数学-北京市丰台区2016-2017学年高一(下)期末试卷(解析版)

2016-2017年北京二中高一(下)期末数学试卷(解析版)

2016-2017学年北京二中高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共14小题，每小题4分，共56分．请将答案填在涂在机读卡上）1．（4分）直线y＝x+1的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．（4分）过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2＝0平行的直线方程是（）A．x﹣2y﹣1＝0B．x﹣2y+1＝0C．2x+y﹣2＝0D．x+2y﹣1＝0 3．（4分）已知直线2x﹣y+1＝0与直线mx﹣2y﹣3＝0垂直，则m的值为（）A．4B．3C．2D．﹣14．（4分）若a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（）A．B．|a|＞|b|C．D．a2＞b25．（4分）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（）A．x2+（y﹣2）2＝1B．x2+（y+2）2＝1C．（x﹣1）2+（y﹣3）2＝1D．x2+（y﹣3）2＝16．（4分）方程x2+y2+2ax﹣by+c＝0表示圆心为C（2，2），半径为2的圆，则a，b，c的值依次为（）A．2，4，4B．﹣2，4，4C．2，﹣4，4D．2，﹣4，﹣4 7．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）A．直线AA1B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C1 8．（4分）梯形ABCD中AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是（）A．平行B．平行和异面C．平行和相交D．异面和相交9．（4分）已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，对于下列四个命题：①m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β②n∥m，n⊂α⇒m∥α③α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n④m∥α，n⊂α⇒m∥n其中正确命题的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个10．（4分）两直线3x+y﹣3＝0与6x+my+1＝0平行，则它们之间的距离为（）A．4B．C．D．11．（4分）下面给出的四个点中，到直线x﹣y+1＝0的距离为，且位于表示的平面区域内的点是（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）12．（4分）如图，已知四边形ABCD是正方形，△ABP，△BCQ，△CDR，△DAS都是等边三角形，E、F、G、H分别是线段AP、DS、CQ、BQ的中点，分别以AB、BC、CD、DA为折痕将四个等边三角形折起，使得P、Q、R、S四点重合于一点P，得到一个四棱锥．对于下面四个结论：①EF与GH为异面直线；②直线EF与直线PB所成的角为60°③EF∥平面PBC；④平面EFGH∥平面ABCD；其中正确结论的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个13．（4分）已知直线l：x+ay﹣1＝0（a∈R）是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝（）A．2B．4C．2D．614．（4分）已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B＝{（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（）A．77B．49C．45D．30二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填写在题目中的横线上）15．（5分）不等式＞1的解集为．16．（5分）设变量x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值是；z＝x2+y2的最小值是．17．（5分）圆C：x2+（y+1）2＝4关于直线x﹣y﹣1＝0对称的圆的方程是．18．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知两点A（3，0），B（0，4），点M（x，y）为直线AB上的动点，则xy的最大值是．19．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，在侧面对角线AD1上取一点M，在侧面对角线CD1上取一点N，使得线段MN平行于对角面A1ACC1，若△DMN是正三角形，则△DMN的边长为．20．（5分）已知直线系方程x cos t+（y+1）sin t＝2（其中t为参数）．当t＝时，直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积为，若该直线系中的三条直线围成正三角形区域D，则区域D的面积为．三、解答题（本大题共4小题，满分共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（16分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F，G分别为线段BC，PB，AD的中点．（1）证明：EF∥平面P AC；（2）证明：平面PCG∥平面AEF；（3）在线段BD上找一点H，使得FH∥平面PCG，并说明理由．22．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（0，﹣1）和N（2，5）．（1）若M，N是正方形一条边上的两个顶点，求这个正方形过顶点M的两条边所在直线的方程；（2）若M，N是正方形一条对角线上的两个顶点，求这个正方形另外一条对角线所在直线的方程及其端点的坐标．23．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程为：x2+y2﹣8x+11＝0，直线l的方程为（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0．（1）求证：直线l恒过定点；（2）当直线l被圆C截得的弦长最短时，求直线l的方程；（3）在（2）的前提下，若P为直线l上的动点，且圆C上存在两个不同的点到点P的距离为，求点P的横坐标的取值范围．24．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程是x2+y2﹣2y+m＝0．（1）如果圆C与直线y＝0没有公共点，求实数m的取值范围；（2）如果圆C过坐标原点，过点P（0，a）（0≤a≤2）直线l与圆C交于A，B两点，记直线l的斜率的平方为u，对于每一个确定的a，当△ABC的面积最大时，用含a的代数式表示u，并求u的最大值．2016-2017学年北京二中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共14小题，每小题4分，共56分．请将答案填在涂在机读卡上）1．（4分）直线y＝x+1的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【解答】解：设直线y＝x+1的倾斜角为α，则tanα＝，其中α∈[0°，180°）；∴α＝60°．故选：B．2．（4分）过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2＝0平行的直线方程是（）A．x﹣2y﹣1＝0B．x﹣2y+1＝0C．2x+y﹣2＝0D．x+2y﹣1＝0【解答】解：设直线方程为x﹣2y+c＝0，又经过（1，0），∴1﹣0+c＝0故c＝﹣1，∴所求方程为x﹣2y﹣1＝0；故选：A．3．（4分）已知直线2x﹣y+1＝0与直线mx﹣2y﹣3＝0垂直，则m的值为（）A．4B．3C．2D．﹣1【解答】解：直线2x﹣y+1＝0与直线mx﹣2y﹣3＝0垂直，∴2×＝﹣1，解得m＝﹣1．故选：D．4．（4分）若a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（）A．B．|a|＞|b|C．D．a2＞b2【解答】解：∵a＜b＜0，∴|a|＞|b|，a2＞b2，可知：B，D正确．∵a＜b＜0，∴ab＞0，∴＜，化为：＜．可知：A不正确，C正确．故选：A．5．（4分）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（）A．x2+（y﹣2）2＝1B．x2+（y+2）2＝1C．（x﹣1）2+（y﹣3）2＝1D．x2+（y﹣3）2＝1【解答】解法1（直接法）：设圆心坐标为（0，b），则由题意知，解得b＝2，故圆的方程为x2+（y﹣2）2＝1．故选A．解法2（数形结合法）：由作图根据点（1，2）到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为x2+（y﹣2）2＝1故选A．解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除B，D，又由于圆心在y轴上，排除C．故选：A．6．（4分）方程x2+y2+2ax﹣by+c＝0表示圆心为C（2，2），半径为2的圆，则a，b，c的值依次为（）A．2，4，4B．﹣2，4，4C．2，﹣4，4D．2，﹣4，﹣4【解答】解：由x2+y2+2ax﹣by+c＝0得，圆心坐标是（﹣a，），半径为r2＝，因圆心为C（2，2），半径为2，解得a＝﹣2，b＝4，c＝4，故选：B．7．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）A．直线AA1B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C1【解答】解：根据异面直线的概念可看出直线AA1，A1B1，A1D1都和直线EF为异面直线；B1C1和EF在同一平面内，且这两直线不平行；∴直线B1C1和直线EF相交，即选项D正确．故选：D．8．（4分）梯形ABCD中AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是（）A．平行B．平行和异面C．平行和相交D．异面和相交【解答】解：∵AB∥CD，AB⊂面α，CD⊄面α，∴CD∥面α，∴直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是平行或异面．故选：B．9．（4分）已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，对于下列四个命题：①m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β②n∥m，n⊂α⇒m∥α③α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n④m∥α，n⊂α⇒m∥n其中正确命题的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：①由m⊂α，n⊂α，且m∩n＝O，m∥β，n∥β⇒α∥β，故①不正确；②n∥m，n⊂α，如果m⊂α则不可能有m∥α，可得②不正确；③α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n或m，n异面，则③不正确；④m∥α，n⊂α⇒m∥n或m，n异面，则④不正确．综上可得，没有正确的命题．故选：A．10．（4分）两直线3x+y﹣3＝0与6x+my+1＝0平行，则它们之间的距离为（）A．4B．C．D．【解答】解：∵直线3x+y﹣3＝0与6x+my+1＝0平行，∴，解得m＝2．因此，两条直线分别为3x+y﹣3＝0与6x+2y+1＝0，即6x+2y﹣6＝0与6x+2y+1＝0．∴两条直线之间的距离为d＝＝＝．故选：D．11．（4分）下面给出的四个点中，到直线x﹣y+1＝0的距离为，且位于表示的平面区域内的点是（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）【解答】解．给出的四个点中，（1，1），（﹣1，1），（﹣1，﹣1）三点到直线x﹣y+1＝0的距离都为，但∵，仅有（﹣1，﹣1）点位于表示的平面区域内故选：C．12．（4分）如图，已知四边形ABCD是正方形，△ABP，△BCQ，△CDR，△DAS都是等边三角形，E、F、G、H分别是线段AP、DS、CQ、BQ的中点，分别以AB、BC、CD、DA为折痕将四个等边三角形折起，使得P、Q、R、S四点重合于一点P，得到一个四棱锥．对于下面四个结论：①EF与GH为异面直线；②直线EF与直线PB所成的角为60°③EF∥平面PBC；④平面EFGH∥平面ABCD；其中正确结论的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：折起后的四棱锥是P﹣ABCD，如图所示，对于①，由题意，EF∥AD，GH∥BC，且AD∥BC，∴EF∥GH，∴EF与GH不是异面直线，①错误；对于②，由EF∥BC知，∠PBC是异面直线EF与PB所成的角，又△PBC是等边三角形，∴∠PBC＝60°，②正确；对于③，EF∥GH，EF⊄平面PBC，GH⊂平面PBC，∴EF∥平面PBC，③正确；对于④，EF∥AD，EF⊄平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，同理，EH∥平面ABCD，且EF∩EH＝E，由EF⊂平面EFGH，EH⊂平面EFGH，∴平面EFGH∥平面ABCD，④正确；综上，其中正确的结论是②③④，共3个．故选：D．13．（4分）已知直线l：x+ay﹣1＝0（a∈R）是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝（）A．2B．4C．2D．6【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2 ＝4，表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．由题意可得，直线l：x+ay﹣1＝0经过圆C的圆心（2，1），故有2+a﹣1＝0，∴a＝﹣1，点A（﹣4，﹣1）．∵AC＝＝2，CB＝R＝2，∴切线的长|AB|＝＝6．故选：D．14．（4分）已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B＝{（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（）A．77B．49C．45D．30【解答】解：解法一：∵A＝{（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}＝{（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），B＝{（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}＝{（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}∵A⊕B＝{（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，∴A⊕B＝{（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2），（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣2，3），（﹣2，﹣3），（0，﹣3），（2，﹣3），（﹣1，3），（﹣1，﹣3），（1，3），（2，3），（0，3），（3，﹣1），（3，0）（3，1），（3，2），（3，﹣2）（﹣3，2）（﹣3，1），（1，﹣3），（﹣3，﹣1），（﹣3，0），（﹣3，﹣2）}共45个元素；解法二：因为集合A＝{（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，所以集合A中有5个元素，即图中圆中的整点，B＝{（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，中有5×5＝25个元素，即图中正方形ABCD中的整点，A⊕B＝{（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}的元素可看作正方形A1B1C1D1中的整点（除去四个顶点），即7×7﹣4＝45个．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填写在题目中的横线上）15．（5分）不等式＞1的解集为{x|1＜x＜2}．【解答】解：∵＞1，∴＞0，∴（x﹣1）（x﹣2）＜0，解得：1＜x＜2．∴不等式＞1的解集为{x|1＜x＜2}．故答案为：{x|1＜x＜2}．16．（5分）设变量x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值是8；z＝x2+y2的最小值是．【解答】解：作出变量x，y满足约束条件可行域如图，由z＝x+2y知，y＝﹣x+z，所以动直线y＝﹣x+z的纵截距z取得最大值时目标函数取得最大值．由得A（2，3）．结合可行域可知当动直线经过点A（2，3）时，目标函数取得最大值z＝2+2×3＝8．z＝x2+y2的最小值就是坐标原点与只需x+y＝1距离的平方，即：＝．故答案为：8；．17．（5分）圆C：x2+（y+1）2＝4关于直线x﹣y﹣1＝0对称的圆的方程是x2+（y+1）2＝4．【解答】解：设圆心C（0，﹣1）关于直线x﹣y﹣1＝0对称的点M的坐标为（a，b），则由，解得a＝0，b＝﹣1，故对称圆的方程为x2+（y+1）2＝4．故答案为：x2+（y+1）2＝4．18．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知两点A（3，0），B（0，4），点M（x，y）为直线AB上的动点，则xy的最大值是3．【解答】解：过A，B的直线方程为：；点M（x，y）为直线AB上的动点；∴；∴；∴xy的最大值是3．故答案为：3．19．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，在侧面对角线AD1上取一点M，在侧面对角线CD1上取一点N，使得线段MN平行于对角面A1ACC1，若△DMN是正三角形，则△DMN的边长为．【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，在侧面对角线AD1上取一点M，在侧面对角线CD1上取一点N，使得线段MN平行于对角面A1ACC1，△DMN是正三角形，∴MN∥AC，且MN＝DM＝DN＝＝＝，∴△DMN的边长为．故答案为：．20．（5分）已知直线系方程x cos t+（y+1）sin t＝2（其中t为参数）．当t＝时，直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积为，若该直线系中的三条直线围成正三角形区域D，则区域D的面积为12或．【解答】解：当t＝时，直线方程为x+（y+1）＝2，即为x+y＝3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝，则直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积为×3×＝，直线系x cos t+（y+1）sin t＝2（其中t为参数）．∵点（0，﹣1）到直线的距离d＝＝2，∴直线系都是圆C：x2+（y+1）2＝4的切线．当圆C是正三角形的内切圆时，则AB＝2•＝4，∴S＝AB2＝12，当圆C是正三角形的旁切圆时，则FC＝2r＝4，CE＝r＝2，∴FE＝2，∴AB＝2AE＝2EF tan30°＝∴S＝AB2＝综上所述该直线系中的三条直线围成正三角形区域D，则区域D的面积为12或，故答案为：，12或三、解答题（本大题共4小题，满分共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（16分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F，G分别为线段BC，PB，AD的中点．（1）证明：EF∥平面P AC；（2）证明：平面PCG∥平面AEF；（3）在线段BD上找一点H，使得FH∥平面PCG，并说明理由．【解答】解：（1）证明：∵E、F分别是BC，BP中点，∴，∵PC⊂平面P AC，EF⊄平面P AC，∴EF∥平面P AC．（2）证明：∵E、G分别是BC、AD中点，∴AE∥CG，∵AE⊄平面PCG，CG⊂平面PCG，∴AE∥平面PCG，又∵EF∥PC，PC⊂平面PCG，EF⊄平面PCG，∴EF∥平面PCG，AE∩EF＝E点，AE，EF⊂平面AEF，∴平面AEF∥平面PEG．（3）设AE，GC与BD分别交于M，N两点，易知F，N分别是BP，BM中点，∴，∵PM⊂平面PGC，FN⊄平面PGC，∴FN∥平面PGC，即N点为所找的H点．22．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（0，﹣1）和N（2，5）．（1）若M，N是正方形一条边上的两个顶点，求这个正方形过顶点M的两条边所在直线的方程；（2）若M，N是正方形一条对角线上的两个顶点，求这个正方形另外一条对角线所在直线的方程及其端点的坐标．【解答】解：（1）∵M（0，﹣1）和N（2，5），∴，则l MN：y+1＝3x，与直线MN垂直的直线斜率，l′：y+1＝，整理得所求两条直线为﹣3x+y+1＝0和x+3y+3＝0．（2）∵直线MN方程为：y﹣3x+1＝0，另外一条对角线斜率k′＝，设MN中点为G（1，2），则另一条对角线过G点，∴y﹣2＝，整理得3y+x﹣7＝0，设另外两个端点坐标分别为M′（x1′，y1′），N′（x2′，y2′），∵M′在直线3y+x﹣7＝0上，∴3y1′+x1′﹣7＝0，①且|OM|2＝|OM′|2，即，②联立①②解出或，即另外两个端点为（﹣2，3）与（4，1）．23．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程为：x2+y2﹣8x+11＝0，直线l的方程为（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0．（1）求证：直线l恒过定点；（2）当直线l被圆C截得的弦长最短时，求直线l的方程；（3）在（2）的前提下，若P为直线l上的动点，且圆C上存在两个不同的点到点P的距离为，求点P的横坐标的取值范围．【解答】解：（1）直线l的方程为（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0，∴m（2x+y﹣7）+x+y﹣4＝0，由得，即直线l过定点M（3，1）；（2）方法一：由题意可知：圆心C：（4，0），∴k MC＝﹣1，又∵所截弦长最短时，k MC•k l＝﹣1，∴k l＝1，∴直线方程为y＝x﹣2；方法二：∵圆心C（4，0）到直线（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0的距离，d＝＝＝，设弦长为a，则a2+d2＝r2，当所截弦长最短时，d取最大值，∴d＝＝，令＝t，∴d＝；令g（t）＝2t2+6t+5＝2（t2+3t+﹣）+5＝2+，当t＝﹣时，g（t）取到最小值；此时m＝＝﹣，d取最大值，弦长取最小值，直线l的方程为y﹣x+2＝0；（3）设P（x0，x0﹣2），当以P为圆心，为半径画圆P，当圆P与圆C刚好相外切时，|CP|＝＝2，解得x0＝0或x0＝6，由题意，圆P与圆心有两个交点时符合题意，∴点P横坐标的取值范围为（0，6）．24．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程是x2+y2﹣2y+m＝0．（1）如果圆C与直线y＝0没有公共点，求实数m的取值范围；（2）如果圆C过坐标原点，过点P（0，a）（0≤a≤2）直线l与圆C交于A，B两点，记直线l的斜率的平方为u，对于每一个确定的a，当△ABC的面积最大时，用含a的代数式表示u，并求u的最大值．【解答】解：（1）由x2+y2﹣2y+m＝0，可得x2+（y﹣1）2＝1﹣m．∵x2+（y﹣1）2＝1﹣m表示圆，∴1﹣m＞0，即m＜1．又∵圆C与直线y＝0无公共点，∴1﹣m＜1，即m＞0．综上，实数m的取值范围为0＜m＜1；（2）∵圆C过坐标原点，∴m＝0，则圆C的方程为x2+（y﹣1）2＝1．圆心C（0，1），半径为1．当a＝1时，直线l经过圆心C，△ABC不存在，故a∈[0，1）∪（1，2]．由题意可设直线l的方程为y＝kx+a，△ABC的面积为S，则S＝|CA|•|CB|•sin∠ACB＝sin∠ACB，∴当sin∠ACB最大时，S取得最大值．要使sin∠ACB＝，只需点C到直线l的距离等于，即．整理得：k2＝2（a﹣1）2﹣1≥0，解得a≤1﹣或a≥1+．①当a∈[0，1﹣]∪[1+，2]时，sin∠ACB最大值是1，此时k2＝2a2﹣4a+1，即u＝2a2﹣4a+1．②当a∈（1﹣，1）∪（1，1+）时，∠ACB∈（，π）．∵y＝sin x是（，π）上的减函数，∴当∠ACB最小时，sin∠ACB最大．过C作CD⊥AB于D，则∠ACD＝∠ACB，∴当∠ACD最大时，∠ACB最小．∵sin∠CAD＝，且∠CAD∈（0，），∴当|CD|最大时，sin∠CAD取得最大值，即∠CAD最大．∵|CD|≤|CP|，∴当CP⊥l时，|CD|取得最大值|CP|．∴当△ABC的面积最大时，直线l的斜率k＝0，∴u＝0．综上所述，u＝．1°a∈[0，1﹣]∪[1+，2]，u＝2a2﹣4a+1＝2（a﹣1）2﹣1，当a＝2或a＝0时，u取得最大值1．2°a∈（1﹣，1）∪（1，1+），u＝0．由1°、2°得，u的最大值是1．。

