教育最新K12云南省2018年中考数学总复习 第三章 函数 第五节 二次函数综合题 课时2 二次函数与几何图形综合

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2018年云南中考数学一轮复习课件-第3章第5节 二次函数的综合应用

2018年云南中考数学一轮复习课件-第3章第5节 二次函数的综合应用

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2018年中考数学复习课件
解:(1)y=-x +4x+5; 2 (2)当 y=0 时,-x +4x+5=0. 解得 x1=-1,x2=5. ∴E(-1,0),B(5,0). 设直线 AB 的解析式为 y=mx+n. m=-1, 把 A(0,5),B(5,0)代入,得 n =5 , ∴y=-x+5.
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2018年中考数学复习课件
5.(人教九上 P54 活动改编)如图,在平面直角坐标系中,抛 2 物线 y=ax +bx+c 的顶点坐标为(2, 9), 与 y 轴交于点 A(0, 5),与 x 轴交于点 E,B. 2 (1)求二次函数 y=ax +bx+c 的解析式; (2)过点 A 作 AC 平行于 x 轴,交抛物线于点 C,点 P 为抛物线 上的一点(点 P 在 AC 上方),作 PD 平行于 y 轴交 AB 于点 D,问 当点 P 在何位置时,四边形 APCD 的面积最大?并求出最大面 积.
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2018年中考数学复习课件
重难点 1:二次函数的实际应用 1.(2017·安徽)某超市销售一种商品,成本每千克 40 元,规定每 千克售价不低于成本,且不高于 80 元.经市场调查,每天的销售量 y(千克)与每千克售价 x(元)满足一次函数关系,部分数据如下表:
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1.(北师九下 P41 习题 2.5 第 3 题改编)将一个小球以 20 m/s 的初速度从地面竖直抛向空中, 经过时间 t(s), 小球的高度 h(m) 2 为 h=20t-5t .当 h=20 m 时,物体的运动时间为__2__s.
2.(北师九下 P47 习题 2.8 第 2 题改编)如图,用长为 18 m 的 篱笆(虚线部分)围成两面靠墙的矩形苗圃 ,当矩形苗圃的一边 2 长为__9__m 时面积最大,最大面积是__81__m .

