以,,AB AD AP 的方向为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,4,0)C ，(0,4,0)D ，(0,0,2)P ，(1,2,1)M ，(2,1,0)N ,…………………3分（Ⅰ）(2,1,0),(1,2,1)AN BM ==-,……………………4分 0AN BM ∴⋅=, ……………………………………5分∴AN BM ⊥,即BM AN ⊥．………………………6分（Ⅱ）设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =, ………………7分(2,4,2),(0,4,2)PC PD =-=-，由024204200n PC x y z y z n PD ⎧⋅=+-=⎧⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩ , …………………………………………9分解得02x z y =⎧⎨=⎩,取1y =得MBD 平面的一个法向量为(0,1,2)n =， ………………………………10分设直线MN 与平面PCD 所成角为θ，则由(1,1,1)MN =-, …………………11分得sin |cos ,|||||||3MN n MN n MN n θ⋅=<>===⋅12分解法二：（Ⅰ）如图2，连结,AC BD ，交于点O ，连结OM ,易知//OM PA ，………………………………………1分又PA ⊥面ABCD ，故OM ⊥面ABCD ， …………2分又AN ABCD ⊆面，故OM ⊥AN ， ………………3分易由平面几何知识知BD AN ⊥， …………………4分又BD ⊆面MBD ，OM ⊆面MBD ，且O OM BD =⋂, 所以AN MBD ⊥面， ………………………………5分而BM MBD ⊆面，故AN BM ⊥． ………………6分（Ⅱ）同解法1.20.（本小题满分13分）解法一：（Ⅰ）()2'32f x x ax b =++， ………………………………………………………1分依题意()'14f =，所以21a b +=， ①………………………………………2分又由41y x =-得()13f =，即1a b +=， ② …………………………………3分由①，②解得0,1a b ==，所以()31f x x x =++． ………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得()31f x x x =++，与1y kx =-联立，得()3120x k x +-+=， ………………………6分易知0x =不是方程的解，所以221k x x=++（*），设()221g x x x=++，则()()322212'2x g x x x x -=-=，令()'0g x =，则1x =，………………8分当()1,x ∈+∞时()'g x >当()0,1x ∈时()'0g x <当(),0x ∈-∞时()'g x <()g x 因为()14g =，当4k >因为()221g k k k =++>所以()g x 在()0,+∞又()211101g -=++=-所以()g x 在(),0-∞上与直线y k =恰有一个公共点． ……………………12分所以当且仅当4k >时直线y k =与函数()y g x =恰有三个不同的公共点，即函数()y f x =的图像与直线1y kx =-有三个公共点． ………………………13分解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）设()()312g x x k x =+-+，要使函数()y f x =的图像与直线1y kx =-有三个公共点，即()0g x =有三个不同实根，则三次函数()g x 既有极大值，也有极小值，且()()0,0,g x g x ><极大极小…8分令()'0g x =，则2310x k +-=，依题意10k ->，且12x x ==……………………………………9分 ,',x g x g x 变化情况如下表：由上表可知()(),g x gg x g ⎛==⎝极大极小， …………………10分因为1k>所以20g ⎛=> ⎝成立，……………………11分由20g =<， ………………………………………12分得1>即3113k -⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以4k >即实数k 的取值范围是4k >．……………………………………………13分21.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设点C 的坐标为(,)x y ，因为点A 的坐标是)0,(a -，所以，直线AC 的斜率)AC yk x a x a =≠-+（， …………………………………1分同理，直线BC 的斜率)BCy k x a x a=≠-（， …………………………………2分由已知有22()y y b x a x a x a a ⋅=-≠±+-， …………………………………3分化简，得点C 的轨迹E 的方程为22221().x y x a a b+=≠± ……………………6分（注：缺失条件()x a ≠±扣1分）（Ⅱ）设直线OP 的方程为y kx =(0)k ≠，由2222,1.y kx x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得222222()0,a k b x ab +-=P x = ， ……………………………………………………………8分∴P OP ==…………………………………………10分2222222(1)a b k OP a k b +=+，同理，22222222222221(1)(1)a b a b k k OQ a b k a b k ++==+⨯+ ， ………………………………11分 2222222222222211(1)(1)a k b a b k a b k a b k OP OQ ++∴+=+++ 2222222222()(1)(1)a b k a b a b k a b+++==+. ………………………………13分 22.