2016-2017年北京二中高一(下)期末数学试卷(解析版)

2016-2017学年北京二中高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共14小题，每小题4分，共56分．请将答案填在涂在机读卡上）1．（4分）直线y＝x+1的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．（4分）过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2＝0平行的直线方程是（）A．x﹣2y﹣1＝0B．x﹣2y+1＝0C．2x+y﹣2＝0D．x+2y﹣1＝0 3．（4分）已知直线2x﹣y+1＝0与直线mx﹣2y﹣3＝0垂直，则m的值为（）A．4B．3C．2D．﹣14．（4分）若a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（）A．B．|a|＞|b|C．D．a2＞b25．（4分）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（）A．x2+（y﹣2）2＝1B．x2+（y+2）2＝1C．（x﹣1）2+（y﹣3）2＝1D．x2+（y﹣3）2＝16．（4分）方程x2+y2+2ax﹣by+c＝0表示圆心为C（2，2），半径为2的圆，则a，b，c的值依次为（）A．2，4，4B．﹣2，4，4C．2，﹣4，4D．2，﹣4，﹣4 7．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）A．直线AA1B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C1 8．（4分）梯形ABCD中AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是（）A．平行B．平行和异面C．平行和相交D．异面和相交9．（4分）已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，对于下列四个命题：①m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β②n∥m，n⊂α⇒m∥α③α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n④m∥α，n⊂α⇒m∥n其中正确命题的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个10．（4分）两直线3x+y﹣3＝0与6x+my+1＝0平行，则它们之间的距离为（）A．4B．C．D．11．（4分）下面给出的四个点中，到直线x﹣y+1＝0的距离为，且位于表示的平面区域内的点是（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）12．（4分）如图，已知四边形ABCD是正方形，△ABP，△BCQ，△CDR，△DAS都是等边三角形，E、F、G、H分别是线段AP、DS、CQ、BQ的中点，分别以AB、BC、CD、DA为折痕将四个等边三角形折起，使得P、Q、R、S四点重合于一点P，得到一个四棱锥．对于下面四个结论：①EF与GH为异面直线；②直线EF与直线PB所成的角为60°③EF∥平面PBC；④平面EFGH∥平面ABCD；其中正确结论的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个13．（4分）已知直线l：x+ay﹣1＝0（a∈R）是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝（）A．2B．4C．2D．614．（4分）已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B＝{（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（）A．77B．49C．45D．30二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填写在题目中的横线上）15．（5分）不等式＞1的解集为．16．（5分）设变量x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值是；z＝x2+y2的最小值是．17．（5分）圆C：x2+（y+1）2＝4关于直线x﹣y﹣1＝0对称的圆的方程是．18．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知两点A（3，0），B（0，4），点M（x，y）为直线AB上的动点，则xy的最大值是．19．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，在侧面对角线AD1上取一点M，在侧面对角线CD1上取一点N，使得线段MN平行于对角面A1ACC1，若△DMN是正三角形，则△DMN的边长为．20．（5分）已知直线系方程x cos t+（y+1）sin t＝2（其中t为参数）．当t＝时，直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积为，若该直线系中的三条直线围成正三角形区域D，则区域D的面积为．三、解答题（本大题共4小题，满分共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（16分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F，G分别为线段BC，PB，AD的中点．（1）证明：EF∥平面P AC；（2）证明：平面PCG∥平面AEF；（3）在线段BD上找一点H，使得FH∥平面PCG，并说明理由．22．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（0，﹣1）和N（2，5）．（1）若M，N是正方形一条边上的两个顶点，求这个正方形过顶点M的两条边所在直线的方程；（2）若M，N是正方形一条对角线上的两个顶点，求这个正方形另外一条对角线所在直线的方程及其端点的坐标．23．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程为：x2+y2﹣8x+11＝0，直线l的方程为（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0．（1）求证：直线l恒过定点；（2）当直线l被圆C截得的弦长最短时，求直线l的方程；（3）在（2）的前提下，若P为直线l上的动点，且圆C上存在两个不同的点到点P的距离为，求点P的横坐标的取值范围．24．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程是x2+y2﹣2y+m＝0．（1）如果圆C与直线y＝0没有公共点，求实数m的取值范围；（2）如果圆C过坐标原点，过点P（0，a）（0≤a≤2）直线l与圆C交于A，B两点，记直线l的斜率的平方为u，对于每一个确定的a，当△ABC的面积最大时，用含a的代数式表示u，并求u的最大值．2016-2017学年北京二中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共14小题，每小题4分，共56分．请将答案填在涂在机读卡上）1．（4分）直线y＝x+1的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【解答】解：设直线y＝x+1的倾斜角为α，则tanα＝，其中α∈[0°，180°）；∴α＝60°．故选：B．2．（4分）过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2＝0平行的直线方程是（）A．x﹣2y﹣1＝0B．x﹣2y+1＝0C．2x+y﹣2＝0D．x+2y﹣1＝0【解答】解：设直线方程为x﹣2y+c＝0，又经过（1，0），∴1﹣0+c＝0故c＝﹣1，∴所求方程为x﹣2y﹣1＝0；故选：A．3．（4分）已知直线2x﹣y+1＝0与直线mx﹣2y﹣3＝0垂直，则m的值为（）A．4B．3C．2D．﹣1【解答】解：直线2x﹣y+1＝0与直线mx﹣2y﹣3＝0垂直，∴2×＝﹣1，解得m＝﹣1．故选：D．4．（4分）若a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（）A．B．|a|＞|b|C．D．a2＞b2【解答】解：∵a＜b＜0，∴|a|＞|b|，a2＞b2，可知：B，D正确．∵a＜b＜0，∴ab＞0，∴＜，化为：＜．可知：A不正确，C正确．故选：A．5．（4分）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（）A．x2+（y﹣2）2＝1B．x2+（y+2）2＝1C．（x﹣1）2+（y﹣3）2＝1D．x2+（y﹣3）2＝1【解答】解法1（直接法）：设圆心坐标为（0，b），则由题意知，解得b＝2，故圆的方程为x2+（y﹣2）2＝1．故选A．解法2（数形结合法）：由作图根据点（1，2）到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为x2+（y﹣2）2＝1故选A．解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除B，D，又由于圆心在y轴上，排除C．故选：A．6．（4分）方程x2+y2+2ax﹣by+c＝0表示圆心为C（2，2），半径为2的圆，则a，b，c的值依次为（）A．2，4，4B．﹣2，4，4C．2，﹣4，4D．2，﹣4，﹣4【解答】解：由x2+y2+2ax﹣by+c＝0得，圆心坐标是（﹣a，），半径为r2＝，因圆心为C（2，2），半径为2，解得a＝﹣2，b＝4，c＝4，故选：B．7．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）A．直线AA1B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C1【解答】解：根据异面直线的概念可看出直线AA1，A1B1，A1D1都和直线EF为异面直线；B1C1和EF在同一平面内，且这两直线不平行；∴直线B1C1和直线EF相交，即选项D正确．故选：D．8．（4分）梯形ABCD中AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是（）A．平行B．平行和异面C．平行和相交D．异面和相交【解答】解：∵AB∥CD，AB⊂面α，CD⊄面α，∴CD∥面α，∴直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是平行或异面．故选：B．9．（4分）已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，对于下列四个命题：①m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β②n∥m，n⊂α⇒m∥α③α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n④m∥α，n⊂α⇒m∥n其中正确命题的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：①由m⊂α，n⊂α，且m∩n＝O，m∥β，n∥β⇒α∥β，故①不正确；②n∥m，n⊂α，如果m⊂α则不可能有m∥α，可得②不正确；③α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n或m，n异面，则③不正确；④m∥α，n⊂α⇒m∥n或m，n异面，则④不正确．综上可得，没有正确的命题．故选：A．10．（4分）两直线3x+y﹣3＝0与6x+my+1＝0平行，则它们之间的距离为（）A．4B．C．D．【解答】解：∵直线3x+y﹣3＝0与6x+my+1＝0平行，∴，解得m＝2．因此，两条直线分别为3x+y﹣3＝0与6x+2y+1＝0，即6x+2y﹣6＝0与6x+2y+1＝0．∴两条直线之间的距离为d＝＝＝．故选：D．11．（4分）下面给出的四个点中，到直线x﹣y+1＝0的距离为，且位于表示的平面区域内的点是（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）【解答】解．给出的四个点中，（1，1），（﹣1，1），（﹣1，﹣1）三点到直线x﹣y+1＝0的距离都为，但∵，仅有（﹣1，﹣1）点位于表示的平面区域内故选：C．12．（4分）如图，已知四边形ABCD是正方形，△ABP，△BCQ，△CDR，△DAS都是等边三角形，E、F、G、H分别是线段AP、DS、CQ、BQ的中点，分别以AB、BC、CD、DA为折痕将四个等边三角形折起，使得P、Q、R、S四点重合于一点P，得到一个四棱锥．对于下面四个结论：①EF与GH为异面直线；②直线EF与直线PB所成的角为60°③EF∥平面PBC；④平面EFGH∥平面ABCD；其中正确结论的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：折起后的四棱锥是P﹣ABCD，如图所示，对于①，由题意，EF∥AD，GH∥BC，且AD∥BC，∴EF∥GH，∴EF与GH不是异面直线，①错误；对于②，由EF∥BC知，∠PBC是异面直线EF与PB所成的角，又△PBC是等边三角形，∴∠PBC＝60°，②正确；对于③，EF∥GH，EF⊄平面PBC，GH⊂平面PBC，∴EF∥平面PBC，③正确；对于④，EF∥AD，EF⊄平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，同理，EH∥平面ABCD，且EF∩EH＝E，由EF⊂平面EFGH，EH⊂平面EFGH，∴平面EFGH∥平面ABCD，④正确；综上，其中正确的结论是②③④，共3个．故选：D．13．（4分）已知直线l：x+ay﹣1＝0（a∈R）是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝（）A．2B．4C．2D．6【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2 ＝4，表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．由题意可得，直线l：x+ay﹣1＝0经过圆C的圆心（2，1），故有2+a﹣1＝0，∴a＝﹣1，点A（﹣4，﹣1）．∵AC＝＝2，CB＝R＝2，∴切线的长|AB|＝＝6．故选：D．14．（4分）已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B＝{（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（）A．77B．49C．45D．30【解答】解：解法一：∵A＝{（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}＝{（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），B＝{（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}＝{（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}∵A⊕B＝{（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，∴A⊕B＝{（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2），（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣2，3），（﹣2，﹣3），（0，﹣3），（2，﹣3），（﹣1，3），（﹣1，﹣3），（1，3），（2，3），（0，3），（3，﹣1），（3，0）（3，1），（3，2），（3，﹣2）（﹣3，2）（﹣3，1），（1，﹣3），（﹣3，﹣1），（﹣3，0），（﹣3，﹣2）}共45个元素；解法二：因为集合A＝{（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，所以集合A中有5个元素，即图中圆中的整点，B＝{（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，中有5×5＝25个元素，即图中正方形ABCD中的整点，A⊕B＝{（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}的元素可看作正方形A1B1C1D1中的整点（除去四个顶点），即7×7﹣4＝45个．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填写在题目中的横线上）15．（5分）不等式＞1的解集为{x|1＜x＜2}．【解答】解：∵＞1，∴＞0，∴（x﹣1）（x﹣2）＜0，解得：1＜x＜2．∴不等式＞1的解集为{x|1＜x＜2}．故答案为：{x|1＜x＜2}．16．（5分）设变量x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值是8；z＝x2+y2的最小值是．【解答】解：作出变量x，y满足约束条件可行域如图，由z＝x+2y知，y＝﹣x+z，所以动直线y＝﹣x+z的纵截距z取得最大值时目标函数取得最大值．由得A（2，3）．结合可行域可知当动直线经过点A（2，3）时，目标函数取得最大值z＝2+2×3＝8．z＝x2+y2的最小值就是坐标原点与只需x+y＝1距离的平方，即：＝．故答案为：8；．17．（5分）圆C：x2+（y+1）2＝4关于直线x﹣y﹣1＝0对称的圆的方程是x2+（y+1）2＝4．【解答】解：设圆心C（0，﹣1）关于直线x﹣y﹣1＝0对称的点M的坐标为（a，b），则由，解得a＝0，b＝﹣1，故对称圆的方程为x2+（y+1）2＝4．故答案为：x2+（y+1）2＝4．18．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知两点A（3，0），B（0，4），点M（x，y）为直线AB上的动点，则xy的最大值是3．【解答】解：过A，B的直线方程为：；点M（x，y）为直线AB上的动点；∴；∴；∴xy的最大值是3．故答案为：3．19．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，在侧面对角线AD1上取一点M，在侧面对角线CD1上取一点N，使得线段MN平行于对角面A1ACC1，若△DMN是正三角形，则△DMN的边长为．【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，在侧面对角线AD1上取一点M，在侧面对角线CD1上取一点N，使得线段MN平行于对角面A1ACC1，△DMN是正三角形，∴MN∥AC，且MN＝DM＝DN＝＝＝，∴△DMN的边长为．故答案为：．20．（5分）已知直线系方程x cos t+（y+1）sin t＝2（其中t为参数）．当t＝时，直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积为，若该直线系中的三条直线围成正三角形区域D，则区域D的面积为12或．【解答】解：当t＝时，直线方程为x+（y+1）＝2，即为x+y＝3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝，则直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积为×3×＝，直线系x cos t+（y+1）sin t＝2（其中t为参数）．∵点（0，﹣1）到直线的距离d＝＝2，∴直线系都是圆C：x2+（y+1）2＝4的切线．当圆C是正三角形的内切圆时，则AB＝2•＝4，∴S＝AB2＝12，当圆C是正三角形的旁切圆时，则FC＝2r＝4，CE＝r＝2，∴FE＝2，∴AB＝2AE＝2EF tan30°＝∴S＝AB2＝综上所述该直线系中的三条直线围成正三角形区域D，则区域D的面积为12或，故答案为：，12或三、解答题（本大题共4小题，满分共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（16分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F，G分别为线段BC，PB，AD的中点．（1）证明：EF∥平面P AC；（2）证明：平面PCG∥平面AEF；（3）在线段BD上找一点H，使得FH∥平面PCG，并说明理由．【解答】解：（1）证明：∵E、F分别是BC，BP中点，∴，∵PC⊂平面P AC，EF⊄平面P AC，∴EF∥平面P AC．（2）证明：∵E、G分别是BC、AD中点，∴AE∥CG，∵AE⊄平面PCG，CG⊂平面PCG，∴AE∥平面PCG，又∵EF∥PC，PC⊂平面PCG，EF⊄平面PCG，∴EF∥平面PCG，AE∩EF＝E点，AE，EF⊂平面AEF，∴平面AEF∥平面PEG．（3）设AE，GC与BD分别交于M，N两点，易知F，N分别是BP，BM中点，∴，∵PM⊂平面PGC，FN⊄平面PGC，∴FN∥平面PGC，即N点为所找的H点．22．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（0，﹣1）和N（2，5）．（1）若M，N是正方形一条边上的两个顶点，求这个正方形过顶点M的两条边所在直线的方程；（2）若M，N是正方形一条对角线上的两个顶点，求这个正方形另外一条对角线所在直线的方程及其端点的坐标．【解答】解：（1）∵M（0，﹣1）和N（2，5），∴，则l MN：y+1＝3x，与直线MN垂直的直线斜率，l′：y+1＝，整理得所求两条直线为﹣3x+y+1＝0和x+3y+3＝0．（2）∵直线MN方程为：y﹣3x+1＝0，另外一条对角线斜率k′＝，设MN中点为G（1，2），则另一条对角线过G点，∴y﹣2＝，整理得3y+x﹣7＝0，设另外两个端点坐标分别为M′（x1′，y1′），N′（x2′，y2′），∵M′在直线3y+x﹣7＝0上，∴3y1′+x1′﹣7＝0，①且|OM|2＝|OM′|2，即，②联立①②解出或，即另外两个端点为（﹣2，3）与（4，1）．23．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程为：x2+y2﹣8x+11＝0，直线l的方程为（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0．（1）求证：直线l恒过定点；（2）当直线l被圆C截得的弦长最短时，求直线l的方程；（3）在（2）的前提下，若P为直线l上的动点，且圆C上存在两个不同的点到点P的距离为，求点P的横坐标的取值范围．【解答】解：（1）直线l的方程为（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0，∴m（2x+y﹣7）+x+y﹣4＝0，由得，即直线l过定点M（3，1）；（2）方法一：由题意可知：圆心C：（4，0），∴k MC＝﹣1，又∵所截弦长最短时，k MC•k l＝﹣1，∴k l＝1，∴直线方程为y＝x﹣2；方法二：∵圆心C（4，0）到直线（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0的距离，d＝＝＝，设弦长为a，则a2+d2＝r2，当所截弦长最短时，d取最大值，∴d＝＝，令＝t，∴d＝；令g（t）＝2t2+6t+5＝2（t2+3t+﹣）+5＝2+，当t＝﹣时，g（t）取到最小值；此时m＝＝﹣，d取最大值，弦长取最小值，直线l的方程为y﹣x+2＝0；（3）设P（x0，x0﹣2），当以P为圆心，为半径画圆P，当圆P与圆C刚好相外切时，|CP|＝＝2，解得x0＝0或x0＝6，由题意，圆P与圆心有两个交点时符合题意，∴点P横坐标的取值范围为（0，6）．24．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程是x2+y2﹣2y+m＝0．（1）如果圆C与直线y＝0没有公共点，求实数m的取值范围；（2）如果圆C过坐标原点，过点P（0，a）（0≤a≤2）直线l与圆C交于A，B两点，记直线l的斜率的平方为u，对于每一个确定的a，当△ABC的面积最大时，用含a的代数式表示u，并求u的最大值．【解答】解：（1）由x2+y2﹣2y+m＝0，可得x2+（y﹣1）2＝1﹣m．∵x2+（y﹣1）2＝1﹣m表示圆，∴1﹣m＞0，即m＜1．又∵圆C与直线y＝0无公共点，∴1﹣m＜1，即m＞0．综上，实数m的取值范围为0＜m＜1；（2）∵圆C过坐标原点，∴m＝0，则圆C的方程为x2+（y﹣1）2＝1．圆心C（0，1），半径为1．当a＝1时，直线l经过圆心C，△ABC不存在，故a∈[0，1）∪（1，2]．由题意可设直线l的方程为y＝kx+a，△ABC的面积为S，则S＝|CA|•|CB|•sin∠ACB＝sin∠ACB，∴当sin∠ACB最大时，S取得最大值．要使sin∠ACB＝，只需点C到直线l的距离等于，即．整理得：k2＝2（a﹣1）2﹣1≥0，解得a≤1﹣或a≥1+．①当a∈[0，1﹣]∪[1+，2]时，sin∠ACB最大值是1，此时k2＝2a2﹣4a+1，即u＝2a2﹣4a+1．②当a∈（1﹣，1）∪（1，1+）时，∠ACB∈（，π）．∵y＝sin x是（，π）上的减函数，∴当∠ACB最小时，sin∠ACB最大．过C作CD⊥AB于D，则∠ACD＝∠ACB，∴当∠ACD最大时，∠ACB最小．∵sin∠CAD＝，且∠CAD∈（0，），∴当|CD|最大时，sin∠CAD取得最大值，即∠CAD最大．∵|CD|≤|CP|，∴当CP⊥l时，|CD|取得最大值|CP|．∴当△ABC的面积最大时，直线l的斜率k＝0，∴u＝0．综上所述，u＝．1°a∈[0，1﹣]∪[1+，2]，u＝2a2﹣4a+1＝2（a﹣1）2﹣1，当a＝2或a＝0时，u取得最大值1．2°a∈（1﹣，1）∪（1，1+），u＝0．由1°、2°得，u的最大值是1．。