云南省2018年中考数学总复习 第三章 函数 第五节 二次函数综合题 课时2 二次函数与几何图形综合

云南省2018年中考数学总复习 第三章 函数 第五节 二次函数综合题 课时2 二次函数与几何图形综合

课时2 二次函数与几何图形综合题姓名:________ 班级:________ 限时:______分钟面积问题1.(2018·黄冈)已知直线l:y=kx+1与抛物线y=x2-4x.(1)求证:直线l与该抛物线总有两个交点;(2)设直线l与该抛物线两交点为A,B,O为原点,当k=-2时,求△OAB的面积.2.(2018·陕西)已知抛物线L:y=x2+x-6与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),并与y轴相交于点C.(1)求A、B、C三点的坐标,并求△ABC的面积;(2)将抛物线L向左或向右平移,得到抛物线L′,且L′与x轴相交于A′、B′两点(点A′在点B′的左侧),并与y轴相交于点C′,要使△A′B′C′和△ABC的面积相等,求所有满足条件的抛物线的函数表达式.3.(2018·徐州)已知二次函数的图象以A(-1,4)为顶点,且过点B(2,-5).(1)求该函数的关系式;(2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标;(3)将该函数图象向右平移,当图象经过原点时,A,B两点随图象移至A′,B′,求△OA′B′的面积.4.(2018·温州)如图,抛物线y =ax 2+bx(a≠0)交x 轴正半轴于点A ,直线y =2x 经过抛物线的顶点M.已知该抛物线的对称轴为直线x =2,交x 轴于点B. (1)求a ,b 的值;(2)P 是第一象限内抛物线上的一点,且在对称轴的右侧,连接OP ,BP.设点P 的横坐标为m ,△OBP 的面积为S ,记K =Sm,求K 关于m 的函数表达式及K 的范围.角度问题5.(2018·广东省卷)如图,已知顶点为C(0,-3)的抛物线y =ax 2+b(a≠0)与x 轴交于A ,B 两点,直线y=x+m过顶点C和点B.(1)求m的值;(2)求函数y=ax2+b(a≠0)的解析式;(3)抛物线上是否存在点M,使得∠MCB=15°?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.6.(2018·天津)在平面直角坐标系中,点O(0,0),点A(1,0).已知抛物线y=x2+mx-2m(m是常数),顶点为P.(1)当抛物线经过点A时,求顶点P的坐标;(2)若点P在x轴下方,当∠AOP=45°时,求抛物线的解析式;(3)无论m取何值,该抛物线都经过定点H.当∠AHP=45°时,求抛物线的解析式.特殊图形存在性问题 7.(2018·山西)综合与探究如图,抛物线y =13x 2-13x -4与x 轴交于A ,B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C ,连接AC ,BC.点P 是第四象限内抛物线上的一个动点,点P 的横坐标为m ,过点P 作PM⊥x 轴,垂足为点M ,PM 交BC 于点Q ,过点P 作PE∥AC 交x 轴于点E ,交BC 于点F. (1)求A 、B 、C 三点的坐标;(2)试探究在点P 运动的过程中,是否存在这样的点Q ,使得以A 、C 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请直接写出此时点Q 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)请用含m 的代数式表示线段QF 的长,并求出m 为何值时QF 有最大值.8.(2018·临沂)如图,在平面直角坐标系中,∠ACB=90°,OC =2OB ,tan ∠ABC=2,点B 的坐标为(1,0),抛物线y =-x 2+bx +c 经过A ,B 两点. (1)求抛物线的解析式;(2)点P 是直线AB 上方抛物线上的一点,过点P 作PD 垂直x 轴于点D ,交线段AB 于点E ,使PE =12DE.①求点P 的坐标;②在直线PD 上是否存在点M ,使△ABM 为直角三角形?若存在,求出符合条件的所有点M 的坐标;若不存在.请说明理由.参考答案1.解:(1)证明: 联立⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +1,y =x 2-4x , 化简可得x 2-(4+k)x -1=0, ∴Δ=(4+k)2+4>0,故直线l 与该抛物线总有两个交点; (2)解: 当k =-2时,y =-2x +1.如解图,过点A 作AF⊥x 轴于点F ,过点B 作BE⊥x 轴于点E ,∴联立⎩⎪⎨⎪⎧y =x 2-4x ,y =-2x +1,解得⎩⎨⎧x =1+2,y =-1-22,或⎩⎨⎧x =1-2y =22-1, ∴A(1-2,22-1),B(1+2,-1-22), ∴AF=22-1,BE =1+2 2.