流体动力学基本方程共54页文档
第六章流体动力学积分形式基本方程
的热量以及外力所作的功的总和等于单位时间内控制体内能量的增加。
其数学表达式为
AqdA
qR d
A pn wdA
F wd
w
A
n e
w2 2
dA
t
e
w2 2
d
（6.8）
（6.8）式称为积分形式的能量方程。
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第六章 流体动力学积分形式基本方程
第四节 能量方程
二、能量方程的简化
知，单位时间内流入控制体的动量与作用于控制面及控制体上外力之和
等于单位时间内控制体内动量的增加。
一、静止控制体的动量方程
作用于控制体上的力为
Fd
作用于控制面上的力为
A pndA
单位时间内控制体内动量的增量为
t
wd
单位时间内通过控制面流入控制体的动量为
A w nwdA
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第六章 流体动力学积分形式基本方程
1 2 ，A1 A2 ， gd 0 ， p1
F
Ab
pndA
，这里Ab为弯管壁面
w1
面积，代入（6.5）式得
y
p2
w2
Fy
Fx
o
x
图6.2 流体流过等截面弯管
p1A1i p2 A2 i cos jsin F w12 A1i w22 A2 i cos jsin
又由连续性方程（6.3）可知
面的总能量的代数和为零。重力场中U gz 称为单位质量的位能。
对于细小流管，其截面上参数可认为是均匀的，于是由（6.9）式可得到
e w2 p U const
（6.10）
2
（6.10）式可理解为定常绝热理想流体质量力有势条件下，沿流线单 位质量流体的总能量保持不变。这就是伯努利方程。
流体动力学基础工程流体力学
固定的控制体
对固定的CV，积分形式的连续性方程可化为
CS
ρ(
vn
)dA
CV
t
dV
运动的控制体
将控制体随物体一起运动时，连续性方程形式不变，只
要将速度改成相对速度vr
t
dV
CV
CS (vr n)dA 0
32
连续方程的简化
★1、对于均质不可压流体： ρ=const
dV 0
t CV
t
，所以由于密度 的变
化单位时间内微元六面体内增加的质量为dxdydz t。
微元控制体内流体质量增长率： dxdydz t
48
（3）根据质量守恒定律
流体运动的连续方程式为：
dxdydz uxdydz dx uydxdz dy uzdxdy dz 0
令β＝1，由系统的质量不变可得连续性方程
D Dt
CV
dV
t
CV
ρdV
CS
ρ
vndA
0
30
D Dt
CV
dV
t
CV
ρdV
CS
ρ
vn
dA
0
系统质量变化率 控制体内质量变化率 流出控制体的质量流率
上式表明：通过控制面净流出的质量流量等于控 制体内流体质量随时间的减少率。
在推导上式的时候，未作任何假设，因此只要满 足连续性假设，上式总是成立的
CV
B V n dA
CS
D* (t )
CV B n
质量体
控制体 任一物理量 控制体表面外法向单位向量
18
雷诺输运定理
将拉格朗日法求系统内物理 量的时间变化率转换为按欧 拉法去计算的公式
04 第四章 流体动力学基本方程
同理： τ yz
在两相互垂直的平面上切应力相等！！！
Fluid Mechanics 流 体 力 学
第二节 粘性流体运动微分方程式 ② 线变形引起的正应力 理想或静止流体中：p xx = p yy = p zz = pt 实际（粘性）流体中： p xx、p yy、p zz 可互不相等，但
p xx + p yy + pzz = pεε + pξξ + pγγ
Fluid
∂u y ∂y
,
′ pzz = 2 µ
∂u z ∂z
流 体 力 学
Mechanics
第二节 粘性流体运动微分方程式
pxx + p yy + pzz ∂u x ′ p= pxx = pt − pxx = pt − 2 µ ∂x 3 ∂u y 2 ∂u x ∂u y ∂u z ⇒ = pt − µ + + p yy = pt − p ′ = pt − 2 µ yy ∂y ∂y ∂z 3 ∂x ∂u z 2 v ′ pzz = pt − pzz = pt − 2 µ = pt − µ divu ∂z 3
化简得：
1 ∂pxx 1 τ yx τ zx du x X− + + = ρ ∂x ρ ∂y ∂z dt 以应力表示的 1 ∂p yy 1 τ zy τ xy du y Y− + + → = ρ ∂y ρ ∂z ∂x dt 运动微分方程 1 ∂pz 1 τ xz τ yz du z Z− + + = ρ ∂z ρ ∂x ∂y dt