2016高一数学期末答案

丰台区2015~2016学年度第一学期期末练习高一数学参考答案及评分参考2016．01 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．11．{15}x x -≤≤；{1x x <-，或3}x ≥ 12．3 13．11514．34-15．sin 2α；1 16．0；[0,1] 注：第11，15，16题每空2分．三、解答题共4小题，共36分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17．（本小题共8分）解：（Ⅰ）因为角α的终边与单位圆O 交于点P ，且点P 的纵坐标为55，所以 sin α55=． ……………………2分因为 1cos sin 22=+αα，所以 54cos 2=α． ……………………3分因为α为第一象限角，所以αcos 552=． ……………………4分（Ⅱ）因为21cos sin tan ==ααα， ……………………6分所以πtan()4α-1tan 11tan 3αα-==+． ……………………8分18．（本小题共9分）解：（Ⅰ）由10,10x x +>⎧⎨->⎩ 得11x -<<，所以函数()f x 的定义域为{|11}x x -<<． ……………………3分（Ⅱ）函数()f x 是奇函数． ……………………4分证明如下：由（Ⅰ）知函数()f x 的定义域为{|11}x x -<<．因为()ln(1)ln(1)()f x x x f x -=--+=-，即()()f x f x -=-， ……………………6分所以函数()f x 是奇函数．（Ⅲ）函数()f x 在定义域内是增函数． ……………………9分19．（本小题共10分）解：（Ⅰ）2ππππ()cos(2)6626f =+-⨯ 3=．……………………2分（Ⅱ）2π()cos(2)2f x x x =+-1cos2sin 22x x -=+ ……………………4分sin2x x =π2sin(2)3x =-+ ……………………6分因为0πx ≤≤，所以ππ5π2333x --≤≤． ……………………8分所以当ππ232x -=，即5π12x =时，函数()f x 的最大值为2+ ……………………10分20．（本小题共9分）解：（Ⅰ）令1()()()e e x x h x f x g x --=-=-，则()h x 在区间[0,1]上是增函数． ……………………1分所以min 1()(0)11e h x h ==->-，max 1()(1)11eh x h ==-<，即()[1,1]h x ∈-． ……………………2分所以|()|1h x <，即()()1f x g x -<，故函数1()ex f x -=和g()e xx -=在区间[0,1]上是“接近”的两个函数．……………………3分（另解）因为 [1,1]x ∈-，所以 1()[,1]ef x ∈，1()[,1]eg x ∈，所以 11()()[1,1]e ef xg x -∈--，即()()1f x g x -<． ……………………3分（Ⅱ）因为函数()f x ，()g x 在区间[2,3]a a ++上都有意义，所以230,20.a a a a +->⎧⎨+->⎩ 所以01a <<． ……………………4分1()()log (3)log log (3)()a aa f x g x x a x a x a x a-=--=---．令()(3)()p x x a x a =--，因为函数()p x 的图象的对称轴为22x a =<，所以()p x 在[2,3]a a ++上单调递增， ……………………5分所以()p x 的值域为[44,96]a a --，因为01a <<，所以log (96)log ()log (44)a a a a p x a --≤≤．如果函数()f x 与()g x 在区间[2,3]a a ++上是两个“接近”的函数，那么()()1f x g x -≤，即log (44)1,log (96)1,01,a a a a a -⎧⎪--⎨⎪<<⎩≤≥解得9012a -<≤．故当a ∈时，函数()f x 与()g x 在区间[2,3]a a ++上是“接近”的两个函数；当1)a ∈时，函数()f x 与()g x 在区间[2,3]a a ++上不是“接近”的两个函数． ……………………7分（Ⅲ）当1m =时，2n =；当0m =时，3n =；当1m =-时n 是不小于3的整数．……………………9分（若用其他方法解题，请酌情给分）。

2016丰台区普通中学高一(下)期末数学

2016丰台区普通中学高一（下）期末数学一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（4分）若=（2，4），=（1，3），则等于（）A．（1，1） B．（﹣1，﹣1）C．（3，7） D．（﹣3，﹣7）2．（4分）已知α∈（0，2π），sinα＞0，且cosα＜0，则角α的取值范围是（）A．B．C． D．3．（4分）如果函数y=tan（x+φ）的图象经过点，那么φ可以是（）A．B．C．D．4．（4分）设m∈R，向量=（1，﹣2），=（m，m﹣2），若⊥，则m等于（）A． B．C．﹣4 D．45．（4分）函数y=（sinx+cosx）2（x∈R）的最小正周期是（）A．B．C．πD．2π6．（4分）函数y=cosx图象的一条对称轴的方程是（）A．x=0 B．C．D．7．（4分）在△ABC中，D是BC的中点，则等于（）A．B．C．D．8．（4分）已知函数f（x）=sinx+cosx，那么的值是（）A．B． C．D．9．（4分）已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么||等于（）A．1 B．C．D．210．（4分）为得到函数的图象，只需将函数y=sinx的图象（）A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．（4分）设α是第二象限角，sinα=，则cosα=．12．（4分）若向量=（1，2）与向量=（λ，﹣1）共线，则实数λ=．13．（4分）2cos215°﹣1=．14．（4分）已知向量与的夹角为120°，且||=||=4，那么•的值为．15．（4分）若角α的终边经过点P（1，﹣2），则tan2α的值为．16．（4分）如图，某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin（ωx+φ）+B（其中），那么这一天6时至14时温差的最大值是°C；与图中曲线对应的函数解析式是．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知，tanα=﹣2．（1）求的值；（2）求sin2α+cos2α的值．18．（12分）设，向量=（cosα，sinα），．（1）证明：向量与垂直；（2）当||=||时，求角α．19．（14分）已知函数f（x）=2sin2（+x）+（sin2x﹣cos2x），x∈[，]．（1）求的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）若不等式|f（x）﹣m|＜2恒成立，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．【解答】∵=（2，4），=（1，3），∴=．故选：B．2．【解答】由sinα＞0，且cosα＜0 可知，角α 是第二象限角，又α∈（0，2π），故α∈，故选B．3．【解答】∵y=tan（x+φ）的图象经过点，tan（+φ）=0即+φ=kπ，k∈Z，则φ=kπ﹣，解：∵y=tan（x+φ）的图象经过点，tan（+φ）=0即+φ=kπ，k∈Z，则φ=kπ﹣，k∈Z，当k=0时，φ=﹣，故选A4．【解答】=（1，﹣2），=（m，m﹣2），∵⊥，∴，m=4．故选D．5．【解答】函数y=（sinx+cosx）2=sin2x+2sinxcosx+cos2x=1+sin2x，∵ω=2，∴T==π．故选C6．【解答】y=cosx的对称轴方程为x=kπ，当k=0时，x=0．故选A．7．【解答】如图，作出平行四边形ABEC，D是对角线的交点，故D是BC的中点，且是AE的中点由题意如图==故选D8．【解答】f（x）=sinx+cosx=sin（x+）∴f（）==故选C．9．【解答】∵、均为单位向量，它们的夹角为60°∴||=||=1，•=∴===1∴=1故选A．10．【解答】y=sinx=cos（x﹣），，故只需将函数y=sinx的图象向左平移个长度单位．故选C．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11．【解答】∵sinα=，α是第二象限角，∴cosα=﹣=﹣=﹣．故答案为：﹣．12．【解答】∵∴﹣1=2λ∴故答案为：．13．【解答】2cos215°﹣1=cos30°=故答案为：．14.【解答】．故答案为﹣8．15．【解答】∵角α的终边经过点P（1，﹣2），∴故答案为：．16．【解答】（1）由图示，这段时间的最大温差是30﹣10=20℃，（2）图中从6时到14时的图象是函数y=Asin（ωx+∅）+b的半个周期，∴•=14﹣6，解得ω=，由图示，A=（30﹣10）=10，B=（10+30）=20，这时，y=10sin（φ）+20，将x=6，y=10代入上式，可取φ=，综上，所求的解析式为，x∈[6，14]．故答案为：20；，x∈[6，14]三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．【解答】（1）．…（4分）（2）由，tanα=﹣2，得，，…（6分）所以．…（10分）18．【解答】（1）证明：由向量=（cosα，sinα），，得||=1，=1，则，所以向量与垂直．…（6分）（2）将||=||两边平方，化简得3（||2﹣||2）+8，由||==1，得，即．所以，注意到，得．（12分）19．【解答】（1）．（2）=．又，∴，当时，f（x）单调递增；当时，f（x）单调递减，所以f（x）的单调递增区间是；f（x）的单调递减区间是．（3）由（2）得，∴f（x）的值域是[2，3]．|f（x）﹣m|＜2⇔f（x）﹣2＜m＜f（x）+2，．∴m＞f（x）max﹣2且m＜f（x）min+2，∴1＜m＜4，即m的取值范围是（1，4）．。

北京高一下学期期末数学试卷含答案(共5套)

北京市丰台区高一第二学期期末考试数学试卷第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．如果a b >，那么下列不等式中一定成立的是A ．a c b c +>+B ．a b >C ．c a c b ->-D ．22a b >2．等比数列{}n a 中，21a =，42a =，则6a =A ．22B ．4C ．42D ．8 3．执行如图所示的程序框图，如果输入的2x =，则输出的y 等于A ．2B ．4C ．6D ．84．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是等腰三角形，那么该几何体的体积是A ．96B ．128C ．140D ．152 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3B π=，2b ac =，则△ABC 一定是 A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形6．二次函数()2y ax bx c x =++∈R 的部分对应值如下表：x3- 2- 1- 0 1 2 3 4 y6- 04 6 6 4 0 6-则一元二次不等式20ax bx c ++>的解集是A ．{|2,3}x x x <->或B ．{|2,3}x x x ≤-≥或C ．{|23}x x -<<D ．{|23}x x -≤≤7．在数列{}n a 中，12n n a a +=+，且11a =，则1223349101111a a a a a a a a ++++= A ．919B ．1819C ．1021D ．20218．已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，如果21a =，那么这个数列前3项的和3S 的取值范围是A ．(],1-∞-B ．[)1,+∞C ．[)2,+∞D ．[)3,+∞ 9．已知n 次多项式1110()n n n n n f x a x a x a x a --=++++，在求0()n f x 值的时候，不同的算法需要进行的运算次数是不同的．例如计算0kx （k ＝2，3，4，…，n ）的值需要 k －1次乘法运算，按这种算法进行计算30()f x 的值共需要9次运算（6次乘法运算，3次加法运算）．现按右图所示的框图进行运算，计算0()n f x 的值共需要次运算． A ．2nB ．2nC ．(1)2n n + D ．+1n10．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在正方体表面运动，如果11ABD PBD S S ∆∆=，那么这样的点P 共有 A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．无数个D 11B 1A D第二部分（非选择题共60分）二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．11．从某企业生产的某种产品中抽取100件样本，测量这些样本的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组 [75，85)[85，95) [95，105)[105，115)[115，125]频数62638228则样本的该项质量指标值落在[105，125]上的频率为_____． 12．函数()(2)(02)f x x x x =-<<的最大值是_____．13．如图，样本数为9的三组数据，它们的平均数都是5，频率条形图如下，则标准差最大的一组是．14．已知两条不重合的直线,a b 和两个不重合的平面α,β，给出下列命题：①如果a α∥，b α⊂，那么a b ∥；②如果αβ∥，b α⊂，那么b β∥； ③如果a α⊥，b α⊂，那么a b ⊥；④如果αβ⊥，b α⊂，那么b β⊥．上述结论中，正确结论．．．．的序号是（写出所有正确结论的序号）． 15．如图，为了测量河对岸,A B 两点之间的距离．观察者找到了一个点C ，从C 可以观察到点,A B ；找到了一个点D ，从D 可以观察到点,A C ；找到了一个点E ，从E 可以观察到点,B C ．并测量得到图中一些数据，其中23CD =，4CE =，60ACB ∠=，90ACD BCE ∠=∠=，60ADC ∠=，45BEC ∠=，则AB = ．16．数列{}n a 满足11a =，112n n n a a -+⋅=，其前n 项和为n S ，则（1）5a = ；（2）2n S = ．三、解答题共4小题，共36分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17.（本小题共9分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 6sin A C =，3c =．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）如果3cos 3A =，求b 的值及△ABC 的面积．18.（本小题共9分）某校在“普及环保知识节”后，为了进一步增强环保意识，从本校学生中随机抽取了一批学生参加环保基础知识测试．经统计，这批学生测试的分数全部介于75至100之间．将数据分成以下5组：第1组[)80,75，第2组[)85,80，第3组[)90,85，第4组[)95,90，第5组[]100,95，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）现采用分层抽样的方法，从第3，4，5组中随机抽取6名学生座谈，求每组抽取的学生人数；（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计随机抽取学生所得测试分数的平均值在第几组（只需写出结论）．19.（本小题共9分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，点E 是棱PA 的中点，PB PD =，平面BDE ⊥平面ABCD ．（Ⅰ）求证：PC //平面BDE ；（Ⅱ）求证：PC ⊥平面ABCD ；(Ⅲ) 设AB PC λ=,试判断平面PAD ⊥平面PAB 能否成立；若成立，写出λ的一个值（只需写出结论）．20.（本小题共9分）设数列{}n a 满足12a =，12nn n a a +-=；数列{}n b 的前n 项和为n S ，且21(3)2n S n n =-．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）把数列{}n a 和{}n b 的公．共项．．从小到大排成新数列{}n c ,试写出1c ，2c ，并证明{}n c 为等比数列．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区第二学期期末高一数学参考答案一、选择题（本题共10小题，共40分）二、填空题（本题共6小题，共24分）11．0.3 12．1 13．第三组14．②③ 15．16．（1）4；（2）122n +-（第16题第一空2分，第二空2分）三、解答题（本题共4小题，共36分） 17. （本小题9分）解：（Ⅰ）因为sin sin a cA C=以及sin A C =， …………2分所以a =，因为c =……………3分所以a = ……………4分（Ⅱ）因为2222cos a b c bc A =+-以及cos 3A =……………5分所以22150b b --=，因为0b >， ……………6分所以5b = ……………7分因为cos 3A =，0π<<A ，所以sin A =……………8分所以1sin 22ABC S bc A ∆==. ……………9分 18．（本小题9分）解：（1）因为各组的频率之和为1，(0.010.020.060.07)51a ⨯++++⨯=，解得0.04a = …………3分（2）由频率分布直方图知，第3，4，5组的学生人数之比为3:2:1． …………4分所以，每组抽取的人数分别为：第3组：3636⨯=；第4组：2626⨯=；第5组：1616⨯=．所以从3，4，5组应依次抽取3名学生，2名学生，1名学生． …………7分（3）第3组 …………9分19．（本小题9分）证明：（Ⅰ）证明：设AC BD O =，连接OE ，因为底面ABCD 为正方形，所以O 是AC 的中点，又点E 是棱PA 的中点，所以EO 是的PAC ∆中位线，所以EO // PC …………………1分因为EO ⊂平面BDE ，PC ⊄平面BDE ，所以PC //平面BDE ； …………………3分（Ⅱ）证明：(法一）在PAB ∆和PAD ∆中，因为AB AD =，PB PD =，PA PA =，所以PAB ∆≌PAD ∆，又点E 是棱PA 的中点，所以EB ED =， ………………5分所以EO BD ⊥，因为平面BDE ⊥平面ABCD ，平面BDE 平面ABCD BD =，EO ⊂平面BDE所以EO ⊥平面ABCD ， ………………7分所以EO ⊥AC ,EO ⊥BD , 因为EO //PC所以PC ⊥AC ,PC ⊥BD ,又AC ∩BD=O所以PC ⊥平面ABCD ． …………………8分（法二）连接PO因为底面ABCD 是正方形，所以O 是BD 的中点，BD ⊥AC ,又PB=PD ,所以PO ⊥BD ,又PO ∩AC =O ,PO ⊂平面PAC ,AC ⊂平面PAC 所以BD ⊥平面PAC又OE ⊂平面PAC , 所以BD ⊥OE ， …………………5分因为平面BDE ⊥平面ABCD ，平面BDE 平面ABCD BD =， EO ⊂平面BDE所以EO ⊥平面ABCD ， …………………7分所以EO ⊥AC ,EO ⊥BD , 因为OE ∥PC,所以PC ⊥AC ,PC ⊥BD ,又AC ∩BD=O所以所以PC ⊥平面ABCD ． …………………8分 (Ⅲ) 不能成立 …………………9分20．（本小题9分）解：（Ⅰ）由已知，当2n ≥时，112211[()()()]n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+12(222)2n n --=++++2n =． …………………2分又因为12a =，所以数列{}n a 的通项公式为2n n a =．因为21(3)2n S n n =-，所以，211[3(1)(1)](2)2n S n n n -=---≥ 两式做差可得32n b n =-，且111b S ==也满足此式，所以32n b n =-. …………………4分（Ⅱ）由2nn a =，32n b n =-，可得1224c a b ===，24616c a b ===.…………………5分假设2kn m k c b a ===,则32=2k m -.所以112222(32)3(21)1k kk a m m ++==⋅=-=--,不是数列{}n b 中的项；2+2=2424(32)k k k a m +=⋅=-=3(42)2m --，是数列{}n b 中的第42m -项.所以+142=n m c b -=222k k a ++=，从而2+1242k n k n c c +==.所以{}n c 是首项为4,公比为4的等比数列. …………………9分（若用其他方法解题，请酌情给分）北京市东城区高一年级下学期期末考试数学试卷本试卷共100分，考试时长120分钟。