（本题满分14分）解：（Ⅰ）依题意，()1*3n n a n N -=∈． ………………………………………………3分（Ⅱ）由（1）得13n n a -=，所以()()1*131n n b n N n n -=+∈+，………………………4分 131111111312231n n S n n -⎛⎫=+-+-++- ⎪-+⎝⎭31131112121n n n n -+=+-=-++． ……………………………………………6分（Ⅲ）由（Ⅱ）知31121n n S n +=-+，所以13112n n n c S n +=+=+，…………………7分记()()ln 1g x x x =+-，则()1'111x g x x x=-=-++，当0x >时()'0g x <，()g x 在()0,+∞上单调递减，所以()()00g x h <=，即当0x > 时()ln 1x x +<，…………………………………………………………9分又因为131n -≥，所以()131231n n -+≥+， ………………………………………10分 ()()224343ln 13131n n n n ⎛⎫⨯⨯ ⎪+< ⎪++⎝⎭()()()()11143233131231311133311n n n n n n n n ---⨯⨯++++⎛⎫≤==-+ ⎝+⎪⎭ ……………………………………12分因此()()()2221212ln 111n f f f n c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()2221212ln 1ln 1ln 1n f f f n c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2231111111113()()()()1131313131313131n n -⎡⎤<-+-+-++-⎢⎥++++++++⎣⎦ 3332312n =-<+即()()()322221212111nf f f nec c c⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对任意正整数n恒成立.………14分。

福建省厦门市高二上学期期中数学试卷

福建省厦门市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分） (2015高二上·城中期末) 如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是（）A . （﹣3，﹣1）∪（1，3）B . （﹣3，3）C . [﹣1，1]D . （﹣3，﹣1]∪[1，3）2. （2分） (2019高一上·淮阳月考) 一平面四边形的直观图如图所示，其中，，，则四边形的面积为（）A .B .C . 3D .3. （2分） (2018高二上·嘉兴月考) 方程x2＋y2＋x＋y－m＝0表示一个圆，则m的取值范围是（）A . m>－B . m<－C . m≤－D . m≥－4. （2分）平面a外有两条直线m和n，如果m和n在平面a内的射影分别是和，给出下列四个命题：①②③与相交m与n相交或重合④与平行m与n平行或重合，其中不正确的命题的个数是（）A . 4个B . 3个C . 2个D . 15. （2分） (2019高三上·荆门月考) 满足条件的面积的最大值是（）A .B .C .D .6. （2分）圆和圆的位置关系是（）A . 外切B . 内切C . 外离D . 内含7. （2分）已知正四棱台的上、下底面边长分别为3和6，其侧面积等于两底面积之和，则该正四棱台的高是（）A . 2B .C . 3D .8. （2分）下列命题中，m、n表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面．①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ.则正确的命题是（）A . ①③B . ②③C . ①④D . ②④二、填空题 (共7题；共8分)9. （1分） (2016高二下·江门期中) 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．10. （1分） (2019高二上·遵义期中) 已知矩形的长，宽，将其沿对角线折起，得到四面体，如图所示：则四面体体积的最大值为________.11. （2分） (2016高三上·台州期末) 某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为6的正方形，俯视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该几何体的体积是________，表面积是________12. （1分） (2020高一下·鸡西期末) 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，现有如下四个结论：① ；②平面EFC//平面BD③异面直线所成的角为定值；④三棱锥的体积为定值，其中正确结论的序号是________．13. （1分） (2016高二上·汕头期中) 若点P在直线l1：x+y+3=0上，过点P的直线l2与曲线C：（x﹣5）2+y2=16只有一个公共点M，则|PM|的最小值为________．14. （1分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，P是面对角线BC1上一动点，Q是底面ABCD上一动点，则D1P+PQ的最小值为________15. （1分） (2020高二下·虹口期末) 已知点，圆上的两个点､满足（），则的最大值为________.