∂p pzz + zz ∂z ∂τ 上： τ zx + zx ∂z ∂τ zy τ zy + ∂z dz 2 dz 2 dz 2
流体力学中的流体动力学方程
流体力学中的流体动力学方程流体力学是研究流体运动规律和性质的学科，它在能源、环境、航空航天等领域有着广泛的应用。
流体动力学方程是流体力学的基础，它描述了流体在运动过程中的物理现象和力学特性。
本文将介绍流体动力学方程的基本原理和常见的流体动力学方程。
一、连续性方程连续性方程是描述流体质点质量守恒的基本方程。
它表明流体在运动过程中，质量的流入等于流出。
连续性方程可以用数学形式表示为：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量，∇·表示散度运算符。
二、动量守恒方程动量守恒方程描述了流体质点在运动过程中动量的变化。
根据牛顿第二定律，动量守恒方程可以表示为：∂(ρv)/∂t + ∇·(ρvv) = -∇p + ∇·τ + ρg其中，p是流体的压力，τ是动态粘性应力张量，g是重力加速度。
三、能量守恒方程能量守恒方程是描述流体内能和外界能量转化的方程。
根据热力学第一定律，能量守恒方程可以表示为：∂(ρE)/∂t + ∇·(ρEv) = -∇·(pv) + ∇·(k∇T) + q其中，E是单位质量的总能量，v是流体的速度矢量，k是热传导率，T是温度，q是单位质量的内部热源。
四、状态方程流体力学中的状态方程描述了流体在热力学过程中的状态特性。
流体的状态方程通常表示为：p = ρRT其中，p是流体的压力，ρ是流体的密度，R是特定流体的气体常数，T是温度。
综上所述，流体动力学方程包括连续性方程、动量守恒方程、能量守恒方程和状态方程。
这些方程是建立在质点假设和牛顿力学基础上的，可以描述流体在运动过程中的物理现象和运动规律。
通过求解这些方程，可以得到流体的运动速度、压力分布等信息，为解决实际问题提供了重要的理论基础。
在实际应用中，为了解决流体动力学方程的复杂性，常常采用数值模拟等方法进行求解。
数值模拟可以通过离散化方程、引入数值格式和数值算法，得到流体在离散网格上的解。
流体动力学方程(完整资料).doc
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将 代入动量方程即得： ，其中 。
当流场温度变化不大时， 近似为常数，故有
，
其中
。
最后得到
。
又，若流体不可压缩，方程化为N—S方程： 。
又，若流体粘性可略，方程化为理想流体Euler方程： 。
V-3耗散函数
耗散函数 ——单位时间内粘性导致的单位体积流体机械能转化成的内能。
其中 为压缩功，而 为粘性力的功，它将导致机械能转化成内能。
3各向同性流体及其四阶张量 的表达式
3－1各向同性流体：若在原坐标系 和旋转后的坐标系 中偏应力张量分别表示为 和 ，若 则应当有 ，于是要求 。
*****************************************************************************************
（关于 与热力学压强的关系，建议学生查庄礼贤《流体力学》对应章节。）
9关于偏应力张量
A general relative motion near any point may be represented as the superposition of two simple shearing motion, each of which gives rise to a tangential stress determined by and the corresponding velocity gradient, together with a rigid rotation and an isotropic expansion, neither of which has an effect ( in a fluid of isotropic structure ) on the non-isotropic part of the stress’tensor and may of cause be regarded as the only possible linear tensorial relation, involving one scalar parameter, between and a symmetrical tensor whosediagonalelements have zero sum .