XXX2016-2017学年高一下学期期末考试数学试卷(word版含答案)

XXX2016-2017学年高一下学期期末考试数学试卷(word版含答案)XXX2016-2017学年度高一第二学期期末考试数学时量：120分钟满分：150分得分：_______第Ⅰ卷(满分100分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.已知a>b，则下列不等式一定成立的是A。

a^2.b^2B。

ac。

bcC。

|a|。

|b|D。

2a。

2b2.如图，给出的3个三角形图案中圆的个数依次构成一个数列的前3项，则这个数列的一个通项公式是n^2+2n。

n^2+3n+2A。

2n+1B。

3nC。

(n+1)(n+2)D。

2^(n-1)3.在△ABC中，内角A，B所对的边分别为a，b，若acosA=bcosB，则△XXX的形状一定是A。

等腰三角形B。

直角三角形C。

等腰直角三角形D。

等腰三角形或直角三角形4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，a2，a5是方程2x^2-3x-2=0的两个根，则S6=99A。

5B。

-5C。

22D。

-225.满足a=4，b=3和A=45°的△ABC的个数为A。

0个B。

1个C。

2个D。

不确定6.已知函数f(x)=ax^2+bx+c，不等式f(x)1}，则函数y=f(-x)的图像可以为A。

奇函数B。

偶函数C。

非奇非偶函数D。

无法确定7.设集合A={x|ax^2-ax+1<0}，若A=∅，则实数a取值的集合是A。

{a|0<a<4}B。

{a|≤a<4}C。

{a|0<a≤4}D。

{a|≤a≤4}8.若数列{an}满足a1=1，log2(an+1)=log2(an)+1(n∈N*)，它的前n项和为Sn，则Sn=A。

2-2^(n+1)B。

2^(n+1)-1C。

2^n-1D。

2-2^n+19.已知钝角△ABC的面积是，AB=1，BC=2，则AC=A。

1B。

5C。

1或5D。

无法确定10.已知数列{an}的前n项和为Sn=aq^n(aq≠1，q≠0)，则{an}为A。

2016-2017年北京市丰台区高一(下)期中数学试卷(a卷)和答案

2016-2017学年北京市丰台区高一（下）期中数学试卷（A卷）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（4分）若a＜b＜0，则下列各式一定成立的是（）A．a+c＞b+c B．C．ac＞bc D．a2＜b2 2．（4分）数列{a n}中，a1=1，且a n+1=3a n，则a5=（）A．243B．81C．27D．93．（4分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，A=75°，B=60°，则b=（）A．B．C．4D．34．（4分）函数f（x）=x+（x＞0）的最小值是（）A．2B．C．D．35．（4分）直角三角形的两条直角边的长度分别是3，4，以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，旋转一周形成几何体的体积是（）A．12πB．C．D．48π6．（4分）等差数列{a n}中，a2=2，且a4=a1+a3，则数列的前n项和为（）A．B．C．D．7．（4分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB=bcosA，a，b，c成等比数列，则△ABC是（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．钝角三角形D．以上都不对8．（4分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥最长棱的棱长是（）A．3B．C．D．9．（4分）函数f（x）由下表定义：若a1=5，a n+1=f（a n），则a2017=（）A．2B．3C．4D．510．（4分）如图，函数f（x）的图象为两条射线CA，CB组成的折线，如果不等式f（x）≥x2﹣a的解集中有且仅有1个整数，那么a取值范围是（）A．{a|﹣2≤a＜0}B．{a|﹣2＜a＜0}C．{a|0≤a＜1}D．{a|﹣2≤a＜1}二、填空题共6小题，每小题4分，共24分11．（4分）已知圆柱底面半径是2，高是3，则圆柱的表面积是．12．（4分）一元二次不等式x2﹣3x+2＞0的解集是．13．（4分）如图，飞机的航线和山顶在同一个铅锤平面内，已知飞机的高度为海拔20210m，速度为270m/s，飞行员先看到山顶的俯角为15°，经过100s 后又看到山顶的俯角为30°，则山顶的海拔高度为．14．（4分）已知2，a，b成等差数列，3，a+2，b+6成等比数列，那么该等差数列的公差为．15．（4分）如图所示，在边长为2的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC，OD折叠，使OA，OB重合，则以A（B），C，D，O为顶点的四面体的体积为．16．（4分）设a＞0，b＞0，称为a，b的平方平均数，为a，b的调和平均数．如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径作圆．过点O，C分别作AB的垂线，交圆O于E，D两点．连结OD，CE．过点C作OD的垂线，垂足为F．已知图中线段OD的长度是a，b 的算术平均数，线段CD的长度是a，b的几何平均数．则图中所示线段中，线段的长度是a，b的平方平均数，线段的长度是a，b 的调和平均数．三、解答题本大题共4小题，共36分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（9分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．a，b，c成公差为2的等差数列，∠ACB=120°，点D在边AB上，且CD⊥AC．（1）求b的值．（2）求的值．18．（9分）数列{a n}的前n项和为S n，S n=n2+n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）若b n=，求数列{b n}的前n项和T n．19．（9分）已知关于x的一元二次不等式（ax+1）（x﹣2）＞0，其中a＜0．（1）若不等式的解集是，求a，b值．（2）求不等式的解集．20．（9分）已知数列{a n}中，a n＞0，且a n+12=a n+2（n∈N*）．（1）试求a1的值，使得数列{a n}是一个常数列．＞a n对于任意的n∈N*都成立．（2）试求a1的取值范围，使得a n+1（3）若a1=4，设b n=|a n+1﹣a n|（n∈N*），数列{b n}的前n项和为S n，试证明：S n＜2．2016-2017学年北京市丰台区高一（下）期中数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（4分）若a＜b＜0，则下列各式一定成立的是（）A．a+c＞b+c B．C．ac＞bc D．a2＜b2【解答】解：对于A，若a＜b＜0，则a+c＜b+c，故A项错误；对于B，函数在（﹣∞，0）上单调递减，若a＜b＜0，则，故B项正确；对于C，当c=0时，ac=bc，即不等式ac＜bc不成立，故C项错误；对于D，函数y=x2在（﹣∞，0）上单调递减，若a＜b＜0，则a2＞b2，故D项错误，故选：B．2．（4分）数列{a n}中，a1=1，且a n+1=3a n，则a5=（）A．243B．81C．27D．9【解答】解：∵数列{a n}中，a1=1，a n+1=3a n，∴数列{a n}是首项为1，公比q为3的等比数列，∴．故选：B．3．（4分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，A=75°，B=60°，则b=（）A．B．C．4D．3【解答】解：△ABC中，A=75°，B=60°，∴C=180°﹣A﹣B=45°，由正弦定理可得，即，∴．故选：A．4．（4分）函数f（x）=x+（x＞0）的最小值是（）A．2B．C．D．3【解答】解：∵x＞0，∴，当且仅当，即时等号成立，所以函数的最小值是．故选：C．5．（4分）直角三角形的两条直角边的长度分别是3，4，以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，旋转一周形成几何体的体积是（）A．12πB．C．D．48π【解答】解：以该直角三角形的斜边所在直线为旋转轴旋转一周形成的几何体是两个圆锥的组合体，其中圆锥的底面半径为，高的和为5，所以该几何体的体积．故选：C．6．（4分）等差数列{a n}中，a2=2，且a4=a1+a3，则数列的前n项和为（）A．B．C．D．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则根据题意可得，解得，∴a n=n，∴，∴数列的前n项和为．故选：D．7．（4分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB=bcosA，a，b，c成等比数列，则△ABC是（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．钝角三角形D．以上都不对【解答】解：∵在△ABC中，acosB=bcosA，∴sinAcosB=sinBcosA，即sinAcosB﹣sinBcosA=0，∴sin（A﹣B）=0，∴A=B，∴a=b，又a，b，c成等比数列，∴a=b=c，即△ABC是等边三角形．故选：A．8．（4分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥最长棱的棱长是（）A．3B．C．D．【解答】解：根据三视图作出该四棱锥的直观图，如图所示，其中底面是边长为1的正方体，PA⊥底面ABCD，且PA=2，易得PB=PD=，，∴该四棱锥最长棱的棱长是．故选：C．9．（4分）函数f（x）由下表定义：若a1=5，a n+1=f（a n），则a2017=（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：由题意，a1=5，a2=f（a1）=f（5）=2，a3=f（a2）=f（2）=1，a4=f （a3）=f（1）=4，a5=f（a4）=f（4）=5，则数列{a n}是周期为4的循环数列，故a2017=a1=5．故选：D．10．（4分）如图，函数f（x）的图象为两条射线CA，CB组成的折线，如果不等式f（x）≥x2﹣a的解集中有且仅有1个整数，那么a取值范围是（）A．{a|﹣2≤a＜0}B．{a|﹣2＜a＜0}C．{a|0≤a＜1}D．{a|﹣2≤a＜1}【解答】解：根据题意可知，不等式f（x）≥x2﹣a等价于a≥x2﹣f（x），令g（x）=x2﹣f（x），即，可得g（x）的大致图象，如图所示，又g（0）=﹣2，g（1）=1+1﹣2=0，g（﹣1）=1+2﹣2=1，∴要使不等式的解集中有且仅有1个整数，则﹣2≤a＜0，即a取值范围是{a|﹣2≤a＜0}．故选：A．二、填空题共6小题，每小题4分，共24分11．（4分）已知圆柱底面半径是2，高是3，则圆柱的表面积是20π．【解答】解：由题意，圆柱的底面积是2πr2=8π，侧面积=4π×3=12π，故圆柱的表面积S=8π+12π=20π．故答案为：20π．12．（4分）一元二次不等式x2﹣3x+2＞0的解集是{x|x＜1或x＞2} ．【解答】解：不等式x2﹣3x+2＞0可化为（x﹣1）（x﹣2）＞0，解得x＜1或x＞2，∴不等式x2﹣3x+2＞0的解集是{x|x＜1或x＞2}．故答案为：{x|x＜1或x＞2}．13．（4分）如图，飞机的航线和山顶在同一个铅锤平面内，已知飞机的高度为海拔20210m，速度为270m/s，飞行员先看到山顶的俯角为15°，经过100s 后又看到山顶的俯角为30°，则山顶的海拔高度为6710m．【解答】解：如图所示，AB=270×100=27000m，在等腰△ABC中，BC=AB=27000m，∴，∴山顶的海拔高度为20210﹣13500=6710m．故答案为：6710m．14．（4分）已知2，a，b成等差数列，3，a+2，b+6成等比数列，那么该等差数列的公差为2．【解答】解：设等差数列的公差为d，则a=2+d，b=2+2d，∵3，a+2，b+6成等比数列，∴（a+2）2=3（b+6），即（d+4）2=3（2d+8），解得d=2或d=﹣4，当d=﹣4时，a+2=0，3，a+2，b+6则构不成等比数列，所以d=﹣4应舍去，故d=2．故答案为：2．15．（4分）如图所示，在边长为2的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC，OD折叠，使OA，OB重合，则以A（B），C，D，O为顶点的四面体的体积为．【解答】解：折叠后的四面体如图所示：其中OA，OC，OD两两垂直，且，AC=CD=AD=2，故该四面体的体积：．故答案为：．16．（4分）设a＞0，b＞0，称为a，b的平方平均数，为a，b的调和平均数．如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径作圆．过点O，C分别作AB的垂线，交圆O于E，D两点．连结OD，CE．过点C作OD的垂线，垂足为F．已知图中线段OD的长度是a，b 的算术平均数，线段CD的长度是a，b的几何平均数．则图中所示线段中，线段CE的长度是a，b的平方平均数，线段DF的长度是a，b 的调和平均数．【解答】解：由题意得，，，∵△OCD∽△CDF，∴，即；又∵在△OCE中，，故线段CE的长度是a，b的平方平均数，线段DF的长度是a，b的调和平均数．故答案为：CE，DF．三、解答题本大题共4小题，共36分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（9分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．a，b，c成公差为2的等差数列，∠ACB=120°，点D在边AB上，且CD⊥AC．（1）求b的值．（2）求的值．【解答】解：（1）∵a，b，c成公差为2的等差数列，∴a=b﹣2，c=b+2，在△ABC中，由余弦定理可得，，即，解得b=5．（2）由（1）可知a=3，b=5，c=7，在△ABC中，由余弦定理可得，∵CD⊥AC，∴在Rt△ACD中，，∴，∴，∴．18．（9分）数列{a n}的前n项和为S n，S n=n2+n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）若b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵数列{a n}的前n项和S n，S n=n2+n（n∈N*），∴当n=1时，a1=S1=1+1=2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2+n﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）=2n，经检验，当n=1时也满足上式，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n．（2）由题意，b n==22n=4n，∴数列{b n}是以4为首项，4为公比的等比数列，∴数列{b n}的前n项和T n=．19．（9分）已知关于x的一元二次不等式（ax+1）（x﹣2）＞0，其中a＜0．（1）若不等式的解集是，求a，b值．（2）求不等式的解集．【解答】解：（1）∵不等式（ax+1）（x﹣2）＞0的解集是，∴，解得a=﹣2，b=2；（2）∵（ax+1）（x﹣2）＞0，（a＜0），∴，当，即时，不等式为（x﹣2）2＜0，则不等式的解集是∅，当，即时，解不等式得；当，即时，解不等式得；综上所述，当时，不等式的解集为∅；当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为．20．（9分）已知数列{a n}中，a n＞0，且a n+12=a n+2（n∈N*）．（1）试求a1的值，使得数列{a n}是一个常数列．＞a n对于任意的n∈N*都成立．（2）试求a1的取值范围，使得a n+1（3）若a1=4，设b n=|a n+1﹣a n|（n∈N*），数列{b n}的前n项和为S n，试证明：S n＜2．【解答】解：（1）若数列{a n}是一个常数列，则a n=a n+1，又∵，∴，即，解得a n=﹣1（舍去），或a n=2．∴a1=2．（2）∵，∴，，∴，∵，∴a n+1﹣a n与a n﹣a n﹣1同号，∴要使a n+1＞a n对任意正整数n都成立，只需a2＞a1＞0，即，解得0＜a 1＜2．证明：（3）由（2）可知，当a1=4时，a n+1＜a n，故b n=|a n+1﹣a n|=a n﹣a n+1，∴S n=b1+b2+b3+…+b n﹣1+b n，=|a2﹣a1|+|a3﹣a2|+|a4﹣a3|+…+|a n﹣a n﹣1|+|a n+1﹣a n|，=a1﹣a2+a2﹣a3+a3﹣a4+…+a n﹣1﹣a n+a n﹣a n+1，=a1﹣a n+1=4﹣a n+1，又，解得a n+1＞2，∴4﹣a n+1＜2，∴S n＜2．。