易求得直线y =-2x +1与x 轴的交点C 为(12,0),∴OC=12,∴S △OAB =S △AOC +S △BOC =12OC·AF+12OC·BE=12OC·(AF+BE)=12×12×(22-1+1+22)= 2.2.解:(1)令y =0,得x 2+x -6=0, 解得x =-3或x =2, ∴A(-3,0),B(2,0). 令x =0,得y =-6, ∴C(0,-6), ∴AB=5,OC =6,∴S △ABC =12AB·OC=12×5×6=15;(2)由题意,得A′B′=AB =5.要使S △A′B′C′=S △ABC ,只要抛物线L′与y 轴交点为C′(0,-6)或C′(0,6)即可. 设所求抛物线L′:y =x 2+mx +6,y =x 2+nx -6. 又知,抛物线L′与抛物线L 的顶点纵坐标相同, ∴24-m 24=-24-14,-24-n 24=-24-14,解得m =±7,n =±1(n=1舍去).∴抛物线L′:y =x 2+7x +6或y =x 2-7x +6或y =x 2-x -6.3.解:(1)设函数的关系式为y =a(x +1)2+4, 将B(2,-5)代入得:a =-1,∴该函数的关系式为y =-(x +1)2+4=-x 2-2x +3; (2)令x =0,得y =3,因此抛物线与y 轴的交点为(0,3);令y =0,-x 2-2x +3=0,解得x 1=-3,x 2=1,即抛物线与x 轴的交点为(-3,0),(1,0); (3)设抛物线与x 轴的交点为M ,N(点M 在点N 的左侧),由(2)知:M(-3,0),N(1,0), 当函数图象向右平移经过原点时,点M 与点O 重合,因此抛物线向右平移了3个单位, 故A′(2,4),B′(5,-5),∴S △OA′B′=12×(2+5)×9-12×2×4-12×5×5=15.4.解:(1)将x =2代入y =2x ,得y =4, ∴M(2,4),由题意得⎩⎪⎨⎪⎧-b 2a =2,4a +2b =4,∴⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,b =4;(2)如解图,过点P 作PH⊥x 轴于点H.∵点P 的横坐标为m ,抛物线的函数表达式为y =-x 2+4x , ∴PH=-m 2+4m. ∵B(2,0),∴OB=2,∴S=12OB·PH=12×2×(-m 2+4m)=-m 2+4m ,∴K=Sm =-m +4.由题意得A(4,0). ∵M(2,4),∴2<m<4. ∵K 随着m 的增大而减小, ∴0<K<2.5.解:(1)将(0,-3)代入y =x +m 得m =-3;(2)将y =0代入y =x -3得x =3, ∴B(3,0),将(0,-3),(3,0)代入y =ax 2+b ,得⎩⎪⎨⎪⎧b =-3,9a +b =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =13,b =-3,∴y=13x 2-3;(3)存在,分以下两种情况:①若点M 在BC 上方,设MC 交x 轴于点D ,如解图1, 则∠OCD=45°-15°=30°,∴OD=OC·tan 30°=3,∴D(3,0).设DC 的解析式为y =kx -3,将D(3,0)代入得k =3,取立⎩⎪⎨⎪⎧y =3x -3,y =13x 2-3,解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1=0,y 1=-3,⎩⎨⎧x 2=33,y 2=6, ∴M(33,6);②若点M 在BC 下方,设MC 交x 轴于点E ,如解图2,则∠OCE=45°+15°=60°, ∴OE=OC·tan 60°=33, ∴E(33,0).设EC 的解析式为y =kx -3,将E(33,0)代入得k =33, 联立⎩⎪⎨⎪⎧y =33x -3,y =13x 2-3,解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1=0,y 1=-3,⎩⎨⎧x 2=3,y 2=-2,∴M(3,-2).综上所述,存在点M ,使得∠MCB=15°,此时点M 的坐标是(33,6)或(3,-2). 6.解:(1)∵抛物线y =x 2+mx -2m 经过点A(1,0), ∴0=1+m -2m ,解得m =1. ∴抛物线的解析式为y =x 2+x -2. ∵y=x 2+x -2=(x +12)2-94,∴顶点P 的坐标为(-12,-94);(2)抛物线y =x 2+mx -2m 的顶点P 的坐标为(-m 2,-m 2+8m4).由点A(1,0)在x 轴正半轴上,点P 在x 轴下方,∠AOP=45°,知点P 在第四象限.如解图1,过点P 作PQ⊥x 轴于点Q ,则∠POQ=∠OPQ=45°. 可知PQ =OQ ,即m 2+8m 4=-m2,解得m 1=0,m 2=-10.当m =0时,点P 不在第四象限,舍去. ∴m=-10,∴抛物线的解析式为y =x 2-10x +20;(3)由y =x 2+mx -2m =(x -2)m +x 2可知,当x =2时,无论m 取何值时,y 都等于4, ∴点H 的坐标为(2,4).