流体力学 第04章 流体动力学基础
，而且 y 与 z 都是沿半径方向的，故变数y，z可换成 变数 r。而 ux 与 x 无关，仅为 r 的函数，所以 ux 对 r 的偏导数可以直接写成全导数。
ux ux ux d ux 2 2 2 y z r dr2
2 2 2 2
11
或
将上式积分
d 2u x p 2 L dr 2
p p 知 与 x 无关，即动水压强沿 x 轴方向的变化率 x x
p p 是一个常数，可写成 常数＝ x L
10
式中 p 为沿 x 方向长度为 L 的管段上的压强降
落。由于压强是沿水流方向下降的，所以应在 p 前
加一负号。
2u x 2 u x 因为圆管中的液流是轴对称的， 2 与 2 相同 y z
2
对微小流束上任意两个过水断面有：
15
2 p1 u12 p2 u 2 z1 z2 g 2 g g 2 g
ｚ：液体某一点处的几何高度、单位重量液体的位能； p g ： 单位重量液体的压能、压强水头；
u 2 ： 单位重量液体的动能、流速水头。 2g
该式表明：在不可压缩理想液体恒定流情况下，微小
U p / u2 / 2 C
1 p du x x dt 1 p du y fy y dt 1 p du z fz z dt fx
在重力场中，作用在流体上的质量力只有重力， 即U=-gz，带入得
14
p u z C g 2 g
p xx
p yy yz y
p yy y
dy xy y dy
xy
dy
yz
xz
zx
zy
理想流体动力学基本方程
三、恒定总流能量方程应用 四、恒定总流动量方程与能量方程
的综合应用
3
，致使所研究的问题比较复杂。 理想流体：指粘性为零的流体，实际上并不存在，但在有些问题
中，粘性的影响很小，可以忽略不计，致使所研究的 问题简单化。 理想流体动力学规律可以应用于粘性的影响很小的实 际流体中，所以本章的研究具有实际意义。
C点（六面体的中心点）:
坐标：x、y、z
平均密度：ρ 动压强：p 速度： ux、uy、uz
方向沿坐标轴的正向
11
x 轴方向受到的表面压力：
p p dx dydz p p dx dydz p dxdydz
x 2
x 2
x
单位质量力为：
f fx i fy j fz k
流体微团受到 x 轴 方向的质量力：
动量的增量对总流过流断面进行积分，得：
dK
A2
dA2u2
dtu2
A1 dA1u1dtu1
dt[
A2 dA2u2u2
A1 dA1u1u1]
用过流断面的平均流速 v 来代替上式中未知的点速 u 分布，
主要内容
动量方程：反映了流体的动量变 化与外力之间的关系
能量方程：机械能守恒定理
4
粘性流体：实际流体都具有粘性。既有粘性切应力，又有法向压应力。
0
理想流体：理想流体可忽略粘性。即无粘性切应力，只有法向压应力。
0
粘性流体：
理想流体：
5
一、动量方程——流体的运动方程
1、积分形式的动量方程——流体的运动方程
质量力：用 f 表示，具有加速度的量纲
f d
( v)d
流体动力学基础 _流体力学资料
1 dp ab(xdx ydy)
积分，得
p ab x2 y 2 c'
2
令p=常数 即得等压面方程
x2 y2 c
等压面是以坐标原点为中心的圆。
第二节 元流的伯努利方程
一、理想流体运动微分方程的伯努利积分 理想流体运动微分方程式是非线性偏微分方程组，只有
特 定 条 件 下 的 积 分 ， 其 中 最 为 著 名 的 是 伯 努 利 (Daniel Bernoull，1700～1782，瑞士科学家)积分。
yz zx
zy xz
u z y
u x z
u y z
u z x
xy
yx
u y x
u x y
（4—6）
3．粘性流体运动微分方程
采用类似于推导理想流体运动微分方程式（4—1）的方 法，取微小平行 六面体，根据牛顿第二定律建立以应力(包 括切应力)表示的运动微分方程式，并以式(4—5)、式(4—6) 代人整理，使得到粘性液体运动微分方程：
2 x2
2 y 2
2 z 2
——拉普拉斯算子。
——粘性流体运动微分方程，又称为纳维— 斯托克斯方程(简写为N—S方程)。
N—S方程表示作用在单位质量流体上的质量力、表面力(压力 和粘性力) 的相平衡。由N—S方程式和连续性微分方程式组成的 基本方程组，原则上可以求解速度场和压强场p,可以说粘性流体的 运动分析，归结为对N—S方程的研究。