北京十二中2016-2017学年下学期高一期末试卷数学word含解析

2016-2017北京丰台十二中高一下期末一、选择题：（每题有且只有一个答案，每题5分，共60分）1．已知a ，b ，c ，d 为实数，a b >且c d >，则下列不等式一定成立的是（）． A ．ac bd >B ．a c b d ->-C ．a d b c ->-D ．11a b< 【答案】C【解析】A 项．∵a b >且c d >，但不知道a ，b ，c ，d 的正负，故ac 与bd 大小不能确定． B 项．无法确定a c -与b d -大小关系．C 项．∵a b >且d c ->-，∴a d b c ->-，正确．D 项．∵11b a a b ab --=，不知道ab 正负，无法确定1a 与1b大小关系．故选C ．2．向量a ，b 满足||1a = ，||4b = 且2a b ⋅= ，则a 与b的夹角的大小为（）． A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2【答案】C【解析】21cos 142||||a b a b a b ⋅<⋅>===⨯， ∴a 与b 夹角为π3．故选C ．3．如图所示，在放置的四个几何体中，其正视图为矩形的是（）．A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】在四个几何体中，只有B 项正视图为矩形．故选B ．4．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若120C =︒∠，c =，则（）． A ．a b > B ．a b <C ．a b =D ．a 与b 的大小关系不能确定【答案】A【解析】∵2221cos 22a b c c ab +-==-，且c =，代入解得b或b =，∴b a =<，即a b >．故选A ．5．设数列{}n a 是等差数列，且26a =-，86a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（）． A ．45S S <B ．45S S =C ．65S S <D ．65S S =【答案】B【解析】∵在等差数列{}n a 中，公差826(6)266a a d ---===， ∴2(2)210n a a d n n =+-=-， ∴21()92n n n S a a n n =+=-，2449420S =-⨯=-，2559520S =-⨯=-，2669618S =-⨯=-，∴45S S =，65S S >．故选B ．6．设a ，b ，c ∈R ，且a b >，则（）． A ．ac bc > B ．11a b<C ．22a b >D ．33a b >【答案】D【解析】∵a b >，则0a b ->， ∵220a ab b ++>，2233()()0a b a ab b a b -++=->，∴33a b >．故选D ．7．已知直线a 、b ，平面α、β，那么下列命题中正确的是（）． A ．若a α⊂，b β⊂，a b ⊥，则αβ⊥ B ．若a α⊂，b β⊂，a b ∥，则αβ∥ C ．若a α∥，a b ⊥，则b α⊥D ．若a α∥，a β⊥，则αβ⊥【答案】D【解析】A 项错误．α与β可能相交，不垂直．B 项错误．α与β可能相交．C 项错误．b 可能平行于平面α．D 项正确．故选D ．8．ABC △三内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且10b =，c =，60C =︒，则角B 的度数是（）． A ．π6B ．π4C ．π3D ．π4或3π4【答案】B【解析】由正弦定理得sin sin b cB C=，∴sin sinb Bc c ===，∴45B =︒或135︒， ∵60B =︒∠，∴(0,120)B ∈︒∠舍去135B =︒∠， ∴45B =︒∠．故选B ．9．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（）．正视图侧视图俯视图233442A ．3100cmB ．3102cmC ．3104cmD ．3108cm【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体为长度宽高分别为6，3，6的长方体截去一个三棱锥，三棱锥的体积1114438332v sh '==⨯⨯⨯⨯=，∴几何体的体积36368100cm v =⨯⨯-=．故选A ．10．设向量a ，b 满足：||3a = ，||4b = ，0a b ⋅= ，以a ，b ，a b -的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（）． A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】C【解析】∵向量0a b ⋅=，∴此三角形为直角三角形，三边长分别为3，4，5，其内切圆半径为1， ∵对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍右移或其他变化，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现．故选C ．11．如图，正四面体ABCD 的顶点A ，B ，C 分别在两两垂直的三角射线Ox ，Oy ，Oz 上，则在下列命题中，错误．．的为（）． O z yxDA B CA ．O ABC -是正三棱锥B ．AB CD ⊥C ．直线AD 与OB 所成的角是45︒D ．直线OB ∥平面ACD【答案】D【解析】由图中可看出，延长平面ACD 和直线OB ，必有相交点， ∴直线OB 不平行于平面ACD ，D 项错误．故选D ．12．已知{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则12231(*)n n a a a a a a n ++++∈N 的取值范围是（）． A ．328,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．[8,16)C ．[12,16)D ．1632,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】∵22a =，514a =，∴公差12q =，且214a a q==，128a a =， ∴数列{}1n n a a +是以8为首项，14为公比的等比数列，则122311814321113414n n n n a a a a a a+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎛⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦+++==- ⎥⎪ ⎝⎭⎥⎝⎦- ， ∴12231n n a a a a a a ++++ 的取值范围为328,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选A ．二、填空题：（每题5分，共6×5=30分） 13．已知向量(3,2)a =- ，(1,0)b =-，向量a b λ+ 与2a b -垂直，则实数λ的值为__________．【答案】17-【解析】∵(31,2)a b λλλ+=--， 2(3,2)(2,0)(1,2)a b -=---=-()(2)a b a b λ-- ⊥，∴()(2)0a b a b λ--=，∴3140λλ++=，解得17λ=-．14．设等比数列{}n a 的公比12q =，前n 项和为n S ，则44S a =__________．【答案】15【解析】等比数列{}n a 中，1234432144111115a a a a S a a q q q+++==+++=．15．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的最长的侧菱长为__________．正(主)视图侧(左)视图侧视图1212【答案】=．16．若0x >，则2x x +的最小值为__________．【答案】【解析】2x x +≥2x x=时，即x =时，等号成立，取最小值17．在锐角ABC △中，1BC =，2B A =，则cos ACA的值等于__________，AC 的取值范围为__________．【答案】2；【解析】由正弦定理得sin sin AC BBC A=， ∴sin sin sin sin BC B BAC A A==，∴sin sin sin sin BC B BAC A A ==，∴sin sin 22cos sin cos sin cos AC B AA A A A A ===，即2cos AC A =， ∵ABC △为锐角三角形，∴π02π022π0π22A B A C A A ⎧<<⎪⎪⎪<=<⎨⎪⎪<=--<⎪⎩，解得ππ64A <<，cos A <<，2cos A <<AC <<．18．如图，正方形1111ABCD A B C D -的棱线长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且12EF =，则下列结论中正确的是__________．（请把正确答案的题号写在横线上）（1）AC BE ⊥（2）EF ∥平面ABCD（3）三棱锥A BEF -的体积为定值（4）AEF △的面积与BEF △的面积相等．DABCE FD 1A 1B 1C 1【答案】见解析．【解析】（1）∵BE 在平面ABCD 的投影所在直线为BD ，BD AC ⊥，由三垂线定理知BE AC ⊥，正确．（2）在正方体中平面1111A B C D ∥平面ABCD ，∵EF ⊂平面1111A B C D ，∴EF ∥平面ABCD ，正确．（3）∵三棱锥以EFB △为底面，点A 到平面11BDD B 的距离为EFB △的高．三、解答题：19．设a ，b 为实数，比较22a b +与1ab a b ++-的大小．【答案】见解析．【解析】 20．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，他们把以下形状的数成为三角形数（如图）．若将这些三角形数从小到大组成数列{}n a ．（1）则第n 个三角形数n a =（）．（请将正确答案的选项填在括号内） A ．2nB ．212n +C ．22n n +D ．21n +（2）若数列{}n b 满足2n n na b =，n S 是其前n 项的和．①求数列{}n b 的前n 项的和n S ．②若数列{}n b 的前n 项的和104n S ≤，求n 的最大值．13610……【答案】见解析．【解析】（2）①∵22(1)12n n n n b a n n n +==⨯=+， 1()(2)22n n n nS b b n =+=+．②∵(2)1042n nS n =+≤， ∴222080n n +-≤， ∴2(1)209n +≤， n 最大值为13．21．在锐角ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且2sin a B =．（1）求角A 的大小．（2）若6a =，8b c +=，求ABC △的面积．【答案】（1）60︒．（2【解析】（1）∵2sin a B =，由正弦定理得2sin sin A B B =，∴sin A =，60A =︒，（2）∵2221cos cos6022b c a A bc +-=︒==①，且a b =，8b c +=， ∴2222864b c bc ++==②，联立上式解得283bc =，∵1128sin 223ABC S bc A ==⨯=△．22．如图，菱形ABCD 的边长为6，60BAD =︒∠，AC BD O = ，将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥B ACD -，点M 是棱BC的中点，DM = （1）求证：OM ∥平面ABD ．（2）求证：平面ABC ⊥平面MDO ．（3）求三棱锥M ABD -的体积．DABCO M CBAO【答案】（1）证明见解析．（2）证明见解析．（3【解析】（1）证明：∵点O 是菱形ABCD 的对角线交点， ∴O 是AC 的中点，又∵点M 是棱BC 的中点， ∴OM 是ABC △的中位线，OM AB ∥，∵OM ⊄平面ABD ，AB ⊂平面ABD ，∴OM ∥平面ABD ．（2）证明：由题意3OM OD ==，∵DM =，90DOM =︒∠，OD OM ⊥，又∵菱形ABCD 中，OD AC ⊥， OM AC O = ， ∴OD ⊥平面ABC ， ∵OD ⊂平面MDO ， ∴平面ABC ⊥平面MDO ．（3）∵三棱锥M ABD -的体积等于三棱锥D ABM -的体积由（2）知OD ⊥平面ABC ， ∴3OD =是三棱锥D ABM -的高，11||||sin1206322ABM S BA BM =⨯⨯︒=⨯⨯=△，∴13ABM v S OD =⨯=△．23．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，122(N*)n n a S n +=+∈．（1）求证：数列{}1n S +为等比数列．（2）求通项公式n a ．（3）设2nn na b S =，求证：1231n b b b b ++++< ．【答案】（1）证明见解析．（2）233nn a =⨯．（3）证明见解析．【解析】（1）∵122n n a S +=+①， 122n n a S -=+②，由①-②可得112()2n n n n n a a S S a +--=-=， ∴13n na a +=， ∵12a =，即{}n a 是以2为首项，3为公比的等比数列， ∴11123n n n a a q --=⨯=⨯，∴1(1)2(13)31113n n n n a q S q --===---， ∴13n n S +=，说明{}1n S +是等比数列．（2）由（1）可知122333n nn a -=⨯=⨯．（3）2233(31)n n n b ⨯=-，2n ≥时，1121232311(31)(31)(31)3131n n n n n n n n b ---⨯⨯=<=------，∴1212231111111313131313131n n n b b b b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭11112231n =+-<-， 1n =时， 1223131(31)2n b ⨯==<-，综上可得：121n b b b +++< ．。

2016-2017学年北京市丰台区高一(下)期中数学试卷(b卷)

种
方式获奖者受益更多．
16．（4 分）函数 f（x）由表定义：
x
﹣1
2
0
﹣2
1
f（x）
﹣2
﹣1
0
1
2
若 a1＝2，an+1＝f（an），n＝1，2，…，则 a50＝
，S50＝
．
三、解答题本大题共 4 小题，共 36 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17．（9 分）如图，在△ABC 中，点 D 在 BC 边上，∠ADC＝60°，CD＝2．
2016-2017 学年北京市丰台区高一（下）期中数学试卷（B 卷）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项．
1．（4 分）已知 a＜b＜0，则（）
A．a2＜ab
B．ab＜b2
C．a2＜b2
D．a2＞b2
2．（4 分）在等比数列{an}中，若 a1＝2，a3＝4，则 a7 等于（
A．
B．
C．
D．
【分析】由题意可知，折叠后的四面体 O﹣ACD 为正三棱锥，且侧棱 OA，OC，OD 两两互相垂直，再由三棱锥体积公式求解．【解答】解：折叠后的四面体如图所示，
其中 OA，OC，OD 两两垂直，
则
，AD＝AC＝CD＝2，
第 8页（共 15页）
∴该四面体的体积
．
故选：A．【点评】本题考查多面体体积的求法，关键是明确折叠后的图形，是中档题． 10．（4 分）如图，函数 f（x）的图象为两条射线 CA，CB 组成的折线，如果不等式 f（x） ≥x2﹣a 的解集中有且仅有 1 个整数，那么 a 取值范围是（）

北京市十二中2016-2017学年高一下学期期末考试数学试题(含精品解析)

2016-2017北京丰台十二中高一下期末一、选择题：（每题有且只有一个答案，每题5分，共60分）1. 已知，，，为实数，且，则下列不等式一定成立的是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：用特殊值法，令，，，，代入到选项中逐一排除即可得到正确答案..详解：令，，，选项A，，，，A错误；选项B，，，，B错误；选项C，，，，根据不等式的加法性质，C正确.；选项D，，，，D错误.故选C.点睛：不等式基本性质相关的选择、填空题，可充分利用特殊值法的功能，先用特殊值试试，可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则可排除该选项，这种方法节时高效．2. 向量，满足，且，则与的夹角的大小为（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据两个向量数量积的定义，求出与的夹角的余弦值，再根据两个向量夹角的范围，求出两个向量的夹角.详解：,又的范围为,故选C.点睛：本题主要考查两个向量数量积的定义，再根据三角函数值和两个向量夹角的范围求角，意在考查学生基本概念、基本知识掌握的准确度.3. 如图所示，在放置的四个几何体中，其正视图为矩形的是（）．A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：根据空间几何体的正视图几何特征分别进行判断即可.详解：选项A，三棱锥的正视图为三角形，.A错误；选项B，圆柱的正视图为矩形，B正确；选项C，圆台的正视图为等腰梯形，C错误；选项D，该几何体的正视图为梯形，D错误.故选B.详解：本题主要考查空间几何体的三视图的判断，要熟练掌握常见空间几何体的三视图.4. 在中，角，，所对的边长分别为，，，若，，则（）．A. B.C. D. 与的大小关系不能确定【答案】A【解析】试题分析：由余弦定理可得，把代入可得，解方程可得，.故选B考点：余弦定理5. 设数列是等差数列，且，，是数列的前项和，则（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由等差数列的性质，即，得，又由，得.详解：数列为等差数列，又，由数列前n项和的定义，故选B.点睛：本题考查等差数列的性质与前项和计算的应用，解题时要认真审题，注意灵活运用数列的基本概念与性质.6. 设，，，且，则（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：A：由及不等式的性质可知仅当时，成立，∴A错误；B：，而的符号未定，因此无法判断两者大小关系，∴B错误；C：根据，可知在上递增，因此由可得，∴C正确；D：，而的符号未定，因此无法判定两者大小关系，∴D错误.考点：1.作差法比较代数式的大小；2.函数结合不等式.7. 已知直线、，平面、，那么下列命题中正确的是（）．A. 若，，，则B. 若，，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】D【解析】分析：利用空间线线、线面、面面的位置关系求解即可.详解：选项A，若，，，则与相交或平行，A错误；选项B，若，，，则与相交或平行，B错误；选项C，若，，则与相交、平行或，C错误；选项D，若，，则由面面垂直的判定定理知，D正确.故选D.点睛：本题考查线、面的位置关系，熟练掌握空间线、面位置关系的分类、判断方法及其转换技巧是解答本题的关键.8. 三内角，，所对的边长分别为，，，且，，，则角的度数是（）．A. B. C. D. 或【答案】B【解析】分析：由正弦定理解得，再由可得，即可得到所求角.详解：，，由正弦定理，，由，可得，则故选B.点睛：三角形中角的求值问题，需要结合已知条件选取正、余弦定理，灵活转化边和角之间的关系，达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：求结果，即根据已知条件计算并判定结果.9. 已知某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的体积是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由三视图可知，该几何体为长方体截去一个三棱锥，结合三视图的数据求出几何体的体积.详解：由三视图还原直观图，如图可知，该几何体是一个棱长分别为6，3，6的长方体，截去一个三条棱长分别为4，4，3的三棱锥（长方体的一个角）.所以，该几何体的体积故选A.点睛：本题考查三视图与直观图的关系，几何体体积的求法，意在考查学生空间想象能力和计算能力.10. 设向量，满足：，，，以，，的模为边长构成三角形，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为（）．A. B. C. D.【答案】C详解：由，，，则以，，的模为边长构成的三角形，即边长分别为3，4，5的直角三角形.设三角形内切圆的半径为，则半径为1的圆有一个位置恰好是三角形内切圆，此时有三个交点，将圆的位置稍微变化，能出现4个交点的情况，但5个及以上交点就不能出现.故选C.点睛：本题考查平面向量的性质，考查直线和圆的位置关系，考查学生判断能力、推理论证能力.11. 如图，正四面体的顶点，，分别在两两垂直的三角射线，，上，则在下列命题中，错误的为（）．A. 是正三棱锥B.C. 直线与所成的角是D. 直线平面【答案】D【解析】分析：根据题意可得点均为正方体的顶点，借助正方体的特征与性质逐一排除，找出正确答案.详解：四面体为正四面体，且，，分别在两两垂直的射线，，上点均为正方体的顶点，如图所示.选项A ，，，是正三棱锥，A 正确.选项B ，连接OE ，易得，四边形为正方形，，则，B 正确.选项C ，四边形为正方形，，与直线与所成的角相等,易得，故C 正确.选项D ，延长BO 至点，使，连接，，由题意易得，所以点四点共面，即点平面；又点直线，直线平面，D 错误.故选D.点睛：本题考查正棱锥的定义，直线与直线，直线与平面的位置关系，异面直线夹角的定义与算法，结合已知条件，将问题放在正方体中研究是简化解题过程的关键.12. 已知是等比数列，，，则的取值范围是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据等比数列的通项公式和已知条件，建立方程组求出首项和公比，从而得到数列是以为首项，为公比的等比数列，再由公式求出数列的前n项和，即可求得的取值范围.详解：设数列的公比为，由题可知，，即，解得数列是以8为首项，为公比的等比数列，则，的取值范围为.故选A.点睛：两个等比数列与的积、商、倒数的数列、、仍为等比数列．二、填空题：（每题5分，共6×5=30分）13. 已知向量，，向量与垂直，则实数的值为__________．【答案】【解析】分析：先由向量的坐标运算，求出与，再由它们互相垂直列方程求解出的值.详解：向量，，向量与垂直，解得故答案为点睛：本题考查向量坐标运算及两个向量垂直的条件.（1）平面向量的坐标运算①若，，，则；②若，则．（2）平面向量垂直的条件若，，则.14. 设等比数列的公比，前项和为，则__________．【答案】15【解析】分析：运用等比数列的前n项和公式与数列通项公式即可得出的值.详解：数列为等比数列，故答案为15.点睛：本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式，考查学生对基本概念的掌握能力与计算能力.15. 若，则的最小值为__________．【答案】【解析】当时 ,当且仅当时取等号16. 在锐角中，，，则的值等于__________，的取值范围为__________．【答案】(1). 2(2).【解析】试题分析：，所以，由正弦定理得，即，所以，为锐角三角形，则，且，即，则有，且有，所以，故有，，所以，即，故的取值范围为.考点：1.正弦定理；2.三角函数的取值范围视频17. 如图，正方形的棱线长为，线段上有两个动点，，且，则下列结论中正确的是__________．（请把正确答案的题号写在横线上）（）（）平面（）三棱锥的体积为定值（）的面积与的面积相等．【答案】(1)(2)(3)【解析】对于（），由题可知，平面，所以，故（）正确；对于（），因为平面平面，平面，所以平面，故（）正确；对于（），由几何体的性质可知，三角形的面积是定值，点到平面的距离也是定值，所以三棱锥的体积为定值，故（）正确；对于（），由图可知，到线段的距离与到线段的距离不相等，而EF为两个三角形的公共边，所以的面积与的面积不相等，故（）错误．综上所述，结论中正确的是（）（）（）．三、解答题：18. 设，为实数，比较与的大小．【答案】见解析【解析】分析：通过作差比较大小，凑完全平方与0比较即可.详解：解：，当且仅当时同时取等号，当且仅当时取等点睛：比较两数（式）的大小方法：1、作差法：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．2、作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．注意：商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论．3、特值法：若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断．19. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，他们把以下形状的数成为三角形数（如图）．若将这些三角形数从小到大组成数列．（）则第个三角形数（______）．（请将正确答案的选项填在括号内）A．B．C．D．（）若数列满足，是其前项的和．①求数列的前项的和．②若数列的前项的和，求的最大值．【答案】(1)C;(2)，最大值为.【解析】分析：（1）根据图形的规律得第n个三角形中的黑点数为（2）①由（1）可知，从而得到的通项公式，计算前项的和；②将代入不等式，解不等式取整即可求得结果.详解：（1）由题可知图形规律，第一图，第二图，第三图，归纳得第n个图故选C.（）①∵，．②∵，∴，∴，最大值为．点睛：数列的规律问题求解的一般步骤是：（1）通过观察前几项的特点，发现数列间的规律；（2）猜想出数列公式；（3）验证公式20. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且．（）求角的大小．（）若，，求的面积．【答案】（）;（）．【解析】分析：（1）由正弦定理边化角得，即，.（2）由余弦定理得，又因为，解得，从而求得的面积为.详解：解：（）∵，由正弦定理得，∴，，（）∵①，且，，∴②，联立上式解得，．点睛：本题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键.21. 如图，菱形的边长为，，，将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，点是棱的中点，．（）求证：平面．（）求证：平面平面．（）求三棱锥的体积．【答案】（）证明见解析;（）证明见解析;（）．【解析】分析：（1）由题可知分别为中点，所以，得平面.（2）由已知条件结合勾股定理得，又因为四边形为菱形得，所以平面，证得平面平面．（3）由三棱锥的体积等于三棱锥的体积，从而得三棱锥的体积.详解：（）证明：∵点是菱形的对角线交点，∴是的中点，又∵点是棱的中点，∴是的中位线，，∵平面，平面，∴平面．（）证明：由题意，∵，∴，，又∵菱形中，，，∴平面，∵平面，∴平面平面．（）∵三棱锥的体积等于三棱锥的体积由（）知平面，∴是三棱锥的高，，∴．点睛：（1）线面平行常用证明方法：①线面平行定义：直线与平面没有公共点.②线面平行的判定定理：若平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行.③面面平行的基本性质：两平面平行，其中一平面中的任意一条直线均平行于另一平面.（2）面面垂直常用证明方法：①定义法：两个平面的二面角是直二面角；②面面垂直的判定定理：若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直；③如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直。