如解图2,过点A 作AD⊥AH,交射线HP 于点D ,分别过点D ,H 作x 轴的垂线,垂足分别为E ,G ,则∠DEA =∠AGH=90°.∵∠DAH=90°,∠AHD=45°, ∴∠ADH=45°,∴AH=AD.∵∠DAE+∠HAG=∠AHG+∠HAG=90°, ∴∠DAE =∠AHG, ∴△ADE≌△HAG(AAS), ∴DE=AG =1,AE =HG =4,∴点D 的坐标为(-3,1)或(5,-1). ①当点D 的坐标为(-3,1)时, 可得直线DH 的解析式为y =35x +145.∵点P(-m 2,-m 2+8m 4)在直线y =35x +145上,∴-m 2+8m 4=35×(-m 2)+145,解得m 1=-4,m 2=-145.当m =-4时,点P 与点H 重合,不符合题意, ∴m=-145;②当点D 的坐标为(5,-1)时,可得直线DH 的解析式为y =-53x +223.∵点P(-m 2,-m 2+8m 4)在直线y =-53x +223上,∴-m 2+8m 4=-53×(-m 2)+223,解得m 1=-4(舍去),m 2=-223.∴m=-223.综上可得,m =-145或m =-223.故抛物线的解析式为y =x 2-145x +285或y =x 2-223x +443.7.解:(1)令y =0得13x 2-13x -4=0,解得x 1=-3,x 2=4,∴点A 、B 的坐标分别为A(-3,0),B(4,0),令x =0得y =-4,∴点C 的坐标为(0,-4);(2)存在,Q 1(522,522-4),Q 2(1,-3);(3)如解图,过点F 作FG⊥PM 于点G.∵B(4,0),C(0,-4),∴△OBC 为等腰直角三角形,∴∠OBC=45°,即QM =BM.∵B(4,0),点P 的横坐标为m ,∴QM=BM =4-m.∵PM⊥x 轴,FG⊥PM,∴FG∥x 轴,∴∠QFG=∠OBC=45°,即FG =QG ,QG =22QF.∵PE∥AC,FG∥x 轴, ∴∠PFG=∠CAO.又∵∠AOC=90°,FG⊥PM,∴△PFG∽△CAO,∴FG OA =PG OC ,即FG 3=PG 4,∴PG=43FG.又∵FG=QG ,∴PG=43QG =223QF ,由图可知:PQ =QG +PG =22QF +223QF =726QF , ∴QF=327PQ.∵点P 的横坐标为m ,∴点P 的纵坐标为13m 2-13m -4,即PM =-(13m 2-13m -4).又由图可知:PQ =PM -QM=-(13m 2-13m -4)-(4-m)=-13m 2+13m +4-4+m=-13m 2+43m , ∴QF=327PQ =327(-13m 2+43m)=-27m 2+427m=-27(m 2-4m)=-27(m 2-4m +4-4)=-27(m -2)2+427.∵-27<0,∴当m =2时,QF 有最大值.8.解:(1)在Rt△ABC 中,由点B 的坐标可知OB =1.∵OC=2OB ,∴OC=2,则BC =3.又∵tan∠ABC=2,∴AC=2BC =6,则点A 的坐标为(-2,6).把点A 、B 的坐标代入抛物线的解析式y =-x 2+bx +c 中,得⎩⎪⎨⎪⎧-1+b +c =0,-4-2b +c =6, 解得⎩⎪⎨⎪⎧b =-3,c =4. 故该抛物线的解析式为y =-x 2-3x +4;(2)①由点A(-2,6)和点B(1,0)的坐标求得直线AB 的解析式为y =-2x +2.如解图1,设点P 的坐标为(m ,-m 2-3m +4),则点E 的坐标为(m ,-2m +2),点D 的坐标为(m ,0),则PE =-m 2-m +2,DE =-2m +2,由PE =12DE ,得-m 2-m +2=12(-2m +2), 解得m =±1.又∵-2<m <1,∴m=-1,∴点P 的坐标为(-1,6);②如解图2,以AB 为直角边,分别以A ,B 为直角顶点作直角三角形ABM 交PD 于点M 1,M 2,设点M 的坐标为(-1,n).当点M 位于直线AB 上方时,由BM 2=AM 2+AB 2,得(-1-1)2+n 2=(-2+1)2+(6-n)2+(-2-1)2+(6-0)2,解得n =132. 故此时,点M 的坐标为(-1,132). 当点M 位于直线AB 下方时,由AM 2=BM 2+AB 2,得(-2+1)2+(6-n)2=(-1-1)2+n 2+(-2-1)2+(6-0)2,解得n =-1.故此时,点M 的坐标为(-1,-1).如解图3,以AB 为直径作圆交直线PD 于点M 3,M 4,此时△ABM 为直角三角形.由AB 2=AM 2+BM 2,得(-2-1)2+(6-0)2=(-2+1)2+(6-n)2+(-1-1)2+n 2,解得n =3±11.故此时,点M 的坐标为(-1,11+3)或(-1,-11+3).综上所述,符合条件的点M 的坐标为(-1,132)或(-1,-1)或(-1,11+3)或(-1,-11+3).百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。