X Y
1
1
p x
p y
ux ux
u x x
u y x
uy uy
u y y
u y y
uz uz
u z z
u y z
Z
1
流体动力学基本方程
流体动力学基本方程
“流体动力学基本方程”是将质量、动量和能量守恒定律用于流体运动所得到的联系流体速度、压力、密度和温度等物理量的关系式。
对于系统和控制体都可以建立流体动力学基本方程。
系统是确定不变的物质的组合；而控制体是相对于某一坐标系固定不变的空间体积，它的边界面称为控制面。
流体动力学中讨论的基本方程多数是对控制体建立的。
主要有连续方程、动量方程、动量矩方程和能量方程。
1、连续方程：ρ1v1A1=ρ2v2A2，式中ρ1、v1、ρ
2、v2分别为A1和A2截面上的流体平均密度和速度。
2、动量方程：单位时间内，流入控制体的动量与作用于控制面和控制体上的外力之和，等于控制体内动量的增加。
3、动量矩方程：单位时间内，流入控制体的动量与作用于控制体和控制面上的外力对某一参考点的动量矩之和，等于控制体内对同一点的动量矩的增加。
4、能量方程：单位时间内，流入控制体的各种能量与外力所作的功之和，等于控制体内能量的增加。
第4章流体动力学微分形式的基本方程
x方向质量的变化 流入的质量 流出的质量
dmx
x
dx 2
u
x
ux x
dx 2
dtdydz
x
dx 2
u
x
ux x
dx 2
dtdydz
ux
ux x
dx 2
ux
x
（2）方程的推导 依据牛顿第二定律。 六面体流体元中心点M的坐标为 x，y，z， 应力状态为σ，可求出各面中心点的应力。
以x方向为例 ：
Fx max
外力的 x 向分量 Fx ：
质量力的x向分量：Xxyz
表面力的 x 向分量：
(
xx
x) y z
x
(
yx
y、z 向质量净通率分别为： (uy ) yzx
y
和 (uz)zxy
z
体积内的质量减少率 ：
则有：
xyz
t
( x u x) ( y u y) ( z u z) x y z t x y z
yx
u (
y
u x )
x
y
yz
zy
(u z y
u y ) z
zx
xz
u (
x
u z )
z
第四章流体动力学基本方程
+υz
∂υθ ∂z
=
fθ
−
1 ρr
∂p ∂θ
+
v
∂ 2υθ ∂r 2
+ 1 ∂υθ r ∂r
−
υθ r2
1 + r2
∂ 2υθ ∂θ 2
2 − r2
∂υr ∂θ
+
∂ 2υθ ∂z 2
∂υz ∂t
+υr
∂υz ∂r
+ υθ r
∂υz ∂θ
+υz
∂υz ∂z
=
fz
−
1 ρ
∂p ∂z
对于均匀流动，假设u=u(y),υ=w=0，则有
∂u = ∂υ = ∂w = 0 ∂x ∂y ∂z
pxx = pyy = pzz = pm = p
在粘性流体与固体壁面接触的表面上，在壁面上u=υ=w=0，则有
pxx = pyy = pzz = pm = p
§4—2 实际流体中的运动微分方程
= τ rz
=
µ
∂υr
∂z
+
∂w ∂r
υ
z
用纳维尔—斯托克斯方程求解紊流运动问题时，必须对方程求时均值
p = p + p′
u = u + u′
υ
=
υ
+
υ
′
w = w + w′
压强项和粘性项为线性项，可直接时均化，惯性项为非为
线性项，出现了惯性切应力项，即脉动切应力项，又称雷 诺应力项，经过时均运算后的N-S方程为：
目前为止，精确解(分析解)仅有一二十个。 ¾ 应用条件：不可压流体，且µ=常数。 ¾ 对理想流体有：µ=0，则N-S方程变成欧拉方程，所以N-S方程是不可压
流体动力学基本方程
流体动力学基本方程流体动力学基本方程000【本章重点】（1）稳定活动与不稳定活动的概念；（2）连续性方程式的推导及其应用；（3）柏努利方程式的推导及其应用。
【本章难点剖析】（1）流体动量通量的概念动量通量，特别是粘性动量通量是一个比较抽象而又难于理解的概念，这一概念又是纳维-斯托克斯方程推的重要基础，因此，必须讲深讲透。
此概念涉及到通量、动量、粘性力、切应力（粘性应力）、层流、紊流等基本概念和牛顿粘性定律等基础知识。
讲述此概念时，首先可以从同学们所熟悉的物理学中磁通量的概念进手，引出通量（即单位时间通过单位面积传递的量）的概念，再推演出动量通量的概念，即单位时间通过单位面积传递的动量。