三、解答题 (共5题；共50分)16. （10分） (2017高二下·大名期中) 如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE= ，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2．（1）证明：AG∥平面BDE．（2）求平面BDE和平面ADE所成锐二面角的余弦值．17. （10分） (2018高三上·山西期末) 已知坐标平面上动点与两个定点，，且.（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）记（1）中轨迹为，过点的直线被所截得的线段长度为8，求直线的方程.18. （10分） (2018高三上·杭州期中) 如图，在菱形中，，点为中点，平面（1）求证：平面 .（2）若，，求直线与平面所成角的正弦值.19. （10分） (2019高二下·蕉岭月考) 如图，在底面是正方形的四棱锥中，平面，交于点 , 是的中点，为上一动点．（1）求证：；（2）若是的中点，，求点到平面的距离.20. （10分） (2017高一上·石嘴山期末) 已知圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，P点坐标为（2，3），求：（1）过P点的圆的切线长．（2）过P点的圆的切线方程．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：二、填空题 (共7题；共8分)答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：三、解答题 (共5题；共50分)答案：16-1、答案：16-2、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：。

数学上学期期中试题-师大附中2014-2015学年高二上学期期中考试数学试题及答案(文)

福建师大附中2014-2015学年第一学期模块考试卷高二数学必修5(文科)（满分：150分，时间：120分钟）说明：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，请将答案填写在答卷上，考试结束后只交答案卷.第I 卷共100分一、选择题：（每小题5分，共45分，四个选项中，只有一项符合要求）1. 等比数列{}n a 的中, 若363,24,a a ==则q =（） A. -3 B ．3 C ． -2 D ．2 2．已知{}{}2,(3)(1)0A x x B x x x =>=--<，则A B =（）A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(1,)+∞D ．(1,3) 3.下列命题中，正确的是（）A.若a b >，则22ac bc > B.,32<<-a 21<<b ，则13<-<-b aC.若,0,0>>>m b a 则bma m < D.若ab >，dc >，则bd ac > 4. 在等差数列}{n a 中，36927a a a ++=，设数列}{n a 的前n 项和为n S ，则=11S ( ) A ．18B ．99C ．198D ．2975. 在ABC ∆中，030,2,8A a b ∠===，满足条件的ABC ∆（） A. 有一解 B. 有两解C.无解D. 不能确定6. 已知ABC ∆满足2cos c a B =，则ABC ∆的形状是（） A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形7．已知数列{}n a 的前n 项和251n S n n =-+,则下列说法正确的为( )A ．n S 有最小值,{}n a 是等差数列;B ．n S 有最小值,{}n a 不是等差数列;C ．n S 无最小值,{}n a 是等差数列;D ．n S 无最小值,{}n a 不是等差数列; 8. 已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东040，灯塔B 在观察站C 的南偏东060，则灯塔A 在灯塔B 的（）A.北偏东010B. 北偏西010C. 南偏东010D.南偏西010 9. 在平面直角坐标系中,若点(2,)t 在直线240x y -+=的右下方区域包括边界,则 t 的取值范围是( )A.3t <B. 3t >C. 3t ≥D. 3t ≤ 二、填空题：（每小题4分，共8分）10. 若数列{}n a 满足2111,1n n a a a +==+，则3a =______. 11．给出平面区域如下图所示，其中(1,5),(4,2),(5,7)A B C ，若目标函数(0)z ax y a =+<取得最大值的最优解有无穷多个，则a = _______.三、解答题：（本大题共4题，共47分） 12.（本小题满分12分）已知等差数列满足2414a a +=，设n S 为其前n 项和，且318S =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项;（Ⅱ）设2n n n b a =+,求数列的其前项和.13.（本小题满分11分）已知关于x 的不等式20(,)x b x c b c R ++<∈ （Ⅰ）若不等式的解集为(1,2)，求,b c 的值；（Ⅱ）若1b c =--，求该不等式的解集.{}n a {}n b n n T14．（本小题满分12分）一个小型家具厂计划生产A 型和B 型两种型号的桌子.每种都要经过打磨和上漆两道工序. 下表给出了两种型号打磨和上漆所需的时间及一个工人每天分别完成打磨和上漆工序的最长工作时间.300元, 问：A 型和B 型桌子每天各生产多少张，才能使工厂获利最大？最大值为多少元？15.