2018年中考数学要考的【二次函数的解析式】知识点.doc

2018年中考数学要考的【二次函数的解析式】知识点.doc

2018年中考数学要考的【二次函数的解析式】知识点要想在中考数学考试中取得好成绩必须掌握中考数学知识点,这样复习的时候才能有所侧重,为了帮助大家备考中考数学考试,下面为大家带来2018年中考数学要考的【二次函数的解析式】知识点,希望大家认真掌握这些内容。

二次函数的解析式有三种形式:(1)一般式:(2)顶点式:(3)当抛物线与x轴有交点时,即对应二次好方程有实根和存在时,根据二次三项式的分解因式,二次函数可转化为两根式。

如果没有交点,则不能这样表示。

注意:抛物线位置由决定.(1)决定抛物线的开口方向①开口向上.②开口向下.(2)决定抛物线与y轴交点的位置.①图象与y轴交点在x轴上方.②图象过原点.③图象与y轴交点在x轴下方.(3)决定抛物线对称轴的位置(对称轴:)①同号对称轴在y轴左侧.②对称轴是y轴.③异号对称轴在y轴右侧.(4)顶点坐标.(5)决定抛物线与x轴的交点情况.、①△0抛物线与x轴有两个不同交点.②△=0抛物线与x轴有唯一的公共点(相切).③△0抛物线与x轴无公共点.(6)二次函数是否具有最大、最小值由a判断.①当a0时,抛物线有最低点,函数有最小值.②当a0时,抛物线有最高点,函数有最大值.(7)的符号的判定:表达式,请代值,对应y值定正负;对称轴,用处多,三种式子相约;轴两侧判,左同右异中为0;1的两侧判,左同右异中为0;-1两侧判,左异右同中为0.(8)函数图象的平移:左右平移变x,左+右-;上下平移变常数项,上+下-;平移结果先知道,反向平移是诀窍;平移方式不知道,通过顶点来寻找。

(9)对称:关于x轴对称的解析式为,关于y轴对称的解析式为,关于原点轴对称的解析式为,在顶点处翻折后的解析式为(a相反,定点坐标不变)。

(10)结论:①二次函数(与x轴只有一个交点二次函数的顶点在x轴上=0;②二次函数(的顶点在y轴上二次函数的图象关于y轴对称;③二次函数(经过原点,则。

(11)二次函数的解析式:①一般式:(,用于已知三点。

云南省中考数学总复习第三章函数第五节二次函数综合题好题随堂演练(2021年整理)