然后在温习前面所学的层流与紊流以及紊流的脉动性和时均化等概念的基础上，引出对活动量通量（由流体的宏观运动引起，传递方向与流体运动方向一致）和粘性动量通量（包括层流粘性动量通量和紊流粘性动量通量，前者由层流过程流体的分子运动而引起，后者由紊流过程流体微团的横向脉动引起，它们的传递方向都与流体的宏观活动方向垂直）的概念。
值得指出的是，从量纲考虑，粘性动量通量与应力的量纲一致（kgm-1s-2），故层流粘性动量通量可以用切应力来表示，即可以用牛顿粘性定律来描述；但紊流粘性动量通量比较复杂。
（2）欧拉方程和纳维-斯托克斯方程的推导前面的流体静力学基本方程、连续性方程等的推导为欧拉方程和纳维-斯托克斯方程的推导打下了良好的微分法推导基础。
在此基础上比较轻易导出欧拉方程。
但纳维-斯托克斯方程的推导既有一定难度，又有一定深度，而且比较繁琐。
"难"，难在三维粘性动量通量的概念；"深"，深在二阶微分的运算和变换等数学基础；"繁"，繁在数学符号多，上下标多。
因此，在讲述推导过程时，需留意上述题目。
【本章主要内容】3.1流体活动的基本概念3.1.1流场的概念及其表示方法流场是指布满运动流体的空间。
第四章 流体动力学微分形式的基本方程
第四章流体动力学微分形式的基本方程§4-1运动流体中的应力张量流体中的应力一、运动流体中的应力张量作微元四面体，如图()cos ,x n nA A n x A Δ=Δ=Δx n ()cos ,y n nA A n y A Δ=Δ=Δy n ()cos ,z n nA A n z A Δ=Δ=Δz n00当()00,0,0dv dx dy dz →→→→n x y zA A A A Δ=Δ+Δ+Δn x y z p p p p n x n y n z nA n A n A n A Δ=Δ+Δ+Δn x y z p p p pn n n =++x y zxx xy xzp p p =++n x y z x p p p p p i j k yx yy yzzx zy zzp p p p p p =++=++y z p i j k p i j k y 分量公式：nx ny nzp p p =++n p i j k nx x xx y yx z zxp n p n p n p =++ny x xy y yy z zynz x xz y yz z zz p n p n p n p p n p n p n p =++=++⎛xx xy xz p p p ⎞⎜⎟=为对称张量yxyyyz zxzy zz P p p p p p p ⎜⎟⎜⎟⎝⎠ 为对称张量P =++x y z ip jp kp x y z n n n P=++=i 依赖于通过某点的面元方位P是的函数n x y z p p p p n (),t 依赖于通过某点的面元方位，P是的函数.n p r二、理想流体中的应力00p αβαβ≠⎧=⎨1111222233330= nn nn nn p n n p p n n p p n n p βαβ≠⎩===112233nn p p p p ∴===理想流体任一方向应力分量都相等p P p δ=−=−n p n+∇i V =0()t ρ∂t∂:适用惯性坐标系,非惯性坐标系,理想流体和非理想流体.⎛()()200v e ,t ,A A t 2φφφττ⎞==×=+==⎜⎟⎝⎠V, r V ，d d 00D D Dt Dt ττρτρτ=∫∫∫∫∫∫V VD ∫∫∫∫∫∫∫∫ A Dt ττD ⎛⎞V ∴0d Dt τρρτ−−∇=⎜⎟⎝⎠∫∫∫f P i1yz xz zz z P P w w w w P u v w f t x y z x y z ρ∂⎛⎞∂∂∂∂∂∂+++++⎜⎟∂∂∂∂∂∂∂⎝⎠=+各项物理意义y x dx dy ∂⎛⎞∂⎛⎞⎟⎟P P z dxdydz+dydz+dxdz x y D +dz dxdy dxdydz ρρ⎜⎜∂∂⎝⎠⎝⎠∂⎛⎞ =f P V （牛顿第二定律）z Dt ⎜⎟∂⎝⎠2Dt ⎝⎠()()()221122R V V e e +q T t λρρ⎛⎞⎛⎞∂++∇+=∇+∇∇⎜⎟⎜⎟∂i i i i i V f V +P V 或⎝⎠⎝⎠§4-5 方程组的封闭性三大方程连续方程动量方程（个）能量方程：连续方程、动量方程（3个）、能量方程。
理想流体动力学基本方程.