2016-2017年北京市丰台区高一(下)期中数学试卷(b卷)和答案

2016-2017学年北京市丰台区高一（下）期中数学试卷（B卷）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（4分）已知a＜b＜0，则（）A．a2＜ab B．ab＜b2C．a2＜b2D．a2＞b2 2．（4分）在等比数列{a n}中，若a1=2，a3=4，则a7等于（）A．8B．16C．32D．643．（4分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=3，，，则最小角为（）A．B．C．D．4．（4分）已知正方体的棱长为2，则该正方体的外接球的直径为（）A．B．C．D．5．（4分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=4，，A=45°，则B的大小为（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°6．（4分）直角三角形的两条直角边的长度分别是3，4，以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，旋转一周形成几何体的体积是（）A．12πB．C．D．48π7．（4分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．5B．7C．9D．108．（4分）设函数f（x）=2x+（x＞0），则f（x）（）A．有最大值2B．有最大值2C．有最小值2D．有最小值2 9．（4分）如图所示，在边长为2的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC，OD折叠，使OA，OB重合，则以A（B），C，D，O为顶点的四面体的体积为（）A．B．C．D．10．（4分）如图，函数f（x）的图象为两条射线CA，CB组成的折线，如果不等式f（x）≥x2﹣a的解集中有且仅有1个整数，那么a取值范围是（）A．{a|﹣2≤a＜0}B．{a|﹣2＜a＜0}C．{a|0≤a＜1}D．{a|﹣2≤a＜1}二、填空题共6小题，每小题4分，共24分11．（4分）若三个正数a，b，c成等比数列，其中a=5+2，c=5﹣2，则b=．12．（4分）已知关于x的不等式（ax﹣1）（x+1）＞0的解集是，则a=．13．（4分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=60°，b=4，，则△ABC的面积等于．14．（4分）某三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的表面积为．15．（4分）某商场的新年促销最高奖设立两种领奖方式．A方式：获奖者可以直接选择领取2000元的奖金．B方式：从12月20日到第二年的1月1日，每天到商场领取奖金．第一天领取的奖金100元，第2天为110元，以后逐天增加10元．通过对比可知，第种方式获奖者受益更多．16．（4分）函数f（x）由表定义：若a1=2，a n+1=f（a n），n=1，2，…，则a50=，S50=．三、解答题本大题共4小题，共36分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（9分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠ADC=60°，CD=2．（1）若AD=BD=3，求△ABC的面积．（2）若AD=2，，求BD的长．18．（9分）已知{a n}是等差数列，a2=﹣1，a5+a7=6．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）设，求{b n}的前n项和S n．19．（8分）已知函数f（x）=x2+（1﹣a）x﹣a．（1）当a=3时，解不等式f（x）＜0．（2）解不等式f（x）＞0．20．（10分）设数列{a n}的前n项和为S n，满足a1=1，．（1）求a2，a3的值．（2）求数列{a n}的通项公式．（3）令，直接写出数列{c n}的最小值及相应的n的值．2016-2017学年北京市丰台区高一（下）期中数学试卷（B卷）参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（4分）已知a＜b＜0，则（）A．a2＜ab B．ab＜b2C．a2＜b2D．a2＞b2【解答】解：∵a＜b＜0，当a=﹣2，b=﹣1，则A，B，C不成立，根据基本性质可得a2＞b2，故选：D．2．（4分）在等比数列{a n}中，若a1=2，a3=4，则a7等于（）A．8B．16C．32D．64【解答】解：设等比数列{a n}的公比是q，∵a1=2，a3=4，∴a1q2=4，则q2=2，∴a7=a1q6=a1（q2）3=2×23=16．故选：B．3．（4分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=3，，，则最小角为（）A．B．C．D．【解答】解：△ABC中，a＞b＞c，∴角C最小；由余弦定理得，，又C∈（0，π），∴，即△ABC中最小的角为．故选：C．4．（4分）已知正方体的棱长为2，则该正方体的外接球的直径为（）A．B．C．D．【解答】解：正方体的对角线就是正方体外接球的直径，∵正方体的棱长是2，所以该正方体的外接球的直径为．故选：D．5．（4分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=4，，A=45°，则B的大小为（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°【解答】解：在△ABC中，由正弦定理可得，即，∴，又a＞b，∴B=30°．故选：A．6．（4分）直角三角形的两条直角边的长度分别是3，4，以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，旋转一周形成几何体的体积是（）A．12πB．C．D．48π【解答】解：以该直角三角形的斜边所在直线为旋转轴旋转一周形成的几何体是两个圆锥的组合体，其中圆锥的底面半径为，高的和为5，所以该几何体的体积．故选：C．7．（4分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．5B．7C．9D．10【解答】解：由等差数列{a n}的性质，及a1+a3+a5=3，∴3a3=3，∴a3=1，∴S5==5a3=5．故选：A．8．（4分）设函数f（x）=2x+（x＞0），则f（x）（）A．有最大值2B．有最大值2C．有最小值2D．有最小值2【解答】解：∵x＞0，∴f（x）=2x+≥2=2，当且仅当x=时等号成立，∴f（x）有最小值2．故选：D．9．（4分）如图所示，在边长为2的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC，OD折叠，使OA，OB重合，则以A（B），C，D，O为顶点的四面体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：折叠后的四面体如图所示，其中OA，OC，OD两两垂直，则，AD=AC=CD=2，∴该四面体的体积．故选：A．10．（4分）如图，函数f（x）的图象为两条射线CA，CB组成的折线，如果不等式f（x）≥x2﹣a的解集中有且仅有1个整数，那么a取值范围是（）A．{a|﹣2≤a＜0}B．{a|﹣2＜a＜0}C．{a|0≤a＜1}D．{a|﹣2≤a＜1}【解答】解：根据题意可知，不等式f（x）≥x2﹣a等价于a≥x2﹣f（x），令g（x）=x2﹣f（x），即，可得g（x）的大致图象，如图所示，又g（0）=﹣2，g（1）=1+1﹣2=0，g（﹣1）=1+2﹣2=1，∴要使不等式的解集中有且仅有1个整数，则﹣2≤a＜0，即a取值范围是{a|﹣2≤a＜0}．故选：A．二、填空题共6小题，每小题4分，共24分11．（4分）若三个正数a，b，c成等比数列，其中a=5+2，c=5﹣2，则b= 1．【解答】解：由a，b，c三个正数成等比数列，且a=5+2，c=5﹣2得：b===1．故答案是：1．12．（4分）已知关于x的不等式（ax﹣1）（x+1）＞0的解集是，则a=2．（x+1）＞0的解集是，【解答】解：由关于x的不等式（ax﹣1）所以a＞0，且﹣1和是对应方程的两个实数根，即，解得a=2．故答案为：2．13．（4分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=60°，b=4，，则△ABC的面积等于2．【解答】解：根据题意，在△ABC中，A=60°，b=4，，则由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即12=16+c2﹣4c，解得c=2，△ABC的面积；故答案为：2．14．（4．【解答】解：根据三视图作出该三棱柱的直观图，其中底面是直角边长为2的等腰直角三角形，故该三棱柱的表面积．故答案为：．15．（4分）某商场的新年促销最高奖设立两种领奖方式．A方式：获奖者可以直接选择领取2000元的奖金．B方式：从12月20日到第二年的1月1日，每天到商场领取奖金．第一天领取的奖金100元，第2天为110元，以后逐天增加10元．通过对比可知，第B种方式获奖者受益更多．【解答】解：从12月20号到第二年的1月1号共13天，每天领取奖金数是以100为首项，以10为公差的等差数列，所以共获奖金元，故第B种方式获奖者收益更多．故答案为：B16．（4分）函数f（x）由表定义：若a1=2，a n+1=f（a n），n=1，2，…，则a50=﹣1，S50=1．【解答】解：∵a1=2，a n+1=f（a n），n=1，2…，∴a2=f（a1）=f（2）=﹣1，a3=f（a2）=f（﹣1）=﹣2，a4=f（a3）=f（﹣2）=1，a5=f（a4）=f（1）=2，∴数列{a n}是以4为周期的周期数列，∴a50=a2=﹣1，S50=12（a1+a2+a3+a4）+a49+a50=0+2+（﹣1）=1．故答案为：﹣1，1三、解答题本大题共4小题，共36分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（9分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠ADC=60°，CD=2．（1）若AD=BD=3，求△ABC的面积．（2）若AD=2，，求BD的长．【解答】解：（1）若AD=BD=3，∠ADC=60°，则∠DAB=∠DBA=30°，∠BDA=120°，在△ABD中，由余弦定理可得AB2=BD2+AD2﹣2BD•AD•cos120°，即，∴，∴△ABC的面积；（2）∵AD=2，CD=2，∠ADC=60°，∴△ACD是等边三角形，AC=2，∠C=60°，在△ABC中，由正弦定理得，即，∴，解得BD=4．18．（9分）已知{a n}是等差数列，a2=﹣1，a5+a7=6．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）设，求{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项是a1，公差为d，∵a2=﹣1，a5+a7=2a6=6，∴，解得，∴数列{a n}的通项公式为a n=﹣2+（n﹣1）=n﹣3．（2）∵，数列{n}的前n项和为：，数列{2n}的前n项和为：，∴数列{b n}的前n项和．19．（8分）已知函数f（x）=x2+（1﹣a）x﹣a．（1）当a=3时，解不等式f（x）＜0．（2）解不等式f（x）＞0．【解答】解：f（x）=x2+（1﹣a）x﹣a=（x+1）（x﹣a），（1）当a=3时，f（x）=（x+1）（x﹣3），∴f（x）＜0等价于（x+1）（x﹣3）＜0，解得﹣1＜x＜3，∴不等式的解集是{x|﹣1＜x＜3}；（2）f（x）=（x+1）（x﹣a）＞0，∴当a=﹣1时，解得x≠﹣1，当x＞﹣1时，解得x＜﹣1或x＞a；当a＜﹣1时，解得x＜a或x＞﹣1，综上所述，当a=﹣1时，不等式的解集是{x|x≠﹣1}；当a＞﹣1时，不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞a}；当a＜﹣1时，不等式的解集为{x|x＜a或x＞﹣1}．20．（10分）设数列{a n}的前n项和为S n，满足a1=1，．（1）求a2，a3的值．（2）求数列{a n}的通项公式．（3）令，直接写出数列{c n}的最小值及相应的n的值．【解答】解：（1）∵a1=1，2S n=a n+1﹣1，∴a n=2S n+1，+1∴a2=2S1+1=2a1+1=3，a3=2S2+1=2（a1+a2）+1=9；（2）∵2S n=a n+1﹣1，=a n﹣1（n≥2），∴2S n﹣1两式相减得：2a n=a n+1﹣a n，即a n+1=3a n（n≥2），又，∴数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列，∴；（3）∵，∴，当n=8或9时，数列{c n}取得最小值，．。

北京市丰台区高一数学下学期期末考试试题(含解析)

丰台区2016—2017学年度第二学期期末练习高一数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 如果，那么下列不等式中一定成立的是A. B. C. D.【答案】A【解析】由不等式的性质，如果，则.本题选择A选项.2. 等比数列中，，，则A. B. 4 C. D. 8【答案】B【解析】由等比数列的性质可知，成等比数列，则： .本题选择B选项.3. 执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的等于A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】流程图等价于分段函数：，则： .本题选择B选项.点睛：在画程序框图时首先要进行结构的选择．若所要解决的问题不需要分情况讨论，只用顺序结构就能解决；若所要解决的问题要分若干种情况讨论时，就必须引入条件结构；若所要解决的问题要进行许多重复的步骤，且这些步骤之间又有相同的规律时，就必须引入变量，应用循环结构．4. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是等腰三角形，那么该几何体的体积是A. 96B. 128C. 140D. 152【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是一个三棱柱，底面积为等腰三角形，其中底为6，底边上的高为4，三棱柱的高为8，该几何体的体积为： .本题选择A选项.5. 在△中，角，，的对边分别为，，，且，，则△一定是...A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形【答案】C【解析】由余弦定理可得：b2=a2+c2−2accosB=a2+c2−ac=ac，化为(a−c)2=0，解得a=c.又B=60°，可得△ABC是等边三角形，本题选择C选项.6. 二次函数的部分对应值如下表：则一元二次不等式的解集是A. B.C. D. ...【答案】C【解析】由题意可知：一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根为−2,3(a<0)，则ax2+bx+c>0解为−2<x<3，故不等式的解集为{x|−2<x<3}，本题选择C选项.点睛：“三个二次”间关系，其实质是抓住二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与横轴的交点、二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值、二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是同一个问题．解决与之相关的问题时，可利用函数与方程思想、化归思想将问题转化，结合二次函数的图象来解决．7. 在数列中，，且，则A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得，数列是首项为，公差的等差数列，则通项公式：，且：，据此可得：本题选择A选项.点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．8. 已知各项均为正数的等比数列中，如果，那么这个数列前3项的和的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】设等比数列的公比为，则：，当且仅当时等号成立，即这个数列前3项的和的取值范围是.9. 已知n次多项式，在求值的时候，不同的算法需要进行的运算次数是不同的．例如计算（k＝2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法运算，按这种算法进行计算的值共需要9次运算（6次乘法运算，3次加法运算）．现按右图所示的框图进行运算，计算的值共需要次运算．A.B.C.D.【答案】B【解析】阅读流程图可得，该流程图表示的是秦九韶算法，由秦九韶算法的特征结合所给多项式的特点可得计算的值共需要2n次运算，其中加法、乘法运算各n次.本题选择B选项.10. 如图，在正方体中，点在正方体表面运动，如果，那么这样的点共有...A. 2个B. 4个C. 6个D. 无数个【答案】C【解析】设点A 到直线的距离为，则满足题意的点位于以为轴，以位半径的圆柱上，即满足题意的点为圆柱与正方体的交点，由几何关系可得，交点的个数为个. 本题选择C选项.第二部分（非选择题共60分）二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．11. 从某企业生产的某种产品中抽取100件样本，测量这些样本的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组[75，85) [85，95)[95，105)[105，115)[115，125]频数 6 26 38 22 8则样本的该项质量指标值落在[105，125]上的频率为_____．【答案】0.3【解析】由频率计算公式可得，样本的该项质量指标值落在[105，125]上的频率为.12. 函数的最大值是_____．【答案】1...【解析】题中所给的二次函数开口向下，对称轴为，则函数的最大值为： .13. 如图，样本数为的三组数据，它们的平均数都是，频率条形图如下，则标准差最大的一组是_____．【答案】第三组【解析】由题意，标准差越大，数据的波动越大，观察题中所给数据，第一组和第二组均没有波动，则标准差最大的一组是第三组.点睛：D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散，反之，D(X)越小，X的取值越集中．14. 已知两条不重合的直线和两个不重合的平面,，给出下列命题：①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．上述结论中，正确结论．．．．的序号是_____（写出所有正确结论的序号）．【答案】②③【解析】由线面关系逐一考查所给的各个命题：①如果，，那么不一定有，该命题错误；②如果，，那么，该命题正确；③如果，，那么，该命题正确；④如果，，那么不一定有，该命题错误．综上，正确的结论为②③ .15. 如图，为了测量河对岸两点之间的距离．观察者找到了一个点，从可以观察到点；找到了一个点，从可以观察到点；找到了一个点，从可以观察到点．并测量得到图中一些数据，其中，，，，，，则_____．【答案】【解析】由特殊三角形的特征可得：，在△ABC中应用余弦定理：.16. 数列满足，，其前项和为，则（1）_______；（2）_______．【答案】 (1). 4 (2).【解析】由递推关系可得：，两式做比值可得：，则：，由可得：，...则奇数项、偶数项分别为首项为1，公比为2的等比数列，则：点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．三、解答题共4小题，共36分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17. 在△中，角，，的对边分别为，，，且，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）如果，求的值及△的面积．【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）.【解析】试题分析：(1)由正弦定理结合题意可得;(2)由余弦定理结合三角形的面积公式可得.试题解析：（Ⅰ）因为以及，所以，因为所以（Ⅱ）因为以及所以，因为，所以因为，，所以所以.18. 某校在“普及环保知识节”后，为了进一步增强环保意识，从本校学生中随机抽取了一批学生参加环保基础知识测试．经统计，这批学生测试的分数全部介于75至100之间．将数据分成以下组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）现采用分层抽样的方法，从第3，4，5组中随机抽取6名学生座谈，求每组抽取的学生人数；（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计随机抽取学生所得测试分数的平均值在第几组（只需写出结论）．【答案】（1）;（2）从，，组应依次抽取名学生，名学生，名学生;(3) 第3组.【解析】试题分析：(1)由小长方形面积和为1列方程可得；(2)由分层抽样比可得从，，组应依次抽取名学生，名学生，名学生；...(3)由频率分布直方图计算平均值的特点结合中点值的特征可得随机抽取学生所得测试分数的平均值在第三组.试题解析：（1）因为各组的频率之和为1，，解得（2）由频率分布直方图知，第，，组的学生人数之比为．所以，每组抽取的人数分别为：第组：；第组：；第组：．所以从，，组应依次抽取名学生，名学生，名学生．（3）第3组点睛：一是在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率/组距，而不是频率；二是利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.19. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，点是棱的中点，，平面平面．（Ⅰ）求证：//平面；（Ⅱ）求证：平面；(Ⅲ) 设,试判断平面⊥平面能否成立；若成立，写出的一个值（只需写出结论）．【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）见解析(Ⅲ) 不能成立.【解析】试题分析：(1)由题意可得EO// PC，利用线面平行的判定定理可得PC//平面BDE；(2)利用题意证得PC⊥AC,PC⊥BD，结合线面垂直的判定定理即可证得结论；(3)由空间关系可知面面垂直的关系不能成立.试题解析：证明：（Ⅰ）证明：设，连接，因为底面为正方形，所以是的中点，又点是棱的中点，所以EO是的中位线，所以EO// PC因为EO平面，平面，所以PC//平面BDE；（Ⅱ）证明：(法一）在和中，因为，，，所以≌，又点是棱的中点，所以，所以，因为平面平面，平面平面，平面所以平面，所以EO⊥AC,EO⊥BD,因为EO//PC所以PC⊥AC,PC⊥BD,又AC∩BD=O所以PC⊥平面ABCD．（法二）连接PO因为底面ABCD是正方形，所以O是BD的中点，BD⊥AC,又PB=PD,所以PO⊥BD,又PO∩AC=O,PO平面PAC,AC平面PAC所以BD⊥平面PAC又OE平面PAC, 所以BD⊥OE，因为平面平面，平面平面，平面所以平面，所以EO⊥AC,EO⊥BD,因为OE∥PC,所以PC⊥AC,PC⊥BD,又A C∩BD=O所以所以PC⊥平面ABCD．(Ⅲ) 不能成立20. 设数列满足，；数列的前项和为，且．（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）把数列和的公共项．．．从小到大排成新数列,试写出，，并证明为等比数列．...【答案】（Ⅰ），; （Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：(1)累加求和可得，结合的通项公式可得(2)由(1)的结论可知，，结合题意和(1)中的结果即可证得数列为等比数列.试题解析：（Ⅰ）由已知，当时，．又因为，所以数列的通项公式为．因为，所以，两式做差可得，且也满足此式，所以.（Ⅱ）由，，可得，.假设,则.所以,不是数列中的项；，是数列中的第项. 所以，从而.所以是首项为,公比为的等比数列.。

2015-2016学年北京市丰台区普通中学高一(下)期末数学试卷-含详细解析.