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第三章函数好题随堂演练1.(2018·威海)为了支持大学生创业,某市政府出台了一项优惠政策:提供10万元的无息创业贷款.小王利用这笔贷款,注册了一家淘宝网店,招收5名员工,销售一种火爆的电子产品,并约定用该网店经营的利润,逐月偿还这笔无息贷款,已知该产品的成本为每件4元,员工每人每月的工资为4千元,该网店还需每月支付其他费用1万元.该产品每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的函数关系如图所示.(1)求该网店每月利润w(万元)与销售单价x(元)之间的函数表达式;(2)小王自网店开业起,最快在第几个月可还清10万元的无息贷款?2.(2017·昆明)如图,抛物线y=ax2+bx过点B(1,-3),对称轴是直线x=2,且抛物线与x轴的正半轴交于点A。

(1)求抛物线的解析式,并根据图象直接写出当y≤0时,自变量x的取值范围;(2)在第二象限内的抛物线上有一点P,当PA⊥BA时,求△PAB的面积.参考答案1.解:(1)设直线AB的解析式为:y=kx+b,代入A(4,4),B(6,2)得错误!解得错误!∴直线AB的解析式为:y=-x+8(4≤x≤6),同理代入B(6,2),C(8,1)可得直线BC的解析式为:y=-错误!x+5(6<x≤8),∵工资及其它费用为:0。

初中数学最新-2018届中考数学二次函数的应用复习精品

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第三单元 第 18 课时
二次函数的应用
知识点回顾:
1、二次函数 y= ax2+ bx+ c(a ≠ 0) 的图象和性质、顶点、对称轴、与坐标轴的交点、与
x
轴两交点间的距离?
2. 各类二次函数顶点位置与 a、 b、 c 的关系:
( 顶点在 x 轴上、 y 轴上、原点、经过原点 )
3、求二次函数解析式的方法: 4、二次函数 y= ax2+ bx+ c(a ≠ 0) 的最大 ( 或最小 ) 值?
当 x 87 时, W (87 90)2 900 891.
当销售单价定为 87 元时,商场可获得最大利润,最大利润是
( 3)由 W 500 ,得 500 x2 180 x 7200 ,
891 元.
整理得, x2 180 x 7700 0 ,解得, x1 70, x2 110.
由图象可知,要使该商场获得利润不低于
( 1)求 S 与 x 之间的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围;
( 2)当 x 是多少时,矩形场地面积 S 最大?最大面积是多少?
60 2x
答案:(1)根据题意,得 S
x
2
x2 30x 自变量 x 的取值范围是 0 x 30
( 2) a 1 0 , S 有最大值 x
b
30 15
2a 2 ( 1)
最大利润
1 (4
6) 2
11
1 10 (元).
8
2
同步检测:
1、( 18 莆田)出售某种文具盒, 若每个获利 x 元,一天可售出 6 x 个,则当 x

时,一天出售该种文具盒的总利润 y 最大.
答案: 3 2、( 18 包头)某商场试销一种成本为每件 60 元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本

初三数学二次函数知识点总结(K12教育文档)

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初三数学 二次函数 知识点总结一、二次函数概念:1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。

这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数.2。

二次函数2y ax bx c =++的结构特征:⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项.二、二次函数的基本形式1。

二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。

2。

2y ax c =+的性质: 上加下减。

3。

()2=-的性质:y a x h左加右减。

()2y a x h k=-+的性质:三、二次函数图象的平移1。

平移步骤:方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,;⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下:【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二:⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2)⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2)四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看,()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,其中2424b ac b h k a a -=-=,.五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图。

2018年中考数学知识点分析之二次函数

2018年中考数学知识点分析之二次函数

2018年中考数学知识点分析之二次函数
二次函数概念
二次函数的概念:一般地,形如ax +bx+c=0的函数,叫做二次函数。

这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数a≠0,而b,c可以为零.二次函数的定义域是全体实数.
二次函数图像与性质口诀
二次函数抛物线,图象对称是关键;
开口、顶点和交点,它们确定图象限;
开口、大小由a断,c与Y轴来相见,b的符号较特别,符号与a相关联;顶点位置先找见,Y轴作为参考线,左同右异中为0,牢记心中莫混乱;顶点坐标最重要,一般式配方它就现,横标即为对称轴,纵标函数最值见。