例 已知流场速度为
u
q 2
x x2
y2
,
v
q 2
y x2 y2
,
w0
其中q为常数, 求流线方程
解:
dx qx
q
dy y
2 x2 y2 2 x2 y2
dx/x=dy/y 积分 lnx=lny+c’ 即 y=cx 为平面点源流动
例题: 已知平面流场速度分布为 u = 2yt+t3 v = 2xt
解:
Q Qm 300 0.3m3 / s
1000
V1
Q A1
Q
1 4
d12
0.3
1 0.32
4
4.24m / s
V2
Q A2
Q
1 4
d
2 2
0.3
1 0.22
4
9.55m / s
极坐标的连续性方程为
y
u
ur
r
t
1 r
( rur )
r
( u v w)dxdydz dxdydz
x y z
t
u v w 0
t x y z
V
0
t
u v w 0
t x y z
V
0
t
某些条件下, 连续性微分方程的具体形式
( u
)
0
0
x
( rur ) ( u ) 0
r
定常
(rur ) u 0
流体动力学积分形式的基本方程
A0
即：
D ∫∫∫ ρVdτ 0 = ∫∫∫ ρ f dτ 0 + ∫∫ pn dA0 Dt τ 0 A0 τ0
n 作用面法线方向而非 pn 的方向
三、动量矩方程
DM 0 D = ∫∫∫ r × ρVdτ 0 = ∑ r × F Dt Dt τ 0 = ∫∫∫ ρ ( r × f )dτ 0 + ∫∫ ( r × pn )dA0
A
D ∂φ ∫∫∫) φ dτ 0 ( t ) = ∫∫∫ ∂t dτ + Dt τ 0 ( t τ
∫∫ ( V • n )φ dA − − − − − (1)
A
——输运公式，即系统导数的欧拉表达式
∇ • (φ V ) = φ∇ • V + V∇ • φ
由质点导数
Dφ ∂φ = + V∇ • φ Dt ∂t
τ0
A0
M 0 = ∫∫∫ ( r × V ) dτ 0
τ0
四、能量方程
⎛ V2 ⎞ DE D Q +W = = ∫∫∫ ρ ⎜ e + 2 ⎟ dτ 0 Dt Dt τ 0 ⎝ ⎠
●热传导
n qλ = qin q n 方向分量 q = − λ∆T ， 为外法 在
Q
q T ∆T 线方向， 由外向内为负， 外高里低 ， 指向温增 ● 热辐射 总辐射热 ∫∫∫ qR ρdτ 0
1 2 3
间的变化率
• 质点导数强调某一流体质点的物理量对时间 的变化率 • 以直角坐标为例：
已知速度场，t时刻空间点 点 V = V ( x, y, z, t )，经过 ∆t ，
p
p ( x, y , z )
上的流体质
p → p′( x + u ∆t , y + v∆t , z + w∆t , t )
第四章流体动力学基本方程资料
2 yz
2 zy
zx
xz
x
z
z
x
2 zx
2 xz
三、法向应力与线变形速度之间的关系
pxx
p
2
x
x
pyy
p
2
y
y
pzz
p
2
z
z
三个互相垂直的法向应力的算术平均值为:
dz
dt
纳维尔—斯托克斯方程 写成矢量形式为
[ ( ) ] f p 2
t
f 1 p v2 d
dt t
2
2 x2
2 y 2
2 z 2
,
i j k x y z
d 0
dt
不可压均质流体 c
第四章 流体动力学基本方程
主要内容
实际流体的运动微分方程 理想流体的运动微分方程 理想流体的伯努利方程 粘性流体总流的伯努利方程 动量方程 动量矩方程
§4-1 实际流体中的应力与变形速度
通过A点的三个互相垂直的平面上的
一、实际流体中的应力
2
zy
yz
同理：
fyy
t
y
2
( 2
)
2(
xz
zx )
fz
1
p z
z
t
z
2
( 2
)
2(