2015-2016学年北京市丰台区普通中学高一（下）期末数学试卷副标题一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，4），OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ （1，3），则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于（）A. (1,1)B. (−1,−1)C. (3,7)D. (−3,−7) 2. 已∈（，2π），s α＞0，且cosα＜0，则角α的取值围（）A. (0,π2)B. (π2,π)C. (π,3π2)D. (3π2,2π)3. 如数y =tan （x +φ）的经过点(π3，/空/0)那么φ可是（）A. −π3B. −π6 C. π6 D. π3 4. m ∈R 向量 a ⃗ =（，-2），b ⃗ =m ，m -），若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则m 等）A. −23B. 23 C. −4D. 45. 函数=（sin x +os ）2（x ∈R ）的最周期是（）A. π4B. π2C. πD. 2π6. 函数y cos x 的条对称轴的方程是（）A. x =0B. x =π4C. x =π2D. x =3π47. 在△AC ，是BC 的中点，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于） A. 2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. 2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. 2DA ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 2AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 8. 知函数f （x ）=sin x +sx 那么f(π12)的是（）A. 2√33B. √32C. √62D. √229. 已知a ⃗ 、b ⃗ 均为单向量，们夹角为60，那么|a ⃗ −b⃗ |等于） A. 1 B. √2 C. √3 D. 2 10. 得到函数y =cosx +π6)的图，只需将函数y =inx 的图（）A. 向左平移π3个长度单位 B. 向右平移π3个长度单位 C. 向左平移2π3个长度单位D. 向右平移2π3个长度单位二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11. 设α第二象限角in α=513则cosα= ______ ．12. 若向量a ⃗ （1，2与向量b ⃗ =（λ，-）共线则实λ= ______ ． 13. cos215-1= ______ ．14.知向量a⃗与b⃗ 的夹角为20°，|a⃗|=|b⃗ |4，那么a⃗•b⃗ 的值为______ ．15.若α的终边经点P（1，2），则n2α的值为______ ．16.如，天中6时至14时的温度变化近似满足函y=sin（ωx+φ）+（其中π2＜＜π那么一天6时至14时温差的最值是______ °C；图中曲对应的函数解析是______ ．三、解答题（本大题共3小题，共36.0分）17.求an(α+π4)的值；求sin2αcos2的．18.设α(0，π2)，向量a⃗=（cos，inα），b⃗ =(−12，√32)．当|2a⃗+b⃗ |=|a⃗−2b⃗ 时，求角α．19.求f(5π12)的值；已知函数fx）=si2（π4+）+√3（sin xcs2x），x∈[π4，π2]．若等式f（）-|＜2恒成，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵=（，4），=（13），∴=．故选：接利用向量减法三法则代入坐标得答案．本题查向量坐标运算，考查了向量减的角法则是基础题．2.【答案】B【解析】解：inα＞0，且cosα＜0 可，角α是第二象限又α0，2π，故α∈，故选．sin＞0，且cosα＜0 可知，角α 是第二象限，α（0，2π，而得到α值范围．本题考三函数在象限中的符，判断角α 是第二象限角解题的关键．3.【答案】A【解析】解：∵y=tn+φ）的图象经过点，φ=kπ-k∈Z，则φ=π-，解：y=tan（x+φ的图象经点，当k=0，=-，即φ=π，k∈Z，ta（+）=0故选A由已知中函数yanx+φ）图象经过点，根据正切数的图象和性质，易造出关φ的三角程，解方即出满足条件的φ值．本考查的知识点是正切函的图象和，其中根已知条件结合切数图象和性构造出一个关于φ的三角程是解答本题的关．4.【答案】D【解析】解：（1，-2），=（m，-），∵⊥，∴m=4．故选．根据⊥后利用向量积0得到关于m的方程，直接求解即可．本题考查了向量数量积算若向垂直，则数量积为0．基础题型．5.【答案】C【解析】解：函数y=sinxcosx）2=si2+2sxcox+cs2x=1+sn2x，∵=2，∴T==π．故选C把函数系式用完平方化，再利用角三角数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简后，化为一个角的正数，出ω的代入周期公式即可原函数周期．此题考查了三角函数的周期性及其求法，二正弦函数公式以及同三角函数间基本关系，函数式通三角函数的恒等变形化为一个角的正弦数本的．6.【答案】A【解析】解：y=cosx的对轴方程为=π，当k=0时，x．故A．根余弦数对称轴方x=kπ确定选项．题查了余弦函数的对轴方程，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：如图，作出四边ABC，是对角线的交点，故D是BC中点，是AE中点题意如图==故选D作三角形图象，利用平四边形法作出由图象即可选出确答案本题考查向法则，答本题，关是理解向量加法的三角法则与平行形法则，作符条件的图象，图得出确选项．8.【答案】C【解析】解：fx）=sixcosx=sin（+）∴f（）==故C．化简fx）sinx+cos=sn（x+，直代入求值．本考查了三角函数的化简求值属基题型．9.【答案】A【解析】解：∵、均为单向量，它们的角为0°=1∴||=|=1，•=∴=1∴=选A．由于本题中未出向量的坐标，故求向的模时，要是根据量数量的数量积算公式，求向量模的方即量的平，再方解．求向量的一有两种：若已向量坐标或向量起点和终点的坐标，则或；若未知向量的坐标，只是已知条件中有向量的模夹角，量的模时主要是根向量数数量计算式，出向量的平方向量的方，再开方求解，查运算能，属基础题．10.【答案】C【解析】解：y=sixcos（x-），，故需将函数y=sinx的左平移个长单位．故C．将y=sinx化为os（x-），再根三角函的图象变换识确定平移的向和长度．本题查三函数的图象换，中间到了导公式，属于常考题型．11.【答案】-1213【解析】解：∵sin=α第二象限角，∴osα=-=-=-．故答案：-．用si2α+cos2α=合α是第二象限角，即可求得cα．本题考查同角角函间的基关系，属于础题．12.【答案】−12【解析】解：∵∴-1=λ答案为：．向共线的充要件列出方程，解程求出λ的值．解决关向量共题，应该利用向量共线的充要条件：标叉乘相等．13.【答案】√32【解析】解：2co21°-1=os30°=故答案：．直接利用二角余弦公式得出2os5°-1=cs3°然后运用特殊角的角函数值出结果．本题查了二倍角余弦公式，要练掌关公式，就可以正确解题，属础题．14.【答案】-8【解析】解：．故答案为-．利用2向量的数量式，2个向量相的结果，等于向量的模相乘，再乘以这两个向角的．本题考查2量的数量积公式的用，是一础题．15.【答案】43【解析】解：角α的终边经过点P（1-2，∴故答为：．根据角终边经过点P（1，-2），可出tanα的值，而由二角公可得案．本主要考查切数的定义及二角公式．16.【答案】20；y=10sin(π8x+3π4)+20，x∈[6，14]【解析】解：图示，这段间的最大差是3-0=20℃，综上求的解析式为，x[6，14．将=6，y=0代入上，可φ=，∴•=146解得ω=，这，=10sin（φ）+2，故答案为20；x∈[6，4]图象的点与最低点易于出这段时间的大温差；A、b可由图象直接出，ω由周求得，通过特殊求，则问题解．主查由函数yAsinωx+∅）+b的部分图象确定解析式的本方法．17.【答案】解：ta(α+π4)=tanαtanπ41−taαtanπ4=−13． (4)由α∈(π2，空格//空/π)，nα=-2，所以/格/sinα+cos2α=2sinsα+cos2α−in2)=−45−35=−75．…（0分）【解析】直接利用角和的切式和特殊角三函数值，求出tan+α）的．先出snα，cos的值，然后利倍角的公式解出sin2+cs2α的值即．本考查同角函的基本关系式的应用考查能力，题的关键熟练掌握相关公式，属于基础题．18.【答案】解：证明：向量a⃗=（cosα，nα），b⃗ =(−12，√32)，由|a⃗|=|b⃗ |1，得a⃗⋅b⃗ =0，即/格/−12cos+√32snα=0．将|2a⃗+b⃗ |=|a⃗−2b⃗ |两边方化简得3（|a⃗|-|b⃗ |2+8a⃗⋅b⃗ =0，以向量a⃗+b⃗ 与a⃗−b⃗ 垂直．…（分）所以si(α−π6)=0，意到∈(0，π2)，得α=π6．（12）【解析】计算||，，通过算，证向量与垂直；将||=||两边平方，平方得3||-||2+8，从而到以，后求角α．本查量积判断个平面向量的垂直关系，向量的模，二倍角的弦二角的余弦考查算能力．19.【答案】解：f(5π12=2sin2(π4+5π12)+√3(sin25π12−cos25π12)=3．空格/f（x）单调减区间是[5π12，π2]．/空/(x)=1−cos(π2+2x)−√3cs2x=+sinx−√3cosx=12si(2x−π3)． /格空/ /格///|（x）-m|＜2⇔x-2＜m＜f（x+2，x∈[π4，π2]．当π6≤x−π3≤π2时，fx）单调递；∴（x）的值域[2，]．所以（x）的单调递增是[π4，5π12]；∴π6≤x−π3≤2π3，空格/当π2≤2−π3≤2π3时f（x）单递减，∴1m＜4m的取值围是（1，4）．【解析】所的三函数的析进行恒等变形，整出=Asnωx+φ）形式，根据正弦曲线的调性写出ωx+φ在的区间，解出不等式可．根据前面整理的结果，fx）的值域，不等式|f（x）-m2恒成立出关绝对值的不等式，求结果．本题三数的恒等变和三角数的最值，本题的关键是正确整理函数的简果，题的难度和高卷中出现的题目的难度相似．。

2016-2017北京丰台高一下期中B卷数学真题卷

丰台区2016-2017学年度第二学期期中考试联考高一数学（B 卷）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知0a b <<，则（）．A ．2a ab <B ．2ab b <C ．22a b <D ．22a b >【答案】D【解析】∵函数2y x =在(,0)-∞上单调递减，∴当0a b <<时，220a b >>．故选D ．2．在等比数列{}n a 中，若12a =，34a =，则7a 等于（）．A ．8B ．16C ．32D ．64【答案】B【解析】∵在等比数列{}n a 中，若12a =，34a =， ∴2312a q a ==，∴6712816a a q ==⨯=．故选B ．3．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3a =，b =c =，则最小角为（）．A ．π3 B ．π6 C ．π4 D ．π12【答案】C【解析】由题意，ABC △中，角C 最小，由余弦定理可得，222cos2a b c C ab +-=== ∴π4C =，即ABC △中，最小角为π4．故选C ．4．已知正方体的棱长为2，则该正方体的外接球的直径为（）．A B C ． D ．【答案】D【解析】正方体的对角线就是正方体外接球的直径，由于正方体的棱长是2，所以该正方体的外接球的直径为．故选D ．5．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，4a =，b =，45A =︒，则B 的大小为（）．A ．30︒B ．60︒C ．30︒或150︒D ．60︒或120︒ 【答案】A【解析】由正弦定理可得sin sin a b A B =，即4sin 45=︒，∴1sin 2B ==，又a b >，∴30B =︒．故选A ．6．直角三角形的两条直角边的长度分别是3，4，以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，旋转一周形成几何体的体积是（）．A ．12πB ．144π5C ．48π5D ．48π【答案】C【解析】以该直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，旋转一周形成的几何体是两个圆锥的组合体，其中圆锥的底面半径为125，所以该几何体的体积211248ππ5355V ⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭．故选C ．7．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1353a a a ++=，则5S =（）．A ．5B ．7C ．9D ．11【答案】A【解析】由等差数列{}n a 的性质及1353a a a ++=，得333a =，∴31a =， ∴1553()5552a a S a +⨯===．故选A ．8．设函数1()2(0)f x x x x =+>，则()f x （）．A ．有最大值2B ．有最大值C ．有最小值2D ．有最小值【答案】D【解析】∵0x >，∴1()2f x x x =+=≥ 当且仅当12x x=，即x =时，等号成立，∴1()2(0)f x x x x=+>有最小值故选D ．9．如图所示，在边长为2的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，剪去AOB △，将剩余部分沿OC ，OD 折叠，使OA ，OB 重合，则以()A B ，C ，D ，O 为顶点的四面体的体积为（）．A B C ．23 D ．43【答案】A【解析】折叠后的四面体如图所示，其中OA ，OC ，OD 两两垂直，则OA OC OD ==2AD AC CD ===，∴该四面体的体积111332COD V S OA =⋅=⨯△．故选A ．10．如图，函数()f x 的图象为两条射线CA ，CB 组成的折线，如果不等式2()f x x a -≥的解集中有且．．仅有．．1个整数，那么a 取值范围是（）．A ．{}|20a a -<≤B ．{}|20a a -<<C ．{}|01a a <≤D ．{}|21a a -<≤【答案】A【解析】根据题意可知22,0()2,0x x f x x x +⎧=⎨-+>⎩≤，不等式2()f x x a -≥等价于2()a x f x -≥，令2()()g x x f x =-，即2222,0()2,0x x x g x x x x ⎧--⎪=⎨+->⎪⎩≤，可得()g x 的大致图象，如图所示，又(0)2g =-，(1)1120g =+-=，(1)1221g -=+-=，∴要使不等式的解集中有且仅有1个整数，则20a -<≤，即a 取值范围是{}|20a a -<≤．故选A ．二、填空题共6小题，每小题4分，共24分11．若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中5a =+5c =-b =__________．【答案】1【解析】∵三个正数a ，b ，c 成等比数列，且其中5a =+5c =-∴2(51b ac ==+-=，∴1b =．12．已知关于x 的不等式(1)(1)0ax x -+>的解集是1(,1),2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，则a =__________．【答案】2【解析】由于关于x 的不等式(1)(1)0ax x -+>的解集是1(,1),2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，所以0a >，且112a =，故2a =．13．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，60A =︒，4b =，a =，则ABC △的面积等于__________．【答案】【解析】在ABC △中，由余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+-，即212164c c =+-，解得2c =，故ABC △的面积11sin 4222S bc A ==⨯⨯=．14．某三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的表面积为__________．【答案】12+【解析】根据三视图作出该三棱柱的直观图，其中底面是直角边长为2的等腰直角三角形，故该三棱柱的表面积12222222122S =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+15．某商场的新年促销最高奖设立两种领奖方式．A 方式：获奖者可以直接选择领取2000元的奖金．B 方式：从12月20日到第二年的1月1日，每天到商场领取奖金．第一天领取的奖金100元，第2天为110元，以后逐天增加10元．通过对比可知，第__________种方式获奖者受益更多．【答案】2【解析】从12月20号到第二年的1月1号共13天，每天领取奖金数是以100为首项，以10为公差的等差数列，所以共获奖金1312131001020802⨯⨯+⨯=元，故第2种方式获奖者收益更多．16．函数()f x 由下表定义：若1，1n n +，，2，，则50a =__________，50S =__________．【答案】1- 1 【解析】∵12a =，1()n n a f a +=，1n =，2，∴21()(2)1a f a f ===-，32()(1)2a f a f ==-=-，43()(2)1a f a f ==-=，54()(1)2a f a f ===， ∴数列{}n a 是以4为周期的周期数列，∴5021a a ==-，501234495012()02(1)1S a a a a a a =+++++=++-=．三、解答题本大题共4小题，共36分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17．（本小题9分）如图，在ABC △中，点D 在BC 边上，60ADC ∠=︒，2CD =．（1）若3AD BD ==，求ABC △的面积．（2）若2AD =，sin B =BD 的长．【答案】见解析．【解析】解：（1）若3AD BD ==，60AD =︒，则30DAB DBA ∠=∠=︒，120BDA ∠=︒，在ABD △中，由余弦定理可得2222cos120AB BD AD BD AD =+-⋅⋅︒，即219918272AB ⎛⎫=+-⨯-= ⎪⎝⎭，∴AB =∴ABC △的面积111sin 5222S AB BC ABD =⋅⋅⋅∠=⨯⨯= （2）∵2AD =，2CD =，60ADC ∠=︒，∴ACD △是等边三角形，2AC =，60C ∠=︒，在ABC △中，由正弦定理得sin sin AC BC B BAC=∠，即sin sin()AC BD CD B B C +=+，=，解得4BD =．18．（本小题9分）已知{}n a 是等差数列，21a =-，576a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式．（2）设32()n a n b n n +=+∈N *，求{}n b 的前n 项和n S ．【答案】见解析．【解析】解：（1）设等差数列{}n a 的首项是1a ，公差为d ， ∵21a =-，57626a a a +==，∴11153a d a d +=-⎧⎨+=⎩，解得121a d =-⎧⎨=⎩， ∴数列{}n a 的通项公式为2(1)3n a n n =-+-=-．（2）∵322n a n nb n n +=+=+，数列{}n 的前n 项和为：(1)2n n +，数列{}2n 的前n 项和为：12(12)2212n n +-=--， ∴数列{}n b 的前n 项和21222n n n n S ++=-+．19．（本小题8分）已知函数2()(1)f x x a x a =+--．（1）当3a =时，解不等式()0f x <．（2）解不等式()0f x >．【答案】见解析．【解析】（1）解：2()(1)(1)()f x x a x a x x a =+--=+-，（1）当3a =时，()(1)(3)f x x x =+-，∴()0f x <等价于(1)(3)0x x +-<，∴13x -<<，∴不等式的解集是{}|13x x -<<．（2）∵()(1)()0f x x x a =+->，∴当1a =-时，解得1x ≠-，当1x >-时，解得1x <-或x a >；当1a <-时，解得x a <或1x >-，综上所述，当1a =-时，不等式的解集是{}|1x x ≠-；当1a >-时，不等式的解集为{|1x x <-或}x a >；当1a <-时，不等式的解集为{|x x a <或}1x >-．20．（本小题10分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11a =，121()n n S a n +=-∈N *．（1）求2a ，3a 的值．（2）求数列{}n a 的通项公式．（3）令215()3n nn c n a -+=∈N *，直接写出数列{}n c 的最小值及相应的n 的值．【答案】见解析．【解析】解：（1）∵11a =，121n n S a +=-，∴121n n a S +=+， ∴21121213a S a =+=+=， 3212212()19a S a a =+=++=．（2）∵121n n S a +=-， ∴121n n S a -=-，两式相减得：12n n n a a a +=-，即13n n a a +=， ∴数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列， ∴13n n a -=．（3）2153n nn c -+=，当8n =或9时，数列{}n c 取得最小值， 89813c c ==-．。