若求对称轴位置,符号反,一般、顶点、交点式,不同表达能互换。

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课时2 二次函数与几何图形综合题姓名:________ 班级:________ 限时:______分钟面积问题1.(2018·黄冈)已知直线l:y=kx+1与抛物线y=x2-4x.(1)求证:直线l与该抛物线总有两个交点;(2)设直线l与该抛物线两交点为A,B,O为原点,当k=-2时,求△OAB的面积.2.(2018·陕西)已知抛物线L:y=x2+x-6与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),并与y轴相交于点C.(1)求A、B、C三点的坐标,并求△ABC的面积;(2)将抛物线L向左或向右平移,得到抛物线L′,且L′与x轴相交于A′、B′两点(点A′在点B′的左侧),并与y轴相交于点C′,要使△A′B′C′和△ABC的面积相等,求所有满足条件的抛物线的函数表达式.3.(2018·徐州)已知二次函数的图象以A(-1,4)为顶点,且过点B(2,-5).(1)求该函数的关系式;(2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标;(3)将该函数图象向右平移,当图象经过原点时,A,B两点随图象移至A′,B′,求△OA′B′的面积.4.(2018·温州)如图,抛物线y =ax 2+bx(a≠0)交x 轴正半轴于点A ,直线y =2x 经过抛物线的顶点M.已知该抛物线的对称轴为直线x =2,交x 轴于点B. (1)求a ,b 的值;(2)P 是第一象限内抛物线上的一点,且在对称轴的右侧,连接OP ,BP.设点P 的横坐标为m ,△OBP 的面积为S ,记K =Sm,求K 关于m 的函数表达式及K 的范围.角度问题5.(2018·广东省卷)如图,已知顶点为C(0,-3)的抛物线y=ax2+b(a≠0)与x轴交于A,B两点,直线y=x+m过顶点C和点B.(1)求m的值;(2)求函数y=ax2+b(a≠0)的解析式;(3)抛物线上是否存在点M,使得∠MCB=15°?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.6.(2018·天津)在平面直角坐标系中,点O(0,0),点A(1,0).已知抛物线y=x2+mx-2m(m是常数),顶点为P.(1)当抛物线经过点A时,求顶点P的坐标;(2)若点P在x轴下方,当∠AOP=45°时,求抛物线的解析式;(3)无论m取何值,该抛物线都经过定点H.当∠AHP=45°时,求抛物线的解析式.特殊图形存在性问题 7.(2018·山西)综合与探究如图,抛物线y =13x 2-13x -4与x 轴交于A ,B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C ,连接AC ,BC.点P 是第四象限内抛物线上的一个动点,点P 的横坐标为m ,过点P 作PM⊥x 轴,垂足为点M ,PM 交BC 于点Q ,过点P 作PE∥AC 交x 轴于点E ,交BC 于点F. (1)求A 、B 、C 三点的坐标;(2)试探究在点P 运动的过程中,是否存在这样的点Q ,使得以A 、C 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请直接写出此时点Q 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)请用含m 的代数式表示线段QF 的长,并求出m 为何值时QF 有最大值.8.(2018·临沂)如图,在平面直角坐标系中,∠ACB=90°,OC =2OB ,tan ∠ABC=2,点B 的坐标为(1,0),抛物线y =-x 2+bx +c 经过A ,B 两点. (1)求抛物线的解析式;(2)点P 是直线AB 上方抛物线上的一点,过点P 作PD 垂直x 轴于点D ,交线段AB 于点E ,使PE =12DE.①求点P 的坐标;②在直线PD 上是否存在点M ,使△ABM 为直角三角形?若存在,求出符合条件的所有点M 的坐标;若不存在.请说明理由.参考答案1.解:(1)证明: 联立⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +1,y =x 2-4x , 化简可得x 2-(4+k)x -1=0, ∴Δ=(4+k)2+4>0,故直线l 与该抛物线总有两个交点; (2)解: 当k =-2时,y =-2x +1.如解图,过点A 作AF⊥x 轴于点F ,过点B 作BE⊥x 轴于点E ,∴联立⎩⎪⎨⎪⎧y =x 2-4x ,y =-2x +1,解得⎩⎨⎧x =1+2,y =-1-22,或⎩⎨⎧x =1-2y =22-1, ∴A(1-2,22-1),B(1+2,-1-22), ∴AF=22-1,BE =1+2 2.易求得直线y =-2x +1与x 轴的交点C 为(12,0),∴OC=12,∴S △OAB =S △AOC +S △BOC =12OC·AF+12OC·BE=12OC·(AF+BE)=12×12×(22-1+1+22)= 2.2.解:(1)令y =0,得x 2+x -6=0, 解得x =-3或x =2, ∴A(-3,0),B(2,0). 令x =0,得y =-6, ∴C(0,-6), ∴AB=5,OC =6,∴S △ABC =12AB·OC=12×5×6=15;(2)由题意,得A′B′=AB =5.要使S △A′B′C′=S △ABC ,只要抛物线L′与y 轴交点为C′(0,-6)或C′(0,6)即可. 设所求抛物线L′:y =x 2+mx +6,y =x 2+nx -6. 又知,抛物线L′与抛物线L 的顶点纵坐标相同, ∴24-m 24=-24-14,-24-n 24=-24-14,解得m =±7,n =±1(n=1舍去).∴抛物线L′:y =x 2+7x +6或y =x 2-7x +6或y =x 2-x -6.3.解:(1)设函数的关系式为y =a(x +1)2+4, 将B(2,-5)代入得:a =-1,∴该函数的关系式为y =-(x +1)2+4=-x 2-2x +3; (2)令x =0,得y =3,因此抛物线与y 轴的交点为(0,3);令y =0,-x 2-2x +3=0,解得x 1=-3,x 2=1,即抛物线与x 轴的交点为(-3,0),(1,0); (3)设抛物线与x 轴的交点为M ,N(点M 在点N 的左侧),由(2)知:M(-3,0),N(1,0), 当函数图象向右平移经过原点时,点M 与点O 重合,因此抛物线向右平移了3个单位, 故A′(2,4),B′(5,-5),∴S △OA′B′=12×(2+5)×9-12×2×4-12×5×5=15.4.解:(1)将x =2代入y =2x ,得y =4, ∴M(2,4),由题意得⎩⎪⎨⎪⎧-b 2a =2,4a +2b =4,∴⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,b =4;(2)如解图,过点P 作PH⊥x 轴于点H.∵点P 的横坐标为m ,抛物线的函数表达式为y =-x 2+4x , ∴PH=-m 2+4m. ∵B(2,0),∴OB=2,∴S=12OB·PH=12×2×(-m 2+4m)=-m 2+4m ,∴K=Sm =-m +4.由题意得A(4,0). ∵M(2,4),∴2<m<4. ∵K 随着m 的增大而减小, ∴0<K<2.5.