(本小题满分12分）已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为c b a ,,且55sin ,5==A a ． ( I ) 若5=∆ABC S ，周长为12，求边c 的值； (Ⅱ) 若3cos 5B =，求边c 的值．第II 卷共50分一、填空题：（每小题4分，共8分）16．已知三角形的一个角为1200，三边构成公差为1的等差数列，则最大边为____________. 17. 观察以下三个等式：⑴311=；⑵33129+=；⑶33312336++=；(4)33331234100+++=，归纳其特点可以获得一个猜想是： 3333123n ++++= ___．(用n 表示)二、选择题：（每小题5分，共15分，四个选项中，只有一项符合要求） 18. 若0,22ππαβπαβ≤+≤-≤-≤，则3αβ+的取值范围为（）A ．5[0,]2π B ．[,3]ππ- C ．5[,]22ππ- D ．[0,3]π 19. 数列{}n a 的通项公式cos2n n a n π=，前n 项和为n S ，则2012S =（） A ．1006 B. 2012 C. 503 D. 020.设01,b a <<+若关于x 的不等式[(1)][(1)]0a x b a x b +--->的解集中的整数恰有3个，则（）A ．10a -<< B.01a << C.13a << D.36a << 三、解答题：（本大题共2题，共27分）. 21.（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的公差2d =,且2514,,a a a 构成等比数列． (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ) 证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++<22. （本小题满分14分）某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口的O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶. 假设该小艇沿直线方向以V 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇.(Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行时间应为多少小时？(Ⅱ)为保证小艇在30分钟内（含30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；参考答案DBCBC ABBD 10.35a =, 11. 12-, 12．解：（1）11165424141n a d a a n a d d +==⎧⎧∴∴=+⎨⎨+==⎩⎩, （2）24nn b n =++，2(54)9(2...2)2122nnn n n n n T +++∴=+++=-+13.解：(1)依题意得：121,2x x ==是相应方程20x bx c ++=的两根3,2b c ∴=-=（2）2(1)0x c x c -++<()(1)0x c x ⇔--< 当 1c =时，原不等式的解集为φ；当1c >时，原不等式的解集为(1,)c ；当1c <时，原不等式的解集为(,1)c . 综上所述：当 1c =时，原不等式的解集为φ；当1c >时，原不等式的解集为(1,)c ；当1c <时，原不等式的解集为(,1)c . 14. 解:设每天生产A 型和B 型桌子分别为y x ,张，总利润为 z （元）则由题意，得10545029069450231500,00,0x y x y x y x y x y x y +≤+≤⎧⎧⎪⎪+≤⇔+≤⎨⎨⎪⎪≥≥≥≥⎩⎩目标函数是 400300z x y =+，画图，得29023150x y x y +=⎧⎨+=⎩ 的交点是 (30,30)Pm a x 304003030021000z =⨯+⨯=（元）答：A 型和B 型桌子每天各生产30、30张，才能使工厂获利最大，最大值为21000元.15．解：(1)1sin 2ABC S bc A ∆==10bc ∴=, 又7b c +=，5c ∴=或2c =,(2) ∵cosB=35>0，且0<B<π，∴45=由正弦定理得sin sin a bA B=,b =; 再由余弦定理得:2222cos b a c ac B =+-即28025611,c c c =+-⇒=或2c =-(舍去)16.72, 17.22(1)4n n +, 18.C 19.A 20.C21.解: （1）{}n a 是公差2d =的等差数列.2514,,a a a 构成等比数列，25214a a a ∴=⋅， ()()2222824a a a +=⋅+，解得23a =,∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-.（2）()()1223111111111335572121n n a a a a a a n n ++++=++++⋅⋅⋅-+11111111123355721211111.2212n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤=⋅-<⎢⎥+⎣⎦ 22.（I）设相遇时小艇的航行距离为S 海里，则S == 故t =1/3时，S min =答:希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇的航行时间为1/3小时. （Ⅱ）设小艇与轮船在B 处相遇由题意可知，（vt ）2 =202 +（30 t ）2-2·20·30t ·cos（90°-30°），化简得：22240060013900400()6754v t t t =-+=-+ 由于0＜t ≤1/2，即1/t ≥2所以当1t=2时，v 取得最小值即小艇航行速度的最小值为/小时。