精品解析：北京市丰台区高一下学期期末练习数学试题(含答案)

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！第二学期期末练习高一数学注意事项：1．答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码．2．本次考试所有答题均在答题卡上完成．选择题必须使用2B 铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项．非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚．3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效．4．本试卷共100分，作答时长90分钟．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. i 为虚数单位，3i =（）A. i- B. i C. 1- D. 1【答案】A【解析】【分析】根据虚数单位i 的运算性质，直接计算得到结果.【详解】因为21i =-，所以32i i i i =×=-，故选：A.【点睛】本题考查有关虚数单位i 的计算，难度容易.注意结合21i =-去计算.2. 如图所示，下列四个几何体：其中不是棱柱的序号是（）A. ①B. ②C. ③D. ④【答案】B【解析】【分析】根据棱柱的定义直接判断出结果.【详解】棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各个面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边都互相平行.由此可知②中没有互相平行的平面，所以不是棱柱，故选：B .【点睛】本题考查棱柱的定义，主要考查学生对棱柱概念的理解，难度容易.3. a r ，b r 是两个单位向量，则下列四个结论中正确的是（）A. a b =r rB. 1a b ×=r rC. 22a b ¹r rD. 22||||a b =r r 【答案】D【解析】【分析】A ．分析方向；B ．分析夹角；C ．根据数量积计算结果进行判断；D ．根据模长运算进行判断.【详解】A ．,a b r r 可能方向不同，故错误；B ．cos ,cos ,a b a b a b a b ×=××<>=<>r r r r r r r r ，两向量夹角未知，故错误；C ．22221,1a a a a b b b b =×===×==r r r r r r r r ，所以22a b =r r ，故错误；D ．由C 知221a b ==r r ，故正确，故选：D.【点睛】本题考查向量的模长和数量积运算以及向量相等的概念，主要考查学生对向量的综合理解，难度较易.4. 下列命题正确的是（）A. 三点确定一个平面B. 一条直线和一个点确定一个平面C. 梯形可确定一个平面D. 圆心和圆上两点确定一个平面【答案】C【解析】【分析】根据公理2对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A 选项，三个不在同一条直线上的点，确定一个平面，故A 选项错误.对于B 选项，直线和直线外一点，确定一个平面，故B 选项错误.对于C 选项，两条平行直线确定一个平面，梯形有一组对边平行，另一组对边不平行，故梯形可确定一个平面，所以C 选项正确.对于D 选项，圆直径不能确定一个平面，所以若圆心和圆上的两点在直径上，则无法确定一个平面.所以D 选项错误.故选：C【点睛】本小题主要考查公理2的理解和运用，属于基础题.5.某同学记录了自己两周的微信记步数信息，并绘制了折线图如图所示．记该同学第一周和第二周步数的方差分别为21s ，22s ，则（）的A. 2212s s < B. 2212s s >C. 2212s s = D. 无法判断21s 与22s 的大小关系【答案】A【解析】【分析】利用方差表示数据的特征，方差越小越稳定直接得出结果．【详解】解：由于第一周的数据比较稳定，所以2212S S <．故选：A ．【点睛】本题考查了方差表示数据的特征，属于基础题．6. 设a ，b 是两条不同的直线，a ，b 是两个不同的平面，给出下列四个命题：①如果//a a ，//b a ，那么//a b ；②如果//a b ，a a Ì，b b Ì，那么//a b ；③如果a a ⊥，a b ⊥，那么//a b ；④如果a b ⊥，a a Ì，那么a b ⊥．其中正确命题的序号是（）A. ①B. ②C. ③D. ④【答案】C【解析】【分析】根据空间线面位置关系的定义、性质进行判断.【详解】①如果//a a ，//b a ，则,a b 可以相交、平行或异面，故错误；②如果//a b ，a a Ì，b b Ì，则,a b 没有公共点，所以,a b 可以平行或异面，故错误；③如果a a ⊥，a b ⊥，则//a b ，故正确；④如果a b ⊥，不妨设l a b =I ，又a a Ì，则当a l ⊥时，a b ⊥，则当a 不垂直于l 时，a 与b 不垂直，故错误，故选：C .【点睛】本题考查空间中直线、平面有关命题真假的判断，主要考查对空间中位置关系的理解，难度一般.7. 在ABC V 中，D 是BC 的中点，如果AD AB AC l m =+uuu r uuu r uuu r ，那么（）A. 1l =，1m = B. 12l =，12m = C. 1l =-，1m =- D. 12l =-，12m =-【答案】B【解析】【分析】根据向量的三角形法则可知AD AB BD =+uuu r uuu r uuu r ，再将BD uuu r 用,AB AC uuu r uuu r 的形式表示出来，则,l m 的值可求.【详解】如图所示：因为()111111222222AD AB BD AB BC AB BA AC AB AB AC AB AC =+=+=++=-+=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，所以11,22l m ==，故选：B.【点睛】本题考查平面图形中向量的线性运算，涉及向量三角形法则的运用，难度较易.8. 如图所示，球内切于正方体．如果该正方体的棱长为a ，那么球的体积为（）A. 343a pB. 3a 3a D. 316a p 【答案】D【解析】【分析】根据球与正方体位置关系，分析出球半径，由此球的体积可求.【详解】因为球内切于正方体，所以球的半径等于正方体棱长的12，所以球的半径为2a ，所以球的体积为334326a a p p æö=ç÷èø，故选：D.【点睛】本题考查根据正方体与球的相切关系求球的体积，难度较易.当球内切于正方体时，球的半径为正方体棱长的12.9. 如图所示，在复平面内，复数1z ，2z 所对应的点分别为A ，B ，则||AB =uuu r （）A. 12z z - B. 12z z + C. 12z z - D. 12z z +【答案】C【解析】【分析】根据OA OB BA -=u u r u u u r u u r 并结合复数的几何意义得到AB uuu r 的表示.【详解】因为OA OB BA -=u u r u u u r u u r ，1z 与OA uuu r 对应，2z 与OB uuu r对应，所以12AB BA z z ==-uuu r uuu r ，故选：C.【点睛】本题考查复数的几何意义的简单运用，难度较易.复数z a bi =+和复平面内的点(),a b 一一对应，同时复数z a bi =+和平面向量(),OZ a b =uuu r 也一一对应.10.点M ，N ，P 在ABC V 所在平面内，满足MA MB MC ++=0uuu r uuur uuu u r ，|NA NB NC ==uuu v uuu v uuu v ∣，且PA PB ×=uu u r uuu r的PB PC PC PA ×=×uuu r uuu r uuu r uu u r ，则M 、N 、P 依次是ABC V 的（）A. 重心，外心，内心B. 重心，外心，垂心C. 外心，重心，内心D. 外心，重心，垂心【答案】B【解析】【分析】由三角形五心的性质即可判断出答案．【详解】解：Q 0MA MB MC ++=uuu r uuu r uuu u r r ，\MA MB MC +=-uuu r uuur uuuu r ，设AB 的中点D ，则2MA MB MD +=uuu r uuur uuuu r ，C \，M ，D 三点共线，即M 为ABC D 的中线CD 上的点，且2MC MD =．M \为ABC V 的重心．||||||NA NB NC ==uuu r uuu r uuu r Q ，||||||NA NB NC \==，N \为ABC V 的外心；Q PA PB PB PC =uuu r uuu r uuu r uuu rg g ，\()0PB PA PC -=uuu r uuu r uuu rg ，即0PB CA =uuu r uuu r g ，PB AC \⊥，同理可得：PA BC ⊥，PC AB ⊥，P \为ABC V 的垂心；故选：B ．【点睛】本题考查了三角形五心的性质，平面向量的线性运算的几何意义，属于中档题．第二部分（非选择题共60分）二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．11. 复数21i i=-__________．【答案】1i -+;【解析】【详解】()()()2122211112i i i i i i i i ×+-+===-+--×+Q，故答案为1i -+12.某中学共有教师300名，其中男教师有180名．现要用分层抽样的方法从教师中抽取一个容量为50的样本，应抽取的男教师人数为__________．【答案】30【解析】【分析】先求解出分层抽样的抽样比，然后根据每一层入样的个体数等于该层个体数乘以抽样比，由此可计算出结果.【详解】因为分层抽样的抽样比为5013006=，所以应抽取男教师人数为：1180=306´人，故答案为：30.【点睛】本题考查分层抽样的简单应用，涉及到抽样比的计算，难度较易.分层抽样的抽样比等于样本容量除以总体容量，也等于各层样本数量除以各层个体数量.13. 已知a r ，b r 是两个不共线的向量，若向量ka b +r r 与a b -r r 共线，则实数k =__________．【答案】1-【解析】【分析】根据向量共线定理表示出ka b +r r 与a b -r r 的关系，然后列出关于k 的方程组求解出k 的值即可.【详解】因为ka b +r r 与a b -r r 共线，设()ka b a b l +=-r r r r ，又因为,a b r r 不共线，所以1k l l =ìí=-î，所以1k =-，故答案为：1-.【点睛】本题考查根据向量共线求解参数值，难度较易.向量b r 与非零向量a r共线时，有且仅有一个实数l 的的使得b a l =r r .14.在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1BC =，11DD =，则异面直线1AA 与1BC 所成角的大小为__________．【答案】45°【解析】【分析】作出图示，根据11//AA BB ，先判断出异面直线所成角是哪个角，然后根据线段长度求解出异面直线所成角的大小.【详解】如图所示：因为11//AA BB ，所以异面直线1AA 与1BC 所成角即为11B BC Ð（11B BC Ð为锐角），又因为11BC DD ==，所以1111B B B C ==且190BB C Ð=°，所以1145B BC Ð=°，所以异面直线1AA 与1BC 所成角的大小为45°，故答案为：45°.【点睛】本题考查求解异面直线所成角，难度较易.求解异面直线所成角，关键是能通过直线的平行关系，将直线平移至同一平面内，最后再进行求解.15.在一次数学测验中，某学习小组10位同学的得分情况如下表，则该小组成绩的众数是__________；平均数是__________．分数9590858075人数12421【答案】 (1). 85 (2). 85【解析】【分析】根据众数的概念结合表中数据直接得到众数，利用平均数的计算公式结合表中数据计算出平均数.【详解】因为分数为85的人数最多，所以众数为85，又951+902+854+802+7518510´´´´´=，所以平均数为85，故答案为：85；85.【点睛】本题考查根据数据求解众数和平均数，主要考查学生对众数的理解以及平均数计算公式的简单运用，难度容易.16. 在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AB 上的任意一点，有下面三个命题：①//PB 平面11CC D D ；②1BD AC ⊥；③1BD PC ⊥．上述命题中正确命题的序号为__________（写出所有正确命题的序号）．【答案】①②③【解析】【分析】①证明线面平行可判断对错；②证明线面垂直可判断对错；③证明线面垂直可判断对错.【详解】①如下图所示：因为平面11//ABB A 平面11CC D D ，BP Ì平面11ABB A ，所以//PB 平面11CC D D ，故①正确；②连接,AC BD ，如下图所示：因为1DD ⊥平面ABCD ，所以1DD AC ⊥，又因为AC BD ⊥且1DD BD D =I ，所以AC ⊥平面1DBD ，又因1BD Ì平面1DBD ，所以1BD AC ⊥，故②正确；③连接11,,,AC PC B C BC ，如下图所示：因为11D C ⊥平面11BCC B ，所以11D C ⊥1B C ，又因为11BC B C ⊥，且1111D C BC C Ç=，所以1B C ⊥平面11BD C ，又1BD Ì平面11BD C ，所以11B C BD ⊥，由②的证明可知1BD AC ⊥，且1AC B C C Ç=，所以1BD ⊥平面1AB C ，又因为PC Ì平面1AB C ，所以1BD PC ⊥，故③正确，故答案为：①②③.【点睛】本题考查空间线面平行、线线垂直关系的判断，涉及线面平行判定定理、线面垂直判定定理的运用，主要考查学生对空间中位置关系的逻辑推理能力，难度一般.三、解答题共4小题，共36分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17. 在ABC V 中，已知3a =，5b =，120C =°，求c 和sin A的值．为【答案】7c =；sin A =【解析】【分析】由已知结合余弦定理可求c ，然后结合正弦定理可求sin A ．【详解】解：因为3a =，5b =，120C =°，由余弦定理可得，22212cos 925235()492c a b ab C =+-=+-´´´-=，7c \=，sin cC=，sin sin a C A c \==【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．18. 已知()3,0a =r ，b =r ．（Ⅰ）求a b ×r r 和b r 的值；（Ⅱ）当()k k ÎR 为何值时，向量a r 与k +r r a b 互相垂直？【答案】（Ⅰ）3×=r r a b ，b r ＝2；（Ⅱ）3k =-．【解析】【分析】（Ⅰ）根据数量积与模的坐标表示计算；（Ⅱ）由向量垂直的坐标表示求解．【详解】（Ⅰ）由题意3103a b ×=´+=r r ；2b ==r ．（Ⅱ）(3)a kb k +=+r r ，因为向量a r 与k +rr a b 互相垂直，所以()3(3)0a a kb k ×+=+=r r r ，解得3k =-．【点睛】本题考查向量数量积与模的坐标表示，考查向量垂直的坐标表示，属于基础题．19.为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了100户居民去年一年的月均用电量，发现他们的用电量都在50kW·h 至350kW·h 之间，进行适当分组后，画出频率分布直方图如图所示．（I ）求a 的值；（Ⅱ）求被调查用户中，用电量大于250kW·h 的户数；（III ）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯定价，希望使80%的居民缴费在第一档（费用最低），请给出第一档用电标准（单位：kW·h ）的建议，并简要说明理由．【答案】（I ）0.006；（Ⅱ）18；（III ）245.5 kW·h.【解析】【分析】（1）根据频率和为1计算出a 的值；（2）根据频率分布直方图计算出“用电量大于250kW·h ”的频率，再将该频率乘以对应的总户数即可得到结果；（3）根据频率分布直方图计算出频率刚好为0.8时对应的月用电量，由此可得到第一档用电标准.【详解】（1）因为()0.00240.00360.00440.00240.0012501a +++++´=，所以0.006a =；（2）根据频率分布直方图可知：“用电量大于250kW·h ”的频率为()0.00240.0012500.18+´=，所以用电量大于250kW·h 的户数为：1000.1818´=，故用电量大于250kW·h 有18户；（3）因为前三组的频率和为：()0.00240.00360.006500.60.8++´=<，前四组的频率之和为()0.00240.00360.0060.0044500.820.8+++´=>，所以频率为0.8时对应的数据在第四组，所以第一档用电标准为：0.80.620050245.50.22-+´»kW·h .故第一档用电标准为245.5 kW·h.【点睛】本题考查频率分布直方图的综合应用，主要考查利用频率分布直方图进行相关计算，对学生读取图表信息和计算能力有一定要求，难度一般.20. 如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，E 为侧棱PD 上一点．（Ⅰ）求证：//CD 平面ABE ；（II ）求证：CD AE ⊥；（III ）若E 为PD 中点，平面ABE 与侧棱PC 交于点F ，且2PA PD AD ===，求四棱锥P-ABFE 的体积．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（II ）证明见解析；（III ．【解析】【分析】（Ⅰ）根据线面平行的判定定理证明；（II ）由面面垂直的性质定理证明CD ⊥平面PAD ，然后可得线线垂直；（III ）证明AE 就是四棱锥P ABFE -的高，然后求得底面积，得体积．【详解】（Ⅰ）证明：因为//CD AB ，AB Ì平面ABE ，CDË平面ABE ，所以//CD 平面ABE ；（II ）证明：因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，CD AD ⊥，平面PAD I 平面ABCD AD =，CD Ì平面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD ，又AE Ì平面PAD ，所以CD AE ⊥；（III ）因为//CD 平面ABE ，CD Ì平面PCD ，平面PCD I 平面ABE EF =，所以//CD EF ，所以//AB EF ，CD AE ⊥，则EF AE ⊥．所以ABFE 是直角梯形，又E 是PD 中点，所以112EF CD ==，2AE ==，所以1(21)2ABFE S =´+=，由（II ）CD ⊥平面PAD ，PE Ì平面PAD ，所以CD PE ⊥，从而EF PE ⊥，正三角形PAD 中，E 是PD 中点，AD PE ⊥，AE F E =I ，,AE EF Ì平面ABFE ，所以PE ⊥平面ABFE ，112PE PD ==，所以11133P ABFE ABFE V S PE -=×==．【点睛】本题考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理与性质定理，考查求棱锥的体积．旨在考查学生的空间梘能力，逻辑推理能力．属于中档题．。

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