解:(1)将(0,-3)代入y =x +m 得m =-3;(2)将y =0代入y =x -3得x =3, ∴B(3,0),将(0,-3),(3,0)代入y =ax 2+b ,得⎩⎪⎨⎪⎧b =-3,9a +b =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =13,b =-3,∴y=13x 2-3;(3)存在,分以下两种情况:①若点M 在BC 上方,设MC 交x 轴于点D ,如解图1, 则∠OCD=45°-15°=30°,∴OD=OC·tan 30°=3,∴D(3,0).设DC 的解析式为y =kx -3,将D(3,0)代入得k =3,取立⎩⎪⎨⎪⎧y =3x -3,y =13x 2-3,解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1=0,y 1=-3,⎩⎨⎧x 2=33,y 2=6, ∴M(33,6);②若点M 在BC 下方,设MC 交x 轴于点E ,如解图2,则∠OCE=45°+15°=60°, ∴OE=OC·tan 60°=33, ∴E(33,0).设EC 的解析式为y =kx -3,将E(33,0)代入得k =33, 联立⎩⎪⎨⎪⎧y =33x -3,y =13x 2-3,解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1=0,y 1=-3,⎩⎨⎧x 2=3,y 2=-2,∴M(3,-2).综上所述,存在点M ,使得∠MCB=15°,此时点M 的坐标是(33,6)或(3,-2). 6.解:(1)∵抛物线y =x 2+mx -2m 经过点A(1,0), ∴0=1+m -2m ,解得m =1. ∴抛物线的解析式为y =x 2+x -2. ∵y=x 2+x -2=(x +12)2-94,∴顶点P 的坐标为(-12,-94);(2)抛物线y =x 2+mx -2m 的顶点P 的坐标为(-m 2,-m 2+8m4).由点A(1,0)在x 轴正半轴上,点P 在x 轴下方,∠AOP=45°,知点P 在第四象限.如解图1,过点P 作PQ⊥x 轴于点Q ,则∠POQ=∠OPQ=45°. 可知PQ =OQ ,即m 2+8m 4=-m2,解得m 1=0,m 2=-10.当m =0时,点P 不在第四象限,舍去. ∴m=-10,∴抛物线的解析式为y =x 2-10x +20;(3)由y =x 2+mx -2m =(x -2)m +x 2可知,当x =2时,无论m 取何值时,y 都等于4, ∴点H 的坐标为(2,4).如解图2,过点A 作AD⊥AH,交射线HP 于点D ,分别过点D ,H 作x 轴的垂线,垂足分别为E ,G ,则∠DEA =∠AGH=90°.∵∠DAH=90°,∠AHD=45°, ∴∠ADH=45°,∴AH=AD.∵∠DAE+∠HAG=∠AHG+∠HAG=90°, ∴∠DAE =∠AHG, ∴△ADE≌△HAG(AAS), ∴DE=AG =1,AE =HG =4,∴点D 的坐标为(-3,1)或(5,-1). ①当点D 的坐标为(-3,1)时, 可得直线DH 的解析式为y =35x +145.∵点P(-m 2,-m 2+8m 4)在直线y =35x +145上,∴-m 2+8m 4=35×(-m 2)+145,解得m 1=-4,m 2=-145.当m =-4时,点P 与点H 重合,不符合题意,∴m=-145;②当点D 的坐标为(5,-1)时,可得直线DH 的解析式为y =-53x +223.∵点P(-m 2,-m 2+8m 4)在直线y =-53x +223上,∴-m 2+8m 4=-53×(-m 2)+223,解得m 1=-4(舍去),m 2=-223.∴m=-223.综上可得,m =-145或m =-223.故抛物线的解析式为y =x 2-145x +285或y =x 2-223x +443.7.解:(1)令y =0得13x 2-13x -4=0,解得x 1=-3,x 2=4,∴点A 、B 的坐标分别为A(-3,0),B(4,0),令x =0得y =-4,∴点C 的坐标为(0,-4);(2)存在,Q 1(522,522-4),Q 2(1,-3);(3)如解图,过点F 作FG⊥PM 于点G.∵B(4,0),C(0,-4),∴△OBC 为等腰直角三角形,∴∠OBC=45°,即QM =BM.∵B(4,0),点P 的横坐标为m ,∴QM=BM =4-m.∵PM⊥x 轴,FG⊥PM,∴FG∥x 轴,∴∠QFG=∠OBC=45°,即FG =QG ,QG =22QF.∵PE∥AC,FG∥x 轴,∴∠PFG=∠CAO.又∵∠AOC=90°,FG⊥PM,∴△PFG∽△CAO,∴FG OA =PG OC ,即FG 3=PG 4, ∴PG=43FG. 又∵FG=QG ,∴PG=43QG =223QF , 由图可知:PQ =QG +PG =22QF +223QF =726QF , ∴QF=327PQ. ∵点P 的横坐标为m ,∴点P 的纵坐标为13m 2-13m -4,即PM =-(13m 2-13m -4). 又由图可知:PQ =PM -QM=-(13m 2-13m -4)-(4-m) =-13m 2+13m +4-4+m =-13m 2+43m , ∴QF=327PQ =327(-13m 2+43m) =-27m 2+427m =-27(m 2-4m) =-27(m 2-4m +4-4)=-27(m -2)2+427. ∵-27<0, ∴当m =2时,QF 有最大值.8.解:(1)在Rt△ABC 中,由点B 的坐标可知OB =1.∵OC=2OB ,∴OC=2,则BC =3.又∵tan∠ABC=2,∴AC=2BC =6,则点A 的坐标为(-2,6).把点A 、B 的坐标代入抛物线的解析式y =-x 2+bx +c 中,得⎩⎪⎨⎪⎧-1+b +c =0,-4-2b +c =6, 解得⎩⎪⎨⎪⎧b =-3,c =4. 故该抛物线的解析式为y =-x 2-3x +4;(2)①由点A(-2,6)和点B(1,0)的坐标求得直线AB 的解析式为y =-2x +2.如解图1,设点P 的坐标为(m ,-m 2-3m +4),则点E 的坐标为(m ,-2m +2),点D 的坐标为(m ,0),则PE =-m 2-m +2,DE =-2m +2,由PE =12DE ,得-m 2-m +2=12(-2m +2), 解得m =±1.又∵-2<m <1,∴m=-1,∴点P 的坐标为(-1,6);②如解图2,以AB 为直角边,分别以A ,B 为直角顶点作直角三角形ABM 交PD 于点M 1,M 2,设点M 的坐标为(-1,n).当点M 位于直线AB 上方时,由BM 2=AM 2+AB 2,得(-1-1)2+n 2=(-2+1)2+(6-n)2+(-2-1)2+(6-0)2,解得n =132. 故此时,点M 的坐标为(-1,132). 当点M 位于直线AB 下方时,由AM 2=BM 2+AB 2,得(-2+1)2+(6-n)2=(-1-1)2+n 2+(-2-1)2+(6-0)2,解得n =-1.故此时,点M 的坐标为(-1,-1).如解图3,以AB 为直径作圆交直线PD 于点M 3,M 4,此时△ABM 为直角三角形.由AB 2=AM 2+BM 2,得(-2-1)2+(6-0)2=(-2+1)2+(6-n)2+(-1-1)2+n 2,解得n =3±11.故此时,点M 的坐标为(-1,11+3)或(-1,-11+3).综上所述,符合条件的点M 的坐标为(-1,132)或(-1,-1)或(-1,11+3)或(-1,-11+3).。

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